Очакването и дисперсията са най-често използваните числени характеристики случайна величина. Те характеризират най-много важни функцииразпределение: неговата позиция и степен на разпръскване. В много практически задачи пълна, изчерпателна характеристика на случайна променлива - законът за разпределение - или изобщо не може да бъде получена, или изобщо не е необходима. В тези случаи човек се ограничава до приблизително описание на случайна променлива, използвайки числови характеристики.

Очакваната стойност често се нарича просто средна стойност на случайна променлива. Дисперсията на случайна променлива е характеристика на дисперсията, разпространението на случайна променлива около нейното математическо очакване.

Очакване на дискретна случайна променлива

Нека се доближим до концепцията за математическото очакване, първо въз основа на механичната интерпретация на разпределението на дискретна случайна променлива. Нека единичната маса е разпределена между точките на оста x х1 , х 2 , ..., хн, а всяка материална точка има съответстваща маса от стр1 , стр 2 , ..., стрн. Необходимо е да се избере една точка по абсцисната ос, характеризираща позицията на цялата система от материални точки, като се вземат предвид техните маси. Естествено е да приемем за такава точка центъра на масата на системата от материални точки. Това е среднопретеглената стойност на случайната променлива х, към която е абсцисата на всяка точка хiвлиза с „тегло“, равно на съответната вероятност. Получената по този начин средна стойност на случайната променлива хсе нарича неговото математическо очакване.

Математическото очакване на дискретна случайна променлива е сумата от продуктите на всичките й възможни стойности и вероятностите на тези стойности:

Пример 1.Организирана е печеливша лотария. Има 1000 печалби, от които 400 са 10 рубли. 300 - 20 рубли всяка. 200-100 рубли всеки. и 100 - 200 рубли всяка. Какво средният размерпечалби за закупилите един билет?

Решение. Средни печалбище намерим ако обща сумапечалби, което е равно на 10*400 + 20*300 + 100*200 + 200*100 = 50 000 рубли, разделено на 1000 (общата сума на печалбите). Тогава получаваме 50000/1000 = 50 рубли. Но изразът за изчисляване на средните печалби може да бъде представен в следната форма:

От друга страна, при тези условия печелившата сума е случайна променлива, която може да приема стойности от 10, 20, 100 и 200 рубли. с вероятности, равни съответно на 0,4; 0,3; 0,2; 0,1. Следователно очакваната средна печалба равно на суматапродукти от размера на печалбите и вероятността за получаването им.

Пример 2.Издателят реши да издаде нова книга. Той планира да продаде книгата за 280 рубли, от които той самият ще получи 200, 50 - книжарницата и 30 - авторът. Таблицата предоставя информация за разходите за издаване на книга и вероятността за продажба на определен брой копия от книгата.

Намерете очакваната печалба на издателя.

Решение. Случайната променлива „печалба” е равна на разликата между приходите от продажби и себестойността на разходите. Например, ако се продадат 500 копия от книга, тогава приходите от продажбата са 200 * 500 = 100 000, а цената на публикацията е 225 000 рубли. Така издателят е изправен пред загуба от 125 000 рубли. Следната таблица обобщава очакваните стойности на случайната променлива - печалба:

Номер	печалба хi	Вероятност стрi	хi стр i
500	-125000	0,20	-25000
1000	-50000	0,40	-20000
2000	100000	0,25	25000
3000	250000	0,10	25000
4000	400000	0,05	20000
Обща сума:		1,00	25000

Така получаваме очаквана стойностпечалби на издателя:

.

Пример 3.Вероятност за попадение с един изстрел стр= 0,2. Определете консумацията на снаряди, които осигуряват математическо очакване на броя на попаденията, равен на 5.

Решение. От същата формула за математическо очакване, която сме използвали досега, ние изразяваме х- консумация на черупки:

.

Пример 4.Определете математическото очакване на случайна променлива хброй попадения с три изстрела, ако вероятността за попадение с всеки изстрел стр = 0,4 .

Съвет: намерете вероятността от стойности на случайна променлива по Формула на Бернули .

Свойства на математическото очакване

Нека разгледаме свойствата на математическото очакване.

Имот 1.Математическото очакване на постоянна стойност е равно на тази константа:

Имот 2.Постоянният фактор може да бъде изваден от знака за математическо очакване:

Имот 3.Математическото очакване на сумата (разликата) на случайните променливи е равно на сумата (разликата) на техните математически очаквания:

Имот 4.Математическото очакване на произведение от случайни променливи е равно на произведението на техните математически очаквания:

Имот 5.Ако всички стойности на случайна променлива хнамаляване (увеличаване) със същото число СЪС, тогава неговото математическо очакване ще намалее (увеличи) със същото число:

Когато не можете да се ограничите само до математическо очакване

В повечето случаи само математическото очакване не може да характеризира достатъчно случайна променлива.

Нека случайните променливи хИ Yсе дават от следните закони на разпределение:

Смисъл х	Вероятност
-0,1	0,1
-0,01	0,2
0	0,4
0,01	0,2
0,1	0,1

Смисъл Y	Вероятност
-20	0,3
-10	0,1
0	0,2
10	0,1
20	0,3

Математическите очаквания на тези величини са еднакви – равни на нула:

Моделите им на разпространение обаче са различни. Случайна стойност хможе да приема само стойности, които се различават малко от математическото очакване и случайната променлива Yможе да приема стойности, които се отклоняват значително от математическото очакване. Подобен пример: средната заплата не дава възможност да се прецени специфично тегловисоко и ниско платени работници. С други думи, от математическото очакване не може да се прецени какви отклонения от него, поне средно, са възможни. За да направите това, трябва да намерите дисперсията на случайната променлива.

Дисперсия на дискретна случайна променлива

Дисперсиядискретна случайна променлива хсе нарича математическо очакване на квадрата на неговото отклонение от математическото очакване:

Стандартното отклонение на случайна променлива харитметичната стойност на корен квадратен от неговата дисперсия се нарича:

.

Пример 5.Изчисляване на дисперсии и стандартни отклонения на случайни променливи хИ Y, чиито закони за разпределение са дадени в таблиците по-горе.

Решение. Математически очаквания на случайни променливи хИ Y, както е намерено по-горе, са равни на нула. Според дисперсионната формула при д(х)=д(г)=0 получаваме:

След това стандартните отклонения на случайни променливи хИ Yгрим

.

По този начин, със същите математически очаквания, дисперсията на случайната променлива хмного малка, но случайна променлива Y- значителен. Това е следствие от разликите в разпределението им.

Пример 6.Инвеститорът има 4 алтернативни инвестиционни проекта. Таблицата обобщава очакваната печалба в тези проекти със съответната вероятност.

Проект 1	Проект 2	Проект 3	Проект 4
500, П=1	1000, П=0,5	500, П=0,5	500, П=0,5
	0, П=0,5	1000, П=0,25	10500, П=0,25
		0, П=0,25	9500, П=0,25

Намерете математическото очакване, дисперсията и стандартното отклонение за всяка алтернатива.

Решение. Нека да покажем как се изчисляват тези стойности за 3-тата алтернатива:

Таблицата обобщава намерените стойности за всички алтернативи.

Всички алтернативи имат еднакви математически очаквания. Това означава, че в дългосрочен план всички имат еднакъв доход. Стандартното отклонение може да се тълкува като мярка за риск – колкото по-високо е то, толкова по-голям е рискът на инвестицията. Инвеститор, който не иска голям риск, ще избере проект 1, тъй като има най-малкото стандартно отклонение (0). Ако инвеститорът предпочита риск и висока възвръщаемост за кратък период, тогава той ще избере проекта с най-голяма стандартно отклонение- проект 4.

Дисперсионни свойства

Нека представим свойствата на дисперсията.

Имот 1.Дисперсията на постоянна стойност е нула:

Имот 2.Константният коефициент може да бъде изваден от дисперсионния знак чрез повдигане на квадрат:

.

Имот 3.Дисперсията на случайна променлива е равна на математическото очакване на квадрата на тази стойност, от което се изважда квадратът на математическото очакване на самата стойност:

,

Където .

Имот 4.Дисперсията на сумата (разликата) на случайните променливи е равна на сумата (разликата) на техните дисперсии:

Пример 7.Известно е, че дискретна случайна променлива хприема само две стойности: −3 и 7. Освен това е известно математическото очакване: д(х) = 4 . Намерете дисперсията на дискретна случайна променлива.

Решение. Нека означим с стрвероятността, с която една случайна променлива приема стойност х1 = −3 . Тогава вероятността на стойността х2 = 7 ще бъде 1 − стр. Нека изведем уравнението за математическото очакване:

д(х) = х 1 стр + х 2 (1 − стр) = −3стр + 7(1 − стр) = 4 ,

където получаваме вероятностите: стр= 0,3 и 1 − стр = 0,7 .

Закон за разпределение на случайна променлива:

х	−3	7
стр	0,3	0,7

Ние изчисляваме дисперсията на тази случайна променлива, като използваме формулата от свойство 3 на дисперсията:

д(х) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .

Намерете сами математическото очакване на случайна променлива и след това вижте решението

Пример 8.Дискретна случайна променлива хприема само две стойности. Приема по-голямата от стойностите 3 с вероятност 0,4. Освен това е известна дисперсията на случайната променлива д(х) = 6 . Намерете математическото очакване на случайна променлива.

Пример 9.В урната има 6 бели и 4 черни топки. От урната се изтеглят 3 топки. Броят на белите топки сред изтеглените топки е дискретна случайна променлива х. Намерете математическото очакване и дисперсията на тази случайна променлива.

Решение. Случайна стойност хможе да приема стойности 0, 1, 2, 3. Съответните вероятности могат да бъдат изчислени от правило за умножение на вероятностите. Закон за разпределение на случайна променлива:

х	0	1	2	3
стр	1/30	3/10	1/2	1/6

Оттук и математическото очакване на тази случайна променлива:

М(х) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .

Дисперсията на дадена случайна променлива е:

д(х) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .

Очакване и дисперсия на непрекъсната случайна променлива

За непрекъсната случайна променлива механичната интерпретация на математическото очакване ще запази същото значение: центърът на масата за единица маса, разпределена непрекъснато по оста x с плътност f(х). За разлика от дискретна случайна променлива, чийто аргумент на функцията хiпроменя се рязко; за непрекъсната случайна променлива аргументът се променя непрекъснато. Но математическото очакване на непрекъсната случайна променлива също е свързано с нейната средна стойност.

За да намерите математическото очакване и дисперсията на непрекъсната случайна променлива, трябва да намерите определени интеграли . Ако е дадена функцията на плътност на непрекъсната случайна променлива, тогава тя директно влиза в интегранта. Ако е дадена функция на разпределение на вероятностите, тогава като я диференцирате, трябва да намерите функцията на плътност.

Средната аритметична стойност на всички възможни стойности на непрекъсната случайна променлива се нарича негова математическо очакване, означено с или .

Решение.

Като мярка за разсейване на стойностите на случайна променлива използваме дисперсия

Дисперсията (думата дисперсия означава „разпръскване“) е мярка за разсейване на стойностите на случайни променливиспрямо неговото математическо очакване. Дисперсията е математическото очакване на квадратното отклонение на случайна променлива от нейното математическо очакване

Ако случайната променлива е дискретна с безкраен, но изброим набор от стойности, тогава

ако редицата от дясната страна на равенството се събира.

Свойства на дисперсията.

• 1. Дисперсията на постоянна стойност е нула
• 2. Дисперсията на сумата от случайните променливи е равна на сумата от дисперсиите
• 3. Постоянният фактор може да бъде изваден от знака на квадратната дисперсия

Дисперсията на разликата на случайните променливи е равна на сумата от дисперсиите

Това свойство е следствие от второто и третото свойство. Разликите могат само да се събират.

Удобно е да се изчисли дисперсията, като се използва формула, която може лесно да се получи, като се използват свойствата на дисперсията

Дисперсията винаги е положителна.

Дисперсията има измерениеквадратно измерение на самата случайна променлива, което не винаги е удобно. Следователно, количеството

Стандартно отклонение(стандартно отклонение или стандарт) на случайна променлива е аритметичната стойност на корен квадратен от нейната дисперсия

Хвърлете две монети в деноминации от 2 и 5 рубли. Ако монетата падне като герб, тогава се присъждат нула точки, а ако падне като число, тогава броят точки е равен на номинала на монетата. Намерете математическото очакване и дисперсията на броя на точките.

Решение.Нека първо намерим разпределението на случайната променлива X - броя точки. Всички комбинации - (2;5),(2;0),(0;5),(0;0) - са еднакво вероятни и законът за разпределение е:

Очаквана стойност:

Намираме дисперсията с помощта на формулата

защо изчисляваме

Пример 2.

Намерете неизвестна вероятност Р, математическо очакване и дисперсия на дискретна случайна променлива, дадена таблицавероятностни разпределения

Намираме математическото очакване и дисперсията:

М(х) = 00,0081 + 10,0756 + 20,2646 + 3 0,4116 + +40,2401=2,8

За изчисляване на дисперсията използваме формула (19.4)

д(х) = 020 ,0081 + 120,0756 + 220,2646 + 320,4116 + 420,2401 - 2,82 = 8,68 -

Пример 3.Двама еднакво силни състезатели провеждат турнир, който продължава или до първата победа на един от тях, или до изиграването на пет игри. Вероятността за спечелване на една игра за всеки от състезателите е 0,3, а вероятността за равенство е 0,4. Намерете закона за разпределение, математическото очакване и дисперсията на броя изиграни игри.

Решение.Случайна стойност х- броят на изиграните игри приема стойности от 1 до 5, т.е.

Нека да определим вероятностите за приключване на мача. Мачът ще приключи в първия сет, ако един от техните състезатели спечели. Вероятността за печалба е

Р(1) = 0,3+0,3 =0,6.

Ако има равенство (вероятността за равенство е 1 - 0,6 = 0,4), тогава мачът продължава. Мачът ще завърши във втората игра, ако първата е била равенство и някой е спечелил втората. Вероятност

Р(2) = 0,4 0,6=0,24.

По същия начин мачът ще приключи на третата игра, ако има две поредни равенства и отново някой спечели

Р(3) = 0,4 0,4 0,6 = 0,096. Р(4)= 0,4 0,4 0,4 0,6=0,0384.

Петата игра е последната във всяка версия.

Р(5)= 1 - (Р(1)+Р(2)+Р(3)+Р(4)) = 0,0256.

Нека поставим всичко в таблица. Законът за разпределение на случайната величина „брой спечелени игри“ има вида

Очаквана стойност

Изчисляваме дисперсията с помощта на формула (19.4)

Стандартни дискретни разпределения.

Биномиално разпределение.Нека се приложи експерименталната схема на Бернули: нидентични независими експерименти, във всеки от които събитието Аможе да се появи с постоянна вероятност стри няма да се появи с вероятност

(вижте лекция 18).

Брой повторения на събитието Ав тези нексперименти има дискретна случайна променлива х, чиито възможни стойности са:

0; 1; 2; ... ;м; ... ; н.

Вероятност за поява мсъбития А в конкретна поредица от нексперименти с и законът за разпределение на такава случайна променлива е даден от формулата на Бернули (вижте лекция 18)

Числени характеристики на случайна величина хразпределени по биномния закон:

Ако не голям (), тогава, когато формула (19.6) влиза във формулата

и табличната функция на Гаус (таблицата със стойностите на функцията на Гаус е дадена в края на лекция 18).

На практика това, което често е важно, не е самата вероятност за възникване. мсъбития Ав конкретна серия от нексперименти и вероятността събитието Ане по-малко ще се появи

пъти и не повече от пъти, т.е. вероятността X да приеме стойностите

За да направим това, трябва да сумираме вероятностите

Ако не страхотно (), тогава, когато формула (19.9) се превръща в приблизителна формула

таблична функция. Таблиците са дадени в края на Лекция 18.

При използване на таблици е необходимо да се вземе предвид това

Пример 1. Автомобил, който се приближава до кръстовище, може да продължи да се движи по всеки от трите пътя: A, B или C с еднаква вероятност. Пет коли се приближават до кръстовището. Намерете средния брой коли, които ще пътуват по път А, и вероятността три автомобила да пътуват по път Б.

Решение.Броят на колите, преминаващи по всеки път, е случайна променлива. Ако приемем, че всички автомобили, които се приближават до кръстовището, се движат независимо един от друг, тогава тази случайна променлива се разпределя според биномния закон с

н= 5 и стр = .

Следователно средният брой автомобили, които ще следват път А, е съгласно формула (19.7)

и желаната вероятност при

Пример 2.Вероятността за повреда на устройството по време на всеки тест е 0,1. Провеждат се 60 теста на уреда. Каква е вероятността да възникне повреда на устройството: а) 15 пъти; б) не повече от 15 пъти?

А.Тъй като броят на тестовете е 60, използваме формула (19.8)

Според таблица 1 от приложението към лекция 18 намираме

b. Използваме формула (19.10).

Съгласно таблица 2 от приложението към лекция 18

• - 0,495
• 0,49995

Поасоново разпределение) закон за редките събития).Ако нголеми и Рмалко (), и продуктът и т.нзапазва постоянна стойност, която означаваме с l,

тогава формула (19.6) става формула на Поасон

Законът за разпределение на Поасон има формата:

Очевидно определението на закона на Поасон е правилно, т.к основно свойство на серия за разпространение

Готово, защото сбор от серии

Серийното разширение на функцията при

Теорема. Математическото очакване и дисперсията на случайна променлива, разпределени по закона на Поасон, съвпадат и са равни на параметъра на този закон, т.е.

Доказателство.

Пример.За да популяризира продуктите си на пазара, компанията поставя флаери в пощенските кутии. Предишен опит показва, че в приблизително един случай от 2000 следва поръчка. Намерете вероятността при пускане на 10 000 реклами да пристигне поне една поръчка, средния брой на получените поръчки и дисперсията на броя на получените поръчки.

Решение. Тук

Вероятността поне една поръчка да пристигне ще бъде намерена чрез вероятността противоположно събитие, т.е.

Случаен поток от събития.Поток от събития е поредица от събития, които се случват в случайни моментивреме. Типични примерипотоци са повреди в компютърните мрежи, обаждания на телефонни централи, поток от заявки за ремонт на оборудване и др.

Потоксъбития се нарича стационарен, ако вероятността определен брой събития да попаднат във времеви интервал с дължина зависи само от дължината на интервала и не зависи от местоположението на времевия интервал върху времевата ос.

Условието за стационарност се изпълнява от потока заявки, чиито вероятностни характеристики не зависят от времето. По-специално, стационарният поток се характеризира с постоянна плътност (средния брой заявки за единица време). На практика често има потоци от заявки, които (поне за ограничен период от време) могат да се считат за неподвижни. Например потокът от разговори на градска телефонна централа в периода от 12 до 13 часа може да се счита за стационарен. Същият поток в продължение на цял ден вече не може да се счита за стационарен (през нощта плътността на разговорите е значително по-малка, отколкото през деня).

Потоксъбития се нарича поток без последица, ако за всеки период от време, който не се припокрива, броят на събитията, падащи на един от тях, не зависи от броя на събитията, попадащи на останалите.

Условието за липса на последействие - най-същественото за най-простия поток - означава, че приложенията влизат в системата независимо едно от друго. Например, поток от пътници, влизащи в метростанция, може да се счита за поток без последствия, тъй като причините, които са обусловили пристигането на отделен пътник в даден момент, а не в друг, по правило не са свързани с подобни причини за други пътници . Въпреки това условието за липса на последействие може лесно да бъде нарушено поради появата на такава зависимост. Например потокът от пътници, напускащи метростанция, вече не може да се счита за поток без последствия, тъй като моментите на излизане на пътниците, пристигащи с един и същи влак, зависят един от друг.

Потоксъбития се нарича обикновени, ако вероятността две или повече събития да се случат в рамките на кратък интервал от време t е незначителна в сравнение с вероятността за едно събитие (в тази връзка законът на Поасон се нарича закон за редките събития).

Условието за обикновеност означава, че поръчките пристигат поотделно, а не по двойки, тройки и т.н. дисперсия отклонение Разпределение на Бернули

Например потокът от клиенти, влизащи във фризьорски салон, може да се счита за почти обикновен. Ако в извънреден поток заявките пристигат само по двойки, само по тройки и т.н., тогава извънредният поток може лесно да се сведе до обикновен; За да направите това, достатъчно е да разгледате поток от двойки, тройки и т.н., вместо поток от индивидуални заявки. Ще бъде по-трудно, ако всяка заявка може произволно да се окаже двойна, тройна и т.н. Тогава трябва се справят с поток от не хомогенни, а разнородни събития.

Ако поток от събития има и трите свойства (т.е. стационарен, обикновен и няма последействие), тогава той се нарича прост (или стационарен поток на Поасон). Името "Poisson" се дължи на факта, че ако изброените условия са изпълнени, броят на събитията, попадащи във всеки фиксиран интервал от време, ще бъде разпределен по Закон на Поасон

Ето средния брой събития А, появяващи се за единица време.

Този закон е еднопараметърен, т.е. за да го зададете, трябва да знаете само един параметър. Може да се покаже, че очакването и дисперсията в закона на Поасон са числено равни:

Пример. Да кажем, че в средата на работния ден средният брой заявки е 2 в секунда. Каква е вероятността 1) за секунда да не бъдат получени никакви заявления, 2) за две секунди да пристигнат 10 заявления?

Решение.Тъй като валидността на приложението на закона на Поасон е извън съмнение и неговият параметър е даден (= 2), решението на проблема се свежда до прилагането на формулата на Поасон (19.11)

1) T = 1, м = 0:

2) T = 2, м = 10:

закон големи числа. Математическата основа за факта, че стойностите на произволна променлива се групират около някои постоянни стойности, е законът за големите числа.

В исторически план първата формулировка на закона за големите числа е теоремата на Бернули:

„С неограничено увеличаване на броя на идентичните и независими експерименти n, честотата на възникване на събитие А се сближава по вероятност с неговата вероятност“, т.е.

където е честотата на поява на събитие А в n експеримента,

По същество изразът (19.10) означава, че при голям брой експерименти честотата на поява на събитието Аможе да замени неизвестната вероятност за това събитие и колкото по-голям е броят на извършените експерименти, толкова по-близо е p* до p. интересно исторически факт. К. Пиърсън хвърли монета 12 000 пъти и неговият герб се появи 6 019 пъти (честота 0,5016). При хвърляне на една и съща монета 24 000 пъти той получава 12 012 герба, т.е. честота 0,5005.

Най-важната форма на закона за големите числа е теоремата на Чебишев: с неограничено увеличаване на броя на независимите експерименти, имащи крайна вариация и проведени при идентични условия, средноаритметичната стойност на наблюдаваните стойности на случайната променлива се сближава по вероятност с нейното математическо очакване. В аналитична форма тази теорема може да се напише по следния начин:

В допълнение към фундаменталното си теоретично значение, теоремата на Чебишев има и важни практически приложения, например в теорията на измерването. След извършване на n измервания на определено количество х, получават различни несъвпадащи стойности х 1, х 2, ..., xn. За приблизителната стойност на измерваната величина хвземете средноаритметичната стойност на наблюдаваните стойности

при което, Колкото повече експерименти се провеждат, толкова по-точен ще бъде резултатът.Факт е, че дисперсията на количеството намалява с увеличаване на броя на извършените експерименти, т.к.

д(х 1) = д(х 2)=…= д(xn) д(х) , Че

Връзката (19.13) показва, че дори при висока неточност на измервателните уреди (голяма стойност), чрез увеличаване на броя на измерванията е възможно да се получи резултат с произволно висока точност.

Използвайки формула (19.10), можете да намерите вероятността статистическата честота да се отклонява от вероятността с не повече от

Пример.Вероятността за събитие във всеки опит е 0,4. Колко теста трябва да извършите, за да очаквате, с вероятност не по-малка от 0,8, че относителната честота на дадено събитие ще се отклони от вероятността в абсолютна стойност с по-малко от 0,01?

Решение.По формула (19.14)

следователно според таблицата има две приложения

следователно, н 3932.

В предишния представихме редица формули, които ни позволяват да намерим числените характеристики на функциите, когато са известни законите за разпределение на аргументите. Въпреки това, в много случаи, за да се намерят числените характеристики на функциите, дори не е необходимо да се познават законите за разпределение на аргументите, а е достатъчно да се знаят само някои от техните числени характеристики; в същото време ние обикновено се справяме без никакви закони за разпределение. Определянето на числените характеристики на функциите от дадени числени характеристики на аргументите се използва широко в теорията на вероятностите и може значително да опрости решаването на редица проблеми. Повечето от тези опростени методи се отнасят до линейни функции; обаче, някои елементарни нелинейни функции също позволяват подобен подход.

В настоящото ще представим редица теореми за числените характеристики на функциите, които заедно представляват много прост апарат за изчисляване на тези характеристики, приложим в широк диапазон от условия.

1. Математическо очакване на неслучайна стойност

Формулираното свойство е съвсем очевидно; може да се докаже чрез разглеждане на неслучайна променлива като специален тип случайна, с единица възможно значениес вероятност едно; тогава според общата формула за математическото очакване:

.

2. Дисперсия на неслучайна променлива

Ако е неслучайна стойност, тогава

3. Заместване на знака на математическото очакване с неслучайна стойност

, (10.2.1)

тоест неслучайна стойност може да бъде извадена като знак на математическото очакване.

Доказателство.

а) За прекъснати количества

b) За непрекъснати количества

.

4. Заместване на неслучайна стойност за знака на дисперсията и стандартното отклонение

Ако е неслучайна величина и е случайна, тогава

, (10.2.2)

тоест неслучайна стойност може да бъде извадена от знака на дисперсията чрез повдигането й на квадрат.

Доказателство. По дефиниция на дисперсията

Последица

,

т.е. неслучайна стойност може да бъде взета отвъд знака на нейното стандартно отклонение абсолютна стойност. Получаваме доказателството, като вземаме корен квадратен от формула (10.2.2) и вземаме предвид, че r.s.o. - значително положителна стойност.

5. Математическо очакване на сумата от случайни величини

Нека докажем, че за всеки две случайни променливи и

т.е. математическото очакване на сумата от две случайни променливи е равно на сумата от техните математически очаквания.

Това свойство е известно като теорема за събиране на математически очаквания.

Доказателство.

а) Нека е система от прекъснати случайни променливи. Приложете към сумата от случайни променливи обща формула(10.1.6) за математическото очакване на функция от два аргумента:

.

Ho не представлява нищо повече от общата вероятност количеството да приеме стойността:

;

следователно,

.

По подобен начин ще докажем това

,

и теоремата е доказана.

б) Нека е система от непрекъснати случайни променливи. По формула (10.1.7)

. (10.2.4)

Нека трансформираме първия от интегралите (10.2.4):

;

по същия начин

,

и теоремата е доказана.

Специално трябва да се отбележи, че теоремата за добавяне на математически очаквания е валидна за всякакви случайни величини – както зависими, така и независими.

Теоремата за добавяне на математически очаквания се обобщава до произволен брой членове:

, (10.2.5)

т.е. математическото очакване на сумата от няколко случайни променливи е равно на сумата от техните математически очаквания.

За да го докажете, достатъчно е да използвате метода на пълната индукция.

6. Математическо очакване линейна функция

Помислете за линейна функция от няколко произволни аргумента:

където са неслучайни коефициенти. Нека докажем това

, (10.2.6)

т.е. математическото очакване на линейна функция е равно на същата линейна функция на математическите очаквания на аргументите.

Доказателство. Използвайки теоремата за добавяне на m.o. и правилото за поставяне на неслучайна величина извън знака на m.o., получаваме:

.

7. Диспептази сума от случайни променливи

Дисперсията на сумата от две случайни променливи е равна на сумата от техните дисперсии плюс два пъти корелационния момент:

Доказателство. Нека обозначим

Според теоремата за събиране на математическите очаквания

Нека да преминем от случайни променливи към съответните центрирани променливи. Изваждайки равенството (10.2.9) член по член от равенството (10.2.8), имаме:

По дефиниция на дисперсията

Q.E.D.

Формула (10.2.7) за дисперсията на сумата може да се обобщи за произволен брой членове:

, (10.2.10)

където е корелационният момент на величините, знакът под сумата означава, че сумирането се простира до всички възможни комбинации по двойки от случайни променливи .

Доказателството е подобно на предишното и следва от формулата за квадрат на многочлен.

Формула (10.2.10) може да бъде написана в друга форма:

, (10.2.11)

където двойната сума се простира върху всички елементи на корелационната матрица на системата от количества , съдържащ както корелационни моменти, така и дисперсии.

Ако всички случайни променливи , включени в системата, са некорелирани (т.е. когато ), формула (10.2.10) приема формата:

, (10.2.12)

това означава, че дисперсията на сумата от некорелирани случайни променливи е равна на сумата от дисперсиите на членовете.

Тази позиция е известна като теорема за добавяне на дисперсии.

8. Дисперсия на линейна функция

Нека разгледаме линейна функция на няколко случайни променливи.

където са неслучайни количества.

Нека докажем, че дисперсията на тази линейна функция се изразява с формулата

, (10.2.13)

където е корелационният момент на величините , .

Доказателство. Нека въведем обозначението:

. (10.2.14)

Прилагайки формула (10.2.10) за дисперсията на сумата в дясната страна на израза (10.2.14) и като вземем предвид, че , получаваме:

където е корелационният момент на количествата:

.

Нека изчислим този момент. Ние имаме:

;

по същия начин

Замествайки този израз в (10.2.15), стигаме до формула (10.2.13).

В специалния случай, когато всички количества са некорелирани, формулата (10.2.13) приема формата:

, (10.2.16)

това означава, че дисперсията на линейна функция на некорелирани случайни променливи е равна на сумата от произведенията на квадратите на коефициентите и дисперсиите на съответните аргументи.

9. Математическо очакване на произведение на случайни величини

Математическото очакване на произведението на две случайни променливи е равно на произведението на техните математически очаквания плюс корелационния момент:

Доказателство. Ще продължим от дефиницията на корелационния момент:

Нека преобразуваме този израз, като използваме свойствата на математическото очакване:

което очевидно е еквивалентно на формула (10.2.17).

Ако случайните променливи не са корелирани, тогава формулата (10.2.17) приема формата:

т.е. математическото очакване на произведението на две некорелирани случайни променливи е равно на произведението на техните математически очаквания.

Тази позиция е известна като теорема за умножение на математическите очаквания.

Формулата (10.2.17) не е нищо повече от израз на втория смесен централен момент на системата чрез втория смесен начален момент и математически очаквания:

. (10.2.19)

Този израз често се използва на практика при изчисляване на корелационния момент по същия начин, по който за една случайна променлива дисперсията често се изчислява чрез втория начален момент и математическото очакване.

Теоремата за умножение на математическите очаквания се обобщава до произволен брой фактори, само в този случай, за нейното приложение, не е достатъчно, че количествата са некорелирани, но се изисква някои по-високи смесени моменти, броят на които зависи на броя термини в продукта, изчезват. Тези условия със сигурност са изпълнени, ако случайните променливи, включени в продукта, са независими. В такъв случай

, (10.2.20)

т.е. математическото очакване на произведението на независими случайни променливи е равно на произведението на техните математически очаквания.

Това твърдение може лесно да се докаже чрез пълна индукция.

10. Дисперсия на произведението на независими случайни променливи

Нека докажем това за независими количества

Доказателство. Нека обозначим . По дефиниция на дисперсията

Тъй като количествата са независими и

Когато са независими, количествата също са независими; следователно,

,

Но няма нищо повече от втория начален момент на величината и следователно се изразява чрез дисперсията:

;

по същия начин

.

Замествайки тези изрази във формула (10.2.22) и привеждайки подобни членове, стигаме до формула (10.2.21).

В случай, че се умножават центрирани случайни променливи (променливи с математически очаквания, равни на нула), формулата (10.2.21) приема формата:

, (10.2.23)

това означава, че дисперсията на произведението на независими центрирани случайни променливи е равна на произведението на техните дисперсии.

11. По-високи моменти от сумата на случайните величини

В някои случаи е необходимо да се изчислят най-високите моменти на сумата от независими случайни променливи. Нека докажем някои свързани отношения.

1) Ако количествата са независими, тогава

Доказателство.

откъдето, съгласно теоремата за умножение на математическите очаквания

Но първият централен момент за всяко количество е нула; двата средни члена изчезват и формула (10.2.24) е доказана.

Отношението (10.2.24) лесно се обобщава чрез индукция до произволен брой независими членове:

. (10.2.25)

2) Четвъртият централен момент на сумата от две независими случайни променливи се изразява с формулата

където са дисперсиите на количествата и .

Доказателството е напълно подобно на предишното.

С помощта на метода на пълната индукция е лесно да се докаже обобщението на формула (10.2.26) за произволен брой независими членове.