Dom Obložen jezik Perelmanovo rješenje Poincaréove pretpostavke. Milion dolara za rupu od krofne

Obložen jezik

Perelmanovo rješenje Poincaréove pretpostavke. Milion dolara za rupu od krofne

Šta je suština Poincaréove teoreme?

E je dokazala CRVENokosa Sofija, ali je i CRVENokosa....
Suština je da Univerzum nije oblikovan kao sfera, već kao krofna.
Značenje Poincaréove pretpostavke u njenoj originalnoj formulaciji je da za svako trodimenzionalno tijelo bez rupa postoji transformacija koja će omogućiti da se pretvori u loptu bez rezanja i lijepljenja. Ako se ovo čini očiglednim, šta onda ako prostor nije trodimenzionalan, već sadrži deset ili jedanaest dimenzija (to jest, govorimo o generaliziranoj formulaciji Poincaréove hipoteze, koju je Perelman dokazao)
ne možeš to reći u 2 riječi
1900. Poincaré je sugerirao da je trodimenzionalna mnogostrukost sa svim homološkim grupama sfere homeomorfna sferi. Godine 1904. također je pronašao protuprimjer, koji se sada zove Poincaréova sfera, i formulirao konačnu verziju svoje hipoteze. Pokušaji dokazivanja Poincaréove pretpostavke doveli su do brojnih napretka u topologiji mnogostrukosti.
Dokazi generalizovane Poincaréove pretpostavke za n #10878; 5 je početkom 1960-ih i 1970-ih gotovo istovremeno dobio Smale, nezavisno i drugim metodama od Stallingsa (engleski) (za n #10878; 7, njegov dokaz je proširen na slučajeve n = 5 i 6 od strane Zeemana (engleski)) . Dokaz mnogo težeg slučaja n = 4 dobio je Friedman tek 1982. godine. Iz Novikovljeve teoreme o topološkoj invarijantnosti Pontrjaginovih karakterističnih klasa slijedi da postoje homotopijski ekvivalentni, ali ne i homeomorfni, mnogostrukosti u visokim dimenzijama.
Dokaz originalne Poincaréove pretpostavke (i općenitije Trstonove pretpostavke) pronašao je tek 2002. Grigory Perelman. Nakon toga, Perelmanov dokaz je verifikovan i predstavljen u proširenom obliku od strane najmanje tri grupe naučnika. 1 Dokaz koristi Ricci flow uz operaciju i uglavnom slijedi plan koji je iznio Hamilton, koji je također bio prvi koji je koristio Ricci tok.
ko je ovo
Poincareov teorem:
Poincaréov teorem o vektorskim poljima
Bendixsonova Poincaréova teorema
Poincaréova teorema o klasifikaciji homeomorfizama kružnica
Poincaréova pretpostavka o homotopskoj sferi
Poincaréova teorema povratka
za koju pitaš?
U teoriji dinamičkih sistema, Poincaréova teorema o klasifikaciji homeomorfizama kružnice opisuje moguće tipove inverzibilne dinamike na kružnici, u zavisnosti od broja rotacije p(f) iteriranog preslikavanja f. Grubo govoreći, ispada da je dinamika iteracija mapiranja u određenoj mjeri slična dinamici rotacije za odgovarajući kut.
Naime, neka je zadan homeomorfizam kruga f. onda:
1) Broj rotacije je racionalan ako i samo ako f ima periodične tačke. U ovom slučaju, nazivnik broja rotacije je period bilo koje periodične tačke, a ciklički redosled na kružnici tačaka bilo koje periodične orbite je isti kao i tačaka rotacione orbite na p(f). Nadalje, bilo koja trajektorija teži određenoj periodičnosti kako u naprijed tako iu obrnutom vremenu (a- i -w granične trajektorije mogu biti različite).
2) Ako je broj rotacije f iracionalan, tada su moguće dvije opcije:
i) ili f ima gustu orbitu, u kom slučaju je homeomorfizam f konjugiran s rotacijom pomoću p(f). U ovom slučaju, sve orbite f su guste (pošto ovo važi za iracionalnu rotaciju);
ii) ili f ima Cantorov invarijantni skup C, koji je jedini minimalni skup sistema. U ovom slučaju, sve putanje teže C i u naprijed iu vremenu unazad. Osim toga, preslikavanje f je polukonjugirano s rotacijom za p(f): za neko preslikavanje h stepena 1, p o f =R p (f) o h
Štaviše, skup C je upravo skup tačaka rasta h; drugim riječima, sa topološke tačke gledišta, h urušava intervale komplementa C.
srž stvari je milion dolara
Činjenica da je niko ne razume osim 1 osobe
U francuskoj spoljnoj politici...
Ovdje je Lka najbolje odgovorio http://otvet.mail.ru/question/24963208/
Briljantni matematičar, pariski profesor Henri Poincaré radio je u raznim oblastima ove nauke. Nezavisno i nezavisno od Ajnštajnovog rada 1905. izložio je glavne principe Specijalne teorije relativnosti. I on je svoju čuvenu hipotezu formulisao još 1904. godine, tako da je trebalo oko jednog veka da se ona reši.
Poincaré je bio jedan od osnivača topologije, nauke o svojstvima geometrijskih figura koje se ne mijenjaju pod deformacijama koje se javljaju bez prekida. Na primjer, balon se lako može deformirati u razne oblike, kao što to rade za djecu u parku. Ali moraćete da isečete lopticu da biste je uvrnuli u krofnu (ili, geometrijskim jezikom, torus); nema drugog načina. I obrnuto: uzmite gumenu krofnu i pokušajte je pretvoriti u kuglu. Međutim, to i dalje neće raditi. Prema svojim topološkim svojstvima, površine sfere i torusa su nekompatibilne ili nehomeomorfne. Ali sve površine bez rupa (zatvorene površine), naprotiv, su homeomorfne i sposobne su da se deformišu i transformišu u sferu.
Ako je sve odlučeno o dvodimenzionalnim površinama sfere i torusa u 19. veku, za više multidimenzionalnih slučajeva trebalo je mnogo duže. Ovo je, zapravo, suština Poincaréove pretpostavke, koja proširuje obrazac na višedimenzionalne slučajeve. Pojednostavljujući malo, Poincaréova pretpostavka kaže: Svaka jednostavno povezana zatvorena n-dimenzionalna mnogostrukost je homeomorfna n-dimenzionalnoj sferi. Smiješno je da se opcija s trodimenzionalnim površinama pokazala najtežom. Godine 1960. hipoteza je dokazana za dimenzije 5 i više, 1981. za n=4. Kamen spoticanja je bila upravo trodimenzionalnost.
Razvijajući ideje Williama Trstena i Richarda Hamiltona, koje su oni predložili 1980-ih, Grigory Perelman je primijenio posebnu jednačinu glatke evolucije na trodimenzionalne površine. I uspio je pokazati da će originalna trodimenzionalna površina (ako u njoj nema diskontinuiteta) nužno evoluirati u trodimenzionalnu sferu (ovo je površina četverodimenzionalne lopte, a postoji u 4-dimenzionalnoj prostor). Prema brojnim stručnjacima, ovo je bila ideja nove generacije, čije rješenje otvara nove horizonte matematičkoj znanosti.
Zanimljivo je da se sam Perelman iz nekog razloga nije potrudio da svoju odluku dovede do konačnog sjaja. Nakon što je u preprintu opisao rješenje u cjelini Entropijsku formulu za Ricci tok i njegove geometrijske primjene u novembru 2002. godine, u martu 2003. dopunio je dokaz i predstavio ga u preprintu Ricci flow s operacijom na trostrukim mnogostrukostima, a također je izvijestio o metodi u nizu predavanja koje je održao 2003. godine na poziv niza univerziteta. Niko od recenzenata nije mogao da pronađe greške u verziji koju je predložio, ali Perelman nije objavio publikaciju u recenziranoj naučnoj publikaciji (što je, posebno, bio neophodan uslov za dobijanje nagrade Clay Mathematical Institute). Ali 2006. godine, na osnovu njegove metode, objavljen je čitav niz dokaza, u kojima su američki i kineski matematičari detaljno i potpuno ispitali problem, dopunili tačke koje je Perelman izostavio i dali konačan dokaz Poincaréove pretpostavke.
Generalizovana Poincaréova hipoteza kaže da:
Za bilo koje n, bilo koja mnogostrukost dimenzije n je homotopijski ekvivalentna sferi dimenzije n ako i samo ako joj je homeomorfna.
Originalna Poincaréova hipoteka je poseban slučaj generalizovane pretpostavke za n = 3.
Za pojašnjenje, idite u šumu da berete gljive, tamo ide Grigorij Perelman)
Poincaréova teorema povratka jedna je od osnovnih teorema ergodičke teorije. Njegova suština je u tome da će se sa mapiranjem prostora koji čuva mjeru na sebe, skoro svaka tačka vratiti u svoje početno susjedstvo. Potpuna formulacija teoreme je sljedeća: 1:
Neka je transformacija prostora sa konačnom mjerom koja čuva mjeru, i neka je mjerljiv skup. Zatim za bilo koji prirodni
.
Ova teorema ima neočekivanu posljedicu: ispada da ako se u posudi podijeljenoj pregradom na dva odjeljka, od kojih je jedan napunjen plinom, a drugi prazan, pregrada ukloni, tada će nakon nekog vremena svi molekuli plina ponovo skupiti u originalnom dijelu posude. Rješenje ovog paradoksa je da je neko vrijeme reda veličine milijardi godina.
ima teoreme poput zaklanih pasa u Koreji...
svemir je sferičan... http://ru.wikipedia.org/wiki/Poincaré, _Henri
Jučer su naučnici objavili da je svemir smrznuta supstanca...i tražili puno novca da to dokažu...opet će Merikos uključiti štampariju...za zabavu jajoglavaca...
Pokušajte dokazati gdje je gore i dolje u nultoj gravitaciji.
Jučer je bio divan film o KULTURI, u kojem je ovaj problem detaljno objašnjen. Možda ga još uvijek imaju?
http://video.yandex.ru/#search?text=RRR SR R RRRRR SSRRRwhere=allfilmId=36766495-03-12
Prijavite se na Yandex i napišite Film o Perelmanu i idite na film

Grigorij Perelman. odbijanik

Vasilij Maksimov

U avgustu 2006. objavljena su imena najboljih matematičara na planeti koji su dobili prestižnu Fildsovu medalju - svojevrsni analog Nobelove nagrade, koje su matematičari, po hiru Alfreda Nobela, bili lišeni. Fildsovu medalju - pored značke časti, pobjednicima se dodjeljuje ček od petnaest hiljada kanadskih dolara - dodjeljuje Međunarodni kongres matematičara svake četiri godine. Osnovao ga je kanadski naučnik John Charles Fields i prvi put je nagrađen 1936. godine. Od 1950. godine, Fildsovu medalju redovno dodeljuje lično kralj Španije za njegov doprinos razvoju matematičke nauke. Dobitnici nagrada mogu biti od jednog do četiri naučnika mlađih od četrdeset godina. Nagradu su već dobila 44 matematičara, uključujući osam Rusa.

Grigorij Perelman. Henri Poincaré.

2006. godine laureati su bili Francuz Wendelin Werner, Australac Terence Tao i dvojica Rusa - Andrej Okunkov koji radi u SAD-u i Grigory Perelman, naučnik iz Sankt Peterburga. Međutim, u posljednjem trenutku se saznalo da je Perelman odbio ovu prestižnu nagradu - kako su organizatori objavili, "iz principijelnih razloga".

Ovako ekstravagantan čin ruskog matematičara nije bio iznenađenje za ljude koji su ga poznavali. Ovo nije prvi put da odbija matematičke nagrade, obrazlažući svoju odluku time da ne voli svečane događaje i nepotrebnu hajku oko svog imena. Prije deset godina, 1996. godine, Perelman je odbio nagradu Evropskog matematičkog kongresa, pozivajući se na činjenicu da nije završio rad na naučnom problemu koji je bio nominovan za nagradu, a to nije bio posljednji slučaj. Činilo se da je ruski matematičar sebi postavio cilj da iznenadi ljude, protiveći se javnom mnjenju i naučnoj zajednici.

Grigorij Jakovljevič Perelman rođen je 13. juna 1966. godine u Lenjingradu. Od malih nogu je volio egzaktne nauke, briljantno je završio čuvenu 239. srednju školu sa detaljnim studijama matematike, osvojio brojne matematičke olimpijade: na primjer, 1982. godine, kao dio tima sovjetskih školaraca, učestvovao je na Međunarodnoj matematičkoj olimpijadi, održanoj u Budimpešti. Bez ispita, Perelman je upisan na Fakultet mehanike i matematike na Lenjingradskom univerzitetu, gdje je studirao sa odličnim ocjenama, nastavljajući pobjeđivati na matematičkim takmičenjima na svim nivoima. Nakon što je diplomirao na univerzitetu s odličnim uspjehom, upisao je postdiplomske studije na ogranku Steklovskog matematičkog instituta u Sankt Peterburgu. Njegov naučni rukovodilac bio je poznati matematičar akademik Aleksandrov. Nakon što je odbranio doktorsku tezu, Grigorij Perelman je ostao na institutu, u laboratoriju za geometriju i topologiju. Poznat je njegov rad na teoriji Aleksandrovskih prostora, bio je u stanju da pronađe dokaze za niz važnih pretpostavki. Unatoč brojnim ponudama vodećih zapadnih univerziteta, Perelman radije radi u Rusiji.

Njegov najznačajniji uspjeh bilo je rješenje 2002. poznate Poincaréove pretpostavke, objavljene 1904. godine i od tada je ostalo nedokazano. Perelman je na njemu radio osam godina. Poincaréova hipoteza se smatrala jednom od najvećih matematičkih misterija, a njeno rješenje je smatrano najvažnijim dostignućem matematičke nauke: odmah bi unaprijedilo istraživanje problema fizičkih i matematičkih osnova univerzuma. Najistaknutiji umovi planete predvidjeli su njegovo rješenje tek za nekoliko decenija, a Institut za matematiku Clay u Cambridgeu, Massachusetts, uvrstio je Poincaréov problem među sedam najzanimljivijih neriješenih matematičkih problema milenijuma, za rješavanje svakog od njih. obećana je nagrada od milion dolara (Problemi milenijumske nagrade).

Pretpostavka (koja se ponekad naziva i problem) francuskog matematičara Henrija Poincarea (1854–1912) je formulisana na sledeći način: svaki zatvoreni jednostavno povezani trodimenzionalni prostor homeomorfan je trodimenzionalnoj sferi. Da razjasnimo, upotrijebite jasan primjer: ako omotate jabuku gumenom trakom, tada, u principu, zatezanjem trake, možete stisnuti jabuku u točku. Ako umotate krofnu istom trakom, ne možete je stisnuti do tačke a da ne pokidate ni krofnu ni gumu. U ovom kontekstu, jabuka se naziva "jednostavno povezana" figura, ali krofna nije jednostavno povezana. Prije skoro stotinu godina, Poincaré je ustanovio da je dvodimenzionalna sfera jednostavno povezana, te sugerirao da je i trodimenzionalna sfera jednostavno povezana. Najbolji matematičari na svijetu nisu mogli dokazati ovu hipotezu.

Da bi se kvalifikovao za nagradu Instituta za glinu, Perelman je morao samo da objavi svoje rešenje u jednom od naučnih časopisa, a ako u roku od dve godine niko ne pronađe grešku u njegovim proračunima, tada bi se rešenje smatralo tačnim. Međutim, Perelman je od samog početka odstupio od pravila, objavivši svoju odluku na web stranici za preprint naučne laboratorije Los Alamos. Možda se uplašio da se u njegove proračune uvukla greška - slična se priča već dogodila u matematici. Godine 1994., engleski matematičar Andrew Wiles predložio je rješenje Fermatove čuvene teoreme, a nekoliko mjeseci kasnije ispostavilo se da se u njegove proračune uvukla greška (iako je kasnije ispravljena, a senzacija se ipak dogodila). Još uvijek nema službene objave dokaza Poincaréove pretpostavke, ali postoji mjerodavno mišljenje najboljih matematičara na planeti koje potvrđuje ispravnost Perelmanovih proračuna.

Fildsova medalja dodijeljena je Grigoriju Perelmanu upravo za rješavanje Poincaréovog problema. Ali ruski naučnik je odbio nagradu, koju nesumnjivo zaslužuje. "Gregory mi je rekao da se osjeća izolovano od međunarodne matematičke zajednice, izvan ove zajednice, i da stoga ne želi da primi nagradu", rekao je Englez John Ball, predsjednik Svjetske unije matematičara (WUM), na konferenciji za novinare u Madrid.

Šuška se da će Grigorij Perelman potpuno napustiti nauku: prije šest mjeseci dao je otkaz na svom matičnom Steklovskom matematičkom institutu, a kažu da više neće studirati matematiku. Možda ruski naučnik veruje da je dokazivanjem čuvene hipoteze učinio sve što je mogao za nauku. Ali ko će se upustiti u raspravu o toku misli tako bistrog naučnika i izuzetne osobe?.. Perelman odbija bilo kakve komentare, a za The Daily Telegraph je rekao: „Ništa od onoga što mogu reći nije od ni najmanjeg javnog interesa.“ Međutim, vodeće naučne publikacije bile su jednoglasne u svojim ocjenama kada su objavile da je “Grigori Perelman, nakon što je riješio Poincaréovu teoremu, stajao u rangu s najvećim genijima prošlosti i sadašnjosti”.

Mjesečni književni i novinarski časopis i izdavačka kuća.

Naučnici vjeruju da je 38-godišnji ruski matematičar Grigorij Perelman predložio ispravno rješenje Poincaréovog problema. Keith Devlin, profesor matematike na Univerzitetu Stanford, rekao je ovo na festivalu nauke u Exeteru (UK).

Problem (koji se naziva i problem ili hipoteza) Poincaré je jedan od sedam najvažnijih matematičkih problema, za rješavanje svakog od kojih je dodijelio nagradu od milion dolara. To je ono što je privuklo tako široku pažnju na rezultate do kojih je došao Grigorij Perelman, zaposlenik laboratorija matematičke fizike.

Naučnici širom svijeta saznali su za Perelmanova dostignuća iz dva preprinta (članci koji prethode punopravnoj naučnoj publikaciji), koje je autor objavio u novembru 2002. i martu 2003. na web stranici arhive preliminarnih radova Naučne laboratorije u Los Alamosu.

Prema pravilima koje je usvojio Naučni savjetodavni odbor Instituta Clay, nova hipoteza mora biti objavljena u specijalizovanom časopisu "međunarodne reputacije". Osim toga, prema pravilima Instituta, odluku o isplati nagrade na kraju donosi "matematička zajednica": dokaz se ne smije pobijati u roku od dvije godine od objavljivanja. Svaki dokaz provjeravaju matematičari u različitim zemljama svijeta.

Poincaréov problem

Rođen 13. juna 1966. godine u Lenjingradu, u porodici zaposlenih. Završio je čuvenu srednju školu br. 239 sa dubljim studijama matematike. 1982. godine, kao dio tima sovjetskih školaraca, učestvovao je na Međunarodnoj matematičkoj olimpijadi održanoj u Budimpešti. Bez ispita je upisao matematiku i mehaniku na Lenjingradskom državnom univerzitetu. Pobedio je na fakultetskim, gradskim i svesaveznim studentskim matematičkim olimpijadama. Dobio Lenjinovu stipendiju. Nakon što je diplomirao na univerzitetu, Perelman je upisao postdiplomske studije u ogranku Steklovskog matematičkog instituta u Sankt Peterburgu. Kandidat fizičko-matematičkih nauka. Radi u laboratoriju za matematičku fiziku.

Poincaréov problem se odnosi na područje takozvane topologije mnogostrukosti - prostora raspoređenih na poseban način koji imaju različite dimenzije. Dvodimenzionalne mnogostrukosti se mogu vizualizirati, na primjer, na primjeru površine trodimenzionalnih tijela - sfere (površine lopte) ili torusa (površine krofne).

Lako je zamisliti šta će se dogoditi s balonom ako je deformisan (savijen, uvrnut, povučen, sabijen, stisnut, ispuhan ili naduvan). Jasno je da će uz sve gore navedene deformacije lopta promijeniti svoj oblik u širokom rasponu. Međutim, nikada nećemo moći da pretvorimo loptu u krofnu (ili obrnuto) a da ne prekinemo kontinuitet njene površine, odnosno da je ne rastrgnemo. U ovom slučaju, topolozi kažu da je sfera (loptica) nehomeomorfna torusu (krofni). To znači da se ove površine ne mogu preslikati jedna na drugu. Jednostavno rečeno, sfera i torus se razlikuju po svojim topološkim svojstvima. A površina balona, pod svim svojim mogućim deformacijama, homeomorfna je sferi, baš kao što je površina koluta za spašavanje torusu. Drugim riječima, svaka zatvorena dvodimenzionalna površina koja nema rupe ima ista topološka svojstva kao dvodimenzionalna sfera.

TOPOLOGIJA, grana matematike koja se bavi proučavanjem svojstava figura (ili prostora) koji se čuvaju pod kontinuiranim deformacijama, kao što su istezanje, kompresija ili savijanje. Kontinuirana deformacija je deformacija figure u kojoj nema lomova (tj. narušavanja integriteta figure) ili lijepljenja (tj. identifikacije njenih tačaka).
TOPOLOŠKA TRANSFORMACIJA jedne geometrijske figure u drugu je preslikavanje proizvoljne tačke P prve figure u tačku P' druge figure, koja zadovoljava sljedeće uslove: 1) svaka tačka P prve figure mora odgovarati jednoj i samo jednoj tačka P' druge slike, i obrnuto; 2) Preslikavanje mora biti međusobno kontinuirano. Na primjer, postoje dvije tačke P i N koje pripadaju istoj figuri. Ako, kada se tačka P pomeri u tačku N, rastojanje između njih teži nuli, tada bi rastojanje između tačaka P' i N' druge figure takođe trebalo da teži nuli, i obrnuto.
HOMEOMORFIZAM. Geometrijske figure koje se pretvaraju jedna u drugu tokom topoloških transformacija nazivaju se homeomorfne. Krug i granica kvadrata su homeomorfne, jer se mogu pretvoriti jedna u drugu topološkom transformacijom (tj. savijanjem i rastezanjem bez lomljenja ili lijepljenja, na primjer, rastezanjem granice kvadrata na kružnicu koja je opisana oko njega) . Područje u kojem se bilo koja zatvorena jednostavna (tj. homeomorfna kružnici) kriva može skupiti u tačku dok ostaje u tom području cijelo vrijeme naziva se jednostavno povezana, a odgovarajuće svojstvo regije je jednostavno povezano. Ako se neka zatvorena prosta kriva ovog regiona ne može skupiti u tačku, ostajući sve vreme u ovoj oblasti, tada se region naziva višestruko povezan, a odgovarajuće svojstvo regiona naziva se višestruko povezano.

Poincaréov problem navodi istu stvar za trodimenzionalne mnogostrukosti (za dvodimenzionalne mnogostrukosti, kao što je sfera, ova tačka je dokazana još u 19. vijeku). Kao što je francuski matematičar primetio, jedno od najvažnijih svojstava dvodimenzionalne sfere je da se svaka zatvorena petlja (na primer laso) koja leži na njoj može povući u jednu tačku bez napuštanja površine. Za torus, ovo nije uvek tačno: petlja koja prolazi kroz njegovu rupu biće povučena do tačke ili kada je torus prekinut, ili kada je sama petlja prekinuta. Poincaré je 1904. godine predložio da ako se petlja može skupiti u tačku na zatvorenoj trodimenzionalnoj površini, onda je takva površina homeomorfna trodimenzionalnoj sferi. Pokazalo se da je dokazivanje ove hipoteze izuzetno težak zadatak.

Odmah da pojasnimo: formulacija Poincaréovog problema koju smo spomenuli uopće ne govori o trodimenzionalnoj kugli, koju možemo zamisliti bez većih poteškoća, već o trodimenzionalnoj sferi, odnosno o površini četvorke. -dimenzionalna lopta, koju je mnogo teže zamisliti. Ali u kasnim 1950-im, odjednom je postalo jasno da je mnogo lakše raditi sa visokodimenzionalnim mnogostrukostima nego sa trodimenzionalnim i četvorodimenzionalnim. Očigledno, nedostatak jasnoće je daleko od glavne teškoće s kojom se matematičari suočavaju u svojim istraživanjima.

Problem sličan Poincaréovom za dimenzije 5 i više riješili su 1960. Stephen Smale, John Stallings i Andrew Wallace. Međutim, pokazalo se da su pristupi koje su koristili ovi naučnici neprimjenjivi na četverodimenzionalne mnogostrukosti. Za njih je Poincaréov problem dokazao tek 1981. Michael Freedman. Pokazalo se da je trodimenzionalni slučaj najteži; Grigorij Perelman predlaže svoje rješenje.

Treba napomenuti da Perelman ima rivala. U aprilu 2002. Martin Dunwoody, profesor matematike na britanskom univerzitetu u Sautemptonu, predložio je svoju metodu za rješavanje Poincaréovog problema i sada čeka presudu od Clay Instituta.

Stručnjaci vjeruju da će rješavanje Poincaréovog problema omogućiti da se napravi ozbiljan korak u matematičkom opisu fizičkih procesa u složenim trodimenzionalnim objektima i da će dati novi zamah razvoju kompjuterske topologije. Metoda koju je predložio Grigory Perelman dovest će do otvaranja novog smjera u geometriji i topologiji. Matematičar iz Sankt Peterburga bi se mogao kvalifikovati za Fildsovu nagradu (analogno Nobelovoj nagradi, koja se ne dodjeljuje za matematiku).

U međuvremenu, nekima je ponašanje Grigorija Perelmana čudno. Evo šta piše britanski list The Guardian: "Najvjerovatnije je Perelmanov pristup rješavanju Poincaréovog problema ispravan. Ali nije sve tako jednostavno. Perelman ne daje dokaze da je djelo objavljeno kao punopravna naučna publikacija (preprinti ne smatraju se takvima). A to je neophodno ako osoba želi da dobije nagradu od Instituta gline. Osim toga, uopšte ne pokazuje interesovanje za novac."

Očigledno, za Grigorija Perelmana, kao za pravog naučnika, novac nije glavna stvar. Za rješavanje bilo kojeg od takozvanih "milenijumskih problema", pravi matematičar će prodati svoju dušu đavolu.

Milenijumska lista

Dana 8. avgusta 1900. godine, na Međunarodnom kongresu matematike u Parizu, matematičar David Hilbert iznio je listu problema za koje je vjerovao da će se morati riješiti u dvadesetom vijeku. Na listi su bile 23 stavke. Do sada je riješeno njih 21. Poslednji problem na Hilbertovoj listi koji je trebalo rešiti bila je Fermatova čuvena teorema, koju naučnici nisu mogli da reše 358 godina. Britanac Andrew Wiles je 1994. godine predložio svoje rješenje. Ispostavilo se da je to istina.

Po uzoru na Gilberta, krajem prošlog veka mnogi matematičari su pokušali da formulišu slične strateške zadatke za 21. vek. Jedna od ovih lista postala je nadaleko poznata zahvaljujući bostonskom milijarderu Landonu T. Clayu. Njegovim sredstvima su 1998. godine osnovane i ustanovljene nagrade u Kembridžu (Masačusets, SAD) za rešavanje niza najvažnijih problema moderne matematike. Stručnjaci instituta su 24. maja 2000. odabrali sedam problema - prema broju miliona dolara koji su dodeljeni za nagradu. Lista se zove problemi milenijumske nagrade:

1. Cookov problem (formuliran 1971.)

Recimo da vi, budući da ste u velikom društvu, želite da budete sigurni da je i vaš prijatelj tu. Ako vam kažu da on sjedi u ćošku, tada će vam biti dovoljan djelić sekunde da bacite pogled i uvjerite se u istinitost informacija. Bez ovih informacija, bićete primorani da hodate po celoj prostoriji i gledate u goste. Ovo sugerira da rješavanje problema često traje duže od provjere ispravnosti rješenja.

Stephen Cook je formulirao problem: može li provjera ispravnosti rješenja problema potrajati duže od dobivanja samog rješenja, bez obzira na algoritam verifikacije. Ovaj problem je također jedan od neriješenih problema u oblasti logike i računarstva. Njegovo rješenje moglo bi revolucionirati osnove kriptografije koja se koristi u prijenosu i skladištenju podataka.

2. Riemannova hipoteza (formulisana 1859.)

Neki cijeli brojevi se ne mogu izraziti kao proizvod dva manja cijela broja, kao što su 2, 3, 5, 7 itd. Takvi brojevi se nazivaju prosti brojevi i igraju važnu ulogu u čistoj matematici i njenim primjenama. Raspodjela prostih brojeva među nizovima svih prirodnih brojeva ne slijedi nikakav obrazac. Međutim, njemački matematičar Riemann iznio je pretpostavku o svojstvima niza prostih brojeva. Ako se Riemannova hipoteza dokaže, to će dovesti do revolucionarne promjene u našem znanju o šifriranju i do neviđenog proboja u internet sigurnosti.

3. Birch i Swinnerton-Dyer hipoteza (formulisana 1960.)

Povezano s opisom skupa rješenja nekih algebarskih jednadžbi u nekoliko varijabli s cjelobrojnim koeficijentima. Primjer takve jednačine je izraz x 2 + y 2 = z 2. Euklid je dao potpuni opis rješenja ove jednačine, ali za složenije jednačine, pronalaženje rješenja postaje izuzetno teško.

4. Hodgeova hipoteza (formulisana 1941.)

U 20. veku matematičari su otkrili moćnu metodu za proučavanje oblika složenih objekata. Osnovna ideja je da se umjesto samog objekta koriste jednostavne "cigle", koje su zalijepljene i formiraju njegovu sličnost. Hodgeova hipoteza je povezana sa nekim pretpostavkama u vezi sa svojstvima takvih „građevnih blokova“ i objekata.

5. Navier - Stokesove jednadžbe (formulisane 1822.)

Ako plovite u čamcu po jezeru, nastat će valovi, a ako letite u avionu, u zraku će se pojaviti turbulentne struje. Pretpostavlja se da su ove i druge pojave opisane jednadžbama poznatim kao Navier-Stokesove jednačine. Rješenja ovih jednačina su nepoznata, a ne zna se ni kako ih riješiti. Potrebno je pokazati da rješenje postoji i da je dovoljno glatka funkcija. Rješavanje ovog problema značajno će promijeniti metode izvođenja hidro- i aerodinamičkih proračuna.

6. Poincaréov problem (formuliran 1904.)

Ako povučete gumicu preko jabuke, možete je, laganim pomicanjem trake bez podizanja s površine, stisnuti do točke. S druge strane, ako je ista gumena traka prikladno razvučena oko krofne, ne postoji način da se traka stisne do tačke bez pokidanja trake ili lomljenja krofne. Kažu da je površina jabuke jednostavno povezana, ali površina krofne nije. Pokazalo se da je toliko teško dokazati da je samo sfera jednostavno povezana da matematičari još uvijek traže tačan odgovor.

7. Yang-Mills jednadžbe (formulisane 1954.)

Jednačine kvantne fizike opisuju svijet elementarnih čestica. Fizičari Young i Mills, otkrivši vezu između geometrije i fizike čestica, napisali su svoje jednačine. Tako su pronašli način da objedine teorije elektromagnetnih, slabih i jakih interakcija. Yang-Millsove jednadžbe su implicirale postojanje čestica koje su stvarno opažene u laboratorijama širom svijeta, pa je Yang-Mills teoriju većina fizičara prihvatila uprkos činjenici da u okviru ove teorije još uvijek nije moguće predvidjeti mase elementarnih čestica.

Mikhail Vitebsky

„Problem koji je rešen Perelman, je zahtjev da se dokaže hipoteza koju je 1904. iznio veliki francuski matematičar Henri Poincaré(1854-1912) i nosi njegovo ime. Teško je reći bolje o ulozi Poincaréa u matematici nego što je to učinjeno u enciklopediji: „Poincaréovi radovi iz oblasti matematike, s jedne strane, upotpunjuju klasični pravac, a s druge otvaraju put razvoju nove matematike, gde se, uz kvantitativne odnose, utvrđuju činjenice koje imaju kvalitativni karakter“ (TSB, 3. izd., tom 2). Poincaréova pretpostavka je upravo kvalitativne prirode - kao i cjelokupno područje matematike (to jest topologije) na koje se odnosi i u čijem je stvaranju Poincaré uzeo odlučujuću ulogu.

U modernom jeziku, Poincaréova pretpostavka zvuči ovako: svaka jednostavno povezana kompaktna trodimenzionalna mnogostrukost bez granica je homeomorfna trodimenzionalnoj sferi.

U sljedećim paragrafima pokušat ćemo barem djelimično i vrlo grubo objasniti značenje ove zastrašujuće verbalne formule. Za početak, napominjemo da je obična sfera, koja je površina obične lopte, dvodimenzionalna (a sama lopta je trodimenzionalna). Dvodimenzionalna sfera se sastoji od svih tačaka trodimenzionalnog prostora koje su jednako udaljene od neke odabrane tačke, koja se zove centar, a koja ne pripada sferi. Trodimenzionalna sfera se sastoji od svih tačaka četvorodimenzionalnog prostora koje su jednako udaljene od njenog centra (koje ne pripada sferi). Za razliku od dvodimenzionalnih sfera, trodimenzionalne sfere Nije dostupno naše direktno opažanje, a nama ih je teško zamisliti kao što je Vasiliju Ivanoviču bilo da zamisli kvadratni trinom iz poznatog vica. Moguće je, međutim, da smo svi u trodimenzionalnoj sferi, odnosno da je naš Univerzum trodimenzionalna sfera.

Ovo je značenje rezultata Perelman za fiziku i astronomiju. Termin „jednostavno povezana kompaktna trodimenzionalna mnogostrukost bez ivice“ sadrži indikacije navodnih svojstava našeg Univerzuma. Termin „homeomorfni“ označava određeni visok stepen sličnosti, u određenom smislu, nerazlučivosti. Formulacija u cjelini znači, dakle, da ako naš Univerzum ima sva svojstva jednostavno povezane kompaktne trodimenzionalne mnogostrukosti bez ivice, onda je on - u istom "poznatom smislu" - trodimenzionalna sfera.

Koncept jednostavne povezanosti je prilično jednostavan koncept. Zamislimo gumu (tj. gumenu nit sa zalijepljenim krajevima) toliko elastičnu da će se, ako je ne držite, skupiti do točke. Također ćemo zahtijevati od naše elastične trake da kada se povuče do točke, ne izlazi izvan površine na koju smo je postavili. Ako takvu elastičnu traku rastegnemo na ravninu i pustimo je, ona će se odmah skupiti do točke. Ista stvar će se dogoditi ako elastičnu traku postavimo na površinu globusa, odnosno na sferu. Za površinu koluta za spašavanje situacija će biti potpuno drugačija: ljubazni čitatelj će lako pronaći takve rasporede elastike na ovoj površini u kojima je nemoguće povući elastiku do točke, a da se ne pređe preko dotične površine. Geometrijska figura se naziva jednostavno povezanom ako se bilo koja zatvorena kontura koja se nalazi unutar granica ove figure može skupiti u tačku, a da se ne ide izvan navedenih granica. Upravo smo vidjeli da su ravan i sfera jednostavno povezani, ali površina kruga za spašavanje nije jednostavno povezana. Ni ravnina u kojoj je izrezana rupa nije jednostavno povezana. Koncept jednostavne povezanosti također se primjenjuje na trodimenzionalne figure. Dakle, kocka i lopta su jednostavno povezani: svaka zatvorena kontura koja se nalazi u njihovoj debljini može se skupiti u tačku, a tokom procesa kontrakcije kontura će uvijek ostati u toj debljini. Ali đevrek nije jednostavno povezan: u njemu možete pronaći konturu koja se ne može skupiti do tačke tako da je tokom procesa kontrakcije kontura uvek u testu đevreka. Ni perec nije jednostruko povezan. Može se dokazati da je trodimenzionalna sfera jednostavno povezana.

Nadamo se da čitalac nije zaboravio razliku između segmenta i intervala, koji se uči u školi. Segment ima dva kraja; sastoji se od ovih krajeva i svih tačaka koje se nalaze između njih. Interval se sastoji samo od svih tačaka koje se nalaze između njegovih krajeva; sami krajevi nisu uključeni u interval: možemo reći da je interval segment čiji su krajevi uklonjeni iz njega, a segment je interval sa krajevima dodatim to. Interval i segment su najjednostavniji primjeri jednodimenzionalnih mnogostrukosti, gdje je interval mnogostrukost bez ivice, a segment je mnogostrukost sa rubom; ivica se u slučaju segmenta sastoji od dva kraja. Glavno svojstvo mnogostrukosti, koje leži u osnovi njihove definicije, je da su u mnogostrukosti okoline svih tačaka, sa izuzetkom tačaka na ivici (koje možda i ne postoje), raspoređene na potpuno isti način.

U ovom slučaju, okolina tačke A je skup svih tačaka koje se nalaze blizu ove tačke A. Mikroskopsko stvorenje koje živi u mnogostrukosti bez ivice i sposobno da vidi samo tačke ove mnogostrukosti koje su najbliže sebi nije u stanju da odredi u kojoj se tački nalazi, biće: oko sebe uvijek vidi istu stvar. Više primjera jednodimenzionalnih mnogostrukosti bez ruba: cijela ravna linija, krug. Primjer jednodimenzionalne figure koja nije mnogostruk je prava u obliku slova T: postoji posebna tačka, čije susjedstvo nije slično susjedstvu drugih tačaka - to je tačka u kojoj su tri segmenti se sastaju. Drugi primjer jednodimenzionalne mnogostrukosti je linija osmica; Ovdje se četiri linije spajaju u posebnoj tački. Ravan, sfera i površina kruga za spašavanje primjeri su dvodimenzionalnih mnogostrukosti bez ivice. Ravan s izrezanom rupom u njoj će također biti razdjelnik - ali sa ivicom ili bez, ovisi o tome gdje ćemo postaviti obris rupe. Ako ga uputimo na rupu, dobićemo mnogostrukost bez ivice; ako ostavimo konturu na ravni, dobijamo mnogostrukost sa ivicom, kojoj će ova kontura služiti. Naravno, ovdje smo mislili na idealno matematičko rezanje, a kod stvarnog fizičkog rezanja makazama pitanje gdje pripada kontura nema nikakvog smisla.

Nekoliko riječi o trodimenzionalnim mnogostrukostima. Sfera, zajedno sa sferom koja joj služi kao površina, je mnogostrukost sa ivicom; naznačena sfera je upravo ova ivica. Ako ovu kuglicu uklonimo iz okolnog prostora, dobićemo mnogostrukost bez ivice. Ako odlijepimo površinu lopte, dobićemo ono što se u matematičkom žargonu zove „peskarena lopta“, a naučnijim jezikom otvorena lopta. Uklonimo li otvorenu loptu iz okolnog prostora, dobićemo mnogostrukost sa ivicom, a ivica će biti upravo sfera koju smo otkinuli od lopte. Bagel je, zajedno sa svojom korom, trodimenzionalni mnogostrukost sa ivicom, a ako otkinete koru (koju tretiramo kao beskonačno tanku, odnosno kao površinu), dobijamo mnogostrukost bez ivice u u obliku „brušenog peciva“. Sav prostor u cjelini, ako ga shvatimo onako kako se razumije u srednjoj školi, je trodimenzionalna mnogostrukost bez ivice.

Matematički koncept kompaktnosti dijelom odražava značenje koje riječ "kompakt" ima u svakodnevnom ruskom jeziku: "bliski", "komprimiran". Geometrijska figura se naziva kompaktnom ako se za bilo koji raspored beskonačnog broja njenih tačaka akumuliraju u jednoj od tačaka ili u više tačaka iste figure. Segment je kompaktan: za bilo koji beskonačan skup njegovih tačaka u segmentu postoji barem jedna takozvana granična tačka, čije okruženje sadrži beskonačno mnogo elemenata skupa koji se razmatra. Interval nije kompaktan: možete odrediti skup njegovih tačaka koji se akumuliraju prema njegovom kraju, i samo prema njemu - ali kraj ne pripada intervalu!

Zbog nedostatka prostora, ograničit ćemo se na ovaj komentar. Recimo samo da su od primjera koje smo razmotrili, kompaktni segment, krug, kugla, površine đevreka i pereca, kugla (zajedno sa sferom), đevrek i pereca (zajedno sa njegove kore). Nasuprot tome, interval, ravan, brušena kugla, đevrek i pereca nisu kompaktni. Među trodimenzionalnim kompaktnim geometrijskim figurama bez ruba, najjednostavnija je trodimenzionalna sfera, ali se takve figure ne uklapaju u naš uobičajeni "školski" prostor. Možda je najdublji od onih koncepata koji su povezani hipotezom Poincare, je koncept homeomorfije. Homeomorfija je najviši nivo geometrijske istosti . Sada ćemo pokušati dati približno objašnjenje ovog koncepta postupnim približavanjem.

Već u školskoj geometriji susrećemo se s dvije vrste istosti - podudarnost figura i njihova sličnost. Podsjetimo da se figure nazivaju kongruentnim ako se poklapaju jedna s drugom kada se superponiraju. U školi se čini da se kongruentne figure ne razlikuju, pa se stoga podudarnost naziva jednakošću. Kongruentne figure imaju iste dimenzije u svim svojim detaljima. Sličnost, bez potrebe za istom veličinom, znači iste proporcije ovih veličina; stoga, sličnost odražava bitniju sličnost figura nego podudarnost. Geometrija je generalno viši nivo apstrakcije od fizike, a fizika je viša od nauke o materijalima.

Uzmimo za primjer kuglični ležaj, bilijar, kroket i loptu. Fizika ne ulazi u detalje kao što je materijal od kojeg su napravljene, već je zanimaju samo svojstva kao što su zapremina, težina, električna provodljivost, itd. Za matematiku, sve su to lopte, koje se razlikuju samo po veličini. Ako kuglice imaju različite veličine, onda su one različite za metričku geometriju, ali su sve iste za geometriju sličnosti. Sa stanovišta geometrije, sve lopte i sve kocke su slične, ali lopta i kocka nisu iste.

Pogledajmo sada torus. Na vrhu je geometrijska figura čiji je oblik u obliku volana i pojasa za spašavanje. Enciklopedija definiše torus kao figuru dobijenu rotacijom kruga oko ose koja se nalazi izvan kruga. Pozivamo ljubaznog čitaoca da shvati da su lopta i kocka „sličniji“ jedno drugom nego svaka od njih sa torusom. Sljedeći misaoni eksperiment nam omogućava da ovu intuitivnu svijest ispunimo preciznim značenjem. Zamislimo loptu napravljenu od materijala koji je toliko savitljiv da se može savijati, rastezati, sabijati i općenito deformirati na bilo koji način - jednostavno se ne može pocijepati ili zalijepiti. Očigledno, lopta se tada može pretvoriti u kocku, ali je nemoguće pretvoriti u torus. Ušakovljev objašnjavajući rečnik perec definiše kao pecivo (bukvalno: poput peciva upletene u maslac) u obliku slova B. Uz svo dužno poštovanje prema ovom divnom rečniku, reči „u obliku broja 8“ mi se više čine tačan; Međutim, sa stanovišta izraženog u konceptu homeomorfije, pečenje u obliku broja 8, pečenje u obliku slova B i pečenje u obliku fita imaju isti oblik. Čak i ako pretpostavimo da su pekari uspeli da dobiju testo koje ima gore pomenuta svojstva savitljivosti, lepinja je nemoguća - bez suza i lepljenja! - ne pretvarajte se ni u đevrek ni u perecu, kao što su poslednja dva peciva jedno u drugo. Ali sferičnu lepinju možete pretvoriti u kocku ili piramidu. Ljubazni čitatelj će nesumnjivo moći pronaći mogući oblik pečenja u koji se ne može pretvoriti ni lepinja, ni perec, ni đevrek.

Bez imenovanja ovog koncepta, već smo se upoznali sa homeomorfijom. Dvije figure se nazivaju homeomorfnim ako se jedna može transformirati u drugu kontinuiranom (tj. bez lomljenja ili lijepljenja) deformacijom; takve deformacije same se nazivaju homeomorfizmi. Upravo smo saznali da je lopta homeomorfna kocki i piramidi, ali nije homeomorfna ni torusu ni perecu, a posljednja dva tijela nisu homeomorfna jedno drugom. Molimo čitaoca da shvati da smo dali samo približan opis koncepta homeomorfije, dat u smislu mehaničke transformacije.

Dotaknimo se filozofskog aspekta pojma homeomorfije. Zamislimo misleće biće koje živi unutar neke geometrijske figure i Ne imajući priliku da ovu figuru sagledate spolja, „spolja“. Za njega, figura u kojoj živi čini Univerzum. Zamislimo također da kada se figura koja ga okružuje podvrgnuta kontinuiranoj deformaciji, biće deformisano zajedno s njom. Ako je dotična figura lopta, onda stvorenje ni na koji način ne može razlikovati da li je u lopti, kocki ili piramidi. Međutim, moguće je da se uvjeri da njegov Univerzum nije u obliku torusa ili pereca. Općenito, stvorenje može uspostaviti oblik prostora koji ga okružuje samo do homeomorfije, odnosno nije u stanju razlikovati jedan oblik od drugog, sve dok su ti oblici homeomorfni.

Za matematiku, značenje hipoteze Poincare, koja se sada iz hipoteze pretvorila u Poincaré-Perelmanovu teoremu, je ogromna (nije uzalud ponuđeno milion dolara za rješavanje problema), baš kao što je ogroman značaj metode koju je Perelman pronašao da dokaže, ali objašnjavanje ovog značaja ovdje je van naše mogućnosti. Što se tiče kosmološke strane stvari, možda su novinari donekle preuveličali značaj ovog aspekta.

Međutim, neki autoritativni stručnjaci kažu da Perelmanov naučni proboj može pomoći u proučavanju procesa formiranja crnih rupa. Crne rupe, inače, služe kao direktno opovrgavanje teze o spoznatnosti svijeta – jedne od centralnih odredbi tog najnaprednijeg, jedinog istinitog i svemoćnog učenja, koje je 70 godina nasilno bubnjalo u naše jadne glave. Uostalom, kako uči fizika, nikakvi signali iz ovih rupa u principu ne mogu doprijeti do nas, pa je nemoguće saznati šta se tamo događa. Općenito, znamo vrlo malo o tome kako funkcionira naš Univerzum u cjelini, i sumnjivo je da ćemo to ikada saznati. I samo značenje pitanja o njegovoj strukturi nije sasvim jasno. Moguće je da je ovo pitanje jedno od onih koje, prema učenju Buda, Ne postoji odgovor. Fizika nudi samo modele uređaja koji se manje-više slažu s poznatim činjenicama. U ovom slučaju fizika, po pravilu, koristi već razvijene preparate koje joj daje matematika.

Matematika, naravno, ne pretenduje da uspostavi bilo kakva geometrijska svojstva Univerzuma. Ali to nam omogućava da shvatimo ona svojstva koja su otkrile druge nauke. Štaviše. Omogućava nam da učinimo razumljivijima neka svojstva koja je teško zamisliti; objašnjava kako to može biti. Takva moguća (naglašavamo: samo moguća!) svojstva uključuju konačnost Univerzuma i njegovu neorijentiranost.

Dugo vremena jedini zamislivi model geometrijske strukture Univerzuma bio je trodimenzionalni euklidski prostor, odnosno prostor koji je svima poznat iz srednje škole. Ovaj prostor je beskonačan; činilo se da druge ideje nisu moguće; Činilo se ludim razmišljati o konačnosti Univerzuma. Međutim, sada ideja o konačnosti Univerzuma nije ništa manje legitimna od ideje o njegovoj beskonačnosti. Konkretno, trodimenzionalna sfera je konačna. Iz komunikacije sa fizičarima ostao sam utisak da su neki odgovorili „najvjerovatnije. Univerzum je beskonačan,” dok su drugi rekli, “najvjerovatnije, Univerzum je konačan.”

Uspensky V.A. , Apologija matematike, ili o matematici kao dijelu duhovne kulture, časopis “Novi svijet”, 2007, N 12, str. 141-145.

Gotovo svaka osoba, čak i oni koji nemaju nikakve veze s matematikom, čuli su riječi "Poincaréova pretpostavka", ali ne mogu svi objasniti šta je njena suština. Mnogima se čini da je viša matematika nešto vrlo složeno i nedostupno za razumijevanje. Stoga, pokušajmo jednostavnim riječima shvatiti šta Poincaréova hipoteza znači.

Sadržaj:

Koja je Poincaréova pretpostavka?

Originalna formulacija hipoteze zvuči ovako: “ Svaka kompaktna jednostavno povezana trodimenzionalna mnogostrukost bez granica je homeomorfna trodimenzionalnoj sferi».

Lopta je geometrijsko trodimenzionalno tijelo, njegova površina se naziva sfera, dvodimenzionalna je i sastoji se od tačaka trodimenzionalnog prostora koje su jednako udaljene od jedne tačke koja ne pripada ovoj sferi - centra lopte . Pored dvodimenzionalnih sfera, postoje i trodimenzionalne sfere, koje se sastoje od mnogih tačaka četvorodimenzionalnog prostora, koje su takođe jednako udaljene od jedne tačke koja ne pripada sferi – njenog centra. Ako možemo vidjeti dvodimenzionalne sfere vlastitim očima, onda trodimenzionalne nisu podložne našoj vizualnoj percepciji.

Pošto nemamo priliku da vidimo Univerzum, možemo pretpostaviti da je to trodimenzionalna sfera u kojoj živi čitavo čovečanstvo. Ovo je suština Poincaréove pretpostavke. Naime, da Univerzum ima sljedeća svojstva: trodimenzionalnost, bezgraničnost, jednostavno povezanost, kompaktnost. Koncept "homeomorfije" u hipotezi znači najviši stepen sličnosti, sličnosti, u slučaju Univerzuma - nerazlučivost.

Ko je Poincare?

Jules Henri Poincaré- najveći matematičar koji je rođen 1854. godine u Francuskoj. Njegova interesovanja nisu bila ograničena samo na matematičke nauke, studirao je fiziku, mehaniku, astronomiju i filozofiju. Bio je član više od 30 naučnih akademija širom svijeta, uključujući i Sankt Peterburšku akademiju nauka. Istoričari svih vremena i naroda svrstavaju Davida Hilberta i Henrija Poincaréa među najveće svjetske matematičare. Naučnik je 1904. objavio čuveni rad koji je sadržavao pretpostavku danas poznatu kao “Poincaréova pretpostavka”. Bio je to trodimenzionalni prostor za koji se pokazalo da je matematičarima veoma teško proučavati; pronalaženje dokaza za druge slučajeve nije bilo teško. Tokom otprilike jednog veka dokazana je istinitost ove teoreme.

Početkom 21. veka u Kembridžu je ustanovljena nagrada od milion američkih dolara za rešavanje ovog naučnog problema, koji je uvršten na listu problema milenijuma. Samo je ruski matematičar iz Sankt Peterburga, Grigorij Perelman, bio u stanju da to uradi za trodimenzionalnu sferu. Godine 2006. dobio je Fieldsovu medalju za ovo dostignuće, ali je odbio da je primi.

Zaslugama Poincaréove naučne aktivnosti Mogu se pripisati sljedeća dostignuća:

utemeljenje topologije (izrada teorijskih osnova različitih pojava i procesa);
stvaranje kvalitativne teorije diferencijalnih jednadžbi;
razvoj teorije amorfnih funkcija, koja je postala osnova specijalne teorije relativnosti;
iznošenje teoreme povratka;
razvoj najnovijih, najefikasnijih metoda nebeske mehanike.

Dokaz hipoteze

Jednostavno povezanom trodimenzionalnom prostoru dodijeljena su geometrijska svojstva i podijeljena je na metričke elemente koji imaju udaljenosti između sebe kako bi formirali uglove. Da pojednostavimo, uzimamo kao uzorak jednodimenzionalni mnogostrukost, u kojem se na euklidovoj ravni tangentni vektori jednaki 1 povlače u svakoj tački do glatke zatvorene krive. Prilikom prelaska krive, vektor rotira određenom ugaonom brzinom jednaka zakrivljenosti. Što se linija više savija, veća je zakrivljenost. Zakrivljenost ima pozitivan nagib ako je vektor brzine rotiran prema unutrašnjosti ravnine koju linija dijeli, a negativan nagib ako je rotiran prema van. Na mjestima savijanja, zakrivljenost je jednaka 0. Sada je svakoj tački krive dodijeljen vektor okomit na vektor ugaone brzine i dužine jednake vrijednosti zakrivljenosti. Okrenut je prema unutra kada je zakrivljenost pozitivna, a prema van kada je negativna. Odgovarajući vektor određuje smjer i brzinu kojom se kreće svaka tačka na ravni. Ako bilo gdje nacrtate zatvorenu krivulju, onda će se s takvom evolucijom pretvoriti u krug. Ovo važi za trodimenzionalni prostor, što je trebalo dokazati.

primjer: Kada se deformiše bez lomljenja, balon se može napraviti u različite oblike. Ali ne možete napraviti đevrek; da biste to učinili, samo ga trebate isjeći. I obrnuto, ako imate đevrek, ne možete napraviti čvrstu loptu. Iako je sa bilo koje druge površine bez diskontinuiteta tokom deformacije moguće dobiti kuglu. Ovo ukazuje da je ova površina homeomorfna lopti. Bilo koja lopta može se vezati koncem s jednim čvorom, ali to je nemoguće učiniti s krofnom.

Lopta je najjednostavnija trodimenzionalna ravan koja se može deformisati i saviti u tačku i obrnuto.

Bitan! Poincaréova pretpostavka kaže da je zatvorena n-dimenzionalna mnogostrukost ekvivalentna n-dimenzionalnoj sferi ako joj je homeomorfna. To je postalo polazna tačka u razvoju teorije višedimenzionalnih ravni.