Perelmanovo řešení Poincarého domněnky. Milion dolarů za díru na koblihu

Co je podstatou Poincarého věty?

1. E prokázala Zrzavá Sophia, ale je také ZRUŠOVANÁ....
2. Pointa je, že vesmír nemá tvar koule, ale jako kobliha.
3. Smysl Poincarého domněnky v její původní formulaci je ten, že pro každé trojrozměrné těleso bez děr existuje transformace, která umožní jeho přeměnu v kouli bez řezání a lepení. Pokud se to zdá zřejmé, co když prostor není trojrozměrný, ale obsahuje deset nebo jedenáct dimenzí (to znamená, že mluvíme o zobecněné formulaci Poincarého domněnky, kterou Perelman dokázal)
4. nedá se to říct 2 slovy
5. V roce 1900 Poincaré navrhl, že trojrozměrná varieta se všemi skupinami homologie koule je homeomorfní ke kouli. V roce 1904 také našel protipříklad, nyní nazývaný Poincarého koule, a formuloval konečnou verzi své hypotézy. Pokusy dokázat Poincarého domněnku vedly k četným pokrokům v topologii manifoldů.

   Důkazy zobecněné Poincarého domněnky pro n # 10878; 5 byly získány na počátku 60. a 70. let téměř současně Smalem, nezávisle a jinými metodami Stallings (anglicky) (pro n # 10878; 7, jeho důkaz rozšířil na případy n = 5 a 6 Zeeman (anglicky)) . Důkaz mnohem obtížnějšího případu n = 4 získal až v roce 1982 Friedman. Z Novikovovy věty o topologické invarianci Pontrjaginových charakteristických tříd vyplývá, že existují homotopické ekvivalentní, ale ne homeomorfní variety ve vysokých dimenzích.

   Důkaz původní Poincarého domněnky (a obecnější trstonské domněnky) našel až v roce 2002 Grigory Perelman. Následně byl Perelmanův důkaz ověřen a předložen v rozšířené podobě nejméně třemi skupinami vědců. 1 Důkaz využívá Ricciho tok s chirurgickým zákrokem a do značné míry se řídí plánem nastíněným Hamiltonem, který byl také prvním, kdo Ricciho tok použil.

6. kdo je to
7. Poincareho věta:
   Poincarého věta o vektorových polích
   Bendixsonova Poincarého věta
   Poincarého věta o klasifikaci kruhových homeomorfismů
   Poincarého domněnka o sféře homotopie
   Poincarého návratová věta

   Na který se ptáš?

8. V teorii dynamických systémů Poincarého věta o klasifikaci homeomorfismů kruhu popisuje možné typy invertibilní dynamiky na kruhu v závislosti na rotačním čísle p(f) iterovaného zobrazení f. Zhruba řečeno se ukazuje, že dynamika iterací mapování je do jisté míry podobná dynamice rotace o odpovídající úhel.
   Jmenovitě, nechť je dán kruhový homeomorfismus f. Pak:
   1) Rotační číslo je racionální právě tehdy, když f má periodické body. V tomto případě je jmenovatelem rotačního čísla perioda libovolného periodického bodu a cyklické pořadí na kružnici bodů libovolné periodické oběžné dráhy je stejné jako pořadí bodů rotační oběžné dráhy na p(f). Dále, jakákoli trajektorie má tendenci k určité periodicitě jak v dopředném, tak ve zpětném čase (a- a -w limitní trajektorie mohou být různé).
   2) Pokud je číslo rotace f iracionální, jsou možné dvě možnosti:
   i) buď f má hustou orbitu, v takovém případě je homeomorfismus f konjugován s rotací pomocí p(f). V tomto případě jsou všechny oběžné dráhy f husté (protože toto platí pro iracionální rotaci);
   ii) buď f má Cantorovu invariantní množinu C, což je jediná minimální množina systému. V tomto případě mají všechny trajektorie tendenci k C jak v dopředném, tak i zpětném čase. Kromě toho je zobrazení f semikonjugováno s rotací pomocí p(f): pro některé zobrazení h stupně 1 platí p o f = R p (f) o h

   Navíc množina C je přesně množinou růstových bodů h; jinými slovy, z topologického hlediska h sráží intervaly doplňku k C.

9. jádrem věci je 1 milion dolarů
10. To, že jí nikdo kromě 1 osoby nerozumí
11. Ve francouzské zahraniční politice...
12. Zde Lka odpověděla nejlépe ze všech http://otvet.mail.ru/question/24963208/
13. Brilantní matematik a pařížský profesor Henri Poincaré pracoval v různých oblastech této vědy. Nezávisle a nezávisle na Einsteinově práci v roce 1905 předložil hlavní principy Speciální teorie relativity. A svou slavnou hypotézu zformuloval už v roce 1904, takže její vyřešení trvalo asi století.

    Poincaré byl jedním ze zakladatelů topologie, vědy o vlastnostech geometrických útvarů, které se nemění při deformacích, ke kterým dochází bez přerušení. Například balónek lze snadno deformovat do různých tvarů, jako to dělají děti v parku. Ale budete muset kouli uříznout, abyste ji mohli zkroutit do koblihy (nebo, v geometrickém jazyce, torus); neexistuje žádný jiný způsob. A naopak: vezměte gumovou koblihu a zkuste z ní udělat kouli. Stále to však nebude fungovat. Podle jejich topologických vlastností jsou povrchy koule a torusu nekompatibilní nebo nehomeomorfní. Ale jakékoli povrchy bez děr (uzavřené povrchy) jsou naopak homeomorfní a mohou se deformovat a přeměnit na kouli.

    Pokud se o dvourozměrných plochách koule a torusu rozhodlo vše v 19. století, u vícerozměrných případů to trvalo mnohem déle. To je ve skutečnosti podstata Poincarého domněnky, která rozšiřuje vzor na vícerozměrné případy. Když to trochu zjednoduším, Poincarého domněnka říká: Každá jednoduše připojená uzavřená n-rozměrná varieta je homeomorfní k n-rozměrné kouli. Je legrační, že varianta s trojrozměrnými plochami se ukázala jako nejobtížnější. V roce 1960 byla hypotéza prokázána pro dimenze 5 a vyšší, v roce 1981 pro n=4. Kamenem úrazu byla právě trojrozměrnost.

    Grigory Perelman rozvíjel myšlenky Williama Trstena a Richarda Hamiltona, které navrhli v 80. letech 20. století, aplikoval speciální rovnici hladké evoluce na trojrozměrné povrchy. A byl schopen ukázat, že původní trojrozměrný povrch (pokud v něm nejsou žádné diskontinuity) se nutně vyvine do trojrozměrné koule (toto je povrch čtyřrozměrné koule a existuje ve čtyřrozměrném prostor). Podle řady odborníků šlo o myšlenku nové generace, jejíž řešení otevírá matematické vědě nové obzory.

    Je zajímavé, že sám Perelman se z nějakého důvodu neobtěžoval dovést své rozhodnutí ke konečnému lesku. Poté, co v listopadu 2002 popsal řešení jako celek v předtisku Vzorec entropie pro Ricciho tok a jeho geometrické aplikace v listopadu 2002, v březnu 2003 doplnil důkaz a předložil jej v předtisku Ricciho toku s operací na třech potrubích a také uvedl o metodě v cyklech přednášek, které přednesl v roce 2003 na pozvání řady univerzit. Žádný z recenzentů nemohl najít chyby v jím navrhované verzi, ale Perelman nezveřejnil publikaci v recenzované vědecké publikaci (což bylo zejména nutnou podmínkou pro získání Ceny Clayova matematického ústavu). Ale v roce 2006 byla na základě jeho metody vydána celá sada důkazů, ve kterých američtí a čínští matematici problém podrobně a kompletně prozkoumali, doplnili Perelmanem vynechané body a poskytli konečný důkaz Poincarého domněnky.

14. Zobecněná Poincarého domněnka říká, že:
    Pro libovolné n je jakákoli varieta dimenze n homotopická ekvivalentní sféře dimenze n právě tehdy, pokud je k ní homeomorfní.
    Původní Poincarého domněnka je speciální případ zobecněné domněnky pro n = 3.
    Pro upřesnění jděte do lesa na houby, tam jde Grigory Perelman)
15. Poincarého návratový teorém je jedním ze základních teorémů ergodické teorie. Jeho podstatou je, že při mapování prostoru na sebe, který si zachovává míru, se téměř každý bod vrátí do svého počátečního sousedství. Úplná formulace věty je následující: 1:
    Nechť je míra zachovávající transformace prostoru s konečnou mírou a nechť je měřitelná množina. Pak pro jakékoli přírodní
    .
    Tato věta má neočekávaný důsledek: ukazuje se, že pokud v nádobě rozdělené přepážkou na dva oddíly, z nichž jeden je naplněn plynem a druhý je prázdný, je přepážka odstraněna, pak se po nějaké době všechny molekuly plynu odstraní znovu shromáždit v původní části plavidla. Řešením tohoto paradoxu je, že nějaký čas se pohybuje v řádu miliard let.
16. má teorémy jako o zabitých psech v Koreji...

    vesmír je kulový... http://ru.wikipedia.org/wiki/Poincaré, _Henri

    Včera vědci oznámili, že vesmír je zmrzlá látka... a požádali o spoustu peněz, aby to dokázali... opět Merikos zapnou tiskařský lis... pro pobavení vaječných hlav...

17. Pokuste se dokázat, kde je nahoře a kde dole v nulové gravitaci.
18. Včera byl na KULTURU nádherný film, ve kterém byl tento problém podrobně vysvětlen. Možná to ještě mají?

    http://video.yandex.ru/#search?text=РРР SR R РРРРР ССРРРwhere=allfilmId=36766495-03-12
    Přihlaste se do Yandexu a napište Film o Perelmanovi a jděte na film

Grigorij Perelman. odmítač

Vasilij Maksimov

V srpnu 2006 byla oznámena jména nejlepších matematiků planety, kteří obdrželi prestižní Fieldsovu medaili - jakousi obdobu Nobelovy ceny, o kterou byli matematici z rozmaru Alfreda Nobela připraveni. Fieldsova medaile – kromě čestného odznaku je vítězům udělen šek na patnáct tisíc kanadských dolarů – uděluje Mezinárodní kongres matematiků každé čtyři roky. Založil ji kanadský vědec John Charles Fields a poprvé byla oceněna v roce 1936. Od roku 1950 je Fieldsova medaile pravidelně udělována osobně španělským králem za jeho přínos k rozvoji matematické vědy. Vítězi ceny mohou být jeden až čtyři vědci do čtyřiceti let. Cenu už obdrželo 44 matematiků, z toho osm Rusů.

Grigorij Perelman. Henri Poincaré.

V roce 2006 se laureáty stali Francouz Wendelin Werner, Australan Terence Tao a dva Rusové - Andrey Okunkov působící v USA a Grigorij Perelman, vědec z Petrohradu. Na poslední chvíli však vyšlo najevo, že Perelman toto prestižní ocenění odmítl – jak pořadatelé oznámili, „z principiálních důvodů“.

Takový extravagantní čin ruského matematika nebyl pro lidi, kteří ho znali, překvapením. Není to poprvé, co odmítl matematické ceny a své rozhodnutí vysvětlil tím, že nemá rád slavnostní události a zbytečný humbuk kolem svého jména. Před deseti lety, v roce 1996, Perelman odmítl cenu Evropského matematického kongresu s odkazem na skutečnost, že nedokončil práci na vědeckém problému nominovaném na cenu, a nebyl to poslední případ. Zdálo se, že si ruský matematik stanovil za svůj životní cíl překvapit lidi, čímž šel proti veřejnému mínění a vědecké komunitě.

Grigorij Jakovlevič Perelman se narodil 13. června 1966 v Leningradu. Od mládí měl zálibu v exaktních vědách, bravurně vystudoval slavnou 239. střední školu s hloubkovým studiem matematiky, vyhrál četné matematické olympiády: např. v roce 1982 se jako součást týmu sovětských školáků zúčastnil na Mezinárodní matematické olympiádě v Budapešti. Bez zkoušek byl Perelman zapsán na Fakultu mechaniky a matematiky na Leningradské univerzitě, kde studoval s vynikajícími známkami a nadále vyhrával matematické soutěže na všech úrovních. Po absolvování univerzity s vyznamenáním nastoupil na postgraduální studium v ​​petrohradské pobočce Steklovského matematického institutu. Jeho vědeckým vedoucím byl slavný matematik akademik Aleksandrov. Grigorij Perelman po obhajobě doktorské práce zůstal na ústavu v laboratoři geometrie a topologie. Známé jsou jeho práce o teorii Alexandrovových prostorů, dokázal najít důkazy pro řadu důležitých dohadů. Přes četné nabídky předních západních univerzit dává Perelman přednost práci v Rusku.

Jeho nejpozoruhodnějším úspěchem bylo v roce 2002 řešení slavného Poincarého domněnky, publikované v roce 1904 a od té doby zůstalo neprokázané. Perelman na něm pracoval osm let. Poincarého domněnka byla považována za jednu z největších matematických záhad a její vyřešení bylo považováno za nejdůležitější úspěch matematické vědy: okamžitě posouvá výzkum problémů fyzikálních a matematických základů vesmíru. Nejprominentnější mozky planety předpověděly jeho řešení až za několik desetiletí a Clay Institute of Mathematics v Cambridge ve státě Massachusetts zařadil Poincarého problém mezi sedm nejzajímavějších nevyřešených matematických problémů tisíciletí, pro řešení každého z nich byla přislíbena cena za milion dolarů (Problémy s cenami tisíciletí).

Dohad (někdy nazývaný problém) francouzského matematika Henriho Poincarého (1854–1912) je formulován následovně: jakýkoli uzavřený jednoduše spojený trojrozměrný prostor je homeomorfní k trojrozměrné kouli. Pro upřesnění použijte jasný příklad: pokud omotáte jablko gumičkou, pak v zásadě utažením pásky jablko stlačíte do bodu. Pokud omotáte koblihu stejnou páskou, nemůžete ji stlačit do bodu, aniž byste koblihu nebo gumu neroztrhli. V této souvislosti se jablko nazývá „jednoduše spojená“ figurka, ale kobliha není jednoduše spojena. Téměř před sto lety Poincaré zjistil, že dvourozměrná koule je jednoduše spojena, a navrhl, že trojrozměrná koule je také jednoduše spojena. Nejlepší matematici na světě nedokázali tuto hypotézu dokázat.

Aby se Perelman kvalifikoval na cenu Clay Institute Prize, stačilo publikovat své řešení v jednom z vědeckých časopisů, a pokud do dvou let nikdo nenašel chybu v jeho výpočtech, pak by bylo řešení považováno za správné. Perelman se však od pravidel odchýlil hned od začátku, své rozhodnutí zveřejnil na předtiskovém webu Los Alamos Scientific Laboratory. Možná se bál, že se mu do výpočtů vloudila chyba – podobný příběh se už v matematice stal. V roce 1994 anglický matematik Andrew Wiles navrhl řešení slavné Fermatovy věty a o několik měsíců později se ukázalo, že se do jeho výpočtů vloudila chyba (ačkoli byla později opravena a senzace stále probíhala). Dosud neexistuje oficiální zveřejnění důkazu Poincarého domněnky, ale existuje autoritativní názor nejlepších matematiků na planetě potvrzující správnost Perelmanových výpočtů.

Fieldsova medaile byla udělena Grigorymu Perelmanovi právě za vyřešení Poincarého problému. Ale ruský vědec odmítl cenu, kterou si nepochybně zaslouží. „Gregory mi řekl, že se cítí izolován od mezinárodní matematické komunity mimo tuto komunitu, a proto nechce získat cenu,“ řekl Angličan John Ball, prezident Světové unie matematiků (WUM), na tiskové konferenci v r. Madrid.

Proslýchá se, že Grigorij Perelman se chystá z vědy úplně odejít: před půl rokem dal výpověď v rodném Steklově matematickém ústavu a říkají, že už nebude studovat matematiku. Možná se ruský vědec domnívá, že prokázáním slavné hypotézy udělal pro vědu vše, co mohl. Ale kdo se zaváže diskutovat o myšlenkovém pochodu tak bystrého vědce a mimořádného člověka?... Perelman odmítá jakékoli komentáře a deníku The Daily Telegraph řekl: „Nic z toho, co mohu říci, není v nejmenším zájmu veřejnosti.“ Přední vědecké publikace však byly ve svých hodnoceních jednomyslné, když uvedly, že „Grigory Perelman, když vyřešil Poincarého teorém, stál na stejné úrovni jako největší géniové minulosti i současnosti“.

Měsíčník literární a publicistický časopis a nakladatelství.

Vědci se domnívají, že 38letý ruský matematik Grigory Perelman navrhl správné řešení Poincarého problému. Na vědeckém festivalu v Exeteru (UK) to řekl Keith Devlin, profesor matematiky na Stanfordské univerzitě.

Poincarého problém (nazývaný také problém nebo hypotéza) je jedním ze sedmi nejdůležitějších matematických problémů, za vyřešení každého z nich udělil cenu jeden milion dolarů. Právě to přitáhlo tak širokou pozornost k výsledkům získaným Grigory Perelmanem, zaměstnancem laboratoře matematické fyziky.

Vědci z celého světa se o Perelmanových úspěších dozvěděli ze dvou předtisků (článků předcházejících plnohodnotné vědecké publikaci), které autor zveřejnil v listopadu 2002 a březnu 2003 na webových stránkách archivu přípravných prací vědecké laboratoře Los Alamos.

Podle pravidel přijatých Vědeckou poradní radou Clay Institute musí být nová hypotéza publikována ve specializovaném časopise s „mezinárodní pověstí“. Podle pravidel Institutu navíc o vyplacení ceny nakonec rozhoduje „matematická komunita“: důkaz nesmí být vyvrácen do dvou let po zveřejnění. Každý důkaz je kontrolován matematiky v různých zemích světa.

Poincarého problém

Narozen 13. června 1966 v Leningradu do rodiny zaměstnanců. Vystudoval slavnou střední školu č. 239 s hlubokým studiem matematiky. V roce 1982 se jako součást týmu sovětských školáků zúčastnil Mezinárodní matematické olympiády, která se konala v Budapešti. Bez zkoušek byl zapsán na matematiku a mechaniku na Leningradské státní univerzitě. Vyhrál fakultní, městské i celounijní studentské matematické olympiády. Získal Leninovo stipendium. Po absolvování univerzity nastoupil Perelman na postgraduální studium v ​​petrohradské pobočce Steklovského matematického institutu. Kandidát fyzikálních a matematických věd. Pracuje v laboratoři matematické fyziky.

Poincarého problém se týká oblasti takzvané topologie manifoldů - prostorů uspořádaných zvláštním způsobem, které mají různé rozměry. Dvourozměrné manifoldy lze vizualizovat například na příkladu povrchu trojrozměrných těles - koule (povrch koule) nebo torusu (povrch koblihy).

Je snadné si představit, co se stane s balónkem, pokud je zdeformován (ohnutý, zkroucený, tažený, stlačený, skřípnutý, vyfouknutý nebo nafouknutý). Je jasné, že při všech výše uvedených deformacích bude koule měnit svůj tvar v širokém rozsahu. Nikdy se nám však nepodaří proměnit kouli v koblihu (nebo naopak), aniž bychom neporušili kontinuitu jejího povrchu, tedy aniž bychom ji roztrhli. V tomto případě topologové říkají, že koule (koule) je nehomeomorfní k torusu (kobliha). To znamená, že tyto povrchy nelze vzájemně mapovat. Jednoduše řečeno, koule a torus se liší svými topologickými vlastnostmi. A povrch balónu je při všech možných deformacích homeomorfní ke kouli, stejně jako povrch záchranného kruhu je k torusu. Jinými slovy, jakýkoli uzavřený dvourozměrný povrch, který nemá průchozí otvory, má stejné topologické vlastnosti jako dvourozměrná koule.

TOPOLOGIE, obor matematiky, který se zabývá studiem vlastností obrazců (nebo prostorů), které jsou zachovány při spojitých deformacích, jako je natahování, komprese nebo ohýbání. Souvislá deformace je deformace obrazce, při které nedochází k lomům (tj. narušení celistvosti obrazce) ani slepení (tj. identifikaci jeho bodů).
TOPOLOGICKÁ TRANSFORMACE jednoho geometrického obrazce na jiný je zobrazení libovolného bodu P prvního obrazce do bodu P' jiného obrazce, které splňuje následující podmínky: 1) každý bod P prvního obrazce musí odpovídat jednomu a pouze jednomu bod P' druhého obrázku a naopak; 2) Mapování musí být vzájemně souvislé. Například existují dva body P a N patřící stejnému obrazci. Jestliže, když se bod P posouvá k bodu N, vzdálenost mezi nimi má tendenci k nule, pak by vzdálenost mezi body P' a N' jiného obrazce měla také směřovat k nule a naopak.
HOMEOMORFISMUS. Geometrické obrazce, které se během topologických transformací navzájem přeměňují, se nazývají homeomorfní. Kruh a hranice čtverce jsou homeomorfní, protože je lze vzájemně přeměnit topologickou transformací (tj. ohnutím a natažením bez porušení nebo slepení, například natažením hranice čtverce na kružnici, která je kolem něj opsána) . Oblast, ve které lze libovolnou uzavřenou jednoduchou (tj. homeomorfní kružnici) křivku stáhnout do bodu a přitom zůstat v této oblasti po celou dobu, se nazývá jednoduše spojená a odpovídající vlastnost oblasti je jednoduše spojena. Pokud nějakou uzavřenou jednoduchou křivku této oblasti nelze stáhnout do bodu, přičemž celou dobu zůstává v této oblasti, pak se oblast nazývá vícenásobně spojená a odpovídající vlastnost oblasti se nazývá vícenásobně spojená.

Poincarého problém uvádí totéž pro trojrozměrné variety (u dvourozměrných variet, jako je koule, byl tento bod prokázán již v 19. století). Jak poznamenal francouzský matematik, jednou z nejdůležitějších vlastností dvourozměrné koule je to, že jakoukoli uzavřenou smyčku (například laso), která na ní leží, lze přitáhnout do jednoho bodu, aniž by opustila povrch. U torusu to není vždy pravda: smyčka procházející jeho otvorem bude vytažena do bodu buď při přetržení torusu, nebo při přetržení samotné smyčky. V roce 1904 Poincaré navrhl, že pokud se smyčka může stáhnout do bodu na uzavřeném trojrozměrném povrchu, pak je takový povrch homeomorfní pro trojrozměrnou kouli. Dokázat tuto hypotézu se ukázalo jako nesmírně obtížný úkol.

Hned upřesníme: námi zmíněná formulace Poincarého problému vůbec nehovoří o trojrozměrné kouli, kterou si bez větších potíží dokážeme představit, ale o trojrozměrné kouli, tedy o povrchu čtyřky -rozměrná koule, což je mnohem obtížnější si představit. Ale koncem 50. let se najednou ukázalo, že s vysokorozměrnými manifoldy se pracuje mnohem snadněji než s trojrozměrnými a čtyřrozměrnými. Je zřejmé, že nedostatečná srozumitelnost není zdaleka hlavním problémem, kterému matematici při svém výzkumu čelí.

Problém podobný Poincarého pro dimenze 5 a vyšší vyřešili v roce 1960 Stephen Smale, John Stallings a Andrew Wallace. Přístupy používané těmito vědci se však ukázaly jako neaplikovatelné na čtyřrozměrné variety. Pro ně byl Poincarého problém prokázán až v roce 1981 Michaelem Freedmanem. Jako nejobtížnější se ukázal trojrozměrný případ; Grigory Perelman navrhuje své řešení.

Je třeba poznamenat, že Perelman má soupeře. V dubnu 2002 Martin Dunwoody, profesor matematiky na Britské univerzitě v Southamptonu, navrhl svou metodu řešení Poincarého problému a nyní čeká na verdikt Clayova institutu.

Odborníci se domnívají, že vyřešení Poincarého problému umožní učinit vážný krok v matematickém popisu fyzikálních procesů ve složitých trojrozměrných objektech a dá nový impuls rozvoji počítačové topologie. Metoda navržená Grigory Perelmanem povede k otevření nového směru v geometrii a topologii. Petrohradský matematik se může dobře kvalifikovat na Fieldsovu cenu (obdoba Nobelovy ceny, která se v matematice neuděluje).

Mezitím někteří považují chování Grigorije Perelmana za podivné. Zde je to, co píší britské noviny The Guardian: "Perelmanův přístup k řešení problému Poincarého je s největší pravděpodobností správný. Ale ne všechno je tak jednoduché. Perelman neposkytuje důkaz, že dílo bylo publikováno jako plnohodnotná vědecká publikace (předtisky se za takové nepovažují). A to je nutné, pokud chce člověk získat ocenění od Clay Institute. Kromě toho vůbec nejeví zájem o peníze.“

Pro Grigorije Perelmana, stejně jako pro skutečného vědce, zjevně nejsou peníze to hlavní. Za vyřešení jakéhokoli z takzvaných „problémů tisíciletí“ prodá skutečný matematik svou duši ďáblu.

Seznam tisíciletí

8. srpna 1900 na Mezinárodním matematickém kongresu v Paříži matematik David Hilbert nastínil seznam problémů, o nichž se domníval, že budou muset být ve dvacátém století vyřešeny. Na seznamu bylo 23 položek. Dosud jich bylo vyřešeno dvacet jedna. Posledním problémem na Hilbertově seznamu k vyřešení byla slavná Fermatova věta, kterou vědci nebyli schopni vyřešit 358 let. V roce 1994 navrhl své řešení Brit Andrew Wiles. Ukázalo se, že je to pravda.

Po vzoru Gilberta se na konci minulého století mnoho matematiků pokusilo formulovat podobné strategické úkoly pro 21. století. Jeden z těchto seznamů se stal široce známým díky bostonskému miliardáři Landonu T. Clayovi. V roce 1998 byly z jeho prostředků založeny a zřízeny ceny v Cambridge (Massachusetts, USA) za řešení řady nejdůležitějších problémů moderní matematiky. 24. května 2000 odborníci ústavu vybrali sedm problémů - podle počtu milionů dolarů přidělených na cenu. Seznam se nazývá Millennium Prize Problems:

1. Cookův problém (formulován v roce 1971)

Řekněme, že jste ve velké společnosti a chcete se ujistit, že tam bude i váš přítel. Pokud vám řeknou, že sedí v rohu, pak vám bude stačit zlomek vteřiny, abyste se podívali a přesvědčili se o pravdivosti informace. Bez těchto informací budete nuceni obcházet celou místnost a dívat se na hosty. To naznačuje, že řešení problému často trvá déle než kontrola správnosti řešení.

Stephen Cook formuloval problém: může kontrola správnosti řešení problému trvat déle než získání samotného řešení, bez ohledu na ověřovací algoritmus. Tento problém je také jedním z neřešených problémů v oblasti logiky a informatiky. Jeho řešení by mohlo způsobit revoluci v základech kryptografie používané při přenosu a ukládání dat.

2. Riemannova hypotéza (formulovaná v roce 1859)

Některá celá čísla nelze vyjádřit jako součin dvou menších celých čísel, například 2, 3, 5, 7 a tak dále. Taková čísla se nazývají prvočísla a hrají důležitou roli v čisté matematice a jejích aplikacích. Rozdělení prvočísel mezi řadu všech přirozených čísel se neřídí žádným vzorem. Německý matematik Riemann však učinil domněnku o vlastnostech posloupnosti prvočísel. Pokud se Riemannova hypotéza prokáže, povede to k revoluční změně v našich znalostech šifrování a k bezprecedentnímu průlomu v internetové bezpečnosti.

3. Birchova a Swinnerton-Dyerova hypotéza (formulovaná v roce 1960)

Souvisí s popisem množiny řešení některých algebraických rovnic v několika proměnných s celočíselnými koeficienty. Příkladem takové rovnice je výraz x 2 + y 2 = z 2. Euclid poskytl úplný popis řešení této rovnice, ale pro složitější rovnice je nalezení řešení extrémně obtížné.

4. Hodgeova hypotéza (formulovaná v roce 1941)

Ve 20. století objevili matematici mocnou metodu pro studium tvaru složitých objektů. Hlavní myšlenkou je použít místo samotného předmětu jednoduché „cihly“, které jsou slepené a tvoří jeho podobu. Hodgeova hypotéza je spojena s některými předpoklady týkajícími se vlastností takových „stavebních bloků“ a objektů.

5. Navierovy - Stokesovy rovnice (formulované v roce 1822)

Pokud se plavíte na lodi po jezeře, budou vznikat vlny, a pokud poletíte v letadle, budou ve vzduchu vznikat turbulentní proudy. Předpokládá se, že tyto a další jevy jsou popsány rovnicemi známými jako Navier-Stokesovy rovnice. Řešení těchto rovnic jsou neznámá a ani se neví, jak je vyřešit. Je potřeba ukázat, že řešení existuje a je dostatečně hladkou funkcí. Řešení tohoto problému výrazně změní metody provádění hydro- a aerodynamických výpočtů.

6. Poincarého problém (formulován v roce 1904)

Přetáhnete-li gumičku přes jablko, můžete jej pomalým pohybem pásku, aniž byste jej zvedli z povrchu, stlačit do bodu. Na druhou stranu, pokud je stejný gumový pásek vhodně natažen kolem koblihy, neexistuje způsob, jak pásku stlačit do bodu, aniž by došlo k roztržení pásky nebo zlomení koblihy. Říká se, že povrch jablka je jednoduše spojený, ale povrch koblihy nikoli. Ukázalo se, že je tak obtížné dokázat, že je prostě propojena pouze sféra, že matematici stále hledají správnou odpověď.

7. Yang-Millsovy rovnice (formulované v roce 1954)

Rovnice kvantové fyziky popisují svět elementárních částic. Fyzici Young a Mills, kteří objevili spojení mezi geometrií a částicovou fyzikou, napsali své rovnice. Našli tedy způsob, jak sjednotit teorie elektromagnetických, slabých a silných interakcí. Yang-Millsovy rovnice implikovaly existenci částic, které byly skutečně pozorovány v laboratořích po celém světě, takže Yang-Millsova teorie je akceptována většinou fyziků, přestože v rámci této teorie stále není možné předpovědět hmotností elementárních částic.

Michail Vitebskij

„Problém, který byl vyřešen Perelman, je požadavek dokázat hypotézu předloženou v roce 1904 velkým francouzským matematikem Henri Poincaré(1854-1912) a nesoucí jeho jméno. O úloze Poincarého v matematice je těžké říci lépe, než se to dělá v encyklopedii: „Poincarého práce v oblasti matematiky na jedné straně dotvářejí klasický směr a na druhé straně otevírají cestu k rozvoji nové matematiky, kde se spolu s kvantitativními vztahy zjišťují fakta, která mají kvalitativní charakter“ (TSB, 3. vyd., sv. 2). Poincarého domněnka je právě kvalitativní povahy – stejně jako celá oblast matematiky (zejména topologie), ke které se vztahuje a na jejímž vzniku se Poincaré rozhodujícím způsobem podílel.

V moderním jazyce zní Poincarého domněnka takto: každá jednoduše připojená kompaktní trojrozměrná varieta bez hranic je homeomorfní k trojrozměrné kouli.

V následujících odstavcích se pokusíme alespoň částečně a velmi zhruba vysvětlit význam této děsivé slovní formule. Pro začátek si všimneme, že obyčejná koule, která je povrchem obyčejné koule, je dvourozměrná (a samotná koule je trojrozměrná). Dvourozměrná koule se skládá ze všech bodů trojrozměrného prostoru, které jsou stejně vzdálené od nějakého vybraného bodu, zvaného střed, který do koule nepatří. Trojrozměrná koule se skládá ze všech bodů čtyřrozměrného prostoru, které jsou stejně vzdálené od jeho středu (který do koule nepatří). Na rozdíl od dvourozměrných koulí, trojrozměrných koulí není dostupný naše přímé pozorování a je pro nás stejně těžké si je představit, jako pro Vasilije Ivanoviče představit si čtvercovou trojčlenku ze slavného vtipu. Je však možné, že jsme všichni v trojrozměrné sféře, tedy že náš Vesmír je trojrozměrná.

To je smysl výsledku Perelman pro fyziku a astronomii. Pojem „jednoduše propojená kompaktní trojrozměrná varieta bez hrany“ obsahuje náznaky předpokládaných vlastností našeho Vesmíru. Termín „homeomorfní“ znamená určitý vysoký stupeň podobnosti, v určitém smyslu nerozlišitelnost. Formulace jako celek tedy znamená, že má-li náš Vesmír všechny vlastnosti jednoduše propojené kompaktní trojrozměrné variety bez hrany, pak je – ve stejném „známém smyslu“ – trojrozměrnou koulí.

Koncept jednoduché propojenosti je poměrně jednoduchý koncept. Představme si gumičku (tedy gumovou nit s nalepenými konci) tak elastickou, že když ji nedržíte, stáhne se do puntíku. Od naší gumičky budeme také vyžadovat, aby při zatažení do bodu nepřesahovala plochu, na kterou jsme ji umístili. Pokud takovou gumičku natáhneme na rovinu a uvolníme, okamžitě se smrští do bodu. Totéž se stane, položíme-li gumičku na povrch zeměkoule, tedy na kouli. U povrchu záchranného kruhu bude situace zcela odlišná: laskavý čtenář na tomto povrchu snadno najde taková uspořádání elastiku, ve kterých není možné elastik dotáhnout do bodu, aniž bychom překročili dotyčný povrch. Geometrický obrazec se nazývá jednoduše spojený, jestliže jakýkoli uzavřený obrys nacházející se v mezích tohoto obrazce může být smrštěn do bodu, aniž by překročil pojmenované meze. Právě jsme viděli, že letadlo a koule jsou jednoduše propojeny, ale povrch záchranného kruhu jednoduše spojen není. Rovina s vyříznutým otvorem také není jednoduše spojena. Koncept jednoduché spojitosti platí také pro trojrozměrné postavy. Krychle a koule jsou tedy jednoduše spojeny: jakýkoli uzavřený obrys umístěný v jejich tloušťce lze stáhnout do bodu a během procesu smršťování obrys vždy zůstane v této tloušťce. Bagel však není jednoduše spojený: můžete v něm najít obrys, který nelze stáhnout do bodu, takže během procesu kontrakce je obrys vždy v těstě bagelu. Ani preclík není monopropojený. Prokazatelně je trojrozměrná koule jednoduše propojená.

Doufáme, že čtenář nezapomněl na rozdíl mezi segmentem a intervalem, který se ve škole vyučuje. Úsek má dva konce, skládá se z těchto konců a všech bodů umístěných mezi nimi. Interval se skládá pouze ze všech bodů umístěných mezi jeho konci; samotné konce nejsou zahrnuty v intervalu: můžeme říci, že interval je segment s odstraněnými konci a segment je interval s přidanými konci. to. Interval a segment jsou nejjednodušší příklady jednorozměrných variet, kde interval je varieta bez hrany a segment je varieta s hranou; hrana v případě segmentu sestává ze dvou konců. Hlavní vlastností variet, která je základem jejich definice, je to, že v manifoldu jsou okolí všech bodů, s výjimkou bodů na hraně (které nemusí existovat), uspořádána úplně stejně.

V tomto případě je okolí bodu A sbírka všech bodů umístěných blízko tohoto bodu A. Mikroskopický tvor žijící v manifoldu bez okraje a schopný vidět pouze body tohoto manifoldu nejblíže k sobě není schopen určit, v jakém bodě je, bytí, je: kolem sebe vidí vždy totéž. Další příklady jednorozměrných variet bez hrany: celá přímka, kruh. Příkladem jednorozměrného útvaru, který není varietou, je úsečka ve tvaru písmene T: existuje speciální bod, jehož okolí není podobné okolí jiných bodů – to je bod, kde tři segmenty se setkávají. Dalším příkladem jednorozměrné manifoldy je čára čísla osm; Čtyři linie se zde sbíhají ve zvláštním bodě. Rovina, koule a povrch záchranného kruhu jsou příklady dvourozměrných potrubí bez hrany. Rovina s vyříznutým otvorem bude také rozdělovačem - ale s okrajem nebo bez, záleží na tom, kam umístíme obrys otvoru. Odkazujeme-li na díru, dostaneme rozdělovač bez okraje; ponecháme-li konturu na rovině, dostaneme rozdělovač s hranou, k čemuž tato kontura poslouží. Samozřejmě jsme zde měli na mysli ideální matematické stříhání a při reálném fyzickém stříhání nůžkami nedává otázka, kam patří kontura, žádný smysl.

Pár slov o trojrozměrných varietách. Koule spolu s koulí, která slouží jako její povrch, je manifold s hranou; označená koule je právě tato hrana. Pokud tuto kouli odstraníme z okolního prostoru, získáme rozdělovač bez okraje. Pokud odloupneme povrch koule, dostaneme to, čemu se v matematickém žargonu říká „posypaná koule“ a ve vědečtějším jazyce otevřená koule. Pokud odstraníme otevřenou kouli z okolního prostoru, dostaneme rozdělovač s hranou a hrana bude právě ta koule, kterou jsme od koule odtrhli. Bagel je spolu se svou kůrkou trojrozměrný rozdělovač s okrajem a pokud odtrhnete kůrku (s kterou zacházíme jako s nekonečně tenkou, tedy jako s plochou), dostaneme rozdělovač bez hrany v ve formě „posypaného bagelu“. Veškerý prostor jako celek, pokud jej chápeme tak, jak je chápán na střední škole, je trojrozměrná rozmanitost bez okraje.

Matematický koncept kompaktnosti částečně odráží význam slova „kompaktní“ v běžné ruštině: „blízko“, „stlačený“. Geometrický obrazec se nazývá kompaktní, jestliže se pro jakékoli uspořádání nekonečného počtu jeho bodů nashromáždí k jednomu z bodů nebo k mnoha bodům téhož obrazce. Úsek je kompaktní: pro každou nekonečnou množinu jeho bodů v úsečce existuje alespoň jeden tzv. limitní bod, jehož každé okolí obsahuje nekonečně mnoho prvků uvažované množiny. Interval není kompaktní: můžete určit množinu jeho bodů, které se hromadí směrem k jeho konci a pouze k němu - ale konec do intervalu nepatří!

Z důvodu nedostatku místa se omezíme na tento komentář. Řekněme, že z příkladů, které jsme uvažovali, jsou kompaktními segment, kruh, koule, povrchy bagelu a preclíku, koule (spolu s koulí), bagel a preclík (spolu s jeho krusty). Naproti tomu interval, rovina, pískovaná koule, bagel a preclík nejsou kompaktní. Mezi trojrozměrnými kompaktními geometrickými obrazci bez okraje je nejjednodušší trojrozměrná koule, ale takové obrazce se do našeho obvyklého „školního“ prostoru nehodí. Snad nejhlubší z těch pojmů, které hypotéza spojuje Poincare, je pojem homeomorfie. Homeomorfie je nejvyšší úroveň geometrické stejnosti . Nyní se pokusíme podat přibližné vysvětlení tohoto pojmu postupným přibližováním.

Již ve školní geometrii se setkáváme se dvěma typy stejnosti – shodností figur a jejich podobností. Připomeňme, že obrazce se nazývají kongruentní, pokud se při překrývání vzájemně shodují. Ve škole se zdá, že se shodné figury nerozlišují, a proto se kongruence nazývá rovnost. Shodné obrazce mají ve všech detailech stejné rozměry. Podobnost, aniž by byla vyžadována stejná velikost, znamená stejné proporce těchto velikostí; podobnost tedy odráží podstatnější podobnost čísel než shoda. Geometrie je obecně vyšší úroveň abstrakce než fyzika a fyzika je vyšší než věda o materiálech.

Vezměte si například kuličkové ložisko, kulečníkovou kouli, kroketovou kouli a kouli. Fyzika se nehrabe v takových detailech, jako je materiál, ze kterého jsou vyrobeny, ale zajímá ji pouze takové vlastnosti, jako je objem, hmotnost, elektrická vodivost atd. Pro matematiku jsou to všechno kuličky, liší se pouze velikostí. Pokud mají kuličky různé velikosti, pak jsou různé pro metrickou geometrii, ale všechny jsou stejné pro geometrii podobnosti. Z hlediska geometrie jsou všechny koule a všechny krychle podobné, ale koule a krychle nejsou stejné.

Nyní se podíváme na torus. Nahoře je geometrická postava, jejíž tvar připomíná volant a záchranný kruh. Encyklopedie definuje torus jako postavu získanou rotací kruhu kolem osy umístěné mimo kruh. Vyzýváme laskavého čtenáře, aby si uvědomil, že koule a kostka jsou si „podobnější“ než každá z nich s torusem. Následující myšlenkový experiment nám umožňuje naplnit toto intuitivní uvědomění přesným významem. Představme si kouli z materiálu tak poddajného, ​​že se dá ohýbat, natahovat, stlačovat a vůbec jakkoli deformovat – jen se nedá roztrhnout ani slepit. Je zřejmé, že kouli lze poté proměnit v krychli, ale je nemožné proměnit se v torus. Ušakovův výkladový slovník definuje preclík jako pečivo (doslova: jako máslová kroucená houska) ve tvaru písmene B. Při vší úctě k tomuto nádhernému slovníku se mi slova „ve tvaru číslice 8“ zdají více přesný; Z hlediska vyjádřeného v pojmu homeomorfie však pečení ve tvaru číslice 8, pečení ve tvaru písmene B a pečení ve tvaru fita mají stejný tvar. I když předpokládáme, že pekaři dokázali získat těsto, které má výše uvedené vlastnosti vláčnosti, bochánek je nemožný – bez trhání a lepení! - neproměňte se ani v bagel, ani v preclík, stejně jako poslední dva pečivo do sebe. Z kulovité housky ale můžete udělat krychli nebo pyramidu. Laskavý čtenář nepochybně najde možnou formu pečení, do které se nedá zatočit ani houska, ani preclík, ani bagel.

Aniž bychom tento pojem pojmenovali, s homeomorfií jsme se již seznámili. Dvě figury se nazývají homeomorfní, pokud lze jednu přeměnit na druhou kontinuální (tj. bez porušení nebo slepení) deformací; takové deformace samy o sobě se nazývají homeomorfismy. Právě jsme zjistili, že koule je homeomorfní krychli a pyramidě, ale není homeomorfní ani torusu ani preclíku, a poslední dvě těla nejsou navzájem homeomorfní. Žádáme čtenáře, aby pochopili, že jsme uvedli pouze přibližný popis pojmu homeomorfie, daný z hlediska mechanické transformace.

Dotkněme se filozofického aspektu konceptu homeomorfie. Představme si myslící bytost žijící uvnitř nějakého geometrického útvaru a Ne mít příležitost podívat se na tuto postavu zvenčí, „zvenčí“. Postava, ve které to žije, pro něj tvoří Vesmír. Představme si také, že když je obklopující postava vystavena kontinuální deformaci, bytost se deformuje spolu s ní. Pokud je dotyčná figurka koule, pak bytost nemůže žádným způsobem rozlišit, zda je v kouli, krychli nebo pyramidě. Je však možné, aby byl přesvědčen, že jeho vesmír nemá tvar torusu nebo preclíku. Obecně platí, že tvor může vytvořit tvar prostoru, který ho obklopuje, pouze do homeomorfie, to znamená, že není schopen rozlišit jednu formu od druhé, pokud jsou tyto formy homeomorfní.

Pro matematiku význam hypotézy Poincare, který se nyní změnil z hypotézy na Poincaré-Perelmanův teorém, je obrovský (ne nadarmo byl na vyřešení problému nabídnut milion dolarů), stejně jako je obrovský význam metody, kterou Perelman objevil, aby to dokázal, ale vysvětlit zde tento význam je nad naše síly. Co se týče kosmologické stránky věci, možná význam tohoto aspektu novináři poněkud zveličili.

Někteří autoritativní odborníci však tvrdí, že Perelmanův vědecký průlom může pomoci při studiu procesů tvorby černých děr. Černé díry mimochodem slouží jako přímé vyvrácení teze o poznatelnosti světa – jednoho z ústředních ustanovení onoho nejpokročilejšího, jedině pravdivého a všemocného učení, které se nám 70 let násilně vtlouká do našich ubohých hlav. Ostatně, jak učí fyzika, žádné signály z těchto děr se k nám v zásadě nemohou dostat, takže je nemožné zjistit, co se tam děje. Obecně víme velmi málo o tom, jak náš vesmír jako celek funguje, a je pochybné, že to někdy zjistíme. A samotný smysl otázky na její strukturu není zcela jasný. Je možné, že tato otázka je jednou z těch, které podle nauky Buddha, Ne existuje odpověď. Fyzika nabízí pouze modely zařízení, které více či méně souhlasí se známými fakty. Fyzika v tomto případě zpravidla využívá již vyvinuté preparáty, které jí poskytuje matematika.

Matematika samozřejmě nepředstírá žádné geometrické vlastnosti vesmíru. Ale umožňuje nám to pochopit ty vlastnosti, které byly objeveny jinými vědami. Navíc. Umožňuje nám lépe pochopit některé těžko představitelné vlastnosti; vysvětluje, jak to může být. Mezi takové možné (zdůrazňujeme: jen možné!) vlastnosti patří konečnost Vesmíru a jeho neorientovatelnost.

Po dlouhou dobu byl jediným myslitelným modelem geometrické struktury Vesmíru trojrozměrný euklidovský prostor, tedy prostor, který zná každý ze střední školy. Tento prostor je nekonečný; zdálo se, že žádné jiné nápady nebyly možné; Zdálo se bláznivé přemýšlet o konečnosti vesmíru. Nyní však myšlenka konečnosti vesmíru není o nic méně legitimní než myšlenka jeho nekonečnosti. Zejména trojrozměrná koule je konečná. Z komunikace s fyziky jsem měl dojem, že někteří odpověděli „s největší pravděpodobností. Vesmír je nekonečný," zatímco jiní říkali, "vesmír je s největší pravděpodobností konečný."

Uspenský V.A. , Apologie matematiky aneb o matematice jako součásti duchovní kultury, časopis „Nový svět“, 2007, N 12, str. 141-145.

Téměř každý člověk, dokonce i ten, kdo nemá nic společného s matematikou, slyšel slova „Poincarého domněnka“, ale ne každý dokáže vysvětlit, co je její podstatou. Pro mnohé se zdá, že vyšší matematika je něčím velmi složitým a nepochopitelným. Pokusme se proto jednoduchými slovy přijít na to, co Poincarého hypotéza znamená.

Obsah:

Jaká je Poincarého domněnka?

Původní formulace hypotézy zní takto: „ Každý kompakt jednoduše připojený trojrozměrný variet bez hranic je homeomorfní k trojrozměrné kouli».

Míč je geometrické trojrozměrné těleso, jeho povrch se nazývá koule, je dvourozměrný a skládá se z bodů trojrozměrného prostoru, které jsou stejně vzdálené od jednoho bodu, který do této koule nepatří - střed míče . Kromě dvourozměrných koulí existují i ​​trojrozměrné koule, skládající se z mnoha bodů čtyřrozměrného prostoru, které jsou navíc stejně vzdálené od jednoho bodu, který kouli nepatří – jejímu středu. Pokud můžeme na vlastní oči vidět dvourozměrné koule, pak trojrozměrné nepodléhají našemu zrakovému vnímání.

Protože nemáme možnost vidět Vesmír, můžeme předpokládat, že je to trojrozměrná sféra, ve které žije celé lidstvo. To je podstata Poincarého domněnky. Totiž, že Vesmír má tyto vlastnosti: trojrozměrnost, neohraničenost, prostě propojenost, kompaktnost. Pojem „homeomorfie“ v hypotéze znamená nejvyšší stupeň podobnosti, podobnosti, v případě Vesmíru - nerozlišitelnost.

Kdo je Poincare?

Jules Henri Poincaré- největší matematik, který se narodil v roce 1854 ve Francii. Jeho zájmy se neomezovaly pouze na matematické vědy, studoval fyziku, mechaniku, astronomii a filozofii. Byl členem více než 30 vědeckých akademií po celém světě, včetně Petrohradské akademie věd. Historici všech dob a národů řadí Davida Hilberta a Henriho Poincarého mezi největší světové matematiky. V roce 1904 vědec publikoval slavnou práci, která obsahovala předpoklad známý dnes jako „Poincarého domněnka“. Právě trojrozměrný prostor se ukázal být pro matematiky velmi obtížně studovatelný, najít důkazy pro jiné případy nebylo obtížné. V průběhu asi jednoho století byla pravdivost této věty prokázána.

Na začátku 21. století byla v Cambridge zřízena cena jednoho milionu amerických dolarů za řešení tohoto vědeckého problému, který byl zařazen do seznamu problémů tisíciletí. U trojrozměrné koule to dokázal pouze ruský matematik z Petrohradu Grigorij Perelman. V roce 2006 mu byla za tento úspěch udělena Fieldsova medaile, kterou však odmítl převzít.

K zásluhám Poincarého vědecké činnosti Lze připsat tyto úspěchy:

• základy topologie (rozvoj teoretických základů různých jevů a procesů);
• tvorba kvalitativní teorie diferenciálních rovnic;
• rozvoj teorie amorfních funkcí, která se stala základem speciální teorie relativity;
• předložení návratové věty;
• vývoj nejnovějších, nejúčinnějších metod nebeské mechaniky.

Důkaz hypotézy

Jednoduše připojenému trojrozměrnému prostoru jsou přiřazeny geometrické vlastnosti a je rozdělen na metrické prvky, které mají mezi sebou vzdálenosti, aby svíraly úhly. Pro zjednodušení si vezmeme jako vzorek jednorozměrnou varietu, ve které jsou na euklidovské rovině v každém bodě do hladké uzavřené křivky vykresleny tečné vektory rovné 1. Při procházení křivky se vektor otáčí určitou úhlovou rychlostí. rovná zakřivení. Čím více se čára ohýbá, tím větší je zakřivení. Zakřivení má kladný sklon, je-li vektor rychlosti otočen směrem dovnitř roviny, kterou čára rozděluje, a záporný sklon, je-li otočen směrem ven. V místech inflexe je zakřivení rovno 0. Nyní je každému bodu křivky přiřazen vektor kolmý k vektoru úhlové rychlosti a s délkou rovnou hodnotě zakřivení. Je otočen dovnitř, když je zakřivení kladné, a ven, když je záporné. Odpovídající vektor určuje směr a rychlost, kterou se každý bod v rovině pohybuje. Pokud kamkoli nakreslíte uzavřenou křivku, pak se s takovým vývojem změní na kruh. To platí pro trojrozměrný prostor, což bylo potřeba dokázat.

Příklad: Při deformaci bez rozbití lze z balónku vytvořit různé tvary. Ale nemůžete vyrobit bagel; k tomu stačí nakrájet. A naopak, když máte bagel, nemůžete udělat pevnou kouli. I když z jakéhokoli jiného povrchu bez nespojitostí při deformaci je možné získat kouli. To naznačuje, že tento povrch je homeomorfní pro míč. Jakýkoli míč lze svázat nití s ​​jedním uzlem, ale s koblihou to nejde.

Koule je nejjednodušší trojrozměrná rovina, kterou lze deformovat a složit do bodu a naopak.

Důležité! Poincarého domněnka říká, že uzavřená n-rozměrná varieta je ekvivalentní n-rozměrné kouli, pokud je k ní homeomorfní. Stala se výchozím bodem ve vývoji teorie vícerozměrných rovin.