بيت وقاية قم بتوسيع نظام الوظائف إلى سلسلة فورييه. تمثيل سلسلة فورييه للإشارات الدورية

وقاية

قم بتوسيع نظام الوظائف إلى سلسلة فورييه. تمثيل سلسلة فورييه للإشارات الدورية

سوف يدرس هذا القسم تمثيل الإشارات الدورية باستخدام متسلسلة فورييه. تعتبر متسلسلة فورييه أساس نظرية التحليل الطيفي لأنه، كما سنرى لاحقاً، يمكن الحصول على تحويل فورييه للإشارة غير الدورية عن طريق أخذ متسلسلة فورييه إلى الحد الأقصى عند فترة تكرار لا نهائية. ونتيجة لذلك، فإن خصائص متسلسلة فورييه صالحة أيضًا لتحويل فورييه للإشارات غير الدورية.

سننظر في تعبيرات متسلسلة فورييه في الصورة المثلثية والمعقدة، وننتبه أيضًا إلى شروط ديريشليت لتقارب متسلسلة فورييه. بالإضافة إلى ذلك، سنتناول بالتفصيل شرح مفهوم مثل التردد السلبي لطيف الإشارة، والذي غالبًا ما يسبب صعوبة عند التعرف على نظرية التحليل الطيفي.

إشارة دورية. سلسلة فورييه المثلثية

لتكن هناك إشارة دورية للزمن المستمر، تتكرر بفترة c، أي. ، حيث هو عدد صحيح تعسفي.

على سبيل المثال، يوضح الشكل 1 سلسلة من النبضات المستطيلة ذات المدة c، والتي تتكرر مع فترة c.

الشكل 1. التسلسل الدوري
نبضات مستطيلة

من المعروف من سياق التحليل الرياضي أن نظام الدوال المثلثية

مع الترددات المتعددة، حيث يكون rad/s عددًا صحيحًا، فإنه يشكل أساسًا متعامدًا لتحليل الإشارات الدورية مع فترة تستوفي شروط ديريشليت. تتطلب شروط ديريشليت لتقارب متسلسلة فورييه تحديد إشارة دورية على المقطع وتحقيق الشروط التالية:

على سبيل المثال، الدالة الدورية لا يفي بشروط Dirichlet لأن الوظيفة لديه انقطاعات من النوع الثاني ويأخذ قيمًا لا نهائية عند حيث يوجد عدد صحيح اعتباطي. وبالتالي فإن الوظيفة لا يمكن تمثيلها بالقرب من فورييه. يمكنك أيضًا إعطاء مثال على الوظيفة ، وهي محدودة، ولكنها أيضًا لا تحقق شروط ديريشليت، حيث أنها تحتوي على عدد لا نهائي من النقاط القصوى عندما تقترب من الصفر. رسم بياني للدالة هو مبين في الشكل 2.

الشكل 2. الرسم البياني وظيفة :
أ - فترتي التكرار؛ ب - في المنطقة المجاورة

يوضح الشكل 2 أ فترتي تكرار للوظيفة وفي الشكل 2 ب - المنطقة المجاورة ل . يمكن ملاحظة أنه عندما يقترب من الصفر، يزداد تردد التذبذب إلى ما لا نهاية، ولا يمكن تمثيل مثل هذه الدالة بمتسلسلة فورييه، لأنها ليست رتيبة متعددة التعريف.

تجدر الإشارة إلى أنه في الممارسة العملية لا توجد إشارات ذات قيم تيار أو جهد لا نهائية. وظائف مع عدد لا حصر له من النهايات من النوع كما لا تحدث في المشاكل التطبيقية.

جميع الإشارات الدورية الحقيقية تستوفي شروط ديريشليت ويمكن تمثيلها بسلسلة فورييه مثلثية لا نهائية من النموذج:

وفي التعبير (2)، يحدد المعامل المكون الثابت للإشارة الدورية.

في جميع النقاط التي تكون فيها الإشارة مستمرة، تتقارب سلسلة فورييه (2) مع قيم الإشارة المعطاة، وعند نقاط الانقطاع من النوع الأول - إلى القيمة المتوسطة، حيث تكون الحدود إلى اليسار و على يمين نقطة الانقطاع، على التوالي.

ومن المعروف أيضًا من خلال التحليل الرياضي أن استخدام سلسلة فورييه المقتطعة، التي تحتوي فقط على المصطلحات الأولى بدلاً من مجموع لا نهائي، يؤدي إلى تمثيل تقريبي للإشارة:

حيث يتم ضمان الحد الأدنى لمتوسط مربع الخطأ. يوضح الشكل 3 التقريب لقطار الموجة المربعة الدورية والموجة المنحدرة الدورية عند استخدام أعداد مختلفة من مصطلحات سلسلة فورييه.
الشكل 3. تقريب الإشارات باستخدام سلسلة فورييه مبتورة:

أ - نبضات مستطيلة. ب - إشارة مسننة

سلسلة فورييه في شكل معقد

في القسم السابق، قمنا بفحص متسلسلة فورييه المثلثية لتمديد إشارة دورية عشوائية تحقق شروط ديريشليت. باستخدام صيغة أويلر، يمكننا أن نبين:

ثم متسلسلة فورييه المثلثية (2) مع مراعاة (4):

وبالتالي، يمكن تمثيل الإشارة الدورية بمجموع مكون ثابت وأُسيات معقدة تدور بترددات مع معاملات للترددات الموجبة، وللأسيات المعقدة التي تدور بترددات سلبية.

دعونا نفكر في معاملات الأسيات المعقدة التي تدور بترددات موجبة:

بالإضافة إلى ذلك، فإن التعبيرين (6) و (7) يتطابقان، ويمكن أيضًا كتابة المكون الثابت من خلال أسي معقد عند تردد صفر:

وبالتالي، يمكن تمثيل (5)، مع الأخذ في الاعتبار (6) - (8)، كمجموع واحد عند فهرسته من ناقص ما لا نهاية إلى ما لا نهاية:

التعبير (9) عبارة عن متسلسلة فورييه في شكل معقد. ترتبط معاملات متسلسلة فورييه في الصورة المركبة بمعاملات السلسلة في الصورة المثلثية، ويتم تحديدها لكل من التكرارات الإيجابية والسلبية.

يشير الحرف المنخفض في تعيين التردد إلى عدد التوافقيات المنفصلة، مع الحروف السلبية المقابلة للترددات السلبية.

ويترتب على التعبير (2) أنه بالنسبة للإشارة الحقيقية، تكون معاملات السلسلة (2) حقيقية أيضًا. ومع ذلك، (9) يربط الإشارة الحقيقية بمجموعة من المعاملات المترافقة المعقدة المتعلقة بكل من الترددات الإيجابية والسلبية.

بعض التفسيرات لسلسلة فورييه في شكل معقد

قمنا في القسم السابق بالانتقال من متسلسلة فورييه المثلثية (2) إلى متسلسلة فورييه في الصورة المركبة (9). ونتيجة لذلك، فبدلاً من تحليل الإشارات الدورية على أساس الدوال المثلثية الحقيقية، حصلنا على توسعة في أساس الأسيات المعقدة، مع معاملات معقدة، وحتى ترددات سلبية ظهرت في التوسعة! نظرًا لأن هذه المشكلة كثيرًا ما يُساء فهمها، فمن الضروري تقديم بعض التوضيحات.

أولاً، يكون العمل مع الأسس المعقدة أسهل في معظم الحالات من العمل مع الدوال المثلثية. على سبيل المثال، عند ضرب وقسمة الأسس المعقدة، يكفي فقط إضافة (طرح) الأسس، في حين أن صيغ ضرب وقسمة الدوال المثلثية أكثر تعقيدًا.

إذا كانت الإشارة دورية وحقيقية، فإن متسلسلة فورييه المثلثية (2) تبدو أكثر وضوحا، لأن جميع معاملات التمدد، تظل حقيقية. ومع ذلك، يتعين على المرء في كثير من الأحيان التعامل مع الإشارات الدورية المعقدة (على سبيل المثال، عند التعديل وإزالة التشكيل، يتم استخدام التمثيل التربيعي للمغلف المعقد). في هذه الحالة، عند استخدام متسلسلة فورييه المثلثية، ستصبح جميع المعاملات والتوسعات (2) معقدة، بينما عند استخدام متسلسلة فورييه بشكل معقد (9)، سيتم استخدام نفس معاملات التوسع لكل من إشارات المدخلات الحقيقية والمعقدة .

وأخيراً لا بد من التطرق إلى بيان التكرارات السلبية التي ظهرت في (9). هذا السؤال غالبا ما يسبب سوء الفهم. فيالحياة اليومية

نحن لا نواجه ترددات سلبية. على سبيل المثال، لا نقوم أبدًا بضبط الراديو الخاص بنا على تردد سلبي. دعونا نفكر في التشبيه التالي من الميكانيكا. يجب أن يكون هناك بندول زنبركي ميكانيكي يتأرجح بحرية بتردد معين. هل يمكن للبندول أن يتأرجح بتردد سلبي؟ بالطبع لا. وكما لا توجد محطات إذاعية تبث بترددات سلبية، فإن تردد اهتزازات البندول لا يمكن أن يكون سالبًا.

لكن البندول الزنبركي هو جسم أحادي البعد (يهتز البندول على طول خط مستقيم واحد).

يمكننا أيضًا إعطاء تشبيه آخر من الميكانيكا: عجلة تدور بتردد . العجلة، على عكس البندول، تدور، أي. تتحرك نقطة على سطح العجلة في مستوى، ولا تتأرجح ببساطة على طول خط مستقيم واحد. لذلك، لتحديد دوران العجلة بشكل فريد، لا يكفي ضبط سرعة الدوران، لأنه من الضروري أيضًا ضبط اتجاه الدوران. وهذا هو بالضبط سبب تمكننا من استخدام إشارة التردد.

لذا، إذا كانت العجلة تدور بتردد زاوي rad/s عكس اتجاه عقارب الساعة، فإننا نعتبر أن العجلة تدور بتردد موجب، وإذا كانت في اتجاه عقارب الساعة، فسيكون تردد الدوران سالبًا. وبالتالي، بالنسبة لأمر الدوران، يتوقف التردد السلبي عن كونه هراء ويشير إلى اتجاه الدوران.
والآن أهم شيء يجب أن نفهمه. يمكن تمثيل تذبذب جسم أحادي البعد (على سبيل المثال، البندول الزنبركي) كمجموع دورات متجهين موضحين في الشكل 4.
الشكل 4. تذبذب البندول الربيعي

يهتز البندول على طول المحور الحقيقي للمستوى المركب بتردد وفقا للقانون التوافقي. تظهر حركة البندول كمتجه أفقي. يدور المتجه العلوي على المستوى المركب بتردد موجب (عكس اتجاه عقارب الساعة)، ويدور المتجه السفلي بتردد سلبي (باتجاه عقارب الساعة). ويوضح الشكل 4 بوضوح العلاقة المعروفة من مقرر علم المثلثات:

وهكذا فإن متسلسلة فورييه في الشكل المركب (9) تمثل إشارات دورية أحادية البعد كمجموع ناقلات على المستوى المركب تدور بترددات موجبة وسالبة. وفي نفس الوقت نلاحظ أنه في حالة الإشارة الحقيقية، حسب (9)، تكون معاملات التمدد للترددات السلبية مرافقة معقدة للمعاملات المقابلة للترددات الإيجابية. في حالة وجود إشارة معقدة، فإن خاصية المعاملات هذه لا تصمد لأنها معقدة أيضًا.

طيف الإشارات الدورية

سلسلة فورييه في شكل معقد هي تحلل إشارة دورية إلى مجموع من الأسيات المعقدة التي تدور بترددات موجبة وسالبة في مضاعفات rad/c مع المعاملات المعقدة المقابلة التي تحدد طيف الإشارة. يمكن تمثيل المعاملات المعقدة باستخدام صيغة أويلر، حيث طيف السعة هو طيف الطور.

وبما أن الإشارات الدورية موضوعة في صف واحد فقط على شبكة ذات تردد ثابت، فإن طيف الإشارات الدورية يكون خطيًا (منفصلًا).

الشكل 5. طيف التسلسل الدوري
نبضات مستطيلة:
أ - طيف السعة؛ ب - طيف الطور

ويبين الشكل 5 مثالاً على السعة وطيف الطور لتسلسل دوري للنبضات المستطيلة (انظر الشكل 1) عند c، ومدة النبضة c، وسعة النبضة B.

سلسلة فورييه من الدوال الدورية ذات الفترة 2π.

تسمح لنا متسلسلة فورييه بدراسة الدوال الدورية من خلال تحليلها إلى مكونات. تعد التيارات والفولتية المتناوبة والإزاحات وسرعة وتسارع آليات الكرنك والموجات الصوتية أمرًا نموذجيًا أمثلة عمليةتطبيق الوظائف الدورية في الحسابات الهندسية.

يعتمد توسيع متسلسلة فورييه على افتراض أن جميع الدوال ذات الأهمية العملية في الفترة -π ≥x≥ π يمكن التعبير عنها في شكل متسلسلة مثلثية متقاربة (تعتبر السلسلة متقاربة إذا كانت تسلسل المجاميع الجزئية المكونة من حدودها يتقارب):

التدوين القياسي (= العادي) من خلال مجموع sinx وcosx

f(x)=a o + a 1 cosx+a 2 cos2x+a 3 cos3x+...+b 1 sinx+b 2 sin2x+b 3 sin3x+...,

حيث a o, a 1,a 2,...,b 1,b 2,.. هي ثوابت حقيقية، أي.

حيث، بالنسبة للمدى من -π إلى π، يتم حساب معاملات متسلسلة فورييه باستخدام الصيغ:

تسمى المعاملات a o و a n و b n معاملات فورييهوإذا أمكن العثور عليها، يتم استدعاء السلسلة (1). بجوار فورييه،المقابلة للوظيفة f(x). بالنسبة للمتسلسلة (1)، فإن المصطلح (a 1 cosx + b 1 sinx) يسمى الأول أو التوافقي الأساسي,

هناك طريقة أخرى لكتابة سلسلة وهي استخدام العلاقة acosx+bsinx=csin(x+α)

f(x)=أ o +c 1 خطيئة(x+α 1)+ج 2 خطيئة(2x+α 2)+...+c n خطيئة(nx+α n)

حيث a o ثابت، c 1 =(a 1 2 +b 1 2) 1/2، c n =(a n 2 +b n 2) 1/2 هي سعة المكونات المختلفة، ويساوي a n =arctg a n / ب ن.

بالنسبة للمتسلسلة (1)، فإن المصطلح (a 1 cosx+b 1 sinx) أو c 1 sin(x+α 1) يسمى الأول أو التوافقي الأساسي,(a 2 cos2x+b 2 sin2x) أو c 2 sin(2x+α 2) يسمى التوافقي الثانيوهكذا.

يتطلب تمثيل إشارة معقدة بدقة عددًا لا نهائيًا من المصطلحات. ومع ذلك، في العديد من المشاكل العملية، يكفي النظر فقط في المصطلحات القليلة الأولى.

سلسلة فورييه من الدوال غير الدورية ذات الفترة 2π.

توسيع الوظائف غير الدورية.

إذا كانت الدالة f(x) غير دورية، فهذا يعني أنه لا يمكن توسيعها إلى سلسلة فورييه لجميع قيم x. ومع ذلك، فمن الممكن تعريف سلسلة فورييه التي تمثل دالة على أي نطاق بعرض 2π.

بالنظر إلى دالة غير دورية، يمكن إنشاء دالة جديدة عن طريق اختيار قيم f(x) ضمن نطاق معين وتكرارها خارج هذا النطاق بفواصل زمنية 2π. بما أن الدالة الجديدة دورية مع الفترة 2π، فيمكن توسيعها إلى سلسلة فورييه لجميع قيم x. على سبيل المثال، الدالة f(x)=x ليست دورية. ومع ذلك، إذا كان من الضروري توسيعها إلى سلسلة فورييه في الفترة من o إلى 2π، فسيتم إنشاء دالة دورية مع فترة 2π خارج هذه الفترة (كما هو موضح في الشكل أدناه).

بالنسبة للدوال غير الدورية مثل f(x)=x، فإن مجموع متسلسلة فورييه يساوي قيمة f(x) عند جميع النقاط في نطاق معين، ولكنه لا يساوي f(x) للنقاط خارج النطاق. للعثور على متسلسلة فورييه لدالة غير دورية في النطاق 2π، يتم استخدام نفس صيغة معاملات فورييه.

وظائف زوجية وغريبة.

يقولون الدالة y=f(x) حتى، إذا كانت f(-x)=f(x) لجميع قيم x. الرسوم البيانية للدوال الزوجية تكون دائمًا متناظرة حول المحور y (أي أنها صور معكوسة). مثالان للدوال الزوجية: y=x2 وy=cosx.

يقولون أن الدالة y=f(x) غريب،إذا كانت f(-x)=-f(x) لجميع قيم x. دائمًا ما تكون الرسوم البيانية للدوال الفردية متناظرة حول الأصل.

العديد من الوظائف ليست زوجية ولا فردية.

توسيع سلسلة فورييه في جيب التمام.

تحتوي سلسلة فورييه للدالة الدورية الزوجية f(x) مع الفترة 2π على مصطلحات جيب التمام فقط (أي لا توجد مصطلحات جيبية) وقد تتضمن مصطلحًا ثابتًا. لذلك،

أين هي معاملات سلسلة فورييه،

تحتوي سلسلة فورييه للدالة الدورية الفردية f(x) مع الفترة 2π على مصطلحات ذات جيب التمام فقط (أي أنها لا تحتوي على مصطلحات ذات جيب التمام).

لذلك،

أين هي معاملات سلسلة فورييه،

سلسلة فورييه في نصف دورة.

إذا تم تعريف دالة لنطاق، على سبيل المثال من 0 إلى π، وليس فقط من 0 إلى 2π، فيمكن توسيعها في سلسلة فقط في جيب التمام أو في جيب التمام فقط. تسمى سلسلة فورييه الناتجة بالقرب من فورييه في نصف دورة.

إذا كنت ترغب في الحصول على التحلل نصف دورة فورييه بواسطة جيب التماموظائف f(x) في النطاق من 0 إلى π، فمن الضروري إنشاء دالة دورية زوجية. في الشكل. فيما يلي الدالة f(x)=x، المبنية على الفاصل الزمني من x=0 إلى x=π. منذ حتى وظيفةمتناظرة حول المحور f(x)، ارسم الخط AB، كما هو موضح في الشكل. أقل. إذا افترضنا أنه خارج الفترة المدروسة تم الحصول عليها شكل مثلثدورية بفترة 2π، ثم يظهر الرسم البياني النهائي. في الشكل. أقل. وبما أننا نحتاج إلى الحصول على توسع فورييه في جيب التمام، كما كان من قبل، فإننا نحسب معاملات فورييه a o و n

إذا كنت بحاجة للحصول على توسيع جيب فورييه نصف دورةوظائف f(x) في النطاق من 0 إلى π، فمن الضروري إنشاء دالة دورية فردية. في الشكل. فيما يلي الدالة f(x)=x، المبنية على الفاصل الزمني من x=0 إلى x=π. وبما أن الدالة الفردية متناظرة حول نقطة الأصل، فإننا نبني السطر CD، كما هو موضح في الشكل. إذا افترضنا أنه خارج الفاصل الزمني المدروس، تكون إشارة سن المنشار الناتجة دورية بفترة 2π، فإن الرسم البياني النهائي له الشكل الموضح في الشكل. وبما أننا نحتاج إلى الحصول على تمديد فورييه لنصف الدورة من حيث الجيوب، كما كان من قبل، فإننا نحسب معامل فورييه. ب

سلسلة فورييه لفترة تعسفية.

توسيع الدالة الدورية بالفترة L.

وظيفة دوريةتتكرر f(x) مع زيادة x بمقدار L، أي. و(س+L)=و(خ). يعد الانتقال من الوظائف التي تم النظر فيها سابقًا بفترة 2π إلى وظائف ذات فترة L أمرًا بسيطًا للغاية، حيث يمكن إجراؤه باستخدام تغيير المتغير.

للعثور على متسلسلة فورييه للدالة f(x) في النطاق -L/2≤x≥L/2، نقدم متغيرًا جديدًا u بحيث تكون الدالة f(x) لها فترة 2π بالنسبة إلى u. إذا كانت u=2πx/L، فإن x=-L/2 لـ u=-π وx=L/2 لـ u=π. دع أيضًا f(x)=f(Lu/2π)=F(u). متسلسلة فورييه F(u) لها الشكل

(يمكن استبدال حدود التكامل بأي فترة طولها L مثلا من 0 إلى L)

سلسلة فورييه على نصف دورة للوظائف المحددة في الفاصل الزمني L≠2π.

بالنسبة للاستبدال u=πx/L، فإن الفاصل الزمني من x=0 إلى x=L يتوافق مع الفاصل الزمني من u=0 إلى u=π. وبالتالي، يمكن توسيع الوظيفة إلى سلسلة فقط في جيب التمام أو في الجيوب فقط، أي. V سلسلة فورييه في نصف دورة.

توسيع جيب التمام في النطاق من 0 إلى L له النموذج

بالقرب من فورييهالدالة f(x) على الفاصل الزمني (-π ; π) تسمى سلسلة مثلثية من النموذج:
، أين
.

سلسلة فورييه للدالة f(x) على الفترة (-l;l) هي سلسلة مثلثية من الشكل:
، أين
.

غاية. آلة حاسبة على الانترنتتم تصميمه لتوسيع الدالة f(x) إلى سلسلة فورييه.

بالنسبة لوظائف modulo (مثل |x|)، استخدم توسيع جيب التمام.

قواعد لإدخال الوظائف:

بالنسبة لوظائف modulo، استخدم توسيع جيب التمام. على سبيل المثال، لـ |x| فمن الضروري إدخال وظيفة بدون وحدة نمطية، أي. س.

متسلسلة فورييه متعددة القطع ومتواصلة ورتيبة متعددة القطع ومحدودة بالفاصل الزمني (- ل;ل) للدالة تتقارب على خط الأعداد بأكمله.

مجموع متسلسلة فورييه S(x) :

هي وظيفة دورية مع الفترة 2 ل. تسمى الدالة u(x) دورية مع الفترة T (أو T-دورية) إذا كانت لجميع x في المنطقة R، u(x+T)=u(x).
في الفاصل (- ل;ل) يتزامن مع الوظيفة و(س)، باستثناء نقاط التوقف
عند نقاط الانقطاع (من النوع الأول، حيث أن الدالة محدودة) للدالة و(س) وفي نهايات الفاصل الزمني يأخذ القيم المتوسطة:

.
يقولون أن الدالة تتوسع إلى متسلسلة فورييه على الفترة (- ل;ل):

لو و(س) هي وظيفة زوجية، وبالتالي فإن الوظائف الزوجية فقط هي التي تشارك في توسيعها، أي ب ن=0.
لو و(س) هي دالة فردية، وبالتالي فإن الدوال الفردية فقط هي التي تشارك في توسيعها، أي و ن=0

بالقرب من فورييه وظائف و(س) على الفاصل الزمني (0؛ ل) بواسطة جيب التمام من أقواس متعددة الصف يسمى:
، أين
.
بالقرب من فورييه وظائف و(س) على الفاصل الزمني (0؛ ل) على طول جيوب أقواس متعددة الصف يسمى:
، أين .
مجموع متسلسلة فورييه على جيب تمام الأقواس المتعددة هو دالة دورية زوجية ذات الفترة 2 ل، بالتزامن مع و(س) على الفاصل الزمني (0؛ ل) في نقاط الاستمرارية.
مجموع متسلسلة فورييه على جيوب الأقواس المتعددة هو دالة دورية فردية ذات دورتها 2 ل، بالتزامن مع و(س) على الفاصل الزمني (0؛ ل) في نقاط الاستمرارية.
تتمتع متسلسلة فورييه لدالة معينة في فترة زمنية معينة بخاصية التفرد، أي إذا تم الحصول على التوسيع بطريقة أخرى غير استخدام الصيغ، على سبيل المثال، عن طريق اختيار المعاملات، فإن هذه المعاملات تتطابق مع تلك المحسوبة من الصيغ .

المثال رقم 1. توسيع الوظيفة و(س)=1:
أ) في سلسلة فورييه كاملة على الفترة(-π ;π);
ب) في سلسلة على طول جيوب الأقواس المتعددة في الفاصل الزمني(0;π); ارسم متسلسلة فورييه الناتجة
حل:
أ) توسيع سلسلة فورييه على الفترة (-π;π) له الشكل:
,
وجميع المعاملات ب ن=0، لأن هذه الوظيفة متساوية؛ هكذا،

ومن الواضح أن المساواة ستكون راضية إذا قبلنا
أ 0 =2, أ 1 =أ 2 =أ 3 =…=0
ونظرًا لخاصية التفرد، فهذه هي المعاملات المطلوبة. وبالتالي فإن التحلل المطلوب: أو فقط 1=1.
في هذه الحالة، عندما تتطابق السلسلة بشكل مماثل مع دالتها، فإن الرسم البياني لسلسلة فورييه يتزامن مع الرسم البياني للدالة على خط الأعداد بأكمله.
ب) التمدد على الفترة (0;π) بدلالة جيب الأقواس المتعددة له الشكل:
من الواضح أنه من المستحيل اختيار المعاملات بحيث تكون المساواة متساوية. دعونا نستخدم الصيغة لحساب المعاملات:

وهكذا حتى ن (ن=2ك) لدينا ب ن=0، للفرد ( ن=2ك-1) -
أخيراً، .
دعونا نرسم متسلسلة فورييه الناتجة باستخدام خصائصها (انظر أعلاه).
أولًا، نرسم تمثيلًا بيانيًا لهذه الدالة على فترة زمنية معينة. بعد ذلك، وبالاستفادة من غرابة مجموع المتسلسلة، نواصل الرسم البياني بشكل متماثل مع نقطة الأصل:

نواصل بشكل دوري على طول خط الأعداد بأكمله:

وأخيرًا، عند نقاط الاستراحة، نقوم بملء القيم المتوسطة (بين الحدين الأيمن والأيسر):

المثال رقم 2. قم بتوسيع وظيفة على الفاصل الزمني (0؛6) على طول جيوب الأقواس المتعددة.
حل: التوسعة المطلوبة لها الشكل:

حيث أن الجانبين الأيمن والأيسر من المساواة يحتويان فقط وظائف الخطيئةمن وسائط مختلفة، يجب عليك التحقق مما إذا كانت، لأي قيم n (طبيعية!) ، حجج الجيب في اليسار و الأجزاء الصحيحةالمساواة:
أو منها ن = 18. وهذا يعني أن هذا الحد موجود على الجانب الأيمن ويجب أن يتطابق معامله مع المعامل على الجانب الأيسر: ب 18 =1;
أو منها n =4. وسائل، ب 4 =-5.
وهكذا، من خلال اختيار المعاملات كان من الممكن الحصول على التوسع المطلوب:

ميزانية الدولة الفيدرالية مؤسسة تعليمية التعليم العالي

"جامعة ولاية فولجا

الاتصالات والمعلوماتية"

قسم الرياضيات العليا

O.V.STAROZHILOVA

فصول خاصة بالرياضيات

البروتوكول رقم 45 بتاريخ 10 مارس 2017

ستاروزيلوفا، O.V.

ج- الفصول الخاصة بالرياضيات: كتاب مدرسي //Starozhilova O.V.. – سمارة: PGUTI، 2017. –221 ص.

درس تعليمييتطرق إلى فروع خاصة من الرياضيات: المنطق الرياضي ونظرية الأتمتة، والجبر المقترح، وحساب التفاضل والتكامل، وعناصر نظرية الخوارزميات، وتحليل الانحدار، وطرق التحسين.

لطلبة الجامعة والماجستير الدارسين في الإتجاه 09/03/02 " نظم وتقنيات المعلومات"، الذين يرغبون في دراسة فصول خاصة من الرياضيات بأنفسهم.

ينتهي كل قسم بأسئلة تحكم تساعد في التحقق من الإتقان النظري للدورة، ويحتوي على عدد كبير من المهام قرار مستقلوالأجوبة للتحقق.

يحتوي الدليل على مجمع مختبري وعدد من المشكلات الهندسية مع التركيز على تنفيذ البرامج لأساليب الرياضيات الحسابية.

ستاروزيلوفا أو في، 2017

الفصل الأول التحليل التوافقي 6

1.1 مشكلة سلسلة السبر 7

1.2 أنظمة الوظائف المتعامدة 8

1.3 سلسلة فورييه للنظام المثلثي للدوال 10

1.4 الشروط الكافيةتوسيع وظيفة في سلسلة فورييه 13

1.5 توسيع سلسلة فورييه للدالة غير الدورية 17

1.6 متسلسلة فورييه للدوال الزوجية والفردية 18

1.7 سلسلة فورييه للوظائف في أي فترة 21

1.8 تكامل فورييه 27

1.9 تكامل فورييه للدوال الزوجية والفردية 29

1.10 شكل معقدتكامل فورييه 30

1.11 تحويل فورييه 32

الفصل 2 المنطق الرياضي والرابع 33

2.1 مراحل تطور المنطق 34

2.2 المنطق المقترح 38

2.3 الروابط المنطقية 40

2.4 العمليات المنطقية 41

2.5 أبجدية حساب التفاضل والتكامل المقترح 42

2.6 الصيغ 42

2.7 قوانين المنطق الافتراضي 44

2.8 النظريات الرسمية. قابلية الفقس. التفسير 46

2.9 الطريقة البديهية 47

2.10 نظام بديهيات حساب التفاضل والتكامل المقترح (PS) 52

2.11 قواعد الاستنتاج 53

2.12 قواعد الاستدلال المشتق 56

2.13 بناء الاستنتاج في المنطق المقترح 62

2.14 العلاقة بين الجبر وحساب التفاضل والتكامل 66

أسئلة أمنية 69

الفصل 3 مشاكل تحليل الانحدار 70

3.1 الطريقة المربعات الصغرى 74

3.2 تحليل الانحدار الخطي 76

3.3 تقدير نموذج الانحدار 79

3.4 مشاكل في تطبيق طريقة الانحدار الخطي 83

3.5 متطلبات النموذج الإحصائي LR 85

3.6 مشاكل تحليل الانحدار 86

3.7 متعدد المتغيرات عادي نموذج الانحدار 90

3.8 تباين المتغير التابع 92

أسئلة الاختبار 94

الفصل الرابع الصياغة العامة وأنواع مشكلات اتخاذ القرار 95

4.1 الصياغة الرياضية لمشكلة التحسين 97

4.2 الحد الأدنى المحلي والعالمي TF 99

4.3 الطرق التحسين غير المشروط 102

4.4 طريقة النسب الإحداثية 102

4.5 طريقة روزنبروك 105

4.6 طريقة التكوين 105

4.7 طرق البحث العشوائية 108

4.8 طريقة نيوتن 112

الفصل 5 تحويل فورييه 114

5.1 تقريب وظيفة فورييه 114

5.2 تحويل فورييه 117

5.3 تحويل فورييه السريع 120

مجمع المختبرات 123

التحليل التوافقي والطيفي 123

الموضوع 1. "المنطق المقترح" 131

متغيرات المهام الفردية للموضوع LP 133

الموضوع 2. الانحدار الزوجي الخطي 140

العمل المختبري № 1 141

حساب معاملات معادلة LR 141

العمل المخبري رقم 2144

حساب معامل ارتباط العينة 144

العمل المخبري رقم 3145

حساب تقديرات الفروق المقترنة LR 145

العمل المخبري رقم 4147

وظائف Excel لمعاملات LR المقترنة 147

العمل المخبري رقم 5149

بناء تقدير الفاصل الزمني للدالة LR المقترنة 149

العمل المختبري رقم 6151

التحقق من أهمية معادلة LR باستخدام معيار فيشر 151

الموضوع 3 الانحدار الزوجي غير الخطي 153

العمل المختبري رقم 7153

بناء الانحدار غير الخطي باستخدام 153

إضافة أوامر خط الاتجاه 153

العمل المختبري رقم 8158

اختيار أفضل الانحدار غير الخطي 158

الموضوع 4. الخطي الانحدار المتعدد 161

العمل المختبري رقم 9162

حساب معاملات LMR 162

العمل المخبري رقم 10166

اختبار الأهمية في وضع الانحدار 166

الموضوع 5. الانحدار المتعدد غير الخطي 175

العمل المخبري رقم 11175

حساب دالة كوب دوغلاس 175

امتحان № 1 179

الانحدار المقترن 179

اختبار رقم 2181

جمع الانحدار الخطي 181

الطرق العددية للبحث عن الحد الأقصى غير المشروط 185

التحليل الرسومي للوظيفة 185

مشكلة البحث أحادية البعد187

خوارزمية سفين 190

طريقة القوة الغاشمة 193

طريقة البحث بالبت 195

طريقة الانقسام. 198

طريقة فيبوناتشي 201

طريقة النسبة الذهبية 205

طريقة النقطة الوسطى 210

طريقة نيوتن 214

الأدب 218

الفصل الأول التحليل التوافقي

تعريفالتحليل التوافقي-فرع من الرياضيات يرتبط بتحليل الاهتزازات إلى اهتزازات توافقية.

عند دراسة الظواهر الدورية (أي التكرار في الوقت المناسب)، فإننا نأخذ في الاعتبار وظائف دورية.

على سبيل المثال، يتم وصف التذبذب التوافقي من خلال دالة دورية للزمن ر:

Ø تعريفوظيفة دورية- دالة لا تتغير قيمتها عند استدعاء رقم معين غير الصفر فترةوظائف.

بما أن مجموع الفترتين والفرق بينهما هو مرة أخرى فترة، وبالتالي فإن أي مضاعف للفترة هو أيضًا فترة، فإن كل دالة دورية لها عدد لا نهائي من الفترات.

إذا كانت الدالة الدورية لها دورة حقيقية ومستمرة ومختلفة عن الثابت، فإن لها أصغر دورة موجبة ت; أي فترة حقيقية أخرى لنفس الدالة سيكون لها الشكل كيلو طن، أين ك =±1، ±2،....

مجموع وحاصل الضرب وحاصل الدوال الدورية في نفس الفترة هي دوال دورية لها نفس الفترة.

تلعب الوظائف الدورية دورًا مهمًا للغاية في نظرية التذبذبات وفي الفيزياء الرياضية بشكل عام. في سياق التحليل الرياضي، تعرفنا على مفهوم المتسلسلة الوظيفية، وعملنا على حالتها الخاصة المهمة - سلسلة السلطة. دعونا نفكر في أمر آخر مهم جدًا (بما في ذلك التطبيقات المادية) حالة خاصةسلسلة وظيفية - سلسلة مثلثية.

Ø تعريف النطاق الوظيفي –سلسلة من النموذج

حيث تعتمد الوظائف على متغير واحد أو عدة متغيرات.

ولكل قيمة ثابتة تتحول السلسلة الوظيفية إلى سلسلة رقمية

والتي قد تتقارب أو قد تتباعد.

Ø تعريف نقطة التقارب للسلسلة الوظيفية- النقطة التي تتقارب عندها المتسلسلة الوظيفية .

Ø تعريفتسمى مجموعة نقاط التقارب منطقة التقارب في السلسلة.

هل من الممكن هذه الوظيفةتمثل في شكل سلسلة مثلثية، أي. هل من الممكن العثور على المعاملات؟ نو ب نبحيث يكون هناك مساواة للجميع

من الواضح أن مجموع المتسلسلة هو دالة دورية. وهذا يعني أنه يمكن توسيع الدوال الدورية فقط إلى سلسلة مثلثية و.

ومن الواضح أيضًا أنه إذا تطابقت دالتان دوريتان في فترة طولها يساوي الدورة، فإنهما تتطابقان في كل مكان. لذلك، يكفي التحقق من فترة معينة من الطول، على سبيل المثال، .

1.1 مشكلة سلسلة السبر

بدأت دراسة المتسلسلة المثلثية من خلال مشكلة سلسلة السبر التي طرحت في القرن الثامن عشر.

بالنظر إلى دالة، هل من الممكن العثور على سلسلة مثلثية متقاربة ومجموعها الدالة. ولا بد من فرض قيود عليها حتى يمكن البحث عن متسلسلة مثلثية متقاربة إليها.

وكانت مهمة مماثلة ل سلسلة السلطة، إذا كانت قابلة للحل، فهذه المتسلسلة هي متسلسلة تايلور.

1.2 أنظمة الوظائف المتعامدة

بدأت الدراسة المنهجية للأنظمة المتعامدة للدوال فيما يتعلق بطريقة فورييه لحل مشاكل القيمة الحدودية لمعادلات الفيزياء الرياضية. إحدى المشاكل الرئيسية في نظرية الأنظمة المتعامدة للوظائف هي مشكلة تحلل الوظيفة و(س) في سلسلة من النموذج، حيث يوجد نظام متعامد من الوظائف.

Ø تعريفيتم استدعاء الوظائف متعامدعلى، إذا تم استيفاؤه:

س مثال , - الدالات متعامدة مع

س مثال on متعامد مع أي وظيفة محددة في.

Ø تعريفيسمى نظام لا حصر له من الوظائف متعامدعلى إذا

س مثاللا يشكل نظام الوظائف اللانهائي نظامًا متعامدًا للوظائف

س مثال -نظام الدوال المثلثيةيشكل نظام وظائف متعامد معه.

, , .

Ø تعريفدع النظام التعسفي للوظائف متعامد مع . صف

حيث تسمى المعاملات العددية التعسفية بجانب بعضها البعض وفقا لنظام متعامد من الوظائف.

Ø تعريفالمتسلسلة حسب النظام المثلثي للدوال

مُسَمًّى سلسلة مثلثية.

ü تعليقإذا كان مجموع متسلسلة مثلثية متقاربة عند كل نقطة، فهو دوري، حيث أن الدوال الدورية لها فترة، ففي المساواة لن يتغير شيء، وبالتالي الدوري.

ü تعليقإذا تم تقديمه على المقطع، ولكن ليس، فمن خلال تحويل أصل الإحداثيات يمكن اختزاله إلى الحالة المدروسة.

ü تعليقإذا لم تكن الدالة الدورية ذات الفترة، فسيتم توسيعها إلى سلسلة مثلثية

س نظريةإذا تقاربت سلسلة عددية، فهي سلسلة مثلثية

يتقارب بشكل مطلق وموحد على طول المحور بأكمله.

دليل

لذلك،

المتسلسلة - تتخصص في سلسلة مثلثية معينة، ووفقًا لاختبار Weierstrass، فإنها تتقارب بشكل منتظم.

التقارب المطلق واضح.

1.3 سلسلة فورييه لنظام الدوال المثلثية

جان بابتيست جوزيف فورييه 1768 – 1830 – عالم رياضيات فرنسي.

لحساب معاملات متسلسلة فورييه، نحسب التكاملات

, ,

س نظريةإذا كانت هناك مساواة بين الجميع

وتتقارب المتسلسلة المثلثية بشكل منتظم على كامل المحور ثم يتم تحديد معاملات هذه المتسلسلة

, ,

دليل

تتقارب المتسلسلة بشكل موحد على خط الأعداد بأكمله، حدودها دوال متصلة، فمجموعها مستمر أيضًا ويمكن تكامل المتسلسلة حدًا تلو الآخر ضمن

كل تكامل يساوي صفر، لأن نظام الدوال المثلثية متعامد مع ، وبعد ذلك

لإثبات ذلك، اضرب كلا الطرفين في

وهذا لن يعطل التقارب الموحد للسلسلة.

بسبب التقارب المنتظم للسلسلة

وهذا يعني التقارب المنتظم للمتسلسلة.

التكامل على , لدينا

بسبب التعامد للنظام المثلثي للوظائف

, ، ومن التكامل عند ,

، ذلك، الخ.

دعونا نتذكر ذلك

صحة هذه المساواة تأتي من تطبيق الصيغ المثلثية على التكامل.

تم إثبات الصيغة بطريقة مماثلة.

ü تعليقتظل النظرية صالحة على أي فترة، ويتم استبدال حدود التكامل بـ و على التوالي.

Ø تعريفالمتسلسلة المثلثية

التي يتم تحديد معاملاتها بواسطة الصيغ

, ,

مُسَمًّى بالقرب من فورييهللدالة، وتسمى المعاملات معاملات فورييه.

إذا كانت سلسلة فورييه من وظيفة و (خ)تتقارب عند جميع نقاط اتصالها فنقول أن الدالة يتم توسيع f(x) إلى سلسلة فورييه.

ü تعليقليست كل متسلسلة مثلثية هي متسلسلة فورييه، حتى لو كانت متقاربة على خط الأعداد بأكمله.

قد يكون مجموع المتسلسلة المتقاربة غير المنتظمة متقطعًا وغير قابل للتكامل، لذا فإن تحديد معاملات فورييه أمر مستحيل.

ü تعليقتعتبر سلسلة فورييه حالة خاصة من السلاسل الوظيفية.

1.4 الشروط الكافية لتوسيع دالة في سلسلة فورييه

Ø تعريفيتم استدعاء الدالة رتابة قطعة على الجزء،إذا كان من الممكن تقسيم هذا الجزء على عدد محدود من النقاط × 1 , × 2 , ..., × ن-1إلى فواصل ( أ,× 1), (× 1,× 2), ..., (xn-1,ب) بحيث تكون الدالة رتيبة في كل فترة من الفترات، أي أنها إما لا تزيد أو لا تنقص.

ü تعليقيترتب على التعريف أنه إذا كانت الدالة رتيبة ومحدودة بـ [ أ,ب]، فليس فيها إلا انقطاعات من النوع الأول.

Ø تعريفيتم استدعاء الدالة على نحو سلس، إذا كان هو ومشتقته في كل فترة محدودة يحتويان على الأكثر على عدد محدود من نقاط الانقطاع من النوع الأول.

س نظرية (شرط ديريشليتشرط كافٍ لتحلل دالة في سلسلة فورييه): إذا كانت دالة دورية ذات فترة تحقق أحد الشروط:

ثم تتقارب متسلسلة فورييه المبنية لهذه الوظيفة عند جميع النقاط

ويتقارب إلى العدد عند كل نقطة من انقطاعها.

مجموع السلسلة الناتجة يساوي قيمة الدالة عند نقاط استمرارية الدالة

الوظائف، وتفكيكها إلى مكونات. تعد التيارات والفولتية المتناوبة والإزاحات وسرعة وتسارع آليات الكرنك والموجات الصوتية أمثلة عملية نموذجية لاستخدام الوظائف الدورية في الحسابات الهندسية.

التدوين القياسي (= العادي) من خلال مجموع sinx وcosx

f(x)=a o + a 1 cosx+a 2 cos2x+a 3 cos3x+...+b 1 sinx+b 2 sin2x+b 3 sin3x+...,

حيث a o, a 1,a 2,...,b 1,b 2,.. هي ثوابت حقيقية، أي.

حيث، بالنسبة للمدى من -π إلى π، يتم حساب معاملات متسلسلة فورييه باستخدام الصيغ:

هناك طريقة أخرى لكتابة سلسلة وهي استخدام العلاقة acosx+bsinx=csin(x+α)

f(x)=أ o +c 1 خطيئة(x+α 1)+ج 2 خطيئة(2x+α 2)+...+c n خطيئة(nx+α n)

حيث a o ثابت، c 1 =(a 1 2 +b 1 2) 1/2، c n =(a n 2 +b n 2) 1/2 هي سعة المكونات المختلفة، ويساوي a n =arctg a n / ب ن.

سلسلة فورييه من الدوال غير الدورية ذات الفترة 2π.

توسيع الدوال غير الدورية إلى متسلسلة فورييه.

وظائف زوجية وغريبة.

العديد من الوظائف ليست زوجية ولا فردية.

توسيع سلسلة فورييه في جيب التمام.

أين هي معاملات سلسلة فورييه،

لذلك،

أين هي معاملات سلسلة فورييه،

سلسلة فورييه في نصف دورة.

إذا كنت ترغب في الحصول على التحلل نصف دورة فورييه بواسطة جيب التماموظائف f(x) في النطاق من 0 إلى π، فمن الضروري إنشاء دالة دورية زوجية. في الشكل. فيما يلي الدالة f(x)=x، المبنية على الفاصل الزمني من x=0 إلى x=π. بما أن الدالة الزوجية متناظرة حول المحور f(x)، فإننا نرسم الخط AB، كما هو موضح في الشكل. أقل. إذا افترضنا أنه خارج الفترة المدروسة، يكون الشكل الثلاثي الناتج دوريًا بفترة 2π، فإن الرسم البياني النهائي يبدو كما يلي: في الشكل. أقل. وبما أننا نحتاج إلى الحصول على توسع فورييه في جيب التمام، كما كان من قبل، فإننا نحسب معاملات فورييه a o و n

إذا كنت ترغب في الحصول على وظائف f(x) في النطاق من 0 إلى π، فأنت بحاجة إلى إنشاء دالة دورية فردية. في الشكل. فيما يلي الدالة f(x)=x، المبنية على الفاصل الزمني من x=0 إلى x=π. وبما أن الدالة الفردية متناظرة حول نقطة الأصل، فإننا نبني السطر CD، كما هو موضح في الشكل. إذا افترضنا أنه خارج الفاصل الزمني المدروس، تكون إشارة سن المنشار الناتجة دورية بفترة 2π، فإن الرسم البياني النهائي له الشكل الموضح في الشكل. وبما أننا نحتاج إلى الحصول على تمديد فورييه لنصف الدورة من حيث الجيوب، كما كان من قبل، فإننا نحسب معامل فورييه. ب

سلسلة فورييه لفترة تعسفية.

توسيع الدالة الدورية بالفترة L.

تتكرر الدالة الدورية f(x) مع زيادة x بمقدار L، أي. و(س+L)=و(خ). يعد الانتقال من الوظائف التي تم النظر فيها سابقًا بفترة 2π إلى وظائف ذات فترة L أمرًا بسيطًا للغاية، حيث يمكن إجراؤه باستخدام تغيير المتغير.

أين معاملات متسلسلة فورييه؟

ومع ذلك، في أغلب الأحيان تؤدي الصيغة المذكورة أعلاه إلى الاعتماد على x. بما أن u=2πx/L، فهذا يعني du=(2π/L)dx، وحدود التكامل هي من -L/2 إلى L/2 بدلاً من - π إلى π. وبالتالي، فإن متسلسلة فورييه للاعتماد على x لها الشكل

حيث في النطاق من -L/2 إلى L/2 توجد معاملات متسلسلة فورييه،