, Kde
.
Fourierova řada funkce f(x) na intervalu (-l;l) je trigonometrická řada ve tvaru: 
, Kde
.
Účel. Online kalkulačka je navržen tak, aby rozšířil funkci f(x) do Fourierovy řady.
Pro modulo funkce (jako |x|) použijte kosinusová expanze.
Fourierova řada po částech spojitá, po částech monotónní a ohraničená intervalem (- l;l) funkce konverguje na celé číselné ose.
Součet Fourierových řad S(x):
- je periodická funkce s periodou 2 l. Funkce u(x) se nazývá periodická s periodou T (nebo T-periodická), jestliže pro všechna x oblasti R platí u(x+T)=u(x).
- na intervalu (- l;l) se shoduje s funkcí F(x), kromě bodů přerušení
- v bodech nespojitosti (prvního druhu, protože funkce je omezená) funkce F(x) a na konci intervalu nabývá průměrných hodnot:
Říká se, že funkce expanduje do Fourierovy řady na intervalu (- l;l):
.
Li F(x) je sudá funkce, pak se na jejím rozšíření podílejí pouze sudé funkce, tzn b n=0.
Li F(x) je lichá funkce, pak se na jejím rozšíření podílejí pouze liché funkce, tzn a n=0
Blízko Fouriera
funkcí F(x) na intervalu (0; l) kosinusem více oblouků
řádek se jmenuje: 
, Kde 
.
Blízko Fouriera
funkcí F(x) na intervalu (0; l) podél sinů více oblouků
řádek se jmenuje: 
, Kde 
.
Součet Fourierovy řady přes kosiny více oblouků je sudá periodická funkce s periodou 2 l, shodující se s F(x) na intervalu (0; l) v bodech spojitosti.
Součet Fourierovy řady přes siny více oblouků je lichá periodická funkce s periodou 2 l, shodující se s F(x) na intervalu (0; l) v bodech spojitosti.
Fourierova řada pro danou funkci na daném intervalu má vlastnost jednoznačnosti, to znamená, že pokud je rozšíření získáno jiným způsobem než pomocí vzorců, například výběrem koeficientů, pak se tyto koeficienty shodují s koeficienty vypočtenými ze vzorců .
Příklad č. 1. Rozbalit funkci f(x)=1:
a) v úplné Fourierově řadě na intervalu(-π ;π);
b) v řadě podél sinů více oblouků na intervalu(0;π); vyneste výslednou Fourierovu řadu
Řešení:
a) Rozšíření Fourierovy řady na intervalu (-π;π) má tvar: 
,
a všechny koeficienty b n=0, protože tuto funkci– sudý; Tedy,
Je zřejmé, že pokud přijmeme, rovnost bude splněna
A 0 =2, A 1 =A 2 =A 3 =…=0
Vzhledem k vlastnosti jedinečnosti jsou to požadované koeficienty. Požadovaný rozklad tedy: 
nebo jen 1=1.
V tomto případě, kdy se řada shodně shoduje se svou funkcí, se graf Fourierovy řady shoduje s grafem funkce na celé číselné ose.
b) Rozšíření na intervalu (0;π) z hlediska sinů více oblouků má tvar:
Je zjevně nemožné vybrat koeficienty tak, aby rovnost platila shodně. Pro výpočet koeficientů použijeme vzorec:
Tedy pro dokonce n (n=2k) máme b n=0, pro liché ( n=2k-1) - 
Konečně, 
.
Výslednou Fourierovu řadu vyneseme pomocí jejích vlastností (viz výše).
Nejprve sestrojíme graf této funkce na daném intervalu. Dále, s využitím lichosti součtu řady, pokračujeme v grafu symetricky k počátku: 
Pokračujeme periodickým způsobem podél celé číselné řady: 
A nakonec v bodech přerušení vyplníme průměrné (mezi pravou a levou hranicí) hodnoty: 
Příklad č. 2. Rozbalte funkci 
na intervalu (0;6) podél sinů více oblouků
Řešení: Požadované rozšíření má tvar:
Protože jak levá, tak pravá strana rovnosti obsahují pouze funkce hřích z různých argumentů byste měli zkontrolovat, zda se pro některé hodnoty shodují n(přirozené!) argumenty sinů v levém a pravé části rovnost:
nebo odkud n=18. To znamená, že takový člen je obsažen na pravé straně a jeho koeficient se musí shodovat s koeficientem na levé straně: b 18 =1;
nebo odkud n=4. Prostředek, b 4 =-5.
Takže výběrem koeficientů bylo možné získat požadovanou expanzi:
Jak vložit matematické vzorce na stránky?
Pokud někdy budete potřebovat přidat jeden nebo dva matematické vzorce na webovou stránku, pak nejjednodušší způsob, jak to udělat, je ten, který je popsán v článku: matematické vzorce lze snadno vložit na web ve formě obrázků, které automaticky generuje Wolfram Alpha . Tato univerzální metoda kromě jednoduchosti pomůže zlepšit viditelnost webu ve vyhledávačích. Funguje to už dlouho (a myslím, že bude fungovat navždy), ale už je morálně zastaralé.
Pokud na svém webu pravidelně používáte matematické vzorce, pak vám doporučuji používat MathJax – speciální knihovnu JavaScript, která zobrazuje matematický zápis ve webových prohlížečích pomocí značek MathML, LaTeX nebo ASCIIMathML.
Existují dva způsoby, jak začít používat MathJax: (1) pomocí jednoduchého kódu můžete ke své webové stránce rychle připojit skript MathJax, který se ve správný čas automaticky načte ze vzdáleného serveru (seznam serverů); (2) stáhněte si skript MathJax ze vzdáleného serveru na váš server a připojte jej ke všem stránkám vašeho webu. Druhý způsob – složitější a časově náročnější – urychlí načítání stránek vašeho webu, a pokud se nadřazený server MathJax z nějakého důvodu stane dočasně nedostupným, váš vlastní web to nijak neovlivní. I přes tyto výhody jsem zvolil první metodu, protože je jednodušší, rychlejší a nevyžaduje technické dovednosti. Postupujte podle mého příkladu a za pouhých 5 minut budete moci na svém webu používat všechny funkce MathJax.
Skript knihovny MathJax můžete připojit ze vzdáleného serveru pomocí dvou možností kódu převzatých z hlavního webu MathJax nebo na stránce dokumentace:
Jednu z těchto možností kódu je třeba zkopírovat a vložit do kódu vaší webové stránky, nejlépe mezi značky a nebo bezprostředně za značku. Podle první možnosti se MathJax načítá rychleji a méně zpomaluje stránku. Ale druhá možnost automaticky sleduje a načítá nejnovější verze MathJax. Pokud vložíte první kód, bude nutné jej pravidelně aktualizovat. Pokud vložíte druhý kód, stránky se budou načítat pomaleji, ale nebudete muset neustále sledovat aktualizace MathJax.
Nejjednodušší způsob, jak připojit MathJax, je v Bloggeru nebo WordPressu: do ovládacího panelu webu přidejte widget určený pro vložení kódu JavaScript třetí strany, zkopírujte do něj první nebo druhou verzi výše uvedeného kódu pro stahování a umístěte widget blíže. na začátek šablony (mimochodem to není vůbec nutné, protože skript MathJax se načítá asynchronně). To je vše. Nyní se naučte syntaxi značek MathML, LaTeX a ASCIIMathML a jste připraveni vkládat matematické vzorce do webových stránek svého webu.
Jakýkoli fraktál je konstruován podle určitého pravidla, které je důsledně aplikováno neomezeně mnohokrát. Každý takový čas se nazývá iterace.
Iterační algoritmus pro konstrukci Mengerovy houby je poměrně jednoduchý: původní krychle se stranou 1 je rozdělena rovinami rovnoběžnými s jejími plochami na 27 stejných krychlí. Odebere se z ní jedna centrální krychle a 6 k ní přiléhajících krychlí podél stěn. Výsledkem je sada skládající se ze zbývajících 20 menších kostek. Když uděláme totéž s každou z těchto kostek, získáme sadu skládající se ze 400 menších kostek. Pokračujeme-li v tomto procesu donekonečna, získáme Mengerovu houbu.
Funkce definovaná pro všechny hodnoty x volal periodické, pokud takové číslo existuje T (T≠ 0), to za jakoukoli hodnotu x platí rovnost f(x + T) = f(x). Číslo T v tomto případě je obdobím funkce.
Vlastnosti periodických funkcí:
1) Součet, rozdíl, součin a podíl periodických funkcí periody T je periodická funkce období T.
2) Pokud je funkce f(x) má období T, pak funkci fax) má období
Opravdu, pro jakýkoli argument X:
(vynásobení argumentu číslem znamená stlačení nebo roztažení grafu této funkce podél osy Ó)
Například funkce má periodu, perioda funkce je
3) Pokud f(x) periodická periodická funkce T, pak jsou libovolné dva integrály této funkce převzaté z intervalu délky stejné T(předpokládá se, že tyto integrály existují).
Fourierova řada pro funkci s periodou T=.
Trigonometrická řada je řada ve tvaru:
nebo ve zkratce
Kde , , , , , … , , , … jsou reálná čísla nazývaná koeficienty řady.
Každý člen trigonometrické řady je periodickou funkcí období (protože - má nějaké
období a období () se rovná , a proto a ). Každý termín (), s n= 1,2,3... je analytický výraz pro jednoduché harmonické kmitání, kde A- amplituda,
Počáteční fáze. Vezmeme-li v úvahu výše uvedené, dostaneme: konverguje-li trigonometrická řada na segmentu délky periody, pak konverguje na celé číselné ose a její součet je periodickou funkcí periody.
Nechť goniometrická řada konverguje rovnoměrně na úsečce (a tedy na libovolné úsečce) a její součet je roven . K určení koeficientů této řady používáme následující rovnosti:
Využijeme také následující vlastnosti.
1) Jak známo, součet řady složených ze spojitých funkcí, která rovnoměrně konverguje na určitém segmentu, je sám o sobě spojitou funkcí na tomto segmentu. Vezmeme-li toto v úvahu, dostaneme, že součet trigonometrických řad rovnoměrně konvergujících na úsečce je kontinuální funkce na celé číselné řadě.
2) Rovnoměrná konvergence řady na segmentu nebude narušena, pokud jsou všechny členy řady vynásobeny funkcí spojitou na tomto segmentu.
Zejména stejnoměrná konvergence na segmentu dané trigonometrické řady nebude narušena, pokud jsou všechny členy řady vynásobeny nebo .
Podle stavu
V důsledku integrace jednotně konvergentních řad (4.2) a zohlednění výše uvedených rovností (4.1) (ortogonalita) goniometrické funkce), dostaneme:
Proto koeficient
Vynásobením rovnosti (4.2) číslem , integrací této rovnosti v rozsahu od do a při zohlednění výše uvedených výrazů (4.1) získáme:
Proto koeficient
Podobně vynásobením rovnosti (4.2) a jejím integrováním v rozsahu od do s přihlédnutím k rovnostem (4.1) máme:
Proto koeficient
Získáme tedy následující výrazy pro koeficienty Fourierovy řady:
Dostatečná kritéria pro rozložitelnost funkce ve Fourierově řadě. Připomeňme si to x o funkční přestávka f(x) nazývá se bod nespojitosti prvního druhu, pokud existují konečné limity napravo a nalevo od funkce f(x) v blízkosti bodu.
Limit vpravo
Levý limit.
Věta (Dirichletova). Pokud je funkce f(x) má periodu a je spojitý na segmentu nebo má konečný počet bodů nespojitosti prvního druhu a navíc segment lze rozdělit na konečný počet segmentů tak, že uvnitř každého z nich f(x) je monotónní, pak Fourierova řada pro funkci f(x) konverguje pro všechny hodnoty x. Navíc v bodech spojitosti funkce f(x) jeho součet se rovná f(x) a v bodech diskontinuity funkce f(x) jeho součet je roven, tzn. aritmetický průměr mezních hodnot vlevo a vpravo. Navíc Fourierova řada pro funkci f(x) konverguje rovnoměrně na libovolném segmentu, který spolu se svými konci patří do intervalu spojitosti funkce f(x).
Příklad : rozšířit funkci do Fourierovy řady
Uspokojení stavu.
Řešení. Funkce f(x) splňuje podmínky expanze do Fourierovy řady, takže můžeme napsat:
V souladu se vzorci (4.3) lze získat následující hodnoty koeficientů Fourierovy řady:
Při výpočtu koeficientů Fourierovy řady byl použit vzorec „integrace po částech“.
A proto
Fourierovy řady pro sudé a liché funkce s periodou T = .
Použijeme následující vlastnost integrálu nad symetrickým vzhledem k x=0 mezera:
Li f(x)- zvláštní funkce,
Li f(x)- rovnoměrná funkce.
Všimněte si, že součin dvou sudých nebo dvou lichých funkcí je sudá funkce a součin sudé funkce a liché funkce je lichá funkce. Nechte to teď f(x)- sudá periodická funkce s periodou splňující podmínky rozšíření do Fourierovy řady. Potom pomocí výše uvedené vlastnosti integrálů získáme:
Fourierova řada pro sudou funkci tedy obsahuje pouze dokonce funkce- cosines a píše se takto:
a koeficienty bn = 0.
Uvažováním podobně zjistíme, že pokud f(x) - je lichá periodická funkce, která splňuje podmínky rozšíření do Fourierovy řady, pak tedy Fourierova řada pro lichou funkci obsahuje pouze liché funkce - sinus a zapisuje se takto:
ve stejnou dobu an =0 na n = 0, 1,…
Příklad: rozšiřte periodickou funkci na Fourierovu řadu
Od dané liché funkce f(x) splňuje tedy podmínky expanze do Fourierovy řady
nebo co je to samé,
A Fourierova řada pro tuto funkci f(x) lze napsat takto:
Fourierovy řady pro funkce libovolné periody T=2 l.
Nechat f(x)- periodická funkce libovolné periody T=2l(l- poloviční cyklus), po částech hladký nebo po částech monotónní na segmentu [ -l, l]. Věřící x=at, dostaneme funkci tuk) argument t, jehož perioda je stejná . Pojďme si vybrat A tak, že období funkce tuk) byl rovný, tzn. T = 2 litry
Řešení. Funkce f(x)- liché, splňující podmínky rozšíření do Fourierovy řady, proto na základě vzorců (4.12) a (4.13) máme:
(při výpočtu integrálu jsme použili vzorec „integrace po částech“).
Obchodní hra je imitací skutečné výrobní (manažerské nebo ekonomické) situace. Vytvoření zjednodušeného modelu pracovního postupu umožňuje každému účastníkovi skutečný život, ale v rámci určitých pravidel hrát roli, rozhodovat se, konat.
Metoda obchodní hryObchodní hry (BI) jsou účinná metoda praktického výcviku a jsou poměrně široce využívány. Používají se jako prostředek poznání v managementu, ekonomii, ekologii, medicíně a dalších oborech.
DI je ve světě aktivně využíváno pro studium vědy o managementu od poloviny 20. století. Významný příspěvek k rozvoji herní technologie přinesl S.P. Rubinstein, Z. Freud a další vědci.
Tato metoda umožňuje modelovat objekt (organizaci) nebo simulovat proces (rozhodování, cyklus řízení). Výrobní a ekonomické situace jsou spojeny s podřízeností nadřízeným a organizační a manažerské s řízením oddělení, skupiny nebo zaměstnance.
Hráči si mohou stanovit různé cíle, k jejichž dosažení využívají znalosti základů sociologie, ekonomie a manažerských metod. Výsledky hry budou souviset s mírou dosažení cílů a kvalitou řízení.
Klasifikace obchodních herDI lze klasifikovat podle mnoha kritérií.
Odraz reality | Skutečné (cvičení) | teoretický (abstraktní) |
|
Úroveň obtížnosti | Malý (jeden úkol, malý tým hráčů) | „Bitevní loď“, „Aukce“, „Křížovka“, „Kdo ví víc“, „Prezentace“ |
|
Imitační hra | Napodobování praxe. Účastníci řeší problém společně nebo samostatně. | „Manažerská etika“, „Drby ve firmě“, „Jak zabránit zaměstnanci, aby nedal výpověď?“, „Vydírání“ |
|
Inovační | Zaměřeno na generování nových nápadů v nestandardní situaci. | Trénink sebeorganizace, brainstorming |
|
Strategický | Hromadné vytváření obrazu budoucího vývoje situace. | „Vytvoření nového produktu“, „Vstup na nové trhy“ |
|
Všechny výše uvedené technologie a příklady obchodních her jsou vzájemně propojeny. Je doporučeno je používat v kombinaci pro efektivní praktickou činnost účastníků a plnění zadaných úkolů.
Hry se hrají podle určitých pravidel.
Provádění obchodní hry může zahrnovat velký počet fází. Během hry budou muset účastníci identifikovat problém, zvážit a analyzovat situaci a vypracovat návrhy na řešení problému. Práce je zakončena diskuzí o průběhu hry a přáních.
V řízení výroby je modelována aktivní hra řízení podniku. Příklad zahrnuje charakteristiku a scénář obchodní hry „Produkční setkání“. Provádí se na konci kurzu „Management“, kdy studenti již chápou principy managementu a roli výrobního procesu.
Účastníci hry:
- zaměstnanci podniku (7 osob). Jednání se účastní ředitel, náměstek pro výrobu, vedoucí technického úseku, vedoucí montážní dílny, vedoucí soustružny, mistr, tajemník;
- skupina odborníků (10 osob).
Závod na opravu nebo strojírenství parních lokomotiv (organizace libovolného profilu se středním nebo malým počtem zaměstnanců). Majitelé firmy nedávno jmenovali nového ředitele. Byl představen zaměstnancům a manažerům závodu. Ředitel bude muset poprvé uspořádat operativní poradu.
Herní plán výrobní schůzkyScénář obchodní hry |
|
Úvodní část | Zavedení. Cíle a téma hry. |
Herní situace | Seznámení se situací ve firmě. |
Plán přípravy schůzky |
|
|
|
Zasedání | Projev ředitele, reakce a dotazy nadřízených. |
Diskuse a kolektivní diskuse o problémech. | Jaké bude chování ředitele na schůzce? Co může říci nebo udělat pro zlepšení obchodních vztahů se zaměstnanci? Jaká rozhodnutí může učinit při shrnutí výsledků první operativní porady? |
Shrnutí | Závěry odborníků a účastníků hry. Sebevědomí. Vyřešili jste úkoly a dosáhli svých cílů? |
Vstoupit do produkční situace v určité roli je zajímavá obchodní hra. Příklady pro studenty mohou být velmi rozmanité. Stačí zapojit fantazii.
Strategická hra „Knitting Factory „Style““. Vedení pletařského závodu plánuje rozšířit své prodejní trhy. To vyžaduje výrobu kvalitnějších a více žádaných produktů. Kromě toho se plánuje spuštění několika nových technologických linek.
Dlouho se plánovalo výměna zařízení v několika dílnách. Problémem byl nedostatek finančních zdrojů spojený s velkými pohledávkami. Jaká strategie je v této situaci vhodná? Co dokáže management závodu? Prognóza založená na tabulkových datech. Doporučuje se předložit několik ukazatelů finanční a ekonomické aktivity na tři roky.
Příklady obchodních her |
|
Skupinová diskuse | "Přijetí manažerská rozhodnutí. Výběr kandidáta na pozici ředitele" "Organizační kultura vysokoškolských studentů" "Řídící cyklus ve vzdělávací instituci" |
Hraní rolí | "Osvědčení personálu" "Jak požádat o zvýšení platu?" "Telefonická jednání" "Uzavření smlouvy" |
Emocionálně-aktivitní hra | "Etika obchodní komunikace. Office Romance" "Konflikt mezi vedoucími oddělení" „Obchodní komunikace. Propuštění zaměstnance" "Zvládání stresu" |
Imitační hra | "Účinnost kontroly" "Vypracování podnikatelského plánu" "obchodní dopis" "Příprava výroční zprávy" |
Při plánování obchodní hry se doporučuje kombinovat její různé formy. Hra může obsahovat případy (situace). Případová metoda se liší od metody obchodních her, protože je zaměřena na hledání a řešení problému. Příklady obchodních her souvisí s rozvojem dovedností, formováním dovedností.
Pouzdro je tedy model určitá situace a obchodní hra je modelem praktické činnosti.
Metoda obchodní hry umožňuje názorně prezentovat principy řízení a rozhodovací procesy. Hlavní výhodou her je aktivní účast skupiny, týmu hráčů.
