الاستنتاجات في المنطق. المنطق الاستنتاجي

النوع المنطقي قيم النوع المنطقي تشغل 1 بايت وتأخذ إحدى القيمتين المحددتين بواسطة الثوابت المحددة مسبقًا True (true) وFalse (false).يتم تعريف الطرق الثابتة للنوع المنطقي: boolean.Parse(s) - دالة تقوم بتحويل سلسلة

26. التحليل المنطقي

26. التحليل المنطقي حافلة الموقع موقع الحافلة. هذا المكان هو وقت الظهيرة.تقريبًا.حوالي الظهر. حان الوقت، الركاب، الشجار، شجار الركاب. هذا هو العمل، أيها الشاب، القبعة. رقبة طويلة نحيفة، شاب يرتدي قبعة مع جديلة مضفرة حولها. هذا

طريقة منطقية

الجزء الأول. الاستدلال الاستنتاجي والمعقول

الفصل 1. موضوع ومهام المنطق

1.1. المنطق كعلم

يعتبر المنطق من أقدم العلوم، وقد ظهرت أولى تعاليمه حول أشكال وأساليب الاستدلال في الحضارات الشرق القديم(الصين والهند). دخلت مبادئ وأساليب المنطق إلى الثقافة الغربية بشكل رئيسي من خلال جهود الإغريق القدماء. متطور الحياة السياسيةفي دول المدن اليونانية، صراع الأحزاب المختلفة من أجل التأثير على جماهير المواطنين الأحرار، والرغبة في حل الملكية والصراعات الأخرى التي نشأت من خلال المحاكم - كل هذا يتطلب القدرة على إقناع الناس، والدفاع عن موقفهم في مختلف المنتديات الشعبية في المؤسسات الحكومية، جلسات المحكمة، الخ.

إن فن الإقناع والجدال ومهارة الدفاع بشكل معقول عن الرأي والاعتراض على الخصم أثناء الجدال والجدل تمت زراعته في إطار البلاغة القديمة، مع التركيز على تحسين الخطابة والإريستيكس، وهو تعليم خاص حول الحجة. لقد بذل معلمو البلاغة الأوائل الكثير في نشر وتطوير المعرفة حول مهارة الإقناع وأساليب الجدال وبناء الخطاب العام، والتحول انتباه خاصفي جوانبها وسماتها العاطفية والنفسية والأخلاقية والخطابية. ومع ذلك، في وقت لاحق، عندما بدأ السفسطائيون يترأسون مدارس البلاغة، سعوا إلى تعليم طلابهم عدم البحث عن الحقيقة من خلال الحجة، بل الفوز، للفوز في مسابقة لفظية بأي ثمن. ولهذه الأغراض، تم استخدام الأخطاء المنطقية المتعمدة على نطاق واسع، والتي أصبحت تعرف فيما بعد باسم سفسطة،وكذلك الحيل والتقنيات النفسية المختلفة لتشتيت انتباه الخصم والاقتراح وتحويل النزاع من الموضوع الرئيسي إلى قضايا ثانوية وما إلى ذلك.

عارض الفلاسفة القدماء العظماء سقراط وأفلاطون وأرسطو بحزم هذا الاتجاه في البلاغة، الذين اعتبروا أن الوسيلة الرئيسية للإقناع هي صحة الأحكام الواردة في الخطاب الخطابي، وارتباطها الصحيح بعملية التفكير، أي. - استنتاج بعض الأحكام من الآخرين. كان من أجل تحليل المنطق أن أنشأ أرسطو (القرن الرابع قبل الميلاد) أول نظام للمنطق يسمى القياس المنطقي.إنه أبسط أشكال الاستدلال الاستنتاجي ولكنه في نفس الوقت الأكثر استخدامًا، حيث يتم الحصول على الاستنتاج (الاستنتاج) من المقدمات وفقًا لقواعد الاستدلال المنطقي. لاحظ أن المصطلح المستقطعمترجمة من الوسائل اللاتينية خاتمة.

لتوضيح ذلك، دعونا ننتقل إلى القياس المنطقي القديم:

كل الناس بشر.

كاي إنسان.____________

لذلك، كاي مميت.

هنا، كما هو الحال في القياسات المنطقية الأخرى، يتم الاستدلال من المعرفة العامة حول فئة معينة من الأشياء والظواهر إلى المعرفة الخاصة والفردية. دعونا نؤكد على الفور أنه في حالات أخرى يمكن إجراء الاستنباط من خاص إلى خاص أو من عام إلى عام.

الشيء الرئيسي الذي يوحد جميع الاستدلالات الاستنتاجية هو أن الاستنتاج يأتي من المقدمات وفقًا لقواعد الاستدلال المنطقية وله طابع موضوعي موثوق. بمعنى آخر، لا يعتمد الاستنتاج على إرادة ورغبات وتفضيلات الموضوع المنطقي. إذا قبلت مقدمات مثل هذا الاستنتاج، فيجب عليك قبول استنتاجه.

وكثيرًا ما يُذكر أيضًا أن السمة المميزة للاستدلالات الاستنتاجية هي الطبيعة الضرورية منطقيًا للاستنتاج، وحقيقته الموثوقة. بمعنى آخر، في مثل هذه الاستدلالات، يتم نقل القيمة الحقيقية للمقدمات بالكامل إلى النتيجة. ولهذا السبب يتمتع المنطق الاستنتاجي بأكبر قوة إقناع ويستخدم على نطاق واسع ليس فقط لإثبات النظريات في الرياضيات، ولكن أيضًا عندما تكون هناك حاجة إلى استنتاجات موثوقة.

في كثير من الأحيان في الكتب المدرسية المنطقعازم كعلم حول قوانين التفكير الصحيح أو مبادئ وأساليب الاستنتاجات الصحيحة.ومع ذلك، نظرًا لأنه لا يزال من غير الواضح ما هو نوع التفكير الذي يعتبر صحيحًا، فإن الجزء الأول من التعريف يحتوي على حشو خفي، حيث يُفترض ضمنيًا أن هذا الصواب يتحقق من خلال مراعاة قواعد المنطق. في الجزء الثاني، يتم تعريف موضوع المنطق بشكل أكثر دقة، لأن المهمة الرئيسية للمنطق تقتصر على تحليل الاستدلالات، أي. التعرف على طرق الحصول على بعض الأحكام من الآخرين. ومن السهل أن نلاحظ أنهم عندما يتحدثون عن الاستدلالات الصحيحة، فإنهم يقصدون ضمنا أو حتى صراحة المنطق الاستنتاجي. يوجد فيه بالتحديد قواعد محددة تمامًا للاستخلاص المنطقي للاستنتاجات من المقدمات، والتي سنتعرف عليها بمزيد من التفصيل لاحقًا. غالبًا ما يتم تعريف المنطق الاستنتاجي أيضًا بالمنطق الرسمي على أساس أن الأخير يدرس أشكال الاستدلالات بشكل تجريدي من المحتوى المحدد للأحكام. ومع ذلك، فإن هذا الرأي لا يأخذ في الاعتبار الأساليب وأشكال الاستدلال الأخرى المستخدمة على نطاق واسع في العلوم التجريبية التي تدرس الطبيعة، وفي العلوم الاجتماعية والاقتصادية والإنسانية، بناءً على حقائق ونتائج الحياة الاجتماعية. وفي الممارسة اليومية، غالبًا ما نقوم بإصدار تعميمات ووضع افتراضات بناءً على ملاحظات لحالات معينة.

يسمى هذا النوع من الاستدلال، الذي يتم من خلاله، على أساس البحث والتحقق من أي حالات معينة، التوصل إلى نتيجة حول حالات غير مدروسة أو حول جميع ظواهر الطبقة ككل، استقرائية.شرط تعريفيوسائل إرشادويعبر بشكل جيد عن جوهر هذا المنطق. يدرسون عادة خصائص وعلاقات عدد معين من أعضاء فئة معينة من الأشياء والظواهر. يتم بعد ذلك نقل الخاصية أو العلاقة العامة الناتجة إلى أعضاء غير مستكشفين أو إلى الفصل بأكمله. من الواضح أن مثل هذا الاستنتاج لا يمكن اعتباره صحيحًا بشكل موثوق، لأنه من بين أعضاء الفصل غير المستكشفين، وخاصة الفصل ككل، قد يكون هناك أعضاء لا يمتلكون الملكية المشتركة المفترضة. لذلك، فإن استنتاجات الاستقراء ليست موثوقة، ولكنها احتمالية فقط. في كثير من الأحيان تسمى هذه الاستنتاجات أيضًا معقولة أو افتراضية أو تخمينية، لأنها لا تضمن تحقيق الحقيقة، ولكنها تشير إليها فقط. يملكون إرشادي(البحث) وليس موثوقًا بطبيعته، مما يساعد على البحث عن الحقيقة بدلًا من إثباتها. إلى جانب الاستدلال الاستقرائي، يتضمن هذا أيضًا الاستنتاجات عن طريق القياس والتعميمات الإحصائية.

سمة مميزةمن هذا الاستدلال غير الاستنتاجي هو أن الاستنتاج فيها لا يتبع منطقيا، أي. وفقا لقواعد الخصم من المباني. تؤكد المقدمات الاستنتاج بدرجة أو بأخرى فقط، وتجعله أكثر أو أقل احتمالا أو معقولية، ولكنها لا تضمن صحتها الموثوقة. على هذا الأساس، يتم في بعض الأحيان التقليل من أهمية الاستدلال الاحتمالي، واعتباره ثانويًا، ومساعدًا، وحتى مستبعدًا من المنطق.

هذا الموقف تجاه المنطق غير الاستنتاجي، وعلى وجه الخصوص، الاستقرائي يفسر بشكل رئيسي بالأسباب التالية:

أولاً، وهذا هو الشيء الرئيسي، الطبيعة الإشكالية والاحتمالية للاستنتاجات الاستقرائية وما يرتبط بها من اعتماد النتائج على البيانات المتاحة، وعدم الانفصال عن المقدمات، وعدم اكتمال الاستنتاجات. ففي نهاية المطاف، مع توفر بيانات جديدة، تتغير احتمالات التوصل إلى مثل هذه الاستنتاجات أيضا.

ثانياً: وجود جوانب ذاتية في تقييم العلاقة المنطقية الاحتمالية بين المقدمات وخاتمة الحجة. قد تبدو هذه المقدمات، مثل الحقائق والأدلة، مقنعة لشخص ما، ولكن ليس لشخص آخر. يعتقد أحدهم أنهم يؤيدون الاستنتاج بقوة، والآخر له رأي مخالف. مثل هذه الخلافات لا تنشأ في الاستدلال الاستنتاجي.

ثالثا، هذا الموقف تجاه الاستقراء يفسر أيضا بالظروف التاريخية. عندما نشأ المنطق الاستقرائي لأول مرة، يعتقد منشئوه، ولا سيما F. Bacon، أنه بمساعدة شرائعه، أو قواعده، من الممكن اكتشاف حقائق جديدة في العلوم التجريبية بطريقة ميكانيكية بحتة تقريبا. "إن طريقنا في اكتشاف العلوم،" كتب، "لا يترك سوى القليل من حدة الموهبة وقوتها، ولكنه يساويها تقريبًا. تمامًا كما هو الحال في رسم خط مستقيم أو وصف دائرة مثالية، فإن الحزم والمهارة واختبار اليد يعني "كثيرًا، إذا عملت بيدك فقط، فهذا يعني القليل أو لا يعني شيئًا على الإطلاق إذا استخدمت البوصلة والمسطرة. وهذا هو الحال في طريقتنا." تكلم لغة حديثةاعتبر مبدعو المنطق الاستقرائي شرائعهم بمثابة خوارزميات اكتشاف. مع تطور العلم، أصبح من الواضح أكثر فأكثر أنه بمساعدة مثل هذه القواعد (أو الخوارزميات) من الممكن اكتشاف أبسط الروابط التجريبية بين الظواهر المرصودة تجريبياً والكميات التي تميزها. الافتتاح اتصالات معقدةوالقوانين النظرية العميقة تتطلب استخدام جميع الوسائل والأساليب التجريبية و البحث النظري, الحد الأقصى للتطبيقالقدرات العقلية والفكرية للعلماء وخبرتهم وحدسهم ومواهبهم. وهذا لا يمكن إلا أن يؤدي إلى موقف سلبي تجاه النهج الميكانيكي للاكتشاف، والذي كان موجودا سابقا في المنطق الاستقرائي.

رابعا، توسع أشكال الاستدلال الاستنتاجي، وظهور المنطق العلائقي، وعلى وجه الخصوص، تطبيقه الأساليب الرياضيةلتحليل الاستنباط، والذي بلغ ذروته في خلق المنطق الرمزي (أو الرياضي)، والذي ساهم إلى حد كبير في تقدم المنطق الاستنباطي.

كل هذا يوضح سبب تفضيلهم في كثير من الأحيان تعريف المنطق على أنه علم طرق وقواعد وقوانين الاستدلالات الاستنباطية أو على أنه نظرية الاستدلال المنطقي. ولكن يجب ألا ننسى أن الاستقراء والقياس والإحصاء هي كذلك بطرق مهمةالبحث الإرشادي عن الحقيقة، وبالتالي فهي بمثابة طرق عقلانية للتفكير. بعد كل شيء، يمكن إجراء البحث عن الحقيقة بشكل عشوائي، من خلال التجربة والخطأ، ولكن هذه الطريقة غير فعالة للغاية، على الرغم من استخدامها في بعض الأحيان. نادرًا ما يلجأ العلم إليه، لأنه يركز على بحث منظم وهادف ومنهجي.

ويجب أيضًا أن يؤخذ في الاعتبار أن الحقائق العامة (القوانين التجريبية والنظرية والمبادئ والفرضيات والتعميمات) التي تستخدم كمقدمات للاستنتاجات الاستنباطية، لا يمكن إثباتها استنتاجيًا. لكن قد يتم الاعتراض على أنها لا تنفتح استقرائيًا. ومع ذلك، نظرًا لأن الاستدلال الاستقرائي يركز على البحث عن الحقيقة، فقد تبين أنه وسيلة بحث إرشادية أكثر فائدة. وبطبيعة الحال، في سياق اختبار الافتراضات والفرضيات، يتم استخدام الاستنتاج أيضا، على وجه الخصوص لاستخلاص العواقب منها. لذلك، لا يمكن أن يتعارض الاستنباط مع الاستقراء، لأنه في العملية الحقيقية للمعرفة العلمية، فإنهما يفترضان ويكملان بعضهما البعض.

لذلك يمكن تعريف المنطق بأنه علم طرق الاستدلال العقلي، الذي يشمل كلا من تحليل قواعد الاستنباط (استخلاص الاستنتاجات من المقدمات) ودراسة درجة تأكيد الاستنتاجات الاحتمالية أو المعقولة (الفرضيات، التعميمات، الافتراضات) ، إلخ.).

المنطق التقليدي، الذي تم تشكيله على أساس التعاليم المنطقية لأرسطو، تم استكماله لاحقًا بطرق المنطق الاستقرائي التي صاغها ف. بيكون ونظمها ج.س. ميليم. وهذا هو المنطق الذي تم تدريسه لفترة طويلة في المدارس والجامعات تحت اسم منطق رسمي.

ظهور المنطق الرياضيلقد غير بشكل جذري العلاقة بين المنطق الاستنتاجي وغير الاستنتاجي الذي كان موجودًا في المنطق التقليدي. تم إجراء هذا التغيير لصالح الخصم. بفضل الترميز واستخدام الأساليب الرياضية، اكتسب المنطق الاستنتاجي نفسه طابعًا رسميًا صارمًا. في الواقع، من المشروع تماما النظر في مثل هذا المنطق نموذج رياضيالمنطق الاستنتاجي. لذلك، غالبا ما يعتبر مرحلة حديثة في تطور المنطق الصوري، لكنهم ينسون أن يضيفوا أننا نتحدث عن المنطق الاستنباطي.

غالبًا ما يقال أيضًا أن المنطق الرياضي يقلل من عملية التفكير في بناء أنظمة مختلفة للحسابات وبالتالي يستبدل عملية التفكير الطبيعية بالحسابات. ومع ذلك، يرتبط النموذج دائمًا بالتبسيط، لذلك لا يمكن أن يحل محل النموذج الأصلي. في الواقع، يركز المنطق الرياضي في المقام الأول على البراهين الرياضيةوبالتالي، فهو يستخلص من طبيعة المقدمات (أو الحجج)، وصلاحيتها ومقبوليتها. إنها تعتبر أن هذه المقدمات معطاة أو مثبتة مسبقًا.

وفي الوقت نفسه، في عملية التفكير الحقيقية، في الحجة والمناقشة والجدل، يكتسب تحليل وتقييم المباني أهمية خاصة. مهم. في سياق المناقشة، عليك طرح أطروحات وبيانات معينة، والعثور على حجج مقنعة للدفاع عنها، وتصحيحها واستكمالها، وتقديم الحجج المضادة، وما إلى ذلك. هنا علينا أن ننتقل إلى أساليب الاستدلال غير الرسمية وغير الاستنتاجية، ولا سيما التعميم الاستقرائي للحقائق، والاستنتاجات عن طريق القياس، والتحليل الإحصائي، وما إلى ذلك.

بالنظر إلى المنطق باعتباره علم الأساليب العقلانية للتفكير، يجب ألا ننسى أشكال التفكير الأخرى - المفاهيم والأحكام التي يبدأ بها أي كتاب منطقي. لكن الأحكام، وخاصة المفاهيم، تلعب دورا مساعدا في المنطق. وبمساعدتهم يتم بناء بنية الاستدلالات وربط الأحكام فيها أنواع مختلفةمنطق. يتم تضمين المفاهيم في هيكل أي حكم في شكل موضوع، أي موضوع الفكر، والمسند - كعلامة تميز الموضوع، أي تأكيد وجود أو عدم وجود خاصية معينة في موضوع الفكر . في عرضنا التقديمي، نلتزم بالتقليد المقبول عمومًا ونبدأ المناقشة بتحليل المفاهيم والأحكام، ثم نغطي بمزيد من التفصيل طرق الاستدلال الاستنتاجية وغير الاستنتاجية. الفصل الذي يتم فيه تحليل المقترحات يفحص عناصر حساب التفاضل والتكامل، والتي عادة ما تكون نقطة البداية لأي دورة في المنطق الرياضي.

يتم تناول عناصر المنطق المسند في الفصل التالي، حيث تعتبر نظرية القياس المنطقي القاطع حالة خاصة. الأشكال الحديثةمن الواضح أنه لا يمكن فهم الاستدلال غير الاستنتاجي دون تمييز واضح بين التفسير المنطقي والإحصائي للاحتمال، حيث أن تحت احتمالاوما يُشار إليه غالبًا هو تفسيرها الإحصائي على وجه التحديد، والذي له معنى مساعد في المنطق. وفي هذا الصدد، في الفصل الخاص بالاستدلال الاحتمالي، نركز بشكل خاص على توضيح الفرق بين التفسيرين للاحتمالية ونشرح بمزيد من التفصيل ميزات الاحتمال المنطقي.

وهكذا فإن طبيعة العرض في الكتاب برمتها توجه القارئ إلى حقيقة أن الاستنتاج والاستقراء والاعتمادية والاحتمالية، وحركة الفكر من العام إلى الخاص ومن الخاص إلى العام لا تستبعد، بل تكمل. بعضهم البعض في عملية عامةيهدف التفكير العقلاني إلى إيجاد الحقيقة وإثباتها.

يتم الكشف عن خصائص المفاهيم الأساسية في البديهيات- تقبل المقترحات بدون إثبات.

على سبيل المثال، في الهندسة المدرسية هناك بديهيات: "من خلال أي نقطتين يمكنك رسم خط مستقيم ونقطة واحدة فقط" أو "الخط المستقيم يقسم المستوى إلى نصفين".

نظام البديهيات لأي نظرية رياضية، يكشف عن خصائص المفاهيم الأساسية، ويعطي تعريفاتها. تسمى هذه التعريفات بديهي.

تسمى خصائص المفاهيم المراد إثباتها النظريات, عواقب، العلامات والصيغ والقواعد.

اثبات النظرية أفي- وهذا يعني أن يتم تحديده بطريقة منطقية عندما يتم استيفاء العقار أسيتم تنفيذ العقار في.

دليلفي الرياضيات يطلقون على تسلسل محدود من افتراضات نظرية معينة، كل منها إما أن تكون بديهية أو يتم استنتاجها من واحد أو أكثر من افتراضات هذا التسلسل وفقا لقواعد الاستدلال المنطقي.

أساس البرهان هو الاستدلال - عملية منطقيةونتيجة لذلك يتم الحصول على جملة تحتوي على معرفة جديدة من جملة أو أكثر مترابطة في المعنى.

على سبيل المثال، فكر في منطق تلميذ المدرسة الذي يحتاج إلى إنشاء علاقة "أقل من" بين الرقمين 7 و 8. يقول الطالب: "7< 8, потому что при счете 7 называют раньше, чем 8».

دعونا نتعرف على الحقائق التي يستند إليها الاستنتاج الذي تم الحصول عليه في هذه الحجة.

هناك حقيقتان من هذا القبيل: الأولى: إذا كان العدد أعند العد، يتم استدعاء الأرقام من قبل ب، الذي - التي أ< ب. ثانياً: يتم استدعاء الرقم 7 قبل الرقم 8 عند العد.

الجملة الأولى هي الطابع العاملأنه يحتوي على محدد كمي عام - ويسمى فرضية عامة. الجملة الثانية تتعلق بالأرقام المحددة 7 و 8 - وتسمى فرضية خاصة. تم الاستلام من طردين حقيقة جديدة: 7 < 8, его называют заключением.

هناك علاقة معينة بين المقدمات والنتيجة، والتي بفضلها تشكل حجة.

تسمى الحجة التي توجد فيها علاقة ضمنية بين المقدمات والنتيجة استنتاجي.

في المنطق، بدلا من مصطلح "الاستدلال"، يتم استخدام كلمة "الاستدلال" في كثير من الأحيان.

الإستنباط- هذه طريقة للحصول على معرفة جديدة بناءً على بعض المعرفة الموجودة.

يتكون الاستدلال من مقدمات وخاتمة.

الطرود- تحتوي على المعرفة الأولية.

خاتمة- هذا بيان يحتوي على معرفة جديدة تم الحصول عليها من المعرفة الأصلية.

كقاعدة عامة، يتم فصل الاستنتاج عن المبنى باستخدام عبارة "وبالتالي"، "الوسائل". الاستدلال مع المباني ر 1، ر 2، ...، صوالاستنتاج رسنكتبها على الشكل: أو (ر 1، ر 2، …، ع) ر.

أمثلة الاستدلالات: أ) العدد أ =ب.رقم ب = ج. وبالتالي فإن العدد أ = ج.

ب) إذا كان بسط الكسر أقل من مقامه، فإن الكسر صحيح. في جزء البسط أقل من المقام (5<6) . ولذلك الكسر - صحيح.

ج) إذا هطل المطر فهناك غيوم في السماء. هناك غيوم في السماء، لذلك فهي تمطر.

الاستنتاجات يمكن أن تكون صحيحة أو غير صحيحة.

يسمى الاستدلال صحيحإذا كانت الصيغة المقابلة لبنيتها والتي تمثل مجموعة من المباني، المرتبطة بالنتيجة بواسطة علامة ضمنية، صحيحة تمامًا.

من أجل هذا لتحديد ما إذا كان الاستنتاج صحيحًا، استكمل كما يلي:

1) إضفاء الطابع الرسمي على جميع المباني والاستنتاج؛

2) اكتب صيغة تمثل اقتران المباني المرتبطة بعلامة ضمنية مع الاستنتاج؛

3) قم بإعداد جدول الحقيقة لهذه الصيغة؛

4) إذا كانت الصيغة صحيحة، فإن الاستنتاج صحيح، وإذا لم يكن كذلك، فإن الاستنتاج غير صحيح.

في المنطق، يعتقد أن صحة الاستنتاج يتم تحديده من خلال شكله ولا يعتمد على المحتوى المحدد للبيانات الواردة فيه. وفي المنطق، يتم اقتراح القواعد، وبعد ذلك يمكنك بناء استنتاجات استنتاجية. تسمى هذه القواعد قواعد الاستدلالأو أنماط التفكير الاستنتاجي.

هناك العديد من القواعد، ولكن الأكثر شيوعا هي ما يلي:

1. - قاعدة الاستنتاج؛

2. - حكم النفي؛

3. - حكم القياس المنطقي.

هيا نعطي مثال الاستنتاجات التي تم الحصول عليها منقاعدة الاستنتاجات:"إذا كان تسجيل رقم Xينتهي برقم 5, هذا الرقم Xمقسمة على 15. كتابة رقم 135 ينتهي برقم 5 . وبالتالي فإن العدد 135 مقسمة على 5 ».

الفرضية العامة في هذا الاستنتاج هي عبارة "إذا". أوه)،الذي - التي ب(خ)"، أين أوه)- هذا هو "سجل الرقم" Xينتهي برقم 5 "، أ ب(خ)- "رقم Xمقسمة على 5 " الفرضية الخاصة هي عبارة يتم الحصول عليها من شرط الفرضية العامة عندما
س = 135(أولئك. أ(135)). الاستنتاج هو بيان مشتق من ب(خ)في س = 135(أولئك. الخامس(135)).

هيا نعطي مثال على الاستنتاج الذي تم وفقا للقاعدة السلبيات:"إذا كان تسجيل رقم Xينتهي برقم 5, هذا الرقم Xمقسمة على 5 . رقم 177 لا يقبل القسمة على 5 . لذلك لا ينتهي برقم 5 ».

ونرى أن في هذا الاستنتاج الفرضية العامة هي نفسها التي في الفرضية السابقة، والخاصة هي نفي عبارة "العدد" 177 مقسمة على 5 "(أي.). والخاتمة هي نفي جملة "كتابة رقم". 177 ينتهي برقم 5 "(أي.).

وأخيرا، دعونا نفكر مثال على الاستدلال على حكم القياس المنطقي: "إذا كان الرقم Xعديد 12, فهو متعدد 6. إذا كان الرقم Xعديد 6 ، فهو متعدد 3 . ولذلك، إذا كان العدد Xعديد 12, فهو متعدد 3 ».

وهذا الاستنتاج له مقدمتان: "إذا". أوه)،الذي - التي ب(خ)" و إذا ب(خ)،الذي - التي ج(خ)"، حيث A(x) هو "الرقم Xعديد 12 », ب(خ)- "رقم Xعديد 6 " و ج(خ)- "رقم Xعديد 3 " الاستنتاج هو عبارة "إذا". أوه)،الذي - التي ج(خ)».

دعونا نتحقق مما إذا كانت الاستنتاجات التالية صحيحة:

1) إذا كان الشكل الرباعي معيناً فإن أقطاره متعامدة. اي بي سيد- المعين ولذلك فإن قطريه متعامدان بشكل متبادل.

2) إذا كان العدد يقبل القسمة على 4 ، ثم يتم تقسيمها على 2 . رقم 22 مقسمة على 2 . ولذلك، يتم تقسيمها إلى 4.

3) جميع الأشجار نباتات. الصنوبر شجرة. وهذا يعني أن الصنوبر نبات.

4) ذهب جميع الطلاب في هذا الفصل إلى المسرح. بيتيا لم تكن في المسرح. لذلك، بيتيا ليس طالبا في هذا الفصل.

5) إذا كان بسط الكسر أقل من مقامه فإن الكسر صحيح. إذا كان الكسر صحيحًا، فهو أقل من 1. وبالتالي، إذا كان بسط الكسر أقل من مقامه، فإن الكسر أقل من 1.

حل: 1) لحل مسألة صحة الاستدلال دعونا نتعرف على صيغته المنطقية. دعونا نقدم التدوين التالي: ج(خ)- "رباعي" X- المعين"، ب(خ)- "في رباعي الزوايا Xالأقطار متعامدة بشكل متبادل." ثم يمكن كتابة الفرضية الأولى على النحو التالي:
ج(خ) ب(خ)،ثانية - ج(أ)،والاستنتاج ب(أ).

وبالتالي فإن صيغة هذا الاستدلال هي: . يتم بناؤه وفقا لقاعدة الاستنتاج. ولذلك فإن هذا المنطق صحيح.

2) دعونا نقدم الترميز: أوه)- "رقم Xمقسمة على 4 », ب(خ)- "رقم Xمقسمة على 2 " ثم نكتب الفرضية الأولى: أوه)ب(خ)،ثانية ب(أ)،والخلاصة هي أ(أ).الاستنتاج سوف يأخذ الشكل: .

لا يوجد مثل هذا الشكل المنطقي بين تلك المعروفة. ومن السهل أن نرى أن كلا المقدمتين صحيحتان والنتيجة خاطئة.

وهذا يعني أن هذا المنطق غير صحيح.

3) دعونا نقدم بعض التدوين. يترك أوه)- "لو Xشجرة"، ب(خ) - « Xنبات". ثم سوف تأخذ الطرود الشكل: أوه)ب(خ)، أ(أ)،والاستنتاج ب(أ).استنتاجنا مبني على الشكل: - قواعد الاستنتاج.

وهذا يعني أن تفكيرنا منظم بشكل صحيح.

4) دع أوه) - « X- طلاب صفنا، ب(خ)- "طلاب Xذهبت إلى المسرح." وبعد ذلك ستكون الطرود على النحو التالي: أوه)ب(خ)،، والاستنتاج.

وهذا الاستنتاج مبني على قاعدة النفي:

- يعني أنه صحيح.

5) دعونا نحدد الشكل المنطقي للاستدلال. يترك فأس) -" بسط الكسر Xأقل من المقام." ب(خ) - "الكسر X- صحيح." ج(خ)- "جزء" Xأقل 1 " بعد ذلك سوف تأخذ الطرود الشكل: أوه)ب(خ)، ب(خ) ج(خ)،والاستنتاج أوه)ج(خ).

سيكون استنتاجنا بالشكل المنطقي التالي: - حكم القياس المنطقي.

وهذا يعني أن هذا الاستنتاج صحيح.

في المنطق، يتم النظر في طرق مختلفة للتحقق من صحة الاستدلالات، بما في ذلك تحليل صحة الاستدلالات باستخدام دوائر أويلر.يتم تنفيذه على النحو التالي: يتم كتابة الاستنتاج بلغة نظرية المجموعة؛ تصوير المباني في دوائر أويلر، مع الأخذ في الاعتبار أنها صحيحة؛ إنهم يتطلعون لمعرفة ما إذا كان الاستنتاج صحيحًا دائمًا. إذا كانت الإجابة بنعم، فإنهم يقولون إن الاستدلال تم إنشاؤه بشكل صحيح. وإذا أمكن رسم يتبين منه أن الاستنتاج باطل، فإنهم يقولون إن الاستنتاج غير صحيح.

الجدول 9

دعونا نبين أن الاستدلال الذي يتم وفقا لقاعدة الاستدلال هو استنتاجي. أولاً، دعونا نكتب هذه القاعدة بلغة نظرية المجموعات.

طَرد أوه)ب(خ)يمكن كتابتها كما تاتلفزيون، أين تاو تلفزيون- مجموعات الحقيقة من الأشكال المقترحة أوه)و ب(خ).

طرد خاص أ(أ)يعني أن أتا،والاستنتاج ب(أ)يدل على أن أتلفزيون.

سيتم كتابة الاستدلال الكامل الذي تم إنشاؤه وفقًا لقاعدة الاستدلال بلغة نظرية المجموعة على النحو التالي: .

أرز. 58.

أمثلة.

1. هل استنتاج "إذا انتهى العدد برقم" صحيح؟ 5, ثم يتم القسمة على الرقم 5. رقم 125 مقسمة على 5. وبالتالي كتابة الرقم 125 ينتهي برقم 5 »?

حل:يتم هذا الاستنتاج وفقا للمخطط ، والذي يتوافق مع . لا يوجد مثل هذا المخطط معروف لنا. دعونا معرفة ما إذا كانت قاعدة الاستدلال الاستنتاجي؟

دعونا نستخدم دوائر أويلر. في اللغة النظرية

ويمكن كتابة القاعدة الناتجة على النحو التالي:

. دعونا نصور المجموعات على دوائر أويلر تاو تلفزيونوتدل على العنصر أمن العديد تلفزيون.

اتضح أنه يمكن احتواؤه في مجموعة تا،أو قد لا ينتمي إليه (الشكل 59). في المنطق، يعتقد أن مثل هذا المخطط ليس قاعدة للاستدلال الاستنتاجي، لأنه لا يضمن صحة الاستنتاج.

وهذا الاستنتاج غير صحيح، لأنه يتم وفق مخطط لا يضمن صحة الاستدلال.

أرز. 59.

ب) جميع الأفعال تجيب على السؤال "ماذا تفعل؟" أو "ماذا علي أن أفعل؟" كلمة "ردة الذرة" لا تجيب على أي من هذه الأسئلة. لذلك، "زهرة الذرة" ليست فعلًا.

حل:أ) دعونا نكتب هذا الاستنتاج بلغة نظرية المجموعة. دعونا نشير بواسطة أ- العديد من طلاب كلية التربية من خلال في- العديد من الطلاب الذين هم المعلمين، من خلال مع- العديد من الطلاب الذين تزيد أعمارهم عن 20 عامًا.

ثم تأخذ الخاتمة الشكل: .

إذا قمنا بتصوير هذه المجموعات على شكل دوائر، فمن الممكن وجود حالتين:

1) مجموعات أ، ب، جتتقاطع؛

2) مجموعة فييتقاطع مع العديد معو أ،والكثير أيتقاطع في، ولكن لا يتقاطع معها مع.

ب) دعونا نشير بـ أالعديد من الأفعال، ومن خلال فيالكثير من الكلمات التي تجيب على السؤال "ماذا تفعل؟" أو "ماذا علي أن أفعل؟"

ومن ثم يمكن كتابة الخاتمة على النحو التالي:

دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة.

مثال 1. يُطلب من الطالب أن يشرح لماذا يمكن تمثيل الرقم 23 كمجموع 20 + 3. فيفسر: "الرقم 23 مكون من رقمين. يمكن تمثيل أي عدد مكون من رقمين كمجموع من أرقام الأرقام. وبالتالي 23 = 20 + 3."

الجملتان الأولى والثانية في هذا الاستنتاج مقدمات، إحداهما ذات طبيعة عامة هي عبارة "أي عدد مكون من رقمين يمكن تمثيله كمجموع حدود الأرقام"، والأخرى خاصة، فهي تميز الرقم 23 فقط - إنه مكون من رقمين. والخلاصة - هذه الجملة التي تأتي بعد كلمة "لذلك" - هي أيضًا خاصة بطبيعتها، لأنها تشير إلى الرقم المحدد 23.

تعتمد الاستدلالات، التي تستخدم عادة في إثبات النظريات، على مفهوم التضمين المنطقي. علاوة على ذلك، من تعريف التضمين المنطقي، يترتب على ذلك أنه بالنسبة لجميع قيم المتغيرات الافتراضية التي تكون العبارات الأولية (المقدمات) صحيحة فيها، فإن استنتاج النظرية يكون صحيحًا أيضًا. مثل هذه الاستنتاجات استنتاجية.

في المثال الذي تمت مناقشته أعلاه، فإن الاستدلال المعطى هو استنتاجي.

مثال 2. إحدى تقنيات تعريف تلاميذ المدارس الابتدائية بالخاصية التبادلية للضرب هي كما يلي. باستخدام الوسائل البصرية المختلفة، يثبت تلاميذ المدارس، مع المعلم، ذلك، على سبيل المثال، 6 3 = 36, 52 = 25. ثم، على أساس المساواة التي تم الحصول عليها، استنتجوا: لجميع الأعداد الطبيعية أو بالمساواة صحيحة أب = با.

في هذا الاستنتاج، فإن المقدمات هي أول تساويين. ويزعمون أن مثل هذه الخاصية تنطبق على أعداد طبيعية محددة. الاستنتاج في هذا المثال هو عبارة عامة - الخاصية التبادلية لضرب الأعداد الطبيعية.

وفي هذا الاستنتاج تقدم مقدمات ذات طبيعة معينة على ذلك بعضالأعداد الطبيعية لها الخاصية التالية: إعادة ترتيب العوامل لا يغير حاصل الضرب. وعلى هذا الأساس استنتج أن جميع الأعداد الطبيعية لها هذه الخاصية. تسمى هذه الاستدلالات بالاستقراء غير الكامل.

أولئك. بالنسبة لبعض الأعداد الطبيعية يمكن القول أن المجموع أقل من ناتجها. وهذا يعني أنه بناءً على أن بعض الأعداد لها هذه الخاصية، فيمكننا أن نستنتج أن جميع الأعداد الطبيعية لها هذه الخاصية:

هذا المثال هو مثال على المنطق التناظري.

تحت تشبيهفهم الاستدلال الذي يتم فيه، بناء على تشابه شيئين في بعض الخصائص ووجود خاصية إضافية في أحدهما، الاستنتاج حول وجود نفس الخاصية في الكائن الآخر.

الاستنتاج بالقياس هو في طبيعة الافتراض، فرضية، وبالتالي يحتاج إلى دليل أو دحض.

عند استخلاص الاستنتاج، من المناسب تقديم قواعد إدخال وإزالة الروابط المنطقية بنفس طريقة قواعد الاستدلال:

المادة 1.إذا كان المبنىان $F_1$ و$F_2$ يحملان المعنى "و"، فإن اقترانهما يكون صحيحًا، أي.

$$\frac(F_1 ; F_2)((F_1\&F_2))$$

هذا الإدخال، إذا كانت المقدمات $F_1$ و $F_2$ صحيحة، فإنه يوفر إمكانية إدخال اقتران منطقي للارتباط في الاستنتاج؛ هذه القاعدة مطابقة للبديهية A5 (انظر)؛

القاعدة 2.إذا كانت $(F_1\&F_2)$ تحتوي على القيمة "و"، فإن الصيغ الفرعية $F_1$ و$F_2$ صحيحة، أي.

$$\frac((F_1\&F_2))(F_1) \: و \: \frac((F_1\&F_2))(F_2)$$

هذا الترميز، إذا كان $(F_1\&F_2)$ صحيحًا، فإنه يوفر إمكانية إزالة الرابط المنطقي للاقتران في الاستنتاج ومراعاة القيم الحقيقية للصيغتين الفرعيتين $F_1$ و$F_2$؛ هذه القاعدة مطابقة للبديهيات A3 وA4؛

القاعدة 3.إذا كانت $F_1$ تحتوي على القيمة "و"، وكانت $(F_1\&F_2)$ تحتوي على القيمة "l"، فإن الصيغة الفرعية $F_2$ تكون خاطئة، أي.

$$\frac(F_1;\left\rceil\right. \!\!(F_1\&F_2))( \left\rceil\right. \!\!F_2)$$

هذا الإدخال، إذا كان $(F_1\&F_2)$ خطأ وكانت إحدى الصيغ الفرعية صحيحة، فإنه يوفر إمكانية إزالة الاقتران المنطقي للاقتران في الاستنتاج واعتبار قيمة الصيغة الفرعية الثانية خاطئة؛

القاعدة 4.إذا كانت فرضية واحدة على الأقل $F_1$ أو $F_2$ صحيحة، فإن الانفصال بينهما يكون صحيحًا، أي.

$$\frac(F_1)( (F_1\vee F_2)) \: أو \: \frac(F_2)( (F_1\vee F_2))$$

هذا الترميز، إذا كانت صيغة فرعية واحدة على الأقل $F_1$ أو $F_2$ صحيحة، يوفر إمكانية إدخال رابط منطقي للانفصال في الاستنتاج؛ هذه القاعدة مطابقة للبديهيات A6 وA7؛

القاعدة 5.إذا كانت $(F_1\vee F_2)$ تحتوي على القيمة "و" وكانت إحدى الصيغ الفرعية $F_1$ أو $F_2$ تحتوي على القيمة "l"، فإن الصيغة الفرعية الثانية $F_2$ أو $F_1$ تكون صحيحة، أي.

$$\frac((F_1\vee F_2); \left\rceil\right. \!\!F_1 )( (F_2) \: أو \: \frac((F_1\vee F_2); \left\rceil\right . \!\!F_2 )( (F_1)$$

هذا الترميز، إذا كان $(F_1\vee F_2)$ صحيحًا، فإنه يوفر إمكانية إزالة الرابط المنطقي للانفصال في الاستنتاج والنظر في القيم الحقيقية للصيغ الفرعية $F_1$ أو $F_2$؛

القاعدة 6.إذا كانت الصيغة الفرعية $F_2$ تحتوي على القيمة "و"، فإن الصيغة $(F_1\rightarrow F_2)$ تكون صحيحة لأي قيمة في الصيغة الفرعية $F_1$، أي.

$$\frac(F_2)( (F_1\rightarrow F_2))$$

يوفر هذا الترميز، ذو القيمة الحقيقية $F_2$، إمكانية إدخال تضمين في استنتاج الرابط المنطقي لأي قيمة في الصيغة الفرعية $F_1$ ("الحقيقة من أي شيء")؛ هذه القاعدة مطابقة للبديهية 1؛

القاعدة 7.إذا كانت الصيغة الفرعية $F_1$ تحتوي على القيمة "l"، فإن الصيغة $(F_1\rightarrow F_2)$ تكون صحيحة لأي قيمة في الصيغة الفرعية $F_2$، أي.

$$\frac(\left\rceil\right. \!\!F_1 )( (F_1\rightarrow F_2))$$

هذا الترميز، إذا كانت قيمة $F_1$ خاطئة، فإنه يوفر إمكانية إدخال رابط منطقي ضمني في الاستنتاج لأي قيمة في الصيغة الفرعية $F_2$ ("أي شيء من خطأ")؛

القاعدة 8.إذا كانت الصيغة $(F_1\rightarrow F_2)$ تحتوي على القيمة "و"، فإن الصيغة $(\left\rceil\right. \!\!F_2\rightarrow \left\rceil\right. \!\!F_1) $ صحيح، أي.

$$\frac((F_1\rightarrow F_2) )( (\left\rceil\right. \!\!F_2\rightarrow \left\rceil\right. \!\!F_1))$$

يحدد هذا الإدخال، بقيمة حقيقية $(F_1\rightarrow F_2)$، إمكانية تبديل أقطاب التضمين مع تغيير قيمها في نفس الوقت؛ هذا هو قانون التناقض.

القاعدة 9.إذا كانت الصيغة $(F_1\rightarrow F_2)$ تحتوي على القيمة "و"، فإن الصيغة $((F_1\vee F_3)\rightarrow (F_2\vee F_3)$ تكون صحيحة لأي قيمة $F_3$، أي.

$$\frac((F_1\rightarrow F_2) )(((F_1\vee F_3)\rightarrow (F_2\vee F_3)) $$

يحدد هذا الإدخال، بقيمة حقيقية $(F_1\rightarrow F_2)$، القدرة على تنفيذ عملية الفصل لأي قيمة من الصيغة $F_3$ عبر كل قطب من التضمين؛ هذه القاعدة مطابقة للبديهية A11.

القاعدة 10.إذا كانت الصيغة $(F_1\rightarrow F_2)$ تحتوي على القيمة "و"، فإن الصيغة $((F_1\&F_3)\rightarrow (F_2\&F_3)$ تكون صحيحة لأي قيمة $F_3$، أي.

$$\frac((F_1\rightarrow F_2) )(((F_1\&F_3)\rightarrow (F_2\&F_3))$$

يحدد هذا الإدخال، بقيمة حقيقية $(F_1\rightarrow F_2)$، القدرة على تنفيذ عملية الاقتران لأي قيمة للصيغة $F_3$ عبر كل قطب من التضمين؛ هذه القاعدة مطابقة للبديهية A10.

القاعدة 11.إذا كانت الصيغ $(F_1\rightarrow F_2)$ و$(F_2\rightarrow F_3)$ تحتوي على القيمة "و"، فإن الصيغة $(F_1\rightarrow F_3)$ تكون صحيحة، أي.

$$\frac((F_1\rightarrow F_2); (F_2\rightarrow F_3) )((F_1\rightarrow F_3))$$

هذا الإدخال، بالقيمة الحقيقية $(F_1\rightarrow F_2)$ و$(F_2\rightarrow F_3)$، يوفر إمكانية تكوين المعنى الضمني $(F_1\rightarrow F_3)$ (قانون القياس المنطقي)؛ هذه القاعدة مطابقة للبديهية A2؛

القاعدة 12.إذا كانت الصيغ $F_1$ و$(F_1\rightarrow F_2)$ تحتوي على القيمة "و"، فإن الصيغة $F_2$ تكون صحيحة، أي.

$$\frac(F_1; (F_1\السهم الأيمن F_2) )( F_2)$$

هذا الإدخال، بالنظر إلى القيمة الحقيقية للفرضية $F_1$ والتضمين $(F_1\rightarrow F_2)$، يسمح لك بإزالة الرابط المنطقي للتضمين وتحديد القيمة الحقيقية للاستنتاج $F_2$؛

القاعدة 13.إذا كانت الصيغ $\left\rceil\right. \!\!F_2 و(F_1\rightarrow F_2)$ لهما معنى "و"، وبالتالي فإن الصيغة $\left\rceil\right صحيحة. \!\!F_1$، أي

$$\frac(\left\rceil\right. \!\!F_2; (F_1\rightarrow F_2) )( \left\rceil\right. \!\!F_1)$$

يُعطى هذا الإدخال القيمة الحقيقية للفرضية $\left\rceil\right. \!\!F_2$ والتضمينات $(F_1\rightarrow F_2)$ تسمح لك بإزالة الرابط المنطقي للتضمين وتحديد القيمة الحقيقية للاستنتاج $\left\rceil\right. \!\!F_1$;

القاعدة 14.إذا كانت الصيغ $(F_1\rightarrow F_2)$ و$(F_2\rightarrow F_1)$ تحتوي على القيمة "و"، فإن الصيغة $(F_1\leftrightarrow F_2)$ تكون صحيحة، أي.

$$\frac((F_1\السهم الأيمن F_2); (F_2\السهم الأيمن F_1) )( (F_1\السهم الأيمن F_2))$$

يتيح لك هذا الإدخال، بالقيمة الحقيقية $(F_1\rightarrow F_2)$ و$(F_2\rightarrow F_1)$، تقديم رابط تكافؤ منطقي وتحديد قيمة الصيغة $(F_1\leftrightarrow F_2)$;

القاعدة 15.إذا كانت الصيغة $(F_1\leftrightarrow F_2)$ تحتوي على القيمة "و"، فإن الصيغ $(F_1\rightarrow F_2)$ و$(F_2\rightarrow F_1)$ صحيحة، أي.

$$\frac((F_1\leftrightarrow F_2) )( (F_1\rightarrow F_2) ) \: و \: \frac((F_1\leftrightarrow F_2) )( (F_2\rightarrow F_1) )$$

يتيح لك هذا الإدخال، بالقيمة الحقيقية $(F_1\leftrightarrow F_2)$، إزالة الرابط المنطقي للتكافؤ وتحديد القيمة الحقيقية للصيغتين $(F_1\rightarrow F_2)$ و$(F_2\rightarrow F_1) $.