મેટ્રિસિસનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણોની સિસ્ટમો ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓ. મેટ્રિક્સ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણોની સિસ્ટમ કેવી રીતે હલ કરવી

સામાન્ય રીતે સમીકરણો, રેખીય બીજગણિત સમીકરણો અને તેમની પ્રણાલીઓ, તેમજ તેમને ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓ, સૈદ્ધાંતિક અને લાગુ બંને રીતે ગણિતમાં વિશેષ સ્થાન ધરાવે છે.

આ એ હકીકતને કારણે છે કે મોટાભાગની ભૌતિક, આર્થિક, તકનીકી અને શિક્ષણશાસ્ત્રની સમસ્યાઓનું વર્ણન અને વિવિધ સમીકરણો અને તેમની સિસ્ટમોનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલી શકાય છે. IN તાજેતરમાંસંશોધકો, વૈજ્ઞાનિકો અને પ્રેક્ટિશનરોમાં ખાસ લોકપ્રિયતા મેળવી છે ગણિત મોડેલિંગલગભગ તમામ વિષય ક્ષેત્રોમાં, જે વિવિધ પ્રકૃતિના પદાર્થોના અભ્યાસ માટેની અન્ય જાણીતી અને સાબિત પદ્ધતિઓ પર તેના સ્પષ્ટ ફાયદા દ્વારા સમજાવવામાં આવે છે, ખાસ કરીને, કહેવાતા જટિલ સિસ્ટમો. માં વૈજ્ઞાનિકો દ્વારા આપવામાં આવેલ ગાણિતિક મોડલની વિવિધ વ્યાખ્યાઓની વિશાળ વિવિધતા છે અલગ અલગ સમય, પરંતુ અમારા મતે, સૌથી સફળ નીચેનું નિવેદન છે. ગાણિતિક મોડેલ- આ એક વિચાર છે, સમીકરણ દ્વારા વ્યક્ત. આમ, સમીકરણો અને તેમની સિસ્ટમો કંપોઝ કરવાની અને ઉકેલવાની ક્ષમતા એ આધુનિક નિષ્ણાતની અભિન્ન લાક્ષણિકતા છે.

રેખીય સિસ્ટમો ઉકેલવા માટે બીજગણિતીય સમીકરણોસૌથી વધુ ઉપયોગમાં લેવાતી પદ્ધતિઓ ક્રેમર, જોર્ડન-ગૌસ અને મેટ્રિક્સ પદ્ધતિ છે.

મેટ્રિક્સ સોલ્યુશન પદ્ધતિ એ વ્યસ્ત મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરીને બિનશૂન્ય નિર્ણાયક સાથે રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની સિસ્ટમોને ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિ છે.

જો આપણે મેટ્રિક્સ A માં અજ્ઞાત જથ્થાઓ xi માટે ગુણાંક લખીએ, વેક્ટર કૉલમ X માં અજાણ્યા જથ્થાઓ અને વેક્ટર કૉલમ B માં મુક્ત શબ્દો એકત્રિત કરીએ, તો રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની સિસ્ટમના સ્વરૂપમાં લખી શકાય છે. નીચેના મેટ્રિક્સ સમીકરણ A · X = B, જે માત્ર ત્યારે જ અનન્ય ઉકેલ ધરાવે છે જ્યારે મેટ્રિક્સ A નો નિર્ણાયક શૂન્યની બરાબર ન હોય. આ કિસ્સામાં, સમીકરણોની સિસ્ટમનો ઉકેલ નીચેની રીતે શોધી શકાય છે એક્સ = એ-1 · બી, ક્યાં એ -1 - વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ.

મેટ્રિક્સ સોલ્યુશન પદ્ધતિ નીચે મુજબ છે.

તંત્રને આપવા દો રેખીય સમીકરણોસાથે nઅજ્ઞાત:

તે મેટ્રિક્સ સ્વરૂપમાં ફરીથી લખી શકાય છે: AX = બી, ક્યાં એ- સિસ્ટમનું મુખ્ય મેટ્રિક્સ, બીઅને એક્સ- અનુક્રમે સિસ્ટમની મફત શરતો અને ઉકેલોની કૉલમ:

ચાલો આનો ગુણાકાર કરીએ મેટ્રિક્સ સમીકરણબાકી એ-1 - મેટ્રિક્સનો મેટ્રિક્સ વ્યસ્ત એ: એ -1 (AX) = એ -1 બી

કારણ કે એ -1 એ = ઇ, અમને મળે છે એક્સ= એ -1 બી. જમણો ભાગઆ સમીકરણ મૂળ સિસ્ટમના ઉકેલોની કોલમ આપશે. લાગુ પડવાની શરત આ પદ્ધતિ(સાથે સાથે સામાન્ય રીતે ઉકેલનું અસ્તિત્વ સજાતીય સિસ્ટમઅજ્ઞાતની સંખ્યા સમાન સમીકરણોની સંખ્યા સાથે રેખીય સમીકરણો) મેટ્રિક્સની બિન-અધોગતિ છે એ. જરૂરી અને પૂરતી સ્થિતિઆનો અર્થ એ છે કે મેટ્રિક્સનો નિર્ણાયક શૂન્ય સમાન નથી એ:det એ≠ 0.

રેખીય સમીકરણોની સજાતીય સિસ્ટમ માટે, એટલે કે જ્યારે વેક્ટર બી = 0 , ખરેખર વિપરીત નિયમ: સિસ્ટમ AX = 0 પાસે બિન-તુચ્છ (એટલે ​​​​કે, શૂન્ય સિવાયનું) સોલ્યુશન હોય તો જ det એ= 0. રેખીય સમીકરણોની સજાતીય અને અસંગત પ્રણાલીઓના ઉકેલો વચ્ચેના આવા જોડાણને ફ્રેડહોમ વૈકલ્પિક કહેવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની અસંગત પ્રણાલીના ઉકેલો.

ચાલો ખાતરી કરીએ કે રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની સિસ્ટમના અજાણ્યા ગુણાંકથી બનેલા મેટ્રિક્સનો નિર્ણાયક શૂન્યની બરાબર નથી.

આગળનું પગલું ગણતરી કરવાનું છે બીજગણિત ઉમેરાઓઅજ્ઞાતના ગુણાંક ધરાવતા મેટ્રિક્સના ઘટકો માટે. વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ શોધવા માટે તેમની જરૂર પડશે.

(ક્યારેક આ પદ્ધતિને પણ કહેવામાં આવે છે મેટ્રિક્સ પદ્ધતિઅથવા વિપરિત મેટ્રિક્સ પદ્ધતિ) માટે SLAE ના નોટેશનના મેટ્રિક્સ સ્વરૂપ જેવા ખ્યાલ સાથે પ્રારંભિક પરિચયની જરૂર છે. વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ પદ્ધતિ રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની તે સિસ્ટમોને ઉકેલવા માટે બનાવાયેલ છે જેમાં સિસ્ટમ મેટ્રિક્સનો નિર્ધારક શૂન્યથી અલગ છે. સ્વાભાવિક રીતે, આ ધારે છે કે સિસ્ટમનું મેટ્રિક્સ ચોરસ છે (નિર્ધારકનો ખ્યાલ ફક્ત ચોરસ મેટ્રિસિસ માટે જ અસ્તિત્વમાં છે). વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ પદ્ધતિનો સાર ત્રણ બિંદુઓમાં વ્યક્ત કરી શકાય છે:

1. ત્રણ મેટ્રિક્સ લખો: સિસ્ટમ મેટ્રિક્સ $A$, અજ્ઞાતનું મેટ્રિક્સ $X$, મફત શબ્દોનું મેટ્રિક્સ $B$.
2. વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ $A^(-1)$ શોધો.
3. સમાનતા $X=A^(-1)\cdot B$ નો ઉપયોગ કરીને, આપેલ SLAE નો ઉકેલ મેળવો.

કોઈપણ SLAE ને મેટ્રિક્સ સ્વરૂપમાં $A\cdot X=B$ તરીકે લખી શકાય છે, જ્યાં $A$ એ સિસ્ટમનું મેટ્રિક્સ છે, $B$ એ ફ્રી ટર્મ્સનું મેટ્રિક્સ છે, $X$ એ અજાણ્યાઓનું મેટ્રિક્સ છે. મેટ્રિક્સ $A^(-1)$ ને અસ્તિત્વમાં રહેવા દો. ચાલો સમાનતાની બંને બાજુએ $A\cdot X=B$ ને ડાબી બાજુના મેટ્રિક્સ $A^(-1)$ વડે ગુણાકાર કરીએ:

$$A^(-1)\cdot A\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$

કારણ કે $A^(-1)\cdot A=E$ ($E$ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે), ઉપર લખેલી સમાનતા બને છે:

$$E\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$

$E\cdot X=X$ થી, પછી:

$$X=A^(-1)\cdot B.$$

ઉદાહરણ નંબર 1

વ્યસ્ત મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરીને SLAE $ \left \( \begin(aligned) & -5x_1+7x_2=29;\\ & 9x_1+8x_2=-11. \end(aligned) \right.$ ઉકેલો.

$$ A=\left(\begin(array) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(array)\right);\; B=\left(\begin(array) (c) 29\\ -11 \end(array)\right);\; X=\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(એરે)\જમણે). $$

ચાલો સિસ્ટમ મેટ્રિક્સમાં વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ શોધીએ, એટલે કે. ચાલો $A^(-1)$ ની ગણતરી કરીએ. ઉદાહરણ તરીકે નંબર 2

$$ A^(-1)=-\frac(1)(103)\cdot\left(\begin(array)(cc) 8 & -7\\ -9 & -5\end(એરે)\જમણે) . $$

હવે ચાલો ત્રણેય મેટ્રિસિસ ($X$, $A^(-1)$, $B$) ને સમાનતા $X=A^(-1)\cdot B$ માં બદલીએ. પછી અમે મેટ્રિક્સ ગુણાકાર કરીએ છીએ

$$ \left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right)= -\frac(1)(103)\cdot\left(\begin(array)(cc) 8 & -7\\ -9 અને -5\end(એરે)\જમણે)\cdot \left(\begin(array) (c) 29\\ -11 \end(array)\right)=\\ =-\frac (1)(103)\cdot \left(\begin(array) (c) 8\cdot 29+(-7)\cdot (-11)\\ -9\cdot 29+(-5)\cdot (- 11) \end(એરે)\right)= -\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (c) 309\\ -206 \end(array)\right)=\left( \begin(એરે) (c) -3\\ 2\end(એરે)\જમણે). $$

તેથી, અમને સમાનતા મળી $\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right)=\left(\begin(array) (c) -3\\ 2\end( એરે )\જમણે)$. આ સમાનતામાંથી આપણી પાસે છે: $x_1=-3$, $x_2=2$.

જવાબ આપો: $x_1=-3$, $x_2=2$.

ઉદાહરણ નંબર 2

SLAE $ \left\(\begin(aligned) & x_1+7x_2+3x_3=-1;\\ & -4x_1+9x_2+4x_3=0;\\ & 3x_2+2x_3=6 ઉકેલો. \end(સંરેખિત)\જમણે .$ વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને.

ચાલો સિસ્ટમનું મેટ્રિક્સ $A$, મફત શબ્દોનું મેટ્રિક્સ $B$ અને અજાણ્યાનું મેટ્રિક્સ $X$ લખીએ.

$$ A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3\\ -4 & 9 & 4 \\0 & 3 & 2\end(એરે)\right);\; B=\left(\begin(array) (c) -1\\0\\6\end(એરે)\જમણે);\; X=\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(એરે)\જમણે). $$

હવે સિસ્ટમ મેટ્રિક્સમાં વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ શોધવાનો વારો છે, એટલે કે. $A^(-1)$ શોધો. દાખલા નંબર 3 માં વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ શોધવા માટે સમર્પિત પૃષ્ઠ પર, વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ પહેલેથી જ મળી આવ્યું છે. ચાલો તૈયાર પરિણામનો ઉપયોગ કરીએ અને $A^(-1)$ લખીએ:

$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 અને 37\અંત(એરે)\જમણે). $$

હવે ચાલો ત્રણેય મેટ્રિક્સ ($X$, $A^(-1)$, $B$) ને સમાનતામાં બદલીએ $X=A^(-1)\cdot B$, અને પછી જમણી બાજુએ મેટ્રિક્સ ગુણાકાર કરીએ આ સમાનતા.

$$ \left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(એરે)\right)= \frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 અને -5 અને 1 \\ 8 અને 2 અને -16 \\ -12 અને -3 અને 37\અંત(એરે) \જમણે)\cdot \left(\begin(array) (c) -1\\0\ \6\end(એરે)\જમણે)=\\ =\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (c) 6\cdot(-1)+(-5)\cdot 0 +1\cdot 6 \\ 8\cdot (-1)+2\cdot 0+(-16)\cdot 6 \\ -12\cdot (-1)+(-3)\cdot 0+37\cdot 6 \end(એરે)\જમણે)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (c) 0\\-104\\234\end(એરે)\right)=\left( \begin(એરે) (c) 0\\-4\\9\end(એરે)\જમણે) $$

તેથી, અમને સમાનતા મળી $\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(એરે)\right)=\left(\begin(array) (c) 0\\-4 \ \9\અંત(એરે)\જમણે)$. આ સમાનતામાંથી આપણી પાસે છે: $x_1=0$, $x_2=-4$, $x_3=9$.

ચાલો વિચાર કરીએ રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની સિસ્ટમ(SLAU) પ્રમાણમાં nઅજ્ઞાત x 1 , x 2 , ..., x n :

"સંકુચિત" સ્વરૂપમાં આ સિસ્ટમ નીચે પ્રમાણે લખી શકાય છે:

એસ n i=1 a ij x j = b i , i=1,2, ..., n.

મેટ્રિક્સ ગુણાકારના નિયમ અનુસાર, રેખીય સમીકરણોની માનવામાં આવતી સિસ્ટમ આમાં લખી શકાય છે મેટ્રિક્સ ફોર્મ કુહાડી=b, ક્યાં

, ,.

મેટ્રિક્સ એ, જેનાં સ્તંભો અનુરૂપ અજ્ઞાત માટે ગુણાંક છે, અને પંક્તિઓ અનુરૂપ સમીકરણમાં અજ્ઞાત માટે ગુણાંક છે તેને કહેવાય છે. સિસ્ટમનું મેટ્રિક્સ. કૉલમ મેટ્રિક્સ b, જે તત્વો સિસ્ટમના સમીકરણોની જમણી બાજુ છે, તેને જમણી બાજુનું મેટ્રિક્સ કહેવામાં આવે છે અથવા ફક્ત સિસ્ટમની જમણી બાજુ. કૉલમ મેટ્રિક્સ x , જેના તત્વો અજ્ઞાત અજ્ઞાત છે, કહેવાય છે સિસ્ટમ સોલ્યુશન.

ફોર્મમાં લખેલ રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની સિસ્ટમ કુહાડી=b, છે મેટ્રિક્સ સમીકરણ.

જો સિસ્ટમ મેટ્રિક્સ બિન-અધોગતિ, પછી તેની પાસે વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ છે અને પછી સિસ્ટમનો ઉકેલ છે કુહાડી=bસૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:

x=A -1 b.

ઉદાહરણસિસ્ટમ ઉકેલો મેટ્રિક્સ પદ્ધતિ.

ઉકેલચાલો સિસ્ટમના ગુણાંક મેટ્રિક્સ માટે વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ શોધીએ

ચાલો પ્રથમ લીટી સાથે વિસ્તરણ કરીને નિર્ણાયકની ગણતરી કરીએ:

કારણ કે Δ ≠ 0 , તે એ -1 અસ્તિત્વમાં છે.

વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ યોગ્ય રીતે મળી આવ્યું હતું.

ચાલો સિસ્ટમનો ઉકેલ શોધીએ

આથી, x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3 .

પરીક્ષા:

7. રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની સિસ્ટમની સુસંગતતા પર ક્રોનેકર-કેપેલી પ્રમેય.

રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમફોર્મ ધરાવે છે:

a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2, (5.1)

a m1 x 1 + a m1 x 2 +... + a mn x n = b m.

અહીં a i j અને b i ( i = ; j = ) આપેલ છે, અને x j અજાણી વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે. મેટ્રિસીસના ઉત્પાદનની વિભાવનાનો ઉપયોગ કરીને, આપણે સિસ્ટમ (5.1) ને ફોર્મમાં ફરીથી લખી શકીએ છીએ:

જ્યાં A = (a i j) એ અજ્ઞાત સિસ્ટમ (5.1) માટે ગુણાંક ધરાવતું મેટ્રિક્સ છે, જેને કહેવામાં આવે છે સિસ્ટમનું મેટ્રિક્સ, X = (x 1 , x 2 ,..., x n) T , B = (b 1 , b 2 ,..., b m) T એ અનુક્રમે અજાણ્યા x j અને મુક્ત શબ્દો b i થી બનેલા કૉલમ વેક્ટર છે.

ઓર્ડર કરેલ સંગ્રહ nવાસ્તવિક સંખ્યાઓ (c 1, c 2,..., c n) કહેવાય છે સિસ્ટમ સોલ્યુશન(5.1), જો અનુરૂપ ચલ x 1, x 2,..., x n ને બદલે આ સંખ્યાઓને બદલવાના પરિણામે, સિસ્ટમનું દરેક સમીકરણ અંકગણિત ઓળખમાં ફેરવાય છે; બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, જો ત્યાં વેક્ટર C= (c 1 , c 2 ,..., c n) T હોય તો AC  B.

સિસ્ટમ (5.1) કહેવાય છે સંયુક્તઅથવા ઉકેલી શકાય તેવું,જો તેની પાસે ઓછામાં ઓછો એક ઉકેલ છે. સિસ્ટમ કહેવાય છે અસંગત,અથવા વણઉકેલાયેલ, જો તેની પાસે કોઈ ઉકેલો નથી.

,

જમણી બાજુના મેટ્રિક્સ A ને મફત શબ્દોની કૉલમ સોંપીને રચાયેલ કહેવાય છે સિસ્ટમનું વિસ્તૃત મેટ્રિક્સ.

સિસ્ટમની સુસંગતતાનો પ્રશ્ન (5.1) નીચેના પ્રમેય દ્વારા હલ થાય છે.

ક્રોનેકર-કેપેલી પ્રમેય . રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ સુસંગત છે જો અને માત્ર જો મેટ્રિસિસ A અને A ની રેન્ક એકરૂપ થાય, એટલે કે. r(A) = r(A) = r.

સિસ્ટમ (5.1) ના ઉકેલોના સમૂહ M માટે ત્રણ શક્યતાઓ છે:

1) M =  (આ કિસ્સામાં સિસ્ટમ અસંગત છે);

2) M એક તત્વ ધરાવે છે, એટલે કે. સિસ્ટમ પાસે એક અનન્ય ઉકેલ છે (આ કિસ્સામાં સિસ્ટમ કહેવામાં આવે છે ચોક્કસ);

3) M એક કરતાં વધુ તત્વ ધરાવે છે (પછી સિસ્ટમ કહેવામાં આવે છે અનિશ્ચિત). ત્રીજા કિસ્સામાં, સિસ્ટમ (5.1) પાસે અસંખ્ય ઉકેલો છે.

જો r(A) = n હોય તો જ સિસ્ટમ પાસે અનન્ય ઉકેલ છે. આ કિસ્સામાં, સમીકરણોની સંખ્યા અજાણ્યાઓની સંખ્યા (mn) કરતાં ઓછી નથી; જો m>n, તો m-n સમીકરણોઅન્યના પરિણામો છે. જો 0

રેખીય સમીકરણોની મનસ્વી પ્રણાલીને ઉકેલવા માટે, તમારે એવી પ્રણાલીઓને હલ કરવામાં સક્ષમ બનવાની જરૂર છે જેમાં સમીકરણોની સંખ્યા અજાણ્યાઓની સંખ્યા જેટલી હોય છે - કહેવાતા ક્રેમર પ્રકારની સિસ્ટમો:

a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1,

a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2, (5.3)

... ... ... ... ... ...

a n1 x 1 + a n1 x 2 +... + a nn x n = b n .

સિસ્ટમ્સ (5.3) નીચેનામાંથી એક રીતે ઉકેલવામાં આવે છે: 1) ગૌસ પદ્ધતિ, અથવા અજાણ્યાઓને દૂર કરવાની પદ્ધતિ; 2) ક્રેમરના સૂત્રો અનુસાર; 3) મેટ્રિક્સ પદ્ધતિ.

ઉદાહરણ 2.12. સમીકરણોની સિસ્ટમનું અન્વેષણ કરો અને જો તે સુસંગત હોય તો તેને હલ કરો:

5x 1 - x 2 + 2x 3 + x 4 = 7,

2x 1 + x 2 + 4x 3 - 2x 4 = 1,

x 1 - 3x 2 - 6x 3 + 5x 4 = 0.

ઉકેલ.અમે સિસ્ટમનું વિસ્તૃત મેટ્રિક્સ લખીએ છીએ:

 .

ચાલો સિસ્ટમના મુખ્ય મેટ્રિક્સના ક્રમની ગણતરી કરીએ. તે સ્પષ્ટ છે કે, ઉદાહરણ તરીકે, ઉપરના ડાબા ખૂણામાં બીજા-ક્રમના નાના = 7  0; તેમાં રહેલા ત્રીજા ક્રમના સગીર શૂન્યના બરાબર છે:

પરિણામે, સિસ્ટમના મુખ્ય મેટ્રિક્સનો ક્રમ 2 છે, એટલે કે. r(A) = 2. વિસ્તૃત મેટ્રિક્સ A ના ક્રમની ગણતરી કરવા માટે, કિનારી નાનાને ધ્યાનમાં લો

આનો અર્થ છે કે વિસ્તૃત મેટ્રિક્સ r(A) = 3. r(A)  r(A) હોવાથી, સિસ્ટમ અસંગત છે.

વિષય 2. રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની સિસ્ટમ્સ.

મૂળભૂત ખ્યાલો.

વ્યાખ્યા 1. સિસ્ટમ mસાથે રેખીય સમીકરણો nઅજ્ઞાત એ ફોર્મની સિસ્ટમ છે:

ક્યાં અને નંબરો છે.

વ્યાખ્યા 2. સિસ્ટમનો ઉકેલ (I) એ અજાણ્યાઓનો સમૂહ છે જેમાં આ સિસ્ટમનું દરેક સમીકરણ એક ઓળખ બની જાય છે.

વ્યાખ્યા 3. સિસ્ટમ (I) કહેવાય છે સંયુક્ત, જો તેની પાસે ઓછામાં ઓછું એક ઉકેલ છે અને બિન-સંયુક્ત, જો તેની પાસે કોઈ ઉકેલો નથી. સંયુક્ત સિસ્ટમ કહેવામાં આવે છે ચોક્કસ, જો તેની પાસે અનન્ય ઉકેલ છે, અને અનિશ્ચિતઅન્યથા.

વ્યાખ્યા 4. ફોર્મનું સમીકરણ

કહેવાય છે શૂન્ય, અને સમીકરણ સ્વરૂપનું છે

કહેવાય છે અસંગત. દેખીતી રીતે, અસંગત સમીકરણ ધરાવતી સમીકરણોની સિસ્ટમ અસંગત છે.

વ્યાખ્યા 5. રેખીય સમીકરણોની બે સિસ્ટમો કહેવામાં આવે છે સમકક્ષ, જો એક સિસ્ટમનું દરેક સોલ્યુશન બીજી સિસ્ટમના સોલ્યુશન તરીકે કામ કરે છે અને તેનાથી વિપરીત, બીજી સિસ્ટમનું દરેક સોલ્યુશન પ્રથમ માટેનું સોલ્યુશન છે.

રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમનું મેટ્રિક્સ પ્રતિનિધિત્વ.

ચાલો સિસ્ટમ (I) ને ધ્યાનમાં લઈએ (જુઓ §1).

ચાલો સૂચિત કરીએ:

અજાણ્યાઓ માટે ગુણાંક મેટ્રિક્સ

મેટ્રિક્સ - મફત શરતોની કૉલમ

મેટ્રિક્સ - અજાણ્યાઓની કૉલમ

.

વ્યાખ્યા 1.મેટ્રિક્સ કહેવાય છે સિસ્ટમનું મુખ્ય મેટ્રિક્સ(I), અને મેટ્રિક્સ એ સિસ્ટમ (I) નું વિસ્તૃત મેટ્રિક્સ છે.

મેટ્રિક્સની સમાનતાની વ્યાખ્યા દ્વારા, સિસ્ટમ (I) મેટ્રિક્સ સમાનતાને અનુરૂપ છે:

.

મેટ્રિસિસના ઉત્પાદનની વ્યાખ્યા દ્વારા આ સમાનતાની જમણી બાજુ ( વ્યાખ્યા જુઓ 3 § 5 પ્રકરણ 1) પરિબળ કરી શકાય છે:

, એટલે કે

સમાનતા (2) કહેવાય છે મેટ્રિક્સ નોટેશન ઓફ સિસ્ટમ (I).

ક્રેમરની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલવી.

સિસ્ટમમાં આવવા દો (I) (જુઓ §1) m=n, એટલે કે સમીકરણોની સંખ્યા અજાણ્યાઓની સંખ્યા જેટલી છે, અને સિસ્ટમનું મુખ્ય મેટ્રિક્સ બિન-એકવચન છે, એટલે કે. . પછી §1 માંથી સિસ્ટમ (I) પાસે અનન્ય ઉકેલ છે

જ્યાં Δ = det Aમુખ્ય કહેવાય છે સિસ્ટમનો નિર્ધારક(I), Δ iનિર્ધારક Δ થી બદલીને મેળવવામાં આવે છે iસિસ્ટમ (I) ના મુક્ત સભ્યોના કૉલમથી મી કૉલમ.

ઉદાહરણ: ક્રેમરની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સિસ્ટમ ઉકેલો:

.

સૂત્રો દ્વારા (3) .

અમે સિસ્ટમના નિર્ધારકોની ગણતરી કરીએ છીએ:

,

,

.

નિર્ણાયક મેળવવા માટે, અમે નિર્ણાયકની પ્રથમ કૉલમને મુક્ત શરતોની કૉલમ સાથે બદલી છે; નિર્ણાયકમાં 2જી કૉલમને ફ્રી ટર્મ્સની કૉલમ સાથે બદલીને, આપણને મળે છે; તેવી જ રીતે, નિર્ણાયકમાં 3જી કૉલમને ફ્રી ટર્મ્સના કૉલમ સાથે બદલીને, આપણને મળે છે. સિસ્ટમ સોલ્યુશન:

વ્યસ્ત મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરીને રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમો ઉકેલવી.

સિસ્ટમમાં આવવા દો (I) (જુઓ §1) m=nઅને સિસ્ટમનું મુખ્ય મેટ્રિક્સ બિન-એકવચન છે. ચાલો મેટ્રિક્સ સ્વરૂપમાં સિસ્ટમ (I) લખીએ ( §2 જુઓ):

કારણ કે મેટ્રિક્સ એબિન-એકવચન, તો તેની પાસે વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ છે ( પ્રકરણ 1 નું પ્રમેય 1 §6 જુઓ). ચાલો સમાનતાની બંને બાજુઓને ગુણાકાર કરીએ (2) મેટ્રિક્સ માટે, પછી

વ્યસ્ત મેટ્રિક્સની વ્યાખ્યા દ્વારા. સમાનતા થી (3) અમારી પાસે

વ્યસ્ત મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરીને સિસ્ટમ ઉકેલો

.

ચાલો સૂચિત કરીએ

ઉદાહરણ તરીકે (§ 3) અમે નિર્ણાયકની ગણતરી કરી, તેથી, મેટ્રિક્સ એવ્યસ્ત મેટ્રિક્સ ધરાવે છે. પછી અસરમાં (4) , એટલે કે

. (5)

ચાલો મેટ્રિક્સ શોધીએ ( §6 પ્રકરણ 1 જુઓ)

, , ,

, , ,

,

.

ગૌસ પદ્ધતિ.

રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ આપવા દો:

. (હું)

સિસ્ટમ (I) ના તમામ ઉકેલો શોધવા અથવા સિસ્ટમ અસંગત છે તેની ખાતરી કરવી જરૂરી છે.

વ્યાખ્યા 1.ચાલો આપણે સિસ્ટમનું પ્રાથમિક પરિવર્તન કહીએ(I) ત્રણમાંથી કોઈપણ ક્રિયા:

1) શૂન્ય સમીકરણ પાર કરવું;

2) સમીકરણની બંને બાજુએ બીજા સમીકરણના અનુરૂપ ભાગો ઉમેરીને, સંખ્યા l વડે ગુણાકાર;

3) સિસ્ટમના સમીકરણોમાં શબ્દોની અદલાબદલી કરવી જેથી તમામ સમીકરણોમાં સમાન સંખ્યાઓ સાથે અજાણ્યાઓ સમાન સ્થાનો પર કબજો કરી શકે, એટલે કે. જો, ઉદાહરણ તરીકે, 1લા સમીકરણમાં આપણે 2જી અને 3જી શરતો બદલી છે, તો તે જ સિસ્ટમના તમામ સમીકરણોમાં થવું જોઈએ.

ગૌસ પદ્ધતિ એ હકીકતમાં સમાવિષ્ટ છે કે પ્રાથમિક પરિવર્તનની મદદથી સિસ્ટમ (I) ને સમકક્ષ સિસ્ટમમાં ઘટાડવામાં આવે છે, જેનો ઉકેલ સીધો મળી આવે છે અથવા તેની વણઉકેલાયેલીતા સ્થાપિત થાય છે.

§2 માં વર્ણવ્યા મુજબ, સિસ્ટમ (I) તેના વિસ્તૃત મેટ્રિક્સ દ્વારા વિશિષ્ટ રીતે નક્કી કરવામાં આવે છે અને સિસ્ટમ (I) નું કોઈપણ પ્રાથમિક પરિવર્તન વિસ્તૃત મેટ્રિક્સના પ્રારંભિક રૂપાંતરને અનુરૂપ છે:

.

રૂપાંતરણ 1) મેટ્રિક્સમાં શૂન્ય પંક્તિને કાઢી નાખવાને અનુરૂપ છે, રૂપાંતરણ 2) મેટ્રિક્સની અનુરૂપ પંક્તિમાં બીજી પંક્તિ ઉમેરવાની સમકક્ષ છે, સંખ્યા l વડે ગુણાકાર કરવામાં આવે છે, રૂપાંતરણ 3) મેટ્રિક્સમાં કૉલમને ફરીથી ગોઠવવા માટે સમકક્ષ છે.

તે જોવાનું સરળ છે કે તેનાથી વિપરીત, મેટ્રિક્સનું દરેક પ્રાથમિક રૂપાંતર સિસ્ટમ (I) ના પ્રાથમિક પરિવર્તનને અનુરૂપ છે. ઉપરોક્ત કારણે, સિસ્ટમ (I) સાથેની કામગીરીને બદલે, અમે આ સિસ્ટમના વિસ્તૃત મેટ્રિક્સ સાથે કામ કરીશું.

મેટ્રિક્સમાં, 1લી કૉલમ માટે ગુણાંકનો સમાવેશ થાય છે x 1, 2જી કૉલમ - માટેના ગુણાંકમાંથી x 2વગેરે જો કૉલમ ફરીથી ગોઠવવામાં આવે, તો તે ધ્યાનમાં લેવું જોઈએ કે આ સ્થિતિનું ઉલ્લંઘન થયું છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો આપણે 1લી અને 2જી કૉલમને અદલાબદલી કરીએ, તો હવે 1લી કૉલમમાં માટે ગુણાંક હશે. x 2, અને 2જી કૉલમમાં - માટે ગુણાંક x 1.

અમે ગૌસીયન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સિસ્ટમ (I) ઉકેલીશું.

1. મેટ્રિક્સમાં તમામ શૂન્ય પંક્તિઓને પાર કરો, જો કોઈ હોય તો (એટલે ​​​​કે, સિસ્ટમ (I) માં તમામ શૂન્ય સમીકરણોને પાર કરો.

2. ચાલો તપાસીએ કે મેટ્રિક્સની પંક્તિઓ વચ્ચે એક એવી પંક્તિ છે કે જેમાં છેલ્લા એક સિવાયના તમામ ઘટકો શૂન્ય સમાન છે (ચાલો આવી પંક્તિને અસંગત કહીએ). દેખીતી રીતે, આવી રેખા સિસ્ટમ (I) માં અસંગત સમીકરણને અનુરૂપ છે, તેથી, સિસ્ટમ (I) પાસે કોઈ ઉકેલ નથી અને અહીં પ્રક્રિયા સમાપ્ત થાય છે.

3. મેટ્રિક્સમાં અસંગત પંક્તિઓ ન હોવા દો (સિસ્ટમ (I) અસંગત સમીકરણો ધરાવતું નથી). જો a 11 =0, પછી આપણે 1લી પંક્તિમાં શૂન્ય સિવાયના કેટલાક તત્વ (છેલ્લા એક સિવાય) શોધીએ છીએ અને કૉલમને ફરીથી ગોઠવીએ છીએ જેથી 1લી પંક્તિમાં 1લી જગ્યાએ કોઈ શૂન્ય ન હોય. હવે આપણે ધારીશું કે (એટલે ​​​​કે, આપણે સિસ્ટમ (I) ના સમીકરણોમાં અનુરૂપ શબ્દોની અદલાબદલી કરીશું).

4. 1લી લીટીને વડે ગુણાકાર કરો અને 2જી લીટી સાથે પરિણામ ઉમેરો, પછી 1લી લીટીને વડે ગુણાકાર કરો અને 3જી લીટી સાથે પરિણામ ઉમેરો, વગેરે. દેખીતી રીતે, આ પ્રક્રિયા અજાણ્યાને દૂર કરવા સમાન છે x 1સિસ્ટમ (I) ના તમામ સમીકરણોમાંથી, 1 લી સિવાય. નવા મેટ્રિક્સમાં આપણને એલિમેન્ટ હેઠળ 1લી કોલમમાં શૂન્ય મળે છે a 11:

.

5. ચાલો મેટ્રિક્સમાં બધી શૂન્ય પંક્તિઓ પાર કરીએ, જો કોઈ હોય તો, અને તપાસો કે શું કોઈ અસંગત પંક્તિ છે (જો ત્યાં એક છે, તો સિસ્ટમ અસંગત છે અને ઉકેલ ત્યાં સમાપ્ત થાય છે). ચાલો તપાસ કરીએ કે ત્યાં હશે a 22 / =0, જો હા, તો આપણે 2જી પંક્તિમાં શૂન્ય સિવાયનું એક ઘટક શોધીએ છીએ અને કૉલમને ફરીથી ગોઠવીએ છીએ જેથી કરીને. આગળ, 2જી પંક્તિના તત્વોને વડે ગુણાકાર કરો અને 3જી લીટીના અનુરૂપ તત્વો સાથે ઉમેરો, પછી - 2જી લીટીના તત્વો અને 4થી લીટીના અનુરૂપ તત્વો સાથે ઉમેરો, વગેરે, જ્યાં સુધી આપણે નીચે શૂન્ય ન મેળવીએ એક 22/

.

લેવાયેલી ક્રિયાઓ અજાણ્યાને દૂર કરવા સમાન છે x 2સિસ્ટમ (I) ના તમામ સમીકરણોમાંથી, 1 લી અને 2 જી સિવાય. પંક્તિઓની સંખ્યા મર્યાદિત હોવાથી, તેથી પગલાંઓની મર્યાદિત સંખ્યા પછી આપણે મેળવીએ છીએ કે સિસ્ટમ અસંગત છે, અથવા આપણે સ્ટેપ મેટ્રિક્સ સાથે સમાપ્ત થઈએ છીએ ( વ્યાખ્યા 2 §7 પ્રકરણ 1 જુઓ) :

,

ચાલો મેટ્રિક્સને અનુરૂપ સમીકરણોની સિસ્ટમ લખીએ. આ સિસ્ટમ સિસ્ટમ (I) ની સમકક્ષ છે

.

છેલ્લા સમીકરણમાંથી આપણે વ્યક્ત કરીએ છીએ; અગાઉના સમીકરણમાં બદલો, શોધો, વગેરે, જ્યાં સુધી આપણે મેળવીએ નહીં.

નોંધ 1.આમ, ગૌસીયન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સિસ્ટમ (I) ઉકેલતી વખતે, અમે નીચેનામાંથી એક કેસ પર પહોંચીએ છીએ.

1. સિસ્ટમ (I) અસંગત છે.

2. જો મેટ્રિક્સમાં પંક્તિઓની સંખ્યા અજાણ્યા () ની સંખ્યા જેટલી હોય તો સિસ્ટમ (I) પાસે એક અનન્ય ઉકેલ છે.

3. જો મેટ્રિક્સમાં પંક્તિઓની સંખ્યા અજાણ્યા () ની સંખ્યા કરતા ઓછી હોય તો સિસ્ટમ (I) પાસે અનંત સંખ્યામાં ઉકેલો છે.

તેથી નીચેનું પ્રમેય ધરાવે છે.

પ્રમેય.રેખીય સમીકરણોની પ્રણાલી કાં તો અસંગત હોય છે, તેમાં અનન્ય ઉકેલ હોય છે અથવા અસંખ્ય ઉકેલો હોય છે.

ઉદાહરણો. ગૌસ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો અથવા તેની અસંગતતા સાબિત કરો:

b) ;

a) ચાલો આપેલ સિસ્ટમને ફોર્મમાં ફરીથી લખીએ:

.

અમે ગણતરીઓને સરળ બનાવવા માટે મૂળ સિસ્ટમના 1લા અને 2જા સમીકરણોની અદલાબદલી કરી છે (અપૂર્ણાંકને બદલે, અમે આ પુન: ગોઠવણીનો ઉપયોગ કરીને ફક્ત પૂર્ણાંકો સાથે જ કાર્ય કરીશું).

ચાલો એક વિસ્તૃત મેટ્રિક્સ બનાવીએ:

.

ત્યાં કોઈ શૂન્ય રેખાઓ નથી; ત્યાં કોઈ અસંગત રેખાઓ નથી, ; ચાલો 1 લી સિવાયના સિસ્ટમના તમામ સમીકરણોમાંથી 1લા અજ્ઞાતને બાકાત કરીએ. આ કરવા માટે, મેટ્રિક્સની 1લી પંક્તિના ઘટકોને “-2” વડે ગુણાકાર કરો અને તેમને 2જી પંક્તિના અનુરૂપ ઘટકો સાથે ઉમેરો, જે 1લા સમીકરણને “-2” વડે ગુણાકાર કરવા અને તેને 2જી સાથે ઉમેરવા સમાન છે. સમીકરણ પછી આપણે 1લી લીટીના તત્વોને “-3” વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ અને તેમને ત્રીજી લીટીના અનુરૂપ તત્વો સાથે ઉમેરીએ છીએ, એટલે કે. આપેલ સિસ્ટમના 2જા સમીકરણને “-3” વડે ગુણાકાર કરો અને તેને 3જા સમીકરણમાં ઉમેરો. અમને મળે છે

.

મેટ્રિક્સ સમીકરણોની સિસ્ટમને અનુરૂપ છે). - (પ્રકરણ 1 ની વ્યાખ્યા 3§7 જુઓ).

વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ પદ્ધતિ એ એક ખાસ કેસ છે મેટ્રિક્સ સમીકરણ

મેટ્રિક્સ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સિસ્ટમ ઉકેલો

ઉકેલ: અમે સિસ્ટમને મેટ્રિક્સ સ્વરૂપમાં લખીએ છીએ અમે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને સિસ્ટમનો ઉકેલ શોધીએ છીએ (છેલ્લું સૂત્ર જુઓ)

આપણે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ શોધીએ છીએ:
, મેટ્રિક્સના અનુરૂપ તત્વોના બીજગણિતીય પૂરકનું સ્થાનાંતરિત મેટ્રિક્સ ક્યાં છે.

પ્રથમ, ચાલો નિર્ણાયક જોઈએ:

અહીં નિર્ણાયક પ્રથમ લીટી પર વિસ્તૃત છે.

ધ્યાન આપો! જો, તો વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ અસ્તિત્વમાં નથી, અને મેટ્રિક્સ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સિસ્ટમને હલ કરવી અશક્ય છે. આ કિસ્સામાં, સિસ્ટમ અજ્ઞાત પદ્ધતિ (ગૌસીયન પદ્ધતિ) નાબૂદ દ્વારા હલ કરવામાં આવે છે.

હવે આપણે 9 સગીરોની ગણતરી કરવાની અને તેમને સગીર મેટ્રિક્સમાં લખવાની જરૂર છે

સંદર્ભ:રેખીય બીજગણિતમાં ડબલ સબસ્ક્રિપ્ટનો અર્થ જાણવો ઉપયોગી છે. પ્રથમ અંક એ રેખાની સંખ્યા છે જેમાં તત્વ સ્થિત છે. બીજો અંક એ સ્તંભની સંખ્યા છે જેમાં તત્વ સ્થિત છે:

એટલે કે, ડબલ સબસ્ક્રિપ્ટ સૂચવે છે કે તત્વ પ્રથમ પંક્તિ, ત્રીજી કૉલમમાં છે અને, ઉદાહરણ તરીકે, તત્વ 3 પંક્તિ, 2 કૉલમમાં છે.

ઉકેલ દરમિયાન, સગીરોની ગણતરીનું વિગતવાર વર્ણન કરવું વધુ સારું છે, જો કે, કેટલાક અનુભવ સાથે, તમે તેમને મૌખિક રીતે ભૂલો સાથે ગણતરી કરવા માટે ટેવ પાડી શકો છો.

જે ક્રમમાં સગીરોની ગણતરી કરવામાં આવે છે તે સંપૂર્ણપણે બિનમહત્વપૂર્ણ છે, અહીં મેં તેમને લાઇન દ્વારા ડાબેથી જમણે ગણ્યા છે. કૉલમ દ્વારા સગીરોની ગણતરી કરવી શક્ય હતું (આ વધુ અનુકૂળ છે).

આમ:

- મેટ્રિક્સના અનુરૂપ ઘટકોના સગીરોનું મેટ્રિક્સ.

- બીજગણિત ઉમેરણોનું મેટ્રિક્સ.

- બીજગણિત ઉમેરણોનું સ્થાનાંતરિત મેટ્રિક્સ.

હું પુનરાવર્તન કરું છું, અમે પાઠમાં કરેલા પગલાંની વિગતવાર ચર્ચા કરી. મેટ્રિક્સનો વ્યસ્ત કેવી રીતે શોધવો?

હવે આપણે વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ લખીએ છીએ:

કોઈ પણ સંજોગોમાં આપણે તેને મેટ્રિક્સમાં દાખલ કરવું જોઈએ નહીં, આ આગળની ગણતરીઓને ગંભીરતાથી જટિલ બનાવશે.. જો મેટ્રિક્સની બધી સંખ્યાઓ બાકીના વિના 60 વડે વિભાજ્ય હોય તો ભાગાકાર કરવાની જરૂર પડશે. પરંતુ આ કિસ્સામાં મેટ્રિક્સમાં માઈનસ ઉમેરવું ખૂબ જ જરૂરી છે, તે વધુ ગણતરીઓને સરળ બનાવશે.

જે બાકી છે તે મેટ્રિક્સ ગુણાકાર કરવાનું છે. તમે વર્ગમાં મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કેવી રીતે કરવો તે શીખી શકો છો. મેટ્રિસિસ સાથેની ક્રિયાઓ. માર્ગ દ્વારા, બરાબર એ જ ઉદાહરણનું ત્યાં વિશ્લેષણ કરવામાં આવ્યું છે.

નોંધ કરો કે 60 વડે વિભાજન થાય છે સૌથી છેલ્લે.
કેટલીકવાર તે સંપૂર્ણપણે અલગ થઈ શકતું નથી, એટલે કે. "ખરાબ" અપૂર્ણાંકમાં પરિણમી શકે છે. જ્યારે અમે ક્રેમરના નિયમને જોયો ત્યારે આવા કિસ્સાઓમાં શું કરવું તે મેં તમને પહેલેથી જ કહ્યું છે.

જવાબ આપો:

ઉદાહરણ 12

વ્યસ્ત મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરીને સિસ્ટમ ઉકેલો.

સ્વતંત્ર ઉકેલ માટે આ એક ઉદાહરણ છે (અંતિમ ડિઝાઇનનો નમૂનો અને પાઠના અંતે જવાબ).

સિસ્ટમને હલ કરવાની સૌથી સાર્વત્રિક રીત છે અજાણ્યાઓને દૂર કરવાની પદ્ધતિ (ગૌસિયન પદ્ધતિ). અલ્ગોરિધમને સ્પષ્ટ રીતે સમજાવવું એટલું સરળ નથી, પરંતુ મેં પ્રયત્ન કર્યો!

હું તમને સફળતાની ઇચ્છા કરું છું!

જવાબો:

ઉદાહરણ 3:

ઉદાહરણ 6:

ઉદાહરણ 8: , . તમે આ ઉદાહરણ માટે નમૂના ઉકેલ જોઈ અથવા ડાઉનલોડ કરી શકો છો (નીચેની લિંક).

ઉદાહરણો 10, 12:

અમે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમોને ધ્યાનમાં લેવાનું ચાલુ રાખીએ છીએ. આ પાઠ વિષય પરનો ત્રીજો પાઠ છે. જો તમને સામાન્ય રીતે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ શું છે તેનો અસ્પષ્ટ ખ્યાલ હોય, જો તમને ચાની કીટલી જેવી લાગે, તો હું આગળના પૃષ્ઠ પરની મૂળભૂત બાબતોથી પ્રારંભ કરવાની ભલામણ કરું છું, તે પાઠનો અભ્યાસ કરવો ઉપયોગી છે.

ગૌસીયન પદ્ધતિ સરળ છે!શા માટે? વિખ્યાત જર્મન ગણિતશાસ્ત્રી જોહાન કાર્લ ફ્રેડરિક ગૌસે, તેમના જીવનકાળ દરમિયાન, સર્વકાલીન મહાન ગણિતશાસ્ત્રી, પ્રતિભાશાળી અને ઉપનામ "ગણિતના રાજા" તરીકેની ઓળખ મેળવી હતી. અને બુદ્ધિશાળી બધું, જેમ તમે જાણો છો, સરળ છે!માર્ગ દ્વારા, માત્ર સકર્સને જ પૈસા મળતા નથી, પણ પ્રતિભાશાળીઓ પણ - ગૌસનું પોટ્રેટ 10 ડ્યુશમાર્ક બૅન્કનોટ પર હતું (યુરોની રજૂઆત પહેલાં), અને ગૌસ હજી પણ સામાન્ય પોસ્ટેજ સ્ટેમ્પ્સમાંથી જર્મનો પર રહસ્યમય રીતે સ્મિત કરે છે.

ગૌસ પદ્ધતિ સરળ છે જેમાં પાંચમા ધોરણના વિદ્યાર્થીનું જ્ઞાન તેને પારંગત કરવા માટે પૂરતું છે. તમારે કેવી રીતે ઉમેરવું અને ગુણાકાર કરવું તે જાણવું જોઈએ!તે કોઈ સંયોગ નથી કે શિક્ષકો ઘણીવાર શાળાના ગણિતના વૈકલ્પિકમાં અજાણ્યાઓને ક્રમિક રીતે બાકાત રાખવાની પદ્ધતિને ધ્યાનમાં લે છે. તે એક વિરોધાભાસ છે, પરંતુ વિદ્યાર્થીઓને ગૌસીયન પદ્ધતિ સૌથી મુશ્કેલ લાગે છે. આશ્ચર્યજનક કંઈ નથી - તે બધી પદ્ધતિ વિશે છે, અને હું સુલભ સ્વરૂપમાં પદ્ધતિના અલ્ગોરિધમનો વિશે વાત કરવાનો પ્રયાસ કરીશ.

પ્રથમ, ચાલો રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમો વિશે થોડું જ્ઞાન વ્યવસ્થિત કરીએ. રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ આ કરી શકે છે:

1) એક અનન્ય ઉકેલ છે.
2) અનંત ઘણા ઉકેલો છે.
3) કોઈ ઉકેલ નથી (હો બિન-સંયુક્ત).

ગૌસ પદ્ધતિ એ ઉકેલ શોધવા માટેનું સૌથી શક્તિશાળી અને સાર્વત્રિક સાધન છે કોઈપણરેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમો. જેમ આપણે યાદ કરીએ છીએ, ક્રેમરનો નિયમ અને મેટ્રિક્સ પદ્ધતિએવા કિસ્સાઓમાં અયોગ્ય છે કે જ્યાં સિસ્ટમમાં અનંત રીતે ઘણા ઉકેલો હોય અથવા અસંગત હોય. અને અજાણ્યાઓને ક્રમિક દૂર કરવાની પદ્ધતિ કોઈપણ રીતેઅમને જવાબ તરફ દોરી જશે! આ પાઠમાં, અમે કેસ નંબર 1 (સિસ્ટમનો એકમાત્ર ઉકેલ) માટે ગૌસ પદ્ધતિને ફરીથી ધ્યાનમાં લઈશું, એક લેખ પોઈન્ટ નંબર 2-3 ની પરિસ્થિતિઓને સમર્પિત છે. હું નોંધું છું કે પદ્ધતિનું અલ્ગોરિધમ ત્રણેય કેસોમાં સમાન કાર્ય કરે છે.

ચાલો પાઠમાંથી સરળ સિસ્ટમ પર પાછા આવીએ રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ કેવી રીતે હલ કરવી?
અને ગૌસીયન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને તેને હલ કરો.

પ્રથમ પગલું લખવાનું છે વિસ્તૃત સિસ્ટમ મેટ્રિક્સ:
. મને લાગે છે કે દરેક વ્યક્તિ જોઈ શકે છે કે ગુણાંક કયા સિદ્ધાંત દ્વારા લખવામાં આવે છે. મેટ્રિક્સની અંદર ઊભી રેખાનો કોઈ ગાણિતિક અર્થ નથી - તે ડિઝાઇનની સરળતા માટે ફક્ત એક સ્ટ્રાઇકથ્રુ છે.

સંદર્ભ: હું તમને યાદ રાખવાની ભલામણ કરું છુંશરતો રેખીય બીજગણિત.સિસ્ટમ મેટ્રિક્સ અજ્ઞાત લોકો માટે માત્ર ગુણાંકથી બનેલું મેટ્રિક્સ છે, આ ઉદાહરણમાં સિસ્ટમનું મેટ્રિક્સ: . વિસ્તૃત સિસ્ટમ મેટ્રિક્સ - આ સિસ્ટમનું સમાન મેટ્રિક્સ વત્તા મફત શરતોની કૉલમ છે, આ કિસ્સામાં: . સંક્ષિપ્તતા માટે, કોઈપણ મેટ્રિસિસને ફક્ત મેટ્રિક્સ કહી શકાય.

વિસ્તૃત મેટ્રિક્સ સિસ્ટમ લખ્યા પછી, તેની સાથે કેટલીક ક્રિયાઓ કરવી જરૂરી છે, જેને કહેવામાં આવે છે પ્રાથમિક પરિવર્તનો.

નીચેના પ્રાથમિક પરિવર્તનો અસ્તિત્વમાં છે:

1) શબ્દમાળાઓમેટ્રિસિસ ફરીથી ગોઠવી શકાય છેકેટલાક સ્થળોએ. ઉદાહરણ તરીકે, વિચારણા હેઠળના મેટ્રિક્સમાં, તમે પ્રથમ અને બીજી પંક્તિઓને પીડારહિત રીતે ફરીથી ગોઠવી શકો છો:

2) જો મેટ્રિક્સમાં પ્રમાણસર (અથવા દેખાય છે) (ખાસ કેસ તરીકે - સમાન) પંક્તિઓ હોય, તો તમારે કાઢી નાખોમેટ્રિક્સમાંથી એક સિવાય આ બધી પંક્તિઓ. ઉદાહરણ તરીકે, મેટ્રિક્સનો વિચાર કરો . આ મેટ્રિક્સમાં, છેલ્લી ત્રણ પંક્તિઓ પ્રમાણસર છે, તેથી તેમાંથી ફક્ત એક જ છોડવા માટે તે પૂરતું છે: .

3) જો રૂપાંતરણ દરમિયાન મેટ્રિક્સમાં શૂન્ય પંક્તિ દેખાય છે, તો તે પણ હોવી જોઈએ કાઢી નાખો. હું દોરીશ નહીં, અલબત્ત, શૂન્ય રેખા એ રેખા છે જેમાં બધા શૂન્ય.

4) મેટ્રિક્સ પંક્તિ હોઈ શકે છે ગુણાકાર (ભાગાકાર)કોઈપણ નંબર પર બિન-શૂન્ય. ઉદાહરણ તરીકે, મેટ્રિક્સનો વિચાર કરો. અહીં પ્રથમ લીટીને –3 વડે વિભાજીત કરવાની અને બીજી લીટીને 2 વડે ગુણાકાર કરવાની સલાહ આપવામાં આવે છે: . આ ક્રિયા ખૂબ જ ઉપયોગી છે કારણ કે તે મેટ્રિક્સના વધુ પરિવર્તનને સરળ બનાવે છે.

5) આ પરિવર્તન સૌથી વધુ મુશ્કેલીઓનું કારણ બને છે, પરંતુ વાસ્તવમાં તેમાં કંઈ જટિલ નથી. મેટ્રિક્સની એક પંક્તિ માટે તમે કરી શકો છો સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરીને બીજી સ્ટ્રિંગ ઉમેરો, શૂન્યથી અલગ. ચાલો આપણા મેટ્રિક્સને વ્યવહારુ ઉદાહરણથી જોઈએ: . પ્રથમ હું રૂપાંતરણનું વિગતવાર વર્ણન કરીશ. પ્રથમ લીટીને –2 વડે ગુણાકાર કરો: , અને બીજી લીટીમાં આપણે પ્રથમ લીટીને –2 વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ: . હવે પ્રથમ લાઇનને "પાછળ" -2 દ્વારા વિભાજિત કરી શકાય છે: . જેમ તમે જોઈ શકો છો, જે લીટી ઉમેરવામાં આવી છે LI – બદલાયો નથી. હંમેશાજે લાઇનમાં ફેરફારો ઉમેરવામાં આવ્યા છે યુટી.

વ્યવહારમાં, અલબત્ત, તેઓ તેને આટલી વિગતવાર લખતા નથી, પરંતુ તેને ટૂંકમાં લખો:

ફરી એકવાર: બીજી લાઇન પર -2 વડે ગુણાકાર કરીને પ્રથમ લીટી ઉમેરી. એક રેખા સામાન્ય રીતે મૌખિક રીતે અથવા ડ્રાફ્ટ પર ગુણાકાર કરવામાં આવે છે, માનસિક ગણતરી પ્રક્રિયા કંઈક આના જેવી થાય છે:

"હું મેટ્રિક્સ ફરીથી લખું છું અને પ્રથમ લાઇન ફરીથી લખું છું: "

"પ્રથમ કૉલમ. તળિયે મારે શૂન્ય મેળવવાની જરૂર છે. તેથી, હું ટોચ પરના એકને –2: વડે ગુણાકાર કરું છું, અને પ્રથમને બીજી લાઇનમાં ઉમેરું છું: 2 + (–2) = 0. હું બીજી લાઇનમાં પરિણામ લખું છું: »

“હવે બીજી કોલમ. ટોચ પર, હું -1 ને -2 દ્વારા ગુણાકાર કરું છું: . હું બીજી લાઇનમાં પ્રથમ ઉમેરું છું: 1 + 2 = 3. હું બીજી લાઇનમાં પરિણામ લખું છું: "

“અને ત્રીજી કોલમ. ટોચ પર હું -5 ને -2 દ્વારા ગુણાકાર કરું છું: . હું બીજી લાઇનમાં પ્રથમ ઉમેરું છું: –7 + 10 = 3. હું બીજી લાઇનમાં પરિણામ લખું છું: »

કૃપા કરીને આ ઉદાહરણને કાળજીપૂર્વક સમજો અને અનુક્રમિક ગણતરીના અલ્ગોરિધમને સમજો, જો તમે આ સમજો છો, તો ગૌસીયન પદ્ધતિ વ્યવહારીક રીતે તમારા ખિસ્સામાં છે. પરંતુ, અલબત્ત, અમે હજી પણ આ પરિવર્તન પર કામ કરીશું.

પ્રાથમિક પરિવર્તનો સમીકરણોની સિસ્ટમના ઉકેલને બદલતા નથી

! ધ્યાન:મેનીપ્યુલેશન્સ ગણવામાં આવે છે ઉપયોગ કરી શકતા નથી, જો તમને કોઈ કાર્ય ઓફર કરવામાં આવે છે જ્યાં મેટ્રિસિસ "પોતાના દ્વારા" આપવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, "શાસ્ત્રીય" સાથે મેટ્રિસીસ સાથે કામગીરીકોઈ પણ સંજોગોમાં તમારે મેટ્રિસિસની અંદર કંઈપણ ફરીથી ગોઠવવું જોઈએ નહીં!

ચાલો આપણી સિસ્ટમ પર પાછા ફરીએ. તે લગભગ પહેલેથી જ હલ થઈ ગયું છે.

ચાલો સિસ્ટમના વિસ્તૃત મેટ્રિક્સને લખીએ અને, પ્રાથમિક પરિવર્તનનો ઉપયોગ કરીને, તેને ઘટાડીએ સ્ટેપ વ્યુ:

(1) પ્રથમ લીટી બીજી લીટીમાં ઉમેરવામાં આવી હતી, તેને –2 વડે ગુણાકાર કરવામાં આવ્યો હતો. બાય ધ વે, શા માટે આપણે પ્રથમ લીટીને –2 વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ? તળિયે શૂન્ય મેળવવા માટે, જેનો અર્થ થાય છે કે બીજી લાઇનમાં એક ચલથી છુટકારો મેળવવો.

(2) બીજી લીટીને 3 વડે ભાગો.

પ્રાથમિક પરિવર્તનનો હેતુ– મેટ્રિક્સને સ્ટેપવાઇઝ ફોર્મમાં ઘટાડો: . કાર્યની ડિઝાઇનમાં, તેઓ ફક્ત "સીડી" ને સરળ પેંસિલથી ચિહ્નિત કરે છે, અને "પગલાઓ" પર સ્થિત સંખ્યાઓને પણ વર્તુળ કરે છે. "સ્ટેપ્ડ વ્યુ" શબ્દ પોતે સંપૂર્ણપણે સૈદ્ધાંતિક નથી અને વૈજ્ઞાનિક અને શૈક્ષણિક સાહિત્યમાં તેને ઘણીવાર કહેવામાં આવે છે ટ્રેપેઝોઇડલ દૃશ્યઅથવા ત્રિકોણાકાર દૃશ્ય.

પ્રારંભિક પરિવર્તનના પરિણામે, અમે પ્રાપ્ત કર્યું સમકક્ષસમીકરણોની મૂળ સિસ્ટમ:

હવે સિસ્ટમને વિરુદ્ધ દિશામાં "અનવાઇન્ડ" કરવાની જરૂર છે - નીચેથી ઉપર સુધી, આ પ્રક્રિયા કહેવામાં આવે છે ગૌસીયન પદ્ધતિથી વિપરીત.

નીચલા સમીકરણમાં અમારી પાસે પહેલેથી જ તૈયાર પરિણામ છે: .

ચાલો સિસ્ટમના પ્રથમ સમીકરણને ધ્યાનમાં લઈએ અને તેમાં "y" ના પહેલાથી જાણીતા મૂલ્યને બદલીએ:

ચાલો સૌથી સામાન્ય પરિસ્થિતિને ધ્યાનમાં લઈએ, જ્યારે ગૌસીયન પદ્ધતિને ત્રણ અજ્ઞાત સાથે ત્રણ રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલવાની જરૂર છે.

ઉદાહરણ 1

ગૌસ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો:

ચાલો સિસ્ટમનું વિસ્તૃત મેટ્રિક્સ લખીએ:

હવે હું તરત જ પરિણામ દોરીશ કે આપણે ઉકેલ દરમિયાન આવીશું:

અને હું પુનરાવર્તન કરું છું, અમારો ધ્યેય પ્રાથમિક પરિવર્તનનો ઉપયોગ કરીને મેટ્રિક્સને સ્ટેપવાઇઝ સ્વરૂપમાં લાવવાનો છે. ક્યાંથી શરૂઆત કરવી?

પ્રથમ, ટોચની ડાબી સંખ્યા જુઓ:

લગભગ હંમેશા અહીં હોવું જોઈએ એકમ. સામાન્ય રીતે કહીએ તો, -1 (અને કેટલીકવાર અન્ય સંખ્યાઓ) કરશે, પરંતુ કોઈક રીતે પરંપરાગત રીતે એવું બન્યું છે કે એક સામાન્ય રીતે ત્યાં મૂકવામાં આવે છે. એકમ કેવી રીતે ગોઠવવું? અમે પ્રથમ કૉલમ જોઈએ છીએ - અમારી પાસે સમાપ્ત એકમ છે! રૂપાંતર એક: પ્રથમ અને ત્રીજી રેખાઓ સ્વેપ કરો:

હવે પ્રથમ લાઇન ઉકેલના અંત સુધી યથાવત રહેશે. હવે સારું.

ઉપર ડાબા ખૂણામાં એકમ ગોઠવાયેલ છે. હવે તમારે આ સ્થળોએ શૂન્ય મેળવવાની જરૂર છે:

અમને "મુશ્કેલ" રૂપાંતરણનો ઉપયોગ કરીને શૂન્ય મળે છે. પ્રથમ આપણે બીજી લાઇન (2, –1, 3, 13) સાથે વ્યવહાર કરીએ છીએ. પ્રથમ સ્થાનમાં શૂન્ય મેળવવા માટે શું કરવાની જરૂર છે? જરૂર છે બીજી લીટીમાં –2 વડે ગુણાકાર કરેલ પ્રથમ લીટી ઉમેરો. માનસિક રીતે અથવા ડ્રાફ્ટ પર, પ્રથમ લીટીને –2 દ્વારા ગુણાકાર કરો: (–2, –4, 2, –18). અને અમે સતત (ફરીથી માનસિક રીતે અથવા ડ્રાફ્ટ પર) ઉમેરો કરીએ છીએ, બીજી લીટીમાં આપણે પ્રથમ લીટી ઉમેરીએ છીએ, જે પહેલાથી જ –2 વડે ગુણાકાર કરેલ છે:

અમે બીજી લાઇનમાં પરિણામ લખીએ છીએ:

અમે ત્રીજી લાઇન સાથે તે જ રીતે વ્યવહાર કરીએ છીએ (3, 2, –5, –1). પ્રથમ સ્થાને શૂન્ય મેળવવા માટે, તમારે જરૂર છે ત્રીજી લીટીમાં –3 વડે ગુણાકાર કરેલ પ્રથમ લીટી ઉમેરો. માનસિક રીતે અથવા ડ્રાફ્ટ પર, પ્રથમ લીટીને –3 દ્વારા ગુણાકાર કરો: (–3, –6, 3, –27). અને ત્રીજી લીટીમાં આપણે પ્રથમ લીટીને –3 વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ:

અમે ત્રીજી લાઇનમાં પરિણામ લખીએ છીએ:

વ્યવહારમાં, આ ક્રિયાઓ સામાન્ય રીતે મૌખિક રીતે કરવામાં આવે છે અને એક પગલામાં લખવામાં આવે છે:

એક જ સમયે અને એક જ સમયે બધું ગણવાની જરૂર નથી. ગણતરીઓનો ક્રમ અને પરિણામોને "લખવા" સુસંગતઅને સામાન્ય રીતે તે આના જેવું હોય છે: પહેલા આપણે પ્રથમ લીટી ફરીથી લખીએ છીએ, અને આપણે ધીમે ધીમે આપણી જાત પર પફ કરીએ છીએ - સતત અને ધ્યાનપૂર્વક:

અને મેં ઉપર ગણતરીની માનસિક પ્રક્રિયા વિશે પહેલેથી જ ચર્ચા કરી છે.

આ ઉદાહરણમાં, આ કરવું સરળ છે, આપણે બીજી લીટીને –5 વડે વિભાજીત કરીએ છીએ (કારણ કે બધી સંખ્યાઓ બાકીના વિના 5 વડે વિભાજ્ય છે). તે જ સમયે, અમે ત્રીજી લાઇનને –2 દ્વારા વિભાજીત કરીએ છીએ, કારણ કે સંખ્યાઓ જેટલી નાની છે, તેટલો સરળ ઉકેલ:

પ્રાથમિક પરિવર્તનના અંતિમ તબક્કે, તમારે અહીં બીજું શૂન્ય મેળવવાની જરૂર છે:

આ માટે ત્રીજી લાઇનમાં આપણે બીજી લાઇન ઉમેરીએ છીએ જેનો ગુણાકાર –2:

આ ક્રિયાને જાતે સમજવાનો પ્રયાસ કરો - માનસિક રીતે બીજી લાઇનને –2 વડે ગુણાકાર કરો અને ઉમેરણ કરો.

કરવામાં આવેલ છેલ્લી ક્રિયા પરિણામની હેરસ્ટાઇલ છે, ત્રીજી લાઇનને 3 વડે વિભાજીત કરો.

પ્રાથમિક પરિવર્તનના પરિણામે, રેખીય સમીકરણોની સમકક્ષ સિસ્ટમ પ્રાપ્ત થઈ હતી:

કૂલ.

હવે ગૌસીયન પદ્ધતિની વિપરીત રમતમાં આવે છે. સમીકરણો નીચેથી ઉપર સુધી "અનવાઇન્ડ" થાય છે.

ત્રીજા સમીકરણમાં આપણી પાસે પહેલેથી જ તૈયાર પરિણામ છે:

ચાલો બીજા સમીકરણ જોઈએ: . "ઝેટ" નો અર્થ પહેલેથી જ જાણીતો છે, આમ:

અને અંતે, પ્રથમ સમીકરણ: . "ઇગ્રેક" અને "ઝેટ" જાણીતા છે, તે માત્ર થોડી વસ્તુઓની બાબત છે:

જવાબ:

વારંવાર નોંધ્યું છે તેમ, સમીકરણોની કોઈપણ પ્રણાલી માટે મળેલ ઉકેલને તપાસવું શક્ય અને જરૂરી છે, સદભાગ્યે, આ સરળ અને ઝડપી છે.

ઉદાહરણ 2

આ સ્વતંત્ર ઉકેલ માટેનું ઉદાહરણ છે, અંતિમ ડિઝાઇનનો નમૂનો અને પાઠના અંતે જવાબ છે.

એ નોંધવું જોઇએ કે તમારા નિર્ણયની પ્રગતિમારી નિર્ણય પ્રક્રિયા સાથે સુસંગત ન હોઈ શકે, અને આ ગૌસ પદ્ધતિનું લક્ષણ છે. પરંતુ જવાબો એક જ હોવા જોઈએ!

ઉદાહરણ 3

ગૌસ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો

ચાલો સિસ્ટમના વિસ્તૃત મેટ્રિક્સને લખીએ અને, પ્રાથમિક પરિવર્તનનો ઉપયોગ કરીને, તેને સ્ટેપવાઇઝ સ્વરૂપમાં લાવીએ:

અમે ઉપર ડાબી બાજુ "પગલું" જોઈએ છીએ. આપણે ત્યાં એક હોવું જોઈએ. સમસ્યા એ છે કે પ્રથમ કૉલમમાં કોઈ એકમો નથી, તેથી પંક્તિઓને ફરીથી ગોઠવવાથી કંઈપણ હલ થશે નહીં. આવા કિસ્સાઓમાં, એકમ પ્રાથમિક પરિવર્તનનો ઉપયોગ કરીને ગોઠવાયેલ હોવું જોઈએ. આ સામાન્ય રીતે ઘણી રીતે કરી શકાય છે. મેં આ કર્યું: (1) પ્રથમ લીટીમાં આપણે બીજી લીટી ઉમેરીએ છીએ, -1 વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ. એટલે કે, અમે માનસિક રીતે બીજી લાઇનને –1 વડે ગુણાકાર કરી અને પ્રથમ અને બીજી લાઇન ઉમેરી, જ્યારે બીજી લાઇન બદલાઈ નથી.

હવે ઉપર ડાબી બાજુ -1 છે, જે આપણને બરાબર અનુકૂળ છે. કોઈપણ જે +1 મેળવવા માંગે છે તે વધારાની હિલચાલ કરી શકે છે: પ્રથમ લીટીને –1 વડે ગુણાકાર કરો (તેનું ચિહ્ન બદલો).

(2) 5 વડે ગુણાકાર કરેલ પ્રથમ લીટી ત્રીજી લીટીમાં ઉમેરવામાં આવી હતી.

(3) પ્રથમ લીટીને –1 વડે ગુણાકાર કરવામાં આવ્યો હતો, સૈદ્ધાંતિક રીતે, આ સુંદરતા માટે છે. ત્રીજી લાઇનનું ચિહ્ન પણ બદલાયું હતું અને તેને બીજા સ્થાને ખસેડવામાં આવ્યું હતું, જેથી બીજા "પગલાં" પર અમારી પાસે જરૂરી એકમ હતું.

(4) બીજી લાઇનને 2 વડે ગુણાકાર કરીને ત્રીજી લાઇનમાં ઉમેરવામાં આવી હતી.

(5) ત્રીજી પંક્તિને 3 વડે ભાગવામાં આવી હતી.

એક ખરાબ સંકેત જે ગણતરીમાં ભૂલ સૂચવે છે (વધુ ભાગ્યે જ, ટાઇપો) એ "ખરાબ" બોટમ લાઇન છે. એટલે કે, જો આપણને નીચે, અને તે મુજબ કંઈક મળ્યું હોય, , તો પછી ઉચ્ચ સ્તરની સંભાવના સાથે આપણે કહી શકીએ કે પ્રાથમિક પરિવર્તન દરમિયાન ભૂલ થઈ હતી.

અમે રિવર્સ ચાર્જ કરીએ છીએ, ઉદાહરણોની ડિઝાઇનમાં તેઓ ઘણીવાર સિસ્ટમને ફરીથી લખતા નથી, પરંતુ સમીકરણો "આપેલ મેટ્રિક્સમાંથી સીધા લેવામાં આવે છે." વિપરીત ચાલ, હું તમને યાદ કરાવું છું, કામ કરે છે, નીચેથી ઉપર સુધી:
હા, અહીં એક ભેટ છે:

જવાબ: .

ઉદાહરણ 4

ગૌસ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો

આ તમારા માટે એક ઉદાહરણ છે જે તમે તમારા પોતાના પર હલ કરી શકો છો, તે કંઈક વધુ જટિલ છે. જો કોઈ મૂંઝવણમાં આવે તો ઠીક છે. પાઠના અંતે સંપૂર્ણ ઉકેલ અને નમૂના ડિઝાઇન. તમારા ઉકેલ મારા ઉકેલ કરતાં અલગ હોઈ શકે છે.

છેલ્લા ભાગમાં આપણે ગૌસીયન અલ્ગોરિધમના કેટલાક લક્ષણો જોઈશું.
પ્રથમ લક્ષણ એ છે કે કેટલીકવાર સિસ્ટમ સમીકરણોમાંથી કેટલાક ચલો ખૂટે છે, ઉદાહરણ તરીકે:

વિસ્તૃત સિસ્ટમ મેટ્રિક્સને યોગ્ય રીતે કેવી રીતે લખવું? મેં વર્ગમાં આ મુદ્દા વિશે પહેલેથી જ વાત કરી છે. ક્રેમરનો નિયમ. મેટ્રિક્સ પદ્ધતિ. સિસ્ટમના વિસ્તૃત મેટ્રિક્સમાં, અમે ખૂટતા ચલોની જગ્યાએ શૂન્ય મૂકીએ છીએ:

માર્ગ દ્વારા, આ એકદમ સરળ ઉદાહરણ છે, કારણ કે પ્રથમ કૉલમમાં પહેલેથી જ એક શૂન્ય છે, અને કરવા માટે ઓછા પ્રાથમિક પરિવર્તનો છે.

બીજી વિશેષતા આ છે. ધ્યાનમાં લેવાયેલા તમામ ઉદાહરણોમાં, અમે "પગલાઓ" પર -1 અથવા +1 મૂક્યા છે. ત્યાં અન્ય નંબરો હોઈ શકે છે? કેટલાક કિસ્સાઓમાં તેઓ કરી શકે છે. સિસ્ટમ ધ્યાનમાં લો: .

અહીં ઉપર ડાબી બાજુએ “પગલું” આપણી પાસે બે છે. પરંતુ આપણે એ હકીકત નોંધીએ છીએ કે પ્રથમ સ્તંભની બધી સંખ્યાઓ શેષ વિના 2 વડે ભાગી શકાય છે - અને બીજી બે અને છ છે. અને ઉપર ડાબી બાજુના બે અમને અનુકૂળ પડશે! પ્રથમ પગલામાં, તમારે નીચેના રૂપાંતરણો કરવાની જરૂર છે: -1 વડે ગુણાકાર કરેલ પ્રથમ લાઇનને બીજી લાઇનમાં ઉમેરો; ત્રીજી લીટીમાં –3 વડે ગુણાકાર કરેલ પ્રથમ લીટી ઉમેરો. આ રીતે આપણે પ્રથમ કોલમમાં જરૂરી શૂન્ય મેળવીશું.

અથવા અન્ય પરંપરાગત ઉદાહરણ: . અહીં બીજા “પગલાં” પરના ત્રણ પણ આપણને અનુકૂળ આવે છે, કારણ કે 12 (જ્યાં આપણે શૂન્ય મેળવવાની જરૂર છે) બાકીના વિના 3 વડે વિભાજ્ય છે. નીચેનું પરિવર્તન કરવું જરૂરી છે: ત્રીજી લાઇનમાં બીજી લાઇન ઉમેરો, –4 વડે ગુણાકાર કરો, જેના પરિણામે આપણને જરૂરી શૂન્ય પ્રાપ્ત થશે.

ગૌસની પદ્ધતિ સાર્વત્રિક છે, પરંતુ એક વિશિષ્ટતા છે. તમે વિશ્વાસપૂર્વક અન્ય પદ્ધતિઓ (ક્રેમરની પદ્ધતિ, મેટ્રિક્સ પદ્ધતિ) નો ઉપયોગ કરીને શાબ્દિક રીતે પ્રથમ વખત સિસ્ટમ્સ ઉકેલવાનું શીખી શકો છો - તેમની પાસે ખૂબ જ કડક અલ્ગોરિધમ છે. પરંતુ ગૌસીયન પદ્ધતિમાં આત્મવિશ્વાસ અનુભવવા માટે, તમારે "તમારા દાંતમાં પ્રવેશ કરવો" અને ઓછામાં ઓછી 5-10 દસ સિસ્ટમો ઉકેલવી જોઈએ. તેથી, શરૂઆતમાં ગણતરીમાં મૂંઝવણ અને ભૂલો હોઈ શકે છે, અને આ વિશે અસામાન્ય અથવા દુ: ખદ કંઈ નથી.

બારીની બહાર વરસાદી પાનખર હવામાન.... તેથી, દરેક વ્યક્તિ માટે કે જેઓ વધુ જટિલ ઉદાહરણ ઇચ્છે છે કે તેઓ જાતે જ ઉકેલી શકે:

ઉદાહરણ 5

ગૌસ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને ચાર અજ્ઞાત સાથે 4 રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો.

વ્યવહારમાં આવું કાર્ય એટલું દુર્લભ નથી. મને લાગે છે કે આ પૃષ્ઠનો સંપૂર્ણ અભ્યાસ કરનાર ચાની કીટલી પણ આવી સિસ્ટમને સાહજિક રીતે ઉકેલવા માટેના અલ્ગોરિધમને સમજી શકશે. મૂળભૂત રીતે, બધું સમાન છે - ત્યાં ફક્ત વધુ ક્રિયાઓ છે.

એવા કિસ્સાઓ જ્યારે સિસ્ટમ પાસે કોઈ ઉકેલો ન હોય (અસંગત) અથવા અસંખ્ય ઉકેલો હોય ત્યારે પાઠમાં ચર્ચા કરવામાં આવે છે સામાન્ય ઉકેલ સાથે અસંગત સિસ્ટમો અને સિસ્ટમો. ત્યાં તમે ગૌસીયન પદ્ધતિના ગણવામાં આવતા અલ્ગોરિધમને ઠીક કરી શકો છો.

હું તમને સફળતાની ઇચ્છા કરું છું!

ઉકેલો અને જવાબો:

ઉદાહરણ 2: ચાલો સિસ્ટમના વિસ્તૃત મેટ્રિક્સને લખીએ અને, પ્રાથમિક રૂપાંતરણોનો ઉપયોગ કરીને, તેને સ્ટેપવાઇઝ સ્વરૂપમાં લાવીએ.

કરવામાં આવેલ પ્રાથમિક રૂપાંતરણો:
(1) પ્રથમ લીટી બીજી લીટીમાં ઉમેરવામાં આવી હતી, તેને –2 વડે ગુણાકાર કરવામાં આવ્યો હતો. પ્રથમ લીટી ત્રીજી લીટીમાં ઉમેરવામાં આવી હતી, તેને –1 વડે ગુણાકાર કરવામાં આવ્યો હતો.ધ્યાન આપો! અહીં તમે ત્રીજી પંક્તિમાંથી પ્રથમ બાદબાકી કરવા માટે લલચાઈ શકો છો; ફક્ત તેને ફોલ્ડ કરો!
(2) બીજી લાઇનનું ચિહ્ન બદલાયું હતું (-1 વડે ગુણાકાર). બીજી અને ત્રીજી પંક્તિની અદલાબદલી કરવામાં આવી છે.નૉૅધ , કે "પગલાઓ" પર અમે માત્ર એકથી જ નહીં, પણ -1થી પણ સંતુષ્ટ છીએ, જે વધુ અનુકૂળ છે.
(3) બીજી લાઇનને 5 વડે ગુણાકાર કરીને ત્રીજી લાઇનમાં ઉમેરવામાં આવી હતી.
(4) બીજી લાઇનનું ચિહ્ન બદલાયું હતું (-1 વડે ગુણાકાર). ત્રીજી લાઇનને 14 વડે વિભાજિત કરવામાં આવી હતી.

વિપરીત:


જવાબ: .

ઉદાહરણ 4: ચાલો સિસ્ટમના વિસ્તૃત મેટ્રિક્સને લખીએ અને પ્રાથમિક રૂપાંતરણોનો ઉપયોગ કરીને, તેને સ્ટેપવાઇઝ સ્વરૂપમાં લાવીએ:

કરેલા રૂપાંતરણો:
(1) પ્રથમ લાઇનમાં બીજી લાઇન ઉમેરવામાં આવી હતી. આમ, ઇચ્છિત એકમ ઉપલા ડાબા "પગલા" પર ગોઠવાયેલ છે.
(2) 7 વડે ગુણાકાર કરેલ પ્રથમ લીટી ત્રીજી લીટીમાં ઉમેરવામાં આવી હતી.

બીજા "પગલાં" સાથે બધું વધુ ખરાબ થાય છે , તેના માટેના "ઉમેદવારો" 17 અને 23 નંબરો છે, અને અમને એક અથવા -1ની જરૂર છે. પરિવર્તન (3) અને (4)નો હેતુ ઇચ્છિત એકમ મેળવવા માટે હશે

(3) બીજી લાઇન ત્રીજી લાઇનમાં ઉમેરવામાં આવી હતી, જેનો ગુણાકાર –1.
(4) ત્રીજી લાઇન બીજી લાઇનમાં ઉમેરવામાં આવી હતી, તેને –3 વડે ગુણાકાર કરવામાં આવ્યો હતો.
બીજા સ્ટેપ પર જરૂરી વસ્તુ મળી ગઈ છે. .
(5) બીજી લીટી ત્રીજી લીટીમાં ઉમેરવામાં આવી હતી, 6 વડે ગુણાકાર કરવામાં આવ્યો હતો.
(6) બીજી લાઇનનો -1 વડે ગુણાકાર કરવામાં આવ્યો હતો, ત્રીજી લાઇનને -83 વડે ભાગવામાં આવી હતી.તે સ્પષ્ટ છે કે વિમાનને ત્રણ અલગ અલગ બિંદુઓ દ્વારા વિશિષ્ટ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જે એક જ લાઇન પર આવેલા નથી. તેથી, વિમાનોના ત્રણ-અક્ષર હોદ્દો ખૂબ લોકપ્રિય છે - તેમની સાથે જોડાયેલા બિંદુઓ દ્વારા, ઉદાહરણ તરીકે, ; .જો મફત સભ્યો