Uy Qoplangan til a nuqtaga simmetrik nuqta toping. Chiziqga nisbatan simmetrik nuqtani qanday topish mumkin

Qoplangan til

a nuqtaga simmetrik nuqta toping. Chiziqga nisbatan simmetrik nuqtani qanday topish mumkin

Bizga chiziqli tenglama bilan aniqlangan ma'lum bir to'g'ri chiziq va uning koordinatalari (x0, y0) bilan aniqlangan va bu chiziqda yotmaydigan nuqta berilsin. Berilgan to'g'ri chiziqqa nisbatan berilgan nuqtaga simmetrik bo'ladigan, ya'ni tekislik shu to'g'ri chiziq bo'ylab aqliy ravishda yarmiga egilgan bo'lsa, u bilan mos keladigan nuqtani topish talab qilinadi.

Ko'rsatmalar

1. Ko'rinib turibdiki, ikkala nuqta - berilgan va kerakli - bir xil chiziqda yotishi kerak va bu chiziq berilganga perpendikulyar bo'lishi kerak. Shunday qilib, masalaning birinchi qismi berilgan to‘g‘ri chiziqqa perpendikulyar bo‘ladigan va ayni vaqtda berilgan nuqtadan o‘tuvchi chiziq tenglamasini ochishdan iborat.

2. To'g'ri chiziq ikki yo'l bilan belgilanishi mumkin. Chiziqning kanonik tenglamasi quyidagicha ko'rinadi: Ax + By + C = 0, bu erda A, B va C doimiylar. Bundan tashqari, yordamida to'g'ri chiziqni belgilashingiz mumkin chiziqli funksiya: y = kx + b, bu erda k - burchak ko'rsatkichi, b - siljish Bu ikki usul bir-birini almashtiradi va bir-biridan ikkinchisiga o'tish mumkin. Agar Ax + By + C = 0 bo'lsa, u holda y = – (Ax + C)/B. Boshqacha qilib aytganda, y = kx + b chiziqli funktsiyada burchak ko'rsatkichi k = -A/B va siljish b = -C/B. Vazifaga asoslanib fikr yuritish qulayroqdir kanonik tenglama Streyt.

3. Agar ikkita chiziq bir-biriga perpendikulyar bo'lsa va birinchi chiziq tenglamasi Ax + By + C = 0 bo'lsa, 2-chiziq tenglamasi Bx – Ay + D = 0 kabi ko'rinishi kerak, bu erda D doimiydir. D ning ma'lum bir qiymatini aniqlash uchun perpendikulyar chiziq qaysi nuqtadan o'tishini qo'shimcha ravishda bilish kerak. IN Ushbu holatda bu nuqta (x0, y0) demak, D tenglikni qanoatlantirishi kerak: Bx0 – Ay0 + D = 0, ya’ni D = Ay0 – Bx0.

4. Perpendikulyar chiziq topilgandan so'ng, uning kesishish nuqtasining koordinatalarini berilgan bilan hisoblash kerak. Buning uchun tizimni hal qilishimiz kerak chiziqli tenglamalar:Ax + By + C = 0,Bx – Ay + Ay0 – Bx0 = 0. Uning yechimi (x1, y1) sonlarni beradi, ular chiziqlar kesishish nuqtasining koordinatalari bo‘lib xizmat qiladi.

5. Kerakli nuqta aniqlangan chiziqda yotishi kerak va uning kesishish nuqtasigacha bo'lgan masofasi kesishish nuqtasidan nuqtagacha bo'lgan masofaga teng bo'lishi kerak (x0, y0). Shunday qilib (x0, y0) nuqtaga simmetrik nuqtaning koordinatalarini tenglamalar tizimini yechish orqali topish mumkin: Bx – Ay + Ay0 – Bx0 = 0,?((x1 – x0)^2 + (y1 – y0) ^2 = ?((x – x1)^2 + (y – y1)^2).

6. Lekin siz buni osonroq qilishingiz mumkin. Agar (x0, y0) va (x, y) nuqtalar (x1, y1) nuqtadan teng masofada bo‘lsa va barcha uch nuqta bir xil to‘g‘ri chiziqda yotsa, u holda: x – x1 = x1 – x0,y – y1 = y1 – y0 demak, x = 2×1 – x0, y = 2y1 – y0. Ushbu qiymatlarni birinchi tizimning ikkinchi tenglamasiga almashtirish va ifodalarni soddalashtirish orqali uning o'ng tomoni chap tomon bilan bir xil bo'lishiga ishonch hosil qilish oson. Bundan tashqari, birinchi tenglamani boshqa ko'rib chiqishning ma'nosi yo'q, chunki ma'lumki, (x0, y0) va (x1, y1) nuqtalar uni qanoatlantiradi va (x, y) nuqta bir xil to'g'rida yotadi. .

Vazifa to'g'ri chiziqqa nisbatan nuqtaga simmetrik bo'lgan nuqtaning koordinatalarini topishdir . Men qadamlarni o'zingiz bajarishni taklif qilaman, lekin men oraliq natijalar bilan hal qilish algoritmini tasvirlab beraman:

1) Chiziqga perpendikulyar bo'lgan chiziqni toping.

2) Chiziqlarning kesishish nuqtasini toping: .

Ushbu darsda ikkala harakat ham batafsil muhokama qilinadi.

3) nuqta segmentning o'rta nuqtasidir. Biz o'rta va uchlaridan birining koordinatalarini bilamiz. tomonidan segmentning o'rta nuqtasining koordinatalari uchun formulalar topamiz.

Masofa ham 2,2 birlik ekanligini tekshirish yaxshi bo'lardi.

Bu erda hisob-kitoblarda qiyinchiliklar paydo bo'lishi mumkin, ammo mikrokalkulyator minorada katta yordam beradi, bu sizga hisoblash imkonini beradi. oddiy kasrlar. Men sizga ko'p marta maslahat berdim va yana tavsiya qilaman.

Ikki parallel chiziq orasidagi masofani qanday topish mumkin?

9-misol

Ikki parallel chiziq orasidagi masofani toping

Bu yana bir misol mustaqil qaror. Men sizga bir oz maslahat beraman: buni hal qilishning cheksiz ko'p usullari mavjud. Dars oxirida brifing, lekin o'zingiz uchun taxmin qilishga harakat qilganingiz ma'qul, menimcha, sizning zukkoligingiz yaxshi rivojlangan.

Ikki to'g'ri chiziq orasidagi burchak

Har bir burchak jambdir:

Geometriyada ikkita to'g'ri chiziq orasidagi burchak KICHIK burchak sifatida qabul qilinadi, undan avtomatik ravishda uning to'g'ri bo'lishi mumkin emasligi kelib chiqadi. Rasmda qizil yoy bilan ko'rsatilgan burchak kesishgan chiziqlar orasidagi burchak hisoblanmaydi. Va uning "yashil" qo'shnisi yoki qarama-qarshi yo'naltirilgan"malina" burchagi.

Agar chiziqlar perpendikulyar bo'lsa, ular orasidagi burchak sifatida 4 ta burchakdan istalgan birini olish mumkin.

Burchaklar qanday farqlanadi? Orientatsiya. Birinchidan, burchakning "aylanishi" yo'nalishi juda muhimdir. Ikkinchidan, salbiy yo'naltirilgan burchak minus belgisi bilan yoziladi, masalan, agar .

Nega buni senga aytdim? Aftidan, biz odatiy burchak tushunchasi bilan erisha olamiz. Gap shundaki, biz burchaklarni topadigan formulalar osongina salbiy natijaga olib kelishi mumkin va bu sizni ajablantirmasligi kerak. Minus belgisi bo'lgan burchak bundan ham yomon emas va juda o'ziga xos xususiyatga ega geometrik ma'no. Chizmada salbiy burchak uchun uning yo'nalishini o'q bilan (soat yo'nalishi bo'yicha) ko'rsatishni unutmang.

Ikki to'g'ri chiziq orasidagi burchakni qanday topish mumkin? Ikkita ishlaydigan formulalar mavjud:

10-misol

Chiziqlar orasidagi burchakni toping

Yechim Va Birinchi usul

dagi tenglamalar bilan berilgan ikkita to'g'ri chiziqni ko'rib chiqing umumiy ko'rinish:

To'g'ri bo'lsa perpendikulyar emas, Bu yo'naltirilgan Ularning orasidagi burchakni quyidagi formula yordamida hisoblash mumkin:

Keling, maxrajga e'tibor qarataylik - bu aniq skalyar mahsulot to'g'ri chiziqlarning yo'naltiruvchi vektorlari:

Agar , u holda formulaning maxraji nolga aylanadi va vektorlar ortogonal, chiziqlar esa perpendikulyar bo'ladi. Shuning uchun formulada to'g'ri chiziqlarning perpendikulyar emasligi haqida shart qo'yilgan.

Yuqoridagilarga asoslanib, yechimni ikki bosqichda rasmiylashtirish qulay:

1) Chiziqlar yo‘nalish vektorlarining skalyar ko‘paytmasini hisoblaymiz:

2) To'g'ri chiziqlar orasidagi burchakni formuladan foydalanib toping:

Teskari funktsiyadan foydalanib, burchakning o'zini topish oson. Bunday holda, biz arktangentning g'alatiligidan foydalanamiz (qarang. Grafiklar va xususiyatlar elementar funktsiyalar ):

Javob:

Javobda biz ko'rsatamiz aniq qiymat, shuningdek, kalkulyator yordamida hisoblangan taxminiy qiymat (har ikkala daraja va radyanda afzalroq).

Xo'sh, minus, minus, katta narsa yo'q. Mana geometrik tasvir:

Burchakning salbiy yo'nalishga ega bo'lishi ajablanarli emas, chunki muammo bayonotida birinchi raqam to'g'ri chiziq bo'lib, burchakning "ochilishi" aynan shu bilan boshlangan.

Agar siz haqiqatan ham ijobiy burchakka ega bo'lishni istasangiz, siz chiziqlarni almashtirishingiz kerak, ya'ni ikkinchi tenglamadan koeffitsientlarni olishingiz kerak. , va birinchi tenglamadan koeffitsientlarni oling. Muxtasar qilib aytganda, siz to'g'ridan-to'g'ri boshlashingiz kerak .

Men buni yashirmayman, burchak ijobiy bo'lishi uchun to'g'ri chiziqlarni o'zim tanlayman. Bu chiroyliroq, lekin boshqa hech narsa emas.

Yechimni tekshirish uchun siz transportyorni olib, burchakni o'lchashingiz mumkin.

Ikkinchi usul

Agar to'g'ri chiziqlar qiyalik va bilan tenglamalar bilan berilgan bo'lsa perpendikulyar emas, Bu yo'naltirilgan Ularning orasidagi burchakni quyidagi formula yordamida topish mumkin:

Chiziqlarning perpendikulyarlik sharti tenglik bilan ifodalanadi, aytmoqchi, undan perpendikulyar chiziqlarning burchak koeffitsientlari orasidagi juda foydali munosabat kelib chiqadi: , bu ba'zi masalalarda qo'llaniladi.

Yechim algoritmi oldingi paragrafga o'xshaydi. Lekin birinchi navbatda, to'g'ri chiziqlarimizni kerakli shaklda qayta yozamiz:

Shunday qilib, qiyaliklar:

1) Keling, chiziqlar perpendikulyar yoki yo'qligini tekshiramiz:
, ya'ni chiziqlar perpendikulyar emas.

2) formuladan foydalaning:

Javob:

To'g'ri chiziqlar tenglamalari dastlab burchak koeffitsienti bilan aniqlanganda ikkinchi usuldan foydalanish maqsadga muvofiqdir. Shuni ta'kidlash kerakki, agar kamida bitta to'g'ri chiziq ordinata o'qiga parallel bo'lsa, unda formula umuman qo'llanilmaydi, chunki bunday to'g'ri chiziqlar uchun qiyalik aniqlanmagan (maqolaga qarang). Tekislikdagi to'g'ri chiziq tenglamasi).

Uchinchi yechim bor. Maqsad, darsda muhokama qilingan formuladan foydalanib, chiziqlarning yo'nalish vektorlari orasidagi burchakni hisoblashdir Vektorlarning nuqta mahsuloti:

Bu erda biz endi yo'naltirilgan burchak haqida emas, balki "taxminan burchak" haqida gapiramiz, ya'ni natija albatta ijobiy bo'ladi. Gap shundaki, siz o'tkir burchakka ega bo'lishingiz mumkin (sizga kerakli emas). Bunday holda, siz to'g'ri chiziqlar orasidagi burchak kichikroq burchakka ega bo'lishingiz va natijada paydo bo'lgan yoy kosinusini "pi" radianlaridan (180 daraja) olib tashlashingiz kerak bo'ladi.

Xohlaganlar muammoni uchinchi yo'l bilan hal qilishlari mumkin. Ammo men baribir yo'naltirilgan burchak bilan birinchi yondashuvga yopishib olishni maslahat beraman, chunki u keng tarqalgan.

11-misol

Chiziqlar orasidagi burchakni toping.

Bu siz o'zingiz hal qilishingiz uchun misoldir. Buni ikki yo'l bilan hal qilishga harakat qiling.

Negadir ertak yo'lda o'lib qoldi... Chunki o'lmas Kashchey yo'q. Men bor, va men ayniqsa bug'langan emasman. Rostini aytsam, maqola ancha uzunroq bo'ladi deb o'yladim. Ammo men hali ham yaqinda sotib olgan shlyapa va ko'zoynakni olib, sentyabrdagi ko'l suvida suzishga boraman. Charchoq va salbiy energiyani mukammal darajada yo'qotadi.

Oldin ko'rishguncha!

Va unutmangki, Baba Yaga bekor qilinmagan =)

Yechimlar va javoblar:

3-misol:Yechim : Chiziqning yo'nalishi vektorini topamiz :

Nuqtadan foydalanib kerakli chiziq tenglamasini tuzamiz va yo'nalish vektori . Yo'nalish vektorining koordinatalaridan biri nolga teng bo'lgani uchun tenglama. shaklda qayta yozamiz:

Javob :

5-misol:Yechim :
1) Chiziq tenglamasi keling, ikkita nuqta hosil qilaylik :

2) Chiziq tenglamasi keling, ikkita nuqta hosil qilaylik :

3) o'zgaruvchilar uchun mos keladigan koeffitsientlar proportsional emas: , ya'ni chiziqlar kesishadi.
4) nuqtani toping :

Eslatma : bu erda tizimning birinchi tenglamasi 5 ga ko'paytiriladi, keyin 2-chi 1-tenglamadan had bo'yicha ayiriladi.
Javob :

Oh-oh-oh-oh-oh ... yaxshi, bu qiyin, go'yo u o'ziga bir jumlani o'qiyotgandek =) Biroq, dam olish keyinchalik yordam beradi, ayniqsa, bugun men tegishli aksessuarlarni sotib oldim. Shuning uchun, keling, birinchi bo'limga o'tamiz, umid qilamanki, maqolaning oxirigacha men quvnoq kayfiyatni saqlab qolaman.

Ikki to'g'ri chiziqning o'zaro o'rni

Tomoshabinlar xorda qo'shiq kuylaganda shunday bo'ladi. Ikki to'g'ri chiziq bo'lishi mumkin:

1) mos kelish;

2) parallel bo'lsin: ;

3) yoki bitta nuqtada kesishadi: .

Dummies uchun yordam : Iltimos, matematik kesishish belgisini eslang, u tez-tez paydo bo'ladi. Belgilanish, chiziqning nuqtadagi chiziq bilan kesishishini bildiradi.

Ikki chiziqning nisbiy o'rnini qanday aniqlash mumkin?

Birinchi holatdan boshlaylik:

Ikki chiziq mos keladi, agar ularning koeffitsientlari proportsional bo'lsa, ya'ni tenglik qanoatlantiriladigan "lambda" soni mavjud

To'g'ri chiziqlarni ko'rib chiqamiz va mos keladigan koeffitsientlardan uchta tenglama tuzamiz: . Har bir tenglamadan kelib chiqadiki, shuning uchun bu chiziqlar bir-biriga mos keladi.

Haqiqatan ham, agar tenglamaning barcha koeffitsientlari bo'lsa -1 ga (belgilarni o'zgartirish) va tenglamaning barcha koeffitsientlarini ko'paytiring 2 ga kesilganda siz bir xil tenglamani olasiz: .

Ikkinchi holat, chiziqlar parallel bo'lganda:

Ikki chiziq parallel bo'ladi, agar ularning o'zgaruvchilar koeffitsientlari proportsional bo'lsa: , Lekin.

Misol tariqasida ikkita to'g'ri chiziqni ko'rib chiqing. O'zgaruvchilar uchun mos keladigan koeffitsientlarning mutanosibligini tekshiramiz:

Biroq, bu juda aniq.

Uchinchi holat, chiziqlar kesishganda:

Ikki chiziq kesishadi, agar ularning o'zgaruvchilar koeffitsientlari proportsional bo'lmasa, ya'ni "lambda" ning tengliklari qondiriladigan bunday qiymati YO'Q

Shunday qilib, to'g'ri chiziqlar uchun biz tizim yaratamiz:

Birinchi tenglamadan , ikkinchi tenglamadan esa: , degani kelib chiqadi tizim mos kelmaydi(echimlar yo'q). Shunday qilib, o'zgaruvchilarning koeffitsientlari proportsional emas.

Xulosa: chiziqlar kesishadi

Amaliy masalalarda siz hozirgina muhokama qilingan yechim sxemasidan foydalanishingiz mumkin. Aytgancha, bu biz sinfda ko'rib chiqqan vektorlarni kollinearlik uchun tekshirish algoritmini juda eslatadi. Vektorlarning chiziqli (in) bog'liqligi tushunchasi. Vektorlar asoslari. Ammo yanada madaniyatli qadoqlash mavjud:

1-misol

Aniqlash uchun o'zaro tartibga solish bevosita:

Yechim to'g'ri chiziqlarning yo'naltiruvchi vektorlarini o'rganishga asoslangan:

a) Tenglamalardan biz chiziqlarning yo'nalish vektorlarini topamiz: .

, ya'ni vektorlar kollinear emas va chiziqlar kesishadi.

Har holda, chorrahada belgilar bilan tosh qo'yaman:

Qolganlari toshdan sakrab, to'g'ridan-to'g'ri O'lmas Kashcheyga ergashadilar =)

b) chiziqlarning yo'nalish vektorlarini toping:

Chiziqlar bir xil yo'nalish vektoriga ega, ya'ni ular parallel yoki mos keladi. Bu erda determinantni hisoblashning hojati yo'q.

Ko'rinib turibdiki, noma'lumlarning koeffitsientlari proportsionaldir va .

Keling, tenglik to'g'ri yoki yo'qligini bilib olaylik:

Shunday qilib,

c) chiziqlarning yo'nalish vektorlarini toping:

Ushbu vektorlarning koordinatalaridan tashkil topgan determinantni hisoblaymiz:
, shuning uchun yo'nalish vektorlari kollineardir. Chiziqlar parallel yoki mos keladi.

"Lambda" proportsionallik koeffitsientini to'g'ridan-to'g'ri to'g'ridan-to'g'ri chiziqli yo'nalish vektorlari munosabatidan ko'rish oson. Biroq, uni tenglamalarning koeffitsientlari orqali ham topish mumkin: .

Endi tenglik to'g'ri yoki yo'qligini bilib olaylik. Ikkala bepul shart ham nolga teng, shuning uchun:

Olingan qiymat bu tenglamani qanoatlantiradi (umuman har qanday raqam uni qanoatlantiradi).

Shunday qilib, chiziqlar bir-biriga mos keladi.

Javob:

Tez orada siz og'zaki muhokama qilingan muammoni bir necha soniya ichida hal qilishni o'rganasiz (yoki hatto allaqachon o'rgangansiz). Shu munosabat bilan, men mustaqil yechim uchun biror narsa taklif qilishning ma'nosini ko'rmayapman, geometrik poydevorga yana bir muhim g'isht qo'yish yaxshiroqdir:

Berilgan chiziqqa parallel chiziqni qanday qurish mumkin?

Buni bilmaslik uchun eng oddiy vazifa Qaroqchi bulbul qattiq jazolaydi.

2-misol

To'g'ri chiziq tenglama bilan berilgan. Nuqtadan o‘tuvchi parallel chiziq tenglamasini yozing.

Yechim: Noma'lum qatorni harf bilan belgilaymiz. Vaziyat u haqida nima deydi? To'g'ri chiziq nuqtadan o'tadi. Va agar chiziqlar parallel bo'lsa, "tse" to'g'ri chiziqning yo'nalish vektori "de" to'g'ri chiziqni qurish uchun ham mos kelishi aniq.

Yo'nalish vektorini tenglamadan chiqaramiz:

Javob:

Misol geometriyasi oddiy ko'rinadi:

Analitik test quyidagilardan iborat Keyingi qadamlar:

1) Biz chiziqlar bir xil yo'nalish vektoriga ega ekanligini tekshiramiz (agar chiziq tenglamasi to'g'ri soddalashtirilmagan bo'lsa, u holda vektorlar kollinear bo'ladi).

2) Nuqta natijaviy tenglamani qanoatlantirishini tekshiring.

Aksariyat hollarda analitik test og'zaki tarzda osonlik bilan amalga oshirilishi mumkin. Ikki tenglamani ko'rib chiqing va ko'pchiligingiz hech qanday chizmasiz chiziqlarning parallelligini tezda aniqlaydi.

Bugungi kunda mustaqil echimlar uchun misollar ijodiy bo'ladi. Chunki siz hali ham Baba Yaga bilan raqobatlashishingiz kerak bo'ladi va u, bilasizmi, har xil topishmoqlarni yaxshi ko'radi.

3-misol

Agar chiziqqa parallel nuqtadan o'tuvchi chiziq tenglamasini yozing

Uni hal qilishning oqilona va unchalik oqilona bo'lmagan usuli mavjud. Eng qisqa yo'l - dars oxirida.

Biz parallel chiziqlar bilan biroz ishladik va ularga keyinroq qaytamiz. Bir-biriga mos keladigan chiziqlar masalasi unchalik qiziq emas, shuning uchun sizga yaxshi ma'lum bo'lgan muammoni ko'rib chiqaylik maktab o'quv dasturi:

Ikki chiziqning kesishish nuqtasini qanday topish mumkin?

To'g'ri bo'lsa nuqtada kesishsa, u holda uning koordinatalari yechim hisoblanadi chiziqli tenglamalar tizimlari

Chiziqlarning kesishish nuqtasini qanday topish mumkin? Tizimni hal qiling.

Mana ikkita noma'lumli ikkita chiziqli tenglamalar tizimining geometrik ma'nosi- bu tekislikdagi ikkita kesishuvchi (ko'pincha) chiziqlar.

4-misol

Chiziqlarning kesishish nuqtasini toping

Yechim: Yechishning ikkita usuli bor - grafik va analitik.

Grafik usul oddiygina ushbu chiziqlarni chizish va kesishish nuqtasini to'g'ridan-to'g'ri chizmadan topishdir:

Mana bizning fikrimiz: . Tekshirish uchun siz uning koordinatalarini chiziqning har bir tenglamasiga almashtirishingiz kerak, ular u erda ham, u erda ham mos kelishi kerak. Boshqacha qilib aytganda, nuqtaning koordinatalari tizimning yechimidir. Asosan, biz grafik yechimni ko'rib chiqdik chiziqli tenglamalar tizimlari ikkita tenglama, ikkita noma'lum.

Grafik usul, albatta, yomon emas, lekin sezilarli kamchiliklar mavjud. Yo‘q, gap yettinchi sinf o‘quvchilari shunday qaror qabul qilishlarida emas, gap shundaki, to‘g‘ri va ANIQ chizma yaratish uchun vaqt kerak bo‘ladi. Bundan tashqari, ba'zi to'g'ri chiziqlarni qurish unchalik oson emas va kesishish nuqtasi o'ttizinchi shohlikning biron bir joyida daftar varag'idan tashqarida joylashgan bo'lishi mumkin.

Shuning uchun kesishish nuqtasini analitik usul yordamida izlash maqsadga muvofiqdir. Keling, tizimni hal qilaylik:

Tizimni yechish uchun tenglamalarni muddat bo'yicha qo'shish usuli qo'llanildi. Tegishli ko'nikmalarni rivojlantirish uchun saboq oling Tenglamalar tizimini qanday yechish mumkin?

Javob:

Tekshirish ahamiyatsiz - kesishish nuqtasining koordinatalari tizimning har bir tenglamasini qondirishi kerak.

5-misol

Chiziqlar kesishsa, ularning kesishish nuqtasini toping.

Bu siz o'zingiz hal qilishingiz uchun misoldir. Vazifani bir necha bosqichlarga bo'lish qulay. Vaziyatni tahlil qilish zarurligini ko'rsatadi:
1) To'g'ri chiziq tenglamasini yozing.
2) To‘g‘ri chiziq tenglamasini yozing.
3) Chiziqlarning nisbiy holatini aniqlang.
4) Agar chiziqlar kesishsa, u holda kesishish nuqtasini toping.

Harakatlar algoritmini ishlab chiqish ko'plab geometrik masalalar uchun xosdir va men bunga qayta-qayta e'tibor qarataman.

To'liq yechim va dars oxiridagi javob:

Darsning ikkinchi qismiga borgunimizcha bir juft poyabzal ham eskirgan emas:

Perpendikulyar chiziqlar. Nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofa.
To'g'ri chiziqlar orasidagi burchak

Keling, odatiy va juda ko'p narsadan boshlaylik muhim vazifa. Birinchi qismda biz bunga parallel ravishda qanday qilib to'g'ri chiziq qurishni bilib oldik va endi tovuq oyoqlaridagi kulba 90 gradusga aylanadi:

Berilgan chiziqqa perpendikulyar chiziqni qanday qurish mumkin?

6-misol

To'g'ri chiziq tenglama bilan berilgan. Nuqtadan o`tuvchi chiziqqa perpendikulyar tenglama yozing.

Yechim: Shartga ko'ra ma'lumki. Chiziqning yo'naltiruvchi vektorini topish yaxshi bo'lar edi. Chiziqlar perpendikulyar bo'lgani uchun hiyla oddiy:

Tenglamadan biz normal vektorni "olib tashlaymiz": , bu to'g'ri chiziqning yo'naltiruvchi vektori bo'ladi.

Nuqta va yo‘nalish vektori yordamida to‘g‘ri chiziq tenglamasini tuzamiz:

Javob:

Keling, geometrik eskizni kengaytiramiz:

Hm... To'q sariq osmon, to'q sariq dengiz, to'q sariq tuya.

Yechimni analitik tekshirish:

1) Tenglamalardan yo'nalish vektorlarini chiqaramiz va yordami bilan vektorlarning skalyar mahsuloti chiziqlar chindan ham perpendikulyar degan xulosaga kelamiz:.

Aytgancha, siz oddiy vektorlardan foydalanishingiz mumkin, bu yanada osonroq.

2) Nuqta natijaviy tenglamani qanoatlantirishini tekshiring .

Test, yana, og'zaki bajarish oson.

7-misol

Agar tenglama ma'lum bo'lsa, perpendikulyar chiziqlarning kesishish nuqtasini toping va davr.

Bu siz o'zingiz hal qilishingiz uchun misoldir. Muammo bir nechta harakatlarga ega, shuning uchun yechimni nuqta bo'yicha shakllantirish qulay.

Bizning qiziqarli sayohatimiz davom etadi:

Nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofa

Bizning oldimizda daryoning tekis chizig'i bor va bizning vazifamiz unga eng qisqa yo'l bilan borishdir. Hech qanday to'siq yo'q va eng maqbul yo'nalish perpendikulyar bo'ylab harakatlanish bo'ladi. Ya'ni, nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofa perpendikulyar segmentning uzunligidir.

Geometriyada masofa an'anaviy ravishda yunoncha "rho" harfi bilan belgilanadi, masalan: - "em" nuqtasidan "de" to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofa.

Nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofa formula bilan ifodalanadi

8-misol

Nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofani toping

Yechim: faqat raqamlarni formulaga ehtiyotkorlik bilan almashtirish va hisob-kitoblarni bajarish kifoya:

Javob:

Keling, rasm chizamiz:

Nuqtadan chiziqgacha topilgan masofa aynan qizil segmentning uzunligiga teng. Agar siz katak qog'ozga 1 birlik masshtabida chizma tuzsangiz. = 1 sm (2 hujayra), keyin masofani oddiy o'lchagich bilan o'lchash mumkin.

Xuddi shu rasmga asoslangan boshqa vazifani ko'rib chiqaylik:

1) Chiziqga perpendikulyar bo'lgan chiziqni toping.

2) Chiziqlarning kesishish nuqtasini toping: .

Ushbu darsda ikkala harakat ham batafsil muhokama qilinadi.

3) nuqta segmentning o'rta nuqtasidir. Biz o'rta va uchlaridan birining koordinatalarini bilamiz. tomonidan segmentning o'rta nuqtasining koordinatalari uchun formulalar topamiz.

Masofa ham 2,2 birlik ekanligini tekshirish yaxshi bo'lardi.

Bu erda hisob-kitoblarda qiyinchiliklar paydo bo'lishi mumkin, ammo mikrokalkulyator oddiy kasrlarni hisoblash imkonini beruvchi minorada katta yordam beradi. Men sizga ko'p marta maslahat berdim va yana tavsiya qilaman.

Ikki parallel chiziq orasidagi masofani qanday topish mumkin?

9-misol

Ikki parallel chiziq orasidagi masofani toping

Bu o'zingiz qaror qilishingiz uchun yana bir misol. Men sizga bir oz maslahat beraman: buni hal qilishning cheksiz ko'p usullari mavjud. Dars oxirida brifing, lekin o'zingiz uchun taxmin qilishga harakat qilganingiz ma'qul, menimcha, sizning zukkoligingiz yaxshi rivojlangan.

Ikki to'g'ri chiziq orasidagi burchak

Agar chiziqlar perpendikulyar bo'lsa, ular orasidagi burchak sifatida 4 ta burchakdan istalgan birini olish mumkin.

Burchaklar qanday farqlanadi? Orientatsiya. Birinchidan, burchakning "aylanishi" yo'nalishi juda muhimdir. Ikkinchidan, salbiy yo'naltirilgan burchak minus belgisi bilan yoziladi, masalan, agar .

Nega buni senga aytdim? Aftidan, biz odatiy burchak tushunchasi bilan erisha olamiz. Gap shundaki, biz burchaklarni topadigan formulalar osongina salbiy natijaga olib kelishi mumkin va bu sizni ajablantirmasligi kerak. Minus belgisi bo'lgan burchak bundan ham yomon emas va juda aniq geometrik ma'noga ega. Chizmada salbiy burchak uchun uning yo'nalishini o'q bilan (soat yo'nalishi bo'yicha) ko'rsatishni unutmang.

Ikki to'g'ri chiziq orasidagi burchakni qanday topish mumkin? Ikkita ishlaydigan formulalar mavjud:

10-misol

Chiziqlar orasidagi burchakni toping

Yechim Va Birinchi usul

Keling, umumiy shaklda tenglamalar bilan aniqlangan ikkita to'g'ri chiziqni ko'rib chiqaylik:

To'g'ri bo'lsa perpendikulyar emas, Bu yo'naltirilgan Ularning orasidagi burchakni quyidagi formula yordamida hisoblash mumkin:

Keling, maxrajga e'tibor qarataylik - bu aniq skalyar mahsulot to'g'ri chiziqlarning yo'naltiruvchi vektorlari:

Yuqoridagilarga asoslanib, yechimni ikki bosqichda rasmiylashtirish qulay:

1) Chiziqlar yo‘nalish vektorlarining skalyar ko‘paytmasini hisoblaymiz:
, ya'ni chiziqlar perpendikulyar emas.

2) To'g'ri chiziqlar orasidagi burchakni formuladan foydalanib toping:

Teskari funktsiyadan foydalanib, burchakning o'zini topish oson. Bunday holda, biz arktangentning g'alatiligidan foydalanamiz (qarang. Elementar funksiyalarning grafiklari va xossalari):

Javob:

Sizning javobingizda biz kalkulyator yordamida hisoblangan aniq qiymatni, shuningdek, taxminiy qiymatni (har ikkala daraja va radianda afzalroq) ko'rsatamiz.

Muammoni shakllantirish. Nuqtaga simmetrik bo‘lgan nuqtaning koordinatalarini toping samolyotga nisbatan.

Yechim rejasi.

1. Berilgan tekislikka perpendikulyar va nuqtadan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq tenglamasini toping. . To'g'ri chiziq berilgan tekislikka perpendikulyar bo'lganligi sababli, tekislikning normal vektorini uning yo'nalishi vektori sifatida olish mumkin, ya'ni.

Shuning uchun to'g'ri chiziq tenglamasi bo'ladi

2. Nuqtani toping to'g'ri chiziqning kesishishi va samolyotlar (13-masalaga qarang).

3. Nuqta nuqta bo'lgan segmentning o'rta nuqtasidir nuqtaga simmetrik nuqtadir , Shunung uchun

Muammo 14. Tekislikka nisbatan nuqtaga simmetrik nuqta toping.

Berilgan tekislikka perpendikulyar nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamasi:

Chiziq va tekislikning kesishish nuqtasini topamiz.

Qayerda - chiziq va tekislikning kesishish nuqtasi segmentning o'rtasidir

Bular. .

Bir hil tekislik koordinatalari. Tekislikdagi affin o'zgarishlari.

Mayli M X Va da

M(X, daMey (X, da, 1) fazoda (8-rasm).

Mey (X, da

Mey (X, da hu.

(hx, hy, h), h  0,

Izoh

h(Masalan, h

Aslida, hisobga olgan holda h

Izoh

1-misol.

b) burchakka (9-rasm).

1-qadam.

2-qadam. burchak bo'yicha aylantiring

mos keladigan transformatsiya matritsasi.

3-qadam. A(a,) vektoriga o'tkazish b)

mos keladigan transformatsiya matritsasi.

3-misol

 x o'qi bo'ylab va

1-qadam.

mos keladigan transformatsiya matritsasi.

2-qadam.

3-qadam.

biz nihoyat olamiz

Izoh

[R], [D], [M], [T],

Mayli M- koordinatali tekislikning ixtiyoriy nuqtasi X Va da, berilgan to'g'ri chiziqli koordinatalar tizimiga nisbatan hisoblangan. Bu nuqtaning bir hil koordinatalari berilgan x va y raqamlariga quyidagi munosabatlar orqali bog'langan bir vaqtning o'zida nolga teng bo'lmagan x 1, x 2, x 3 sonlarining har qanday uchligidir:

Kompyuter grafikasi masalalarini echishda bir hil koordinatalar odatda quyidagicha kiritiladi: ixtiyoriy nuqtaga M(X, da) tekislikka nuqta beriladi Mey (X, da, 1) fazoda (8-rasm).

E'tibor bering, boshlang'ichni bog'laydigan chiziqdagi ixtiyoriy nuqta, 0(0, 0, 0) nuqtasi bilan nuqta. Mey (X, da, 1), shakldagi sonlarning uchligi bilan berilishi mumkin (hx, hy, h).

Hx, hy koordinatalari bo'lgan vektor 0 (0, 0, 0) va nuqtalarni tutashtiruvchi to'g'ri chiziqning yo'nalish vektoridir. Mey (X, da, 1). Bu chiziq z = 1 tekislikni (x, y, 1) nuqtada kesib o'tadi, bu koordinata tekisligining (x, y) nuqtasini yagona aniqlaydi. hu.

Shunday qilib, koordinatalari (x, y) bo'lgan ixtiyoriy nuqta va shaklning uchlik sonlari to'plami o'rtasida

(hx, hy, h), h  0,

hx, hy, h raqamlarini ushbu nuqtaning yangi koordinatalari sifatida ko'rib chiqishga imkon beruvchi (bir-bir) yozishmalar o'rnatiladi.

Izoh

Proyektiv geometriyada keng qo'llaniladigan bir hil koordinatalar noto'g'ri deb ataladigan elementlarni (asosan proektsion tekislik tanish Evklid tekisligidan farq qiladigan elementlarni) samarali tasvirlash imkonini beradi. Kiritilgan bir hil koordinatalar tomonidan taqdim etilgan yangi imkoniyatlar haqida batafsil ma'lumot ushbu bobning to'rtinchi qismida muhokama qilinadi.

Bir hil koordinatalar uchun proyektiv geometriyada quyidagi belgilar qabul qilinadi:

x:y:1 yoki umuman olganda, x1:x2:x3

(esda tutingki, bu erda x 1, x 2, x 3 raqamlari bir vaqtning o'zida nolga aylanmasligi mutlaqo talab qilinadi).

Bir hil koordinatalardan foydalanish eng oddiy masalalarni yechishda ham qulay bo'lib chiqadi.

Masalan, miqyosdagi o'zgarishlar bilan bog'liq masalalarni ko'rib chiqing. Agar displey qurilmasi faqat butun sonlar bilan ishlasa (yoki siz faqat butun sonlar bilan ishlashingiz kerak bo'lsa), u holda ixtiyoriy qiymat uchun h(Masalan, h= 1) bir jinsli koordinatali nuqta

tasavvur qilib bo'lmaydi. Biroq, h ni oqilona tanlash bilan, bu nuqtaning koordinatalari butun sonlar bo'lishini ta'minlash mumkin. Xususan, bizda ko'rib chiqilayotgan misol uchun h = 10 uchun

Keling, boshqa ishni ko'rib chiqaylik. Transformatsiya natijalari arifmetik to'lib ketishiga olib kelmasligi uchun, koordinatali nuqta uchun (80000 40000 1000) masalan, h=0,001ni olish mumkin. Natijada biz (80 40 1) olamiz.

Berilgan misollar hisob-kitoblarni amalga oshirishda bir hil koordinatalardan foydalanishning foydaliligini ko'rsatadi. Biroq, kompyuter grafikasiga bir jinsli koordinatalarni kiritishdan asosiy maqsad ularning geometrik o'zgarishlarga qo'llanilishida shubhasiz qulaylikdir.

Bir jinsli koordinatalar va uchinchi tartibli matritsalarning uch karralaridan foydalanib, tekislikning har qanday affin transformatsiyasini tasvirlash mumkin.

Aslida, hisobga olgan holda h= 1, ikkita yozuvni solishtiring: * belgisi bilan belgilangan va quyidagi matritsa:

Oxirgi munosabatning o'ng tomonidagi ifodalarni ko'paytirgandan so'ng ikkala formulani ham (*) va 1=1 to'g'ri sonli tenglikni olishimiz oson.

Izoh

Ba'zan adabiyotda boshqa belgi qo'llaniladi - ustunli belgi:

Bu belgi yuqoridagi satr satr yozuviga teng (va undan transpozitsiya orqali olinadi).

O'zboshimchalik bilan afin transformatsiya matritsasining elementlari aniq geometrik ma'noga ega emas. Shuning uchun u yoki bu xaritalashni amalga oshirish uchun, ya'ni berilgan geometrik tavsifga muvofiq mos matritsaning elementlarini topish uchun maxsus texnikalar kerak bo'ladi. Odatda, ushbu matritsani qurish, ko'rib chiqilayotgan muammoning murakkabligiga va yuqorida tavsiflangan maxsus holatlarga muvofiq, bir necha bosqichlarga bo'linadi.

Har bir bosqichda aniq belgilangan geometrik xususiyatlarga ega yuqoridagi A, B, C yoki D holatlarining biriga yoki boshqasiga mos keladigan matritsa qidiriladi.

Tegishli uchinchi tartibli matritsalarni yozamiz.

A. Aylanish matritsasi

B. Dilatatsiya matritsasi

B. Reflektsiya matritsasi

D. Transfer matritsasi (tarjima)

Keling, tekislikning affin o'zgarishlariga misollarni ko'rib chiqaylik.

1-misol.

A nuqta atrofida aylanish matritsasini tuzing (a,b) burchakka (9-rasm).

1-qadam. Vektorga o'tkazish - A (-a, -b) aylanish markazini koordinatalar kelib chiqishi bilan tekislash uchun;

mos keladigan transformatsiya matritsasi.

2-qadam. burchak bo'yicha aylantiring

mos keladigan transformatsiya matritsasi.

3-qadam. A(a,) vektoriga o'tkazish b) aylanish markazini oldingi holatiga qaytarish;

mos keladigan transformatsiya matritsasi.

Matritsalarni qanday yozilgan bo'lsa, xuddi shunday tartibda ko'paytiramiz:

Natijada, kerakli transformatsiya (matritsa yozuvida) quyidagicha ko'rinishini topamiz:

Olingan matritsaning elementlarini (ayniqsa oxirgi qatorda) eslab qolish unchalik oson emas. Shu bilan birga, uchta ko'paytiriladigan matritsalarning har biri mos keladigan xaritalashning geometrik tavsifidan osongina tuzilishi mumkin.

3-misol

Uzatilish koeffitsientlari bilan cho'zilgan matritsani tuzing x o'qi bo'ylab va ordinata o'qi bo'ylab va markaz A(a, b) nuqtada.

1-qadam. Cho'zish markazini koordinatalar kelib chiqishi bilan tekislash uchun -A(-a, -b) vektoriga o'tkazing;

mos keladigan transformatsiya matritsasi.

2-qadam. va  koeffitsientlari bilan koordinata o'qlari bo'ylab cho'zish; transformatsiya matritsasi shaklga ega

3-qadam. Stretch markazini oldingi holatiga qaytarish uchun A(a, b) vektoriga o'tkazing; mos keladigan transformatsiya matritsasi -

Matritsalarni bir xil tartibda ko'paytirish

biz nihoyat olamiz

Izoh

Xuddi shunday fikrlash, ya'ni taklif qilingan transformatsiyani matritsalar tomonidan qo'llab-quvvatlanadigan bosqichlarga ajratish[R], [D], [M], [T], uning geometrik tavsifidan har qanday affin transformatsiyaning matritsasini qurish mumkin.

Shift qo'shish orqali, masshtablash va aylantirish esa ko'paytirish orqali amalga oshiriladi.

Masshtabni o'zgartirish (kengayish) kelib chiqishiga nisbatan quyidagi shaklga ega:

yoki matritsa shaklida:

Qayerda Dx,Dy o'qlar bo'ylab masshtablash omillari va

- masshtablash matritsasi.

D > 1 bo'lganda, kengayish 0 bo'lganda sodir bo'ladi<=D<1- сжатие

Aylanish transformatsiyasi kelib chiqishiga nisbatan quyidagi shaklga ega:

yoki matritsa shaklida:

bu yerda ph - burilish burchagi, va

- aylanish matritsasi.

Izoh: Aylanish matritsasining ustunlari va satrlari o'zaro ortogonal birlik vektorlari. Aslida, qator vektorlari uzunliklarining kvadratlari bittaga teng:

cosph cosph+sinph sinph = 1 va (-sinph) (-sinph)+cosph cosph = 1,

qator vektorlarining skalyar mahsuloti esa

cosph (-sinph) + sinph cosph= 0.

Vektorlarning skalyar mahsulotidan beri A · B = |A| ·| B| ·cosps, bu yerda | A| - vektor uzunligi A, |B| - vektor uzunligi B, va ps - ular orasidagi eng kichik musbat burchak, u holda uzunligi 1 bo'lgan ikkita qator vektorning skalyar ko'paytmasining 0 tengligidan ular orasidagi burchak 90 ° ga teng ekanligi kelib chiqadi.

Kosmosdagi to'g'ri chiziq har doim ikkita parallel bo'lmagan tekislikning kesishish chizig'i sifatida belgilanishi mumkin. Agar bitta tekislikning tenglamasi ikkinchi tekislikning tenglamasi bo'lsa, chiziq tenglamasi quyidagicha beriladi.

Bu yerga kollinear bo'lmagan
. Bu tenglamalar deyiladi umumiy tenglamalar to'g'ridan-to'g'ri kosmosda.

Chiziqning kanonik tenglamalari

Berilgan chiziqda yoki unga parallel bo'lgan nolga teng bo'lmagan har qanday vektor bu chiziqning yo'nalish vektori deyiladi.

Agar nuqta ma'lum bo'lsa
to'g'ri chiziq va uning yo'nalishi vektori
, u holda chiziqning kanonik tenglamalari quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi:

. (9)

Chiziqning parametrik tenglamalari

Chiziqning kanonik tenglamalari berilsin

Bu erdan chiziqning parametrik tenglamalarini olamiz:

(10)

Bu tenglamalar chiziq va tekislikning kesishish nuqtasini topish uchun foydalidir.

Ikki nuqtadan o'tuvchi chiziq tenglamasi
Va
shaklga ega:

To'g'ri chiziqlar orasidagi burchak

To'g'ri chiziqlar orasidagi burchak

ularning yo'nalish vektorlari orasidagi burchakka teng. Shuning uchun uni (4) formuladan foydalanib hisoblash mumkin:

Parallel chiziqlar uchun shart:

Samolyotlarning perpendikulyar bo'lish sharti:

Nuqtaning chiziqdan uzoqligi

P nuqta berilgan deylik
va tekis

To'g'ri chiziqning kanonik tenglamalaridan biz nuqtani bilamiz
, chiziqqa tegishli va uning yo'nalishi vektori
. Keyin nuqta masofasi
to'g'ri chiziqdan vektorlarga qurilgan parallelogramm balandligiga teng Va
. Demak,

Chiziqlarning kesishishi sharti

Ikki parallel bo'lmagan chiziq

agar va faqat bo'lsa kesishadi

To'g'ri chiziq va tekislikning o'zaro o'rni.

To'g'ri chiziq berilgan bo'lsin
va samolyot. Burchak ular orasidagi formula yordamida topish mumkin

Muammo 73. Chiziqning kanonik tenglamalarini yozing

(11)

Yechim. (9) chiziqning kanonik tenglamalarini yozish uchun chiziqqa tegishli har qanday nuqta va chiziqning yo'nalish vektorini bilish kerak.

Keling, vektorni topamiz , bu chiziqqa parallel. Bu tekisliklarning normal vektorlariga perpendikulyar bo'lishi kerakligi sababli, ya'ni.

,
, Bu

To'g'ri chiziqning umumiy tenglamalaridan biz buni olamiz
,
. Keyin

Nuqtaidan beri
Agar chiziqning istalgan nuqtasi bo'lsa, unda uning koordinatalari chiziq tenglamalarini qondirishi kerak va ulardan birini belgilash mumkin, masalan,
, biz (11) tizimdan qolgan ikkita koordinatani topamiz:

Bu yerdan,
.

Shunday qilib, kerakli chiziqning kanonik tenglamalari quyidagi shaklga ega:

yoki
.

Muammo 74.

Va
.

Yechim. Birinchi qatorning kanonik tenglamalaridan nuqtaning koordinatalari ma'lum
chiziqqa tegishli, va yo'nalish vektorining koordinatalari
. Ikkinchi chiziqning kanonik tenglamalaridan nuqtaning koordinatalari ham ma'lum
va yo'nalish vektorining koordinatalari
.

Parallel chiziqlar orasidagi masofa nuqta masofasiga teng
ikkinchi to'g'ri chiziqdan. Bu masofa formula bo'yicha hisoblanadi

Vektorning koordinatalarini topamiz
.

Keling, vektor mahsulotini hisoblaylik
:

Muammo 75. Nuqta toping simmetrik nuqta
nisbatan tekis

Yechim. Berilgan chiziqqa perpendikulyar va nuqtadan o'tuvchi tekislik tenglamasini yozamiz . Oddiy vektor sifatida to'g'ri chiziqning yo'naltiruvchi vektorini olishingiz mumkin. Keyin
. Demak,

Keling, bir nuqtani topaylik
bu chiziq va tekislikning kesishish nuqtasi P. Buning uchun (10) tenglamalar yordamida chiziqning parametrik tenglamalarini yozamiz, olamiz.

Demak,
.

Mayli
nuqtaga simmetrik nuqta
bu chiziqqa nisbatan. Keyin ishora qiling
o'rta nuqta
. Nuqtaning koordinatalarini topish uchun Biz segmentning o'rta nuqtasining koordinatalari uchun formulalardan foydalanamiz:

,
,
.

Shunday qilib,
.

Muammo 76. Chiziqdan o'tuvchi tekislik tenglamasini yozing
Va

a) nuqta orqali
;

b) tekislikka perpendikulyar.

Yechim. Keling, ushbu chiziqning umumiy tenglamalarini yozamiz. Buning uchun ikkita tenglikni hisobga oling:

Bu shuni anglatadiki, kerakli tekislik generatorlari bo'lgan tekisliklar to'plamiga tegishli va uning tenglamasini (8) ko'rinishda yozish mumkin:

a) Keling, topamiz
Va tekislikning nuqtadan o'tishi shartidan
, shuning uchun uning koordinatalari tekislik tenglamasini qanoatlantirishi kerak. Nuqtaning koordinatalarini almashtiramiz
bir qator tekisliklar tenglamasiga:

Qiymat topildi
Uni (12) tenglamaga almashtiramiz. Biz kerakli tekislikning tenglamasini olamiz:

b) Keling, topamiz
Va kerakli tekislikning tekislikka perpendikulyar bo'lishi shartidan. Berilgan tekislikning normal vektori
, kerakli tekislikning normal vektori (samolyotlar to'plamining tenglamasiga qarang (12).