Derivace funkce je jedna z obtížná témata PROTI školní osnovy. Ne každý absolvent odpoví na otázku, co je to derivát.
Tento článek jednoduchým a jasným způsobem vysvětluje, co je derivát a proč je potřeba.. Nebudeme nyní v prezentaci usilovat o matematickou přísnost. Nejdůležitější je pochopit význam.
Připomeňme si definici:
Derivace je rychlost změny funkce.
Obrázek ukazuje grafy tří funkcí. Který podle vás roste rychleji?
Odpověď je zřejmá – třetí. Má nejvyšší rychlost změny, tedy největší derivaci.
Zde je další příklad.
Kostya, Grisha a Matvey dostali práci ve stejnou dobu. Podívejme se, jak se jejich příjmy během roku změnily:
Graf ukazuje všechno najednou, že? Kostyův příjem se za šest měsíců více než zdvojnásobil. A Grishův příjem se také zvýšil, ale jen trochu. A Matveyho příjem klesl na nulu. Výchozí podmínky jsou stejné, ale rychlost změny funkce, tzn derivát, - různé. Pokud jde o Matveyho, jeho příjmový derivát je obecně negativní.
Intuitivně snadno odhadneme rychlost změny funkce. Ale jak to uděláme?
Ve skutečnosti se díváme na to, jak strmě stoupá graf funkce nahoru (nebo dolů). Jinými slovy, jak rychle se změní y se změnou x? Je zřejmé, že stejná funkce v různých bodech může mít jiný význam derivace – to znamená, že se může měnit rychleji nebo pomaleji.
Derivace funkce je označena .
Ukážeme vám, jak to najít pomocí grafu.
Byl nakreslen graf nějaké funkce. Vezměme bod s úsečkou. V tomto bodě nakreslete tečnu ke grafu funkce. Chceme odhadnout, jak strmě stoupá graf funkce. Výhodná hodnota pro to je tangens úhlu tečny.
Derivace funkce v bodě je rovna tečně úhlu tečny nakresleného ke grafu funkce v tomto bodě.
Vezměte prosím na vědomí, že jako úhel sklonu tečny bereme úhel mezi tečnou a kladným směrem osy.
Někdy se studenti ptají, co je tečna ke grafu funkce. Toto je přímka, která má jeden společný bod s grafem v této části a jak je znázorněno na našem obrázku. Vypadá jako tečna ke kružnici.
Pojďme to najít. Pamatujeme si, že tečna ostrého úhlu v pravoúhlý trojúhelník rovný poměru protilehlé strany k sousední straně. Z trojúhelníku:
Našli jsme derivaci pomocí grafu, aniž bychom znali vzorec funkce. Takové problémy se často nacházejí v Jednotné státní zkoušce z matematiky pod číslem.
Je tu ještě jeden důležitý vztah. Připomeňme, že přímka je dána rovnicí
Veličina v této rovnici se nazývá sklon přímky. Je rovna tečně úhlu sklonu přímky k ose.
.
Chápeme to
Zapamatujme si tento vzorec. Vyjadřuje se geometrický význam derivát.
Derivace funkce v bodě se rovná sklonu tečny nakreslené ke grafu funkce v tomto bodě.
Jinými slovy, derivace je rovna tečně úhlu tečny.
Již jsme řekli, že stejná funkce může mít různé derivace v různých bodech. Podívejme se, jak derivace souvisí s chováním funkce.
Nakreslíme graf nějaké funkce. Nechte tuto funkci v některých oblastech zvýšit a v jiných snížit a v různé míře. A nechť má tato funkce maximum a minimum bodů.
V určitém okamžiku se funkce zvýší. Tečna ke grafu nakreslenému v bodě svírá ostrý úhel; s kladným směrem osy. To znamená, že derivace v bodě je kladná.
V tomto bodě naše funkce klesá. Tečna v tomto bodě svírá tupý úhel; s kladným směrem osy. Protože tečna tupého úhlu je záporná, derivace v bodě je záporná.
Co se stane:
Je-li funkce rostoucí, její derivace je kladná.
Pokud klesá, jeho derivace je záporná.
Co se stane s maximálním a minimálním počtem bodů? Vidíme, že v bodech (maximální bod) a (minimální bod) je tečna vodorovná. Proto je tečna tečny v těchto bodech nulová a derivace je také nulová.
Bod - maximální bod. V tomto okamžiku je nárůst funkce nahrazen poklesem. V důsledku toho se znaménko derivace změní v bodě „plus“ na „mínus“.
V bodě - minimálním bodě - je derivace také nulová, ale její znaménko se mění z "minus" na "plus".
Závěr: pomocí derivace se můžeme naučit vše, co nás o chování funkce zajímá.
Pokud je derivace kladná, funkce roste.
Pokud je derivace záporná, pak je funkce klesající.
V maximálním bodě je derivace nulová a mění znaménko z „plus“ na „mínus“.
V minimálním bodě je derivace také nulová a mění znaménko z „mínus“ na „plus“.
Zapišme si tyto závěry ve formě tabulky:
| zvyšuje | maximální bod | klesá | minimální bod | zvyšuje | |
| + | 0 | - | 0 | + |
Udělejme dvě malá upřesnění. Při řešení problému budete potřebovat jeden z nich. Další - v prvním ročníku se serióznějším studiem funkcí a derivací.
Je možné, že derivace funkce v určitém bodě je rovna nule, ale funkce v tomto bodě nemá ani maximum, ani minimum. Jedná se o tzv :
V bodě je tečna ke grafu vodorovná a derivace je nulová. Před bodem se však funkce zvýšila - a po bodu se dále zvyšuje. Znaménko derivace se nemění - zůstává kladné tak, jak bylo.
Stává se také, že v bodě maxima nebo minima derivace neexistuje. Na grafu to odpovídá prudkému zlomu, kdy v daném bodě nelze nakreslit tečnu.
Jak najít derivaci, pokud funkce není dána grafem, ale vzorcem? V tomto případě platí
Operace hledání derivace se nazývá diferenciace.
V důsledku řešení problémů hledání derivací nejjednodušších (a nepříliš jednoduchých) funkcí definováním derivace jako limity poměru přírůstku k přírůstku argumentu se objevila tabulka derivací a přesně definovaná pravidla derivace. . První, kdo pracoval v oblasti hledání derivátů, byli Isaac Newton (1643-1727) a Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).
Proto v naší době, abychom našli derivaci libovolné funkce, nepotřebujeme vypočítat výše zmíněnou mez poměru přírůstku funkce k přírůstku argumentu, ale stačí použít tabulku derivace a pravidla diferenciace. Pro nalezení derivace je vhodný následující algoritmus.
Chcete-li najít derivát, potřebujete výraz pod prvočíslem rozdělit jednoduché funkce na komponenty a určit, jaké akce (součin, součet, podíl) tyto funkce spolu souvisí. Dále najdeme derivace elementárních funkcí v tabulce derivací a vzorce pro derivace součinu, součtu a kvocientu - v pravidlech derivování. Tabulka derivací a pravidla diferenciace jsou uvedeny po prvních dvou příkladech.
Příklad 1. Najděte derivaci funkce
Řešení. Z pravidel derivace zjistíme, že derivace součtu funkcí je součtem derivací funkcí, tzn.
Z tabulky derivací zjistíme, že derivace "x" je rovna jedné a derivace sinu je rovna kosinu. Tyto hodnoty dosadíme do součtu derivací a najdeme derivaci požadovanou podmínkou problému:
Příklad 2 Najděte derivaci funkce
Řešení. Derivujeme jako derivaci součtu, ve kterém má druhý člen konstantní faktor, lze jej vyjmout ze znaménka derivace:
Pokud stále vyvstávají otázky o tom, odkud něco pochází, jsou obvykle vyjasněny poté, co se seznámíte s tabulkou derivací a nejjednoduššími pravidly diferenciace. Právě k nim přecházíme.
Tabulka derivací jednoduchých funkcí
| 1. Derivace konstanty (čísla). Jakékoli číslo (1, 2, 5, 200...), které je ve výrazu funkce. Vždy se rovná nule. To je velmi důležité mít na paměti, protože je to velmi často vyžadováno | |
| 2. Derivace nezávisle proměnné. Nejčastěji "X". Vždy se rovná jedné. To je také důležité si dlouho pamatovat | |
| 3. Derivace stupně. Při řešení problémů je potřeba převést neodmocniny na mocniny. | |
| 4. Derivace proměnné k mocnině -1 | |
| 5. Derivát odmocnina | |
| 6. Derivace sinusu | |
| 7. Derivace kosinusu |  |
| 8. Derivace tečny |  |
| 9. Derivace kotangens |  |
| 10. Derivace arcsinusu |  |
| 11. Derivace arkuskosinusu |  |
| 12. Derivace arkustangens |  |
| 13. Derivace obloukového kotangens |  |
| 14. Derivace přirozeného logaritmu | |
| 15. Derivace logaritmické funkce |  |
| 16. Derivace exponentu | |
| 17. Derivace exponenciální funkce |
Pravidla diferenciace
| 1. Derivace součtu nebo rozdílu |  |
| 2. Derivát produktu |  |
| 2a. Derivace výrazu násobená konstantním faktorem | |
| 3. Derivace kvocientu |  |
| 4. Derivace komplexní funkce |  |
Pravidlo 1.Pokud funkce
jsou v určitém bodě diferencovatelné, pak jsou funkce diferencovatelné ve stejném bodě
a
těch. derivace algebraického součtu funkcí se rovná algebraickému součtu derivací těchto funkcí.
Následek. Pokud se dvě diferencovatelné funkce liší konstantním členem, pak jsou jejich derivace stejné, tj.
Pravidlo 2.Pokud funkce
jsou v určitém bodě diferencovatelné, pak je jejich produkt diferencovatelný ve stejném bodě
a
těch. Derivace součinu dvou funkcí se rovná součtu součinů každé z těchto funkcí a derivace druhé.
Důsledek 1. Konstantní faktor lze vyjmout ze znaménka derivace:
Důsledek 2. Derivace součinu několika diferencovatelných funkcí se rovná součtu součinů derivace každého faktoru a všech ostatních.
Například pro tři násobiče:
Pravidlo 3.Pokud funkce
v určitém okamžiku rozlišitelné A , pak v tomto bodě je jejich kvocient také diferencovatelnýu/v a
těch. derivace podílu dvou funkcí se rovná zlomku, jehož čitatel je rozdílem součinů jmenovatele a derivace v čitateli a čitatele a derivace jmenovatele, a jmenovatel je druhá mocnina bývalý čitatel.
Kde hledat věci na jiných stránkách
Při hledání derivace součinu a kvocientu v reálných problémech je vždy nutné aplikovat více diferenciačních pravidel najednou, proto je v článku více příkladů na tyto derivace"Derivace produktu a kvocient funkcí".
Komentář. Neměli byste zaměňovat konstantu (tedy číslo) jako člen v součtu a jako konstantní faktor! V případě členu je jeho derivace rovna nule a v případě konstantního faktoru je vyjmuta ze znaménka derivací. Tento typická chyba, který se vyskytuje v počáteční fázi studia odvozenin, ale jelikož průměrný student řeší několik jedno- a dvoudílných příkladů, již tuto chybu nedělá.
A pokud při rozlišování produktu nebo kvocientu máte termín u"proti, ve kterém u- číslo, například 2 nebo 5, tedy konstanta, pak bude derivace tohoto čísla rovna nule, a tedy celý člen bude roven nule (tento případ je probrán v příkladu 10).
Ostatní běžná chyba- mechanické řešení derivace komplexní funkce jako derivace jednoduché funkce. Proto derivace komplexní funkce je věnován samostatný článek. Nejprve se ale naučíme hledat deriváty jednoduché funkce.
Po cestě se neobejdete bez transformace výrazů. Chcete-li to provést, možná budete muset otevřít příručku v nových oknech. Akce se silami a kořeny A Operace se zlomky .
Pokud hledáte řešení pro derivace zlomků s mocninou a odmocninou, tedy když funkce vypadá 
a poté postupujte podle lekce „Derivace součtů zlomků s mocninami a odmocninami“.
Pokud máte úkol jako 
, poté absolvujete lekci „Derivace jednoduchých goniometrických funkcí“.
Příklady krok za krokem - jak najít derivaci
Příklad 3 Najděte derivaci funkce
Řešení. Definujeme části funkčního výrazu: celý výraz představuje součin a jeho činitele jsou součty, ve druhém z nich jeden z členů obsahuje konstantní činitel. Aplikujeme pravidlo diferenciace součinu: derivace součinu dvou funkcí se rovná součtu součinů každé z těchto funkcí derivací druhé:
Dále použijeme pravidlo derivace součtu: derivace algebraického součtu funkcí se rovná algebraickému součtu derivací těchto funkcí. V našem případě má v každém součtu druhý člen znaménko mínus. V každém součtu vidíme jak nezávislou proměnnou, jejíž derivace je rovna jedné, tak konstantu (číslo), jejíž derivace je rovna nule. Takže „X“ se změní na jedničku a mínus 5 na nulu. Ve druhém výrazu je "x" násobeno 2, takže násobíme dva stejnou jednotkou jako derivace "x". Získáme následující derivační hodnoty:
Nalezené derivace dosadíme do součtu součinů a získáme derivaci celé funkce, kterou vyžaduje podmínka problému:
Příklad 4. Najděte derivaci funkce
Řešení. Musíme najít derivaci kvocientu. Aplikujeme vzorec pro derivování kvocientu: derivace kvocientu dvou funkcí se rovná zlomku, jehož čitatel je rozdílem součinů jmenovatele a derivace čitatele a čitatele a derivace jmenovatel a jmenovatel je druhá mocnina dřívějšího čitatele. Dostáváme:
Derivaci faktorů v čitateli jsme již našli v příkladu 2. Nezapomeňme také, že součin, který je v aktuálním příkladu druhým faktorem v čitateli, je brán se znaménkem mínus:
Pokud hledáte řešení problémů, ve kterých potřebujete najít derivaci funkce, kde je souvislá hromada odmocnin a mocnin, jako je např. 
, pak vítejte ve třídě "Derivace součtů zlomků s mocninou a odmocninou" .
Pokud se potřebujete dozvědět více o derivacích sinů, kosinů, tečen a dalších goniometrické funkce, tedy když funkce vypadá , pak lekce pro vás "Derivace jednoduchých goniometrických funkcí" .
Příklad 5. Najděte derivaci funkce
Řešení. V této funkci vidíme součin, jehož jedním z faktorů je druhá odmocnina nezávisle proměnné, s jejíž derivací jsme se seznámili v tabulce derivací. Pomocí pravidla pro derivování součinu a tabulkové hodnoty derivace odmocniny získáme:
Příklad 6. Najděte derivaci funkce
Řešení. V této funkci vidíme kvocient, jehož dividenda je druhou odmocninou nezávislé proměnné. Pomocí pravidla derivace kvocientů, které jsme zopakovali a použili v příkladu 4, a tabulkové hodnoty derivace odmocniny, získáme:
Chcete-li se zbavit zlomku v čitateli, vynásobte čitatel a jmenovatel číslem .
Datum: 20.11.2014
Co je to derivát?
Tabulka derivátů.
Derivace je jedním z hlavních pojmů vyšší matematiky. V této lekci si tento pojem představíme. Poznejme se, bez striktních matematických formulací a dokazování.
Toto seznámení vám umožní:
Pochopit podstatu jednoduchých úloh s derivacemi;
Úspěšně vyřešte tyto nejjednodušší úkoly;
Připravte se na serióznější lekce o derivátech.
Za prvé - příjemné překvapení.)
Striktní definice derivace vychází z teorie limit a věc je poměrně složitá. To je znepokojující. Ale praktická aplikace derivátů zpravidla nevyžaduje tak rozsáhlé a hluboké znalosti!
K úspěšnému dokončení většiny úkolů ve škole a na univerzitě stačí vědět jen pár termínů- porozumět úkolu a jen pár pravidel- vyřešit to. To je vše. To mi dělá radost.
Začneme se seznamovat?)
Termíny a označení.
V elementární matematice existuje mnoho různých matematických operací. Sčítání, odčítání, násobení, umocňování, logaritmus atd. Pokud k těmto operacím přidáte ještě jednu operaci, elementární matematika bude vyšší. Tento nový provoz volal diferenciace. Definice a význam této operace budou diskutovány v samostatných lekcích.
Zde je důležité pochopit, že derivování je prostě matematická operace s funkcí. Vezmeme jakoukoli funkci a podle určitých pravidel ji transformujeme. Výsledkem bude nová funkce. Tato nová funkce se nazývá: derivát.
Diferenciace- působení na funkci.
Derivát- výsledek této akce.
Stejně jako např. součet- výsledek sčítání. Nebo soukromé- výsledek dělení.
Když znáte pojmy, můžete alespoň porozumět úkolům.) Formulace jsou následující: najít derivaci funkce; vzít derivát; odlišit funkci; vypočítat derivaci atd. To je vše jedno a totéž. Samozřejmě existují i složitější úlohy, kde nalezení derivace (diferenciace) bude jen jedním z kroků při řešení úlohy.
Derivace je označena pomlčkou v pravé horní části funkce. Takhle: y" nebo f"(x) nebo Ulice) a tak dále.
Čtení igrek tah, ef tah od x, es tah od te, no, rozumíš...)
Prvočíslo může také označovat derivaci konkrétní funkce, například: (2x+3)", (x 3 )" , (sinx)" atd. Derivace se často označují pomocí diferenciálů, ale v této lekci se takovým zápisem nebudeme zabývat.
Předpokládejme, že jsme se naučili chápat úkoly. Zbývá jen naučit se je řešit.) Ještě jednou vám připomenu: najít derivaci je transformace funkce podle určitých pravidel. Překvapivě je těchto pravidel velmi málo.
K nalezení derivace funkce potřebujete znát pouze tři věci. Tři pilíře, na kterých stojí veškerá diferenciace. Zde jsou tyto tři pilíře:
1. Tabulka derivátů (diferenciační vzorce).
3. Derivát komplexní funkce.
Začněme popořadě. V této lekci se podíváme na tabulku derivací.
Tabulka derivátů.
Na světě existuje nekonečné množství funkcí. Mezi touto sadou jsou funkce, které jsou pro praktické použití nejdůležitější. Tyto funkce se nacházejí ve všech přírodních zákonech. Z těchto funkcí, jako z cihel, můžete postavit všechny ostatní. Tato třída funkcí se nazývá elementární funkce. Právě tyto funkce se ve škole studují - lineární, kvadratické, hyperbola atd.
Diferenciace funkcí "od nuly", tzn. Na základě definice derivace a teorie limit jde o věc poměrně pracnou. A matematici jsou taky lidi, ano, ano!) Takže si zjednodušili život (a nám). Před námi vypočítali derivace elementárních funkcí. Výsledkem je tabulka derivátů, kde je vše připraveno.)
Tady to je, tato deska pro nejoblíbenější funkce. Vlevo - elementární funkce, vpravo je jeho odvozenina.
| Funkce y |
Derivace funkce y y" |
|
| 1 | C (konstantní hodnota) | C" = 0 |
| 2 | x | x" = 1 |
| 3 | x n (n - libovolné číslo) | (x n)" = nx n-1 |
| x 2 (n = 2) | (x 2)" = 2x | |
 |
||
 |
 |
|
| 4 | hřích x | (hřích x)" = cosx |
| cos x | (cos x)" = - hřích x | |
| tg x |  |
|
| ctg x |  |
|
| 5 | arcsin x |  |
| arccos x |  |
|
| arctan x |  |
|
| arcctg x |  |
|
| 4 | A x |  |
| E x | ||
| 5 | log A x |  |
| ln x ( a = e) |
Doporučuji věnovat pozornost třetí skupině funkcí v této tabulce derivací. Derivát výkonová funkce- jeden z nejběžnějších vzorců, ne-li nejčastější! Rozumíte nápovědě?) Ano, je vhodné znát tabulku derivátů nazpaměť. Mimochodem, není to tak těžké, jak by se mohlo zdát. Zkuste vyřešit více příkladů, samotná tabulka bude zapamatována!)
Nalézt tabulková hodnota derivát, jak jste pochopili, úkol není nejtěžší. Proto velmi často v takových úkolech existují další čipy. Buď ve znění úkolu, nebo v původní funkci, která jako by nebyla v tabulce...
Podívejme se na několik příkladů:
1. Najděte derivaci funkce y = x 3
V tabulce žádná taková funkce není. Existuje však derivace mocninné funkce celkový pohled(třetí skupina). V našem případě n=3. Dosadíme tedy tři místo n a pečlivě zapíšeme výsledek:
(x 3) "= 3x 3-1 = 3x 2
To je vše.
Odpověď: y" = 3x 2
2. Najděte hodnotu derivace funkce y = sinx v bodě x = 0.
Tento úkol znamená, že nejprve musíte najít derivaci sinusu a poté hodnotu dosadit x = 0 do stejného derivátu. Přesně v tomto pořadí! V opačném případě se stane, že do původní funkce okamžitě dosadí nulu... Jsme požádáni, abychom nenašli hodnotu původní funkce, ale hodnotu jeho derivát. Připomínám, že derivace je nová funkce.
Pomocí tabulky najdeme sinus a odpovídající derivaci:
y" = (hřích x)" = cosx
Do derivace dosadíme nulu:
y"(0) = cos 0 = 1
To bude odpověď.
3. Diferencujte funkci:
Co, inspiruje?) V tabulce derivací žádná taková funkce není.
Dovolte mi připomenout, že derivovat funkci znamená jednoduše najít derivaci této funkce. Pokud zapomenete na elementární trigonometrii, hledání derivace naší funkce je docela problematické. Tabulka nepomůže...
Ale pokud vidíme, že naše funkce je kosinus dvojitý úhel , pak se vše hned zlepší!
Ano, ano! Pamatujte, že transformace původní funkce před diferenciací docela přijatelné! A stává se, že to hodně usnadňuje život. Pomocí vzorce dvojitý úhel kosinus:
Tito. naše záludná funkce není nic jiného než y = cosx. A to je funkce tabulky. Okamžitě dostáváme:
Odpověď: y" = - hřích x.
Příklad pro pokročilé absolventy a studenty:
4. Najděte derivaci funkce:
V tabulce derivací samozřejmě žádná taková funkce není. Ale pokud si pamatujete elementární matematiku, operace s mocninami... Pak je docela možné tuto funkci zjednodušit. Takhle:
A x na desetinu je již tabulková funkce! Třetí skupina, n=1/10. Píšeme přímo podle vzorce:
To je vše. To bude odpověď.
Doufám, že s prvním pilířem diferenciace - tabulkou derivátů je vše jasné. Zbývá se vypořádat se dvěma zbývajícími velrybami. V další lekci se naučíme pravidla rozlišování.
Co je to derivát?
Definice a význam derivační funkce
Mnohé překvapí nečekané umístění tohoto článku do mého autorova kurzu o derivaci funkce jedné proměnné a jejích aplikacích. Ostatně, jak je tomu od školy: standardní učebnice v první řadě uvádí definici derivace, její geometrický, mechanický význam. Dále studenti nalézají derivace funkcí podle definice a teprve potom zdokonalují techniku derivování derivační tabulky.
Z mého pohledu je ale pragmatičtější následující přístup: v první řadě je vhodné DOBŘE ROZUMÍT limita funkce a zejména nekonečně malých veličin. Jde o to definice derivátu je založena na konceptu limity, která je ve školním kurzu špatně zohledněna. Proto významná část mladých konzumentů žuly poznání nechápe samotnou podstatu derivátu. Pokud tedy máte malé znalosti diferenciálního počtu nebo moudrý mozek po mnoho letúspěšně se zbavili tohoto zavazadla, začněte prosím s funkční limity. Zároveň si osvojte/zapamatujte si jejich řešení.
Stejný praktický smysl velí, že je to výhodné jako první Naučte se hledat deriváty včetně derivace komplexních funkcí. Teorie je teorie, ale jak se říká, vždy chcete rozlišovat. V tomto ohledu je lepší se propracovat uvedenými základními lekcemi a možná mistr diferenciace aniž by si uvědomovali podstatu svých činů.
Doporučuji po přečtení článku začít s materiály na této stránce. Nejjednodušší problémy s derivacemi, kde se zejména uvažuje o problému tečny ke grafu funkce. Ale můžete počkat. Faktem je, že mnoho aplikací derivátu nevyžaduje jeho pochopení a není divu, že teoretická lekce se objevila docela pozdě - když jsem potřeboval vysvětlit zjišťování prodlužujících se/zkracujících se intervalů a extrémů funkcí. Navíc se tématu věnoval poměrně dlouho. Funkce a grafy“, až jsem se nakonec rozhodl dát to dříve.
Proto, milí konvičky, nespěchejte vstřebávat esenci derivátu jako hladová zvířata, protože nasycení bude bez chuti a neúplné.
Pojem zvyšování, snižování, maximum, minimum funkce
Mnoho učební pomůcky vést ke konceptu derivace pomocí některých praktických problémů a také jsem přišel se zajímavým příkladem. Představte si, že se chystáme cestovat do města, kam se lze dostat různými způsoby. Okamžitě zahoďme zakřivené klikaté cesty a uvažujme pouze rovné dálnice. Liší se však i přímé směry: do města se dostanete po hladké dálnici. Nebo po kopcovité dálnici – nahoru a dolů, nahoru a dolů. Jiná cesta vede jen do kopce a jiná vede pořád z kopce. Extrémní nadšenci si vyberou cestu soutěskou se strmým srázem a prudkým stoupáním.
Ať už jsou ale vaše preference jakékoli, je vhodné dané území znát nebo mít alespoň jeho topografickou mapu. Co když taková informace chybí? Můžete si totiž vybrat třeba hladkou cestu, ale ve výsledku narazit na sjezdovku s veselými Finy. Není pravda, že navigátor nebo dokonce satelitní snímek poskytne spolehlivá data. Proto by bylo hezké formalizovat reliéf cesty pomocí matematiky.
Podívejme se na nějakou cestu (pohled z boku): 
Pro jistotu vám připomínám základní fakt: cestování se děje zleva doprava. Pro jednoduchost předpokládáme, že funkce kontinuální v uvažované oblasti.
Jaké jsou vlastnosti tohoto grafu?
V intervalech 
funkce zvyšuje, tedy každou další jeho hodnotu více předchozí. Zhruba řečeno, harmonogram je na programu zdola nahoru(vylezeme na kopec). A na intervalu funkce klesá– každá další hodnota méně předchozí a náš plán je na shora dolů(jedeme po svahu).
Věnujme pozornost také speciálním bodům. V bodě, kterého dosáhneme maximum, to je existuje takový úsek cesty, kde bude hodnota největší (nejvyšší). Ve stejném bodě je dosaženo minimální, A existuje jeho okolí, ve kterém je hodnota nejmenší (nejnižší).
Ve třídě se podíváme na přísnější terminologii a definice. o extrémech funkce, ale teď si prostudujme ještě jednu důležitou vlastností: v intervalech 
funkce se zvyšuje, ale zvyšuje při různých rychlostech. A první věc, která vás upoutá, je, že graf během intervalu vyletí nahoru mnohem víc cool, než na intervalu . Je možné změřit strmost silnice pomocí matematických nástrojů?
Rychlost změny funkce
Myšlenka je tato: vezměme nějakou hodnotu (čti "delta x"), kterému zavoláme přírůstek argumentu, a začněme to „zkoušet“ na různých místech naší cesty: 
1) Podívejme se na bod zcela vlevo: po projetí vzdálenosti stoupáme po svahu do výšky (zelená čára). Množství se nazývá přírůstek funkce a v v tomto případě tento přírůstek je kladný (rozdíl hodnot podél osy je větší než nula). Vytvořme poměr, který bude měřítkem strmosti naší cesty. Je zřejmé, že se jedná o velmi specifické číslo, a protože oba přírůstky jsou kladné, pak .
Pozor! Označení jsou JEDEN to znamená, že nemůžete „odtrhnout“ „delta“ od „X“ a zvážit tato písmena samostatně. Komentář se samozřejmě týká i symbolu přírůstku funkce.
Pojďme prozkoumat povahu výsledného zlomku smysluplněji. Buďme zpočátku ve výšce 20 metrů (v levém černém bodě). Po ujetí vzdálenosti metrů (levá červená čára) se ocitneme v nadmořské výšce 60 metrů. Pak bude přírůstek funkce 
metrů (zelená čára) a: . Tedy, na každém metru tento úsek silnice výška se zvyšuje v průměru o 4 metry...zapomněli jste si horolezecké vybavení? =) Jinými slovy, zkonstruovaný vztah charakterizuje PRŮMĚRNÉ RYCHLOST ZMĚNY (v tomto případě růstu) funkce.
Poznámka : číselné hodnoty Předmětný příklad odpovídá proporcím kresby jen přibližně.
2) Nyní pojďme stejnou vzdálenost od černého bodu nejvíce vpravo. Zde je vzestup pozvolnější, takže přírůstek (karmínová čára) je relativně malý a poměr oproti předchozímu případu bude velmi skromný. Relativně řečeno, 
metrů a rychlost růstu funkce je . To znamená, že zde na každý metr cesty existuje v průměru půl metru převýšení.
3) Malé dobrodružství na úbočí hory. Podívejme se na vrchol černá tečka, umístěný na ose pořadnice. Předpokládejme, že se jedná o značku 50 metrů. Opět překonáváme vzdálenost, v důsledku čehož se ocitáme níže - na úrovni 30 metrů. Vzhledem k tomu, pohyb se provádí shora dolů(v protisměru osy), pak konečná přírůstek funkce (výška) bude záporný: 
metrů (hnědý segment na výkrese). A v tomto případě už mluvíme rychlost poklesu Vlastnosti: 
, tedy s každým metrem dráhy tohoto úseku se výška zmenšuje v průměru o 2 metry. Postarejte se o své oblečení v pátém bodě.
Nyní se zeptejme sami sebe: jakou hodnotu „standardu měření“ nejlépe použít? Je to zcela pochopitelné, 10 metrů je velmi drsných. Klidně se na ně vejde pořádný tucet humnů. Bez ohledu na hrboly může být dole hluboká rokle a po pár metrech je její druhá strana s dalším strmým stoupáním. S desetimetrem tedy nedostaneme srozumitelný popis takových úseků cesty přes poměr .
Z výše uvedené diskuse vyplývá následující závěr: jak menší hodnotu , tím přesněji popíšeme topografii silnice. Navíc jsou pravdivé následující skutečnosti:
– Pro kohokoli zvedací body 
můžete vybrat hodnotu (i když velmi malou), která se vejde do hranic konkrétního vzestupu. To znamená, že odpovídající výškový přírůstek bude zaručeně kladný a nerovnost bude správně indikovat růst funkce v každém bodě těchto intervalů.
- Stejně tak, pro jakékoli sklonový bod je hodnota, která se na tento svah zcela vejde. Odpovídající nárůst výšky je tedy jednoznačně záporný a nerovnost správně ukáže pokles funkce v každém bodě daného intervalu.
– Zvláště zajímavý je případ, kdy je rychlost změny funkce nulová: . Za prvé, nulový přírůstek výšky () je znakem hladké cesty. A za druhé, existují další zajímavé situace, jejichž příklady vidíte na obrázku. Představte si, že nás osud přivedl až na samý vrchol kopce se vznášejícími se orly nebo na dno rokle s kvákajícími žábami. Pokud uděláte malý krok kterýmkoli směrem, změna výšky bude zanedbatelná a můžeme říci, že rychlost změny funkce je ve skutečnosti nulová. To je přesně ten obraz pozorovaný na bodech.
Dostali jsme se tedy k úžasné příležitosti dokonale přesně charakterizovat rychlost změny funkce. Koneckonců matematická analýza umožňuje nasměrovat přírůstek argumentu na nulu: , to znamená udělat to infinitezimální.
V důsledku toho vyvstává další logická otázka: je možné najít cestu a její harmonogram jinou funkci, který by nám dal vědět o všech rovinatých úsecích, stoupání, klesání, vrcholech, údolích, stejně jako o rychlosti růstu/poklesu v každém bodě cesty?
Co je to derivát? Definice derivátu.
Geometrický význam derivace a diferenciálu
Přečtěte si prosím pozorně a ne příliš rychle - materiál je jednoduchý a přístupný všem! Nevadí, pokud se vám na některých místech něco nezdá příliš jasné, vždy se můžete k článku vrátit později. Řeknu více, teorii je užitečné prostudovat vícekrát, abyste důkladně porozuměli všem bodům (rady jsou důležité zejména pro „technické“ studenty, pro které hraje vyšší matematika významnou roli ve vzdělávacím procesu).
Přirozeně, v samotné definici derivace v určitém bodě ji nahradíme:
k čemu jsme dospěli? A došli jsme k závěru, že pro funkci podle zákona 
je uveden do souladu jinou funkci, který se nazývá derivační funkce(nebo jen derivát).
Derivace charakterizuje rychlost změny funkcí Jak? Myšlenka se jako červená nit táhne od samého začátku článku. Zvažme nějaký bod doména definice funkcí Nechť je funkce v daném bodě diferencovatelná. Pak:
1) Jestliže , pak se funkce zvýší v bodě . A evidentně existuje interval(i velmi malé), obsahující bod, ve kterém funkce roste a její graf jde „zdola nahoru“.
2) Jestliže , pak funkce klesá v bodě . A existuje interval obsahující bod, ve kterém funkce klesá (graf jde „shora dolů“).
3) Pokud , tak nekonečně blízko blízko bodu si funkce udržuje konstantní rychlost. To se děje, jak bylo uvedeno, s konstantní funkcí a v kritických bodech funkce, zejména v minimálním a maximálním počtu bodů.
Trochu sémantiky. Co znamená sloveso „rozlišovat“ v širokém smyslu? Odlišit znamená zvýraznit rys. Derivováním funkce „izolujeme“ rychlost její změny ve formě derivace funkce. Co, mimochodem, znamená slovo „derivát“? Funkce stalo z funkce.
Termíny jsou velmi úspěšně interpretovány mechanickým významem derivátu
:
Uvažujme zákon změny souřadnic těla v závislosti na čase a funkci rychlosti pohybu dané tělo. Funkce charakterizuje rychlost změny tělesové souřadnice, proto je první derivací funkce s ohledem na čas: . Pokud by pojem „pohyb těla“ v přírodě neexistoval, pak by neexistoval derivát koncept "rychlosti těla".
Zrychlení tělesa je rychlost změny rychlosti, proto: 
. Pokud by původní pojmy „pohyb těla“ a „rychlost těla“ v přírodě neexistovaly, neexistovaly by derivát koncept „zrychlení těla“.
Definice. Nechť je funkce \(y = f(x)\) definována v určitém intervalu obsahujícím bod \(x_0\) uvnitř. Dejte argumentu přírůstek \(\Delta x \) takový, aby neopustil tento interval. Najdeme odpovídající přírůstek funkce \(\Delta y \) (při přesunu z bodu \(x_0 \) do bodu \(x_0 + \Delta x \)) a sestavíme vztah \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \). Pokud existuje limit tohoto poměru na \(\Delta x \rightarrow 0\), pak se zadaný limit nazývá derivace funkce\(y=f(x) \) v bodě \(x_0 \) a označte \(f"(x_0) \).
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$
Symbol y se často používá k označení derivace. Všimněte si, že y" = f(x) je nová funkce, ale přirozeně související s funkcí y = f(x), definovanou ve všech bodech x, ve kterých existuje výše uvedená limita. Tato funkce se nazývá takto: derivace funkce y = f(x).
Geometrický význam derivace je následující. Pokud je možné nakreslit tečnu ke grafu funkce y = f(x) v bodě s úsečkou x=a, který není rovnoběžný s osou y, pak f(a) vyjadřuje sklon tečny. :
\(k = f"(a)\)
Protože \(k = tg(a) \), pak platí rovnost \(f"(a) = tan(a) \).
Nyní si vyložme definici derivace z pohledu přibližných rovností. Nechť funkce \(y = f(x)\) má derivaci v určitém bodě \(x\):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
To znamená, že blízko bodu x je přibližná rovnost \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \přibližně f"(x)\), tj. \(\Delta y \přibližně f"(x) \cdot\ Delta x\). Smysluplný význam výsledné přibližné rovnosti je následující: přírůstek funkce je „téměř úměrný“ přírůstku argumentu a koeficient úměrnosti je hodnota derivace v daný bod X. Například pro funkci \(y = x^2\) platí přibližná rovnost \(\Delta y \cca 2x \cdot \Delta x \). Pokud pečlivě analyzujeme definici derivátu, zjistíme, že obsahuje algoritmus pro jeho nalezení.
Pojďme to zformulovat.
Jak najít derivaci funkce y = f(x)?
1. Opravte hodnotu \(x\), najděte \(f(x)\)
2. Dejte argumentu \(x\) přírůstek \(\Delta x\), přejděte do nového bodu \(x+ \Delta x \), najděte \(f(x+ \Delta x) \)
3. Najděte přírůstek funkce: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. Vytvořte vztah \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. Vypočítejte $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Tato limita je derivací funkce v bodě x.
Jestliže funkce y = f(x) má derivaci v bodě x, pak se nazývá diferencovatelná v bodě x. Zavolá se procedura pro nalezení derivace funkce y = f(x). diferenciace funkce y = f(x).
Pojďme diskutovat o následující otázce: jak spolu souvisí spojitost a diferencovatelnost funkce v bodě?
Nechť je funkce y = f(x) diferencovatelná v bodě x. Potom lze ke grafu funkce v bodě M(x; f(x)) nakreslit tečnu a připomeňme si, že úhlový koeficient tečny je roven f "(x). Takový graf se nemůže „rozbít“ v bodě M, tj. funkce musí být spojitá v bodě x.
Byly to „praktické“ argumenty. Uveďme důslednější odůvodnění. Je-li funkce y = f(x) diferencovatelná v bodě x, pak platí přibližná rovnost \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x\). Pokud v této rovnosti \(\Delta x \) inklinuje k nule, pak \(\Delta y\) bude inklinovat k nule, a to je podmínka spojitosti funkce v bodě.
Tak, je-li funkce diferencovatelná v bodě x, pak je v tomto bodě spojitá.
Opačné tvrzení není pravdivé. Například: funkce y = |x| je spojitá všude, zejména v bodě x = 0, ale tečna ke grafu funkce v „bodu křižovatky“ (0; 0) neexistuje. Pokud v určitém bodě nelze ke grafu funkce nakreslit tečnu, pak derivace v tomto bodě neexistuje.
Další příklad. Funkce \(y=\sqrt(x)\) je spojitá na celé číselné ose, včetně bodu x = 0. A tečna ke grafu funkce existuje v libovolném bodě, včetně bodu x = 0 Ale v tomto bodě se tečna shoduje s osou y, tj. je kolmá na osu úsečky, její rovnice má tvar x = 0. Taková přímka nemá úhlový koeficient, což znamená, že \(f "(0)\) neexistuje.
Seznámili jsme se tedy s novou vlastností funkce – diferencovatelností. Jak lze z grafu funkce usoudit, že je diferencovatelná?
Odpověď je vlastně uvedena výše. Pokud je v určitém bodě možné nakreslit tečnu ke grafu funkce, která není kolmá na osu úsečky, pak je v tomto bodě funkce derivovatelná. Pokud v určitém bodě tečna ke grafu funkce neexistuje nebo je kolmá na osu úsečky, pak v tomto bodě není funkce diferencovatelná.
Pravidla diferenciace
Operace nalezení derivace se nazývá diferenciace. Při provádění této operace musíte často pracovat s kvocienty, součty, součiny funkcí a také s „funkcemi funkcí“, tedy komplexními funkcemi. Na základě definice derivace můžeme odvodit pravidla diferenciace, která tuto práci usnadňují. Pokud je C konstantní číslo a f=f(x), g=g(x) jsou některé diferencovatelné funkce, pak platí následující pravidla diferenciace:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$
