Online kalkulačka Spočítejte neurčitý integrál (antiderivativ). Integrály pro figuríny: jak řešit, pravidla výpočtu, vysvětlení

Primitivní

Definice primitivní funkce

• Funkce y=F(x) se nazývá primitivní funkce y=f(x) v daném intervalu X, pokud pro všechny X ∈X platí rovnost: F′(x) = f(x)

Lze číst dvěma způsoby:

1. F derivace funkce F
2. F primitivní funkce F

Vlastnost primitivních derivátů

• Li F(x)- primitivní funkce f(x) na daném intervalu pak funkce f(x) má nekonečně mnoho primitivních funkcí a všechny tyto primitivní funkce lze zapsat ve tvaru F(x) + C, kde C je libovolná konstanta.

Geometrická interpretace

• Grafy všech primitivních funkcí dané funkce f(x) jsou získány z grafu libovolné jedné primitivní funkce paralelními translacemi podél osy O na.

Pravidla pro výpočet primitivních derivátů

1. Primitivní prvek součtu se rovná součtu primitivních prvků. Li F(x)- primitivní pro f(x) a G(x) je primitivní pro g(x), Že F(x) + G(x)- primitivní pro f(x) + g(x).
2. Konstantní faktor lze vyjmout ze znaménka derivace. Li F(x)- primitivní pro f(x), A k- tedy konstantní k·F(x)- primitivní pro k f(x).
3. Li F(x)- primitivní pro f(x), A k, b- konstantní a k ≠ 0, Že 1/k F(kx + b)- primitivní pro f(kx + b).

Pamatovat si!

Jakákoli funkce F(x) = x 2 + C , kde C je libovolná konstanta a pouze taková funkce je primitivní funkcí funkce f(x) = 2x.

• Například:

  F"(x) = (x2 + 1)" = 2x = f(x);

  f(x) = 2x, protože F"(x) = (x 2 – 1)" = 2x = f(x);

  f(x) = 2x, protože F"(x) = (x 2 – 3)" = 2x = f(x);

Vztah mezi grafy funkce a její primitivní funkcí:

1. Pokud je graf funkce f(x)>0 F(x) se v tomto intervalu zvyšuje.
2. Pokud je graf funkce f(x)<0 na intervalu, pak graf jeho primitivní F(x) v tomto intervalu klesá.
3. Li f(x)=0, pak graf jeho primitivního prvku F(x) v tomto okamžiku se mění z rostoucí na klesající (nebo naopak).

K označení primitivní funkce se používá znaménko neurčitého integrálu, tedy integrálu bez vyznačení mezí integrace.

Neurčitý integrál

Definice:

• Neurčitý integrál funkce f(x) je výraz F(x) + C, tedy množina všech primitivních funkcí dané funkce f(x). Neurčitý integrál se označí takto: \int f(x) dx = F(x) + C

• f(x)- nazývaná funkce integrand;
• f(x) dx- nazývaný integrand;
• X- nazývá se proměnná integrace;
• F(x)- jedna z primitivních funkcí funkce f(x);
• S- libovolná konstanta.

Vlastnosti neurčitého integrálu

1. Derivace neurčitého integrálu se rovná integrandu: (\int f(x) dx)\prvočíslo= f(x) .
2. Konstantní faktor integrandu lze vyjmout ze znaménka integrálu: \int k \cdot f(x) dx = k \cdot \int f(x) dx.
3. Integrál součtu (rozdílu) funkcí rovnající se součtu(rozdíly) integrálů těchto funkcí: \int (f(x) \pm g(x)) dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx.
4. Li k, b jsou konstanty a k ≠ 0, pak \int f(kx + b) dx = \frac(1)(k) \cdot F(kx + b) + C.

Tabulka primitivních a neurčitých integrálů

Funkce f(x)	Primitivní F(x) + C	Neurčité integrály \int f(x) dx = F(x) + C
0	C	\int 0 dx = C
f(x) = k	F(x) = kx + C	\int kdx = kx + C
f(x) = x^m, m\not =-1	F(x) = \frac(x^(m+1))(m+1) + C	\int x(^m)dx = \frac(x^(m+1))(m+1) + C
f(x) = \frac(1)(x)	F(x) = l n \lvert x \rvert + C	\int \frac(dx)(x) = l n \lvert x \rvert + C
f(x) = e^x	F(x) = e^x + C	\int e(^x)dx = e^x + C
f(x) = a^x	F(x) = \frac(a^x)(l na) + C	\int a(^x )dx = \frac(a^x)(l na) + C
f(x) = \sin x	F(x) = -\cos x + C	\int \sin x dx = -\cos x + C
f(x) = \cos x	F(x) =\sin x + C	\int \cos x dx = \sin x + C
f(x) = \frac(1)(\sin (^2) x)	F(x) = -\ctg x + C	\int \frac (dx)(\sin (^2) x) = -\ctg x + C
f(x) = \frac(1)(\cos (^2) x)	F(x) = \tg x + C	\int \frac(dx)(\sin (^2) x) = \tg x + C
f(x) = \sqrt(x)	F(x) =\frac(2x \sqrt(x))(3) + C
f(x) =\frac(1)( \sqrt(x))	F(x) =2\sqrt(x) + C
f(x) =\frac(1)( \sqrt(1-x^2))	F(x)=\arcsin x + C	\int \frac(dx)( \sqrt(1-x^2))=\arcsin x + C
f(x) =\frac(1)( \sqrt(1+x^2))	F(x)=\arctg x + C	\int \frac(dx)( \sqrt(1+x^2))=\arctg x + C
f(x)=\frac(1)( \sqrt(a^2-x^2))	F(x)=\arcsin \frac (x)(a)+ C	\int \frac(dx)( \sqrt(a^2-x^2)) =\arcsin \frac (x)(a)+ C
f(x)=\frac(1)( \sqrt(a^2+x^2))	F(x)=\arctg \frac (x)(a)+ C	\int \frac(dx)( \sqrt(a^2+x^2)) = \frac (1)(a) \arctg \frac (x)(a)+ C
f(x) =\frac(1)( 1+x^2)	F(x)=\arctg + C	\int \frac(dx)( 1+x^2)=\arctg + C
f(x)=\frac(1)( \sqrt(x^2-a^2)) (a \not= 0)	F(x)=\frac(1)(2a)l n \lvert \frac (x-a)(x+a) \rvert + C	\int \frac(dx)( \sqrt(x^2-a^2))=\frac(1)(2a)l n \lvert \frac (x-a)(x+a) \rvert + C
f(x)=\tg x	F(x)= - l n \lvert \cos x \rvert + C	\int \tg x dx =- l n \lvert \cos x \rvert + C
f(x)=\ctg x	F(x)= l n \lvert \sin x \rvert + C	\int \ctg x dx = l n \lvert \sin x \rvert + C
f(x)=\frac(1)(\sin x)	F(x)= l n \lvert \tg \frac(x)(2) \rvert + C	\int \frac (dx)(\sin x) = l n \lvert \tg \frac(x)(2) \rvert + C
f(x)=\frac(1)(\cos x)	F(x)= l n \lvert \tg (\frac(x)(2) +\frac(\pi)(4)) \rvert + C	\int \frac (dx)(\cos x) = l n \lvert \tg (\frac(x)(2) +\frac(\pi)(4)) \rvert + C

Newtonův-Leibnizův vzorec

Nechat f(x) tuto funkci F jeho libovolný primitivní derivát.

\int_(a)^(b) f(x) dx =F(x)|_(a)^(b)= F(b) - F(a)

Kde F(x)- primitivní pro f(x)

Tedy integrál funkce f(x) na intervalu se rovná rozdílu primitivních prvků v bodech b A A.

Oblast zakřiveného lichoběžníku

Křivočarý lichoběžník je obrazec ohraničený grafem funkce, která je nezáporná a spojitá na intervalu F, Ox osa a přímky x = a A x = b.

Oblast zakřiveného lichoběžníku se zjistí pomocí vzorce Newton-Leibniz:

S= \int_(a)^(b) f(x) dx

Řešení integrálů je snadný úkol, ale jen pro pár vyvolených. Tento článek je pro ty, kteří se chtějí naučit rozumět integrálům, ale nevědí o nich nic nebo téměř nic. Integrální... Proč je to potřeba? Jak to vypočítat? Co je jisté a neurčitý integrál s? Pokud jediné použití, které znáte pro integrál, je použití háčku ve tvaru integrální ikony, abyste získali něco užitečného z těžko dostupných míst, pak vítejte! Zjistěte, jak řešit integrály a proč se bez toho neobejdete.

Studujeme pojem "integrální"

Integrace byla známá již ve starověkém Egyptě. Samozřejmě ne v moderní podobě, ale přece. Od té doby matematici napsali mnoho knih na toto téma. Zvláště se vyznamenali Newton A Leibniz , ale podstata věcí se nezměnila. Jak porozumět integrálům od začátku? V žádném případě! K pochopení tohoto tématu budete stále potřebovat základní znalosti základů matematické analýzy. Právě tyto základní informace najdete na našem blogu.

Neurčitý integrál

Pojďme mít nějakou funkci f(x) .

Neurčitá integrální funkce f(x) tato funkce se nazývá F(x) , jehož derivace se rovná funkci f(x) .

Jinými slovy, integrál je derivace obráceně nebo primitivní. Ostatně, přečtěte si o tom v našem článku.

Pro všechny spojité funkce existuje primitivní funkce. K primitivní derivaci se také často přidává konstantní znaménko, protože derivace funkcí, které se liší konstantou, se shodují. Proces hledání integrálu se nazývá integrace.

Jednoduchý příklad:

Abychom neustále nepočítali primitivní funkce elementárních funkcí, je vhodné je dát do tabulky a použít hotové hodnoty:

Určitý integrál

Když se zabýváme pojmem integrál, máme co do činění s nekonečně malými veličinami. Integrál pomůže vypočítat plochu postavy, hmotnost nejednotného těla, vzdálenost ujetou při nerovnoměrném pohybu a mnoho dalšího. Je třeba si uvědomit, že integrál je součtem nekonečně velkého počtu nekonečně malých členů.

Jako příklad si představte graf nějaké funkce. Jak najít oblast obrázku ohraničenou grafem funkce?

Pomocí integrálu! Rozdělme křivočarý lichoběžník, omezený souřadnicovými osami a grafem funkce, na nekonečně malé segmenty. Tímto způsobem bude obrázek rozdělen do tenkých sloupců. Součet ploch sloupců bude plocha lichoběžníku. Pamatujte však, že takový výpočet poskytne přibližný výsledek. Čím menší a užší segmenty však budou, tím přesnější bude výpočet. Pokud je zmenšíme do takové míry, že délka bude mít tendenci k nule, pak součet ploch segmentů bude mít tendenci k ploše obrázku. Toto je určitý integrál, který se zapisuje takto:

Body aab se nazývají limity integrace.

Bari Alibasov a skupina "Integral"

Mimochodem! Pro naše čtenáře je nyní sleva 10 %.

Pravidla pro výpočet integrálů pro figuríny

Vlastnosti neurčitého integrálu

Jak vyřešit neurčitý integrál? Zde se podíváme na vlastnosti neurčitého integrálu, které se budou hodit při řešení příkladů.

• Derivace integrálu se rovná integrandu:

• Konstantu lze vyjmout pod znaménkem integrálu:

• Integrál součtu se rovná součtu integrálů. To platí i pro rozdíl:

Vlastnosti určitého integrálu

• Linearita:

• Znaménko integrálu se změní, pokud se meze integrace prohodí:

• Na žádný body A, b A S:

Již jsme zjistili, že určitý integrál je limita součtu. Jak ale získat konkrétní hodnotu při řešení příkladu? K tomu existuje Newton-Leibnizův vzorec:

Příklady řešení integrálů

Níže se podíváme na několik příkladů hledání neurčitých integrálů. Zveme vás, abyste sami přišli na složitost řešení, a pokud je něco nejasné, zeptejte se v komentářích.

Pro posílení materiálu se podívejte na video o tom, jak se integrály řeší v praxi. Nezoufejte, pokud integrál není uveden hned. Zeptejte se a oni vám řeknou vše, co vědí o počítání integrálů. S naší pomocí bude ve vaší moci jakýkoli trojitý nebo zakřivený integrál na uzavřené ploše.

Existují tři základní pravidla pro hledání primitivních funkcí. Jsou velmi podobná odpovídajícím pravidlům diferenciace.

Pravidlo 1

Jestliže F je primitivní prvek pro nějakou funkci f a G je primitivní prvek pro nějakou funkci g, pak F + G bude primitivní prvek pro f + g.

Podle definice primitivního derivátu je F' = f. G' = g. A protože jsou tyto podmínky splněny, pak podle pravidla pro výpočet derivace pro součet funkcí budeme mít:

(F + G)‘ = F‘ + G‘ = f + g.

Pravidlo 2

Jestliže F je primitivní funkce pro nějakou funkci f, ak je nějaká konstanta. Potom k*F je primitivní funkce k*f. Toto pravidlo vyplývá z pravidla pro výpočet derivace komplexní funkce.

Máme: (k*F)' = k*F' = k*f.

Pravidlo 3

Jestliže F(x) je nějaká primitivní funkce pro funkci f(x) a kab jsou nějaké konstanty a k se nerovná nule, pak (1/k)*F*(k*x+b) bude primitivní funkce pro funkci f (k*x+b).

Toto pravidlo vyplývá z pravidla pro výpočet derivace komplexní funkce:

((1/k)*F*(k*x+b))' = (1/k)*F'(k*x+b)*k = f(k*x+b).

Podívejme se na několik příkladů, jak tato pravidla platí:

Příklad 1. Najděte obecný tvar primitivních funkcí pro funkci f(x) = x^3 +1/x^2. Pro funkci x^3 bude jednou z primitivních funkcí funkce (x^4)/4 a pro funkci 1/x^2 jednou z primitivních funkcí bude funkce -1/x. Pomocí prvního pravidla máme:

F(x) = x^4/4 - 1/x +C.

Příklad 2. Pojďme najít obecný tvar primitivních funkcí pro funkci f(x) = 5*cos(x). Pro funkci cos(x) bude jednou z primitivních funkcí funkce sin(x). Pokud nyní použijeme druhé pravidlo, budeme mít:

F(x) = 5*sin(x).

Příklad 3 Najděte jednu z primitivních funkcí pro funkci y = sin(3*x-2). Pro funkci sin(x) bude jednou z primitivních funkcí funkce -cos(x). Pokud nyní použijeme třetí pravidlo, získáme výraz pro primitivní derivaci:

F(x) = (-1/3)*cos(3*x-2)

Příklad 4. Najděte primitivní funkci pro funkci f(x) = 1/(7-3*x)^5

Primitivní funkcí pro funkci 1/x^5 bude funkce (-1/(4*x^4)). Nyní pomocí třetího pravidla dostáváme.

Viděli jsme, že derivace má četná použití: derivace je rychlost pohybu (nebo obecněji rychlost jakéhokoli procesu); derivace je sklon tečny ke grafu funkce; pomocí derivace můžete zkoumat funkci na monotónnost a extrémy; derivace pomáhá řešit optimalizační problémy.

V reálném životě ale musíme řešit i inverzní problémy: například spolu s problémem zjištění rychlosti podle známého pohybového zákona narazíme i na problém obnovení pohybového zákona podle známé rychlosti. Podívejme se na jeden z těchto problémů.

Příklad 1. Hmotný bod se pohybuje přímočaře, jeho rychlost v čase t je dána vzorcem u = tg. Najděte zákon pohybu.

Řešení. Nechť s = s(t) je požadovaný pohybový zákon. Je známo, že s"(t) = u"(t). To znamená, že k vyřešení problému si musíte vybrat funkce s = s(t), jehož derivace je rovna tg. To není těžké uhodnout

Ihned poznamenejme, že příklad je vyřešen správně, ale neúplně. Zjistili jsme, že ve skutečnosti má problém nekonečně mnoho řešení: jakoukoli funkci formy libovolná konstanta může sloužit jako zákon pohybu, protože

Aby byl úkol konkrétnější, potřebovali jsme opravit výchozí situaci: označit souřadnici pohybujícího se bodu v určitém okamžiku, například v t=0. Pokud řekněme s(0) = s 0, pak z rovnosti dostaneme s(0) = 0 + C, tj. S 0 = C. Nyní je pohybový zákon jednoznačně definován:
V matematice se vzájemně inverzním operacím dávají různá jména a vynalézají se speciální zápisy: například kvadratura (x 2) a odebírání druhé odmocniny ze sinus (sinх) a arcsinus(arcsin x) atd. Proces hledání derivace dané funkce se nazývá derivace a operace inverzní, tzn. proces hledání funkce z dané derivace - integrace.
Samotný pojem „derivát“ lze odůvodnit „v každodenním životě“: funkce y - f(x) „zrodí“ novou funkci y"= f"(x). Funkce y = f(x) působí jako „rodič“, ale matematici tomu přirozeně neříkají „rodič“ nebo „producent“, říkají, že toto je ve vztahu k funkci y"=f"(x) primární obraz, nebo, in zkratka, primitivní.

Definice 1. Funkce y = F(x) se nazývá primitivní pro funkci y = f(x) na daném intervalu X, pokud pro všechna x z X platí rovnost F"(x)=f(x).

V praxi se interval X obvykle neuvádí, ale je implikován (jako přirozená doména definice funkce).

Zde jsou nějaké příklady:

1) Funkce y = x 2 je primitivní pro funkci y = 2x, protože pro všechna x platí rovnost (x 2)" = 2x.
2) funkce y - x 3 je primitivní pro funkci y-3x 2, protože pro všechna x platí rovnost (x 3)" = 3x 2.
3) Funkce y-sinх je primitivní pro funkci y = cosx, protože pro všechna x platí rovnost (sinx)" = cosx.
4) Funkce je primitivní pro funkci na intervalu, protože pro všechna x > 0 platí rovnost
Obecně platí, že při znalosti vzorců pro hledání derivátů není těžké sestavit tabulku vzorců pro hledání primitivních derivátů.

Doufáme, že chápete, jak se tato tabulka sestavuje: derivace funkce, která je zapsána ve druhém sloupci, se rovná funkci, která je zapsána v odpovídajícím řádku prvního sloupce (zkontrolujte to, nebuďte líní, je to velmi užitečné). Například pro funkci y = x 5 je primitivní funkcí, jak určíte, funkce (viz čtvrtý řádek tabulky).

Poznámky: 1. Níže dokážeme větu, že pokud y = F(x) je primitivní funkce pro funkci y = f(x), pak funkce y = f(x) má nekonečně mnoho primitivních funkcí a všechny mají tvar y = F(x ) + C. Proto by bylo správnější přidat výraz C všude do druhého sloupce tabulky, kde C je libovolné reálné číslo.
2. Kvůli stručnosti se někdy místo fráze „funkce y = F(x) je primitivní funkcí funkce y = f(x)“ říká, že F(x) je primitivní funkcí funkce f(x) .“

2. Pravidla pro hledání primitivních derivátů

Při hledání primitivních, stejně jako při hledání derivátů, se používají nejen vzorce (jsou uvedeny v tabulce na str. 196), ale i některá pravidla. Přímo souvisejí s odpovídajícími pravidly pro výpočet derivátů.

Víme, že derivace součtu se rovná součtu jeho derivací. Toto pravidlo generuje odpovídající pravidlo pro hledání primitivních derivátů.

Pravidlo 1. Primitivní prvek součtu se rovná součtu primitivních prvků.

Upozorňujeme na poněkud „lehkost“ této formulace. Ve skutečnosti bychom měli formulovat větu: pokud funkce y = f(x) a y = g(x) mají primitivní funkce na intervalu X, respektive y-F(x) a y-G(x), pak součet funkcí y = f(x)+g(x) má primitivní prvek na intervalu X a tímto primitivním prvkem je funkce y = F(x)+G(x). Ale obvykle, když formulují pravidla (a ne věty), ponechávají pouze klíčová slova- to usnadňuje aplikaci pravidla v praxi

Příklad 2 Najděte primitivní funkci pro funkci y = 2x + cos x.

Řešení. Primitivní funkce pro 2x je x"; primitivní pro funkci cox je sin x. To znamená, že primitivní funkcí pro funkci y = 2x + cos x bude funkce y = x 2 + sin x (a obecně jakákoli funkce tvaru Y = x 1 + sinx + C).
Víme, že konstantní faktor lze vyjmout ze znaménka derivace. Toto pravidlo generuje odpovídající pravidlo pro hledání primitivních derivátů.

Pravidlo 2. Konstantní faktor lze vyjmout ze znaménka primitivního prvku.

Příklad 3

Řešení. a) Prvkem pro sin x je -soz x; To znamená, že pro funkci y = 5 sin x bude primitivní funkce funkce y = -5 cos x.

b) primitivní pro cos x je sin x; To znamená, že primitivní funkcí funkce je funkce
c) Primitivní prvek pro x 3 je primitivní prvek pro x je primitivní prvek pro funkci y = 1 je funkce y = x. Pomocí prvního a druhého pravidla pro hledání primitivních funkcí zjistíme, že primitivní funkcí pro funkci y = 12x 3 + 8x-1 je funkce
Komentář. Jak známo, derivace součinu se nerovná součinu derivátů (pravidlo pro derivování součinu je složitější) a derivace kvocientu se nerovná podílu derivátů. Neexistují tedy žádná pravidla pro nalezení primitivního součinu nebo primitivního kvocientu dvou funkcí. Buď opatrný!
Získáme další pravidlo pro hledání primitivních derivátů. Víme, že derivaci funkce y = f(kx+m) vypočítáme podle vzorce

Toto pravidlo generuje odpovídající pravidlo pro hledání primitivních derivátů.
Pravidlo 3. Jestliže y = F(x) je primitivní funkce pro funkci y = f(x), pak primitivní funkce pro funkci y=f(kx+m) je funkce

Vskutku,

To znamená, že je to primitivní funkce pro funkci y = f(kx+m).
Význam třetího pravidla je následující. Pokud víte, že primitivní funkce y = f(x) je funkce y = F(x), a potřebujete najít primitivní funkci funkce y = f(kx+m), postupujte takto: vezměte stejná funkce F, ale místo argumentu x dosaďte výraz kx+m; navíc nezapomeňte před znak funkce napsat „korekční faktor“.
Příklad 4. Najděte primitivní funkce pro dané funkce:

Řešení, a) Prvkem pro sin x je -soz x; To znamená, že pro funkci y = sin2x bude primitivní funkce
b) primitivní pro cos x je sin x; To znamená, že primitivní funkcí funkce je funkce

c) Primitivní pro x 7 znamená, že pro funkci y = (4-5x) 7 bude primitivní funkce

3. Neurčitý integrál

Již výše jsme poznamenali, že problém nalezení primitivní funkce pro danou funkci y = f(x) má více než jedno řešení. Pojďme si tento problém probrat podrobněji.

Důkaz. 1. Nechť y = F(x) je primitivní funkce pro funkci y = f(x) na intervalu X. To znamená, že pro všechna x z X platí rovnost x"(x) = f(x). najděte derivaci libovolné funkce ve tvaru y = F(x)+C:
(F(x) +C) = F"(x) +C = f(x) +0 = f(x).

Takže (F(x)+C) = f(x). To znamená, že y = F(x) + C je primitivní funkce pro funkci y = f(x).
Dokázali jsme tedy, že pokud má funkce y = f(x) primitivní y=F(x), pak funkce (f = f(x) má nekonečně mnoho primitivních funkcí, například jakákoli funkce tvaru y = F(x) +C je primitivní.
2. Dokažme nyní, že naznačený typ funkcí vyčerpává celou množinu primitivních funkcí.

Nechť y=F 1 (x) a y=F(x) jsou dvě primitivní funkce pro funkci Y = f(x) na intervalu X. To znamená, že pro všechna x z intervalu X platí vztahy: F^ ( x) = f (X); F"(x) = f(x).

Uvažujme funkci y = F 1 (x) -.F(x) a najdeme její derivaci: (F, (x) -F(x))" = F[(x)-F(x) = f(x ) - f(x) = 0.
Je známo, že pokud je derivace funkce na intervalu X shodně rovna nule, pak je funkce na intervalu X konstantní (viz věta 3 z § 35). To znamená, že F 1 (x) - F (x) = C, tzn. Fx) = F(x)+C.

Věta byla prokázána.

Příklad 5. Zákon změny rychlosti s časem je dán: v = -5sin2t. Najděte pohybový zákon s = s(t), je-li známo, že v čase t=0 byla souřadnice bodu rovna číslu 1,5 (tj. s(t) = 1,5).

Řešení. Vzhledem k tomu, že rychlost je derivací souřadnice jako funkce času, musíme nejprve najít primitivní derivaci rychlosti, tzn. primitivní pro funkci v = -5sin2t. Jedním z takových primitiv je funkce a množina všech primitiv má tvar:

Ke zjištění konkrétní hodnoty konstanty C použijeme počáteční podmínky, podle kterých s(0) = 1,5. Dosazením hodnot t=0, S = 1,5 do vzorce (1) dostaneme:

Dosazením nalezené hodnoty C do vzorce (1) získáme pohybový zákon, který nás zajímá:

Definice 2. Má-li funkce y = f(x) primitivní y = F(x) na intervalu X, pak množina všech primitiv, tzn. množina funkcí tvaru y = F(x) + C se nazývá neurčitý integrál funkce y = f(x) a značí se:

(čti: „neurčitý integrál ef z x de x“).
V dalším odstavci zjistíme, co je skrytý význam uvedené označení.
Na základě tabulky primitivních funkcí dostupných v této části sestavíme tabulku hlavních neurčitých integrálů:

Na základě výše uvedených tří pravidel pro hledání primitivních prvků můžeme formulovat odpovídající integrační pravidla.

Pravidlo 1. Integrál součtu funkcí se rovná součtu integrálů těchto funkcí:

Pravidlo 2. Konstantní faktor lze vyjmout z integrálního znaménka:

Pravidlo 3. Li

Příklad 6. Najděte neurčité integrály:

Řešení, a) Pomocí prvního a druhého pravidla integrace získáme:

Nyní použijeme 3. a 4. integrační vzorec:

V důsledku toho dostaneme:

b) Pomocí třetího integračního pravidla a vzorce 8 získáme:

c) K přímému nalezení daného integrálu nemáme ani odpovídající vzorec, ani odpovídající pravidlo. V takových případech někdy pomohou dříve provedené identické transformace výrazu obsaženého pod znaménkem integrálu.

Využijme toho trigonometrický vzorec Snížení stupně:

Pak postupně zjistíme:

A.G. Mordkovichova algebra 10. třída

Kalendář-tematické plánování v matematice, video v matematice online, Matematika ve škole