يمكن حل بعض المسائل في الفيزياء والرياضيات باستخدام خصائص سلاسل الأعداد. إن أبسط تسلسلين رقميين يتم تدريسهما في المدارس هما الجبرية والهندسية. في هذه المقالة، سنلقي نظرة فاحصة على مسألة كيفية العثور على مجموع متوالية هندسية متناقصة لا نهاية لها.

التقدم الهندسي

تعني هذه الكلمات سلسلة من الأعداد الحقيقية التي أحقق عناصرها العبارة التالية:

هنا i هو رقم العنصر في السلسلة، r هو رقم ثابت يسمى المقام.

يوضح هذا التعريف أنه من خلال معرفة أي عضو في التقدم ومقامه، يمكنك استعادة سلسلة الأرقام بأكملها. فمثلاً إذا كان العنصر العاشر معروفاً فإن قسمته على r تحصل على العنصر التاسع، ثم بتقسيمه مرة أخرى يحصل على العنصر الثامن وهكذا. تسمح لنا هذه الوسيطات البسيطة بكتابة تعبير صالح لسلسلة الأرقام قيد النظر:

مثال على التقدم بمقام 2 سيكون السلسلة التالية:

1, 2, 4, 8, 16, 32, ...

إذا كان المقام يساوي -2، فسيتم الحصول على سلسلة مختلفة تمامًا:

1, -2, 4, -8, 16, -32, ...

المتتابعة الهندسية أسرع بكثير من المتتابعة الجبرية، أي أن حدودها تتزايد بسرعة وتتناقص بسرعة.

مجموع شروط التقدم

لحل المشاكل العملية، غالبا ما يكون من الضروري حساب مجموع عدة عناصر من التسلسل الرقمي قيد النظر. في هذه الحالة الصيغة التالية صالحة:

S i = أ 1 *(ص ط -1)/(ص-1)

يمكن ملاحظة أنه لحساب مجموع حدود i، فأنت بحاجة إلى معرفة رقمين فقط: a 1 وr، وهو أمر منطقي، لأنهما يحددان التسلسل بأكمله بشكل فريد.

المتوالية المتناقصة ومجموع حدودها

الآن دعونا نفكر حالة خاصة. سنفترض أن معامل المقام r لا يتجاوز واحدًا، أي -1

من المثير للاهتمام أخذ المتوالية الهندسية المتناقصة بعين الاعتبار، لأن المجموع اللانهائي لحدودها يميل إلى عدد حقيقي محدود.

لنحصل على صيغة المجموع. من السهل القيام بذلك إذا قمت بكتابة التعبير عن S i الوارد في الفقرة السابقة. لدينا:

S i = أ 1 *(ص ط -1)/(ص-1)

دعونا نفكر في الحالة عندما يكون i->∞. بما أن معامل المقام أقل من 1، فإن رفعه إلى قوة لا نهائية سيعطينا صفرًا. يمكن التحقق من ذلك باستخدام مثال r=0.5:

0,5 2 = 0,25; 0,5 3 = 0,125; ...., 0,5 20 = 0,0000009.

ونتيجة لذلك، فإن مجموع حدود المتوالية الهندسية المتناقصة اللانهائية سوف يأخذ الشكل:

غالبًا ما تُستخدم هذه الصيغة عمليًا، على سبيل المثال، لحساب مساحات الأشكال. كما أنها تستخدم لحل مفارقة زينون إيليا مع السلحفاة وأخيل.

ومن الواضح أن النظر في مجموع متوالية هندسية لا نهائية متزايدة (r>1) سيؤدي إلى النتيجة S ∞ = +∞.

مهمة العثور على الفصل الأول من التقدم

دعونا نوضح كيفية تطبيق الصيغ المذكورة أعلاه باستخدام مثال لحل المشكلة. ومن المعروف أن مجموع المتتابعة الهندسية اللانهائية هو 11. علاوة على ذلك، فإن حدها السابع أقل بـ 6 مرات من الحد الثالث. ما هو العنصر الأول في هذه السلسلة العددية؟

أولاً، دعونا نكتب تعبيرين لتحديد العنصرين السابع والثالث. نحن نحصل:

بتقسيم التعبير الأول على الثاني والتعبير عن المقام نحصل على:

أ 7 /أ 3 = ص 4 => ص = 4 √(أ 7 /أ 3)

بما أن النسبة بين الحدين السابع والثالث موجودة في بيان المشكلة، فيمكنك استبدالها والعثور على r :

ص = 4 √(أ 7 /أ 3) = 4 √(1/6) ≈ 0.63894

لقد حسبنا r حتى خمس منازل عشرية. وبما أن القيمة الناتجة أقل من واحد، فإن التقدم يتناقص، مما يبرر استخدام الصيغة لمجموعها اللانهائي. لنكتب تعبير الحد الأول من خلال المجموع S ∞:

نستبدل القيم المعروفة في هذه الصيغة ونحصل على الإجابة:

أ 1 = 11*(1-0.63894) = 3.97166.

مفارقة زينون الشهيرة مع أخيل السريع والسلحفاة البطيئة

زينون إيليا هو فيلسوف يوناني مشهور عاش في القرن الخامس قبل الميلاد. ه. وقد وصل عدد من أوجهها أو مفارقاتها إلى يومنا هذا، حيث تمت صياغة مشكلة الكبير اللامتناهي والصغير اللامتناهي في الرياضيات.

إحدى مفارقات زينو الشهيرة هي المنافسة بين أخيل والسلحفاة. اعتقد زينو أنه إذا أعطى أخيل بعض الأفضلية للسلحفاة في المسافة، فلن يتمكن أبدًا من اللحاق بها. على سبيل المثال، لنفترض أن أخيل يركض أسرع بعشر مرات من حيوان يزحف، وهو مثلاً على بعد 100 متر أمامه. عندما ركض المحارب مسافة 100 متر، زحفت السلحفاة مسافة 10 أمتار. وبعد أن ركضت مسافة 10 أمتار مرة أخرى، رأى أخيل أن السلحفاة تزحف مسافة متر واحد آخر. يمكنك الجدال بهذه الطريقة إلى ما لا نهاية، فالمسافة بين المتنافسين ستنخفض بالفعل، لكن السلحفاة ستكون دائمًا في المقدمة.

قاد زينو إلى استنتاج مفاده أن الحركة غير موجودة، وأن جميع الحركات المحيطة بالأشياء هي وهم. وبطبيعة الحال، كان الفيلسوف اليوناني القديم مخطئا.

يكمن حل المفارقة في حقيقة أن مجموعًا لا حصر له من الأجزاء المتناقصة باستمرار يميل إلى عدد محدود. في الحالة أعلاه، بالنسبة للمسافة التي ركضها أخيل، نحصل على:

100 + 10 + 1 + 0,1 + 0,01 + ...

وبتطبيق صيغة مجموع المتوالية الهندسية اللانهائية نحصل على:

ق ∞ = 100 /(1-0.1) ≈ 111.111 متر

توضح هذه النتيجة أن أخيل سيلحق بالسلحفاة عندما يزحف مسافة 11.111 مترًا فقط.

لم يعرف اليونانيون القدماء كيفية التعامل مع الكميات اللانهائية في الرياضيات. ومع ذلك، يمكن حل هذه المفارقة إذا انتبهنا ليس إلى العدد اللانهائي من الفجوات التي يجب على أخيل التغلب عليها، ولكن إلى العدد المحدود من الخطوات التي يحتاجها العداء للوصول إلى هدفه.

الغرض من الدرس: تعريف الطلاب بنوع جديد من التسلسل - تقدم هندسي متناقص بشكل لا نهائي.
مهام:
صياغة فكرة أولية عن حد التسلسل العددي؛
التعرف على طريقة أخرى لتحويل الكسور الدورية اللانهائية إلى كسور عادية باستخدام صيغة مجموع التقدم الهندسي المتناقص بشكل لا نهائي؛
تنمية الصفات الفكرية لشخصية تلاميذ المدارس مثل التفكير المنطقي والقدرة على القيام بإجراءات تقييمية والتعميم؛
تعزيز النشاط والمساعدة المتبادلة والجماعية والاهتمام بالموضوع.

تحميل:

معاينة:

الدرس حول هذا الموضوع "التقدم الهندسي المتناقص بشكل لا نهائي" (الجبر، الصف العاشر)

الغرض من الدرس: تعريف الطلاب بنوع جديد من التسلسل - وهو تقدم هندسي متناقص بشكل لا نهائي.

مهام:

صياغة فكرة أولية عن حد التسلسل العددي؛ التعرف على طريقة أخرى لتحويل الكسور الدورية اللانهائية إلى كسور عادية باستخدام صيغة مجموع التقدم الهندسي المتناقص بشكل لا نهائي؛

تنمية الصفات الفكرية لشخصية تلاميذ المدارس مثل التفكير المنطقي والقدرة على القيام بإجراءات تقييمية والتعميم؛

تعزيز النشاط والمساعدة المتبادلة والجماعية والاهتمام بالموضوع.

معدات: فئة الكمبيوتر، جهاز العرض، الشاشة.

نوع الدرس: الدرس - تعلم موضوع جديد.

خلال الفصول الدراسية

أنا.المنظمة. لحظة. اذكر موضوع الدرس والغرض منه.

ثانيا. تحديث معارف الطلاب.

في الصف التاسع، درست المتتابعات الحسابية والهندسية.

أسئلة

1. التعريف المتوالية العددية.

(التقدم الحسابي هو تسلسل يكون فيه كل عضو

فابتداء من الثاني يساوي الحد السابق مضافا إلى نفس العدد).

2. الصيغة ن الحد الرابع من المتوالية الحسابية

3. صيغة مجموع الأولن شروط التقدم الحسابي.

( أو )

4. تعريف التقدم الهندسي.

(التقدم الهندسي هو سلسلة من الأرقام غير الصفرية

وكل حد منه ابتداء من الثاني يساوي الحد الذي قبله مضروبا في

نفس الرقم).

5. الصيغة ن الحد الرابع من المتوالية الهندسية

6. صيغة مجموع الأولن أعضاء التقدم الهندسي.

7. ما هي الصيغ الأخرى التي تعرفها؟

(، أين ؛ ؛

; , )

مهام

1. يتم إعطاء التقدم الحسابي من خلال الصيغةأ ن = 7 – 4ن . العثور على 10. (-33)

2. في التقدم الحسابيأ 3 = 7 و أ 5 = 1 . العثور على 4. (4)

3. في التقدم الحسابيأ 3 = 7 و أ 5 = 1 . العثور على 17 . (-35)

4. في التقدم الحسابيأ 3 = 7 و أ 5 = 1 . ابحث عن س 17. (-187)

5. للتقدم الهندسيالعثور على الحد الخامس.

6. للتقدم الهندسيأوجد الحد n.

7. أضعافا مضاعفةب 3 = 8 و ب 5 = 2. العثور على ب 4 . (4)

8. أضعافا مضاعفةب 3 = 8 و ب 5 = 2. أوجد ب 1 و ف.

9. أضعافا مضاعفةب 3 = 8 و ب 5 = 2. ابحث عن S5. (62)

ثالثا. تعلم موضوع جديد(مظاهرة العرض).

لنفترض مربعًا طول ضلعه 1. لنرسم مربعًا آخر طول ضلعه نصف حجم المربع الأول، ثم مربعًا آخر طول ضلعه نصف الثاني، ثم المربع الذي يليه، وما إلى ذلك. في كل مرة يساوي جانب المربع الجديد نصف المربع السابق.

ونتيجة لذلك، حصلنا على سلسلة من جوانب المربعاتتشكيل تقدم هندسي مع المقام.

والأهم من ذلك، أنه كلما قمنا ببناء مثل هذه المربعات، كلما كان جانب المربع أصغر.على سبيل المثال ،

أولئك. ومع زيادة العدد n، تقترب شروط التقدم من الصفر.

باستخدام هذا الرقم، يمكنك التفكير في تسلسل آخر.

على سبيل المثال، تسلسل مساحات المربعات:

ومرة أخرى، إذا ن تزداد إلى أجل غير مسمى، ثم تقترب المساحة من الصفر إلى أقرب ما تريد.

دعونا ننظر إلى مثال آخر. مثلث متساوي الأضلاع طول أضلاعه 1 سم. لنقم ببناء المثلث التالي بحيث تكون رءوسه في منتصف أضلاع المثلث الأول، وفقًا لنظرية خط الوسط للمثلث - ضلع الثاني يساوي نصف ضلع الأول، وضلع الثالث يساوي نصف الجانب الثاني، الخ. مرة أخرى نحصل على سلسلة من أطوال أضلاع المثلثات.

في .

إذا نظرنا إلى التقدم الهندسي مع القاسم السلبي.

ثم، مرة أخرى، بأعداد متزايدةن شروط التقدم تقترب من الصفر.

دعونا ننتبه إلى قواسم هذه المتتابعات. في كل مكان كانت القواسم أقل من 1 في القيمة المطلقة.

يمكننا أن نستنتج أن التقدم الهندسي سوف يتناقص بشكل لا نهائي إذا كان معامل مقامه أقل من 1.

العمل الأمامي.

تعريف:

المتوالية الهندسيةتسمى متناقصة بلا حدود إذا كان معامل مقامها أقل من واحد..

باستخدام التعريف، يمكنك أن تقرر ما إذا كان التقدم الهندسي يتناقص بشكل لا نهائي أم لا.

مهمة

هل التسلسل عبارة عن تقدم هندسي متناقص بشكل لا نهائي إذا تم إعطاؤه بالصيغة:

حل:

دعونا نجد س.

; ; ; .

هذا التقدم الهندسي يتناقص بلا حدود.

ب) هذا التسلسل ليس تقدمًا هندسيًا متناقصًا بشكل لا نهائي.

خذ بعين الاعتبار مربعًا طول ضلعه 1. اقسمه إلى نصفين، أي نصفين إلى نصفين، وما إلى ذلك. تشكل مساحات جميع المستطيلات الناتجة متوالية هندسية متناقصة بشكل لا نهائي:

مجموع مساحات جميع المستطيلات التي تم الحصول عليها بهذه الطريقة سيكون مساوياً لمساحة المربع الأول ويساوي 1.

لكن على الجانب الأيسر من هذه المساواة يوجد مجموع عدد لا نهائي من الحدود.

لنفكر في مجموع الحدود n الأولى.

وفقًا لصيغة مجموع الحدود n الأولى للتقدم الهندسي، فهي تساوي.

إذا ن يزيد بلا حدود إذن

أو . لذلك، أي. .

مجموع متوالية هندسية متناقصة بشكل لا نهائيهناك حد التسلسلق 1، ق 2، ق 3، …، س ن، ….

على سبيل المثال، للتقدم,

لدينا

لأن

مجموع متوالية هندسية متناقصة بشكل لا نهائييمكن العثور عليها باستخدام الصيغة.

ثالثا. الفهم والتوحيد(استكمال المهام).

№13; №14; №15(1,3); №16(1,3); №18(1,3); №19; №20.

رابعا. تلخيص.

ما هو التسلسل الذي تعرفت عليه اليوم؟

تحديد متوالية هندسية متناقصة بشكل لا نهائي.

كيف نثبت أن التقدم الهندسي يتناقص بشكل لا نهائي؟

أعط صيغة مجموع المتوالية الهندسية المتناقصة بشكل لا نهائي.

خامسا الواجبات المنزلية.

2. № 15(2,4); №16(2,4); 18(2,4).

معاينة:

لاستخدام معاينات العرض التقديمي، قم بإنشاء حساب Google وقم بتسجيل الدخول إليه: https://accounts.google.com

التسميات التوضيحية للشرائح:

يجب أن يكون الجميع قادرين على التفكير بشكل متسق، والحكم بالأدلة، ودحض الاستنتاجات غير الصحيحة: الفيزيائي والشاعر، وسائق الجرار والكيميائي. E. كولمان في الرياضيات، لا ينبغي للمرء أن يتذكر الصيغ، ولكن عمليات التفكير. V. P. Ermakov من الأسهل العثور على تربيع الدائرة بدلاً من خداع عالم الرياضيات. أوغسطس دي مورغان أي علم يمكن أن يكون أنبل، وأكثر إثارة للإعجاب، وأكثر فائدة للبشرية من الرياضيات؟ فرانكلين

التناقص اللانهائي للتقدم الهندسي الصف 10

أنا. المتوالية الحسابية والهندسية. الأسئلة 1. تعريف التقدم الحسابي. المتوالية الحسابية هي متتابعة يكون فيها كل حد، بدءًا من الثاني، مساويًا للحد السابق مضافًا إلى نفس العدد. 2. صيغة الحد التاسع من المتوالية الحسابية. 3. صيغة لمجموع الحدود n الأولى للتقدم الحسابي. 4. تعريف التقدم الهندسي. المتتابعة الهندسية عبارة عن سلسلة من الأرقام غير الصفرية، كل حد منها، بدءًا من الثاني، يساوي الحد السابق مضروبًا في نفس الرقم 5. صيغة الحد n من المتوالية الهندسية. 6. صيغة لمجموع الحدود n الأولى للتقدم الهندسي.

ثانيا. المتوالية العددية. المهام يتم إعطاء التقدم الحسابي من خلال الصيغة a n = 7 – 4 n أوجد a 10 . (-33) 2. في المتوالية الحسابية، 3 = 7 و 5 = 1. العثور على 4. (4) 3. في المتوالية الحسابية أ 3 = 7 و أ 5 = 1. العثور على 17 . (-35) 4. في المتوالية الحسابية، 3 = 7 و 5 = 1. ابحث عن س 17. (-187)

ثانيا. المتوالية الهندسية. المهام 5. للحصول على متوالية هندسية، ابحث عن الحد الخامس. 6. للحصول على متوالية هندسية، ابحث عن الحد النوني. 7. في المتوالية الهندسية ب 3 = 8 و ب 5 = 2. العثور على ب 4 . (4) 8. في المتوالية الهندسية ب 3 = 8 و ب 5 = 2. أوجد ب 1 و ف. 9. في المتوالية الهندسية ب 3 = 8 و ب 5 = 2. ابحث عن S5. (62)

تعريف: تسمى المتوالية الهندسية متناقصة بلا حدود إذا كان معامل مقامها أقل من واحد.

المشكلة رقم 1 هل المتتابعة متوالية هندسية متناقصة بشكل لا نهائي إذا كانت معطاة بالصيغة: الحل: أ) هذه المتوالية الهندسية متناقصة بشكل لا نهائي. ب) هذا التسلسل ليس متوالية هندسية متناقصة بشكل لا نهائي.

مجموع المتوالية الهندسية المتناقصة بشكل لا نهائي هو نهاية التسلسل S 1، S 2، S 3، ...، S n، .... على سبيل المثال، بالنسبة للتقدم الذي لدينا، يمكن العثور على مجموع التقدم الهندسي المتناقص بشكل لا نهائي باستخدام الصيغة

إكمال المهام أوجد مجموع المتوالية الهندسية المتناقصة بشكل لا نهائي مع الحد الأول 3 والثاني 0.3. 2. رقم 13؛ رقم 14؛ الكتاب المدرسي، ص 138 3. رقم 15(1؛3)؛ رقم 16(1;3) رقم 18(1;3); 4. رقم 19؛ رقم 20.

ما هو التسلسل الذي تعرفت عليه اليوم؟ تحديد متوالية هندسية متناقصة بشكل لا نهائي. كيف نثبت أن التقدم الهندسي يتناقص بشكل لا نهائي؟ أعط صيغة مجموع المتوالية الهندسية المتناقصة بشكل لا نهائي. أسئلة

يدعي عالم الرياضيات البولندي الشهير هوغو شتاينهاوس مازحا أن هناك قانونًا تمت صياغته على النحو التالي: عالم الرياضيات سوف يفعل ذلك بشكل أفضل. وهي، إذا كلفت شخصين، أحدهما عالم رياضيات، بأداء أي عمل غير مألوف لهما، فستكون النتيجة دائمًا ما يلي: عالم الرياضيات سوف يفعل ذلك بشكل أفضل. هوغو شتاينهاوس 14/01/1887-25/02/1972

التسلسلات الرقمية VI

§ ل48. مجموع متوالية هندسية متناقصة بشكل لا نهائي

حتى الآن، عند الحديث عن المجاميع، كنا نفترض دائمًا أن عدد الحدود في هذه المجاميع محدود (على سبيل المثال، 2، 15، 1000، وما إلى ذلك). ولكن عند حل بعض المسائل (خاصة الرياضيات العليا) يتعين على المرء أن يتعامل مع مجموع عدد لا نهائي من الحدود

س= أ 1 + أ 2 + ... + أ ن + ... . (1)

ما هي هذه المبالغ؟ أ-بريوري مجموع عدد لا نهائي من الحدود أ 1 , أ 2 , ..., أ ن ، ... يسمى حد المبلغ S ن أولاً ص الأرقام عندما ص -> ∞ :

س=س ن = (أ 1 + أ 2 + ... + أ ن ). (2)

الحد (2)، بالطبع، قد يكون موجودًا وقد لا يكون. وبناء على ذلك يقولون إن المجموع (1) موجود أو غير موجود.

كيف يمكننا معرفة ما إذا كان المجموع (1) موجودًا في كل حالة محددة؟ قرار مشتركهذه القضية تتجاوز نطاق برنامجنا بكثير. ومع ذلك، هناك حالة خاصة مهمة يجب أن نأخذها في الاعتبار الآن. سنتحدث عن جمع حدود المتوالية الهندسية المتناقصة بشكل لا نهائي.

يترك أ 1 , أ 1 س , أ 1 س 2، ... هو تقدم هندسي متناقص بشكل لا نهائي. وهذا يعني أن | س |< 1. Сумма первых ص شروط هذا التقدم متساوية

من النظريات الأساسية حول حدود المتغيرات (انظر § 136) نحصل على:

ولكن 1 = 1، أ Qn = 0. لذلك

إذن، مجموع المتوالية الهندسية المتناقصة بشكل لا نهائي يساوي الحد الأول من هذه المتتابعة مقسومًا على واحد ناقص مقام هذه المتوالية.

1) مجموع المتتابعة الهندسية 1، 1/3، 1/9، 1/27، ... يساوي

ومجموع المتوالية الهندسية هو 12؛ -6؛ 3؛ - 3 / 2، ... متساوي

2) تحويل الكسر الدوري البسيط 0.454545 ... إلى كسر عادي.

لحل هذه المشكلة، تخيل هذا الكسر كمجموع لا نهائي:

الجزء الأيمنهذه المساواة هي مجموع متوالية هندسية متناقصة بشكل لا نهائي، حدها الأول يساوي 45/100، والمقام هو 1/100. لهذا

وباستخدام الطريقة الموصوفة يمكن الحصول عليها أيضًا قاعدة عامةتحويل الكسور الدورية البسيطة إلى كسور عادية (انظر الفصل الثاني، § 38):

لتحويل كسر دوري بسيط إلى كسر عادي، عليك القيام بما يلي: ضع فترة الكسر العشري في البسط، وفي المقام - رقم يتكون من تسعات مأخوذة عدة مرات حيث توجد أرقام في الفترة من الكسر العشري.

3) تحويل الكسر الدوري المختلط 0.58333 .... إلى كسر عادي.

لنتخيل هذا الكسر كمجموع لا نهائي:

وعلى الجانب الأيمن من هذه المساواة، فإن جميع الحدود، بدءًا من 3/1000، تشكل متوالية هندسية متناقصة بشكل لا نهائي، الحد الأول منها يساوي 3/1000، والمقام هو 1/10. لهذا

باستخدام الطريقة الموصوفة، يمكن الحصول على قاعدة عامة لتحويل الكسور الدورية المختلطة إلى كسور عادية (انظر الفصل الثاني، § 38). نحن عمدا لا نقدمها هنا. ليست هناك حاجة لتذكر هذه القاعدة المرهقة. من المفيد جدًا معرفة أنه يمكن تمثيل أي جزء دوري مختلط كمجموع متوالية هندسية متناقصة بشكل لا نهائي ورقم معين. والصيغة

بالنسبة لمجموع التقدم الهندسي المتناقص بشكل لا نهائي، يجب عليك بالطبع أن تتذكره.

كتمرين، نقترح عليك، بالإضافة إلى المسائل رقم 995-1000 الواردة أدناه، الرجوع مرة أخرى إلى المشكلة رقم 301 § 38.

تمارين

995. ما يسمى مجموع التقدم الهندسي المتناقص بشكل لا نهائي؟

996. أوجد مجاميع المتوالية الهندسية المتناقصة بلا حدود:

997. في ما القيم X التقدم

هل يتناقص إلى ما لا نهاية؟ العثور على مجموع هذا التقدم.

998. في مثلث متساوي الأضلاع مع الجانب أ يتم رسم مثلث جديد من خلال ربط منتصف أضلاعه؛ ويدرج مثلث جديد في هذا المثلث بنفس الطريقة، وهكذا إلى ما لا نهاية.

أ) مجموع محيط كل هذه المثلثات.

ب) مجموع مساحاتهم.

999. مربع مع الجانب أ تم نقش مربع جديد من خلال ربط منتصف جوانبه؛ ويكتب مربع في هذا المربع بنفس الطريقة، وهكذا إلى ما لا نهاية. أوجد مجموع محيط كل هذه المربعات ومجموع مساحاتها.

1000. قم بتكوين متوالية هندسية متناقصة بشكل لا نهائي بحيث يكون مجموعها 25/4، ومجموع مربعات حدودها يساوي 625/24.

مستوى اول

المتوالية الهندسية. دليل شاملمع الأمثلة (2019)

تسلسل رقمي

لذلك، دعونا نجلس ونبدأ في كتابة بعض الأرقام. على سبيل المثال:

يمكنك كتابة أي أرقام، ويمكن أن يكون هناك أي عدد تريده (في حالتنا، هناك). بغض النظر عن عدد الأرقام التي نكتبها، يمكننا دائمًا أن نقول أي واحد هو الأول، وأي واحد هو الثاني، وهكذا حتى الأخير، أي أنه يمكننا ترقيمها. وهذا مثال على التسلسل الرقمي:

تسلسل رقميهي مجموعة من الأرقام، يمكن تخصيص رقم فريد لكل منها.

على سبيل المثال، بالنسبة لتسلسلنا:

الرقم المخصص خاص برقم واحد فقط في التسلسل. بمعنى آخر، لا توجد ثلاثة أرقام ثانية في المتتابعة. الرقم الثاني (مثل الرقم رقم) هو نفسه دائمًا.

الرقم الذي يحمل الرقم يسمى العضو n في التسلسل.

عادة ما نسمي التسلسل بأكمله بحرف ما (على سبيل المثال،)، وكل عضو في هذا التسلسل هو نفس الحرف مع فهرس يساوي رقم هذا العضو: .

في حالتنا هذه:

أكثر أنواع التقدم شيوعًا هي الحسابية والهندسية. وفي هذا الموضوع سنتحدث عن النوع الثاني - المتوالية الهندسية.

لماذا هناك حاجة للتقدم الهندسي وتاريخه؟

حتى في العصور القديمة، كان عالم الرياضيات الإيطالي الراهب ليوناردو بيزا (المعروف باسم فيبوناتشي) يتعامل مع الاحتياجات العملية للتجارة. كانت أمام الراهب مهمة تحديد ما هو أقل عدد من الأوزان التي يمكن استخدامها لوزن منتج ما؟ يثبت فيبوناتشي في أعماله أن نظام الأوزان هذا هو الأمثل: هذا هو أحد المواقف الأولى التي كان على الأشخاص فيها التعامل مع تقدم هندسي، والذي ربما سمعت عنه بالفعل ولديك على الأقل المفهوم العام. بمجرد أن تفهم الموضوع تمامًا، فكر في سبب كون هذا النظام هو الأمثل؟

حاليًا، في ممارسة الحياة، يتجلى التقدم الهندسي عند استثمار الأموال في أحد البنوك، عندما يتم استحقاق مبلغ الفائدة على المبلغ المتراكم في الحساب للفترة السابقة. وبعبارة أخرى، إذا قمت بوضع المال على وديعة لأجل في بنك الادخار، فبعد عام سوف تزيد الوديعة بالمبلغ الأصلي، أي. المبلغ الجديد سيكون مساوياً للمساهمة مضروبة في. وفي عام آخر سيزيد هذا المبلغ بمقدار، أي. سيتم مضاعفة المبلغ الذي تم الحصول عليه في ذلك الوقت مرة أخرى وهكذا. يتم وصف موقف مماثل في مشاكل حساب ما يسمى الفائدة المركبة- يتم أخذ النسبة في كل مرة من المبلغ الموجود في الحساب مع مراعاة الفوائد السابقة. سنتحدث عن هذه المهام بعد قليل.

هناك العديد من الحالات البسيطة التي يتم فيها تطبيق التقدم الهندسي. فمثلاً انتشار الأنفلونزا: شخص أصاب شخص آخر، وهم بدورهم نقلوا العدوى لشخص آخر، وبالتالي تكون الموجة الثانية من العدوى لشخص، وهم بدورهم يصيبون آخر... وهكذا.. .

بالمناسبة، الهرم المالي، نفس MMM، هو حساب بسيط وجاف يعتمد على خصائص التقدم الهندسي. مثير للاهتمام؟ دعونا معرفة ذلك.

المتوالية الهندسية.

لنفترض أن لدينا تسلسلًا رقميًا:

ستجيب على الفور أن هذا أمر سهل وأن اسم هذه المتتابعة هو متتابعة حسابية مع اختلاف حدودها. وماذا عن هذا:

إذا قمت بطرح الرقم السابق من الرقم اللاحق، سترى أنه في كل مرة تحصل على فرق جديد (وهكذا)، ولكن التسلسل موجود بالتأكيد ويسهل ملاحظته - كل رقم لاحق أكبر مرات من الرقم السابق!

يسمى هذا النوع من التسلسل الرقمي المتوالية الهندسيةويتم تعيينه.

المتوالية الهندسية () عبارة عن تسلسل عددي يختلف حده الأول عن الصفر، وكل حد ابتداء من الثاني يساوي الحد الذي يسبقه مضروبا في نفس العدد. ويسمى هذا الرقم مقام التقدم الهندسي.

القيود أن الحد الأول () ليس متساويا وليس عشوائيا. لنفترض أنه لا يوجد شيء، ولا يزال الحد الأول متساويًا، وq تساوي، امممم.. فليكن، فيتبين:

توافق على أن هذا لم يعد تقدمًا.

كما تفهم، سنحصل على نفس النتائج إذا كان هناك أي رقم غير الصفر، أ. في هذه الحالات، لن يكون هناك أي تقدم، حيث أن سلسلة الأرقام بأكملها ستكون إما كلها أصفار، أو رقم واحد، وكل الباقي هو أصفار.

الآن دعونا نتحدث بمزيد من التفصيل عن مقام التقدم الهندسي، أي o.

دعونا نكرر: - هذا هو الرقم كم مرة يتغير كل مصطلح لاحق؟المتوالية الهندسية.

ماذا تعتقد أنه يمكن أن يكون؟ هذا صحيح، إيجابي وسلبي، ولكن ليس الصفر (تحدثنا عن هذا أعلى قليلا).

لنفترض أن حالتنا إيجابية. دعونا في حالتنا، أ. ما هي قيمة المصطلح الثاني و؟ يمكنك الإجابة بسهولة على ذلك:

صحيح. وفقًا لذلك، إذا كانت جميع المصطلحات اللاحقة للتقدم لها نفس العلامة - فهي إيجابية.

ماذا لو كانت سلبية؟ على سبيل المثال، أ. ما هي قيمة المصطلح الثاني و؟

هذه قصة مختلفة تماما

حاول حساب شروط هذا التقدم. كم لم تحصل عليه؟ أملك. وبالتالي، إذا، فإن علامات شروط التقدم الهندسي تتناوب. أي إذا رأيت تقدماً بعلامات متناوبة لأعضائه فإن مقامه سالب. يمكن أن تساعدك هذه المعرفة على اختبار نفسك عند حل المشكلات المتعلقة بهذا الموضوع.

الآن دعونا نتدرب قليلًا: حاول تحديد أي تسلسل رقمي يمثل تقدمًا هندسيًا وأيها يمثل تقدمًا حسابيًا:

فهمتها؟ دعونا نقارن إجاباتنا:

• التقدم الهندسي - 3، 6.
• التقدم الحسابي - 2، 4.
• إنها ليست متتابعة حسابية أو هندسية - 1، 5، 7.

دعنا نعود إلى تقدمنا ​​الأخير ونحاول العثور على العضو الخاص به، تمامًا كما هو الحال في التقدم الحسابي. كما كنت قد خمنت، هناك طريقتان للعثور عليه.

نحن نضرب كل حد على التوالي.

لذا، فإن الحد العاشر للتقدم الهندسي الموصوف يساوي.

كما خمنت بالفعل، الآن سوف تستمد بنفسك صيغة ستساعدك في العثور على أي عضو في التقدم الهندسي. أو هل قمت بالفعل بتطويره بنفسك، مع وصف كيفية العثور على العضو رقم خطوة بخطوة؟ إذا كان الأمر كذلك، فتحقق من صحة تفكيرك.

ولنوضح ذلك بمثال إيجاد الحد الرابع لهذا التقدم:

بعبارة أخرى:

أوجد قيمة حد المتوالية الهندسية المعطاة بنفسك.

حدث؟ دعونا نقارن إجاباتنا:

يرجى ملاحظة أنك حصلت على نفس الرقم تمامًا كما في الطريقة السابقة، عندما قمنا بضربنا بالتتابع في كل حد سابق من المتوالية الهندسية.
دعونا نحاول "تجريد الشخصية" هذه الصيغة- لنضعها بشكل عام ونحصل على:

الصيغة المشتقة صحيحة لجميع القيم - الإيجابية والسلبية. تحقق من ذلك بنفسك عن طريق حساب شروط التقدم الهندسي الشروط التالية: ، أ.

هل حسبت؟ دعونا نقارن النتائج:

توافق على أنه سيكون من الممكن العثور على مصطلح التقدم بنفس طريقة العثور على مصطلح، ومع ذلك، هناك احتمال لحساب غير صحيح. وإذا وجدنا بالفعل الحد العاشر للتقدم الهندسي، فما الذي يمكن أن يكون أبسط من استخدام الجزء "المقطوع" من الصيغة.

تناقص التقدم الهندسي بشكل لا نهائي.

تحدثنا مؤخرًا عن حقيقة أنها يمكن أن تكون أكبر أو أقل من الصفر، إلا أن هناك قيمًا خاصة تسمى بالمتتالية الهندسية يتناقص بلا حدود.

لماذا تعتقد أن هذا الاسم أعطى؟
أولاً، دعونا نكتب بعض التقدم الهندسي المكون من الحدود.
فلنقول إذن:

نرى أن كل حد لاحق أقل من الذي قبله بعامل، ولكن هل سيكون هناك أي رقم؟ سوف تجيب على الفور - "لا". وهذا هو السبب في أنه يتناقص بلا حدود - فهو يتناقص ويتناقص، لكنه لا يصبح صفرًا أبدًا.

لكي نفهم بوضوح كيف يبدو هذا بصريًا، دعونا نحاول رسم رسم بياني لتقدمنا. لذا، في حالتنا، تأخذ الصيغة الشكل التالي:

في الرسوم البيانية اعتدنا على رسم الاعتماد عليها، لذلك:

لم يتغير جوهر التعبير: في الإدخال الأول أظهرنا اعتماد قيمة عضو في متوالية هندسية على رقمه الترتيبي، وفي الإدخال الثاني أخذنا ببساطة قيمة عضو في متوالية هندسية على أنها ، وتم تعيين الرقم الترتيبي ليس كـ، بل كـ. كل ما يتعين علينا القيام به هو بناء رسم بياني.
دعونا نرى ما حصل. هذا هو الرسم البياني الذي توصلت إليه:

هل ترى؟ تتناقص الدالة، وتميل إلى الصفر، ولكنها لا تتعداها أبدًا، لذا فهي تتناقص إلى ما لا نهاية. دعونا نحدد نقاطنا على الرسم البياني، وفي نفس الوقت ما الإحداثيات والمعنى:

حاول أن ترسم رسمًا بيانيًا للتقدم الهندسي بشكل تخطيطي إذا كان حده الأول متساويًا أيضًا. تحليل ما هو الفرق مع الرسم البياني السابق لدينا؟

هل تستطيع فعلها؟ هذا هو الرسم البياني الذي توصلت إليه:

الآن بعد أن فهمت تمامًا أساسيات موضوع المتوالية الهندسية: أنت تعرف ما هي، وتعرف كيفية العثور على مصطلحها، وتعرف أيضًا ما هو المتوالية الهندسية المتناقصة بشكل لا نهائي، دعنا ننتقل إلى خاصيتها الرئيسية.

خاصية التقدم الهندسي.

هل تتذكر خاصية شروط التقدم الحسابي؟ نعم، نعم، كيفية العثور على قيمة عدد معين من التقدم عندما تكون هناك قيم سابقة ولاحقة لشروط هذا التقدم. هل تذكر؟ هذا:

الآن نحن نواجه نفس السؤال تمامًا فيما يتعلق بشروط التقدم الهندسي. لاستخلاص مثل هذه الصيغة، لنبدأ بالرسم والتفكير. سترى أن الأمر سهل للغاية، وإذا نسيت، يمكنك إخراجه بنفسك.

لنأخذ متوالية هندسية بسيطة أخرى، والتي نعرفها و. كيف تجد؟ مع التقدم الحسابي الأمر سهل وبسيط، ولكن ماذا عن هنا؟ في الواقع، لا يوجد شيء معقد في الهندسة أيضًا - ما عليك سوى كتابة كل قيمة تُعطى لنا وفقًا للصيغة.

قد تسأل ماذا يجب أن نفعل حيال ذلك الآن؟ نعم، بسيط جدا. أولاً، دعونا نصور هذه الصيغ في الشكل ونحاول التعامل معها التلاعبات المختلفةللوصول إلى قيمة.

دعونا نلخص الأرقام المعطاة لنا، ودعونا نركز فقط على التعبير عنها من خلال الصيغة. علينا إيجاد القيمة الموضحة باللون البرتقالي، مع معرفة الحدود المجاورة لها. دعونا نحاول أن ننتج معهم إجراءات مختلفةونتيجة لذلك يمكننا الحصول عليها.

إضافة.
دعونا نحاول إضافة تعبيرين ونحصل على:

من هذا التعبير، كما ترون، لا يمكننا التعبير عنه بأي شكل من الأشكال، لذلك، سنحاول خيار آخر - الطرح.

الطرح.

وكما ترى، لا يمكننا التعبير عن ذلك أيضًا، لذا دعونا نحاول ضرب هذه المقادير في بعضها البعض.

عمليه الضرب.

انظر الآن بعناية إلى ما لدينا من خلال ضرب شروط التقدم الهندسي المعطاة لنا مقارنة بما يجب العثور عليه:

خمن ما أتحدث عنه؟ هذا صحيح، للعثور علينا أن نأخذ الجذر التربيعيمن أرقام التقدم الهندسي المجاورة للرقم المطلوب مضروبة في بعضها البعض:

ها أنت ذا. لقد استمدت بنفسك خاصية التقدم الهندسي. حاول كتابة هذه الصيغة في منظر عام. حدث؟

نسيت الشرط ل؟ فكر في سبب أهميته، على سبيل المثال، حاول حسابه بنفسك. ماذا سيحدث في هذه الحالة؟ هذا صحيح، محض هراء لأن الصيغة تبدو كما يلي:

وبناء على ذلك، لا ننسى هذا القيد.

الآن دعونا نحسب ما يساويه

اجابة صحيحة - ! إذا لم تنس الثانية عند الحساب معنى ممكن، فأنت رائع ويمكنك الانتقال فورًا إلى التدريب، وإذا نسيت، فاقرأ ما تمت مناقشته أدناه وانتبه إلى سبب ضرورة كتابة كلا الجذرين في الإجابة.

لنرسم كلا من التقدمين الهندسيين لدينا - أحدهما بقيمة والآخر بقيمة ونتحقق مما إذا كان لكل منهما الحق في الوجود:

من أجل التحقق من وجود مثل هذا التقدم الهندسي أم لا، من الضروري معرفة ما إذا كانت جميع حدوده المعطاة هي نفسها؟ احسب q للحالتين الأولى والثانية.

ترى لماذا علينا أن نكتب إجابتين؟ لأن علامة المصطلح الذي تبحث عنه تعتمد على ما إذا كانت إيجابية أم سلبية! وبما أننا لا نعرف ما هو، علينا كتابة الإجابتين بعلامة موجب وسالب.

الآن بعد أن أتقنت النقاط الرئيسية واستنتجت صيغة خاصية التقدم الهندسي، ابحث عن ومعرفة و

قارن إجاباتك بالإجابات الصحيحة:

ما رأيك، ماذا لو لم يتم إعطاؤنا قيم شروط التقدم الهندسي المجاورة للرقم المطلوب، ولكن على مسافة متساوية منه. على سبيل المثال، نحن بحاجة إلى العثور على، وإعطاء و. هل يمكننا استخدام الصيغة التي استنتجناها في هذه الحالة؟ حاول تأكيد أو دحض هذا الاحتمال بنفس الطريقة، واصفًا مما تتكون كل قيمة، كما فعلت عندما استنتجت الصيغة في الأصل.
على ماذا حصلت؟

الآن انظر بعناية مرة أخرى.
وبالمقابل:

من هذا يمكننا أن نستنتج أن الصيغة تعمل ليس فقط مع الدول المجاورةمع الشروط المطلوبة للتقدم الهندسي، ولكن أيضًا مع على مسافة متساويةمن ما يبحث عنه الأعضاء.

وبالتالي، فإن صيغتنا الأولية تأخذ الشكل:

أي أننا إذا قلنا ذلك في الحالة الأولى، فإننا نقول الآن إنه يمكن أن يساوي أيًا عدد طبيعي، وهو أصغر. الشيء الرئيسي هو أنه هو نفسه لكلا الرقمين المحددين.

تدرب على أمثلة محددة، فقط كن حذرًا للغاية!

1. ، . يجد.
2. ، . يجد.
3. ، . يجد.

مقرر؟ أتمنى أن تكون منتبهًا للغاية وأن تلاحظ وجود مشكلة صغيرة.

دعونا نقارن النتائج.

في الحالتين الأوليين، نطبق الصيغة المذكورة أعلاه بهدوء ونحصل على القيم التالية:

وفي الحالة الثالثة بعد الفحص الدقيق الأرقام التسلسليةالأرقام المعطاة لنا، نفهم أنها ليست على مسافة متساوية من الرقم الذي نبحث عنه: إنه الرقم السابق، ولكن تمت إزالته في الموضع، لذلك ليس من الممكن تطبيق الصيغة.

كيف حلها؟ انها في الواقع ليست صعبة كما يبدو! دعونا نكتب مما يتكون كل رقم مُعطى لنا والرقم الذي نبحث عنه.

لذلك لدينا و. دعونا نرى ما يمكننا القيام به معهم؟ أقترح التقسيم على. نحن نحصل:

نستبدل بياناتنا في الصيغة:

الخطوة التالية التي يمكننا إيجادها هي - لهذا نحتاج إلى أخذ الجذر التكعيبي للرقم الناتج.

الآن دعونا ننظر مرة أخرى إلى ما لدينا. لدينا ذلك، ولكن علينا العثور عليه، وهو بدوره يساوي:

وجدنا جميع البيانات اللازمة للحساب. استبدل في الصيغة:

جوابنا: .

حاول حل مشكلة أخرى مماثلة بنفسك:
منح: ،
يجد:

كم لم تحصل عليه؟ أملك - .

كما ترون، في الأساس تحتاج تذكر صيغة واحدة فقط- . ويمكنك سحب الباقي بنفسك دون أي صعوبة في أي وقت. للقيام بذلك، ما عليك سوى كتابة أبسط تقدم هندسي على قطعة من الورق وكتابة ما يساويه كل رقم من أرقامه، وفقًا للصيغة الموضحة أعلاه.

مجموع شروط التقدم الهندسي.

الآن دعونا نلقي نظرة على الصيغ التي تسمح لنا بحساب مجموع حدود التقدم الهندسي بسرعة في فترة زمنية معينة:

لاشتقاق صيغة مجموع حدود المتتابعة الهندسية المحدودة، نضرب جميع أجزاء المعادلة أعلاه. نحن نحصل:

انظر بعناية: ما هو الشيء المشترك بين الصيغتين الأخيرتين؟ هذا صحيح، الأعضاء المشتركون مثلاً، وهكذا، باستثناء العضو الأول والأخير. دعونا نحاول طرح الأول من المعادلة الثانية. على ماذا حصلت؟

الآن عبر عن حد التقدم الهندسي من خلال الصيغة واستبدل التعبير الناتج في الصيغة الأخيرة:

قم بتجميع التعبير. يجب ان تحصل على:

كل ما يتعين علينا القيام به هو التعبير عن:

وفقا لذلك، في هذه الحالة.

ماذا إذا؟ ما هي الصيغة التي تعمل بعد ذلك؟ تخيل تقدمًا هندسيًا عند. كيف تبدو؟ سلسلة من الأرقام المتطابقة صحيحة، لذا ستبدو الصيغة كما يلي:

هناك العديد من الأساطير حول التقدم الحسابي والهندسي. واحد منهم هو أسطورة ست، خالق الشطرنج.

يعرف الكثير من الناس أن لعبة الشطرنج اخترعت في الهند. عندما التقى بها الملك الهندوسي، كان مسرورًا بذكائها وتنوع المناصب الممكنة فيها. بعد أن علم أن أحد رعاياه اخترعها، قرر الملك أن يكافئه شخصيًا. استدعى المخترع إلى نفسه وأمره أن يطلب منه كل ما يريد، ووعد بتحقيق حتى أكثر الرغبات مهارة.

طلب سيتا وقتًا للتفكير، وعندما ظهر سيتا أمام الملك في اليوم التالي، فاجأ الملك بالتواضع غير المسبوق في طلبه. طلب أن يعطي حبة قمح للمربع الأول من رقعة الشطرنج، وحبة قمح للمربع الثاني، وحبة قمح للمربع الثالث، وحبة قمح للربع، الخ.

فغضب الملك وطرد سيث قائلاً إن طلب الخادم لا يليق بكرم الملك، لكنه وعد بأن الخادم سيحصل على حبوبه مقابل كل مربعات اللوح.

والآن السؤال: باستخدام صيغة مجموع حدود التقدم الهندسي، احسب عدد الحبوب التي يجب أن يحصل عليها سيث؟

لنبدأ بالتفكير. وبما أن سيث، بحسب الشرط، طلب حبة قمح للمربع الأول من رقعة الشطرنج، وللثاني، والثالث، والرابع، وما إلى ذلك، فإننا نرى أن المشكلة تتعلق بمتتابعة هندسية. ماذا يساوي في هذه الحالة؟
يمين.

مجموع مربعات رقعة الشطرنج. على التوالى، . لدينا جميع البيانات، وكل ما تبقى هو إدخالها في الصيغة وإجراء الحساب.

لتخيل "مقياس" رقم معين على الأقل تقريبًا، نقوم بالتحويل باستخدام خصائص الدرجة:

بالطبع، إذا كنت تريد، يمكنك استخدام آلة حاسبة وحساب الرقم الذي ستحصل عليه في النهاية، وإذا لم يكن الأمر كذلك، فسيتعين عليك أن تصدق كلامي: ستكون القيمة النهائية للتعبير.
إنه:

كوينتيليون كوادريليون تريليون مليار مليون ألف.

Phew) إذا كنت تريد أن تتخيل ضخامة هذا العدد، فقم بتقدير حجم الحظيرة المطلوبة لاستيعاب الكمية الكاملة من الحبوب.
إذا كان ارتفاع الحظيرة م وعرضها م، فيجب أن يمتد طولها لمسافة كيلومتر، أي. ضعف المسافة من الأرض إلى الشمس.

لو كان الملك قويا في الرياضيات، لكان بإمكانه أن يدعو العالم نفسه إلى عد الحبوب، لأنه لكي يعد مليون حبة، فإنه سيحتاج إلى يوم على الأقل من العد الدؤوب، ونظرا لأنه من الضروري عد الكوينتيليونات، فإن الحبوب يجب أن يحسب طوال حياته.

والآن دعونا نحل مسألة بسيطة تتضمن مجموع حدود المتوالية الهندسية.
أصيب طالب في الصف 5A فاسيا بالأنفلونزا، لكنه يواصل الذهاب إلى المدرسة. كل يوم، يصيب فاسيا شخصين، اللذين بدورهما يصيبان شخصين آخرين، وهكذا. لا يوجد سوى الناس في الفصل. في كم يومًا سيصاب الفصل بأكمله بالأنفلونزا؟

لذا، فإن المصطلح الأول للتقدم الهندسي هو فاسيا، أي شخص. أما الفصل الرابع من المتوالية الهندسية فهو الشخصان اللذان نقل إليهما العدوى في اليوم الأول من وصوله. المبلغ الإجماليأعضاء التقدم يساوي عدد الطلاب في 5A. وعليه فإننا نتحدث عن تقدم يتم فيه:

لنستبدل بياناتنا في صيغة مجموع حدود المتوالية الهندسية:

سوف يمرض الفصل بأكمله في غضون أيام. لا تصدق الصيغ والأرقام؟ حاول تصوير "عدوى" الطلاب بنفسك. حدث؟ انظروا كيف يبدو بالنسبة لي:

احسب بنفسك عدد الأيام التي سيستغرقها الطلاب ليصابوا بالأنفلونزا إذا أصاب كل منهم شخصًا واحدًا، وكان هناك شخص واحد فقط في الفصل.

ما القيمة التي حصلت عليها؟ اتضح أن الجميع بدأ يمرض بعد يوم واحد.

كما ترون، فإن هذه المهمة والرسم الخاص بها يشبهان الهرم، حيث "تجلب" كل مهمة لاحقة أشخاصًا جددًا. ومع ذلك، عاجلا أم آجلا، تأتي لحظة عندما لا يستطيع الأخير جذب أي شخص. في حالتنا، إذا تخيلنا أن الفصل معزول، فإن الشخص يغلق السلسلة (). وهكذا، إذا كان الشخص متورطا في الهرم المالي، حيث يتم منح المال إذا أحضرت مشاركين آخرين، ثم الشخص (أو الحالة العامة) لم يكن ليحضر أحداً، وبالتالي يكون قد خسر كل ما استثمره في هذا الاحتيال المالي.

كل ما قيل أعلاه يشير إلى تقدم هندسي متناقص أو متزايد، ولكن، كما تتذكر، لدينا نوع خاص - تقدم هندسي متناقص بلا حدود. كيفية حساب مجموع أعضائها؟ ولماذا يتميز هذا النوع من التقدم بخصائص معينة؟ دعونا معرفة ذلك معا.

لذا، أولاً، دعونا نلقي نظرة مرة أخرى على هذا الرسم للتقدم الهندسي المتناقص بشكل لا نهائي من مثالنا:

الآن دعونا نلقي نظرة على صيغة مجموع التقدم الهندسي، المشتقة قبل قليل:
أو

ما الذي نسعى إليه؟ هذا صحيح، الرسم البياني يوضح أنه يميل إلى الصفر. وهذا يعني أنه سيكون متساويًا تقريبًا، على التوالي، عند حساب التعبير الذي سنحصل عليه تقريبًا. وفي هذا الصدد، نعتقد أنه عند حساب مجموع متوالية هندسية متناقصة بشكل لا نهائي، يمكن إهمال هذه القوس، لأنها ستكون متساوية.

- الصيغة هي مجموع شروط التقدم الهندسي المتناقص بشكل لا نهائي.

مهم!نحن نستخدم صيغة مجموع حدود المتوالية الهندسية المتناقصة بشكل لا نهائي فقط إذا كان الشرط ينص بوضوح على أننا بحاجة إلى إيجاد المجموع لانهائيعدد من أعضاء.

إذا تم تحديد رقم محدد n، فإننا نستخدم الصيغة لمجموع حدود n، حتى لو كان أو.

الآن دعونا نتدرب.

1. أوجد مجموع الحدود الأولى للتقدم الهندسي باستخدام و.
2. أوجد مجموع حدود المتتابعة الهندسية المتناقصة بشكل لا نهائي باستخدام و.

أتمنى أن تكون حذراً للغاية. دعونا نقارن إجاباتنا:

الآن أنت تعرف كل شيء عن التقدم الهندسي، وحان الوقت للانتقال من النظرية إلى التطبيق. مشاكل التقدم الهندسي الأكثر شيوعًا التي تمت مواجهتها في الاختبار هي مشاكل حساب الفائدة المركبة. هؤلاء هم الذين سنتحدث عنهم.

مسائل في حساب الفائدة المركبة.

ربما تكون قد سمعت عما يسمى بصيغة الفائدة المركبة. هل تفهم ماذا يعني ذلك؟ إذا لم يكن الأمر كذلك، فلنكتشف ذلك، لأنه بمجرد أن تفهم العملية نفسها، ستفهم على الفور ما علاقة التقدم الهندسي بها.

نذهب جميعًا إلى البنك ونعلم أن هناك ظروف مختلفةعلى الودائع: هذا هو المصطلح، والخدمة الإضافية، والفائدة مع اثنين طرق مختلفةحساباته - بسيطة ومعقدة.

مع مصلحة بسيطةكل شيء أكثر أو أقل وضوحًا: يتم استحقاق الفائدة مرة واحدة في نهاية مدة الإيداع. وهذا هو، إذا قلنا أننا نقوم بإيداع 100 روبل لمدة عام، فسيتم إضافتها فقط في نهاية العام. وفقا لذلك، بحلول نهاية الإيداع، سوف نتلقى روبل.

الفائدة المركبة- هذا هو الخيار الذي يحدث فيه رسملة الفائدة، أي. إضافتها إلى مبلغ الوديعة وحساب الدخل اللاحق ليس من المبلغ الأولي، ولكن من مبلغ الوديعة المتراكمة. الكتابة بالأحرف الكبيرة لا تحدث بشكل مستمر، ولكن مع بعض التكرار. كقاعدة عامة، تكون هذه الفترات متساوية وغالبا ما تستخدم البنوك شهرا أو ربع أو سنة.

لنفترض أننا نقوم بإيداع نفس الروبل سنويًا، ولكن مع رسملة شهرية للإيداع. ماذا نفعل؟

هل تفهم كل شيء هنا؟ إذا لم يكن الأمر كذلك، فلنكتشف ذلك خطوة بخطوة.

أحضرنا الروبل إلى البنك. بحلول نهاية الشهر، من المفترض أن يكون لدينا مبلغ في حسابنا يتكون من الروبل الخاص بنا بالإضافة إلى الفائدة عليه، وهو:

يوافق؟

يمكننا إخراجها من الأقواس ثم نحصل على:

موافق، هذه الصيغة تشبه بالفعل ما كتبناه في البداية. كل ما تبقى هو معرفة النسب المئوية

في بيان المشكلة قيل لنا عن المعدلات السنوية. كما تعلم، نحن لا نضرب في - بل نحول النسب المئوية إلى الكسور العشرية، إنه:

يمين؟ الآن قد تسأل، من أين جاء الرقم؟ بسيط جدا!
أكرر: بيان المشكلة يقول عنه سنويالفائدة التي تتراكم شهريا. كما تعلمون، في غضون عام من الأشهر، سيخصم البنك منا جزءًا من الفائدة السنوية شهريًا:

أدركت ذلك؟ حاول الآن أن تكتب كيف سيبدو هذا الجزء من الصيغة إذا قلت أن الفائدة يتم حسابها يوميًا.
هل تستطيع فعلها؟ دعونا نقارن النتائج:

أحسنت! دعنا نعود إلى مهمتنا: اكتب المبلغ الذي سيتم إضافته إلى حسابنا في الشهر الثاني، مع مراعاة تراكم الفائدة على مبلغ الوديعة المتراكمة.
وهنا ما حصلت عليه:

أو بمعنى آخر:

أعتقد أنك لاحظت بالفعل وجود نمط وشاهدت تقدمًا هندسيًا في كل هذا. اكتب ما سوف يساويه عضوه، أو بمعنى آخر، ما هو المبلغ الذي سنحصل عليه في نهاية الشهر.
فعل؟ دعونا تحقق!

كما ترون، إذا قمت بوضع أموال في أحد البنوك لمدة عام بسعر فائدة بسيط، فسوف تحصل على روبل، وإذا قمت بوضع سعر فائدة مركب، فسوف تحصل على روبل. الفائدة قليلة، لكن هذا لا يحدث إلا خلال السنة الرابعة عشرة، بل لأكثر من ذلك فترة طويلةالرسملة أكثر ربحية:

دعونا نلقي نظرة على نوع آخر من المسائل التي تتضمن الفائدة المركبة. بعد ما اكتشفته، سيكون الأمر أساسيا بالنسبة لك. إذن المهمة:

بدأت شركة زفيزدا الاستثمار في الصناعة عام 2000 برأس مال بالدولار. وهي تحصل في كل عام منذ عام 2001 على ربح يعادل رأس مال العام السابق. ما هو مقدار الربح الذي ستحصل عليه شركة "زفيزدا" في نهاية عام 2003 إذا لم يتم سحب الأرباح من التداول؟

رأس مال شركة زفيزدا عام 2000.
- رأس مال شركة زفيزدا عام 2001.
- رأس مال شركة زفيزدا عام 2002.
- رأس مال شركة زفيزدا عام 2003.

أو يمكننا أن نكتب باختصار:

بالنسبة لحالتنا:

2000، 2001، 2002 و 2003.

على التوالى:
روبل
يرجى ملاحظة أنه في هذه المسألة ليس لدينا قسمة على أو على، حيث أن النسبة تعطى سنويا ويتم حسابها سنويا. وهذا هو، عند قراءة مسألة الفائدة المركبة، انتبه إلى النسبة المئوية المعطاة وفي أي فترة يتم حسابها، وعندها فقط انتقل إلى الحسابات.
الآن أنت تعرف كل شيء عن التقدم الهندسي.

تمرين.

1. أوجد حد المتوالية الهندسية إذا كان معروفا ذلك و
2. أوجد مجموع الحدود الأولى للمتتالية الهندسية إذا علمت ذلك، و
3. بدأت شركة MDM Capital الاستثمار في الصناعة في عام 2003، برأس مال بالدولار. وهي تحصل في كل عام منذ عام 2004 على ربح يعادل رأس مال العام السابق. بدأت شركة MSK Cash Flows الاستثمار في هذه الصناعة في عام 2005 بمبلغ 10000 دولار، وبدأت في تحقيق أرباح في عام 2006 بمبلغ. بكم دولار يزيد رأس مال إحدى الشركات على الأخرى في نهاية عام 2007 إذا لم يتم سحب الأرباح من التداول؟

الإجابات:

1. نظرًا لأن بيان المشكلة لا ينص على أن التقدم لا نهائي وأنه مطلوب إيجاد مجموع عدد محدد من حدوده، يتم إجراء الحساب وفقًا للصيغة:
2. 
   شركة إم دي إم كابيتال:

   2003، 2004، 2005، 2006، 2007.
   - يزيد بنسبة 100٪ أي مرتين.
   على التوالى:
   روبل
   شركة إم إس كيه للتدفقات النقدية:

   2005، 2006، 2007.
   - يزيد، أي بالأزمنة.
   على التوالى:
   روبل
   روبل

دعونا نلخص.

1) المتوالية الهندسية ( ) عبارة عن تسلسل عددي يختلف حده الأول عن الصفر، وكل حد ابتداء من الثاني يساوي الحد الذي قبله مضروبا في نفس العدد. ويسمى هذا الرقم مقام التقدم الهندسي.

2) معادلة حدود المتوالية الهندسية هي .

3) يمكن أن تأخذ أي قيم باستثناء و.

• إذا، فإن جميع المصطلحات اللاحقة للتقدم لها نفس العلامة - هم إيجابية;
• إذا، ثم كل الشروط اللاحقة للتقدم علامات بديلة
• متى - يسمى التقدم متناقصًا بلا حدود.

4) مع - خاصية التقدم الهندسي (المصطلحات المجاورة)

أو
، عند (مصطلحات متساوية البعد)

وعندما تجده، لا تنس ذلك يجب أن يكون هناك إجابتين.

على سبيل المثال،

5) يتم حساب مجموع شروط التقدم الهندسي بالصيغة:
أو

إذا كان التقدم يتناقص بشكل لا نهائي، فعندئذ:
أو

مهم!نحن نستخدم صيغة مجموع حدود المتوالية الهندسية المتناقصة بشكل لا نهائي فقط إذا كان الشرط ينص بوضوح على أننا بحاجة إلى إيجاد مجموع عدد لا نهائي من الحدود.

6) يتم حساب المسائل التي تتضمن الفائدة المركبة أيضًا باستخدام صيغة الحد العاشر من المتوالية الهندسية، بشرط أن نقديلم يتم سحبها من التداول:

المتوالية الهندسية. باختصار عن الأشياء الرئيسية

المتوالية الهندسية( ) هي متوالية عددية حدها الأول يختلف عن الصفر، وكل حد ابتداء من الثاني يساوي الحد الذي قبله مضروبا في نفس العدد. هذا الرقم يسمى مقام التقدم الهندسي.

مقام التقدم الهندسييمكن أن تأخذ أي قيمة باستثناء و.

• إذا، فإن جميع الشروط اللاحقة للتقدم لها نفس الإشارة - فهي إيجابية؛
• إذا، فإن جميع الأعضاء اللاحقين في التقدم يتبادلون العلامات؛
• متى - يسمى التقدم متناقصًا بلا حدود.

معادلة شروط التقدم الهندسي - .

مجموع شروط التقدم الهندسيتحسب بواسطة الصيغة:
أو

الدرس حول هذا الموضوع "التقدم الهندسي المتناقص بشكل لا نهائي" (الجبر، الصف العاشر)

الغرض من الدرس:تعريف الطلاب بنوع جديد من التسلسل - وهو تقدم هندسي متناقص بشكل لا نهائي.

معدات:جهاز عرض، شاشة.

نوع الدرس:الدرس - تعلم موضوع جديد.

خلال الفصول الدراسية

أنا . منظمة. لحظة. اذكر موضوع الدرس والغرض منه.

ثانيا . تحديث معارف الطلاب.

في الصف التاسع، درست المتتابعات الحسابية والهندسية.

أسئلة

1. تعريف التقدم الحسابي. (المتتابعة الحسابية هي متوالية يكون فيها كل عضو ابتداء من الثاني مساوياً للعضو السابق مضافاً إلى نفس العدد).

2. الصيغة نالحد الرابع من المتوالية الحسابية (
)

3. صيغة مجموع الأول نشروط التقدم الحسابي.

(
أو
)

4. تعريف التقدم الهندسي. (المتتابعة الهندسية هي سلسلة من الأعداد غير الصفرية، كل حد منها ابتداء من الثاني يساوي الحد السابق مضروبا في نفس العدد).

5. الصيغة نالحد الرابع من المتوالية الهندسية (

)

6. صيغة مجموع الأول نأعضاء التقدم الهندسي. (
)

7. ما هي الصيغ الأخرى التي تعرفها؟

(
، أين
;
;
;
,
)

5. للتقدم الهندسي
العثور على الحد الخامس.

6. للتقدم الهندسي
يجد نالعضو ال.

7. أضعافا مضاعفة ب 3 = 8 و ب 5 = 2 . يجد ب 4 . (4)

8. أضعافا مضاعفة ب 3 = 8 و ب 5 = 2 . يجد ب 1 و س .

9. أضعافا مضاعفة ب 3 = 8 و ب 5 = 2 . يجد س 5 . (62)

ثالثا . تعلم موضوع جديد(مظاهرة العرض).

لنفترض مربعًا طول ضلعه 1. لنرسم مربعًا آخر طول ضلعه نصف حجم المربع الأول، ثم مربعًا آخر طول ضلعه نصف الثاني، ثم المربع الذي يليه، وما إلى ذلك. في كل مرة يساوي جانب المربع الجديد نصف المربع السابق.

ونتيجة لذلك، حصلنا على سلسلة من جوانب المربعات تشكيل متوالية هندسية مع المقام .

والأهم من ذلك، أنه كلما قمنا ببناء مثل هذه المربعات، كلما كان جانب المربع أصغر. على سبيل المثال,

أولئك. ومع زيادة العدد n، تقترب شروط التقدم من الصفر.

باستخدام هذا الرقم، يمكنك التفكير في تسلسل آخر.

على سبيل المثال، تسلسل مساحات المربعات:

. ومرة أخرى، إذا نتزداد إلى أجل غير مسمى، ثم تقترب المساحة من الصفر إلى أقرب ما تريد.

دعونا ننظر إلى مثال آخر. مثلث متساوي الأضلاع طول أضلاعه 1 سم. لنقم ببناء المثلث التالي بحيث تكون رءوسه في منتصف أضلاع المثلث الأول، وفقًا لنظرية خط الوسط للمثلث - ضلع الثاني يساوي نصف ضلع الأول، وضلع الثالث يساوي نصف الجانب الثاني، الخ. مرة أخرى نحصل على سلسلة من أطوال أضلاع المثلثات.

في
.

إذا اعتبرنا تقدمًا هندسيًا بمقام سلبي.

ثم، مرة أخرى، بأعداد متزايدة نشروط التقدم تقترب من الصفر.

دعونا ننتبه إلى قواسم هذه المتتابعات. في كل مكان كانت القواسم أقل من 1 في القيمة المطلقة.

يمكننا أن نستنتج أن التقدم الهندسي سوف يتناقص بشكل لا نهائي إذا كان معامل مقامه أقل من 1.

تعريف:

يقال إن المتوالية الهندسية تتناقص بشكل لا نهائي إذا كان معامل مقامها أقل من واحد.
.

باستخدام التعريف، يمكنك أن تقرر ما إذا كان التقدم الهندسي يتناقص بشكل لا نهائي أم لا.

مهمة

هل التسلسل عبارة عن تقدم هندسي متناقص بشكل لا نهائي إذا تم إعطاؤه بالصيغة:

;
.

حل:

. سوف نجد س .

;
;
;
.

هذا التقدم الهندسي يتناقص بلا حدود.

ب)هذا التسلسل ليس تقدمًا هندسيًا متناقصًا بشكل لا نهائي.

خذ بعين الاعتبار مربعًا طول ضلعه 1. اقسمه إلى نصفين، أي نصفين إلى نصفين، وما إلى ذلك. تشكل مساحات جميع المستطيلات الناتجة متوالية هندسية متناقصة بشكل لا نهائي:

مجموع مساحات جميع المستطيلات التي تم الحصول عليها بهذه الطريقة سيكون مساوياً لمساحة المربع الأول ويساوي 1.