vzrůstající na intervalu \(X\), pokud pro libovolné \(x_1, x_2\v X\) tak, že \(x_1

Funkce je volána neklesající

\(\blacktriangleright\) Je volána funkce \(f(x)\). klesající na intervalu \(X\), pokud pro libovolné \(x_1, x_2\v X\) tak, že \(x_1 f(x_2)\) .

Funkce je volána nerostoucí na intervalu \(X\), pokud pro libovolné \(x_1, x_2\v X\) tak, že \(x_1

\(\blacktriangleright\) Jsou volány funkce zvyšování a snižování přísně monotónní, a nerostoucí a neklesající jsou prostě monotónní.

\(\blacktriangleright\) Základní vlastnosti:

já Pokud je funkce \(f(x)\) striktně monotónní na \(X\) , pak z rovnosti \(x_1=x_2\) (\(x_1,x_2\v X\) ) vyplývá \(f( x_1)= f(x_2)\) a naopak.

Příklad: funkce \(f(x)=\sqrt x\) je striktně rostoucí pro všechna \(x\in \) , proto rovnice \(x^2=9\) má na tomto intervalu nejvýše jedno řešení, nebo spíše jeden: \(x=-3\) .

funkce \(f(x)=-\dfrac 1(x+1)\) je striktně rostoucí pro všechna \(x\in (-1;+\infty)\), takže rovnice \(-\dfrac 1 (x +1)=0\) nemá na tomto intervalu více než jedno řešení, nebo spíše žádné, protože čitatel na levé straně se nikdy nemůže rovnat nule.

III. Pokud je funkce \(f(x)\) neklesající (nerostoucí) a spojitá na segmentu \(\) a na koncích segmentu nabývá hodnot \(f(a)= A, f(b)=B\) , pak pro \(C\in \) (\(C\in \) ) má rovnice \(f(x)=C\) vždy alespoň jedno řešení.

Příklad: funkce \(f(x)=x^3\) je přísně rostoucí (tj. přísně monotónní) a spojitá pro všechny \(x\in\mathbb(R)\) , tedy pro libovolné \(C\ v ( -\infty;+\infty)\) má rovnice \(x^3=C\) právě jedno řešení: \(x=\sqrt(C)\) .

Úkol 1 #3153

Úroveň úkolu: Jednodušší než jednotná státní zkouška

má přesně dva kořeny.

Přepišme rovnici takto: \[(3x^2)^3+3x^2=(x-a)^3+(x-a)\] Uvažujme funkci \(f(t)=t^3+t\) . Pak se rovnice přepíše do tvaru: \ Prostudujme funkci \(f(t)\) . \ Následně se funkce \(f(t)\) zvětší pro všechna \(t\) . To znamená, že každá hodnota funkce \(f(t)\) odpovídá právě jedné hodnotě argumentu \(t\) . Proto, aby rovnice měla kořeny, je nutné: \ Aby výsledná rovnice měla dva kořeny, musí být její diskriminant kladný: \

Odpovědět:

\(\left(-\infty;\dfrac1(12)\right)\)

Úkol 2 #2653

Úroveň úkolu: Rovná se jednotné státní zkoušce

Najděte všechny hodnoty parametru \(a\), pro které platí rovnice \

má dva kořeny.

(Úkol od předplatitelů.)

Udělejme náhradu: \(ax^2-2x=t\) , \(x^2-1=u\) . Potom bude mít rovnice tvar: \ Uvažujme funkci \(f(w)=7^w+\sqrtw\) . Pak bude naše rovnice mít tvar: \

Pojďme najít derivát \ Všimněte si, že pro všechny \(w\ne 0\) je derivace \(f"(w)>0\) , protože \(7^w>0\) , \(w^6>0\) . Všimněte si také že samotná funkce \(f(w)\) je definována pro všechna \(w\) , Protože \(f(w)\) je také spojitá, můžeme usuzovat, že \(f (w)\) roste na celý \(\mathbb(R)\) .
To znamená, že rovnost \(f(t)=f(u)\) je možná právě tehdy, když \(t=u\) . Vraťme se k původním proměnným a vyřešme výslednou rovnici:

\ Aby tato rovnice měla dva kořeny, musí být čtvercová a její diskriminant musí být kladný:

\[\begin(cases) a-1\ne 0\\ 4-4(a-1)>0\end(case) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(cases)a\ne1\\a<2\end{cases}\]

Odpovědět:

\((-\infty;1)\hrnek(1;2)\)

Úkol 3 #3921

Úroveň úkolu: Rovná se jednotné státní zkoušce

Najděte všechny kladné hodnoty parametru \(a\), pro které platí rovnice

má alespoň \(2\) řešení.

Přesuňte všechny členy obsahující \(ax\) doleva a ty obsahující \(x^2\) doprava a zvažte funkci
\

Původní rovnice pak bude mít tvar:
\

Pojďme najít derivát:
\

Protože \((t-2)^2 \geqslant 0, \e^t>0, \1+\cos(2t) \geqslant 0\), pak \(f"(t)\geqslant 0\) pro libovolné \(t\in \mathbb(R)\) .

Navíc \(f"(t)=0\), pokud \((t-2)^2=0\) a \(1+\cos(2t)=0\) současně, což není pravda pro libovolné \ (t\) . Proto \(f"(t)> 0\) pro libovolné \(t\in \mathbb(R)\) .

Funkce \(f(t)\) je tedy přísně rostoucí pro všechny \(t\in \mathbb(R)\) .

To znamená, že rovnice \(f(ax)=f(x^2)\) je ekvivalentní rovnici \(ax=x^2\) .

Rovnice \(x^2-ax=0\) pro \(a=0\) má jeden kořen \(x=0\) a pro \(a\ne 0\) má dva kořeny různé kořeny\(x_1=0\) a \(x_2=a\) .
Musíme najít hodnoty \(a\), při kterých bude mít rovnice alespoň dva kořeny, také s ohledem na skutečnost, že \(a>0\) .
Proto odpověď zní: \(a\in (0;+\infty)\) .

Odpovědět:

\((0;+\infty)\) .

Úkol 4 #1232

Úroveň úkolu: Rovná se jednotné státní zkoušce

Najděte všechny hodnoty parametru \(a\) , pro každou z nich rovnice \

má unikátní řešení.

Vynásobme pravou a levou stranu rovnice \(2^(\sqrt(x+1))\) (protože \(2^(\sqrt(x+1))>0\) ) a rovnici přepišme ve formě : \

Zvažte funkci \(y=2^t\cdot \log_(\frac(1)(9))((t+2))\) pro \(t\geqslant 0\) (od \(\sqrt(x+1)\geqslant 0\) ).

Derivát \(y"=\left(-2^t\cdot \log_9((t+2))\right)"=-\dfrac(2^t)(\ln9)\cdot \left(\ln 2\cdot \ln((t+2))+\dfrac(1)(t+2)\right)\).

Protože \(2^t>0, \ \dfrac(1)(t+2)>0, \ \ln((t+2))>0\) pro všechny \(t\geqslant 0\) , pak \(y"<0\) при всех \(t\geqslant 0\) .

Následně, jak \(t\geqslant 0\) funkce \(y\) monotónně klesá.

Rovnici lze uvažovat ve tvaru \(y(t)=y(z)\) , kde \(z=ax, t=\sqrt(x+1)\) . Z monotónnosti funkce vyplývá, že rovnost je možná pouze tehdy, když \(t=z\) .

To znamená, že rovnice je ekvivalentní rovnici: \(ax=\sqrt(x+1)\), která je zase ekvivalentní soustavě: \[\begin(cases) a^2x^2-x-1=0\\ ax \geqslant 0 \end(cases)\]

Když \(a=0\) má systém jedno řešení \(x=-1\), které splňuje podmínku \(ax\geqslant 0\) .

Zvažte případ \(a\ne 0\) . Diskriminant první rovnice systému \(D=1+4a^2>0\) pro všechna \(a\) . V důsledku toho má rovnice vždy dva kořeny \(x_1\) a \(x_2\) a mají různá znaménka (protože podle Vietovy věty \(x_1\cdot x_2=-\dfrac(1)(a^2)<0\) ).

To znamená, že pro \(a<0\) условию \(ax\geqslant 0\) подходит отрицательный корень, при \(a>0\) podmínka je splněna kladným kořenem. Proto má systém vždy jedinečné řešení.

Takže, \(a\in \mathbb(R)\) .

Odpovědět:

\(a\in \mathbb(R)\) .

Úkol 5 #1234

Úroveň úkolu: Rovná se jednotné státní zkoušce

Najděte všechny hodnoty parametru \(a\) , pro každou z nich rovnice \

má alespoň jeden kořen ze segmentu \([-1;0]\) .

Zvažte funkci \(f(x)=2x^3-3x(ax+x-a^2-1)-3a-a^3\) pro některé pevné \(a\) . Pojďme najít jeho derivát: \(f"(x)=6x^2-6ax-6x+3a^2+3=3(x^2-2ax+a^2+x^2-2x+1)=3((x-a)^2 +(x-1)^2)\).

Všimněte si, že \(f"(x)\geqslant 0\) pro všechny hodnoty \(x\) a \(a\) , a je rovno \(0\) pouze pro \(x=a=1 \). Ale pro \(a=1\) :
\(f"(x)=6(x-1)^2 \šipka doprava f(x)=2(x-1)^3 \šipka doprava\) rovnice \(2(x-1)^3=0\) má jeden kořen \(x=1\), který nesplňuje podmínku. Proto \(a\) nemůže být rovno \(1\) .

To znamená, že pro všechny \(a\ne 1\) je funkce \(f(x)\) přísně rostoucí, proto rovnice \(f(x)=0\) nemůže mít více než jeden kořen. Vezmeme-li v úvahu vlastnosti kubické funkce, bude graf \(f(x)\) pro nějaké pevné \(a\) vypadat takto:

To znamená, že aby rovnice měla kořen ze segmentu \([-1;0]\), je nutné: \[\begin(cases) f(0)\geqslant 0\\ f(-1)\leqslant 0 \end(cases) \Rightarrow \begin(cases) a(a^2+3)\leqslant 0\\ ( a+2)(a^2+a+4)\geqslant 0 \end(cases) \Rightarrow \begin(cases) a\leqslant 0\\ a\geqslant -2 \end(cases) \Rightarrow -2\leqslant a\leqslant 0\]

Tedy \(a\in [-2;0]\) .

Odpovědět:

\(a\in [-2;0]\) .

Úkol 6 #2949

Úroveň úkolu: Rovná se jednotné státní zkoušce

Najděte všechny hodnoty parametru \(a\) , pro každou z nich rovnice \[(\sin^2x-5\sin x-2a(\sin x-3)+6)\cdot (\sqrt2a+8x\sqrt(2x-2x^2))=0\]

má kořeny.

(Úkol od předplatitelů)

ODZ rovnice: \(2x-2x^2\geqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad x\in \). Proto, aby rovnice měla kořeny, je nutné, aby alespoň jedna z rovnic \[\sin^2x-5\sin x-2a(\sin x-3)+6=0 \quad (\small(\text(nebo)))\quad \sqrt2a+8x\sqrt(2x-2x^ 2)=0\] měl rozhodnutí o ODZ.

1) Zvažte první rovnici \[\sin^2x-5\sin x-2a(\sin x-3)+6=0 \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(shromážděno)\begin(zarovnáno) &\sin x=2a+ 2 \\ &\sin x=3\\ \end(zarovnáno) \end(shromážděno)\vpravo. \quad\Leftrightarrow\quad \sin x=2a+2\] Tato rovnice musí mít kořeny v \(\) . Představte si kruh:

Vidíme tedy, že pro libovolné \(2a+2\in [\sin 0;\sin 1]\) bude mít rovnice jedno řešení a pro všechny ostatní nebude mít řešení. Proto, když \(a\v \left[-1;-1+\sin 1\vpravo]\) rovnice má řešení.

2) Zvažte druhou rovnici \[\sqrt2a+8x\sqrt(2x-2x^2)=0 \quad\Leftrightarrow\quad 8x\sqrt(x-x^2)=-a\]

Uvažujme funkci \(f(x)=8x\sqrt(x-x^2)\) . Pojďme najít jeho derivát: \ Na ODZ má derivace jednu nulu: \(x=\frac34\) , což je také maximální bod funkce \(f(x)\) .
Všimněte si, že \(f(0)=f(1)=0\) . Takže schematicky graf \(f(x)\) vypadá takto:

Proto, aby rovnice měla řešení, je nutné, aby se graf \(f(x)\) protínal s přímkou ​​\(y=-a\) (na obrázku je jedna z vhodných možností). To znamená, že je to nutné \ . Pro tyto \(x\) :

Funkce \(y_1=\sqrt(x-1)\) je striktně rostoucí. Grafem funkce \(y_2=5x^2-9x\) je parabola, jejíž vrchol je v bodě \(x=\dfrac(9)(10)\) . Následně je pro všechny \(x\geqslant 1\) také přísně rostoucí funkce \(y_2\) (pravá větev paraboly). Protože součet přísně rostoucích funkcí je striktně rostoucí, pak \(f_a(x)\) je striktně rostoucí (konstanta \(3a+8\) neovlivňuje monotónnost funkce).

Funkce \(g_a(x)=\dfrac(a^2)(x)\) pro všechny \(x\geqslant 1\) představuje část pravé větve hyperboly a je přísně klesající.

Řešení rovnice \(f_a(x)=g_a(x)\) znamená najít průsečíky funkcí \(f\) a \(g\) . Z jejich opačné monotónnosti vyplývá, že rovnice může mít nejvýše jeden kořen.

Když \(x\geqslant 1\) \(f_a(x)\geqslant 3a+4, \ \ \ 0 . Rovnice tedy bude mít jedinečné řešení, pokud:

\\pohár

Odpovědět:

\(a\in (-\infty;-1]\hrnek , omezena na tento segment;

· součet rostoucích (klesajících) funkcí je rostoucí (klesající) funkcí;

· funkce if F zvyšuje (snižuje) a n– liché číslo, také se zvyšuje (snižuje);

· Pokud f"(x)>0 pro všechny xО(a,b), pak funkce y=f(x) se v intervalu zvyšuje (a,b);

· Pokud f"(x)<0 pro všechny xО(a,b), pak funkce y=f(x) v intervalu klesá (a,b);

· Pokud f(x) – spojitá a monotónní funkce na sadě X, pak rovnice f(x)=C, Kde S– tato konstanta může mít X ne více než jedno řešení;

· je-li na definičním oboru rovnice f(x)=g(x) funkce f(x) zvyšuje a funkce g(x) klesá, pak rovnice nemůže mít více než jedno řešení.

Teorém. (dostatečná podmínka pro monotónnost funkce). Pokud je spojitý na segmentu [ a, b] funkce y = f(X) v každém bodě intervalu ( a, b) má kladnou (zápornou) derivaci, pak se tato funkce zvyšuje (snižuje) na segmentu [ a, b].

Důkaz. Nechť >0 pro každého xО(a,b). Zvažte dvě libovolné hodnoty x 2 > x 1, patřící [ a, b]. Podle Lagrangeova vzorce x 1<с < х 2 . (S) > 0 A x 2 – x 1 > 0, proto > 0, odkud > , to znamená, že funkce f(x) roste na intervalu [ a, b]. Druhá část věty je dokázána podobným způsobem.

Věta 3. (nezbytný znak existence extrému funkce). Pokud je funkce diferencovatelná v bodě c na=F(X) má v tomto bodě extrém, pak .

Důkaz. Nechte například funkci na= F(X) má maximum v bodě c. To znamená, že existuje proražené okolí bodu c takové, že pro všechny body X tato čtvrť je spokojená F(X) < f (C), to je F(C) je největší hodnota funkce v tomto sousedství. Pak podle Fermatovy věty.

Případ minima v bodě c se dokazuje podobným způsobem.

Komentář. Funkce může mít extrém v bodě, ve kterém její derivace neexistuje. Například funkce má minimum v bodě x = 0, i když neexistuje. Body, ve kterých je derivace funkce nulová nebo neexistuje, se nazývají kritické body funkce. Funkce však nemá extrém ve všech kritických bodech. Například funkce y = x 3 nemá žádné extrémy, i když jeho derivát =0.

Věta 4. (dostatečný znak existence extrému). Li kontinuální funkce y = f(X) má derivaci ve všech bodech určitého intervalu obsahujícího kritický bod C (snad kromě tohoto samotného bodu), a pokud derivace, když argument prochází zleva doprava přes kritický bod C, změní znaménko z plus do mínusu, pak má funkce v bodě C maximum, a když se znaménko změní z mínus na plus, minimum.

Důkaz. Nechť c je kritický bod a nechť například když argument prochází bodem c změní znaménko z plus na mínus. To znamená, že v nějakém intervalu (c–e; c) funkce se zvyšuje a na intervalu (c; c+e)– klesá (at E>0). V bodě c má tedy funkce maximum. Případ minima se dokazuje podobným způsobem.

Komentář. Pokud derivace nezmění znaménko, když argument prochází kritickým bodem, pak funkce v tomto bodě nemá extrém.

Protože se definice limity a spojitosti pro funkci více proměnných prakticky shodují s odpovídajícími definicemi pro funkci jedné proměnné, jsou pro funkce více proměnných zachovány všechny vlastnosti limitních a spojitých funkcí.

©2015-2019 web
Všechna práva náleží jejich autorům. Tato stránka si nečiní nárok na autorství, ale poskytuje bezplatné použití.
Datum vytvoření stránky: 2016-02-12

Věta o limitě monotónní funkce. Důkaz věty je podán dvěma způsoby. Dále jsou uvedeny definice přísně rostoucí, neklesající, přísně klesající a nerostoucí funkce. Definice monotónní funkce.

Definice

Definice rostoucí a klesající funkce
Nechť funkci f (X) je definován na nějaké množině reálných čísel X.
Funkce je volána přísně rostoucí (přísně klesající), pokud pro všechna x′, x′′ ∈ X tak, že x′< x′′ выполняется неравенство:
F (X')< f(x′′) (F (x′) > f(x′′) ) .
Funkce je volána neklesající (nerostoucí), pokud pro všechna x′, x′′ ∈ X tak, že x′< x′′ выполняется неравенство:
F (x′) ≤ f(x′′)(F (x′) ≥ f(x′′) ) .

Z toho vyplývá, že přísně rostoucí funkce je také neklesající. Striktně klesající funkce je také nerostoucí.

Definice monotónní funkce
Funkce je volána monotónní, pokud je neklesající nebo nerostoucí.

Chcete-li studovat monotónnost funkce na určité množině X, musíte najít rozdíl jejích hodnot ve dvou libovolných bodech patřících do této množiny. Jestliže , pak je funkce přísně rostoucí; if , pak se funkce nesnižuje; if , pak přísně klesá; pokud , pak se nezvyšuje.

Pokud je na určité množině funkce kladná: , pak pro určení monotónnosti můžete studovat kvocient dělení jejích hodnot ve dvou libovolných bodech této množiny. Jestliže , pak je funkce přísně rostoucí; if , pak se funkce nesnižuje; if , pak přísně klesá; pokud , pak se nezvyšuje.

Teorém
Nechť funkci f (X) v intervalu neklesá (a, b), Kde .
Pokud je nahoře ohraničený číslem M:, pak v bodě b: existuje konečná levá limita. Pokud f (X) není shora omezena, pak .
Pokud f (X) je dole omezena číslem m:, pak je v bodě a: konečná pravá limita. Pokud f (X) není níže ohraničeno, pak .

Jsou-li body a a b v nekonečnu, pak ve výrazech limitní znaménka znamenají, že .
Tato věta může být formulována kompaktněji.

Nechť funkci f (X) v intervalu neklesá (a, b), Kde .
;
.

Pak jsou v bodech a a b jednostranné limity:

Podobná věta pro nerostoucí funkci.
;
.

Nechť se funkce nezvyšuje na intervalu kde . Pak existují jednostranné limity:
Následek
Nechť je funkce na intervalu monotónní. Pak v kterémkoli bodě z tohoto intervalu existují jednostranné konečné limity funkce:

A .

Důkaz věty

Funkce se nesnižuje

b - konečné číslo

Funkce je omezena shora

.
;
.

1.1.1. Nechť je funkce shora omezena číslem M: for .
Protože funkce neklesá, pak když . Pak
na .
;
;
.
Pojďme transformovat poslední nerovnost:
Protože funkce neklesá, pak když . Pak

Protože funkce neklesá, pak když . Pak
Protože tedy . Pak

"Definice jednostranných limit funkce v koncovém bodě").

Funkce není shora omezena
1. Nechat funkci neklesat na intervalu.
1.1. Nechť číslo b je konečné: .
1.1.2. Nechť funkce není omezena výše.

.

Protože funkce neklesá, pak když . Pak

Dokažme, že v tomto případě existuje limit.
Protože funkce neklesá, pak když . Pak
Označme . Pak pro kohokoli tam je, takže

To znamená, že limita vlevo v bodě b je rovna (viz "Definice jednostranných nekonečných limit funkce v koncovém bodě").

b - konečné číslo

Funkce není shora omezena
b rané plus nekonečno
1.1.2. Nechť funkce není omezena výše.

1.2.1. Nechť je funkce shora omezena číslem M: for .
.
Protože je funkce omezena výše, existuje konečné supremum Podle definice přesné horní hranice,:
;
následující podmínky
.

pro každé pozitivum existuje argument, pro který
Protože funkce neklesá, pak když . Pak

Protože funkce neklesá, pak když . Poté v . Nebo
Protože funkce neklesá, pak když . Pak
Takže jsme zjistili, že pro každého existuje číslo, takže

"Definice jednostranných limit funkce v koncovém bodě").

Funkce není shora omezena
"Definice jednostranných limit v nekonečnu").
1.2. Nechť číslo b je rovno plus nekonečnu: .
1.1.2. Nechť funkce není omezena výše.

1.2.2. Nechť funkce není omezena výše.
.

Protože funkce neklesá, pak když . Poté v .

Takže pro všechny existuje číslo, takže
Protože funkce neklesá, pak když . Pak
To znamená, že limita v je rovna (viz "Definice jednostranných nekonečných limit v nekonečnu").

Funkce se nezvyšuje

Nyní zvažte případ, kdy se funkce nezvýší. Stejně jako výše můžete zvážit každou možnost samostatně. Ale hned je zakryjeme. K tomu používáme . Dokažme, že v tomto případě existuje limit.

Uvažujme konečné infimum množiny funkčních hodnot:
.
Zde B může být buď konečné číslo, nebo bod v nekonečnu. Podle definice přesné dolní meze jsou splněny následující podmínky:
;
pro jakékoli okolí bodu B existuje argument, pro který
.
Podle podmínek věty, . Proto .

Protože se funkce nezvyšuje, pak když . Od té doby
Protože funkce neklesá, pak když . Pak
Nebo
Protože funkce neklesá, pak když . Pak
Dále si všimneme, že nerovnost definuje levé proražené okolí bodu b.

Zjistili jsme tedy, že pro jakékoli okolí bodu existuje proražené levé okolí bodu b takové, že
Protože funkce neklesá, pak když . Pak
To znamená, že limit nalevo v bodě b je:

(viz univerzální definice limity funkce podle Cauchyho).

Limit v bodě a

Nyní si ukážeme, že v bodě a je limita a zjistíme její hodnotu.

Zvažme funkci. Podle podmínek věty je funkce monotónní pro . Nahraďme proměnnou x za - x (nebo proveďte substituci a pak proměnnou t nahraďte x ). Potom je funkce monotónní pro . Násobení nerovností podle -1 a změnou jejich pořadí dojdeme k závěru, že funkce je monotónní pro .

Podobným způsobem lze snadno ukázat, že když se nesnižuje, pak neroste. Pak podle toho, co bylo prokázáno výše, existuje hranice
.
Pokud se nezvyšuje, neklesá. V tomto případě existuje limit
.

Nyní zbývá ukázat, že pokud existuje limita funkce v , pak existuje limita funkce v , a tyto limity se rovnají:
.

Představme si notaci:
(1) .
Vyjádřeme f pomocí g:
.
Vezměme libovolné kladné číslo. Nechť existuje epsilonové okolí bodu A. Okolí epsilon je definováno pro konečné i nekonečné hodnoty A (viz „Okolí bodu“). Protože existuje limita (1), pak podle definice limity pro jakoukoli existuje taková, že
Protože funkce neklesá, pak když . Pak

Nechť a je konečné číslo. Vyjádřeme levé proražené okolí bodu -a pomocí nerovností:
Protože funkce neklesá, pak když . Pak
Nahradíme x za -x a vezmeme v úvahu, že:
Protože funkce neklesá, pak když . Pak
Poslední dvě nerovnosti definují proražené pravé okolí bodu a. Pak
Protože funkce neklesá, pak když . Pak

Nechť a je nekonečné číslo, . Opakujeme odůvodnění.
na ;
na ;
na ;
Protože funkce neklesá, pak když . Pak

Takže jsme zjistili, že pro každého existuje něco takového
Protože funkce neklesá, pak když . Pak
Znamená to, že
.

Věta je dokázána.

Lekce a prezentace z algebry v 10. ročníku na téma: "Výzkum funkce pro monotónnost. Výzkumný algoritmus"

Doplňkové materiály
Vážení uživatelé, nezapomeňte zanechat své komentáře, recenze, přání! Všechny materiály byly zkontrolovány antivirovým programem.

Manuály a simulátory v internetovém obchodě Integral pro stupeň 10 od 1C
Algebraické úlohy s parametry, ročníky 9–11
Softwarové prostředí "1C: Mathematical Constructor 6.1"

Co budeme studovat:
1. Klesající a rostoucí funkce.
2. Vztah mezi derivací a monotónností funkce.
3. Dvě důležité věty o monotónnosti.
4. Příklady.

Kluci, dříve jsme se na mnohé podívali různé funkce a vytvořili jejich grafy. Nyní si představíme nová pravidla, která fungují pro všechny funkce, o kterých jsme uvažovali a budeme uvažovat i nadále.

Snižování a zvyšování funkcí

Podívejme se na koncept rostoucí a klesající funkce. Kluci, co je to funkce?

Funkce je korespondence y= f(x), ve které je každá hodnota x spojena s jedinou hodnotou y.

Podívejme se na graf některé funkce:

Náš graf ukazuje: čím větší x, tím menší y. Definujme tedy klesající funkci. Funkce se nazývá klesající, pokud větší hodnota argumentu odpovídá menší hodnotě funkce.

Pokud x2 > x1, pak f(x2) Nyní se podívejme na graf této funkce:
Tento graf ukazuje, že čím větší x, tím větší y. Definujme tedy rostoucí funkci. Funkce se nazývá rostoucí, pokud větší hodnota argumentu odpovídá větší hodnotě funkce.
Jestliže x2 > x1, pak f(x2 > f(x1) nebo: čím větší x, tím větší y.

Pokud se funkce v určitém intervalu zvyšuje nebo snižuje, říká se to na tomto intervalu je monotónní.

Vztah mezi derivací a monotónností funkce

Kluci, teď se zamysleme nad tím, jak můžete použít koncept derivace při studiu grafů funkcí. Nakreslete graf rostoucí diferencovatelné funkce a nakreslete k našemu grafu pár tečen.

Pokud se podíváte na naše tečny nebo vizuálně nakreslíte jakoukoli jinou tečnu, všimnete si, že úhel mezi tečnou a kladným směrem osy x bude ostrý. To znamená, že tečna má kladný sklon. Tangentní sklon rovna hodnotě derivace na úsečce tečného bodu. Hodnota derivace je tedy ve všech bodech našeho grafu kladná. Pro rostoucí funkci platí následující nerovnost: f"(x) ≥ 0, pro libovolný bod x.

Kluci, teď se podíváme na graf nějaké klesající funkce a sestrojíme tečny ke grafu funkce.

Podívejme se na tečny a vizuálně nakreslete jakoukoli jinou tečnu. Všimneme si, že úhel mezi tečnou a kladným směrem osy x je tupý, což znamená, že tečna má záporný sklon. Hodnota derivace je tedy ve všech bodech našeho grafu záporná. Pro klesající funkci platí následující nerovnost: f"(x) ≤ 0, pro libovolný bod x.

Takže monotónnost funkce závisí na znaménku derivace:

Pokud funkce roste na intervalu a má na tomto intervalu derivaci, pak tato derivace nebude záporná.

Pokud funkce klesá na intervalu a má na tomto intervalu derivaci, pak tato derivace nebude kladná.

Důležité, takže intervaly, na kterých uvažujeme funkci, jsou otevřené!

Dvě důležité věty o monotónnosti

Věta 1. Platí-li nerovnost f'(x) ≥ 0 ve všech bodech otevřeného intervalu X (a rovnost derivace k nule buď neplatí, nebo platí, ale pouze v konečné množině bodů), pak funkce y= f(x) roste na intervalu X.

Věta 2. Platí-li nerovnost f'(x) ≤ 0 ve všech bodech otevřeného intervalu X (a rovnost derivace k nule buď neplatí, nebo platí, ale pouze v konečné množině bodů), pak funkce y= f(x) na intervalu X klesá.

Věta 3. Je-li ve všech bodech otevřeného intervalu X rovnost
f’(x)= 0, pak je funkce y= f(x) na tomto intervalu konstantní.

Příklady studia funkce pro monotónnost

1) Dokažte, že funkce y= x 7 + 3x 5 + 2x - 1 je rostoucí na celé číselné ose.

Řešení: Najděte derivaci naší funkce: y"= 7 6 + 15x 4 + 2. Protože je stupeň v x sudý, pak výkonová funkce nabývá pouze kladných hodnot. Pak y" > 0 pro libovolné x, což podle věty 1 znamená, že naše funkce roste na celé číselné ose.

2) Dokažte, že funkce je klesající: y= sin(2x) - 3x.

Najdeme derivaci naší funkce: y"= 2cos(2x) - 3.
Pojďme vyřešit nerovnost:
2cos(2x) - 3 ≤ 0,
2cos(2x) ≤ 3,
cos(2x) ≤ 3/2.
Protože -1 ≤ cos(x) ≤ 1, což znamená, že naše nerovnost je splněna pro libovolné x, pak podle věty 2 funkce y= sin(2x) - 3x klesá.

3) Prozkoumejte funkci na monotónnost: y= x 2 + 3x - 1.

Řešení: Najděte derivaci naší funkce: y"= 2x + 3.
Pojďme vyřešit nerovnost:
2x + 3 ≥ 0,
x ≥ -3/2.
Potom naše funkce roste pro x ≥ -3/2 a klesá pro x ≤ -3/2.
Odpověď: Pro x ≥ -3/2 se funkce zvyšuje, pro x ≤ -3/2 se funkce snižuje.

4) Prozkoumejte monotónnost funkce: y= $\sqrt(3x - 1)$.

Řešení: Najdeme derivaci naší funkce: y"= $\frac(3)(2\sqrt(3x - 1))$.
Pojďme vyřešit nerovnost: $\frac(3)(2\sqrt(3x - 1))$ ≥ 0.

Naše nerovnost je větší nebo rovna nule:
$\sqrt(3x - 1)$ ≥ 0,
3x - 1 ≥ 0,
x ≥ 1/3.
Pojďme vyřešit nerovnost:
$\frac(3)(2\sqrt(3x-1))$ ≤ 0,

$\sqrt(3x-1)$ ≤ 0,
3x - 1 ≤ 0.
Ale to je nemožné, protože... Odmocnina je definován pouze pro kladné výrazy, což znamená, že naše funkce nemá žádné klesající intervaly.
Odpověď: pro x ≥ 1/3 se funkce zvýší.

Problémy řešit samostatně

a) Dokažte, že funkce y= x 9 + 4x 3 + 1x - 10 je rostoucí na celé číselné ose.
b) Dokažte, že funkce je klesající: y= cos(5x) - 7x.
c) Prozkoumejte monotónnost funkce: y= 2x 3 + 3x 2 - x + 5.
d) Prozkoumejte monotónnost funkce: y = $\frac(3x-1)(3x+1)$.

Zvyšování, snižování a extrémy funkce

Hledání intervalů nárůstu, poklesu a extrémů funkce je jak samostatným úkolem, tak nezbytnou součástí dalších úkolů, zejm. plně funkční studium. Počáteční informace o nárůstu, poklesu a extrémech funkce jsou uvedeny v teoretická kapitola o derivaci, kterou vřele doporučuji k předběžnému prostudování (nebo opakování)– také z toho důvodu, že následující materiál je založen na velmi v podstatě derivát, je harmonickým pokračováním tohoto článku. I když je-li času málo, je možné i čistě formální procvičování příkladů z dnešní lekce.

A dnes je ve vzduchu duch vzácné jednomyslnosti a já přímo cítím, že všichni přítomní hoří touhou naučit se zkoumat funkci pomocí její derivace. Na obrazovkách vašich monitorů se proto okamžitě objeví rozumná, dobrá, věčná terminologie.

Proč? Jeden z důvodů je nejpraktičtější: aby bylo jasné, co se od vás v konkrétním úkolu obecně vyžaduje!

Monotonie funkce. Extrémní body a extrémy funkce

Uvažujme o nějaké funkci. Jednoduše řečeno, předpokládáme, že ona kontinuální na celé číselné řadě:

Pro každý případ se okamžitě zbavme možných iluzí, zejména pro ty čtenáře, kteří se s nimi nedávno seznámili intervaly konstantního znaménka funkce. Teď my NEMÁM ZÁJEM, jak je graf funkce umístěn vzhledem k ose (nahoře, dole, kde se osa protíná). Abyste byli přesvědčiví, v duchu vymažte osy a nechte jeden graf. Protože v tom je ten zájem.

Funkce zvyšuje na intervalu, pokud pro libovolné dva body tohoto intervalu spojené vztahem , je nerovnost pravdivá. To znamená, že větší hodnota argumentu odpovídá větší hodnotě funkce a její graf jde „zdola nahoru“. Demonstrační funkce v průběhu intervalu roste.

Stejně tak funkce klesá na intervalu if pro libovolné dva body daného intervalu tak, že , nerovnost je pravdivá. To znamená, že větší hodnota argumentu odpovídá menší hodnotě funkce a její graf jde „shora dolů“. Naše funkce v intervalech klesá .

Pokud se funkce v intervalu zvyšuje nebo snižuje, je volána přísně monotónní v tomto intervalu. Co je monotónnost? Berte to doslova – monotónnost.

Můžete také definovat neklesající funkce (uvolněný stav v první definici) a nerostoucí funkce (změkčená podmínka ve 2. definici). Neklesající nebo nerostoucí funkce na intervalu se nazývá monotónní funkce na daném intervalu (přísná monotónnost - speciální případ„jen“ monotónnost).

Teorie zvažuje i jiné přístupy k určování nárůstu/snížení funkce, včetně polovičních intervalů, segmentů, ale abychom si nelili olej-olej-olej na hlavu, dohodneme se na provozu s otevřenými intervaly s kategorickými definicemi - to je jasnější a pro řešení mnoha praktických problémů zcela dostačující.

Tím pádem, v mých článcích bude formulace „monotonie funkce“ téměř vždy skryta intervalech přísná monotónnost (přísně rostoucí nebo přísně klesající funkce).

Okolí bodu. Slova, po kterých studenti utíkají, kam se dá, a zděšeně se schovávají v koutech. ...I když po příspěvku Cauchyho limity Pravděpodobně se už neschovávají, ale jen se mírně chvějí =) Nebojte se, teď nebudou žádné důkazy teorémů matematická analýza– Potřeboval jsem, aby okolí formulovalo definice přísněji extrémní body. Připomeňme si:

Okolí bodu nazývá se interval, který obsahuje tento bod, zatímco pro pohodlí je interval často považován za symetrický. Například bod a jeho standardní okolí:

Vlastně ty definice:

Bod se nazývá přísný maximální bod, Pokud existuje její okolí, pro všechny hodnoty, z nichž kromě samotného bodu je nerovnost . V našem konkrétním příkladu je to tečka.

Bod se nazývá přísný minimální bod, Pokud existuje její okolí, pro všechny hodnoty, z nichž kromě samotného bodu je nerovnost . Na výkrese je bod „a“.

Poznámka : požadavek sousedské symetrie není vůbec nutný. Navíc je to důležité samotný fakt existence okolí (ať už malé nebo mikroskopické), které splňuje stanovené podmínky

Body se nazývají přísně extrémní body nebo jednoduše extrémní body funkcí. To znamená, že je to zobecněný termín pro maximální a minimální počet bodů.

Jak rozumíme slovu „extrémní“? Ano, stejně přímo jako monotónnost. Extrémní body horských drah.

Stejně jako v případě monotónnosti existují volné postuláty, které jsou teoreticky ještě častější (což samozřejmě spadají uvažované striktní případy!):

Bod se nazývá maximální bod, Pokud existuje jeho okolí je takové, že pro všechny
Bod se nazývá minimální bod, Pokud existuje jeho okolí je takové, že pro všechny hodnoty tohoto sousedství, nerovnost platí.

Všimněte si, že podle posledních dvou definic je jakýkoli bod konstantní funkce (nebo „plochý úsek“ funkce) považován za maximální i minimální bod! Funkce je mimochodem nerostoucí i neklesající, tedy monotónní. Tyto úvahy však ponecháme teoretikům, neboť v praxi téměř vždy uvažujeme o tradičních „kopcích“ a „dutách“ (viz nákres) s jedinečným „králem kopce“ nebo „princeznou z bažin“. Jako odrůda se vyskytuje spropitné, směřující nahoru nebo dolů, například minimum funkce v bodě.

A když už mluvíme o královské rodině:
– význam se nazývá maximum funkce;
– význam se nazývá minimální funkcí.

Běžné jméno – extrémy funkcí.

Buďte prosím opatrní se svými slovy!

Extrémní body– to jsou hodnoty „X“.
Extrémy– významy „hry“.

! Poznámka : někdy se uvedené pojmy vztahují k bodům „X-Y“, které leží přímo na GRAFU SAMOTNÉ funkce.

Kolik extrémů může mít funkce?

Žádný, 1, 2, 3, ... atd. do nekonečna. Například sinus má nekonečně mnoho minim a maxim.

DŮLEŽITÉ! Termín "maximální funkčnost" není totožné termín „maximální hodnota funkce“. Je snadné si všimnout, že hodnota je maximální pouze v místní čtvrti a vlevo nahoře jsou „chladnější soudruzi“. Stejně tak „minimum funkce“ není totéž jako „minimální hodnota funkce“ a na výkresu vidíme, že hodnota je minimální pouze v určité oblasti. V tomto ohledu se také nazývají extrémní body lokální extrémní body a extrémy – lokální extrémy . Chodí a bloudí poblíž a globální bratři. Takže každá parabola má ve svém vrcholu globální minimum nebo globální maximum. Dále nebudu rozlišovat mezi typy extrémů a vysvětlení je vyjádřeno spíše pro obecné vzdělávací účely - doplňková přídavná jména „místní“/„globální“ by vás neměla zaskočit.

Shrňme náš krátký exkurz do teorie testovacím výstřelem: co znamená úloha „najít intervaly monotónnosti a extrémní body funkce“?

Formulace vás vyzývá, abyste našli:

– intervaly rostoucí/klesající funkce (neklesající, nerostoucí se objevuje mnohem méně často);

– maximální a/nebo minimální počet bodů (pokud nějaké existují). Abyste předešli selhání, je lepší si minima/maxima najít sami ;-)

Jak to všechno určit? Použití derivační funkce!

Jak najít intervaly zvyšování, snižování,
extrémní body a extrémy funkce?

Mnoho pravidel je ve skutečnosti již známo a chápáno z nich lekce o významu derivace.

Tečná derivace přináší veselou zprávu, že funkce se neustále zvyšuje doména definice.

S kotangens a jeho derivací situace je přesně opačná.

Arkussinus se během intervalu zvyšuje - derivace je zde kladná: .
Když je funkce definována, ale není diferencovatelná. V kritickém bodě je však pravotočivá derivace a pravotočivá tečna a na druhé hraně jsou jejich levotočivé protějšky.

Myslím, že pro vás nebude příliš obtížné provést podobnou úvahu pro arkuskosinus a jeho derivaci.

Všechny výše uvedené případy, z nichž mnohé jsou tabulkové deriváty, připomínám, následujte přímo z definice derivátů.

Proč zkoumat funkci pomocí její derivace?

Pro lepší pochopení toho, jak vypadá graf této funkce: kde to jde „zdola nahoru“, kde „shora dolů“, kde dosahuje minima a maxima (pokud vůbec dosáhne). Ne všechny funkce jsou tak jednoduché – ve většině případů o grafu konkrétní funkce nemáme vůbec ponětí.

Je čas přejít na smysluplnější příklady a zvážit algoritmus pro hledání intervalů monotonie a extrémů funkce:

Příklad 1

Najděte intervaly nárůstu/klesání a extrémy funkce

Řešení:

1) Prvním krokem je najít doména funkce a také si poznamenejte body přerušení (pokud existují). V v tomto případě funkce je spojitá na celé číselné ose a tato akce je do jisté míry formální. Ale v řadě případů zde vzplanou vážné vášně, takže pojďme s odstavcem zacházet bez pohrdání.

2) Druhý bod algoritmu je způsoben

nezbytnou podmínkou pro extrém:

Pokud je v bodě extrém, pak buď hodnota neexistuje.

Zmatený koncem? Extrém funkce „modul x“. .

Podmínka je nutná, ale nedostatek a opak není vždy pravdou. Z rovnosti tedy ještě nevyplývá, že funkce dosáhne maxima nebo minima v bodě . Klasický příklad již byl zdůrazněn výše - jedná se o kubickou parabolu a její kritický bod.

Ale ať je to jak chce, nutná podmínka extremum diktuje nutnost najít podezřelé body. Chcete-li to provést, najděte derivaci a vyřešte rovnici:

Na začátku prvního článku o funkčních grafechŘekl jsem vám, jak rychle postavit parabolu na příkladu : “...vezmeme první derivaci a přirovnáme ji k nule: ...Takže řešení naší rovnice: - v tomto bodě se nachází vrchol paraboly...”. Nyní, myslím, každý chápe, proč se vrchol paraboly nachází přesně v tomto bodě =) Obecně bychom měli začít podobným příkladem zde, ale je příliš jednoduchý (i pro figuríny). Kromě toho je na samém konci lekce analog derivace funkce. Proto zvyšme stupeň:

Příklad 2

Najděte intervaly monotonie a extrémy funkce

Toto je příklad pro nezávislé rozhodnutí. Kompletní řešení a přibližnou závěrečnou ukázku úkolu na konci lekce.

Nastal dlouho očekávaný okamžik setkání s frakčně-racionálními funkcemi:

Příklad 3

Prozkoumejte funkci pomocí první derivace

Věnujte pozornost tomu, jak variabilně lze přeformulovat jeden a tentýž úkol.

Řešení:

1) Funkce trpí nekonečnými nespojitostmi v bodech.

2) Zjistíme kritické body. Pojďme najít první derivaci a přirovnat ji k nule:

Pojďme řešit rovnici. Zlomek je nula, když je jeho čitatel nula:

Dostáváme tedy tři kritické body:

3) VŠECHNY zjištěné body vyneseme na číselnou osu a intervalová metoda definujeme znaky DERIVÁTU:

Připomínám, že musíte vzít nějaký bod v intervalu a vypočítat hodnotu derivace na něm a určit jeho znamení. Je výhodnější ani nepočítat, ale „odhadovat“ slovně. Vezměme si například bod patřící do intervalu a provedeme substituci: .

Dvě „plusy“ a jedno „mínus“ tedy dávají „mínus“, což znamená, že derivace je v celém intervalu záporná.

Akce, jak víte, musí být provedena pro každý ze šesti intervalů. Mimochodem, všimněte si, že faktor čitatele a jmenovatel jsou přísně kladné pro jakýkoli bod v jakémkoli intervalu, což značně zjednodušuje úlohu.

Takže derivace nám řekla, že SAMA FUNKCE se zvyšuje o a sníží se o . Intervaly stejného typu je vhodné spojovat ikonou spojení.

V okamžiku, kdy funkce dosáhne svého maxima:
V okamžiku, kdy funkce dosáhne minima:

Zamyslete se nad tím, proč nemusíte přepočítávat druhou hodnotu ;-)

Při průchodu bodem derivace nemění znaménko, takže tam funkce NEMÁ ŽÁDNÝ EXTRÉM - klesala i klesala.

! zopakujme důležitý bod : body nejsou považovány za kritické – obsahují funkci není určeno. V souladu s tím zde V zásadě nemohou existovat žádné extrémy(i když derivace změní znaménko).

Odpovědět: funkce se zvýší o a sníží se o V okamžiku, kdy je dosaženo maxima funkce: , a v bodě – minimum: .

Znalost intervalů monotonie a extrémů spojená s ustálenou asymptoty už dává velmi dobrou představu vzhled funkční grafika. Průměrně trénovaný člověk je schopen slovně určit, že graf funkce má dvě vertikální asymptoty a šikmou asymptotu. Zde je náš hrdina:

Zkuste ještě jednou korelovat výsledky studie s grafem této funkce.
V kritickém bodě neexistuje žádný extrém, ale je inflexní bod(což se zpravidla v podobných případech stává).

Příklad 4

Najděte extrémy funkce

Příklad 5

Najděte intervaly monotonie, maxima a minima funkce

...dnes je to skoro jako nějaký svátek "X v kostce"....
Taaaak, kdo v galerii za tohle nabídl pití? =)

Každý úkol má své vlastní věcné nuance a technické jemnosti, které jsou na konci lekce komentovány.