Članak u nastavku će pokriti pitanja pronalaženja koordinata sredine segmenta ako su koordinate njegovih ekstremnih tačaka dostupne kao početni podaci. Ali prije nego počnemo proučavati ovo pitanje, uvedemo nekoliko definicija.
Yandex.RTB R-A-339285-1 Definicija 1
Segment linije– prava linija koja spaja dvije proizvoljne tačke, koje se nazivaju krajevi segmenta. Kao primjer, neka su to tačke A i B i, shodno tome, segment A B.
Ako se odsječak A B nastavi u oba smjera od tačaka A i B, dobićemo pravu liniju A B. Tada je segment A B dio rezultirajuće prave linije, ograničen tačkama A i B. Segment A B objedinjuje tačke A i B, koje su njegovi krajevi, kao i skup tačaka između njih. Ako, na primjer, uzmemo bilo koju proizvoljnu tačku K koja leži između tačaka A i B, možemo reći da tačka K leži na segmentu A B.
Definicija 2
Dužina sekcije– rastojanje između krajeva segmenta u datoj skali (segment jedinične dužine). Označimo dužinu segmenta A B na sljedeći način: A B .
Definicija 3
Sredina segmenta– tačka koja leži na segmentu i jednako udaljena od njegovih krajeva. Ako je sredina segmenta A B označena točkom C, tada će biti tačna jednakost: A C = C B
Početni podaci: koordinatna linija O x i nepodudarne tačke na njoj: A i B. Ove tačke odgovaraju realnim brojevima x A i x B . Tačka C je sredina segmenta A B: potrebno je odrediti koordinate x C .
Pošto je tačka C središte segmenta A B, jednakost će biti tačna: | A C | = | C B | . Udaljenost između tačaka određena je modulom razlike njihovih koordinata, tj.
| A C | = | C B | ⇔ x C - x A = x B - x C
Tada su moguće dvije jednakosti: x C - x A = x B - x C i x C - x A = - (x B - x C)
Iz prve jednakosti izvodimo formulu za koordinate tačke C: x C = x A + x B 2 (pola zbroja koordinata krajeva segmenta).
Iz druge jednakosti dobijamo: x A = x B, što je nemoguće, jer u izvornim podacima - nepodudarne tačke. dakle, formula za određivanje koordinata sredine segmenta A B sa krajevima A (x A) i B(xB):
Rezultirajuća formula će biti osnova za određivanje koordinata sredine segmenta na ravni ili u prostoru.
Početni podaci: pravougaoni koordinatni sistem na O x y ravni, dvije proizvoljne nepodudarne tačke sa datim koordinatama A x A, y A i B x B, y B. Tačka C je sredina segmenta A B. Potrebno je odrediti x C i y C koordinate za tačku C.
Uzmimo za analizu slučaj kada se tačke A i B ne poklapaju i ne leže na istoj koordinatnoj pravoj ili pravoj okomitoj na jednu od osa. A x , A y ; B x, B y i C x, C y - projekcije tačaka A, B i C na koordinatne ose (prave O x i O y).
Prema konstrukciji, prave A A x, B B x, C C x su paralelne; linije su takođe paralelne jedna s drugom. Zajedno s tim, prema Talesovoj teoremi, iz jednakosti A C = C B slijede jednakosti: A x C x = C x B x i A y C y = C y B y, a one zauzvrat pokazuju da je tačka C x sredina segmenta A x B x, a C y je sredina segmenta A y B y. A onda, na osnovu formule dobijene ranije, dobijamo:
x C = x A + x B 2 i y C = y A + y B 2
Iste formule mogu se koristiti u slučaju kada tačke A i B leže na istoj koordinatnoj liniji ili pravoj okomitoj na jednu od osa. Ponašanje detaljna analiza Ovaj slučaj nećemo razmatrati, razmatraćemo ga samo grafički:
Sumirajući sve navedeno, koordinate sredine segmenta A B na ravni sa koordinatama krajeva A (x A , y A) I B(xB, yB) definisani su kao:
(x A + x B 2 , y A + y B 2)
Početni podaci: koordinatni sistem O x y z i dvije proizvoljne tačke sa datim koordinatama A (x A, y A, z A) i B (x B, y B, z B). Potrebno je odrediti koordinate tačke C, koja je sredina segmenta A B.
A x , A y , A z ; B x , B y , B z i C x , C y , C z - projekcije svih date bodove na osi koordinatnog sistema.
Prema Talesovoj teoremi, sljedeće jednakosti su tačne: A x C x = C x B x , A y C y = C y B y , A z C z = C z B z
Prema tome, tačke C x , C y , C z su sredine segmenata A x B x , A y B y , A z B z , respektivno. onda, Za određivanje koordinata sredine segmenta u prostoru, ispravne su sljedeće formule:
x C = x A + x B 2, y c = y A + y B 2, z c = z A + Z B 2
Rezultirajuće formule su također primjenjive u slučajevima kada tačke A i B leže na jednoj od koordinatnih linija; na pravoj liniji okomitoj na jednu od osi; u jednoj koordinatnoj ravni ili ravni okomitoj na jednu od koordinatnih ravnina.
Određivanje koordinata sredine segmenta preko koordinata vektora radijusa njegovih krajeva
Formula za pronalaženje koordinata sredine segmenta može se izvesti i prema algebarskoj interpretaciji vektora.
Ulazni podaci: pravougaoni Dekartov koordinatni sistem O x y, tačke sa datim koordinatama A (x A, y A) i B (x B, x B). Tačka C je sredina segmenta A B.
Prema geometrijskoj definiciji djelovanja na vektore, vrijedit će sljedeća jednakost: O C → = 1 2 · O A → + O B → . Tačka C na u ovom slučaju– tačka preseka dijagonala paralelograma konstruisanog na osnovu vektora O A → i O B →, tj. tačka sredine dijagonala Koordinate radijus vektora tačke su jednake koordinatama tačke, tada su jednakosti tačne: O A → = (x A, y A), O B → = (x B). , y B). Izvršimo neke operacije nad vektorima u koordinatama i dobijemo:
O C → = 1 2 · O A → + O B → = x A + x B 2 , y A + y B 2
Dakle, tačka C ima koordinate:
x A + x B 2 , y A + y B 2
Analogno se određuje formula za pronalaženje koordinata sredine segmenta u prostoru:
C (x A + x B 2, y A + y B 2, z A + z B 2)
Primjeri rješavanja zadataka za pronalaženje koordinata sredine segmenta
Među problemima koji podrazumevaju korišćenje gore dobijenih formula postoje oni kod kojih je direktno pitanje izračunavanje koordinata sredine segmenta, i oni koji podrazumevaju dovođenje datih uslova na ovo pitanje: pojam „medijana“ često se koristi, cilj je pronaći koordinate jednog sa krajeva segmenta, a česti su i problemi simetrije čije rješavanje općenito također ne bi trebalo uzrokovati poteškoće nakon proučavanja ove teme. Pogledajmo tipične primjere.
Primjer 1
Početni podaci: na ravni - tačke sa datim koordinatama A (- 7, 3) i B (2, 4). Potrebno je pronaći koordinate sredine segmenta A B.
Rješenje
Označimo sredinu segmenta A B tačkom C. Njegove koordinate će se odrediti kao polovina zbira koordinata krajeva segmenta, tj. tačke A i B.
x C = x A + x B 2 = - 7 + 2 2 = - 5 2 y C = y A + y B 2 = 3 + 4 2 = 7 2
Odgovori: koordinate sredine segmenta A B - 5 2, 7 2.
Primjer 2
Početni podaci: poznate su koordinate trougla A B C: A (- 1, 0), B (3, 2), C (9, - 8). Potrebno je pronaći dužinu medijane A M.
Rješenje
- Prema uslovima zadatka, A M je medijana, što znači da je M središte segmenta B C . Prije svega, nađimo koordinate sredine segmenta B C, tj. M bodova:
x M = x B + x C 2 = 3 + 9 2 = 6 y M = y B + y C 2 = 2 + (- 8) 2 = - 3
- Pošto sada znamo koordinate oba kraja medijane (tačke A i M), možemo koristiti formulu da odredimo udaljenost između tačaka i izračunamo dužinu medijane A M:
A M = (6 - (- 1)) 2 + (- 3 - 0) 2 = 58
odgovor: 58
Primjer 3
Početni podaci: u pravougaonom koordinatnom sistemu trodimenzionalni prostor dat paralelepiped A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 . Date su koordinate tačke C 1 (1, 1, 0), a definisana je i tačka M, koja je središte dijagonale B D 1 i ima koordinate M (4, 2, - 4). Potrebno je izračunati koordinate tačke A.
Rješenje
Dijagonale paralelepipeda se sijeku u jednoj tački, koja je središte svih dijagonala. Na osnovu ove tvrdnje možemo imati na umu da je tačka M, poznata iz uslova zadatka, središte segmenta A C 1. Na osnovu formule za pronalaženje koordinata sredine segmenta u prostoru, nalazimo koordinate tačke A: x M = x A + x C 1 2 ⇒ x A = 2 x M - x C 1 = 2 4 - 1 + 7 y M = y A + y C 1 2 ⇒ y A = 2 y M - y C 1 = 2 2 - 1 = 3 z M = z A + z C 1 2 ⇒ z A = 2 z M - z C 1 = 2 · (- 4) - 0 = - 8
odgovor: koordinate tačke A (7, 3, - 8).
Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter
Postoje tri glavna koordinatna sistema koja se koriste u geometriji, teorijska mehanika, ostale grane fizike: kartezijanska, polarna i sferna. U ovim koordinatnim sistemima cijela tačka ima tri koordinate. Poznavajući koordinate 2 tačke, možete odrediti udaljenost između ove dvije tačke.
Trebaće ti
- Kartezijanske, polarne i sferne koordinate krajeva segmenta
Instrukcije
1. Prvo, razmotrite pravougaoni Kartezijanski koordinatni sistem. Određuje se lokacija tačke u prostoru u ovom koordinatnom sistemu koordinate x,y i z. Radijus vektor se povlači od početka do tačke. Projekcije ovog radijus vektora na koordinatne ose će biti koordinate Dozvolite da sada imate dvije točke koordinate x1,y1,z1 i x2,y2 i z2 respektivno. Označimo sa r1 i r2, respektivno, vektor radijusa prve i 2. tačke. Očigledno, rastojanje između ove dve tačke će biti jednako modulu vektora r = r1-r2, gde je (r1-r2) vektorska razlika. Koordinate vektora r će očigledno biti sledeće: x1-x2, y1-y2, z1-z2. Tada će veličina vektora r ili udaljenost između dvije tačke biti jednaka: r = sqrt(((x1-x2)^2)+((y1-y2)^2)+((z1-z2)^2 )).
2. Sada razmotrite polarni koordinatni sistem, u kojem će koordinata tačke biti data radijalnom koordinatom r (vektor radijusa u ravni XY), ugaona koordinata? (ugao između vektora r i X ose) i z koordinata, slično z koordinati u Dekartovom sistemu. Polarne koordinate tačke mogu se pretvoriti u kartezijanske koordinate na sljedeći način: x = r*cos? , y = r*sin?, z = z. Zatim razmak između dvije tačke sa koordinate r1, ?1 ,z1 i r2, ?2, z2 će biti jednako R = sqrt(((r1*cos?1-r2*cos?2)^2)+((r1*sin?1-r2*sin ?2 )^2)+((z1-z2)^2)) = sqrt((r1^2)+(r2^2)-2r1*r2(cos?1*cos?2+sin?1*sin? 2) +((z1-z2)^2))
3. Sada pogledajte sferni koordinatni sistem. U njemu je lokacija tačke određena sa tri koordinate r, ? I?. r – udaljenost od početka do tačke, ? I? – azimutalni i zenitni ugao, respektivno. Ugao? sličan uglu sa istom oznakom u polarnom koordinatnom sistemu, a? – ugao između radijus vektora r i Z ose, sa 0<= ? <= pi.Переведем сферические координаты в декартовы: x = r*sin?*cos?, y = r*sin?*sin?*sin?, z = r*cos?. Расстояние между точками с koordinate r1, ?1, ?1 i r2, ?2 i ?2 će biti jednaki R = sqrt(((r1*sin?1*cos?1-r2*sin?2*cos?2)^2)+( (r1 *sin?1*sin?1-r2*sin?2*sin?2)^2)+((r1*cos?1-r2*cos?2)^2)) = (((r1*sin ?1 )^2)+((r2*sin?2)^2)-2r1*r2*sin?1*sin?2*(cos?1*cos?2+sin?1*sin?2)+( (r1 *cos?1-r2*cos?2)^2))
Video na temu
Po segmentu nazivamo dio prave linije koji se sastoji od svih tačaka ove linije koje se nalaze između ove dvije tačke - nazivaju se krajevi segmenta.
Pogledajmo prvi primjer. Neka je određeni segment definiran sa dvije tačke u koordinatnoj ravni. U ovom slučaju, njegovu dužinu možemo pronaći primjenom Pitagorine teoreme.
Dakle, u koordinatnom sistemu crtamo segment sa datim koordinatama njegovih krajeva(x1; y1) I (x2; y2) . Na osi X I Y Nacrtajte okomite sa krajeva segmenta. Označimo crvenom bojom segmente koji su projekcije iz originalnog segmenta na koordinatnu osu. Nakon toga prenosimo projekcijske segmente paralelno sa krajevima segmenata. Dobijamo trougao (pravougaonik). Hipotenuza ovog trougla bit će sam segment AB, a njegovi kraci su prenesene projekcije.
Izračunajmo dužinu ovih projekcija. Dakle, na osu Y dužina projekcije je y2-y1 , i na osi X dužina projekcije je x2-x1 . Primijenimo Pitagorinu teoremu: |AB|² = (y2 - y1)² + (x2 - x1)² . U ovom slučaju |AB| je dužina segmenta.
Ako koristite ovaj dijagram za izračunavanje dužine segmenta, onda ne morate čak ni konstruirati segment. Sada izračunajmo dužinu segmenta sa koordinatama (1;3) I (2;5) . Primjenom Pitagorine teoreme dobijamo: |AB|² = (2 - 1)² + (5 - 3)² = 1 + 4 = 5 . To znači da je dužina našeg segmenta jednaka 5:1/2 .
Razmotrite sljedeću metodu za pronalaženje dužine segmenta. Da bismo to učinili, moramo znati koordinate dvije tačke u nekom sistemu. Razmotrimo ovu opciju koristeći dvodimenzionalni Dekartov koordinatni sistem.
Dakle, u dvodimenzionalnom koordinatnom sistemu date su koordinate ekstremnih tačaka segmenta. Ako kroz ove tačke povučemo prave linije, one moraju biti okomite na koordinatnu osu, tada ćemo dobiti pravokutni trokut. Originalni segment će biti hipotenuza rezultirajućeg trougla. Kraci trokuta formiraju segmente, njihova dužina je jednaka projekciji hipotenuze na koordinatne ose. Na osnovu Pitagorine teoreme zaključujemo: da biste pronašli dužinu datog segmenta, potrebno je pronaći dužine projekcija na dvije koordinatne ose.
Nađimo dužine projekcija (X i Y) originalni segment na koordinatne ose. Izračunavamo ih pronalaženjem razlike u koordinatama tačaka duž zasebne ose: X = X2-X1, Y = Y2-Y1 .
Izračunajte dužinu segmenta A , za ovo nalazimo kvadratni korijen:
A = √(X²+Y²) = √ ((X2-X1)²+(Y2-Y1)²) .
Ako se naš segment nalazi između tačaka čije koordinate 2;4 I 4;1 , tada je njegova dužina shodno tome jednaka √((4-2)²+(1-4)²) = √13 ≈ 3,61 .
Dužina, kao što je već napomenuto, označena je znakom modula.
Ako su date dvije točke ravnine i , tada se dužina segmenta može izračunati pomoću formule
Ako su date dvije točke u prostoru i, tada se dužina segmenta može izračunati pomoću formule
Bilješka: Formule će ostati ispravne ako se odgovarajuće koordinate zamijene: I , ali prva opcija je standardnija
Primjer 3
Rješenje: prema odgovarajućoj formuli:
odgovor: 
Radi jasnoće, napraviću crtež 
Segment linije - ovo nije vektor, i, naravno, ne možete ga nigdje pomjeriti. Osim toga, ako crtate u mjerilu: 1 jedinica. = 1 cm (dve ćelije sveske), onda se dobijeni odgovor može proveriti običnim lenjirom direktnim merenjem dužine segmenta.
Da, rješenje je kratko, ali ima još nekoliko važnih tačaka koje bih želio pojasniti:
Prvo, u odgovoru stavljamo dimenziju: „jedinice“. Uslov ne kaže ŠTA je, milimetri, centimetri, metri ili kilometri. Stoga bi matematički ispravno rješenje bila opća formulacija: “jedinice” – skraćeno kao “jedinice”.
Drugo, ponovimo školsko gradivo koje je korisno ne samo za razmatrani zadatak:
obratite pažnju na važna tehnika – uklanjanje množitelja ispod korijena. Kao rezultat proračuna, imamo rezultat i dobar matematički stil uključuje uklanjanje faktora ispod korijena (ako je moguće). Detaljnije proces izgleda ovako: 
. Naravno, ostaviti odgovor kakav jeste ne bi bila greška – ali bi to svakako bio nedostatak i težak argument za prepirku od strane nastavnika.
Evo i drugih uobičajenih slučajeva: 
Često korijen proizvodi prilično veliki broj, na primjer . Šta učiniti u takvim slučajevima? Pomoću kalkulatora provjeravamo da li je broj djeljiv sa 4: . Da, bilo je potpuno podijeljeno, dakle: 
. Ili se broj može ponovo podijeliti sa 4? . ovako: 
. Zadnja cifra broja je neparna, tako da dijeljenje sa 4 po treći put očigledno neće raditi. Pokušajmo podijeliti sa devet: . Kao rezultat:
Spreman.
zaključak: ako ispod korijena dobijemo broj koji se ne može izdvojiti u cjelini, onda pokušavamo ukloniti faktor ispod korijena - pomoću kalkulatora provjeravamo da li je broj djeljiv sa: 4, 9, 16, 25, 36, 49, itd.
Prilikom rješavanja raznih problema često se susreću s korijenima, uvijek se pokušavaju izvući faktori ispod korijena kako bi se izbjegla niža ocjena i nepotrebni problemi sa finaliziranjem vaših rješenja na osnovu komentara nastavnika.
Ponovimo i kvadratne korijene i druge potencije: 
Pravila za rad sa stepenima u opštem obliku mogu se naći u školskom udžbeniku algebre, ali mislim da je iz datih primera već sve ili skoro sve jasno.
Zadatak za samostalno rješenje sa segmentom u prostoru:
Primjer 4
Poeni i su dati. Pronađite dužinu segmenta.
Rješenje i odgovor nalaze se na kraju lekcije.
Ako dobro naoštrenom olovkom dodirnete list bilježnice, ostat će trag koji daje predstavu o poenti. (Sl. 3).
Označimo dvije tačke A i B na komadu papira. Ove tačke se mogu povezati različitim linijama (slika 4). Kako spojiti tačke A i B najkraćom linijom? To se može učiniti pomoću ravnala (slika 5). Rezultirajuća linija se zove segment.
Tačka i linija - primjeri geometrijski oblici.
Tačke A i B se nazivaju krajevi segmenta.
Postoji jedan segment čiji su krajevi tačke A i B. Dakle, segment se označava tako što se zapisuju tačke koje su njegovi krajevi. Na primjer, segment na slici 5 označen je na jedan od dva načina: AB ili BA. Pročitajte: "segment AB" ili "segment BA".
Slika 6 prikazuje tri segmenta. Dužina segmenta AB je 1 cm. U segment MN stane tačno tri puta, a u segment EF tačno 4 puta. Recimo to dužina segmenta MN je jednak 3 cm, a dužina segmenta EF je 4 cm.
Također je uobičajeno reći: "segment MN je jednak 3 cm", "segment EF je jednak 4 cm." Oni pišu: MN = 3 cm, EF = 4 cm.
Mjerili smo dužine segmenata MN i EF pojedinačni segment, čija je dužina 1 cm Za mjerenje segmenata, možete odabrati druge jedinice dužine, na primjer: 1 mm, 1 dm, 1 km. Na slici 7. dužina segmenta je 17 mm. Mjeri se jednim segmentom, čija je dužina 1 mm, pomoću gradiranog ravnala. Takođe, pomoću ravnala možete konstruisati (nacrtati) segment zadate dužine (vidi sliku 7).
Uopšte, izmjeriti segment znači izbrojati koliko jediničnih segmenata stane u njega.
Dužina segmenta ima sljedeće svojstvo.
Ako na segmentu AB označite tačku C, tada je dužina segmenta AB jednaka zbiru dužina segmenata AC i CB(Sl. 8).
Napišite: AB = AC + CB.
Na slici 9 prikazana su dva segmenta AB i CD. Ovi segmenti će se poklopiti kada se superponiraju.
Dva segmenta se nazivaju jednakima ako se poklapaju kada se preklapaju.
Stoga su segmenti AB i CD jednaki. Oni pišu: AB = CD.
Jednaki segmenti imaju jednake dužine.
Od dva nejednaka segmenta, smatraćemo da je veći onaj sa većom dužinom. Na primjer, na slici 6, segment EF je veći od segmenta MN.
Dužina segmenta AB se naziva razdaljina između tačaka A i B.
Ako je nekoliko segmenata raspoređeno kao što je prikazano na slici 10, dobićete geometrijsku figuru koja se zove slomljena linija. Imajte na umu da svi segmenti na slici 11 ne čine isprekidanu liniju. Smatra se da segmenti čine izlomljenu liniju ako se kraj prvog segmenta poklapa sa krajem drugog, a drugi kraj drugog segmenta sa krajem trećeg itd.
Tačke A, B, C, D, E − vrhove izlomljene linije ABCDE, tačke A i E − krajeve polilinije, a segmenti AB, BC, CD, DE su njegovi linkovi(vidi sliku 10).
Dužina linije nazovite zbir dužina svih njegovih karika.
Na slici 12 prikazane su dvije izlomljene linije čiji se krajevi poklapaju. Takve izlomljene linije se nazivaju zatvoreno.
Primjer 1 . Segment BC je za 3 cm manji od segmenta AB, čija je dužina 8 cm (sl. 13). Odredite dužinu segmenta AC.
Rješenje. Imamo: BC = 8 − 3 = 5 (cm).
Koristeći svojstvo dužine segmenta, možemo napisati AC = AB + BC. Dakle, AC = 8 + 5 = 13 (cm).
Odgovor: 13 cm.
Primjer 2 . Poznato je da je MK = 24 cm, NP = 32 cm, MP = 50 cm (Sl. 14). Odrediti dužinu odsječka NK.
Rješenje. Imamo: MN = MP − NP.
Dakle, MN = 50 − 32 = 18 (cm).
Imamo: NK = MK − MN.
Dakle, NK = 24 − 18 = 6 (cm).
Odgovor: 6 cm.
