Загальний член послідовності має вигляд $u_n=n^2$. Підставляючи $n=1$, отримаємо:

$$ u_1=1^2=1. $$

Це перший член послідовності. Підставляючи $n=2$ $u_n=n^2$, отримаємо другий член послідовності:

$$ u_2=2^2=4. $$

Якщо підставити $n=3$, то отримаємо третій член послідовності:

$$ u_3=3^2=9. $$

Так само знаходимо четвертий, п'ятий, шостий та інші члени послідовності. Ось так і отримуємо відповідні числа:

$ $ 1; \; 4;\; 9; \; 16; \; 25; \; 36; \; 49; \; 64; \; 81; \ldots $$

Також варто мати на увазі члени послідовності $u_n=n^3$. Ось кілька перших її членів:

\begin(equation)1;\; 8; \; 27; \; 64; \; 125; \; 216; \; 343; \; 512; \; 729; \ldots \end(equation)

Крім того, для формування загального члена ряду часто використовується послідовність $u_n=n!$, кілька перших членів якої такі:

\begin(equation)1;\; 2;\; 6;\; 24; \; 120; \; 720; \; 5040; \ldots \end(equation)

Запис "n!" (читається "ен факторіал") позначає твір усіх натуральних чиселвід 1 до n, тобто.

$ $ n! = 1 cdot2 cdot 3 cdot ldots cdot n. $$

За визначенням вважається, що $0!=1!=1$. Наприклад знайдемо 5!:

$ $ 5! = 1 cdot 2 cdot 3 cdot 4 cdot 5 = 120. $$

Часто використовуються також арифметична та геометрична прогресії. Якщо перший член арифметичної прогресії дорівнює $a_1$, а різниця дорівнює $d$, то загальний член арифметичної прогресії записується за допомогою такої формули:

\begin(equation)a_n=a_1+d\cdot (n-1) \end(equation)

Що таке арифметична прогресія? показати\сховати

Арифметична прогресія - послідовність чисел, у якій різницю між наступним і попереднім членами незмінна. Ця постійна різниця називається різницею прогресії

$ $ 3; \; 10; \; 17; \; 24; \; 31; \; 38; \; 45; \; 52; \ldots $$

Зверніть увагу, що яку б пару сусідніх елементів ми не взяли, різниця між наступним та попереднім членами завжди буде постійною та рівною 7:

\begin(aligned) & 10-3=7;\\ & 17-10=7;\\ & 31-24=7; \ldots \end(aligned)

Це, тобто. 7, і є різниця прогресії. Зазвичай її позначають буквою $d$, тобто. $d = 7 $. Перший елемент прогресії $a_1 = 3 $. Загальний член цієї прогресії запишемо за допомогою формули. Підставляючи до неї $a_1=3$ і $d=7$, матимемо:

$ $ a_n = 3 +7 \ cdot (n-1) = 3 +7n-7 = 7n-4. $$

Для наочності знайдемо за формулою $a_n=7n-4$ кілька перших членів арифметичної прогресії:

\begin(aligned) & a_1=7\cdot 1-4=3;\\ & a_2=7\cdot 2-4=10;\\ & a_3=7\cdot 3-4=17;\\ & a_4= 7 \ cdot 4-4 = 24; \ & a_5 = 7 \ cdot 5-4 = 31. \end(aligned)

Підставляючи у формулу $a_n=7n-4$ будь-яке значення номера $n$, можна отримати член арифметичної прогресії.

Варто також відзначити геометричну прогресію. Якщо перший член прогресії дорівнює $b_1$, а знаменник дорівнює $q$, то загальний член геометричної прогресії задається такою формулою:

\begin(equation)b_n=b_1\cdot q^(n-1) \end(equation)

Що таке геометрична прогресія? показати\сховати

Геометрична прогресія - послідовність чисел, у якій відношення між наступним та попереднім членами постійно. Це незмінне ставлення називається знаменником прогресії. Наприклад розглянемо таку послідовність:

$$ 6;\; 18; \; 54; \; 162; \; 486; \; 1458; \; 4374; \ldots $$

Зверніть увагу, що яку б пару сусідніх елементів ми не взяли, відношення наступного до попереднього завжди буде постійним і рівним.

\begin(aligned) & \frac(18)(6)=3;\\ & \frac(54)(18)=3;\\ & \frac(1458)(486)=3;\\ & \ldots \end(aligned)

Це, тобто. 3, і є знаменником прогресії. Зазвичай його позначають буквою $q$, тобто. $ q = 3 $. Перший елемент прогресії $b_1 = 6 $. Загальний член цієї прогресії запишемо за допомогою формули. Підставляючи до неї $b_1=6$ і $q=3$, матимемо:

$ $ b_n = 6 \ cdot 3 ^ (n-1). $$

Для наочності знайдемо за формулою $b_n=6\cdot 3^(n-1)$ кілька перших членів геометричної прогресії:

\begin(aligned) & b_1=6\cdot 3^0=6;\\ & b_2=6\cdot 3^1=18;\\ & b_3=6\cdot 3^2=54;\\ & b_4= 6 \ cdot 3 ^ 3 = 162; \ & b_5 = 6 \ cdot 3 ^ 4 = 486. \end(aligned)

Підставляючи у формулу $b_n=6\cdot 3^(n-1)$ будь-яке значення номера $n$, можна отримати будь-який член геометричної прогресії.

У всіх наведених нижче прикладах члени рядів позначатимемо літерами $u_1$ (перший член ряду), $u_2$ (другий член ряду) і так далі. Запис $u_n$ позначатиме спільний член ряду.

Приклад №1

Знайти загальний член ряду $ frac (1) (7) + frac (2) (9) + frac (3) (11) + frac (4) (13) + ldots $.

Суть таких завдань у тому, щоб помітити закономірність, властива першим членам низки. І на підставі цієї закономірності зробити висновок про вид загального члена. Що означає фраза "знайти спільний член"? Вона означає, що потрібно знайти такий вираз, підставляючи яке $n=1$ отримаємо перший член низки, тобто. $\frac(1)(7)$; підставляючи $n=2$ отримаємо другий член низки, тобто. $\frac(2)(9)$; підставляючи $n=3$ отримаємо третій член низки, тобто. $\frac(3)(11)$ і так далі. Нам відомі перші чотири члени ряду:

$$ u_1=\frac(1)(7);\; u_2=\frac(2)(9);\; u_3=\frac(3)(11);\; u_4=\frac(4)(13). $$

Давайте рухатись поступово. Всі відомі нам члени ряду – дроби, тому резонно припустити, що й загальний член ряду також представлений дробом:

$$u_n=\frac(?)(?) $$

Наше завдання – з'ясувати, що ж ховається під знаками питання у чисельнику та знаменнику. Спочатку звернемося до чисельника. У чисельниках відомих нам членів ряду стоять числа 1, 2, 3 та 4. Зауважте, що номер кожного члена ряду дорівнює чисельнику. У першого члена в чисельнику стоїть одиниця, у другого – двійка, у третього – трійка, у четвертого – четвірка.

Логічно припустити, що у n-го члена в чисельнику стоятиме $n$:

$$u_n=\frac(n)(?) $$

До речі, цього висновку ми можемо дійти й іншим шляхом, більш формальним. Що являє собою послідовність 1, 2, 3, 4? Зазначимо, кожен наступний член цієї послідовності на 1 більше, ніж попередній. Ми маємо справу з чотирма членами арифметичної прогресії, перший член якої $a_1=1$, а різниця $d=1$. Використовуючи формулу, отримаємо вираз загального члена прогресії:

$ $ a_n = 1 + 1 \ cdot (n-1) = 1 + n-1 = n. $$

Отже, вгадування чи формальний розрахунок – справа смаку. Головне – ми записали чисельник загального члена ряду. Перейдемо до знаменника.

У знаменниках ми маємо послідовність 7, 9, 11, 13. Це чотири члени арифметичної прогресії, перший член якої дорівнює $b_1=7$, а різниця $d=2$. Загальний член прогресії знайдемо, використовуючи формулу:

$ $ b_n = 7 +2 \ cdot (n-1) = 7 +2n-2 = 2n +5. $$

Отримане вираз, тобто. $2n+5$ і буде знаменником загального члена ряду. Отже:

$$u_n=\frac(n)(2n+5). $$

Загальний член низки отримано. Давайте перевіримо, чи підходить знайдена формула $u_n=\frac(n)(2n+5)$ для обчислення вже відомих членів ряду. Знайдемо члени $u_1$, $u_2$, $u_3$ і $u_4$ за формулою $u_n=\frac(n)(2n+5)$. Результати, звісно, ​​мають збігтися із заданими нам за умовою першими чотирма членами ряду.

$$ u_1=\frac(1)(2\cdot 1+5)=\frac(1)(7);\; u_2=\frac(2)(2\cdot 2+5)=\frac(2)(9);\; u_3=\frac(3)(2\cdot 3+5)=\frac(3)(11);\; u_4=frac(4)(2cdot 4+5)=frac(4)(13). $$

Правильно, результати збігаються. Заданий за умови ряд можна записати тепер у такій формі: $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(n)(2n+5)$. Загальний член ряду має вигляд $u_n=\frac(n)(2n+5)$.

$$ \frac(1)(7)+\frac(2)(9)+\frac(3)(11)+\frac(4)(13)+0+0+0+0+0+0+ 0+\ldots $$

Хіба така низка не має права на існування? Ще як має. І для цього ряду можна записати, що

$$ u_1=\frac(1)(7);\; u_2=\frac(2)(9);\; u_3=\frac(3)(11);\; u_4=\frac(4)(13); \; u_n = 0 \; (n≥ 5). $$

Можна записати та інше продовження. Наприклад, таке:

$$ \frac(1)(7)+\frac(2)(9)+\frac(3)(11)+frac(4)(13)+frac(1)(5)+frac( 1)(6)+\frac(1)(7)+\frac(1)(8)+\frac(1)(9)+\frac(1)(10)+\ldots $$

І таке продовження нічого не суперечить. При цьому можна записати, що

$$ u_1=\frac(1)(7);\; u_2=\frac(2)(9);\; u_3=\frac(3)(11);\; u_4=\frac(4)(13); \; u_n=\frac(1)(n)\; (n≥ 5). $$

Якщо перші два варіанти видалися вам надто формальними, то запропоную третій. Давайте запишемо спільний член у такому вигляді:

$ $ u_n = \ frac (n) (n ^ 4-10n ^ 3 + 35n ^ 2-48n + 29). $$

Обчислимо перші чотири члени ряду, використовуючи запропоновану формулу загального члена:

\begin(aligned) & u_1=\frac(1)(1^4-10\cdot 1^3+35\cdot 1^2-48\cdot 1+29)=\frac(1)(7);\ \ & u_2=\frac(2)(2^4-10\cdot 2^3+35\cdot 2^2-48\cdot 2+29)=\frac(2)(9);\\ & u_3= \frac(3)(3^4-10\cdot 3^3+35\cdot 3^2-48\cdot 3+29)=\frac(3)(11);\\ & u_4=\frac(4 )(4^4-10cdot 4^3+35cdot 4^2-48cdot 4+29)=frac(4)(13). \end(aligned)

Як бачите, запропонована формула загального члена цілком коректна. І таких варіацій можна вигадати нескінченно багато, їх кількість нічим не обмежена. У стандартних прикладів, звісно, ​​використовується стандартний набір деяких відомих послідовностей (прогресії, ступеня, чинники тощо.). Однак у таких завданнях завжди є невизначеність, і про це бажано пам'ятати.

У всіх наступних прикладах ця неоднозначність не обговорюватиметься. Вирішуватимемо стандартними способами, які прийняті в більшості задачників.

Відповідь: загальний член ряду: $u_n=\frac(n)(2n+5)$.

Приклад №2

Записати загальний член ряду $frac(1)(1cdot 5)+frac(1)(3cdot 8)+frac(1)(5cdot 11)+frac(1)(7cdot 14) + frac (1) (9 cdot 17) + ldots $.

Нам відомі перші п'ять членів низки:

$$ u_1=\frac(1)(1\cdot 5);\; u_2 = frac (1) (3 cdot 8); \; u_3=frac(1)(5cdot 11); \; u_4=frac(1)(7cdot 14); \; u_5=frac(1)(9cdot 17). $$

Всі відомі нам члени ряду - дроби, значить і загальний член ряду шукатимемо у вигляді дробу:

$$u_n=\frac(?)(?). $$

Відразу звернемо увагу на чисельник. В усіх чисельниках стоять одиниці, тому у чисельнику загального члена низки буде одиниця, тобто.

$$u_n=\frac(1)(?). $$

Тепер звернемося до знаменника. У знаменниках відомих нам перших членів ряду розташовані твори чисел: $1cdot 5$, $3cdot 8$, $5cdot 11$, $7cdot 14$, $9cdot 17$. Перші з цих чисел такі: 1, 3, 5, 7, 9. Ця послідовність має перший член $a_1=1$, кожен наступний виходить із попереднього додаванням числа $d=2$. Іншими словами, це перші п'ять членів арифметичної прогресії, загальний член якої можна записати за допомогою формули:

$$ a_n=1+2\cdot (n-1)=1+2n-2=2n-1. $$

У творах $1cdot 5$, $3cdot 8$, $5cdot 11$, $7cdot 14$, $9cdot 17$ другі числа такі: 5, 8, 11, 14, 17. Це елементи арифметичної прогресії, перший член якої $b_1 = 5 $, а знаменник $ d = 3 $. Загальний член цієї прогресії запишемо за допомогою тієї ж формули :

$ $ b_n = 5 +3 \ cdot (n-1) = 5 +3n-3 = 3n +2. $$

Зведемо результати докупи. Твір у знаменнику спільного члена ряду такий: $(2n-1)(3n+2)$. А сам загальний член ряду має такий вигляд:

$$ u_n=\frac(1)((2n-1)(3n+2)). $$

Для перевірки отриманого результату знайдемо за формулою $u_n=\frac(1)((2n-1)(3n+2))$ ті чотири перші члени ряду, які нам відомі:

\begin(aligned) & u_1=\frac(1)((2\cdot 1-1)(3\cdot 1+2))=\frac(1)(1\cdot 5);\\ & u_2=\ frac(1)((2\cdot 2-1)(3\cdot 2+2))=\frac(1)(3\cdot 8);\\ & u_3=\frac(1)((2\cdot 3-1)(3\cdot 3+2))=\frac(1)(5\cdot 11);\\ & u_4=\frac(1)((2\cdot 4-1)(3\cdot 4 +2))=\frac(1)(7\cdot 14);\\ & u_5=\frac(1)((2\cdot 5-1)(3\cdot 5+2))=\frac(1 ) (9 \ cdot 17). \end(aligned)

Отже, формула $u_n=\frac(1)((2n-1)(3n+2))$ дозволяє точно обчислити члени ряду, відомі з умови. За бажанням заданий ряд можна записати так:

$$ \sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)((2n-1)(3n+2))=\frac(1)(1\cdot 5)+\frac(1 )(3cdot 8)+frac(1)(5cdot 11)+frac(1)(7cdot 14)+frac(1)(9cdot 17)+ldots $$

Відповідь: загальний член ряду: $u_n=\frac(1)((2n-1)(3n+2))$.

Продовження цієї теми розглянемо у другій та третій частинах.

Багато хто чув про арифметичну прогресію, але не всі добре уявляють, що це таке. У даній статті дамо відповідне визначення, а також розглянемо питання, як знайти різницю арифметичної прогресії, і наведемо ряд прикладів.

Математичне визначення

Отже, якщо йдеться про прогресію арифметичної або алгебраїчної (ці поняття визначають одне й те саме), то це означає, що є деякий числовий ряд, що задовольняє наступний закон: кожні два сусідні числа в ряду відрізняються на те саме значення. Математично це записується так:

Тут n означає номер елемента a n у послідовності, а число d - це різниця прогресії (її назва випливає з представленої формули).

Про що говорить знання різниці d? Про те, як "далеко" один від одного відстоять сусідні числа. Однак знання d є необхідним, але не достатньою умовоювизначення (відновлення) всієї прогресії. Необхідно знати ще одне число, яким може бути абсолютно будь-який елемент ряду, наприклад, a 4 , a10, але, як правило, використовують перше число, тобто a 1 .

Формули для визначення елементів прогресії

Загалом інформації вище вже достатньо, щоб переходити до вирішення конкретних завдань. Проте до того, як буде дана арифметична прогресія, і знайти різницю її буде необхідно, наведемо пару корисних формул, полегшивши цим подальший процес вирішення завдань.

Нескладно показати, що будь-який елемент послідовності з номером n може бути знайдений так:

a n = a 1 + (n - 1) * d

Дійсно, перевірити цю формулу може кожен простим перебором: якщо підставити n = 1, то вийде перший елемент, якщо підставити n = 2, тоді вираз видає суму першого числа та різниці, і так далі.

Умови багатьох завдань складаються таким чином, що за відомою парою чисел, номери яких у послідовності також дано, необхідно відновити весь числовий ряд (знайти різницю та перший елемент). Зараз ми вирішимо це завдання у загальному вигляді.

Отже, нехай дані два елементи з номерами n і m. Користуючись отриманою формулою, можна скласти систему з двох рівнянь:

a n = a 1 + (n - 1) * d;

a m = a 1 + (m - 1) * d

Для знаходження невідомих величин скористаємося відомим простим прийомомрішення такої системи: віднімемо попарно ліву та праву частини, рівність при цьому залишиться справедливою. Маємо:

a n = a 1 + (n - 1) * d;

a n - a m = (n - 1) * d - (m - 1) * d = d * (n - m)

Таким чином ми виключили одну невідому (a 1). Тепер можна записати остаточний вираз визначення d:

d = (a n - a m) / (n - m), де n > m

Ми отримали дуже просту формулу: щоб обчислити різницю d відповідно до умов завдання, необхідно лише взяти відношення різниць самих елементів та їх порядкових номерів. Слід звернути на один важливий моментувага: різниці беруться між "старшим" і "молодшим" ​​членами, тобто n > m ("старший" - мається на увазі вартий далі від початку послідовності, його абсолютне значенняможе бути як більше, так і менше "молодшого" елемента).

Вираз для різниці d прогресії слід підставити на будь-яке з рівнянь на початку розв'язання задачі, щоб отримати значення першого члена.

У наш вік розвитку комп'ютерних технологій багато школярів намагаються знайти рішення для своїх завдань в Інтернеті, тому часто виникають такі питання: знайти різницю арифметичної прогресії онлайн. За подібним запитом пошуковик видасть ряд web-сторінок, перейшовши на які, потрібно буде ввести відомі з умови дані (це можуть бути як два члени прогресії, так і сума деякого їх числа) і миттєво отримати відповідь. Проте такий підхід до вирішення завдання є непродуктивним у плані розвитку школяра та розуміння суті поставленого перед ним завдання.

Рішення без використання формул

Вирішимо перше завдання, при цьому не будемо використовувати жодні з наведених формул. Нехай дані елементи ряду: а6 = 3, а9 = 18. Знайти різницю прогресії арифметичної.

Відомі елементи стоять близько один до одного в ряду. Скільки разів потрібно додати різницю d до найменшого, щоб отримати найбільше? Три рази (вперше додавши d, ми отримаємо 7-й елемент, другий раз - восьмий, нарешті, втретє - дев'ятий). Яке число потрібно додати до трьох разів, щоб отримати 18? Це число п'ять. Дійсно:

Таким чином, невідома різниця d=5.

Звичайно ж, рішення можна було виконати із застосуванням відповідної формули, але цього не було зроблено навмисно. Детальне поясненнярозв'язання задачі має стати зрозумілим та яскравим прикладом, що таке арифметична прогресія

Завдання, подібне до попереднього

Тепер вирішимо схоже завдання, але змінимо вхідні дані. Отже, слід знайти, якщо а3 = 2, а9 = 19.

Звичайно, можна вдатися знову до методу рішення "в лоб". Але оскільки дані елементи ряду, які стоять відносно далеко один від одного, такий метод стане не зовсім зручним. А ось використання отриманої формули швидко приведе нас до відповіді:

d = (а 9 - а 3) / (9 - 3) = (19 - 2) / (6) = 17 / 6 ≈ 2,83

Тут ми округлили кінцеве число. Наскільки це округлення спричинило помилку, можна судити, перевіривши отриманий результат:

a 9 = a 3 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 = 18,98

Цей результат відрізняється лише на 0,1 % від значення, даного за умови. Тому використане округлення до сотих можна вважати успішним вибором.

Завдання застосування формули для an члена

Розглянемо класичний приклад завдання визначення невідомої d: знайти різницю прогресії арифметичної, якщо а1 = 12, а5 = 40.

Коли дано два числа невідомої послідовності алгебри, причому одним з них є елемент a 1 , тоді не потрібно довго думати, а слід відразу ж застосувати формулу для a n члена. У даному випадкумаємо:

a 5 = a 1 + d * (5 - 1) => d = (a 5 - a 1) / 4 = (40 - 12) / 4 = 7

Ми отримали точне число під час поділу, тому немає сенсу перевіряти точність розрахованого результату, як це було зроблено в попередньому пункті.

Вирішимо ще одне аналогічне завдання: слід знайти різницю арифметичної прогресії, якщо а1 = 16, а8 = 37.

Використовуємо аналогічний попередній підхід та отримуємо:

a 8 = a 1 + d * (8 - 1) => d = (a 8 - a 1) / 7 = (37 - 16) / 7 = 3

Що ще слід знати про арифметичну прогресію

Крім завдань перебування невідомої різниці чи окремих елементів, часто необхідно вирішувати проблеми суми перших членів послідовності. Розгляд цих завдань виходить за межі теми статті, проте для повноти інформації наведемо загальну формулудля суми n чисел ряду:

∑ n i = 1 (a i) = n * (a 1 + a n) / 2

Інструкція

Арифметична прогресія – це послідовність виду a1, a1+d, a1+2d..., a1+(n-1)d. Число d кроком прогресії.Очевидно, що загальна довільного n-го члена арифметичної прогресіїмає вигляд: An = A1 + (n-1) d. Тоді знаючи один із членів прогресіїчлен прогресіїта крок прогресії, Можна, тобто номер члена прогресу. Очевидно, він визначатиметься за формулою n = (An-A1+d)/d.

Нехай тепер відомий m-ий член прогресіїі інший член прогресії- n, але n, як і в попередньому випадку, але відомо, що n і m не збігаються. прогресіїможе бути обчислений за такою формулою: d = (An-Am)/(n-m). Тоді n = (An-Am+md)/d.

Якщо відома сума кількох елементів арифметичної прогресії, а також її перший і останній, то кількість цих елементів теж можна визначити. Сума арифметичної прогресіїдорівнюватиме: S = ((A1+An)/2)n. Тоді n = 2S/(A1+An) - чденів прогресії. Використовуючи той факт, що An = A1+(n-1)d, цю формулу можна переписати у вигляді: n = 2S/(2A1+(n-1)d). З цієї можна виразити n, вирішуючи квадратне рівняння.

Арифметичною послідовністю називають такий упорядкований набір чисел, кожен член якого, крім першого, відрізняється від попереднього на одну й ту саму величину. Ця постійна величина називається різницею прогресії або її кроком і може бути розрахована за відомими членами арифметичної прогресії.

Інструкція

Якщо з умов завдання відомі значення першого і другого або будь-якої іншої пари сусідніх членів, для обчислення різниці (d) просто відніміть від наступного члена попередній. Величина, що вийшла, може бути як позитивним, так і негативним числом- це залежить від того, чи є прогресія зростання. У загальної формирішення для довільно взятої пари (aᵢ та aᵢ₊₁) сусідніх членів прогресії запишіть так: d = aᵢ₊₁ - aᵢ.

Для пари членів такої прогресії, один з яких є першим (a₁), а інший - будь-яким іншим довільно обраним, також можна скласти формулу знаходження різниці (d). Однак у цьому випадку обов'язково має бути відомий порядковий номер (i) довільного обраного члена послідовності. Для обчислення різниці складіть обидва числа, а отриманий результат розділіть на порядковий номер довільного члена, що зменшився на одиницю. Загалом цю формулу запишіть так: d = (a₁+ aᵢ)/(i-1).

Якщо крім довільного члена арифметичної прогресії з порядковим номером i відомий інший член з порядковим номером u, змініть формулу з попереднього кроку відповідним чином. У цьому випадку різницею (d) прогресії буде сума цих двох членів, поділена на різницю їх порядкових номерів: d = (a + + a) / (i-v).

Формула обчислення різниці (d) дещо ускладниться, якщо в умовах задачі дано значення першого її члена (a₁) та сума (Sᵢ) заданого числа (i) перших членів арифметичної послідовності. Для отримання потрібного значення розділіть суму на кількість членів, що її склали, відніміть значення першого числа в послідовності, а результат подвоїть. Велику величину розділіть на зменшене на одиницю число членів, що склали суму. Загалом формулу обчислення дискримінанта запишіть так: d = 2*(Sᵢ/i-a₁)/(i-1).

Цілі:

1. Запровадити поняття арифметичної прогресії.
2. Розглянути основні типи завдань застосування формули n-ого члена арифметичної прогресії.
3. Використовувати на уроці елементи навчання.
4. Розвивати аналітичне мислення учнів.

Хід уроку

Вчитель.На попередньому уроці ми запровадили поняття нескінченної числової послідовності, як функції, визначеної на безлічі натуральних чисел і з'ясували, що послідовності бувають нескінченними та кінцевими, зростаючими та спадними, а також дізналися про способи їх завдання. Перерахуйте їх.

Учні.

1. Аналітичний (за допомогою формули).
2. Словесний (завдання послідовності описом).
3. Рекурентний (коли будь-який член послідовності, починаючи з деякого, виражається через попередні члени).

Завдання 1.Вкажіть, якщо можливо, 7 член кожної послідовності.

(а n): 6; 10; 14; 18; 22; 26;
(b n): 49; 25; 81; 4; 121; 64...
(c n): 22; 17; 12; 7; 2; -3…
(x n): -3,8; -2,6; -1,4; -0,2; 1; 2,2…
(y n): -12; 7; 8; 14; -23; 41…

Вчитель. Чому для послідовностей b n та y n відповісти на запитання не можна?

Учні. У даних послідовностях немає певної закономірності, хоча (b n) складається з квадратів натуральних чисел, але взяті вони у довільному порядку, а (y n) є довільний рядчисел, тож на сьомому місці може стояти будь-яке число.

Вчитель.Для послідовностей (n); (c n); (x n) усі ви змогли правильно знайти 7-й член.

Завдання 2.Вигадайте свій подібний приклад такої послідовності. Вкажіть 4 перші її члени. Обміняйтеся зошитами із сусідом по парті та визначте 5-й член цієї послідовності.

Вчитель.Яку загальну властивість мають подібні послідовності?

Студент. Кожен наступний член відрізняється від попереднього на те саме число.

Вчитель.Послідовності такого типу називаються арифметичними прогресіями. Вони будуть предметом нашого сьогоднішнього вивчення. Сформулюйте тему уроку.

(Першу частину теми студент легко формулюють. Другу частину вчитель може сформулювати сам)

Вчитель. Сформулюйте цілі уроку, з цієї теми.

(Важливо, щоб учні якомога повніше і точно сформулювали навчальні цілі, тоді вони приймають їх і прагнуть досягти)

Учні.

1. Дати визначення арифметичної прогресії.
2. Вивести формулу n-ого члена арифметичної прогресії.
3. Навчитися вирішувати завдання на тему (розглянути різні типизадач).

Потім корисно спроектувати на екран цілі, поставлені вчителем перед учнями, щоб переконалися, що цілі вони спільні.

Вчитель.Трохи історії. Термін «прогресія» походить від латинського progression, що означає «рух уперед», був запроваджений римським автором Боецієм у 6 ст. і отримав подальший розвитоку працях Фібоначчі, Шюке, Гауса та інших вчених.

Визначення.Арифметичною прогресією називається послідовність, кожен член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому члену, складеному з тим самим числом. Це число називається різницею арифметичної прогресії та позначається d.

(a n): a 1; a 2; a 3; …a n … арифметична прогресія.
d = a 2 – a 1 = a 3 – a 2 = … = a n+1 – a n

Завдання 3.Нехай a1 = 7; d=0.

Назвіть наступні 3 члени послідовності.

Учні. 7; 7; 7

Вчитель. Такі послідовності називаються постійними чи стаціонарними.

Нехай a 1 = -12; d = 3. Назвіть 3 члени цієї послідовності.

Учнів. -9; -6; -3

Вчитель. Чи маю я рацію, якщо назву числа: -15; -18; -21?

Як правило, більшість учнів вважають, що це правильно. Тоді слід попросити їх визначити номер кожного члена. Оскільки номер члена послідовності може бути виражений натуральним числом, то цій послідовності названі числа бути присутніми що неспроможні.

Завдання 4.В арифметичній прогресії a 1; a 2; 6; 4; а 5 знайдіть a 1; a 2; а 5 .

Завдання виконується в парах, один учень за бажанням виконує його з зворотного бокудошки.

Рішення:

d = 4 - 6 = -2
а 5 = а 4 + d = 4 - 2 = 2
а 2 = а 3 - d = 6 - (-2) = 8
а 1 = а 2 - d = 8 - (-2) = 10

Вкажіть для даної послідовності а 8 та а 126

Учні. а 8 = -4 а 126 можна вказати, але занадто довго рахувати.

Вчитель.Отже необхідно знайти такий спосіб, який дозволить нам швидко відшукувати будь-який член послідовності. Спробуйте вивести формулу n-ого члена арифметичної прогресії.

До дошки можна викликати сильного учня та шляхом чітко поставлених питань та допомоги класу вивести формулу.

Висновок формули:

а 2 = а 1 + d
а 3 = а 2 + d = а 1 + 2d
а 4 = а 3 + d = а 1 + 3d
і т.д.

а n = а 1 + (n – 1) d- Формулаn-ого члена арифметичної прогресії.

Вчитель. Отже, що потрібно знати визначення будь-якого члена арифметичної прогресії?

Учні. а 1 та d

Вчитель.Використовуючи цю формулу, знайдіть а 126 .

Учні.а 126 = а 1 + 125d = 10 = 125 ∙ (-2) = 10 - 250 = - 240

Завдання 5. Нехай (b n): арифметична прогресія, де b 1 - перший член, а d – різниця. Знайдіть помилки:

b 4 = b 1 + 3d		b 2k = b 1 + (2k – 1)∙d
b 9 = b 1 + 10d		b k-4 = b 1 + (k – 3)∙d
b -3 = b 1 - 4d		b k+7 = b 1 + (k – 6)∙d

Завдання 6.Розглянемо формулу n-ого члена арифметичної прогресії. З'ясуємо, які типи завдань із застосуванням цієї формули можна вирішувати. Сформулюйте пряме завдання.

Учні.За заданими значеннями а1 і d знайти аn.

Вчитель.Які обернені завдання можна поставити?

Учні.

1. Дано а 1 і а n. Знайти d.
2. Дано d і а n. Знайти 1 .
3. Дано а 1, d і а n. Знайти n.

Завдання 7. Знайдіть різницю арифметичної прогресії, в якій у 1 = 10; у 5 = 22

Рішення біля дошки:

у 5 = у 1 + 4d
22 = 10 + 4d
4d = 12
d = 3

Завдання 8. Чи містить арифметична прогресія 2; 9; … число 156?

Аналіз: шляхом міркувань приходимо висновку у тому, що т.к. у кожного числа в послідовності є свій номер, виражений натуральним числом, необхідно знайти номер члена послідовності і з'ясувати, чи належить він безлічі натуральних чисел. Якщо належить, то послідовність містить це число, інакше – немає.

Рішення біля дошки:

а n = а 1 + (n - 1) d
156 = 2 + 7 (n - 1)
7 (n - 1) = 154
n - 1 = 22
n = 23

Відповідь: а 23 = 156

Завдання 9.Знайдіть перші три члени арифметичної прогресії, у якій

а 1 + а 5 = 24;
а 2 ∙ а 3 =60

Завдання аналізуємо, складаємо систему рівнянь, яку пропонується вирішити вдома.

а 1 + а 1 + 4d = 24;
(а 1 + d) ∙ (а 1 + 4d) = 60.

Підведення підсумку уроку.

Що нового ви дізналися сьогодні на уроці? Чому навчилися?

Домашнє завдання. Ознайомитись із матеріалом п. 25 підручника. Вивчити визначення арифметичної прогресії та формулу n-ого члена. Вміти виражати з формули всі величини, що входять до неї. Розв'язати систему завдання 9. Виконати за підручником № 575 (а,б); 576; 578(а); 579(а).

Завдання на додаткову оцінку: нехай a 1; a 2; a 3; …a n … арифметична прогресія. Доведіть, що a n+1 = (а n + a n+2) : 2

Початковий рівень

Арифметична прогресія. Детальна теорія з прикладами (2019)

Числова послідовність

Отже, сядемо і почнемо писати якісь числа. Наприклад:
Писати можна будь-які числа, і може бути скільки завгодно (у разі їх). Скільки б чисел ми не написали, ми завжди можемо сказати, яке з них перше, яке друге і так далі до останнього, тобто можемо їх пронумерувати. Це і є приклад числової послідовності:

Числова послідовність
Наприклад, для нашої послідовності:

Присвоєний номер характерний лише однієї числа послідовності. Іншими словами, у послідовності немає трьох других чисел. Друге число (як і число) завжди одне.
Число з номером називається членом послідовності.

Всю послідовність ми зазвичай називаємо якоюсь літерою (наприклад,), і кожен член цієї послідовності - тією ж літерою з індексом, що дорівнює номеру цього члена: .

У нашому випадку:

Припустимо, у нас є числова послідовність, у якій різниця між сусідніми числами однакова і дорівнює.
Наприклад:

і т.д.
Така числова послідовність називається арифметичною прогресією.
Термін «прогресія» було запроваджено римським автором Боецієм ще шостому столітті і розумівся у ширшому значенні, як нескінченна числова послідовність. Назва «арифметична» було перенесено з теорії безперервних пропорцій, якими займалися давні греки.

Це числова послідовність, кожен член якої дорівнює попередньому, складеному з тим самим числом. Це число називається різницею арифметичної прогресії та позначається.

Спробуй визначити, які числові послідовності є арифметичною прогресією, а які:

a)
b)
c)
d)

Розібрався? Порівняємо наші відповіді:
Єарифметичною прогресією – b, c.
Не єарифметичною прогресією – a, d.

Повернемося до заданої прогресії () і спробуємо знайти значення її члена. Існує дваспособу його знаходження.

1. Спосіб

Ми можемо додавати до попереднього значення числа прогресії, поки не дійдемо до члена прогресії. Добре, що підсумувати нам залишилося небагато – лише три значення:

Отже, -ой член описаної арифметичної прогресії дорівнює.

2. Спосіб

А якщо нам потрібно було б знайти значення -го члена прогресії? Підсумовування зайняло б у нас не одну годину, і не факт, що ми не помилилися б при складанні чисел.
Зрозуміло, математики вигадали спосіб, у якому не потрібно додавати різницю арифметичної прогресії до попереднього значення. Придивись уважно до намальованого малюнка… Напевно, ти вже помітив якусь закономірність, а саме:

Наприклад, подивимося, з чого складається значення члена даної арифметичної прогресії:


Іншими словами:

Спробуй самостійно знайти у такий спосіб значення члена даної арифметичної прогресії.

Розрахував? Порівняй свої записи з відповіддю:

Зверніть увагу, що в тебе вийшло таке ж число, як і в попередньому способі, коли ми послідовно додавали до попереднього значення членів арифметичної прогресії.
Спробуємо «знеособити» цю формулу- Наведемо її в загальний виглядта отримаємо:

Рівняння арифметичної прогресії.

Арифметичні прогресії бувають зростаючі, а бувають спадні.

Зростаючі- прогресії, у яких кожне наступне значення членів більше попереднього.
Наприклад:

Знижені- прогресії, у яких кожне наступне значення членів менше попереднього.
Наприклад:

Виведена формула застосовується для членів як у зростаючих, і у спадних членах арифметичної прогресії.
Перевіримо це практично.
Нам дана арифметична прогресія, що складається з наступних чисел: Перевіримо, яке вийде число даної арифметичної прогресії, якщо при його розрахунку використовувати нашу формулу:

Тому що:

Таким чином, ми переконалися, що формула діє як у спадній, так і в зростаючій арифметичній прогресії.
Спробуй самостійно знайти члени цієї арифметичної прогресії.

Порівняємо отримані результати:

Властивість арифметичної прогресії

Ускладнимо завдання - виведемо властивість арифметичної прогресії.
Припустимо, нам дано таку умову:
- арифметична прогресія, знайти значення.
Легко, скажеш ти і почнеш вважати за вже відомою тобі формулою:

Нехай, а тоді:

Абсолютно вірно. Виходить ми спочатку знаходимо, потім додаємо його до першого числа і отримуємо шукане. Якщо прогресія представлена ​​невеликими значеннями, то нічого складного в цьому немає, а якщо нам за умови дані числа? Погодься, є ймовірність помилитися у обчисленнях.
А тепер подумай, чи можна вирішити це завдання в одну дію з використанням будь-якої формули? Звичайно, так, і саме її ми спробуємо зараз вивести.

Позначимо шуканий член арифметичної прогресії як формула його знаходження нам відома - це та сама формула, виведена нами на початку:
тоді:

• попередній член прогресії це:
• наступний член прогресії це:

Підсумуємо попередній та наступний члени прогресії:

Виходить, що сума попереднього та наступного членів прогресії – це подвоєне значення члена прогресії, що перебуває між ними. Іншими словами, щоб знайти значення члена прогресії при відомих попередніх та послідовних значеннях, необхідно скласти їх та розділити на.

Все вірно, ми отримали це число. Закріпимо матеріал. Вважай значення для прогресії самостійно, адже це зовсім нескладно.

Молодець! Ти знаєш про прогрес майже всі! Залишилося дізнатися тільки одну формулу, яку за легендами легко вивів для себе один з найбільших математиків усіх часів, «король математиків» - Карл Гаус...

Коли Карлу Гауссу було 9 років, учитель, зайнятий перевіркою робіт учнів інших класів, поставив на уроці таке завдання: «Порахувати суму всіх натуральних чисел від до (за іншими джерелами до) включно». Яке ж було здивування вчителя, коли один із його учнів (це і був Карл Гаусс) через хвилину дав правильну відповідь на поставлене завдання, при цьому більшість однокласників сміливця після довгих підрахунків отримали неправильний результат.

Юний Карл Гаусс помітив деяку закономірність, яку легко помітиш і ти.
Припустимо, у нас є арифметична прогресія, що складається з членів: Нам необхідно знайти суму даних членів арифметичної прогресії. Звичайно, ми можемо вручну підсумувати всі значення, але що робити, якщо в завданні потрібно буде знайти суму її членів, як це шукав Гаус?

Зобразимо задану нам прогресію. Придивись уважно до виділених чисел та спробуй зробити з ними різні математичні дії.


Спробував? Що ти помітив? Правильно! Їхні суми рівні

А тепер дай відповідь, скільки всього набереться таких пар у заданій нам прогресії? Звичайно, рівно половина всіх чисел, тобто.
Виходячи з того, що сума двох членів арифметичної прогресії дорівнює, а подібних рівних пар ми отримуємо, що Загальна сумадорівнює:
.
Таким чином, формула для суми перших членів будь-якої арифметичної прогресії буде такою:

У деяких завданнях нам невідомий член, але відома різниця прогресії. Спробуй підставити формулу суми, формулу -го члена.
Що в тебе вийшло?

Молодець! Тепер повернемося до завдання, яке задали Карлу Гаусс: порахуй самостійно, чому дорівнює сума чисел, починаючи від -го, і сума чисел починаючи від -го.

Скільки у тебе вийшло?
Гаус вийшло, що сума членів дорівнює, а сума членів. Чи ти так вирішував?

Насправді формула суми членів арифметичної прогресії була доведена давньогрецьким вченим Діофантом ще в 3 столітті, та й протягом усього цього часу дотепні люди користувалися властивостями арифметичної прогресії.
Наприклад, уяви Стародавній Єгипеті наймасштабніше будівництво на той час - будівництво піраміди… На малюнку представлена ​​одна її сторона.

Де тут прогресія скажеш ти? Подивися уважно та знайди закономірність у кількості піщаних блоків у кожному ряді стіни піраміди.


Чим не арифметична прогресія? Порахуй, скільки всього блоків необхідно для будівництва однієї стіни, якщо в основу кладеться цегла. Сподіваюся, ти не вважатимеш, водячи пальцем по монітору, ти ж пам'ятаєш останню формулу і все, що ми говорили про арифметичну прогресію?

У разі прогресія виглядає так: .
Різниця арифметичної прогресії.
Кількість членів арифметичної прогресії.
Підставимо останні формули наші дані (порахуємо кількість блоків 2 способами).

Спосіб 1.

Спосіб 2.

А тепер можна і на моніторі порахувати: порівняй отримані значення з тією кількістю блоків, яка є в нашій піраміді. Зійшлося? Молодець, ти освоїв суму членів арифметичної прогресії.
Звичайно, з блоків у підставі піраміду не побудуєш, а от із? Спробуй розрахувати, скільки необхідно піщаної цегли, щоб побудувати стіну з такою умовою.
Впорався?
Вірна відповідь - блоків:

Тренування

Завдання:

1. Маша приходить у форму до літа. Щодня вона збільшує кількість присідань. Скільки разів присідатиме Маша через тижні, якщо на першому тренуванні вона зробила присідань.
2. Якою є сума всіх непарних чисел, що містяться в.
3. Лісоруби при зберіганні колод укладають їх таким чином, що кожен верхній шармістить одну колоду менше, ніж попередній. Скільки колод знаходиться в одній кладці, якщо основою кладки є колод.

Відповіді:

1. Визначимо параметри арифметичної прогресії. В даному випадку
   (Тижня = днів).

   Відповідь:Через два тижні Маша повинна присідати щодня.

2. Перше непарне число, останнє число.
   Різниця арифметичної прогресії.
   Кількість непарних чисел в - половина, проте, перевіримо цей факт, використовуючи формулу знаходження члена арифметичної прогресії:

   У числах справді міститься непарних чисел.
   Наявні дані підставимо у формулу:

   Відповідь:Сума всіх непарних чисел, що містяться, дорівнює.

3. Згадаймо завдання для піраміди. Для нашого випадку a , так як кожен верхній шар зменшується на одну колоду, то всього в купі шарів, тобто.
   Підставимо дані у формулу:

   Відповідь:У кладці знаходиться колод.

Підведемо підсумки

1. - Чисельна послідовність, в якій різниця між сусідніми числами однакова і дорівнює. Вона буває зростаючою та спадною.
2. Формула знаходження-го члена арифметичної прогресії записується формулою - , де - Число чисел в прогресії.
3. Властивість членів арифметичної прогресії- де - кількість чисел у прогресії.
4. Суму членів арифметичної прогресіїможна знайти двома способами:
   
   де - кількість значень.

АРИФМЕТИЧНА ПРОГРЕСІЯ. СЕРЕДНІЙ РІВЕНЬ

Числова послідовність

Давай сядемо і почнемо писати якісь числа. Наприклад:

Писати можна будь-які числа, і їх може бути скільки завгодно. Але завжди можна сказати, яке з них перше, яке друге і так далі, тобто, можемо їх пронумерувати. Це і є приклад числової послідовності.

Числова послідовність- це безліч чисел, кожному з яких можна надати унікальний номер.

Іншими словами, кожному числу можна поставити у відповідність якесь натуральне число, причому єдине. І цей номер ми не надамо більше жодному іншому числу з даної множини.

Число з номером називається членом послідовності.

Всю послідовність ми зазвичай називаємо якоюсь літерою (наприклад,), і кожен член цієї послідовності - тією ж літерою з індексом, що дорівнює номеру цього члена: .

Дуже зручно, якщо член послідовності можна задати який-небудь формулою. Наприклад, формула

задає послідовність:

А формула – таку послідовність:

Наприклад, арифметичною прогресією є послідовність (перший член тут дорівнює, а різниця). Або (, різниця).

Формула n-го члена

Рекурентною ми називаємо таку формулу, в якій щоб дізнатися член, потрібно знати попередній або кілька попередніх:

Щоб знайти за такою формулою, наприклад, член прогресії, нам доведеться обчислити попередні дев'ять. Наприклад, хай. Тоді:

Ну що, зрозуміло тепер якась формула?

У кожному рядку ми додаємо, помножене на якесь число. На яке? Дуже просто: це номер поточного члена мінус:

Тепер набагато зручніше, правда? Перевіряємо:

Виріши сам:

В арифметичній прогресії знайти формулу n-го члена та знайти сотий член.

Рішення:

Перший член дорівнює. А чому дорівнює різниця? А ось чому:

(Вона тому і називається різницею, що дорівнює різниці послідовних членів прогресії).

Отже, формула:

Тоді сотий член дорівнює:

Чому дорівнює сума всіх натуральних чисел від до?

За легендою великий математик Карл Гаусс, будучи 9-річним хлопчиком, порахував цю суму за кілька хвилин. Він зауважив, що сума першого і останнього числадорівнює, сума другого та передостаннього - теж, сума третього та 3-го з кінця - теж, і так далі. Скільки всього набереться таких пар? Правильно, рівно половина кількості всіх чисел, тобто. Отже,

Загальна формула для суми перших членів будь-якої арифметичної прогресії буде такою:

Приклад:
Знайдіть суму всіх двоцифрових чиселкратних.

Рішення:

Перше таке число – це. Кожне наступне виходить додаванням до попереднього числа. Таким чином, цікаві для нас числа утворюють арифметичну прогресію з першим членом і різницею.

Формула члена для цієї прогресії:

Скільки членів у прогресії, якщо всі вони мають бути двозначними?

Дуже легко: .

Останній член прогресії дорівнюватиме. Тоді сума:

Відповідь: .

Тепер виріши сам:

1. Щодня спортсмен пробігає на м більше, ніж у попередній день. Скільки всього кілометрів він пробіжить за тижні, якщо першого дня він пробіг км?
2. Велосипедист проїжджає щодня на км більше, ніж попереднього. Першого дня він проїхав км. Скільки днів йому треба їхати, щоб подолати кілометри? Скільки кілометрів він проїде за останній день шляху?
3. Ціна холодильника в магазині щорічно зменшується на ту саму суму. Визначте, на скільки щороку зменшувалася ціна холодильника, якщо виставлений на продаж за рублів через шість років був проданий за рублів.

Відповіді:

1. Тут найголовніше - розпізнати арифметичну прогресію та визначити її параметри. У цьому випадку (тижня = днів). Визначити потрібно суму перших членів цієї прогресії:
   .
   Відповідь:
2. Тут дано: треба знайти.
   Очевидно, потрібно використовувати ту саму формулу суми, що й у попередньому завданні:
   .
   Підставляємо значення:

   Корінь, очевидно, не підходить, отже, відповідь.
   Порахуємо шлях, пройдений за останній день за допомогою формули члена:
   (Км).
   Відповідь:

3. Дано: . Знайти: .
   Простіше не буває:
   (Руб).
   Відповідь:

АРИФМЕТИЧНА ПРОГРЕСІЯ. КОРОТКО ПРО ГОЛОВНЕ

Це числова послідовність, у якій різниця між сусідніми числами однакова і дорівнює.

Арифметична прогресія буває зростаючою () та спадною ().

Наприклад:

Формула знаходження n-ого члена арифметичної прогресії

записується формулою, де - кількість чисел у прогресії.

Властивість членів арифметичної прогресії

Воно дозволяє легко знайти член прогресії, якщо відомі його сусідні члени – де – кількість чисел у прогресії.

Сума членів арифметичної прогресії

Існує два способи знаходження суми:

Де – кількість значень.

Де – кількість значень.