Lekce ze série „Geometrické algoritmy“

Dobrý den, milý čtenáři!

Dnes se začneme učit algoritmy související s geometrií. Faktem je, že olympijských problémů v informatice souvisejících s výpočetní geometrií je poměrně hodně a řešení takových problémů často způsobuje potíže.

V průběhu několika lekcí se budeme zabývat řadou elementárních dílčích úloh, na kterých je založeno řešení většiny problémů výpočetní geometrie.

V této lekci vytvoříme program pro nalezení rovnice přímky, procházející daný dva body. K řešení geometrických problémů potřebujeme určité znalosti z výpočetní geometrie. Část lekce budeme věnovat jejich poznávání.

Postřehy z výpočetní geometrie

Výpočetní geometrie je obor informatiky, který studuje algoritmy pro řešení geometrických problémů.

Výchozími daty pro takové problémy mohou být množina bodů v rovině, množina segmentů, mnohoúhelník (určený například seznamem jeho vrcholů ve směru hodinových ručiček) atd.

Výsledkem může být buď odpověď na nějakou otázku (např. zda bod patří do segmentu, zda se dva segmenty protínají, ...), nebo nějaký geometrický objekt (např. nejmenší konvexní mnohoúhelník spojující dané body, plocha mnohoúhelník atd.).

Problémy výpočetní geometrie budeme uvažovat pouze v rovině a pouze v kartézském souřadném systému.

Vektory a souřadnice

Pro aplikaci metod výpočetní geometrie je nutné převést geometrické obrazy do řeči čísel. Budeme předpokládat, že rovina má kartézský souřadnicový systém, ve kterém se směr otáčení proti směru hodinových ručiček nazývá kladný.

Geometrické objekty nyní dostávají analytický výraz. K určení bodu tedy stačí uvést jeho souřadnice: dvojici čísel (x; y). Úsek lze určit zadáním souřadnic jeho konců, přímku lze určit zadáním souřadnic dvojice jeho bodů.

Ale naším hlavním nástrojem pro řešení problémů budou vektory. Dovolte mi proto připomenout některé informace o nich.

Úsečka AB, která má pointu A je považován za počátek (bod aplikace) a bod V– konec, nazývaný vektor AB a označuje se například buď nebo tučným malým písmenem A .

Pro označení délky vektoru (tedy délky odpovídajícího segmentu) použijeme symbol modulu (například ).

Libovolný vektor bude mít souřadnice rovné rozdílu mezi odpovídajícími souřadnicemi jeho konce a začátku:

,

tady jsou body A A B mít souřadnice respektive.

Pro výpočty budeme používat koncept orientovaný úhel, tedy úhel, který bere v úvahu vzájemnou polohu vektorů.

Orientovaný úhel mezi vektory A A b kladné, pokud rotace pochází z vektoru A do vektoru b se provádí v kladném směru (proti směru hodinových ručiček) a záporně v druhém případě. Viz obr. 1a, obr. 1b. Také se říká, že dvojice vektorů A A b pozitivně (negativně) orientované.

Hodnota orientovaného úhlu tedy závisí na pořadí, ve kterém jsou vektory uvedeny, a může nabývat hodnot v intervalu.

Mnoho problémů ve výpočetní geometrii používá koncept vektorových (šikmých nebo pseudoskalárních) součinů vektorů.

Vektorový součin vektorů a a b je součin délek těchto vektorů a sinus úhlu mezi nimi:

.

Křížový součin vektorů v souřadnicích:

Výraz vpravo je determinant druhého řádu:

Na rozdíl od definice uvedené v analytické geometrii je to skalární.

Znaménko vektorového součinu určuje vzájemnou polohu vektorů:

A A b pozitivně orientovaný.

Pokud je hodnota , pak dvojice vektorů A A b negativně orientovaný.

Křížový součin nenulových vektorů je nulový právě tehdy, když jsou kolineární ( ). To znamená, že leží na stejné přímce nebo na rovnoběžných liniích.

Podívejme se na pár jednoduchých problémů, které jsou nutné při řešení složitějších.

Určeme rovnici přímky ze souřadnic dvou bodů.

Rovnice přímky procházející dvěma různými body určenými jejich souřadnicemi.

Nechť jsou na přímce uvedeny dva neshodné body: se souřadnicemi (x1; y1) a se souřadnicemi (x2; y2). V souladu s tím má vektor se začátkem v bodě a koncem v bodě souřadnice (x2-x1, y2-y1). Je-li P(x, y) libovolný bod na naší přímce, pak souřadnice vektoru jsou rovny (x-x1, y – y1).

Pomocí vektorového součinu lze podmínku pro kolinearitu vektorů zapsat následovně:

Tito. (x-x1)(y2-y1)-(y-y1)(x2-x1)=0

(y2-y1)x + (x1-x2)y + x1(y1-y2) + y1(x2-x1) = 0

Poslední rovnici přepíšeme takto:

ax + by + c = 0, (1)

c = x1(y1-y2) + y1(x2-x1)

Přímku lze tedy specifikovat rovnicí ve tvaru (1).

Úloha 1. Jsou dány souřadnice dvou bodů. Najděte jeho zobrazení ve tvaru ax + by + c = 0.

V této lekci jsme se dozvěděli nějaké informace o výpočetní geometrii. Řešili jsme problém nalezení rovnice přímky ze souřadnic dvou bodů.

V další lekci si vytvoříme program pro nalezení průsečíku dvou přímek daných našimi rovnicemi.

Tento článek pokračuje v tématu rovnice přímky v rovině: tento typ rovnice budeme považovat za obecnou rovnici přímky. Definujme větu a uveďme její důkaz; Pojďme zjistit, co je neúplná obecná rovnice přímky a jak provést přechody z obecné rovnice na jiné typy rovnic přímky. Celou teorii posílíme o ilustrace a řešení praktických problémů.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Nechť je v rovině zadán pravoúhlý souřadnicový systém O x y.

Věta 1

Jakákoli rovnice prvního stupně, která má tvar A x + B y + C = 0, kde A, B, C jsou nějaká reálná čísla (A a B se zároveň nerovnají nule), definuje přímku v pravoúhlý souřadnicový systém v rovině. Na druhé straně je jakákoli přímka v pravoúhlém souřadnicovém systému v rovině určena rovnicí, která má tvar A x + B y + C = 0 pro určitou sadu hodnot A, B, C.

Důkaz

Tato věta se skládá ze dvou bodů, každý z nich dokážeme.

1. Dokažme, že rovnice A x + B y + C = 0 definuje v rovině přímku.

Nechť existuje nějaký bod M 0 (x 0 , y 0), jehož souřadnice odpovídají rovnici A x + B y + C = 0. Tedy: A x 0 + B y 0 + C = 0. Odečtěte od levé a pravé strany rovnice A x + B y + C = 0 levou a pravou stranu rovnice A x 0 + B y 0 + C = 0, získáme novou rovnici, která vypadá jako A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0. Je ekvivalentní A x + B y + C = 0.

Výsledná rovnice A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 je nutná a dostatečný stav kolmost vektorů n → = (A, B) a M 0 M → = (x - x 0, y - y 0). Množina bodů M (x, y) tedy definuje přímku v pravoúhlém souřadnicovém systému kolmou na směr vektoru n → = (A, B). Můžeme předpokládat, že tomu tak není, ale pak by vektory n → = (A, B) a M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) nebyly kolmé a rovnost A (x - x 0 ) + B (y - y 0) = 0 by nebylo pravdivé.

V důsledku toho rovnice A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 definuje určitou přímku v pravoúhlém souřadnicovém systému v rovině, a proto ekvivalentní rovnice A x + B y + C = 0 definuje stejný řádek. Takto jsme dokázali první část věty.

1. Ukažme, že libovolnou přímku v pravoúhlém souřadnicovém systému v rovině lze specifikovat rovnicí prvního stupně A x + B y + C = 0.

Definujme přímku a v pravoúhlém souřadném systému v rovině; bod M 0 (x 0, y 0), kterým tato přímka prochází, a také normálový vektor této přímky n → = (A, B) .

Nechť je také nějaký bod M (x, y) - plovoucí čárka na přímce. V tomto případě jsou vektory n → = (A, B) a M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) navzájem kolmé a jejich skalární součin je nula:

n → , M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0

Přepišme rovnici A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0, definujme C: C = - A x 0 - B y 0 a jako konečný výsledek dostaneme rovnici A x + B y + C = 0.

Takže jsme dokázali druhou část věty a dokázali jsme celou větu jako celek.

Definice 1

Rovnice tvaru Ax + By + C = 0 - Tento obecná rovnice přímky na rovině v pravoúhlém souřadnicovém systémuOxy.

Na základě osvědčeného teorému můžeme dojít k závěru, že přímka a její obecná rovnice definovaná v rovině v pevném pravoúhlém souřadném systému jsou nerozlučně spojeny. Jinými slovy, původní přímka odpovídá své obecné rovnici; obecná rovnice přímky odpovídá dané přímce.

Z důkazu věty také vyplývá, že koeficienty A a B pro proměnné x a y jsou souřadnicemi normálového vektoru přímky, který je dán obecnou rovnicí přímky A x + B y + C = 0.

Uvažujme konkrétní příklad obecné rovnice přímky.

Nechť je dána rovnice 2 x + 3 y - 2 = 0, která odpovídá přímce v daném pravoúhlém souřadném systému. Normální vektor této přímky je vektor n → = (2, 3) Nakreslete danou přímku do výkresu.

Můžeme také konstatovat následující: přímka, kterou vidíme na výkrese, je určena obecnou rovnicí 2 x + 3 y - 2 = 0, jelikož této rovnici odpovídají souřadnice všech bodů na dané přímce.

Rovnici λ · A x + λ · B y + λ · C = 0 získáme vynásobením obou stran obecné rovnice přímky číslem λ, které se nerovná nule. Výsledná rovnice je ekvivalentní původní obecné rovnici, proto bude popisovat stejnou přímku v rovině.

Definice 2

Kompletní obecná rovnice přímky– taková obecná rovnice přímky A x + B y + C = 0, ve které jsou čísla A, B, C různá od nuly. Jinak platí rovnice neúplný.

Analyzujme všechny varianty neúplné obecné rovnice přímky.

1. Když A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0, obecná rovnice nabývá tvaru B y + C = 0. Taková neúplná obecná rovnice definuje v pravoúhlém souřadnicovém systému O x y přímku, která je rovnoběžná s osou O x, protože pro jakoukoli reálnou hodnotu x bude mít proměnná y hodnotu - C B. Jinými slovy, obecná rovnice přímky A x + B y + C = 0, když A = 0, B ≠ 0, určuje těžiště bodů (x, y), jejichž souřadnice se rovnají stejnému číslu. - C B.
2. Pokud A = 0, B ≠ 0, C = 0, obecná rovnice má tvar y = 0. Tento neúplná rovnice definuje osu úsečky Ox.
3. Když A ≠ 0, B = 0, C ≠ 0, dostaneme neúplnou obecnou rovnici A x + C = 0, definující přímku rovnoběžnou s pořadnicí.
4. Nechť A ≠ 0, B = 0, C = 0, pak neúplná obecná rovnice nabude tvaru x = 0, a to je rovnice souřadnicové přímky O y.
5. Nakonec pro A ≠ 0, B ≠ 0, C = 0 má neúplná obecná rovnice tvar A x + B y = 0. A tato rovnice popisuje přímku, která prochází počátkem. Ve skutečnosti dvojice čísel (0, 0) odpovídá rovnosti A x + B y = 0, protože A · 0 + B · 0 = 0.

Pojďme si graficky znázornit všechny výše uvedené typy neúplné obecné rovnice přímky.

Příklad 1

Je známo, že daná přímka je rovnoběžná s osou pořadnice a prochází bodem 2 7, - 11. Je nutné zapsat obecnou rovnici dané přímky.

Řešení

Přímka rovnoběžná s osou pořadnice je dána rovnicí ve tvaru A x + C = 0, ve které A ≠ 0. Podmínka dále určuje souřadnice bodu, kterým přímka prochází, přičemž souřadnice tohoto bodu splňují podmínky neúplné obecné rovnice A x + C = 0, tzn. rovnost je pravdivá:

A27 + C = 0

Z něj lze určit C, dáme-li A nějakou nenulovou hodnotu, například A = 7. V tomto případě dostaneme: 7 · 2 7 + C = 0 ⇔ C = - 2. Známe oba koeficienty A a C, dosadíme je do rovnice A x + C = 0 a dostaneme požadovanou rovnici přímky: 7 x - 2 = 0

Odpovědět: 7 x - 2 = 0

Příklad 2

Na výkrese je přímka, musíte si zapsat její rovnici.

Řešení

Daný výkres nám umožňuje snadno vzít počáteční data k vyřešení problému. Na nákresu vidíme, že daná přímka je rovnoběžná s osou O x a prochází bodem (0, 3).

Přímka, která je rovnoběžná s úsečkou, je určena neúplnou obecnou rovnicí B y + C = 0. Pojďme najít hodnoty B a C. Souřadnice bodu (0, 3), jelikož jím daná přímka prochází, budou vyhovovat rovnici přímky B y + C = 0, pak platí rovnost: B · 3 + C = 0. Nastavme B na jinou hodnotu než nulu. Řekněme B = 1, v tom případě z rovnosti B · 3 + C = 0 můžeme najít C: C = - 3. Používáme známé hodnoty B a C získáme požadovanou rovnici přímky: y - 3 = 0.

Odpovědět: y-3 = 0.

Obecná rovnice přímky procházející daným bodem v rovině

Nechme danou přímku procházet bodem M 0 (x 0 , y 0), pak její souřadnice odpovídají obecné rovnici přímky, tzn. platí rovnost: A x 0 + B y 0 + C = 0. Odečteme levou a pravou stranu této rovnice od levé a pravé strany obecné úplná rovnice rovný. Dostaneme: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C = 0, tato rovnice je ekvivalentní původní obecné, prochází bodem M 0 (x 0, y 0) a má normál vektor n → = (A, B) .

Výsledek, který jsme získali, umožňuje napsat obecnou rovnici přímky známé souřadnice normálový vektor přímky a souřadnice určitého bodu na této přímce.

Příklad 3

Je dán bod M 0 (- 3, 4), kterým prochází přímka, a normálový vektor této přímky n → = (1, - 2) . Je nutné zapsat rovnici dané přímky.

Řešení

Počáteční podmínky nám umožňují získat potřebná data pro sestavení rovnice: A = 1, B = - 2, x 0 = - 3, y 0 = 4. Pak:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 1 (x - (- 3)) - 2 y (y - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 = 0

Problém mohl být vyřešen jinak. Obecná rovnice přímky je A x + B y + C = 0. Daný normální vektor nám umožňuje získat hodnoty koeficientů A a B, pak:

A x + B y + C = 0 ⇔ 1 x - 2 y + C = 0 ⇔ x - 2 y + C = 0

Nyní najdeme hodnotu C pomocí bodu M 0 (- 3, 4) určeného podmínkou úlohy, kterým přímka prochází. Souřadnice tohoto bodu odpovídají rovnici x - 2 · y + C = 0, tzn. - 3 - 2 4 + C = 0. Proto C = 11. Požadovaná rovnice přímky má tvar: x - 2 · y + 11 = 0.

Odpovědět: x - 2 y + 11 = 0 .

Příklad 4

Je dána přímka 2 3 x - y - 1 2 = 0 a bod M 0 ležící na této přímce. Známá je pouze úsečka tohoto bodu a rovná se - 3. Je nutné určit pořadnici daného bodu.

Řešení

Označme souřadnice bodu M 0 jako x 0 a y 0 . Zdrojová data ukazují, že x 0 = - 3. Protože bod patří k dané přímce, pak jeho souřadnice odpovídají obecné rovnici této přímky. Pak bude rovnost pravdivá:

2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0

Definujte y 0: 2 3 · (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2

Odpovědět: - 5 2

Přechod od obecné rovnice přímky k jiným typům rovnic přímky a naopak

Jak víme, existuje několik typů rovnic pro stejnou přímku v rovině. Volba typu rovnice závisí na podmínkách problému; je možné si vybrat ten, který je pro řešení pohodlnější. Zde je velmi užitečná dovednost převádět rovnici jednoho typu na rovnici jiného typu.

Nejprve uvažujme přechod od obecné rovnice tvaru A x + B y + C = 0 ke kanonické rovnici x - x 1 a x = y - y 1 a y.

Pokud A ≠ 0, pak přeneseme člen B y na pravá strana obecná rovnice. Na levé straně vyjmeme A ze závorek. Výsledkem je: A x + C A = - B y.

Tuto rovnost lze zapsat jako podíl: x + C A - B = y A.

Pokud B ≠ 0, ponecháme na levé straně obecné rovnice pouze člen A x, ostatní přeneseme na pravou stranu, dostaneme: A x = - B y - C. Vyjmeme – B ze závorek, pak: A x = - B y + C B .

Přepišme rovnost ve tvaru podílu: x - B = y + C B A.

Samozřejmě není potřeba se výsledné vzorce učit nazpaměť. Stačí znát algoritmus akcí při přechodu z obecné rovnice na kanonickou.

Příklad 5

Je dána obecná rovnice přímky 3 y - 4 = 0. Je nutné ji převést na kanonickou rovnici.

Řešení

Pojďme to napsat původní rovnice jako 3 y - 4 = 0 . Dále postupujeme podle algoritmu: člen 0 x zůstává na levé straně; a na pravou stranu vložíme - 3 ze závorek; dostaneme: 0 x = - 3 y - 4 3 .

Výslednou rovnost zapišme jako podíl: x - 3 = y - 4 3 0 . Tak jsme dostali rovnici kanonického tvaru.

Odpověď: x - 3 = y - 4 3 0.

Pro transformaci obecné rovnice přímky na parametrickou se nejprve provede přechod na kanonickou formu a poté přechod z kanonické rovnice přímky na parametrické rovnice.

Příklad 6

Přímka je dána rovnicí 2 x - 5 y - 1 = 0. Zapište parametrické rovnice pro tento řádek.

Řešení

Udělejme přechod z obecné rovnice na kanonickou:

2 x - 5 y - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 y + 1 ⇔ 2 x = 5 y + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2

Nyní vezmeme obě strany výsledné kanonické rovnice rovné λ, pak:

x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Odpovědět:x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Obecnou rovnici lze převést na rovnici přímky se sklonem y = k · x + b, ale pouze když B ≠ 0. Pro přechod ponecháme člen B y na levé straně, zbytek se přenese na pravou. Dostaneme: B y = - A x - C . Vydělme obě strany výsledné rovnosti B, různou od nuly: y = - A B x - C B.

Příklad 7

Obecná rovnice přímky je dána: 2 x + 7 y = 0. Musíte tuto rovnici převést na rovnici sklonu.

Řešení

Proveďme potřebné akce podle algoritmu:

2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y - 2 x ⇔ y = - 2 7 x

Odpovědět: y = -27 x.

Z obecné rovnice přímky stačí jednoduše získat rovnici v úsecích tvaru x a + y b = 1. K takovému přechodu přemístíme číslo C na pravou stranu rovnosti, obě strany výsledné rovnosti vydělíme – C a nakonec přeneseme koeficienty pro proměnné x a y do jmenovatelů:

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1

Příklad 8

Obecnou rovnici přímky x - 7 y + 1 2 = 0 je nutné převést na rovnici přímky v úsecích.

Řešení

Přesuňme 1 2 na pravou stranu: x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2 .

Vydělme obě strany rovnosti -1/2: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1 .

Odpovědět: x-12 + y114 = 1.

Obecně platí, že zpětný přechod je také snadný: od jiných typů rovnic k obecnému.

Rovnici úsečky v úsecích a rovnici s úhlovým koeficientem lze snadno převést na obecnou jednoduchým shromážděním všech členů na levé straně rovnosti:

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Kanonická rovnice se převede na obecnou podle následujícího schématu:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y · (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a y x - a x y - a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Chcete-li přejít od parametrických, nejprve přejděte ke kanonickému a poté k obecnému:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0

Příklad 9

Jsou dány parametrické rovnice přímky x = - 1 + 2 · λ y = 4. Je nutné zapsat obecnou rovnici této přímky.

Řešení

Udělejme přechod z parametrické rovnice na kanonický:

x = - 1 + 2 · λ y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 · λ y = 4 + 0 · λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 4 0 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0

Přejděme od kanonického k obecnému:

x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 · (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ y - 4 = 0

Odpovědět: y-4 = 0

Příklad 10

Je dána rovnice přímky v úsecích x 3 + y 1 2 = 1. Je nutné provést přechod na celkový vzhled rovnic

Řešení:

Rovnici jednoduše přepíšeme do požadovaného tvaru:

x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 = 0

Odpovědět: 1 3 x + 2 y - 1 = 0 .

Sestavení obecné rovnice přímky

Výše jsme si řekli, že obecnou rovnici lze napsat se známými souřadnicemi normálového vektoru a souřadnicemi bodu, kterým přímka prochází. Taková přímka je definována rovnicí A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0. Tam jsme také analyzovali odpovídající příklad.

Nyní se podíváme na složitější příklady, ve kterých nejprve musíme určit souřadnice normálového vektoru.

Příklad 11

Je dána přímka rovnoběžná s přímkou ​​2 x - 3 y + 3 3 = 0. Známý je i bod M 0 (4, 1), kterým daná přímka prochází. Je nutné zapsat rovnici dané přímky.

Řešení

Počáteční podmínky nám říkají, že přímky jsou rovnoběžné, pak jako normálový vektor přímky, jejíž rovnici je třeba napsat, vezmeme směrový vektor přímky n → = (2, - 3): 2 x - 3 y + 3 3 = 0. Nyní známe všechna potřebná data k vytvoření obecné rovnice přímky:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 = 0

Odpovědět: 2 x - 3 y - 5 = 0 .

Příklad 12

Daná přímka prochází počátkem kolmo k přímce x - 2 3 = y + 4 5. Pro danou přímku je nutné vytvořit obecnou rovnici.

Řešení

Normální vektor dané přímky bude směrový vektor přímky x - 2 3 = y + 4 5.

Pak n → = (3, 5) . Přímka prochází počátkem, tzn. přes bod O (0, 0). Vytvořme obecnou rovnici pro daný řádek:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0

Odpovědět: 3 x + 5 y = 0 .

Pokud si všimnete chyby v textu, zvýrazněte ji a stiskněte Ctrl+Enter

Rovnice přímky na rovině.
Směrový vektor je přímý. Normální vektor

Přímka na rovině je jedna z nejjednodušších geometrické tvary, od té doby vám známý juniorské třídy, a dnes se naučíme, jak se s tím vypořádat pomocí metod analytické geometrie. Abyste zvládli materiál, musíte být schopni postavit přímku; vědět, jaká rovnice definuje přímku, zejména přímku procházející počátkem souřadnic a přímky rovnoběžné se souřadnicovými osami. Tato informace najdete v návodu Grafy a vlastnosti elementárních funkcí, vytvořil jsem to pro matan, ale sekce o lineární funkce Dopadlo to velmi zdařile a detailně. Proto se milé konvičky nejprve zahřejte tam. Kromě toho musíte mít základní znalosti vektory, jinak bude porozumění materiálu neúplné.

V této lekci se podíváme na způsoby, jak můžete vytvořit rovnici přímky v rovině. Doporučuji nezanedbávat praktické příklady (i když se to zdá velmi jednoduché), protože je poskytnu základními a důležitými fakty, technickými technikami, které budou vyžadovány v budoucnu, a to i v jiných částech vyšší matematiky.

• Jak napsat rovnici přímky s úhlovým koeficientem?
• Jak ?
• Jak najít směrový vektor pomocí obecné rovnice přímky?
• Jak napsat rovnici přímky dané bodem a normálovým vektorem?

a začínáme:

Rovnice přímky se sklonem

Známý „školní“ tvar přímkové rovnice se nazývá rovnice přímky se sklonem. Pokud je například rovnicí dána přímka, pak její sklon je: . Podívejme se na geometrický význam tohoto koeficientu a na to, jak jeho hodnota ovlivňuje umístění čáry:

V kurzu geometrie je to dokázáno sklon přímky se rovná tečna úhlu mezi kladným směrem osya tento řádek: a úhel se „odšroubuje“ proti směru hodinových ručiček.

Aby kresba nebyla nepřehledná, nakreslil jsem úhly pouze pro dvě přímky. Uvažujme „červenou“ čáru a její sklon. Podle výše uvedeného: (úhel „alfa“ je označen zeleným obloukem). Pro „modrou“ přímku s úhlovým koeficientem platí rovnost (úhel „beta“ je označen hnědým obloukem). A pokud je známá tangens úhlu, pak je v případě potřeby snadné ji najít a samotný roh pomocí inverzní funkce - arkustangens. Jak se říká, trigonometrický stůl nebo mikrokalkulačka ve vašich rukou. Tím pádem, úhlový koeficient charakterizuje stupeň sklonu přímky k ose x.

V tomto případě je to možné následující případy:

1) Pokud je sklon záporný: pak čára, zhruba řečeno, jde shora dolů. Příkladem jsou „modré“ a „malinové“ rovné čáry na výkresu.

2) Pokud je sklon kladný: čára jde zdola nahoru. Příklady - „černé“ a „červené“ rovné čáry ve výkresu.

3) Pokud je sklon nula: , pak rovnice nabývá tvaru a odpovídající přímka je rovnoběžná s osou. Příkladem je „žlutá“ přímka.

4) Pro rodinu čar rovnoběžných s osou (na výkrese není žádný příklad, kromě samotné osy), úhlový koeficient neexistuje (tangens 90 stupňů není definován).

Čím větší je koeficient sklonu v absolutní hodnotě, tím strmější je přímkový graf..

Uvažujme například dvě přímky. Zde má tedy rovinka strmější sklon. Připomínám, že modul umožňuje ignorovat znamení, nás zajímá pouze absolutní hodnoty úhlové koeficienty.

Přímka je zase strmější než přímka .

Naopak: čím menší je koeficient sklonu v absolutní hodnotě, tím plošší přímka.

Pro rovné čáry nerovnost je pravdivá, takže přímka je plošší. Dětská skluzavka, abyste si neudělali otlaky a boule.

Proč je to nutné?

Prodlužte si své trápení Znalost výše uvedených skutečností vám umožní okamžitě vidět své chyby, zejména chyby při sestavování grafů - pokud se ukáže, že kresba je „zjevně něco špatně“. Je vhodné, abyste hned bylo jasné, že například přímka je velmi strmá a jde zdola nahoru a přímka je velmi plochá, přitisknutá k ose a jde shora dolů.

V geometrických úlohách se často objevuje několik přímek, takže je vhodné je nějak označit.

Označení: rovné čáry jsou označeny jako malé s latinskými písmeny: . Oblíbenou možností je označit je pomocí stejného písmene s přirozenými dolními indexy. Například těch pět řádků, na které jsme se právě podívali, lze označit .

Protože každá přímka je jednoznačně určena dvěma body, lze ji označit těmito body: atd. Z označení jasně vyplývá, že body patří k čáře.

Je čas se trochu zahřát:

Jak napsat rovnici přímky s úhlovým koeficientem?

Pokud je znám bod patřící k určité přímce a úhlový koeficient této přímky, pak rovnice této přímky je vyjádřena vzorcem:

Příklad 1

Napište rovnici pro přímku se sklonem, pokud je známo, že bod patří k dané přímce.

Řešení: Sestavme rovnici přímky pomocí vzorce . V v tomto případě:

Odpovědět:

Zkouška se dělá jednoduše. Nejprve se podíváme na výslednou rovnici a ujistíme se, že náš sklon je na místě. Za druhé, souřadnice bodu musí splňovat tuto rovnici. Zapojme je do rovnice:

Získá se správná rovnost, což znamená, že bod vyhovuje výsledné rovnici.

Závěr: Rovnice byla nalezena správně.

Složitější příklad pro nezávislé rozhodnutí:

Příklad 2

Napište rovnici pro přímku, je-li známo, že její úhel sklonu ke kladnému směru osy je , a bod patří této přímce.

Pokud máte nějaké potíže, přečtěte si znovu teoretický materiál. Přesněji, praktičtější, přeskakuji spoustu důkazů.

Zazvonilo Poslední výzva, promoce prošla a za branami naší rodné školy nás čeká samotná analytická geometrie. Vtipům je konec... Nebo možná teprve začínají =)

Nostalgicky máváme perem známému a seznamujeme se s obecnou rovnicí přímky. Protože v analytické geometrii se přesně toto používá:

Obecná rovnice přímky má tvar: , kde jsou nějaká čísla. Zároveň koeficienty zároveň nejsou rovny nule, protože rovnice ztrácí smysl.

Oblečme se do obleku a svažme rovnici s koeficientem sklonu. Nejprve přesuneme všechny termíny do levá strana:

Termín s „X“ je třeba umístit na první místo:

Rovnice má v zásadě již tvar , ale podle pravidel matematické etikety musí být koeficient prvního členu (v tomto případě) kladný. Změna znamení:

Pamatujte na tuto technickou vlastnost! První koeficient (nejčastěji) klademe!

V analytické geometrii bude téměř vždy uvedena rovnice přímky obecná forma. V případě potřeby jej lze snadno zredukovat na „školní“ formu s úhlovým koeficientem (s výjimkou přímek rovnoběžných s osou pořadnice).

Položme si otázku co dost umíš postavit přímku? Dva body. Ale více o tomto incidentu z dětství, nyní vládnou hůlky se šípy. Každá přímka má velmi specifický sklon, kterému se lze snadno „přizpůsobit“. vektor.

Vektor, který je rovnoběžný s přímkou, se nazývá směrový vektor této přímky. Je zřejmé, že jakákoli přímka má nekonečný počet směrových vektorů a všechny budou kolineární (souměrné nebo ne - na tom nezáleží).

Směrový vektor budu označovat takto: .

Ale jeden vektor k sestrojení přímky nestačí, vektor je volný a není vázán na žádný bod v rovině. Proto je dodatečně nutné znát nějaký bod, který k přímce patří.

Jak napsat rovnici přímky pomocí bodu a směrového vektoru?

Pokud je znám určitý bod patřící k přímce a směrový vektor této přímky, lze rovnici této přímky sestavit pomocí vzorce:

Někdy se tomu říká kanonická rovnice přímky .

Co dělat, když jednu ze souřadnic se rovná nule, pochopíme na praktických příkladech níže. Mimochodem, všimněte si - obojí najednou souřadnice se nemohou rovnat nule, protože nulový vektor neurčuje konkrétní směr.

Příklad 3

Napište rovnici pro přímku pomocí bodu a směrového vektoru

Řešení: Sestavme rovnici přímky pomocí vzorce. V tomto případě:

Pomocí vlastností proporce se zbavíme zlomků:

A přivedeme rovnici do jejího obecného tvaru:

Odpovědět:

V takových příkladech zpravidla není třeba kreslit, ale kvůli porozumění:

Na výkrese vidíme počáteční bod, původní směrový vektor (lze jej vykreslit z libovolného bodu v rovině) a sestrojenou přímku. Mimochodem, v mnoha případech je nejpohodlnější sestrojit přímku pomocí rovnice s úhlovým koeficientem. Je snadné převést naši rovnici do tvaru a snadno vybrat jiný bod pro vytvoření přímky.

Jak bylo uvedeno na začátku odstavce, přímka má nekonečně mnoho směrových vektorů a všechny jsou kolineární. Například jsem nakreslil tři takové vektory: . Ať už zvolíme jakýkoli směrový vektor, výsledkem bude vždy stejná rovnice přímky.

Vytvořme rovnici přímky pomocí bodu a směrového vektoru:

Řešení poměru:

Vydělte obě strany –2 a dostanete známou rovnici:

Zájemci mohou stejným způsobem testovat vektory nebo jakýkoli jiný kolineární vektor.

Nyní vyřešme inverzní problém:

Jak najít směrový vektor pomocí obecné rovnice přímky?

Velmi jednoduché:

Pokud je přímka dána obecnou rovnicí v pravoúhlém souřadnicovém systému, pak je vektor směrovým vektorem této přímky.

Příklady hledání směrových vektorů přímek:

Tento příkaz nám umožňuje najít pouze jeden směrový vektor z nekonečného počtu, ale nepotřebujeme více. Ačkoli v některých případech je vhodné snížit souřadnice směrových vektorů:

Rovnice tedy specifikuje přímku, která je rovnoběžná s osou a souřadnice výsledného směrového vektoru jsou vhodně děleny –2, čímž se získá přesně základní vektor jako směrový vektor. Logický.

Podobně rovnice určuje přímku rovnoběžnou s osou a vydělením souřadnic vektoru 5 získáme jednotkový vektor jako směrový vektor.

Teď to udělejme Kontrolní příklad 3. Příklad šel nahoru, takže připomínám, že jsme v něm sestavili rovnici přímky pomocí bodu a směrového vektoru

Za prvé, pomocí rovnice přímky rekonstruujeme její směrový vektor: – vše je v pořádku, obdrželi jsme původní vektor (v některých případech může být výsledkem kolineární vektor k původnímu, což lze obvykle snadno rozpoznat podle proporcionality odpovídajících souřadnic).

Za druhé, souřadnice bodu musí vyhovovat rovnici. Dosadíme je do rovnice:

Byla dosažena správná rovnost, za což jsme velmi rádi.

Závěr: Úkol byl dokončen správně.

Příklad 4

Napište rovnici pro přímku pomocí bodu a směrového vektoru

Toto je příklad, který můžete vyřešit sami. Řešení a odpověď jsou na konci lekce. Je velmi vhodné provést kontrolu pomocí algoritmu, který byl právě popsán. Snažte se vždy (pokud je to možné) zkontrolovat koncept. Je hloupé dělat chyby tam, kde se jim lze 100% vyhnout.

V případě, že jedna ze souřadnic směrového vektoru je nulová, postupujte velmi jednoduše:

Příklad 5

Řešení: Vzorec není vhodný, protože jmenovatel na pravé straně je nula. Je tu východ! Pomocí vlastností proporce přepíšeme vzorec do formuláře a zbytek se rozjede po hluboké koleji:

Odpovědět:

Zkouška:

1) Obnovte směrový vektor přímky:
– výsledný vektor je kolineární s původním směrovým vektorem.

2) Dosaďte souřadnice bodu do rovnice:

Získá se správná rovnost

Závěr: úkol dokončen správně

Nabízí se otázka, proč se obtěžovat vzorcem, když existuje univerzální verze, která bude fungovat v každém případě? Důvody jsou dva. Za prvé, vzorec je ve formě zlomku mnohem lépe zapamatovatelné. A za druhé nevýhoda univerzální vzorec je to? výrazně se zvyšuje riziko záměny při dosazování souřadnic.

Příklad 6

Napište rovnici pro přímku pomocí bodu a směrového vektoru.

Toto je příklad, který můžete vyřešit sami.

Vraťme se k všudypřítomným dvěma bodům:

Jak napsat rovnici přímky pomocí dvou bodů?

Pokud jsou známy dva body, lze rovnici přímky procházející těmito body sestavit pomocí vzorce:

Ve skutečnosti se jedná o typ vzorce a zde je důvod: pokud jsou známy dva body, pak bude vektor směrovým vektorem dané přímky. Na lekci Vektory pro figuríny zvažovali jsme nejjednodušší úkol– jak zjistit souřadnice vektoru ze dvou bodů. Podle tohoto problému jsou souřadnice směrového vektoru:

Poznámka : body lze „zaměnit“ a použít vzorec . Takové řešení bude ekvivalentní.

Příklad 7

Napište rovnici přímky pomocí dvou bodů .

Řešení: Používáme vzorec:

Sloučení jmenovatelů:

A zamíchejte balíček:

Nyní je čas se toho zbavit zlomková čísla. V tomto případě musíte vynásobit obě strany 6:

Otevřete závorky a vzpomeňte si na rovnici:

Odpovědět:

Zkouška zřejmé - souřadnice výchozí body musí splňovat výslednou rovnici:

1) Dosaďte souřadnice bodu:

Skutečná rovnost.

2) Dosaďte souřadnice bodu:

Skutečná rovnost.

Závěr: Rovnice přímky je napsána správně.

Li aspoň jeden bodů nesplňuje rovnici, hledejte chybu.

Stojí za zmínku, že grafické ověření je v tomto případě obtížné, protože sestrojte přímku a zjistěte, zda k ní body patří , není to tak jednoduché.

Uvedu ještě několik technických aspektů řešení. Možná je v tomto problému výhodnější použít zrcadlový vzorec a ve stejných bodech udělej rovnici:

Méně zlomků. Pokud chcete, můžete provést řešení až do konce, výsledkem by měla být stejná rovnice.

Druhým bodem je podívat se na konečnou odpověď a zjistit, zda ji lze dále zjednodušit? Pokud například dostanete rovnici , pak je vhodné ji zmenšit o dvě: – rovnice bude definovat stejnou přímku. To už je však téma k rozhovoru relativní poloha čar.

Po obdržení odpovědi v příkladu 7 jsem si pro jistotu ověřil, zda jsou VŠECHNY koeficienty rovnice dělitelné 2, 3 nebo 7. I když nejčastěji k takovýmto redukcím dochází při řešení.

Příklad 8

Napište rovnici pro přímku procházející body .

Toto je příklad pro nezávislé řešení, které vám umožní lépe pochopit a procvičit výpočetní techniky.

Podobně jako v předchozím odstavci: pokud je ve vzorci jeden ze jmenovatelů (souřadnice směrového vektoru) se stane nulou, pak jej přepíšeme do tvaru . Znovu si všimněte, jak trapně a zmateně vypadá. Nevidím moc smysl přinášet praktické příklady, jelikož jsme takový problém již skutečně řešili (viz č. 5, 6).

Přímý normální vektor (normální vektor)

co je normální? Jednoduše řečeno, normála je kolmá. To znamená, že normálový vektor přímky je kolmý k dané přímce. Je zřejmé, že jakákoli přímka jich má nekonečný počet (stejně jako směrových vektorů) a všechny normálové vektory přímky budou kolineární (souměrné nebo ne, na tom nezáleží).

Práce s nimi bude ještě jednodušší než s vodícími vektory:

Pokud je přímka dána obecnou rovnicí v pravoúhlém souřadnicovém systému, pak je vektorem normálový vektor této přímky.

Pokud je třeba z rovnice opatrně „vytáhnout“ souřadnice směrového vektoru, pak lze souřadnice normálového vektoru jednoduše „odstranit“.

Normálový vektor je vždy ortogonální ke směrovému vektoru úsečky. Ověřme ortogonalitu těchto vektorů pomocí Tečkovaný produkt:

Uvedu příklady se stejnými rovnicemi jako pro směrový vektor:

Je možné sestrojit rovnici přímky zadané jedním bodem a normálovým vektorem? Cítím to ve svých útrobách, je to možné. Pokud je znám normální vektor, pak je směr samotné přímky jasně definován - jedná se o „tuhou strukturu“ s úhlem 90 stupňů.

Jak napsat rovnici přímky dané bodem a normálovým vektorem?

Pokud je znám určitý bod patřící k přímce a normálový vektor této přímky, pak rovnice této přímky je vyjádřena vzorcem:

Zde se vše obešlo bez zlomků a dalších překvapení. Toto je náš normální vektor. Miluji ho. A respekt =)

Příklad 9

Napište rovnici přímky dané bodem a normálovým vektorem. Najděte směrový vektor čáry.

Řešení: Používáme vzorec:

Obecná rovnice přímky byla získána, zkontrolujme:

1) „Odstraňte“ souřadnice normálového vektoru z rovnice: – ano, skutečně, původní vektor byl získán z podmínky (nebo by měl být získán kolineární vektor).

2) Zkontrolujeme, zda bod splňuje rovnici:

Skutečná rovnost.

Poté, co se přesvědčíme o správném složení rovnice, dokončíme druhou, jednodušší část úkolu. Vyjmeme směrový vektor přímky:

Odpovědět:

Na obrázku vypadá situace takto:

Pro účely školení podobný úkol pro samostatné řešení:

Příklad 10

Napište rovnici přímky dané bodem a normálovým vektorem. Najděte směrový vektor čáry.

Závěrečná část lekce bude věnována méně obvyklým, ale i důležitým typům rovnic přímky v rovině

Rovnice přímky v úsecích.
Rovnice přímky v parametrickém tvaru

Rovnice přímky v úsecích má tvar , kde jsou nenulové konstanty. Některé typy rovnic nelze v této podobě reprezentovat, například přímou úměrnost (protože volný člen je roven nule a neexistuje způsob, jak dostat jedničku na pravou stranu).

Jedná se, obrazně řečeno, o „technický“ typ rovnice. Běžným úkolem je znázornit obecnou rovnici přímky jako rovnici přímky v úsecích. Jak je to pohodlné? Rovnice přímky v úsecích umožňuje rychle najít průsečíky přímky se souřadnicovými osami, což může být velmi důležité v některých úlohách vyšší matematiky.

Najdeme průsečík přímky s osou. Vynulujeme „y“ a rovnice dostane tvar . Požadovaný bod se získá automaticky: .

To samé s osou – bod, ve kterém přímka protíná ordinátní osu.

Definice. Libovolná přímka v rovině může být určena rovnicí prvního řádu

Ax + Wu + C = 0,

Navíc konstanty A a B se zároveň nerovnají nule. Tato rovnice prvního řádu se nazývá obecná rovnice přímky. V závislosti na hodnotách konstanta A, B a C jsou možné následující speciální případy:

C = 0, A ≠0, B ≠ 0 – přímka prochází počátkem

A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0) - přímka rovnoběžná s osou Ox

B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0) – přímka rovnoběžná s osou Oy

B = C = 0, A ≠0 – přímka se shoduje s osou Oy

A = C = 0, B ≠0 – přímka se shoduje s osou Ox

Rovnici přímky lze znázornit v v různých podobách v závislosti na jakýchkoli daných počátečních podmínkách.

Rovnice přímky z bodu a normálového vektoru

Definice. V kartézském pravoúhlém souřadnicovém systému je vektor se složkami (A, B) kolmý k přímce dané rovnicí Ax + By + C = 0.

Příklad. Najděte rovnici přímky procházející bodem A(1, 2) kolmým k (3, -1).

Řešení. Při A = 3 a B = -1 sestavme rovnici přímky: 3x – y + C = 0. Pro zjištění koeficientu C dosadíme do výsledného výrazu souřadnice daného bodu A. Dostaneme: 3 – 2 + C = 0, tedy C = -1 . Celkem: požadovaná rovnice: 3x – y – 1 = 0.

Rovnice přímky procházející dvěma body

Nechť jsou v prostoru dány dva body M 1 (x 1, y 1, z 1) a M 2 (x 2, y 2, z 2), pak rovnice přímky procházející těmito body je:

Pokud je některý ze jmenovatelů roven nule, měl by být odpovídající čitatel roven nule. V rovině je rovnice výše napsaného řádku zjednodušena:

pokud x 1 ≠ x 2 a x = x 1, pokud x 1 = x 2.

Zlomek = k se nazývá sklon rovný.

Příklad. Najděte rovnici přímky procházející body A(1, 2) a B(3, 4).

Řešení. Použitím výše napsaného vzorce dostaneme:

Rovnice přímky z bodu a sklonu

Pokud je součet Ax + Bu + C = 0, vede k tvaru:

a určit , pak se výsledná rovnice nazývá rovnice přímky se sklonemk.

Rovnice přímky z bodu a směrového vektoru

Analogicky s bodem, který bere v úvahu rovnici přímky přes normálový vektor, můžete zadat definici přímky přes bod a směrový vektor přímky.

Definice. Každý nenulový vektor (α 1, α 2), jehož složky splňují podmínku A α 1 + B α 2 = 0, se nazývá směrovací vektor přímky.

Ax + Wu + C = 0.

Příklad. Najděte rovnici přímky se směrovým vektorem (1, -1) a procházející bodem A(1, 2).

Řešení. Budeme hledat rovnici požadované přímky ve tvaru: Ax + By + C = 0. V souladu s definicí musí koeficienty splňovat podmínky:

1 * A + (-1) * B = 0, tzn. A = B.

Pak rovnice přímky má tvar: Ax + Ay + C = 0, nebo x + y + C / A = 0. pro x = 1, y = 2 dostaneme C/ A = -3, tzn. požadovaná rovnice:

Rovnice přímky v úsecích

Pokud v obecné rovnici přímky Ах + Ву + С = 0 С≠0, pak po dělení –С dostaneme: nebo

Geometrický význam koeficienty je ten koeficient A je souřadnice průsečíku přímky s osou Ox a b– souřadnice průsečíku přímky s osou Oy.

Příklad. Je dána obecná rovnice přímky x – y + 1 = 0. Najděte rovnici této přímky v úsecích.

C = 1, a = -1, b = 1.

Normální rovnice přímky

Pokud se obě strany rovnice Ax + By + C = 0 vynásobí číslem který se nazývá normalizační faktor, pak dostaneme

xcosφ + ysinφ - p = 0 –

normální rovnice přímky. Znaménko ± normalizačního faktoru musí být zvoleno tak, aby μ * C< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

Příklad. Vzhledem k obecné rovnici přímky 12x – 5y – 65 = 0. Musíte napsat Různé typy rovnice této přímky.

rovnice této přímky v segmentech:

rovnice této přímky se sklonem: (dělte 5)

; cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.

Je třeba poznamenat, že ne každá přímka může být reprezentována rovnicí v segmentech, například přímky rovnoběžné s osami nebo procházející počátkem souřadnic.

Příklad. Přímka odřízne stejné kladné segmenty na souřadných osách. Napište rovnici pro přímku, pokud je plocha trojúhelníku tvořeného těmito segmenty 8 cm 2.

Řešení. Rovnice přímky má tvar: , ab /2 = 8; ab=16; a=4, a=-4. a = -4< 0 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.

Příklad. Napište rovnici pro přímku procházející bodem A(-2, -3) a počátkem.

Řešení. Rovnice přímky je: kde xi = yi = 0; x2 = -2; y2 = -3.

Úhel mezi přímkami v rovině

Definice. Pokud jsou dány dvě přímky y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, pak ostrý úhel mezi těmito čarami bude definován jako

.

Dvě přímky jsou rovnoběžné, pokud k 1 = k 2. Dvě přímky jsou kolmé, pokud k 1 = -1/ k 2.

Teorém. Přímky Ax + Bу + C = 0 a A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 jsou rovnoběžné, když koeficienty A 1 = λA, B 1 = λB jsou úměrné. Pokud také C 1 = λC, pak se čáry shodují. Souřadnice průsečíku dvou přímek se nalézají jako řešení soustavy rovnic těchto přímek.

Rovnice přímky procházející daným bodem kolmo k dané přímce

Definice. Přímka procházející bodem M 1 (x 1, y 1) a kolmá k přímce y = kx + b je znázorněna rovnicí:

Vzdálenost od bodu k řádku

Teorém. Je-li dán bod M(x 0, y 0), pak vzdálenost k přímce Ax + Bу + C = 0 je určena jako

.

Důkaz. Nechť bod M 1 (x 1, y 1) je základna kolmice svržené z bodu M k dané přímce. Pak vzdálenost mezi body M a M 1:

(1)

Souřadnice x 1 a y 1 lze najít řešením soustavy rovnic:

Druhou rovnicí soustavy je rovnice procházející přímky tento bod M 0 je kolmá k dané přímce. Převedeme-li první rovnici soustavy do tvaru:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

pak řešením dostaneme:

Dosazením těchto výrazů do rovnice (1) zjistíme:

Věta byla prokázána.

Příklad. Určete úhel mezi přímkami: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

ki = -3; k2 = 2; tgφ = ; φ= π /4.

Příklad. Ukažte, že přímky 3x – 5y + 7 = 0 a 10x + 6y – 3 = 0 jsou kolmé.

Řešení. Zjistíme: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1* k 2 = -1, tedy přímky jsou kolmé.

Příklad. Jsou dány vrcholy trojúhelníku A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Najděte rovnici výšky nakreslenou z vrcholu C.

Řešení. Najdeme rovnici strany AB: ; 4 x = 6 y – 6;

2 x – 3 y + 3 = 0;

Požadovaná výšková rovnice má tvar: Ax + By + C = 0 nebo y = kx + b. k = . Pak y =. Protože výška prochází bodem C, pak její souřadnice splňují tuto rovnici: odkud b = 17. Celkem: .

Odpověď: 3 x + 2 y – 34 = 0.

Kanonické rovnice přímky v prostoru jsou rovnice, které definují přímku procházející daným bodem kolineárním se směrovým vektorem.

Nechť je dán bod a směrový vektor. Libovolný bod leží na přímce l pouze pokud jsou vektory a kolineární, tj. je pro ně splněna podmínka:

.

Výše uvedené rovnice jsou kanonické rovnice rovný.

Čísla m , n A p jsou průměty směrového vektoru na souřadnicové osy. Protože vektor je nenulový, pak všechna čísla m , n A p nemůže být současně rovno nule. Ale jeden nebo dva z nich se mohou ukázat jako nula. V analytické geometrii je například povolen následující záznam:

,

což znamená, že průměty vektoru na osu Oj A Oz se rovnají nule. Proto je vektor i přímka definovaná kanonickými rovnicemi kolmá k osám Oj A Oz, tedy letadla yOz .

Příklad 1. Napište rovnice pro přímku v prostoru kolmou k rovině a procházející průsečíkem této roviny s osou Oz .

Řešení. Najdeme průsečík této roviny s osou Oz. Od libovolného bodu ležícího na ose Oz, má souřadnice , tedy za předpokladu v dané rovnici roviny x = y = 0, dostaneme 4 z- 8 = 0 nebo z= 2. Tedy průsečík této roviny s osou Oz má souřadnice (0; 0; 2) . Protože je požadovaná přímka kolmá k rovině, je rovnoběžná se svým normálovým vektorem. Proto směrovým vektorem přímky může být normálový vektor dané letadlo.

Nyní si zapišme požadované rovnice přímky procházející bodem A= (0; 0; 2) ve směru vektoru:

Rovnice přímky procházející dvěma danými body

Přímku lze definovat dvěma body, které na ní leží A V tomto případě může být směrovacím vektorem přímky vektor . Poté nabývají kanonické rovnice přímky tvar

.

Výše uvedené rovnice určují přímku procházející dvěma danými body.

Příklad 2 Napište rovnici pro přímku v prostoru procházející body a .

Řešení. Zapišme si požadované rovnice přímky ve tvaru uvedeném výše v teoretické literatuře:

.

Od , pak je požadovaná přímka kolmá k ose Oj .

Přímá jako průsečík rovin

Přímku v prostoru lze definovat jako průsečík dvou nerovnoběžných rovin, tedy jako množinu bodů splňujících systém dvou lineárních rovnic.

Rovnice soustavy se také nazývají obecné rovnice přímo v prostoru.

Příklad 3 Sestavte kanonické rovnice přímky v prostoru dané obecnými rovnicemi

Řešení. Chcete-li napsat kanonické rovnice přímky nebo, což je totéž, rovnice přímky procházející dvěma danými body, musíte najít souřadnice libovolných dvou bodů na přímce. Mohou to být například průsečíky přímky s libovolnými dvěma rovinami souřadnic yOz A xOz .

Průsečík přímky a roviny yOz má úsečku X= 0. Tedy za předpokladu v této soustavě rovnic X= 0, dostaneme systém se dvěma proměnnými:

Její rozhodnutí y = 2 , z= 6 spolu s X= 0 definuje bod A(0; 2; 6) požadovaný řádek. Pak za předpokladu v dané soustavě rovnic y= 0, dostaneme systém

Její rozhodnutí X = -2 , z= 0 spolu s y= 0 definuje bod B(-2; 0; 0) průsečík přímky s rovinou xOz .

Nyní si zapišme rovnice přímky procházející body A(0; 2; 6) a B (-2; 0; 0) :

,

nebo po dělení jmenovatelů -2:

,