На лекцията се изучават ЛНДУ - линейни нехомогенни диференциални уравнения. Разглежда се структурата на общото решение, решението на LPDE с помощта на метода на вариация на произволни константи, решението на LPDE с постоянни коефициентии дясната страна от специален тип. Разглежданите въпроси се използват при изучаването на принудените трептения във физиката, електротехниката и електрониката и теорията на автоматичното управление.
1. Структура на общото решение на линейно нехомогенно диференциално уравнение от 2-ри ред.
Нека първо разгледаме линейно нехомогенно уравнение от произволен ред:
Като вземем предвид нотацията, можем да напишем:
В този случай ще приемем, че коефициентите и дясната страна на това уравнение са непрекъснати на определен интервал.
Теорема. Общото решение на линейно нехомогенно диференциално уравнение в определена област е сумата от всяко негово решение и общото решение на съответното линейно нехомогенно диференциално уравнение.
Доказателство.Нека Y е някакво решение на нехомогенно уравнение.
След това, когато заместваме това решение в оригиналното уравнение, получаваме идентичността:
Позволявам 
- фундаментална системарешения на линейно хомогенно уравнение 
. Тогава общото решение на хомогенното уравнение може да се запише като:
По-специално, за линейно нехомогенно диференциално уравнение от 2-ри ред структурата на общото решение има формата:
Където 
е фундаменталната система от решения на съответното хомогенно уравнение, и 
- всяко конкретно решение на нехомогенно уравнение.
По този начин, за да се реши линейно нехомогенно диференциално уравнение, е необходимо да се намери общо решение на съответното хомогенно уравнение и по някакъв начин да се намери едно конкретно решение нехомогенно уравнение. Обикновено се намира чрез селекция. Ще разгледаме методите за избор на частно решение в следващите въпроси.
2. Вариационен метод
На практика е удобно да се използва методът на вариране на произволни константи.
За да направите това, първо намерете общо решение на съответното хомогенно уравнение във формата:
След това, поставяне на коефициентите ° С азфункции от х, се търси решение на нехомогенното уравнение:
Може да се докаже, че за намиране на функции ° С аз (х) трябва да решим системата от уравнения:
Пример.Решете уравнението 
Решаване на линейно хомогенно уравнение 
Решението на нехомогенното уравнение ще има формата:
Нека създадем система от уравнения:
Нека решим тази система:
От релацията намираме функцията О).
Сега намираме B(x).
Заместваме получените стойности във формулата за общото решение на нехомогенното уравнение:
Окончателен отговор: 
Най-общо казано, методът на вариация на произволни константи е подходящ за намиране на решения на всяко линейно нехомогенно уравнение. Но защото Намирането на фундаменталната система от решения на съответното хомогенно уравнение може да бъде доста трудна задача; този метод се използва главно за нехомогенни уравнения с постоянни коефициенти.
3. Уравнения с дясна страна на специален вид
Изглежда възможно да си представим вида на дадено решение в зависимост от вида на дясната страна на нехомогенното уравнение.
Разграничават се следните случаи:
I. Дясната страна на линейното нехомогенно диференциално уравнение има формата:
където е полином от степен м.
След това се търси конкретно решение във формата:
Тук Q(х) - полином от същата степен като П(х) , но с неопределени коефициенти, и r– число, показващо колко пъти числото е корен на характеристичното уравнение за съответното линейно хомогенно диференциално уравнение.
Пример.Решете уравнението 
.
Нека решим съответното хомогенно уравнение: 
Сега нека намерим конкретно решение на първоначалното нехомогенно уравнение.
Нека сравним дясната страна на уравнението с формата на дясната страна, обсъдена по-горе.
Търсим конкретно решение във формата: 
, Където
Тези. 
Сега нека определим неизвестните коефициенти АИ IN.
Нека заместим конкретно решение в общ изгледв първоначалното нехомогенно диференциално уравнение.
Общо, лично решение: 
Тогава общото решение на линейно нехомогенно диференциално уравнение е:
II. Дясната страна на линейното нехомогенно диференциално уравнение има формата:
Тук Р 1 (Х)И Р 2 (Х)– полиноми от степен м 1 и м 2 съответно.
Тогава определено решение на нехомогенното уравнение ще има формата:
къде е номерът rпоказва колко пъти дадено число 
е коренът на характеристичното уравнение за съответното хомогенно уравнение, и Q 1
(х)
И
Q 2
(х)
– полиноми със степен не по-висока от м, Където м- най-голямата от степените м 1
И м 2
.
Обобщена таблица на видовете частни решения
за различни видове десни страни
|
Дясна страна на диференциалното уравнение |
характеристично уравнение |
Видове частни |
|
|
|
1. Числото не е корен на характеристичното уравнение |
|
|
|
2. Числото е коренът на характеристичното уравнение на кратността |
|
||
|
|
1. Брой |
|
|
|
2. Брой |
|
||
|
1. Числа |
|
||
|
2. Числа |
|
||
|
1. Числа | |||
|
2. Числа |
не е корен на характеристичното уравнение
е коренът на характеристичното уравнение на множествеността 
са корените на характеристичното уравнение на множествеността 
не са корени на уравнението за характеристична множественост 
са корените на характеристичното уравнение на множествеността 
Обърнете внимание, че ако дясната страна на уравнението е комбинация от изрази от вида, разгледан по-горе, тогава решението се намира като комбинация от решения на спомагателни уравнения, всяко от които има дясна страна, съответстваща на израза, включен в комбинацията.
Тези. ако уравнението е: 
, тогава определено решение на това уравнение ще бъде 
Където при 1
И при 2
– частни решения на спомагателни уравнения
И 
За да илюстрираме, нека решим горния пример по различен начин.
Пример.Решете уравнението 
Нека представим дясната страна на диференциалното уравнение като сбор от две функции f 1 (х) + f 2 (х) = х + (- грях х).
Нека съставим и решим характеристичното уравнение:
Получаваме: т.е. 
Обща сума: 
Тези. търсеното конкретно решение има формата: 
Общо решение на нехомогенно диференциално уравнение:
Нека да разгледаме примери за прилагането на описаните методи.
Пример 1..Решете уравнението 
Нека съставим характеристично уравнение за съответното линейно хомогенно диференциално уравнение:
Сега нека намерим конкретно решение на нехомогенното уравнение във формата:
Нека използваме метода несигурни коефициенти.
Замествайки в първоначалното уравнение, получаваме:
Конкретно решение има формата: 
Общо решение на линейно нехомогенно уравнение: 
Пример.Решете уравнението 
Характеристично уравнение:
Общо решение на хомогенното уравнение: 
Частно решение на нехомогенното уравнение: 
.
Намираме производните и ги заместваме в първоначалното нехомогенно уравнение:
Получаваме общо решение на нехомогенното диференциално уравнение:
Тази статия разглежда проблема с решаването на линейни нехомогенни диференциални уравнения от втори ред с постоянни коефициенти. Теорията ще бъде обсъдена заедно с примери за дадени задачи. За да дешифрирате неясни термини, е необходимо да се обърнете към темата за основните дефиниции и понятия от теорията на диференциалните уравнения.
Нека разгледаме линейно диференциално уравнение (LDE) от втори ред с постоянни коефициенти под формата y "" + p · y " + q · y = f (x), където p и q са произволни числа и съществуващата функция f (x) е непрекъснат в интервала на интегриране x.
Нека преминем към формулировката на теоремата за общото решение на LNDE.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Обща теорема за решение за LDNU
Теорема 1Общо решение, разположено в интервала x, на нехомогенно диференциално уравнение от вида y (n) + f n - 1 (x) · y (n - 1) + . . . + f 0 (x) · y = f (x) с коефициенти на непрекъснато интегриране на x интервала f 0 (x) , f 1 (x) , . . . , f n - 1 (x) и непрекъсната функция f (x) е равно на сумата от общото решение y 0, което съответства на LOD и някое конкретно решение y ~, където първоначалното нехомогенно уравнение е y = y 0 + y ~.
Това показва, че решението на такова уравнение от втори ред има формата y = y 0 + y ~ . Алгоритъмът за намиране на y 0 е разгледан в статията за линейни хомогенни диференциални уравнения от втори ред с постоянни коефициенти. След което трябва да преминем към дефиницията на y ~.
Изборът на конкретно решение на LPDE зависи от типа на наличната функция f (x), разположена от дясната страна на уравнението. За да направите това, е необходимо да се разгледат отделно решенията на линейни нееднородни диференциални уравнения от втори ред с постоянни коефициенти.
Когато f (x) се счита за полином от n-та степен f (x) = P n (x), следва, че определено решение на LPDE се намира с помощта на формула от вида y ~ = Q n (x ) x γ, където Q n ( x) е полином от степен n, r е броят на нулевите корени характеристично уравнение. Стойността y ~ е конкретно решение y ~ "" + p y ~ " + q y ~ = f (x) , тогава наличните коефициенти, които се определят от полинома
Q n (x), намираме с помощта на метода на неопределените коефициенти от равенството y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x).
Пример 1
Изчислете с помощта на теоремата на Коши y "" - 2 y " = x 2 + 1 , y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 .
Решение
С други думи, необходимо е да се премине към конкретно решение на линейно нехомогенно диференциално уравнение от втори ред с постоянни коефициенти y "" - 2 y " = x 2 + 1, което ще отговаря на дадените условия y (0) = 2, y " (0) = 1 4 .
Общото решение на линейно нехомогенно уравнение е сумата от общото решение, което съответства на уравнението y 0 или конкретно решение на нехомогенното уравнение y ~, т.е. y = y 0 + y ~.
Първо ще намерим общо решение за LNDU, а след това конкретно.
Нека да преминем към намирането на y 0. Записването на характеристичното уравнение ще ви помогне да намерите корените. Разбираме това
k 2 - 2 k = 0 k (k - 2) = 0 k 1 = 0, k 2 = 2
Открихме, че корените са различни и реални. Затова нека запишем
y 0 = C 1 e 0 x + C 2 e 2 x = C 1 + C 2 e 2 x.
Нека намерим y ~ . Вижда се, че дясната страна на даденото уравнение е полином от втора степен, тогава един от корените е равен на нула. От това получаваме, че определено решение за y ~ ще бъде
y ~ = Q 2 (x) x γ = (A x 2 + B x + C) x = A x 3 + B x 2 + C x, където стойностите на A, B, C приемат неопределени коефициенти.
Нека ги намерим от равенство от вида y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 .
Тогава получаваме това:
y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 (A x 3 + B x 2 + C x) "" - 2 (A x 3 + B x 2 + C x) " = x 2 + 1 3 A x 2 + 2 B x + C " - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 6 A x + 2 B - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 - 6 A x 2 + x (6 A - 4 B) + 2 B - 2 C = x 2 + 1
Приравнявайки коефициентите с еднакви показатели на x, получаваме система от линейни изрази - 6 A = 1 6 A - 4 B = 0 2 B - 2 C = 1. Когато решаваме по някой от методите, ще намерим коефициентите и ще запишем: A = - 1 6, B = - 1 4, C = - 3 4 и y ~ = A x 3 + B x 2 + C x = - 1 6 x 3 - 1 4 x 2 - 3 4 x .
Този запис се нарича общо решение на оригиналното линейно нехомогенно диференциално уравнение от втори ред с постоянни коефициенти.
За да се намери конкретно решение, което отговаря на условията y (0) = 2, y "(0) = 1 4, е необходимо да се определят стойностите C 1И C 2, основано на равенство от формата y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x.
Получаваме това:
y (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x x = 0 = C 1 + C 2 y " (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x " x = 0 = = 2 C 2 e 2 x - 1 2 x 2 + 1 2 x + 3 4 x = 0 = 2 C 2 - 3 4
Работим с получената система от уравнения под формата C 1 + C 2 = 2 2 C 2 - 3 4 = 1 4, където C 1 = 3 2, C 2 = 1 2.
Прилагайки теоремата на Коши, имаме това
y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x = = 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x
Отговор: 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x .
Когато функцията f (x) е представена като произведение на полином със степен n и експонента f (x) = P n (x) · e a x , тогава получаваме, че определено решение на LPDE от втори ред ще бъде уравнение от вида y ~ = e a x · Q n ( x) x γ, където Q n (x) е полином от n-та степен, а r е броят на корените на характеристичното уравнение, равен на α.
Коефициентите, принадлежащи на Q n (x), се намират чрез равенството y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .
Пример 2
Намерете общото решение на диференциално уравнение от формата y "" - 2 y " = (x 2 + 1) · e x .
Решение
Общото уравнение е y = y 0 + y ~ . Посоченото уравнение съответства на LOD y "" - 2 y " = 0. От предишния пример се вижда, че неговите корени са равни k 1 = 0и k 2 = 2 и y 0 = C 1 + C 2 e 2 x чрез характеристичното уравнение.
Може да се види, че дясната страна на уравнението е x 2 + 1 · e x . Оттук LPDE се намира чрез y ~ = e a x · Q n (x) · x γ, където Q n (x) е полином от втора степен, където α = 1 и r = 0, тъй като характеристичното уравнение не имат корен равен на 1. От тук разбираме това
y ~ = e a x · Q n (x) · x γ = e x · A x 2 + B x + C · x 0 = e x · A x 2 + B x + C .
A, B, C са неизвестни коефициенти, които могат да бъдат намерени чрез равенството y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) · e x.
Разбрах това
y ~ " = e x · A x 2 + B x + C " = e x · A x 2 + B x + C + e x · 2 A x + B = = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C y ~ " " = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C " = = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C + e x · 2 A x + 2 A + B = = e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C
y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) e x ⇔ e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C - - 2 e x A x 2 + x 2 A + B + B + C = x 2 + 1 · e x ⇔ e x · - A x 2 - B x + 2 A - C = (x 2 + 1) · e x ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = x 2 + 1 ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = 1 x 2 + 0 x + 1
Приравняваме показателите с еднакви коефициенти и получаваме системата линейни уравнения. От тук намираме A, B, C:
A = 1 - B = 0 2 A - C = 1 ⇔ A = - 1 B = 0 C = - 3
Отговор:ясно е, че y ~ = e x · (A x 2 + B x + C) = e x · - x 2 + 0 · x - 3 = - e x · x 2 + 3 е конкретно решение на LNDDE и y = y 0 + y = C 1 e 2 x - e x · x 2 + 3 - общо решение за нехомогенно дифференциално уравнение от втори ред.
Когато функцията е записана като f (x) = A 1 cos (β x) + B 1 sin β x и A 1И В 1са числа, тогава частично решение на LPDE се счита за уравнение от формата y ~ = A cos β x + B sin β x · x γ, където A и B се считат за неопределени коефициенти, а r е броят на комплексно спрегнати корени, свързани с характеристичното уравнение, равно на ± i β . В този случай търсенето на коефициенти се извършва с помощта на равенството y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x).
Пример 3
Намерете общото решение на диференциално уравнение под формата y "" + 4 y = cos (2 x) + 3 sin (2 x) .
Решение
Преди да напишем характеристичното уравнение, намираме y 0. Тогава
k 2 + 4 = 0 k 2 = - 4 k 1 = 2 i , k 2 = - 2 i
Имаме двойка комплексно спрегнати корени. Нека трансформираме и получаваме:
y 0 = e 0 (C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x)) = C 1 cos 2 x + C 2 sin (2 x)
Корените на характеристичното уравнение се считат за спрегнатата двойка ± 2 i, тогава f (x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x). Това показва, че търсенето на y ~ ще бъде направено от y ~ = (A cos (β x) + B sin (β x) x γ = (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x. Неизвестни Ще търсим коефициенти A и B от равенство от формата y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) .
Нека трансформираме:
y ~ " = ((A cos (2 x) + B sin (2 x) x) " = = (- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x) y ~ "" = ((- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x)) " = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) - - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x)
Тогава е ясно, че
y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x) + + 4 (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x)
Необходимо е да се приравнят коефициентите на синусите и косинусите. Получаваме система от вида:
4 A = 3 4 B = 1 ⇔ A = - 3 4 B = 1 4
От това следва, че y ~ = (A cos (2 x) + B sin (2 x) x = - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x.
Отговор:разглежда се общото решение на оригиналния LDDE от втори ред с постоянни коефициенти
y = y 0 + y ~ = = C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x) + - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x
Когато f (x) = e a x · P n (x) sin (β x) + Q k (x) cos (β x), тогава y ~ = e a x · (L m (x) sin (β x) + N m (x) cos (β x) x γ е броят на комплексно спрегнатите двойки корени, свързани с характеристичното уравнение, равно на α ± i β, където P n (x), Q k (x), L m (x) и Nm(x)са полиноми от степен n, k, m, m, където m = m a x (n, k). Намиране на коефициенти Lm(x)И Nm(x)се прави въз основа на равенството y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .
Пример 4
Намерете общото решение y "" + 3 y " + 2 y = - e 3 x · ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) .
Решение
Според условието е ясно, че
α = 3, β = 5, P n (x) = - 38 x - 45, Q k (x) = - 8 x + 5, n = 1, k = 1
Тогава m = m a x (n, k) = 1. Намираме y 0, като първо напишем характеристично уравнение във формата:
k 2 - 3 k + 2 = 0 D = 3 2 - 4 1 2 = 1 k 1 = 3 - 1 2 = 1, k 2 = 3 + 1 2 = 2
Открихме, че корените са реални и различни. Следователно y 0 = C 1 e x + C 2 e 2 x. След това е необходимо да се търси общо решение на базата на нехомогенното уравнение y ~ на формата
y ~ = e α x (L m (x) sin (β x) + N m (x) cos (β x) x γ = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) x 0 = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))
Известно е, че A, B, C са коефициенти, r = 0, тъй като няма двойка спрегнати корени, свързани с характеристичното уравнение с α ± i β = 3 ± 5 · i. Намираме тези коефициенти от полученото равенство:
y ~ "" - 3 y ~ " + 2 y ~ = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) ⇔ (e 3 x (( A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))) "" - - 3 (e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))) = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x))
Намирането на производната и подобни термини дава
E 3 x ((15 A + 23 C) x sin (5 x) + + (10 A + 15 B - 3 C + 23 D) sin (5 x) + + (23 A - 15 C) · x · cos (5 x) + (- 3 A + 23 B - 10 C - 15 D) · cos (5 x)) = = - e 3 x · (38 · x · sin (5 x) + 45 · sin (5 x ) + + 8 x cos (5 x) - 5 cos (5 x))
След приравняване на коефициентите се получава система от вида
15 A + 23 C = 38 10 A + 15 B - 3 C + 23 D = 45 23 A - 15 C = 8 - 3 A + 23 B - 10 C - 15 D = - 5 ⇔ A = 1 B = 1 C = 1 D = 1
От всичко следва, че
y ~ = e 3 x · ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) = = e 3 x · ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) грях (5 x))
Отговор:Сега получихме общо решение на даденото линейно уравнение:
y = y 0 + y ~ = = C 1 e x + C 2 e 2 x + e 3 x ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) sin (5 x))
Алгоритъм за решаване на LDNU
Определение 1Всеки друг тип функция f (x) за решение изисква съответствие с алгоритъма за решение:
- намиране на общо решение на съответното линейно хомогенно уравнение, където y 0 = C 1 ⋅ y 1 + C 2 ⋅ y 2, където y 1И y 2са линейно независими частични решения на LODE, C 1И C 2се считат за произволни константи;
- приемане като общо решение на LNDE y = C 1 (x) ⋅ y 1 + C 2 (x) ⋅ y 2 ;
- определяне на производни на функция чрез система от вида C 1 " (x) + y 1 (x) + C 2 " (x) y 2 (x) = 0 C 1 " (x) + y 1 " (x ) + C 2 " (x) · y 2 " (x) = f (x) и функции за намиране C 1 (x)и C 2 (x) чрез интегриране.
Пример 5
Намерете общото решение за y "" + 36 y = 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x.
Решение
Пристъпваме към писане на характеристичното уравнение, като преди това сме записали y 0, y "" + 36 y = 0. Нека напишем и решим:
k 2 + 36 = 0 k 1 = 6 i , k 2 = - 6 i ⇒ y 0 = C 1 cos (6 x) + C 2 sin (6 x) ⇒ y 1 (x) = cos (6 x) , y 2 (x) = sin (6 x)
Имаме, че общото решение на даденото уравнение ще бъде записано като y = C 1 (x) · cos (6 x) + C 2 (x) · sin (6 x) . Необходимо е да се премине към дефиницията на производните функции C 1 (x)И C2(x)по система с уравнения:
C 1 " (x) · cos (6 x) + C 2 " (x) · sin (6 x) = 0 C 1 " (x) · (cos (6 x)) " + C 2 " (x) · (sin (6 x)) " = 0 ⇔ C 1 " (x) cos (6 x) + C 2 " (x) sin (6 x) = 0 C 1 " (x) (- 6 sin (6 x) + C 2 "(x) (6 cos (6 x)) = = 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x
Необходимо е да се вземе решение относно C 1" (x)И C 2" (x)използвайки всеки метод. Тогава пишем:
C 1 " (x) = - 4 sin 2 (6 x) + 2 sin (6 x) cos (6 x) - 6 e 6 x sin (6 x) C 2 " (x) = 4 sin (6 x) cos (6 x) - 2 cos 2 (6 x) + 6 e 6 x cos (6 x)
Всяко от уравненията трябва да бъде интегрирано. След това записваме получените уравнения:
C 1 (x) = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin ( 6 x) + C 3 C 2 (x) = - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4
От това следва, че общото решение ще има формата:
y = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 3 cos (6 x) + + - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4 sin (6 x) = = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 sin (6 x)
Отговор: y = y 0 + y ~ = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 sin (6 x)
Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter
|
Нехомогенни диференциални уравнения от втори ред с постоянни коефициенти |
|
Структура на общото решение Линейно нехомогенно уравнение от този тип има формата: Където стр, р− постоянни числа (които могат да бъдат реални или комплексни). За всяко такова уравнение можем да напишем съответното хомогенно уравнение:
Теорема: Общото решение на нехомогенно уравнение е сумата от общото решение г 0 (х) на съответното хомогенно уравнение и конкретно решение г 1 (х) нехомогенно уравнение:
По-долу ще разгледаме два начина за решаване на нехомогенни диференциални уравнения. Метод на вариация на константите Ако общото решение г 0 на свързаното хомогенно уравнение е известно, тогава общото решение на нехомогенното уравнение може да се намери с помощта на метод на постоянна вариация. Нека общото решение на хомогенно диференциално уравнение от втори ред има формата: Вместо постоянно ° С 1 и ° С 2 ще разгледаме спомагателните функции ° С 1 (х) И ° С 2 (х). Ще търсим тези функции така, че решението удовлетворява нехомогенното уравнение с дясната страна f(х). Неизвестни функции ° С 1 (х) И ° С 2 (х) се определят от система от две уравнения:
Метод на несигурен коефициент Дясна част f(х) на нехомогенно диференциално уравнение често е полиномна, експоненциална или тригонометрична функция или някаква комбинация от тези функции. В този случай е по-удобно да търсите решение с помощта на метод на несигурни коефициенти. Нека подчертаем това този методработи само за ограничен клас функции от дясната страна, като напр  И в двата случая изборът на конкретно решение трябва да съответства на структурата на дясната страна на нехомогенното диференциално уравнение. В случай 1, ако числото α V експоненциална функциясъвпада с корена на характеристичното уравнение, то конкретното решение ще съдържа допълнителен фактор х с, Където с− кратност на корена α в характеристичното уравнение. В случай 2, ако числото α + βiсъвпада с корена на характеристичното уравнение, то изразът за конкретното решение ще съдържа допълнителен множител х. Неизвестните коефициенти могат да бъдат определени чрез заместване на намерения израз за определено решение в оригиналното нехомогенно диференциално уравнение. Принцип на суперпозиция Ако дясната страна на нехомогенното уравнение е количествоняколко функции на формата тогава определено решение на диференциалното уравнение също ще бъде сумата от частични решения, конструирани отделно за всеки член от дясната страна. |
|
Пример 1 |
|
Решете диференциално уравнение y"" + y= грях (2 х). Решение. Първо решаваме съответното хомогенно уравнение y"" + y= 0.V в такъв случайкорените на характеристичното уравнение са чисто въображаеми: Следователно общото решение на хомогенното уравнение се дава от израза Нека се върнем отново към нехомогенното уравнение. Неговото решение ще търсим във формата използвайки метода на вариация на константите. Функции ° С 1 (х) И ° С 2 (х) можете да намерите от следваща системауравнения:
Нека изразим производната ° С 1 " (х) от първото уравнение:
Като заместим във второто уравнение, намираме производната ° С 2 " (х):
Следва, че Интегриране на изрази за производни ° С 1 " (х) И ° С 2 " (х), получаваме: Където А 1 , А 2 – константи на интегриране. Сега нека заместим намерените функции ° С 1 (х) И ° С 2 (х) във формулата за г 1 (х) и запишете общото решение на нехомогенното уравнение:
|
|
Пример 2 |
|
Намерете общото решение на уравнението y"" + y" −6г = 36х. Решение. Нека използваме метода на неопределените коефициенти. Дясната страна на даденото уравнение е линейна функция f(х)= брадва + b. Затова ще търсим конкретно решение във формата Производните са равни:
Замествайки това в диференциалното уравнение, получаваме:
Последното уравнение е идентичност, тоест е валидно за всички х, следователно приравняваме коефициентите на членове с еднакви степени хот лявата и дясната страна: От получената система намираме: А = −6, б= −1. В резултат на това конкретното решение се записва във формуляра Сега нека намерим общото решение на хомогенното диференциално уравнение. Нека изчислим корените на спомагателното характеристично уравнение: Следователно общото решение на съответното хомогенно уравнение има формата: И така, общото решение на първоначалното нехомогенно уравнение се изразява с формулата |
Общ интеграл на DE.
Решете диференциално уравнение
Но най-смешното е, че отговорът вече е известен: , по-точно, трябва да добавим и константа: Общият интеграл е решение на диференциалното уравнение.
Метод на вариация на произволни константи. Примери за решения
Методът на вариация на произволни константи се използва за решаване на нехомогенни диференциални уравнения. Този урок е предназначен за онези ученици, които вече са повече или по-малко добре запознати с темата. Ако тепърва започвате да се запознавате с дистанционното управление, т.е. Ако сте чайник, препоръчвам да започнете с първия урок: Диференциални уравнения от първи ред. Примери за решения. И ако вече завършвате, моля, отхвърлете евентуалното предубеждение, че методът е труден. Защото е просто.
В какви случаи се използва методът на вариация на произволни константи?
1) Методът на вариация на произволна константа може да се използва за решаване линеен нехомогенен DE от 1-ви ред. Тъй като уравнението е от първи ред, тогава константата също е единица.
2) Методът на вариация на произволни константи се използва за решаване на някои линейни нееднородни уравнения от втори ред. Тук две константи варират.
Логично е да се предположи, че урокът ще се състои от два параграфа... И така, написах това изречение и около 10 минути мъчително обмислях какви други умни глупости мога да добавя за плавен преход към практически примери. Но по някаква причина нямам никакви мисли след празниците, въпреки че не изглежда да съм злоупотребил с нищо. Затова нека да преминем направо към първия параграф.
Метод на вариация на произволна константа за линейно нехомогенно уравнение от първи ред
Преди да разгледате метода на вариация на произволна константа, препоръчително е да се запознаете със статията Линейни диференциални уравнения от първи ред. В този урок се упражнявахме първо решениенехомогенен 1-ви ред DE. Това първо решение, напомням ви, се нарича метод на подмянаили Метод на Бернули(да не се бърка с Уравнение на Бернули!!!)
Сега ще погледнем второ решение– метод на вариация на произволна константа. Ще дам само три примера и ще ги взема от горния урок. Защо толкова малко? Защото всъщност решението по втория начин ще бъде много подобно на решението по първия начин. Освен това, според моите наблюдения, методът на вариация на произволни константи се използва по-рядко от метода на заместване.
Пример 1
Намерете общото решение на диференциалното уравнение (Дифур от пример № 2 от урока Линейни нехомогенни диференциални уравнения от 1-ви ред)
Решение:Това уравнение е линейно нехомогенно и има позната форма:
На първия етап е необходимо да се реши по-просто уравнение: Тоест, ние глупаво нулираме дясната страна на нула - вместо това напишете нула. Ще извикам уравнението спомагателно уравнение.
В този пример трябва да решите следното спомагателно уравнение:
пред нас разделимо уравнение, чието решение (надявам се) вече не е трудно за вас:
Така: – общо решение на спомагателното уравнение.
На второто стъпало ще заменимнякаква константа за сеганеизвестна функция, която зависи от "x":
Оттук и името на метода - ние променяме константата. Като алтернатива, константата може да бъде някаква функция, която сега трябва да намерим.
IN оригиналенв нехомогенното уравнение правим замяната:
Нека заместим в уравнението:
Контролна точка – двата члена от лявата страна се анулират. Ако това не се случи, трябва да потърсите грешката по-горе.
В резултат на замяната се получава уравнение с разделими променливи. Разделяме променливите и интегрираме.
Каква благословия, експонентите също отменят:
Добавяме „нормална“ константа към намерената функция:
На последния етап си спомняме за нашата замяна:
Функцията току-що е открита!
Така че общото решение е:
Отговор:общо решение: 
Ако разпечатате двете решения, лесно ще забележите, че и в двата случая намерихме едни и същи интеграли. Единствената разлика е в алгоритъма на решението.
Сега за нещо по-сложно, ще коментирам и втория пример:
Пример 2
Намерете общото решение на диференциалното уравнение (Дифур от пример № 8 от урока Линейни нехомогенни диференциални уравнения от 1-ви ред)
Решение:Нека приведем уравнението във формата:
Нека нулираме дясната страна и решим спомагателното уравнение:
Разделяме променливите и интегрираме: Общото решение на спомагателното уравнение:
В нехомогенното уравнение правим замяната:
Според правилото за диференциране на продукта:
Нека заместим в първоначалното нехомогенно уравнение:
Двата члена от лявата страна се отменят, което означава, че сме на прав път: 
Нека интегрираме по части. Вкусната буква от формулата за интегриране по части вече е включена в решението, така че използваме например буквите „a“ и „be“:
В крайна сметка:
Сега нека си спомним замяната:
Отговор:общо решение:
Метод на вариация на произволни константи за линейно нехомогенно уравнение от втори ред с постоянни коефициенти
Често съм чувал мнението, че методът за вариране на произволни константи за уравнение от втори ред не е лесен. Но предполагам следното: най-вероятно методът изглежда труден за мнозина, защото не се среща толкова често. Но в действителност няма особени затруднения - ходът на решението е ясен, прозрачен и разбираем. И красив.
За да овладеете метода, е желателно да можете да решавате нехомогенни уравнения от втори ред, като избирате конкретно решение въз основа на формата на дясната страна. Този методразгледани подробно в статията Нехомогенни DE от 2-ри ред. Спомняме си, че линейно нехомогенно уравнение от втори ред с постоянни коефициенти има формата:
Методът за избор, който беше обсъден в горния урок, работи само в ограничен брой случаи, когато дясната страна съдържа полиноми, експоненциали, синуси и косинуси. Но какво да правим, когато отдясно например има дроб, логаритъм, тангенс? В такава ситуация на помощ идва методът на вариация на константите.
Пример 4
Намерете общото решение на диференциално уравнение от втори ред 
Решение:В дясната страна на това уравнение има дроб, така че веднага можем да кажем, че методът за избор на определено решение не работи. Използваме метода на вариация на произволни константи.
Няма признаци на гръмотевична буря; началото на решението е напълно обикновено:
Ще намерим общо решениеподходящо хомогененуравнения:
Нека съставим и решим характеристичното уравнение: 
– получават се спрегнати комплексни корени, така че общото решение е:
Обърнете внимание на записа на общото решение - ако има скоби, отворете ги.
Сега правим почти същия трик като за уравнението от първи ред: променяме константите, като ги заместваме с неизвестни функции. Това е, общо решение на нехомогеннище търсим уравнения във формата:
Където - за сеганеизвестни функции.
Прилича на сметище битови отпадъци, но сега ще подредим всичко.
Неизвестните са производните на функциите. Нашата цел е да намерим производни и намерените производни трябва да удовлетворяват както първото, така и второто уравнение на системата.
Откъде идват "гърците"? Донася ги щъркелът. Разглеждаме общото решение, получено по-рано, и пишем:
Нека намерим производните:
Левите части са обработени. Какво има вдясно?
- това е дясната страна оригинално уравнение, в такъв случай:
Основи на решаването на линейни нехомогенни диференциални уравнения от втори ред (LNDE-2) с постоянни коефициенти (PC)
LDDE от 2-ри ред с постоянни коефициенти $p$ и $q$ има формата $y""+p\cdot y"+q\cdot y=f\left(x\right)$, където $f\left(x \right)$ е непрекъсната функция.
По отношение на LNDU 2 с компютър следните две твърдения са верни.
Да приемем, че някаква функция $U$ е произволно частично решение на нехомогенно диференциално уравнение. Нека приемем също, че някаква функция $Y$ е общото решение (GS) на съответното линейно хомогенно диференциално уравнение (HLDE) $y""+p\cdot y"+q\cdot y=0$. Тогава GR на LHDE-2 е равна на сумата от посочените частни и общи решения, тоест $y=U+Y$.
Ако дясната страна на LMDE от 2-ри ред е сбор от функции, тоест $f\left(x\right)=f_(1) \left(x\right)+f_(2) \left(x \right)+..+f_(r) \left(x\right)$, тогава първо можем да намерим PD $U_(1) ,U_(2) ,...,U_(r)$, които съответстват към всяка от функциите $f_( 1) \left(x\right),f_(2) \left(x\right),...,f_(r) \left(x\right)$, и след това запишете CR LNDU-2 във формата $U=U_(1) +U_(2) +...+U_(r) $.
Решение на LPDE от 2-ри ред с компютър
Очевидно е, че типът на един или друг PD $U$ на даден LNDU-2 зависи от конкретната форма на неговата дясна страна $f\left(x\right)$. Най-простите случаи на търсене на PD LNDU-2 са формулирани под формата на следните четири правила.
Правило #1.
Дясната страна на LNDU-2 има формата $f\left(x\right)=P_(n) \left(x\right)$, където $P_(n) \left(x\right)=a_(0 ) \cdot x^(n) +a_(1) \cdot x^(n-1) +...+a_(n-1) \cdot x+a_(n) $, т.е. полином от степен $n$. Тогава неговият PD $U$ се търси във формата $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) $, където $Q_(n) \left(x\right)$ е друг полином от същата степен като $P_(n) \left(x\right)$, а $r$ е броят на корените на характеристичното уравнение на съответния LODE-2, които са равни на нула. Коефициентите на полинома $Q_(n) \left(x\right)$ се намират по метода на неопределените коефициенти (UK).
Правило №2.
Дясната страна на LNDU-2 има формата $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot P_(n) \left(x\right)$, където $P_(n) \left( x\right)$ е полином от степен $n$. Тогава неговият PD $U$ се търси във формата $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) \cdot e^(\alpha \cdot x) $, където $Q_(n ) \ left(x\right)$ е друг полином от същата степен като $P_(n) \left(x\right)$, а $r$ е броят на корените на характеристичното уравнение на съответния LODE-2 равно на $\alpha $. Коефициентите на полинома $Q_(n) \left(x\right)$ се намират по метода NC.
Правило №3.
Дясната страна на LNDU-2 има формата $f\left(x\right)=a\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+b\cdot \sin \left(\beta \cdot x \right) $, където $a$, $b$ и $\beta$ са известни числа. Тогава неговият PD $U$ се търси във формата $U=\left(A\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+B\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right) \right )\cdot x^(r) $, където $A$ и $B$ са неизвестни коефициенти, а $r$ е броят на корените на характеристичното уравнение на съответния LODE-2, равен на $i\cdot \бета $. Коефициентите $A$ и $B$ се намират с помощта на неразрушителен метод.
Правило № 4.
Дясната страна на LNDU-2 има формата $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left$, където $P_(n) \left(x\right)$ е полином от степен $n$, а $P_(m) \left(x\right)$ е полином от степен $m$. Тогава неговият PD $U$ се търси във формата $U=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left\cdot x^(r) $, където $Q_(s) \left(x\right)$ и $ R_(s) \left(x\right)$ са полиноми от степен $s$, числото $s$ е максимумът от две числа $n$ и $m$, а $r$ е броят на корените от характеристичното уравнение на съответния LODE-2, равно на $\alpha +i\cdot \beta $. Коефициентите на полиномите $Q_(s) \left(x\right)$ и $R_(s) \left(x\right)$ се намират по метода NC.
Методът NK се състои в прилагане на следното правило. За да се намерят неизвестните коефициенти на полинома, които са част от частичното решение на нехомогенното диференциално уравнение LNDU-2, е необходимо:
- заменете PD $U$, написан в общ вид, в лява странаЛНДУ-2;
- от лявата страна на LNDU-2, извършете опростявания и групирайте членове със същите степени $x$;
- в полученото тъждество приравнете коефициентите на членове с еднакви степени $x$ на лявата и дясната страна;
- решаване на получената система от линейни уравнения за неизвестни коефициенти.
Пример 1
Задача: намерете ИЛИ LNDU-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. Намерете също PD , отговарящи на началните условия $y=6$ за $x=0$ и $y"=1$ за $x=0$.
Записваме съответния LOD-2: $y""-3\cdot y"-18\cdot y=0$.
Характеристично уравнение: $k^(2) -3\cdot k-18=0$. Корените на характеристичното уравнение са: $k_(1) =-3$, $k_(2) =6$. Тези корени са валидни и различни. По този начин ИЛИ на съответния LODE-2 има формата: $Y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) $.
Дясната страна на този LNDU-2 има формата $\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. Необходимо е да се вземе предвид коефициентът на степента $\alpha =3$. Този коефициент не съвпада с нито един от корените на характеристичното уравнение. Следователно PD на този LNDU-2 има формата $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $.
Ще търсим коефициентите $A$, $B$ с помощта на метода NC.
Намираме първата производна на Чехия:
$U"=\left(A\cdot x+B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot \left( e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$
$=A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(A+3\cdot A\ cdot x+3\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$
Намираме втората производна на Чехия:
$U""=\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot \left(e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$
$=3\cdot A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$
Заменяме функциите $U""$, $U"$ и $U$ вместо $y""$, $y"$ и $y$ в дадения NLDE-2 $y""-3\cdot y" -18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x $ Освен това, тъй като показателят $e^(3\cdot x) $ е включен като фактор във всички компоненти, тогава може да се пропусне:
$6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B-3\cdot \left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)-18\cdot \left(A\ cdot x+B\right)=36\cdot x+12.$
Извършваме действията от лявата страна на полученото равенство:
$-18\cdot A\cdot x+3\cdot A-18\cdot B=36\cdot x+12.$
Използваме метода NDT. Получаваме система от линейни уравнения с две неизвестни:
$-18\cdot A=36;$
$3\cdot A-18\cdot B=12.$
Решението на тази система е: $A=-2$, $B=-1$.
PD $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ за нашия проблем изглежда така: $U=\left(-2\cdot x-1\right) \cdot e^(3\cdot x) $.
ИЛИ $y=Y+U$ за нашия проблем изглежда така: $y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) + \ ляво(-2\cdot x-1\дясно)\cdot e^(3\cdot x) $.
За да търсим PD, който отговаря на дадените начални условия, намираме производната $y"$ на OP:
$y"=-3\cdot C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +6\cdot C_(2) \cdot e^(6\cdot x) -2\cdot e^(3\ cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) .$
Заместваме в $y$ и $y"$ началните условия $y=6$ за $x=0$ и $y"=1$ за $x=0$:
$6=C_(1) +C_(2) -1; $
$1=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -2-3=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -5.$
Получихме система от уравнения:
$C_(1) +C_(2) =7;$
$-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) =6.$
Нека го решим. Намираме $C_(1) $ с помощта на формулата на Cramer, а $C_(2) $ определяме от първото уравнение:
$C_(1) =\frac(\left|\begin(array)(cc) (7) & (1) \\ (6) & (6) \end(array)\right|)(\left|\ begin(array)(cc) (1) & (1) \\ (-3) & (6) \end(array)\right|) =\frac(7\cdot 6-6\cdot 1)(1\ cdot 6-\left(-3\right)\cdot 1) =\frac(36)(9) =4; C_(2) =7-C_(1) =7-4=3.$
Така PD на това диференциално уравнение има формата: $y=4\cdot e^(-3\cdot x) +3\cdot e^(6\cdot x) +\left(-2\cdot x-1 \right )\cdot e^(3\cdot x) $.
