Tema 1. Matrice i sistemi
Matrični koncept
Definicija 1.Matrix
.
ovdje, a i j (i=1,2,...,m; j=1,2,...n) - matrični elementi, i- broj reda, j m=n matrica se zove kvadrat matrica poretka n.
i¹j jednake nuli, naziva se dijagonala:
single
null i označava se sa θ.
- red matrice; - matrični stupac.
odrednica(ili odrednica).
Odrednice 2. reda
Definicija 2.
O limiter drugog reda matrice 
, to je
. (3)
Ostale oznake: , .
Dakle, koncept determinante istovremeno pretpostavlja i metodu za njeno izračunavanje. Brojevi se nazivaju elementi determinante. Dijagonala koju čine elementi naziva se main i elementi - strana
Primjer 1. Determinanta matrice je jednaka
.
Odrednice 3. reda
Definicija 2. O limiter trećeg reda je broj označen simbolom
,
i definisane jednakošću
brojevi - elementi odrednica. Oblik elemenata Dom dijagonala, elementi - strana.
Prilikom izračunavanja determinante, da biste zapamtili koji su članovi na desnoj strani jednakosti (4) uzeti sa znakom „+“, a koji sa znakom „-“, koristite simboličko pravilo trokuta (Sarrusovo pravilo):
Sa znakom "+" uzimaju se proizvodi elemenata glavne dijagonale i elemenata koji se nalaze na vrhovima trokuta s bazama paralelnim s glavnom dijagonalom; praćen znakom “-” – proizvodom elemenata sekundarne dijagonale i elemenata koji se nalaze na vrhovima trouglova sa bazama paralelnim sa sekundarnom dijagonalom.
Izračunavanje determinante korištenjem pravila dodjele stupaca.
1. Prvi i drugi stupac dodjeljujemo redom desno od determinante.
2. Proizvode tri elementa izračunavamo dijagonalno s lijeva na desno, odozgo prema dolje A 11 do A 13 i uzmite ih sa znakom “+”. Zatim izračunavamo proizvode tri elementa dijagonalno s lijeva na desno, odozdo prema gore A 31 do A 13 i uzmite ih sa znakom “-”.
(-) (-) (-) (+) (+) (+)
Primjer 2. Izračunajte determinantu koristeći pravilo za dodjelu stupaca.
3. Determinante n-th red. Maloljetnici i algebarski dodaci. Izračunavanje determinanti proširenjem reda (stupca).
Razmotrimo koncept determinante n- nema reda. Odrednica n- visoki red je broj povezan s matricom n- određenog reda i obračunata prema određenom zakonu.
,
evo elemenata determinante. Pokazati pravilo po kojem se determinanta otkriva n Prvi red, pogledajmo neke koncepte.
Definicija 4. Minor determinantni element n-ti red se naziva determinanta ( n- 1) red koji se dobija precrtavanjem reda i kolone determinante na čijem preseku se nalazi ovaj element.
Definicija 5. Algebarski komplement neki element determinante n I red se naziva minor ovog elementa pomnožen sa , tj 
.
U determinanti trećeg reda može se uzeti u obzir npr.
, .
, .
Definicija 6. Odrednica n- višeg reda je broj jednak zbiru proizvoda elemenata prvog reda determinante pomnoženih njihovim algebarskim komplementama.
Ovo pravilo za izračunavanje determinante se zove proširenje duž prvog reda.
Teorema (o proširenju determinante). Determinanta se može izračunati proširivanjem na bilo koji red ili kolonu.
– zbir proizvoda elemenata 1. stupca sa algebarskim komplementama 2. stupca.
Primjer 3. Izračunajte determinantu četvrtog reda 
.
Rješenje. Pomnožimo treći red sa (-1) i dodamo ga četvrtom, a zatim proširimo determinantu duž četvrte linije:
Determinanta trećeg reda proširena je duž prvog reda.
Gaussova metoda.
Gaussova metoda je da se originalni sistem, eliminacijom nepoznatog, transformiše u stepenasto um. U ovom slučaju, transformacije se izvode na redovima u proširenoj matrici, jer su transformacije koje isključuju nepoznate ekvivalentne elementarnim transformacijama redova matrice.
Gaussova metoda se sastoji od udar naprijed I obrnuto. Direktan pristup Gaussove metode je da se proširena matrica sistema (1) svede na stepenasti oblik pomoću elementarnih transformacija nad redovima. Nakon toga se ispituje konzistentnost i sigurnost sistema. Zatim se sistem jednačina rekonstruiše korišćenjem matrice koraka. Rješenje ovog postupnog sistema jednačina je obrnuto od Gaussove metode, u kojoj se, počevši od posljednje jednačine, nepoznanice s velikim serijski broj, a njihove vrijednosti se zamjenjuju u prethodnu jednačinu sistema.
Proučavanje sistema na kraju kretanja naprijed provodi se prema Kronecker-Capellijevoj teoremi upoređivanjem rangova sistemske matrice A i proširene matrice A´. Mogući su sljedeći slučajevi.
1) Ako 
, onda je sistem nekonzistentan (prema Kronecker-Capellijevoj teoremi).
2) Ako je , tada je sistem (1) određen, i obrnuto (bez dokaza).
3) Ako je , tada je sistem (1) neizvjestan, i obrnuto (bez dokaza).
Nejednakost 
ne vrijedi, budući da je matrica A dio matrice A´, nejednakost ne vrijedi, pošto je broj stupaca matrice A jednak P. Štaviše, za sistem sa kvadratnom matricom, to jest ako P = T, jednakosti su ekvivalentne činjenici da .
Ako je sistem neizvjestan, odnosno izvršava se, tada se neke od njegovih nepoznanica proglašavaju slobodnima, a ostale se izražavaju kroz njih. Broj slobodnih nepoznanica je 
. Prilikom izvođenja obrnute od Gaussove metode, ako u sljedećoj jednadžbi, nakon zamjene prethodno pronađenih varijabli, ostane više od jedne nepoznate, tada se sve nepoznanice osim jedne proglašavaju slobodnim nepoznanicama.
Pogledajmo implementaciju Gaussove metode koristeći primjere.
Primjer 4. Riješite sistem jednačina 
Rješenje. Rešimo sistem Gausovom metodom. Hajde da ispišemo proširenu matricu sistema i dovedemo je u postepeni oblik koristeći elementarne transformacije reda (direktno kretanje).
~ 
~ 
~
~ 
~ 
.
Dakle, sistem je konzistentan i ima jedinstveno rješenje, tj. je sigurno.
Kreirajmo postupni sistem i riješimo ga (obrnuto).
Provjera se može lako izvršiti zamjenom.
Odgovori: .
Tema 2. Vektorska algebra.
Projekcija vektora na osu.
Definicija 2. Vektorska projekcija po osi l je broj jednak dužini segmenta AB ova os, zatvorena između projekcija početka i kraja vektora, uzeta sa znakom "+", ako je segment AB orijentisan (računajući od A To IN) V pozitivnu stranu sjekire l i znak “-” - inače (vidi sliku 2).
Oznaka: .
Teorema 1. Projekcija vektora na osu jednaka je umnošku njegovog modula i kosinusa ugla između vektora i pozitivnog smera ose (slika 3):
. (1)
  Fig.3. Fig.4. |
Dokaz. Iz (slika 3) dobijamo . Smjer segmenta se poklapa sa pozitivnim smjerom ose, stoga je jednakost tačna. U slučaju suprotne orijentacije (slika 4) imamo . Teorema je dokazana.
Razmotrimo svojstva projekcija.
Nekretnina 1. Projekcija zbira dva vektora i na osu jednaka je zbiru njihovih projekcija na istu osu, tj.
 Sl.5. |
Dokaz u slučaju jednog od mogućih rasporeda vektora slijedi sa slike 5. Zaista, po definiciji 2
Svojstvo 1 vrijedi za bilo koji konačan broj članova vektora.
Nekretnina 2. Kada se vektor pomnoži sa brojem l, njegova projekcija se množi ovim brojem
. (2)
Dokažimo jednakost (2). Kada vektori i formiraju isti ugao sa osom. Prema teoremi 1
Kada vektori i formiraju uglove i sa osom, respektivno. Teorema 1
Za , dobivamo očiglednu jednakost
Zaključak iz svojstava 1 i 2. Projekcija linearne kombinacije vektora jednaka je istoj linearnoj kombinaciji projekcija ovih vektora, tj.
Tema 1. Matrice i sistemi
Matrični koncept
Definicija 1.Matrix veličina je pravokutna tablica brojeva ili abecednih izraza ispisanih u obrascu
.
ovdje, a i j (i=1,2,...,m; j=1,2,...n) - matrični elementi, i- broj reda, j- broj kolone. Matrice se obično označavaju velikim slovima latinica A, B, C, itd., kao i ili . At m=n matrica se zove kvadrat matrica poretka n.
Kvadratna matrica u kojoj svi elementi imaju nejednake indekse i¹j jednake nuli, naziva se dijagonala:
Ako su svi elementi dijagonalne matrice koji nisu nula jednaki jedan, tada se matrica naziva single. Matrica identiteta se obično označava slovom E.
Poziva se matrica čiji su svi elementi nula null i označava se sa θ.
Postoje i matrice koje se sastoje od jednog reda ili jedne kolone.
- red matrice; - matrični stupac.
Numerička karakteristika kvadratne matrice je odrednica(ili odrednica).
Determinante 2. i 3. reda, njihova svojstva.
Odrednice 2. reda
Definicija 2.
O limiter drugog reda matrice (ili jednostavno determinanta drugog reda) je broj označen simbolom i definiran jednakošću , to je
. (3)
Ostale oznake: , .
Da biste pronašli determinantu matrice, trebate koristiti formule koje vrijede za determinante 2. i 3. reda.
Formula
Neka je data matrica drugog reda $ A = \begin(pmatrix) a_(11)&a_(12)\\a_(21)&a_(22) \end(pmatrix) $. Tada se njegova determinanta izračunava pomoću formule:
$$ \Delta = \begin(vmatrix) a_(11)&a_(12)\\a_(21)&a_(22) \end(vmatrix) = a_(11)\cdot a_(22) - a_(12)\ cdot a_(21) $$
Od proizvoda elemenata koji se nalaze na glavnoj dijagonali $ a_(11)\cdot a_(22) $, oduzima se proizvod elemenata koji se nalaze na sekundarnoj dijagonali $ a_(12)\cdot a_(21) $. Ovo pravilo vrijedi samo (!) za determinantu 2. reda.
Ako je data matrica trećeg reda $ A = \begin(pmatrix) a_(11)&a_(12)&a_(13)\\a_(21)&a_(22)&a_(23)\\a_(31)&a_(32) &a_ (33) \end(pmatrix) $, tada njegovu determinantu treba izračunati pomoću formule:
$$ \Delta = \begin(vmatrix) a_(11)&a_(12)&a_(13)\\a_(21)&a_(22)&a_(23)\\a_(31)&a_(32)&a_(33) \end(vmatrix) = $$
$$ = a_(11)a_(22)a_(33) + a_(12)a_(23)a_(31)+a_(21)a_(32)a_(13) - a_(13)a_(22) a_(31)-a_(23)a_(32)a_(11)-a_(12)a_(21)a_(33) $$
Primjeri rješenja
| Primjer 1 |
| Neka je data matrica $ A = \begin(pmatrix) 1&2\\3&4 \end(pmatrix) $. Izračunajte njenu determinantu. |
| Rješenje |
|
Kako pronaći determinantu matrice? Obratimo pažnju na činjenicu da je matrica kvadrata drugog reda, odnosno da je broj stupaca jednak broju redova i sadrže po 2 elementa. Stoga, primijenimo prvu formulu. Pomnožimo elemente na glavnoj dijagonali i oduzmimo od njih proizvod elemenata na sekundarnoj dijagonali: $$ \Delta = \begin(vmatrix) 1&2\\3&4 \end(vmatrix) = 1 \cdot 4 - 2 \cdot 3 = 4-6 = -2 $$ Ako ne možete riješiti svoj problem, pošaljite nam ga. Mi ćemo dati detaljno rješenje. Moći ćete vidjeti napredak izračunavanja i dobiti informacije. Ovo će vam pomoći da blagovremeno dobijete ocjenu od svog nastavnika! |
| Odgovori |
| $$ \Delta = -2 $$ |
| Primjer 2 |
| Zadana matrica $ A = \begin(pmatrix) 2&2&1\\1&-3&-1\\3&4&-2 \end(pmatrix) $. Moramo izračunati determinantu. |
| Rješenje |
|
Budući da je problem kvadratna matrica 3. reda, determinantu treba pronaći pomoću druge formule. Da bismo pojednostavili rješenje problema, dovoljno je zamijeniti vrijednosti iz matrice našeg problema umjesto varijabli $ a_(ij) $ u formuli: $$ \Delta = \begin(vmatrix) 2&2&1\\1&-3&-1\\3&4&-2 \end(vmatrix) = $$ $$ = 2\cdot (-3) \cdot (-2) + 2\cdot (-1) \cdot 3 + 1\cdot 4\cdot 1 - $$ $$ - 1\cdot (-3)\cdot 3 - (-1)\cdot 4\cdot 2 - 2\cdot 1\cdot (-2) = $$ $$ = 12 - 6 + 4 + 9 + 8 + 4 = 31 $$ Vrijedi napomenuti da kada nađemo proizvode elemenata na sekundarnoj dijagonali i sličnim, ispred proizvoda se stavlja znak minus. |
| Odgovori |
| $$ \Delta = 31 $$ |
Definicija 6. Determinanta trećeg reda koja odgovara matrici sistema (1.4) je broj D jednak
Da bi se izračunala determinanta trećeg reda, koriste se dvije računske sheme koje omogućavaju izračunavanje determinanti trećeg reda bez mnogo muke. Ove šeme su poznate kao " pravilo trougla" (ili "pravilo zvjezdice") i " Sarus vlada ".
Prema pravilu trokuta, elementi povezani linijama na dijagramu se prvo množe i sabiraju
one. dobijamo zbir proizvoda: a 11 a 22 a 33 +a 12 a 23 a 31 +a 21 a 13 a 32.
Imajte na umu da se elementi povezani jednom linijom, ravni ili izlomljeni, množe, a zatim se dodaju rezultirajući proizvodi.
Zatim se elementi povezani u dijagramu množe i sabiraju
one. dobijamo još jednu sumu proizvoda a 13 a 22 a 31 +a 12 a 21 a 33 +a 11 a 23 a 32. I konačno, da bi se izračunala determinanta, druga se oduzima od prvog zbira. Tada konačno dobijamo formulu za izračunavanje determinante trećeg reda:
D=(a 11 a 22 a 33 +a 12 a 23 a 31 +a 21 a 13 a 32)-(a 13 a 22 a 31 +a 12 a 21 a 33 +a 11 a 23 a 32).
Prema Sarrusovom pravilu, prva dva stupca se dodaju determinanti desno, a zatim se izračuna zbir proizvoda elemenata determinante u jednom smjeru i zbir proizvoda elemenata u drugom smjeru. se od njega oduzima (vidi dijagram):
Možete biti sigurni da će rezultat biti isti kao kod izračunavanja determinante pomoću pravila trokuta.
Primjer. Izračunaj determinantu
Rješenje. Izračunajmo determinantu koristeći pravilo zvjezdice
I po Sarusovom pravilu
One. dobijamo isti rezultat za obe računske šeme, kao što se i očekivalo.
Imajte na umu da sva svojstva formulirana za determinante drugog reda vrijede za determinante trećeg reda, što možete i sami provjeriti. Na osnovu ovih svojstava formulišemo opšta svojstva za determinante bilo kog reda.
Odrednica kvadratna matrica je broj koji se izračunava na sljedeći način:
a) Ako je red kvadratne matrice 1, tj. sastoji se od 1 broja, tada je determinanta jednaka ovom broju;
b) Ako je red kvadratne matrice 2, tj. sastoji se od 4 broja, tada je determinanta jednaka razlici između umnoška elemenata glavne dijagonale i umnoška elemenata sekundarne dijagonale;
c) Ako je red kvadratne matrice 3, tj. sastoji se od 9 brojeva, zatim determinante jednak zbiru umnožak elemenata glavne dijagonale i dva trokuta paralelna ovoj dijagonali, od kojih je oduzet zbir proizvoda elemenata sekundarne dijagonale i dva trokuta paralelna ovoj dijagonali.
Primjeri
Svojstva determinanti
1. Odrednica se neće promijeniti ako se redovi zamijene stupcima, a stupci redovima
- Determinanta koja ima 2 identična niza jednaka je nuli
- Zajednički faktor bilo kojeg reda (reda ili stupca) determinante može se izvaditi iz predznaka determinante
4. Prilikom preuređivanja dva paralelna niza, determinanta mijenja predznak u suprotan
5. Ako su elementi bilo kojeg niza determinante zbroj dva člana, tada se determinanta može proširiti u zbir dvije odgovarajuće determinante
6. Odrednica se neće promijeniti ako se odgovarajući elementi paralelnog niza dodaju elementima jednog niza, pomnožene bilo kojim brojem
Manji element determinante i njen algebarski komplement
Manji element a IJ determinanta n-tog reda je determinanta n-1 reda dobijena iz originalne precrtavanjem i-tog reda i j-te kolone
Algebarski komplement elementa a IJ determinanta je njen minor pomnožen sa (-1) i+ j
Primjer
inverzna matrica
Matrica se zove nedegenerisan, ako njena determinanta nije jednaka nuli, inače, matrica se naziva singularna
Matrica se zove sindikat, ako se sastoji od odgovarajućih algebarskih komplementa i transponira se
Matrica se zove obrnuto na datu matricu ako je njihov proizvod jednak matrici identiteta istog reda kao i data matrica
Teorema postojanja inverzna matrica
Svaka nesingularna matrica ima inverz jednak srodnoj matrici podijeljen sa determinantom ove matrice
Algoritam za pronalaženje inverzne matrice A
- Izračunaj determinantu
- Transponovana matrica
- Konstruirajte matricu unije, izračunajte sve algebarske komplemente transponovane matrice
- Koristite formulu:
Matrix minor je determinanta koja se sastoji od elemenata koji se nalaze na presjeku odabranih k redova i k stupaca date matrice veličine mxn
Matrix rang je najviši red matrice minor koji nije nula
Oznaka r(A), rangA
Rang jednak je broju ne-nula redova matrice koraka.
Primjer
Sistemi linearne jednačine.
Sistem linearnih jednačina koji sadrži m jednačina i n nepoznatih naziva se sistem oblika
gdje su brojevi a IJ - sistemski koeficijenti, brojevi b i - slobodni termini
Matrični obrazac za snimanje sistemi linearnih jednačina
Sistemsko rješenje Nazivaju se n vrijednosti nepoznatih c 1, c 2,…, c n, kada se zamijene u sistem, sve jednadžbe sistema se pretvaraju u prave jednakosti. Rješenje sistema se može napisati kao vektor stupca.
Sistem jednačina se zove joint, ako ima barem jedno rješenje, i non-joint, ako nema rješenja.
Kronecker–Capelli teorem
LU sistem je konzistentan ako i samo ako je rang glavne matrice jednak rangu proširene matrice
Metode rješavanja LU sistema
1. Gaussova metoda(koristeći elementarne transformacije, svesti proširenu matricu na matricu koraka, a zatim na kanonsku)
Elementarne transformacije uključuju:
Preuređivanje redova (kolona)
Dodavanje u jedan red (kolona) drugog, pomnoženo brojem koji nije 0.
Kreirajmo proširenu matricu:
Odaberimo vodeći element u prvoj koloni i prvom redu, element 1., i nazovimo ga vodeći. Linija koja sadrži vodeći element neće se promijeniti. Resetujmo elemente ispod glavne dijagonale. Da biste to učinili, dodajte prvi red u drugi red, pomnožen sa (-2). Dodajte prvi red trećem redu, pomnožen sa (-1), dobijamo:
Zamenimo drugi i treći red. Mentalno precrtajte prvi stupac i prvi red i nastavite algoritam za preostalu matricu. Trećem redu dodajemo drugi, pomnožen sa 5.
Proširenu matricu smo doveli u stepenasti oblik. Vraćajući se na jednačine sistema, počevši od posljednjeg reda i krećući se prema gore, određujemo nepoznanice jednu po jednu.
2. Matrična metoda (AX=B, A -1 AX=A -1 B, X=A -1 B; matrica inverzna glavnoj matrici pomnožena kolonom slobodnih pojmova)
3. Cramerova metoda.
Rješenje sistema se nalazi po formuli:
Gdje je determinanta modificirane glavne matrice, u kojoj se i-ti stupac mijenja u stupac slobodnih članova, i glavna je determinanta, koja se sastoji od koeficijenata nepoznatih.
Vektori.
Vector je usmjereni segment
Svaki vektor je zadan dužinom (modulom) i smjerom.
Oznaka: ili
gdje je A početak vektora, B kraj vektora i dužina vektora.
Vektorska klasifikacija
Nulti vektor je vektor čija je dužina nula
Jedinični vektor je vektor čija je dužina jednaka jedan
Jednaki vektori– to su dva vektora iste dužine i smjera
Suprotni vektori– to su dva vektora čije su dužine jednake, a smjerovi suprotni
Kolinearni vektori– to su dva vektora koji leže na istoj pravoj ili na paralelnim pravima
Kosmjerno vektori su dva kolinearna vektora istog smjera
Suprotno usmjereno vektori su dva kolinearna vektora sa suprotnim smjerovima
Coplanar vektori su tri vektora koja leže u istoj ravni ili na paralelnim ravnima
Pravougaoni sistem koordinate na ravni su dvije međusobno okomite prave sa odabranim smjerom i ishodištem, s horizontalnom linijom koja se naziva osa apscisa, a okomitom linijom koja se naziva osa ordinata
Za svaku tačku u pravougaonom koordinatnom sistemu dodeljujemo dva broja: apscisu i ordinatu
Pravougaoni sistem koordinate u prostoru su tri međusobno okomite prave sa odabranim smjerom i ishodištem, dok se vodoravna ravna linija usmjerena prema nama naziva osa apscisa, vodoravna prava usmjerena desno od nas je ordinatna os, a okomita prava usmjerena prema gore naziva se aplikatna os
Za svaku tačku u pravougaonom koordinatnom sistemu dodeljujemo tri broja: apscisu, ordinatu i aplikaciju
