Jako konkrétní příklad tělesa rotujícího kolem osy uvažujme pohyb kyvadel.
Fyzické kyvadlo se nazývá pevný, mající vodorovnou osu rotace, kolem které vykonává vlivem své hmotnosti oscilační pohyby (obr. 119).
Poloha kyvadla je zcela určena úhlem jeho odchylky od rovnovážné polohy, a proto k určení pohybového zákona kyvadla stačí najít závislost tohoto úhlu na čase.
Rovnice formuláře:
se nazývá rovnice (zákon) pohybu kyvadla. Záleží na počátečních podmínkách, tedy na úhlu a úhlové rychlosti.
Limitním případem fyzikálního kyvadla je matematické kyvadlo, které představuje (jak již bylo uvedeno dříve - kapitola 2, § 3) hmotný bod spojený s vodorovnou osou, kolem které se otáčí tuhou beztížnou tyčí (obr. 120). Vzdálenost hmotného bodu od osy otáčení se nazývá délka matematického kyvadla.
Pohybové rovnice fyzikálních a matematických kyvadel
Zvolme soustavu souřadnicových os tak, aby rovina xy procházela těžištěm tělesa C a shodovala se s rovinou výkyvu kyvadla, jak je znázorněno na obrázku (obr. 119). Nasměrujme osu kolmou k rovině kreslení k nám. Poté na základě výsledků předchozího odstavce zapíšeme pohybovou rovnici fyzického kyvadla ve tvaru:
kde průchozí označuje moment setrvačnosti kyvadla vzhledem k jeho ose otáčení a
Proto můžete napsat:
Aktivní síla působící na kyvadlo je jeho hmotnost, jejíž moment vzhledem k ose hmotnosti bude:
kde je vzdálenost od osy otáčení kyvadla k jeho těžišti C.
V důsledku toho dospějeme k následující pohybové rovnici fyzického kyvadla:
Vzhledem k tomu, že matematické kyvadlo je speciálním případem fyzikálního, je napsáno výše diferenciální rovnice To platí i pro matematické kyvadlo. Je-li délka matematického kyvadla rovna a jeho hmotnost, pak jeho moment setrvačnosti vzhledem k ose rotace je roven
Protože vzdálenost těžiště matematického kyvadla od osy je stejná, lze konečnou diferenciální pohybovou rovnici matematického kyvadla zapsat ve tvaru:
Zkrácená délka fyzického kyvadla
Porovnáním rovnic (16.8) a (16.9) můžeme dojít k závěru, že pokud parametry fyzikálního a matematického kyvadla souvisí vztahem
pak jsou zákony pohybu fyzikálních a matematických kyvadel stejné (za stejných počátečních podmínek).
Poslední vztah udává délku, kterou musí mít matematické kyvadlo, aby se pohybovalo stejným způsobem jako odpovídající fyzikální kyvadlo. Tato délka se nazývá zmenšená délka fyzického kyvadla. Smyslem tohoto konceptu je, že studium pohybu fyzického kyvadla může být nahrazeno studiem pohybu matematického kyvadla, což je jednoduchý mechanický obvod.
První integrál pohybové rovnice kyvadla
Pohybové rovnice fyzikálního a matematického kyvadla mají stejný tvar, proto bude rovnice jejich pohybu
Protože jedinou silou, která je v této rovnici zohledněna, je gravitační síla patřící k potenciálnímu silovému poli, dochází k zákonu zachování mechanické energie.
To druhé lze získat jednoduchý trik, vynásobme tím rovnici (16.10).
Integrací této rovnice dostaneme
Určením integrační konstanty Cu z počátečních podmínek zjistíme
Řešením poslední rovnice pro relativní dostaneme
Tento vztah představuje první integrál diferenciální rovnice (16.10).
Stanovení podpěrných reakcí fyzikálních a matematických kyvadel
První integrál pohybových rovnic nám umožňuje určit podpěrné reakce kyvadel. Jak je uvedeno v předchozím odstavci, podpěrné reakce jsou určeny z rovnic (16.5). V případě fyzického kyvadla budou složky činné síly podél souřadnicových os a její momenty vzhledem k osám:
Souřadnice těžiště jsou určeny vzorcem:
Pak rovnice pro určení reakcí podpor mají tvar:
Odstředivé momenty setrvačnosti tělesa a vzdálenosti mezi podpěrami musí být známy podle podmínek problému. Úhlové zrychlení v a úhlová rychlostс jsou určeny z rovnic (16.9) a (16.4) ve tvaru:
Rovnice (16.12) tedy zcela určují složky podpěrných reakcí fyzikálního kyvadla.
Rovnice (16.12) jsou dále zjednodušeny, pokud uvažujeme matematické kyvadlo. Protože se totiž hmotný bod matematického kyvadla nachází v rovině, pak Kromě toho, protože jeden bod je pevný, pak se rovnice (16.12) změní na rovnice tvaru:
Z rovnic (16.13) pomocí rovnice (16.9) vyplývá, že podpěrná reakce směřuje podél závitu I (obr. 120). To druhé je jasný výsledek. Promítnutím složek rovností (16.13) na směr závitu tedy najdeme rovnici pro určení reakce podpory formy (obr. 120):
Nahradíme zde hodnotu a vezmeme v úvahu, že píšeme:
Poslední vztah určuje dynamickou odezvu matematického kyvadla. Všimněte si, že jeho statická reakce bude
Kvalitativní studie povahy pohybu kyvadla
První integrál pohybové rovnice kyvadla nám umožňuje provést kvalitativní studium povahy jeho pohybu. Tento integrál (16.11) totiž zapíšeme ve tvaru:
Během pohybu musí být radikální výraz buď pozitivní, nebo v některých bodech zmizí. Předpokládejme, že počáteční podmínky jsou takové, že
V tomto případě se radikální výraz nikde nevytrácí. V důsledku toho při pohybu kyvadlo projde všemi hodnotami úhlu a úhlová rychlost z kyvadla má stejné znaménko, které je určeno směrem počáteční úhlové rychlosti, nebo úhel buď zvýší všechny kyvadlo se bude otáčet na jednu stranu.
Směry pohybu budou odpovídat jednomu nebo druhému znaku ve výrazu (16.11). Nutná podmínka Realizace takového pohybu je přítomností počáteční úhlové rychlosti, protože z nerovnosti (16.14) je zřejmé, že pokud pak při jakémkoli počátečním úhlu vychýlení není možné dosáhnout takového pohybu kyvadla.
Nechť jsou nyní počáteční podmínky takové, že
V tomto případě existují dvě takové hodnoty úhlu, při kterých se radikální výraz stává nulou. Nechte je odpovídat úhlům definovaným rovností
Navíc bude někde v rozsahu od 0 do . Dále je zřejmé, že kdy
radikální výraz (16.11) bude kladný a při libovolně malém překročení záporný.
V důsledku toho, když se kyvadlo pohybuje, jeho úhel se mění v rozsahu:
Když úhlová rychlost kyvadla klesne na nulu a úhel začne klesat na hodnotu . V tomto případě se změní znaménko úhlové rychlosti nebo znaménko před radikálem ve výrazu (16.11). Když úhlová rychlost kyvadla opět dosáhne nuly a úhel opět začne narůstat na hodnotu
Kyvadlo tak bude provádět oscilační pohyby
Amplituda kmitů kyvadla
Při kmitání kyvadla se maximální hodnota jeho odchylky od svislice nazývá amplituda kmitání. Je rovno tomu, které je určeno z rovnosti
Jak vyplývá z posledního vzorce, amplituda kmitání závisí na počátečních údajích hlavních charakteristik kyvadla nebo jeho zmenšené délce.
V konkrétním případě, kdy je kyvadlo vychýleno z rovnovážné polohy a uvolněno bez počáteční rychlosti, pak bude rovna , amplituda tedy nezávisí na redukované délce.
Pohybová rovnice kyvadla v konečné podobě
Nechť je počáteční rychlost kyvadla nulová, pak první integrál jeho pohybové rovnice bude:
Integrací této rovnice zjistíme
Čas budeme počítat od polohy kyvadla, tomu odpovídající
Pojďme transformovat integrand pomocí vzorce:
Pak dostaneme:
Výsledný integrál se nazývá eliptický integrál prvního druhu. Nelze ji vyjádřit pomocí konečného počtu elementárních funkcí.
Inverze eliptického integrálu (16.15) vzhledem k jeho horní hranici představuje pohybovou rovnici kyvadla:
To bude dobře prostudovaná Jacobiho eliptická funkce.
Perioda kmitání kyvadla
Doba potřebná k jednomu úplnému kmitání kyvadla se nazývá perioda jeho kmitání. Označme jej T. Protože doba pohybu kyvadla z polohy do polohy je stejná jako doba pohybu od té doby, bude T určena vzorcem:
Udělejme změnu proměnných vložením
Při změně od 0 do se změní z 0 na . Dále,
a proto
Poslední integrál se nazývá úplný eliptický integrál prvního druhu (jeho hodnoty jsou uvedeny ve speciálních tabulkách).
Když integrand tíhne k jednotě a .
Přibližné vzorce pro malé kmity kyvadla
V případě, že oscilace kyvadla mají malou amplitudu (prakticky by neměla přesáhnout 20°), můžete
Potom má diferenciální rovnice pohybu kyvadla tvar:
Matematické kyvadlo
Úvod
Doba oscilace
závěry
Literatura
Úvod
Nyní již není možné ověřit legendu o tom, jak Galileo stojící v modlitbě v katedrále bedlivě sledoval houpání bronzových lustrů. Pozoroval jsem a určoval čas strávený pohybem lustru tam a zpět. Tato doba byla později nazývána periodou oscilace. Galileo neměl hodinky a pro srovnání periody kmitání lustrů zavěšených na různě dlouhých řetězech používal frekvenci svého tepu.
Kyvadla se používají k nastavení rychlosti hodin, protože každé kyvadlo má velmi specifickou periodu oscilace. Kyvadlo také najde důležitá aplikace v geologickém průzkumu. Je známo, že na různých místech po celém světě hodnoty G jsou rozdílní. Liší se tím, že Země není úplně pravidelná koule. Navíc v oblastech, kde se vyskytují husté horniny, jako jsou některé kovové rudy, hodnota G abnormálně vysoká. Přesná měření G pomocí matematického kyvadla je někdy možné takové usazeniny detekovat.
Pohybová rovnice matematického kyvadla
Matematické kyvadlo je těžký hmotný bod, který se pohybuje buď po svislé kružnici (ploché matematické kyvadlo) nebo po kouli (kulové kyvadlo). K prvnímu přiblížení lze matematické kyvadlo považovat za malé břemeno zavěšené na neroztažitelném pružném závitu.
Uvažujme pohyb plochého matematického kyvadla po kružnici o poloměru l středem v bodě O(Obr. 1). Určíme polohu bodu M(kyvadlo) úhel odchylky j poloměr OM z vertikály. Směrování tečny M t směrem ke kladnému úhlu j, sestavíme přirozenou pohybovou rovnici. Tato rovnice je vytvořena z pohybové rovnice
mW=F+N, (1)
Kde F je aktivní síla působící na bod a N- komunikační reakce.
Obrázek 1
Dostali jsme rovnici (1) podle druhého Newtonova zákona, který je základním zákonem dynamiky a říká, že časová derivace hybnosti hmotného bodu je rovna síle, která na něj působí, tzn.
Za předpokladu, že hmotnost je konstantní, můžeme předchozí rovnici znázornit ve tvaru
Kde W je zrychlení bodu.
Takže rovnice (1) v projekci na osu t nám dá jednu z přirozených rovnic pro pohyb bodu podél dané pevné hladké křivky:
V našem případě získáme v projekci na osu t
,
Kde m existuje hmotnost kyvadla.
Od nebo , odtud najdeme
.
Snížení o m a věřící
, (3)
konečně budeme mít:
,
,
,
. (4)
Podívejme se nejprve na případ malých kmitů. Pustit dovnitř počáteční okamžik kyvadlo je vychýleno od svislice o úhel j a snížena bez počáteční rychlosti. Pak budou počáteční podmínky:
na t= 0, 
. (5)
Z energetického integrálu:
, (6)
Kde PROTI- potenciální energie a h je integrační konstanta, z toho vyplývá, že za těchto podmínek je v každém okamžiku úhel jЈj 0 . Konstantní hodnota h určeno z výchozích údajů. Předpokládejme, že úhel j 0 je malý (j 0 Ј1); pak bude úhel j také malý a můžeme přibližně nastavit sinj»j. V tomto případě bude mít rovnice (4) tvar
. (7)
Rovnice (7) je diferenciální rovnice jednoduchého harmonického kmitání. Společné rozhodnutí tato rovnice má tvar
, (8)
Kde A A B nebo A a e jsou integrační konstanty.
Odtud okamžitě najdeme období ( T) malé kmity matematického kyvadla (perioda - časový úsek, během kterého se bod vrací do své předchozí polohy stejnou rychlostí)
A 
,
protože hřích má periodu rovnou 2p, pak w T= 2p Yu
(9)
Abychom našli zákon pohybu za počátečních podmínek (5), vypočítáme:
. (10)
Dosazením hodnot (5) do rovnic (8) a (10) získáme:
j 0 = A, 0 = w B,
těch. B=0. V důsledku toho bude zákon pohybu pro malé kmitání za podmínek (5):
j = j 0 cos hm. (jedenáct)
Pojďme nyní najít přesné řešení problému plochého matematického kyvadla. Stanovme nejprve první integrál pohybové rovnice (4). Protože
,
pak (4) může být reprezentováno jako
.
Tedy vynásobením obou stran rovnice d j a integrací dostaneme:
. (12)
Označme zde j 0 úhel maximální výchylky kyvadla; pak pro j = j 0 budeme mít, odkud C= w 2 cosj 0 . V důsledku toho integrál (12) dává:
, (13)
kde w je určeno rovností (3).
Tento integrál je integrál energie a lze jej přímo získat z rovnice
, (14)
kde se pracuje na stěhování M 0 M aktivní síla F, pokud to vezmeme v úvahu v našem případě proti 0 = 0 a (viz obrázek).
Z rovnice (13) je zřejmé, že při pohybu kyvadla se úhel j bude měnit mezi hodnotami +j 0 a -j 0 (|j|Јj 0, protože), tzn. kyvadlo bude konat kmitavý pohyb. Domluvme se na odpočítávání času t od okamžiku, kdy kyvadlo projde vertikálou O.A. když se pohybuje doprava (viz obrázek). Pak budeme mít počáteční podmínku:
na t=0, j=0. (15)
Navíc při pohybu z bodu A vůle ; odvození z obou stran rovnosti (13) Odmocnina, dostaneme:
.
Po oddělení proměnných zde máme:
. (16)
, 
,
Že
.
Dosazením tohoto výsledku do rovnice (16) získáme.
Oscilační pohyb- periodický nebo téměř periodický pohyb tělesa, jehož souřadnice, rychlost a zrychlení nabývají ve stejných časových intervalech přibližně stejných hodnot.
K mechanickým vibracím dochází, když se při vytažení tělesa z rovnovážné polohy objeví síla, která má tendenci vrátit těleso zpět.
Posun x je odchylka tělesa od rovnovážné polohy.
Amplituda A je modul maximálního posunutí tělesa.
Perioda kmitu T - doba jednoho kmitu:
Frekvence kmitání
Počet kmitů provedených tělesem za jednotku času: Během kmitů se periodicky mění rychlost a zrychlení. V rovnovážné poloze je rychlost maximální a zrychlení nulové. V bodech maximálního zdvihu dosáhne zrychlení maxima a rychlost se stane nulovou.
PLÁN HARMONICKÝCH VIBRACÍ
Harmonický vibrace, které se vyskytují podle zákona sinusového nebo kosinusového, se nazývají:
kde x(t) je posunutí systému v čase t, A je amplituda, ω je cyklická frekvence kmitů.
Pokud je odchylka tělesa od rovnovážné polohy vynesena podél svislé osy a čas podél vodorovné osy, dostanete graf oscilace x = x(t) - závislost posunu tělesa na čase. U volných harmonických kmitů je to sinusová nebo kosinusová vlna. Na obrázku jsou grafy závislosti výchylky x, průmětů rychlosti V x a zrychlení a x na čase.
Jak je z grafů patrné, při maximální výchylce x je rychlost V kmitajícího tělesa nulová, zrychlení a, a tedy i síla působící na těleso, je maximální a směřuje opačně k výchylce. V rovnovážné poloze se výchylka a zrychlení stanou nulovými a rychlost je maximální. Projekce zrychlení má vždy opačné znaménko než výchylka.
ENERGIE VIBRAČNÍHO POHYBU
Celková mechanická energie kmitajícího tělesa se rovná součtu jeho kinetických a potenciálních energií a při absenci tření zůstává konstantní:
V okamžiku, kdy výchylka dosáhne maxima x = A, rychlost a s ní i kinetická energie klesnou na nulu.
V tomto případě se celková energie rovná potenciální energii:
Celková mechanická energie kmitajícího tělesa je úměrná druhé mocnině amplitudy jeho kmitů.
Když systém projde rovnovážnou polohou, posunutí a potenciální energie jsou nulové: x = 0, E p = 0. Celková energie je tedy rovna kinetické energii:
Celková mechanická energie kmitajícího tělesa je úměrná druhé mocnině jeho rychlosti v rovnovážné poloze. Proto:
MATEMATICKÉ KYVADLO
1. Matematické kyvadlo je hmotný bod zavěšený na beztížné neroztažitelné niti.
V rovnovážné poloze je gravitační síla kompenzována napětím nitě. Pokud se kyvadlo vychýlí a uvolní, síly se přestanou vzájemně kompenzovat a vznikne výsledná síla směřující do rovnovážné polohy. Druhý Newtonův zákon:
U malých kmitů, kdy je posunutí x mnohem menší než l, se hmotný bod bude pohybovat téměř podél horizontální osa X. Pak z trojúhelníku MAB dostaneme:
Protože sin a = x/l, pak se průmět výsledné síly R na osu x rovná
Znaménko mínus ukazuje, že síla R vždy směřuje proti posunutí x.
2. Takže při kmitání matematického kyvadla, stejně jako při kmitání pružinového kyvadla, je vratná síla úměrná posunutí a směřuje opačným směrem.
Porovnejme výrazy pro vratnou sílu matematického a pružinového kyvadla:
Je vidět, že mg/l je analogem k. Nahrazení k za mg/l ve vzorci pro období pružinového kyvadla
získáme vzorec pro periodu matematického kyvadla:
Perioda malých kmitů matematického kyvadla nezávisí na amplitudě.
K měření času a určení gravitačního zrychlení v daném místě zemského povrchu slouží matematické kyvadlo.
Volné kmity matematického kyvadla při malých úhlech vychýlení jsou harmonické. Vznikají v důsledku výsledné gravitační síly a napínací síly nitě a také setrvačnosti zátěže. Výsledkem těchto sil je vratná síla.
Příklad. Určete gravitační zrychlení na planetě, kde kyvadlo dlouhé 6,25 m má periodu volného kmitu 3,14 s.
Doba kmitání matematického kyvadla závisí na délce závitu a gravitačním zrychlení:
Umocněním obou stran rovnosti dostaneme:
Odpovědět: gravitační zrychlení je 25 m/s 2 .
Úkoly a testy na téma "Téma 4. "Mechanika. Oscilace a vlny."
- Příčné a podélné vlny. Vlnová délka
Lekce: 3 Úkoly: 9 Testy: 1
- Zvukové vlny. Rychlost zvuku - Mechanické vibrace a vlny. Zvuk 9. třída
Co je to matematické kyvadlo?
Z předchozích lekcí byste již měli vědět, že kyvadlo zpravidla znamená těleso, které kmitá vlivem gravitační interakce. To znamená, že můžeme říci, že ve fyzice je tento pojem obecně považován za pevné těleso, které pod vlivem gravitace vykonává oscilační pohyby, ke kterým dochází kolem pevného bodu nebo osy.
Princip činnosti matematického kyvadla
Nyní se podíváme na princip fungování matematického kyvadla a zjistíme, co to je.
Princip činnosti matematického kyvadla spočívá v tom, že když se hmotný bod vychýlí z rovnovážné polohy o malý úhel a, tedy úhel, při kterém by byla splněna podmínka sina=a, vznikne síla F = -mgsina = - mga bude působit na tělo.
Ty a já vidíme, že síla F má negativní ukazatel, a z toho vyplývá, že znaménko mínus nám říká, že tato síla směřuje ve směru opačném k posunutí. A protože síla F je úměrná posunutí S, vyplývá z toho, že pod vlivem takové síly bude hmotný bod provádět harmonické kmity.
Vlastnosti kyvadla
Vezmeme-li jakékoli jiné kyvadlo, jeho perioda kmitání závisí na mnoha faktorech. Mezi tyto faktory patří:
Za prvé, velikost a tvar těla;
Za druhé, vzdálenost, která existuje mezi bodem zavěšení a těžištěm;
Za třetí také rozložení tělesné hmotnosti vzhledem k danému bodu.
V souvislosti s těmito různými okolnostmi kyvadel je určení periody závěsného tělesa značně obtížné.
A když si vezmeme matematické kyvadlo, pak má všechny ty vlastnosti, které lze dokázat pomocí známých fyzikální zákony a jeho periodu lze snadno vypočítat pomocí vzorce.
Po provedení mnoha různých pozorování na takových mechanických systémech byli fyzici schopni určit takové vzory jako:
Za prvé, perioda kyvadla nezávisí na hmotnosti břemene. To znamená, že pokud při stejné délce kyvadla zavěsíme závaží, která mají od něj různé hmotnosti, pak bude perioda jejich kmitů stále stejná, i když jejich hmotnosti budou mít docela markantní rozdíly.
Za druhé, pokud při spouštění soustavy vychýlíme kyvadlo o malé, ale různé úhly, pak budou mít jeho kmity stejnou periodu, ale amplitudy budou různé. S malými odchylkami od středu rovnováhy budou mít vibrace ve své formě téměř harmonický charakter. To znamená, že můžeme říci, že perioda takového kyvadla nezávisí na amplitudě kmitů. V překladu z řečtiny se tato vlastnost tohoto mechanického systému nazývá izochronismus, kde „isos“ znamená rovnost a „chronos“ znamená čas.
Praktické využití kmitů kyvadla
Matematické kyvadlo pro různé studie používají fyzici, astronomové, zeměměřiči a další vědci. Pomocí takového kyvadla hledají minerály. Pozorováním zrychlení matematického kyvadla a počítáním počtu jeho kmitů lze nalézt ložiska uhlí a rudy v útrobách naší Země.
K. Flammarion, slavný francouzský astronom a přírodovědec, tvrdil, že pomocí matematického kyvadla se mu podařilo dosáhnout mnoha důležité objevy, včetně objevení se tunguzského meteoritu a objevu nové planety.
V dnešní době mnoho jasnovidců a okultistů používá takový mechanický systém k hledání pohřešovaných lidí a k prorockým předpovědím.
Definice
Matematické kyvadlo- Tento speciální případ fyzické kyvadlo, jehož hmotnost se nachází v jednom bodě.
Typicky se za matematické kyvadlo považuje malá kulička (hmotný bod) o velké hmotnosti, zavěšená na dlouhé neroztažitelné niti (závěs). Jedná se o idealizovaný systém, který osciluje pod vlivem gravitace. Pouze pro úhly řádově 50-100 je matematické kyvadlo harmonickým oscilátorem, to znamená, že provádí harmonické kmity.
Studiem houpání lustru na dlouhém řetězu studoval Galileo vlastnosti matematického kyvadla. Uvědomil si, že doba kmitání daného systému nezávisí na amplitudě při malých úhlech vychýlení.
Vzorec pro periodu kmitání matematického kyvadla
Bod zavěšení kyvadla nechť je stacionární. Zátěž zavěšená na kyvadlovém závitu se pohybuje po kruhovém oblouku (obr. 1(a)) se zrychlením a působí na něj jistá vratná síla ($\overline(F)$). Tato síla se mění s pohybem nákladu. V důsledku toho se výpočet pohybu stává složitým. Uveďme některá zjednodušení. Nechť kyvadlo kmitá ne v rovině, ale popisuje kužel (obr. 1 (b)). V tomto případě se náklad pohybuje po kruhu. Perioda kmitů, které nás zajímají, se bude shodovat s periodou kuželového pohybu zátěže. Doba otáčení kuželového kyvadla po kružnici se rovná době, kterou zatížení stráví na jednu otáčku po kružnici:
kde $L$ je obvod; $v$ je rychlost pohybu nákladu. Pokud jsou úhly odchylky závitu od svislice malé (malé amplitudy vibrací), pak se předpokládá, že vratná síla ($F_1$) směřuje podél poloměru kružnice, kterou zatížení popisuje. Pak se tato síla rovná dostředivé síle:
Uvažujme podobné trojúhelníky: AOB a DBC (obr. 1 (b)).
Přirovnáme pravé strany výrazů (2) a (3), vyjadřujících rychlost pohybu břemene:
\[\frac(mv^2)(R)=mg\frac(R)(l)\ \to v=R\sqrt(\frac(g)(l))\left(4\right).\]
Výslednou rychlost dosadíme do vzorce (1), máme:
\ \
Ze vzorce (5) vidíme, že perioda matematického kyvadla závisí pouze na délce jeho zavěšení (vzdálenost od bodu zavěšení k těžišti břemene) a zrychlení volného pádu. Vzorec (5) pro periodu matematického kyvadla se nazývá Huygensův vzorec, je splněn, když se bod zavěšení kyvadla nepohybuje.
Pomocí závislosti doby kmitání matematického kyvadla na tíhovém zrychlení se určí velikost tohoto zrychlení. Chcete-li to provést, změřte délku kyvadla s ohledem na velký počet kmitů, najděte periodu $T$ a poté vypočítejte gravitační zrychlení.
Příklady problémů s řešením
Příklad 1
Cvičení. Jak je známo, velikost gravitačního zrychlení závisí na zeměpisné šířce. Jaké je gravitační zrychlení v Moskevské šířce, jestliže perioda kmitu matematického kyvadla o délce $l=2,485\cdot (10)^(-1)$m je rovna T=1 s?\textit()
Řešení. Jako základ pro řešení úlohy vezmeme vzorec pro periodu matematického kyvadla:
Vyjádřeme z (1.1) zrychlení volného pádu:
Vypočítejme požadované zrychlení:
Odpovědět.$g=9,81\frac(m)(s^2)$
Příklad 2
Cvičení. Jaká bude perioda kmitu matematického kyvadla, jestliže se bod jeho zavěšení pohybuje svisle dolů 1) s konstantní rychlost? 2) se zrychlením $a$? Délka závitu tohoto kyvadla je $l.$
Řešení. Udělejme nákres.
1) Perioda matematického kyvadla, jehož závěsný bod se pohybuje rovnoměrně, je rovna periodě kyvadla s pevným závěsným bodem:
2) Zrychlení závěsného bodu kyvadla lze považovat za vznik dodatečné síly rovné $F=ma$, která je namířena proti zrychlení. To znamená, že pokud zrychlení směřuje nahoru, pak další síla směřuje dolů, což znamená, že se sčítá s gravitační silou ($mg$). Pokud se závěsný bod pohybuje se zrychlením směrem dolů, pak se dodatečná síla odečte od gravitační síly.
Najdeme periodu matematického kyvadla, které kmitá a jehož závěsný bod se pohybuje se zrychlením jako:
Odpovědět. 1) $T_1=2\pi \sqrt(\frac(l)(g))$; 2) $T_1=2\pi \sqrt(\frac(l)(g-a))$
