Danas ona zaslužuje da bude opevana u poeziji
Vietin teorem o svojstvima korijena.
Šta je bolje, recite mi, ovakva konzistencija:
Pomnožili ste korijene - i razlomak je spreman
U brojiocu With, u nazivniku A.
I zbir korijena razlomka je također jednak
Čak i sa minusom ovaj razlomak
Kakav problem
U brojiocima V, u nazivniku A.
(iz školskog folklora)
U epigrafu, izvanredna teorema Françoisa Viete nije data sasvim tačno. U stvari, možemo pisati kvadratna jednačina, koji nema korijen i zapišite njihov zbir i proizvod. Na primjer, jednadžba x 2 + 2x + 12 = 0 nema pravi korijen. Ali, uzimajući formalni pristup, možemo zapisati njihov proizvod (x 1 · x 2 = 12) i zbir (x 1 + x 2 = -2). Naš stihovi će odgovarati teoremi uz upozorenje: „ako jednačina ima korijene“, tj. D ≥ 0.
Prva praktična primjena ove teoreme je konstruiranje kvadratne jednadžbe koja ima korijene. Drugo, omogućava vam da usmeno riješite mnoge kvadratne jednadžbe. Školski udžbenici se prvenstveno fokusiraju na razvoj ovih vještina.
Ovdje ćemo razmotriti složenije probleme rješavane korištenjem Vietine teoreme.
Primjer 1.
Jedan od korijena jednačine 5x 2 – 12x + c = 0 je tri puta veći od drugog. Pronađite s.
Rješenje.
Neka je drugi korijen x 2.
Tada je prvi korijen x1 = 3x 2.
Prema Vietinoj teoremi, zbir korijena je 12/5 = 2,4.
Kreirajmo jednačinu 3x 2 + x 2 = 2.4.
Dakle, x 2 = 0,6. Stoga je x 1 = 1,8.
Odgovor: c = (x 1 x 2) a = 0,6 1,8 5 = 5,4.
Primjer 2.
Poznato je da su x 1 i x 2 korijeni jednadžbe x 2 – 8x + p = 0, pri čemu je 3x 1 + 4x 2 = 29. Pronađite p.
Rješenje.
Prema Vietinoj teoremi, x 1 + x 2 = 8, a pod uslovom 3x 1 + 4x 2 = 29.
Nakon što smo riješili sistem ove dvije jednačine, nalazimo vrijednost x 1 = 3, x 2 = 5.
Stoga je p = 15.
Odgovor: p = 15.
Primjer 3.
Bez izračunavanja korijena jednadžbe 3x 2 + 8 x – 1 = 0, pronađite x 1 4 + x 2 4
Rješenje.
Imajte na umu da je prema Vietinoj teoremi x 1 + x 2 = -8/3 i x 1 x 2 = -1/3 i transformirajte izraz
a) x 1 4 + x 2 4 = (x 1 2 + x 2 2) 2 – 2x 1 2 x 2 2 = ((x 1 + x 2) 2 – 2x 1 x 2) 2 – 2(x 1 x 2) 2 = ((-8/3) 2 – 2 · (-1/3)) 2 – 2 · (-1/3) 2 = 4898/9
Odgovor: 4898/9.
Primjer 4.
Pri kojim vrijednostima parametra a je razlika između najvećeg i najmanjeg korijena jednadžbe
2x 2 – (a + 1)x + (a – 1) = 0 jednako je njihovom proizvodu.
Rješenje.
Ovo je kvadratna jednadžba. Imat će 2 različita korijena ako je D > 0. Drugim riječima, (a + 1) 2 – 8(a – 1) > 0 ili (a – 3) 2 > 0. Dakle, imamo 2 korijena za sve a, jer osim za a = 3.
Radi određenosti, pretpostavićemo da je x 1 > x 2 i dobićemo x 1 + x 2 = (a + 1)/2 i x 1 x 2 = (a – 1)/2. Na osnovu uslova zadatka x 1 – x 2 = (a – 1)/2. Sva tri uslova moraju biti ispunjena istovremeno. Razmotrimo prvu i posljednju jednačinu kao sistem. Može se lako riješiti algebarskim sabiranjem.
Dobijamo x 1 = a/2, x 2 = 1/2. Hajde da proverimo šta A druga jednakost će biti zadovoljena: x 1 · x 2 = (a – 1)/2. Zamenimo dobijene vrednosti i imaćemo: a/4 = (a – 1)/2. Tada je a = 2. Očigledno je da ako je a = 2, tada su svi uslovi ispunjeni.
Odgovor: kada je a = 2.
Primjer 5.
Šta je jednako najmanju vrijednost a, pri čemu je zbir korijena jednačine
x 2 – 2a(x – 1) – 1 = 0 jednako je zbiru kvadrata njegovih korijena.
Rješenje.
Prije svega, dovedimo jednačinu u kanonski oblik: x 2 – 2ax + 2a – 1 = 0. Imat će korijen ako je D/4 ≥ 0. Dakle: a 2 – (2a – 1) ≥ 0. Ili (a – 1 ) 2 ≥ 0. I ovaj uslov vrijedi za bilo koje a.
Primijenimo Vietinu teoremu: x 1 + x 2 = 2a, x 1 x 2 = 2a – 1. Izračunajmo
x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 – 2x 1 x 2. Ili nakon zamjene x 1 2 + x 2 2 = (2a) 2 – 2 · (2a – 1) = 4a 2 – 4a + 2. Ostaje napraviti jednakost koja odgovara uvjetima problema: x 1 + x 2 = x 1 2 + x 2 2 . Dobijamo: 2a = 4a 2 – 4a + 2. Ova kvadratna jednadžba ima 2 korijena: a 1 = 1 i a 2 = 1/2. Najmanji od njih je –1/2.
Odgovor: 1/2.
Primjer 6.
Pronađite odnos između koeficijenata jednačine ax 2 + bx + c = 0 ako je zbroj kubova njenih korijena jednak proizvodu kvadrata ovih korijena.
Rješenje.
Pretpostavit ćemo da ova jednadžba ima korijene i stoga se na nju može primijeniti Vietin teorem.
Tada će se uvjet zadatka napisati na sljedeći način: x 1 3 + x 2 3 = x 1 2 · x 2 2. Ili: (x 1 + x 2)(x 1 2 – x 1 x 2 + x 2 2) = (x 1 x 2) 2.
Drugi faktor treba pretvoriti. x 1 2 – x 1 x 2 + x 2 2 = ((x 1 + x 2) 2 – 2x 1 x 2) – x 1 x 2.
Dobijamo (x 1 + x 2)((x 1 + x 2) 2 – 3x 1 x 2) = (x 1 x 2) 2. Ostaje zamijeniti zbrojeve i produkte korijena kroz koeficijente.
(-b/a)((b/a) 2 – 3 c/a) = (c/a) 2 . Ovaj izraz se lako može pretvoriti u formu b(3ac – b 2)/a = c 2. Veza je pronađena.
Komentar. Treba uzeti u obzir da rezultirajuću relaciju ima smisla razmatrati tek nakon što je zadovoljena druga: D ≥ 0.
Primjer 7.
Pronađite vrijednost varijable a za koju je zbir kvadrata korijena jednačine x 2 + 2ax + 3a 2 – 6a – 2 = 0 najveća vrijednost.
Rješenje.
Ako ova jednadžba ima korijene x 1 i x 2, onda je njihov zbir x 1 + x 2 = -2a, a proizvod x 1 x 2 = 3a 2 – 6a – 2.
Računamo x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 – 2x 1 x 2 = (-2a) 2 – 2(3a 2 – 6a – 2) = -2a 2 + 12a + 4 = -2 (a – 3) 2 + 22.
Sada je očigledno da ovaj izraz uzima najveća vrijednost na a = 3.
Ostaje da se proveri da li originalna kvadratna jednadžba zaista ima koren na a = 3. Proveravamo zamenom i dobijamo: x 2 + 6x + 7 = 0 i za nju D = 36 – 28 > 0.
Dakle, odgovor je: za a = 3.
Primjer 8.
Jednačina 2x 2 – 7x – 3 = 0 ima korijene x 1 i x 2. Pronađite utrostručeni zbir koeficijenata date kvadratne jednadžbe, čiji su korijeni brojevi X 1 = 1/x 1 i X 2 = 1/x 2. (*)
Rješenje.
Očigledno, x 1 + x 2 = 7/2 i x 1 x 2 = -3/2. Sastavimo drugu jednačinu iz njenih korijena u obliku x 2 + px + q = 0. Da bismo to učinili, koristimo obrnuto od Vietine teoreme. Dobijamo: p = -(X 1 + X 2) i q = X 1 · X 2.
Nakon što smo izvršili zamenu u ove formule na osnovu (*), onda: p = -(x 1 + x 2)/(x 1 x 2) = 7/3 i q = 1/(x 1 x 2) = - 2 /3.
Tražena jednačina će imati oblik: x 2 + 7/3 x – 2/3 = 0. Sada možemo lako izračunati utrostručeni zbir njenih koeficijenata:
3(1 + 7/3 – 2/3) = 8. Odgovor je primljen.
Imate još pitanja? Niste sigurni kako koristiti Vietinu teoremu?
Za pomoć od tutora -.
Prva lekcija je besplatna!
blog.site, prilikom kopiranja materijala u cijelosti ili djelimično, potrebna je veza do originalnog izvora.
Prvo, formulirajmo samu teoremu: Neka nam je redukovana kvadratna jednadžba oblika x^2+b*x + c = 0. Recimo da ova jednačina sadrži korijene x1 i x2. Tada, prema teoremi, vrijede sljedeće tvrdnje:
1) Zbir korijena x1 i x2 bit će jednak negativnoj vrijednosti koeficijenta b.
2) Proizvod ovih korijena će nam dati koeficijent c.
Ali šta je data jednačina?
Redukovana kvadratna jednačina je kvadratna jednačina čiji je koeficijent najvišeg stepena jednak jedan, tj. ovo je jednadžba oblika x^2 + b*x + c = 0. (a jednačina a*x^2 + b*x + c = 0 nije redukovana). Drugim riječima, da bismo doveli jednačinu u dati oblik, moramo ovu jednačinu podijeliti sa koeficijentom najvećeg stepena (a). Zadatak je dovesti ovu jednačinu u sljedeći oblik:
3*x^2 12*x + 18 = 0;
−4*x^2 + 32*x + 16 = 0;
1,5*x^2 + 7,5*x + 3 = 0; 2*x^2 + 7*x − 11 = 0.
Dijelimo svaku jednačinu sa koeficijentom najvišeg stepena, dobijamo:
X^2 4*x + 6 = 0; X^2 8*x − 4 = 0; X^2 + 5*x + 2 = 0;
X^2 + 3,5*x − 5,5 = 0.
Kao što možete vidjeti iz primjera, čak i jednadžbe koje sadrže razlomke mogu se svesti na dati oblik.
Koristeći Vietinu teoremu
X^2 5*x + 6 = 0 ⇒ x1 + x2 = − (−5) = 5; x1*x2 = 6;
dobijamo korijene: x1 = 2; x2 = 3;
X^2 + 6*x + 8 = 0 ⇒ x1 + x2 = −6; x1*x2 = 8;
kao rezultat dobijamo korijene: x1 = -2 ; x2 = -4;
X^2 + 5*x + 4 = 0 ⇒ x1 + x2 = −5; x1*x2 = 4;
dobijamo korijene: x1 = −1; x2 = −4.
Značenje Vietine teoreme
Vietin teorem nam omogućava da riješimo bilo koju kvadratnu redukovanu jednadžbu za skoro nekoliko sekundi. Na prvi pogled, ovo se čini prilično teškim zadatkom, ali nakon 5 10 jednačina možete odmah naučiti vidjeti korijene.
Iz datih primjera, i korištenjem teoreme, jasno je kako možete značajno pojednostaviti rješavanje kvadratnih jednadžbi, jer pomoću ove teoreme možete riješiti kvadratnu jednačinu praktično bez složenih proračuna i izračunavanja diskriminanta, a kao što znate, što je manje kalkulacija, teže je napraviti grešku, što je važno.
U svim primjerima koristili smo ovo pravilo na osnovu dvije važne pretpostavke:
Zadata jednačina, tj. koeficijent najvišeg stepena jednak je jedan (ovaj uslov je lako izbeći. Možete koristiti neredukovani oblik jednačine, tada će važiti sledeće tvrdnje x1+x2=-b/a; x1*x2=c/ a, ali obično je teže riješiti :))
Kada jednačina ima dva razni koreni. Pretpostavljamo da je nejednakost tačna i da je diskriminanta striktno veća od nule.
Dakle, možemo se pomiriti opšti algoritam rješenja korištenjem Vietine teoreme.
Opći algoritam rješenja korištenjem Vietine teoreme
Kvadratnu jednačinu svodimo na reduciran oblik ako nam je jednačina data u nereduciranom obliku. Kada se koeficijenti u kvadratnoj jednadžbi, koje smo prethodno predstavili kao date, pokažu kao razlomci (ne decimalni), onda u ovom slučaju našu jednačinu treba riješiti preko diskriminanta.
Postoje i slučajevi kada nam vraćanje na početnu jednačinu omogućava rad sa „zgodnim“ brojevima.
Vietina teorema (tačnije, teorema inverzna Vietinoj teoremi) vam omogućava da smanjite vrijeme za rješavanje kvadratnih jednadžbi. Samo trebate znati kako ga koristiti. Kako naučiti rješavati kvadratne jednadžbe koristeći Vietin teorem? Nije teško ako malo razmislite.
Sada ćemo govoriti samo o rješavanju reducirane kvadratne jednadžbe pomoću Vietine teoreme. Također je moguće riješiti kvadratne jednadžbe koje nisu date pomoću Vietine teoreme, ali barem jedan od korijena nije cijeli broj. Teže ih je pogoditi.
Inverzna teorema Vietinoj teoremi glasi: ako su brojevi x1 i x2 takvi da
tada su x1 i x2 korijeni kvadratne jednadžbe
Prilikom rješavanja kvadratne jednadžbe koristeći Vietin teorem, moguće su samo 4 opcije. Ako se sjetite linije rasuđivanja, možete naučiti pronaći čitave korijene vrlo brzo.
I. Ako je q pozitivan broj,
to znači da su korijeni x1 i x2 brojevi istog predznaka (pošto samo množenje brojeva sa istim predznacima proizvodi pozitivan broj).
I.a. Ako je -p pozitivan broj, (odnosno, str<0), то оба корня x1 и x2 — положительные числа (поскольку складывали числа одного знака и получили положительное число).
I.b. Ako -p - negativan broj, (odnosno, p>0), tada su oba korijena negativni brojevi (dodali smo brojeve istog predznaka i dobili smo negativan broj).
II. Ako je q negativan broj,
to znači da korijeni x1 i x2 imaju različite predznake (pri množenju brojeva negativan se broj dobije samo kada su predznaci faktora različiti). U ovom slučaju, x1+x2 više nije zbir, već razlika (na kraju krajeva, kada se zbrajaju brojevi sa različiti znakovi oduzimamo manje od većeg). Dakle, x1+x2 pokazuje koliko se razlikuju korijeni x1 i x2, odnosno koliko je jedan korijen veći od drugog (u apsolutnoj vrijednosti).
II.a. Ako je -p pozitivan broj, (odnosno, str<0), то больший (по модулю) корень — положительное число.
II.b. Ako je -p negativan broj, (p>0), tada je veći (modulo) korijen negativan broj.
Razmotrimo rješavanje kvadratnih jednadžbi koristeći Vietin teorem koristeći primjere.
Riješite datu kvadratnu jednačinu koristeći Vietin teorem:
Ovdje q=12>0, pa su korijeni x1 i x2 brojevi istog predznaka. Njihov zbir je -p=7>0, tako da su oba korijena pozitivni brojevi. Odabiremo cijele brojeve čiji je proizvod jednak 12. To su 1 i 12, 2 i 6, 3 i 4. Zbir je 7 za par 3 i 4. To znači da su 3 i 4 korijeni jednadžbe.
U ovom primjeru, q=16>0, što znači da su korijeni x1 i x2 brojevi istog predznaka. Njihov zbir je -p=-10<0, поэтому оба корня — отрицательные числа. Подбираем числа, произведение которых равно 16. Это 1 и 16, 2 и 8, 4 и 4. Сумма 2 и 8 равна 10, а раз нужны отрицательные числа, то искомые корни — это -2 и -8.
Ovdje q=-15<0, что означает, что корни x1 и x2 — числа разных знаков. Поэтому 2 — это уже не их сумма, а разность, то есть числа отличаются на 2. Подбираем числа, произведение которых равно 15, отличающиеся на 2. Произведение равно 15 у 1 и 15, 3 и 5. Отличаются на 2 числа в паре 3 и 5. Поскольку -p=2>0, tada je veći broj pozitivan. Dakle, korijeni su 5 i -3.
q=-36<0, значит, корни x1 и x2 имеют разные знаки. Тогда 5 — это то, насколько отличаются x1 и x2 (по модулю, то есть пока что без учета знака). Среди чисел, произведение которых равно 36: 1 и 36, 2 и 18, 3 и 12, 4 и 9 — выбираем пару, в которой числа отличаются на 5. Это 4 и 9. Осталось определить их знаки. Поскольку -p=-5<0, бОльшее число имеет знак минус. Поэтому корни данного уравнения равны -9 и 4.
Između korijena i koeficijenata kvadratne jednadžbe, osim korijenskih formula, postoje i drugi korisni odnosi koji su dati Vietin teorem. U ovom članku ćemo dati formulaciju i dokaz Vietinog teorema za kvadratnu jednadžbu. Zatim ćemo razmotriti teoremu suprotnu Vietinoj teoremi. Nakon toga ćemo analizirati rješenja najtipičnijih primjera. Konačno, zapisujemo Vietine formule koje definiraju odnos između pravih korijena algebarska jednačina stepen n i njegovi koeficijenti.
Navigacija po stranici.
Vietin teorem, formulacija, dokaz
Iz formula korena kvadratne jednačine a·x 2 +b·x+c=0 oblika, gde je D=b 2 −4·a·c, slede sledeće relacije: x 1 +x 2 =− b/a, x 1 ·x 2 = c/a . Ovi rezultati su potvrđeni Vietin teorem:
Teorema.
Ako x 1 i x 2 su korijeni kvadratne jednadžbe a x 2 +b x+c=0, tada je zbir korijena jednak omjeru koeficijenata b i a, uzetih sa suprotnim predznakom, i proizvodu korijeni su jednaki omjeru koeficijenata c i a, odnosno, .
Dokaz.
Provest ćemo dokaz Vietine teoreme prema sljedećoj shemi: sastavljamo zbir i proizvod korijena kvadratne jednadžbe koristeći poznate korijenske formule, zatim transformiramo rezultirajuće izraze i osiguravamo da su jednaki −b/ a i c/a, respektivno.
Počnimo sa zbirom korijena i nadoknadimo ga. Sada dovodimo razlomke do zajedničkog nazivnika, imamo . U brojniku rezultirajućeg razlomka, nakon čega:. Konačno, nakon 2, dobijamo . Ovo dokazuje prvu relaciju Vietine teoreme za zbir korijena kvadratne jednadžbe. Idemo na drugu.
Sastavljamo proizvod korijena kvadratne jednadžbe: . Prema pravilu množenja razlomaka, posljednji proizvod se može napisati kao . Sada množimo zagradu sa zagradom u brojiocu, ali je brže skupiti ovaj proizvod za formula kvadratne razlike, Dakle . Zatim, prisjećajući se, izvodimo sljedeći prijelaz. A pošto diskriminanta kvadratne jednačine odgovara formuli D=b 2 −4·a·c, onda umesto D u poslednjem razlomku možemo zameniti b 2 −4·a·c, dobijamo. Nakon otvaranja zagrada i donošenja sličnih pojmova, dolazimo do razlomka , a njegovo smanjenje za 4·a daje . Ovo dokazuje drugu relaciju Vietine teoreme za proizvod korijena.
Ako izostavimo objašnjenja, dokaz Vietine teoreme poprimiće lakonski oblik:
,
.
Ostaje samo primijetiti da ako je diskriminanta jednaka nuli, kvadratna jednadžba ima jedan korijen. Međutim, ako pretpostavimo da jednadžba u ovom slučaju ima dva identična korijena, onda vrijede i jednakosti iz Vietine teoreme. Zaista, kada je D=0 korijen kvadratne jednadžbe jednak je , tada i , a pošto je D=0, odnosno b 2 −4·a·c=0, odakle je b 2 =4·a·c, tada .
U praksi se Vietin teorem najčešće koristi u odnosu na redukovanu kvadratnu jednačinu (sa vodećim koeficijentom a jednakim 1) oblika x 2 +p·x+q=0. Ponekad se formulira za kvadratne jednadžbe upravo ovog tipa, što ne ograničava općenitost, budući da se svaka kvadratna jednačina može zamijeniti ekvivalentnom jednačinom dijeljenjem obje strane brojem a koji nije nula. Dajemo odgovarajuću formulaciju Vietine teoreme:
Teorema.
Zbir korijena redukovane kvadratne jednadžbe x 2 +p x+q=0 jednak je koeficijentu od x uzetom sa suprotnim predznakom, a proizvod korijena jednak je slobodnom članu, odnosno x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 = q.
Teorema suprotna Vietinoj teoremi
Druga formulacija Vietine teoreme, data u prethodnom pasusu, pokazuje da ako su x 1 i x 2 korijeni redukovane kvadratne jednadžbe x 2 +p x+q=0, onda su relacije x 1 +x 2 =−p , x 1 x 2 =q. S druge strane, iz zapisanih relacija x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 =q slijedi da su x 1 i x 2 korijeni kvadratne jednačine x 2 +p x+q=0. Drugim riječima, istina je obrnuto od Vietine teoreme. Hajde da to formulišemo u obliku teoreme i dokažemo.
Teorema.
Ako su brojevi x 1 i x 2 takvi da je x 1 +x 2 =−p i x 1 · x 2 =q, tada su x 1 i x 2 korijeni redukovane kvadratne jednadžbe x 2 +p · x+q =0.
Dokaz.
Nakon zamjene koeficijenata p i q u jednačini x 2 +p·x+q=0 njihovim izrazima kroz x 1 i x 2, ona se transformira u ekvivalentnu jednačinu.
Zamijenimo broj x 1 umjesto x u rezultirajuću jednadžbu i imamo jednakost x 1 2 −(x 1 +x 2) x 1 +x 1 x 2 =0, što za bilo koje x 1 i x 2 predstavlja tačnu numeričku jednakost 0=0, budući da x 1 2 −(x 1 +x 2) x 1 +x 1 x 2 = x 1 2 −x 1 2 −x 2 ·x 1 +x 1 ·x 2 =0. Dakle, x 1 je korijen jednadžbe x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0, što znači da je x 1 korijen ekvivalentne jednačine x 2 +p·x+q=0.
Ako je u jednadžbi x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0 zamijenimo broj x 2 umjesto x, dobićemo jednakost x 2 2 −(x 1 +x 2) x 2 +x 1 x 2 =0. Ovo je prava jednakost, jer x 2 2 −(x 1 +x 2) x 2 +x 1 x 2 = x 2 2 −x 1 ·x 2 −x 2 2 +x 1 ·x 2 =0. Dakle, x 2 je također korijen jednačine x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0, pa prema tome i jednačine x 2 +p·x+q=0.
Ovim je završen dokaz teoreme suprotne Vietinoj teoremi.
Primjeri korištenja Vietine teoreme
Vrijeme je da razgovaramo o praktičnoj primjeni Vietine teoreme i njene suprotne teoreme. U ovom dijelu ćemo analizirati rješenja za nekoliko najtipičnijih primjera.
Počnimo s primjenom teoreme suprotne Vietinoj teoremi. Pogodno je koristiti za provjeru da li su data dva broja korijeni date kvadratne jednadžbe. U tom slučaju se računa njihov zbir i razlika, nakon čega se provjerava valjanost relacija. Ako su oba ova odnosa zadovoljena, onda se na osnovu teoreme suprotne Vietinoj teoremi zaključuje da su ovi brojevi korijeni jednadžbe. Ako barem jedna od relacija nije zadovoljena, onda ovi brojevi nisu korijeni kvadratne jednadžbe. Ovaj pristup se može koristiti pri rješavanju kvadratnih jednadžbi za provjeru pronađenih korijena.
Primjer.
Koji je od parova brojeva 1) x 1 =−5, x 2 =3 ili 2) ili 3) par korijena kvadratne jednačine 4 x 2 −16 x+9=0?
Rješenje.
Koeficijenti date kvadratne jednačine 4 x 2 −16 x+9=0 su a=4, b=−16, c=9. Prema Vietinoj teoremi, zbir korijena kvadratne jednadžbe trebao bi biti jednak −b/a, odnosno 16/4=4, a proizvod korijena trebao bi biti jednak c/a, odnosno 9 /4.
Sada izračunajmo zbir i proizvod brojeva u svakom od tri data para i uporedimo ih sa vrijednostima koje smo upravo dobili.
U prvom slučaju imamo x 1 +x 2 =−5+3=−2. Rezultirajuća vrijednost je drugačija od 4, tako da se ne može izvršiti daljnja provjera, ali koristeći teorem inverznu Vietinoj teoremi, može se odmah zaključiti da prvi par brojeva nije par korijena date kvadratne jednadžbe.
Pređimo na drugi slučaj. Ovdje je, odnosno, ispunjen prvi uslov. Provjeravamo drugi uvjet: rezultirajuća vrijednost se razlikuje od 9/4. Prema tome, drugi par brojeva nije par korijena kvadratne jednadžbe.
Ostao je još jedan slučaj. Ovdje i . Oba uslova su ispunjena, pa su ovi brojevi x 1 i x 2 koreni date kvadratne jednačine.
odgovor:
Obrat Vietinog teorema može se koristiti u praksi za pronalaženje korijena kvadratne jednadžbe. Obično se biraju cjelobrojni korijeni date kvadratne jednadžbe sa cjelobrojnim koeficijentima, jer je u drugim slučajevima to prilično teško učiniti. U ovom slučaju koriste činjenicu da ako je zbroj dva broja jednak drugom koeficijentu kvadratne jednadžbe, uzetoj sa predznakom minus, a umnožak tih brojeva jednak je slobodnom članu, onda su ti brojevi korijene ove kvadratne jednadžbe. Hajde da to shvatimo na primjeru.
Uzmimo kvadratnu jednačinu x 2 −5 x+6=0. Da bi brojevi x 1 i x 2 bili korijeni ove jednačine, moraju biti zadovoljene dvije jednakosti: x 1 + x 2 =5 i x 1 ·x 2 =6. Ostaje samo odabrati takve brojeve. IN u ovom slučaju ovo je prilično jednostavno za uraditi: takvi brojevi su 2 i 3, pošto je 2+3=5 i 2·3=6. Dakle, 2 i 3 su korijeni ove kvadratne jednadžbe.
Teorema inverzna Vietinoj teoremi je posebno pogodna za korištenje za pronalaženje drugog korijena redukovane kvadratne jednadžbe kada je jedan od korijena već poznat ili očigledan. U ovom slučaju, drugi korijen se može pronaći iz bilo koje relacije.
Na primjer, uzmimo kvadratnu jednačinu 512 x 2 −509 x −3=0. Ovdje je lako vidjeti da je jedinica korijen jednačine, pošto je zbir koeficijenata ove kvadratne jednačine jednak nuli. Dakle, x 1 =1. Drugi korijen x 2 može se naći, na primjer, iz relacije x 1 ·x 2 =c/a. Imamo 1 x 2 =−3/512, od čega je x 2 =−3/512. Ovako smo odredili oba korijena kvadratne jednadžbe: 1 i −3/512.
Jasno je da je odabir korijena preporučljiv samo u najjednostavnijim slučajevima. U drugim slučajevima, da biste pronašli korijene, možete koristiti formule za korijene kvadratne jednadžbe preko diskriminanta.
Druga praktična primjena obrnutog Vietinog teorema je konstruiranje kvadratnih jednadžbi datih korijenima x 1 i x 2 . Da biste to učinili, dovoljno je izračunati zbir korijena koji daje koeficijent x sa suprotnim predznakom date kvadratne jednadžbe i proizvod korijena koji daje slobodni član.
Primjer.
Napišite kvadratnu jednačinu čiji su korijeni −11 i 23.
Rješenje.
Označimo x 1 =−11 i x 2 =23. Izračunavamo zbir i proizvod ovih brojeva: x 1 +x 2 =12 i x 1 ·x 2 =−253. Dakle, navedeni brojevi su korijeni reducirane kvadratne jednadžbe s drugim koeficijentom od −12 i slobodnim članom od −253. To jest, x 2 −12·x−253=0 je tražena jednačina.
odgovor:
x 2 −12·x−253=0 .
Vietin teorem se vrlo često koristi pri rješavanju problema vezanih za predznake korijena kvadratnih jednadžbi. Kako je Vietin teorem povezan sa predznacima korijena redukovane kvadratne jednadžbe x 2 +p·x+q=0? Evo dvije relevantne izjave:
- Ako je slobodni član q pozitivan broj i ako kvadratna jednadžba ima realne korijene, onda su oba pozitivna ili oba negativna.
- Ako je slobodni član q negativan broj i ako kvadratna jednadžba ima realne korijene, onda su njihovi predznaci različiti, drugim riječima, jedan korijen je pozitivan, a drugi negativan.
Ove tvrdnje proizlaze iz formule x 1 · x 2 =q, kao i pravila za množenje pozitivnih, negativnih brojeva i brojeva sa različitim predznacima. Pogledajmo primjere njihove primjene.
Primjer.
R je pozitivan. Koristeći diskriminantnu formulu nalazimo D=(r+2) 2 −4 1 (r−1)= r 2 +4 r+4−4 r+4=r 2 +8, vrijednost izraza r 2 +8 je pozitivan za bilo koje realno r, dakle D>0 za bilo koje realno r. Prema tome, originalna kvadratna jednadžba ima dva korijena za bilo koju realnu vrijednost parametra r.
Sada ćemo saznati kada korijeni imaju različite znakove. Ako su predznaci korijena različiti, onda je njihov umnožak negativan, a prema Vietinom teoremu, proizvod korijena redukovane kvadratne jednadžbe jednak je slobodnom članu. Stoga nas zanimaju one vrijednosti r za koje je slobodni član r−1 negativan. Dakle, da bismo pronašli vrijednosti r koje nas zanimaju, trebamo riješiti linearnu nejednačinu r−1<0 , откуда находим r<1 .
odgovor:
na r<1 .
Vieta formule
Gore smo govorili o Vietinoj teoremi za kvadratnu jednačinu i analizirali odnose koje ona tvrdi. Ali postoje formule koje povezuju prave korijene i koeficijente ne samo kvadratnih jednadžbi, već i kubnih jednačina, jednadžbi četvrtog stepena i općenito, algebarske jednačine stepen n. Oni se nazivaju Vietine formule.
Napišimo Vietinu formulu za algebarsku jednadžbu stepena n oblika, i pretpostavit ćemo da ima n realnih korijena x 1, x 2, ..., x n (među njima mogu biti i podudarni): 
Vietine formule se mogu dobiti teorema o dekompoziciji polinoma na linearne faktore, kao i definicija jednakih polinoma kroz jednakost svih njihovih odgovarajućih koeficijenata. Dakle, polinom i njegova ekspanzija u linearne faktore oblika su jednaki. Otvarajući zagrade u posljednjem proizvodu i izjednačavajući odgovarajuće koeficijente, dobivamo Vietine formule.
Konkretno, za n=2 imamo već poznate Vietine formule za kvadratnu jednačinu.
Za kubnu jednačinu, Vietine formule imaju oblik 
Ostaje samo napomenuti da se na lijevoj strani Vietinih formula nalaze tzv. simetričnih polinoma.
Bibliografija.
- algebra: udžbenik za 8. razred. opšte obrazovanje institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; uređeno od S. A. Telyakovsky. - 16. ed. - M.: Obrazovanje, 2008. - 271 str. : ill. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Mordkovich A. G. Algebra. 8. razred. U 2 sata Dio 1. Udžbenik za učenike opšteobrazovnih ustanova / A. G. Mordkovich. - 11. izdanje, izbrisano. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-01155-2.
- Algebra i početak matematičke analize. 10. razred: udžbenik. za opšte obrazovanje institucije: osnovne i profilne. nivoa / [Yu. M. Koljagin, M. V. Tkačeva, N. E. Fedorova, M. I. Šabunjin]; uređeno od A. B. Zhizhchenko. - 3. izd. - M.: Obrazovanje, 2010.- 368 str. : ill. - ISBN 978-5-09-022771-1.
Prva tvrdnja kaže da je zbir korijena ove jednačine jednak vrijednosti koeficijenta varijable x (u ovom slučaju to je b), ali sa suprotnim predznakom. Vizuelno to izgleda ovako: x1 + x2 = −b.
Drugi iskaz se više ne odnosi na zbir, već na proizvod ova dva korijena. Ovaj proizvod je izjednačen sa slobodnim koeficijentom, tj. c. Ili, x1 * x2 = c. Oba ova primjera su riješena u sistemu.
Vietin teorem uvelike pojednostavljuje rješenje, ali ima jedno ograničenje. Kvadratna jednadžba čiji se korijeni mogu pronaći ovom tehnikom mora se reducirati. U gornjoj jednačini, koeficijent a, onaj ispred x2, jednak je jedan. Bilo koja jednačina se može dovesti u sličan oblik dijeljenjem izraza s prvim koeficijentom, ali ova operacija nije uvijek racionalna.
Dokaz teoreme
Za početak, trebamo se sjetiti kako je tradicionalno uobičajeno tražiti korijene kvadratne jednadžbe. Nalaze se prvi i drugi korijen, i to: x1 = (-b-√D)/2, x2 = (-b+√D)/2. Općenito je djeljiv sa 2a, ali, kao što je već spomenuto, teorema se može primijeniti samo kada je a=1.Iz Vietine teoreme je poznato da je zbir korijena jednak drugom koeficijentu sa predznakom minus. To znači da je x1 + x2 = (-b-√D)/2 + (-b+√D)/2 = −2b/2 = −b.
Isto vrijedi i za proizvod nepoznatih korijena: x1 * x2 = (-b-√D)/2 * (-b+√D)/2 = (b2-D)/4. Zauzvrat, D = b2-4c (opet sa a=1). Ispada da je rezultat: x1 * x2 = (b2- b2)/4+c = c.
Iz datog jednostavnog dokaza može se izvesti samo jedan zaključak: Vietin teorem je potpuno potvrđen.
Druga formulacija i dokaz
Vietin teorem ima još jedno tumačenje. Da budemo precizniji, to nije interpretacija, već formulacija. Činjenica je da ako su ispunjeni isti uvjeti kao u prvom slučaju: postoje dva različita realna korijena, tada se teorema može napisati drugom formulom.Ova jednakost izgleda ovako: x2 + bx + c = (x - x1)(x - x2). Ako se funkcija P(x) siječe u dvije tačke x1 i x2, onda se može napisati kao P(x) = (x - x1)(x - x2) * R(x). U slučaju kada P ima drugi stepen, a upravo ovako izgleda originalni izraz, onda je R prost broj, odnosno 1. Ova izjava je tačna iz razloga što inače jednakost neće vrijediti. Koeficijent x2 pri otvaranju zagrada ne bi trebao biti veći od jedan, a izraz treba ostati kvadratan.
