تسمى النقطة M داخلية لمجموعة معينة G إذا كانت تنتمي إلى هذه المجموعة مع بعض المناطق المجاورة لها. تسمى النقطة N نقطة حدود للمجموعة G إذا كان في أي حي كامل منها نقاط تنتمي إلى G ولا تنتمي إليها.

مجموعة جميع النقاط الحدودية للمجموعة G تسمى حدود G.

ستسمى المجموعة G منطقة إذا كانت جميع نقاطها داخلية (مجموعة مفتوحة). تسمى المجموعة G ذات الحدود المرتبطة بها بالمنطقة المغلقة. تسمى المنطقة محدودة إذا كانت موجودة بالكامل داخل دائرة نصف قطرها كبير بما فيه الكفاية.

تسمى القيم الأصغر والأكبر للدالة في منطقة معينة بالقيم القصوى المطلقة للدالة في هذه المنطقة.

نظرية فايرستراس: دالة مستمرة في حدود و منطقة مغلقة، يصل إلى الحد الأدنى والحد الأقصى لقيمه في هذه المنطقة.

عاقبة. يتم تحقيق الحد الأقصى المطلق للدالة في منطقة معينة إما عند النقطة الحرجة للدالة التي تنتمي إلى هذه المنطقة، أو عند العثور على أكبر وأصغر قيم للدالة في منطقة مغلقة G، من الضروري إيجاد جميع نقاطها الحرجة في هذه المنطقة، وحساب قيم الدالة في هذه النقاط (بما في ذلك الحدود) ومن خلال مقارنة الأرقام التي تم الحصول عليها، حدد الأكبر والأصغر منها.

مثال 4.1.أوجد الحد الأقصى المطلق للدالة (القيم الأكبر والأصغر)
في منطقة مثلثة D ذات رؤوس
,
,
(رسم بياني 1).

;
,

أي أن النقطة O(0,0) هي نقطة حرجة تنتمي إلى المنطقة D. z(0,0)=0.

دعنا نستكشف الحدود:

أ) الزراعة العضوية: ص = 0
;ض(س, 0)=0; ض(0, 0)=0; ض(1، 0)=0،

ب) OB: س = 0
ض(0,ذ)=0; ض(0, 0)=0; ض(0، 2)=0،

سيارة أجرة: ؛
,

مثال 4.2.ابحث عن القيم الأكبر والأصغر للدالة في منطقة مغلقة تحدها محاور الإحداثيات والخط المستقيم
.

1) أوجد النقاط الحرجة الموجودة في المنطقة:

,
,

.

دعونا استكشاف الحدود. لأن تتكون الحدود من قطعة OA من محور Ox، وقطعة OB من محور Oy، وقطعة AB، ثم نحدد القيم الأكبر والأصغر للدالة z على كل قطعة من هذه المقاطع.

, ض(0, 2)=–3, ض(0, 0)=5, ض(0, 4)=5.

م 3 (5/3،7/3)، ض(5/3، 7/3)=–10/3.

من بين جميع القيم التي تم العثور عليها، حدد z max =z(4, 0)=13; ض نايم =ض(1, 2)=–4.

5. الحد الأقصى المشروط. طريقة لاغرانج المضاعف

دعونا نفكر في مشكلة خاصة بوظائف عدة متغيرات، عندما لا يتم البحث عن حدها الأقصى على نطاق التعريف بأكمله، ولكن على مجموعة تفي بشرط معين.

دعونا نفكر في الوظيفة
، الحجج و التي تستوفي الشرط
تسمى معادلة الاقتران.

نقطة
تسمى النقطة القصوى (الدنيا) المشروطة إذا كان هناك حي لهذه النقطة لجميع النقاط
من هذا الحي مستوفيا للشرط
، يستمر عدم المساواة
أو
.

ويبين الشكل 2 النقطة القصوى المشروطة
. من الواضح أنها ليست النقطة القصوى غير المشروطة للوظيفة
(في الشكل 2، هذه هي النقطة
).

إن أبسط طريقة للعثور على الحد الأقصى المشروط لدالة ذات متغيرين هي تقليل المشكلة إلى إيجاد الحد الأقصى لدالة متغير واحد. لنفترض معادلة الاتصال
تمكنت من حل فيما يتعلق بأحد المتغيرات، على سبيل المثال، للتعبير خلال :
. باستبدال التعبير الناتج في دالة ذات متغيرين، نحصل على

أولئك. وظيفة متغير واحد. سيكون أقصى حد له هو الحد الأقصى المشروط للوظيفة
.

مثال 5.1.العثور على النقاط القصوى والدنيا للدالة
بشرط
.

حل. دعونا نعبر عن المعادلة
عامل عبر متغير واستبدل التعبير الناتج
في وظيفة . نحن نحصل
أو
. هذه الوظيفة لها حد أدنى فريد عند
. قيمة الوظيفة المقابلة
. هكذا،
- نقطة الحد الأقصى المشروط (الحد الأدنى).

في المثال المذكور، معادلة الاقتران
تبين أنها خطية، لذلك تم حلها بسهولة فيما يتعلق بأحد المتغيرات. ومع ذلك، في الحالات الأكثر تعقيدا، لا يمكن القيام بذلك.

للعثور على الحد الأقصى الشرطي في الحالة العامة، يتم استخدام طريقة مضاعف لاغرانج. النظر في وظيفة من ثلاثة متغيرات. وتسمى هذه الوظيفة وظيفة لاغرانج، و - مضاعف لاغرانج. النظرية التالية صحيحة.

نظرية.إذا كانت النقطة
هي النقطة القصوى الشرطية للدالة
بشرط
، ثم هناك قيمة هذه النقطة
هي النقطة القصوى للوظيفة
.

وهكذا، للعثور على الحد الأقصى الشرطي للدالة
بشرط
بحاجة إلى إيجاد حل للنظام

ص آخر هذه المعادلات يتزامن مع معادلة الاقتران. يمكن إعادة كتابة المعادلتين الأوليين للنظام في النموذج، أي. عند النقطة القصوى الشرطية التدرجات الوظيفية
و
على استطراد. في التين. ويبين الشكل 3 المعنى الهندسي لشروط لاغرانج. خط
منقط، خط المستوى
المهام
صلب. من الشكل. ويترتب على ذلك أنه عند النقطة القصوى الشرطية يوجد خط مستوى الوظيفة
يلمس الخط
.

مثال 5.2. أوجد النقاط القصوى للدالة
بشرط
باستخدام طريقة لاغرانج المضاعف.

حل. نحن نؤلف وظيفة لاغرانج. وبمساواة مشتقاتها الجزئية بالصفر نحصل على نظام من المعادلات:

الحل الوحيد لها. وبالتالي، فإن النقطة القصوى الشرطية لا يمكن أن تكون إلا النقطة (3؛ 1). من السهل التحقق من أن الوظيفة في هذه المرحلة
لديه الحد الأدنى المشروط. إذا كان عدد المتغيرات أكثر من اثنين، يمكن النظر في عدة معادلات اقتران. وفقا لذلك، في هذه الحالة سيكون هناك عدة مضاعفات لاغرانج.

يتم استخدام مشكلة إيجاد الحد الأقصى المشروط في حل المشكلات الاقتصادية مثل إيجاد التخصيص الأمثل للموارد واختيار المحفظة المثالية للأوراق المالية وما إلى ذلك.

ولد جوزيف لويس لاغرانج في تورينو (إيطاليا) لعائلة إيطالية فرنسية. درس ثم درّس في مدرسة المدفعية. في عام 1759، بناء على توصية أويلر، تم انتخاب لاغرانج البالغ من العمر 23 عاما عضوا في أكاديمية برلين للعلوم. في عام 1766 أصبح بالفعل رئيسًا لها. دعا فريدريك الثاني لاغرانج إلى برلين. بعد وفاة فريدريك الثاني عام 1786، انتقل لاغرانج إلى باريس. منذ عام 1722 كان عضوًا في أكاديمية باريس للعلوم، وفي عام 1795 تم تعيينه عضوًا في مكتب خطوط الطول، وقام بدور نشط في إنشاء النظام المتري للقياسات. دائرة بحث علميكان لاغرانج واسعًا بشكل غير عادي. وهي مخصصة للميكانيكا والهندسة والتحليل الرياضي والجبر ونظرية الأعداد وعلم الفلك النظري. كان الاتجاه الرئيسي لأبحاث لاغرانج هو عرض مجموعة واسعة من الظواهر في الميكانيكا من وجهة نظر موحدة. لقد اشتق معادلة تصف سلوك أي نظام تحت تأثير القوى. وفي مجال علم الفلك، فعل لاغرانج الكثير لحل مشكلة الاستقرار النظام الشمسي; أثبت بعض الحالات الخاصة للحركة المستقرة، خاصة بالنسبة للأجسام الصغيرة الموجودة في ما يسمى بنقاط الميزان المثلثة.

طريقة لاغرانج- هذه طريقة لحل المشكلة التحسين المشروط، حيث يتم دمج القيود المكتوبة كوظائف ضمنية مع الوظيفة الموضوعية في شكل معادلة جديدة تسمى لاغرانجيان.

دعونا نفكر حالة خاصة المهمة الشائعةلا البرمجة الخطية:

نظرا للنظام المعادلات غير الخطية (1):

(1) جي(x1,x2,…,xn)=ثنائية (i=1..m),

ابحث عن أصغر (أو أكبر) قيمة للدالة (2)

(2) و (x1،x2،…،xn)،

إذا لم تكن هناك شروط لتكون المتغيرات غير سالبة و f(x1,x2,…,xn) و gi(x1,x2,…,xn) هي دوال متصلة مع مشتقاتها الجزئية.

للعثور على حل لهذه المشكلة، يمكنك استخدام الطريقة التالية: 1. أدخل مجموعة من المتغيرات 1، 2،…، 1، تسمى مضاعفات لاغرانج، قم بتكوين دالة لاغرانج (3)

(3) F(x1,x2,…,xn, α1,π2,…,ạm) = f(x1,x2,…,xn)+ lecti.

2. أوجد المشتقات الجزئية لدالة لاغرانج بالنسبة للمتغيرين xi و lecti وساويها بالصفر.

3. حل نظام المعادلات، والعثور على النقاط التي عندها دالة الهدفقد يكون للمشكلة أقصى الحدود.

4. من بين النقاط المشبوهة وليس القصوى، ابحث عن تلك التي تم الوصول إليها للحد الأقصى، واحسب قيم الدالة عند هذه النقاط .

4. قارن القيم التي تم الحصول عليها للدالة f واختر الأفضل.

ووفقا لخطة الإنتاج، تحتاج الشركة إلى إنتاج 180 منتجا. يمكن تصنيع هذه المنتجات بطريقتين تكنولوجيتين. عند إنتاج منتجات x1 باستخدام الطريقة الأولى، تكون التكاليف 4*x1+x1^2 روبل، وعند إنتاج منتجات x2 باستخدام الطريقة الثانية، تكون التكاليف 8*x2+x2^2 روبل. تحديد عدد المنتجات التي يجب إنتاجها باستخدام كل طريقة، بحيث تكون تكلفة الإنتاج الإجمالية في حدها الأدنى.

الحل: الصيغة الرياضية للمشكلة هي التحديد أدنى قيمةوظائف اثنين من المتغيرات:

و = 4*x1+x1^2 +8*x2 +x2^2، بشرط أن يكون x1 +x2 = 180.

دعونا نؤلف دالة لاغرانج:

F(x1,x2,κ) = 4*x1+x1^2+8*x2+x2^2+lect*(180-x1-x2).

لنحسب مشتقاتها الجزئية بالنسبة إلى x1، x2، α ونساويها بالصفر:

لننقل α إلى الطرف الأيمن من المعادلتين الأوليين ونساوي طرفيهما الأيسر، فنحصل على 4 + 2*x1 = 8 + 2*x2، أو x1 − x2 = 2.

وبحل المعادلة الأخيرة مع المعادلة x1 + x2 = 180 نجد x1 = 91، x2 = 89، أي أننا حصلنا على حل يحقق الشروط:

لنجد قيمة الدالة الهدف f لقيم المتغيرات هذه:

و(x1، x2) = 17278

هذه النقطة مشبوهة لنقطة متطرفة. باستخدام المشتقات الجزئية الثانية، يمكننا أن نبين أنه عند النقطة (91.89) فإن الدالة f لها قيمة دنيا.

وصف الطريقة

أين .

الأساس المنطقي

إن التبرير التالي لطريقة مضاعف لاغرانج ليس دليلاً صارمًا عليها. أنه يحتوي على المنطق الإرشادي للمساعدة في فهم معنى هندسيطريقة.

حالة ثنائية الأبعاد

خطوط المستوى والمنحنى.

فليكن مطلوبًا العثور على الحد الأقصى لبعض الوظائف لمتغيرين في ظل الحالة المحددة بالمعادلة . سنفترض أن جميع الدوال قابلة للاشتقاق بشكل مستمر، وأن هذه المعادلة تحدد منحنى سلسًا سعلى السطح . ثم تتلخص المشكلة في إيجاد الحد الأقصى للدالة Fعلى المنحنى س. وسوف نفترض ذلك أيضًا سلا يمر عبر النقاط التي يكون فيها التدرج Fيتحول إلى 0.

دعونا نرسم خطوط مستوى الوظيفة على المستوى F(أي المنحنيات). ومن الاعتبارات الهندسية يتضح أن الحد الأقصى للدالة Fعلى المنحنى سلا يمكن أن يكون هناك سوى النقاط التي الظل لها سويتزامن خط المستوى المقابل. في الواقع، إذا كان المنحنى سيعبر خط المستوى Fعند نقطة مستعرضة (أي عند زاوية غير الصفر)، ثم تتحرك على طول المنحنى سمن نقطة ما يمكننا الوصول إلى خطوط المستوى المقابلة لقيمة أكبر F، و اقل. ولذلك، فإن مثل هذه النقطة لا يمكن أن تكون نقطة متطرفة.

وبالتالي، فإن الشرط الضروري لوجود حد أقصى في حالتنا هو تطابق المماسات. ولكتابتها بصيغة تحليلية لاحظ أنها تعادل توازي تدرجات الدوال Fو ψ عند نقطة معينة، حيث أن متجه التدرج عمودي على مماس خط المستوى. ويتم التعبير عن هذا الشرط بالشكل التالي:

حيث α هو رقم غير صفري وهو مضاعف لاغرانج.

دعونا نفكر الآن وظيفة لاغرانج، اعتمادًا على و lect:

والشرط الضروري لأقصى حد له هو أن يكون الميل مساوياً للصفر. وفقا لقواعد التمايز، يتم كتابتها في النموذج

لقد حصلنا على نظام معادلته الأولى مكافئة للشرط الضروري أقصى المحلية(١)، والثالث - للمعادلة . يمكنك العثور عليه منه. علاوة على ذلك، وإلا فإن تدرج الوظيفة Fيختفي عند هذه النقطة ، وهو ما يتناقض مع افتراضاتنا. وتجدر الإشارة إلى أن النقاط التي تم العثور عليها بهذه الطريقة قد لا تكون هي النقاط المرغوبة في الحد الأقصى الشرطي - فالشرط المعتبر ضروري ولكنه غير كافٍ. العثور على الحد الأقصى الشرطي باستخدام وظيفة مساعدة لويشكل أساس طريقة مضاعف لاغرانج، المطبقة هنا على أبسط حالة لمتغيرين. وتبين أنه يمكن تعميم المنطق أعلاه على حالة وجود عدد عشوائي من المتغيرات والمعادلات التي تحدد الشروط.

استنادا إلى طريقة لاغرانج المضاعف، فمن الممكن إثبات بعض ظروف كافيةللحصول على قيمة قصوى مشروطة، تتطلب تحليل المشتقات الثانية لدالة لاغرانج.

طلب

• يتم استخدام طريقة مضاعف لاغرانج لحل مشاكل البرمجة غير الخطية التي تنشأ في العديد من المجالات (على سبيل المثال، في الاقتصاد).
• الطريقة الرئيسية لحل مشكلة تحسين جودة تشفير بيانات الصوت والفيديو بمعدل بت متوسط ​​معين (تحسين التشويه - الإنجليزية. تحسين معدل التشويه).

أنظر أيضا

روابط

• زوريش V. A. التحليل الرياضي. الجزء 1. - أد. الثانية ، القس. وإضافية - م: فازيس، 1997.

مؤسسة ويكيميديا. 2010.

تعرف على "مضاعفات لاغرانج" في القواميس الأخرى:

مضاعفات لاغرانج- العوامل الإضافية التي تحول الدالة الموضوعية للمسألة القصوى للبرمجة المحدبة (وبالتحديد البرمجة الخطية) عند حلها باستخدام إحدى الطرق الكلاسيكية، طريقة حل المضاعفات... ... القاموس الاقتصادي والرياضي

مضاعفات لاغرانج- العوامل الإضافية التي تحول الدالة الموضوعية لمسألة البرمجة المحدبة القصوى (وبشكل خاص البرمجة الخطية) عند حلها باستخدام إحدى الطرق الكلاسيكية طريقة حل المضاعفات (طريقة لاغرانج).... ... دليل المترجم الفني

علم الميكانيكا. 1) معادلات لاغرانج من النوع الأول، المعادلات التفاضلية للحركة الميكانيكية. الأنظمة التي يتم تقديمها في الإسقاطات على محاور الإحداثيات المستطيلة وتحتوي على ما يسمى. مضاعفات لاغرانج. حصل عليها ج. لاغرانج عام 1788. بالنسبة لنظام هولونومي، ... ... الموسوعة الفيزيائية

ميكانيكا عادية المعادلات التفاضليةالمرتبة الثانية: وصف الحركات الميكانيكية. الأنظمة تحت تأثير القوى المطبقة عليها. لو. أنشأتها مجموعة J. Lag في شكلين: L. u. النوع الأول، أو المعادلات في الإحداثيات الديكارتية مع ... ... الموسوعة الرياضية

1) في الهيدروميكانيكا معادلة حركة الموائع (الغازات) في متغيرات لاغرانج وهي إحداثيات الوسط. تلقى الفرنسية العالم ج. لاغرانج (حوالي 1780). من L. u. يتم تحديد قانون حركة الوسط على شكل تبعيات ... ... الموسوعة الفيزيائية

طريقة مضاعف لاغرانج، طريقة لإيجاد الحد الأقصى الشرطي للدالة f(x)، حيث، بالنسبة إلى قيود m، i يختلف من واحد إلى m. المحتويات 1 وصف الطريقة ... ويكيبيديا

دالة تستخدم في حل مسائل على الحد الأقصى الشرطي لدوال العديد من المتغيرات والدوال. بمساعدة L. f. تسجل الشروط اللازمةالمثالية في المسائل على الحد الأقصى المشروط. في هذه الحالة، ليس من الضروري التعبير عن المتغيرات فقط... الموسوعة الرياضية

طريقة حل المسائل على الحدود الشرطية؛ L. M. M. يتكون من اختزال هذه المشاكل إلى مشاكل في الحد الأقصى غير المشروط لوظيفة مساعدة، ما يسمى. وظائف لاغرانج. لمسألة الحد الأقصى للدالة f (x1, x2,..., xn) لـ... ...

المتغيرات، والتي يتم من خلالها إنشاء دالة لاغرانج عند دراسة المشكلات على الحد الأقصى الشرطي. يتيح لنا استخدام الطرق الخطية ودالة لاغرانج الحصول على شروط المثالية اللازمة في المسائل التي تنطوي على حد مشروط بطريقة موحدة... الموسوعة الرياضية

1) في الهيدروميكانيكا، معادلات حركة وسط مائع، مكتوبة بمتغيرات لاغرانج، وهي إحداثيات جسيمات الوسط. من L. u. يتم تحديد قانون حركة جسيمات الوسط على شكل اعتماد الإحداثيات على الزمن ومنها... ... الموسوعة السوفيتية الكبرى

• درس تعليمي

الجميع يوم جيد. في هذه المقالة أريد أن أظهر واحدة من الأساليب الرسوميةبناء النماذج الرياضيةللأنظمة الديناميكية، وهو ما يسمى الرسم البياني للسندات("السندات" - الاتصالات، "الرسم البياني" - الرسم البياني). في الأدب الروسي، وجدت أوصافًا لهذه الطريقة فقط في كتاب تومسكي المدرسي جامعة العلوم التطبيقية، أ.ف. فورونين "نمذجة الأنظمة الميكاترونيكية" 2008 عرض أيضًا الطريقة الكلاسيكيةمن خلال معادلة لاغرانج من النوع الثاني

طريقة لاغرانج

لن أصف النظرية، سأعرض مراحل الحسابات مع بعض التعليقات. شخصيًا، من الأسهل بالنسبة لي أن أتعلم من الأمثلة بدلاً من قراءة النظرية 10 مرات. بدا لي أن شرح هذه الطريقة في الأدب الروسي، وفي الواقع الرياضيات أو الفيزياء بشكل عام، غني جدًا الصيغ المعقدة، الأمر الذي يتطلب بالتالي خلفية رياضية جادة. أثناء دراستي لطريقة لاغرانج (أدرس في جامعة البوليتكنيك في تورينو بإيطاليا)، قمت بدراسة الأدب الروسي لمقارنة طرق الحساب، وكان من الصعب علي متابعة تقدم حل هذه الطريقة. حتى عندما نتذكر دورات النمذجة في معهد خاركوف للطيران، كان استخلاص مثل هذه الأساليب مرهقًا للغاية، ولم يزعج أحد نفسه بمحاولة فهم هذه المشكلة. هذا ما قررت أن أكتبه، دليل لبناء النماذج الرياضية حسب لاغرانج، حيث اتضح أنه ليس بالأمر الصعب على الإطلاق، يكفي معرفة كيفية حساب المشتقات فيما يتعلق بالوقت والمشتقات الجزئية. بالنسبة للنماذج الأكثر تعقيدا، تتم إضافة مصفوفات التناوب أيضا، ولكن لا يوجد شيء معقد فيها أيضا.

ميزات طرق النمذجة:

• نيوتن أويلر: المعادلات المتجهة على أساس التوازن الديناميكي قوةو لحظات
• لاغرانج: المعادلات العددية المبنية على دوال الحالة المرتبطة بالحركية والإمكانات الطاقات
• عدد السندات: الطريقة القائمة على التدفق قوةبين عناصر النظام

دعنا نبدء ب مثال بسيط. كتلة مع الربيع والمثبط. نحن نتجاهل قوة الجاذبية.

رسم بياني 1. كتلة مع الربيع والمثبط

في البداية نحدد:

• النظام الأوليالإحداثيات(NSK) أو sk ثابت R0(i0,j0,k0). أين؟ يمكنك أن تشير بإصبعك إلى السماء، لكن من خلال تحريك أطراف الخلايا العصبية في الدماغ، تمر الفكرة لوضع NSC على خط حركة الجسم M1.
• نظم الإحداثيات لكل جسم له كتلة(لدينا M1 R1(i1,j1,k1))، يمكن أن يكون التوجه تعسفيًا، ولكن لماذا تعقد حياتك، اضبطه بأقل قدر من الاختلاف عن NSC
• الإحداثيات المعممة q_i(الحد الأدنى لعدد المتغيرات التي يمكنها وصف الحركة)، في هذا المثال يوجد إحداثي معمم واحد، الحركة فقط على طول المحور j

الصورة 2. نضع أنظمة الإحداثيات والإحداثيات المعممة

تين. 3. موضع وسرعة الجسم M1

ثم سنجد الطاقات الحركية (C) وطاقة الوضع (P) والدالة التبددية (D) للمخمد باستخدام الصيغ:

الشكل 4. صيغة كاملةالطاقة الحركية

في مثالنا لا يوجد دوران، المكون الثاني هو 0.

الشكل 5. حساب الحركية والطاقة الكامنة وظيفة تبديد

معادلة لاغرانج لها الشكل التالي:

الشكل 6. معادلة لاغرانج ولاغرانج

دلتا W_iهذا عمل افتراضي يتم إنجازه بواسطة القوى والعزوم المطبقة. فلنجدها:

الشكل 7. حساب العمل الافتراضي

أين دلتا q_1الحركة الافتراضية.

نعوض بكل شيء في معادلة لاغرانج:

الشكل 8. النموذج الشامل الناتج مع الربيع والمثبط

هذا هو المكان الذي انتهت فيه طريقة لاغرانج. كما ترون، الأمر ليس بهذا التعقيد، لكنه لا يزال مثالًا بسيطًا للغاية، ومن المرجح أن تكون طريقة نيوتن-أويلر أبسط منه. بالنسبة للأنظمة الأكثر تعقيدًا، حيث سيكون هناك عدة أجسام تدور بالنسبة لبعضها البعض بزوايا مختلفة، ستكون طريقة لاغرانج أسهل.

طريقة السندرسم بياني

سأوضح لك على الفور كيف يبدو النموذج في الرسم البياني الرابط كمثال مع كتلة وزنبرك ومخمد:

الشكل 9. كتل الرسم البياني السندات مع الربيع والمثبط

هنا سيتعين عليك إخبار القليل من النظرية، والتي ستكون كافية للبناء نماذج بسيطة. إذا كان أي شخص مهتم، يمكنك قراءة الكتاب ( منهجية الرسم البياني بوند) أو ( فورونين أ.ف. نمذجة الأنظمة الميكاترونيكية: درس تعليمي. - تومسك: دار النشر بجامعة تومسك البوليتكنيك، 2008).

دعونا أولا تحديد ذلك أنظمة معقدةتتكون من عدة مجالات. على سبيل المثال، يتكون المحرك الكهربائي من أجزاء أو مجالات كهربائية وميكانيكية.

الرسم البياني للسنداتعلى أساس تبادل السلطة بين هذه المجالات والأنظمة الفرعية. لاحظ أن تبادل الطاقة، بأي شكل من الأشكال، يتم تحديده دائمًا بواسطة متغيرين ( قوة متغيرة) والتي يمكننا من خلالها دراسة تفاعل الأنظمة الفرعية المختلفة داخل نظام ديناميكي (انظر الجدول).

وكما يتبين من الجدول، فإن التعبير عن السلطة هو نفسه تقريبًا في كل مكان. في ملخص، قوة- هذا العمل " التدفق - ف" على " جهد - ه».

محاولة(إنجليزي) جهد) في المجال الكهربائي هو الجهد (e)، في المجال الميكانيكي هو القوة (F) أو عزم الدوران (T)، في الهيدروليكية هو الضغط (p).

تدفق(إنجليزي) تدفق) في المجال الكهربائي هو التيار (i)، في المجال الميكانيكي هو السرعة (v) أو السرعة الزاوية(أوميغا)، في الهيدروليكية – تدفق السوائل أو معدل التدفق (Q).

وبأخذ هذه الرموز نحصل على تعبير عن القوة:

الشكل 10. صيغة القوة من خلال متغيرات الطاقة

في لغة الرسم البياني للسندات، يتم تمثيل العلاقة بين نظامين فرعيين يتبادلان الطاقة بواسطة رابطة. رابطة). لهذا السبب يطلق عليه هذه الطريقة رسم بياني للسنداتأو ز اتصالات راف، الرسم البياني متصل. دعونا نفكر مخطط الكتلةالتوصيلات في نموذج بمحرك كهربائي (هذا ليس رسمًا بيانيًا للربط حتى الآن):

الشكل 11. مخطط كتلة لتدفق الطاقة بين المجالات

إذا كان لدينا مصدر جهد، فإنه يولد جهدًا وينقله إلى المحرك لللف (ولهذا السبب يتم توجيه السهم نحو المحرك)، اعتمادًا على مقاومة اللف، يظهر تيار وفقًا لقانون أوم (موجه من المحرك إلى المصدر). وفقا لذلك، متغير واحد هو مدخلات للنظام الفرعي، والثاني يجب أن يكون مخرجمن النظام الفرعي. هنا الجهد ( جهد) - المدخلات الحالية ( تدفق) - مخرج.

إذا كنت تستخدم مصدرًا حاليًا، كيف سيتغير الرسم التخطيطي؟ يمين. سيتم توجيه التيار إلى المحرك والجهد إلى المصدر. ثم التيار ( تدفق) - مساهمة الجهد ( جهد) - مخرج.

دعونا نلقي نظرة على مثال في الميكانيكا. القوة المؤثرة على الكتلة .

الشكل 12. القوة المطبقة على الكتلة

سيكون مخطط الكتلة كما يلي:

الشكل 13. مخطط الكتلة

في هذا المثال، القوة ( جهد) - متغير الإدخال للكتلة. (القوة المطبقة على الكتلة)
ووفقا لقانون نيوتن الثاني:

تستجيب الكتلة بسرعة:

في هذا المثال، إذا كان هناك متغير واحد ( قوة - جهد) يكون مدخلفي المجال الميكانيكي، ثم متغير طاقة آخر ( سرعة - تدفق) - يصبح تلقائيا مخرج.

لتمييز مكان الإدخال ومكان الإخراج يستخدم خط عمودي في نهاية السهم (الاتصال) بين العناصر، يسمى هذا الخط علامة السببية أو التسبب بالشىء (السببية). اتضح أن القوة المطبقة هي السبب، والسرعة هي النتيجة. هذه العلامة مهمة جدًا للبناء الصحيح لنموذج النظام، لأن السببية هي نتيجة السلوك الجسديوتبادل صلاحيات نظامين فرعيين، وبالتالي فإن اختيار موقع علامة السببية لا يمكن أن يكون تعسفيا.

الشكل 14. تحديد السببية

يوضح هذا الخط العمودي النظام الفرعي الذي يستقبل القوة ( جهد) ونتيجة لذلك تنتج تدفق ( تدفق). في المثال مع الكتلة سيكون مثل هذا:

الشكل 14. العلاقة السببية للقوة المؤثرة على الكتلة

يتضح من السهم أن مدخلات الكتلة هي - قوة، والإخراج هو سرعة. يتم ذلك حتى لا يتم تشويش الرسم التخطيطي بالسهام وتنظيم بناء النموذج.

التالي نقطة مهمة. دفعة معممة(كمية الحركة) و متحرك(متغيرات الطاقة).

جدول متغيرات الطاقة والطاقة في المجالات المختلفة

يقدم الجدول أعلاه كميتين فيزيائيتين إضافيتين مستخدمتين في طريقة الرسم البياني للسندات. انهم يسمى دفعة معممة (ر) و حركة معممة (س) أو متغيرات الطاقة، ويمكن الحصول عليها من خلال دمج متغيرات الطاقة مع مرور الوقت:

الشكل 15. العلاقة بين متغيرات القوة والطاقة

في المجال الكهربائي :

بناءً على قانون فاراداي، الجهد االكهربىعند طرفي الموصل يساوي مشتق التدفق المغناطيسي عبر هذا الموصل.

أ القوة الحالية - الكمية المادية، تساوي نسبة كمية الشحنة Q التي تمر خلال فترة زمنية t المقطع العرضيموصل، لقيمة هذه الفترة من الزمن.

المجال الميكانيكي:

من قانون نيوتن الثاني، قوة- المشتق الزمني للنبض

وبالمقابل، سرعة- المشتقة الزمنية للإزاحة:

دعونا نلخص:

العناصر الأساسية

يمكن تقسيم جميع العناصر في الأنظمة الديناميكية إلى مكونات ثنائية القطب وأربعة أقطاب.
دعونا نفكر مكونات ثنائية القطب:

مصادر
هناك مصادر لكل من الجهد والتدفق. القياس في المجال الكهربائي: مصدر الجهد – مصدر الجهد, مصدر الدفق – المصدر الحالي. يجب أن تكون العلامات السببية للمصادر هكذا فقط.

الشكل 16. الروابط السببية وتحديد المصادر

المكون ر - عنصر تبديد

المكون الأول - عنصر بالقصور الذاتي

المكون ج - عنصر بالسعة

كما يتبين من الأرقام، عناصر مختلفة من نفسه اكتب R، C، Iالموصوفة بنفس المعادلات. هناك فرق فقط في السعة الكهربائية، كل ما عليك فعله هو تذكره!

مكونات رباعية:

دعونا نلقي نظرة على مكونين: محول وجيراتور.

آخر المكونات المهمة في طريقة الرسم البياني للسندات هي الاتصالات. هناك نوعان من العقد:

هذا كل شيء مع المكونات.

الخطوات الرئيسية لإقامة العلاقات السببية بعد إنشاء الرسم البياني للسندات:

1. إعطاء روابط سببية للجميع مصادر
2. قم بمراجعة جميع العقد وحدد العلاقات السببية بعد النقطة 1
3. ل المكونات أناتعيين علاقة سببية للمدخلات (يتم تضمين الجهد في هذا المكون)، ل المكونات جتعيين سببية الإخراج (الجهد يخرج من هذا المكون)
4. كرر النقطة 2
5. أدخل الروابط السببية لـ مكونات R

وبهذا تنتهي الدورة المصغرة حول النظرية. الآن لدينا كل ما نحتاجه لبناء النماذج.
دعونا نحل بعض الأمثلة. لنبدأ بدائرة كهربائية، فمن الأفضل أن نفهم تشبيه إنشاء رسم بياني للربط.

مثال 1

لنبدأ في بناء رسم بياني للسندات بمصدر جهد. فقط اكتب Se ثم ضع سهما.

انظر، كل شيء بسيط! دعونا ننظر أبعد من ذلك، R و L متصلان في سلسلة، مما يعني أن نفس التدفقات الحالية فيهما، إذا تحدثنا في متغيرات الطاقة - نفس التدفق. أي عقدة لها نفس التدفق؟ الإجابة الصحيحة هي 1-عقدة. نقوم بتوصيل المصدر والمقاومة (المكون - R) والحث (المكون - I) بالعقدة 1.

بعد ذلك، لدينا السعة والمقاومة موصلتين على التوازي، وهو ما يعني أن لهما نفس الجهد أو القوة. 0-العقدة مناسبة لا مثيل لها. نقوم بتوصيل السعة (المكون C) والمقاومة (المكون R) بالعقدة 0.

نقوم أيضًا بتوصيل العقدتين 1 و0 ببعضهما البعض. يتم اختيار اتجاه الأسهم بشكل تعسفي، ويؤثر اتجاه الاتصال فقط على الإشارة الموجودة في المعادلات.

سوف تحصل على الرسم البياني الاتصال التالي:

الآن نحن بحاجة إلى إقامة علاقات سببية. باتباع التعليمات الخاصة بتسلسل موضعها، لنبدأ بالمصدر.

1. لدينا مصدر للجهد (الجهد)، مثل هذا المصدر له متغير واحد فقط من السببية - الإخراج. دعونا نرتديها.
2. بعد ذلك، هناك المكون الأول، دعونا نرى ما يوصون به. نضع
3. لقد وضعناها في مكان واحد للعقدة. يأكل
4. يجب أن تحتوي العقدة 0 على مدخل واحد وجميع الاتصالات السببية للمخرجات. لدينا يوم عطلة واحد في الوقت الراهن. نحن نبحث عن المكونات C أو I. لقد وجدناها. نضع
5. دعونا قائمة ما تبقى

هذا كل شئ. تم بناء الرسم البياني للسندات. مرحا أيها الرفاق!

كل ما تبقى هو كتابة المعادلات التي تصف نظامنا. للقيام بذلك، قم بإنشاء جدول مكون من 3 أعمدة. الأول سيحتوي على جميع مكونات النظام، والثاني سيحتوي على متغير الإدخال لكل عنصر، والثالث سيحتوي على متغير الإخراج لنفس المكون. لقد قمنا بالفعل بتعريف المدخلات والمخرجات من خلال العلاقات السببية. لذلك لا ينبغي أن يكون هناك أي مشاكل.

دعونا نرقم كل اتصال لسهولة تسجيل المستويات. نأخذ المعادلات لكل عنصر من قائمة المكونات C، R، I.

بعد تجميع جدول، نحدد متغيرات الحالة، في هذا المثال يوجد اثنان منهم، p3 وq5. بعد ذلك تحتاج إلى كتابة معادلات الحالة:

هذا كل شيء، النموذج جاهز.

مثال 2. أود أن أعتذر على الفور عن جودة الصورة، الشيء الرئيسي هو أنه يمكنك القراءة

دعونا نحل مثالًا آخر لنظام ميكانيكي، وهو نفس المثال الذي قمنا بحله باستخدام طريقة لاغرانج. سأعرض الحل بدون تعليق. دعونا نتحقق من أي من هذه الطرق أبسط وأسهل.

في مابالا، تم تجميع كلا النموذجين الرياضيين بنفس المعلمات، وتم الحصول عليهما بطريقة لاغرانج والرسم البياني للسندات. والنتيجة هي أدناه: إضافة العلامات

تبدأ طريقة تحديد الحد الأقصى الشرطي ببناء دالة لاغرانج المساعدة والتي تصل في منطقة الحلول الممكنة إلى الحد الأقصى لنفس قيم المتغيرات س 1 ، س 2 ، ...، خ ن ، وهي نفس الوظيفة الهدف ض . دع مشكلة تحديد الحد الأقصى الشرطي للدالة يتم حلها ض = و(س) تحت القيود φ أنا ( س 1 , س 2 , ..., س ن ) = 0, أنا = 1, 2, ..., م , م < ن

دعونا نؤلف دالة

من اتصل وظيفة لاغرانج. X - عوامل ثابتة ( مضاعفات لاغرانج). لاحظ أنه يمكن إعطاء مضاعفات لاغرانج معنى اقتصاديًا. لو و(س 1 ، س 2 ، ...، خ ن ) - دخل يتوافق مع الخطة س = (س 1 ، س 2 ، ...، خ ن ) ، والوظيفة φ أنا (x 1 ، س 2 ، ...، خ ن ) - تكاليف المورد الأول المطابق لهذه الخطة إذن X ، هو سعر (تقدير) المورد i، الذي يميز التغير في القيمة القصوى للدالة الموضوعية اعتمادًا على التغير في حجم المورد i (التقدير الهامشي). ل (س) - وظيفة ن + م المتغيرات (x 1 ، س 2 ، ...، خ ن , λ 1 , λ 2 , ..., λ ن ) . يؤدي تحديد النقاط الثابتة لهذه الدالة إلى حل نظام المعادلات

من السهل رؤية ذلك . وبالتالي، فإن مهمة العثور على الحد الأقصى الشرطي للدالة ض = و(س) يقلل من العثور على الحد الأقصى المحلي للوظيفة ل (س) . إذا تم العثور على نقطة ثابتة، يتم حل مسألة وجود حد أقصى في أبسط الحالات على أساس الشروط الكافية للحد الأقصى - دراسة إشارة التفاضل الثاني د 2 ل (س) عند نقطة ثابتة، بشرط أن يتزايد المتغير Δx أنا - متصلة بالعلاقات

تم الحصول عليها عن طريق التمييز بين معادلات الاقتران.

حل نظام من المعادلات غير الخطية في مجهولين باستخدام أداة البحث عن الحل

إعدادات إيجاد حليسمح لك بإيجاد حل لنظام المعادلات غير الخطية مع مجهولين:

أين
- دالة غير خطية للمتغيرات س و ذ ,
- ثابت تعسفي.

ومن المعروف أن الزوجين ( س , ذ ) هو حل لنظام المعادلات (10) إذا وفقط إذا كان حلاً للمعادلة التالية ذات مجهولين:

معومن ناحية أخرى فإن حل النظام (10) هو نقاط تقاطع منحنيين: F ] (س, ذ) = ج و F 2 (س، ص) = ج 2 على السطح XOي.

وهذا يؤدي إلى طريقة للعثور على جذور النظام. المعادلات غير الخطية:

حدد (على الأقل تقريبًا) الفاصل الزمني لوجود حل لنظام المعادلات (10) أو المعادلة (11). من الضروري هنا أن نأخذ في الاعتبار نوع المعادلات المضمنة في النظام، ومجال تعريف كل من معادلاتها، وما إلى ذلك. في بعض الأحيان يتم استخدام اختيار تقريبي أولي للحل؛

جدولة حل المعادلة (11) للمتغيرين x وy على الفترة المحددة، أو إنشاء رسوم بيانية للدوال F 1 (س, ذ) = ج، و F 2 (س، ص) = ج 2 (نظام (10)).

تحديد الجذور المفترضة لنظام المعادلات - العثور على عدة قيم دنيا من الجدول الذي يبين جذور المعادلة (11)، أو تحديد نقاط تقاطع المنحنيات المتضمنة في النظام (10).

4. ابحث عن جذور نظام المعادلات (10) باستخدام الوظيفة الإضافية إيجاد حل.