Očekávání a rozptyl jsou nejčastěji používané číselné charakteristiky náhodná proměnná. Charakterizují nejdůležitější znaky distribuce: její polohu a stupeň rozptylu. V mnoha praktických problémech úplnou, vyčerpávající charakteristiku náhodné veličiny - zákon rozdělení - buď nelze získat vůbec, nebo není vůbec potřeba. V těchto případech se omezíme na přibližný popis náhodné veličiny pomocí číselných charakteristik.

Očekávaná hodnota se často nazývá jednoduše průměrná hodnota náhodné veličiny. Disperze náhodné veličiny je charakteristikou disperze, šíření náhodné veličiny kolem jejího matematického očekávání.

Očekávání diskrétní náhodné veličiny

Přistupme ke konceptu matematického očekávání, nejprve založeného na mechanické interpretaci rozdělení diskrétní náhodné veličiny. Nechť je jednotková hmotnost rozdělena mezi body osy x X1 , X 2 , ..., X n a každý hmotný bod má odpovídající hmotnost p1 , p 2 , ..., p n. Je třeba vybrat jeden bod na ose x, charakterizující polohu celého systému hmotných bodů s přihlédnutím k jejich hmotám. Je přirozené brát jako takový bod těžiště soustavy hmotných bodů. Toto je vážený průměr náhodné veličiny X, ke kterému úsečka každého bodu Xi vstupuje s „váhou“ rovnou odpovídající pravděpodobnosti. Takto získaná průměrná hodnota náhodné veličiny X se nazývá jeho matematické očekávání.

Matematické očekávání diskrétní náhodné veličiny je součtem součinů všech jejích možných hodnot a pravděpodobností těchto hodnot:

Příklad 1 Byla uspořádána loterie win-win. Existuje 1000 výher, z nichž 400 je 10 rublů. 300 - 20 rublů každý. 200 - 100 rublů každý. a 100 - 200 rublů každý. Co průměrná velikost výhry pro ty, kteří si koupili jeden tiket?

Řešení. Průměrné výhry zjistíme, jestli Celková částka výhry, což se rovná 10*400 + 20*300 + 100*200 + 200*100 = 50 000 rublů, děleno 1000 (celková částka výher). Pak dostaneme 50 000/1 000 = 50 rublů. Ale výraz pro výpočet průměrných výher může být uveden v následující podobě:

Na druhou stranu v těchto podmínkách je výherní velikost náhodná proměnná, která může nabývat hodnot 10, 20, 100 a 200 rublů. s pravděpodobnostmi rovnou 0,4; 0,3; 0,2; 0,1. Proto očekávaná průměrná výplata rovnající se součtu produkty velikosti výher a pravděpodobnosti jejich obdržení.

Příklad 2 Nakladatelství se rozhodlo vydat novou knihu. Knihu plánuje prodat za 280 rublů, z nichž on sám dostane 200, 50 - knihkupectví a 30 - autor. Tabulka poskytuje informace o nákladech na vydání knihy a pravděpodobnosti prodeje určitého počtu výtisků knihy.

Najděte očekávaný zisk vydavatele.

Řešení. Náhodná veličina „zisk“ se rovná rozdílu mezi příjmy z prodeje a náklady na výdaje. Pokud se například prodá 500 kopií knihy, pak příjem z prodeje je 200 * 500 = 100 000 a náklady na publikaci jsou 225 000 rublů. Vydavatel tak čelí ztrátě 125 000 rublů. Následující tabulka shrnuje očekávané hodnoty náhodné veličiny – zisk:

Číslo	Zisk Xi	Pravděpodobnost pi	Xi p i
500	-125000	0,20	-25000
1000	-50000	0,40	-20000
2000	100000	0,25	25000
3000	250000	0,10	25000
4000	400000	0,05	20000
Celkový:		1,00	25000

Tak dostáváme očekávaná hodnota zisky vydavatele:

.

Příklad 3 Pravděpodobnost zásahu jednou ranou p= 0,2. Určete spotřebu projektilů, které poskytují matematický odhad počtu zásahů rovný 5.

Řešení. Ze stejného matematického vzorce očekávání, který jsme dosud používali, vyjadřujeme X- spotřeba skořápky:

.

Příklad 4. Určete matematické očekávání náhodné veličiny X počet zásahů při třech výstřelech, pokud je pravděpodobnost zásahu při každém výstřelu p = 0,4 .

Tip: najděte pravděpodobnost hodnot náhodných proměnných podle Bernoulliho vzorec .

Vlastnosti matematického očekávání

Uvažujme o vlastnostech matematického očekávání.

Nemovitost 1. Matematické očekávání konstantní hodnoty se rovná této konstantě:

Nemovitost 2. Konstantní faktor lze vyjmout z matematického znaku očekávání:

Nemovitost 3. Matematické očekávání součtu (rozdílu) náhodných veličin se rovná součtu (rozdílu) jejich matematických očekávání:

Nemovitost 4. Matematické očekávání součinu náhodných veličin se rovná součinu jejich matematických očekávání:

Nemovitost 5. Pokud jsou všechny hodnoty náhodné proměnné X snížit (zvětšit) o ​​stejné číslo S, pak se jeho matematické očekávání sníží (zvýší) o stejné číslo:

Když se nemůžete omezit pouze na matematická očekávání

Ve většině případů pouze matematické očekávání nemůže dostatečně charakterizovat náhodnou veličinu.

Nechť náhodné proměnné X A Y jsou dány následujícími distribučními zákony:

Význam X	Pravděpodobnost
-0,1	0,1
-0,01	0,2
0	0,4
0,01	0,2
0,1	0,1

Význam Y	Pravděpodobnost
-20	0,3
-10	0,1
0	0,2
10	0,1
20	0,3

Matematická očekávání těchto veličin jsou stejná – rovna nule:

Jejich distribuce se však liší. Náhodná hodnota X může nabývat pouze hodnot, které se jen málo liší od matematického očekávání a náhodné proměnné Y může nabývat hodnot, které se výrazně odchylují od matematického očekávání. Podobný příklad: průměrná mzda neumožňuje soudit specifická gravitace vysoce a málo placené pracovníky. Jinými slovy, z matematického očekávání nelze soudit, jaké odchylky od něj, alespoň v průměru, jsou možné. Chcete-li to provést, musíte najít rozptyl náhodné proměnné.

Rozptyl diskrétní náhodné veličiny

Rozptyl diskrétní náhodná veličina X se nazývá matematické očekávání druhé mocniny jeho odchylky od matematického očekávání:

Směrodatná odchylka náhodné veličiny X aritmetická hodnota druhé odmocniny jejího rozptylu se nazývá:

.

Příklad 5. Vypočítejte rozptyly a směrodatné odchylky náhodných veličin X A Y, jehož distribuční zákony jsou uvedeny v tabulkách výše.

Řešení. Matematická očekávání náhodných veličin X A Y, jak bylo zjištěno výše, se rovnají nule. Podle disperzního vzorce at E(X)=E(y)=0 dostaneme:

Pak směrodatné odchylky náhodných veličin X A Y makeup

.

Tedy při stejných matematických očekáváních rozptyl náhodné veličiny X velmi malá, ale náhodná proměnná Y- významný. Je to důsledek rozdílů v jejich distribuci.

Příklad 6. Investor má 4 alternativní investiční projekty. Tabulka shrnuje očekávaný zisk v těchto projektech s odpovídající pravděpodobností.

Projekt 1	Projekt 2	Projekt 3	Projekt 4
500, P=1	1000, P=0,5	500, P=0,5	500, P=0,5
	0, P=0,5	1000, P=0,25	10500, P=0,25
		0, P=0,25	9500, P=0,25

Najděte matematické očekávání, rozptyl a směrodatnou odchylku pro každou alternativu.

Řešení. Ukážeme si, jak se tyto hodnoty počítají pro 3. alternativu:

Tabulka shrnuje nalezené hodnoty pro všechny alternativy.

Všechny alternativy mají stejná matematická očekávání. To znamená, že dlouhodobě mají všichni stejný příjem. Směrodatnou odchylku lze interpretovat jako míru rizika – čím vyšší je, tím větší je riziko investice. Investor, který nechce příliš riskovat, si vybere projekt 1, protože má nejmenší směrodatnou odchylku (0). Pokud investor preferuje riziko a vysoké výnosy v krátkém období, vybere si projekt s největší standardní odchylka- projekt 4.

Disperzní vlastnosti

Uveďme si vlastnosti disperze.

Nemovitost 1. Rozptyl konstantní hodnoty je nula:

Nemovitost 2. Konstantní faktor lze vyjmout ze znaménka disperze jeho umocněním:

.

Nemovitost 3. Rozptyl náhodné veličiny se rovná matematickému očekávání druhé mocniny této hodnoty, od které se odečte druhá mocnina matematického očekávání samotné hodnoty:

,

Kde .

Nemovitost 4. Rozptyl součtu (rozdílu) náhodných veličin se rovná součtu (rozdílu) jejich rozptylů:

Příklad 7. Je známo, že diskrétní náhodná veličina X nabývá pouze dvou hodnot: −3 a 7. Navíc je známo matematické očekávání: E(X) = 4. Najděte rozptyl diskrétní náhodné veličiny.

Řešení. Označme podle p pravděpodobnost, s jakou náhodná veličina nabývá hodnoty X1 = −3 . Pak pravděpodobnost hodnoty X2 = 7 bude 1 − p. Odvoďme rovnici pro matematické očekávání:

E(X) = X 1 p + X 2 (1 − p) = −3p + 7(1 − p) = 4 ,

kde získáme pravděpodobnost: p= 0,3 a 1 - p = 0,7 .

Zákon rozdělení náhodné veličiny:

X	−3	7
p	0,3	0,7

Rozptyl této náhodné veličiny vypočítáme pomocí vzorce z vlastnosti 3 disperze:

D(X) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .

Najděte matematické očekávání náhodné proměnné sami a pak se podívejte na řešení

Příklad 8. Diskrétní náhodná veličina X má pouze dvě hodnoty. Přijímá větší z hodnot 3 s pravděpodobností 0,4. Navíc je znám rozptyl náhodné veličiny D(X) = 6. Najděte matematické očekávání náhodné veličiny.

Příklad 9. V urně je 6 bílých a 4 černé koule. Z urny se losují 3 míčky. Počet bílých kuliček mezi vytaženými koulemi je diskrétní náhodná veličina X. Najděte matematické očekávání a rozptyl této náhodné veličiny.

Řešení. Náhodná hodnota X může nabývat hodnot 0, 1, 2, 3. Odpovídající pravděpodobnosti lze vypočítat pravidlo násobení pravděpodobnosti. Zákon rozdělení náhodné veličiny:

X	0	1	2	3
p	1/30	3/10	1/2	1/6

Odtud matematické očekávání této náhodné veličiny:

M(X) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .

Rozptyl dané náhodné veličiny je:

D(X) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .

Očekávání a rozptyl spojité náhodné veličiny

Pro spojitou náhodnou veličinu si mechanická interpretace matematického očekávání zachová stejný význam: těžiště pro jednotkovou hmotu rozloženou spojitě na ose x s hustotou F(X). Na rozdíl od diskrétní náhodné proměnné, jejíž argument funkce Xi mění se náhle, u spojité náhodné veličiny se argument mění plynule. Ale s její průměrnou hodnotou souvisí i matematické očekávání spojité náhodné veličiny.

Chcete-li najít matematické očekávání a rozptyl spojité náhodné veličiny, musíte najít určité integrály . Pokud je dána funkce hustoty spojité náhodné veličiny, pak přímo vstupuje do integrandu. Pokud je dána funkce rozdělení pravděpodobnosti, pak jejím derivováním musíte najít funkci hustoty.

Aritmetický průměr všech možných hodnot spojité náhodné veličiny se nazývá její matematické očekávání, označené nebo .

Řešení.

Jako měřítko rozptylu hodnot náhodných proměnných používáme disperze

Disperze (slovo disperze znamená „rozptyl“) je míra rozptylu hodnot náhodných veličin vzhledem k jeho matematickému očekávání. Disperze je matematické očekávání druhé mocniny odchylky náhodné proměnné od jejího matematického očekávání.

Pokud je náhodná proměnná diskrétní s nekonečnou, ale spočetnou množinou hodnot, pak

pokud řada na pravé straně rovnosti konverguje.

Vlastnosti disperze.

• 1. Rozptyl konstantní hodnoty je nulový
• 2. Rozptyl součtu náhodných veličin je roven součtu rozptylů
• 3. Konstantní faktor lze vyjmout ze znaménka druhé mocniny disperze

Rozptyl rozdílu náhodných veličin je roven součtu rozptylů

Tato vlastnost je důsledkem druhé a třetí vlastnosti. Odchylky se mohou pouze sčítat.

Je vhodné vypočítat disperzi pomocí vzorce, který lze snadno získat pomocí vlastností disperze

Rozptyl je vždy pozitivní.

Rozptyl má dimenzečtvercový rozměr samotné náhodné veličiny, což není vždy vhodné. Proto množství

Standardní odchylka(směrodatná odchylka nebo standard) náhodné veličiny je aritmetická hodnota druhé odmocniny jejího rozptylu

Hoďte dvě mince v nominálních hodnotách 2 a 5 rublů. Pokud mince padne jako erb, je uděleno nula bodů, a pokud dopadne jako číslo, pak počet bodů rovný nominální hodnotě mince. Najděte matematické očekávání a rozptyl počtu bodů.

Řešení. Najdeme nejprve rozdělení náhodné veličiny X - počet bodů. Všechny kombinace - (2;5),(2;0),(0;5),(0;0) - jsou stejně pravděpodobné a distribuční zákon je:

Očekávaná hodnota:

Rozptyl zjistíme pomocí vzorce

proč počítáme

Příklad 2

Najděte neznámou pravděpodobnost R, matematické očekávání a rozptyl diskrétní náhodné veličiny, daný stůl rozdělení pravděpodobnosti

Najdeme matematické očekávání a rozptyl:

M(X) = 00,0081 + 10,0756 + 20,2646 + 3 0,4116 + +40,2401=2,8

Pro výpočet disperze použijeme vzorec (19.4)

D(X) = 020 ,0081 + 120,0756 + 220,2646 + 320,4116 + 420,2401 - 2,82 = 8,68 -

Příklad 3 Dva stejně silní sportovci pořádají turnaj, který trvá buď do prvního vítězství jednoho z nich, nebo do odehrání pěti her. Pravděpodobnost výhry jedné hry pro každého ze sportovců je 0,3 a pravděpodobnost remízy je 0,4. Najděte distribuční zákon, matematické očekávání a rozptyl počtu odehraných her.

Řešení. Náhodná hodnota X- počet odehraných her nabývá hodnot od 1 do 5, tzn.

Pojďme určit pravděpodobnosti ukončení zápasu. Zápas skončí v prvním setu, pokud některý z jejich sportovců vyhraje. Pravděpodobnost výhry je

R(1) = 0,3+0,3 =0,6.

Pokud došlo k remíze (pravděpodobnost remízy je 1 - 0,6 = 0,4), zápas pokračuje. Zápas skončí ve druhé hře, pokud první byla remíza a někdo vyhrál druhou. Pravděpodobnost

R(2) = 0,4 0,6=0,24.

Stejně tak zápas skončí ve třetí hře, pokud byly dvě remízy v řadě a opět někdo vyhrál

R(3) = 0,4 0,4 0,6 = 0,096. R(4)= 0,4 0,4 0,4 0,6=0,0384.

Pátá hra je poslední v jakékoli verzi.

R(5)= 1 - (R(1)+R(2)+R(3)+R(4)) = 0,0256.

Dáme vše do tabulky. Distribuční zákon náhodné veličiny „počet vyhraných her“ má tvar

Očekávaná hodnota

Rozptyl vypočítáme pomocí vzorce (19.4)

Standardní diskrétní distribuce.

Binomické rozdělení. Nechte implementovat Bernoulliho experimentální schéma: n identické nezávislé experimenty, v každém z nich event A se může objevit s konstantní pravděpodobností p a neobjeví se s pravděpodobností

(viz přednáška 18).

Počet výskytů události A v těchto n experimentů existuje diskrétní náhodná veličina X, jehož možné hodnoty jsou:

0; 1; 2; ... ;m; ... ; n.

Pravděpodobnost výskytu m události A v určité řadě n experimenty a distribuční zákon takové náhodné veličiny je dán Bernoulliho vzorcem (viz přednáška 18)

Numerické charakteristiky náhodné veličiny X rozděleno podle binomického zákona:

Li n je skvělé (), pak, když, vzorec (19.6) přejde do vzorce

a tabelovaná Gaussova funkce (tabulka hodnot Gaussovy funkce je uvedena na konci přednášky 18).

V praxi často není důležitá samotná pravděpodobnost výskytu. m Události A v konkrétní sérii od n experimenty a pravděpodobnost, že událost A neobjeví se nic méně

krát a ne více než krát, tj. pravděpodobnost, že X nabývá hodnot

K tomu musíme sečíst pravděpodobnosti

Li n je skvělé (), pak, když se vzorec (19.9) změní na přibližný vzorec

tabelovaná funkce. Tabulky jsou uvedeny na konci přednášky 18.

Při používání tabulek je potřeba s tím počítat

Příklad 1. Auto, které se blíží ke křižovatce, může pokračovat v pohybu po kterékoli ze tří silnic: A, B nebo C se stejnou pravděpodobností. Ke křižovatce přijíždí pět aut. Najděte průměrný počet aut, která pojedou po silnici A, a pravděpodobnost, že po silnici B pojedou tři auta.

Řešení. Počet aut projíždějících na každé silnici je náhodná veličina. Pokud předpokládáme, že všechna auta přijíždějící ke křižovatce jedou nezávisle na sobě, pak je tato náhodná veličina rozdělena podle binomického zákona s

n= 5 a p = .

Průměrný počet aut, která pojedou po silnici A, je tedy podle vzorce (19.7)

a požadovaná pravděpodobnost při

Příklad 2 Pravděpodobnost selhání zařízení během každého testu je 0,1. Je provedeno 60 testů zařízení. Jaká je pravděpodobnost, že dojde k poruše zařízení: a) 15krát; b) ne více než 15krát?

A. Protože počet testů je 60, použijeme vzorec (19.8)

Podle tabulky 1 přílohy k přednášce 18 nalézáme

b. Použijeme vzorec (19.10).

Podle tabulky 2 přílohy k přednášce 18

• - 0,495
• 0,49995

Poissonovo rozdělení) zákon vzácných událostí). Li n velký a R málo () a produkt atd zachovává konstantní hodnotu, kterou označíme l,

pak se vzorec (19.6) stane Poissonovým vzorcem

Poissonův distribuční zákon má tvar:

Je zřejmé, že definice Poissonova zákona je správná, protože hlavní vlastnost distribuční série

Hotovo, protože součet série

Sériové rozšíření funkce at

Teorém. Matematické očekávání a rozptyl náhodné veličiny rozdělené podle Poissonova zákona se shodují a rovnají se parametru tohoto zákona, tzn.

Důkaz.

Příklad. K propagaci svých výrobků na trhu společnost umísťuje letáky do poštovních schránek. Dosavadní zkušenosti ukazují, že přibližně v jednom případě z 2 000 následuje objednávka. Najděte pravděpodobnost, že při zadání 10 000 inzerátů dorazí alespoň jedna objednávka, průměrný počet přijatých objednávek a rozptyl počtu přijatých objednávek.

Řešení. Tady

Pravděpodobnost, že dorazí alespoň jedna objednávka, zjistíme pomocí pravděpodobnosti opačná událost, tj.

Náhodný tok událostí. Proud událostí je sled událostí, které se vyskytují v náhodných časech. Typické příklady toky jsou poruchy v počítačových sítích, hovory na telefonních ústřednách, tok požadavků na opravu zařízení atp.

Tok události se nazývá stacionární, jestliže pravděpodobnost určitého počtu událostí spadajících do časového intervalu délky závisí pouze na délce intervalu a nezávisí na umístění časového intervalu na časové ose.

Podmínka stacionarity je splněna tokem požadavků, jejichž pravděpodobnostní charakteristiky nezávisí na čase. Stacionární tok je zejména charakterizován konstantní hustotou (průměrný počet požadavků za jednotku času). V praxi často dochází k tokům žádostí, které (alespoň po omezenou dobu) lze považovat za stacionární. Za pevnou linku lze například považovat tok hovorů na městské telefonní ústředně v časovém úseku od 12 do 13 hodin. Stejný tok v průběhu celého dne již nelze považovat za stacionární (v noci je hustota hovorů výrazně menší než ve dne).

Tok události se nazývá proud bez následného účinku, pokud pro žádná nepřekrývající se časová období počet událostí připadajících na jeden z nich nezávisí na počtu událostí připadajících na ostatní.

Podmínka nepřítomnosti následného efektu – nejpodstatnější pro nejjednodušší tok – znamená, že aplikace vstupují do systému nezávisle na sobě. Například proud cestujících vstupující do stanice metra lze považovat za proud bez následků, protože důvody, které určovaly příchod jednotlivého cestujícího v jeden konkrétní okamžik a nikoli jiný, zpravidla nesouvisí s podobnými důvody pro ostatní cestující. . Podmínka bez následků však může být snadno porušena kvůli výskytu takové závislosti. Například tok cestujících opouštějících stanici metra již nelze považovat za tok bez následného účinku, protože okamžiky výstupu cestujících přijíždějících stejným vlakem jsou na sobě závislé.

Tok události se nazývá obyčejný, je-li pravděpodobnost výskytu dvou nebo více událostí v krátkém časovém intervalu t zanedbatelná ve srovnání s pravděpodobností jedné události (v tomto ohledu se Poissonův zákon nazývá zákon vzácných událostí).

Podmínka obyčejnosti znamená, že objednávky přicházejí jednotlivě, nikoli ve dvojicích, trojicích atd. odchylka rozptylu Bernoulliho rozdělení

Například proud zákazníků vstupujících do kadeřnického salonu lze považovat za téměř běžný. Jestliže při mimořádném toku přijdou aplikace pouze ve dvojicích, pouze v trojicích atd., pak lze mimořádný tok snadno zredukovat na obyčejný; K tomu stačí uvažovat místo proudu jednotlivých požadavků proud párů, trojic atd. Obtížnější bude, pokud se každý požadavek může náhodně ukázat jako dvojitý, trojitý atd. Pak musíte zabývat se proudem ne homogenních, ale heterogenních událostí.

Pokud má proud událostí všechny tři vlastnosti (tj. stacionární, obyčejný a nemá žádný následný efekt), nazývá se jednoduchý (neboli stacionární Poissonův) proud. Název "Poisson" je způsoben skutečností, že pokud jsou splněny uvedené podmínky, počet událostí spadajících do libovolného pevného časového intervalu bude rozdělen na Poissonův zákon

Zde je průměrný počet událostí A, objevující se za jednotku času.

Tento zákon je jednoparametrový, tzn. k jeho nastavení potřebujete znát pouze jeden parametr. Lze ukázat, že očekávání a rozptyl v Poissonově zákoně jsou číselně stejné:

Příklad. Řekněme, že uprostřed pracovního dne je průměrný počet požadavků 2 za sekundu. Jaká je pravděpodobnost, že 1) během sekundy nebudou přijaty žádné žádosti, 2) do dvou sekund dorazí 10 žádostí?

Řešení. Protože platnost aplikace Poissonova zákona je nepochybná a jeho parametr je daný (= 2), je řešení úlohy redukováno na aplikaci Poissonova vzorce (19.11)

1) t = 1, m = 0:

2) t = 2, m = 10:

Zákon vysoká čísla. Matematickým základem skutečnosti, že hodnoty náhodné proměnné se shlukují kolem nějakých konstantních hodnot, je zákon velkých čísel.

Historicky první formulací zákona velkých čísel byla Bernoulliho věta:

„S neomezeným nárůstem počtu identických a nezávislých experimentů n frekvence výskytu události A konverguje v pravděpodobnosti k její pravděpodobnosti,“ tzn.

kde je frekvence výskytu události A v n experimentech,

Výraz (19.10) v podstatě znamená, že při velkém počtu experimentů se četnost výskytu události A může nahradit neznámou pravděpodobnost této události a čím větší počet provedených experimentů, tím blíže p* k p. Zajímavý historický fakt. K. Pearson si hodil mincí 12 000krát a jeho erb se objevil 6 019krát (frekvence 0,5016). Při 24 000 vhození stejné mince dostal 12 012 erbů, tzn. frekvence 0,5005.

Nejdůležitější formou zákona velkých čísel je Čebyševova věta: s neomezeným nárůstem počtu nezávislých experimentů s konečným rozptylem a provedených za stejných podmínek aritmetický průměr pozorovaných hodnot náhodné veličiny konverguje v pravděpodobnosti svému matematickému očekávání. V analytické formě lze tento teorém napsat takto:

Čebyševova věta má kromě zásadního teoretického významu i důležité praktické aplikace, například v teorii měření. Po provedení n měření určité veličiny X, získat různé neodpovídající hodnoty X 1, X 2, ..., xn. Pro přibližnou hodnotu měřené veličiny X vezměte aritmetický průměr pozorovaných hodnot

přičemž Čím více experimentů se provede, tím přesnější bude výsledek. Faktem je, že rozptyl množství klesá s nárůstem počtu provedených experimentů, protože

D(X 1) = D(X 2)=…= D(xn) D(X) , Že

Vztah (19.13) ukazuje, že i při vysoké nepřesnosti měřicích přístrojů (velká hodnota) lze zvýšením počtu měření získat výsledek s libovolně vysokou přesností.

Pomocí vzorce (19.10) můžete zjistit pravděpodobnost, že se statistická četnost odchyluje od pravděpodobnosti maximálně o více než

Příklad. Pravděpodobnost události v každém pokusu je 0,4. Kolik testů musíte provést, abyste s pravděpodobností ne menší než 0,8 očekávali, že se relativní četnost události bude odchylovat od pravděpodobnosti v absolutní hodnotě o méně než 0,01?

Řešení. Podle vzorce (19.14)

tedy podle tabulky existují dvě aplikace

proto, n 3932.

V předchozím jsme si představili řadu vzorců, které nám umožňují najít číselné charakteristiky funkcí, když jsou známy zákony rozdělení argumentů. K nalezení číselných charakteristik funkcí však v mnoha případech není nutné ani znát zákony rozdělení argumentů, ale stačí znát pouze některé jejich číselné charakteristiky; zároveň se obecně obejdeme bez jakýchkoli zákonů distribuce. Určování číselných charakteristik funkcí z daných číselných charakteristik argumentů je v teorii pravděpodobnosti široce používáno a může výrazně zjednodušit řešení řady problémů. Většina těchto zjednodušených metod se týká lineárních funkcí; podobný přístup však umožňují i ​​některé elementární nelineární funkce.

V současnosti uvedeme řadu vět o numerických charakteristikách funkcí, které dohromady představují velmi jednoduchý aparát pro výpočet těchto charakteristik, použitelný v široké škále podmínek.

1. Matematické očekávání nenáhodné hodnoty

Formulovaná vlastnost je zcela zřejmá; lze to dokázat tím, že nenáhodnou proměnnou považujeme za speciální typ náhodné, s jedničkou možný význam s pravděpodobností jedna; pak podle obecného vzorce pro matematické očekávání:

.

2. Rozptyl nenáhodné veličiny

Pokud je nenáhodná hodnota, pak

3. Dosazení nenáhodné hodnoty za znaménko matematického očekávání

, (10.2.1)

to znamená, že nenáhodná hodnota může být vyjmuta jako znak matematického očekávání.

Důkaz.

a) Pro nespojité veličiny

b) Pro spojité veličiny

.

4. Dosazení nenáhodné hodnoty za znaménko disperze a směrodatnou odchylku

Jestliže je nenáhodná veličina a je náhodná, pak

, (10.2.2)

to znamená, že nenáhodná hodnota může být odebrána ze znaménka rozptylu jeho umocněním.

Důkaz. Podle definice rozptylu

Následek

,

to znamená, že nenáhodná hodnota může být vyňata ze znaménka směrodatné odchylky její absolutní hodnotou. Důkaz získáme tak, že vezmeme druhou odmocninu ze vzorce (10.2.2) a vezmeme v úvahu, že r.s.o. - výrazně kladná hodnota.

5. Matematické očekávání součtu náhodných veličin

Dokažme, že pro libovolné dvě náhodné veličiny a

to znamená, že matematické očekávání součtu dvou náhodných proměnných se rovná součtu jejich matematických očekávání.

Tato vlastnost je známá jako teorém sčítání matematických očekávání.

Důkaz.

a) Nechť je systém nespojitých náhodných veličin. Aplikujte na součet náhodných proměnných obecný vzorec(10.1.6) pro matematické očekávání funkce dvou argumentů:

.

Ho nepředstavuje nic jiného než celkovou pravděpodobnost, že veličina nabude hodnoty:

;

proto,

.

Podobně to prokážeme

,

a věta je dokázána.

b) Nechť je soustava spojitých náhodných veličin. Podle vzorce (10.1.7)

. (10.2.4)

Transformujme první z integrálů (10.2.4):

;

podobně

,

a věta je dokázána.

Je třeba zvláště poznamenat, že teorém pro přidání matematických očekávání je platný pro jakékoli náhodné proměnné - závislé i nezávislé.

Věta pro přidání matematických očekávání je zobecněna na libovolný počet termínů:

, (10.2.5)

to znamená, že matematické očekávání součtu několika náhodných proměnných se rovná součtu jejich matematických očekávání.

K prokázání stačí použít metodu úplné indukce.

6. Matematické očekávání lineární funkce

Zvažte lineární funkci několika náhodných argumentů:

kde jsou nenáhodné koeficienty. Pojďme to dokázat

, (10.2.6)

tj. matematické očekávání lineární funkce se rovná stejné lineární funkci matematických očekávání argumentů.

Důkaz. Pomocí věty o sčítání m.o. a pravidlem umístění nenáhodného množství mimo znak m.o., získáme:

.

7. Dispeptento součet náhodných proměnných

Rozptyl součtu dvou náhodných proměnných se rovná součtu jejich rozptylů plus dvojnásobek korelačního momentu:

Důkaz. Označme

Podle věty o sčítání matematických očekávání

Přejděme od náhodných proměnných k odpovídajícím centrovaným proměnným. Odečtením rovnosti (10.2.9) člen po členu od rovnosti (10.2.8) máme:

Podle definice rozptylu

Q.E.D.

Vzorec (10.2.7) pro rozptyl součtu lze zobecnit na libovolný počet členů:

, (10.2.10)

kde je korelační moment veličin, znaménko pod součtem znamená, že sumace se vztahuje na všechny možné párové kombinace náhodných veličin .

Důkaz je podobný předchozímu a vyplývá ze vzorce pro druhou mocninu polynomu.

Vzorec (10.2.10) lze napsat v jiném tvaru:

, (10.2.11)

kde dvojitý součet zasahuje do všech prvků korelační matice soustavy veličin , obsahující jak korelační momenty, tak rozptyly.

Pokud všechny náhodné veličiny , zahrnuté v systému, jsou nekorelované (tj. když ), vzorec (10.2.10) má tvar:

, (10.2.12)

to znamená, že rozptyl součtu nekorelovaných náhodných proměnných se rovná součtu rozptylů členů.

Tato pozice je známá jako teorém sčítání rozptylů.

8. Rozptyl lineární funkce

Uvažujme lineární funkci několika náhodných veličin.

kde jsou nenáhodné veličiny.

Dokažme, že disperzi této lineární funkce vyjadřuje vzorec

, (10.2.13)

kde je korelační moment veličin , .

Důkaz. Představme si notaci:

. (10.2.14)

Aplikováním vzorce (10.2.10) pro rozptyl součtu na pravou stranu výrazu (10.2.14) a s přihlédnutím k tomu dostaneme:

kde je korelační moment množství:

.

Spočítejme si tento okamžik. My máme:

;

podobně

Dosazením tohoto výrazu do (10.2.15) dostaneme vzorec (10.2.13).

Ve zvláštním případě, kdy všechna množství jsou nekorelované, vzorec (10.2.13) má tvar:

, (10.2.16)

to znamená, že rozptyl lineární funkce nekorelovaných náhodných proměnných se rovná součtu součinů čtverců koeficientů a rozptylů odpovídajících argumentů.

9. Matematické očekávání součinu náhodných veličin

Matematické očekávání součinu dvou náhodných veličin se rovná součinu jejich matematických očekávání plus korelační moment:

Důkaz. Vyjdeme z definice korelačního momentu:

Transformujme tento výraz pomocí vlastností matematického očekávání:

což je zjevně ekvivalentní vzorci (10.2.17).

Jsou-li náhodné proměnné nekorelované, má vzorec (10.2.17) tvar:

to znamená, že matematické očekávání součinu dvou nekorelovaných náhodných proměnných se rovná součinu jejich matematických očekávání.

Tato pozice je známá jako teorém násobení matematických očekávání.

Vzorec (10.2.17) není nic jiného než vyjádření druhého smíšeného centrálního momentu systému přes druhý smíšený počáteční okamžik a matematická očekávání:

. (10.2.19)

Tento výraz se v praxi často používá při výpočtu korelačního momentu stejným způsobem, jako se pro jednu náhodnou veličinu často počítá rozptyl přes druhý počáteční moment a matematické očekávání.

Věta o násobení matematických očekávání je zobecněna na libovolný počet faktorů, pouze v tomto případě pro její aplikaci nestačí, aby veličiny byly nekorelované, ale vyžaduje se, aby některé vyšší smíšené momenty, jejichž počet závisí na počtu termínů v produktu zmizí. Tyto podmínky jsou jistě splněny, pokud jsou náhodné veličiny obsažené v součinu nezávislé. V tomto případě

, (10.2.20)

to znamená, že matematické očekávání součinu nezávislých náhodných veličin se rovná součinu jejich matematických očekávání.

Tento návrh lze snadno dokázat úplnou indukcí.

10. Rozptyl součinu nezávislých náhodných veličin

Dokažme to pro nezávislé veličiny

Důkaz. Označme . Podle definice rozptylu

Protože množství jsou nezávislá, a

Když jsou nezávislé, jsou také nezávislé veličiny; proto,

,

Ale není nic jiného než druhý počáteční moment velikosti, a proto je vyjádřen disperzí:

;

podobně

.

Dosazením těchto výrazů do vzorce (10.2.22) a uvedením podobných členů se dostaneme ke vzorci (10.2.21).

V případě, že se násobí centrované náhodné proměnné (proměnné s matematickým očekáváním rovným nule), vzorec (10.2.21) má tvar:

, (10.2.23)

to znamená, že rozptyl součinu nezávislých centrovaných náhodných proměnných se rovná součinu jejich rozptylů.

11. Vyšší momenty součtu náhodných veličin

V některých případech je nutné vypočítat nejvyšší momenty součtu nezávislých náhodných veličin. Ukažme některé vztahy související zde.

1) Pokud jsou veličiny nezávislé, pak

Důkaz.

odkud podle věty o násobení matematických očekávání

Ale první centrální moment pro jakoukoli veličinu je nula; dva střední členy zmizí a vzorec (10.2.24) je dokázán.

Vztah (10.2.24) lze snadno zobecnit indukcí na libovolný počet nezávislých členů:

. (10.2.25)

2) Čtvrtý centrální moment součtu dvou nezávislých náhodných veličin je vyjádřen vzorcem

kde jsou rozptyly množství a .

Důkaz je zcela podobný předchozímu.

Metodou úplné indukce lze snadno dokázat zobecnění vzorce (10.2.26) na libovolný počet nezávislých členů.