Přímé počítání případů ve prospěch dané události může být obtížné. Pro určení pravděpodobnosti nějaké události tedy může být výhodné představit si tuto událost jako kombinaci nějakých jiných, jednodušších událostí. V tomto případě však musíte znát pravidla, kterými se řídí pravděpodobnosti v kombinacích událostí. Právě k těmto pravidlům se vztahují věty uvedené v nadpisu odstavce.

První z nich se týká výpočtu pravděpodobnosti, že nastane alespoň jedna z několika událostí.

Sčítací teorém.

Nechť A a B jsou dvě neslučitelné události. Pak pravděpodobnost, že alespoň jedna z těchto dvou událostí nastane, se rovná součtu jejich pravděpodobností:

Důkaz. Nechť je kompletní skupina párově nekompatibilních událostí. Jestliže pak mezi těmito elementárními událostmi existují přesně události příznivé pro A a přesně události příznivé pro B. Protože události A a B jsou neslučitelné, pak žádná událost nemůže podporovat obě tyto události. Událost (A nebo B), sestávající z výskytu alespoň jedné z těchto dvou událostí, je zjevně zvýhodněna jak každou z událostí ve prospěch A, tak každou z událostí.

Příznivý B. Celkový počet příznivých událostí (A nebo B) se tedy rovná součtu, který následuje:

Q.E.D.

Je snadné vidět, že výše formulovaný teorém sčítání pro případ dvou událostí lze snadno přenést na případ libovolného konečného počtu z nich. Přesněji, pokud existují párově nekompatibilní události, pak

Pro případ tří událostí lze například napsat

Důležitým důsledkem věty o sčítání je tvrzení: jsou-li události párově nekompatibilní a jedinečně možné, pak

Událost buď nebo nebo je totiž předpokladem jistá a její pravděpodobnost, jak je uvedeno v § 1, je rovna jedné. Zejména pokud znamenají dvě vzájemně opačné události, pak

Ilustrujme si větu o sčítání na příkladech.

Příklad 1. Při střelbě na terč je pravděpodobnost vynikajícího výstřelu 0,3 a pravděpodobnost „dobré“ střely 0,4. Jaká je pravděpodobnost získání skóre alespoň „dobré“ za ránu?

Řešení. Pokud událost A znamená získání hodnocení „vynikající“ a událost B znamená získání hodnocení „dobré“, pak

Příklad 2. V urně obsahující bílé, červené a černé koule jsou bílé koule a I červené koule. Jaká je pravděpodobnost vytažení míče, který není černý?

Řešení. Pokud se událost A skládá z bílé koule a událost B se skládá z červené koule, pak vzhled koule není černý.

znamená vzhled buď bílé nebo červené koule. Protože podle definice pravděpodobnosti

pak podle věty o sčítání je pravděpodobnost, že se objeví nečerná koule, rovna;

Tento problém lze vyřešit tímto způsobem. Nechť událost C spočívá ve vzhledu černé koule. Počet černých kuliček je stejný, takže P (C) Vzhled nečerné koule je opačnou událostí než C, proto na základě výše uvedeného důsledku z věty o sčítání máme:

jako dříve.

Příklad 3. V hotovostní loterii je za sérii 1000 tiketů 120 hotovostních a 80 věcných výher. Jaká je pravděpodobnost, že něco vyhrajete na jednom losu?

Řešení. Označíme-li A událost sestávající z peněžního zisku a B materiálního zisku, pak z definice pravděpodobnosti vyplývá

Událost, která nás zajímá, je reprezentována (A nebo B), proto vyplývá z věty o sčítání

Pravděpodobnost jakékoli výhry je tedy 0,2.

Než přejdeme k další větě, je nutné se seznámit s novým důležitým pojmem – pojmem podmíněné pravděpodobnosti. Za tímto účelem začneme zvážením následujícího příkladu.

Předpokládejme, že ve skladu je 400 žárovek vyrobených ve dvou různých továrnách a první vyrábí 75 % všech žárovek a druhá 25 %. Předpokládejme, že mezi žárovkami vyrobenými v prvním závodě splňuje podmínky určité normy 83 % a u výrobků druhého závodu je toto procento 63. Určeme pravděpodobnost, že žárovka náhodně odebraná z sklad bude splňovat podmínky normy.

Všimněte si, že celkový počet dostupných standardních žárovek se skládá z žárovek vyrobených první

továrna, a 63 žárovek vyrobených druhým závodem, tedy rovných 312. Protože výběr jakékoli žárovky by měl být považován za stejně možný, máme 312 příznivých případů ze 400, takže

kde událost B je, že námi vybraná žárovka je standardní.

Při tomto výpočtu nebyly učiněny žádné předpoklady o produktu, do které rostliny námi vybraná žárovka patřila. Pokud uděláme nějaké předpoklady tohoto druhu, pak je zřejmé, že pravděpodobnost, která nás zajímá, se může změnit. Pokud je tedy například známo, že vybraná žárovka byla vyrobena v prvním závodě (událost A), pak pravděpodobnost, že je standardní, již nebude 0,78, ale 0,83.

Tento druh pravděpodobnosti, tj. pravděpodobnost události B za předpokladu, že nastane událost A, se nazývá podmíněná pravděpodobnost události B při výskytu události A a označuje se

Pokud v předchozím příkladu označíme A událost, že se vybraná žárovka vyrábí v prvním závodě, pak můžeme napsat

Nyní můžeme formulovat důležitou větu související s výpočtem pravděpodobnosti kombinování událostí.

Věta o násobení.

Pravděpodobnost kombinace událostí A a B se rovná součinu pravděpodobnosti jedné z událostí a podmíněné pravděpodobnosti druhé, za předpokladu, že k první došlo:

V tomto případě kombinace událostí A a B znamená výskyt každého z nich, tedy výskyt události A i události B.

Důkaz. Uvažujme úplnou skupinu stejně možných párově neslučitelných událostí, z nichž každá může být příznivá nebo nepříznivá pro událost A i událost B.

Rozdělme všechny tyto události do čtyř různé skupiny následujícím způsobem. První skupina zahrnuje ty události, které upřednostňují událost A i událost B; Do druhé a třetí skupiny patří ty události, které upřednostňují jednu ze dvou událostí, které nás zajímají, a neupřednostňují druhou, například do druhé skupiny patří ty, které upřednostňují A, ale neupřednostňují B, a třetí skupina zahrnuje ty, které upřednostňovat B, ale neupřednostňovat A; konečně k

Čtvrtá skupina zahrnuje ty události, které neupřednostňují A ani B.

Protože na číslování událostí nezáleží, můžeme předpokládat, že toto rozdělení do čtyř skupin vypadá takto:

Skupina I:

Skupina II:

III skupina:

IV skupina:

Mezi stejně možnými a párově neslučitelnými událostmi tedy existují události, které upřednostňují událost A i událost B, události, které upřednostňují událost A, ale neupřednostňují událost A, události, které upřednostňují B, ale neupřednostňují A, a konečně, události, které neprospívají ani A, ani B.

Poznamenejme, mimochodem, že žádná ze čtyř skupin, které jsme uvažovali (a dokonce více než jedna), nemusí obsahovat jedinou událost. V tomto případě se odpovídající číslo udávající počet událostí v takové skupině bude rovnat nule.

Naše rozdělení do skupin vám umožňuje okamžitě psát

neboť kombinace událostí A a B je zvýhodněna událostmi první skupiny a pouze jimi. Celkový počet událostí ve prospěch A se rovná celkovému počtu událostí v první a druhé skupině a ve prospěch B se rovná celkovému počtu událostí v první a třetí skupině.

Vypočítejme nyní pravděpodobnost, tedy pravděpodobnost události B, za předpokladu, že událost A nastala. Nyní události zahrnuté ve třetí a čtvrté skupině zmizí, protože jejich výskyt by byl v rozporu s výskytem události A a počtem možné případy se již nerovná. Z nich událost B upřednostňují pouze události první skupiny, takže dostáváme:

K prokázání věty nyní stačí napsat zřejmou identitu:

a nahradit všechny tři zlomky pravděpodobnostmi vypočtenými výše. Dostáváme se k rovnosti uvedené ve větě:

Je jasné, že identita, kterou jsme napsali výše, má smysl pouze tehdy, pokud je vždy pravdivá, pokud A není nemožná událost.

Protože události A a B jsou si rovny, jejich záměnou dostaneme další formu věty o násobení:

Tuto rovnost však lze získat stejným způsobem jako předchozí, pokud si všimnete, že pomocí identity

Porovnáním pravých stran dvou výrazů pro pravděpodobnost P(A a B) získáme užitečnou rovnost:

Podívejme se nyní na příklady ilustrující větu o násobení.

Příklad 4. Ve výrobcích určitého podniku je 96 % výrobků považováno za vhodné (událost A). Ukáže se, že 75 výrobků z každé stovky vhodných patří do první třídy (událost B). Určete pravděpodobnost, že náhodně vybraný výrobek bude vhodný a bude patřit do první třídy.

Řešení. Požadovaná pravděpodobnost je pravděpodobnost kombinace událostí A a B. Podle podmínky máme: . Proto dává věta o násobení

Příklad 5. Pravděpodobnost zasažení cíle jednou ranou (událost A) je 0,2. Jaká je pravděpodobnost zásahu cíle, pokud selžou 2 % rozněcovačů (tj. ve 2 % případů výstřel nezasáhne?

Řešení. Nechť událost B je, že dojde k výstřelu, a nechť B znamená opačnou událost. Pak podle podmínky a podle následku věty o sčítání. Dále podle stavu.

Zasažení cíle znamená kombinaci událostí A a B (výstřel vystřelí a zasáhne), proto podle věty o násobení

Důležité speciální případ multiplikační teorémy lze získat pomocí konceptu nezávislosti událostí.

Dvě události se nazývají nezávislé, pokud se pravděpodobnost jedné z nich nemění v důsledku toho, zda nastane nebo nenastane druhá.

Příklady nezávislých událostí jsou výpadek různá čísla body při opětovném házení kostkou nebo jedné či druhé strany mince při opětovném házení mincí, protože je zřejmé, že pravděpodobnost vypadnutí erbu při druhém hodu je stejná bez ohledu na to, zda erb vypadl nebo ne v prvním.

Podobně pravděpodobnost vytažení bílé koule podruhé z urny obsahující bílé a černé koule, pokud je první tažená koule vrácena dříve, nezávisí na tom, zda byla koule tažena poprvé, bílá nebo černá. Proto jsou výsledky prvního a druhého odstranění na sobě nezávislé. Naopak, pokud se míček vytažený jako první nevrátí do urny, pak výsledek druhého odebrání závisí na prvním, protože složení kuliček v urně po prvním odebrání se mění v závislosti na jeho výsledku. Zde máme příklad závislých událostí.

Pomocí notace převzaté pro podmíněné pravděpodobnosti můžeme podmínku nezávislosti událostí A a B zapsat ve tvaru

Pomocí těchto rovností můžeme redukovat větu o násobení pro nezávislé události do následující podoby.

Pokud jsou události A a B nezávislé, pak se pravděpodobnost jejich kombinace rovná součinu pravděpodobností těchto událostí:

Stačí totiž vložit počáteční vyjádření věty o násobení, která vyplývá z nezávislosti událostí, a získáme požadovanou rovnost.

Podívejme se nyní na několik událostí: Budeme je nazývat souhrnně nezávislé, pokud pravděpodobnost výskytu některé z nich nezávisí na tom, zda došlo k nějaké jiné uvažované události či nikoli.

V případě událostí, které jsou kolektivně nezávislé, lze větu o násobení rozšířit na libovolný konečný počet z nich, takže ji lze formulovat následovně:

Pravděpodobnost kombinace nezávislých událostí v souhrnu se rovná součinu pravděpodobností těchto událostí:

Příklad 6. Pracovník obsluhuje tři automatické stroje, z nichž každý musí být osloven, aby odstranil závadu, pokud se stroj zastaví. Pravděpodobnost, že se první stroj do hodiny nezastaví, je 0,9. Stejná pravděpodobnost pro druhý stroj je 0,8 a pro třetí - 0,7. Určete pravděpodobnost, že do hodiny se pracovník nebude muset přiblížit k žádnému ze strojů, které obsluhuje.

Příklad 7. Pravděpodobnost sestřelení letadla výstřelem z pušky Jaká je pravděpodobnost zničení nepřátelského letadla, když je vystřeleno 250 pušek současně?

Řešení. Pravděpodobnost, že letadlo nebude sestřeleno jediným výstřelem, se rovná větě o sčítání. Potom můžeme pomocí věty o násobení vypočítat pravděpodobnost, že letadlo nebude sestřeleno při 250 výstřelech, jako pravděpodobnost kombinace Události. Rovná se Po tomto můžeme opět použít větu o sčítání a najít pravděpodobnost, že letadlo bude sestřeleno, jako pravděpodobnost opačného jevu

Z toho je vidět, že pravděpodobnost sestřelení letadla jediným výstřelem z pušky je sice mizivá, nicméně při střelbě z 250 pušek je pravděpodobnost sestřelení letadla již velmi znatelná. Výrazně se zvyšuje, pokud se zvyšuje počet pušek. Takže při střelbě z 500 pušek je pravděpodobnost sestřelení letadla, jak lze snadno vypočítat, rovna při střelbě z 1000 pušek - dokonce.

Věta o násobení dokázaná výše nám umožňuje poněkud rozšířit větu o sčítání a rozšířit ji na případ kompatibilních událostí. Je jasné, že pokud jsou jevy A a B kompatibilní, pak pravděpodobnost výskytu alespoň jednoho z nich není rovna součtu jejich pravděpodobností. Například pokud událost A znamená sudé číslo

počet bodů při hodu kostkou a událost B je ztráta počtu bodů, který je násobkem tří, pak je událost (A nebo B) zvýhodněna ztrátou 2, 3, 4 a 6 bodů, to je

Na druhou stranu, to je. Takže v tomto případě

Z toho je zřejmé, že v případě kompatibilních událostí je třeba změnit větu o sčítání pravděpodobností. Jak nyní uvidíme, lze jej formulovat tak, že platí pro slučitelné i neslučitelné děje, takže dříve uvažovaná věta o sčítání se ukazuje jako speciální případ té nové.

Události, které nejsou příznivé pro A.

Všechny elementární události, které upřednostňují událost (A nebo B), musí upřednostňovat buď pouze A, nebo pouze B, nebo obě A i B. Celkový počet takových událostí se tedy rovná

a pravděpodobnost

Q.E.D.

Aplikováním vzorce (9) na výše uvedený příklad počtu bodů, které se objeví při hodu kostkou, získáme:

který se shoduje s výsledkem přímého výpočtu.

Je zřejmé, že vzorec (1) je speciální případ (9). Pokud jsou události A a B neslučitelné, pak pravděpodobnost kombinace

Například. Dvě pojistky jsou zapojeny v sérii do elektrického obvodu. Pravděpodobnost selhání první pojistky je 0,6 a druhé 0,2. Stanovme pravděpodobnost výpadku napájení v důsledku poruchy alespoň jedné z těchto pojistek.

Řešení. Protože události A a B, sestávající ze selhání první a druhé pojistky, jsou kompatibilní, bude požadovaná pravděpodobnost určena vzorcem (9):

Cvičení

Pojem události a pravděpodobnost události. Spolehlivé a nemožné události. Klasická definice pravděpodobnosti. Pravděpodobnostní teorém sčítání. Věta o násobení pravděpodobnosti. Řešení nejjednodušších úloh určování pravděpodobnosti pomocí sčítání pravděpodobností.

Pokyny pro téma 3.1:

Pojem události a pravděpodobnost události. Spolehlivé a nemožné události. Klasická definice pravděpodobností:

Studium každého jevu v pořadí pozorování nebo experimentování je spojeno s implementací určitého souboru podmínek (testů). Každý výsledek nebo výsledek testu se nazývá událost.

Pokud se událost za daných podmínek může nebo nemůže stát, pak se nazývá náhodný. Když je jisté, že se událost stane, je volána spolehlivý a v případě, kdy se to zjevně nemůže stát, - nemožné.

Události jsou tzv nekompatibilní, pokud je vždy možné zobrazit pouze jeden z nich. Události jsou tzv kloub, jestliže za daných podmínek výskyt jedné z těchto událostí nevylučuje výskyt jiné během téže zkoušky.

Události jsou tzv naproti, pokud jsou za podmínek testu, jakožto jeho jediné výsledky, neslučitelné.

Pravděpodobnost události je považována za míru objektivní možnosti výskytu náhodné události.

Pravděpodobnost události se nazývá poměr počtu výsledků m, příznivé pro vznik dané události, do počtu n všech výsledků (neslučitelné, pouze možné a stejně možné), tzn.

Pravděpodobnost jakékoli události nemůže být menší než nula a větší než jedna, tzn. . Nemožná událost odpovídá pravděpodobnosti a spolehlivá událost odpovídá pravděpodobnosti

Příklad 1. V loterii 1000 tiketů je 200 výherních. Náhodně se vyjme jeden lístek. Jaká je pravděpodobnost, že tento tiket vyhraje?

Celkový počet různých výsledků je n= 1000. Počet výsledků příznivých pro výhru je m= 200. Podle vzorce dostaneme .

Příklad 2. Jedna koule je vytažena z urny obsahující 5 bílých a 3 černé koule. Najděte pravděpodobnost, že je míč černý.

Událost spočívající ve vzhledu černé koule označme . Celkový počet případů. Počet případů m, příznivé pro výskyt události, se rovná 3. Pomocí vzorce získáme .

Příklad 3. Z urny obsahující 12 bílých a 8 černých kuliček jsou náhodně vylosovány dvě koule. Jaká je pravděpodobnost, že jsou obě koule černé?

Událost spočívající ve výskytu dvou černých kuliček označme . Celkový počet možných případů n rovná se počtu kombinací 20 prvků (12 + 8) dvěma:

Počet případů m, příznivý pro akci, je

Pomocí vzorce zjistíme pravděpodobnost, že se objeví dvě černé koule:

Pravděpodobnostní teorém sčítání. Řešení nejjednodušších problémů určování pravděpodobnosti pomocí věty o sčítání pravděpodobnosti:

Věta o sčítání pravděpodobností neslučitelných událostí. Pravděpodobnost výskytu jedné z několika párově neslučitelných událostí, bez ohledu na to, která z nich, se rovná součtu pravděpodobností těchto událostí:

Věta o sčítání pravděpodobností společných událostí. Pravděpodobnost výskytu alespoň jedné ze dvou společných událostí se rovná součtu pravděpodobností těchto událostí bez pravděpodobnosti jejich společného výskytu:

Příklad 4. V krabici je 20 dílů uspořádaných v náhodném pořadí, z nichž pět je standardních. Pracovník si náhodně vezme tři části. Najděte pravděpodobnost, že alespoň jedna z odebraných částí bude standardní.

Je zřejmé, že alespoň jedna z převzatých částí bude standardní, pokud dojde k některé ze tří nekompatibilních událostí: B- jedna část je standardní, dvě jsou nestandardní; C- dvě standardní části, jedna nestandardní a D- tři díly jsou standardní.

Takže událost A lze vyjádřit jako součet těchto tří událostí: A = B + C + D. Podle věty o sčítání máme P(A) = P(B) + P(C) + P(D). Najděte pravděpodobnost každé z těchto událostí:

Sečtením nalezených hodnot dostaneme

Příklad 5. Najděte pravděpodobnost, že a náhodně přijato dvoumístné číslo bude násobkem 3 nebo 5 nebo obou.

Nechat A- událost spočívající ve skutečnosti, že náhodně zvolené číslo je násobkem 3, a B- je, že je to násobek 5. Let’s find Since A A B společné události, pak použijeme vzorec:

Dvoumístných čísel je celkem 90: 10, 11, 98, 99. Z toho je 30 násobků 3 (pro výskyt události A); 18 - násobky 5 (upřednostňují výskyt události B) a 6 - násobky 3 a 5 současně (upřednostňují výskyt události AB). Tedy, tzn.

Věta o násobení pravděpodobnosti:

Věta pro násobení pravděpodobností nezávislých událostí. Pravděpodobnost společného výskytu dvou nezávislých událostí je rovna součinu pravděpodobností těchto událostí:

Pravděpodobnost výskytu několika událostí, které jsou v souhrnu nezávislé, se vypočítá podle vzorce:

Věta pro násobení pravděpodobností závislých událostí. Pravděpodobnost společného výskytu dvou závislých událostí je rovna součinu jedné z nich a podmíněné pravděpodobnosti druhé:

Příklad 6. Jedna urna obsahuje 4 bílé a 8 černých kuliček, druhá obsahuje 3 bílé a 9 černých kuliček. Z každé urny byl odebrán míč. Najděte pravděpodobnost, že obě koule jsou bílé.

Nechť je vzhled bílé koule z první urny a nechť je vzhled bílé koule z druhé urny. Je zřejmé, že události jsou nezávislé. najdeme

Pomocí vzorce dostaneme:

Samotestovací otázky k tématu 3.1:

1. Co je to událost?

2. Jaké události se nazývají spolehlivé?

3. Které události se nazývají nemožné?

4. Definujte pravděpodobnost.

5. Formulujte větu pro sčítání pravděpodobností.

6. Formulujte větu o násobení pravděpodobnosti.

Úkoly pro nezávislé rozhodnutí k tématu 3.1:

1. Krabice obsahuje 10 dílů v náhodném pořadí, z nichž 4 jsou standardní. Inspektor vzal náhodně 3 díly. Najděte pravděpodobnost, že alespoň jeden z odebraných dílů se ukázal jako standardní.

2. Urna obsahuje 10 bílých, 15 černých, 20 modrých a 25 červených kuliček. Najděte pravděpodobnost, že vytažená koule bude: 1) bílá; 2) černá nebo červená.

3. Najděte pravděpodobnost, že náhodně zvolené dvouciferné číslo bude násobkem 4 nebo 5 nebo obou.

4. Pracovník obsluhuje dva stroje, které fungují nezávisle na sobě. Pravděpodobnost, že první stroj nebude vyžadovat pozornost pracovníka do hodiny, je 0,8 a u druhého stroje je tato pravděpodobnost 0,7. Najděte pravděpodobnost, že během hodiny nebude ani jeden stroj vyžadovat pozornost pracovníka.

5. Urna obsahuje 6 kuliček, z toho 3 bílé. Náhodně se losují dva míčky, jeden po druhém. Vypočítejte pravděpodobnost, že jsou obě koule bílé.

6. Urna obsahuje 10 bílých a 6 černých kuliček. Najděte pravděpodobnost, že tři náhodně vylosované koule za sebou budou černé.

Uvažuje se o experimentu E. Předpokládá se, že jej lze provádět opakovaně. V důsledku experimentu se mohou objevit různé události, které tvoří určitou množinu F. Pozorovatelné události se dělí na tři typy: spolehlivé, nemožné, náhodné.

Spolehlivý nazýváme událost, která nastane jako výsledek experimentu E. Označuje se Ω.

Nemožné nazýváme událost, o které je známo, že nenastane v důsledku experimentu E. Označeno .

Náhodný událost, která může nebo nemusí nastat v důsledku experimentu, se nazývá E.

Dodatečné (opačné) událost A je událost označená jako , která nastane tehdy a pouze tehdy, když událost nenastane A.

Součet (kombinace) události je událost, která nastane tehdy a pouze tehdy, když nastane alespoň jedna z těchto událostí (obrázek 3.1). Notový zápis.

Obrázek 3.1

Produkt (průnik) události je událost, která nastane tehdy a pouze tehdy, když všechny tyto události nastanou společně (současně) (obrázek 3.2). Notový zápis. Je zřejmé, že události A a B nekompatibilní , Pokud .

Obrázek 3.2

Celá skupina akcí je množina událostí, jejichž součet je určitou událostí:

událost V volal zvláštní případ události A, pokud s výskytem události V událost se objeví A. Také říkají, že událost V znamená událost A(Obrázek 3.3). Označení

Obrázek 3.3

Události A A V jsou nazývány ekvivalent , pokud se vyskytují nebo nevyskytují společně během experimentu E. Označení Je zřejmé, že pokud.

Těžká událost nazývat pozorovanou událost vyjádřenou prostřednictvím jiných událostí pozorovaných ve stejném experimentu pomocí algebraických operací.

Pravděpodobnost výskytu konkrétní komplexní události se vypočítá pomocí vzorců pro sčítání a násobení pravděpodobností.

Pravděpodobnostní teorém sčítání

Důsledky:

1) pokud události A A V jsou nekonzistentní, věta o sčítání má tvar:

2) v případě tří členů se věta o sčítání zapisuje ve tvaru

3) součet pravděpodobností vzájemně opačných událostí je roven 1:

Soubor událostí ,, ..., se nazývá celá skupina akcí , Pokud

Součet pravděpodobností událostí tvořících úplnou skupinu je roven 1:

Pravděpodobnost výskytu události A za předpokladu, že událost V stalo, říkají tomu podmíněná pravděpodobnost a označují nebo.

A A V – závislé události , Pokud .

A A V – nezávislé akce , Pokud .

Věta o násobení pravděpodobnosti

Důsledky:

1) pro nezávislé akce A A V

2) v obecný případ pro součin tří událostí má věta o násobení pravděpodobnosti tvar:

Příklady řešení problémů

Příklad1 - Tři prvky jsou zapojeny sériově do elektrického obvodu, fungují nezávisle na sobě. Pravděpodobnost selhání prvního, druhého a třetího prvku je rovna ,. Najděte pravděpodobnost, že v obvodu nebude proud.

Řešení

První způsob.

Označme následující události: - došlo k poruše prvního, druhého a třetího prvku v obvodu, resp.

událost A– v obvodu nebude proud (alespoň jeden z prvků selže, protože jsou zapojeny do série).

Událost - v obvodu je proud (fungují tři prvky), . Pravděpodobnost opačných událostí souvisí vzorcem (3.4). Událost je součinem tří událostí, které jsou párově nezávislé. Pomocí věty pro násobení pravděpodobností nezávislých událostí získáme

Potom je pravděpodobnost požadované události .

Druhý způsob.

S ohledem na dříve přijatý zápis zapíšeme požadovanou událost A– alespoň jeden z prvků selže:

Protože členy zahrnuté v součtu jsou kompatibilní, je třeba použít větu o sčítání pravděpodobností v obecný pohled v případě tří termínů (3.3):

Odpovědět: 0,388.

Problémy řešit samostatně

1 Čítárna má šest učebnic teorie pravděpodobnosti, z toho tři vázané. Knihovnice si náhodně vzala dvě učebnice. Najděte pravděpodobnost, že obě učebnice budou svázány.

2 V sáčku jsou namíchané nitě, z nichž 30% jsou bílé a zbytek jsou červené. Určete pravděpodobnost, že dvě náhodně vytažená vlákna budou: stejné barvy; rozdílné barvy.

3 Zařízení se skládá ze tří prvků, které fungují nezávisle. Pravděpodobnost bezporuchového provozu po určitou dobu prvního, druhého a třetího prvku je 0,6; 0,7; 0,8. Najděte pravděpodobnosti, že během této doby bude bez poruchy fungovat pouze jeden prvek; pouze dva prvky; všechny tři prvky; alespoň dva prvky.

4 Tři vrženy kostky. Najděte pravděpodobnosti následujících událostí:

a) na každé nakreslené straně se objeví pět bodů;

b) na všech vypadlých stranách se objeví stejný počet bodů;

c) jeden bod se objeví na dvou vynechaných stranách a další počet bodů se objeví na třetí straně;

d) na všech upuštěných tvářích se objeví jiný počet bodů.

5 Pravděpodobnost, že střelec zasáhne cíl jednou ranou, je 0,8. Kolik ran musí střelec vystřelit, aby s pravděpodobností menší než 0,4 bylo možné očekávat, že nebude chybět?

6 Z čísel 1, 2, 3, 4, 5 se nejprve vybere jedno a poté se vybere druhá číslice ze zbývajících čtyř. Předpokládá se, že všech 20 možných výsledků je stejně pravděpodobných. Najděte pravděpodobnost, že bude vybráno liché číslo: poprvé; podruhé; oba časy.

7 Pravděpodobnost, že se pár bot velikosti 46 bude opět prodávat v sekci pánské obuvi obchodu je 0,01. Kolik párů bot se musí prodat v obchodě, aby se s pravděpodobností alespoň 0,9 dalo očekávat, že se prodá alespoň jeden pár bot velikosti 46?

8 Krabice obsahuje 10 dílů včetně dvou nestandardních. Najděte pravděpodobnost, že ze šesti náhodně vybraných dílů nebude více než jeden nestandardní.

9 Oddělení technické kontroly kontroluje standardnost výrobků. Pravděpodobnost, že výrobek je nestandardní, je 0,1. Najděte pravděpodobnost, že:

a) ze tří testovaných produktů se pouze dva ukážou jako nestandardní;

b) pouze čtvrtý testovaný výrobek v pořadí se ukáže jako nestandardní.

10 Na vystřižených kartách abecedy je napsáno 32 písmen ruské abecedy:

a) jsou náhodně vyjmuty tři karty jedna po druhé a umístěny na stůl v pořadí vzhledu. Najděte pravděpodobnost, že bude získáno slovo „svět“;

b) tři odebrané karty lze zaměnit jakýmkoli způsobem. Jaká je pravděpodobnost, že mohou být použity k vytvoření slova „svět“?

11 Stíhačka zaútočí na bombardér a vypálí na něj dvě nezávislé dávky. Pravděpodobnost sestřelení bombardéru prvním výbuchem je 0,2 a druhým 0,3. Pokud bombardér není sestřelen, vystřelí na stíhačku ze zadních děl a sestřelí ji s pravděpodobností 0,25. Najděte pravděpodobnost sestřelení bombardéru nebo stíhačky v důsledku letecké bitvy.

Domácí práce

1 Vzorec celkové pravděpodobnosti. Bayesův vzorec.

2 Řešit problémy

Úkol1 . Pracovník obsluhuje tři stroje, které fungují nezávisle na sobě. Pravděpodobnost, že první stroj nebude vyžadovat pozornost pracovníka do hodiny, je 0,9, druhý – 0,8 a třetí – 0,85. Najděte pravděpodobnost, že do hodiny bude alespoň jeden stroj vyžadovat pozornost pracovníka.

Úkol2 . Počítačové centrum, které musí průběžně zpracovávat příchozí informace, má dvě výpočetní zařízení. Je známo, že každý z nich má pravděpodobnost selhání po určitou dobu rovnou 0,2. Musíte určit pravděpodobnost:

a) skutečnost, že jedno ze zařízení selže a druhé bude funkční;

b) bezporuchový provoz každého zařízení.

Úkol3 . Čtyři lovci se dohodli, že budou střílet na zvěř v určitém pořadí: další lovec vystřelí ránu pouze v případě, že předchozí minul. Pravděpodobnost zásahu pro prvního lovce je 0,6, pro druhého - 0,7, pro třetího - 0,8. Najděte pravděpodobnost, že dojde k výstřelu:

d) čtyři.

Úkol4 . Díl prochází čtyřmi zpracovatelskými operacemi. Pravděpodobnost obdržení defektu během první operace je 0,01, během druhé - 0,02, během třetí - 0,03 a během čtvrté - 0,04. Najděte pravděpodobnost přijetí dílu bez závad po čtyřech operacích za předpokladu, že události příjmu závad v jednotlivých operacích jsou nezávislé.

Vzdělávací instituce „Běloruský stát

zemědělská akademie"

Katedra vyšší matematiky

SČÍTÁNÍ A NÁSOBENÍ PRAVDĚPODOBNOSTÍ. OPAKOVANÉ NEZÁVISLÉ TESTY

Přednáška pro studenty Fakulty pozemkového hospodářství

korespondenční kurzy

Gorki, 2012

Sčítání a násobení pravděpodobností. Opakované

nezávislé testy

Sčítání pravděpodobností

Součet dvou společných akcí A A V s názvem událost S spočívající ve výskytu alespoň jedné z událostí A nebo V. Obdobně součet více společných událostí je událostí, která spočívá v tom, že nastane alespoň jedna z těchto událostí.

Součet dvou neslučitelných událostí A A V s názvem událost S sestávající z události nebo události A nebo události V. Podobně součet několika neslučitelných událostí je událostí sestávající z výskytu kterékoli z těchto událostí.

Platí věta o sčítání pravděpodobností nekompatibilních událostí: pravděpodobnost součtu dvou neslučitelných událostí je rovna součtu pravděpodobností těchto událostí , tj. . Tato věta může být rozšířena na libovolný konečný počet neslučitelných událostí.

Z této věty vyplývá:

součet pravděpodobností událostí tvořících úplnou skupinu je roven jedné;

součet pravděpodobností opačných událostí je roven jedné, tzn.
.

Příklad 1 . Krabička obsahuje 2 bílé, 3 červené a 5 modrých míčků. Kuličky se smíchají a jeden se náhodně vylosuje. Jaká je pravděpodobnost, že bude míč zbarvený?

Řešení . Označme události:

A=(kreslená barevná koule);

B=(nakreslená bílá koule);

C=(vytažená červená koule);

D=(nakreslený modrý míček).

Pak A= C+ D. Od událostí C, D jsou nekonzistentní, pak pro sčítání pravděpodobností neslučitelných událostí použijeme větu: .

Příklad 2 . Urna obsahuje 4 bílé koule a 6 černých. Z urny se náhodně vylosují 3 míčky. Jaká je pravděpodobnost, že mají všechny stejnou barvu?

Řešení . Označme události:

A=(vylosují se koule stejné barvy);

B=(bílé kuličky jsou vyjmuty);

C= (černé kuličky jsou vyjmuty).

Protože A= B+ C a události V A S jsou nekonzistentní, pak teorémem o sčítání pravděpodobností neslučitelných událostí
. Pravděpodobnost události V rovná
, Kde
4,

. Pojďme nahradit k A n do vzorce a dostaneme
Podobně zjistíme pravděpodobnost události S:
, Kde
,
, tj.
. Pak
.

Příklad 3 . Z balíčku 36 karet se náhodně losují 4 karty. Najděte pravděpodobnost, že mezi nimi budou alespoň tři esa.

Řešení . Označme události:

A=(mezi vytaženými kartami jsou alespoň tři esa);

B=(mezi vyjmutými kartami jsou tři esa);

C=(mezi vyjmutými kartami jsou čtyři esa).

Protože A= B+ C a události V A S jsou tedy neslučitelné
. Pojďme najít pravděpodobnosti událostí V A S:

,
. Pravděpodobnost, že mezi vytaženými kartami jsou alespoň tři esa, se tedy rovná

0.0022.

Násobení pravděpodobností

Práce dvě události A A V s názvem událost S spočívající ve společném výskytu těchto událostí:
. Tato definice platí pro libovolný konečný počet událostí.

Dvě akce se nazývají nezávislý , pokud pravděpodobnost, že nastane jedna z nich, nezávisí na tom, zda druhá událost nastala či nikoliv. Události ,, … ,jsou nazývány kolektivně nezávislý , pokud pravděpodobnost výskytu každé z nich nezávisí na tom, zda nastaly nebo nenastaly další události.

Příklad 4 . Dva střelci střílejí na cíl. Označme události:

A=(první střelec zasáhl cíl);

B=(druhý střelec zasáhl cíl).

Je zřejmé, že pravděpodobnost, že první střelec zasáhne cíl, nezávisí na tom, zda druhý střelec zasáhl nebo minul, a naopak. Proto události A A V nezávislý.

Platí věta o násobení pravděpodobností nezávislých událostí: pravděpodobnost součinu dvou nezávislých událostí je rovna součinu pravděpodobností těchto událostí : .

Tato věta platí také pro n kolektivně nezávislé akce: .

Příklad 5 . Dva střelci střílejí na stejný cíl. Pravděpodobnost zásahu prvního střelce je 0,9 a druhého 0,7. Oba střelci střílejí po jedné. Určete pravděpodobnost, že dojde ke dvěma zásahům do cíle.

Řešení . Označme události:

A

B

C=(oba střelci zasáhnou cíl).

Protože
a události A A V jsou tedy nezávislé
, tj..

Události A A V jsou nazývány závislý , pokud pravděpodobnost výskytu jedné z nich závisí na tom, zda došlo k jiné události či nikoli. Pravděpodobnost výskytu události A za předpokladu, že událost V už dorazil, jmenuje se podmíněná pravděpodobnost a je určeno
nebo
.

Příklad 6 . Urna obsahuje 4 bílé a 7 černých kuliček. Kuličky se losují z urny. Označme události:

A=(nakreslena bílá koule) ;

B=(nakreslená černá koule).

Před zahájením odebírání míčků z urny
. Jedna koule byla odebrána z urny a ukázalo se, že je černá. Pak pravděpodobnost události A po akci V bude další, rovný . To znamená, že pravděpodobnost události A záleží na události V, tj. tyto události budou závislé.

Platí věta pro násobení pravděpodobností závislých událostí: pravděpodobnost výskytu dvou závislých událostí je rovna součinu pravděpodobnosti jedné z nich a podmíněné pravděpodobnosti druhé, vypočtené za předpokladu, že první událost již nastala, tj. nebo.

Příklad 7 . Urna obsahuje 4 bílé koule a 8 červených kuliček. Náhodně se z něj postupně vylosují dva míčky. Najděte pravděpodobnost, že obě koule jsou černé.

Řešení . Označme události:

A=(černá koule vytažená jako první);

B=(vytáhne se druhá černá koule).

Události A A V závislý protože
, A
. Pak
.

Příklad 8 . Tři střelci střílí na cíl nezávisle na sobě. Pravděpodobnost zásahu do terče pro prvního střelce je 0,5, pro druhého – 0,6 a pro třetího – 0,8. Najděte pravděpodobnost, že dojde ke dvěma zásahům do cíle, pokud každý střelec vystřelí jednu ránu.

Řešení . Označme události:

A=(budou dva zásahy do cíle);

B=(první střelec zasáhne cíl);

C=(druhý střelec zasáhne cíl);

D=(třetí střelec zasáhne cíl);

=(první střelec nezasáhne cíl);

=(druhý střelec nezasáhne cíl);

=(třetí střelec nezasáhne cíl).

Podle příkladu
,
,
,

,
,
. Protože pomocí věty pro sčítání pravděpodobností neslučitelných událostí a věty pro násobení pravděpodobností nezávislých událostí dostaneme:

Nechte události
tvoří kompletní skupinu událostí nějakého testu a událostí A může nastat pouze u jedné z těchto událostí. Pokud jsou známy pravděpodobnosti a podmíněné pravděpodobnosti události A, pak se pravděpodobnost události A vypočítá podle vzorce:

nebo
. Tento vzorec se nazývá vzorec celkové pravděpodobnosti a události
hypotézy .

Příklad 9 . Montážní linka přijímá 700 dílů z prvního stroje a 300 dílů od druhého. První stroj produkuje 0,5% šrotu a druhý - 0,7%. Najděte pravděpodobnost, že odebraný díl bude vadný.

Řešení . Označme události:

A=(odebraný díl bude vadný);

=(díl byl vyroben na prvním stroji);

=(díl je vyroben na druhém stroji).

Pravděpodobnost, že je díl vyroben na prvním stroji, se rovná
. Pro druhý stroj
. Podle podmínky je pravděpodobnost obdržení vadného dílu vyrobeného na prvním stroji rovna
. Pro druhý stroj je tato pravděpodobnost rovna
. Poté se pomocí vzorce celkové pravděpodobnosti vypočítá pravděpodobnost, že odebraný díl bude vadný

Pokud je známo, že v důsledku testu došlo k nějaké události A, pak pravděpodobnost, že k této události došlo s hypotézou
, je roven
, Kde
- celková pravděpodobnost události A. Tento vzorec se nazývá Bayesův vzorec a umožňuje vypočítat pravděpodobnosti událostí
poté, co vyšlo najevo, že událost A již dorazil.

Příklad 10 . Stejný typ autodílů se vyrábí ve dvou továrnách a dodává se do obchodu. První závod vyrábí 80% z celkového počtu dílů a druhý - 20%. Produkty prvního závodu obsahují 90% standardních dílů a druhý - 95%. Kupující koupil jeden díl a dopadlo to standardně. Najděte pravděpodobnost, že tento díl byl vyroben ve druhém závodě.

Řešení . Označme události:

A=(zakoupen standardní díl);

=(díl byl vyroben v prvním závodě);

=(díl byl vyroben ve druhém závodě).

Podle příkladu
,
,
A
. Vypočítejme celkovou pravděpodobnost události A: 0,91. Vypočítáme pravděpodobnost, že díl byl vyroben ve druhém závodě pomocí Bayesova vzorce:

.

Úkoly pro samostatnou práci

Pravděpodobnost zásahu do terče pro prvního střelce je 0,8, pro druhého – 0,7 a pro třetího – 0,9. Střelci vypálili po jedné. Najděte pravděpodobnost, že jsou na cíl alespoň dva zásahy.

Opravna obdržela 15 traktorů. Je známo, že 6 z nich potřebuje vyměnit motor a zbytek potřebuje vyměnit jednotlivé komponenty. Náhodně jsou vybrány tři traktory. Najděte pravděpodobnost, že výměna motoru není nutná pro více než dva vybrané traktory.

Železobetonárna vyrábí panely, z nichž 80 % je té nejvyšší kvality. Najděte pravděpodobnost, že ze tří náhodně vybraných panelů budou alespoň dva nejlepšího stupně.

Tři pracovníci montují ložiska. Pravděpodobnost, že ložisko sestavené prvním pracovníkem je nejkvalitnější, je 0,7, druhým 0,8 a třetím 0,6. Pro kontrolu bylo náhodně odebráno jedno ložisko z těch, které shromáždil každý pracovník. Najděte pravděpodobnost, že alespoň dva z nich budou nejkvalitnější.

Pravděpodobnost výhry prvního losu je 0,2, druhého 0,3 a třetího 0,25. Na každé číslo je jeden lístek. Najděte pravděpodobnost, že vyhrají alespoň dva tikety.

Účetní provádí výpočty pomocí tří referenčních knih. Pravděpodobnost, že data, která ho zajímají, jsou v prvním adresáři 0,6, ve druhém - 0,7 a ve třetím - 0,8. Najděte pravděpodobnost, že data, která účetního zajímají, nejsou obsažena ve více než dvou adresářích.

Tři stroje vyrábějí díly. První stroj vyrábí díl nejvyšší kvality s pravděpodobností 0,9, druhý s pravděpodobností 0,7 a třetí s pravděpodobností 0,6. Z každého stroje je náhodně odebrán jeden díl. Najděte pravděpodobnost, že alespoň dva z nich jsou nejkvalitnější.

Stejný typ dílů se zpracovává na dvou strojích. Pravděpodobnost výroby nestandardního dílu pro první stroj je 0,03, pro druhý - 0,02. Zpracované díly jsou uloženy na jednom místě. Mezi nimi je 67 % z prvního stroje a zbytek je z druhého. Náhodně odebraná část se ukázala jako standardní. Najděte pravděpodobnost, že byl vyroben na prvním stroji.

Dílna obdržela dvě krabice stejného typu kondenzátorů. První krabice obsahovala 20 kondenzátorů, z nichž 2 byly vadné. Druhá krabice obsahuje 10 kondenzátorů, z nichž 3 jsou vadné. Kondenzátory byly umístěny v jedné krabici. Najděte pravděpodobnost, že kondenzátor vyjmutý náhodně z krabice bude v dobrém stavu.

Tři stroje vyrábějí stejný typ dílů, které jsou dodávány na společný dopravník. Mezi všemi díly je 20 % z prvního stroje, 30 % z druhého a 505 ze třetího. Pravděpodobnost výroby standardního dílu na prvním stroji je 0,8, na druhém 0,6 a na třetím 0,7. Odebraná část se ukázala jako standardní. Najděte pravděpodobnost, že tento díl byl vyroben na třetím stroji.

Montážník obdrží 40 % dílů k montáži z továrny A, a zbytek - z továrny V. Pravděpodobnost, že díl je z továrny A– vynikající kvalita, rovná 0,8 a z továrny V– 0,9. Montážník vzal náhodně jeden díl a ten se ukázal jako nekvalitní. Najděte pravděpodobnost, že tento díl je z továrny V.

10 studentů z první skupiny a 8 z druhé bylo přiděleno k účasti na žákovských sportovních soutěžích. Pravděpodobnost, že student z první skupiny bude zařazen do akademického týmu, je 0,8 a z druhé - 0,7. Do týmu byl zařazen náhodně vybraný student. Najděte pravděpodobnost, že je z první skupiny.

Bernoulliho vzorec

Testy se nazývají nezávislý , je-li u každého z nich event A se vyskytuje se stejnou pravděpodobností
nezávisle na tom, zda se tato událost objevila nebo neobjevila v jiných studiích. Pravděpodobnost opačné události v tomto případě se rovná
.

Příklad 11 . Kostky jsou vrženy n jednou. Označme událost A=(házení tří bodů). Pravděpodobnost výskytu události A v každém pokusu je stejná a nezávisí na tom, zda k této události došlo nebo nedošlo v jiných studiích. Proto jsou tyto testy nezávislé. Pravděpodobnost opačné události
(ne házení tří bodů) se rovná
.

Pravděpodobnost, že v n nezávislé pokusy, v každém z nich pravděpodobnost výskytu události A rovná p, událost nastane přesně kčasy (nezáleží v jakém pořadí), vypočítané podle vzorce
, Kde
. Tento vzorec se nazývá Bernoulliho vzorec a je vhodné, pokud počet testů n není příliš velký.

Příklad 12 . Podíl plodů napadených chorobou v latentní formě je 25 %. Náhodně je vybráno 6 druhů ovoce. Najděte pravděpodobnost, že mezi vybranými budou: a) přesně 3 napadené plody; b) ne více než dva napadené plody.

Řešení . Podle vzorových podmínek.

a) Podle Bernoulliho vzorce je pravděpodobnost, že ze šesti vybraných plodů budou infikovány právě tři, rovna

0.132.

b) Označme událost A= (nebudou infikovány více než dva plody). Pak . Podle Bernoulliho vzorce:

0.297.

Proto,
0.178+0.356+0.297=0.831.

Laplaceova a Poissonova věta

Bernoulliho vzorec se používá k nalezení pravděpodobnosti události A přijde k jednou za každý n nezávislé pokusy a v každém pokusu pravděpodobnost události A je konstantní. Pro velké hodnoty n jsou výpočty pomocí Bernoulliho vzorce pracné. V tomto případě pro výpočet pravděpodobnosti události A Bylo by lepší použít jiný vzorec.

Místní Laplaceova věta . Nechte pravděpodobnost p výskyt události A v každém pokusu je konstantní a liší se od nuly a jedničky. Pak pravděpodobnost, že událost A přijde přesně kčasy s dostatečně velkým počtem n testů, se vypočítá podle vzorce

, Kde
a hodnoty funkcí
jsou uvedeny v tabulce.

Hlavní vlastnosti funkce
jsou:

Funkce
definované a spojité v intervalu
.

Funkce
je pozitivní, tzn.
>0.

Funkce
dokonce, tzn.
.

Od funkce
je sudý, pak tabulka ukazuje jeho hodnoty pouze pro kladné hodnoty X.

Příklad 13 . Klíčivost semen pšenice je 80%. Pro experiment se vybere 100 semen. Najděte pravděpodobnost, že vyklíčí právě 90 vybraných semen.

Řešení . Podle příkladu n=100, k=90, p=0.8, q= 1-0,8 = 0,2. Pak
. Pomocí tabulky zjistíme hodnotu funkce
:
. Pravděpodobnost, že vyklíčí právě 90 vybraných semen, se rovná
0.0044.

Při řešení praktických problémů je nutné najít pravděpodobnost výskytu události A na n neméně nezávislé testy jednou a už ne jednou. Tento problém je vyřešen pomocí Laplaceova integrální věta : Nechť pravděpodobnost p výskyt události A v každém n nezávislé testy je konstantní a liší se od nuly a jedničky. Pak je pravděpodobnost, že k události dojde, minimálně jednou a už ne časy s dostatečně velkým počtem testů, se vypočítá podle vzorce

Kde
,
.

Funkce
volal Laplaceova funkce a není vyjádřen elementárními funkcemi. Hodnoty této funkce jsou uvedeny ve speciálních tabulkách.

Hlavní vlastnosti funkce
jsou:

.

Funkce
se v intervalu zvyšuje
.

na
.

Funkce
lichý, tzn.
.

Příklad 14 . Společnost vyrábí produkty, z nichž 13 % není té nejvyšší kvality. Určete pravděpodobnost, že v netestované šarži 150 jednotek nejkvalitnějšího produktu nebude méně než 125 a ne více než 135.

Řešení . Označme . Pojďme počítat
,

Věty o sčítání pravděpodobnosti a násobení.

Věta o sečtení pravděpodobností dvou událostí. Pravděpodobnost součtu dvou událostí je rovna součtu pravděpodobností těchto událostí bez pravděpodobnosti jejich společného výskytu:

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).

Věta o sečtení pravděpodobností dvou neslučitelných událostí. Pravděpodobnost součtu dvou neslučitelných událostí se rovná součtu pravděpodobností těchto událostí:

P(A+B)=P(A)+P(B).

Příklad 2.16. Střelec střílí na terč rozdělený do 3 oblastí. Pravděpodobnost zasažení první oblasti je 0,45, druhá - 0,35. Najděte pravděpodobnost, že střelec jednou ranou zasáhne první nebo druhou oblast.

Řešení.

Události A- „střelec zasáhl první oblast“ a V- „střelec zasáhl druhou oblast“ - jsou nekonzistentní (dostat se do jedné oblasti vylučuje vstup do jiné), takže platí věta o sčítání.

Požadovaná pravděpodobnost je:

P(A+B)=P(A)+P(B)= 0,45+ 0,35 = 0,8.

Pravděpodobnostní teorém sčítání P neslučitelné události. Pravděpodobnost součtu n neslučitelných událostí je rovna součtu pravděpodobností těchto událostí:

P(A 1 +A 2 +…+A p)=P(A 1)+P(A 2)+…+P(A p).

Součet pravděpodobností opačných událostí je roven jedné:

Pravděpodobnost události V za předpokladu, že k události došlo A, se nazývá podmíněná pravděpodobnost události V a označuje se takto: P(V/A), nebo RA (B).

. Pravděpodobnost, že nastanou dvě události, se rovná součinu pravděpodobnosti jedné z nich a podmíněné pravděpodobnosti druhé za předpokladu, že k první události došlo:

P(AB)=P(A)PA(B).

událost V nezávisí na události A, Pokud

RA (V) = R (V),

těch. pravděpodobnost události V nezávisí na tom, zda k události došlo A.

Věta pro násobení pravděpodobností dvou nezávislých událostí.Pravděpodobnost součinu dvou nezávislých událostí se rovná součinu jejich pravděpodobností:

P(AB)=P(A)P(B).

Příklad 2.17. Pravděpodobnost zasažení cíle při střelbě z prvního a druhého děla je stejná: p 1 = 0,7; p 2= 0,8. Najděte pravděpodobnost zásahu jednou salvou (z obou zbraní) alespoň jednou ze zbraní.

Řešení.

Pravděpodobnost, že každá zbraň zasáhne cíl, nezávisí na výsledku střelby z druhé zbraně, takže události A– „zásah první zbraní“ a V– „zásah druhou zbraní“ jsou nezávislé.

Pravděpodobnost události AB- „zasáhly obě zbraně“:

Požadovaná pravděpodobnost

P(A+B) = P(A) + P(B) – P(AB)= 0,7 + 0,8 – 0,56 = 0,94.

Věta o násobení pravděpodobnosti P Události.Pravděpodobnost součinu n událostí se rovná součinu jedné z nich podmíněnými pravděpodobnostmi všech ostatních, vypočítaných za předpokladu, že všechny předchozí události nastaly:

Příklad 2.18. V urně je 5 bílých, 4 černé a 3 modré míčky. Každý test se skládá z náhodného odebrání jednoho míčku, aniž by byl vložen zpět. Najděte pravděpodobnost, že se v prvním pokusu objeví bílá koule (událost A), ve druhém černá koule (událost B) a ve třetím modrá koule (událost C).

Řešení.

Pravděpodobnost výskytu bílé koule v prvním pokusu:

Pravděpodobnost, že se černá koule objeví v druhém pokusu, vypočtená za předpokladu, že se v prvním pokusu objevila bílá koule, tj. podmíněná pravděpodobnost:

Pravděpodobnost, že se ve třetím pokusu objeví modrá koule, vypočtená za předpokladu, že se v první zkoušce objevila bílá koule a ve druhé černá, tedy podmíněná pravděpodobnost:

Požadovaná pravděpodobnost je:

Věta o násobení pravděpodobnosti P nezávislé akce.Pravděpodobnost součinu n nezávislých událostí je rovna součinu jejich pravděpodobností:

P(A 1 A 2…A p)=P(A 1)P(A 2)…P(A p).

Pravděpodobnost výskytu alespoň jedné z událostí. Pravděpodobnost výskytu alespoň jednoho z jevů A 1, A 2, ..., A n, nezávislých v souhrnu, je rovna rozdílu mezi jednotou a součinem pravděpodobností opačných událostí.:

.

Příklad 2.19. Pravděpodobnost zasažení cíle při střelbě ze tří děl je následující: p 1 = 0,8; p 2 = 0,7;p 3= 0,9. Najděte pravděpodobnost alespoň jednoho zásahu (událost A) jednou salvou ze všech zbraní.

Řešení.

Pravděpodobnost, že každá zbraň zasáhne cíl, nezávisí na výsledcích střelby z jiných zbraní, takže uvažované události A 1(zasažena první zbraní), A 2(zásah druhou zbraní) a A 3(zásah třetí zbraní) jsou v souhrnu nezávislé.

Pravděpodobnosti událostí opačných k událostem A 1, A 2 A A 3(tj. pravděpodobnost chyb) se rovnají:

, , .

Požadovaná pravděpodobnost je:

Pokud nezávislé akce A 1, A 2, …, A str mají stejnou pravděpodobnost R, pak pravděpodobnost výskytu alespoň jedné z těchto událostí je vyjádřena vzorcem:

Р(А)= 1 – qn,

Kde q=1-p

2.7. Vzorec celkové pravděpodobnosti. Bayesův vzorec.

Nechte událost A může nastat při výskytu jedné z neslučitelných událostí N 1, N 2, …, N p, tvořící ucelenou skupinu akcí. Protože není předem známo, která z těchto událostí nastane, jsou tzv hypotézy.

Pravděpodobnost výskytu události A počítáno podle vzorec celkové pravděpodobnosti:

P(A)=P(N1)P(A/N1)+ P(N2)P(A/N2)+…+ P(Np)P(A/Np).

Předpokládejme, že byl proveden experiment, jehož výsledkem byla událost A Stalo. Podmíněné pravděpodobnosti událostí N 1, N 2, …, N p ohledně události A jsou určeny Bayesovy vzorce:

,

Příklad 2.20. Ve skupině 20 studentů, kteří přišli na zkoušku, bylo 6 výborně připraveno, 8 dobře připraveno, 4 uspokojivě a 2 špatně připraveni. Zkouškové písemky obsahují 30 otázek. Dobře připravený student dokáže odpovědět na všech 30 otázek, dobře připravený na 24 otázek, dobře připravený na 15 otázek a špatně připravený na 7 otázek.

Náhodně zavolaný student odpověděl na tři náhodně. kladené otázky. Najděte pravděpodobnost, že je tento žák připraven: a) výborně; b) špatný.

Řešení.

Hypotézy – „student je dobře připraven“;

– „student je dobře připraven“;

– „student je připraven uspokojivě“;

– „student je špatně připraven“.

Před zkušenostmi:

; ; ; ;

7. Co se nazývá ucelená skupina událostí?

8. Jaké události se nazývají stejně možné? Uveďte příklady takových událostí.

9. Co se nazývá elementární výsledek?

10. Jaké výsledky považuji pro tuto akci za příznivé?

11. Jaké operace lze s událostmi provádět? Definujte je. Jak jsou určeny? Dát příklad.

12. Co se nazývá pravděpodobnost?

13. Jaká je pravděpodobnost spolehlivé události?

14. Jaká je pravděpodobnost nemožné události?

15. Jaké jsou hranice pravděpodobnosti?

16. Jak se určuje geometrická pravděpodobnost na rovině?

17. Jak se určuje pravděpodobnost v prostoru?

18. Jak se určuje pravděpodobnost na přímce?

19. Jaká je pravděpodobnost součtu dvou událostí?

20. Jaká je pravděpodobnost součtu dvou neslučitelných událostí?

21. Jaká je pravděpodobnost součtu n neslučitelných událostí?

22. Jaká pravděpodobnost se nazývá podmíněná? Uveďte příklad.

23. Vyslovte větu o násobení pravděpodobnosti.

24. Jak zjistit pravděpodobnost výskytu alespoň jedné z událostí?

25. Jaké události se nazývají hypotézy?

26. Kdy se používá vzorec celkové pravděpodobnosti a Bayesův vzorec?