Провеждат се N експеримента по схемата на Бернули с вероятност за успех p. Нека X е броят на успехите. Случайната променлива X има диапазон от стойности (0,1,2,...,n). Вероятностите на тези стойности могат да бъдат намерени по формулата: , където C m n е броят на комбинациите от n до m. 
Серията за разпространение изглежда така:
| х | 0 | 1 | ... | м | н |
| стр | (1-p)n | np(1-p) n-1 | ... | C m n p m (1-p) n-m | p n |
Цел на услугата. За начертаване се използва онлайн калкулатор разпределение на биномен реди изчисляване на всички характеристики на реда: математическо очакване, дисперсия и стандартно отклонение. Протоколът с решението се съставя във формат Word (пример).
Видео инструкция
Тестова верига на Бернули
Числени характеристики на случайна величина, разпределени по биномен закон
Математическото очакване на случайна променлива X, разпределена според биномния закон.M[X]=np
Дисперсията на случайна променлива X, разпределена според биномния закон.
D[X]=npq
Пример №1. Продуктът може да е дефектен с вероятност p = 0,3 всеки. От партидата се избират три продукта. X е броят на дефектните части сред избраните. Намерете (въведете всички отговори във формата десетични знаци): а) разпределителна серия X; б) функция на разпределение F(x) .
Решение. Случайната променлива X има диапазон от стойности (0,1,2,3).
Нека намерим серията на разпространение на X.
P 3 (0) = (1-p) n = (1-0,3) 3 = 0,34
P 3 (1) = np(1-p) n-1 = 3(1-0,3) 3-1 = 0,44
P 3 (3) = p n = 0,3 3 = 0,027
| x i | 0 | 1 | 2 | 3 |
| p i | 0.34 | 0.44 | 0.19 | 0.027 |
Математическото очакване се намира по формулата M[X]= np = 3*0,3 = 0,9
Преглед: m = ∑x i p i .
Очакване M[X].
M[x] = 0*0,34 + 1*0,44 + 2*0,19 + 3*0,027 = 0,9
Намираме дисперсията по формулата D[X]=npq = 3*0.3*(1-0.3) = 0.63
Преглед: d = ∑x 2 i p i - M[x] 2 .
Дисперсия D[X].
D[X] = 0 2 *0,34 + 1 2 *0,44 + 2 2 *0,19 + 3 2 *0,027 - 0,9 2 = 0,63
Стандартно отклонение σ(x).
Функция на разпределение F(X).
F(xF(0F(1F(2F(x>3) = 1
- Вероятността за възникване на събитие в един опит е 0,6. Правят се 5 теста. Съставете закон за разпределение на случайната променлива X - броят на случванията на събитието.
- Начертайте закон за разпределение на случайната променлива X брой попадения с четири изстрела, ако вероятността за поразяване на целта с един изстрел е 0,8.
- Монетата се хвърля 7 пъти. намирам очаквана стойности разликата в броя на появяванията на герба. Забележка: тук вероятността за появата на герб е p = 1/2 (тъй като монетата има две страни).
Пример №2. Вероятността за възникване на събитие в един опит е 0,6. Прилагайки теоремата на Бернули, определете броя на независимите опити, започвайки от които вероятността честотата на събитие да се отклонява от неговата вероятност според абсолютна стойностпо-малко от 0,1, повече от 0,97. (Отговор: 801)
Пример №3. Учениците се явяват на тест в час по информатика. Работата се състои от три задачи. За да получите добра оценка, трябва да намерите верните отговори на поне две задачи. За всяка задача са дадени 5 отговора, от които само един е верен. Ученикът избира произволен отговор. Каква е вероятността той да получи добра оценка?
Решение. Вероятност да се отговори правилно на въпроса: p=1/5=0.2; n=3.
Тези данни трябва да бъдат въведени в калкулатора. В отговор вижте за P(2)+P(3).
Пример №4. Вероятността стрелецът да уцели целта с един изстрел е (m+n)/(m+n+2) . Произвеждат се n+4 изстрела. Намерете вероятността той да пропусне не повече от два пъти.
Забележка. Вероятността той да пропусне не повече от два пъти включва следните събития: никога не пропуска P(4), пропуска веднъж P(3), пропуска два пъти P(2).
Пример №5. Определете вероятностното разпределение на броя на повредените самолети, ако долетят 4 самолета. Вероятност за безотказна работа на самолета P = 0,99. Броят на самолетите, които са се провалили при всеки полет, се разпределя според биномния закон.
Кратка теория
Теорията на вероятностите се занимава с експерименти, които могат да се повтарят (поне теоретично) неограничен брой пъти. Нека някой експеримент се повтори веднъж и резултатите от всяко повторение не зависят от резултатите от предишни повторения. Такива серии от повторения се наричат независими опити. Специален случай на такива тестове са независими тестове на Бернули, които се характеризират с две условия:
1) резултатът от всеки тест е един от двата възможни резултата, наречени съответно „успех“ или „неуспех“.
2) вероятността за „успех“ във всеки следващ тест не зависи от резултатите от предишни тестове и остава постоянна.
Теорема на Бернули
Ако се проведе серия от независими опити на Бернули, във всеки от които „успехът“ се появява с вероятност, тогава вероятността „успехът“ да се появи точно веднъж в опитите се изразява с формулата:
където е вероятността за „провал“.
– броя на комбинациите от елементи по (вижте основните комбинаторни формули)
Тази формула се нарича Формула на Бернули.
Формулата на Бернули ви позволява да се отървете от голям брой изчисления - събиране и умножение на вероятности - с достатъчно голям брой тестове.
Тестовата схема на Бернули се нарича още биномна схема, а съответните вероятности се наричат биномни, което се свързва с използването на биномни коефициенти.
Разпределението според схемата на Бернули позволява, по-специално, .
Ако броят на тестовете не голям, тогава използвайте:
Пример за решение на проблем
Задачата
Кълняемостта на някои растителни семена е 70%. Каква е вероятността от 10 засети семена: 8, поне 8; поне 8?
Решението на проблема
Нека използваме формулата на Бернули:
В нашия случай
Нека събитието е, че от 10 семена 8 поникват:
Нека събитието е поне 8 (това означава 8, 9 или 10)
Нека събитието се покачи поне 8 (това означава 8,9 или 10)
Отговор
Средно аритметичноцена на решението тестова работа 700 - 1200 рубли (но не по-малко от 300 рубли за цялата поръчка). Цената е силно повлияна от спешността на решението (от ден до няколко часа). Цената на онлайн помощ за изпит/тест е от 1000 рубли. за решаване на билета.
Можете да оставите заявка директно в чата, като предварително сте изпратили условията на задачите и сте информирали за крайните срокове за необходимото решение. Времето за реакция е няколко минути.
Определение за повтарящи се независими тестове. Формули на Бернули за изчисляване на вероятността и най-вероятното число. Асимптотични формули за формулата на Бернули (локални и интегрални, теорема на Лаплас). Използване на интегралната теорема. Формула на Поасон за малко вероятни случайни събития.
Повтарящи се независими тестове
На практика трябва да се справяме със задачи, които могат да бъдат представени под формата на многократно повтарящи се тестове, в резултат на всеки от които събитието А може да се появи или да не се появи. В този случай резултатът от интерес не е резултатът от всеки отделен тест, а обща сумавъзникване на събитие А в резултат на определен брой опити. При такива проблеми трябва да можете да определите вероятността за произволен брой m настъпвания на събитие A в резултат на n опита. Разгледайте случая, когато опитите са независими и вероятността за възникване на събитие А във всеки опит е постоянна. Такива тестове се наричат повтарящ се независим.
Пример за независимо тестване е проверката на пригодността на продукти, взети един от няколко партиди. Ако процентът на дефектите в тези партиди е еднакъв, тогава вероятността избраният продукт да бъде дефектен е постоянно число във всеки случай.
Формула на Бернули
Нека използваме концепцията комплексно събитие, което означава комбинацията от няколко елементарни събития, състояща се от появата или несъстоятелността на събитие А в i-тото изпитване. Нека се извършат n независими опита, във всяко от които събитие А може или да се появи с вероятност p, или да не се появи с вероятност q=1-p. Да разгледаме събитието B_m, което е, че събитие А ще се случи точно m пъти в тези n опита и следователно няма да се случи точно (n-m) пъти. Нека обозначим A_i~(i=1,2,\lточки,(n))настъпване на събитие A, a \overline(A)_i - ненастъпване на събитие A в i-тото изпитване. Поради постоянството на условията на теста имаме
Събитие А може да се появи m пъти в различни последователности или комбинации, редувайки се с противоположно събитие\overline(A) . Броят на възможните комбинации от този вид е равен на броя на комбинациите от n елемента по m, т.е. C_n^m. Следователно събитието B_m може да бъде представено като сума от сложни събития, които са несъвместими едно с друго, а броят на термините е равен на C_n^m:
B_m=A_1A_2\cdots(A_m)\overline(A)_(m+1)\cdots\overline(A)_n+\cdots+\overline(A)_1\overline(A)_2\cdots\overline(A)_( n-m)A_(n-m+1)\cdots(A_n),
където всеки продукт съдържа събитието A m пъти и \overline(A) - (n-m) пъти.
Вероятността за всяко сложно събитие, включено във формула (3.1), съгласно теоремата за умножение на вероятностите за независими събития, е равна на p^(m)q^(n-m) . Тъй като общият брой на такива събития е равен на C_n^m, тогава, използвайки теоремата за добавяне на вероятности за несъвместими събития, получаваме вероятността на събитието B_m (ние го обозначаваме P_(m,n))
P_(m,n)=C_n^mp^(m)q^(n-m)\quad \text(or)\quad P_(m,n)=\frac(n{m!(n-m)!}p^{m}q^{n-m}. !}
Формула (3.2) се извиква Формула на Бернули, а повторните опити, които отговарят на условието за независимост и постоянство на вероятностите за настъпване на събитие А във всяко от тях, се наричат Тестове на Бернули, или схема на Бернули.
Пример 1. Вероятността за излизане извън зоната на толеранс при обработка на части на струг е 0,07. Определете вероятността от пет произволно избрани детайла по време на смяна, един да има размери на диаметъра, които не отговарят на определения толеранс.
Решение. Условието на задачата удовлетворява изискванията на схемата на Бернули. Следователно, ако приемем n=5,\,m=1,\,p=0,\!07, използвайки формула (3.2) получаваме
P_(1,5)=C_5^1(0,\!07)^(1)(0,\!93)^(5-1)\приблизително 0,\!262.
Пример 2. Наблюденията установяват, че в определен район през септември има 12 дъждовни дни. Каква е вероятността от произволно избраните 8 дни този месец 3 дни да са дъждовни?
Решение.
P_(3;8)=C_8^3(\вляво(\frac(12)(30)\вдясно)\^3{\left(1-\frac{12}{30}\right)\!}^{8-3}=\frac{8!}{3!(8-3)!}{\left(\frac{2}{5}\right)\!}^3{\left(\frac{3}{5}\right)\!}^5=56\cdot\frac{8}{125}\cdot\frac{243}{3125}=\frac{108\,864}{390\,625}\approx0,\!2787. !}
Най-вероятният брой повторения на дадено събитие
Най-вероятната дата на събитиетосъбитие А в n независими опити се нарича такова число m_0, за което вероятността, съответстваща на това число, надвишава или най-малкото не е по-малка от вероятността за всеки от другите възможни числа за възникване на събитие А. За да се определи най-вероятното число, не е необходимо да се изчисляват вероятностите за възможния брой настъпвания на дадено събитие; достатъчно е да се знае броят на опитите n и вероятността за възникване на събитие А в отделно изпитване. Нека обозначим с P_(m_0,n) вероятността, съответстваща на най-вероятното число m_0. Използвайки формула (3.2), записваме
P_(m_0,n)=C_n^(m_0)p^(m_0)q^(n-m_0)=\frac(n{m_0!(n-m_0)!}p^{m_0}q^{n-m_0}. !}
Според дефиницията на най-вероятното число, вероятностите за настъпване на събитие А, съответно m_0+1 и m_0-1 пъти, не трябва да превишават поне вероятността P_(m_0,n), т.е.
P_(m_0,n)\geqslant(P_(m_0+1,n));\квад P_(m_0,n)\geqslant(P_(m_0-1,n))
Като заместим стойността P_(m_0,n) и вероятностните изрази P_(m_0+1,n) и P_(m_0-1,n) в неравенствата, получаваме
Решавайки тези неравенства за m_0, получаваме
M_0\geqslant(np-q),\quad m_0\leqslant(np+p)
Комбинирайки последните неравенства, получаваме двойно неравенство, което се използва за определяне на най-вероятното число:
Np-q\leqslant(m_0)\leqslant(np+p).
Тъй като дължината на интервала, определен от неравенството (3.4), е равна на единица, т.е.
(np+p)-(np-q)=p+q=1,
и събитието може да се случи в n опита само цял брой пъти, тогава трябва да се има предвид, че:
1) ако np-q е цяло число, тогава има две стойности на най-вероятното число, а именно: m_0=np-q и m"_0=np-q+1=np+p ;
2) ако np-q е дробно число, тогава има едно най-вероятно число, а именно: единственото цяло число, съдържащо се между дробни числа, получено от неравенство (3.4);
3) ако np е цяло число, тогава има едно най-вероятно число, а именно: m_0=np.
За големи стойности на n е неудобно да се използва формула (3.3) за изчисляване на вероятността, съответстваща на най-вероятното число. Ако заместим формулата на Стърлинг в равенство (3.3)
N!\приблизително(n^ne^(-n)\sqrt(2\pi(n))),
валидни за достатъчно голямо n и вземем най-вероятното число m_0=np, тогава получаваме формула за приблизително изчисляване на вероятността, съответстваща на най-вероятното число:
P_(m_0,n)\приблизително\frac(n^ne^(-n)\sqrt(2\pi(n))\,p^(np)q^(nq))((np)^(np) e^(-np)\sqrt(2\pi(np))\,(nq)^(nq)e^(-nq)\sqrt(2\pi(nq)))=\frac(1)(\ sqrt(2\pi(npq)))=\frac(1)(\sqrt(2\pi)\sqrt(npq)).
Пример 2. Известно е, че \frac(1)(15) част от продуктите, доставени от завода на търговската база, не отговарят на всички изисквания на стандарта. В базата е доставена партида от 250 бр. Намерете най-вероятния брой продукти, които отговарят на изискванията на стандарта, и изчислете вероятността тази партида да съдържа най-вероятния брой продукти.
Решение. По условие n=250,\,q=\frac(1)(15),\,p=1-\frac(1)(15)=\frac(14)(15). Съгласно неравенството (3.4) имаме
250\cdot\frac(14)(15)-\frac(1)(15)\leqslant(m_0)\leqslant250\cdot\frac(14)(15)+\frac(1)(15)
където 233,\!26\leqslant(m_0)\leqslant234,\!26. Следователно най-вероятният брой продукти, които отговарят на изискванията на стандарта в партида от 250 бр. е равно на 234. Замествайки данните във формула (3.5), изчисляваме вероятността да имаме най-вероятния брой продукти в партидата:
P_(234 250)\приблизително\frac(1)(\sqrt(2\pi\cdot250\cdot\frac(14)(15)\cdot\frac(1)(15)))\приблизително0,\!101
Локална теорема на Лаплас
Много е трудно да се използва формулата на Бернули за големи стойности на n. Например ако n=50,\,m=30,\,p=0,\!1, тогава за намиране на вероятността P_(30.50) е необходимо да се изчисли стойността на израза
P_(30,50)=\frac(50{30!\cdot20!}\cdot(0,\!1)^{30}\cdot(0,\!9)^{20} !}
Естествено възниква въпросът: възможно ли е да се изчисли вероятността от лихва, без да се използва формулата на Бернули? Оказва се, че е възможно. Локалната теорема на Лаплас дава асимптотична формула, която ни позволява приблизително да намерим вероятността събитията да се появят точно m пъти в n опита, ако броят на опитите е достатъчно голям.
Теорема 3.1. Ако вероятността p за възникване на събитие A във всеки опит е постоянна и различна от нула и единица, тогава вероятността P_(m,n), че събитие A ще се появи точно m пъти в n опита е приблизително равна (колкото по-точно, по-голямото n) спрямо стойността на функцията
Y=\frac(1)(\sqrt(npq))\frac(e^(-x^2/2))(\sqrt(2\pi))=\frac(\varphi(x))(\sqrt (npq))при .
Има таблици, които съдържат стойности на функции \varphi(x)=\frac(1)(\sqrt(2\pi))\,e^(-x^2/2)), съответстващи на положителни стойности на аргумента x. За отрицателни стойности на аргумента се използват същите таблици, тъй като функцията \varphi(x) е четна, т.е. \varphi(-x)=\varphi(x).
И така, приблизително вероятността събитие А да се появи точно m пъти в n опита е
P_(m,n)\приблизително\frac(1)(\sqrt(npq))\,\varphi(x),Където x=\frac(m-np)(\sqrt(npq)).
Пример 3. Намерете вероятността събитие А да се случи точно 80 пъти в 400 опита, ако вероятността събитие А да се случи във всеки опит е 0,2.
Решение. По условие n=400,\,m=80,\,p=0,\!2,\,q=0,\!8. Нека използваме асимптотичната формула на Лаплас:
P_(80 400)\приблизително\frac(1)(\sqrt(400\cdot0,\!2\cdot0,\!8))\,\varphi(x)=\frac(1)(8)\,\varphi (х).
Нека изчислим стойността x, определена от данните на задачата:
X=\frac(m-np)(\sqrt(npq))=\frac(80-400\cdot0,\!2)(8)=0.
Според таблицата прил \varphi(0)=0,\!3989. Необходима вероятност
P_(80,100)=\frac(1)(8)\cdot0,\!3989=0,\!04986.
Формулата на Бернули води до приблизително същия резултат (изчисленията са пропуснати поради тяхната тромавост):
P_(80,100)=0,\!0498.
Интегрална теорема на Лаплас
Да предположим, че са проведени n независими опита, във всяко от които вероятността за настъпване на събитие А е постоянна и равна на p. Необходимо е да се изчисли вероятността P_((m_1,m_2),n), че събитие А ще се появи в n опита поне m_1 и най-много m_2 пъти (за краткост ще кажем „от m_1 до m_2 пъти“). Това може да се направи с помощта на интегралната теорема на Лаплас.
Теорема 3.2. Ако вероятността p за възникване на събитие A във всеки опит е постоянна и различна от нула и едно, тогава приблизително вероятността P_((m_1,m_2),n), че събитие A ще се появи в опити от m_1 до m_2 пъти,
P_((m_1,m_2),n)\approx\frac(1)(\sqrt(2\pi))\int\limits_(x")^(x"")e^(-x^2/2) \,dx,Където .
При решаване на задачи, които изискват прилагането на интегралната теорема на Лаплас, се използват специални таблици, тъй като неопределен интеграл \int(e^(-x^2/2)\,dx)не се изразява чрез елементарни функции. Таблица за интеграла \Phi(x)=\frac(1)(\sqrt(2\pi))\int\limits_(0)^(x)e^(-z^2/2)\,dzдадени в допълнение. 2, където стойностите на функцията \Phi(x) са дадени за положителни стойности на x, за x<0 используют ту же таблицу (функция \Phi(x) нечетна, т. е. \Phi(-x)=-\Phi(x) ). Таблица содержит значения функции \Phi(x) лишь для x\in ; для x>5 можем да вземем \Phi(x)=0,\!5 .
И така, приблизително вероятността събитие А да се появи в n независими опита от m_1 до m_2 пъти е
P_((m_1,m_2),n)\приблизително\Phi(x"")-\Phi(x"),Където x"=\frac(m_1-np)(\sqrt(npq));~x""=\frac(m_2-np)(\sqrt(npq)).
Пример 4. Вероятността дадена част да е произведена в нарушение на стандартите е p=0,\!2. Намерете вероятността сред 400 произволно избрани части да има от 70 до 100 нестандартни части.
Решение. По условие p=0,\!2,\,q=0,\!8,\,n=400,\,m_1=70,\,m_2=100. Нека използваме интегралната теорема на Лаплас:
P_((70,100),400)\приблизително\Phi(x"")-\Phi(x").
Нека изчислим границите на интегриране:
нисък
X"=\frac(m_1-np)(\sqrt(npq))=\frac(70-400\cdot0,\!2)(\sqrt(400\cdot0,\!2\cdot0,\!8)) =-1,\!25,
горен
X""=\frac(m_2-np)(\sqrt(npq))=\frac(100-400\cdot0,\!2)(\sqrt(400\cdot0,\!2\cdot0,\!8) )=2,\!5,
По този начин
P_((70,100),400)\приблизително\Phi(2,\!5)-\Phi(-1,\!25)=\Phi(2,\!5)+\Phi(1,\!25) .
Според таблицата прил. 2 намираме
\Phi(2,\!5)=0,\!4938;~~~~~\Phi(1,\!25)=0,\!3944.
Необходима вероятност
P_((70,100),400)=0,\!4938+0,\!3944=0,\!8882.
Приложение на интегралната теорема на Лаплас
Ако числото m (броят повторения на събитие А в n независими опита) се промени от m_1 на m_2, тогава частта \frac(m-np)(\sqrt(npq))ще варира от \frac(m_1-np)(\sqrt(npq))=x"преди \frac(m_2-np)(\sqrt(npq))=x"". Следователно интегралната теорема на Лаплас може да бъде записана и по следния начин:
P\left\(x"\leqslant\frac(m-np)(\sqrt(npq))\leqslant(x"")\right\)=\frac(1)(\sqrt(2\pi))\ int\limits_(x")^(x"")e^(-x^2/2)\,dx.
Нека поставим задачата да намерим вероятността отклонението на относителната честота \frac(m)(n) от постоянната вероятност p по абсолютна стойност да не надвишава дадено число \varepsilon>0. С други думи, намираме вероятността за неравенството \left|\frac(m)(n)-p\right|\leqslant\varepsilon, което е същото -\varepsilon\leqslant\frac(m)(n)-p\leqslant\varepsilon. Ще обозначим тази вероятност, както следва: P\left\(\left|\frac(m)(n)-p\right|\leqslant\varepsilon\right\). Като вземем предвид формула (3.6) за тази вероятност получаваме
P\left\(\left|\frac(m)(n)-p\right|\leqslant\varepsilon\right\)\approx2\Phi\left(\varepsilon\,\sqrt(\frac(n)(pq ))\надясно).
Пример 5. Вероятността частта да е нестандартна е p=0,\!1. Намерете вероятността сред произволно избрани 400 части относителната честота на поява на нестандартни части да се отклонява от вероятността p=0,\!1 по абсолютна стойност с не повече от 0,03.
Решение. По условие n=400,\,p=0,\!1,\,q=0,\!9,\,\varepsilon=0,\!03. Трябва да намерим вероятността P\left\(\left|\frac(m)(400)-0,\!1\right|\leqslant0,\!03\right\). Използвайки формула (3.7), получаваме
P\left\(\left|\frac(m)(400)-0,\!1\right|\leqslant0,\!03\right\)\approx2\Phi\left(0,\!03\sqrt( \frac(400)(0,\!1\cdot0,\!9))\right)=2\Phi(2)
Според таблицата прил. 2 намираме \Phi(2)=0,\!4772 , следователно 2\Phi(2)=0,\!9544 . Така че желаната вероятност е приблизително 0,9544. Значението на резултата е следното: ако вземете достатъчно голям брой проби от 400 части всяка, тогава в приблизително 95,44% от тези проби отклонението на относителната честота от постоянната вероятност p=0.\!1 в абсолютно стойността няма да надвишава 0,03.
Формулата на Поасон за малко вероятни събития
Ако вероятността p за настъпване на събитие в отделен опит е близка до нула, тогава дори при голям брой опити n, но с малка стойностна продукта np, стойностите на вероятностите P_(m,n), получени по формулата на Лаплас, се оказват недостатъчно точни и има нужда от друга приблизителна формула.
Теорема 3.3. Ако вероятността p за настъпване на събитие A във всеки опит е постоянна, но малка, броят на независимите опити n е достатъчно голям, но стойността на продукта np=\lambda остава малка (не повече от десет), тогава вероятността че събитие А ще се случи m пъти в тези опити е
P_(m,n)\приблизително\frac(\lambda^m)(m\,e^{-\lambda}. !}
За да се опростят изчисленията с помощта на формулата на Поасон, е съставена таблица със стойности на функцията на Поасон \frac(\lambda^m)(m\,e^{-\lambda} !}(вижте приложение 3).
Пример 6. Нека вероятността за производство на нестандартна част е 0,004. Намерете вероятността сред 1000 части да има 5 нестандартни.
Решение. Тук n=1000,p=0.004,~\lambda=np=1000\cdot0,\!004=4. И трите числа отговарят на изискванията на теорема 3.3, следователно, за да намерим вероятността за желаното събитие P_(5,1000), използваме формулата на Поасон. От таблицата със стойности на функцията на Поасон (Приложение 3) с \lambda=4;m=5 получаваме P_(5,1000)\приблизително 0,\!1563.
Нека намерим вероятността за същото събитие, използвайки формулата на Лаплас. За да направим това, първо изчисляваме стойността на x, съответстваща на m=5:
X=\frac(5-1000\cdot0,\!004)(\sqrt(1000\cdot0,\!004\cdot0,\!996))\приблизително\frac(1)(1,\!996)\приблизително0 ,\!501.
Следователно, според формулата на Лаплас, желаната вероятност
P_(5,1000)\приблизително\frac(\varphi(0,\!501))(1,\!996)\приблизително\frac(0,\!3519)(1,\!996)\приблизително0,\ !1763
и според формулата на Бернули точната му стойност е
P_(5,1000)=C_(1000)^(5)\cdot0,\!004^5\cdot0,\!996^(995)\приблизително 0,\!1552.
По този начин, относителна грешкаизчисляването на вероятностите P_(5,1000) с помощта на приблизителната формула на Лаплас е
\frac(0,\!1763-0,\!1552)(0,\!1552)\приблизително 0,\!196, или 13.\!6\%
и според формулата на Поасон -
\frac(0,\!1563-0,\!1552)(0,\!1552)\приблизително 0,\!007, или 0.\!7\%
Тоест в пъти по-малко.
Отидете на следващия раздел
Едномерен случайни променливи
Javascript е деактивиран във вашия браузър.
За да извършвате изчисления, трябва да активирате ActiveX контролите!
ФЕДЕРАЛНА АГЕНЦИЯ ЗА ОБРАЗОВАНИЕ
Държавно учебно заведение
висше професионално образование
"МАТИ" - РУСКИ ДЪРЖАВЕН ТЕХНОЛОГИЧЕН УНИВЕРСИТЕТ НА ИМЕТО К.Е. ЦИОЛКОВСКИ
Катедра „Системно моделиране и информационни технологии”
Повторение на тестове. Верига на Бернули
Насоки за практически упражнения
по дисциплина "Висша математика"
Съставител: Егорова Ю.Б.
Мамонов И.М.
Москва 2006 въведение
Насоките са предназначени за редовни и вечерни студенти на факултет № 14, специалности 150601, 160301, 230102. Насоките подчертават основните понятия на темата и определят последователността на изучаване на материала. Голям брой разгледани примери помагат за практическото развитие на темата. Насоките служат като методическа основа за практически занятияи изпълнение на индивидуални задачи.
СХЕМА НА БЕРНУЛИ. ФОРМУЛА НА БЕРНУЛИ
Схема на Бернули- схема на повтарящи се независими тестове, в които някакво събитие Аможе да се повтори много пъти с постоянна вероятност Р (А)= Р .
Примери за тестове, проведени по схемата на Бернули: многократно хвърляне на монета или зар, производство на партида от части, стрелба по мишена и др.
Теорема.Ако вероятността за настъпване на събитие Авъв всеки тест е постоянен и равен Р, тогава вероятността събитието Аще дойде мведнъж на всеки нтестове (без значение в каква последователност), може да се определи по формулата на Бернули:
Където р = 1 – стр.
ПРИМЕР 1.Вероятността потреблението на електроенергия за един ден да не надвишава установената норма е равна на p= 0,75. Намерете вероятността през следващите 6 дни консумацията на електроенергия за 4 дни да не надвишава нормата.
РЕШЕНИЕ. Вероятността за нормално потребление на електроенергия за всеки от 6 дни е постоянна и равна на Р= 0,75. Следователно вероятността от прекомерна консумация на енергия всеки ден също е постоянна и равна на р = 1Р = 1 0,75 = 0,25.
Необходимата вероятност според формулата на Бернули е равна на:
ПРИМЕР 2.Стрелецът стреля три пъти по целта. Вероятността за попадение в целта с всеки изстрел е равна на p= 0,3. Намерете вероятността: а) да бъде улучена една цел; б) и трите цели; в) нито една цел; г) поне една цел; д) по-малко от две цели.
РЕШЕНИЕ. Вероятността за попадение в целта с всеки изстрел е постоянна и равна на Р=0,75. Следователно вероятността за пропуск е равна на р = 1 Р= 1 0,3 = 0,7. Общ брой извършени експерименти н=3.
а) Вероятността за поразяване на една цел с три изстрела е равна на:
b) Вероятността за поразяване на трите цели с три изстрела е равна на:
в) Вероятността от три пропуска с три изстрела е равна на:
г) Вероятността за поразяване на поне една цел с три изстрела е равна на:
д) Вероятността за попадение на по-малко от две цели, т.е. или една цел, или нито една:
Локални и интегрални теореми на Моавр-Лаплас
Ако се извършат голям брой тестове, тогава изчисляването на вероятностите с помощта на формулата на Бернули става технически трудно, тъй като формулата изисква операции с огромни числа. Следователно има по-прости приблизителни формули за изчисляване на вероятностите като цяло н. Тези формули се наричат асимптотични и се определят от теоремата на Поасон, локалната и интегралната теорема на Лаплас.
Локална теорема на Моавр-Лаплас. А Аще се случи мведнъж на всеки н н (н →∞ ), е приблизително равно на:
къде е функцията 
и аргументът 
Колкото повече н, толкова по-точно е изчисляването на вероятностите. Поради това е препоръчително да се прилага теоремата на Moivre-Laplace, когато npq 20.
f ( х ) са съставени специални таблици (вж. Приложение 1). Когато използвате таблицата, трябва да имате предвид функционални свойства f(x) :
функция f(x)е дори е( x)=f(x) .
При х ∞ функция f(x) 0. На практика можем да приемем, че вече при х>4 функция f(x) ≈0.
ПРИМЕР 3.Намерете вероятността събитието Аще се случи 80 пъти в 400 опита, ако вероятността събитието да се случи Авъв всяко изпитание е равно p= 0,2.
РЕШЕНИЕ. По условие н=400, м=80, стр=0,2, р=0,8. Следователно:
Използвайки таблицата, определяме стойността на функцията f (0)=0,3989.
Интегрална теорема на Моавр-Лаплас.Ако вероятността за настъпване на събитие Авъв всеки опит е постоянна и различна от 0 и 1, тогава вероятността събитието Аидва от м 1 преди м 2 веднъж на всеки н тестове с достатъчно голям брой н (н →∞ ), е приблизително равно на:
Където 
интегрална или функция на Лаплас, 
За намиране на стойностите на функция F( х ) Съставени са специални таблици (например, вижте Приложение 2). Когато използвате таблицата, трябва да имате предвид свойства на функцията на Лаплас Ф(х) :
функция Ф(х)е странно F( x)= Ф(х) .
При х ∞ функция Ф(х) 0,5. На практика можем да приемем, че вече при х>5 функция Ф(х) ≈0,5.
Е (0)=0.
ПРИМЕР 4.Вероятността частта да не е преминала проверката за контрол на качеството е 0,2. Намерете вероятността сред 400 части да има от 70 до 100 непроверени части.
РЕШЕНИЕ. По условие н=400, м 1 =70, м 2 =100, стр=0,2, р=0,8. Следователно:
Използвайки таблицата, която показва стойностите на функцията на Лаплас, определяме:
Ф(х 1 ) = F( 1,25 )= F( 1,25 )= 0,3944; Ф(х 2 ) = F( 2,5 )= 0,4938.
