كيفية حل معادلة خطية بين قوسين. المشاركات الموسومة "معادلات الصف السادس"

المعادلات الخطية. الحل، الأمثلة.

انتباه!
هناك اضافية
المواد في القسم الخاص 555.
بالنسبة لأولئك الذين هم "ليسوا جدا..."
ولأولئك الذين "كثيرا ...")

المعادلات الخطية.

المعادلات الخطية- ليس الموضوع الأصعب في الرياضيات المدرسية. ولكن هناك بعض الحيل التي يمكن أن تحير حتى الطالب المتدرب. دعونا معرفة ذلك؟)

عادة يتم تعريف المعادلة الخطية كمعادلة من النموذج:

فأس + ب = 0 أين أ و ب– أي أرقام.

2س + 7 = 0. هنا أ = 2، ب=7

0.1x - 2.3 = 0 هنا أ = 0.1، ب=-2.3

12س + 1/2 = 0 هنا أ = 12، ب=1/2

لا شيء معقد، أليس كذلك؟ خاصة إذا كنت لا تلاحظ الكلمات: "حيث a و b عبارة عن أي أرقام"... وإذا لاحظت ذلك وفكرت فيه بلا مبالاة؟) بعد كل شيء، إذا أ = 0، ب=0(أي أرقام ممكنة؟)، ثم نحصل على تعبير مضحك:

ولكن هذا ليس كل شيء! إذا، قل، أ = 0،أ ب = 5،يبدو أن هذا شيء خارج عن المألوف تمامًا:

وهو أمر مزعج ويقوض الثقة في الرياضيات، نعم...) خاصة أثناء الامتحانات. ولكن من بين هذه التعبيرات الغريبة، عليك أيضًا العثور على X! وهو غير موجود على الإطلاق. والمثير للدهشة أنه من السهل جدًا العثور على علامة X هذه. سوف نتعلم القيام بذلك. في هذا الدرس.

كيف تتعرف على المعادلة الخطية من مظهرها؟ هذا يعتمد على ماذا مظهر.) الحيلة هي أن معادلات النموذج لا تسمى فقط المعادلات الخطية فأس + ب = 0 ولكن أيضًا أي معادلات يمكن اختزالها إلى هذا الشكل عن طريق التحويلات والتبسيطات. ومن يعلم هل ينزل أم لا؟)

يمكن التعرف على المعادلة الخطية بوضوح في بعض الحالات. لنفترض أنه إذا كانت لدينا معادلة لا يوجد فيها سوى مجاهيل من الدرجة الأولى وأرقام. وفي المعادلة لا يوجد الكسور مقسومة على مجهول , انه مهم! والقسمة على رقم،أو كسرًا رقميًا - هذا مرحب به! على سبيل المثال:

هذه معادلة خطية. توجد كسور هنا، لكن لا توجد علامة x في المربع أو المكعب وما إلى ذلك، ولا توجد علامة x في المقامات، أي. لا القسمة على x. وهنا المعادلة

لا يمكن أن يسمى الخطية. هنا جميع علامات X في الدرجة الأولى، ولكن هناك القسمة على التعبير مع x. بعد التبسيط والتحويل، يمكنك الحصول على معادلة خطية أو معادلة تربيعية أو أي شيء تريده.

اتضح أنه من المستحيل التعرف على المعادلة الخطية في بعض الأمثلة المعقدة حتى تتمكن من حلها تقريبًا. هذا مزعج. لكن في المهام، كقاعدة عامة، لا يسألون عن شكل المعادلة، أليس كذلك؟ المهام تطلب المعادلات يقرر.هذا يجعلني سعيدا.)

حل المعادلات الخطية. أمثلة.

يتكون الحل الكامل للمعادلات الخطية من تحويلات متطابقة للمعادلات. وبالمناسبة، هذه التحولات (اثنان منها!) هي أساس الحلول جميع معادلات الرياضيات.بمعنى آخر الحل أيتبدأ المعادلة بهذه التحولات ذاتها. وفي حالة المعادلات الخطية فهو (الحل) يعتمد على هذه التحويلات وينتهي بالإجابة الكاملة. من المنطقي اتباع الرابط، أليس كذلك؟) علاوة على ذلك، هناك أيضًا أمثلة لحل المعادلات الخطية هناك.

أولا، دعونا نلقي نظرة على أبسط مثال. دون أي مطبات. لنفترض أننا بحاجة إلى حل هذه المعادلة.

س - 3 = 2 - 4س

هذه معادلة خطية. علامات X كلها في القوة الأولى، ولا يوجد قسمة على X. لكن في الواقع، لا يهمنا نوع المعادلة. نحن بحاجة إلى حلها. المخطط هنا بسيط. اجمع كل شيء به علامات X على الجانب الأيسر من المعادلة، وكل شيء بدون علامات X على الجانب الأيمن.

للقيام بذلك تحتاج إلى نقل - 4x في الجهه اليسرىمع تغيير الإشارة بالطبع و - 3 - إلى اليمين. بالمناسبة، هذا هو أول تحويل متطابق للمعادلات.متفاجئ؟ هذا يعني أنك لم تتبع الرابط ولكن عبثا...) نحصل على:

س + 4س = 2 + 3

وهنا مماثلة، ونحن نعتبر:

ماذا نحتاج لتحقيق السعادة الكاملة؟ نعم، بحيث يكون هناك علامة X نقية على اليسار! خمسة في الطريق. التخلص من الخمس بالمساعدة التحويل المتطابق الثاني للمعادلات.وهي أننا نقسم طرفي المعادلة على 5. ونحصل على إجابة جاهزة:

مثال أولي بالطبع. هذا من أجل الإحماء.) ليس من الواضح لماذا تذكرت التحولات المتطابقة هنا؟ نعم. دعونا نمسك الثور من قرونه.) دعونا نقرر شيئًا أكثر صلابة.

على سبيل المثال، إليك المعادلة:

من اين نبدأ؟ مع X - إلى اليسار، بدون X - إلى اليمين؟ يمكن أن يكون الأمر كذلك. خطوات صغيرة على طريق طويل. أو يمكنك ذلك على الفور، وعالميًا، و بطريقة قوية. إذا كان لديك، بالطبع، تحويلات متطابقة للمعادلات في ترسانتك.

أطرح عليك سؤالا رئيسيا: ما هو أكثر ما لا يعجبك في هذه المعادلة؟

95 من 100 شخص سيجيبون: الكسور ! الجواب صحيح. لذلك دعونا نتخلص منهم. ولذلك، نبدأ على الفور مع تحويل الهوية الثانية. ما الذي تحتاجه لضرب الكسر الموجود على اليسار بحيث يتم تقليل المقام بالكامل؟ هذا صحيح، عند الساعة 3. وعلى اليمين؟ بواسطة 4. لكن الرياضيات تسمح لنا بضرب كلا الطرفين في نفس العدد. كيف يمكننا الخروج؟ دعونا نضرب كلا الطرفين في 12! أولئك. إلى قاسم مشترك. ثم سيتم تخفيض كل من الثلاثة والأربعة. لا تنس أنك تحتاج إلى مضاعفة كل جزء تماما. إليك ما تبدو عليه الخطوة الأولى:

توسيع الأقواس:

ملحوظة! البسط (س+2)لقد وضعته بين قوسين! وذلك لأنه عند ضرب الكسور، يتم ضرب البسط بأكمله! الآن يمكنك تقليل الكسور:

قم بتوسيع الأقواس المتبقية:

ليس مثالاً، بل متعة خالصة!) الآن دعونا نتذكر التعويذة من فصول المبتدئين: بعلامة X - إلى اليسار، بدون علامة X - إلى اليمين!وتطبيق هذا التحول:

وهنا بعض منها مماثلة:

ونقسم كلا الجزأين على 25 أي: قم بتطبيق التحويل الثاني مرة أخرى:

هذا كل شئ. إجابة: X=0,16

يرجى ملاحظة: لجلب المعادلة المربكة الأصلية إلى شكل جميل، استخدمنا اثنتين (اثنتين فقط!) تحولات الهوية– الترجمة من اليسار إلى اليمين مع تغيير الإشارة وقسمة الضرب للمعادلة على نفس الرقم. هذه طريقة عالمية! سوف نعمل بهذه الطريقة مع أي معادلات! أي شخص على الاطلاق. ولهذا السبب أكرر بشكل مضجر هذه التحولات المتطابقة طوال الوقت.)

كما ترون، مبدأ حل المعادلات الخطية بسيط. نأخذ المعادلة ونبسطها باستخدام التحويلات المتماثلة حتى نحصل على الإجابة. المشاكل الرئيسية هنا تكمن في الحسابات، وليس في مبدأ الحل.

لكن... هناك مثل هذه المفاجآت في عملية حل أبسط المعادلات الخطية التي يمكن أن تقودك إلى ذهول قوي...) لحسن الحظ، لا يمكن أن يكون هناك سوى مفاجأتين من هذا القبيل. دعونا نسميها حالات خاصة.

حالات خاصة في حل المعادلات الخطية.

المفاجأة الأولى.

لنفترض أنك صادفت معادلة أساسية جدًا، مثل:

2س+3=5س+5 - 3س - 2

بالملل قليلاً، نحركها بعلامة X إلى اليسار، بدون علامة X - إلى اليمين... مع تغيير العلامة، كل شيء على ما يرام... نحصل على:

2س-5س+3س=5-2-3

نحن نحسب، و... عفوًا!!! نحن نحصل:

وهذه المساواة في حد ذاتها ليست مرفوضة. الصفر هو في الواقع صفر. لكن X مفقود! وعلينا أن نكتب في الجواب ما هو x يساوي؟وإلا الحل ما يحسب صح...) طريق مسدود؟

هادئ! في مثل هذه الحالات المشكوك فيها، يمكن أن تنقذك القواعد الأكثر عمومية. كيفية حل المعادلات؟ ماذا يعني حل المعادلة؟ هذا يعنى، ابحث عن جميع قيم x التي عند استبدالها المعادلة الأصلية، سوف يمنحنا المساواة الحقيقية.

لكن لدينا مساواة حقيقية بالفعلحدث! 0=0، كم أكثر دقة؟! يبقى أن نعرف لماذا يحدث هذا. ما هي قيم X التي يمكن استبدالها إبداعيالمعادلة إذا كانت هذه x هل سيتم تخفيضها إلى الصفر؟تعال؟)

نعم!!! يمكن استبدال X أي!تلك التي تريد؟ على الأقل 5، على الأقل 0.05، على الأقل -220. وسوف لا تزال تتقلص. إذا كنت لا تصدقني، يمكنك التحقق من ذلك.) استبدل أي قيم لـ X بها إبداعيالمعادلة وحساب. في كل وقت سوف تحصل على الحقيقة النقية: 0=0، 2=2، -7.1=-7.1، وهكذا.

وهنا إجابتك: س - أي رقم.

يمكن كتابة الإجابة برموز رياضية مختلفة، ولا يتغير الجوهر. هذه إجابة صحيحة وكاملة تمامًا.

المفاجأة الثانية.

لنأخذ نفس المعادلة الخطية الأولية ونغير فيها رقمًا واحدًا فقط. وهذا ما سنقرره:

2س+1=5س+5 - 3س - 2

وبعد نفس التحولات المتطابقة، نحصل على شيء مثير للاهتمام:

مثله. لقد حللنا معادلة خطية وحصلنا على مساواة غريبة. تكلم لغة رياضية، حصلنا المساواة الزائفةوالتحدث بلغة بسيطة، هذا ليس صحيحا. الهذيان. ولكن مع ذلك، فإن هذا الهراء يعد سببًا وجيهًا جدًا للحل الصحيح للمعادلة.)

مرة أخرى نفكر على أساس قواعد عامة. ما هو x، عند استبداله في المعادلة الأصلية، سوف يعطينا حقيقيالمساواة؟ نعم، لا شيء! لا يوجد مثل هذه العلامات X. بغض النظر عما قدمته، سيتم تقليل كل شيء، وسيبقى فقط الهراء.)

وهنا إجابتك: لا توجد حلول.

وهذه أيضًا إجابة كاملة تمامًا. في الرياضيات، غالبا ما توجد مثل هذه الإجابات.

مثله. الآن، آمل ألا يربكك اختفاء X أثناء حل أي معادلة (وليس فقط خطية) على الإطلاق. هذه مسألة مألوفة بالفعل.)

الآن بعد أن تعاملنا مع جميع المخاطر في المعادلات الخطية، فمن المنطقي حلها.

إذا أعجبك هذا الموقع...

بالمناسبة، لدي موقعين أكثر إثارة للاهتمام بالنسبة لك.)

يمكنك التدرب على حل الأمثلة ومعرفة مستواك. الاختبار مع التحقق الفوري. دعونا نتعلم - باهتمام!)

يمكنك التعرف على الوظائف والمشتقات.

من أهم المهارات متى القبول في الصف الخامسهي القدرة على حل المعادلات البسيطة. منذ الصف الخامس ليس بعد حتى الآن مدرسة إبتدائية، إذًا لا توجد أنواع كثيرة من المعادلات التي يمكن للطالب حلها. سنقدم لك جميع أنواع المعادلات الأساسية التي تحتاجها لتتمكن من حلها إذا أردت أدخل مدرسة الفيزياء والرياضيات.

النوع 1: "منتفخ"
هذه هي المعادلات التي من المرجح أن تواجهها عندما القبول في أي مدرسةأو نادي الصف الخامس كمهمة منفصلة. من السهل تمييزها عن غيرها: حيث يوجد المتغير مرة واحدة فقط. على سبيل المثال، أو.
يتم حلها بكل بساطة: ما عليك سوى "الوصول" إلى المجهول، و"إزالة" كل شيء غير ضروري يحيط به تدريجيًا - كما لو كنت تقشر البصل - ومن هنا جاء الاسم. لحلها، فقط تذكر بعض القواعد من الفصل الثاني. دعونا قائمة كل منهم:

إضافة

1. الحد 1 + الحد 2 = المجموع
2. مصطلح 1 = مجموع - مصطلح 2
3. مصطلح 2 = مجموع - مصطلح 1

الطرح

1. Minuend - المطروح = الفرق
2. Minuend = المطروح + الفرق
3. المطروح = مينويند - الفرق

عمليه الضرب

1. العامل 1 * العامل 2 = المنتج
2. العامل 1 = المنتج: العامل 2
3. العامل 2 = المنتج: العامل 1

قسم

1. الأرباح: المقسوم عليه = حاصل القسمة
2. الأرباح = المقسوم عليه * حاصل القسمة
3. المقسوم عليه = الأرباح: حاصل القسمة

دعونا نلقي نظرة على مثال لكيفية تطبيق هذه القواعد.

لاحظ أننا نقسم على ونتلقى . في هذه الحالة، نحن نعرف المقسوم عليه والحاصل. للعثور على المقسوم، عليك ضرب المقسوم عليه في حاصل القسمة:

لقد أصبحنا أقرب قليلا إلى أنفسنا. الآن نرى ذلك يضاف واتضح . هذا يعني أنه للعثور على أحد الحدود، عليك طرح الحد المعروف من المجموع:

وتمت إزالة "طبقة" أخرى من المجهول! الآن نرى الوضع مع قيمة معروفةالمنتج () وعامل واحد معروف ().

الآن الوضع هو "minuend - المطروح = الفرق"

والخطوة الأخيرة هي المنتج المعروف () وأحد العوامل ()

النوع الثاني: المعادلات ذات الأقواس
غالبًا ما توجد المعادلات من هذا النوع في المشكلات - 90٪ من جميع المشكلات القبول في الصف الخامس. على عكس "معادلات البصل"يمكن أن يظهر المتغير هنا عدة مرات، لذلك من المستحيل حله باستخدام الطرق المذكورة في الفقرة السابقة. المعادلات النموذجية: أو
الصعوبة الرئيسية هي فتح الأقواس بشكل صحيح. بعد أن تمكنت من القيام بذلك بشكل صحيح، يجب عليك تقليل المصطلحات المتشابهة (أرقام إلى أرقام، متغيرات إلى متغيرات)، وبعد ذلك نحصل على أبسط "معادلة البصل"والتي يمكننا حلها. ولكن أول الأشياء أولا.

توسيع الأقواس. سنقدم بعض القواعد التي يجب استخدامها في هذه الحالة. ولكن، كما تظهر الممارسة، يبدأ الطالب في فتح الأقواس بشكل صحيح فقط بعد إكمال 70-80 مسألة. القاعدة الأساسية هي: أي عامل خارج الأقواس يجب ضربه في كل حد داخل الأقواس. وعلامة الطرح الموجودة أمام القوس تغير إشارة جميع التعبيرات الموجودة بداخلها. لذا فإن القواعد الأساسية للإفصاح:

جلب مماثل. هنا كل شيء أسهل بكثير: تحتاج عن طريق نقل الحدود من خلال علامة المساواة للتأكد من وجود حدود مع المجهول على جانب واحد فقط، وعلى الجانب الآخر - الأرقام فقط. والقاعدة هي أن كل حد منقول يغير دلالته، فإن كان مع أصبح مع، والعكس. بعد النقل الناجح، من الضروري حساب العدد الإجمالي للمجاهول، والعدد الإجمالي على الجانب الآخر من المساواة من المتغيرات، وحل مسألة بسيطة "معادلة البصل".

في هذا الفيديو سوف نقوم بتحليل مجموعة كاملة من المعادلات الخطية التي تم حلها باستخدام نفس الخوارزمية - ولهذا السبب يطلق عليها الأبسط.

أولاً، دعونا نحدد: ما هي المعادلة الخطية وأي منها تسمى الأبسط؟

المعادلة الخطية هي تلك التي يوجد فيها متغير واحد فقط، وحتى الدرجة الأولى فقط.

أبسط معادلة تعني البناء:

يتم تقليل جميع المعادلات الخطية الأخرى إلى أبسطها باستخدام الخوارزمية:

1. قم بتوسيع الأقواس، إن وجدت؛
2. نقل الحدود التي تحتوي على متغير إلى أحد جانبي علامة التساوي، والمصطلحات التي لا تحتوي على متغير إلى الجانب الآخر؛
3. أعط مصطلحات مشابهة لليسار واليمين لعلامة المساواة؛
4. اقسم المعادلة الناتجة على معامل المتغير $x$.

وبطبيعة الحال، هذه الخوارزمية لا تساعد دائما. والحقيقة هي أنه في بعض الأحيان بعد كل هذه المكائد يكون معامل المتغير $x$ مساويًا للصفر. في هذه الحالة، هناك خياران ممكنان:

1. المعادلة ليس لها حلول على الإطلاق. على سبيل المثال، عندما يظهر شيء مثل $0\cdot x=8$، أي. على اليسار صفر، وعلى اليمين رقم غير الصفر. في الفيديو أدناه سنلقي نظرة على عدة أسباب وراء حدوث هذا الموقف.
2. الحل هو كل الارقام الحالة الوحيدة التي يكون فيها ذلك ممكنًا هي عندما يتم اختزال المعادلة إلى البناء $0\cdot x=0$. من المنطقي تمامًا أنه بغض النظر عن $x$ الذي نستبدله، فسيظل "الصفر يساوي صفرًا"، أي. المساواة العددية الصحيحة

الآن دعونا نرى كيف يعمل كل هذا باستخدام أمثلة من الحياة الواقعية.

أمثلة على حل المعادلات

اليوم نحن نتعامل مع المعادلات الخطية، وأبسطها فقط. بشكل عام، المعادلة الخطية تعني أي مساواة تحتوي على متغير واحد بالضبط، ولا تصل إلا إلى الدرجة الأولى.

يتم حل هذه الإنشاءات بنفس الطريقة تقريبًا:

1. أولًا، تحتاج إلى فك الأقواس، إن وجدت (كما في مثالنا الأخير)؛
2. ثم الجمع بين مماثلة
3. وأخيرا، عزل المتغير، أي. انقل كل ما يتعلق بالمتغير – أي المصطلحات التي يحتوي عليها – إلى جهة، وانقل كل ما بقي دونه إلى الجهة الأخرى.

ثم، كقاعدة عامة، تحتاج إلى إعطاء مماثلة على كل جانب من المساواة الناتجة، وبعد ذلك يبقى فقط القسمة على معامل "x"، وسنحصل على الإجابة النهائية.

من الناحية النظرية، يبدو هذا لطيفًا وبسيطًا، ولكن من الناحية العملية، حتى طلاب المدارس الثانوية ذوي الخبرة يمكن أن يرتكبوا أخطاء هجومية في معادلات خطية بسيطة إلى حد ما. عادة، يتم ارتكاب الأخطاء إما عند فتح الأقواس أو عند حساب "الإيجابيات" و"السلبيات".

بالإضافة إلى ذلك، قد يحدث أن المعادلة الخطية ليس لها حلول على الإطلاق، أو أن الحل هو خط الأعداد بأكمله، أي. أي رقم. سننظر في هذه التفاصيل الدقيقة في درس اليوم. لكننا سنبدأ، كما فهمت بالفعل، مع جدا مهام بسيطة.

مخطط لحل المعادلات الخطية البسيطة

أولاً، اسمحوا لي مرة أخرى أن أكتب المخطط بأكمله لحل أبسط المعادلات الخطية:

1. قم بتوسيع الأقواس، إن وجدت.
2. نحن نعزل المتغيرات، أي. نقوم بنقل كل ما يحتوي على "X" إلى جانب واحد، وكل شيء بدون "X" إلى الجانب الآخر.
3. نقدم مصطلحات مماثلة.
4. نقسم كل شيء على معامل "x".

بالطبع، هذا المخطط لا يعمل دائما، هناك بعض التفاصيل الدقيقة والحيل فيه، والآن سوف نتعرف عليها.

حل أمثلة حقيقية للمعادلات الخطية البسيطة

المهمة رقم 1

الخطوة الأولى تتطلب منا فتح الأقواس. لكنهم ليسوا في هذا المثال، لذلك نتخطى هذه الخطوة. في الخطوة الثانية نحتاج إلى عزل المتغيرات. يرجى ملاحظة: نحن نتحدث فقط عن المصطلحات الفردية. دعنا نكتبها:

نقدم مصطلحات مماثلة على اليسار واليمين، ولكن تم القيام بذلك بالفعل هنا. لذلك ننتقل إلى الخطوة الرابعة: القسمة على المعامل:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

لذلك حصلنا على الجواب.

المهمة رقم 2

يمكننا أن نرى الأقواس في هذه المسألة، لذلك دعونا نوسعها:

نرى على اليسار وعلى اليمين نفس التصميم تقريبًا، ولكن دعونا نتصرف وفقًا للخوارزمية، أي. فصل المتغيرات:

وهنا بعض منها مماثلة:

في أي جذور يعمل هذا؟ الجواب: لأي. لذلك، يمكننا أن نكتب أن $x$ هو أي رقم.

المهمة رقم 3

المعادلة الخطية الثالثة هي الأكثر إثارة للاهتمام:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

هناك عدة أقواس هنا، لكنها غير مضروبة بأي شيء، فهي ببساطة مسبوقة بعلامات مختلفة. دعونا نقسمها:

نقوم بالخطوة الثانية المعروفة لنا بالفعل:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

دعونا نفعل الرياضيات:

ننفذ الخطوة الأخيرة - نقسم كل شيء على معامل "x":

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

أشياء يجب تذكرها عند حل المعادلات الخطية

إذا تجاهلنا المهام البسيطة جدًا، أود أن أقول ما يلي:

• كما قلت أعلاه، ليس كل معادلة خطية لها حل - في بعض الأحيان ببساطة لا توجد جذور؛
• وحتى لو كانت هناك جذور، فقد يكون بينها صفر، فلا حرج في ذلك.

الصفر هو نفس الرقم الموجود في الأرقام الأخرى، ويجب ألا تميز ضده بأي شكل من الأشكال أو تفترض أنك إذا حصلت على الصفر، فهذا يعني أنك ارتكبت خطأً ما.

ميزة أخرى تتعلق بفتح الأقواس. يرجى ملاحظة: عندما يكون هناك "ناقص" أمامهم، نقوم بإزالته، ولكن بين قوسين نقوم بتغيير العلامات إلى عكس. وبعد ذلك يمكننا فتحه باستخدام الخوارزميات القياسية: سنحصل على ما رأيناه في الحسابات أعلاه.

إن فهم هذه الحقيقة البسيطة سيساعدك على تجنب ارتكاب أخطاء غبية ومؤذية في المدرسة الثانوية، عندما يكون القيام بهذه الأشياء أمرا مفروغا منه.

حل المعادلات الخطية المعقدة

دعنا ننتقل إلى معادلات أكثر تعقيدا. الآن سوف تصبح الإنشاءات أكثر تعقيدًا وعند إجراء تحويلات مختلفة ستظهر دالة تربيعية. ومع ذلك، لا ينبغي لنا أن نخاف من ذلك، لأنه إذا كنا، وفقا لخطة المؤلف، نحل معادلة خطية، فمن المؤكد أنه أثناء عملية التحويل، سيتم إلغاء جميع أحاديات الحد التي تحتوي على دالة تربيعية.

المثال رقم 1

من الواضح أن الخطوة الأولى هي فتح الأقواس. دعونا نفعل ذلك بعناية فائقة:

والآن دعونا نلقي نظرة على الخصوصية:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

وهنا بعض منها مماثلة:

ومن الواضح أن هذه المعادلة ليس لها حلول، لذلك سنكتب هذا في الإجابة:

\[\varnothing\]

أو لا توجد جذور.

المثال رقم 2

نحن نقوم بنفس الإجراءات. الخطوة الأولى:

دعنا ننقل كل شيء بمتغير إلى اليسار، وبدونه - إلى اليمين:

وهنا بعض منها مماثلة:

من الواضح أن هذه المعادلة الخطية ليس لها حل، لذا سنكتبها بهذه الطريقة:

\[\فارنوثينغ\]،

أو لا توجد جذور.

الفروق الدقيقة في الحل

تم حل كلتا المعادلتين بالكامل. باستخدام هذين التعبيرين كمثال، كنا مقتنعين مرة أخرى أنه حتى في أبسط المعادلات الخطية، قد لا يكون كل شيء بهذه البساطة: يمكن أن يكون هناك جذور واحدة، أو لا شيء، أو عدد لا نهائي من الجذور. في حالتنا، تناولنا معادلتين، ليس لكل منهما جذور.

لكني أود أن ألفت انتباهكم إلى حقيقة أخرى: كيفية العمل مع الأقواس وكيفية فتحها إذا كانت هناك علامة ناقص أمامها. خذ بعين الاعتبار هذا التعبير:

قبل الفتح، تحتاج إلى مضاعفة كل شيء بـ "X". يرجى ملاحظة: يتضاعف كل مصطلح على حدة. يوجد في الداخل فترتان - على التوالي، فترتان ومضروبة.

وفقط بعد الانتهاء من هذه التحولات التي تبدو بدائية ولكنها مهمة وخطيرة للغاية، يمكنك فتح القوس من وجهة نظر حقيقة وجود علامة ناقص بعدها. نعم، نعم: الآن فقط، عند اكتمال التحولات، نتذكر أن هناك علامة ناقص أمام الأقواس، مما يعني أن كل شيء أدناه يغير العلامات ببساطة. وفي الوقت نفسه، تختفي الأقواس نفسها، والأهم من ذلك، أن "الطرح" الأمامي يختفي أيضًا.

ونفعل نفس الشيء مع المعادلة الثانية:

ليس من قبيل المصادفة أن أنتبه إلى هذه الحقائق الصغيرة التي تبدو غير ذات أهمية. لأن حل المعادلات هو دائمًا سلسلة من التحولات الأولية، حيث يؤدي عدم القدرة على تنفيذ إجراءات بسيطة بوضوح وكفاءة إلى حقيقة أن طلاب المدارس الثانوية يأتون إلي ويتعلمون مرة أخرى حل مثل هذه المعادلات البسيطة.

وبطبيعة الحال، سيأتي اليوم الذي ستصقل فيه هذه المهارات إلى درجة التلقائية. لن تضطر بعد الآن إلى إجراء العديد من التحويلات في كل مرة، بل ستكتب كل شيء في سطر واحد. ولكن بينما تتعلم فقط، تحتاج إلى كتابة كل إجراء على حدة.

حل المعادلات الخطية الأكثر تعقيدًا

ما سنقوم بحله الآن من الصعب أن يسمى أبسط مهمة، ولكن المعنى يبقى كما هو.

المهمة رقم 1

\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]

دعونا نضرب جميع العناصر في الجزء الأول:

دعونا نفعل بعض الخصوصية:

وهنا بعض منها مماثلة:

فلنكمل الخطوة الأخيرة:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

هنا هو جوابنا النهائي. وعلى الرغم من أنه أثناء عملية الحل كانت لدينا معاملات ذات دالة تربيعية، إلا أنها ألغت بعضها البعض، مما يجعل المعادلة خطية وليست تربيعية.

المهمة رقم 2

\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]

لننفذ الخطوة الأولى بعناية: اضرب كل عنصر من القوس الأول بكل عنصر من القوس الثاني. يجب أن يكون هناك إجمالي أربعة مصطلحات جديدة بعد التحويلات:

الآن دعونا نجري عملية الضرب بعناية في كل حد:

لننقل المصطلحات التي تحتوي على "X" إلى اليسار، وتلك التي لا تحتوي على - إلى اليمين:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

وهنا مصطلحات مماثلة:

ومرة أخرى تلقينا الجواب النهائي.

الفروق الدقيقة في الحل

وأهم ملاحظة حول هاتين المعادلتين هي ما يلي: بمجرد أن نبدأ بضرب الأقواس التي تحتوي على أكثر من حد يتم ذلك وفق القاعدة التالية: نأخذ الحد الأول من الأول ونضرب بكل عنصر من الثاني؛ ثم نأخذ العنصر الثاني من الأول ونضربه كذلك في كل عنصر من العنصر الثاني. ونتيجة لذلك، سيكون لدينا أربعة حدود.

حول المجموع الجبري

بهذا المثال الأخير، أود أن أذكر الطلاب ما هو المجموع الجبري. في الرياضيات الكلاسيكية، نعني بـ 1-7 دولارات بناءًا بسيطًا: طرح سبعة من واحد. ونقصد في الجبر ما يلي: إلى العدد "واحد" نضيف رقما آخر وهو "ناقص سبعة". هذه هي الطريقة التي يختلف بها المجموع الجبري عن المجموع الحسابي العادي.

بمجرد إجراء جميع التحولات، كل إضافة وضرب، تبدأ في رؤية إنشاءات مماثلة لتلك الموصوفة أعلاه، فلن تواجه أي مشاكل في الجبر عند العمل مع كثيرات الحدود والمعادلات.

أخيرًا، دعونا نلقي نظرة على بضعة أمثلة أخرى ستكون أكثر تعقيدًا من تلك التي نظرنا إليها للتو، ولحلها، سيتعين علينا توسيع الخوارزمية القياسية لدينا قليلاً.

حل المعادلات بالكسور

لحل مثل هذه المهام، سيتعين علينا إضافة خطوة أخرى إلى الخوارزمية الخاصة بنا. لكن أولاً، دعني أذكرك بالخوارزمية التي لدينا:

1. افتح الأقواس.
2. متغيرات منفصلة.
3. جلب مماثلة.
4. القسمة على النسبة.

للأسف، هذه الخوارزمية الرائعة، على الرغم من فعاليتها، ليست مناسبة تمامًا عندما تكون أمامنا كسور. وفيما سنراه أدناه، لدينا كسر على كل من اليسار واليمين في كلتا المعادلتين.

كيفية العمل في هذه الحالة؟ نعم، الأمر بسيط جدًا! للقيام بذلك، تحتاج إلى إضافة خطوة أخرى إلى الخوارزمية، والتي يمكن القيام بها قبل الإجراء الأول وبعده، أي التخلص من الكسور. لذلك ستكون الخوارزمية كما يلي:

1. تخلص من الكسور.
2. افتح الأقواس.
3. متغيرات منفصلة.
4. جلب مماثلة.
5. القسمة على النسبة.

ماذا يعني "التخلص من الكسور"؟ ولماذا يمكن القيام بذلك بعد الخطوة القياسية الأولى وقبلها؟ في الواقع، في حالتنا، جميع الكسور عددية في مقامها، أي. في كل مكان القاسم هو مجرد رقم. ولذلك، إذا ضربنا طرفي المعادلة في هذا العدد، فسنتخلص من الكسور.

المثال رقم 1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

دعونا نتخلص من الكسور في هذه المعادلة:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

يرجى ملاحظة: كل شيء مضروب في "أربعة" مرة واحدة، أي. فقط لأن لديك قوسين لا يعني أن عليك ضرب كل منهما بـ "أربعة". دعنا نكتب:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

الآن دعونا نتوسع:

نعزل المتغير:

نقوم بإجراء تخفيض المصطلحات المماثلة:

\[-4x=-1\left| :\left(-4 \right) \right.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

حصلنا قرار نهائيلننتقل إلى المعادلة الثانية.

المثال رقم 2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

هنا نقوم بتنفيذ جميع الإجراءات نفسها:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

حلت المشكلة.

وهذا، في الواقع، هو كل ما أردت أن أخبرك به اليوم.

النقاط الرئيسية

النتائج الرئيسية هي:

• معرفة خوارزمية حل المعادلات الخطية.
• القدرة على فتح الأقواس.
• لا تقلق إذا رأيت وظائف تربيعيةعلى الأرجح، في عملية مزيد من التحولات، سوف تنخفض.
• هناك ثلاثة أنواع من الجذور في المعادلات الخطية، حتى أبسطها: جذر واحد، وخط الأعداد بأكمله هو جذر، ولا توجد جذور على الإطلاق.

آمل أن يساعدك هذا الدرس في إتقان موضوع بسيط ولكنه مهم جدًا لمزيد من الفهم لجميع الرياضيات. إذا كان هناك شيء غير واضح، فانتقل إلى الموقع وحل الأمثلة المعروضة هناك. لا تنزعج، العديد من الأشياء الأكثر إثارة للاهتمام في انتظاركم!

تُستخدم الأقواس للإشارة إلى الترتيب الذي يتم به تنفيذ الإجراءات في التعبيرات الرقمية والحرفية والمتغيرة. من السهل الانتقال من تعبير يحتوي على أقواس إلى تعبير متساوٍ بدون أقواس. تسمى هذه التقنية الأقواس المفتوحة.

توسيع الأقواس يعني إزالة الأقواس من التعبير.

هناك نقطة أخرى تستحق اهتمامًا خاصًا، والتي تتعلق بخصائص قرارات التسجيل عند فتح الأقواس. يمكننا كتابة التعبير الأولي بين قوسين والنتيجة التي تم الحصول عليها بعد فتح القوسين على قدم المساواة. على سبيل المثال، بعد فك الأقواس بدلاً من التعبير
3−(5−7) نحصل على التعبير 3−5+7. يمكننا كتابة هذين التعبيرين على صورة المساواة 3−(5−7)=3−5+7.

و واحدة اخرى نقطة مهمة. في الرياضيات، لتقصير الرموز، من المعتاد عدم كتابة علامة الجمع إذا ظهرت أولاً في تعبير أو بين قوسين. على سبيل المثال، إذا أضفنا رقمين موجبين، على سبيل المثال، سبعة وثلاثة، فإننا لا نكتب +7+3، بل ببساطة 7+3، على الرغم من أن سبعة هو أيضًا رقم موجب. وكذلك إذا رأيت مثلاً التعبير (5+x) - فاعلم أن قبل القوس علامة زائد وهي غير مكتوبة، وقبل الخمسة علامة زائد +(+5+x).

قاعدة فتح القوسين أثناء الجمع

عند فتح الأقواس، إذا كان هناك علامة زائد أمام الأقواس، فسيتم حذف هذه العلامة مع الأقواس.

مثال. افتح القوسين في التعبير 2 + (7 + 3) هناك علامة زائد أمام القوسين، مما يعني أننا لا نغير الإشارات الموجودة أمام الأرقام الموجودة بين القوسين.

2 + (7 + 3) = 2 + 7 + 3

قاعدة فتح الأقواس عند الطرح

إذا كان هناك ناقص قبل القوسين، فسيتم حذف هذا الطرح مع القوسين، لكن الحدود التي كانت بين القوسين تغير إشارتها إلى العكس. عدم وجود علامة قبل الحد الأول بين قوسين يعني وجود علامة +.

مثال. فك الأقواس في التعبير 2 − (7 + 3)

يوجد علامة ناقص قبل الأقواس، مما يعني أنك بحاجة إلى تغيير الإشارات الموجودة أمام الأرقام الموجودة بين القوسين. بين القوسين لا توجد إشارة قبل الرقم 7، هذا يعني أن سبعة موجب، ويعتبر أن هناك علامة + أمامه.

2 − (7 + 3) = 2 − (+ 7 + 3)

عند فتح القوسين نحذف من المثال السالب الذي كان أمام القوسين، والقوسين أنفسهما 2 − (+ 7 + 3)، ونغير الإشارات التي كانت بين القوسين إلى علامات معاكسة.

2 − (+ 7 + 3) = 2 − 7 − 3

فك الأقواس عند الضرب

إذا كانت هناك علامة ضرب أمام القوسين، فسيتم ضرب كل رقم داخل القوسين في العامل الموجود أمام القوسين. في هذه الحالة، ضرب ناقص في ناقص يعطي زائد، وضرب ناقص في زائد، مثل ضرب زائد في ناقص، يعطي ناقص.

وبالتالي، يتم فك الأقواس في حواصل الضرب وفقًا لخاصية توزيع الضرب.

مثال. 2 (9 - 7) = 2 9 - 2 7

عند ضرب قوس في قوس، يتم ضرب كل حد في القوس الأول في كل حد في القوس الثاني.

(2 + 3) · (4 + 5) = 2 · 4 + 2 · 5 + 3 · 4 + 3 · 5

في الواقع، ليست هناك حاجة لتذكر جميع القواعد، يكفي أن نتذكر واحدة فقط، وهي: c(a−b)=ca−cb. لماذا؟ لأنه إذا قمت باستبدال واحد بدلا من ج، فستحصل على القاعدة (a−b)=a−b. وإذا عوضنا بواحد، فسنحصل على القاعدة −(a−b)=−a+b. حسنًا، إذا قمت باستبدال قوس آخر بدلاً من c، فيمكنك الحصول على القاعدة الأخيرة.

فتح الأقواس عند القسمة

إذا كانت هناك علامة القسمة بعد القوسين، فإن كل رقم داخل القوسين يقسم على المقسوم عليه بعد القوسين، والعكس صحيح.

مثال. (9 + 6) : 3=9: 3 + 6: 3

كيفية توسيع الأقواس المتداخلة

إذا كان التعبير يحتوي على أقواس متداخلة، فسيتم توسيعها بالترتيب، بدءًا من الأقواس الخارجية أو الداخلية.

في هذه الحالة، من المهم عند فتح أحد الأقواس، ألا تلمس الأقواس المتبقية، بل قم ببساطة بإعادة كتابتها كما هي.

مثال. 12 - (أ + (6 - ب) - 3) = 12 - أ - (6 - ب) + 3 = 12 - أ - 6 + ب + 3 = 9 - أ + ب

هذا الجزء من المعادلة هو التعبير الموجود بين قوسين. لفتح القوسين، انظر إلى العلامة الموجودة أمام القوسين. إذا كانت هناك علامة زائد، فإن فتح الأقواس في التعبير لن يغير شيئًا: فقط قم بإزالة الأقواس. إذا كانت هناك علامة ناقص، عند فتح الأقواس، يجب عليك تغيير جميع العلامات التي كانت في الأصل بين القوسين إلى العلامات المقابلة لها. على سبيل المثال، -(2س-3)=-2س+3.

ضرب قوسين.
إذا كانت المعادلة تحتوي على حاصل ضرب قوسين، فتح القوسين حسب القاعدة القياسية. يتم ضرب كل حد في القوس الأول بكل حد في القوس الثاني. يتم تلخيص الأرقام الناتجة. في هذه الحالة، حاصل ضرب اثنين من "الموجبات" أو اثنين من "الناقصات" يعطي المصطلح علامة "زائد"، وإذا كانت العوامل علامات مختلفة، ثم يتلقى علامة الطرح.
دعونا نفكر.
(5x+1)(3x-4)=5x*3x-5x*4+1*3x-1*4=15x^2-20x+3x-4=15x^2-17x-4.

من خلال فتح الأقواس، ورفع التعبير أحيانًا إلى . يجب حفظ صيغ التربيع والمكعب عن ظهر قلب وتذكرها.
(أ+ب)^2=أ^2+2أ+ب^2
(أ-ب)^2=أ^2-2ab+ب^2
(أ+ب)^3=أ^3+3أ^2*ب+3آب^2+ب^3
(أ-ب)^3=أ^3-3أ^2*ب+3ب^2-ب^3
يمكن عمل صيغ بناء تعبير أكبر من ثلاثة باستخدام مثلث باسكال.

مصادر:

• صيغة توسيع الأقواس

محاطة بين قوسين عمليات رياضيةيمكن أن تحتوي على متغيرات وتعبيرات بدرجات متفاوتةالصعوبات. لمضاعفة هذه التعبيرات، سيتعين عليك البحث عن حل فيها منظر عام، فتح الأقواس وتبسيط النتيجة. إذا كانت الأقواس تحتوي على عمليات بدون متغيرات، فقط بقيم رقمية، فلن يكون فتح الأقواس ضروريًا، لأنه إذا كان لديك جهاز كمبيوتر، فإن مستخدمه لديه حق الوصول إلى موارد حاسوبية مهمة جدًا - فمن الأسهل استخدامها بدلاً من تبسيط التعبير.

تعليمات

اضرب كل (أو Minuend مع ) الموجود في قوس واحد بالتسلسل في محتويات جميع الأقواس الأخرى إذا كنت تريد الحصول على النتيجة في شكل عام. على سبيل المثال، لنكتب التعبير الأصلي كما يلي: (5+x)∗(6-x)∗(x+2). ثم الضرب المتسلسل (أي فتح الأقواس) سيعطي النتيجة التالية: (5+x)∗(6-x)∗(x+2) = (5∗6-5∗x)∗(5∗x+ 5∗2) + (6∗x-x∗x)∗(x∗x+2∗x) = (5∗6∗5∗x+5∗6∗5∗2) - (5∗x∗5∗x+ 5∗ x∗5∗2) + (6∗x∗x∗x+6∗x∗2∗x) - (x∗x∗x∗x+x∗x∗2∗x) = 5∗6∗5 ∗x + 5∗6∗5∗2 - 5∗x∗5∗x - 5∗x∗5∗2 + 6∗x∗x∗x + 6∗x∗2∗x - x∗x∗x∗x - س ∗x∗2∗x = 150∗x + 300 - 25∗x² - 50∗x + 6∗x³ + 12∗x² - x∗x³ - 2∗x³.

تبسيط النتيجة عن طريق تقصير التعبيرات. على سبيل المثال، يمكن تبسيط التعبير الذي تم الحصول عليه في الخطوة السابقة على النحو التالي: 150∗x + 300 - 25∗x² - 50∗x + 6∗x³ + 12∗x² - x∗x³ - 2∗x³ = 100∗x + 300 - 13∗ x² - 8∗x³ - x∗x³.

استخدم الآلة الحاسبة إذا كنت بحاجة إلى ضرب x في 4.75، أي (5+4.75)∗(6-4.75)∗(4.75+2). لحساب هذه القيمة، انتقل إلى موقع محرك البحث Google أو Nigma وأدخل التعبير في حقل الاستعلام بصيغته الأصلية (5+4.75)*(6-4.75)*(4.75+2). سيعرض جوجل 82.265625 على الفور، دون النقر على زر، ولكن يحتاج Nigma إلى إرسال البيانات إلى الخادم بنقرة زر واحدة.