Изводи в логиката. Дедуктивно разсъждение

Булев тип. Стойностите на булевия тип заемат 1 байт и приемат една от двете стойности, определени от предварително дефинираните константи True (true) и False (false). - функция, която преобразува низ

26. Логически анализ

26. Логически анализ на автобусен сайт. Това място е. Обяд. Приблизително. Приблизително обяд. Време е. Кавга на пътниците. Това е екшън. Дълъг кльощав врат, носещ шапка с плитка около нея. Това

Логичен начин

Част първа. Дедуктивно и правдоподобно разсъждение

ГЛАВА 1. Предмет и задачи на логиката

1.1. Логиката като наука

Логиката е една от най-древните науки, чиито първи учения за формите и методите на разсъждение възникват в цивилизациите Древен изток(Китай, Индия). Принципите и методите на логиката навлизат в западната култура главно чрез усилията на древните гърци. Разработено политически животв гръцките градове-държави, борбата на различни партии за влияние върху масите свободни граждани, желанието за разрешаване на собственост и други конфликти, възникнали чрез съдилищата - всичко това изискваше способността да убеждаваш хората, да защитаваш позицията си в различни популярни форуми, в държавни институции, съдебни заседания и др.

Изкуството на убеждаването, спора, умението разумно да защитава мнението си и да възразява на противника по време на спор и полемика се култивира в рамките на древната реторика, фокусирана върху подобряването на ораторското изкуство и еристиката, специално учение за спора. Първите учители по реторика направиха много за разпространението и развитието на знанията за умението за убеждаване, методите на аргументиране и изграждане на публична реч, обръщане Специално вниманиевърху неговите емоционални, психологически, морални и ораторски аспекти и характеристики. Но по-късно, когато училищата по реторика започнаха да се оглавяват от софистите, те се стремяха да научат своите ученици не да търсят истината чрез спорове, а по-скоро да побеждават, да спечелят словесно състезание на всяка цена. За тези цели широко се използват умишлени логически грешки, които по-късно стават известни като софистика,както и различни психологически трикове и техники за отвличане на вниманието на опонента, внушение, превключване на спора от основната тема към второстепенни въпроси и др.

Срещу тази тенденция в реториката решително се противопоставят великите антични философи Сократ, Платон и Аристотел, които считат за основно средство за убеждаване валидността на съдържащите се в ораторската реч съждения, правилното им свързване в процеса на разсъждение, т.е. извличане на едни преценки от други. Именно за анализа на разсъжденията Аристотел (IV в. пр. н. е.) създава първата логическа система, т.нар силогистика.Това е най-простата, но в същото време и най-често използваната форма на дедуктивно разсъждение, при която заключението (заключението) се получава от предпоставките според правилата на логическата дедукция. Имайте предвид, че терминът приспаданев превод от латински означава заключение.

За да обясним това, нека се обърнем към древния силогизъм:

Всички хора са смъртни.

Кай е човек.____________

Следователно Кай е смъртен.

Тук, както и при другите силогизми, изводът се прави от общото знание за определен клас предмети и явления към частно и индивидуално знание. Нека веднага подчертаем, че в други случаи дедукцията може да се извърши от частно към частно или от общо към общо.

Основното, което обединява всички дедуктивни изводи, е, че заключението следва от предпоставките според логическите правила на извода и има надежден, обективен характер. С други думи, заключението не зависи от волята, желанията и предпочитанията на разсъждаващия субект. Ако приемете предпоставките на такова заключение, тогава трябва да приемете заключението му.

Също така често се посочва, че определящата характеристика на дедуктивните изводи е логически необходимият характер на заключението, неговата надеждна истина. С други думи, при такива изводи истинната стойност на предпоставките се пренася изцяло в заключението. Ето защо дедуктивните разсъждения имат най-голяма убедителна сила и се използват широко не само за доказване на теореми в математиката, но и навсякъде, където са необходими надеждни заключения.

Много често в учебниците логикаопределен като наука за законите на правилното мислене или за принципите и методите на правилните заключения.Тъй като обаче остава неясно какъв вид мислене се счита за правилно, първата част от определението съдържа скрита тавтология, тъй като имплицитно се приема, че такава правилност се постига чрез спазване на правилата на логиката. Във втората част предметът на логиката е определен по-точно, тъй като основната задача на логиката се свежда до анализ на умозаключенията, т.е. за идентифициране на начини за получаване на някои преценки от други. Лесно е да се забележи, че когато говорят за правилни изводи, те имплицитно или дори експлицитно имат предвид дедуктивна логика. Именно в него има напълно определени правила за логическо извеждане на изводи от предпоставки, с които ще се запознаем по-подробно по-нататък. Често дедуктивната логика се отъждествява и с формалната логика на основание, че последната изучава формите на изводите в абстракция от конкретното съдържание на съжденията. Този възглед обаче не взема предвид други методи и форми на разсъждение, които се използват широко както в експерименталните науки, изучаващи природата, така и в социално-икономическите и хуманитарните науки, основани на факти и резултати от социалния живот. И в ежедневната практика ние често правим обобщения и предположения въз основа на наблюдения на конкретни случаи.

Разсъждение от този вид, при което въз основа на изследване и проверка на конкретни случаи се стига до заключение за неизучени случаи или за всички явления от класа като цяло, се нарича индуктивен.Срок индукцияозначава напътствиеи добре изразява същността на подобно разсъждение. Те обикновено изучават свойствата и връзките на определен брой членове на определен клас обекти и явления. Полученото общо свойство или връзка след това се прехвърля към неизследвани членове или към целия клас. Очевидно такова заключение не може да се счита за надеждно вярно, тъй като сред неизследваните членове на класа и особено класа като цяло може да има членове, които не притежават предполагаемото общо свойство. Следователно заключенията на индукцията не са надеждни, а само вероятностни. Често такива изводи се наричат ​​още правдоподобни, хипотетични или предполагаеми, тъй като те не гарантират постигането на истината, а само я сочат. Те имат евристичен(търсене), а не надежден по природа, помагащ да се търси истината, а не да се доказва. Наред с индуктивните разсъждения, това включва и изводи по аналогия и статистически обобщения.

Отличителна чертана такива недедуктивни разсъждения е, че заключението в тях не следва логически, т.е. според правилата за приспадане, от помещения. Предпоставките само в една или друга степен потвърждават заключението, правят го повече или по-малко вероятно или правдоподобно, но не гарантират надеждната му истинност. На тази основа вероятностните разсъждения понякога явно се подценяват, считат се за второстепенни, спомагателни и дори изключени от логиката.

Това отношение към недедуктивната и по-специално към индуктивната логика се обяснява главно със следните причини:

Първо, и това е основното, проблематичният, вероятностен характер на индуктивните заключения и свързаната с тях зависимост на резултатите от наличните данни, неотделимостта от предпоставките и непълнотата на заключенията. В края на краищата, когато нови данни станат достъпни, вероятността от такива заключения също се променя.

Второ, наличието на субективни аспекти при оценката на вероятностната логическа връзка между предпоставките и заключението на аргумента. Тези предпоставки, като факти и доказателства, може да изглеждат убедителни за един човек, но не и за друг. Единият смята, че категорично подкрепя извода, другият е на противоположното мнение. Такива разногласия не възникват при дедуктивното заключение.

Трето, това отношение към индукцията се обяснява и с исторически обстоятелства. Когато индуктивната логика възниква за първи път, нейните създатели, по-специално Ф. Бейкън, вярват, че с помощта на нейните канони или правила е възможно да се открият нови истини в експерименталните науки по почти чисто механичен начин. „Нашият път на откриване на науките,” пише той, „оставя малко на остротата и силата на таланта, но почти ги изравнява, както при начертаването на права линия или описването на перфектен кръг, твърдостта, умението и изпитанието на ръката означават. много, ако действате само с ръката си, това означава малко или изобщо не означава, ако използвате пергел и линийка. Такъв е случаят с нашия метод. Говорейки модерен език, създателите на индуктивната логика разглеждат своите канони като алгоритми на откритието. С развитието на науката става все по-очевидно, че с помощта на такива правила (или алгоритми) е възможно да се открият само най-простите емпирични връзки между експериментално наблюдаваните явления и величините, които ги характеризират. Откриването сложни връзкии дълбоките теоретични закони изискваха използването на всички средства и методи на емпирични и теоретични изследвания, максимално приложениеумствени и интелектуални способности на учените, техния опит, интуиция и талант. И това не можеше да не породи негативно отношение към механичния подход към откритието, който преди това съществуваше в индуктивната логика.

Четвърто, разширяването на формите на дедуктивното разсъждение, появата на релационната логика и по-специално приложението математически методиза анализа на дедукцията, който завърши със създаването на символна (или математическа) логика, която до голяма степен допринесе за напредъка на дедуктивната логика.

Всичко това прави ясно защо те често предпочитат да определят логиката като наука за методите, правилата и законите на дедуктивните изводи или като теория на логическите изводи. Но не трябва да забравяме, че индукцията, аналогията и статистиката са по важни начиниевристично търсене на истината и затова те служат като рационални методи на разсъждение. В края на краищата търсенето на истината може да се извърши на случаен принцип, чрез проба и грешка, но този метод е изключително неефективен, въпреки че понякога се използва. Науката прибягва до него много рядко, тъй като се фокусира върху организирано, целенасочено и систематично търсене.

Трябва също така да се има предвид, че общите истини (емпирични и теоретични закони, принципи, хипотези и обобщения), които се използват като предпоставки за дедуктивни заключения, не могат да бъдат установени дедуктивно. Но може да се възрази, че те не се отварят индуктивно. Но тъй като индуктивното разсъждение е фокусирано върху търсенето на истината, то се оказва по-полезно евристично средство за изследване. Разбира се, в хода на тестването на предположения и хипотези се използва и дедукция, по-специално за извличане на последствия от тях. Следователно дедукцията не може да се противопостави на индукцията, тъй като в реалния процес на научно познание те се предполагат и взаимно се допълват.

Следователно логиката може да се определи като наука за рационалните методи на разсъждение, които обхващат както анализа на правилата за дедукция (извличане на заключения от предпоставки), така и изследването на степента на потвърждение на вероятностни или правдоподобни заключения (хипотези, обобщения, предположения и т.н.).

Традиционната логика, която се формира на базата на логическите учения на Аристотел, по-късно е допълнена от методите на индуктивната логика, формулирани от Ф. Бейкън и систематизирани от Дж. Милем. Именно тази логика се преподава от дълго време в училищата и университетите под името формална логика.

Възникване математическа логикакоренно промени връзката между дедуктивната и недедуктивната логика, която съществуваше в традиционната логика. Тази промяна беше направена в полза на приспадането. Благодарение на символизацията и използването на математически методи самата дедуктивна логика придобива строго формален характер. Всъщност е съвсем легитимно да се разглежда такава логика като математически моделдедуктивно разсъждение. Затова често се смята за модерен етап в развитието на формалната логика, но забравят да добавят, че говорим за дедуктивна логика.

Също така често се казва, че математическата логика свежда процеса на разсъждение до изграждането на различни системи от изчисления и по този начин заменя естествения процес на мислене с изчисления. Моделът обаче винаги е свързан с опростявания, така че не може да замени оригинала. Наистина, математическата логика е насочена основно към математически доказателстваследователно се абстрахира от естеството на предпоставките (или аргументите), тяхната валидност и приемливост. Тя счита такива помещения за дадени или предварително доказани.

Междувременно, в реалния процес на разсъждение, в спор, дискусия, полемика, анализът и оценката на предпоставките придобиват специален важно. В хода на аргументацията трябва да излагате определени тези и твърдения, да намирате убедителни аргументи в тяхна защита, да ги коригирате и допълвате, да давате контрааргументи и т.н. Тук трябва да се обърнем към неформални и недедуктивни методи на разсъждение, по-специално към индуктивно обобщение на факти, заключения по аналогия, статистически анализ и др.

Разглеждайки логиката като наука за рационалните методи на разсъждение, не трябва да забравяме и други форми на мислене - понятия и преценки, с които започва всеки учебник по логика. Но съжденията и особено понятията играят спомагателна роля в логиката. С тяхна помощ структурата на умозаключенията и връзката на съжденията в различни видовеобосновавам се. Понятията са включени в структурата на всяко съждение под формата на субект, т.е. обект на мисълта, и предикат - като знак, характеризиращ субекта, а именно, потвърждаващ наличието или отсъствието на определено свойство в обекта на мисълта . В нашата презентация ние се придържаме към общоприетата традиция и започваме дискусията с анализ на концепции и преценки, след което разглеждаме по-подробно дедуктивните и недедуктивните методи на разсъждение. Главата, в която се анализират твърденията, разглежда елементите на пропозиционалното смятане, които обикновено са отправна точка за всеки курс по математическа логика.

Елементите на предикатната логика са обхванати в следващата глава, където теорията за категоричния силогизъм се разглежда като специален случай. Съвременни форминедедуктивното разсъждение очевидно не може да бъде разбрано без ясно разграничение между логическата и статистическата интерпретация на вероятността, тъй като под вероятностнай-често се подразбира именно нейната статистическа интерпретация, която има спомагателно значение в логиката. В тази връзка, в главата за вероятностните разсъждения, ние специално се фокусираме върху изясняването на разликата между двете интерпретации на вероятността и обясняваме по-подробно характеристиките на логическата вероятност.

Така целият характер на изложението в книгата ориентира читателя към това, че дедукцията и индукцията, достоверността и вероятността, движението на мисълта от общото към частното и от частното към общото не изключват, а по-скоро допълват един друг в общ процесрационално разсъждение, насочено както към намиране на истината, така и към нейното доказване.

Свойствата на основните понятия са разкрити в аксиоми- предложенията се приемат без доказателства.

Например в училищната геометрия има аксиоми: „през всякакви две точки можете да начертаете права линия и само една“ или „права линия разделя равнина на две полуравнини“.

Системата от аксиоми на всяка математическа теория, разкриваща свойствата на основните понятия, дава техните определения. Такива определения се наричат аксиоматичен.

Свойствата на понятията, които трябва да бъдат доказани, се наричат теореми, последствия, знаци, формули, правила.

Докажете теоремата АIN- това означава да се установи по логичен начин, че всеки път, когато дадено свойство е удовлетворено А, имота ще бъде изпълнен IN.

Доказателствов математиката наричат ​​крайна последователност от твърдения на дадена теория, всяко от които е или аксиома, или се извежда от едно или повече твърдения на тази последователност според правилата на логическото заключение.

Основата на доказателството е разсъждението - логическа операция, в резултат на което от едно или повече свързани по смисъл изречения се получава изречение, съдържащо нови знания.

Като пример, разгледайте разсъжденията на ученик, който трябва да установи връзката „по-малко от“ между числата 7 и 8. Ученикът казва: „7< 8, потому что при счете 7 называют раньше, чем 8».

Нека разберем на какви факти се основава заключението, получено в този аргумент.

Има два такива факта: Първо: ако броят Апри броене се извикват числата преди b, Че а< b. Второ: 7 се извиква по-рано от 8 при броене.

Първото изречение е общ характер, тъй като съдържа общ квантор - нарича се обща предпоставка. Второто изречение касае конкретните числа 7 и 8 - нарича се частно помещение. Получено от два колета нов факт: 7 < 8, его называют заключением.

Между предпоставките и заключението има известна връзка, благодарение на която те съставляват аргумент.

Извиква се аргумент, в който има импликативна връзка между предпоставките и заключението дедуктивен.

В логиката вместо термина "разсъждение" по-често се използва думата "извод".

Извод- това е начин за получаване на нови знания въз основа на някои съществуващи знания.

Изводът се състои от предпоставки и заключение.

Колети- съдържат първоначални знания.

Заключение- това е твърдение, съдържащо ново знание, получено от първоначалното.

По правило заключението се отделя от предпоставките с помощта на думите „следователно“, „означава“. Извод с предпоставки Р 1, Р 2, …, рни заключение Рще го запишем във вида: или (Р 1, Р 2, …, рn) Р.

Примери изводи: а) Брой а =b.Номер b = c. Следователно броят a = c.

б) Ако числителят в една дроб е по-малък от знаменателя, тогава дробта е правилна. В дроб числителят е по-малък от знаменателя (5<6) . Следователно фракцията - правилно.

в) Ако вали, значи на небето има облаци. В небето има облаци, следователно вали.

Изводите могат да бъдат верни или неверни.

Изводът се нарича правилноако формулата, съответстваща на неговата структура и представляваща връзка от предпоставки, свързани със заключението чрез импликационен знак, е идентично вярна.

За това за да се определи дали заключението е правилно, продължете както следва:

1) формализира всички предпоставки и заключения;

2) запишете формула, представляваща връзка от помещения, свързани с импликационен знак със заключение;

3) съставете таблица на истината за тази формула;

4) ако формулата е идентично вярна, тогава заключението е правилно; ако не, тогава заключението е неправилно.

В логиката се смята, че правилността на заключението се определя от неговата форма и не зависи от конкретното съдържание на твърденията, включени в него. И в логиката се предлагат правила, следвайки които могат да се изградят дедуктивни заключения. Тези правила се наричат правила за умозаключениеили модели на дедуктивно разсъждение.

Има много правила, но най-често използваните са следните:

1. - правило за сключване;

2. - правило за отрицание;

3. - правилото на силогизма.

Да дадем пример изводи, направени отправило изводи:„Ако записът на номер хзавършва с число 5, това число хразделена на 15. Писане на число 135 завършва с число 5 . Следователно броят 135 разделена на 5 ».

Общата предпоставка в това заключение е твърдението „ако О),Че B(x)", Където О)- това е "запис на номера" хзавършва с число 5 “, А B(x)- "номер хразделена на 5 " Конкретна предпоставка е твърдение, което се получава от условието на общата предпоставка, когато
х = 135(тези. A (135)). Заключението е твърдение, извлечено от B(x)при х = 135(тези. V(135)).

Да дадем пример за заключение, направено по правилото негативи:„Ако записът на номер хзавършва с число 5, това число хразделена на 5 . Номер 177 не се дели на 5 . Следователно не завършва с число 5 ».

Виждаме, че в това заключение общата предпоставка е същата като в предишното, а частната е отрицанието на твърдението „брой 177 разделена на 5 "(т.е.). Изводът е отрицанието на изречението „Писане на число 177 завършва с число 5 "(т.е.).

И накрая, нека помислим пример за извод, основан на правило за силогизъм: „Ако броят хмногократни 12, тогава е кратно 6. Ако броят хмногократни 6 , тогава е кратно 3 . Следователно, ако броят хмногократни 12, тогава е кратно 3 ».

Това заключение има две предпоставки: „ако О),Че B(x)" и ако B(x),Че C(x)“, където A(x) е „числото хмногократни 12 », B(x)- "номер хмногократни 6 " И C(x)- "номер хмногократни 3 " Заключението е твърдение „ако О),Че C(x)».

Нека проверим дали следните изводи са верни:

1) Ако четириъгълникът е ромб, тогава неговите диагонали са взаимно перпендикулярни. ABCд- ромб Следователно неговите диагонали са взаимно перпендикулярни.

2) Ако числото се дели на 4 , тогава се разделя на 2 . Номер 22 разделена на 2 . Поради това се разделя на 4.

3) Всички дървета са растения. Борът е дърво. Това означава, че борът е растение.

4) Всички ученици от този клас отидоха на театър. Петя не беше в театъра. Следователно Петя не е ученичка в този клас.

5) Ако числителят на дроб е по-малък от знаменателя, тогава дробта е правилна. Ако една дроб е правилна, тогава тя е по-малка от 1. Следователно, ако числителят на една дроб е по-малък от знаменателя, тогава дробта е по-малка от 1.

Решение: 1) За да разрешим въпроса за правилността на извода, нека идентифицираме неговата логическа форма. Нека въведем следната нотация: C(x)- "четириъгълник" х- ромб", B(x)- „в четириъгълник хдиагоналите са взаимно перпендикулярни." Тогава първата предпоставка може да се запише като:
C(x) B(x),второ - C(a),и заключението Б(а).

Така формата на това заключение е: . Изгражда се по правилото на заключението. Следователно това разсъждение е правилно.

2) Нека въведем обозначението: О)- "номер хразделена на 4 », B(x)- "номер хразделена на 2 " След това записваме първата предпоставка: О)B(x),второ Б(а),и заключението е А(а).Заключението ще приеме формата: .

Няма такава логическа форма сред известните. Лесно е да се види, че и двете предпоставки са верни, а заключението е невярно.

Това означава, че това разсъждение е неправилно.

3) Нека въведем някои обозначения. Позволявам О)– „Ако хдърво", B(x) - « храстение“. Тогава колетите ще приемат формата: О)B(x), A(a),и заключението Б(а).Нашето заключение е изградено във формата: - правила за сключване.

Това означава, че нашите разсъждения са структурирани правилно.

4) Нека О) - « х- ученици от нашия клас, B(x)- „ученици хотиде на театър." Тогава колетите ще бъдат както следва: О)B(x),, и заключението.

Това заключение се основава на правилото за отрицание:

- това означава, че е правилно.

5) Нека идентифицираме логическата форма на умозаключението. Позволявам A(x) -"числител на дроб хпо-малко от знаменателя." B(x) - “фракция х- правилно." C(x)- "фракция" хпо-малко 1 " Тогава колетите ще приемат формата: О)B(x), B(x) C(x),и заключението О)C(x).

Нашето заключение ще има следната логическа форма: - правилото на силогизма.

Това означава, че това заключение е правилно.

В логиката се разглеждат различни начини за проверка на правилността на изводите, включително анализ на коректността на изводите с помощта на кръгове на Ойлер.Извършва се по следния начин: запишете заключението на теоретико-множествен език; изобразяват предпоставки на кръгове на Ойлер, като ги считат за верни; те гледат дали заключението винаги е вярно. Ако да, тогава те казват, че умозаключението е конструирано правилно. Ако е възможен чертеж, от който е ясно, че заключението е невярно, тогава те казват, че заключението е неправилно.

Таблица 9

Нека покажем, че изводът, направен съгласно правилото за извод, е дедуктивен. Първо, нека напишем това правило на теоретико-множествен език.

Пакет О)B(x)може да се напише като ТАтелевизор, Където ТАИ телевизор- множества истинност от пропозиционални форми О)И B(x).

Частен колет A(a)означава, че АТА,и заключението Б(а)показва че Ателевизор.

Целият извод, конструиран съгласно правилото за извод, ще бъде написан на теоретико-множествен език, както следва: .

Ориз. 58.

Примери.

1. Правилно ли е заключението „Ако едно число завършва на число“? 5, тогава числото се дели на 5. Номер 125 разделена на 5. Следователно, писане на числото 125 завършва с число 5 »?

Решение:Това заключение се прави по схемата , което съответства на . Няма позната на нас такава схема. Нека да разберем дали това е правило за дедуктивно заключение?

Нека използваме кръговете на Ойлер. На теоретико-множествен език

Полученото правило може да бъде написано по следния начин:

. Нека изобразим множествата върху окръжности на Ойлер ТАИ телевизори обозначават елемента Аот много телевизор.

Оказва се, че може да се съдържа в комплект ТА,или може да не му принадлежи (фиг. 59). В логиката се смята, че такава схема не е правило за дедуктивно заключение, тъй като не гарантира истинността на заключението.

Този извод не е правилен, тъй като е направен по схема, която не гарантира истинността на разсъжденията.

Ориз. 59.

б) Всички глаголи отговарят на въпроса „какво да правя?“ или „какво трябва да направя?“ Думата "метличина" не отговаря на нито един от тези въпроси. Следователно "метличина" не е глагол.

Решение:а) Нека напишем това заключение на теоретико-множествен език. Нека означим с А- много студенти от Педагогическия факултет, чрез IN- много ученици, които са учители, чрез СЪС- много студенти над 20 години.

Тогава заключението ще приеме формата: .

Ако изобразим тези множества на кръгове, тогава са възможни 2 случая:

1) комплекти А, Б, Впресичат се;

2) комплект INпресича се с много СЪСИ а,и много Апресича IN, но не се пресича с СЪС.

б) Нека означим с Амного глаголи и чрез INмного думи, които отговарят на въпроса "какво да правя?" или „какво трябва да направя?“

Тогава заключението може да се напише по следния начин:

Нека да разгледаме няколко примера.

Пример 1. Ученикът е помолен да обясни защо числото 23 може да бъде представено като сбор от 20 + 3. Той разсъждава: „Числото 23 е двуцифрено. Всяко двуцифрено число може да бъде представено като сбор от цифри. Следователно 23 = 20 + 3."

Първото и второто изречение в това заключение са предпоставки, а едното от общ характер е твърдението „всяко двуцифрено число може да бъде представено като сбор от цифрови членове“, а другото е конкретно, то характеризира само числото 23 - то е двуцифрено. Заключението - това изречение, което идва след думата "следователно" - също е лично по природа, тъй като се отнася до конкретното число 23.

Изводите, които обикновено се използват при доказване на теореми, се основават на концепцията за логическа импликация. Освен това от дефиницията на логическата импликация следва, че за всички стойности на пропозиционалните променливи, за които първоначалните твърдения (предпоставки) са верни, заключението на теоремата също е вярно. Такива заключения са дедуктивни.

В примера, обсъден по-горе, даденото заключение е дедуктивно.

Пример 2. Една от техниките за запознаване на учениците от началното училище с комутативното свойство на умножението е следната. Използвайки различни нагледни средства, учениците, заедно с учителя, установяват, че напр. 6 3 = 36, 52 = 25. След това въз основа на получените равенства правят извода: за всички естествени числа аИ bравенството е вярно ab = ba.

В това заключение предпоставките са първите две равенства. Те твърдят, че такова свойство е валидно за конкретни естествени числа. Изводът в този пример е общо твърдение - комутативното свойство на умножението на естествени числа.

В това заключение предпоставките от определено естество показват това някоиЕстествените числа имат следното свойство: пренареждането на множителите не променя произведението. И на тази основа се стигна до заключението, че всички естествени числа имат това свойство. Такива изводи се наричат ​​непълна индукция.

тези. за някои естествени числа може да се твърди, че сборът е по-малък от произведението им. Това означава, че въз основа на факта, че някои числа имат това свойство, можем да заключим, че всички естествени числа имат това свойство:

Този пример е пример за аналогично разсъждение.

Под аналогияразбирайте заключение, при което въз основа на сходството на два обекта по някои характеристики и наличието на допълнителна характеристика в един от тях се прави заключение за наличието на същата характеристика в другия обект.

Заключението по аналогия е по природа на предположение, хипотеза и следователно се нуждае или от доказателство, или от опровержение.

Когато се прави заключение, е удобно да се представят правилата за въвеждане и премахване на логически връзки по същия начин, както правилата за извод:

Правило 1.Ако предпоставките $F_1$ и $F_2$ имат значението “и”, то тяхната конюнкция е вярна, т.е.

$$\frac(F_1 ; F_2)((F_1\&F_2))$$

Този запис, ако предпоставките $F_1$ и $F_2$ са верни, предвижда възможността за въвеждане на логическа връзка на връзка в заключението; това правило е идентично с аксиома A5 (виж);

Правило 2.Ако $(F_1\&F_2)$ има стойност „и“, тогава подформулите $F_1$ и $F_2$ са верни, т.е.

$$\frac((F_1\&F_2))(F_1) \: и \: \frac((F_1\&F_2))(F_2)$$

Тази нотация, ако $(F_1\&F_2)$ е вярна, осигурява възможността за премахване на логическата връзка на връзката в заключението и разглеждане на истинските стойности на подформулите $F_1$ и $F_2$; това правило е идентично с аксиомите A3 и A4;

Правило 3.Ако $F_1$ има стойност „и“, а $(F_1\&F_2)$ има стойност „l“, тогава подформулата $F_2$ е невярна, т.е.

$$\frac(F_1;\left\rceil\right. \!\!(F_1\&F_2))( \left\rceil\right. \!\!F_2)$$

Този запис, ако $(F_1\&F_2)$ е невярно и една от подформулите е вярна, предоставя възможност за премахване на логическата връзка на връзката в заключението и считане на стойността на втората подформула за невярна;

Правило 4.Ако поне една предпоставка $F_1$ или $F_2$ е вярна, тогава тяхната дизюнкция е вярна, т.е.

$$\frac(F_1)( (F_1\vee F_2)) \: или \: \frac(F_2)( (F_1\vee F_2))$$

Тази нотация, ако поне една подформула $F_1$ или $F_2$ е вярна, осигурява възможността за въвеждане на логическа връзка на дизюнкция в заключението; това правило е идентично с аксиомите A6 и A7;

Правило 5.Ако $(F_1\vee F_2)$ има стойност „и“ и една от подформулите $F_1$ или $F_2$ има стойност „l“, тогава втората подформула $F_2$ или $F_1$ е вярна, т.е.

$$\frac((F_1\vee F_2); \left\rceil\right. \!\!F_1 )( (F_2) \: или \: \frac((F_1\vee F_2); \left\rceil\right . \!\!F_2 )( (F_1)$$

Тази нотация, ако $(F_1\vee F_2)$ е вярна, осигурява възможността за премахване на логическата връзка на дизюнкцията в заключението и разглеждане на истинските стойности на подформулите $F_1$ или $F_2$;

Правило 6.Ако подформулата $F_2$ има стойността "и", тогава формулата $(F_1\rightarrow F_2)$ е вярна за всяка стойност на подформулата $F_1$, т.е.

$$\frac(F_2)( (F_1\дясна стрелка F_2))$$

Тази нотация, с истинска стойност $F_2$, осигурява възможността за въвеждане на импликация в заключението на логическа връзка за всяка стойност на подформулата $F_1$ („истина от всичко“); това правило е идентично с аксиома 1;

Правило 7.Ако подформулата $F_1$ има стойност „l“, тогава формулата $(F_1\rightarrow F_2)$ е вярна за всяка стойност на подформулата $F_2$, т.е.

$$\frac(\left\rceil\right. \!\!F_1 )( (F_1\rightarrow F_2))$$

Тази нотация, ако стойността на $F_1$ е невярна, осигурява възможността за въвеждане на логическа връзка на импликация в заключението за всяка стойност на подформулата $F_2$ („всичко от невярно“);

Правило 8.Ако формулата $(F_1\rightarrow F_2)$ има стойността „и“, тогава формулата $(\left\rceil\right. \!\!F_2\rightarrow \left\rceil\right. \!\!F_1) $ е вярно, т.е.

$$\frac((F_1\rightarrow F_2) )( (\left\rceil\right. \!\!F_2\rightarrow \left\rceil\right. \!\!F_1))$$

Този запис, с истинска стойност $(F_1\rightarrow F_2)$, определя възможността за размяна на полюсите на импликацията, като същевременно се променят техните стойности; това е законът на противоположността;

Правило 9.Ако формулата $(F_1\rightarrow F_2)$ има стойността „и“, тогава формулата $((F_1\vee F_3)\rightarrow (F_2\vee F_3)$ е вярна за всяка стойност на $F_3$, т.е.

$$\frac((F_1\rightarrow F_2) )(((F_1\vee F_3)\rightarrow (F_2\vee F_3)) $$

Този запис, с истинска стойност $(F_1\rightarrow F_2)$, определя способността за извършване на операция на дизюнкция за всяка стойност на формулата $F_3$ над всеки полюс на импликацията; това правило е идентично с аксиома A11.

Правило 10.Ако формулата $(F_1\rightarrow F_2)$ има стойността „и“, тогава формулата $((F_1\&F_3)\rightarrow (F_2\&F_3)$ е вярна за всяка стойност на $F_3$, т.е.

$$\frac((F_1\дясна стрелка F_2) )(((F_1\&F_3)\дясна стрелка (F_2\&F_3))$$

Този запис, с истинска стойност $(F_1\rightarrow F_2)$, определя способността за извършване на операцията на свързване за всяка стойност на формулата $F_3$ над всеки полюс на импликацията; това правило е идентично с аксиома A10.

Правило 11.Ако формулите $(F_1\rightarrow F_2)$ и $(F_2\rightarrow F_3)$ имат стойност „и“, то формулата $(F_1\rightarrow F_3)$ е вярна, т.е.

$$\frac((F_1\rightarrow F_2); (F_2\rightarrow F_3) )((F_1\rightarrow F_3))$$

Този запис, с истинската стойност на $(F_1\rightarrow F_2)$ и $(F_2\rightarrow F_3)$, предоставя възможността за формиране на импликацията $(F_1\rightarrow F_3)$ (законът на силогизма); това правило е идентично с аксиома A2;

Правило 12.Ако формулите $F_1$ и $(F_1\rightarrow F_2)$ имат стойност „и“, тогава формулата $F_2$ е вярна, т.е.

$$\frac(F_1; (F_1\дясна стрелка F_2) )( F_2)$$

Този запис, предвид истинската стойност на предпоставката $F_1$ и импликацията $(F_1\rightarrow F_2)$, ви позволява да премахнете логическата връзка на импликацията и да определите истинската стойност на заключението $F_2$;

Правило 13.Ако формулите са $\left\rceil\right. \!\!F_2 и (F_1\rightarrow F_2)$ имат значението "и", тогава формулата $\left\rceil\right е вярна. \!\!F_1$, т.е.

$$\frac(\left\rceil\right. \!\!F_2; (F_1\rightarrow F_2) )( \left\rceil\right. \!\!F_1)$$

На този запис е дадена истинската стойност на предпоставката $\left\rceil\right. \!\!F_2$ и импликации $(F_1\rightarrow F_2)$ ви позволява да премахнете логическата връзка на импликацията и да определите истинската стойност на заключението $\left\rceil\right. \!\!F_1$;

Правило 14.Ако формулите $(F_1\rightarrow F_2)$ и $(F_2\rightarrow F_1)$ имат стойност „и“, то формулата $(F_1\leftrightarrow F_2)$ е вярна, т.е.

$$\frac((F_1\дясна стрелка F_2); (F_2\дясна стрелка F_1) )( ((F_1\лява дясна стрелка F_2))$$

Този запис с истинската стойност на $(F_1\rightarrow F_2)$ и $(F_2\rightarrow F_1)$ ви позволява да въведете връзка за логическа еквивалентност и да определите стойността на формулата $(F_1\leftrightarrow F_2)$;

Правило 15.Ако формулата $(F_1\leftrightarrow F_2)$ има стойността "и", тогава формулите $(F_1\rightarrow F_2)$ и $(F_2\rightarrow F_1)$ са верни, т.е.

$$\frac((F_1\leftrightarrow F_2) )( (F_1\rightright F_2) ) \: и \: \frac((F_1\leftrightarrow F_2) )( (F_2\rightright F_1) )$$

Този запис с истинската стойност на $(F_1\leftrightarrow F_2)$ ви позволява да премахнете логическата връзка на еквивалентността и да определите истинската стойност на формулите $(F_1\rightarrow F_2)$ и $(F_2\rightarrow F_1) $.