Додому Запах із рота Нескінченна геометрична прогресія та її сума. Будьте завжди в настрої

Запах із рота

Нескінченна геометрична прогресія та її сума. Будьте завжди в настрої

Деякі завдання фізики та математики можуть бути вирішені з використанням властивостей числових рядів. Дві найпростіші числові послідовності, які вивчаються в школах, це алгебраїчна та геометрична. У цій статті розглянемо докладніше питання, як знайти суму нескінченної прогресії геометричної спадної.

Прогресія геометрична

Під цими словами розуміють такий ряд дійсних чисел, елементи a i якого задовольняють виразу:

Тут i – номер елемента в ряду, r – постійне число, яке називається знаменником.

Це визначення показує, що, знаючи будь-який член прогресії та його знаменник, можна відновити цілий ряд чисел. Наприклад, якщо відомий 10-й елемент, то розділивши його на r, отримаємо 9-й елемент, потім розділивши ще раз, отримаємо 8-й і так далі. Ці прості міркування дозволяють записати вираз, який справедливий для ряду чисел:

Прикладом прогресії зі знаменником 2 може бути такий ряд:

1, 2, 4, 8, 16, 32, ...

Якщо ж знаменник дорівнюватиме -2, тоді виходить зовсім інший ряд:

1, -2, 4, -8, 16, -32, ...

Прогресія геометрична є набагато швидшою, ніж алгебраїчна, тобто її члени швидко ростуть і швидко зменшуються.

Сума і членів прогресії

Для вирішення практичних завдань часто доводиться обчислювати суму кількох елементів числової послідовності, що розглядається. Для цього випадку справедлива така формула:

S i = a 1 *(r i -1)/(r-1)

Видно, що з обчислення суми i членів необхідно знати лише два числа: a 1 і r, що логічним, оскільки вони однозначно визначають всю послідовність.

Знижена послідовність та сума її членів

Тепер розглянемо окремий випадок. Вважатимемо, що модуль знаменника r не перевищує одиниці, тобто -1

Зменшуючу геометричну прогресію цікаво розглянути, тому що нескінченна сума її членів прагне кінцевого дійсного числа.

Отримаємо формулу суми Це легко зробити, якщо виписати вираз для S i наведеного в попередньому пункті. Маємо:

S i = a 1 *(r i -1)/(r-1)

Розглянемо випадок, коли i->∞. Оскільки модуль знаменника менший за 1, то зведення його в нескінченну міру дасть нуль. Це можна перевірити з прикладу r=0,5:

0,5 2 = 0,25; 0,5 3 = 0,125; ...., 0,5 20 = 0,0000009.

У результаті сума членів нескінченної геометричної прогресії спадної набуває форми:

Ця формула часто використовується на практиці, наприклад, для обчислення площ фігур. Її також застосовують при вирішенні парадоксу Зенона Елейського з черепахою та Ахіллесом.

Очевидно, що розгляд суми нескінченної прогресії геометричної зростаючої (r>1) призведе до результату S ∞ = +∞.

Завдання на перебування першого члена прогресії

Покажемо, як слід застосовувати наведені вище формули на прикладі розв'язання задачі. Відомо, що сума нескінченної геометричної прогресії дорівнює 11. При цьому 7-й її член у 6 разів менший за третій член. Чому дорівнює перший елемент для цього числового ряду?

Для початку випишемо два вирази для визначення 7-го та 3-го елементів. Отримуємо:

Розділивши перший вираз на друге, і висловлюючи знаменник, маємо:

a 7 /a 3 = r 4 => r = 4 √(a 7 /a 3)

Оскільки відношення сьомого та третього членів дано за умови завдання, можна його підставити та знайти r:

r = 4 √(a 7 /a 3) = 4 √(1/6) ≈ 0,63894

Ми розрахували r з точністю п'яти цифр після коми. Оскільки отримане значення менше одиниці, отже, прогресія є спадною, що виправдовує використання формули для її нескінченної суми. Запишемо вираз для першого члена через суму S ∞ :

Підставляємо в цю формулу відомі значення та отримуємо відповідь:

a 1 = 11 * (1-0,63894) = 3,97166.

Знаменитий парадокс Зенона зі швидким Ахіллесом та повільною черепахою

Зенон Елейський - відомий грецький філософ, який жив у V столітті до н. е. До цього часу дійшли ряд його апогей чи парадоксів, у яких формулюється проблема нескінченно великого і нескінченно малого математики.

Одним із відомих парадоксів Зенона є змагання Ахіллеса та черепахи. Зенон вважав, що якщо Ахіллес надасть деяку перевагу черепасі на відстані, то він ніколи не зможе її наздогнати. Наприклад, нехай Ахіллес біжить у 10 разів швидше, ніж повзе тварина, яка для прикладу знаходиться на відстані 100 метрів попереду неї. Коли воїн пробіжить 100 метрів, черепаха відповзе на 10. Пробігши знову 10 метрів, Ахіллес побачить, що черепаха відповзла ще на 1 метр. Розмірковувати так можна до нескінченності, відстань між тими, хто змагається, дійсно зменшуватиметься, але черепаха завжди буде знаходитися попереду.

Привів Зенона до висновку, що руху не існує, і всі навколишні переміщення об'єктів – це ілюзія. Звісно ж, давньогрецький філософ помилявся.

Рішення феномена полягає в тому, що нескінченна сума відрізків, що постійно зменшуються, прагне до кінцевого числа. У наведеному вище випадку для відстані, яку пробіг Ахіллес, отримаємо:

100 + 10 + 1 + 0,1 + 0,01 + ...

Застосовуючи формулу суми нескінченної прогресії геометричної, отримаємо:

S ∞ = 100 /(1-0,1) ≈ 111,111 метрів

Цей результат показує, що Ахіллес наздожене черепаху, коли вона проповзе лише 11,111 метрів.

Стародавні греки не вміли працювати з нескінченними величинами математики. Однак цей парадокс можна дозволити, якщо звернути увагу не на нескінченну кількість проміжків, які має подолати Ахіллес, а на кінцеву кількість кроків бігуна, необхідних для досягнення мети.

Мета уроку: ознайомлення учнів з новим видом послідовності – нескінченно спадаючою геометричною прогресією.
Завдання:
формулювання початкового ставлення до межі числової послідовності;
знайомство з ще одним способом обігу нескінченних періодичних дробів у звичайні за допомогою формули суми нескінченно спадної геометричної прогресії;
розвиток інтелектуальних якостей особистості школярів такі, як логічне мислення, здатність до оцінних дій, узагальнення;
виховання активності, взаємодопомоги, колективізму, інтересу до предмета.

Завантажити:

Попередній перегляд:

Урок на тему "Нескінченна спадна геометрична прогресія" (алгебра, 10кл.)

Мета уроку: ознайомлення учнів з новим видом послідовності – нескінченно спадаючою геометричною прогресією.

Завдання:

формулювання початкового ставлення до межі числової послідовності; знайомство з ще одним способом обігу нескінченних періодичних дробів у звичайні за допомогою формули суми нескінченно спадної геометричної прогресії;

розвиток інтелектуальних якостей особистості школярів такі, як логічне мислення, здатність до оцінних дій, узагальнення;

виховання активності, взаємодопомоги, колективізму, інтересу до предмета.

Обладнання: комп'ютерний клас, проектор, екран.

Тип уроку: урок - засвоєння нової теми.

Хід уроку

I. Орг. момент. Повідомлення теми та мети уроку.

ІІ. Актуалізація знань учнів.

У 9 класі ви вивчали арифметичну та геометричну прогресії.

Запитання

1. Визначення арифметичної прогресії.

(Арифметичною прогресією називається послідовність, кожен член якої,

Починаючи з другого, дорівнює попередньому члену, складеному з тим самим числом).

2. Формула n -го члена арифметичної прогресії

3. Формула суми перших n членів арифметичної прогресії.

( або )

4. Визначення геометричної прогресії.

(Геометричною прогресією називається послідовність відмінних від нуля чисел,

Кожен член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому члену, помноженому на

Одне й те число).

5. Формула n -го члена геометричної прогресії

6. Формула суми перших n членів геометричної прогресії.

7. Які формули ви знаєте?

(, Де ; ;

; , )

Завдання

1. Арифметична прогресія задана формулою a n = 7 - 4n. Знайдіть a 10 . (-33)

2. В арифметичній прогресії a 3 = 7 та a 5 = 1 . Знайдіть a4. (4)

3. В арифметичній прогресії a 3 = 7 та a 5 = 1 . Знайдіть a17. (-35)

4. В арифметичній прогресії a 3 = 7 та a 5 = 1 . Знайдіть S 17 . (-187)

5. Для геометричної прогресіїзнайдіть п'ятий член.

6. Для геометричної прогресіїзнайдіть n-й член.

7. У геометричній прогресії b 3 = 8 та b 5 = 2 . Знайдіть b 4 . (4)

8. У геометричній прогресії b 3 = 8 та b 5 = 2 . Знайдіть b 1 і q.

9. У геометричній прогресії b 3 = 8 та b 5 = 2 . Знайдіть S 5 . (62)

ІІІ. Вивчення нової теми(Демонстрація презентації).

Розглянемо квадрат зі стороною, що дорівнює 1. Намалюємо ще один квадрат, сторона якого дорівнює половині першого квадрата, потім ще один, сторона якого половина другого, потім наступний і т.д. Щоразу сторона нового квадрата дорівнює половині попереднього.

В результаті, ми отримали послідовність сторін квадратівутворюють геометричну прогресію зі знаменником.

І, що дуже важливо, чим більше ми будуватимемо таких квадратів, тим менше буде сторона квадрата.Наприклад,

Тобто. зі зростанням номера n члени прогресії наближаються до нуля.

За допомогою цього малюнка можна розглянути ще одну послідовність.

Наприклад, послідовність площ квадратів:

І, знову, якщо n необмежено зростає, то площа, як завгодно близько наближається до нуля.

Розглянемо ще один приклад. Рівносторонній трикутник із стороною рівною 1см. Побудуємо наступний трикутник з вершинами в серединах сторін 1-го трикутника, за теоремою про середню лінію трикутника - сторона 2-го дорівнює половині сторони першого, сторона 3-го - половині сторони 2-го і т.д. Знову отримуємо послідовність довжин сторін трикутників.

При .

Якщо розглянути геометричну прогресію з негативним знаменником.

Те, знову, зі зростанням номера n члени прогресії наближаються до нуля.

Звернімо увагу на знаменники цих послідовностей. Скрізь знаменники були менше 1 за модулем.

Можна зробити висновок: геометрична прогресія буде нескінченно спадаючою, якщо модуль її знаменника менше 1.

Фронтальна робота

Визначення:

Геометрична прогресіяназивається нескінченно спадною, якщо модуль її знаменника менше одиниці..

За допомогою визначення можна вирішити питання про те, чи є геометрична прогресія нескінченно спадаючою чи ні.

Завдання

Чи є послідовність нескінченно спадаючою геометричною прогресією, якщо вона задана формулою:

Рішення:

Знайдемо q.

; ; ; .

дана геометрична прогресія є нескінченно спадною.

б) дана послідовність не є нескінченно спадною геометричною прогресією.

Розглянемо квадрат зі стороною, що дорівнює 1. Розділимо його навпіл, одну з половинок ще навпіл і т.д. площі всіх отриманих прямокутників при цьому утворюють нескінченно спадну геометричну прогресію:

Сума площ всіх отриманих таким чином прямокутників дорівнюватиме площі 1-го квадрата і дорівнює 1.

Але в лівій частині цієї рівності – сума нескінченного числа доданків.

Розглянемо суму n перших доданків.

За формулою суми n перших членів геометричної прогресії вона дорівнює.

Якщо n необмежено зростає, то

або . Тому, тобто. .

Сума нескінченно спадної геометричної прогресіїє межа послідовності S 1, S 2, S 3, …, S n, ….

Наприклад, для прогресії,

маємо

Бо

Суму нескінченно спадної геометричної прогресіїможна знаходити за формулою.

ІІІ. Осмислення та закріплення(Виконання завдань).

№13; №14; №15(1,3); №16(1,3); №18(1,3); №19; №20.

IV. Підбиття підсумків.

З якою послідовністю сьогодні познайомились?

Дайте визначення нескінченно спадної геометричної прогресії.

Як довести, що геометрична прогресія є нескінченно спадаючою?

Назвіть формулу суми нескінченно спадної геометричної прогресії.

V. Домашнє завдання.

2. № 15(2,4); №16(2,4); 18(2,4).

Попередній перегляд:

Щоб скористатися попереднім переглядом презентацій, створіть собі обліковий запис Google і увійдіть до нього: https://accounts.google.com

Підписи до слайдів:

Думати послідовно, судити доказово, спростовувати неправильні висновки має вміти кожен: фізик і поет, тракторист і хімік. Е.Кольман У математиці слід пам'ятати не формули, а процеси мислення. В.П.Ермаков Легше знайти квадратуру кола, ніж перехитрити математику. Огастес де Морган Яка наука може бути благородніша, чудовіша, корисніша для людства, ніж математика? Франклін

Нескінченна спадна геометрична прогресія 10 клас

I. Арифметична та геометрична прогресії. Запитання 1. Визначення арифметичної прогресії. Арифметичною прогресією називається послідовність, кожен член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому члену, складеному з тим самим числом. 2. Формула n-го члена арифметичної прогресії. 3. Формула суми перших n членів арифметичної прогресії. 4. Визначення геометричної прогресії. Геометричною прогресією називається послідовність відмінних від нуля чисел, кожен член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому члену, помноженому на те саме число 5. Формула n -го члена геометричної прогресії. 6. Формула суми перших n членів геометричної прогресії.

II. Арифметична прогресія. Арифметична прогресія задана формулою a n = 7 – 4 n Знайдіть a 10 . (-33) 2. В арифметичній прогресії a 3 = 7 та a 5 = 1 . Знайдіть a4. (4) 3. В арифметичній прогресії a 3 = 7 та a 5 = 1 . Знайдіть a17. (-35) 4. В арифметичній прогресії a 3 = 7 та a 5 = 1 . Знайдіть S 17 . (-187)

II. Геометрична прогресія. Завдання 5. Для геометричної прогресії знайдіть п'ятий член 6. Для геометричної прогресії знайдіть n-й член. 7. У геометричній прогресії b 3 = 8 та b 5 = 2 . Знайдіть b 4 . (4) 8. У геометричній прогресії b 3 = 8 і b 5 = 2 . Знайдіть b 1 і q. 9. У геометричній прогресії b 3 = 8 та b 5 = 2 . Знайдіть S 5 . (62)

Визначення: Геометрична прогресія називається нескінченно спадною, якщо модуль її знаменника менше одиниці.

Завдання №1 Чи є послідовність нескінченно спадаючою геометричною прогресією, якщо вона задана формулою: Рішення: а) дана геометрична прогресія є нескінченно спадаючою. б) дана послідовність не є нескінченно спадною геометричною прогресією.

Сума нескінченно спадної геометричної прогресії є межа послідовності S 1 , S 2 , S 3 , …, S n , … . Наприклад, для прогресії маємо Так як Суму нескінченно спадної геометричної прогресії можна знаходити за формулою

Виконання завдань Знайти суму нескінченно спадної геометричної прогресії з першим членом 3, другим 0,3. 2. №13; №14; підручник, стор 138 3. №15 (1; 3); №16(1;3) №18(1;3); 4. №19; №20.

З якою послідовністю сьогодні познайомились? Дайте визначення нескінченно спадної геометричної прогресії. Як довести, що геометрична прогресія є нескінченно спадаючою? Назвіть формулу суми нескінченно спадної геометричної прогресії. Запитання

Відомий польський математик Гуго Штейнгаус жартівливо стверджує, що є закон, який формулюється так: математик зробить це краще. А саме, якщо доручити двом людям, один із яких математик, виконання будь-якої незнайомої їм роботи, то результат завжди буде наступним: математик зробить її кращою. Гуго Штейнгаус 14.01.1887-25.02.1972

ЧИСЛОВІ НАСЛІДКИ VI

§ l48. Сума нескінченно спадної геометричної прогресії

Досі, говорячи про суми, ми завжди припускали, що кількість доданків у цих сумах звичайно (наприклад, 2, 15, 1000 і т. д.). Але при вирішенні деяких завдань (особливо вищої математики) доводиться стикатися і з сумами нескінченної кількості доданків

S = a 1 + a 2 + ... + a n + ... . (1)

Що ж являють собою такі суми? За визначенням сумою нескінченного числа доданків a 1 , a 2 , ..., a n , ... називається межа суми S n перших п чисел, коли п -> ∞ :

S = S n = (a 1 + a 2 + ... + a n ). (2)

Межа (2), звісно, може існувати, а може й не існувати. Відповідно до цього кажуть, що сума (1) існує чи не існує.

Як з'ясувати, чи існує сума (1) у кожному конкретному випадку? Загальне рішенняце питання виходить далеко за межі нашої програми. Однак існує один важливий окремий випадок, який ми маємо зараз розглянути. Йтиметься про підсумовування членів нескінченно спадної геометричної прогресії.

Нехай a 1 , a 1 q , a 1 q 2 , ...- нескінченно спадна геометрична прогресія. Це означає, що | q |< 1. Сумма первых п членів цієї прогресії дорівнює

З основних теорем про межі змінних величин (див. § 136) отримуємо:

Але 1 = 1, a q n = 0. Тому

Отже, сума нескінченно спадної геометричної прогресії дорівнює першому члену цієї прогресті, поділеному на одиницю мінус знаменник цієї прогресії.

1) Сума геометричної прогресії 1, 1/3, 1/9, 1/27, ... дорівнює

а сума геометричної прогресії 12; -6; 3; - 3 / 2, ... дорівнює

2) Простий періодичний дріб 0,454545... звернути у звичайний.

Для вирішення цього завдання представимо цей дріб у вигляді нескінченної суми:

Права частинацієї рівності є сумою нескінченно спадної геометричної прогресії, перший член якої дорівнює 45/100, а знаменник 1/100. Тому

Описаним способом може бути отримано та загальне правилообігу простих періодичних дробів у звичайні (див. гл. II, § 38):

Для обігу простого періодичного дробу до звичайного потрібно вчинити так: у чисельнику поставити період десяткового дробу, а знаменнику - число, що складається з дев'яток, взятих стільки разів, скільки знаків у періоді десяткового дробу.

3) Змішаний періодичний дріб 0,58333.... звернути у звичайний.

Представимо цей дріб у вигляді нескінченної суми:

У правій частині цієї рівності всі складові, починаючи з 3/1000, утворюють нескінченно спадаючу геометричну прогресію, перший член якої дорівнює 3/1000, а знаменник 1/10. Тому

Описаним способом може бути отримано і загальне правило обігу змішаних періодичних дробів у прості (див. гл. II, § 38). Ми свідомо не наводимо його тут. Запам'ятовувати це громіздке правило не потрібно. Набагато корисніше знати, що будь-який змішаний періодичний дріб можна представити у вигляді суми нескінченно спадної геометричної прогресії та деякого числа. А формулу

для суми нескінченно спадної геометричної прогресії потрібно, звичайно, пам'ятати.

Як вправу пропонуємо вам, окрім наведених нижче завдань № 995-1000, ще раз звернутися до задачі № 301 § 38 .

Вправи

995. Що називається сумою нескінченно спадної геометричної прогресії?

996. Знайти суми нескінченно спадних геометричних прогресій:

997. При яких значеннях х прогресія

є нескінченно спадаючою? Знайти суму такої прогресії.

998. У рівносторонній трикутник зі стороною а вписаний за допомогою з'єднання середин його сторін новий трикутник; у цей трикутник тим самим способом вписаний новий трикутник і так далі до нескінченності.

а) суму периметрів усіх цих трикутників;

б) суму їх площ.

999. У квадрат зі стороною а вписаний шляхом з'єднання середин його сторін новий квадрат; у цей квадрат так само вписаний квадрат і так далі до нескінченності. Знайти суму периметрів усіх цих квадратів та суму їх площ.

1000. Скласти нескінченно спадаючу геометричну прогресію, таку, щоб сума її дорівнювала 25/4, а сума квадратів її членів дорівнювала 625/24.

Початковий рівень

Геометрична прогресія. Вичерпний гідз прикладами (2019)

Числова послідовність

Отже, сядемо і почнемо писати якісь числа. Наприклад:

Писати можна будь-які числа, і може бути скільки завгодно (у разі їх). Скільки б чисел ми не написали, ми завжди можемо сказати, яке з них перше, яке друге і так далі до останнього, тобто можемо їх пронумерувати. Це і є приклад числової послідовності:

Числова послідовність- це безліч чисел, кожному з яких можна надати унікальний номер.

Наприклад, для нашої послідовності:

Присвоєний номер характерний лише однієї числа послідовності. Іншими словами, у послідовності немає трьох других чисел. Друге число (як і число) завжди одне.

Число з номером називається м'яним членом послідовності.

Всю послідовність ми зазвичай називаємо якоюсь літерою (наприклад,), і кожен член цієї послідовності - тією ж літерою з індексом, що дорівнює номеру цього члена: .

У нашому випадку:

Найпоширеніші види прогресії це арифметична та геометрична. У цій темі ми поговоримо про другий вид - геометричній прогресії.

Навіщо потрібна геометрична прогресія та її історія виникнення.

Ще в давнину італійський математик монах Леонардо з Пізи (відоміший під ім'ям Фібоначчі) займався вирішенням практичних потреб торгівлі. Перед ченцем стояло завдання визначити, за допомогою якої найменшої кількості гир можна зважити товар? У своїх працях Фібоначчі доводить, що оптимальною є така система гир: Це одна з перших ситуацій, в якій людям довелося зіткнутися з геометричною прогресією, про яку ти напевно чув і маєш хоча б загальне поняття. Як тільки повністю розберешся в темі, подумай, чому така система оптимальна?

В даний час, у життєвій практиці, геометрична прогресія проявляється при вкладенні коштів у банк, коли сума відсотків нараховується на суму, що накопичилася на рахунку за попередній період. Іншими словами, якщо покласти гроші на терміновий внесок у ощадний банк, то через рік вклад збільшиться від вихідної суми, тобто. нова сума дорівнюватиме вкладу, помноженому на. Ще за рік вже ця сума збільшиться, тобто. сума, що вийшла в той раз, знову помножиться на і так далі. Подібна ситуація описана у завданнях на обчислення так званих складних відсотків- відсоток береться щоразу від суми, що є на рахунку з урахуванням попередніх відсотків. Про ці завдання ми поговоримо трохи згодом.

Є ще багато простих випадків, де застосовується геометрична прогресія. Наприклад, поширення грипу: одна людина заразила людина, ті у свою чергу заразили ще по людину, і таким чином друга хвиля зараження – людина, а ті у свою чергу заразили ще … і так далі…

До речі, фінансова піраміда, та сама МММ - це простий і сухий розрахунок за властивостями геометричної прогресії. Цікаво? Давай розбиратись.

Геометрична прогресія.

Допустимо, у нас є числова послідовність:

Ти одразу відповиш, що це легко і ім'я такої послідовності - арифметична прогресія з різницею її членів. А як щодо такого:

Якщо ти будеш віднімати з наступного числа попереднє, то ти побачиш, що кожного разу виходить нова різниця (і т.д.), але послідовність безперечно існує і її неважко помітити - кожне наступне число в рази більше за попереднє!

Такий вид числової послідовності називається геометричною прогресієюта позначається.

Геометрична прогресія ( ) - це числова послідовність, перший член якої відмінний від нуля, а кожен член, починаючи з другого, дорівнює попередньому, помноженому на те саме число . Це число називають знаменником геометричної прогресії.

Обмеження, що член ( ) не дорівнює і випадкові. Припустимо, що їх немає, і перший член все ж таки дорівнює, а q рівно, хм.. нехай, тоді виходить:

Погодься, що це вже ніяка не прогресія.

Як ти розумієш, ті самі результати ми отримаємо, якщо буде будь-яким числом, відмінним від нуля, а. У цих випадках прогресії просто не буде, тому що весь числовий ряд будуть або всі нулі або одне число, а всі інші нулі.

Тепер поговоримо докладніше про знаменника геометричної прогресії, тобто о.

Повторимо: - це число, у скільки разів змінюється кожен наступний членгеометричної прогресії.

Як ти гадаєш, яким може бути? Правильно, позитивним та негативним, але не нулем (ми говорили про це трохи вище).

Припустимо, що ми маємо позитивне. Нехай у нашому випадку, а. Чому дорівнює другий член і? Ти легко відповиш, що:

Все правильно. Відповідно, якщо всі наступні члени прогресії мають однаковий знак - вони позитивні.

А якщо негативне? Наприклад, а. Чому дорівнює другий член і?

Це вже зовсім інша історія

Спробуй порахувати член цієї прогресії. Скільки у тебе вийшло? В мене. Таким чином, якщо знаки членів геометричної прогресії чергуються. Тобто, якщо ти побачиш прогресію, з знаками, що чергуються у її членів, значить її знаменник на негативний. Це знання може допомогти тобі перевіряти себе під час вирішення завдань на цю тему.

Тепер трохи потренуємося: спробуй визначити, які числові послідовності є геометричною прогресією, а які арифметичною:

Розібрався? Порівняємо наші відповіді:

Геометрична прогресія – 3, 6.
Арифметична прогресія – 2, 4.
Не є ні арифметичною, ні геометричною прогресією – 1, 5, 7.

Повернемося до нашої останньої прогресії, а спробуємо так само як і в арифметичній знайти її член. Як ти вже здогадуєшся, є два способи його знаходження.

Послідовно множимо кожен член.

Отже, -ой член описаної геометричної прогресії дорівнює.

Як ти вже здогадуєшся, зараз ти сам виведеш формулу, яка допоможе тобі знайти будь-який член геометричної прогресії. Або ти її вже вивів для себе, розписуючи, як поетапно знаходити член? Якщо так, то перевір правильність твоїх міркувань.

Проілюструємо це з прикладу знаходження -го члена даної прогресії:

Іншими словами:

Знайди самостійно значення члена заданої геометричної прогресії.

Вийшло? Порівняємо наші відповіді:

Зверніть увагу, що в тебе вийшло таке ж число, як і в попередньому способі, коли ми послідовно множили на кожен попередній член геометричної прогресії.
Спробуємо «знеособити» цю формулу- Наведемо її в загальний вигляд і отримаємо:

Виведена формула правильна всім значень - як позитивних, і негативних. Перевір це самостійно, розрахувавши і члени геометричної прогресії зі наступними умовами: , а.

Порахував? Порівняємо отримані результати:

Погодься, що знаходити член прогресії можна було б так само як і член, проте є ймовірність неправильно порахувати. А якщо ми знайшли вже член геометричної прогресії, то що може бути простіше, ніж скористатися «обрізаною» частиною формули.

Нескінченна спадна геометрична прогресія.

Зовсім недавно ми говорили про те, що може бути як більше, так і менше нуля, однак є особливі значення при яких геометрична прогресія називається нескінченно спадаючою.

Як ти вважаєш, чому така назва?
Для початку запишемо якусь геометричну прогресію, що складається з членів.
Допустимо, а, тоді:

Ми бачимо, що кожен наступний член менший за попередній у рази, але чи буде якесь число? Ти одразу відповиш – «ні». Ось тому і нескінченно спадаюча - зменшується, зменшується, а банкрутом ніколи не стає.

Щоб чітко зрозуміти, як це виглядає візуально, спробуємо намалювати графік нашої прогресії. Отже, для нашого випадку формула набуває наступного вигляду:

На графіках нам звично будувати залежність від, тому:

Суть висловлювання не змінилася: у першому записі в нас була показана залежність значення члена геометричної прогресії від його порядкового номера, а у другому записі - ми просто набули значення члена геометричної прогресії за, а порядковий номер позначили не як, а як. Все, що залишилося зробити – побудувати графік.
Побачимо, що в тебе вийшло. Ось який графік вийшов у мене:

Бачиш? Функція зменшується, прагне до нуля, але ніколи його не перетне, тому вона нескінченно спадає. Зазначимо на графіку наші точки, а заразом і те, що означає координата і:

Спробуй схематично зобразити графік геометричної прогресії, якщо перший її член також дорівнює. Проаналізуй, у чому різниця з нашим попереднім графіком?

Впорався? Ось який графік вийшов у мене:

Тепер, коли ти повністю розібрався в основах теми геометричної прогресії: знаєш, що це таке, знаєш, як знайти її член, а також знаєш, що таке геометрична прогресія, що нескінченно убуває, перейдемо до її основної властивості.

Властивість геометричної прогресії.

Пам'ятаєш властивість членів арифметичної прогресії? Так, так, як визначити значення певної кількості прогресії, коли є попереднє і наступне значення членів цієї прогресії. Згадав? Ось це:

Тепер перед нами стоїть таке саме питання для членів геометричної прогресії. Щоб вивести подібну формулу, давай почнемо малювати та міркувати. Ось побачиш, це дуже легко, і якщо ти забудеш, зможеш вивести її самостійно.

Візьмемо ще одну просту геометричну прогресію, в якій нам відомі та. Як знайти? За арифметичної прогресії це легко і просто, а як тут? Насправді в геометричній теж немає нічого складного – необхідно просто розписати за формулою кожне дане нам значення.

Ти спитаєш, і що тепер нам із цим робити? Так, дуже просто. Для початку зобразимо дані формули на малюнку і спробуємо зробити з ними різні маніпуляції, щоб прийти до значення.

Абстрагуємося від чисел, які ми маємо, зосередимося лише з їхньому вираженні через формулу. Нам необхідно знайти значення, виділене помаранчевим кольором, знаючи сусідні з ним члени. Спробуємо зробити з ними різні дії, внаслідок яких ми зможемо отримати.

Додавання.
Спробуємо скласти два вирази і ми отримаємо:

З цього виразу, як ти бачиш, ми ніяк не зможемо висловити, отже, пробуватимемо інший варіант - віднімання.

Віднімання.

Як ти бачиш, з цього ми теж не можемо висловити, отже спробуємо помножити дані вирази один на одного.

множення.

А тепер подивися уважно, що ми маємо, перемножуючи дані нам члени геометричної прогресії порівняно з тим, що необхідно знайти:

Здогадався про що я говорю? Правильно, щоб знайти нам необхідно взяти квадратний коріньвід перемножених один на одного сусідніх із шуканим чисел геометричної прогресії:

Ну от. Ти сам вивів властивість геометричної прогресії. Спробуй записати цю формулу в загальному вигляді. Вийшло?

Забув умову за? Подумай, чому воно важливо, наприклад, спробуй самостійно прорахувати, коли. Що вийде у цьому випадку? Правильно, повна дурість оскільки формула виглядає так:

Відповідно, не забувай це обмеження.

Тепер порахуємо, чому ж одно

Правильна відповідь -! Якщо ти під час розрахунку не забув друге можливе значення, то ти великий молодець і відразу можеш переходити до тренування, а якщо забув - прочитай те, що розібрано далі і зверни увагу, чому у відповіді необхідно записувати обидва корені.

Намалюємо обидві наші геометричні прогресії - одну зі значенням, а іншу зі значенням і перевіримо, чи обидві з них мають право на існування:

Щоб перевірити, чи існує така геометрична прогресія чи ні, необхідно подивитися, чи однакове між усіма її заданими членами? Розрахуй q для першого та другого випадку.

Бачиш, чому ми маємо писати дві відповіді? Тому що знак у члена, що шукається, залежить від того, який - позитивний або негативний! Оскільки ми не знаємо, який він, нам необхідно писати обидві відповіді і з плюсом, і з мінусом.

Тепер, коли ти засвоїв основні моменти та вивів формулу на властивість геометричної прогресії, знайди, знаючи та

Порівняй отримані відповіді з правильними:

Як ти думаєш, а якби нам були дані не сусідні з шуканим числом значення членів геометричної прогресії, а віддалені від нього. Наприклад, нам необхідно знайти, а дані і. Чи можемо ми використовувати виведену нами формулу? Спробуй так само підтвердити або спростувати цю можливість, розписуючи з чого складається кожне значення, як ти робив, виводячи спочатку формулу, при.
Що в тебе вийшло?

Тепер знову поглянь уважно.
і, відповідно:

З цього ми можемо зробити висновок, що формула працює не тільки при сусідніхз шуканими членами геометричної прогресії, але й рівновіддаленимивід шуканого членами.

Таким чином, наша первісна формула набуває вигляду:

Тобто, якщо в першому випадку ми говорили, що, то зараз ми говоримо, що може дорівнювати будь-кому натуральному числу, Що менше. Головне, щоб був однаковим для обох заданих чисел.

Потренуйся на конкретних прикладах, тільки будь дуже уважний!

, . Знайти.
, . Знайти.
, . Знайти.

Вирішив? Сподіваюся, ти був дуже уважний і помітив невелику каверзу.

Порівнюємо результати.

У перших двох випадках ми спокійно застосовуємо вищеописану формулу та отримуємо наступні значення:

У третьому випадку при уважному розгляді порядкових номерівданих нам чисел, ми розуміємо, що вони не рівновіддалені від шуканого нами числа: є попереднім числом, а видалена на позиції, таким чином застосувати формулу не надається можливим.

Як її вирішувати? Насправді, це не так складно, як здається! Давай з тобою розпишемо, з чого складається кожне дане нам і шукане число.

Отже, у нас є в. Побачимо, що з ними можна зробити? Пропоную поділити на. Отримуємо:

Підставляємо у формулу наші дані:

Наступним кроком ми можемо знайти – для цього нам необхідно взяти кубічний корінь із отриманого числа.

А тепер дивимося ще раз, що у нас є. У нас є, а знайти нам необхідно, а він, у свою чергу, дорівнює:

Усі необхідні дані для підрахунку ми знайшли. Підставляємо у формулу:

Наша відповідь: .

Спробуй вирішити ще одне таке завдання самостійно:
Дано: ,
Знайти:

Скільки у тебе вийшло? У мене -.

Як ти бачиш, по суті, тобі потрібно запам'ятати лише одну формулу- . Всі інші ти без будь-якої праці можеш вивести самостійно будь-якої миті. Для цього просто напиши на листку найпростішу геометричну прогресію і розпиши, чому згідно з вищеописаною формулою дорівнює кожне її число.

Сума членів геометричної прогресії.

Тепер розглянемо формули, які дозволяють швидко порахувати суму членів геометричної прогресії в заданому проміжку:

Щоб вивести формулу суми членів кінцевої геометричної прогресії, помножимо всі частини вищого рівняння. Отримаємо:

Подивися уважно: що спільного в останніх двох формулах? Правильно, спільні члени, наприклад, і так далі, крім першого та останнього члена. Давай спробуємо відняти з 2-го рівняння перше. Що в тебе вийшло?

Тепер вирази через формулу члена геометричної прогресії і підстави отриманий вираз у нашу останню формулу:

Згрупуй вираз. У тебе має вийти:

Все, що залишилося зробити – висловити:

Відповідно, у цьому випадку.

А що коли? Яка формула працює тоді? Уяви собі геометричну прогресію при. Що вона собою являє? Правильно ряд однакових чисел, відповідно формула виглядатиме так:

Як і з арифметичної, і по геометричній прогресії існує безліч легенд. Одна з них - легенда про Сет, творця шахів.

Багато хто знає, що шахова гра була придумана в Індії. Коли індуський цар познайомився з нею, він був захоплений її дотепністю та різноманітністю можливих у ній положень. Дізнавшись, що вона винайдена одним із його підданих, цар вирішив особисто нагородити його. Він викликав винахідника до себе і наказав просити у нього все, що він забажає, пообіцявши виконати навіть найвправніше бажання.

Сета попросив час на роздуми, а коли другого дня Сета з'явився до царя, він здивував царя безприкладною скромністю свого прохання. Він попросив видати за першу клітку шахівниці пшеничне зерно, за другу пшеничні зерна, за третю, за четверту і т.д.

Цар розгнівався і прогнав Сета, сказавши, що прохання слуги недостойне царської щедрості, але пообіцяв, що слуга отримає свої зерна за всі клітини дошки.

А тепер питання: використовуючи формулу суми членів геометричної прогресії, вважай, скільки зерен має отримати Сета?

Почнемо міркувати. Оскільки за умовою за першу клітинку шахівниці Сета попросив пшеничне зерно, за другу, за третю, за четверту і т.д., то ми бачимо, що в задачі йдеться про геометричну прогресію. Чому одно в цьому випадку?
Правильно.

Усього клітин шахівниці. Відповідно, . Всі дані у нас є, залишилося лише підставити у формулу та порахувати.

Щоб уявити хоча б приблизно «масштаби» даного числа, перетворюємо, використовуючи властивості ступеня:

Звичайно, якщо ти хочеш, то можеш взяти калькулятор і порахувати, що за число в результаті в тебе вийде, а якщо ні, доведеться повірити мені на слово: підсумковим значенням виразу буде.
Тобто:

квінтильйонів квадрильйонів трильйона мільярда мільйонів тисяч.

Фух) Якщо хочете уявити собі величезність цього числа, то прикиньте, якої величини комору знадобився б для вміщення всієї кількості зерна.
При висоті комори м і шириною м довжина його мала б простягатися на км, - тобто. удвічі далі, ніж від Землі до Сонця.

Якби цар був би сильний у математиці, то він міг би запропонувати самому вченому відраховувати зерна, адже щоб відрахувати мільйон зерен, йому знадобилося б не менше доби невпинного рахунку, а враховуючи, що необхідно відрахувати квінтильйонів, зерна довелося б відраховувати все життя.

А тепер вирішимо просте завдання на суму членів геометричної прогресії.
Учень 5 А класу Вася, захворів на грип, але продовжує ходити до школи. Щодня Вася заражає двох людей, які, своєю чергою, заражають ще двох і так далі. Загалом у класі людина. Через скільки днів на грип хворітиме весь клас?

Отже, перший член геометричної прогресії – це Вася, тобто людина. -ой член геометричної прогресії, це ті дві людини, яких він заразив у перший день свого приходу. Загальна сумачленів прогресії дорівнює кількості учнів 5А. Відповідно, ми говоримо про прогресію, в якій:

Підставимо наші дані у формулу суми членів геометричної прогресії:

Весь клас занедужає за дні. Не віриш формулам та числам? Спробуй зобразити зараження учнів самостійно. Вийшло? Дивись, як це виглядає у мене:

Порахуй самостійно, за скільки днів учні захворіли б на грип, якби кожен заражав по людині, а в класі навчалася людина.

Яке значення в тебе вийшло? У мене вийшло, що всі почали хворіти через день.

Як ти бачиш, подібне завдання та малюнок до неї нагадує піраміду, в якій кожен наступний «наводить» нових людей. Однак рано чи пізно настає такий момент, коли останні не можуть нікого залучити. У нашому випадку, якщо уявити, що клас ізольований, людина замикає ланцюжок (). Таким чином, якби люди були залучені до фінансову піраміду, в якій гроші давалися у випадку, якщо ти приведеш двох інших учасників, то людина (або в загальному випадку) не привели б нікого, відповідно, втратили б усе, що вклали у цю фінансову аферу.

Все, що було сказано вище, відноситься до спадної або зростаючої геометричної прогресії, але, як ти пам'ятаєш, у нас є особливий вид - нескінченно спадна геометрична прогресія. Як же рахувати суму її членів? І чому цей вид прогресії має певні особливості? Давай розбиратись разом.

Отже, для початку подивимося ще раз на цей малюнок нескінченно спадної геометричної прогресії з нашого прикладу:

А тепер подивимося на формулу суми геометричної прогресії, виведену трохи раніше:
або

Чого в нас прагне? Правильно, на графіку видно, що воно прагне нуля. Тобто при майже рівному, відповідно, при обчисленні виразу ми отримаємо майже. У зв'язку з цим, ми вважаємо, що при підрахунку суми нескінченно спадної геометричної прогресії, даної дужкою можна знехтувати, оскільки вона дорівнюватиме.

- формула - сума членів нескінченно спадної геометричної прогресії.

ВАЖЛИВО!Формулу суми членів нескінченно спадної геометричної прогресії ми використовуємо тільки в тому випадку, якщо в умові в явному вигляді зазначено, що потрібно знайти суму нескінченногочисла членів.

Якщо зазначено конкретне число n, то користуємося формулою суми n членів, навіть якщо.

А тепер потренуємось.

Знайди суму перших членів геометричної прогресії з в.
Знайди суму членів нескінченно спадної геометричної прогресії з в.

Сподіваюся, ти був дуже уважний. Порівняємо наші відповіді:

Тепер ти знаєш про геометричну прогресію все, і настав час переходити від теорії до практики. Найпоширеніші завдання на геометричну прогресію, що зустрічаються на іспиті – це завдання на обчислення складних відсотків. Саме про них і йтиметься.

Завдання на обчислення складних процентів.

Ти, напевно, чув про так звану формулу складних відсотків. Чи ти розумієш, що вона означає? Якщо ні, давай розбиратися, тому що усвідомивши сам процес, ти одразу зрозумієш, причому тут геометрична прогресія.

Усі ми ходимо до банку і знаємо, що існують різні умовиза вкладами: це і термін, і додаткове обслуговування, і відсоток із двома у різний спосібйого нарахування - простим та складним.

З простими відсоткамивсе більш менш зрозуміло: відсотки нараховуються один раз наприкінці терміну вкладу. Тобто, якщо ми говоримо про те, що ми кладемо 100 рублів на рік під, то зарахуються лише наприкінці року. Відповідно, до закінчення вкладу ми отримаємо карбованців.

Складні відсотки— це такий варіант, за якого відбувається капіталізація відсотків, тобто. їх зарахування до суми вкладу та подальший розрахунок доходу немає від початкової, як від накопиченої суми вкладу. Капіталізація відбувається який завжди, і з деякою періодичністю. Як правило, такі періоди рівні і найчастіше банки використовують місяць, квартал чи рік.

Припустимо, що ми кладемо ті самі рублі по річних, але з щомісячною капіталізацією вкладу. Що в нас виходить?

Чи все тобі тут зрозуміло? Якщо ні, то давай розбиратися поетапно.

Ми принесли до банку карбованців. До кінця місяця у нас на рахунку має з'явитися сума, що складається з наших рублів плюс відсотків за ними, тобто:

Згоден?

Ми можемо винести за дужку, і тоді ми отримаємо:

Погодься, ця формула вже більше схожа на написану нами на початку. Залишилося розібратися з відсотками

За умови завдання нам сказано про річних. Як ти знаєш, ми не множимо на - ми переводимо відсотки в десяткові дроби, тобто:

Правильно? Зараз ти спитаєш, а звідки взялося число? Дуже просто!
Повторюся: за умови завдання сказано про РІЧНІвідсотки, нарахування яких відбувається Щомісячно. Як ти знаєш, у році місяців, відповідно, банк нараховуватиме нам на місяць частину від річних відсотків:

Зрозумів? А тепер спробуй написати, як виглядатиме ця частина формули, якщо я скажу, що відсотки нараховуються щодня.
Впорався? Давай порівняємо результати:

Молодець! Повернемося до нашого завдання: напиши скільки буде нараховано на наш рахунок на другий місяць, з урахуванням, що відсотки нараховуються на накопичену суму вкладу.
Ось що вийшло у мене:

Або, іншими словами:

Я думаю, що ти вже помітив закономірність і побачив у цьому геометричну прогресію. Напиши, чому дорівнюватиме її член, або, іншими словами, яку суму коштів ми отримаємо наприкінці місяця.
Зробив? Перевіряємо!

Як ти бачиш, якщо ти кладеш гроші у банк на рік під простий відсоток, то ти отримаєш карбованців, а якщо під складний – карбованців. Вигода невелика, але так відбувається тільки протягом року, а ось на більш тривалий періодкапіталізація набагато вигідніша:

Розглянемо ще один тип завдань на складні відсотки. Після того, в чому ти розібрався, це буде для тебе просто. Отже, завдання:

Компанія «Зірка» почала інвестувати у галузь 2000 року, маючи капітал доларів. Щороку, починаючи з 2001 року, вона отримує прибуток, який складає від капіталу попереднього року. Скільки прибутку отримає компанія «Зірка» після закінчення 2003 року, якщо прибуток з обороту не вилучався?

Капітал компанії «Зірка» у 2000 році.
- капітал компанії «Зірка» у 2001 році.
- капітал компанії «Зірка» у 2002 році.
- капітал компанії «Зірка» у 2003 році.

Або ми можемо написати коротко:

Для нашого випадку:

2000 рік, 2001 рік, 2002 рік та 2003 рік.

Відповідно:
рублів
Зауваж, у цьому задачі ми не маємо поділу ні на, ні на, тому що відсоток дано ЩОРІЧНИЙ і нараховується він ЩОРІЧНО. Тобто, читаючи завдання на складні відсотки, зверни увагу, який відсоток дано, і в який період він нараховується, і лише потім приступай до обчислень.
Тепер ти знаєш про геометричну прогресію все.

Тренування.

Знайдіть член геометричної прогресії, якщо відомо, що,
Знайдіть суму перших членів геометричної прогресії, якщо відомо, що, а
Компанія «МДМ Капітал» почала інвестувати у галузь 2003 року, маючи капітал доларів. Щороку, починаючи з 2004 року, вона отримує прибуток, який складає від капіталу попереднього року. Компанія «МСК Грошові потоки» стала інвестувати в галузь 2005 року у розмірі 10000 доларів, починаючи отримувати прибуток з 2006 року у розмірі. На скільки доларів капітал однієї компанії більше за іншу після закінчення 2007 року, якщо прибуток з обороту не вилучався?

Відповіді:

Так як за умови завдання не сказано, що прогресія нескінченна і потрібно знайти суму конкретної кількості її членів, то розрахунок йде за формулою:
Компанія «МДМ Капітал»:
2003, 2004, 2005, 2006, 2007 року.
- Збільшується на 100%, тобто у 2 рази.
Відповідно:
рублів
Компанія «МСК Грошові потоки»:
2005, 2006, 2007 року.
- Збільшується на, тобто в рази.
Відповідно:
рублів
рублів

Підіб'ємо підсумки.

1) Геометрична прогресія ( ) - це числова послідовність, перший член якої відмінний від нуля, а кожен член, починаючи з другого, дорівнює попередньому, помноженому на те саме число. Це число називають знаменником геометричної прогресії.

2) Рівняння членів геометричної прогресії - .

3) може набувати будь-яких значень, крім і.

якщо всі наступні члени прогресії мають однаковий знак - вони позитивні;
якщо, то всі наступні члени прогресії чергують знаки;
при - прогресія називається нескінченно спадаючою.

4) , при - властивість геометричної прогресії (сусідні члени)

або
, при (рівновіддалені члени)

При знаходженні не варто забувати про те, що відповіді має бути дві.

Наприклад,

5) Сума членів геометричної прогресії обчислюється за такою формулою:
або

Якщо прогресія є нескінченно спадною, то:
або

ВАЖЛИВО!Формулу суми членів нескінченно спадаючою геометричної прогресії ми використовуємо лише тому випадку, якщо в умові явно зазначено, що необхідно знайти суму нескінченного числа членів.

6) Завдання на складні відсотки також обчислюються за формулою -го члена геометричної прогресії, за умови, що коштиз обороту не вилучалися:

ГЕОМЕТРИЧНА ПРОГРЕСІЯ. КОРОТКО ПРО ГОЛОВНЕ

Геометрична прогресія( ) - це числова послідовність, перший член якої відмінний від нуля, а кожен член, починаючи з другого, дорівнює попередньому, помноженому на те саме число. Це число називають знаменником геометричної прогресії.

Знаменник геометричної прогресіїможе приймати будь-які значення, крім в.

Якщо всі наступні члени прогресії мають однаковий знак - вони позитивні;
якщо, то наступні члени прогресії чергують знаки;
при - прогресія називається нескінченно спадаючою.

Рівняння членів геометричної прогресії - .

Сума членів геометричної прогресіїобчислюється за такою формулою:
або

Урок на тему "Нескінченна спадна геометрична прогресія" (алгебра, 10кл.)

Мета уроку:ознайомлення учнів з новим видом послідовності – нескінченно спадаючою геометричною прогресією.

Обладнання:проектор, екран.

Тип уроку:урок - засвоєння нової теми.

Хід уроку

I . Орг. момент. Повідомлення теми та мети уроку.

II . Актуалізація знань учнів.

У 9 класі ви вивчали арифметичну та геометричну прогресії.

Запитання

1. Визначення арифметичної прогресії. (Арифметичною прогресією називається послідовність, кожен член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому члену, складеному з тим самим числом).

2. Формула n-го члена арифметичної прогресії (
)

3. Формула суми перших nчленів арифметичної прогресії.

(
або
)

4. Визначення геометричної прогресії. (Геометричною прогресією називається послідовність відмінних від нуля чисел, кожен член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому члену, помноженому на те саме число).

5. Формула n-го члена геометричної прогресії (

)