Müəyyən bir hadisəyə üstünlük verən halları birbaşa saymaq çətin ola bilər. Buna görə də, bir hadisənin baş vermə ehtimalını müəyyən etmək üçün bu hadisəni başqa, daha sadə hadisələrin birləşməsi kimi təsəvvür etmək faydalı ola bilər. Bu halda isə hadisələrin birləşməsində ehtimalları idarə edən qaydaları bilməlisiniz. Paraqrafın başlığında qeyd olunan teoremlər məhz bu qaydalara aiddir.

Bunlardan birincisi bir neçə hadisədən ən azı birinin baş vermə ehtimalının hesablanmasına aiddir.

Əlavə teoremi.

A və B iki uyğunsuz hadisə olsun. Onda bu iki hadisədən ən azı birinin baş vermə ehtimalı onların ehtimallarının cəminə bərabərdir:

Sübut. Qoy cüt-cüt uyğun gəlməyən hadisələrin tam qrupu olsun. Əgər bu elementar hadisələr arasında məhz A üçün əlverişli hadisələr və B üçün əlverişli olan hadisələr mövcuddursa. A və B hadisələri bir-birinə uyğun gəlmədiyi üçün heç bir hadisə bu hadisələrin hər ikisinə üstünlük verə bilməz. Bu iki hadisədən ən azı birinin baş verməsindən ibarət olan bir hadisə (A və ya B) həm A-nın xeyrinə olan hadisələrin hər biri, həm də hadisələrin hər biri tərəfindən açıq şəkildə üstünlük təşkil edir.

Əlverişli B. Buna görə də (A və ya B) hadisə üçün əlverişli hadisələrin ümumi sayı aşağıdakı məbləğə bərabərdir:

Q.E.D.

Asanlıqla görmək olar ki, yuxarıda iki hadisə halı üçün tərtib edilmiş əlavə teoreminin onların hər hansı sonlu sayda halına asanlıqla köçürülməsi mümkündür. Məhz, əgər cüt-cüt uyğun gəlməyən hadisələr varsa, o zaman

Məsələn, üç hadisə üçün biri yaza bilər

Əlavə teoreminin mühüm nəticəsi belə bir ifadədir: əgər hadisələr ikili bir-birinə uyğun gəlmirsə və nadir hallarda mümkündürsə, onda

Həqiqətən də, hadisə ya və ya ya da fərziyyə ilə müəyyəndir və onun § 1-də göstərildiyi kimi ehtimalı birə bərabərdir. Xüsusilə, bir-birinə zidd olan iki hadisəni nəzərdə tuturlarsa, o zaman

Əlavə teoremini misallarla izah edək.

Nümunə 1. Hədəfə atış zamanı əla atış etmə ehtimalı 0,3, “yaxşı” atış etmə ehtimalı isə 0,4-dür. Bir atış üçün ən azı “yaxşı” bal alma ehtimalı nədir?

Həll. Əgər A hadisəsi “əla” qiymət almaq, B hadisəsi isə “yaxşı” qiymət almaq deməkdirsə, onda

Nümunə 2. Ağ, qırmızı və qara topların olduğu qabda ağ toplar və I qırmızı toplar var. Qara olmayan topun çəkilmə ehtimalı nədir?

Həll. Əgər A hadisəsi ağ topun görünüşündən, B hadisəsi isə qırmızı topdan ibarətdirsə, onda topun görünüşü qara deyil.

ya ağ, ya da qırmızı topun görünüşünü bildirir. Ehtimalın tərifinə görə

onda əlavə teoreminə görə, qara olmayan topun görünmə ehtimalı bərabərdir;

Bu problemi bu yolla həll etmək olar. C hadisəsi qara topun görünüşündən ibarət olsun. Qara topların sayı bərabərdir ki, P (C) Qara olmayan topun görünüşü C-nin əks hadisəsidir, buna görə də əlavə teoremindən yuxarıdakı nəticəyə əsaslanaraq, əldə edirik:

əvvəlki kimi.

Misal 3. Pul-material lotereyasında 1000 bilet seriyası üçün 120 pul və 80 maddi uduş var. Bir lotereya biletində nəsə udmaq ehtimalı nədir?

Həll. Əgər A ilə pul gəlirindən, B ilə isə maddi mənfəətdən ibarət hadisəni işarə etsək, ehtimalın tərifindən belə çıxır.

Bizi maraqlandıran hadisə (A və ya B) ilə təmsil olunur, buna görə də əlavə teoremindən irəli gəlir

Beləliklə, hər hansı bir uduş ehtimalı 0,2-dir.

Növbəti teoremə keçməzdən əvvəl yeni mühüm anlayışla - şərti ehtimal anlayışı ilə tanış olmaq lazımdır. Bu məqsədlə aşağıdakı nümunəni nəzərdən keçirərək başlayacağıq.

Tutaq ki, bir anbarda iki müxtəlif fabrikdə istehsal olunan 400 ampul var və birincisi bütün elektrik lampalarının 75%-ni, ikincisi isə 25%-ni istehsal edir. Fərz edək ki, birinci zavodun istehsal etdiyi elektrik lampalarının 83%-i müəyyən standartın şərtlərini ödəyir, ikinci zavodun məhsulları üçün isə bu faiz 63-ə bərabərdir. anbar standartın şərtlərinə cavab verəcəkdir.

Qeyd edək ki, mövcud standart lampaların ümumi sayı birincinin istehsal etdiyi lampalardan ibarətdir

fabrik və ikinci zavodun istehsalı olan 63 ampul, yəni 312-yə bərabərdir. Hər hansı bir lampanın seçimi eyni dərəcədə mümkün hesab edilməli olduğundan, 400-dən 312 əlverişli halımız var, buna görə də

burada B hadisəsi seçdiyimiz ampulün standart olmasıdır.

Bu hesablama zamanı seçdiyimiz elektrik lampasının hansı zavodun məhsuluna aid olduğuna dair heç bir fərziyyə aparılmadı. Əgər bu cür fərziyyələr irəli sürsək, o zaman bizi maraqlandıran ehtimalın dəyişə biləcəyi göz qabağındadır. Beləliklə, məsələn, seçilmiş lampanın birinci zavodda istehsal edildiyi məlumdursa (hadisə A), onda onun standart olma ehtimalı artıq 0,78 deyil, 0,83 olacaqdır.

Bu növ ehtimala, yəni A hadisəsinin baş verməsi şərti ilə B hadisəsinin baş vermə ehtimalına A hadisəsinin baş verməsi şərti ilə B hadisəsinin şərti ehtimalı deyilir və işarə olunur.

Əgər əvvəlki misalda seçilmiş lampanın birinci zavodda istehsal olunması hadisəsini A ilə işarə etsək, onda yaza bilərik.

İndi hadisələrin birləşmə ehtimalının hesablanması ilə bağlı vacib bir teoremi tərtib edə bilərik.

Vurma teoremi.

A və B hadisələrinin birləşmə ehtimalı, birincinin baş verdiyini fərz etsək, hadisələrdən birinin ehtimalı ilə digərinin şərti ehtimalının hasilinə bərabərdir:

Bu zaman A və B hadisələrinin birləşməsi onların hər birinin baş verməsi, yəni həm A hadisəsinin, həm də B hadisəsinin baş verməsi deməkdir.

Sübut. Gəlin, hər biri həm A, həm də B hadisəsi üçün əlverişli və ya əlverişsiz ola bilən, eyni dərəcədə mümkün olan cüt-cüt uyğunsuz hadisələrin tam qrupunu nəzərdən keçirək.

Bütün bu hadisələri dörd yerə bölək müxtəlif qruplar aşağıdakı şəkildə. Birinci qrupa həm A, həm də B hadisəsinə üstünlük verən hadisələr daxildir; İkinci və üçüncü qrupa bizim üçün maraqlı olan iki hadisədən birinə üstünlük verən və digərinə üstünlük verməyən hadisələr daxildir, məsələn, ikinci qrupa A-ya üstünlük verən, lakin B-yə üstünlük verməyənlər, üçüncü qrupa isə B-yə üstünlük verin, amma A-ya üstünlük verməyin; nəhayət

Dördüncü qrupa nə A, nə də B-yə üstünlük verməyən hadisələr daxildir.

Hadisələrin nömrələnməsinin əhəmiyyəti olmadığı üçün bu dörd qrupa bölünmənin belə göründüyünü güman edə bilərik:

I qrup:

II qrup:

III qrup:

IV qrup:

Beləliklə, eyni dərəcədə mümkün və qoşa uyğun gəlməyən hadisələr arasında həm A hadisəsinə, həm də B hadisəsinə üstünlük verən hadisələr, A hadisəsinə üstünlük verən, lakin A hadisəsinə üstünlük verməyən hadisələr, B-yə üstünlük verən, lakin A-ya üstünlük verməyən hadisələr və nəhayət, nə A, nə də B-nin xeyrinə olmayan hadisələr.

Yeri gəlmişkən qeyd edək ki, nəzərdən keçirdiyimiz dörd qrupdan hər hansı birində (hətta birdən çox) heç bir hadisə ola bilməz. Bu halda, belə bir qrupdakı hadisələrin sayını göstərən müvafiq nömrə sıfıra bərabər olacaqdır.

Qruplara bölünməmiz sizə dərhal yazmağa imkan verir

çünki A və B hadisələrinin birləşməsinə birinci qrupun hadisələri üstünlük verir və yalnız onlar tərəfindən. A-ya üstünlük verən hadisələrin ümumi sayı birinci və ikinci qruplardakı hadisələrin ümumi sayına, B-yə üstünlük verənlər isə birinci və üçüncü qruplardakı hadisələrin ümumi sayına bərabərdir.

İndi A hadisəsinin baş verməsi şərti ilə ehtimalı, yəni B hadisəsinin ehtimalını hesablayaq. İndi üçüncü və dördüncü qruplara daxil olan hadisələr yox olur, çünki onların görünüşü A hadisəsinin baş verməsi ilə ziddiyyət təşkil edir və onların sayı mümkün hallar artıq bərabər olmadığı ortaya çıxır. Bunlardan B hadisəsi yalnız birinci qrupun hadisələri tərəfindən üstünlük təşkil edir, ona görə də əldə edirik:

Teoremi sübut etmək üçün indi aşkar eyniliyi yazmaq kifayətdir:

və hər üç kəsri yuxarıda hesablanmış ehtimallarla əvəz edin. Teoremdə göstərilən bərabərliyə çatırıq:

Aydındır ki, yuxarıda yazdığımız eynilik yalnız o zaman məna kəsb edir ki, A qeyri-mümkün hadisə deyilsə, həmişə doğrudur.

A və B hadisələri bərabər olduğundan, onları dəyişdirərək, vurma teoreminin başqa formasını alırıq:

Bununla belə, bu bərabərlik əvvəlki ilə eyni şəkildə əldə edilə bilər, əgər şəxsiyyətdən istifadə edərək

P(A və B) ehtimalı üçün iki ifadənin sağ tərəflərini müqayisə edərək, faydalı bərabərlik əldə edirik:

İndi vurma teoremini təsvir edən nümunələri nəzərdən keçirək.

Nümunə 4. Müəyyən bir müəssisənin məhsullarında məhsulların 96%-i uyğun hesab olunur (A hadisəsi). Hər yüz uyğun məhsuldan 75-i birinci növə aiddir (B hadisəsi). Təsadüfi seçilmiş məhsulun uyğun olması və birinci sinfə aid olması ehtimalını müəyyənləşdirin.

Həll. İstənilən ehtimal A və B hadisələrinin birləşmə ehtimalıdır. Şərtlə bizdə: . Buna görə də vurma teoremi verir

Misal 5. Hədəfi bir atışla vurma ehtimalı (A hadisəsi) 0,2-dir. Qoruyucuların 2%-i uğursuz olarsa (yəni, 2% hallarda atış baş vermirsə) hədəfi vurma ehtimalı nədir?

Həll. Qoy B hadisəsi atış baş verəcək, B isə əks hadisəni bildirsin. Sonra şərtlə və toplama teoreminin nəticəsinə görə. Bundan əlavə, şərtə görə.

Hədəfi vurmaq, vurma teoreminə görə, A və B hadisələrinin birləşməsi deməkdir (atış atılacaq və vuracaq).

Əhəmiyyətli xüsusi hal vurma teoremlərini hadisələrin müstəqilliyi anlayışından istifadə etməklə əldə etmək olar.

İki hadisənin baş verməsi və ya baş verməməsi nəticəsində onlardan birinin ehtimalı dəyişməzsə, müstəqil adlanır.

Müstəqil hadisələrə nümunələr buraxılışdır müxtəlif nömrələr sikkənin yenidən atılması zamanı zarı və ya sikkənin bu və ya digər tərəfini təkrar atarkən xal verir, çünki gerbin ikinci atışda düşmə ehtimalının gerbin düşüb-düşməməsindən asılı olmayaraq bərabər olduğu aydındır. ya da birincidə yox.

Eynilə, ağ və qara topların olduğu qabdan ikinci dəfə ağ topun çəkilmə ehtimalı, əgər ilk çəkilmiş top əvvəllər geri qaytarılsa, topun ağ və ya qara ilk dəfə çəkilməsindən asılı deyil. Buna görə də, birinci və ikinci çıxarılmasının nəticələri bir-birindən müstəqildir. Əksinə, əgər əvvəlcə çıxarılan top qaba qayıtmırsa, ikinci çıxarılmasının nəticəsi birincidən asılıdır, çünki birinci çıxarıldıqdan sonra qabdakı topların tərkibi onun nəticəsindən asılı olaraq dəyişir. Burada asılı hadisələrin bir nümunəsi var.

Şərti ehtimallar üçün qəbul edilmiş qeyddən istifadə edərək A və B hadisələrinin müstəqilliyi şərtini formada yaza bilərik.

Bu bərabərliklərdən istifadə edərək, müstəqil hadisələr üçün vurma teoremini aşağıdakı formaya endirə bilərik.

Əgər A və B hadisələri müstəqildirsə, onda onların birləşmə ehtimalı bu hadisələrin ehtimallarının hasilinə bərabərdir:

Həqiqətən də hadisələrin müstəqilliyindən irəli gələn vurma teoreminin ilkin ifadəsini qoymaq kifayətdir və biz tələb olunan bərabərliyi əldə edəcəyik.

İndi bir neçə hadisəni nəzərdən keçirək: Əgər onlardan hər hansı birinin baş vermə ehtimalı nəzərdən keçirilən hər hansı digər hadisələrin baş verib-verməməsindən asılı deyilsə, biz onları kollektiv olaraq müstəqil adlandıracağıq.

Kollektiv olaraq müstəqil olan hadisələr vəziyyətində, vurma teoremi onların istənilən sonlu sayına qədər genişləndirilə bilər, ona görə də onu aşağıdakı kimi tərtib etmək olar:

Müstəqil hadisələrin məcmuda birləşməsi ehtimalı bu hadisələrin ehtimallarının hasilinə bərabərdir:

Nümunə 6. Bir işçi üç avtomatik maşına xidmət göstərir, maşın dayandıqda nasazlığı aradan qaldırmaq üçün onların hər birinə yaxınlaşmaq lazımdır. Birinci maşının bir saat ərzində dayanmaması ehtimalı 0,9-dur. İkinci maşın üçün eyni ehtimal 0,8, üçüncü üçün isə 0,7-dir. Bir saat ərzində işçinin xidmət etdiyi maşınların heç birinə yaxınlaşmaması ehtimalını müəyyənləşdirin.

Nümunə 7. Təyyarənin tüfənglə vurulma ehtimalı Eyni vaxtda 250 tüfəngdən atəş açılsa, düşmən təyyarəsinin məhv olma ehtimalı nə qədərdir?

Həll. Təyyarənin bir atışla vurulmama ehtimalı toplama teoreminə bərabərdir.Onda vurma teoremindən istifadə edərək təyyarənin 250 atışla vurulmama ehtimalını birləşmə ehtimalı kimi hesablaya bilərik. hadisələr. bərabərdir Bundan sonra biz yenidən toplama teoremindən istifadə edib təyyarənin vurulma ehtimalını əks hadisənin baş vermə ehtimalı kimi tapa bilərik.

Buradan da görmək olar ki, bir tüfənglə təyyarənin vurulma ehtimalı cüzi olsa da, buna baxmayaraq, 250 tüfəngdən atəş açarkən, təyyarənin vurulma ehtimalı artıq çox nəzərə çarpır. Tüfənglərin sayı artırıldıqda əhəmiyyətli dərəcədə artır. Beləliklə, 500 tüfəngdən atəş açarkən, hesablamaq asan olduğu kimi, bir təyyarənin vurulma ehtimalı 1000 tüfəngdən atış zamanı bərabərdir - hətta.

Yuxarıda sübut edilmiş vurma teoremi bizə əlavə teoremini bir qədər genişləndirməyə imkan verir, onu uyğun gələn hadisələrə də şamil edir. Aydındır ki, əgər A və B hadisələri uyğun gəlirsə, onda onlardan ən azı birinin baş vermə ehtimalı onların ehtimallarının cəminə bərabər deyil. Məsələn, əgər A hadisəsi cüt ədəd deməkdirsə

mərmi atarkən xalların sayı və B hadisəsi üçə çox olan bir sıra xalların itirilməsidir, sonra hadisə (A və ya B) 2, 3, 4 və 6 xal itirməklə üstünlük təşkil edir, yəni

Digər tərəfdən, yəni. Belə ki, bu halda

Buradan aydın olur ki, uyğun gələn hadisələr zamanı ehtimalların toplanması teoremi dəyişdirilməlidir. İndi görəcəyimiz kimi, onu elə formalaşdırmaq olar ki, həm uyğun, həm də uyğun gəlməyən hadisələr üçün etibarlı olsun, beləliklə, əvvəllər nəzərdən keçirilən toplama teoremi yenisinin xüsusi halı olur.

A üçün əlverişli olmayan hadisələr.

Hadisəyə üstünlük verən bütün elementar hadisələr (A və ya B) ya yalnız A, ya yalnız B, ya da həm A, həm də B-yə üstünlük verməlidir. Beləliklə, belə hadisələrin ümumi sayı bərabərdir.

və ehtimal

Q.E.D.

Zər atarkən görünən xalların sayının yuxarıdakı nümunəsinə (9) düsturunu tətbiq edərək, əldə edirik:

birbaşa hesablamanın nəticəsi ilə üst-üstə düşür.

Aydındır ki, düstur (1) (9)-un xüsusi halıdır. Həqiqətən, A və B hadisələri uyğun gəlmirsə, birləşmə ehtimalı

Misal üçün. Elektrik dövrəsinə ardıcıl olaraq iki qoruyucu bağlanır. Birinci qoruyucunun uğursuzluq ehtimalı 0,6, ikincisi isə 0,2-dir. Bu qoruyuculardan ən azı birinin sıradan çıxması nəticəsində elektrik kəsilməsi ehtimalını müəyyən edək.

Həll. Birinci və ikinci qoruyucuların sıradan çıxmasından ibarət olan A və B hadisələri uyğun olduğundan, tələb olunan ehtimal (9) düsturla müəyyən ediləcək:

Məşqlər

Hadisə anlayışı və hadisənin baş vermə ehtimalı. Etibarlı və mümkün olmayan hadisələr. Ehtimalın klassik tərifi. Ehtimal toplama teoremi. Ehtimalların vurma teoremi. Ehtimalların toplanmasından istifadə etməklə ehtimalın müəyyən edilməsinə dair ən sadə məsələlərin həlli.

Mövzu 3.1 üçün təlimatlar:

Hadisə anlayışı və hadisənin baş vermə ehtimalı. Etibarlı və mümkün olmayan hadisələr. Ehtimalların klassik tərifi:

Hər bir hadisənin müşahidə və ya təcrübə qaydasında öyrənilməsi müəyyən şərtlər toplusunun (sınaqların) həyata keçirilməsi ilə bağlıdır. Testin hər bir nəticəsi və ya nəticəsi çağırılır hadisə.

Əgər verilmiş şəraitdə bir hadisə baş verə bilərsə, baş verə bilməzsə, o zaman çağırılır təsadüfi. Bir hadisənin baş verəcəyinə əmin olduqda, çağırılır etibarlı və açıq-aydın baş verə bilməyəcəyi halda, - qeyri-mümkün.

Hadisələr adlanır uyğunsuz, hər dəfə onlardan yalnız birinin görünməsi mümkün olsa. Hadisələr adlanır birgə,əgər verilmiş şəraitdə bu hadisələrdən birinin baş verməsi eyni sınaq zamanı digərinin baş verməsini istisna etmirsə.

Hadisələr adlanır əks, testin şərtlərinə əsasən, onlar onun yeganə nəticələri olmaqla, uyğun gəlmirsə.

Hadisənin baş vermə ehtimalı təsadüfi hadisənin baş verməsinin obyektiv mümkünlüyünün ölçüsü kimi qəbul edilir.

Ehtimal hadisələrə nəticələrin sayının nisbəti deyilir m, verilmiş hadisənin baş verməsi üçün əlverişli, bütün nəticələrin n sayına (uyğun olmayan, yalnız mümkün və eyni dərəcədə mümkündür), yəni.

Hər hansı bir hadisənin baş vermə ehtimalı sıfırdan kiçik və birdən böyük ola bilməz, yəni. . Mümkün olmayan hadisə ehtimala, etibarlı hadisə isə ehtimala uyğun gəlir

Misal 1. 1000 biletdən ibarət lotereyada 200 uduş var. Bir bilet təsadüfi olaraq çıxarılır. Bu biletin qalib olma ehtimalı nədir?

Müxtəlif nəticələrin ümumi sayı n= 1000. Qazanmaq üçün əlverişli olan nəticələrin sayı m= 200. Düstura görə alırıq.

Misal 2. 5 ağ və 3 qara top olan qabdan bir top çəkilir. Topun qara olması ehtimalını tapın.

Qara topun görünməsindən ibarət hadisəni ilə işarə edək. İşlərin ümumi sayı. İşlərin sayı m, hadisənin baş verməsi üçün əlverişlidir, 3-ə bərabərdir. Düsturdan istifadə edərək, əldə edirik.

Misal 3. 12 ağ və 8 qara top olan qabdan təsadüfi olaraq iki top çəkilir. Hər iki topun qara olma ehtimalı nədir?

İki qara topun görünməsindən ibarət hadisəni ilə işarə edək. Mümkün halların ümumi sayı n 20 elementin birləşmələrinin sayına (12 + 8) ikiyə bərabərdir:

İşlərin sayı m, hadisə üçün əlverişlidir

Düsturdan istifadə edərək iki qara topun görünmə ehtimalını tapırıq:

Ehtimal toplama teoremi. Ehtimalın toplanması teoremindən istifadə edərək ehtimalın müəyyən edilməsi üçün ən sadə məsələlərin həlli:

Uyğun olmayan hadisələrin ehtimallarını toplamaq üçün teorem. Bir neçə qoşa uyğunsuz hadisədən birinin baş vermə ehtimalı, hansının olmasından asılı olmayaraq, bu hadisələrin ehtimallarının cəminə bərabərdir:

Birgə hadisələrin ehtimallarını toplamaq üçün teorem.İki birgə hadisədən ən azı birinin baş vermə ehtimalı, birgə baş vermə ehtimalı olmadan bu hadisələrin ehtimallarının cəminə bərabərdir:

Nümunə 4. Qutuda təsadüfi qaydada düzülmüş 20 hissə var, onlardan beşi standartdır. Bir işçi təsadüfi olaraq üç hissəni götürür. Alınan hissələrdən ən azı birinin standart olma ehtimalını tapın.

Aydındır ki, üç uyğunsuz hadisədən hər hansı biri baş verərsə, alınan hissələrdən ən azı biri standart olacaqdır: B- bir hissə standart, iki hissə qeyri-standartdır; C- iki standart hissə, biri qeyri-standart və D- üç hissə standartdır.

Beləliklə, hadisə A bu üç hadisənin cəmi kimi təmsil oluna bilər: A = B + C + D.Əldə etdiyimiz əlavə teoreminə görə P(A) = P(B) + P(C) + P(D). Bu hadisələrin hər birinin baş vermə ehtimalını tapın:

Tapılmış dəyərləri əlavə edərək, əldə edirik

Misal 5. Təsadüfi alınma ehtimalını tapın ikirəqəmli rəqəm ya 3, ya 5, ya da hər ikisinin qatı olacaq.

Qoy A- təsadüfi seçilmiş ədədin 3-ə qat olması faktından ibarət hadisə və B- 5-in qatıdır. Gəlin tapalım A Və B birgə hadisələr, sonra düsturdan istifadə edirik:

Cəmi 90 ikirəqəmli rəqəm var: 10, 11, 98, 99. Bunlardan 30-u 3-ün qatıdır (hadisənin baş verməsinin tərəfdarıdır) A); 18 - 5-in qatları (hadisənin baş verməsini təmin edir B) və 6 - eyni vaxtda 3 və 5-in qatları (hadisənin baş verməsinin xeyrinə AB). Beləliklə, yəni.

Ehtimalların çarpılması teoremi:

Müstəqil hadisələrin ehtimallarının vurulması üçün teorem.İki müstəqil hadisənin birgə baş vermə ehtimalı bu hadisələrin ehtimallarının hasilinə bərabərdir:

Ümumilikdə müstəqil olan bir neçə hadisənin baş vermə ehtimalı düsturla hesablanır:

Asılı hadisələrin ehtimallarının vurulması üçün teorem.İki asılı hadisənin birgə baş vermə ehtimalı onlardan birinin hasilinə və ikincinin şərti ehtimalına bərabərdir:

Misal 6. Bir qabda 4 ağ və 8 qara top, digərində 3 ağ və 9 qara top var. Hər qabdan bir top götürüldü. Hər iki topun ağ olması ehtimalını tapın.

Birinci qabdan ağ topun görünüşü olsun, ikinci qabdan ağ topun görünüşü olsun. Aydındır ki, hadisələr müstəqildir. tapacağıq

Formuladan istifadə edərək əldə edirik:

Mövzu 3.1 üzrə özünü test sualları:

1. Hadisə nədir?

2. Hansı hadisələr etibarlı adlanır?

3. Hansı hadisələr qeyri-mümkün adlanır?

4. Ehtimalın müəyyən edilməsi.

5. Ehtimalları toplamaq üçün teoremi tərtib edin.

6. Ehtimalların vurma teoremini tərtib edin.

üçün tapşırıqlar müstəqil qərar Mövzu 3.1:

1. Qutuda təsadüfi qaydada 10 hissə var, onlardan 4-ü standartdır. Müfəttiş təsadüfi olaraq 3 hissə götürdü. Alınan hissələrdən ən azı birinin standart olması ehtimalını tapın.

2. Bir qabda 10 ağ, 15 qara, 20 mavi və 25 qırmızı top var. Çəkilən topun olma ehtimalını tapın: 1) ağ; 2) qara və ya qırmızı.

3. Təsadüfi seçilmiş ikirəqəmli ədədin ya 4, ya 5, ya da hər ikisinin qatı olma ehtimalını tapın.

4. İşçi bir-birindən asılı olmayaraq işləyən iki maşına xidmət göstərir. Birinci maşının bir saat ərzində işçinin diqqətini tələb etməməsi ehtimalı 0,8, ikinci maşın üçün isə bu ehtimal 0,7-dir. Bir saat ərzində heç bir maşının işçinin diqqətini çəkməməsi ehtimalını tapın.

5. Qabda 6 top var, onlardan 3-ü ağdır. İki top bir-birinin ardınca təsadüfi olaraq çəkilir. Hər iki topun ağ olması ehtimalını hesablayın.

6. Bir qabda 10 ağ və 6 qara top var. Bir-birinin ardınca təsadüfi çəkilmiş üç topun qara olma ehtimalını tapın.

Eksperiment nəzərdən keçirilir E. Dəfələrlə həyata keçirilə biləcəyi güman edilir. Təcrübə nəticəsində müəyyən dəsti təşkil edən müxtəlif hadisələr meydana çıxa bilər F. Müşahidə edilə bilən hadisələr üç növə bölünür: etibarlı, qeyri-mümkün, təsadüfi.

Etibarlı təcrübə nəticəsində baş verməsi mütləq olan hadisəyə deyilir E. Ω ilə işarələnir.

Mümkün deyil təcrübə nəticəsində baş vermədiyi məlum olan hadisəyə deyilir E. ilə işarələnir.

Təsadüfi təcrübə nəticəsində baş verə bilən və ya olmaya bilən hadisə deyilir E.

Əlavə (əks) hadisə A ilə işarələnən hadisədir, yalnız və yalnız hadisə baş vermədikdə baş verir A.

cəmi (birləşmə) hadisələr yalnız və yalnız bu hadisələrdən ən azı biri baş verdikdə baş verən hadisədir (Şəkil 3.1). Qeyd.

Şəkil 3.1

Məhsul (kəsişmə) hadisələr yalnız və yalnız bütün bu hadisələr birlikdə (eyni zamanda) baş verdikdə baş verən hadisədir (Şəkil 3.2). Qeyd. Aydındır ki, A və B hadisələri uyğunsuz , Əgər .

Şəkil 3.2

Tam tədbirlər qrupu cəmi müəyyən bir hadisə olan hadisələr toplusudur:

Hadisə INçağırdı hadisənin xüsusi halı A, hadisənin baş verməsi ilə IN hadisə görünür A. Hadisəni də deyirlər IN hadisəyə səbəb olur A(Şəkil 3.3). Təyinat

Şəkil 3.3

Hadisələr A Və IN adlandırılır ekvivalent , əgər onlar təcrübə zamanı birlikdə baş verirsə və ya baş vermirsə E. Təyinat Aydındır ki, əgər.

Çətin hadisə cəbri əməliyyatlardan istifadə etməklə eyni təcrübədə müşahidə olunan digər hadisələr vasitəsilə ifadə edilən müşahidə hadisəsi adlandırılır.

Müəyyən bir mürəkkəb hadisənin baş vermə ehtimalı ehtimalları toplamaq və vurmaq üçün düsturlardan istifadə etməklə hesablanır.

Ehtimal toplama teoremi

Nəticələr:

1) əgər hadisələr A Və IN uyğunsuzdur, əlavə teoremi aşağıdakı formanı alır:

2) üç hədd halında toplama teoremi formada yazılır

3) qarşılıqlı əks hadisələrin ehtimallarının cəmi 1-ə bərabərdir:

Hadisələr toplusu ,, ..., adlanır hadisələrin tam qrupu , Əgər

Tam qrup təşkil edən hadisələrin ehtimallarının cəmi 1-ə bərabərdir:

Hadisənin baş vermə ehtimalı A bir şərtlə ki, hadisə IN baş verib, deyirlər şərti ehtimal və ya işarələyin.

A Və IN – asılı hadisələr , Əgər .

A Və IN – müstəqil hadisələr , Əgər .

Ehtimalların vurma teoremi

Nəticələr:

1) müstəqil tədbirlər üçün A Və IN

2) içində ümumi halüç hadisənin hasili üçün ehtimal vurma teoremi formaya malikdir:

Problemin həlli nümunələri

Misal1 - Bir-birindən asılı olmayaraq işləyən üç element elektrik dövrəsinə ardıcıl olaraq qoşulur. Birinci, ikinci və üçüncü elementlərin uğursuzluq ehtimalları müvafiq olaraq, -ə bərabərdir. Dövrədə cərəyanın olmama ehtimalını tapın.

Həll

Birinci yol.

Aşağıdakı hadisələri işarə edək: - dövrədə müvafiq olaraq birinci, ikinci və üçüncü elementlərin sıradan çıxması baş verdi.

Hadisə A– dövrədə cərəyan olmayacaq (elementlərdən ən azı biri sıra ilə bağlandığı üçün sıradan çıxacaq).

Hadisə - dövrədə cərəyan var (üç element işləyir), . Əks hadisələrin baş vermə ehtimalı (3.4) düsturu ilə əlaqələndirilir. Hadisə iki-birindən müstəqil olan üç hadisənin məhsuludur. Müstəqil hadisələrin ehtimallarını çoxaltmaq üçün teoremdən istifadə edərək əldə edirik

Onda arzu olunan hadisənin ehtimalı .

İkinci yol.

Əvvəllər qəbul edilmiş qeydi nəzərə alaraq, istədiyiniz hadisəni yazırıq A- elementlərdən ən azı biri uğursuz olacaq:

Cəmdə daxil olan şərtlər uyğun olduğundan ehtimalların toplanması teoremini burada tətbiq etmək lazımdır. ümumi görünüşüç şərt üçün (3.3):

Cavab: 0,388.

Müstəqil həll ediləcək problemlər

1 Oxu zalında ehtimal nəzəriyyəsi üzrə altı dərslik var, onlardan üçü cildlidir. Kitabxanaçı təsadüfən iki dərslik götürdü. Hər iki dərsliyin bağlanma ehtimalını tapın.

2 Çantada 30% ağ, qalanları qırmızı rəngdə olan iplər qarışıqdır. Təsadüfi çəkilmiş iki sapın olma ehtimalını müəyyən edin: eyni rəng; müxtəlif rənglər.

3 Cihaz müstəqil işləyən üç elementdən ibarətdir. Birinci, ikinci və üçüncü elementlərin müəyyən bir müddət ərzində sıradan çıxma ehtimalları 0,6-dır; 0,7; 0.8. Bu müddət ərzində yalnız bir elementin uğursuz işləməsi ehtimalını tapın; yalnız iki element; hər üç element; ən azı iki element.

4 Üç atıldı zar. Aşağıdakı hadisələrin ehtimalını tapın:

a) çəkilmiş hər tərəfdə beş xal görünəcək;

b) bütün düşmüş tərəflərdə eyni sayda xal görünəcək;

c) iki düşmüş tərəfdə bir nöqtə, üçüncü tərəfdə isə başqa sayda nöqtə görünəcək;

d) bütün düşmüş üzlərdə fərqli sayda xal görünəcək.

5 Atıcının bir atışla hədəfi vurma ehtimalı 0,8-dir. Atıcı neçə atəş açmalıdır ki, ehtimalı 0,4-dən az olarsa, heç bir itki olmayacaq?

6 1, 2, 3, 4, 5 rəqəmlərindən əvvəlcə biri, sonra qalan dördündən ikinci rəqəm seçilir. Ehtimal olunur ki, bütün 20 mümkün nəticə eyni dərəcədə mümkündür. Tək ədədin seçilmə ehtimalını tapın: ilk dəfə; ikinci dəfə; hər iki dəfə.

7 Mağazanın kişi ayaqqabısı bölməsində 46 ölçülü bir cüt ayaqqabının yenidən satılma ehtimalı 0,01-dir. Mağazada neçə cüt ayaqqabı satılmalıdır ki, ən azı 0,9 ehtimalla ən azı bir cüt 46 ölçülü ayaqqabının satılacağını gözləmək olar?

8 Qutuda iki qeyri-standart olmaqla 10 hissə var. Təsadüfi seçilmiş altı hissədən birdən çox qeyri-standart hissənin olma ehtimalını tapın.

9 Texniki nəzarət şöbəsi məhsulların standartlığını yoxlayır. Məhsulun qeyri-standart olma ehtimalı 0,1-dir. Ehtimalını tapın:

a) sınaqdan keçirilmiş üç məhsuldan yalnız ikisi qeyri-standart olacaq;

b) yalnız dördüncü qaydada sınaqdan keçirilmiş məhsul qeyri-standart olacaq.

10 Kəsilmiş əlifba kartlarında rus əlifbasının 32 hərfi yazılıb:

a) üç kart təsadüfi olaraq bir-birinin ardınca çıxarılır və görünüş sırasına görə masaya qoyulur. “Dünya” sözünün alınma ehtimalını tapın;

b) çıxarılan üç kart istənilən yolla dəyişdirilə bilər. Onların “dünya” sözünü yaratmaq üçün istifadə oluna bilmə ehtimalı nədir?

11 Bir qırıcı bombardmançıya hücum edir və ona iki müstəqil partlayış atır. Birinci partlayışla bombardmançının vurulma ehtimalı 0,2, ikincisi isə 0,3-dür. Əgər bombardmançı vurulmazsa, o, arxa silahlarından qırıcıya atəş açır və onu 0,25 ehtimalla vurur. Hava döyüşü nəticəsində bombardmançı və ya qırıcının vurulması ehtimalını tapın.

Ev tapşırığı

1 Ümumi ehtimal düsturu. Bayes düsturu.

2 Problemləri həll etmək

Tapşırıq1 . Bir işçi bir-birindən asılı olmayaraq işləyən üç maşını idarə edir. Birinci maşının bir saat ərzində işçinin diqqətini çəkməməsi ehtimalı 0,9, ikincisi - 0,8, üçüncüsü - 0,85-dir. Bir saat ərzində ən azı bir maşının işçinin diqqətini tələb etməsi ehtimalını tapın.

Tapşırıq2 . Daxil olan məlumatları davamlı olaraq emal etməli olan kompüter mərkəzində iki hesablama qurğusu var. Məlumdur ki, onların hər birinin müəyyən müddət ərzində uğursuzluq ehtimalı 0,2-yə bərabərdir. Ehtimalını müəyyən etmək lazımdır:

a) qurğulardan birinin sıradan çıxması, ikincisinin isə işlək olması;

b) hər bir cihazın problemsiz işləməsi.

Tapşırıq3 . Dörd ovçu müəyyən bir ardıcıllıqla ov atmağa razılaşdılar: növbəti ovçu yalnız əvvəlki ovçu qaçırdığı təqdirdə atəş açır. Birinci ovçu üçün vuruş ehtimalı 0,6, ikinci üçün - 0,7, üçüncü üçün - 0,8-dir. Atışma ehtimalını tapın:

d) dörd.

Tapşırıq4 . Hissə dörd emal əməliyyatından keçir. Birinci əməliyyat zamanı qüsurun olma ehtimalı 0,01, ikinci əməliyyat zamanı 0,02, üçüncü əməliyyat zamanı 0,03, dördüncü əməliyyat zamanı isə 0,04-dür. Ayrı-ayrı əməliyyatlarda qüsurların alınması hadisələrinin müstəqil olduğunu nəzərə alaraq, dörd əməliyyatdan sonra hissənin qüsursuz qəbulu ehtimalını tapın.

Təhsil müəssisəsi "Belarus Dövləti

Kənd Təsərrüfatı Akademiyası"

Ali riyaziyyat kafedrası

EHMİNLƏRİN ƏLAVƏ VƏ VARMASI. TƏKRAR EDİLƏN MÜSTƏQİL SINAQLAR

Torpaq idarəçiliyi fakültəsinin tələbələri üçün mühazirə

qiyabi kurslar

Qorki, 2012

Ehtimalların toplanması və vurulması. Təkrarlandı

müstəqil testlər

Ehtimalların əlavə edilməsi

İki birgə hadisənin cəmi A Və IN hadisə adlanır İLƏ hadisələrdən ən azı birinin baş verməsindən ibarət olan A və ya IN. Eynilə, bir neçə birgə hadisələrin cəmi bu hadisələrdən ən azı birinin baş verməsindən ibarət hadisədir.

Uyğun olmayan iki hadisənin cəmi A Və IN hadisə adlanır İLƏ hadisə və ya hadisədən ibarətdir A, və ya hadisələr IN. Eynilə, bir-birinə uyğun gəlməyən bir neçə hadisənin cəmi bu hadisələrdən hər hansı birinin baş verməsindən ibarət hadisədir.

Uyğun olmayan hadisələrin ehtimallarını toplamaq üçün teorem etibarlıdır: iki uyğun olmayan hadisənin cəminin ehtimalı bu hadisələrin ehtimallarının cəminə bərabərdir , yəni. . Bu teorem istənilən sonlu sayda uyğun olmayan hadisələrə qədər genişləndirilə bilər.

Bu teoremdən belə çıxır:

tam qrup təşkil edən hadisələrin ehtimallarının cəmi birə bərabərdir;

əks hadisələrin ehtimallarının cəmi birə bərabərdir, yəni.
.

Misal 1 . Qutuda 2 ağ, 3 qırmızı və 5 mavi top var. Toplar qarışdırılır və biri təsadüfi olaraq çəkilir. Topun rəngli olma ehtimalı nədir?

Həll . Hadisələri qeyd edək:

A=(rəngli top çəkilmişdir);

B=(ağ top çəkilir);

C=(qırmızı top çəkilmişdir);

D=(mavi top çəkilmişdir).

Sonra A= C+ D. Hadisələrdən bəri C, D uyğunsuzdur, onda biz uyğun olmayan hadisələrin ehtimallarını toplamaq üçün teoremdən istifadə edəcəyik: .

Misal 2 . Qabda 4 ağ və 6 qara top var. Qabdan təsadüfi olaraq 3 top çəkilir. Onların hamısının eyni rəngdə olma ehtimalı nədir?

Həll . Hadisələri qeyd edək:

A=(eyni rəngli toplar çəkilir);

B=(ağ toplar çıxarılır);

C=(qara toplar çıxarılır).

Çünki A= B+ C və hadisələr IN Və İLƏ uyğunsuzdur, onda uyğun olmayan hadisələrin ehtimallarının əlavə edilməsi teoremi ilə
. Hadisənin baş vermə ehtimalı IN bərabərdir
, Harada
4,

. Gəlin əvəz edək k Və n formuluna daxil edirik və alırıq
Eynilə, hadisənin baş vermə ehtimalını tapırıq İLƏ:
, Harada
,
, yəni.
. Sonra
.

Misal 3 . 36 kartdan ibarət göyərtədən 4 kart təsadüfi olaraq çəkilir. Onların arasında ən azı üç asın olması ehtimalını tapın.

Həll . Hadisələri qeyd edək:

A=(çıxarılan kartlar arasında ən azı üç as var);

B=(çıxarılan kartlar arasında üç as var);

C=(çıxarılan kartlar arasında dörd as var).

Çünki A= B+ C, və hadisələr IN Və İLƏ uyğun gəlmir, onda
. Hadisələrin ehtimallarını tapaq IN Və İLƏ:

,
. Buna görə çəkilmiş kartlar arasında ən azı üç asın olması ehtimalı bərabərdir

0.0022.

Çoxalma Ehtimalları

İş iki hadisə A Və IN hadisə adlanır İLƏ, bu hadisələrin birgə baş verməsindən ibarətdir:
. Bu tərif istənilən sonlu sayda hadisələrə aiddir.

İki hadisə adlanır müstəqil , əgər onlardan birinin baş vermə ehtimalı digər hadisənin baş verib-verməməsindən asılı deyilsə. Hadisələr ,, … ,adlandırılır kollektiv müstəqil , əgər onların hər birinin baş vermə ehtimalı digər hadisələrin baş verib-verməməsindən asılı deyilsə.

Misal 4 . İki atıcı hədəfə atəş açır. Hadisələri qeyd edək:

A=(ilk atıcı hədəfi vurdu);

B=(ikinci atıcı hədəfi vurdu).

Aydındır ki, birinci atıcının hədəfə dəymə ehtimalı ikinci atıcının vurub vurmamasından və ya əksindən asılı deyil. Buna görə də hadisələr A Və IN müstəqil.

Müstəqil hadisələrin ehtimallarını vurmaq üçün teorem etibarlıdır: iki müstəqil hadisənin hasilinin ehtimalı bu hadisələrin ehtimallarının hasilinə bərabərdir : .

Bu teorem üçün də etibarlıdır n kollektiv müstəqil hadisələr: .

Misal 5 . İki atıcı eyni hədəfə atəş açır. Birinci atıcının vurulma ehtimalı 0,9, ikincinin isə 0,7-dir. Hər iki atıcı bir-bir atəş açır. Hədəfdə iki vuruşun olma ehtimalını müəyyənləşdirin.

Həll . Hadisələri qeyd edək:

A

B

C=(hər iki atıcı hədəfi vuracaq).

Çünki
, və hadisələr A Və IN deməli müstəqildirlər
, yəni..

Hadisələr A Və IN adlandırılır asılı , əgər onlardan birinin baş vermə ehtimalı başqa bir hadisənin baş verib-verməməsindən asılıdırsa. Hadisənin baş vermə ehtimalı A bir şərtlə ki, hadisə IN artıq gəlib, adlanır şərti ehtimal və təyin edilir
və ya
.

Misal 6 . Qabda 4 ağ və 7 qara top var. Toplar qabdan çıxarılır. Hadisələri qeyd edək:

A=(ağ top çəkildi);

B=(qara top çəkilmişdir).

Topları qabdan çıxarmağa başlamazdan əvvəl
. Bir top urnadan götürüldü və qara oldu. Sonra hadisənin baş vermə ehtimalı A hadisədən sonra IN başqa, bərabər olacaq . Bu, bir hadisənin baş vermə ehtimalı deməkdir A hadisədən asılıdır IN, yəni. bu hadisələr asılı olacaq.

Asılı hadisələrin ehtimallarını vurmaq üçün teorem etibarlıdır: iki asılı hadisənin baş vermə ehtimalı onlardan birinin ehtimalı ilə digərinin şərti ehtimalının hasilinə bərabərdir, birinci hadisənin artıq baş verdiyi fərziyyəsi ilə hesablanır., yəni. və ya.

Misal 7 . Qabda 4 ağ və 8 qırmızı top var. Ondan təsadüfi olaraq ardıcıl olaraq iki top çəkilir. Hər iki topun qara olması ehtimalını tapın.

Həll . Hadisələri qeyd edək:

A=(ilk olaraq qara top çəkilir);

B=(ikinci qara top çəkilir).

Hadisələr A Və IN asılı olduğundan
, A
. Sonra
.

Misal 8 . Üç atıcı bir-birindən asılı olmayaraq hədəfə atəş açır. Birinci atıcı üçün hədəfi vurma ehtimalı 0,5, ikinci üçün - 0,6 və üçüncü üçün - 0,8-dir. Hər bir atıcı bir atəş açsa, hədəfə iki vuruş olma ehtimalını tapın.

Həll . Hadisələri qeyd edək:

A=(hədəf iki vuruş olacaq);

B=(ilk atıcı hədəfi vuracaq);

C=(ikinci atıcı hədəfi vuracaq);

D=(üçüncü atıcı hədəfi vuracaq);

=(ilk atıcı hədəfi vurmayacaq);

=(ikinci atıcı hədəfi vurmayacaq);

=(üçüncü atıcı hədəfi vurmayacaq).

Nümunəyə görə
,
,
,

,
,
. Uyğun olmayan hadisələrin ehtimallarını toplamaq üçün teoremdən və müstəqil hadisələrin ehtimallarını çoxaltma teoremindən istifadə edərək, əldə edirik:

Hadisələrə icazə verin
bəzi test hadisələrinin tam qrupunu və hadisələrini təşkil edir A yalnız bu hadisələrdən biri ilə baş verə bilər. Hadisənin ehtimalları və şərti ehtimalları məlumdursa A, onda A hadisəsinin ehtimalı düsturla hesablanır:

və ya
. Bu formula deyilir ümumi ehtimal düsturu , və hadisələr
fərziyyələr .

Misal 9 . Konveyer ilk dəzgahdan 700, 300 hissə qəbul edir ikincidən. Birinci maşın 0,5% qırıntı, ikincisi isə 0,7% istehsal edir. Alınan hissənin qüsurlu olma ehtimalını tapın.

Həll . Hadisələri qeyd edək:

A=(alınan hissə qüsurlu olacaq);

=(hissə birinci maşında hazırlanmışdır);

=(hissə ikinci maşında hazırlanır).

Hissənin birinci maşında hazırlanma ehtimalı bərabərdir
. İkinci maşın üçün
. Şərtə görə, birinci dəzgahda hazırlanmış qüsurlu hissənin alınma ehtimalı bərabərdir
. İkinci maşın üçün bu ehtimal bərabərdir
. Sonra alınan hissənin qüsurlu olma ehtimalı ümumi ehtimal düsturu ilə hesablanır

Sınaq nəticəsində hansısa hadisənin baş verdiyi məlumdursa A, onda bu hadisənin fərziyyə ilə baş vermə ehtimalı
, bərabərdir
, Harada
- hadisənin ümumi ehtimalı A. Bu formula deyilir Bayes düsturu və hadisələrin ehtimallarını hesablamağa imkan verir
Hadisənin ardından məlum oldu A artıq gəlib.

Misal 10 . Eyni tipli avtomobil hissələri iki zavodda istehsal olunur və mağazaya çatdırılır. Birinci zavod hissələrin ümumi sayının 80%-ni, ikincisi isə 20%-ni istehsal edir. Birinci zavodun məhsullarında standart hissələrin 90%, ikincisi isə 95% təşkil edir. Alıcı bir hissə aldı və standart oldu. Bu hissənin ikinci zavodda istehsal olunma ehtimalını tapın.

Həll . Hadisələri qeyd edək:

A=(standart hissə alınıb);

=(hissə birinci zavodda istehsal olunub);

=(hissə ikinci zavodda istehsal olunub).

Nümunəyə görə
,
,
Və
. Hadisənin ümumi ehtimalını hesablayaq A: 0.91. Bayes düsturundan istifadə edərək hissənin ikinci zavodda istehsal olunma ehtimalını hesablayırıq:

.

Müstəqil iş üçün tapşırıqlar

Birinci atıcı üçün hədəfi vurma ehtimalı 0,8, ikinci üçün - 0,7 və üçüncü üçün - 0,9-dur. Atıcılar hərəyə bir atəş açıblar. Hədəfdə ən azı iki vuruş olması ehtimalını tapın.

Təmir sexinə 15 traktor verilib. Məlumdur ki, onlardan 6-sı mühərriki, qalanları isə ayrı-ayrı komponentləri dəyişdirməlidir. Təsadüfi olaraq üç traktor seçilir. Seçilmiş ikidən çox olmayan traktor üçün mühərrikin dəyişdirilməsinin zəruri olma ehtimalını tapın.

Dəmir-beton zavodunda panellər istehsal olunur ki, onların da 80%-i yüksək keyfiyyətlidir. Təsadüfi seçilmiş üç paneldən ən azı ikisinin ən yüksək dərəcəli olması ehtimalını tapın.

Üç işçi podşipnikləri yığır. Birinci işçi tərəfindən yığılmış rulmanın ən yüksək keyfiyyətə malik olma ehtimalı 0,7, ikincisi üçün - 0,8, üçüncüsü üçün - 0,6-dır. Nəzarət üçün hər bir işçi tərəfindən yığılanlardan təsadüfi olaraq bir rulman götürüldü. Onlardan ən azı ikisinin yüksək keyfiyyətli olması ehtimalını tapın.

Birinci lotereya biletinin udma ehtimalı 0,2, ikincisi 0,3, üçüncüsü isə 0,25-dir. Hər buraxılış üçün bir bilet var. Ən azı iki biletin qalib gəlməsi ehtimalını tapın.

Mühasib üç istinad kitabından istifadə edərək hesablamalar aparır. Onu maraqlandıran məlumatların birinci kataloqda olma ehtimalı 0,6, ikincidə 0,7, üçüncüdə isə 0,8-dir. Mühasibi maraqlandıran məlumatların ikidən çox olmayan kataloqda olması ehtimalını tapın.

Üç maşın hissələri istehsal edir. Birinci maşın 0,9 ehtimalla, ikincisi 0,7 ehtimalla, üçüncüsü isə 0,6 ehtimalla ən yüksək keyfiyyətli bir hissə istehsal edir. Hər maşından təsadüfi olaraq bir hissə alınır. Onlardan ən azı ikisinin yüksək keyfiyyətli olması ehtimalını tapın.

Eyni tipli hissələr iki maşında işlənir. Birinci maşın üçün qeyri-standart hissənin istehsal ehtimalı 0,03, ikincisi üçün 0,02-dir. İşlənmiş hissələr bir yerdə saxlanılır. Onların 67%-i birinci maşından, qalanları isə ikinci maşındandır. Təsadüfi olaraq alınan hissə standart oldu. Onun ilk maşında hazırlanma ehtimalını tapın.

Seminar eyni tipli kondansatörlərdən iki qutu aldı. Birinci qutuda 20 kondansatör var idi, onlardan 2-si nasaz idi. İkinci qutuda 10 kondansatör var, onlardan 3-ü nasazdır. Kondansatörlər bir qutuya yerləşdirildi. Qutudan təsadüfi götürülmüş kondansatörün yaxşı vəziyyətdə olması ehtimalını tapın.

Üç maşın eyni tipli hissələri istehsal edir, onlar ümumi konveyerə verilir. Bütün hissələrin 20%-i birinci maşından, 30%-i ikincidən, 505-i isə üçüncü maşındandır. Birinci maşında standart hissənin istehsal ehtimalı 0,8, ikincidə - 0,6, üçüncüdə - 0,7-dir. Alınan hissənin standart olduğu ortaya çıxdı. Bu hissənin üçüncü maşında hazırlanması ehtimalını tapın.

Montajçı montaj üçün hissələrin 40%-ni zavoddan alır A, qalanları isə zavoddan IN. Hissənin fabrikdən olması ehtimalı A– üstün keyfiyyət, 0,8-ə bərabər və zavoddan IN– 0,9. Montajçı təsadüfi bir hissəni götürdü və keyfiyyətsiz olduğu ortaya çıxdı. Bu hissənin zavoddan olması ehtimalını tapın IN.

Birinci qrupdan 10, ikinci qrupdan 8 şagird tələbə idman yarışlarında iştirak etmək üçün ayrılıb. Birinci qrupdan olan tələbənin akademiya komandasına daxil olma ehtimalı 0,8, ikinci qrupdan isə 0,7-dir. Təsadüfi olaraq seçilmiş bir tələbə komandaya daxil edildi. Onun birinci qrupdan olması ehtimalını tapın.

Bernoulli düsturu

Testlər çağırılır müstəqil , əgər onların hər biri üçün hadisə A eyni ehtimalla baş verir
, bu hadisənin digər sınaqlarda görünüb və ya görünməməsindən asılı olmayaraq. Əks hadisənin baş vermə ehtimalı bu halda bərabərdir
.

Misal 11 . Zərlər atılır n bir dəfə. Hadisəni qeyd edək A= (üç xal yuvarlanır). Hadisənin baş vermə ehtimalı A hər sınaqda bərabərdir və bu hadisənin digər sınaqlarda baş verib-verməməsindən asılı deyil. Buna görə də, bu testlər müstəqildir. Əks hadisənin baş vermə ehtimalı
(üç nöqtəni yuvarlamamaq) bərabərdir
.

Ehtimal ki, daxil n müstəqil sınaqlar, hər birində hadisənin baş vermə ehtimalı A bərabərdir səh, hadisə tam olaraq baş verəcək k dəfə (hansı ardıcıllıqla fərqi yoxdur), düsturla hesablanır
, Harada
. Bu formula deyilir Bernoulli düsturu və testlərin sayı n çox böyük olmadıqda rahatdır.

Misal 12 . Xəstəliyə gizli formada yoluxmuş meyvələrin nisbəti 25% təşkil edir. 6 meyvə təsadüfi seçilir. Seçilənlər arasında aşağıdakıların olma ehtimalını tapın: a) tam 3 yoluxmuş meyvə; b) ikidən artıq yoluxmuş meyvə.

Həll . Nümunə şərtlərinə görə.

a) Bernoulli düsturuna görə, seçilmiş altı meyvədən tam üçünün yoluxma ehtimalı bərabərdir.

0.132.

b) Hadisəni işarə edək A=(iki meyvədən çoxu yoluxmayacaq). Sonra . Bernoulli düsturuna görə:

0.297.

Beləliklə,
0.178+0.356+0.297=0.831.

Laplas və Puasson teoremləri

Hadisənin baş vermə ehtimalını tapmaq üçün Bernoulli düsturu istifadə olunur A gələcək k hər dəfə n müstəqil sınaqlar və hər sınaqda hadisənin baş vermə ehtimalı A daimidir. Böyük n dəyərləri üçün Bernoulli düsturu ilə hesablamalar zəhmətli olur. Bu halda hadisənin baş vermə ehtimalını hesablamaq üçün A Başqa bir düsturdan istifadə etmək daha yaxşı olardı.

Yerli Laplas teoremi . Ehtimal olsun səh hadisənin baş verməsi A hər sınaqda sabitdir və sıfırdan birdən fərqlidir. Sonra hadisənin olma ehtimalı A dəqiq gələcək k dəfə kifayət qədər çox sayda n testlə, düsturla hesablanır

, Harada
, və funksiya dəyərləri
cədvəldə verilmişdir.

Funksiyanın əsas xassələri
bunlardır:

Funksiya
intervalda müəyyən edilmiş və davamlıdır
.

Funksiya
müsbətdir, yəni.
>0.

Funksiya
hətta, yəni.
.

Funksiyadan bəri
bərabərdir, onda cədvəl onun dəyərlərini yalnız müsbət dəyərlər üçün göstərir X.

Misal 13 . Buğda toxumlarının cücərmə dərəcəsi 80% təşkil edir. Təcrübə üçün 100 toxum seçilir. Seçilmiş toxumlardan tam 90-nın cücərmə ehtimalını tapın.

Həll . Nümunəyə görə n=100, k=90, səh=0.8, q=1-0,8=0,2. Sonra
. Cədvəldən istifadə edərək funksiyanın dəyərini tapırıq
:
. Seçilmiş toxumlardan tam olaraq 90-nın cücərmə ehtimalı bərabərdir
0.0044.

Praktiki məsələləri həll edərkən hadisənin baş vermə ehtimalını tapmaq lazım gəlir A saat n müstəqil testlər az deyil bir dəfə və daha çox bir dəfə. Bu problem istifadə edərək həll olunur Laplasın inteqral teoremi : Ehtimal olsun səh hadisənin baş verməsi A hər birində n müstəqil testlər sabitdir və sıfır və birdən fərqlidir. O zaman hadisənin baş vermə ehtimalı ən azıdır bir dəfə və daha çox dəfə kifayət qədər çox sayda test ilə, düsturla hesablanır

Harada
,
.

Funksiya
çağırdı Laplas funksiyası və elementar funksiyalar vasitəsilə ifadə olunmur. Bu funksiyanın dəyərləri xüsusi cədvəllərdə verilmişdir.

Funksiyanın əsas xassələri
bunlardır:

.

Funksiya
intervalında artır
.

saat
.

Funksiya
qəribə, yəni.
.

Misal 14 . Şirkət 13% yüksək keyfiyyətli olmayan məhsullar istehsal edir. Ən yüksək keyfiyyətli məhsulun sınaqdan keçirilməmiş 150 vahid partiyasında 125-dən az və 135-dən çox olma ehtimalını müəyyənləşdirin.

Həll . işarə edək. Gəlin hesablayaq
,

Ehtimal toplama və vurma teoremləri.

İki hadisənin ehtimallarını toplamaq üçün teorem. İki hadisənin cəminin ehtimalı bu hadisələrin birgə baş vermə ehtimalı olmadan onların ehtimallarının cəminə bərabərdir.:

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).

Uyğun olmayan iki hadisənin ehtimallarını toplamaq üçün teorem. Uyğun olmayan iki hadisənin cəminin ehtimalı bu hadisələrin ehtimallarının cəminə bərabərdir.:

P(A+B)=P(A)+P(B).

Misal 2.16. Atıcı 3 sahəyə bölünmüş hədəfə atəş açır. Birinci sahəni vurma ehtimalı 0,45, ikincisi - 0,35-dir. Atıcının bir atışla birinci və ya ikinci sahəni vurması ehtimalını tapın.

Həll.

Hadisələr A- “atıcı birinci sahəni vurdu” və IN- “atıcı ikinci sahəni vurdu” - uyğunsuzdur (bir sahəyə daxil olmaq digərinə daxil olmağı istisna edir), ona görə də əlavə teoremi tətbiq edilir.

Tələb olunan ehtimal:

P(A+B)=P(A)+P(B)= 0,45+ 0,35 = 0,8.

Ehtimal toplama teoremi P uyğunsuz hadisələr. Uyğun olmayan n hadisənin cəminin ehtimalı bunların ehtimallarının cəminə bərabərdir.:

P(A 1 +A 2 +…+A p)=P(A 1)+P(A 2)+…+P(A p).

Qarşılıqlı hadisələrin ehtimallarının cəmi birə bərabərdir:

Hadisənin baş vermə ehtimalı IN bir şərtlə ki, hadisə baş versin A, hadisənin şərti ehtimalı adlanır IN və aşağıdakı kimi işarələnir: P(V/A), və ya R A (B).

. İki hadisənin baş vermə ehtimalı onlardan birinin ehtimalı ilə digərinin şərti ehtimalının hasilinə bərabərdir, bir şərtlə ki, birinci hadisə baş vermiş olsun:

P(AB)=P(A)P A (B).

Hadisə IN hadisədən asılı deyil A, Əgər

R A (V) = R (V),

olanlar. hadisənin baş vermə ehtimalı IN hadisənin baş verib-verməməsindən asılı deyil A.

İki müstəqil hadisənin ehtimallarının vurulması üçün teorem.İki müstəqil hadisənin hasilinin ehtimalı onların ehtimallarının hasilinə bərabərdir:

P(AB)=P(A)P(B).

Misal 2.17. Birinci və ikinci silahdan atəş açarkən hədəfi vurma ehtimalları müvafiq olaraq bərabərdir: səh 1 = 0,7; səh 2= 0,8. Silahlardan ən azı birinin bir salvo ilə (hər iki silahdan) vurulma ehtimalını tapın.

Həll.

Hər bir silahın hədəfə dəymə ehtimalı digər silahdan açılan atəş nəticəsindən asılı deyil, ona görə də hadisələr A– “ilk silahla vuruldu” və IN– “ikinci silahla vurulan” müstəqildir.

Hadisənin baş vermə ehtimalı AB- "hər iki silah dəydi":

Tələb olunan ehtimal

P(A+B) = P(A) + P(B) – P(AB)= 0,7 + 0,8 – 0,56 = 0,94.

Ehtimalların vurma teoremi P hadisələr.n hadisənin hasilinin ehtimalı onlardan birinin bütün digərlərinin şərti ehtimalları ilə hasilinə bərabərdir və bütün əvvəlki hadisələrin baş verdiyi fərziyyəsi ilə hesablanır:

Misal 2.18. Qabda 5 ağ, 4 qara və 3 mavi top var. Hər bir test bir topu geri qoymadan təsadüfi olaraq çıxarmaqdan ibarətdir. Birinci sınaqda ağ topun (A hadisəsi), ikincidə qara topun (B hadisəsi) və üçüncüdə mavi topun (C hadisəsi) görünməsi ehtimalını tapın.

Həll.

İlk sınaqda ağ topun görünmə ehtimalı:

İkinci sınaqda qara topun görünmə ehtimalı, ilk sınaqda ağ topun göründüyü fərziyyəsi ilə hesablanmış, yəni şərti ehtimal:

Üçüncü sınaqda ağ topun, ikinci sınaqda qara topun görünməsi ehtimalı ilə hesablanmış mavi topun ehtimalı, yəni şərti ehtimal:

Tələb olunan ehtimal:

Ehtimalların vurma teoremi P müstəqil hadisələr.N müstəqil hadisənin hasilinin ehtimalı onların ehtimallarının hasilinə bərabərdir:

P(A 1 A 2…A p)=P(A 1)P(A 2)…P(A p).

Hadisələrdən ən azı birinin baş vermə ehtimalı. A 1, A 2, ..., A n hadisələrinin ən azı birinin baş vermə ehtimalı məcmuda müstəqildir və əks hadisələrin ehtimallarının məhsulu ilə vahid arasındakı fərqə bərabərdir.:

.

Misal 2.19.Üç silahdan atəş açarkən hədəfi vurma ehtimalları aşağıdakılardır: səh 1 = 0,8; səh 2 = 0,7;səh 3= 0,9. Ən azı bir vuruş ehtimalını tapın (hadisə A) bütün silahlardan bir salvo ilə.

Həll.

Hər bir silahın hədəfə dəymə ehtimalı digər silahlardan atəşin nəticələrindən asılı deyil, ona görə də nəzərdən keçirilən hadisələr A 1(ilk silahla vuruldu), A 2(ikinci silahla vuruldu) və A 3(üçüncü silahla vuruldu) məcmu olaraq müstəqildir.

Hadisələrin əksinə olan hadisələrin ehtimalları A 1, A 2 Və A 3(yəni qaçırma ehtimalı) müvafiq olaraq bərabərdir:

, , .

Tələb olunan ehtimal:

Əgər müstəqil hadisələr A 1, A 2, …, A p ilə eyni ehtimala malikdir R, onda bu hadisələrdən ən azı birinin baş vermə ehtimalı düsturla ifadə edilir:

Р(А)= 1 – q n ,

Harada q=1- səh

2.7. Ümumi ehtimal düsturu. Bayes düsturu.

Hadisə olsun A uyğun olmayan hadisələrdən birinin baş verməsi şərti ilə baş verə bilər N 1, N 2, …, N səh, hadisələrin tam qrupunu təşkil edir. Bu hadisələrdən hansının baş verəcəyi əvvəlcədən bilinmədiyi üçün çağırılır fərziyyələr.

Hadisənin baş vermə ehtimalı A tərəfindən hesablanır ümumi ehtimal düsturu:

P(A)=P(N 1)P(A/N 1)+ P(N 2)P(A/N 2)+…+ P(N p)P(A/N p).

Fərz edək ki, hadisə nəticəsində bir təcrübə aparılıb A baş verdi. Hadisələrin şərti ehtimalları N 1, N 2, …, N səh hadisə ilə bağlı A müəyyən edilir Bayes düsturları:

,

Misal 2.20. İmtahana gələn 20 nəfərdən ibarət qrupda 6 nəfər əla, 8 nəfər yaxşı, 4 nəfər qənaətbəxş, 2 nəfər zəif hazırlanıb. İmtahan vərəqlərində 30 sual var. Yaxşı hazırlanmış tələbə 30 sualın hamısına, yaxşı hazırlanmış tələbə 24 suala, yaxşı hazırlanmış tələbə 15 suala, zəif hazırlanmış tələbə 7 suala cavab verə bilər.

Təsadüfi olaraq çağırılan bir tələbə təsadüfi üç cavab verdi. suallar verildi. Bu şagirdin hazırlıqlı olması ehtimalını tapın: a) əla; b) pis.

Həll.

Hipotezlər – “şagird yaxşı hazırlanıb”;

– “tələbə yaxşı hazırlanıb”;

– “şagird kifayət qədər hazırdır”;

– “Tələbə zəif hazırlanıb”.

Təcrübədən əvvəl:

; ; ; ;

7. Hadisələrin tam qrupu nə adlanır?

8. Hansı hadisələr eyni dərəcədə mümkün adlanır? Belə hadisələrə misallar gətirin.

9. Elementar nəticə nə adlanır?

10. Mən bu hadisə üçün hansı nəticələri əlverişli hesab edirəm?

11. Hadisələr üzərində hansı əməliyyatlar aparıla bilər? Onları müəyyənləşdirin. Onlar necə təyin olunur? Nümunələr verin.

12. Ehtimal nə adlanır?

13. Etibarlı hadisənin baş vermə ehtimalı nədir?

14. Qeyri-mümkün hadisənin baş vermə ehtimalı nədir?

15. Ehtimal hədləri hansılardır?

16. Müstəvidə həndəsi ehtimal necə təyin olunur?

17. Ehtimal fəzada necə müəyyən edilir?

18. Düz xəttdə ehtimal necə müəyyən edilir?

19. İki hadisənin cəminin ehtimalı nədir?

20. Uyğun olmayan iki hadisənin cəminin ehtimalı neçədir?

21. Uyğun olmayan n hadisənin cəminin ehtimalı nədir?

22. Hansı ehtimal şərti adlanır? Bir misal göstərin.

23. Ehtimalların vurma teoremini qeyd edin.

24. Hadisələrdən heç olmasa birinin baş vermə ehtimalını necə tapmaq olar?

25. Hansı hadisələrə fərziyyə deyilir?

26. Ümumi ehtimal düsturu və Bayes düsturu nə vaxt istifadə olunur?