Navbat nazariyasi ehtimollar nazariyasining bo'limlaridan biridir. Bu nazariya ko'rib chiqadi ehtimolli vazifalar va matematik modellar(bundan oldin biz deterministik matematik modellarni ko'rib chiqdik). Eslatib o‘tamiz:
Deterministik matematik model ob'ektning (tizimning, jarayonning) xatti-harakatlarini nuqtai nazardan aks ettiradi to'liq ishonch hozirgi va kelajakda.
Ehtimoliy matematik model ob'ekt (tizim, jarayon) xatti-harakatiga tasodifiy omillarning ta'sirini hisobga oladi va shuning uchun kelajakni ma'lum hodisalarning ehtimoli nuqtai nazaridan baholaydi.
Bular. Bu erda, masalan, o'yin nazariyasi muammolari ko'rib chiqiladi sharoitlardanoaniqlik.
Muammoga kiritilgan noaniq omillar tasodifiy o'zgaruvchilar (yoki tasodifiy funktsiyalar) bo'lsa, birinchi navbatda "stokastik noaniqlik" ni tavsiflovchi ba'zi tushunchalarni ko'rib chiqaylik, ularning ehtimollik xususiyatlari ma'lum yoki tajribadan olinishi mumkin. Bunday noaniqlik "qulay", "yaxshi" deb ham ataladi.
Tasodifiy jarayon tushunchasi
To'g'ri aytganda, tasodifiy buzilishlar har qanday jarayonga xosdir. "Tasodifiy bo'lmagan" jarayonga qaraganda tasodifiy jarayonga misollar keltirish osonroq. Hatto, masalan, soatni ishlatish jarayoni (bu qat'iy kalibrlangan ish - "soat kabi ishlaydi") tasodifiy o'zgarishlarga duchor bo'ladi (oldinga siljish, orqada qolish, to'xtash). Ammo bu buzilishlar ahamiyatsiz va bizni qiziqtiradigan parametrlarga kam ta'sir qilar ekan, biz ularni e'tiborsiz qoldirib, jarayonni deterministik, tasodifiy bo'lmagan deb hisoblashimiz mumkin.
Qandaydir tizim bo'lsin S(texnik qurilma, bunday qurilmalar guruhi, texnologik tizim - mashina, uchastka, ustaxona, korxona, sanoat va boshqalar). Tizimda S oqadi tasodifiy jarayon, agar u vaqt o'tishi bilan o'z holatini o'zgartirsa (bir holatdan ikkinchisiga o'tsa), bundan tashqari, oldindan noma'lum tasodifiy tarzda.
Misollar: 1. Tizim S– texnologik tizim (mashina uchastkasi). Mashinalar vaqti-vaqti bilan buziladi va ta'mirlanadi. Ushbu tizimda sodir bo'ladigan jarayon tasodifiydir.
2. Tizim S- ma'lum bir marshrut bo'ylab ma'lum balandlikda uchadigan samolyot. Bezovta qiluvchi omillar - ob-havo sharoiti, ekipajning xatolari va boshqalar, oqibatlar - chayqalishlar, parvozlar jadvalini buzish va boshqalar.
Markov tasodifiy jarayon
Tizimda sodir bo'ladigan tasodifiy jarayon deyiladi Markovskiy, agar har qanday vaqt uchun t 0 kelajakdagi jarayonning ehtimollik xarakteristikalari faqat uning hozirgi holatiga bog'liq t 0 va tizim bu holatga qachon va qanday erishganiga bog'liq emas.
Tizim t 0 momentida ma'lum bir holatda bo'lsin S 0 . Biz tizimning hozirgi holatining xususiyatlarini, qachon sodir bo'lgan hamma narsani bilamiz t<t 0 (jarayon tarixi). Kelajakni bashorat qilish (bashorat qilish) mumkinmi, ya'ni. qachon nima bo'ladi t>t 0 ? Aniq emas, lekin kelajakda jarayonning ba'zi ehtimollik xususiyatlarini topish mumkin. Misol uchun, ehtimol, bir muncha vaqt o'tgach, tizim S qila oladi S 1 yoki holatda qoladi S 0 va boshqalar.
Misol. Tizim S- havo janglarida qatnashuvchi samolyotlar guruhi. Mayli x- "qizil" samolyotlar soni, y- "ko'k" samolyotlar soni. Vaqtiga qadar t 0 omon qolgan (urib tushirilmagan) samolyotlar soni, mos ravishda - x 0 ,y 0 . Bizni hozirda son jihatdan ustunlik "qizillar" tomonida bo'lishi ehtimoli qiziq. Bu ehtimollik o'sha paytda tizim qanday holatda bo'lganiga bog'liq t 0, va qachon va qanday ketma-ketlikda urib tushirilganlar hozirgacha vafot etgan t 0 samolyot.
Amalda Markov qayta ishlaydi sof shakl odatda topilmaydi. Ammo "tarixdan oldingi" ta'sirini e'tiborsiz qoldiradigan jarayonlar mavjud. Va bunday jarayonlarni o'rganishda Markov modellaridan foydalanish mumkin (navbat nazariyasi Markov navbat tizimlarini hisobga olmaydi, lekin ularni tavsiflovchi matematik apparat ancha murakkab).
Operatsion tadqiqotlarda katta ahamiyatga ega diskret holatlar va uzluksiz vaqtga ega Markov tasodifiy jarayonlariga ega.
Jarayon deyiladi diskret holat jarayoni, agar uning mumkin bo'lgan holatlari bo'lsa S 1 ,S 2, ... oldindan aniqlanishi mumkin va tizimning holatdan holatga o'tishi deyarli bir zumda "sakrashda" sodir bo'ladi.
Jarayon deyiladi doimiy vaqt jarayoni, agar vaziyatdan holatga mumkin bo'lgan o'tish momentlari oldindan belgilanmagan bo'lsa, lekin noaniq, tasodifiy bo'lsa va har qanday vaqtda sodir bo'lishi mumkin.
Misol. Texnologik tizim (bo'lim) S har biri ikkita mashinadan iborat tasodifiy moment vaqt muvaffaqiyatsiz bo'lishi mumkin (muvaffaqiyatsiz), shundan so'ng jihozni ta'mirlash darhol boshlanadi, shuningdek, noma'lum, tasodifiy vaqt davomida davom etadi. Quyidagi tizim holatlari mumkin:
S 0 - ikkala mashina ham ishlayapti;
S 1 - birinchi mashina ta'mirlanmoqda, ikkinchisi ishlamoqda;
S 2 - ikkinchi mashina ta'mirlanmoqda, birinchisi ishlayapti;
S 3 - ikkala mashina ham ta'mirlanmoqda.
Tizim o'tishlari S davlatdan holatga deyarli bir zumda, ma'lum bir mashina ishlamay qolgan yoki ta'mirlash tugallangan tasodifiy daqiqalarda sodir bo'ladi.
Diskret holatlar bilan tasodifiy jarayonlarni tahlil qilishda geometrik sxemadan foydalanish qulay - davlat grafigi. Grafikning uchlari tizimning holatidir. Grafik yoylar - bir holatdan o'tish mumkin
1-rasm. Tizim holati grafigi
davlat. Bizning misolimiz uchun holat grafigi 1-rasmda ko'rsatilgan.
Eslatma. Davlatdan o'tish S 0 dyuym S 3 rasmda ko'rsatilmagan, chunki mashinalar bir-biridan mustaqil ravishda ishlamay qoladi deb taxmin qilinadi. Biz ikkala mashinaning bir vaqtning o'zida ishlamay qolishi ehtimolini e'tiborsiz qoldiramiz.
Vaqt parametrining har qanday berilgan qiymatidan keyin evolyutsiyasi t (\displaystyle t) oldingi evolyutsiyaga bog'liq emas t (\displaystyle t), agar jarayonning hozirgi qiymati aniq bo'lsa ("jarayonning kelajagi" ma'lum "hozirgi" bilan "o'tmish" ga bog'liq emas; boshqa talqin (Wentzel): jarayonning "kelajagiga" bog'liq. "o'tmishda" faqat "hozirgi" orqali).
Entsiklopedik YouTube
1 / 3
15-ma'ruza: Markov tasodifiy jarayonlari
Markov zanjirlarining kelib chiqishi
Markovning umumlashtirilgan jarayon modeli
Subtitrlar
Hikoya
Markov jarayonini belgilaydigan xususiyat odatda Markovian deb ataladi; U birinchi bo'lib A. A. Markov tomonidan ishlab chiqilgan bo'lib, u 1907 yil ishlarida qaram testlar ketma-ketligini va ular bilan bog'liq bo'lgan summalarni o'rganishni boshlagan. tasodifiy o'zgaruvchilar. Ushbu tadqiqot yo'nalishi Markov zanjiri nazariyasi deb nomlanadi.
Uzluksiz vaqtli Markov jarayonlarining umumiy nazariyasining asoslari Kolmogorov tomonidan qo'yilgan.
Markov mulki
Umumiy holat
Mayli (Ō , F , P) (\ displaystyle (\ Omega , (\ mathcal (F)), \ mathbb (P)))- filtrlash bilan ehtimollik maydoni (F t , t ∈ T) (\displaystyle ((\mathcal (F))_(t),\ t\in T)) ba'zi (qisman buyurtma qilingan) to'plam ustida T (\displaystyle T); qo'yib yubor (S , S) (\displaystyle (S,(\mathcal (S))))- o'lchanadigan joy. Tasodifiy jarayon X = (X t , t ∈ T) (\displaystyle X=(X_(t),\ t\in T)), filtrlangan ehtimollik maydonida aniqlangan, qondirish deb hisoblanadi Markov mulki, agar har biri uchun A ∈ S (\displaystyle A\in (\mathcal (S))) Va s, t ∈ T: s<
t
{\displaystyle s,t\in T:s
Markov jarayoni qanoatlantiradigan tasodifiy jarayondir Markov mulki tabiiy filtrlash bilan.
Diskret vaqtli Markov zanjirlari uchun
Agar S (\displaystyle S) diskret to'plamdir va T = N (\displaystyle T=\mathbb (N)), ta'rifni qayta shakllantirish mumkin:
P (X n = x n | X n - 1 = x n - 1 , X n - 2 = x n - 2 , … , X 0 = x 0) = P (X n = x n | X n - 1 = x n - 1) (\displaystyle \mathbb (P) (X_(n)=x_(n)|X_(n-1)=x_(n-1),X_(n-2)=x_(n-2),\nuqtalar , X_(0)=x_(0))=\mathbb (P) (X_(n)=x_(n)|X_(n-1)=x_(n-1))).Markov jarayoniga misol
Keling, Markov tasodifiy jarayonining oddiy misolini ko'rib chiqaylik. Nuqta abscissa o'qi bo'ylab tasodifiy harakat qiladi. Nol vaqtda nuqta boshlang'ichda bo'ladi va u erda bir soniya qoladi. Bir soniyadan so'ng, tanga tashlanadi - agar gerb tushib qolsa, X nuqtasi uzunlikning bir birligini o'ngga, agar raqam bo'lsa - chapga siljitadi. Bir soniyadan so'ng, tanga yana tashlanadi va bir xil tasodifiy harakat qilinadi va hokazo. Nuqta o‘rnini o‘zgartirish jarayoni (“yurish”) diskret vaqtga ega (t=0, 1, 2, ...) va sanaladigan holatlar to‘plamiga ega bo‘lgan tasodifiy jarayondir. Bunday tasodifiy jarayon Markov deb ataladi, chunki nuqtaning keyingi holati faqat hozirgi (hozirgi) holatga bog'liq va o'tmishdagi holatlarga bog'liq emas (nuqta qaysi yo'nalishda va qaysi vaqt davomida joriy koordinataga etib kelganligi muhim emas) .
MARKOV JARAYONI
Ta'sirsiz jarayon - tasodifiy jarayon, vaqt parametrining har qanday berilgan qiymatidan keyin t evolyutsiyasi oldingi evolyutsiyaga bog'liq emas t, bunda jarayonning qiymati qat'iy bo'lishi sharti bilan (qisqasi: jarayonning "kelajak"i va "o'tmishi" ma'lum "hozirgi" bilan bir-biriga bog'liq emas).
Magnit maydonni belgilaydigan xususiyat odatda deyiladi Markovian; uni birinchi marta A. A. Markov shakllantirgan. Biroq, allaqachon L.Bachelier ishida Brownianni magnit maydon sifatida talqin qilishga urinish, N. Wiener tadqiqotidan keyin oqlangan urinishni aniqlash mumkin (N. Wiener, 1923). Uzluksiz vaqtli magnit jarayonlarning umumiy nazariyasining asoslari A. N. Kolmogorov tomonidan qo'yilgan.
Markov mulki. M.ning bir-biridan sezilarli farq qiladigan taʼriflari mavjud. O'lchanadigan fazodan qiymatlari bo'lgan tasodifiy jarayon bu erda ehtimollik maydonida berilsin T - real o'qning kichik to'plami Let Nt(mos ravishda Nt).da s-algebra mavjud
X(lar).at miqdorlar bilan hosil qilingan
Qayerda
Boshqa so'z bilan, Nt(mos ravishda Nt) t momentgacha (t dan boshlab) jarayonning evolyutsiyasi bilan bog'liq hodisalar to'plamidir. .
X(t) jarayoni chaqiriladi Markov jarayoni, agar (deyarli aniq) Markov mulki hamma uchun tegishli bo'lsa:
yoki, nima bir xil, agar mavjud bo'lsa
M. p., buning uchun T natural sonlar to'plamida joylashgan, deyiladi. Markov zanjiri(ammo oxirgi atama ko'pincha eng ko'p sanaladigan E ishi bilan bog'lanadi) .
Agar sanash mumkin boʻlgandan koʻp boʻlgan interval boʻlsa, M. chaqiriladi. uzluksiz vaqt Markov zanjiri. Uzluksiz vaqtli magnit jarayonlarga misollar diffuziya jarayonlari va mustaqil o'sish jarayonlari, shu jumladan Puasson va Wiener jarayonlari bilan ta'minlanadi.
Keyinchalik, aniqlik uchun biz faqat ish haqida gapiramiz 
Formulalar (1) va (2) maʼlum boʻlgan “hozirgi”ni hisobga olgan holda “oʻtmish” va “kelajak”ning mustaqillik tamoyilining aniq talqinini beradi, biroq ularga asoslangan M. taʼrifi yetarli darajada moslashuvchan emasligi maʼlum boʻldi. Bir emas, balki (1) yoki (2) turdagi shartlar to'plamini ko'rib chiqish zarur bo'lgan ko'plab vaziyatlar, garchi ma'lum bir tarzda kelishilgan bo'lsa-da, ushbu turdagi mulohazalar qabul qilinishiga olib keldi quyidagi ta'rif (qarang,).
Quyidagilar berilsin:
a) bu yerda s-algebra E dagi barcha singl to'plamlarni o'z ichiga oladi;
b) s-algebralar oilasi bilan jihozlangan o'lchovli, agar shunday bo'lsa
V) ("") x t =xt(w) ,
har qanday o'lchanadigan xaritalash uchun aniqlash
d) har biri uchun va s-algebra bo'yicha ehtimollik o'lchovi shundayki, funktsiya 
agar va ga nisbatan o'lchanadigan
Ismlar to'plami (tugatmaydigan) Markov jarayoni if -deyarli ishonch bilan belgilangan
Nima bo'lishidan qat'i nazar, bu erda - elementar hodisalar fazosi, - faza fazosi yoki holat fazosi, P( s, x, t, V)- o'tish funktsiyasi yoki jarayonning o'tish ehtimoli X(t) .
Agar E topologiyaga ega bo'lsa va Borel to'plami bo'lsa E, keyin M. p.da berilganligini aytish odat tusiga kiradi E. Odatda, M. p ning ta'rifi, keyin ehtimollik sifatida talqin qilinishi kerak bo'lgan talabni o'z ichiga oladi x s = x.
Savol tug'iladi: har bir Markov o'tish funktsiyasi P( s, x;t, V),
oʻlchovli fazoda berilgan maʼlum bir M. fazosining oʻtish funksiyasi sifatida koʻrib chiqilishi mumkin, agar javob ijobiy boʻlsa, masalan, E ajraladigan lokal ixcham fazo boʻlsa va unda Borel toʻplamlari toʻplami boʻlsa. E. Bundan tashqari, ruxsat bering E - to'liq metrik bo'sh joy va ruxsat
har qanday joyda a nuqtaning elektron qo‘shnisining to‘ldiruvchisi X. Keyin mos keladigan magnit maydonni o'ngda uzluksiz va chap tomonda chegaralari bo'lgan deb hisoblash mumkin (ya'ni uning traektoriyalarini shunday tanlash mumkin). Uzluksiz magnit maydonning mavjudligi sharti bilan ta'minlanadi (qarang, ). Mexanik jarayonlar nazariyasida asosiy e'tibor bir jinsli (vaqt bo'yicha) jarayonlarga beriladi. Tegishli ta'rif berilgan tizimni nazarda tutadi ob'ektlar a) - d) farq bilan, uning tavsifida paydo bo'lgan s va u parametrlari uchun endi faqat 0 qiymatiga ruxsat beriladi.
Bundan tashqari, W fazosining bir xilligi taxmin qilinadi, ya'ni har qanday uchun talab qilinadi. 
shunday narsa bor edi 
(w) bilan Shu tufayli s-algebrada N, shaklning har qanday hodisasini o'z ichiga olgan W dagi eng kichik s-algebra 
vaqtni o'zgartirish operatorlari q ko'rsatilgan t, to'plamlarni birlashma, kesish va ayirish amallarini saqlaydigan va qaysi uchun
Ismlar to'plami (tugamaydigan) bir hil Markov jarayoni if -deyarli ishonch bilan belgilangan
X(t) jarayonining O‘tish funksiyasi uchun P() hisoblanadi. t, x, V), va, agar maxsus shartlar mavjud bo'lmasa, ular qo'shimcha ravishda talab qiladilar, shuni yodda tutish kerakki, (4) ni tekshirishda faqat shakl to'plamlarini hisobga olish kifoya. 
va bu (4) har doim Ft tugallanishlar kesishuviga teng s-algebra bilan almashtirilishi mumkin Ft barcha mumkin bo'lgan o'lchovlar uchun ko'pincha m ("boshlang'ich") ehtimollik o'lchovi belgilanadi va Markov tasodifiy funktsiyasi ko'rib chiqiladi 
tenglik bilan berilgan o'lchov qayerda
M. p. bosqichma-bosqich o'lchanadi, agar har bir t>0 uchun funktsiya s-algebra bo'lgan joyda o'lchanadigan qiymatni keltirib chiqarsa.
Borel to'plamlari . To'g'ri doimiy deputatlar asta-sekin o'lchanadi. Geterogen ishni bir hil holga keltirishning bir usuli bor (qarang) va keyin biz bir hil deputatlar haqida gapiramiz.
Qattiq. O'lchanadigan joy berilsin.
Funktsiya chaqiriladi Markov lahzasi, Agar 
Barcha uchun
Bunda ular F t if at turkumiga kiradi (ko‘pincha F t X(t) evolyutsiyasi bilan bog‘liq hodisalar yig‘indisi sifatida talqin qilinadi. t momentigacha). Ishonish uchun
Progressiv ravishda o'lchanadigan M. Xnaz. qat'iy Markov jarayoni (s.m.p.), har qanday Markov moment m va barcha uchun bo'lsa 
va nisbat
(qat'iy Markov mulki) to'plamda deyarli aniq tutadi W t . Tekshirishda (5) faqat qaerda shakl to'plamlarini ko'rib chiqish kifoya 
bu holda, S. m. fazo, masalan, topologikdagi har qanday toʻgʻri uzluksiz Feller M. fazosidir. bo'sh joy E. M. p. Feller Markov jarayoni, agar funktsiya
f uzluksiz va chegaralangan bo'lganda uzluksizdir.
bilan sinfda. m.p. ayrim kichik sinflar ajratiladi. Markovian P( t, x, V),
metrik lokal ixcham fazoda belgilangan E, Stokastik uzluksiz:
Har bir nuqtaning har qanday qo'shni U uchun U holda operatorlar uzluksiz va cheksizda yo'q bo'lib ketadigan funktsiyalarni o'zlariga olishsa, u holda P(. t, x, V) standart M. p.ga javob beradi. X, ya'ni bilan o'ngda davomli. m.p., buning uchun
- deyarli ko'pchilikda 
a o'sish bilan kamaymaydigan Pmarkov momentlari. Markov jarayonini tugatish. Ko'pincha jismoniy Tugamaydigan magnit maydondan foydalangan holda tizimlarni tasvirlash tavsiya etiladi, lekin faqat tasodifiy uzunlikdagi vaqt oralig'ida. Bundan tashqari, hatto magnit jarayonlarning oddiy o'zgarishlari ham tasodifiy oraliqda belgilangan traektoriyalarga ega bo'lgan jarayonga olib kelishi mumkin (qarang. Funktsional Markov jarayonidan). Ushbu mulohazalardan kelib chiqqan holda, buzilgan deputat tushunchasi kiritiladi.
O'tish funktsiyasiga ega bo'lgan faza fazosida bir jinsli M.P bo'lsin 
nuqta va funksiya bo'lsin 
shundayki, agar va aks holda (agar maxsus bandlar bo'lmasa, ko'rib chiqing). Yangi traektoriya x t(w) tenglik orqali faqat ) uchun belgilanadi 
a Ft to'plamdagi kabi aniqlanadi
Qayerga belgilang 
chaqirdi z vaqtida tugatish (yoki o'ldirish) orqali olingan tugatuvchi Markov jarayoni (o.m.p.) orqali. z qiymati deyiladi tanaffus lahzasi yoki hayot vaqti, o. m.p. Yangi jarayonning fazaviy fazosi bu erda s-algebraning izi bor E. O'tish funktsiyasi o. m.p. - to'plam uchun cheklash 
X(t) jarayoni chaqiriladi qat'iy Markov jarayoni yoki standart Markov jarayoni, agar u tegishli xususiyatga ega bo'lsa, tugatmaydigan MPni o deb hisoblash mumkin. m.p. sinish momenti bilan Geterogen o. m.p. xuddi shunday tarzda aniqlanadi. M.
Markov jarayonlari va. Braun harakati tipidagi MPlar parabolik differensial tenglamalar bilan chambarchas bog'liq. turi. O'tish p(s, x, t, y) diffuziya jarayoni ma'lum qo'shimcha taxminlar ostida Kolmogorovning teskari va to'g'ridan-to'g'ri differentsial tenglamalarini qondiradi:
Funktsiya p( s, x, t, y).tenglamalarning Green funksiyasi (6) - (7) va diffuziya jarayonlarini qurishning birinchi ma'lum usullari differensial tenglamalar (6) - (7) uchun ushbu funktsiyaning mavjudligi haqidagi teoremalarga asoslangan edi. Vaqtning bir xil jarayoni uchun L( s, x)= L(x).bo'yicha silliq funksiyalar xarakteristikaga to'g'ri keladi. operator M. p. (qarang O'tish operatori yarim guruhi).
Matematika. diffuziya jarayonlaridan turli funktsiyalarni kutishlari tegishli chegaraviy muammolarni hal qilish uchun xizmat qiladi. differensial tenglama(1). Mayli - matematik. o'lchovdagi kutish Keyin funktsiya atni qondiradi s
Xuddi shunday, funktsiya
bilan qanoatlantiradi s
va shart va 2 ( T, x) = 0.
tt chegaraga birinchi yetib borish momenti bo'lsin dD mintaqa
jarayon traektoriyasi
Keyin, muayyan sharoitlarda, funktsiya
tenglamani qanoatlantiradi
va to'plamda cp qiymatlarini oladi
Umumiy chiziqli parabolik uchun 1-chegaraviy masala yechimi. 2-tartibli tenglamalar
juda umumiy taxminlar ostida shaklda yozilishi mumkin
L va funktsiyalari bo'lgan holatda s, f ga bog'liq emas s,(9) ga o'xshash tasvir chiziqli elliptikani yechish uchun ham mumkin. tenglamalar Aniqroq aytganda, funktsiya
muayyan taxminlar ostida muammolar mavjud
L operatori degeneratsiyalanganda (del b() s, x) = 0
).yoki dD yetarlicha "yaxshi" emas chegara qiymatlari (9), (10) funktsiyalar tomonidan alohida nuqtalarda yoki butun to'plamlarda qabul qilinishi mumkin emas; Operator uchun muntazam chegara nuqtasi tushunchasi L ehtimollik talqiniga ega. Chegaraning muntazam nuqtalarida chegara qiymatlariga (9), (10) funktsiyalar orqali erishiladi. (8), (11) masalalarni yechish bizga mos keladigan diffuziya jarayonlari va ularning funksional xususiyatlarini o'rganish imkonini beradi.
Masalan, (6), (7) tenglamalar yechimlarini qurishga tayanmaydigan MPlarni qurish usullari mavjud. usuli stokastik differensial tenglamalar, o'lchovning mutlaqo uzluksiz o'zgarishi va hokazo. Ushbu holat (9), (10) formulalar bilan birgalikda (8) tenglama uchun chegaraviy masalalarning xususiyatlarini, shuningdek, ni hal qilish xususiyatlarini ehtimollik bilan qurish va o'rganish imkonini beradi. mos keladigan elliptik. tenglamalar
Stokastik differensial tenglamaning yechimi matritsaning degeneratsiyasiga befarq bo'lgani uchun b( s, x), Bu elliptik va parabolik differensial tenglamalarni degeneratsiyalash uchun yechimlar tuzishda ehtimollik usullaridan foydalanilgan. N. M. Krilov va N. N. Bogolyubovlarning o'rtacha hisoblash printsipini stokastik differensial tenglamalarga kengaytirish (9) yordamida elliptik va parabolik differensial tenglamalar uchun mos natijalarni olish imkonini berdi. Ma'lum bo'lishicha, ehtimollik mulohazalaridan foydalangan holda, eng yuqori hosiladagi kichik parametrli ushbu turdagi tenglamalar yechimlarining xususiyatlarini o'rganishning muayyan qiyin masalalarini hal qilish mumkin edi. (6) tenglama uchun 2-chegaraviy masala yechimi ham ehtimollik ma’nosiga ega. Cheklanmagan domen uchun chegaraviy masalalarni shakllantirish tegishli diffuziya jarayonining takrorlanishi bilan chambarchas bog'liq.
Vaqtli bir hil jarayonda (L s ga bog'liq emas), ko'paytma konstantagacha bo'lgan tenglamaning ijobiy yechimi MP ning statsionar taqsimot zichligi bilan mos keladi nochiziqli paraboliklar uchun chegaraviy masalalarni ko'rib chiqishda foydali bo'ladi. tenglamalar. R. 3. Xasminskiy.
Lit.: Markov A. A., "Izvestiya. Qozon universitetining fizika-matematika jamiyati", 1906 yil, 15-son, 4-bet. 135-56; V a sh e l i e r L., "Ann. olim. Ekole norma, super.", 1900, v. 17, b. 21-86; Kolmogorov A.N., "Matematik. Ann.", 1931, Bd 104, S. 415-458; rus. Tarjima - "Uspekhi Matematicheskikh Nauk", 1938, asr. 5, p. 5-41; Zhun Kay-lay, Bir jinsli Markov zanjirlari, trans. ingliz tilidan, M., 1964; R e 1 1 e r V., "Ann. Matematik.", 1954, v. 60, p. 417-36; Dynkin E.B., Yushkevich A.A., "Ehtimollik nazariyasi va uning ilovalari", 1956 yil, 1-jild. 1, p. 149-55; Xant J.-A., Markov jarayonlari va potentsiallari, trans. ingliz tilidan, M., 1962; D e l l a sh e r i K., Imkoniyatlar va tasodifiy jarayonlar, trans. frantsuz tilidan, M., 1975; Dynk va E.V., Markov jarayonlari nazariyasi asoslari, M., 1959; uning, Markov jarayonlari, M., 1963; G va h man I., S k o r o x o d A. V., Tasodifiy jarayonlar nazariyasi, 2-jild, M., 1973; Freidlin M.I., kitobda: Fan natijalari. Ehtimollar nazariyasi, . - Nazariy. 1966, M., 1967, bet. 7-58; X a sminskiy R. 3. “Ehtimollik nazariyasi va uning ilovalari”, 1963 yil, 8-jild
Markov jarayoni- diskret yoki uzluksiz tasodifiy X(t) jarayoni, uni ikkita kattalik yordamida to‘liq aniqlash mumkin: t vaqtidagi x(t) tasodifiy o‘zgaruvchining x ga teng bo‘lish ehtimoli P(x,t) va P(x2, t2½x1t1) bu... ... Iqtisodiy va matematik lug'at
Markov jarayoni- diskret yoki uzluksiz tasodifiy jarayon X(t), uni ikkita kattalik yordamida to‘liq aniqlash mumkin: t vaqtidagi x(t) tasodifiy o‘zgaruvchining x ga teng bo‘lish ehtimoli P(x,t) va P(x2) ehtimoli. , t2? x1t1) agar x t = t1 da... ... Texnik tarjimon uchun qo'llanma
Tasodifiy jarayonlarning muhim maxsus turi. Markov jarayoniga radioaktiv moddaning parchalanishi misol bo'la oladi, bunda berilgan atomning qisqa vaqt ichida parchalanish ehtimoli oldingi davrdagi jarayonning borishiga bog'liq emas.... ... Katta ensiklopedik lug'at - Markovo procesas statusas T sritis automatika atitikmenys: engl. Markovprocess vok. Markovprozeß, m rus. Markov jarayoni, m; Markov jarayoni, m pranc. jarayon markovien, m … Avtomatik terminų žodynas
Markov jarayoni- Markovo vyksmas statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. Markov jarayoni; Markovian jarayoni vok. Markow Prozeß, m; Markowscher Prozeß, m rus. Markov jarayoni, m; Markov jarayoni, m pranc. jarayon de Markoff, m; processus marcovien, m;… … Fizikos terminų žodynas
Tasodifiy jarayonlarning muhim maxsus turi. Markov jarayoniga radioaktiv moddaning parchalanishi misol bo'la oladi, bunda berilgan atomning qisqa vaqt ichida parchalanish ehtimoli oldingi davrdagi jarayonning borishiga bog'liq emas.... ... ensiklopedik lug'at
Tabiiy fanlar va texnologiyaning turli sohalarida ehtimollar nazariyasini qo'llashda katta ahamiyatga ega bo'lgan tasodifiy jarayonlarning muhim maxsus turi (Qarang: Tasodifiy jarayon). Magnit jarayonga radioaktiv moddaning parchalanishi misol bo'la oladi.…… Buyuk Sovet Entsiklopediyasi
1906 yilda matematika sohasidagi ajoyib kashfiyot rus olimi A.A. Markov.
So'rovlar oqimining Puasson tabiati va xizmat ko'rsatish vaqtining eksponensial taqsimoti haqidagi taxminlar bizga navbat nazariyasida Markov tasodifiy jarayonlari deb ataladigan apparatni qo'llash imkonini berishi bilan qimmatlidir.
Jismoniy tizimda sodir bo'ladigan jarayon, agar vaqtning har bir lahzasi uchun tizimning kelajakdagi har qanday holatining ehtimoli faqat tizimning hozirgi holatiga bog'liq bo'lsa va shunday bo'lsa, Markov jarayoni (yoki oqibatsiz jarayon) deb ataladi. tizim bu holatga qanday kelganiga bog'liq emas.
Markov tasodifiy jarayonining elementar misolini ko'rib chiqamiz. Nuqta abscissa o'qi bo'ylab tasodifiy harakat qiladi. Vaqt momentida nuqta boshlang'ichda bo'lib, u erda bir soniya qoladi. Bir soniyadan keyin tanga tashlanadi; agar gerb tushib qolsa, nuqta uzunlikning bir birligini o'ngga, raqam chapga siljiydi. Bir soniyadan so'ng, tanga yana tashlanadi va xuddi shu tasodifiy harakat amalga oshiriladi va hokazo. Nuqtaning o'rnini o'zgartirish jarayoni (yoki ular aytganidek, "yurish") diskret vaqt va sanab o'tiladigan to'plamga ega bo'lgan tasodifiy jarayondir. shtatlarning
Ushbu jarayon uchun mumkin bo'lgan o'tish diagrammasi rasmda ko'rsatilgan. 19.7.1.
Keling, bu jarayon Markovian ekanligini ko'rsataylik. Darhaqiqat, bir vaqtning o'zida tizim, masalan, bir holatda - boshlang'ichning o'ng tomonida bir birlik ekanligini tasavvur qilaylik. Vaqt birligidan keyin nuqtaning mumkin bo'lgan pozitsiyalari 1/2 va 1/2 ehtimollik bilan bo'ladi; ikki birlik orqali - , , ehtimolliklari 1/4, ½, 1/4 va hokazo. Shubhasiz, bu ehtimollarning barchasi nuqta ma'lum bir daqiqada qayerda ekanligiga bog'liq va u erga qanday etib kelganiga mutlaqo bog'liq emas.
Keling, yana bir misolni ko'rib chiqaylik. Turlarning elementlaridan (qismlaridan) tashkil topgan va turli chidamlilikka ega bo'lgan texnik qurilma mavjud. Ushbu elementlar tasodifiy vaqtda va bir-biridan mustaqil ravishda muvaffaqiyatsiz bo'lishi mumkin. Har bir elementning to'g'ri ishlashi qurilmaning umuman ishlashi uchun mutlaqo zarurdir. Elementning nosozliksiz ishlash vaqti eksponensial qonun bo'yicha taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchidir; turdagi elementlar uchun ushbu qonunning parametrlari va parametrlari mos ravishda boshqacha va tengdir. Qurilma ishlamay qolgan taqdirda, sabablarni aniqlash uchun darhol choralar ko'riladi va aniqlangan noto'g'ri element darhol yangisi bilan almashtiriladi. Qurilmani tiklash (ta'mirlash) uchun zarur bo'lgan vaqt eksponensial qonunga muvofiq parametr (agar turdagi element bo'lsa) va (agar turdagi element bo'lsa) muvaffaqiyatsiz bo'lsa taqsimlanadi.
Ushbu misolda tizimda sodir bo'ladigan tasodifiy jarayon doimiy vaqt va chekli holatlar to'plamiga ega bo'lgan Markov jarayonidir:
Barcha elementlar ish holatida, tizim ishlayapti,
Tur elementi noto'g'ri, tizim ta'mirlanmoqda,
Tur elementi noto'g'ri, tizim ta'mirlanmoqda.
Mumkin bo'lgan o'tishlarning diagrammasi rasmda ko'rsatilgan. 19.7.2.
Darhaqiqat, jarayon Markov xususiyatiga ega. Masalan, hozirgi vaqtda tizim bir holatda (funktsional) bo'lsin. Har bir elementning nosozliksiz ishlash muddati ko'rsatkich bo'lganligi sababli, kelajakda har bir elementning ishdan chiqishi uning qancha vaqt ishlaganiga (u qachon etkazib berilgan) bog'liq emas. Shu sababli, kelajakda tizimning bir holatda qolishi yoki uni tark etishi ehtimolligi jarayonning "tarixdan oldingi" ga bog'liq emas. Keling, hozirgi vaqtda tizim holatida (tur elementi noto'g'ri) deb faraz qilaylik. Ta'mirlash vaqti ham ko'rsatkich bo'lganligi sababli, ta'mirlashni istalgan vaqtda yakunlash ehtimoli ta'mirlash qachon boshlanganiga va qolgan (xizmat ko'rsatish mumkin bo'lgan) elementlar qachon etkazib berilganiga bog'liq emas. Shunday qilib, jarayon Markoviandir.
E'tibor bering, elementning ishlash vaqtining eksponensial taqsimoti va ta'mirlash vaqtining eksponensial taqsimoti muhim shartlar bo'lib, ularsiz jarayon Markovian bo'lmaydi. Darhaqiqat, elementning to'g'ri ishlash vaqti eksponensial qonun bo'yicha emas, balki boshqa qonun bo'yicha - masalan, hududdagi bir xil zichlik qonuniga muvofiq taqsimlangan deb faraz qilaylik. Bu shuni anglatadiki, har bir element ma'lum vaqt davomida ishlashi kafolatlanadi va undan tortib to bo'limda har qanday vaqtda bir xil ehtimollik zichligi bilan ishlamay qolishi mumkin. Keling, bir vaqtning o'zida element to'g'ri ishlayapti deb faraz qilaylik. Shubhasiz, kelajakda bir vaqtning o'zida elementning ishdan chiqishi ehtimoli element qancha vaqt oldin o'rnatilganiga bog'liq, ya'ni oldingi tarixga bog'liq va jarayon Markovian bo'lmaydi.
Vaziyat ta'mirlash vaqti bilan o'xshash; agar u indikativ bo'lmasa va element hozirda ta'mirlansa, qolgan ta'mirlash vaqti qachon boshlanganiga bog'liq; jarayon yana Markovian bo'lmaydi.
Umuman olganda, uzluksiz vaqtli Markov tasodifiy jarayonlari nazariyasida eksponensial taqsimot alohida rol o'ynaydi. Statsionar Markov jarayonida tizimning har qanday holatda qoladigan vaqti har doim eksponensial qonun bo'yicha taqsimlanishini tekshirish oson (parametr, umuman olganda, ushbu holatga bog'liq). Haqiqatan ham, hozirda tizim bir holatda va bir muncha vaqt oldin bo'lgan deb faraz qilaylik. Markov jarayonining ta'rifiga ko'ra, kelajakdagi har qanday hodisaning ehtimoli oldingi tarixga bog'liq emas; xususan, tizimning vaqt ichida bir holatni tark etish ehtimoli tizim bu holatda qancha vaqt o'tkazganiga bog'liq bo'lmasligi kerak. Binobarin, tizimning shtatda qolgan vaqti eksponensial qonunga muvofiq taqsimlanishi kerak.
Agar sanab o'tiladigan holatlar to'plami va uzluksiz vaqtga ega bo'lgan jismoniy tizimda sodir bo'ladigan jarayon Markovian bo'lsa, bu jarayon noma'lum funktsiyalar holat ehtimoli bo'lgan oddiy differentsial tenglamalar yordamida tasvirlanishi mumkin. Bunday tenglamalarning tuzilishi va yechilishini biz quyida oddiy navbat tizimi misolida ko'rsatamiz.
Tasodifiy jarayon - bu qiymatlari vaqt parametri bilan indekslanadigan tasodifiy o'zgaruvchilar to'plami yoki oilasi. Masalan, sinfdagi o‘quvchilar soni, atmosfera bosimi yoki shu sinfdagi haroratning vaqtga bog‘liqligi tasodifiy jarayonlardir.
Tasodifiy jarayonlar murakkab stokastik tizimlarni o'rganishda bunday tizimlar ishlashining adekvat matematik modellari sifatida keng qo'llaniladi.
Tasodifiy jarayonlar uchun asosiy tushunchalar tushunchalardir jarayon holati Va o'tish u bir holatdan boshqasiga.
Ma'lum bir vaqtda tasodifiy jarayonni tavsiflovchi o'zgaruvchilarning qiymatlari deyiladi holattasodifiyjarayon. Tasodifiy jarayon, agar bir holatni belgilaydigan o'zgaruvchilarning qiymatlari boshqa holatni belgilaydigan qiymatlarga o'zgartirilsa, bir holatdan ikkinchisiga o'tishni amalga oshiradi.
Tasodifiy jarayonning mumkin bo'lgan holatlar soni (holat fazosi) chekli yoki cheksiz bo'lishi mumkin. Agar mumkin bo'lgan holatlar soni cheklangan yoki sanab bo'ladigan bo'lsa (barcha mumkin bo'lgan holatlarga seriya raqamlari berilishi mumkin), u holda tasodifiy jarayon deyiladi. diskret holatlar bilan jarayon. Masalan, do'kondagi mijozlar soni, kun davomida bankdagi mijozlar soni diskret holatlar bilan tasodifiy jarayonlar bilan tavsiflanadi.
Agar tasodifiy jarayonni tavsiflovchi o'zgaruvchilar chekli yoki cheksiz uzluksiz oraliqdan istalgan qiymatlarni olishi mumkin bo'lsa va shuning uchun holatlar soni hisoblab bo'lmaydigan bo'lsa, tasodifiy jarayon deyiladi. uzluksiz holatlar bilan jarayon. Masalan, kun davomida havo harorati doimiy holatlarga ega bo'lgan tasodifiy jarayondir.
Diskret holatlarga ega bo'lgan tasodifiy jarayonlar bir holatdan ikkinchi holatga keskin o'tish bilan tavsiflanadi, uzluksiz holatlarga ega bo'lgan jarayonlarda esa o'tish silliqdir. Keyinchalik biz faqat diskret holatlarga ega bo'lgan jarayonlarni ko'rib chiqamiz, ular tez-tez chaqiriladi zanjirlar.
bilan belgilaymiz g(t) diskret holatlar va mumkin bo'lgan qiymatlarga ega bo'lgan tasodifiy jarayondir g(t), ya'ni. sxemaning mumkin bo'lgan holatlari, - belgilar orqali E 0 , E 1 , E 2 , … . Ba'zan tabiiy qatorlardan 0, 1, 2,... raqamlari diskret holatlarni belgilash uchun ishlatiladi.
Tasodifiy jarayon g(t) deyiladi jarayonBilandiskretvaqt, agar jarayonning holatdan holatga o'tishi faqat qat'iy belgilangan, oldindan belgilangan vaqtlarda mumkin bo'lsa. t 0 , t 1 , t 2 , … . Agar jarayonning holatdan holatga o'tishi oldindan noma'lum bo'lgan har qanday vaqtda mumkin bo'lsa, u holda tasodifiy jarayon deyiladi. jarayondoimiy bilanvaqt. Birinchi holda, o'tishlar orasidagi vaqt oraliqlari deterministik, ikkinchisida esa tasodifiy o'zgaruvchilar ekanligi aniq.
Diskret vaqtli jarayon yoki tizimning ushbu jarayon bilan tavsiflangan tuzilishi uning holatlari faqat vaqtning oldindan belgilangan nuqtalarida o'zgarishi mumkin bo'lganda yoki jarayonni (tizimni) tavsiflash uchun etarli deb hisoblanganda sodir bo'ladi. Vaqtning ma'lum nuqtalarida shtatlarni bilish. Keyin bu daqiqalarni raqamlash mumkin va biz davlat haqida gapirishimiz mumkin E i bir vaqtning o'zida t i .
Diskret holatlarga ega bo'lgan tasodifiy jarayonlarni o'tishlar (yoki holatlar) grafigi sifatida tasvirlash mumkin, bunda cho'qqilar holatlarga mos keladi va yo'naltirilgan yoylar bir holatdan ikkinchisiga o'tishga mos keladi. Agar davlatdan E i faqat bitta holatga o'tish mumkin E j, keyin bu fakt o'tish grafigida tepadan yo'naltirilgan yoy bilan aks ettiriladi E i tepaga E j(1-rasm, a). Bir holatdan bir nechta boshqa holatlarga va bir nechta holatdan bir holatga o'tish 1, b va 1, v-rasmda ko'rsatilganidek, o'tish grafigida aks ettirilgan.
