Bunlar zaten oldukça sıkıcı. Ve teorinin stratejik rezervlerinden yeni konserve ürünleri çıkarma zamanının geldiğini hissediyorum. Fonksiyonu başka bir şekilde bir seriye genişletmek mümkün müdür? Örneğin, bir düz çizgi parçasını sinüs ve kosinüs cinsinden ifade edebilir misiniz? İnanılmaz görünüyor, ancak bu kadar uzak görünen işlevler
"yeniden birleşme". Teorik ve pratikteki bilinen derecelere ek olarak, bir fonksiyonu bir seriye genişletmeye yönelik başka yaklaşımlar da vardır.

Bu dersimizde trigonometriyi öğreneceğiz. Fourier'nin yanında yakınsaklığı ve toplamı konusuna değineceğiz ve elbette Fourier serisinde fonksiyonların açılımının sayısız örneğini analiz edeceğiz. Makaleyi içtenlikle “Aptallar için Fourier Serisi” olarak adlandırmak istedim, ancak bu samimiyetsiz olurdu çünkü problemleri çözmek, diğer matematiksel analiz dalları hakkında bilgi ve biraz pratik deneyim gerektirecektir. Dolayısıyla giriş kısmı astronot eğitimine benzeyecek =)

Öncelikle sayfa materyallerinin incelenmesine mükemmel biçimde yaklaşmalısınız. Uykulu, dinlenmiş ve ayık. Kırık bir hamsterin pençesi hakkında güçlü duygular olmadan ve takıntılı düşünceler hayatın zorlukları hakkında akvaryum balıkları. Ancak Fourier serisini anlamak zor değil pratik görevler sadece daha fazla dikkat gerektirirler; ideal olarak kendinizi dış uyaranlardan tamamen ayırmalısınız. Çözümü kontrol etmenin ve cevaplamanın kolay bir yolu olmadığı için durum daha da kötüleşiyor. Bu nedenle sağlığınız ortalamanın altındaysa daha basit bir şey yapmak daha iyidir. Bu doğru mu.

İkincisi, uzaya uçmadan önce gösterge panelini incelemeniz gerekiyor uzay gemisi. Makinede tıklanması gereken fonksiyonların değerleriyle başlayalım:

Herhangi bir doğal değer için:

1). Aslında sinüzoid, x eksenini her bir "pi" boyunca "diker":
. Argümanın negatif değerleri durumunda sonuç elbette aynı olacaktır: .

2). Ancak bunu herkes bilmiyordu. Kosinüs "pi" bir "yanıp sönen" değere eşdeğerdir:

Olumsuz bir argüman meseleyi değiştirmez: .

Belki bu yeterlidir.

Ve üçüncü olarak, sevgili kozmonot birlikleri, şunları yapabilmelisiniz... birleştirmek.
Özellikle güvenle fonksiyonu diferansiyel işareti altına alın, parça parça entegre etmek ve barış içinde ol Newton-Leibniz formülü. Önemli uçuş öncesi egzersizlere başlayalım. Daha sonra ağırlıksızlıkta ezilmemek için kategorik olarak atlamanızı önermiyorum:

örnek 1

Belirli integralleri hesaplayın

doğal değerleri nereden alır?

Çözüm: “x” değişkeni üzerinden entegrasyon yapılır ve bu aşamada ayrık değişken “en” sabit kabul edilir. Tüm integrallerde fonksiyonu diferansiyel işaretinin altına koyun:

Hedeflenmesi iyi olacak çözümün kısa versiyonu şöyle görünür:

Hadi alışalım:

Geriye kalan dört puan size aittir. Göreve dikkatli yaklaşmaya çalışın ve integralleri kısa bir şekilde yazın. Dersin sonunda örnek çözümler.

KALİTE egzersizlerini yaptıktan sonra uzay kıyafetlerini giyiyoruz
ve başlamaya hazırlanıyoruz!

Bir fonksiyonun aralıkta Fourier serisine genişletilmesi

Bazı işlevleri düşünün azimli en azından bir süreliğine (ve muhtemelen daha uzun bir süre için). Eğer bu fonksiyon aralıkta integrallenebilirse trigonometrik fonksiyona genişletilebilir. Fourier serisi:
, sözde olanlar nerede Fourier katsayıları.

Bu durumda numara aranır ayrışma dönemi ve sayı ayrışmanın yarı ömrü.

Genel durumda Fourier serisinin sinüs ve kosinüslerden oluştuğu açıktır:

Aslında detaylı olarak yazalım:

Serinin sıfır terimi genellikle şeklinde yazılır.

Fourier katsayıları aşağıdaki formüller kullanılarak hesaplanır:

Konuyu incelemeye başlayanların yeni terimler konusunda hâlâ net olmadıklarını gayet iyi anlıyorum: ayrışma dönemi, yarım döngü, Fourier katsayıları vs. Paniğe kapılmayın, bu uzaya çıkmadan önceki heyecanla kıyaslanamaz. Acil pratik sorular sormanın mantıklı olduğu, uygulamadan önce aşağıdaki örnekteki her şeyi anlayalım:

Aşağıdaki görevlerde ne yapmanız gerekiyor?

Fonksiyonu Fourier serisine genişletin. Ek olarak, genellikle bir fonksiyonun grafiğini, bir serinin toplamının grafiğini, kısmi bir toplamı tasvir etmek ve karmaşık profesörlük fantezileri durumunda başka bir şey yapmak gerekir.

Bir fonksiyon Fourier serisine nasıl genişletilir?

Esasen, bulmanız gerekiyor Fourier katsayıları yani üç tane oluştur ve hesapla kesin integral.

Lütfen Fourier serisinin genel formunu ve üç çalışma formülünü defterinize yeniden yazınız. Bazı site ziyaretçilerinin çocukluk hayalleri olan astronot olma hayalini gözlerimin önünde gerçekleştirmelerine çok sevindim =)

Örnek 2

Fonksiyonu aralıktaki Fourier serisine genişletin. Bir serinin toplamı ve kısmi toplamın grafiğini oluşturun.

Çözüm: Görevin ilk kısmı fonksiyonu Fourier serisine genişletmektir.

Başlangıç ​​standarttır, şunu yazdığınızdan emin olun:

Bu problemde genişleme periyodu yarım periyottur.

Fonksiyonu aralıkta bir Fourier serisine genişletelim:

Uygun formülleri kullanarak şunu buluruz: Fourier katsayıları. Şimdi üçünü oluşturup hesaplamamız gerekiyor kesin integral. Kolaylık sağlamak için noktaları numaralandıracağım:

1) İlk integral en basitidir ancak aynı zamanda gözbebekleri de gerektirir:

2) İkinci formülü kullanın:

Bu integral iyi bilinmektedir ve onu parça parça alıyor:

Bulunduğunda kullanılır bir fonksiyonu diferansiyel işaret altına alma yöntemi.

Söz konusu görevde hemen kullanmak daha uygundur Belirli bir integralde parçalara göre entegrasyon formülü :

Birkaç teknik not. Formülü uyguladıktan sonra öncelikle ifadenin tamamı büyük parantez içine alınmalıdırÇünkü orijinal integralden önce bir sabit vardır. Onu kaybetmeyelim! Parantezler herhangi bir aşamada genişletilebilir; bunu son çare olarak yaptım. İlk "parça"da Yer değiştirmede çok dikkatli davranıyoruz, gördüğünüz gibi sabit kullanılmıyor, integralin sınırları çarpıma aktarılıyor. Bu eylem köşeli parantez içinde vurgulanır. Formülün ikinci "parçasının" integralini eğitim görevinden biliyorsunuz;-)

Ve en önemlisi - maksimum konsantrasyon!

3) Üçüncü Fourier katsayısını arıyoruz:

Önceki integralin bir akrabası elde edilir; bu aynı zamanda parça parça bütünleşir:

Bu örnek biraz daha karmaşık, sonraki adımlar hakkında adım adım yorum yapacağım:

(1) İfade tamamen büyük parantez içine alınmıştır. Sıkıcı görünmek istemedim, sabitleri çok sık kaybediyorlar.

(2)V bu durumda Hemen o büyük parantezleri açtım. Özel dikkat Dikkatimizi ilk "parçaya" adadık: sürekli kenarda sigara içiyor ve ürüne entegrasyon sınırlarının ( ve ) değiştirilmesine katılmıyor. Kaydın dağınıklığı nedeniyle, bu eylemin köşeli parantezlerle vurgulanması yine tavsiye edilir. İkinci "parça" ile her şey daha basit: burada kesir büyük parantezleri açtıktan sonra ortaya çıktı ve sabit - tanıdık integralin entegrasyonunun bir sonucu olarak ;-)

(3) Dönüşümleri köşeli parantez içinde yapıyoruz ve sağ integralde integralin limitlerini değiştiriyoruz.

(4) "Yanıp sönen ışığı" köşeli parantezlerden kaldırıyoruz: ve ardından iç parantezleri açıyoruz: .

(5) Parantez içindeki 1 ve –1’i iptal edip son sadeleştirmeleri yapıyoruz.

Son olarak, üç Fourier katsayısının tümü bulunur:

Bunları formülde yerine koyalım :

Aynı zamanda ikiye bölmeyi de unutmayın. Son adımda “en”e bağlı olmayan sabit (“eksi iki”) toplamın dışına alınır.

Böylece fonksiyonun aralıkta Fourier serisine genişletilmesini elde ettik:

Fourier serisinin yakınsaklığı konusunu inceleyelim. Teoriyi özellikle açıklayacağım Dirichlet teoremi, kelimenin tam anlamıyla "parmaklarda", bu nedenle katı formülasyonlara ihtiyacınız varsa, lütfen ders kitabına bakın. matematiksel analiz (örneğin Bohan'ın 2. cildi ya da Fichtenholtz'un 3. cildi ama daha zordur).

Problemin ikinci kısmı bir grafik, bir seri toplamı grafiği ve kısmi toplam grafiği çizmeyi gerektirir.

Fonksiyonun grafiği olağandır uçakta düz çizgi, siyah noktalı bir çizgiyle çizilmiştir:

Serinin toplamını bulalım. Bildiğiniz gibi fonksiyon serileri fonksiyonlara yakınsar. Bizim durumumuzda oluşturulan Fourier serisi herhangi bir "x" değeri için kırmızıyla gösterilen fonksiyona yakınlaşacaktır. Bu işlev dayanır 1. tür yırtılmalar noktalarda, ancak aynı zamanda bu noktalarda da tanımlanmıştır (çizimde kırmızı noktalar)

Böylece: . Orijinal işlevden gözle görülür derecede farklı olduğunu görmek kolaydır, bu nedenle girişte Eşittir işareti yerine yaklaşık işareti kullanılır.

Bir serinin toplamını oluşturmaya uygun bir algoritmayı inceleyelim.

Merkezi aralıkta, Fourier serisi fonksiyonun kendisine yakınsar (merkezdeki kırmızı bölüm, doğrusal fonksiyonun siyah noktalı çizgisiyle çakışır).

Şimdi ele alınan trigonometrik genişlemenin doğasından biraz bahsedelim. Fourier serisi yalnızca periyodik fonksiyonları (sabit, sinüsler ve kosinüsler) içerir, dolayısıyla serinin toplamı aynı zamanda periyodik bir fonksiyondur.

Özel örneğimizde bu ne anlama geliyor? Bu da serinin toplamı anlamına geliyor –kesinlikle periyodik ve aralığın kırmızı kısmı solda ve sağda sonsuza kadar tekrarlanmalıdır.

Sanırım artık “çözünme dönemi” deyiminin anlamı netleşti. Basitçe söylemek gerekirse, durum her seferinde tekrar tekrar kendini tekrar ediyor.

Pratikte, çizimde yapıldığı gibi, genellikle üç ayrışma periyodunu tasvir etmek yeterlidir. Ayrıca komşu dönemlerin "kütükleri" - böylece grafiğin devam ettiği açıktır.

Özellikle ilgi çekici olanlar 1. tür süreksizlik noktaları. Bu gibi noktalarda Fourier serisi, süreksizliğin "sıçramasının" tam ortasında bulunan (çizimdeki kırmızı noktalar) izole edilmiş değerlere yakınsar. Bu noktaların ordinatını nasıl öğrenebilirim? Öncelikle “üst katın” koordinatını bulalım: bunun için genişlemenin merkezi periyodunun en sağ noktasındaki fonksiyonun değerini hesaplıyoruz: . “Alt katın” koordinatını hesaplamanın en kolay yolu, en uç noktayı almaktır. sol değer aynı döneme ait: . Ortalama değerin ordinatı, “üst ve alt” toplamının aritmetik ortalamasıdır: . Hoş bir gerçek şu ki, bir çizim oluştururken ortanın doğru mu yoksa yanlış mı hesaplandığını hemen göreceksiniz.

Serinin kısmi bir toplamını oluşturalım ve aynı zamanda "yakınsaklık" teriminin anlamını tekrarlayalım. Sebep aynı zamanda dersten de bilinmektedir. bir sayı serisinin toplamı. Zenginliğimizi ayrıntılı olarak anlatalım:

Kısmi bir toplam oluşturmak için serinin sıfır + iki terimini daha yazmanız gerekir. Yani,

Çizimde fonksiyonun grafiği gösterilmektedir yeşil ve görebileceğiniz gibi, miktarın tamamını oldukça sıkı bir şekilde "sarıyor". Serinin beş teriminin kısmi toplamını düşünürsek, bu fonksiyonun grafiği kırmızı çizgilere daha da yakın bir şekilde yaklaşacaktır; eğer yüz terim varsa, o zaman "yeşil yılan" aslında kırmızı bölümlerle tamamen birleşecektir, vesaire. Böylece Fourier serisi toplamına yakınsar.

Herhangi bir kısmi tutarın olduğunu belirtmek ilginçtir. sürekli fonksiyon ancak serinin toplam toplamı hala süreksizdir.

Pratikte kısmi toplam grafiği oluşturmak o kadar da nadir değildir. Nasıl yapılır? Bizim durumumuzda segment üzerindeki fonksiyonu dikkate almak, segmentin uçlarındaki ve ara noktalardaki değerlerini hesaplamak gerekir (ne kadar çok noktayı dikkate alırsanız grafik o kadar doğru olur). Daha sonra çizim üzerinde bu noktaları işaretlemeli ve periyot üzerinde dikkatlice bir grafik çizmeli ve ardından bunu bitişik aralıklara "çoğaltmalısınız". Başka nasıl? Sonuçta, yaklaşıklık aynı zamanda periyodik bir fonksiyondur... ...bazı açılardan grafiği bana tıbbi bir cihazın ekranındaki pürüzsüz kalp ritmini hatırlatıyor.

İnşaatı yapmak elbette pek uygun değil, çünkü son derece dikkatli olmanız ve yarım milimetreden az olmayan bir doğruluğu korumanız gerekiyor. Ancak çizim konusunda rahat olmayan okuyucuları memnun edeceğim - "gerçek" bir problemde çizim yapmak her zaman gerekli değildir; vakaların yaklaşık% 50'sinde fonksiyonun Fourier serisine genişletilmesi gerekir ve bu kadar. .

Çizimi tamamladıktan sonra görevi tamamlıyoruz:

Cevap:

Birçok görevde işlev zarar görür 1. tür yırtılma tam ayrışma döneminde:

Örnek 3

Aralıkta verilen fonksiyonu Fourier serisine genişletin. Fonksiyonun ve serinin toplam toplamının grafiğini çizin.

Önerilen fonksiyon parçalı olarak belirtilmiştir (ve yalnızca segmentte olduğunu unutmayın) ve dayanır 1. tür yırtılma noktada . Fourier katsayılarını hesaplamak mümkün mü? Sorun değil. Fonksiyonun hem sol hem de sağ tarafı kendi aralıklarında integrallenebilir olduğundan, üç formülün her birindeki integraller iki integralin toplamı olarak temsil edilmelidir. Örneğin sıfır katsayı için bunun nasıl yapıldığını görelim:

İkinci integralin sıfıra eşit olduğu ortaya çıktı, bu da işi azalttı, ancak durum her zaman böyle değildir.

Diğer iki Fourier katsayısı da benzer şekilde açıklanmaktadır.

Bir serinin toplamı nasıl gösterilir? Sol aralıkta düz bir çizgi parçası çiziyoruz ve aralıkta düz bir çizgi parçası çiziyoruz (eksenin bölümünü kalın ve kalın olarak vurguluyoruz). Yani genişleme aralığında serinin toplamı üç “kötü” nokta dışında her yerde fonksiyonla çakışmaktadır. Fonksiyonun süreksizlik noktasında Fourier serisi, süreksizliğin "sıçramasının" tam ortasında yer alan izole bir değere yakınlaşacaktır. Bunu sözlü olarak görmek zor değil: sol taraf sınırı: , sağ taraf sınırı: ve açıkçası orta noktanın ordinatı 0,5'tir.

Toplamın periyodikliği nedeniyle, resmin bitişik dönemlere "çarpılması" gerekir, özellikle aynı şeyin aralıklarda ve . Aynı zamanda Fourier serisi bazı noktalarda medyan değerlere yakınlaşacaktır.

Aslında burada yeni bir şey yok.

Bu görevle kendiniz başa çıkmaya çalışın. Nihai tasarımın yaklaşık bir örneği ve dersin sonunda bir çizim.

Bir fonksiyonun keyfi bir periyotta Fourier serisine genişletilmesi

"El"in herhangi bir pozitif sayı olduğu keyfi bir genişleme periyodu için, Fourier serisi ve Fourier katsayılarına ilişkin formüller, sinüs ve kosinüs için biraz daha karmaşık bir argümanla farklılık gösterir:

Eğer öyleyse, başladığımız aralık formüllerini elde ederiz.

Sorunu çözmeye yönelik algoritma ve ilkeler tamamen korunur, ancak hesaplamaların teknik karmaşıklığı artar:

Örnek 4

Fonksiyonu Fourier serisine genişletin ve toplamı çizin.

Çözüm: aslında Örnek No. 3'ün bir analogu 1. tür yırtılma noktada . Bu problemde genişleme periyodu yarım periyottur. Fonksiyon yalnızca yarım aralıkta tanımlanır, ancak bu durumu değiştirmez; fonksiyonun her iki parçasının da integrallenebilir olması önemlidir.

Fonksiyonu Fourier serisine genişletelim:

Fonksiyon orijinde süreksiz olduğundan, her Fourier katsayısı açıkça iki integralin toplamı olarak yazılmalıdır:

1) İlk integrali mümkün olduğunca ayrıntılı olarak yazacağım:

2) Ay'ın yüzeyine dikkatlice bakıyoruz:

İkinci integral onu parçalar halinde alıyoruz:

Çözümün devamını yıldız işaretiyle açtıktan sonra nelere dikkat etmeliyiz?

Öncelikle ilk integrali kaybetmeyiz , hemen yürüteceğimiz yer diferansiyel işaretine abone olmak. İkinci olarak, büyük parantezlerin önündeki talihsiz sabiti unutmayın ve işaretlere aldanmayın formülü kullanırken . Büyük braketlerin bir sonraki adımda hemen açılması daha da uygundur.

Gerisi bir teknik meselesidir; zorluklar yalnızca integrallerin çözümündeki yetersiz deneyimden kaynaklanabilir.

Evet, Fransız matematikçi Fourier'in seçkin meslektaşlarının öfkeli olması boşuna değildi - fonksiyonları trigonometrik seriler halinde düzenlemeye nasıl cesaret etti?! =) Bu arada, muhtemelen herkes söz konusu görevin pratik anlamı ile ilgileniyor. Fourier'in kendisi üzerinde çalıştı matematiksel model termal iletkenlik ve daha sonra onun adını taşıyan seri, çevredeki dünyada görünen ve görünmeyen birçok periyodik süreci incelemek için kullanılmaya başlandı. Şimdi bu arada ikinci örneğin grafiğini kalbin periyodik ritmiyle karşılaştırmamın tesadüf olmadığını düşünürken yakaladım kendimi. İlgilenenler pratik uygulamaya aşina olabilirler Fourier dönüşümüüçüncü taraf kaynaklarda. ...Gerçi yapmamak daha iyi - İlk Aşk olarak hatırlanacak =)

3) Defalarca bahsedilen zayıf halkaları dikkate alarak üçüncü katsayıya bakalım:

Parçalara göre integral alalım:

Bulunan Fourier katsayılarını formülde yerine koyalım sıfır katsayısını ikiye bölmeyi unutmadan:

Serinin toplamını çizelim. İşlemi kısaca tekrarlayalım: Bir aralık üzerinde düz bir çizgi ve bir aralık üzerinde düz bir çizgi çiziyoruz. Eğer “x” değeri sıfır ise, boşluğun “sıçramasının” ortasına bir nokta koyarız ve grafiği komşu dönemler için “çoğaltırız”:


Dönemlerin "kavşaklarında" toplam, aynı zamanda aralığın "sıçramasının" orta noktalarına da eşit olacaktır.

Hazır. Size fonksiyonun kendisinin yalnızca yarım aralıkta tanımlanan koşula göre olduğunu ve açıkça aralıklardaki serilerin toplamı ile çakıştığını hatırlatmama izin verin.

Cevap:

Bazen parçalı olarak verilen bir fonksiyon genişleme periyodu boyunca süreklidir. En basit örnek: . Çözüm (bkz. Bohan cilt 2)önceki iki örnektekiyle aynı: buna rağmen fonksiyonun sürekliliği noktasında her Fourier katsayısı iki integralin toplamı olarak ifade edilir.

Ayrıştırma aralığında 1. tür süreksizlik noktaları ve/veya grafiğin daha fazla "birleşim" noktası olabilir (iki, üç ve genellikle herhangi biri) son miktar). Bir fonksiyon her bir parça üzerinde integrallenebilirse, o zaman Fourier serisinde de genişletilebilir. Ancak pratik deneyimlerime dayanarak bu kadar acımasız bir şey hatırlamıyorum. Bununla birlikte, az önce ele alınanlardan daha zor görevler vardır ve makalenin sonunda herkes için artan karmaşıklığa sahip Fourier serisine bağlantılar bulunmaktadır.

Bu arada rahatlayalım, sandalyelerimize yaslanalım ve yıldızların uçsuz bucaksız genişliğini düşünelim:

Örnek 5

Fonksiyonu aralıkta bir Fourier serisine genişletin ve serinin toplamını çizin.

Bu problemde fonksiyon sürekliçözümü basitleştiren genişleme yarı aralığında. Her şey Örnek No. 2'ye çok benzer. Uzay gemisinden kaçış yok - karar vermeniz gerekecek =) Dersin sonunda yaklaşık bir tasarım örneği, bir program eklenmiştir.

Çift ve tek fonksiyonların Fourier serisi açılımı

Çift ve tek işlevlerle, sorunu çözme süreci gözle görülür şekilde basitleştirilmiştir. Ve bu yüzden. Bir fonksiyonun periyodu "iki pi" olan Fourier serisindeki açılımına dönelim. ve keyfi nokta “iki el” .

Fonksiyonumuzun eşit olduğunu varsayalım. Gördüğünüz gibi serinin genel terimi çift kosinüsleri ve tek sinüsleri içeriyor. Ve eğer bir ÇİFT fonksiyonunu genişletiyorsak o zaman neden tek sinüslere ihtiyacımız var?! Gereksiz katsayıyı sıfırlayalım: .

Böylece, Fourier serisinde eşit bir fonksiyon yalnızca kosinüs cinsinden genişletilebilir:

Çünkü çift ​​fonksiyonların integralleri sıfıra göre simetrik olan bir entegrasyon bölümü boyunca iki katına çıkarılabilir, ardından geri kalan Fourier katsayıları basitleştirilir.

Boşluk için:

İsteğe bağlı bir aralık için:

Matematiksel analizle ilgili hemen hemen her ders kitabında bulunabilecek ders kitabı örnekleri, çift fonksiyonların açılımlarını içerir. . Ayrıca kişisel pratiğimde birkaç kez karşılaştım:

Örnek 6

Fonksiyon verilmiştir. Gerekli:

1) fonksiyonu, keyfi bir pozitif sayı olan nokta ile bir Fourier serisine genişletin;

2) aralığın açılımını yazın, bir fonksiyon oluşturun ve serinin toplam toplamının grafiğini çizin.

Çözüm: İlk paragrafta sorunun çözülmesi önerildi Genel görünüm ve çok kullanışlı! İhtiyaç duyulursa değerinizi değiştirin.

1) Bu problemde genişleme periyodu yarım periyottur. Sırasında daha fazla eylemlerözellikle entegrasyon sırasında "el" bir sabit olarak kabul edilir

Fonksiyon çifttir, yani Fourier serisine yalnızca kosinüs cinsinden genişletilebilir: .

Formülleri kullanarak Fourier katsayılarını arıyoruz . Koşulsuz avantajlarına dikkat edin. İlk olarak entegrasyon genişlemenin pozitif segmenti üzerinden gerçekleştirilir, bu da modülden güvenli bir şekilde kurtulduğumuz anlamına gelir , iki parçanın yalnızca “X”i dikkate alınarak. İkincisi, entegrasyon gözle görülür şekilde basitleştirildi.

İki:

Parçalara göre integral alalım:

Böylece:
, “en”e bağlı olmayan sabit ise toplamın dışına alınır.

Cevap:

2) Bu amaçla aralığın açılımını yazalım. Genel formül yerine geçmek istenen değer yarım döngü:

Periyodu 2π olan periyodik fonksiyonların Fourier serisi.

Fourier serisi, periyodik fonksiyonları bileşenlerine ayırarak incelememize olanak tanır. Alternatif akımlar ve gerilimler, yer değiştirmeler, krank mekanizmalarının hızı ve ivmesi ile akustik dalgalar tipiktir pratik örnekler Periyodik fonksiyonların mühendislik hesaplamalarına uygulanması.

Fourier serisi açılımı, -π ≤x≤ π aralığında pratik öneme sahip tüm fonksiyonların yakınsak trigonometrik seriler biçiminde ifade edilebileceği varsayımına dayanmaktadır (bir seri, terimlerinden oluşan kısmi toplamlar dizisi yakınsak olarak kabul edilir). yakınsar):

sinx ve cosx'in toplamı yoluyla standart (=sıradan) gösterim

f(x)=a o + a 1 cosx+a 2 cos2x+a 3 cos3x+...+b 1 sinx+b 2 sin2x+b 3 sin3x+...,

burada a o, a 1,a 2,...,b 1,b 2,.. gerçek sabitlerdir, yani

-π ila π aralığı için Fourier serisinin katsayıları aşağıdaki formüller kullanılarak hesaplanır:

a o , a n ve b n katsayılarına denir Fourier katsayıları ve bulunabilirlerse seri (1) çağrılır Fourier'in yanında, f(x) fonksiyonuna karşılık gelir. Seri (1) için (a 1 cosx+b 1 sinx) terimine birinci veya temel harmonik,

Bir dizi yazmanın başka bir yolu da acosx+bsinx=csin(x+α) ilişkisini kullanmaktır.

f(x)=a o +c 1 sin(x+α 1)+c 2 sin(2x+α 2)+...+c n sin(nx+α n)

a o bir sabit olduğunda, c 1 =(a 1 2 +b 1 2) 1/2, c n =(a n 2 +b n 2) 1/2 çeşitli bileşenlerin genlikleridir ve a n =yay a n'ye eşittir /bn.

Seri (1) için (a 1 cosx+b 1 sinx) veya c 1 sin(x+α 1) terimine birinci veya temel harmonik,(a 2 cos2x+b 2 sin2x) veya c 2 sin(2x+α 2) denir ikinci harmonik ve benzeri.

Karmaşık bir sinyali doğru bir şekilde temsil etmek için genellikle sonsuz sayıda terim gerekir. Ancak birçok pratik problemde yalnızca ilk birkaç terimi dikkate almak yeterlidir.

Periyodu 2π olan periyodik olmayan fonksiyonların Fourier serisi.

Periyodik olmayan fonksiyonların genişletilmesi.

Eğer f(x) fonksiyonu periyodik değilse, bu, x'in tüm değerleri için Fourier serisine genişletilemeyeceği anlamına gelir. Ancak 2π genişliğindeki herhangi bir aralıkta bir fonksiyonu temsil eden bir Fourier serisi tanımlamak mümkündür.

Periyodik olmayan bir fonksiyon verildiğinde, f(x)'in değerleri belirli bir aralıkta seçilip bu aralığın dışında 2π aralıklarla tekrarlanarak yeni bir fonksiyon oluşturulabilir. Yeni fonksiyon periyodu 2π olan periyodik olduğundan, x'in tüm değerleri için Fourier serisine genişletilebilir. Örneğin f(x)=x fonksiyonu periyodik değildir. Bununla birlikte, bunu o ila 2π aralığında bir Fourier serisine genişletmek gerekirse, bu aralığın dışında 2π periyoduna sahip bir periyodik fonksiyon oluşturulur (aşağıdaki şekilde gösterildiği gibi).

f(x)=x gibi periyodik olmayan fonksiyonlar için Fourier serilerinin toplamı, belirli bir aralıktaki tüm noktalarda f(x) değerine eşittir, ancak noktalar için f(x) değerine eşit değildir aralığın dışında. 2π aralığında periyodik olmayan bir fonksiyonun Fourier serisini bulmak için aynı Fourier katsayıları formülü kullanılır.

Çift ve tek fonksiyonlar.

y=f(x) fonksiyonunu söylüyorlar eşit, eğer x'in tüm değerleri için f(-x)=f(x) ise. Çift fonksiyonların grafikleri her zaman y eksenine göre simetriktir (yani ayna görüntüleridir). Çift fonksiyonlara iki örnek: y=x2 ve y=cosx.

y=f(x) fonksiyonunun olduğunu söylüyorlar garip, x'in tüm değerleri için f(-x)=-f(x) ise. Tek fonksiyonların grafikleri her zaman orijine göre simetriktir.

Birçok fonksiyon ne çift ne de tektir.

Kosinüslerde Fourier serisi açılımı.

Periyodu 2π olan çift periyodik bir f(x) fonksiyonunun Fourier serisi yalnızca kosinüs terimleri içerir (yani sinüs terimleri yoktur) ve bir sabit terim içerebilir. Buradan,

Fourier serisinin katsayıları nerede,

Periyodu 2π olan tek bir periyodik fonksiyonun f(x) Fourier serisi yalnızca sinüslü terimleri içerir (yani kosinüslü terimleri içermez).

Buradan,

Fourier serisinin katsayıları nerede,

Yarım çevrimde Fourier serileri.

Bir fonksiyon, örneğin 0'dan π'ye kadar ve yalnızca 0'dan 2π'ye kadar olmayan bir aralık için tanımlanmışsa, bir seri halinde yalnızca sinüslerde veya yalnızca kosinüslerde genişletilebilir. Ortaya çıkan Fourier serisine denir Yarım döngüde Fourier yakınında.

Ayrışmayı elde etmek istiyorsanız Kosinüslere göre yarım döngü Fourier f(x) fonksiyonunun 0 ila π aralığında olması durumunda çift periyodik bir fonksiyon oluşturmak gerekir. İncirde. Aşağıda x=0'dan x=π aralığına dayanan f(x)=x fonksiyonu verilmiştir. Çünkü eşit işlev f(x) eksenine göre simetrik olan AB çizgisini Şekil 2'de gösterildiği gibi çizin. altında. Eğer dikkate alınan aralığın dışında elde edilen sonucu varsayarsak üçgen şekli 2π periyoduyla periyodiktir, o zaman son grafik şöyle görünür, göster. incirde. altında. Fourier açılımını kosinüs cinsinden elde etmemiz gerektiğinden, daha önce olduğu gibi Fourier katsayılarını a o ve a n hesaplıyoruz.

Eğer almanız gerekiyorsa Fourier yarım döngü sinüs genişlemesi f(x) fonksiyonunun 0 ila π aralığında olması durumunda tek bir periyodik fonksiyon oluşturmak gerekir. İncirde. Aşağıda x=0'dan x=π aralığına dayanan f(x)=x fonksiyonu verilmiştir. Tek fonksiyon orijine göre simetrik olduğundan, CD çizgisini Şekil 2'de gösterildiği gibi oluşturuyoruz. Dikkate alınan aralığın dışında ortaya çıkan testere dişi sinyalinin 2π periyoduyla periyodik olduğunu varsayarsak, son grafik Şekil 2'de gösterilen forma sahip olur. Yarım döngünün Fourier açılımını sinüs cinsinden elde etmemiz gerektiğinden, daha önce olduğu gibi Fourier katsayısını hesaplıyoruz. B

Keyfi bir aralık için Fourier serileri.

Periyodik bir fonksiyonun L periyodu ile açılımı.

Periyodik fonksiyon f(x), x L kadar arttıkça tekrarlanır; f(x+L)=f(x). Daha önce dikkate alınan 2π periyoduna sahip fonksiyonlardan L periyoduna sahip fonksiyonlara geçiş oldukça basittir, çünkü bu bir değişken değişikliği kullanılarak yapılabilir.

-L/2≤x≤L/2 aralığında f(x) fonksiyonunun Fourier serisini bulmak için, f(x) fonksiyonunun u'ya göre 2π periyoduna sahip olması için yeni bir u değişkeni tanıtıyoruz. u=2πx/L ise u=-π için x=-L/2 ve u=π için x=L/2. Ayrıca f(x)=f(Lu/2π)=F(u) olsun. Fourier serisi F(u) şu şekle sahiptir:

(Entegral limitleri L uzunluğundaki herhangi bir aralıkla değiştirilebilir, örneğin 0'dan L'ye kadar)

L≠2π aralığında belirtilen fonksiyonlar için yarım döngüdeki Fourier serileri.

u=πх/L ikamesi için, x=0'dan x=L'ye kadar olan aralık, u=0'dan u=π'ye kadar olan aralığa karşılık gelir. Sonuç olarak, fonksiyon yalnızca kosinüslerde veya yalnızca sinüslerde bir seriye genişletilebilir; V Yarım çevrimde Fourier serileri.

0'dan L'ye kadar olan aralıktaki kosinüs genişlemesi şu şekildedir:

Periyodu 2p olan çift periyodik bir f(x) fonksiyonunun Fourier serisi yalnızca kosinüslü terimleri içerir (yani sinüslü terimleri içermez) ve bir sabit terim içerebilir. Buradan,

Fourier serisinin katsayıları nerede,

Sinüslerde Fourier serisinin açılımı

Periyodu 2p olan tek bir periyodik fonksiyon f(x)'in Fourier serisi yalnızca sinüslü terimleri içerir (yani kosinüslü terimleri içermez).

Buradan,

Fourier serisinin katsayıları nerede,

Yarım çevrimde Fourier serisi

Eğer bir fonksiyon sadece 0'dan 2p'ye değil de 0'dan p'ye kadar bir aralık için tanımlanmışsa, sadece sinüs veya sadece kosinüs cinsinden bir seriye genişletilebilir. Ortaya çıkan Fourier serisine denir yakın Fourier Açık yarım döngü

Ayrışmayı elde etmek istiyorsanız Fourier Açık yarım döngü İle kosinüs f(x)'in 0 ila p aralığında fonksiyonları varsa, o zaman çift periyodik bir fonksiyon oluşturmak gerekir. İncirde. Aşağıda x = 0 ila x = p aralığına dayanan f(x) = x fonksiyonu verilmiştir. Çift fonksiyon f(x) eksenine göre simetrik olduğundan, Şekil 2'de gösterildiği gibi AB çizgisini çiziyoruz. altında. Dikkate alınan aralığın dışında ortaya çıkan üçgen şeklinin 2p periyotlu periyodik olduğunu varsayarsak, son grafik şöyle görünür: incirde. altında. Fourier açılımını kosinüs cinsinden elde etmemiz gerektiğinden, daha önce olduğu gibi Fourier katsayılarını a o ve a n hesaplıyoruz.

Eğer almanız gerekiyorsa ayrışma Fourier Açık yarım döngü İle sinüsler f(x) fonksiyonlarının 0 ila p aralığında olması durumunda tek bir periyodik fonksiyon oluşturmak gerekir. İncirde. Aşağıda x=0'dan x=p aralığına dayanan f(x) =x fonksiyonu verilmiştir. Tek fonksiyon orijine göre simetrik olduğundan, CD çizgisini Şekil 2'de gösterildiği gibi oluşturuyoruz.

Dikkate alınan aralığın dışında ortaya çıkan testere dişi sinyalinin 2p periyotlu periyodik olduğunu varsayarsak, son grafik Şekil 2'de gösterilen forma sahip olur. Yarım döngünün Fourier açılımını sinüs cinsinden elde etmemiz gerektiğinden, daha önce olduğu gibi Fourier katsayısını hesaplıyoruz. B

Fourier serileri, belirli bir periyoda sahip keyfi bir fonksiyonun seri şeklinde temsilidir. Genel olarak bu çözüme bir elemanın ortogonal temele göre ayrıştırılması denir. Fonksiyonların Fourier serilerine genişletilmesi, entegrasyon, türev alma ve ifadelerin argüman ve evrişim yoluyla değiştirilmesi sırasındaki bu dönüşümün özelliklerinden dolayı çeşitli problemleri çözmek için oldukça güçlü bir araçtır.

Yüksek matematiğe ve Fransız bilim adamı Fourier'in çalışmalarına aşina olmayan bir kişi, büyük olasılıkla bu "dizilerin" ne olduğunu ve ne için gerekli olduklarını anlamayacaktır. Bu arada bu dönüşüm hayatımıza oldukça entegre oldu. Sadece matematikçiler tarafından değil aynı zamanda fizikçiler, kimyagerler, doktorlar, gökbilimciler, sismologlar, oşinograflar ve daha birçok kişi tarafından da kullanılmaktadır. Zamanının ötesinde bir keşif yapan büyük Fransız bilim adamının çalışmalarına da daha yakından bakalım.

İnsan ve Fourier dönüşümü

Fourier serileri (analiz ve diğerleri ile birlikte) yöntemlerden biridir. Bu süreç, kişi her ses duyduğunda gerçekleşir. Kulağımız dönüşümü otomatik olarak gerçekleştirir temel parçacıklar elastik bir ortamda, farklı yükseklikteki tonlar için ardışık ses yüksekliği seviyesi değerlerinin sıraları (spektrum boyunca) düzenlenir. Daha sonra beyin bu verileri aşina olduğumuz seslere dönüştürür. Bütün bunlar bizim arzumuz veya bilincimiz olmadan kendi başına gerçekleşir, ancak bu süreçleri anlamak için yüksek matematik okumak birkaç yıl alacaktır.

Fourier dönüşümü hakkında daha fazla bilgi

Fourier dönüşümü analitik, sayısal ve diğer yöntemler kullanılarak gerçekleştirilebilir. Fourier serileri, okyanus gelgitleri ve ışık dalgalarından güneş (ve diğer astronomik nesnelerin) faaliyet döngülerine kadar her türlü salınım sürecini ayrıştırmanın sayısal yöntemini ifade eder. Bu matematiksel teknikleri kullanarak, herhangi bir salınımlı süreci minimumdan maksimuma ve geriye doğru hareket eden bir dizi sinüzoidal bileşen olarak temsil eden fonksiyonları analiz edebilirsiniz. Fourier dönüşümü, belirli bir frekansa karşılık gelen sinüzoidlerin fazını ve genliğini tanımlayan bir fonksiyondur. Bu işlem, ısı, ışık veya etkisi altında ortaya çıkan dinamik süreçleri tanımlayan çok karmaşık denklemleri çözmek için kullanılabilir. elektrik enerjisi. Ayrıca Fourier serileri, karmaşık salınım sinyallerindeki sabit bileşenlerin izole edilmesini mümkün kılarak tıp, kimya ve astronomide elde edilen deneysel gözlemlerin doğru şekilde yorumlanmasını mümkün kılar.

Tarihsel referans

Bu teorinin kurucu babası Fransız matematikçi Jean Baptiste Joseph Fourier'dir. Bu dönüşüme daha sonra onun adı verildi. Başlangıçta, bilim adamı yöntemini termal iletkenlik mekanizmalarını - ısının yayılımını - incelemek ve açıklamak için kullandı. katılar. Fourier, başlangıçtaki düzensiz dağılımın, her birinin kendi minimum ve maksimum sıcaklığına ve ayrıca kendi fazına sahip olacak basit sinüzoidlere ayrıştırılabileceğini öne sürdü. Bu durumda, bu tür bileşenlerin her biri minimumdan maksimuma ve tam tersi şekilde ölçülecektir. Eğrinin üst ve alt tepe noktalarının yanı sıra her bir harmoniğin fazını tanımlayan matematiksel fonksiyona sıcaklık dağılım ifadesinin Fourier dönüşümü denir. Teorinin yazarı bir araya getirildi genel fonksiyon Matematiksel olarak tanımlanması zor olan dağılım, birlikte orijinal dağılımı veren çok uygun bir kosinüs ve sinüs serisine dönüştürülür.

Dönüşüm ilkesi ve çağdaşların görüşleri

Bilim adamının çağdaşları, on dokuzuncu yüzyılın başlarının önde gelen matematikçileri, bu teoriyi kabul etmediler. Ana itiraz, Fourier'in, düz bir çizgiyi veya süreksiz bir eğriyi tanımlayan süreksiz bir fonksiyonun, sürekli olan sinüzoidal ifadelerin toplamı olarak temsil edilebileceği yönündeki iddiasıydı. Örnek olarak Heaviside adımını düşünün: değeri süreksizliğin solunda sıfır, sağında ise birdir. Bu fonksiyon, devre kapatıldığında elektrik akımının geçici bir değişkene bağımlılığını açıklar. O dönemde teorinin çağdaşları, süreksiz bir ifadenin üstel, sinüs, doğrusal veya ikinci dereceden gibi sürekli, sıradan fonksiyonların bir kombinasyonu ile tanımlandığı benzer bir durumla hiç karşılaşmamışlardı.

Fourier'in teorisi konusunda Fransız matematikçilerin kafasını karıştıran şey neydi?

Sonuçta, eğer matematikçi ifadelerinde haklıysa, o zaman sonsuzu toplayın trigonometrik seri Fourier'e göre, birçok benzer adıma sahip olsa bile bir adım ifadesinin tam bir temsilini elde etmek mümkündür. On dokuzuncu yüzyılın başında böyle bir ifade saçma görünüyordu. Ancak tüm şüphelere rağmen, birçok matematikçi bu fenomenle ilgili çalışmalarının kapsamını genişleterek konuyu termal iletkenlik çalışmasının ötesine taşıdı. Ancak çoğu bilim adamı şu soruyla işkence görmeye devam etti: "Sinüzoidal bir serinin toplamı şuna yakınsabilir mi? Kesin değer süreksiz fonksiyon?

Fourier serilerinin yakınsaklığı: bir örnek

Yakınsaklık sorunu, sonsuz sayı serilerini toplamanın gerekli olduğu her durumda ortaya çıkar. Bu olguyu anlamak için klasik bir örneği düşünün. Sonraki her adım bir öncekinin yarısı kadar olursa duvara ulaşabilecek misiniz? Diyelim ki hedefinizden iki metre uzaktasınız, ilk adım sizi yolun yarısına, sonraki adım dörtte üçüne götürüyor ve beşinci adımdan sonra yolun neredeyse yüzde 97'sini kat etmiş olacaksınız. Ancak ne kadar adım atarsanız atın, kesin matematiksel anlamda amaçladığınız hedefe ulaşamazsınız. Sayısal hesaplamalar kullanılarak, belirli bir mesafeye kadar yaklaşmanın eninde sonunda mümkün olduğu kanıtlanabilir. Bu ispat, yarım, dörtte bir vb. toplamının birliğe yöneleceğini göstermeye eşdeğerdir.

Yakınsama Sorunu: İkinci Geliş veya Lord Kelvin'in Cihazı

Bu konu on dokuzuncu yüzyılın sonunda gelgitlerin yoğunluğunu tahmin etmek için Fourier serilerini kullanmaya çalıştıklarında yeniden gündeme geldi. Bu sırada Lord Kelvin analog olan bir cihaz icat etti. bilgi işlem cihazı askeri ve ticari denizci denizcilerin bu doğal fenomeni takip etmelerine olanak sağladı. Bu mekanizma, yıl boyunca belirli bir limanda dikkatlice ölçülen gelgit yükseklikleri ve bunlara karşılık gelen zaman noktalarından oluşan bir tablodan aşamaları ve genlikleri belirledi. Her parametre gelgit yüksekliği ifadesinin sinüzoidal bir bileşeniydi ve düzenli bileşenlerden biriydi. Ölçümler, bir sonraki yıl için suyun yüksekliğini zamanın bir fonksiyonu olarak tahmin eden bir eğri sentezleyen Lord Kelvin'in hesaplama cihazına aktarıldı. Çok geçmeden dünyanın tüm limanları için benzer eğriler çizildi.

Peki ya süreç süreksiz bir işlev nedeniyle kesintiye uğrarsa?

O zamanlar, çok sayıda sayma elemanına sahip bir gelgit dalgası öngörücünün, çok sayıda fazı ve genliği hesaplayabileceği ve dolayısıyla daha doğru tahminler sağlayabileceği açık görünüyordu. Ancak sentezlenmesi gereken gelgit ifadesinin keskin bir sıçrama içerdiği yani süreksiz olduğu durumlarda bu örüntünün görülmediği ortaya çıktı. Cihaza zaman anları tablosundan veriler girilirse, birkaç Fourier katsayısı hesaplanır. Sinüzoidal bileşenler sayesinde (bulunan katsayılara uygun olarak) orijinal fonksiyon geri yüklenir. Orijinal ifade ile yeniden oluşturulmuş ifade arasındaki tutarsızlık herhangi bir noktada ölçülebilir. Tekrarlanan hesaplamalar ve karşılaştırmalar yapıldığında en büyük hatanın değerinin düşmediği açıktır. Ancak süreksizlik noktasına karşılık gelen bölgede lokalize olurlar ve diğer herhangi bir noktada sıfıra yönelirler. 1899'da bu sonuç Yale Üniversitesi'nden Joshua Willard Gibbs tarafından teorik olarak doğrulandı.

Fourier serilerinin yakınsaması ve genel olarak matematiğin gelişimi

Fourier analizi, belirli bir aralıkta sonsuz sayıda sivri uç içeren ifadelere uygulanamaz. Genel olarak Fourier serileri, eğer orijinal fonksiyon gerçek fonksiyonun sonucuyla temsil ediliyorsa fiziksel boyut, her zaman birleşin. Bu sürecin belirli fonksiyon sınıfları için yakınsamasına ilişkin sorular, matematikte yeni dalların, örneğin genelleştirilmiş fonksiyonlar teorisinin ortaya çıkmasına yol açtı. L. Schwartz, J. Mikusinski ve J. Temple gibi isimlerle anılmaktadır. Bu teori çerçevesinde açık ve kesin bir teorik temel Dirac delta fonksiyonu (bir noktanın sonsuz küçük komşuluğunda yoğunlaşan tek bir alanın bölgesini tanımlar) ve Heaviside “adımı” gibi ifadeler altında. Bu çalışma sayesinde Fourier serisi, sezgisel kavramları içeren denklemlerin ve problemlerin çözümünde uygulanabilir hale geldi: nokta yükü, nokta kütlesi, manyetik dipoller ve bir ışın üzerindeki konsantre yük.

Fourier yöntemi

Fourier serileri girişim ilkelerine uygun olarak karmaşık formların daha basit formlara ayrıştırılmasıyla başlar. Örneğin, ısı akışındaki bir değişiklik, düzensiz şekilli ısı yalıtım malzemesinden yapılmış çeşitli engellerden geçmesi veya dünya yüzeyindeki bir değişiklik - bir deprem, yörüngede bir değişiklik - ile açıklanır. Gök cismi- gezegenlerin etkisi. Kural olarak, basit klasik sistemleri tanımlayan bu tür denklemler, her bir dalga için kolayca çözülebilir. Fourier bunu gösterdi basit çözümler daha karmaşık problemlere çözüm bulmak için de toplanabilir. Matematiksel açıdan Fourier serileri, bir ifadeyi harmoniklerin (kosinüs ve sinüs) toplamı olarak temsil etmeye yönelik bir tekniktir. Bu yüzden bu analiz harmonik analiz olarak da bilinir.

Fourier serisi - “bilgisayar çağından” önce ideal bir teknik

Yaratılıştan önce bilgisayar ekipmanı Fourier tekniği, dünyamızın dalga doğasıyla çalışırken bilim adamlarının cephaneliğindeki en iyi silahtı. Fourier serisi karmaşık biçim sadece karar vermenize izin vermez basit görevler Bunlar Newton'un mekanik yasalarının yanı sıra temel denklemlerin de doğrudan uygulanmasına uygundur. On dokuzuncu yüzyılda Newton biliminin keşiflerinin çoğu yalnızca Fourier'in tekniğiyle mümkün oldu.

Bugün Fourier serisi

Bilgisayarların gelişmesiyle birlikte Fourier dönüşümleri niteliksel olarak yeni bir düzeye yükseldi. Bu teknik, bilim ve teknolojinin neredeyse tüm alanlarında sağlam bir şekilde yerleşmiştir. Bir örnek dijital ses ve videodur. Uygulanması ancak on dokuzuncu yüzyılın başında bir Fransız matematikçinin geliştirdiği bir teori sayesinde mümkün oldu. Böylece karmaşık bir formdaki Fourier serisi, uzay araştırmalarında bir atılım yapmayı mümkün kıldı. Ayrıca yarı iletken malzeme ve plazma fiziği, mikrodalga akustiği, oşinografi, radar ve sismoloji çalışmalarını da etkiledi.

Trigonometrik Fourier serisi

Matematikte Fourier serisi keyfi temsil etmenin bir yoludur. karmaşık işlevler daha basit olanların toplamı. İÇİNDE genel durumlar bu tür ifadelerin sayısı sonsuz olabilir. Üstelik hesaplamada sayıları ne kadar dikkate alınırsa nihai sonuç o kadar doğru olur. Çoğu zaman, kosinüs veya sinüsün trigonometrik fonksiyonları en basitleri olarak kullanılır. Bu durumda Fourier serilerine trigonometrik, bu tür ifadelerin çözümüne ise harmonik genişleme adı verilir. Bu yöntem oynuyor önemli rol Matematikte. Her şeyden önce trigonometrik seri, fonksiyonları tasvir etmek ve incelemek için bir araç sağlar; teorinin ana aracıdır. Ayrıca matematiksel fizikteki bir takım problemleri çözmenize olanak sağlar. Son olarak, bu teori matematik biliminin çok önemli bir dizi dalının (integral teorisi, periyodik fonksiyonlar teorisi) gelişmesine katkıda bulunmuştur. Ayrıca, gerçek bir değişkenin aşağıdaki fonksiyonlarının geliştirilmesi için başlangıç ​​noktası görevi gördü ve aynı zamanda harmonik analizin temelini attı.