ઘર કોટેડ જીભ બિંદુ a માટે સપ્રમાણતાવાળા બિંદુ શોધો. રેખા વિશે સપ્રમાણતાવાળા બિંદુને કેવી રીતે શોધવું

કોટેડ જીભ

બિંદુ a માટે સપ્રમાણતાવાળા બિંદુ શોધો. રેખા વિશે સપ્રમાણતાવાળા બિંદુને કેવી રીતે શોધવું

ચાલો આપણે એક ચોક્કસ સીધી રેખા આપીએ, જે રેખીય સમીકરણ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, અને એક બિંદુ, તેના કોઓર્ડિનેટ્સ (x0, y0) દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે અને આ રેખા પર પડેલા નથી. આપેલ સીધી રેખા વિશે આપેલ બિંદુ સાથે સપ્રમાણતા ધરાવતા બિંદુને શોધવાની જરૂર છે, એટલે કે જો પ્લેન માનસિક રીતે આ સીધી રેખા સાથે અડધા ભાગમાં વળેલું હોય તો તેની સાથે એકરુપ હશે.

સૂચનાઓ

1. તે સ્પષ્ટ છે કે બંને બિંદુઓ - આપેલ અને ઇચ્છિત - સમાન રેખા પર આવેલા હોવા જોઈએ, અને આ રેખા આપેલ એકને લંબરૂપ હોવી જોઈએ. આમ, સમસ્યાનો પ્રથમ ભાગ એ રેખાના સમીકરણને શોધવાનો છે જે અમુક આપેલ રેખાને લંબરૂપ હશે અને તે જ સમયે આપેલ બિંદુમાંથી પસાર થશે.

2. એક સીધી રેખા બે રીતે સ્પષ્ટ કરી શકાય છે. રેખાનું પ્રામાણિક સમીકરણ આના જેવું દેખાય છે: Ax + By + C = 0, જ્યાં A, B અને C સ્થિરાંકો છે. તમે ઉપયોગ કરીને સીધી રેખા પણ વ્યાખ્યાયિત કરી શકો છો રેખીય કાર્ય: y = kx + b, જ્યાં k એ કોણીય ઘાતાંક છે, b એ વિસ્થાપન છે, અને તે એકબીજાથી બીજામાં જવાનું શક્ય છે. જો Ax + By + C = 0, તો y = – (Ax + C)/B. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, રેખીય કાર્ય y = kx + b માં, કોણીય ઘાતાંક k = -A/B, અને વિસ્થાપન b = -C/B. હાથ પરના કાર્ય માટે, તેના આધારે તર્ક કરવા માટે તે વધુ આરામદાયક છે પ્રામાણિક સમીકરણસીધા

3. જો બે લીટીઓ એકબીજાને લંબરૂપ હોય અને પ્રથમ લીટીનું સમીકરણ Ax + By + C = 0 હોય, તો 2જી લીટીનું સમીકરણ Bx – Ay + D = 0 જેવું દેખાવું જોઈએ, જ્યાં D એક સ્થિરાંક છે. D નું ચોક્કસ મૂલ્ય શોધવા માટે, તે વધુમાં જાણવું જરૂરી છે કે લંબ રેખા કયા બિંદુમાંથી પસાર થાય છે. IN આ બાબતેઆ બિંદુ છે (x0, y0). પરિણામે, D એ સમાનતાને સંતોષવી જોઈએ: Bx0 – Ay0 + D = 0, એટલે કે, D = Ay0 – Bx0.

4. લંબ રેખા શોધ્યા પછી, આપેલ એક સાથે તેના આંતરછેદના બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સની ગણતરી કરવી જરૂરી છે. આ કરવા માટે, આપણે સિસ્ટમને હલ કરવાની જરૂર છે રેખીય સમીકરણો:Ax + By + C = 0,Bx – Ay + Ay0 – Bx0 = 0. તેનું સોલ્યુશન સંખ્યાઓ (x1, y1) આપશે, જે રેખાઓના આંતરછેદના બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ તરીકે સેવા આપે છે.

5. ઇચ્છિત બિંદુ શોધાયેલ રેખા પર રહેલું હોવું જોઈએ, અને આંતરછેદ બિંદુથી તેનું અંતર આંતરછેદ બિંદુથી બિંદુ (x0, y0) સુધીના અંતર જેટલું હોવું જોઈએ. બિંદુ (x0, y0) ની સપ્રમાણતા ધરાવતા બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ આમ સમીકરણોની સિસ્ટમ હલ કરીને શોધી શકાય છે: Bx – Ay + Ay0 – Bx0 = 0,?((x1 – x0)^2 + (y1 – y0) ^2 = ?((x – x1)^2 + (y – y1)^2).

6. પરંતુ તમે તેને સરળ રીતે કરી શકો છો. જો બિંદુઓ (x0, y0) અને (x, y) બિંદુ (x1, y1) થી સમાન અંતરે હોય અને ત્રણેય બિંદુઓ સમાન સીધી રેખા પર હોય, તો પછી: x – x1 = x1 – x0,y – y1 = y1 – y0 પરિણામે, x = 2×1 – x0, y = 2y1 – y0. આ મૂલ્યોને પ્રથમ સિસ્ટમના બીજા સમીકરણમાં બદલીને અને અભિવ્યક્તિઓને સરળ બનાવીને, તેની જમણી બાજુ ડાબી બાજુ સમાન બને તેની ખાતરી કરવી સરળ છે. વધુમાં, પ્રથમ સમીકરણને વધુ ધ્યાનમાં લેવાનો કોઈ અર્થ નથી, કારણ કે તે જાણીતું છે કે બિંદુઓ (x0, y0) અને (x1, y1) તેને સંતોષે છે, અને બિંદુ (x, y) દેખીતી રીતે સમાન રેખા પર રહે છે. .

કાર્ય એ બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધવાનું છે જે સીધી રેખાની તુલનામાં બિંદુ સાથે સપ્રમાણ છે. . હું પગલાં જાતે કરવાનું સૂચન કરું છું, પરંતુ હું મધ્યવર્તી પરિણામો સાથે સોલ્યુશન એલ્ગોરિધમની રૂપરેખા આપીશ:

1) રેખાને લંબરૂપ હોય તેવી રેખા શોધો.

2) રેખાઓના આંતરછેદનું બિંદુ શોધો: .

આ પાઠમાં બંને ક્રિયાઓની વિગતવાર ચર્ચા કરવામાં આવી છે.

3) બિંદુ એ સેગમેન્ટનો મધ્યબિંદુ છે. આપણે મધ્ય અને એક છેડાના કોઓર્ડિનેટ્સ જાણીએ છીએ. દ્વારા સેગમેન્ટના મધ્યબિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ માટેના સૂત્રોઅમે શોધીએ છીએ.

તે તપાસવું એક સારો વિચાર હશે કે અંતર પણ 2.2 એકમ છે.

અહીં ગણતરીમાં મુશ્કેલીઓ ઊભી થઈ શકે છે, પરંતુ ટાવરમાં માઇક્રોકેલ્ક્યુલેટર એક મોટી મદદ છે, જે તમને ગણતરી કરવા દે છે. સામાન્ય અપૂર્ણાંક. મેં તમને ઘણી વખત સલાહ આપી છે અને તમને ફરીથી ભલામણ કરીશ.

બે સમાંતર રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર કેવી રીતે શોધવું?

ઉદાહરણ 9

બે સમાંતર રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર શોધો

માટે આ બીજું ઉદાહરણ છે સ્વતંત્ર નિર્ણય. હું તમને થોડો સંકેત આપીશ: આને ઉકેલવા માટે અનંત રીતે ઘણી બધી રીતો છે. પાઠના અંતે ડિબ્રીફિંગ, પરંતુ તમારા માટે અનુમાન લગાવવાનો પ્રયાસ કરવો વધુ સારું છે, મને લાગે છે કે તમારી ચાતુર્ય સારી રીતે વિકસિત હતી.

બે સીધી રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો

દરેક ખૂણો જામ છે:

ભૂમિતિમાં, બે સીધી રેખાઓ વચ્ચેના ખૂણોને નાનો કોણ માનવામાં આવે છે, જેમાંથી તે આપમેળે અનુસરે છે કે તે સ્થૂળ ન હોઈ શકે. આકૃતિમાં, લાલ ચાપ દ્વારા દર્શાવેલ ખૂણાને છેદતી રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો ગણવામાં આવતો નથી. અને તેના "લીલા" પાડોશી અથવા વિરુદ્ધ લક્ષી"રાસ્પબેરી" ખૂણો.

જો રેખાઓ કાટખૂણે હોય, તો 4 ખૂણાઓમાંથી કોઈપણ તેમની વચ્ચેના ખૂણા તરીકે લઈ શકાય છે.

ખૂણા કેવી રીતે અલગ છે? ઓરિએન્ટેશન. સૌપ્રથમ, જે દિશામાં કોણ "સ્ક્રોલ કરેલ" છે તે મૂળભૂત રીતે મહત્વપૂર્ણ છે. બીજું, નકારાત્મક લક્ષી કોણ ઓછા ચિહ્ન સાથે લખાયેલ છે, ઉદાહરણ તરીકે જો .

મેં તમને આ કેમ કહ્યું? એવું લાગે છે કે આપણે ખૂણાના સામાન્ય ખ્યાલ સાથે મેળવી શકીએ છીએ. હકીકત એ છે કે જે સૂત્રો દ્વારા આપણે ખૂણા શોધીશું તે સરળતાથી નકારાત્મક પરિણામમાં પરિણમી શકે છે, અને આનાથી તમને આશ્ચર્ય ન થવું જોઈએ. માઈનસ ચિહ્ન સાથેનો ખૂણો વધુ ખરાબ નથી, અને તે ખૂબ જ વિશિષ્ટ છે ભૌમિતિક અર્થ. ડ્રોઇંગમાં, નકારાત્મક કોણ માટે, તીર (ઘડિયાળની દિશામાં) વડે તેની દિશા સૂચવવાનું ભૂલશો નહીં.

બે સીધી રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો કેવી રીતે શોધવો?ત્યાં બે કાર્યકારી સૂત્રો છે:

ઉદાહરણ 10

રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો શોધો

ઉકેલઅને પદ્ધતિ એક

માં સમીકરણો દ્વારા આપવામાં આવેલી બે સીધી રેખાઓ ધ્યાનમાં લો સામાન્ય દૃશ્ય:

જો સીધા કાટખૂણે નથી, તે લક્ષીતેમની વચ્ચેના કોણની ગણતરી સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરી શકાય છે:

ચાલો છેદ પર ધ્યાન આપીએ - આ બરાબર છે સ્કેલર ઉત્પાદનસીધી રેખાઓના નિર્દેશન વેક્ટર્સ:

જો , તો સૂત્રનો છેદ શૂન્ય બને છે, અને વેક્ટર ઓર્થોગોનલ હશે અને રેખાઓ લંબરૂપ હશે. તેથી જ ફોર્મ્યુલેશનમાં સીધી રેખાઓની બિન-લંબતા વિશે આરક્ષણ કરવામાં આવ્યું હતું.

ઉપરના આધારે, ઉકેલને બે પગલામાં ઔપચારિક બનાવવાનું અનુકૂળ છે:

1) ચાલો રેખાઓના દિશા વેક્ટરના સ્કેલર ઉત્પાદનની ગણતરી કરીએ:

2) સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને સીધી રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો શોધો:

વ્યસ્ત કાર્યનો ઉપયોગ કરીને, કોણ પોતે જ શોધવું સરળ છે. આ કિસ્સામાં, અમે આર્કટેન્જેન્ટની વિચિત્રતાનો ઉપયોગ કરીએ છીએ (જુઓ. આલેખ અને ગુણધર્મો પ્રાથમિક કાર્યો ):

જવાબ આપો:

જવાબમાં અમે સૂચવીએ છીએ ખરી કિંમત, તેમજ અંદાજિત મૂલ્ય (પ્રાધાન્ય બંને ડિગ્રી અને રેડિયનમાં), કેલ્ક્યુલેટરનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરવામાં આવે છે.

સારું, માઈનસ, માઈનસ, કોઈ મોટી વાત નથી. અહીં એક ભૌમિતિક ચિત્ર છે:

તે આશ્ચર્યજનક નથી કે કોણ નકારાત્મક અભિગમનો હોવાનું બહાર આવ્યું છે, કારણ કે સમસ્યાના નિવેદનમાં પ્રથમ નંબર સીધી રેખા છે અને કોણનું "અનસ્ક્રુઇંગ" તેની સાથે ચોક્કસપણે શરૂ થયું હતું.

જો તમે ખરેખર સકારાત્મક ખૂણો મેળવવા માંગતા હો, તો તમારે રેખાઓને સ્વેપ કરવાની જરૂર છે, એટલે કે, બીજા સમીકરણમાંથી ગુણાંક લો. , અને પ્રથમ સમીકરણમાંથી ગુણાંક લો. ટૂંકમાં, તમારે ડાયરેક્ટથી શરૂઆત કરવાની જરૂર છે .

હું તેને છુપાવીશ નહીં, હું ક્રમમાં સીધી રેખાઓ જાતે પસંદ કરું છું જેથી કોણ સકારાત્મક બને. તે વધુ સુંદર છે, પરંતુ વધુ કંઈ નથી.

તમારા ઉકેલને તપાસવા માટે, તમે પ્રોટ્રેક્ટર લઈ શકો છો અને કોણ માપી શકો છો.

પદ્ધતિ બે

જો ઢાળ સાથેના સમીકરણો દ્વારા સીધી રેખાઓ આપવામાં આવે છે અને કાટખૂણે નથી, તે લક્ષીતેમની વચ્ચેનો કોણ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે:

રેખાઓની લંબરૂપતાની સ્થિતિ સમાનતા દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે, જેમાંથી, માર્ગ દ્વારા, લંબ રેખાઓના કોણીય ગુણાંક વચ્ચેના ખૂબ જ ઉપયોગી સંબંધને અનુસરે છે: , જેનો ઉપયોગ કેટલીક સમસ્યાઓમાં થાય છે.

સોલ્યુશન એલ્ગોરિધમ પાછલા ફકરા જેવું જ છે. પરંતુ પ્રથમ, ચાલો જરૂરી ફોર્મમાં આપણી સીધી રેખાઓ ફરીથી લખીએ:

આમ, ઢોળાવ છે:

1) ચાલો તપાસીએ કે રેખાઓ લંબરૂપ છે કે કેમ:
, જેનો અર્થ છે કે રેખાઓ લંબરૂપ નથી.

2) સૂત્રનો ઉપયોગ કરો:

જવાબ આપો:

જ્યારે રેખાઓના સમીકરણો શરૂઆતમાં કોણીય ગુણાંક સાથે નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે ત્યારે બીજી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવો યોગ્ય છે. એ નોંધવું જોઈએ કે જો ઓછામાં ઓછી એક સીધી રેખા ઓર્ડિનેટ અક્ષની સમાંતર હોય, તો સૂત્ર બિલકુલ લાગુ પડતું નથી, કારણ કે આવી સીધી રેખાઓ માટે ઢોળાવ વ્યાખ્યાયિત નથી (લેખ જુઓ પ્લેન પર સીધી રેખાનું સમીકરણ).

ત્રીજો ઉપાય છે. પાઠમાં ચર્ચા કરેલ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને રેખાઓના દિશા વેક્ટર વચ્ચેના ખૂણાની ગણતરી કરવાનો વિચાર છે. વેક્ટર્સનું ડોટ ઉત્પાદન:

અહીં આપણે હવે લક્ષી કોણ વિશે વાત કરી રહ્યા નથી, પરંતુ "માત્ર એક ખૂણા વિશે", એટલે કે, પરિણામ ચોક્કસપણે હકારાત્મક હશે. કેચ એ છે કે તમે એક અસ્પષ્ટ કોણ સાથે સમાપ્ત થઈ શકો છો (તમને જરૂરી નથી). આ કિસ્સામાં, તમારે આરક્ષણ કરવું પડશે કે સીધી રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો નાનો કોણ છે, અને પરિણામી આર્ક કોસાઇનને “pi” રેડિયન્સ (180 ડિગ્રી)માંથી બાદ કરો.

જેઓ ઈચ્છે છે તેઓ ત્રીજી રીતે સમસ્યાનો ઉકેલ લાવી શકે છે. પરંતુ હું હજી પણ લક્ષી કોણ સાથે પ્રથમ અભિગમને વળગી રહેવાની ભલામણ કરું છું, કારણ કે તે વ્યાપક છે.

ઉદાહરણ 11

રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો શોધો.

આ તમારા માટે એક ઉદાહરણ છે જે તમે તમારી જાતે હલ કરી શકો છો. તેને બે રીતે હલ કરવાનો પ્રયાસ કરો.

કોઈક રીતે પરીકથા રસ્તામાં મરી ગઈ ... કારણ કે ત્યાં કોઈ કશ્ચેઈ અમર નથી. ત્યાં હું છું, અને હું ખાસ બાફતો નથી. સાચું કહું તો, મને લાગ્યું કે લેખ ઘણો લાંબો હશે. પરંતુ હું હજી પણ મારી તાજેતરમાં મેળવેલી ટોપી અને ચશ્મા લઈશ અને સપ્ટેમ્બરના તળાવના પાણીમાં તરવા જઈશ. થાક અને નકારાત્મક ઊર્જાને સંપૂર્ણ રીતે દૂર કરે છે.

પહેલાં ફરી મળ્યા!

અને યાદ રાખો, બાબા યાગા રદ કરવામાં આવી નથી =)

ઉકેલો અને જવાબો:

ઉદાહરણ 3:ઉકેલ : ચાલો રેખાની દિશા વેક્ટર શોધીએ :

ચાલો બિંદુનો ઉપયોગ કરીને ઇચ્છિત રેખાનું સમીકરણ બનાવીએ અને દિશા વેક્ટર . દિશા વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સમાંથી એક શૂન્ય હોવાથી, સમીકરણ ચાલો તેને ફોર્મમાં ફરીથી લખીએ:

જવાબ આપો :

ઉદાહરણ 5:ઉકેલ :
1) રેખાનું સમીકરણ ચાલો બે પોઈન્ટ બનાવીએ :

2) રેખાનું સમીકરણ ચાલો બે પોઈન્ટ બનાવીએ :

3) ચલો માટે અનુરૂપ ગુણાંક પ્રમાણસર નથી: , જેનો અર્થ છે રેખાઓ છેદે છે.
4) એક બિંદુ શોધો :

નૉૅધ : અહીં સિસ્ટમના પ્રથમ સમીકરણને 5 વડે ગુણાકાર કરવામાં આવે છે, પછી 2જાને 1લા સમીકરણમાંથી પદ વડે બાદ કરવામાં આવે છે.
જવાબ આપો :

ઓહ-ઓહ-ઓહ-ઓહ-ઓહ... સારું, તે અઘરું છે, જાણે કે તે પોતાની જાતને વાક્ય વાંચી રહ્યો હોય =) જો કે, છૂટછાટ પછીથી મદદ કરશે, ખાસ કરીને આજથી મેં યોગ્ય એસેસરીઝ ખરીદી છે. તેથી, ચાલો પ્રથમ વિભાગમાં આગળ વધીએ, મને આશા છે કે લેખના અંત સુધીમાં હું ખુશખુશાલ મૂડ જાળવીશ.

બે સીધી રેખાઓની સંબંધિત સ્થિતિ

જ્યારે પ્રેક્ષકો કોરસમાં ગાય છે ત્યારે આ સ્થિતિ છે. બે સીધી રેખાઓ કરી શકો છો:

1) મેચ;

2) સમાંતર રહો: ;

3) અથવા એક બિંદુ પર છેદે: .

ડમી માટે મદદ : કૃપા કરીને ગાણિતિક આંતરછેદ ચિહ્ન યાદ રાખો, તે ઘણી વાર દેખાશે. સંકેતનો અર્થ એ છે કે રેખા બિંદુ પરની રેખા સાથે છેદે છે.

બે રેખાઓની સંબંધિત સ્થિતિ કેવી રીતે નક્કી કરવી?

ચાલો પ્રથમ કેસથી પ્રારંભ કરીએ:

બે રેખાઓ એકરૂપ થાય છે જો અને માત્ર જો તેમના અનુરૂપ ગુણાંક પ્રમાણસર હોય, એટલે કે, ત્યાં એક નંબર છે "લેમ્બડા" જેમ કે સમાનતાઓ સંતુષ્ટ છે

ચાલો સીધી રેખાઓ ધ્યાનમાં લઈએ અને અનુરૂપ ગુણાંકમાંથી ત્રણ સમીકરણો બનાવીએ: . દરેક સમીકરણ પરથી તે અનુસરે છે કે, તેથી, આ રેખાઓ એકરૂપ થાય છે.

ખરેખર, જો સમીકરણના તમામ ગુણાંક –1 વડે ગુણાકાર કરો (ચિહ્નો બદલો), અને સમીકરણના તમામ ગુણાંક 2 દ્વારા કાપો, તમને સમાન સમીકરણ મળશે:

બીજો કેસ, જ્યારે રેખાઓ સમાંતર હોય છે:

બે રેખાઓ સમાંતર છે જો અને માત્ર જો તેમના ચલોના ગુણાંક પ્રમાણસર હોય: , પરંતુ.

ઉદાહરણ તરીકે, બે સીધી રેખાઓ ધ્યાનમાં લો. અમે ચલો માટે અનુરૂપ ગુણાંકની પ્રમાણસરતા તપાસીએ છીએ:

જો કે, તે તદ્દન સ્પષ્ટ છે કે.

અને ત્રીજો કેસ, જ્યારે રેખાઓ છેદે છે:

બે રેખાઓ છેદે છે જો અને માત્ર જો તેમના ચલોના ગુણાંક પ્રમાણસર ન હોય, એટલે કે, "લેમ્બડા" નું એવું કોઈ મૂલ્ય નથી કે સમાનતાઓ સંતુષ્ટ થાય

તેથી, સીધી રેખાઓ માટે આપણે એક સિસ્ટમ બનાવીશું:

પ્રથમ સમીકરણથી તે અનુસરે છે , અને બીજા સમીકરણમાંથી: , જેનો અર્થ થાય છે સિસ્ટમ અસંગત છે(કોઈ ઉકેલો નથી). આમ, ચલોના ગુણાંક પ્રમાણસર નથી.

નિષ્કર્ષ: રેખાઓ છેદે છે

વ્યવહારિક સમસ્યાઓમાં, તમે હમણાં જ ચર્ચા કરેલ ઉકેલ યોજનાનો ઉપયોગ કરી શકો છો. માર્ગ દ્વારા, તે કોલિનિયરિટી માટે વેક્ટર્સને તપાસવા માટેના અલ્ગોરિધમની ખૂબ જ યાદ અપાવે છે, જે આપણે વર્ગમાં જોયું છે. વેક્ટર્સની રેખીય (માં) અવલંબનનો ખ્યાલ. વેક્ટર્સનો આધાર. પરંતુ ત્યાં વધુ સંસ્કારી પેકેજિંગ છે:

ઉદાહરણ 1

બહાર આકૃતિ પરસ્પર વ્યવસ્થાપ્રત્યક્ષ:

ઉકેલસીધી રેખાઓના નિર્દેશન વેક્ટરના અભ્યાસના આધારે:

a) સમીકરણોમાંથી આપણે રેખાઓના દિશા વેક્ટર શોધીએ છીએ: .

, જેનો અર્થ છે કે વેક્ટર સમરેખા નથી અને રેખાઓ એકબીજાને છેદે છે.

માત્ર કિસ્સામાં, હું ક્રોસરોડ્સ પર ચિહ્નો સાથે એક પથ્થર મૂકીશ:

બાકીના લોકો પત્થર પર કૂદીને આગળ વધે છે, સીધા કાશ્ચેઇ ધ ઇમોર્ટલ =)

b) રેખાઓના દિશા વેક્ટર શોધો:

રેખાઓ સમાન દિશા વેક્ટર ધરાવે છે, જેનો અર્થ છે કે તેઓ કાં તો સમાંતર અથવા સંયોગ છે. અહીં નિર્ણાયકની ગણતરી કરવાની જરૂર નથી.

તે સ્પષ્ટ છે કે અજ્ઞાતના ગુણાંક પ્રમાણસર છે, અને .

ચાલો શોધી કાઢીએ કે સમાનતા સાચી છે કે કેમ:

આમ,

c) રેખાઓના દિશા વેક્ટર શોધો:

ચાલો આ વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સથી બનેલા નિર્ણાયકની ગણતરી કરીએ:
, તેથી, દિશા વેક્ટર સમરેખા છે. રેખાઓ કાં તો સમાંતર અથવા સંયોગ છે.

સમપ્રમાણતા ગુણાંક "લેમ્બડા" કોલિનિયર દિશા વેક્ટરના ગુણોત્તરમાંથી સીધા જ જોવા માટે સરળ છે. જો કે, તે સમીકરણોના ગુણાંક દ્વારા પણ શોધી શકાય છે: .

હવે ચાલો શોધી કાઢીએ કે સમાનતા સાચી છે કે કેમ. બંને મફત શરતો શૂન્ય છે, તેથી:

પરિણામી મૂલ્ય આ સમીકરણને સંતોષે છે (સામાન્ય રીતે કોઈપણ સંખ્યા તેને સંતોષે છે).

આમ, રેખાઓ એકરૂપ થાય છે.

જવાબ આપો:

બહુ જલદી તમે શીખી જશો (અથવા તો પહેલેથી જ શીખી ગયા છો) મૌખિક રીતે ચર્ચા કરેલી સમસ્યાને થોડીક સેકંડમાં હલ કરવી. આ સંદર્ભમાં, મને સ્વતંત્ર ઉકેલ માટે કંઈપણ ઓફર કરવામાં કોઈ મુદ્દો દેખાતો નથી; ભૌમિતિક પાયામાં બીજી મહત્વપૂર્ણ ઈંટ મૂકવી વધુ સારું છે:

આપેલ રેખાની સમાંતર રેખા કેવી રીતે બનાવવી?

આની અજ્ઞાનતા માટે સૌથી સરળ કાર્યનાઇટીંગેલ ધ રોબર સખત સજા કરે છે.

ઉદાહરણ 2

સીધી રેખા સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે. બિંદુમાંથી પસાર થતી સમાંતર રેખા માટે સમીકરણ લખો.

ઉકેલ: ચાલો અક્ષર દ્વારા અજાણી લીટી દર્શાવીએ. સ્થિતિ તેના વિશે શું કહે છે? સીધી રેખા બિંદુમાંથી પસાર થાય છે. અને જો રેખાઓ સમાંતર હોય, તો સ્પષ્ટ છે કે સીધી રેખા "tse" ની દિશા વેક્ટર પણ સીધી રેખા "de" બાંધવા માટે યોગ્ય છે.

અમે સમીકરણમાંથી દિશા વેક્ટર લઈએ છીએ:

જવાબ આપો:

ઉદાહરણ ભૂમિતિ સરળ લાગે છે:

વિશ્લેષણાત્મક પરીક્ષણ સમાવે છે આગામી પગલાં:

1) અમે તપાસીએ છીએ કે રેખાઓ સમાન દિશા વેક્ટર ધરાવે છે (જો રેખાનું સમીકરણ યોગ્ય રીતે સરળ ન હોય, તો વેક્ટર સમરેખા હશે).

2) ચકાસો કે શું બિંદુ પરિણામી સમીકરણને સંતોષે છે.

મોટાભાગના કિસ્સાઓમાં, વિશ્લેષણાત્મક પરીક્ષણ સરળતાથી મૌખિક રીતે કરી શકાય છે. બે સમીકરણો જુઓ, અને તમારામાંના ઘણા કોઈપણ રેખાંકન વિના રેખાઓની સમાંતરતા ઝડપથી નક્કી કરશે.

સ્વતંત્ર ઉકેલો માટેના ઉદાહરણો આજે સર્જનાત્મક હશે. કારણ કે તમારે હજી પણ બાબા યાગા સાથે સ્પર્ધા કરવી પડશે, અને તે, તમે જાણો છો, તમામ પ્રકારની કોયડાઓની પ્રેમી છે.

ઉદાહરણ 3

જો રેખાની સમાંતર બિંદુમાંથી પસાર થતી રેખા માટે સમીકરણ લખો

તેને ઉકેલવા માટે એક તર્કસંગત અને એટલી તર્કસંગત રીત નથી. સૌથી ટૂંકો રસ્તો પાઠના અંતે છે.

અમે સમાંતર રેખાઓ સાથે થોડું કામ કર્યું છે અને પછીથી તેમના પર પાછા આવીશું. એકરૂપ રેખાઓનો કિસ્સો થોડો રસ ધરાવતો નથી, તેથી ચાલો એક સમસ્યાને ધ્યાનમાં લઈએ જે તમને અહીંથી પરિચિત છે. શાળા અભ્યાસક્રમ:

બે રેખાઓના આંતરછેદના બિંદુને કેવી રીતે શોધી શકાય?

જો સીધા બિંદુ પર છેદે છે, પછી તેના કોઓર્ડિનેટ્સ ઉકેલ છે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમો

રેખાઓના આંતરછેદના બિંદુને કેવી રીતે શોધવું? સિસ્ટમ ઉકેલો.

અહીં તમે જાઓ બે અજ્ઞાત સાથેના બે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમનો ભૌમિતિક અર્થ- આ પ્લેન પર બે છેદતી (મોટાભાગે) રેખાઓ છે.

ઉદાહરણ 4

રેખાઓના આંતરછેદનું બિંદુ શોધો

ઉકેલ: ઉકેલવાની બે રીતો છે - ગ્રાફિકલ અને વિશ્લેષણાત્મક.

ગ્રાફિકલ પદ્ધતિ એ છે કે આપેલ રેખાઓને સરળ રીતે દોરવી અને ડ્રોઇંગમાંથી સીધા આંતરછેદ બિંદુને શોધી કાઢો:

અહીં અમારો મુદ્દો છે: . તપાસવા માટે, તમારે તેના કોઓર્ડિનેટ્સને લીટીના દરેક સમીકરણમાં બદલવા જોઈએ, તેઓ ત્યાં અને ત્યાં બંને ફિટ હોવા જોઈએ. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ એ સિસ્ટમનો ઉકેલ છે. આવશ્યકપણે, અમે ગ્રાફિકલ સોલ્યુશન તરફ જોયું રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમોબે સમીકરણો સાથે, બે અજાણ્યા.

ગ્રાફિકલ પદ્ધતિ, અલબત્ત, ખરાબ નથી, પરંતુ તેમાં નોંધપાત્ર ગેરફાયદા છે. ના, મુદ્દો એ નથી કે સાતમા ધોરણના વિદ્યાર્થીઓ આ રીતે નિર્ણય કરે છે, મુદ્દો એ છે કે સાચો અને સચોટ ચિત્ર બનાવવામાં સમય લાગશે. વધુમાં, કેટલીક સીધી રેખાઓ બાંધવી એટલી સરળ નથી, અને આંતરછેદનું બિંદુ પોતે નોટબુક શીટની બહાર ત્રીસમા રાજ્યમાં ક્યાંક સ્થિત હોઈ શકે છે.

તેથી, વિશ્લેષણાત્મક પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને આંતરછેદ બિંદુ શોધવાનું વધુ યોગ્ય છે. ચાલો સિસ્ટમ હલ કરીએ:

સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે, સમીકરણોના ટર્મ-બાય-ટર્મ એડિશનની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો હતો. સંબંધિત કુશળતા વિકસાવવા માટે, એક પાઠ લો સમીકરણોની સિસ્ટમ કેવી રીતે હલ કરવી?

જવાબ આપો:

ચેક તુચ્છ છે - આંતરછેદ બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ સિસ્ટમના દરેક સમીકરણને સંતોષવા જોઈએ.

ઉદાહરણ 5

જો લીટીઓ છેદે છે તો તેના આંતરછેદના બિંદુને શોધો.

આ તમારા માટે એક ઉદાહરણ છે જે તમે તમારી જાતે હલ કરી શકો છો. કાર્યને ઘણા તબક્કામાં વિભાજિત કરવું અનુકૂળ છે. સ્થિતિનું વિશ્લેષણ સૂચવે છે કે તે જરૂરી છે:
1) સીધી રેખાનું સમીકરણ લખો.
2) સીધી રેખાનું સમીકરણ બનાવો.
3) રેખાઓની સંબંધિત સ્થિતિ શોધો.
4) જો રેખાઓ એકબીજાને છેદે છે, તો પછી આંતરછેદનું બિંદુ શોધો.

ક્રિયા અલ્ગોરિધમનો વિકાસ ઘણી ભૌમિતિક સમસ્યાઓ માટે લાક્ષણિક છે, અને હું વારંવાર આના પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરીશ.

સંપૂર્ણ ઉકેલઅને પાઠના અંતે જવાબ:

અમે પાઠના બીજા વિભાગમાં પહોંચ્યા તે પહેલાં પગરખાંની એક જોડી પણ ખરી ન હતી:

લંબ રેખાઓ. એક બિંદુથી એક રેખા સુધીનું અંતર.
સીધી રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો

ચાલો એક લાક્ષણિક અને ખૂબ સાથે શરૂ કરીએ મહત્વપૂર્ણ કાર્ય. પ્રથમ ભાગમાં, અમે આની સમાંતર સીધી રેખા કેવી રીતે બનાવવી તે શીખ્યા, અને હવે ચિકન પગ પરની ઝૂંપડી 90 ડિગ્રી ફેરવશે:

આપેલ એકને લંબરૂપ રેખા કેવી રીતે બનાવવી?

ઉદાહરણ 6

સીધી રેખા સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે. બિંદુમાંથી પસાર થતી રેખા પર લંબરૂપ સમીકરણ લખો.

ઉકેલશરત દ્વારા તે જાણીતું છે કે. રેખાના નિર્દેશન વેક્ટરને શોધવાનું સરસ રહેશે. લીટીઓ લંબરૂપ હોવાથી, યુક્તિ સરળ છે:

સમીકરણમાંથી આપણે સામાન્ય વેક્ટરને "દૂર" કરીએ છીએ: , જે સીધી રેખાનું નિર્દેશન વેક્ટર હશે.

ચાલો બિંદુ અને દિશા વેક્ટરનો ઉપયોગ કરીને સીધી રેખાનું સમીકરણ બનાવીએ:

જવાબ આપો:

ચાલો ભૌમિતિક સ્કેચને વિસ્તૃત કરીએ:

હમ્મ... નારંગી આકાશ, નારંગી સમુદ્ર, નારંગી ઊંટ.

ઉકેલની વિશ્લેષણાત્મક ચકાસણી:

1) આપણે સમીકરણોમાંથી દિશા વેક્ટર કાઢીએ છીએ અને મદદ સાથે વેક્ટર્સનું સ્કેલર ઉત્પાદનઅમે નિષ્કર્ષ પર આવીએ છીએ કે રેખાઓ ખરેખર કાટખૂણે છે: .

માર્ગ દ્વારા, તમે સામાન્ય વેક્ટરનો ઉપયોગ કરી શકો છો, તે વધુ સરળ છે.

2) ચકાસો કે શું બિંદુ પરિણામી સમીકરણને સંતોષે છે .

ટેસ્ટ, ફરીથી, મૌખિક રીતે કરવા માટે સરળ છે.

ઉદાહરણ 7

જો સમીકરણ જાણીતું હોય તો લંબ રેખાઓના આંતરછેદનું બિંદુ શોધો અને સમયગાળો.

આ તમારા માટે એક ઉદાહરણ છે જે તમે તમારી જાતે હલ કરી શકો છો. સમસ્યામાં ઘણી બધી ક્રિયાઓ છે, તેથી બિંદુ દ્વારા ઉકેલ બિંદુ ઘડવાનું અનુકૂળ છે.

અમારી રોમાંચક યાત્રા ચાલુ રહે છે:

બિંદુથી રેખા સુધીનું અંતર

અમારી સામે નદીની એક સીધી પટ્ટી છે અને અમારું કાર્ય સૌથી ટૂંકા માર્ગે પહોંચવાનું છે. ત્યાં કોઈ અવરોધો નથી, અને સૌથી શ્રેષ્ઠ માર્ગ કાટખૂણે સાથે આગળ વધવાનો રહેશે. એટલે કે, એક બિંદુથી એક રેખા સુધીનું અંતર કાટખૂણે ભાગની લંબાઈ છે.

ભૂમિતિમાં અંતર પરંપરાગત રીતે ગ્રીક અક્ષર "rho" દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે, ઉદાહરણ તરીકે: - બિંદુ "em" થી સીધી રેખા "de" સુધીનું અંતર.

બિંદુથી રેખા સુધીનું અંતર સૂત્ર દ્વારા વ્યક્ત

ઉદાહરણ 8

એક બિંદુથી રેખા સુધીનું અંતર શોધો

ઉકેલ: તમારે ફક્ત સૂત્રમાં સંખ્યાઓને કાળજીપૂર્વક બદલવાની અને ગણતરીઓ કરવાની જરૂર છે:

જવાબ આપો:

ચાલો ડ્રોઇંગ બનાવીએ:

બિંદુથી રેખા સુધીનું અંતર એ લાલ સેગમેન્ટની લંબાઈ બરાબર છે. જો તમે 1 યુનિટના સ્કેલ પર ચેકર્ડ પેપર પર ડ્રોઇંગ દોરો છો. = 1 સેમી (2 કોષો), પછી અંતર સામાન્ય શાસક સાથે માપી શકાય છે.

ચાલો સમાન ડ્રોઇંગ પર આધારિત અન્ય કાર્યને ધ્યાનમાં લઈએ:

1) રેખાને લંબરૂપ હોય તેવી રેખા શોધો.

2) રેખાઓના આંતરછેદનું બિંદુ શોધો: .

આ પાઠમાં બંને ક્રિયાઓની વિગતવાર ચર્ચા કરવામાં આવી છે.

તે તપાસવું એક સારો વિચાર હશે કે અંતર પણ 2.2 એકમ છે.

અહીં ગણતરીમાં મુશ્કેલીઓ ઊભી થઈ શકે છે, પરંતુ માઇક્રોકેલ્ક્યુલેટર એ ટાવરમાં એક મોટી મદદ છે, જે તમને સામાન્ય અપૂર્ણાંકની ગણતરી કરવા દે છે. મેં તમને ઘણી વખત સલાહ આપી છે અને તમને ફરીથી ભલામણ કરીશ.

બે સમાંતર રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર કેવી રીતે શોધવું?

ઉદાહરણ 9

બે સમાંતર રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર શોધો

તમારા પોતાના પર નિર્ણય લેવા માટે આ બીજું ઉદાહરણ છે. હું તમને થોડો સંકેત આપીશ: આને ઉકેલવા માટે અનંત રીતે ઘણી બધી રીતો છે. પાઠના અંતે ડીબ્રીફિંગ, પરંતુ તમારા માટે અનુમાન લગાવવાનો પ્રયાસ કરવો વધુ સારું છે, મને લાગે છે કે તમારી ચાતુર્ય સારી રીતે વિકસિત હતી.

બે સીધી રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો

મેં તમને આ કેમ કહ્યું? એવું લાગે છે કે આપણે ખૂણાના સામાન્ય ખ્યાલ સાથે મેળવી શકીએ છીએ. હકીકત એ છે કે જે સૂત્રો દ્વારા આપણે ખૂણા શોધીશું તે સરળતાથી નકારાત્મક પરિણામમાં પરિણમી શકે છે, અને આનાથી તમને આશ્ચર્ય ન થવું જોઈએ. માઈનસ ચિહ્ન સાથેનો ખૂણો વધુ ખરાબ નથી અને તેનો ખૂબ જ ચોક્કસ ભૌમિતિક અર્થ છે. ડ્રોઇંગમાં, નકારાત્મક કોણ માટે, તીર (ઘડિયાળની દિશામાં) વડે તેની દિશા સૂચવવાનું ભૂલશો નહીં.

બે સીધી રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો કેવી રીતે શોધવો?ત્યાં બે કાર્યકારી સૂત્રો છે:

ઉદાહરણ 10

રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો શોધો

ઉકેલઅને પદ્ધતિ એક

ચાલો સામાન્ય સ્વરૂપમાં સમીકરણો દ્વારા વ્યાખ્યાયિત બે સીધી રેખાઓ ધ્યાનમાં લઈએ:

ઉપરના આધારે, ઉકેલને બે પગલામાં ઔપચારિક બનાવવાનું અનુકૂળ છે:

1) ચાલો રેખાઓના દિશા વેક્ટરના સ્કેલર ઉત્પાદનની ગણતરી કરીએ:
, જેનો અર્થ છે કે રેખાઓ લંબરૂપ નથી.

2) સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને સીધી રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો શોધો:

વ્યસ્ત કાર્યનો ઉપયોગ કરીને, કોણ પોતે જ શોધવું સરળ છે. આ કિસ્સામાં, અમે આર્કટેન્જેન્ટની વિચિત્રતાનો ઉપયોગ કરીએ છીએ (જુઓ. પ્રાથમિક કાર્યોના આલેખ અને ગુણધર્મો):

જવાબ આપો:

તમારા જવાબમાં, અમે કેલ્ક્યુલેટરનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરેલ ચોક્કસ મૂલ્ય, તેમજ અંદાજિત મૂલ્ય (પ્રાધાન્યમાં બંને ડિગ્રી અને રેડિયનમાં) સૂચવીએ છીએ.

સમસ્યાની રચના. બિંદુના સપ્રમાણતાવાળા બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધો પ્લેનની તુલનામાં.

ઉકેલ યોજના.

1. સીધી રેખાનું સમીકરણ શોધો જે આપેલ સમતલને લંબરૂપ હોય અને બિંદુ પરથી પસાર થાય. . સીધી રેખા આપેલ પ્લેન પર લંબરૂપ હોવાથી, પ્લેનના સામાન્ય વેક્ટરને તેના દિશા વેક્ટર તરીકે લઈ શકાય છે, એટલે કે.

તેથી સીધી રેખાનું સમીકરણ હશે

2. બિંદુ શોધો સીધી રેખાનું આંતરછેદ અને વિમાનો (જુઓ સમસ્યા 13).

3. બિંદુ સેગમેન્ટનો મધ્યબિંદુ છે જ્યાં બિંદુ છે બિંદુ માટે સપ્રમાણ બિંદુ છે , એ કારણે

સમસ્યા 14. પ્લેનની તુલનામાં બિંદુને સપ્રમાણતાવાળા બિંદુ શોધો.

આપેલ પ્લેન પર લંબરૂપ બિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખાનું સમીકરણ આ હશે:

ચાલો રેખા અને વિમાનના આંતરછેદના બિંદુને શોધીએ.

જ્યાં - એક રેખા અને વિમાનના આંતરછેદનું બિંદુ એ સેગમેન્ટની મધ્યમાં છે

તે. .

સજાતીય પ્લેન કોઓર્ડિનેટ્સ. પ્લેન પર Affine પરિવર્તનો.

દો એમ એક્સઅને ખાતે

એમ(એક્સ, ખાતેમાએ (એક્સ, ખાતે, 1) અવકાશમાં (ફિગ. 8).

માએ (એક્સ, ખાતે

માએ (એક્સ, ખાતે hu

(hx, hy, h), h  0,

ટિપ્પણી

h(દાખ્લા તરીકે, h

હકીકતમાં, વિચારણા h

ટિપ્પણી

ઉદાહરણ 1.

b) એક ખૂણા પર (ફિગ. 9).

1 લી પગલું.

2જું પગલું.કોણ દ્વારા ફેરવો 

અનુરૂપ પરિવર્તનનું મેટ્રિક્સ.

3જું પગલું.વેક્ટર A(a, b)

અનુરૂપ પરિવર્તનનું મેટ્રિક્સ.

ઉદાહરણ 3

 x-અક્ષ સાથે અને

1 લી પગલું.

અનુરૂપ પરિવર્તનનું મેટ્રિક્સ.

2જું પગલું.

3જું પગલું.

અમે આખરે તે મેળવીશું

ટિપ્પણી

[R],[D],[M],[T],

દો એમ- કોઓર્ડિનેટ્સ સાથે પ્લેનનો મનસ્વી બિંદુ એક્સઅને ખાતે, આપેલ રેક્ટિલિનિયર કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમને સંબંધિત ગણતરી કરેલ. આ બિંદુના સજાતીય કોઓર્ડિનેટ્સ એ એકસાથે બિન-શૂન્ય નંબરો x 1, x 2, x 3, નીચેના સંબંધો દ્વારા આપેલ સંખ્યાઓ x અને y સાથે સંબંધિત કોઈપણ ત્રિવિધ છે:

કોમ્પ્યુટર ગ્રાફિક્સ સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે, એકરૂપ કોઓર્ડિનેટ્સ સામાન્ય રીતે નીચે મુજબ દાખલ કરવામાં આવે છે: મનસ્વી બિંદુ સુધી એમ(એક્સ, ખાતે) પ્લેનને એક બિંદુ સોંપેલ છે માએ (એક્સ, ખાતે, 1) અવકાશમાં (ફિગ. 8).

નોંધ કરો કે મૂળ, બિંદુ 0(0, 0, 0), બિંદુ સાથે જોડતી રેખા પર એક મનસ્વી બિંદુ માએ (એક્સ, ખાતે, 1), ફોર્મ (hx, hy, h) ની સંખ્યાના ટ્રિપલ દ્વારા આપી શકાય છે.

કોઓર્ડિનેટ્સ hx, hy, સાથેનો વેક્ટર એ સીધી રેખાને જોડતા બિંદુઓ 0 (0, 0, 0) અને ની દિશા વેક્ટર છે માએ (એક્સ, ખાતે, 1). આ રેખા બિંદુ (x, y, 1) પર z = 1 સમતલને છેદે છે, જે સંકલન સમતલના બિંદુ (x, y) ને વિશિષ્ટ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરે છે. hu

આમ, કોઓર્ડિનેટ્સ (x, y) સાથેના મનસ્વી બિંદુ અને ફોર્મની સંખ્યાના ત્રિગુણના સમૂહ વચ્ચે

(hx, hy, h), h  0,

a (એક-થી-એક) પત્રવ્યવહાર સ્થાપિત થાય છે જે અમને આ બિંદુના નવા કોઓર્ડિનેટ્સ તરીકે hx, hy, h નંબરોને ધ્યાનમાં લેવાની મંજૂરી આપે છે.

ટિપ્પણી

પ્રોજેકટિવ ભૂમિતિમાં વ્યાપકપણે ઉપયોગમાં લેવાતા, સજાતીય કોઓર્ડિનેટ્સ કહેવાતા અયોગ્ય તત્વોનું અસરકારક રીતે વર્ણન કરવાનું શક્ય બનાવે છે (આવશ્યક રીતે તે જેમાં પ્રોજેક્ટિવ પ્લેન પરિચિત યુક્લિડિયન પ્લેનથી અલગ હોય છે). પરિચયિત સજાતીય કોઓર્ડિનેટ્સ દ્વારા પૂરી પાડવામાં આવેલ નવી શક્યતાઓ વિશે વધુ વિગતો આ પ્રકરણના ચોથા વિભાગમાં ચર્ચા કરવામાં આવી છે.

સજાતીય કોઓર્ડિનેટ્સ માટે પ્રોજેકટિવ ભૂમિતિમાં, નીચેના સંકેતો સ્વીકારવામાં આવે છે:

x:y:1, અથવા, વધુ સામાન્ય રીતે, x1:x2:x3

(યાદ રાખો કે અહીં તે એકદમ જરૂરી છે કે નંબરો x 1, x 2, x 3 એક જ સમયે શૂન્યમાં ન વળે).

એકરૂપ કોઓર્ડિનેટ્સનો ઉપયોગ સરળ સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે પણ અનુકૂળ હોવાનું બહાર આવ્યું છે.

ઉદાહરણ તરીકે, સ્કેલના ફેરફારોને લગતી સમસ્યાઓનો વિચાર કરો. જો ડિસ્પ્લે ઉપકરણ માત્ર પૂર્ણાંકો સાથે કામ કરે છે (અથવા જો તમારે ફક્ત પૂર્ણાંકો સાથે કામ કરવાની જરૂર હોય), તો મનસ્વી મૂલ્ય માટે h(દાખ્લા તરીકે, h= 1) સજાતીય કોઓર્ડિનેટ્સ સાથેનો બિંદુ

કલ્પના કરવી અશક્ય છે. જો કે, h ની વાજબી પસંદગી સાથે, આ બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ પૂર્ણાંકો છે તેની ખાતરી કરવી શક્ય છે. ખાસ કરીને, અમારી પાસે વિચારણા હેઠળના ઉદાહરણ માટે h = 10 માટે

ચાલો બીજા કેસનો વિચાર કરીએ. રૂપાંતરણ પરિણામોને અંકગણિત ઓવરફ્લો તરફ દોરી જતા રોકવા માટે, કોઓર્ડિનેટ્સ (80000 40000 1000) સાથેના બિંદુ માટે તમે લઈ શકો છો, ઉદાહરણ તરીકે, h=0.001. પરિણામે આપણને (80 40 1) મળે છે.

આપેલ ઉદાહરણો ગણતરીઓ હાથ ધરતી વખતે સજાતીય કોઓર્ડિનેટ્સનો ઉપયોગ કરવાની ઉપયોગીતા દર્શાવે છે. જો કે, કોમ્પ્યુટર ગ્રાફિક્સમાં સજાતીય કોઓર્ડિનેટ્સ રજૂ કરવાનો મુખ્ય હેતુ ભૌમિતિક રૂપાંતરણોને લાગુ કરવામાં તેમની અસંદિગ્ધ સગવડ છે.

સજાતીય કોઓર્ડિનેટ્સ અને થર્ડ-ઓર્ડર મેટ્રિસિસના ત્રણ ગણોનો ઉપયોગ કરીને, પ્લેનના કોઈપણ સંલગ્ન રૂપાંતરણનું વર્ણન કરી શકાય છે.

હકીકતમાં, વિચારણા h= 1, બે એન્ટ્રીઓની તુલના કરો: ચિહ્ન * અને નીચેના મેટ્રિક્સ એક સાથે ચિહ્નિત:

તે જોવાનું સરળ છે કે છેલ્લા સંબંધની જમણી બાજુના અભિવ્યક્તિઓનો ગુણાકાર કર્યા પછી, આપણે બંને સૂત્રો (*) અને સાચી સંખ્યાત્મક સમાનતા 1=1 મેળવીએ છીએ.

ટિપ્પણી

કેટલીકવાર સાહિત્યમાં અન્ય સંકેતનો ઉપયોગ થાય છે - સ્તંભાકાર સંકેત:

આ નોટેશન ઉપરોક્ત લાઇન-બાય-લાઇન નોટેશનની સમકક્ષ છે (અને ટ્રાન્સપોઝ કરીને તેમાંથી મેળવવામાં આવે છે).

મનસ્વી એફાઇન ટ્રાન્સફોર્મેશન મેટ્રિક્સના તત્વો સ્પષ્ટ ભૌમિતિક અર્થ ધરાવતા નથી. તેથી, આ અથવા તે મેપિંગને અમલમાં મૂકવા માટે, એટલે કે, આપેલ ભૌમિતિક વર્ણન અનુસાર અનુરૂપ મેટ્રિક્સના ઘટકો શોધવા માટે, વિશેષ તકનીકોની જરૂર છે. સામાન્ય રીતે, આ મેટ્રિક્સનું નિર્માણ, વિચારણા હેઠળની સમસ્યાની જટિલતા અને ઉપર વર્ણવેલ વિશિષ્ટ કેસોને અનુરૂપ, ઘણા તબક્કામાં વહેંચાયેલું છે.

દરેક તબક્કે, એક મેટ્રિક્સની શોધ કરવામાં આવે છે જે ઉપરોક્ત કેસો A, B, C અથવા Dમાંથી એક અથવા બીજાને અનુરૂપ હોય છે, જે સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત ભૌમિતિક ગુણધર્મો ધરાવે છે.

ચાલો અનુરૂપ થર્ડ-ઓર્ડર મેટ્રિસીસ લખીએ.

A. પરિભ્રમણ મેટ્રિક્સ

B. વિસ્તરણ મેટ્રિક્સ

B. પ્રતિબિંબ મેટ્રિક્સ

D. ટ્રાન્સફર મેટ્રિક્સ (અનુવાદ)

ચાલો પ્લેનના સંલગ્ન પરિવર્તનના ઉદાહરણોને ધ્યાનમાં લઈએ.

ઉદાહરણ 1.

બિંદુ A (a,b) એક ખૂણા પર (ફિગ. 9).

1 લી પગલું.કોઓર્ડિનેટ્સના મૂળ સાથે પરિભ્રમણના કેન્દ્રને સંરેખિત કરવા માટે વેક્ટર – A (-a, -b) માં સ્થાનાંતરિત કરો;

અનુરૂપ પરિવર્તનનું મેટ્રિક્સ.

2જું પગલું.કોણ દ્વારા ફેરવો 

અનુરૂપ પરિવર્તનનું મેટ્રિક્સ.

3જું પગલું.વેક્ટર A(a, b)પરિભ્રમણના કેન્દ્રને તેની પાછલી સ્થિતિ પર પાછા ફરવા માટે;

અનુરૂપ પરિવર્તનનું મેટ્રિક્સ.

ચાલો મેટ્રિસિસને તે જ ક્રમમાં ગુણાકાર કરીએ જે રીતે તેઓ લખ્યા છે:

પરિણામે, અમને લાગે છે કે જરૂરી પરિવર્તન (મેટ્રિક્સ નોટેશનમાં) આના જેવું દેખાશે:

પરિણામી મેટ્રિક્સના તત્વો (ખાસ કરીને છેલ્લી પંક્તિમાં) યાદ રાખવા એટલા સરળ નથી. તે જ સમયે, અનુરૂપ મેપિંગના ભૌમિતિક વર્ણનમાંથી ત્રણ ગુણાકાર મેટ્રિસિસ સરળતાથી બનાવી શકાય છે.

ઉદાહરણ 3

સ્ટ્રેચ ગુણાંક સાથે સ્ટ્રેચ મેટ્રિક્સ બનાવો x-અક્ષ સાથે અને ઓર્ડિનેટ અક્ષ સાથે અને બિંદુ A(a, b) પર કેન્દ્ર સાથે.

1 લી પગલું.કોઓર્ડિનેટ્સના મૂળ સાથે સ્ટ્રેચિંગ સેન્ટરને સંરેખિત કરવા માટે વેક્ટર -A(-a, -b) પર સ્થાનાંતરિત કરો;

અનુરૂપ પરિવર્તનનું મેટ્રિક્સ.

2જું પગલું.અનુક્રમે ગુણાંક  અને  સાથે સંકલન અક્ષો સાથે ખેંચવું; ટ્રાન્સફોર્મેશન મેટ્રિક્સ ફોર્મ ધરાવે છે

3જું પગલું.સ્ટ્રેચ સેન્ટરને તેની પાછલી સ્થિતિમાં પરત કરવા વેક્ટર A(a, b) પર સ્થાનાંતરિત કરો; અનુરૂપ પરિવર્તનનું મેટ્રિક્સ -

સમાન ક્રમમાં મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર

અમે આખરે તે મેળવીશું

ટિપ્પણી

એવી જ રીતે તર્ક, એટલે કે, સૂચિત રૂપાંતરને મેટ્રિસિસ દ્વારા સમર્થિત તબક્કામાં તોડવું[R],[D],[M],[T], કોઈપણ વ્યક્તિ તેના ભૌમિતિક વર્ણનમાંથી કોઈપણ અફાઈન ટ્રાન્સફોર્મેશનનું મેટ્રિક્સ બનાવી શકે છે.

શિફ્ટ ઉમેરા દ્વારા લાગુ કરવામાં આવે છે, અને સ્કેલિંગ અને પરિભ્રમણ ગુણાકાર દ્વારા લાગુ કરવામાં આવે છે.

સ્કેલિંગ ટ્રાન્સફોર્મ (વિસ્તરણ) મૂળની તુલનામાં ફોર્મ ધરાવે છે:

અથવા મેટ્રિક્સ સ્વરૂપમાં:

જ્યાં ડીx,ડીyઅક્ષો સાથે માપન પરિબળો છે, અને

- સ્કેલિંગ મેટ્રિક્સ.

જ્યારે D > 1, વિસ્તરણ થાય છે, જ્યારે 0<=D<1- сжатие

પરિભ્રમણ પરિવર્તન મૂળની તુલનામાં ફોર્મ છે:

અથવા મેટ્રિક્સ સ્વરૂપમાં:

જ્યાં φ પરિભ્રમણનો કોણ છે, અને

- પરિભ્રમણ મેટ્રિક્સ.

ટિપ્પણી:પરિભ્રમણ મેટ્રિક્સની કૉલમ અને પંક્તિઓ પરસ્પર ઓર્થોગોનલ એકમ વેક્ટર છે. હકીકતમાં, પંક્તિ વેક્ટરની લંબાઈના ચોરસ એક સમાન છે:

cosφ cosφ+sinφ sinφ = 1 અને (-sinφ) (-sinφ)+cosφ cosφ = 1,

અને પંક્તિ વેક્ટરનું સ્કેલર ઉત્પાદન છે

cosφ (-sinφ) + sinφ cosφ= 0.

વેક્ટર્સનું સ્કેલર ઉત્પાદન હોવાથી એ · બી = |એ| ·| બી| cosψ, જ્યાં | એ| - વેક્ટર લંબાઈ એ, |બી| - વેક્ટર લંબાઈ બી, અને ψ એ તેમની વચ્ચેનો સૌથી નાનો સકારાત્મક કોણ છે, પછી લંબાઈ 1 ના બે પંક્તિ વેક્ટરના સ્કેલર ઉત્પાદનની સમાનતા 0 થી તે અનુસરે છે કે તેમની વચ્ચેનો કોણ 90 ° છે.

અવકાશમાં એક સીધી રેખા હંમેશા બે બિન-સમાંતર વિમાનોના આંતરછેદની રેખા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. જો એક પ્લેનનું સમીકરણ બીજા પ્લેનનું સમીકરણ હોય, તો રેખાનું સમીકરણ ફોર્મમાં આપવામાં આવે છે.

અહીં બિન-કોલિનિયર
. આ સમીકરણો કહેવામાં આવે છે સામાન્ય સમીકરણો સીધી જગ્યામાં.

રેખાના પ્રમાણભૂત સમીકરણો

આપેલ રેખા પર અથવા તેની સમાંતર હોય તેવા કોઈપણ બિન-શૂન્ય વેક્ટરને આ રેખાનો દિશા વેક્ટર કહેવામાં આવે છે.

જો બિંદુ જાણીતું હોય
સીધી રેખા અને તેની દિશા વેક્ટર
, તો રેખાના પ્રમાણભૂત સમીકરણો આ સ્વરૂપ ધરાવે છે:

. (9)

રેખાના પેરામેટ્રિક સમીકરણો

લીટીના પ્રામાણિક સમીકરણો આપવા દો

અહીંથી, અમે રેખાના પેરામેટ્રિક સમીકરણો મેળવીએ છીએ:

(10)

આ સમીકરણો રેખા અને સમતલના આંતરછેદ બિંદુને શોધવા માટે ઉપયોગી છે.

બે બિંદુઓમાંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ
અને
ફોર્મ ધરાવે છે:

સીધી રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો

સીધી રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો

અને

તેમના દિશા વેક્ટર વચ્ચેના કોણ સમાન. તેથી, સૂત્ર (4) નો ઉપયોગ કરીને તેની ગણતરી કરી શકાય છે:

સમાંતર રેખાઓ માટેની સ્થિતિ:

વિમાનો લંબરૂપ હોવાની સ્થિતિ:

રેખાથી બિંદુનું અંતર

પી ચાલો કહીએ કે મુદ્દો આપવામાં આવ્યો છે
અને સીધા

રેખાના પ્રામાણિક સમીકરણો પરથી આપણે બિંદુ જાણીએ છીએ
, રેખા અને તેની દિશા વેક્ટરથી સંબંધિત છે
. પછી બિંદુનું અંતર
સીધી રેખાથી વેક્ટર પર બાંધવામાં આવેલા સમાંતરગ્રામની ઊંચાઈ જેટલી છે અને
. આથી,

રેખાઓના આંતરછેદ માટેની સ્થિતિ

બે બિન-સમાંતર રેખાઓ

છેદે જો અને માત્ર જો

સીધી રેખા અને વિમાનની સંબંધિત સ્થિતિ.

સીધી લીટી આપવા દો
અને વિમાન. કોર્નર તેમની વચ્ચે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે

સમસ્યા 73.લીટીના પ્રામાણિક સમીકરણો લખો

(11)

ઉકેલ. રેખા (9) ના પ્રામાણિક સમીકરણો લખવા માટે, રેખા સાથે સંબંધિત કોઈપણ બિંદુ અને રેખાના દિશા વેક્ટરને જાણવું જરૂરી છે.

ચાલો વેક્ટર શોધીએ , આ રેખાની સમાંતર. કારણ કે તે આ વિમાનોના સામાન્ય વેક્ટર માટે લંબરૂપ હોવું જોઈએ, એટલે કે.

,
, તે

સીધી રેખાના સામાન્ય સમીકરણોમાંથી આપણી પાસે તે છે
,
. પછી

બિંદુ થી
લીટી પર કોઈપણ બિંદુ, પછી તેના કોઓર્ડિનેટ્સે રેખાના સમીકરણોને સંતોષવા જોઈએ અને તેમાંથી એકનો ઉલ્લેખ કરી શકાય છે, ઉદાહરણ તરીકે,
, અમે સિસ્ટમ (11) માંથી અન્ય બે કોઓર્ડિનેટ્સ શોધીએ છીએ:

અહીંથી,
.

આમ, ઇચ્છિત રેખાના પ્રમાણભૂત સમીકરણો આ સ્વરૂપ ધરાવે છે:

અથવા
.

સમસ્યા 74.

અને
.

ઉકેલ.પ્રથમ લીટીના પ્રમાણભૂત સમીકરણો પરથી, બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ જાણી શકાય છે
રેખા અને દિશા વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ સાથે જોડાયેલા
. બીજી લીટીના પ્રામાણિક સમીકરણો પરથી બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ પણ જાણી શકાય છે
અને દિશા વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ
.

સમાંતર રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર બિંદુના અંતર જેટલું છે
બીજી સીધી રેખામાંથી. આ અંતર સૂત્ર દ્વારા ગણવામાં આવે છે

ચાલો વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધીએ
.

ચાલો વેક્ટર ઉત્પાદનની ગણતરી કરીએ
:

સમસ્યા 75.એક બિંદુ શોધો સપ્રમાણ બિંદુ
પ્રમાણમાં સીધા

ઉકેલ. ચાલો આપેલ રેખાને લંબરૂપ સમીકરણ અને બિંદુમાંથી પસાર થતા સમીકરણ લખીએ . તેના સામાન્ય વેક્ટર તરીકે તમે સીધી રેખાના નિર્દેશન વેક્ટરને લઈ શકો છો. પછી
. આથી,

ચાલો એક મુદ્દો શોધીએ
આ રેખા અને પ્લેન P ના આંતરછેદના બિંદુ. આ કરવા માટે, આપણે સમીકરણો (10) નો ઉપયોગ કરીને રેખાના પેરામેટ્રિક સમીકરણો લખીએ છીએ, અમે મેળવીએ છીએ

આથી,
.

દો
બિંદુથી બિંદુ સપ્રમાણ
આ રેખાને સંબંધિત. પછી નિર્દેશ
મધ્યબિંદુ
. બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધવા માટે અમે સેગમેન્ટના મધ્યબિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ માટે સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:

,
,
.

તેથી,
.

સમસ્યા 76.રેખામાંથી પસાર થતા વિમાનનું સમીકરણ લખો
અને

એ) એક બિંદુ દ્વારા
;

b) પ્લેન પર લંબરૂપ.

ઉકેલ.ચાલો આ લીટીના સામાન્ય સમીકરણો લખીએ. આ કરવા માટે, બે સમાનતાઓ ધ્યાનમાં લો:

આનો અર્થ એ છે કે ઇચ્છિત પ્લેન જનરેટર સાથેના વિમાનોના બંડલનું છે અને તેનું સમીકરણ ફોર્મ (8) માં લખી શકાય છે:

એ) ચાલો શોધીએ
અને પ્લેન બિંદુ પરથી પસાર થાય તે સ્થિતિથી
, તેથી, તેના કોઓર્ડિનેટ્સ પ્લેનના સમીકરણને સંતોષવા જોઈએ. ચાલો બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સને બદલીએ
વિમાનોના સમૂહના સમીકરણમાં:

મૂલ્ય મળ્યું
ચાલો તેને સમીકરણ (12) માં બદલીએ. અમે ઇચ્છિત પ્લેનનું સમીકરણ મેળવીએ છીએ:

b) ચાલો શોધીએ
અને શરતથી કે ઇચ્છિત પ્લેન પ્લેન પર લંબ છે. આપેલ પ્લેનનું સામાન્ય વેક્ટર
, ઇચ્છિત પ્લેનનો સામાન્ય વેક્ટર (વિમાનોના સમૂહનું સમીકરણ જુઓ (12).