Diskret tasodifiy miqdorlarning taqsimlanish qonunlari. Geometrik taqsimot

8-MA'RUZA

Diskret tasodifiy miqdorlarning ehtimollik taqsimotlari.Binomiy taqsimot. Puasson taqsimoti. Geometrik taqsimot. Yaratish funktsiyasi.

6. EHTIMOLLIKLARNING TARQATISHLARI
DISKRET TASODIY O'ZGARCHILAR

Binomiy taqsimot

Ishlab chiqarilsin n mustaqil sinovlar, ularning har birida hodisa A U paydo bo'lishi yoki ko'rinmasligi mumkin. Ehtimollik p hodisaning yuzaga kelishi A barcha testlarda doimiy va testdan testga o'zgarmaydi. X tasodifiy o'zgaruvchi sifatida hodisaning sodir bo'lish sonini ko'rib chiqing A bu testlarda. Voqea sodir bo'lish ehtimolini topish formulasi A
silliq k har bir marta n testlar, ma'lumki, tasvirlangan Bernulli formulasi

Bernulli formulasi bilan aniqlangan ehtimollar taqsimoti deyiladi binom .

Bu qonun "binomial" deb ataladi, chunki o'ng tomon Nyuton binomialining kengayishida umumiy atama sifatida ko'rib chiqilishi mumkin.

Binomial qonunni jadval shaklida yozamiz

Keling, ushbu taqsimotning sonli xarakteristikalarini topamiz.

.

Nyuton ikkilik bo'lgan tenglikni yozamiz

.

va p ga nisbatan farqlang. Natijada biz olamiz

.

Chap va o'ng tomonlarni ko'paytiring p:

.

Shuni hisobga olib p+q=1, bizda bor

(6.2)

Shunday qilib, n ta mustaqil sinovda hodisalarning sodir bo'lish sonining matematik kutilishi n sinovlar sonining har bir sinovda voqea sodir bo'lish ehtimoli p ga ko'paytmasiga teng..

Formuladan foydalanib dispersiyani hisoblaymiz

Buning uchun biz topamiz

.

Avval Nyutonning binomial formulasini ga nisbatan ikki marta farqlaylik p:

va tenglikning ikkala tomonini ga ko'paytiring p 2:

Demak,

Demak, binomial taqsimotning dispersiyasi

. (6.3)

Bu natijalarni sof sifatli fikrlash orqali ham olish mumkin. Barcha sinovlar davomida A hodisasining umumiy X soni individual sinovlarda sodir bo'lgan hodisalar sonining yig'indisidir. Shuning uchun, agar X 1 hodisaning birinchi sinovda, X 2 - ikkinchisida va hokazo bo'lsa, u holda barcha sinovlarda A hodisasining umumiy soni X = X 1 + X 2 ga teng bo'ladi. +…+X n. Matematik kutish xususiyatiga ko'ra:

Tenglikning o'ng tomonidagi shartlarning har biri bir sinovdagi hodisalar sonining matematik kutishidir, bu hodisa ehtimoliga teng. Shunday qilib,

Dispersiya xususiyatiga ko'ra:

Chunki , va faqat ikkita qiymatni qabul qilishi mumkin bo'lgan tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi, ya'ni ehtimollik bilan 1 2 p va ehtimollik bilan 0 2 q, Bu. Shunday qilib, Natijada, biz olamiz

Boshlang'ich va markaziy momentlar tushunchasidan foydalanib, biz assimetriya va kurtoz uchun formulalarni olishimiz mumkin:

. (6.4)

Binom taqsimotining ko'pburchagi quyidagi shaklga ega (6.1-rasmga qarang). Ehtimollik P n(k) birinchi navbatda ortishi bilan ortadi k, eng yuqori qiymatiga etadi va keyin pasayishni boshlaydi. Holatdan tashqari binomial taqsimot egri p=0,5. E'tibor bering, ko'p sonli testlar bilan n Binom taqsimoti normaga juda yaqin. (Ushbu taklifning mantiqiy asosi Moivre-Laplasning mahalliy teoremasi bilan bog'liq.)

Hodisa sodir bo'lgan m 0 soni deyiladi katta ehtimol bilan, agar ushbu testlar seriyasida hodisaning ma'lum bir necha marta sodir bo'lish ehtimoli eng katta bo'lsa (tarqatish poligonida maksimal). Binomiy taqsimot uchun

. (6.5)

Izoh. Bu tengsizlikni binomial ehtimollar uchun takroriy formula yordamida isbotlash mumkin:

(6.6)

6.1-misol. Ushbu korxonada premium mahsulotlar ulushi 31 foizni tashkil etadi. Matematik kutish va tafovut, shuningdek, 75 ta mahsulotning tasodifiy tanlangan partiyasidagi eng yuqori darajadagi mahsulotlarning eng ehtimoliy soni qanday?

Yechim. Chunki p=0,31, q=0,69, n=75, keyin

M[ X] = n.p.= 75×0,31 = 23,25; D[ X] = npq= 75 × 0,31 × 0,69 = 16,04.

Eng ehtimoliy raqamni topish uchun m 0, keling, qo'sh tengsizlik hosil qilaylik

Bundan kelib chiqadi m 0 = 23.

Puasson taqsimoti

Yuqorida aytib o'tilganidek, binomial taqsimot qachon normalga yaqinlashadi n®¥. Biroq, bu o'sish bilan birga sodir bo'lmaydi n miqdorlardan biri p yoki q nolga intiladi. Bunday holda, asimptotik Puasson formulasi amal qiladi, ya'ni. da n®¥, p®0

, (6.7)

bu erda l = n.p.. Bu formula aniqlaydi Puasson taqsimot qonuni , bu faqat binomial taqsimotning maxsus holati sifatida emas, balki mustaqil ma'noga ega. Binom taqsimotidan farqli o'laroq, bu erda tasodifiy o'zgaruvchi k cheksiz miqdordagi qiymatlarni qabul qilishi mumkin: k=0,1,2,…

Puasson qonuni l parametri bilan xarakterlanadigan doimiy oʻrtacha intensivlik bilan bir-biridan mustaqil ravishda sodir boʻlishi sharti bilan teng vaqt oraligʻida sodir boʻladigan k hodisalar sonini tavsiflaydi. Puasson taqsimoti ko'pburchagi rasmda ko'rsatilgan. 6.2. E'tibor bering, katta l poygalar uchun
Puasson taqsimoti normaga yaqinlashadi. Shuning uchun Puasson taqsimoti, qoida tariqasida, l birlik tartibida va sinovlar soni bo'lgan hollarda qo'llaniladi. n yuqori bo'lishi kerak va voqea sodir bo'lish ehtimoli p har bir testda kichik. Shu munosabat bilan Puasson qonuni ham deyiladi nodir hodisalarning tarqalish qonuni.

Puasson taqsimoti sodir bo'ladigan holatlarga quyidagi taqsimotlarni misol qilib keltirish mumkin: 1) hajm birligidagi ma'lum mikroblar soni; 2) qizdirilgan katoddan vaqt birligida chiqadigan elektronlar soni; 3) radioaktiv manba tomonidan ma'lum vaqt oralig'ida chiqariladigan a-zarralar soni; 4) kunning ma'lum bir vaqtida telefon stantsiyasiga kelgan qo'ng'iroqlar soni va boshqalar.

Puasson qonunini jadval shaklida yozamiz

Keling, barcha ehtimollar yig'indisi birga teng ekanligini tekshiramiz:

Keling, ushbu taqsimotning sonli xarakteristikalarini topamiz. DSV uchun matematik kutishning ta'rifi bo'yicha bizda bor

E'tibor bering, oxirgi yig'indida yig'ish boshlanadi k=1, chunki ga to'g'ri keladigan summaning birinchi muddati k=0, nolga teng.

Dispersiyani topish uchun biz birinchi navbatda tasodifiy kvadratning matematik taxminini topamiz:

Shunday qilib, Puasson qonuni bo'yicha taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi va dispersiyasi mos keladi va ushbu taqsimotning parametriga tengdir.

. (6.8)

Bu Puasson taqsimotining o'ziga xos xususiyati. Shunday qilib, agar eksperimental ma'lumotlarga asoslanib, ma'lum bir qiymatning matematik kutilishi va dispersiyasi bir-biriga yaqin ekanligi aniqlansa, bu tasodifiy o'zgaruvchi Puasson qonuniga muvofiq taqsimlangan deb taxmin qilish uchun asos bor.

Boshlang'ich va markaziy momentlar tushunchasidan foydalanib, biz Puasson taqsimoti uchun egrilik koeffitsienti va kurtoz teng ekanligini ko'rsatishimiz mumkin:

. (6.9)

l parametri har doim ijobiy bo'lganligi sababli, Puasson taqsimoti har doim ijobiy egrilik va kurtozga ega.

Keling, Puasson formulasini hodisalarning eng oddiy oqimining matematik modeli sifatida ko'rib chiqish mumkinligini ko'rsatamiz.

Voqealar oqimi tasodifiy vaqtda sodir bo'ladigan voqealar ketma-ketligini chaqiring. Oqim deyiladi eng oddiy, agar u xususiyatlarga ega bo'lsa statsionarlik, keyingi ta'sir yo'q Va oddiylik.

Oqim intensivligi l - vaqt birligida sodir bo'ladigan hodisalarning o'rtacha soni.

Agar oqim intensivligi konstantasi l ma'lum bo'lsa, u holda paydo bo'lish ehtimoli k vaqt ichida eng oddiy oqim hodisalari t Puasson formulasi bilan aniqlanadi:

. (6.10)

Ushbu formula eng oddiy oqimning barcha xususiyatlarini aks ettiradi. Bundan tashqari, har qanday eng oddiy oqim Puasson formulasi bilan tavsiflanadi, shuning uchun eng oddiy oqimlar ko'pincha deyiladi Puasson.

Statsionarlik xususiyati k har qanday davrdagi voqealar faqat raqamga bog'liq k va davomiyligi bo'yicha t vaqt davri va uni hisoblash boshlanishiga bog'liq emas. Boshqacha qilib aytganda, agar oqim statsionarlik xususiyatiga ega bo'lsa, u holda paydo bo'lish ehtimoli k ma'lum bir vaqt oralig'idagi voqealar t ga bog'liq bo'lgan funksiya mavjud k va dan t.

Eng oddiy oqim holatida Puasson formulasidan (6.10) kelib chiqadiki, ehtimollik k davomidagi voqealar t, berilgan intensivlikda, faqat ikkita argumentning funktsiyasidir: k Va t, bu statsionarlik xususiyatini tavsiflaydi.

Keyingi ta'sir xususiyati yo'q sodir bo'lish ehtimoli k har qanday davrda sodir bo'lgan voqealar ko'rib chiqilayotgan davr boshlanishidan oldingi vaqtlarda sodir bo'lgan yoki paydo bo'lmaganiga bog'liq. Boshqacha qilib aytganda, oqim tarixi yaqin kelajakda sodir bo'ladigan voqealar ehtimoliga ta'sir qilmaydi.

Eng oddiy oqim holatida, Puasson formulasi (6.10) ko'rib chiqilayotgan vaqt davri boshlanishidan oldin sodir bo'lgan hodisalar to'g'risidagi ma'lumotlardan foydalanmaydi, bu esa keyingi ta'sirlarning yo'qligi xususiyatini tavsiflaydi.

Oddiylik mulki ikki yoki undan ortiq hodisaning qisqa vaqt ichida sodir bo'lishi amalda mumkin emasligidir. Boshqacha qilib aytganda, qisqa vaqt ichida bir nechta hodisaning sodir bo'lish ehtimoli faqat bitta hodisaning sodir bo'lish ehtimoli bilan solishtirganda ahamiyatsiz.

Puasson formulasi (6.10) oddiylik xususiyatini aks ettirishini ko'rsatamiz. Qo'yish k=0 va k=1, biz mos ravishda hech qanday hodisa sodir bo'lmasligi va bitta hodisaning yuzaga kelish ehtimolini topamiz:

Shuning uchun bir nechta hodisaning sodir bo'lish ehtimoli

Maklaurin qatoridagi funktsiyani kengaytirishdan foydalanib, elementar transformatsiyalardan so'ng biz olamiz

.

Taqqoslash Pt(1) va Pt(k>1), biz kichik qiymatlar uchun degan xulosaga keldik t oddiylik xususiyatini tavsiflovchi bir hodisaning yuzaga kelish ehtimoli bilan solishtirganda bir nechta hodisaning yuzaga kelish ehtimoli ahamiyatsiz.

6.2-misol. Ruterford va Geygerning kuzatishlarida radioaktiv modda 7,5 vaqt oralig'ida. sek o‘rtacha 3,87 a-zarracha chiqargan. 1 uchun bo'lish ehtimolini toping sek bu modda kamida bitta zarracha chiqaradi.

Yechim. Yuqorida aytib o'tganimizdek, radioaktiv manba tomonidan chiqarilgan a-zarralar sonining ma'lum vaqt oralig'ida taqsimlanishi Puasson formulasi bilan tavsiflanadi, ya'ni. hodisalarning eng oddiy oqimini tashkil qiladi. 1 uchun a-zarralar chiqarish intensivligidan beri sek teng

,

keyin Puasson formulasi (6.10) shaklni oladi

Shunday qilib, ehtimollik t=1 sek modda chiqaradi kamida bitta zarracha teng bo'ladi

Geometrik taqsimot

Birinchi zarba va ehtimollikgacha berilgan nishonda otishma amalga oshirilsin p har bir zarbada nishonga tegish bir xil bo'ladi va oldingi o'qlarning natijalariga bog'liq emas. Boshqacha aytganda, ko'rib chiqilayotgan tajribada Bernulli sxemasi amalga oshiriladi. X tasodifiy o'zgaruvchisi sifatida biz otilgan o'qlar sonini ko'rib chiqamiz. Shubhasiz, X tasodifiy o'zgaruvchining mumkin bo'lgan qiymatlari natural sonlardir: x 1 =1, x 2 =2, ... u holda kerak bo'lish ehtimoli k zarbalar teng bo'ladi

. (6.11)

Ushbu formulada faraz qiling k=1,2, ... birinchi had bilan geometrik progressiyani olamiz p va multiplikator q:

Shu sababli (6.11) formula bilan aniqlangan taqsimot deyiladi geometrik .

Cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya yig‘indisi formulasidan foydalanib, buni tekshirish oson.

.

Geometrik taqsimotning son xarakteristikalarini topamiz.

DSV uchun matematik kutishning ta'rifi bo'yicha bizda bor

.

Formuladan foydalanib dispersiyani hisoblaymiz

.

Buning uchun biz topamiz

.

Demak,

.

Demak, geometrik taqsimotning matematik kutilishi va dispersiyasi teng

. (6.12)

6.4.* Yaratish funksiyasi

DSV bilan bog'liq muammolarni hal qilishda ko'pincha kombinatorik usullar qo'llaniladi. Kombinatoriy tahlilning eng rivojlangan nazariy usullaridan biri funksiyalarni hosil qilish usuli bo'lib, u amaliy dasturlarda eng kuchli usullardan biridir. Keling, u bilan qisqacha tanishamiz.

Agar x tasodifiy o'zgaruvchisi faqat manfiy bo'lmagan butun qiymatlarni qabul qilsa, ya'ni.

,

Bu hosil qiluvchi funktsiya x tasodifiy miqdorning ehtimollik taqsimoti funksiya deyiladi

, (6.13)

Qayerda z- haqiqiy yoki murakkab o'zgaruvchi. Shu esta tutilsinki bir nechta ishlab chiqaruvchi funktsiyalar o'rtasida j x ( x)va ko'plab tarqatishlar(P(x= k)} yakkama-yakka yozishmalar mavjud.

X tasodifiy o'zgaruvchiga ega bo'lsin binomial taqsimot

.

Keyin, Nyutonning binomial formulasidan foydalanib, biz olamiz

,

bular. binomial taqsimot hosil qiluvchi funktsiya kabi ko'rinadi

. (6.14)

Qo'shish. Puasson hosil qiluvchi funktsiya

kabi ko'rinadi

. (6.15)

Geometrik taqsimotning hosil qiluvchi funksiyasi

kabi ko'rinadi

. (6.16)

Yaratuvchi funktsiyalardan foydalanib, DSV ning asosiy raqamli xususiyatlarini topish qulay. Misol uchun, birinchi va ikkinchi boshlang'ich momentlar hosil qiluvchi funktsiya bilan quyidagi tengliklar bilan bog'langan:

, (6.17)

. (6.18)

Funksiyalarni yaratish usuli ko'pincha qulaydir, chunki ba'zi hollarda DSV ning tarqatish funktsiyasini aniqlash juda qiyin, generatsiya funktsiyasini esa ba'zan topish oson. Misol uchun, Bernullining ketma-ket mustaqil test dizaynini ko'rib chiqing, lekin unga bitta o'zgartirish kiriting. Voqea sodir bo'lish ehtimoliga ruxsat bering A suddan sudgacha farq qiladi. Bu shuni anglatadiki, Bernulli formulasi bunday sxema uchun qo'llanilmaydi. Bu holda taqsimot funktsiyasini topish vazifasi sezilarli qiyinchiliklarni keltirib chiqaradi. Biroq, ushbu sxema uchun ishlab chiqaruvchi funktsiyani topish oson va shuning uchun mos keladigan raqamli xarakteristikalarni topish oson.

Ishlab chiqaruvchi funktsiyalarning keng qo'llanilishi tasodifiy o'zgaruvchilar yig'indisini o'rganish mos keladigan hosil qiluvchi funktsiyalarning mahsulotlarini o'rganish bilan almashtirilishi mumkinligiga asoslanadi. Shunday qilib, agar x 1, x 2, …, x bo'lsa n demak mustaqildirlar

Mayli p k=Pk(A) - "muvaffaqiyat" ehtimoli k- Bernulli pallasida test (mos ravishda, q k=1–p k- "muvaffaqiyatsizlik" ehtimoli k test). Keyin, (6.19) formulaga muvofiq, hosil qiluvchi funktsiya shaklga ega bo'ladi

. (6.20)

Ushbu ishlab chiqarish funktsiyasidan foydalanib, biz yozishimiz mumkin

.

Bu erda e'tiborga olinadi p k +q k=1. Endi (6.1) formuladan foydalanib, biz ikkinchi boshlang'ich momentni topamiz. Buning uchun avval hisoblab chiqamiz

Va .

Maxsus holatda p 1 =p 2 =…=p n=p(ya'ni binomial taqsimotda) olingan formulalardan Mx= ekanligi kelib chiqadi n.p., Dx= npq.

Diskret tasodifiy miqdorlarni taqsimlashning eng keng tarqalgan qonunlarini ajratib ko'rsatishimiz mumkin:

• Binomiy taqsimot qonuni
• Puasson taqsimot qonuni
• Geometrik taqsimot qonuni
• Gipergeometrik taqsimot qonuni

Diskret tasodifiy o'zgaruvchilarning berilgan taqsimotlari uchun ularning qiymatlarining ehtimolliklarini hisoblash, shuningdek, raqamli xarakteristikalar (matematik kutish, dispersiya va boshqalar) ma'lum "formulalar" yordamida amalga oshiriladi. Shuning uchun ushbu turdagi taqsimotlarni va ularning asosiy xususiyatlarini bilish juda muhimdir.

1. Binomiy taqsimot qonuni.

Diskret tasodifiy o'zgaruvchi $X$ binomial ehtimollik taqsimot qonuniga bo'ysunadi, agar u $0,\ 1,\ 2,\ \dots,\ n$ qiymatlarini $P\left(X=k\o'ng)= ehtimoli bilan qabul qilsa. C ^ k_n \ cdot p ^ k \ cdot (\ chap (1-p \ o'ng)) ^ (n-k) $. Aslida, $X$ tasodifiy oʻzgaruvchisi $n$ mustaqil sinovlarida $A$ hodisasining sodir boʻlish sonidir. $X$ tasodifiy o'zgaruvchining ehtimollik taqsimoti qonuni:

$\begin(massiv)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & \nuqtalar & n \\
\hline
p_i & P_n\left(0\o'ng) & P_n\chap(1\o'ng) & \nuqtalar & P_n\chap(n\o'ng) \\
\hline
\end(massiv)$

Bunday tasodifiy o'zgaruvchi uchun matematik taxmin $M\left(X\right)=np$, dispersiya $D\left(X\right)=np\left(1-p\right)$.

Misol . Oilada ikki farzand bor. O‘g‘il va qiz farzandli bo‘lish ehtimolini $0,5$ ga teng deb hisoblab, $\xi$ tasodifiy miqdorning taqsimlanish qonunini toping – oiladagi o‘g‘il bolalar soni.

$\xi $ tasodifiy o'zgaruvchisi oiladagi o'g'il bolalar soni bo'lsin. $\xi olishi mumkin bo'lgan qiymatlar:\ 0,\ 1,\ 2$. Ushbu qiymatlarning ehtimolliklarini $P\left(\xi =k\right)=C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(n-k) formulasi yordamida topish mumkin. )$, bu erda $n =2$ - mustaqil sinovlar soni, $p=0,5$ - $n$ sinovlar seriyasida sodir bo'ladigan hodisaning ehtimoli. Biz olamiz:

$P\left(\xi =0\o'ng)=C^0_2\cdot (0,5)^0\cdot (\left(1-0,5\o'ng))^(2-0)=(0, 5)^2=0,25;$

$P\left(\xi =1\o'ng)=C^1_2\cdot 0,5\cdot (\left(1-0,5\o'ng))^(2-1)=2\cdot 0,5\ cdot 0,5=0,5;$

$P\left(\xi =2\o'ng)=C^2_2\cdot (0,5)^2\cdot (\left(1-0,5\o'ng))^(2-2)=(0, 5)^2 =0,25.$

Keyin $\xi $ tasodifiy o'zgaruvchining taqsimot qonuni $0,\ 1,\ 2$ qiymatlari va ularning ehtimolliklari o'rtasidagi muvofiqlikdir, ya'ni:

$\begin(massiv)(|c|c|)
\hline
\xi & 0 & 1 & 2 \\
\hline
P(\xi) & 0,25 & 0,5 & 0,25 \\
\hline
\end(massiv)$

Taqsimot qonunidagi ehtimollar yig'indisi $1$ ga teng bo'lishi kerak, ya'ni $\sum _(i=1)^(n)P(\xi _((\rm i)))=0,25+0,5+ 0, 25=$1.

Kutish $M\left(\xi \right)=np=2\cdot 0,5=1$, dispersiya $D\left(\xi \o'ng)=np\left(1-p\o'ng)=2\ cdot 0,5\ cdot 0,5=0,5$, standart og'ish $\sigma \left(\xi \o'ng)=\sqrt(D\left(\xi \o'ng))=\sqrt(0,5)\taxminan $0,707.

2. Puasson taqsimot qonuni.

Agar diskret tasodifiy o'zgaruvchi $X$ faqat $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ manfiy bo'lmagan butun son qiymatlarini $P\left(X=k\right)=((( \lambda )^k )\over (k}\cdot e^{-\lambda }$, то говорят, что она подчинена закону распределения Пуассона с параметром $\lambda $. Для такой случайной величины математическое ожидание и дисперсия равны между собой и равны параметру $\lambda $, то есть $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda $.!}

Izoh. Bu taqsimotning o‘ziga xosligi shundaki, eksperimental ma’lumotlar asosida $M\left(X\o‘ng),\D\left(X\o‘ng)$ baholarini topamiz, agar olingan baholar bir-biriga yaqin bo‘lsa, u holda biz tasodifiy o'zgaruvchining Puasson taqsimot qonuniga bo'ysunishini ta'kidlash uchun sabab.

Misol . Puasson taqsimot qonuniga bo'ysunadigan tasodifiy o'zgaruvchilarga misollar bo'lishi mumkin: ertaga yoqilg'i quyish shoxobchasi tomonidan xizmat ko'rsatadigan avtomobillar soni; ishlab chiqarilgan mahsulotdagi nuqsonli buyumlar soni.

Misol . Zavod bazaga 500 dollarlik mahsulot yubordi. Tranzit paytida mahsulotga zarar yetkazish ehtimoli $0,002$ ni tashkil qiladi. Zararlangan mahsulotlar soniga teng $X$ tasodifiy miqdorning taqsimlanish qonunini toping; nima $ M \ chap (X \ o'ng), \ D \ chap (X \ o'ng) $.

Diskret tasodifiy o'zgaruvchi $X$ zararlangan mahsulotlar soni bo'lsin. Bunday tasodifiy miqdor $\lambda =np=500\cdot 0,002=1$ parametri bilan Puasson taqsimot qonuniga bo'ysunadi. Qiymatlarning ehtimoli $P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\over (k) ga teng}\cdot e^{-\lambda }$. Очевидно, что все вероятности всех значений $X=0,\ 1,\ \dots ,\ 500$ перечислить невозможно, поэтому мы ограничимся лишь первыми несколькими значениями.!}

$P\left(X=0\o'ng)=((1^0)\ortiq (0}\cdot e^{-1}=0,368;$!}

$P\left(X=1\o'ng)=((1^1)\ortiq (1}\cdot e^{-1}=0,368;$!}

$P\left(X=2\o'ng)=((1^2)\over (2}\cdot e^{-1}=0,184;$!}

$P\left(X=3\o'ng)=((1^3)\ortiq (3}\cdot e^{-1}=0,061;$!}

$P \ chap (X = 4 \ o'ng) = ((1 ^ 4) \ ustidan (4}\cdot e^{-1}=0,015;$!}

$P\left(X=5\o'ng)=((1^5)\ortiq (5}\cdot e^{-1}=0,003;$!}

$P \ chap (X = 6 \ o'ng) = ((1 ^ 6) \ dan (6}\cdot e^{-1}=0,001;$!}

$P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\over (k)}\cdot e^{-\lambda }$!}

$X$ tasodifiy o'zgaruvchining taqsimot qonuni:

$\begin(massiv)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & ... & k \\
\hline
P_i & 0,368; & 0,368 & 0,184 & 0,061 & 0,015 & 0,003 & 0,001 & ... & (((\lambda )^k)\ortiqcha (k)}\cdot e^{-\lambda } \\!}
\hline
\end(massiv)$

Bunday tasodifiy miqdor uchun matematik kutish va dispersiya bir-biriga teng va $\lambda $ parametriga teng, ya'ni $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda =1$.

3. Geometrik taqsimot qonuni.

Agar diskret tasodifiy o'zgaruvchi $X$ faqat $1,\ 2,\ \dots ,\ n$ tabiiy qiymatlarni olishi mumkin bo'lsa, ehtimollik $P\left(X=k\right)=p(\left(1-p\) o'ng)) ^(k-1),\ k=1,\ 2,\ 3,\ \dots $, keyin shunday tasodifiy o'zgaruvchi $X$ ehtimollar taqsimotining geometrik qonuniga bo'ysunadi, deyishadi. Aslida, geometrik taqsimot birinchi muvaffaqiyatga qadar Bernoulli testidir.

Misol . Geometrik taqsimotga ega bo'lgan tasodifiy o'zgaruvchilarga misollar bo'lishi mumkin: nishonga birinchi zarba berishdan oldin o'qlar soni; birinchi nosozlikka qadar qurilma sinovlari soni; birinchi bosh ko'tarilgunga qadar tangalar soni va hokazo.

Geometrik taqsimotga duchor bo'lgan tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi va dispersiyasi mos ravishda $M\left(X\right)=1/p$, $D\left(X\right)=\left(1-p\right) ga teng. )/p^ $2.

Misol . Baliqning urug'lanish joyiga o'tish yo'lida 4 dollarlik qulf mavjud. Har bir qulfdan baliq o'tish ehtimoli $p=3/5$. $X$ tasodifiy o'zgaruvchisini taqsimlash seriyasini tuzing - qulfda birinchi ushlab turishdan oldin baliq tomonidan o'tgan qulflar soni. $M \ chap (X \ o'ng), \ D \ chap (X \ o'ng), \ \ sigma \ chap (X \ o'ng) $ ni toping.

Tasodifiy o'zgaruvchi $X$, qulfda birinchi hibsga olishdan oldin baliq tomonidan o'tgan qulflar soni bo'lsin. Bunday tasodifiy miqdor ehtimollik taqsimotining geometrik qonuniga bo'ysunadi. $X tasodifiy o'zgaruvchisi olishi mumkin bo'lgan qiymatlar:$ 1, 2, 3, 4. Ushbu qiymatlarning ehtimolliklari quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi: $P\left(X=k\right)=pq^(k) -1)$, bu erda: $ p=2/5$ - baliqning qulfdan ushlanib qolish ehtimoli, $q=1-p=3/5$ - baliqning qulfdan o'tish ehtimoli, $k=1,\ 2,\ 3,\ 4$.

$P\left(X=1\o'ng)=((2)\over (5))\cdot (\left(((3)\over (5))\o'ng))^0=((2)\ (5) dan ortiq)=0,4;$

$P\left(X=2\right)=((2)\(5))\cdot ((3)\(5))=((6)\(25))=0,24;

$P\left(X=3\o'ng)=((2)\ustun(5))\cdot(\left(((3)\over(5))\o'ng))^2=((2)\ (5))\cdot ((9)\(25) dan ortiq)=((18)\(125) dan ortiq)=0,144;$

$P\left(X=4\o'ng)=((2)\ustunda(5))\cdot(\left(((3)\over (5))\o'ng))^3+(\left(() (3)\(5))\o'ng))^4=((27)\(125))=0,216.$

$\begin(massiv)(|c|c|)
\hline
X_i & 1 & 2 & 3 & 4 \\
\hline
P\chap(X_i\o'ng) & 0,4 & 0,24 & 0,144 & 0,216 \\
\hline
\end(massiv)$

Kutilayotgan qiymat:

$M\left(X\o'ng)=\sum^n_(i=1)(x_ip_i)=1\cdot 0,4+2\cdot 0,24+3\cdot 0,144+4\cdot 0,216=2,176.$

Dispersiya:

$D\chap(X\o'ng)=\sum^n_(i=1)(p_i(\chap(x_i-M\chap(X\o'ng)\o'ng))^2=)0,4\cdot (\ chap( 1-2,176\o'ng))^2+0,24\cdot (\chap(2-2,176\o'ng))^2+0,144\cdot (\chap(3-2,176\o'ng))^2+$

$+\0,216\cdot (\chap(4-2,176\o'ng))^2\taxminan 1,377.$

Standart og'ish:

$\sigma \left(X\o'ng)=\sqrt(D\left(X\o'ng))=\sqrt(1377)\taxminan 1173.$

4. Gipergeometrik taqsimot qonuni.

Agar $N$ ob'ektlari, ular orasida $m$ ob'ektlari berilgan xususiyatga ega. $n$ obyektlari qaytarilmasdan tasodifiy olinadi, ular orasida berilgan xususiyatga ega bo'lgan $k$ ob'ektlari ham bor edi. Gipergeometrik taqsimot namunadagi aniq $k$ ob'ektlarning berilgan xususiyatga ega bo'lish ehtimolini baholash imkonini beradi. $X$ tasodifiy o'zgaruvchisi namunadagi berilgan xususiyatga ega bo'lgan ob'ektlar soni bo'lsin. Keyin $X$ tasodifiy o'zgaruvchisi qiymatlarining ehtimolliklari:

$P\left(X=k\right)=((C^k_mC^(n-k)_(N-m))\over (C^n_N))$

Izoh. Excel $f_x$ funksiya ustasining HYPERGEOMET statistik funksiyasi ma'lum miqdordagi testlarning muvaffaqiyatli o'tish ehtimolini aniqlash imkonini beradi.

$f_x\to$ statistik$\to $ GIPERGEOMET$\to $ KELISHDIKMI. To'ldirishingiz kerak bo'lgan dialog oynasi paydo bo'ladi. Ustun ichida Namunadagi muvaffaqiyatlar_soni$k$ qiymatini ko'rsating. namuna_hajmi$n$ ga teng. Ustun ichida Birgalikda_muvaffaqiyatlar_soni$m$ qiymatini ko'rsating. aholi_oʻlchami$N$ ga teng.

Geometrik taqsimot qonuniga bo'ysunuvchi $X$ diskret tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi va dispersiyasi mos ravishda $M\left(X\right)=nm/N$, $D\left(X\o'ng)= ga teng. ((nm\chap(1 -((m)\(N))\o'ng)\chap(1-((n)\(N))\o'ng))\(N-1))$.

Misol . Bankning kredit bo‘limida 5 nafar oliy moliyaviy ma’lumotli va 3 nafar oliy yuridik ma’lumotli mutaxassis ishlaydi. Bank rahbariyati 3 nafar mutaxassisni tasodifiy tartibda tanlab, malakasini oshirish uchun yuborishga qaror qildi.

a) malakasini oshirish uchun yuborilishi mumkin bo'lgan oliy moliyaviy ma'lumotga ega bo'lgan mutaxassislar soni bo'yicha taqsimot seriyasini tuzing;

b) Bu taqsimotning son xarakteristikalarini toping.

Tasodifiy o'zgaruvchi $X$ tanlab olingan uchtadan oliy moliyaviy ma'lumotga ega bo'lgan mutaxassislar soni bo'lsin. $X qabul qilishi mumkin bo'lgan qiymatlar: 0,\ 1,\ 2,\ 3$. Ushbu tasodifiy o'zgaruvchi $X$ gipergeometrik taqsimot bo'yicha quyidagi parametrlar bilan taqsimlanadi: $N=8$ - aholi soni, $m=5$ - populyatsiyadagi muvaffaqiyatlar soni, $n=3$ - tanlanma hajmi, $ k=0,\ 1, \2,\3$ - namunadagi muvaffaqiyatlar soni. Keyin $P\left(X=k\right)$ ehtimolini quyidagi formula yordamida hisoblash mumkin: $P(X=k)=(C_(m)^(k) \cdot C_(N-m)^(n-k) \ ustidan C_( N)^(n) ) $. Bizda ... bor:

$P\left(X=0\o'ng)=((C^0_5\cdot C^3_3)\ortiq (C^3_8))=((1)\(56))\taxminan 0,018;$

$P\chap(X=1\oʻng)=((C^1_5\cdot C^2_3)\(C^3_8))=((15)\(56))\taxminan 0,268;$

$P\left(X=2\o'ng)=((C^2_5\cdot C^1_3)\ortiq (C^3_8))=((15)\(28))\taxminan 0,536;$

$P\left(X=3\o'ng)=((C^3_5\cdot C^0_3)\ortiq (C^3_8))=((5)\(28))\taxminan 0,179.$

Keyin $X$ tasodifiy o'zgaruvchining taqsimot qatori:

$\begin(massiv)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 \\
\hline
p_i & 0,018 & 0,268 & 0,536 & 0,179 \\
\hline
\end(massiv)$

Gipergeometrik taqsimotning umumiy formulalari yordamida $X$ tasodifiy miqdorning sonli xarakteristikalarini hisoblaylik.

$M\chap(X\o'ng)=((nm)\(N))=((3\cdot 5)\(8))=((15)\(8)dan)=1,875.$

$D\chap(X\o'ng)=((nm\chap(1-((m)\(N))\o'ng)\chap(1-((n)\ustida(N))\o'ng)) \over (N-1))=((3\cdot 5\cdot \left(1-((5)\over (8))\o'ng)\cdot \chap(1-((3)\(8) dan ortiq ))\o‘ng))\(8-1))=((225)\(448))\taxminan 0,502.$

$\sigma \left(X\o'ng)=\sqrt(D\chap(X\o'ng))=\sqrt(0,502)\taxminan 0,7085.$

Bular. diskret tasodifiy X qiymati geomga ega. distribyutor parametr bilan R va maxraj q, agar u 1,2,3,… qiymatlarini qabul qilsa k, ... ehtimollar bilan

P(X) = pq k-1, qayerda q=1-R.

Tarqatish geom deb ataladi, chunki. haqiqat p 1, p 2, ... geometrik progressiya hosil qiladi, uning birinchi a'zosi R, va maxraj bo'ladi q.

Agar testlar soni cheklanmagan bo'lsa, ya'ni. agar tasodifiy o'zgaruvchi 1, 2, ..., ∞ qiymatlarini olishi mumkin bo'lsa, kutilgan qiymat va dispersiya geometrikdir. taqsimotlarni Mx = 1/p, Dx = q/p 2 formulalar yordamida topish mumkin

Misol. Qurol birinchi zarbaga qadar nishonga qaratiladi. Maqsadga tegish ehtimoli har bir o'q bilan p = 0,6 ga teng. S.v. X - birinchi zarbadan oldin mumkin bo'lgan zarbalar soni.

A) Tarqatish qatorini tuzing, taqsimot funksiyasini toping, uning grafigini tuzing va barcha sonli xarakteristikani toping. b) Agar otishma uchdan ko'p bo'lmagan o'q otmoqchi bo'lsa, bu holat uchun matematik kutilma va dispersiyani toping.

A) Tasodifiy o'zgaruvchi 1, 2, 3, 4,..., ∞ qiymatlarini olishi mumkin
P(1) = p = 0,6
P (2) = qp = 0,4 0,6 = 0,24
P(3) = q 2 p = 0,4 2 0,6 = 0,096 ...
P(k) = q k-1 p = 0,4 k-1 0,6 ...
Tarqatish diapazoni:

Nazorat: sp i = 0,6/(1-0,4) = 1 (geometrik progressiya yig‘indisi)

Tarqatish funksiyasi r.v. X x ning o'ziga xos raqamli qiymatidan kichikroq qiymatni oladi. Taqsimlash funktsiyasi qiymatlari ehtimolliklarni yig'ish orqali topiladi.

Agar x ≤ 1 bo'lsa, F(x) = 0 bo'ladi

Agar 1< x ≤ 2, то F(x) = 0,6
Agar 2< x ≤ 3, то F(x) = 0,6 + 0,24 = 0,84
Agar 3< x ≤ 4, то F(x) = 0,84 + 0,096 = 0,936 ...
Agar k-1< x ≤ k, то F(x) = 0,6(1-0,4 k-1)/(1-0,4) = 1-0,4 k-1 (частичная сумма геом-ой прогрессии) ...

Mx = 1/p = 1/0,6 ≈ 1,667
Dx = q/p 2 = 0,4/0,36 ≈ 1,111
s = √Dx ≈ 1,054

b) Tasodifiy o'zgaruvchi 1, 2, 3 qiymatlarini olishi mumkin.
P(1) = p = 0,6
P (2) = qp = 0,4 0,6 = 0,24
P(3) = q 2 p + q 3 = 0,4 2 0,6 + 0,4 3 = 0,16
Tarqatish diapazoni:

Nazorat: sp i = 0,6 + 0,24 + 0,16 = 1
Tarqatish funksiyasi.

Agar x ≤ 1 bo'lsa, F(x) = 0 bo'ladi
Agar 1< x ≤ 2, то F(x) = 0,6
Agar 2< x ≤ 3, то F(x) = 0,6 + 0,24 = 0,84
Agar x > 3 bo'lsa, F(x) = 0,84 + 0,16 = 1 bo'ladi
M(X) = 1 0,6 + 2 0,24 + 3 0,16 = 1,56
D(X) = 1 2 0,6 + 2 2 0,24 + 3 2 0,16 - 1,56 2 = 0,5664
s(X) ≈ 0,752

Egrilik va kurtoz

Asimmetriya tasodifiy miqdor taqsimotining assimetriyasini tavsiflovchi tanlama taqsimotining xossasidir. Amalda nosimmetrik taqsimotlar kam uchraydi va assimetriya darajasini aniqlash va baholash uchun assimetriya tushunchasi kiritiladi. Salbiy assimetriya koeffitsienti bo'lsa, chapda yumshoqroq "tushish" kuzatiladi, aks holda - o'ngda. Birinchi holda, assimetriya chap tomonlama, ikkinchisida esa o'ng tomonli deb ataladi.

Asimmetriya koeffitsienti diskret Tasodifiy o'zgaruvchi quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi:
As(X) = (x 1-M X) 3 p 1 + (x 2 - M X) 3 p 2 + ... + ( x n-M X) 3 p n

Koeffitsient. assimetriya davomiy sl.vel. formula bo'yicha hisoblanadi:

Ortiqcha taqsimot egri chizig'ining tikligining o'lchovidir. Diskret tasodifiy o'zgaruvchining kurtoz koeffitsienti quyidagi formula yordamida hisoblanadi:

Ex(X) = [(x 1 - M X) 4 p 1 + (x 2 - M X) 4 p 2 + ... + (x n - M X) 4 p n ] / s 4 - 3

Uzluksiz tasodifiy miqdorning kurtoz koeffitsienti quyidagi formula yordamida hisoblanadi:

Misol.

Diskret tasodifiy X ning taqsimot qonuni keyingi o'zgaruvchining barcha mumkin bo'lgan qiymatlari ro'yxatidir. Qabul qilishi mumkin bo'lgan X va mos keladigan ehtimollar. Barcha e'tiqodlarning yig'indisi 1 ga teng bo'lishi kerak. Tekshiring: 0,1 + 0,2 + 0,5 + 0,1 + 0,1 = 1.

1. Kutilgan qiymat: M(X) = -2 0,1 - 1 0,2 + 0 0,5 + 1 0,1 + 2 0,1 = -0,1
2. Dispersiya keyingi vel qiymatlarining kvadrat og'ishini matematik kutishdir. X uning mat.ozh.dan: D(X) = (-2 + 0,1) 2 0,1 + (- 1 + 0,1) 2 0,2 ​​+ (0 + 0,1) 2 0,5 + (1 + 0,1) 2 0,1 + (2 +) 0,1) 2 0,1 = 1,09
   yoki D(X) = (-2) 2 0,1 + (-1) 2 0,2 ​​+ 0 2 0,5 + 1 2 0,1 + 2 2 0,1 - (-0 ,1) 2 = 1,1 - 0,01 = 1,09
3. Chorshanba. kv. o'chirilgan dispersiyaning kvadrat ildizi: s = √1,09 ≈ 1,044
4. Koef. assimetriya As(X) = [(-2 + 0,1) 3 0,1 + (- 1 + 0,1) 3 0,2 + (0 + 0,1) 3 0,5 + (1 + 0,1) 3 0,1 + (2 + 0,1) 3 0,1] / 1,044 3 = 0,200353
5. Koef. ortiqcha E x(X) = [(-2 + 0,1) 4 0,1 + (- 1 + 0,1) 4 0,2 + (0 + 0,1) 4 0,5 + (1 + 0 ,1) 4 ·0,1 + (2 + 0,1) 4 ·0,1 ]/1,044 4 - 3 = 0,200353
6. Tarqatish funktsiyasi X tasodifiy o'zgaruvchining ba'zi sonli qiymatdan kamroq qiymat olish ehtimoli x: F(X) = P(X< x). Taqsimlash funksiyasi kamaymaydigan funksiyadir. U 0 dan 1 gacha bo'lgan qiymatlarni oladi.

P(X< -0,1) = F(-0,1) = 0,3 P(X >-0,05) = P(0) + P(1) + P(2) = 0,5 + 0,1 + 0,1 = 0,7

2) Uzluksiz tasodifiy miqdorlar. Oddiy taqsimot.

Davomiy tasodifiy o'zgaruvchi hech qanday o'ziga xoslikni olmaydi raqamli qiymatlar, lekin raqamlar qatoridagi har qanday qiymatlar. Uzluksiz holatda taqsimot qonunining tavsifi diskret holatga qaraganda ancha murakkab.

Davomiy ma'lum bir oraliqdan istalgan qiymatni qabul qila oladigan tasodifiy o'zgaruvchi deb ataladi, masalan, tashish uchun kutish vaqti, har qanday oydagi havo harorati, qismning haqiqiy hajmining nominaldan og'ishi va boshqalar. U o'rnatiladigan interval bir yoki ikkala yo'nalishda cheksiz bo'lishi mumkin.

Diskret va uzluksiz holatlar uchun ehtimolliklarni hisoblash masalalarining asosiy farqi quyidagicha. Diskret holatda kabi tadbirlar uchun x = c(tasodifiy o'zgaruvchi ma'lum qiymatni oladi) ehtimollik izlanadi R(Bilan). Uzluksiz holatda bu turdagi ehtimollar nolga teng, shuning uchun "tasodifiy o'zgaruvchi ma'lum bir segmentdan qiymatlarni oladi" tipidagi hodisalarning ehtimolligi qiziqish uyg'otadi, ya'ni. A≤ X≤ b. Yoki kabi tadbirlar uchun X≤ Bilan ehtimollikni qidiradi R(X≤ Bilan). Biz taqsimot funksiyasining grafigini oldik F( X≤ Bilan).

Shunday qilib, tasodifiy o'zgaruvchilarning xilma-xilligi juda katta. Ular qabul qiladigan qiymatlar soni cheklangan, sanab bo'ladigan yoki hisoblab bo'lmaydigan bo'lishi mumkin; qiymatlar diskret joylashtirilishi yoki intervallarni to'liq to'ldirishi mumkin. Tabiatan juda xilma-xil bo'lgan tasodifiy o'zgaruvchilar qiymatlarining ehtimolliklarini aniqlash uchun va bundan tashqari, ularni bir xil tarzda aniqlash uchun tushunchasi tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi.

Tasodifiy o'zgaruvchi bo'lsin va X- ixtiyoriy haqiqiy son. dan kichikroq qiymat olishi ehtimoli X, chaqirdi ehtimollikni taqsimlash funksiyasi tasodifiy o'zgaruvchi: F(x)= P(<х}.

Keling, aytilganlarni umumlashtiramiz: tasodifiy o'zgaruvchi qiymatlari holatga bog'liq bo'lgan va ehtimollik taqsimoti funktsiyasi aniqlangan miqdor.

Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchilar uchun (tasodifiy o'zgaruvchining mumkin bo'lgan qiymatlari to'plami sanab bo'lmaydigan bo'lsa), taqsimot qonuni funksiya yordamida aniqlanadi. Ko'pincha bu tarqatish funktsiyasi :F( x) = P(X<X) .

F funksiyasi( x) quyidagilarga ega xususiyatlari:

1. 0 ≤ F( x) ≤ 1 ;

2.F( x) kamaymaydi;

3.F( x) doimiy chap;

4.F(- ∞ ) = 0, F( ∞ ) = 1.