બીજગણિત અને ભૂમિતિ પર પ્રવચનો. સેમેસ્ટર 1.

લેક્ચર 15. એલિપ્સ.

પ્રકરણ 15. એલિપ્સ.

કલમ 1. મૂળભૂત વ્યાખ્યાઓ.

વ્યાખ્યા. લંબગોળ એ પ્લેનનું GMT છે, પ્લેનના બે નિશ્ચિત બિંદુઓ સુધીના અંતરનો સરવાળો, જેને ફોસી કહેવાય છે, તે એક સ્થિર મૂલ્ય છે.

વ્યાખ્યા. પ્લેનના મનસ્વી બિંદુ M થી અંડાકારના કેન્દ્ર સુધીના અંતરને M બિંદુની કેન્દ્રીય ત્રિજ્યા કહેવામાં આવે છે.

હોદ્દો:
- લંબગોળનું કેન્દ્રબિંદુ,
- બિંદુ M ની કેન્દ્રીય ત્રિજ્યા.

દ્વારા એલિપ્સની વ્યાખ્યા, બિંદુ M એ લંબગોળનું બિંદુ છે જો અને માત્ર જો
- સતત મૂલ્ય. આ સ્થિરાંક સામાન્ય રીતે 2a તરીકે સૂચવવામાં આવે છે:

. (1)

તેની નોંધ લો
.

અંડાકારની વ્યાખ્યા પ્રમાણે, તેના કેન્દ્રબિંદુઓ નિશ્ચિત બિંદુઓ છે, તેથી તેમની વચ્ચેનું અંતર પણ આપેલ લંબગોળ માટે એક સ્થિર મૂલ્ય છે.

વ્યાખ્યા. અંડાકારના ફોસી વચ્ચેના અંતરને કેન્દ્રીય લંબાઈ કહેવામાં આવે છે.

હોદ્દો:
.

ત્રિકોણમાંથી
તે તેને અનુસરે છે
, એટલે કે

.

ચાલો b દ્વારા સમાન સંખ્યા દર્શાવીએ
, એટલે કે

. (2)

વ્યાખ્યા. વલણ

(3)

એલિપ્સની વિલક્ષણતા કહેવાય છે.

ચાલો આ પ્લેન પર કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ દાખલ કરીએ, જેને આપણે અંડાકાર માટે પ્રમાણભૂત કહીશું.

વ્યાખ્યા. અક્ષ કે જેના પર અંડાકારનું કેન્દ્રબિંદુ આવેલું છે તેને કેન્દ્રીય અક્ષ કહેવામાં આવે છે.

ચાલો એલિપ્સ માટે પ્રમાણભૂત PDSC બનાવીએ, ફિગ 2 જુઓ.

અમે ફોકલ અક્ષને એબ્સીસા અક્ષ તરીકે પસંદ કરીએ છીએ, અને સેગમેન્ટની વચ્ચેથી ઓર્ડિનેટ અક્ષ દોરીએ છીએ.
ફોકલ અક્ષને લંબરૂપ.

પછી foci પાસે કોઓર્ડિનેટ્સ છે
,
.

કલમ 2. અંડાકારનું પ્રમાણભૂત સમીકરણ.

પ્રમેય. અંડાકાર માટે પ્રમાણભૂત સંકલન પ્રણાલીમાં, અંડાકારના સમીકરણનું સ્વરૂપ છે:

. (4)

પુરાવો. અમે બે તબક્કામાં પુરાવા હાથ ધરીએ છીએ. પ્રથમ તબક્કે, અમે સાબિત કરીશું કે અંડાકાર પર આવેલા કોઈપણ બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ સમીકરણને સંતોષે છે (4). બીજા તબક્કે આપણે સાબિત કરીશું કે સમીકરણ (4) નો કોઈપણ ઉકેલ અંડાકાર પર પડેલા બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ આપે છે. અહીંથી તે અનુસરશે કે સમીકરણ (4) તે અને માત્ર સંકલન સમતલના તે બિંદુઓથી સંતુષ્ટ છે જે લંબગોળ પર આવેલા છે. આમાંથી અને વળાંકના સમીકરણની વ્યાખ્યા પરથી તે અનુસરશે કે સમીકરણ (4) એ અંડાકારનું સમીકરણ છે.

1) બિંદુ M(x, y) ને લંબગોળનો એક બિંદુ થવા દો, એટલે કે. તેના કેન્દ્રીય ત્રિજ્યાનો સરવાળો 2a છે:

.

ચાલો કોઓર્ડિનેટ પ્લેન પરના બે બિંદુઓ વચ્ચેના અંતર માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ અને આપેલ બિંદુ M ની કેન્દ્રીય ત્રિજ્યા શોધવા માટે આ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ:

,
, જ્યાંથી આપણે મેળવીએ છીએ:

ચાલો એક રુટને સમાનતાની જમણી બાજુએ ખસેડીએ અને તેને ચોરસ કરીએ:

ઘટાડીને, અમને મળે છે:

અમે સમાન રજૂ કરીએ છીએ, 4 થી ઘટાડીએ છીએ અને આમૂલ દૂર કરીએ છીએ:

.

સ્ક્વેરિંગ

કૌંસ ખોલો અને ટૂંકા કરો
:

આપણે ક્યાં મેળવીએ છીએ:

સમાનતા (2) નો ઉપયોગ કરીને, અમે મેળવીએ છીએ:

.

દ્વારા છેલ્લી સમાનતાને વિભાજીત કરવી
, આપણે સમાનતા (4), વગેરે મેળવીએ છીએ.

2) હવે સંખ્યાઓની જોડી (x, y) સમીકરણ (4) ને સંતોષવા દો અને M(x, y) ને સંકલન સમતલ Oxy પર અનુરૂપ બિંદુ થવા દો.

પછી (4) માંથી તે નીચે મુજબ છે:

.

અમે આ સમાનતાને બિંદુ M ના કેન્દ્રીય ત્રિજ્યા માટે અભિવ્યક્તિમાં બદલીએ છીએ:

.

અહીં આપણે સમાનતા (2) અને (3) નો ઉપયોગ કર્યો છે.

આમ,
. તેવી જ રીતે,
.

હવે નોંધ કરો કે સમાનતા (4) થી તે તેને અનુસરે છે

અથવા
વગેરે
, પછી અસમાનતા નીચે મુજબ છે:

.

અહીંથી તે અનુસરે છે, બદલામાં, તે

અથવા
અને

,
. (5)

સમાનતાઓથી (5) તે તેને અનુસરે છે
, એટલે કે બિંદુ M(x, y) એ અંડાકારનો એક બિંદુ છે, વગેરે.

પ્રમેય સાબિત થયો છે.

વ્યાખ્યા. સમીકરણ (4) એ અંડાકારનું પ્રમાણભૂત સમીકરણ કહેવાય છે.

વ્યાખ્યા. અંડાકાર માટેના પ્રમાણભૂત સંકલન અક્ષોને અંડાકારની મુખ્ય અક્ષો કહેવામાં આવે છે.

વ્યાખ્યા. અંડાકાર માટે પ્રમાણભૂત સંકલન પ્રણાલીની ઉત્પત્તિને અંડાકારનું કેન્દ્ર કહેવામાં આવે છે.

કલમ 3. એલિપ્સના ગુણધર્મો.

પ્રમેય. (એલિપ્સના ગુણધર્મો.)

1. લંબગોળ માટે પ્રમાણભૂત સંકલન પ્રણાલીમાં, બધું

અંડાકારના બિંદુઓ લંબચોરસમાં છે

,
.

2. પોઈન્ટ પર આવેલા છે

3. લંબગોળ એ વળાંક છે જે સંદર્ભમાં સપ્રમાણ છે

તેમની મુખ્ય ધરીઓ.

4. લંબગોળનું કેન્દ્ર તેની સમપ્રમાણતાનું કેન્દ્ર છે.

પુરાવો. 1, 2) અંડાકારના પ્રમાણભૂત સમીકરણમાંથી તરત જ અનુસરે છે.

3, 4) M(x, y) એ અંડાકારનું મનસ્વી બિંદુ છે. પછી તેના કોઓર્ડિનેટ્સ સમીકરણને સંતોષે છે (4). પરંતુ પછી બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ પણ સમીકરણ (4) ને સંતોષે છે, અને તેથી, લંબગોળ બિંદુઓ છે, જેમાંથી પ્રમેયના નિવેદનો અનુસરે છે.

પ્રમેય સાબિત થયો છે.

વ્યાખ્યા. જથ્થા 2a ને અંડાકારની મુખ્ય અક્ષ કહેવામાં આવે છે, એક જથ્થાને અંડાકારની અર્ધ-મુખ્ય ધરી કહેવામાં આવે છે.

વ્યાખ્યા. જથ્થા 2b ને અંડાકારની લઘુ અક્ષ કહેવામાં આવે છે, જથ્થા b ને અંડાકારની અર્ધ-માઇનોર અક્ષ કહેવામાં આવે છે.

વ્યાખ્યા. અંડાકારના મુખ્ય અક્ષો સાથે આંતરછેદના બિંદુઓને અંડાકારના શિરોબિંદુઓ કહેવામાં આવે છે.

ટિપ્પણી. એક લંબગોળ નીચે પ્રમાણે બનાવી શકાય છે. પ્લેનમાં, અમે "ફોકલ પોઈન્ટમાં ખીલીને હથોડી લગાવીએ છીએ" અને તેમની સાથે દોરીની લંબાઈ બાંધીએ છીએ
. પછી અમે એક પેંસિલ લઈએ છીએ અને તેનો ઉપયોગ થ્રેડને સજ્જડ કરવા માટે કરીએ છીએ. પછી અમે પેન્સિલ લીડને પ્લેન સાથે ખસેડીએ છીએ, ખાતરી કરો કે થ્રેડ તંગ છે.

તરંગીતાની વ્યાખ્યામાંથી તે તેને અનુસરે છે

ચાલો નંબર a ને ઠીક કરીએ અને સંખ્યા c ને શૂન્ય તરફ દિશામાન કરીએ. પછી મુ
,
અને
. મર્યાદામાં આપણને મળે છે

અથવા
- વર્તુળનું સમીકરણ.

ચાલો હવે ડાયરેક્ટ કરીએ
. પછી
,
અને આપણે જોઈએ છીએ કે મર્યાદામાં લંબગોળ એક સીધી રેખા ભાગમાં અધોગતિ પામે છે
આકૃતિ 3 ના સંકેતમાં.

કલમ 4. અંડાકારના પેરામેટ્રિક સમીકરણો.

પ્રમેય. દો
- મનસ્વી વાસ્તવિક સંખ્યાઓ. પછી સમીકરણોની સિસ્ટમ

,
(6)

એલિપ્સ માટે કેનોનિકલ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં એલિપ્સના પેરામેટ્રિક સમીકરણો છે.

પુરાવો. તે સાબિત કરવા માટે પૂરતું છે કે સમીકરણોની સિસ્ટમ (6) સમીકરણ (4) ની સમકક્ષ છે, એટલે કે. તેમની પાસે ઉકેલોનો સમાન સમૂહ છે.

1) ચાલો (x, y) સિસ્ટમ (6) માટે મનસ્વી ઉકેલ હોઈએ. પ્રથમ સમીકરણને a દ્વારા, બીજાને b દ્વારા વિભાજીત કરો, બંને સમીકરણોનો વર્ગ કરો અને ઉમેરો:

.

તે. સિસ્ટમનો કોઈપણ ઉકેલ (x, y) (6) સમીકરણને સંતોષે છે (4).

2) તેનાથી વિપરિત, જોડી (x, y) ને સમીકરણ (4) નો ઉકેલ બનવા દો, એટલે કે.

.

આ સમાનતા પરથી તે અનુસરે છે કે કોઓર્ડિનેટ્સ સાથેનો બિંદુ
મૂળમાં કેન્દ્ર સાથે એકમ ત્રિજ્યાના વર્તુળ પર આવેલું છે, એટલે કે. ત્રિકોણમિતિ વર્તુળ પરનો એક બિંદુ છે જેની સાથે ચોક્કસ કોણ અનુરૂપ છે
:

સાઈન અને કોસાઈનની વ્યાખ્યાથી તે તરત જ તેને અનુસરે છે

,
, ક્યાં
, જેમાંથી તે અનુસરે છે કે જોડી (x, y) એ સિસ્ટમ (6), વગેરેનો ઉકેલ છે.

પ્રમેય સાબિત થયો છે.

ટિપ્પણી. એબ્સીસા અક્ષ તરફ ત્રિજ્યા a ના વર્તુળના સમાન "સંકોચન" ના પરિણામે એક લંબગોળ મેળવી શકાય છે.

દો
- મૂળ પર કેન્દ્ર સાથે વર્તુળનું સમીકરણ. એબ્સિસા અક્ષ પર વર્તુળનું "કમ્પ્રેશન" એ નીચેના નિયમ અનુસાર હાથ ધરવામાં આવેલા સંકલન પ્લેનના રૂપાંતર સિવાય બીજું કંઈ નથી. દરેક બિંદુ M(x, y) માટે આપણે સમાન સમતલ પર એક બિંદુ જોડીએ છીએ
, ક્યાં
,
- કમ્પ્રેશન રેશિયો.

આ રૂપાંતર સાથે, વર્તુળ પરનો દરેક બિંદુ પ્લેન પરના બીજા બિંદુ પર "સંક્રમણ" કરે છે, જેમાં સમાન એબ્સિસા હોય છે, પરંતુ એક નાનો ઓર્ડિનેટ હોય છે. ચાલો એક બિંદુના જૂના ઓર્ડિનેટને નવા દ્વારા વ્યક્ત કરીએ:

અને સમીકરણમાં વર્તુળોને બદલો:

.

અહીંથી આપણને મળે છે:

. (7)

તે અનુસરે છે કે જો "કમ્પ્રેશન" રૂપાંતર પહેલાં બિંદુ M(x, y) વર્તુળ પર મૂકે છે, એટલે કે. તેના કોઓર્ડિનેટ્સ વર્તુળના સમીકરણને સંતુષ્ટ કરે છે, પછી "સંકોચન" રૂપાંતર પછી આ બિંદુ બિંદુમાં "રૂપાંતરિત" થાય છે
, જેના કોઓર્ડિનેટ્સ એલિપ્સ સમીકરણ (7) ને સંતોષે છે. જો આપણે અર્ધવર્તુળ અક્ષ સાથે લંબગોળનું સમીકરણ મેળવવા માંગતા હોય, તો આપણે સંકોચન પરિબળ લેવાની જરૂર છે

.

કલમ 5. લંબગોળ માટે સ્પર્શક.

પ્રમેય. દો
- લંબગોળનું મનસ્વી બિંદુ

.

પછી બિંદુ પરના આ લંબગોળ માટે સ્પર્શકનું સમીકરણ
ફોર્મ ધરાવે છે:

. (8)

પુરાવો. જ્યારે સંકલન વિમાનના પ્રથમ અથવા બીજા ક્વાર્ટરમાં સ્પર્શનો મુદ્દો હોય ત્યારે તે કેસને ધ્યાનમાં લેવા માટે તે પૂરતું છે:
. ઉપલા અર્ધ-વિમાનમાં લંબગોળનું સમીકરણ આ સ્વરૂપ ધરાવે છે:

. (9)

ચાલો ફંક્શનના ગ્રાફ માટે સ્પર્શક સમીકરણનો ઉપયોગ કરીએ
બિંદુ પર
:

જ્યાં
- એક બિંદુ પર આપેલ કાર્યના વ્યુત્પન્નનું મૂલ્ય
. પ્રથમ ક્વાર્ટરમાં લંબગોળ કાર્ય (8) ના ગ્રાફ તરીકે ગણી શકાય. ચાલો તેની વ્યુત્પન્નતા અને તેની કિંમત સ્પર્શેન્દ્રિય બિંદુ પર શોધીએ:

,

. અહીં આપણે એ હકીકતનો લાભ લીધો કે સ્પર્શ બિંદુ
એલિપ્સનો એક બિંદુ છે અને તેથી તેના કોઓર્ડિનેટ્સ એલિપ્સ સમીકરણ (9) ને સંતોષે છે, એટલે કે.

.

અમે વ્યુત્પન્નના મળેલા મૂલ્યને સ્પર્શક સમીકરણ (10) માં બદલીએ છીએ:

,

આપણે ક્યાં મેળવીએ છીએ:

તે આમાંથી નીચે મુજબ છે:

ચાલો આ સમાનતાને વડે વિભાજીત કરીએ
:

.

તે નોંધવાનું રહે છે
, કારણ કે બિંદુ
એલિપ્સનું છે અને તેના કોઓર્ડિનેટ્સ તેના સમીકરણને સંતોષે છે.

સ્પર્શક સમીકરણ (8) સંકલન સમતલના ત્રીજા કે ચોથા ક્વાર્ટરમાં આવેલા સ્પર્શક બિંદુ પર સમાન રીતે સાબિત થાય છે.

અને અંતે, આપણે સરળતાથી ચકાસી શકીએ છીએ કે સમીકરણ (8) બિંદુઓ પર સ્પર્શક સમીકરણ આપે છે
,
:

અથવા
, અને
અથવા
.

પ્રમેય સાબિત થયો છે.

કલમ 6. અંડાકારની અરીસાની મિલકત.

પ્રમેય. લંબગોળની સ્પર્શક સ્પર્શક બિંદુના કેન્દ્રિય ત્રિજ્યા સાથે સમાન ખૂણા ધરાવે છે.

દો
- સંપર્ક બિંદુ,
,
- સ્પર્શક બિંદુની કેન્દ્રીય ત્રિજ્યા, P અને Q - બિંદુ પર લંબગોળ તરફ દોરેલા સ્પર્શક પરના ફોસીના અંદાજો
.

પ્રમેય જણાવે છે કે

. (11)

આ સમાનતાને ઘટનાના ખૂણાઓની સમાનતા અને તેના ફોકસમાંથી છૂટેલા અંડાકારમાંથી પ્રકાશના કિરણના પ્રતિબિંબ તરીકે અર્થઘટન કરી શકાય છે. આ ગુણધર્મને એલિપ્સની મિરર પ્રોપર્ટી કહેવામાં આવે છે:

અંડાકારના અરીસામાંથી પ્રતિબિંબિત થયા પછી, અંડાકારના કેન્દ્રમાંથી પ્રકાશિત પ્રકાશનો કિરણ, અંડાકારના બીજા કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે.

પ્રમેયનો પુરાવો. ખૂણાઓની સમાનતા સાબિત કરવા માટે (11), આપણે ત્રિકોણની સમાનતા સાબિત કરીશું
અને
, જેમાં પક્ષકારો
અને
સમાન હશે. ત્રિકોણ કાટખૂણે હોવાથી, તે સમાનતા સાબિત કરવા માટે પૂરતું છે

વ્યાખ્યા. લંબગોળ એ પ્લેન પરના પોઈન્ટનું ભૌમિતિક સ્થાન છે, જેમાંથી પ્રત્યેકના અંતરનો સરવાળો આ પ્લેનના બે આપેલા બિંદુઓથી, ફોસી કહેવાય છે, તે એક સ્થિર મૂલ્ય છે (જો કે આ મૂલ્ય ફોસી વચ્ચેના અંતર કરતાં વધુ હોય) .

ચાલો તેમની વચ્ચેના અંતર દ્વારા ફોસીને સૂચવીએ - મારફતે , અને એક સ્થિર મૂલ્ય, રકમ જેટલીલંબગોળના દરેક બિંદુથી ફોસી સુધીનું અંતર, (શરત અનુસાર).

ચાલો એક કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ બનાવીએ જેથી ફોસી એબ્સીસા અક્ષ પર હોય, અને કોઓર્ડિનેટ્સનું મૂળ સેગમેન્ટની મધ્યમાં એકરુપ હોય (ફિગ. 44). પછી ફોસીમાં નીચેના કોઓર્ડિનેટ્સ હશે: ડાબી ફોકસ અને જમણી ફોકસ. ચાલો આપણે પસંદ કરેલ સંકલન પ્રણાલીમાં અંડાકારનું સમીકરણ મેળવીએ. આ હેતુ માટે, લંબગોળના એક મનસ્વી બિંદુને ધ્યાનમાં લો. લંબગોળની વ્યાખ્યા પ્રમાણે, આ બિંદુથી કેન્દ્ર સુધીના અંતરનો સરવાળો બરાબર છે:

બે બિંદુઓ વચ્ચેના અંતર માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને, આપણે તેથી મેળવીએ છીએ

આ સમીકરણને સરળ બનાવવા માટે, અમે તેને ફોર્મમાં લખીએ છીએ

પછી સમીકરણની બંને બાજુઓનું વર્ગીકરણ કરીએ તો આપણને મળે છે

અથવા, સ્પષ્ટ સરળીકરણો પછી:

હવે આપણે સમીકરણની બંને બાજુઓને ફરીથી ચોરસ કરીએ છીએ, જેના પછી આપણી પાસે છે:

અથવા, સમાન પરિવર્તનો પછી:

કારણ કે, અંડાકારની વ્યાખ્યામાંની સ્થિતિ અનુસાર, પછી સંખ્યા હકારાત્મક છે. ચાલો નોટેશન રજૂ કરીએ

પછી સમીકરણ નીચેનું સ્વરૂપ લેશે:

અંડાકારની વ્યાખ્યા દ્વારા, તેના કોઈપણ બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ સમીકરણને સંતોષે છે (26). પરંતુ સમીકરણ (29) એ સમીકરણ (26) નું પરિણામ છે. પરિણામે, તે અંડાકારના કોઈપણ બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ દ્વારા પણ સંતુષ્ટ થાય છે.

તે બતાવી શકાય છે કે બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ જે લંબગોળ પર આવેલા નથી તે સમીકરણને સંતોષતા નથી (29). આમ, સમીકરણ (29) એ એલિપ્સનું સમીકરણ છે. તેને અંડાકારનું પ્રમાણભૂત સમીકરણ કહેવામાં આવે છે.

ચાલો તેના પ્રમાણભૂત સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને લંબગોળનો આકાર સ્થાપિત કરીએ.

સૌ પ્રથમ, ચાલો એ હકીકત પર ધ્યાન આપીએ કે આ સમીકરણ ફક્ત સમાવે છે ડિગ્રી પણ x અને y. આનો અર્થ એ છે કે જો કોઈપણ બિંદુ એલિપ્સ સાથે સંબંધિત હોય, તો તેમાં એબ્સીસા અક્ષને સંબંધિત બિંદુ સાથે સપ્રમાણતાવાળા બિંદુ અને ઓર્ડિનેટ અક્ષને સંબંધિત બિંદુ સાથે સપ્રમાણતા ધરાવતા બિંદુનો સમાવેશ થાય છે. આમ, લંબગોળમાં સમપ્રમાણતાના બે પરસ્પર લંબ અક્ષો હોય છે, જે સંકલન પ્રણાલીમાં આપણે સંકલન અક્ષો સાથે સુસંગત હોય છે. અમે હવેથી અંડાકારની સમપ્રમાણતાની અક્ષોને અંડાકારની અક્ષો અને તેમના આંતરછેદના બિંદુને અંડાકારનું કેન્દ્ર કહીશું. અક્ષ કે જેના પર લંબગોળનું કેન્દ્ર સ્થિત છે (માં આ કિસ્સામાં x-axis) ને કેન્દ્રીય અક્ષ કહેવામાં આવે છે.

ચાલો પહેલા ક્વાર્ટરમાં લંબગોળનો આકાર નક્કી કરીએ. આ કરવા માટે, ચાલો y માટે સમીકરણ (28) હલ કરીએ:

તે સ્પષ્ટ છે કે અહીં , કારણ કે y કાલ્પનિક મૂલ્યો લે છે. જેમ જેમ તમે 0 થી a સુધી વધો છો તેમ, y b થી ઘટીને 0 થાય છે. પ્રથમ ક્વાર્ટરમાં પડેલો અંડાકારનો ભાગ બિંદુ B (0; b) દ્વારા બંધાયેલ ચાપ હશે અને સંકલન અક્ષો પર પડેલો હશે (ફિગ. 45). હવે અંડાકારની સમપ્રમાણતાનો ઉપયોગ કરીને, અમે નિષ્કર્ષ પર આવીએ છીએ કે અંડાકારનો આકાર ફિગમાં બતાવેલ છે. 45.

અક્ષો સાથે અંડાકારના આંતરછેદના બિંદુઓને અંડાકારના શિરોબિંદુઓ કહેવામાં આવે છે. લંબગોળની સમપ્રમાણતા પરથી તે અનુસરે છે કે, શિરોબિંદુઓ ઉપરાંત, લંબગોળમાં વધુ બે શિરોબિંદુઓ છે (જુઓ. ફિગ. 45).

એલિપ્સના સેગમેન્ટ્સ અને કનેક્ટિંગ વિરોધી શિરોબિંદુઓ, તેમજ તેમની લંબાઈ, અનુક્રમે અંડાકારની મુખ્ય અને નાની અક્ષો કહેવાય છે. સંખ્યાઓ a અને b ને અનુક્રમે અંડાકારના મુખ્ય અને નાના અર્ધ-અક્ષો કહેવામાં આવે છે.

અંડાકારના અર્ધ-મુખ્ય અક્ષથી ફોસી વચ્ચેના અડધા અંતરના ગુણોત્તરને અંડાકારની વિચિત્રતા કહેવામાં આવે છે અને સામાન્ય રીતે અક્ષર દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે:

કારણ કે , લંબગોળની વિષમતા એકતા કરતા ઓછી છે: તરંગીતા લંબગોળના આકારને દર્શાવે છે. ખરેખર, સૂત્ર (28) પરથી તે અનુસરે છે કે અંડાકારની વિષમતા જેટલી નાની હોય છે, તેની નાની અર્ધ-અક્ષ b મુખ્ય અર્ધ-અક્ષથી ઓછી હોય છે, એટલે કે, અંડાકાર ઓછો વિસ્તરેલો હોય છે (ફોકલ અક્ષની સાથે).

મર્યાદિત કિસ્સામાં, પરિણામ એ ત્રિજ્યા a: , અથવા નું વર્તુળ છે. તે જ સમયે, લંબગોળનું કેન્દ્રબિંદુ એક બિંદુ પર મર્જ થતું જણાય છે - વર્તુળનું કેન્દ્ર. વર્તુળની તરંગીતા શૂન્ય છે:

લંબગોળ અને વર્તુળ વચ્ચેનું જોડાણ બીજા દૃષ્ટિકોણથી સ્થાપિત કરી શકાય છે. ચાલો બતાવીએ કે અર્ધ-અક્ષો a અને b સાથેના લંબગોળને ત્રિજ્યા a ના વર્તુળના પ્રક્ષેપણ તરીકે ગણી શકાય.

ચાલો આપણે બે વિમાનો પી અને ક્યૂને ધ્યાનમાં લઈએ, જે તેમની વચ્ચે એક એંગલ બનાવે છે, જેના માટે (ફિગ. 46). ચાલો P પ્લેનમાં કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ બનાવીએ, અને Q પ્લેનમાં સામાન્ય મૂળ O સાથે ઑક્સી સિસ્ટમ અને વિમાનોના આંતરછેદની રેખા સાથે એકસાથે એક સામાન્ય એબ્સિસા અક્ષ બનાવીએ. પ્લેન P માં એક વર્તુળનો વિચાર કરો

મૂળમાં કેન્દ્ર અને a ની બરાબર ત્રિજ્યા સાથે. વર્તુળ પર મનસ્વી રીતે પસંદ કરેલ બિંદુ બનવા દો, તેનું Q સમતલ પર પ્રક્ષેપણ બનીએ અને Ox અક્ષ પર બિંદુ M નું પ્રક્ષેપણ થવા દો. ચાલો બતાવીએ કે બિંદુ અર્ધ-અક્ષો a અને b સાથે લંબગોળ પર આવેલું છે.

બીજા ક્રમની રેખાઓ.
એલિપ્સ અને તેનું પ્રામાણિક સમીકરણ. વર્તુળ

સંપૂર્ણ અભ્યાસ પછી પ્લેનમાં સીધી રેખાઓઅમે દ્વિ-પરિમાણીય વિશ્વની ભૂમિતિનો અભ્યાસ કરવાનું ચાલુ રાખીએ છીએ. હોડ બમણી થઈ ગઈ છે અને હું તમને અંડાકાર, હાયપરબોલાસ, પેરાબોલાસની મનોહર ગેલેરીની મુલાકાત લેવા આમંત્રણ આપું છું, જે લાક્ષણિક પ્રતિનિધિઓ છે. બીજી ક્રમ રેખાઓ. પર્યટન પહેલેથી જ શરૂ થઈ ગયું છે, અને પ્રથમ સંક્ષિપ્ત માહિતીમ્યુઝિયમના વિવિધ માળ પરના સમગ્ર પ્રદર્શન વિશે:

બીજગણિત રેખા અને તેનો ક્રમનો ખ્યાલ

પ્લેન પર એક લાઇન કહેવામાં આવે છે બીજગણિત, જો માં affine કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમતેનું સમીકરણ ફોર્મ ધરાવે છે , જ્યાં ફોર્મની શરતો (- વાસ્તવિક સંખ્યા, – બિન-નકારાત્મક પૂર્ણાંકો) નો સમાવેશ થતો બહુપદી છે.

જેમ તમે જોઈ શકો છો, બીજગણિત રેખાના સમીકરણમાં સાઈન, કોસાઈન્સ, લઘુગણક અને અન્ય કાર્યાત્મક બ્યુ મોન્ડ નથી. ફક્ત X અને Y અંદર છે બિન-નકારાત્મક પૂર્ણાંકોડિગ્રી

લાઇન ઓર્ડરતેમાં સમાવિષ્ટ શરતોના મહત્તમ મૂલ્યની બરાબર.

અનુરૂપ પ્રમેય મુજબ, બીજગણિત રેખાની વિભાવના, તેમજ તેનો ક્રમ, પસંદગી પર આધાર રાખતો નથી affine કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમતેથી, અસ્તિત્વમાં સરળતા માટે, અમે ધારીએ છીએ કે બધી અનુગામી ગણતરીઓ કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ્સ.

સામાન્ય સમીકરણબીજી ઓર્ડર લાઇનમાં ફોર્મ છે, જ્યાં - મનસ્વી વાસ્તવિક સંખ્યાઓ (તેને બેના પરિબળ સાથે લખવાનો રિવાજ છે), અને ગુણાંક એક જ સમયે શૂન્ય સમાન નથી.

જો , તો સમીકરણ સરળ બનાવે છે , અને જો ગુણાંક એક જ સમયે શૂન્ય સમાન ન હોય, તો આ બરાબર છે "સપાટ" રેખાનું સામાન્ય સમીકરણ, જે રજૂ કરે છે પ્રથમ ઓર્ડર લાઇન.

ઘણા લોકો નવા શબ્દોનો અર્થ સમજી ગયા છે, પરંતુ, તેમ છતાં, સામગ્રીમાં 100% માસ્ટર થવા માટે, અમે અમારી આંગળીઓને સોકેટમાં ચોંટાડીએ છીએ. રેખા ક્રમ નક્કી કરવા માટે, તમારે પુનરાવર્તન કરવાની જરૂર છે બધી શરતોતેના સમીકરણો અને તેમાંથી દરેક માટે શોધો ડિગ્રીનો સરવાળોઆવનારા ચલો.

ઉદાહરણ તરીકે:

આ શબ્દમાં 1લી શક્તિ માટે "x" શામેલ છે;
આ શબ્દમાં 1લી શક્તિ માટે "Y" શામેલ છે;
શબ્દમાં કોઈ ચલ નથી, તેથી તેમની શક્તિઓનો સરવાળો શૂન્ય છે.

હવે ચાલો સમજીએ કે સમીકરણ રેખાને શા માટે વ્યાખ્યાયિત કરે છે બીજુંઓર્ડર:

શબ્દમાં 2જી પાવર માટે "x" શામેલ છે;
સમન્ડમાં ચલોની શક્તિઓનો સરવાળો છે: 1 + 1 = 2;
શબ્દમાં 2જી પાવર માટે "Y" શામેલ છે;
અન્ય તમામ શરતો - ઓછુંડિગ્રી

મહત્તમ મૂલ્ય: 2

જો આપણે આપણા સમીકરણમાં વધુમાં ઉમેરીએ, કહો, તો તે પહેલેથી જ નક્કી કરશે ત્રીજા ક્રમની રેખા. તે સ્પષ્ટ છે કે 3જી ક્રમ રેખા સમીકરણના સામાન્ય સ્વરૂપમાં શરતોનો "સંપૂર્ણ સમૂહ" છે, ચલોની શક્તિઓનો સરવાળો જેમાં ત્રણ બરાબર છે:
, જ્યાં ગુણાંક એક જ સમયે શૂન્યની બરાબર નથી.

ઘટનામાં કે જેમાં એક અથવા વધુ યોગ્ય શબ્દો ઉમેરવામાં આવે છે , તો પછી આપણે પહેલાથી જ વિશે વાત કરીશું 4 થી ઓર્ડર લાઇન, વગેરે

અમારે 3જી, 4ઠ્ઠી અને ઉચ્ચ ક્રમની બીજગણિત રેખાઓનો એક કરતા વધુ વખત સામનો કરવો પડશે, ખાસ કરીને, જ્યારે તેનાથી પરિચિત થાઓ ધ્રુવીય સંકલન પ્રણાલી.

જો કે, ચાલો સામાન્ય સમીકરણ પર પાછા જઈએ અને તેની સૌથી સરળ શાળા વિવિધતાઓને યાદ કરીએ. ઉદાહરણ તરીકે, પેરાબોલા પોતાને સૂચવે છે, જેનું સમીકરણ સરળતાથી ઘટાડી શકાય છે સામાન્ય દેખાવ, અને સમકક્ષ સમીકરણ સાથે અતિપરવલય. જો કે, બધું એટલું સરળ નથી ...

સામાન્ય સમીકરણની નોંધપાત્ર ખામી એ છે કે તે કઈ રેખાને વ્યાખ્યાયિત કરે છે તે લગભગ હંમેશા સ્પષ્ટ હોતું નથી. સૌથી સરળ કિસ્સામાં પણ, તમે તરત જ સમજી શકશો નહીં કે આ એક હાયપરબોલ છે. આવા લેઆઉટ ફક્ત માસ્કરેડમાં જ સારા હોય છે, તેથી વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિ દરમિયાન આપણે ધ્યાનમાં લઈએ છીએ લાક્ષણિક કાર્ય 2જી ક્રમ રેખા સમીકરણને પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં લાવવું.

સમીકરણનું પ્રામાણિક સ્વરૂપ શું છે?

આ સામાન્ય રીતે સ્વીકારવામાં આવે છે પ્રમાણભૂત દૃશ્યસમીકરણ, જ્યારે સેકન્ડની બાબતમાં તે સ્પષ્ટ થઈ જાય છે કે તે કયા ભૌમિતિક પદાર્થને વ્યાખ્યાયિત કરે છે. વધુમાં, કેનોનિકલ સ્વરૂપ ઘણાને ઉકેલવા માટે ખૂબ અનુકૂળ છે વ્યવહારુ કાર્યો. તેથી, ઉદાહરણ તરીકે, પ્રમાણભૂત સમીકરણ અનુસાર "સપાટ" સીધા, પ્રથમ, તે તરત જ સ્પષ્ટ થાય છે કે આ એક સીધી રેખા છે, અને બીજું, તેની સાથે સંબંધિત બિંદુ અને દિશા વેક્ટર સરળતાથી દૃશ્યમાન છે.

તે સ્પષ્ટ છે કે કોઈપણ 1 લી ઓર્ડર લાઇનએક સીધી રેખા છે. બીજા માળે, હવે તે ચોકીદાર નથી જે આપણી રાહ જોઈ રહ્યો છે, પરંતુ નવ પ્રતિમાઓની વધુ વૈવિધ્યસભર કંપની છે:

બીજી ક્રમ રેખાઓનું વર્ગીકરણ

ઉપયોગ કરીને ખાસ સંકુલક્રિયાઓ, સેકન્ડ-ઓર્ડર લાઇનના કોઈપણ સમીકરણને નીચેનામાંથી એક સ્વરૂપમાં ઘટાડવામાં આવે છે:

(અને હકારાત્મક વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે)

1) - લંબગોળનું પ્રમાણભૂત સમીકરણ;

2) – હાયપરબોલાના પ્રમાણભૂત સમીકરણ;

3) - પેરાબોલાના પ્રામાણિક સમીકરણ;

4) – કાલ્પનિકલંબગોળ

5) – છેદતી રેખાઓની જોડી;

6) - જોડી કાલ્પનિકછેદતી રેખાઓ (મૂળ પર આંતરછેદના એક માન્ય બિંદુ સાથે);

7) - સમાંતર રેખાઓની જોડી;

8) - જોડી કાલ્પનિકસમાંતર રેખાઓ;

9) – સાંયોગિક રેખાઓની જોડી.

કેટલાક વાચકોને એવી છાપ પડી શકે છે કે સૂચિ અધૂરી છે. ઉદાહરણ તરીકે, બિંદુ નંબર 7 માં, સમીકરણ જોડીને સ્પષ્ટ કરે છે પ્રત્યક્ષ, અક્ષની સમાંતર, અને પ્રશ્ન ઊભો થાય છે: ઓર્ડિનેટ અક્ષની સમાંતર રેખાઓ નક્કી કરતું સમીકરણ ક્યાં છે? જવાબ: તે પ્રામાણિક માનવામાં આવતું નથી. સીધી રેખાઓ સમાન પ્રમાણભૂત કેસનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે, જે 90 ડિગ્રી દ્વારા ફેરવાય છે, અને વર્ગીકરણમાં વધારાની એન્ટ્રી બિનજરૂરી છે, કારણ કે તે મૂળભૂત રીતે કંઈપણ નવું લાવતું નથી.

આમ નવ અને માત્ર નવ છે વિવિધ પ્રકારો 2 જી ક્રમની રેખાઓ, પરંતુ વ્યવહારમાં તે મોટાભાગે જોવા મળે છે એલિપ્સ, હાઇપરબોલા અને પેરાબોલા.

ચાલો પહેલા લંબગોળ જોઈએ. હંમેશની જેમ, હું તે મુદ્દાઓ પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરું છું જે છે મહાન મૂલ્યસમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે, અને જો તમને સૂત્રોના વિગતવાર વ્યુત્પત્તિ, પ્રમેયના પુરાવાની જરૂર હોય, તો કૃપા કરીને, ઉદાહરણ તરીકે, બાઝીલેવ/અતનાસ્યાન અથવા અલેકસાન્ડ્રોવ દ્વારા પાઠયપુસ્તકનો સંદર્ભ લો.

એલિપ્સ અને તેનું પ્રામાણિક સમીકરણ

જોડણી... મહેરબાની કરીને કેટલાક યાન્ડેક્ષ વપરાશકર્તાઓની ભૂલોનું પુનરાવર્તન કરશો નહીં કે જેમને "એલિપ્સ કેવી રીતે બનાવવું", "એલિપ્સ અને અંડાકાર વચ્ચેનો તફાવત" અને "એલિપ્સની વિચિત્રતા" માં રસ છે.

અંડાકારના પ્રમાણભૂત સમીકરણનું સ્વરૂપ છે , જ્યાં હકારાત્મક વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે અને . હું અંડાકારની ખૂબ જ વ્યાખ્યા પછીથી ઘડીશ, પરંતુ હમણાં માટે વાત કરવાની દુકાનમાંથી વિરામ લેવાનો અને સામાન્ય સમસ્યાને હલ કરવાનો સમય છે:

લંબગોળ કેવી રીતે બનાવવું?

હા, ફક્ત તેને લો અને તેને દોરો. કાર્ય વારંવાર થાય છે, અને વિદ્યાર્થીઓનો નોંધપાત્ર ભાગ ડ્રોઇંગનો યોગ્ય રીતે સામનો કરી શકતો નથી:

ઉદાહરણ 1

સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવેલ લંબગોળ બનાવો

ઉકેલ: પ્રથમ, ચાલો સમીકરણને પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં લાવીએ:

શા માટે લાવશો? પ્રામાણિક સમીકરણનો એક ફાયદો એ છે કે તે તમને તરત જ નક્કી કરવા દે છે લંબગોળના શિરોબિંદુઓ, જે પોઈન્ટ પર સ્થિત છે. તે જોવાનું સરળ છે કે આ દરેક બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ સમીકરણને સંતોષે છે.

આ કિસ્સામાં:


સેગમેન્ટકહેવાય છે મુખ્ય ધરીલંબગોળ
સેગમેન્ટ – નાની અક્ષ;
સંખ્યા કહેવાય છે અર્ધ-મુખ્ય શાફ્ટલંબગોળ
સંખ્યા – નાની અક્ષ.
અમારા ઉદાહરણમાં:.

ચોક્કસ લંબગોળ કેવો દેખાય છે તેની ઝડપથી કલ્પના કરવા માટે, ફક્ત તેના પ્રમાણભૂત સમીકરણના “a” અને “be” ના મૂલ્યો જુઓ.

બધું સારું, સરળ અને સુંદર છે, પરંતુ એક ચેતવણી છે: મેં પ્રોગ્રામનો ઉપયોગ કરીને ડ્રોઇંગ બનાવ્યું. અને તમે કોઈપણ એપ્લિકેશનનો ઉપયોગ કરીને ચિત્ર બનાવી શકો છો. જો કે, માં કડવી વાસ્તવિકતાટેબલ પર કાગળનો એક ચેકર્ડ ટુકડો છે, અને ઉંદર અમારા હાથ પર વર્તુળોમાં નાચે છે. કલાત્મક પ્રતિભા ધરાવતા લોકો, અલબત્ત, દલીલ કરી શકે છે, પરંતુ તમારી પાસે ઉંદર પણ છે (જોકે નાના લોકો). તે નિરર્થક નથી કે માનવતાએ ડ્રોઇંગ માટે શાસક, હોકાયંત્ર, પ્રોટ્રેક્ટર અને અન્ય સરળ ઉપકરણોની શોધ કરી.

આ કારણોસર, અમે ફક્ત શિરોબિંદુઓને જાણીને અંડાકારને ચોક્કસ રીતે દોરવામાં સમર્થ થવાની શક્યતા નથી. જો લંબગોળ નાનો હોય તો તે બરાબર છે, ઉદાહરણ તરીકે, અર્ધ-અક્ષો સાથે. વૈકલ્પિક રીતે, તમે સ્કેલ ઘટાડી શકો છો અને, તે મુજબ, ડ્રોઇંગના પરિમાણો. પરંતુ માં સામાન્ય કેસવધારાના પોઈન્ટ શોધવા માટે તે અત્યંત ઇચ્છનીય છે.

લંબગોળ બનાવવા માટે બે અભિગમો છે - ભૌમિતિક અને બીજગણિત. મને હોકાયંત્ર અને શાસકનો ઉપયોગ કરીને બાંધકામ ગમતું નથી કારણ કે અલ્ગોરિધમ સૌથી ટૂંકું નથી અને ડ્રોઇંગ નોંધપાત્ર રીતે અવ્યવસ્થિત છે. કટોકટીના કિસ્સામાં, કૃપા કરીને પાઠ્યપુસ્તકનો સંદર્ભ લો, પરંતુ વાસ્તવમાં બીજગણિતના સાધનોનો ઉપયોગ કરવો તે વધુ તર્કસંગત છે. ડ્રાફ્ટમાં અંડાકારના સમીકરણમાંથી આપણે ઝડપથી વ્યક્ત કરીએ છીએ:

પછી સમીકરણ બે કાર્યોમાં વિભાજિત થાય છે:
- એલિપ્સના ઉપલા ચાપને વ્યાખ્યાયિત કરે છે;
- એલિપ્સની નીચેની ચાપને વ્યાખ્યાયિત કરે છે.

પ્રામાણિક સમીકરણ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત લંબગોળ સંકલન અક્ષોના સંદર્ભમાં તેમજ મૂળના સંદર્ભમાં સપ્રમાણ છે. અને આ મહાન છે - સમપ્રમાણતા લગભગ હંમેશા ફ્રીબીઝનો હાર્બિંગર છે. દેખીતી રીતે, તે 1લા સંકલન ક્વાર્ટર સાથે વ્યવહાર કરવા માટે પૂરતું છે, તેથી અમને કાર્યની જરૂર છે . તે એબ્સીસાસ સાથે વધારાના પોઈન્ટ શોધવા માટે વિનંતી કરે છે . ચાલો કેલ્ક્યુલેટર પર ત્રણ SMS સંદેશાઓને ટેપ કરીએ:

અલબત્ત, તે પણ સરસ છે કે જો ગણતરીમાં ગંભીર ભૂલ થઈ હોય, તો તે બાંધકામ દરમિયાન તરત જ સ્પષ્ટ થઈ જશે.

ડ્રોઇંગ પરના બિંદુઓને ચિહ્નિત કરો (લાલ), સપ્રમાણ બિંદુઓબાકીના ચાપ પર ( વાદળી) અને કાળજીપૂર્વક આખી કંપનીને એક લાઇન સાથે કનેક્ટ કરો:


પ્રારંભિક સ્કેચને ખૂબ જ પાતળા દોરવાનું વધુ સારું છે, અને તે પછી જ પેંસિલથી દબાણ કરો. પરિણામ એકદમ યોગ્ય લંબગોળ હોવું જોઈએ. બાય ધ વે, શું તમે જાણવા માગો છો કે આ વળાંક શું છે?

અંડાકારની વ્યાખ્યા. એલિપ્સ ફોસી અને એલિપ્સ વિલક્ષણતા

અંડાકાર છે ખાસ કેસઅંડાકાર "અંડાકાર" શબ્દને ફિલિસ્ટીન અર્થમાં સમજવો જોઈએ નહીં ("બાળકે અંડાકાર દોર્યું", વગેરે). આ એક ગાણિતિક શબ્દ છે જેની વિગતવાર રચના છે. આ પાઠનો ઉદ્દેશ અંડાકાર અને તેમના વિવિધ પ્રકારોના સિદ્ધાંતને ધ્યાનમાં લેવાનો નથી, જેમાં વર્ચ્યુઅલ રીતે કોઈ ધ્યાન આપવામાં આવતું નથી. પ્રમાણભૂત અભ્યાસક્રમવિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિ. અને, વધુ અનુસાર વર્તમાન જરૂરિયાતો, અમે તરત જ એલિપ્સની કડક વ્યાખ્યા તરફ આગળ વધીએ છીએ:

અંડાકારપ્લેનના તમામ બિંદુઓનો સમૂહ છે, જેમાંથી પ્રત્યેકને આપેલા બે બિંદુઓથી અંતરનો સરવાળો કહેવાય છે. યુક્તિઓઅંડાકાર, એક સ્થિર જથ્થો છે, જે સંખ્યાત્મક રીતે આ અંડાકારની મુખ્ય ધરીની લંબાઈ જેટલી છે: .
આ કિસ્સામાં, ફોકસ વચ્ચેનું અંતર આ મૂલ્ય કરતાં ઓછું છે: .

હવે બધું સ્પષ્ટ થઈ જશે:

કલ્પના કરો કે વાદળી બિંદુ લંબગોળ સાથે "પ્રવાસ કરે છે". તેથી, ભલે આપણે લંબગોળના બિંદુને લઈએ, સેગમેન્ટ્સની લંબાઈનો સરવાળો હંમેશા સમાન રહેશે:

ચાલો ખાતરી કરીએ કે અમારા ઉદાહરણમાં સરવાળોનું મૂલ્ય ખરેખર આઠ જેટલું છે. માનસિક રીતે અંડાકારના જમણા શિરોબિંદુ પર બિંદુ "um" મૂકો, પછી: , જે તપાસવાની જરૂર છે.

તેને દોરવાની બીજી પદ્ધતિ એલિપ્સની વ્યાખ્યા પર આધારિત છે. ઉચ્ચ ગણિત ક્યારેક તણાવ અને તાણનું કારણ બને છે, તેથી અન્ય અનલોડિંગ સત્ર કરવાનો સમય છે. કૃપા કરીને વોટમેન પેપર અથવા કાર્ડબોર્ડની મોટી શીટ લો અને તેને બે નખ વડે ટેબલ પર પિન કરો. આ યુક્તિઓ હશે. બહાર નીકળેલા નેઇલ હેડ પર લીલો દોરો બાંધો અને તેને પેન્સિલ વડે બધી રીતે ખેંચો. પેન્સિલ લીડ ચોક્કસ બિંદુએ સમાપ્ત થશે જે અંડાકાર સાથે સંબંધિત છે. હવે પેન્સિલને કાગળની શીટ સાથે દોરવાનું શરૂ કરો, લીલો દોરો તંગ રાખીને. જ્યાં સુધી તમે પાછા ન આવો ત્યાં સુધી પ્રક્રિયા ચાલુ રાખો પ્રારંભિક બિંદુ... સરસ... ડૉક્ટર અને શિક્ષક દ્વારા ચિત્રની તપાસ કરી શકાય છે =)

લંબગોળનું કેન્દ્રબિંદુ કેવી રીતે શોધવું?

ઉપરના ઉદાહરણમાં, મેં "તૈયાર" ફોકલ પોઈન્ટ્સ દર્શાવ્યા છે, અને હવે આપણે શીખીશું કે તેમને ભૂમિતિના ઊંડાણમાંથી કેવી રીતે બહાર કાઢવું.

જો અંડાકાર પ્રમાણભૂત સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે, તો તેના ફોસીમાં કોઓર્ડિનેટ્સ હોય છે , આ ક્યાં છે દરેક ફોકસથી અંડાકારની સમપ્રમાણતાના કેન્દ્ર સુધીનું અંતર.

ગણતરીઓ સરળ કરતાં વધુ સરળ છે:

! ફોસીના ચોક્કસ કોઓર્ડિનેટ્સને "tse" ના અર્થ સાથે ઓળખી શકાતા નથી!હું પુનરાવર્તન કરું છું કે આ છે દરેક ફોકસથી કેન્દ્ર સુધી DISTANCE(જે સામાન્ય કિસ્સામાં મૂળ પર બરાબર સ્થિત હોવું જરૂરી નથી).
અને, તેથી, ફોસી વચ્ચેનું અંતર પણ લંબગોળની પ્રામાણિક સ્થિતિ સાથે જોડી શકાતું નથી. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, લંબગોળને બીજી જગ્યાએ ખસેડી શકાય છે અને મૂલ્ય યથાવત રહેશે, જ્યારે foci કુદરતી રીતે તેમના કોઓર્ડિનેટ્સ બદલશે. કૃપા કરીને ધ્યાનમાં લો આ ક્ષણેવિષયના વધુ અભ્યાસ દરમિયાન.

અંડાકારની વિલક્ષણતા અને તેનો ભૌમિતિક અર્થ

અંડાકારની તરંગીતા એ એક ગુણોત્તર છે જે શ્રેણીની અંદર મૂલ્યો લઈ શકે છે.

અમારા કિસ્સામાં:

ચાલો જાણીએ કે લંબગોળનો આકાર તેની વિલક્ષણતા પર કેવી રીતે આધાર રાખે છે. આ માટે ડાબા અને જમણા શિરોબિંદુઓને ઠીક કરોવિચારણા હેઠળના અંડાકારની, એટલે કે, અર્ધ-મુખ્ય અક્ષનું મૂલ્ય સ્થિર રહેશે. પછી વિચિત્રતા સૂત્ર ફોર્મ લેશે: .

ચાલો વિલક્ષણતા મૂલ્યને એકતાની નજીક લાવવાનું શરૂ કરીએ. આ તો જ શક્ય છે જો. તેનો અર્થ શું છે? ...યુક્તિઓ યાદ રાખો . આનો અર્થ એ છે કે લંબગોળનું કેન્દ્રબિંદુ એબ્સીસા અક્ષ સાથે બાજુના શિરોબિંદુઓ તરફ "અલગ થઈ જશે". અને, કારણ કે "લીલા ભાગો રબર નથી", અંડાકાર અનિવાર્યપણે સપાટ થવાનું શરૂ કરશે, એક ધરી પર લટકેલા પાતળા અને પાતળા સોસેજમાં ફેરવાશે.

આમ, કેવી રીતે નજીકનું મૂલ્યએકતા માટે લંબગોળની વિલક્ષણતા, લંબગોળ વધુ વિસ્તરેલ.

હવે ચાલો વિપરીત પ્રક્રિયાનું મોડેલ કરીએ: અંડાકારનું કેન્દ્ર કેન્દ્રની નજીક આવતા, એકબીજા તરફ ચાલ્યા. આનો અર્થ એ છે કે "ce" નું મૂલ્ય ઓછું અને ઓછું થતું જાય છે અને તે મુજબ, વિલક્ષણતા શૂન્ય તરફ વલણ ધરાવે છે: .
આ કિસ્સામાં, "ગ્રીન સેગમેન્ટ્સ" તેનાથી વિપરીત, "ભીડ બની જશે" અને તેઓ લંબગોળ રેખાને ઉપર અને નીચે "દબાણ" કરવાનું શરૂ કરશે.

આમ, વિષમતા મૂલ્ય શૂન્યની જેટલું નજીક છે, લંબગોળ સમાન છે... જ્યારે ફોસી મૂળ સ્થાને સફળતાપૂર્વક પુનઃ જોડાય ત્યારે મર્યાદિત કેસ જુઓ:

વર્તુળ એ એલિપ્સનો વિશેષ કેસ છે

ખરેખર, અર્ધ-અક્ષોની સમાનતાના કિસ્સામાં, લંબગોળનું પ્રામાણિક સમીકરણ સ્વરૂપ લે છે, જે ત્રિજ્યા "a" ની ઉત્પત્તિ પર કેન્દ્ર ધરાવતા વર્તુળના સમીકરણમાં પ્રતિબિંબિત રીતે પરિવર્તિત થાય છે, જે શાળામાં જાણીતું છે.

વ્યવહારમાં, "બોલતા" અક્ષર "er" સાથેનો સંકેત વધુ વખત ઉપયોગમાં લેવાય છે: . ત્રિજ્યા એ સેગમેન્ટની લંબાઈ છે, જેમાં વર્તુળના દરેક બિંદુને ત્રિજ્યાના અંતર દ્વારા કેન્દ્રમાંથી દૂર કરવામાં આવે છે.

નોંધ કરો કે લંબગોળની વ્યાખ્યા સંપૂર્ણપણે સાચી રહે છે: ફોસી એકરૂપ થાય છે, અને વર્તુળ પરના દરેક બિંદુ માટે સંયોગ વિભાગોની લંબાઈનો સરવાળો એક સ્થિર છે. કારણ કે ફોસી વચ્ચેનું અંતર છે, તો પછી કોઈપણ વર્તુળની તરંગીતા શૂન્ય છે.

વર્તુળ બનાવવું સરળ અને ઝડપી છે, માત્ર હોકાયંત્રનો ઉપયોગ કરો. જો કે, કેટલીકવાર તેના કેટલાક બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધવા માટે જરૂરી છે, આ કિસ્સામાં આપણે પરિચિત માર્ગ પર જઈએ છીએ - અમે સમીકરણને ખુશખુશાલ માતાનોવ સ્વરૂપમાં લાવીએ છીએ:

- ઉપલા અર્ધવર્તુળનું કાર્ય;
- નીચલા અર્ધવર્તુળનું કાર્ય.

જે પછી અમે શોધીએ છીએ જરૂરી મૂલ્યો, તફાવત કરવો, એકીકૃતઅને અન્ય સારી વસ્તુઓ કરો.

લેખ, અલબત્ત, ફક્ત સંદર્ભ માટે છે, પરંતુ તમે પ્રેમ વિના વિશ્વમાં કેવી રીતે જીવી શકો? માટે સર્જનાત્મક કાર્ય સ્વતંત્ર નિર્ણય

ઉદાહરણ 2

લંબગોળનું પ્રામાણિક સમીકરણ કંપોઝ કરો જો તેની ફોસી અને અર્ધ-માઇનોર અક્ષમાંથી કોઈ એક જાણીતો હોય (કેન્દ્ર મૂળમાં છે). શિરોબિંદુઓ, વધારાના બિંદુઓ શોધો અને ડ્રોઇંગ પર એક રેખા દોરો. તરંગીતાની ગણતરી કરો.

પાઠના અંતે ઉકેલ અને ચિત્રકામ

ચાલો એક ક્રિયા ઉમેરીએ:

લંબગોળ ફેરવો અને સમાંતર અનુવાદ કરો

ચાલો એલિપ્સના પ્રામાણિક સમીકરણ પર પાછા જઈએ, એટલે કે, તે સ્થિતિ પર, જેનું રહસ્ય આ વળાંકના પ્રથમ ઉલ્લેખથી જિજ્ઞાસુ મનને ત્રાસ આપે છે. તેથી અમે લંબગોળ તરફ જોયું , પરંતુ શું વ્યવહારમાં સમીકરણને પૂર્ણ કરવું શક્ય નથી ? છેવટે, અહીં, જો કે, તે પણ એક અંડાકાર લાગે છે!

આ પ્રકારનું સમીકરણ દુર્લભ છે, પરંતુ તે સમગ્રમાં આવે છે. અને તે વાસ્તવમાં એક લંબગોળ વ્યાખ્યાયિત કરે છે. ચાલો નિષ્ક્રિય કરીએ:

બાંધકામના પરિણામે, અમારું મૂળ લંબગોળ મેળવવામાં આવ્યું હતું, 90 ડિગ્રી દ્વારા ફેરવવામાં આવ્યું હતું. એટલે કે, - આ બિન-પ્રમાણિક પ્રવેશલંબગોળ . રેકોર્ડ!- સમીકરણ અન્ય કોઈ લંબગોળને વ્યાખ્યાયિત કરતું નથી, કારણ કે અક્ષ પર કોઈ બિંદુઓ (ફોસી) નથી જે અંડાકારની વ્યાખ્યાને સંતોષે.

11.1. મૂળભૂત ખ્યાલો

ચાલો વર્તમાન કોઓર્ડિનેટ્સ સાથે સંબંધિત બીજી ડિગ્રીના સમીકરણો દ્વારા વ્યાખ્યાયિત રેખાઓને ધ્યાનમાં લઈએ

સમીકરણના ગુણાંક વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે, પરંતુ ઓછામાં ઓછી એક સંખ્યા A, B, અથવા C બિનશૂન્ય છે. આવી રેખાઓને બીજા ક્રમની રેખાઓ (વળાંક) કહેવામાં આવે છે. નીચે તે સ્થાપિત કરવામાં આવશે કે સમીકરણ (11.1) પ્લેન પર એક વર્તુળ, લંબગોળ, હાયપરબોલા અથવા પેરાબોલાને વ્યાખ્યાયિત કરે છે. આ નિવેદન તરફ આગળ વધતા પહેલા, ચાલો સૂચિબદ્ધ વળાંકોના ગુણધર્મોનો અભ્યાસ કરીએ.

11.2. વર્તુળ

સૌથી સરળ સેકન્ડ-ઓર્ડર વળાંક એ વર્તુળ છે. યાદ કરો કે એક બિંદુ પર કેન્દ્ર સાથે ત્રિજ્યા Rનું વર્તુળ એ સ્થિતિને સંતોષતા પ્લેનના તમામ બિંદુ Mનો સમૂહ છે. લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં એક બિંદુને કોઓર્ડિનેટ્સ x 0, y 0 અને - વર્તુળ પર એક મનસ્વી બિંદુ હોવા દો (જુઓ. ફિગ. 48).

પછી શરતમાંથી આપણે સમીકરણ મેળવીએ છીએ

(11.2)

સમીકરણ (11.2) આપેલ વર્તુળ પરના કોઈપણ બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ દ્વારા સંતુષ્ટ થાય છે અને વર્તુળ પર ન હોય તેવા કોઈપણ બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સથી સંતુષ્ટ નથી.

સમીકરણ (11.2) કહેવાય છે વર્તુળનું પ્રમાણભૂત સમીકરણ

ખાસ કરીને, સેટિંગ અને , આપણે મૂળ પર કેન્દ્ર સાથે વર્તુળનું સમીકરણ મેળવીએ છીએ .

સરળ પરિવર્તનો પછી વર્તુળ સમીકરણ (11.2) સ્વરૂપ લેશે. જ્યારે આ સમીકરણને બીજા ક્રમના વળાંકના સામાન્ય સમીકરણ (11.1) સાથે સરખાવવામાં આવે ત્યારે, એ નોંધવું સરળ છે કે વર્તુળના સમીકરણ માટે બે શરતો સંતુષ્ટ છે:

1) x 2 અને y 2 માટે ગુણાંક એકબીજાના સમાન છે;

2) વર્તમાન કોઓર્ડિનેટ્સનું ઉત્પાદન xy ધરાવતો કોઈ સભ્ય નથી.

ચાલો વિપરીત સમસ્યાને ધ્યાનમાં લઈએ. મૂલ્યો મૂકીને અને સમીકરણ (11.1) માં, આપણે મેળવીએ છીએ

ચાલો આ સમીકરણને બદલીએ:

(11.4)

તે અનુસરે છે કે સમીકરણ (11.3) શરત હેઠળ વર્તુળને વ્યાખ્યાયિત કરે છે . તેનું કેન્દ્ર બિંદુ પર છે

.

, અને ત્રિજ્યા જો

.

, પછી સમીકરણ (11.3) ફોર્મ ધરાવે છે તે એક બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ દ્વારા સંતુષ્ટ છે

. આ કિસ્સામાં તેઓ કહે છે: "વર્તુળ એક બિંદુમાં અધોગતિ પામ્યું છે" (શૂન્ય ત્રિજ્યા ધરાવે છે). જો, પછી સમીકરણ (11.4), અને તેથી સમકક્ષ સમીકરણ(11.3) કોઈપણ લાઇનને વ્યાખ્યાયિત કરશે નહીં, ત્યારથી

જમણી બાજુ

સમીકરણ (11.4) નકારાત્મક છે, અને ડાબી બાજુ નકારાત્મક નથી (કહો: "વર્તુળ કાલ્પનિક છે").

11.3. અંડાકાર પ્રમાણભૂત લંબગોળ સમીકરણ યુક્તિઓ અંડાકાર

પ્લેનના તમામ બિંદુઓનો સમૂહ છે, જેમાંથી દરેકથી આ પ્લેનના આપેલા બે બિંદુઓ સુધીના અંતરનો સરવાળો, કહેવાય છે , એ foci વચ્ચેના અંતર કરતાં વધુ સ્થિર મૂલ્ય છે.ચાલો દ્વારા ધ્યાન કેન્દ્રિત કરીએ F 1, તેમની વચ્ચેનું અંતર 2 છે c, અને અંડાકારના મનસ્વી બિંદુથી કેન્દ્ર સુધીના અંતરનો સરવાળો - 2 માં a(જુઓ ફિગ. 49). વ્યાખ્યા દ્વારા 2 a > 2c, એટલે કે a > c.

અંડાકારનું સમીકરણ મેળવવા માટે, અમે એક સંકલન પ્રણાલી પસંદ કરીએ છીએ જેથી ફોસી , એ foci વચ્ચેના અંતર કરતાં વધુ સ્થિર મૂલ્ય છે.ચાલો દ્વારા ધ્યાન કેન્દ્રિત કરીએ F 1ધરી પર મૂકે છે, અને મૂળ સેગમેન્ટની મધ્ય સાથે એકરુપ છે F 1 F 2.

પછી ફોસીમાં નીચેના કોઓર્ડિનેટ્સ હશે: અને .

એલિપ્સનો એક મનસ્વી બિંદુ બનવા દો. પછી, લંબગોળની વ્યાખ્યા અનુસાર, એટલે કે.

આ, સારમાં, એલિપ્સનું સમીકરણ છે. ચાલો સમીકરણ (11.5) ને વધુ માં રૂપાંતરિત કરીએસરળ દૃશ્ય

નીચે મુજબ: a>કારણ કેસાથે

(11.6)

, તે . ચાલો મૂકીએ

(11.7)

પછી છેલ્લું સમીકરણ ફોર્મ લેશે અથવા તે સાબિત કરી શકાય છે કે સમીકરણ (11.7) એ મૂળ સમીકરણની સમકક્ષ છે. તે કહેવાય છે .

પ્રમાણભૂત લંબગોળ સમીકરણ

એલિપ્સ એ સેકન્ડ ઓર્ડર કર્વ છે.

ચાલો તેના પ્રમાણભૂત સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને લંબગોળનો આકાર સ્થાપિત કરીએ.

તેના સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને લંબગોળના આકારનો અભ્યાસ કરો

1. સમીકરણ (11.7) x અને y માત્ર સમ શક્તિઓમાં જ ધરાવે છે, તેથી જો કોઈ બિંદુ લંબગોળ સાથે સંબંધ ધરાવે છે, તો બિંદુઓ ,, પણ તેના છે. તે અનુસરે છે કે લંબગોળ અને અક્ષના સંદર્ભમાં સપ્રમાણ છે, તેમજ બિંદુના સંદર્ભમાં, જેને અંડાકારનું કેન્દ્ર કહેવામાં આવે છે. 1 , 2. સંકલન અક્ષો સાથે લંબગોળના આંતરછેદના બિંદુઓ શોધો. મૂકીને, આપણે બે બિંદુઓ શોધીએ છીએ અને , જેના પર અક્ષ લંબગોળને છેદે છે (જુઓ ફિગ. 50). સમીકરણ (11.7) માં મૂકીને, આપણે ધરી સાથે લંબગોળના આંતરછેદના બિંદુઓ શોધીએ છીએ: અને . પોઈન્ટ , એ, A 2બી 1 B 2કહેવાય છે તે અનુસરે છે કે લંબગોળ અને અક્ષના સંદર્ભમાં સપ્રમાણ છે, તેમજ બિંદુના સંદર્ભમાં, જેને અંડાકારનું કેન્દ્ર કહેવામાં આવે છે. 1 2. સંકલન અક્ષો સાથે લંબગોળના આંતરછેદના બિંદુઓ શોધો. મૂકીને, આપણે બે બિંદુઓ શોધીએ છીએ અને , જેના પર અક્ષ લંબગોળને છેદે છે (જુઓ ફિગ. 50). સમીકરણ (11.7) માં મૂકીને, આપણે ધરી સાથે લંબગોળના આંતરછેદના બિંદુઓ શોધીએ છીએ: અને . પોઈન્ટચાલો દ્વારા ધ્યાન કેન્દ્રિત કરીએ લંબગોળના શિરોબિંદુઓ. સેગમેન્ટ્સ a B 1 B 2 , તેમજ તેમની લંબાઈ 2અને 2 bતે મુજબ બોલાવવામાં આવે છે aચાલો દ્વારા ધ્યાન કેન્દ્રિત કરીએ , તેમજ તેમની લંબાઈ 2મુખ્ય અને ગૌણ અક્ષો લંબગોળ સંખ્યાઓઅનુક્રમે મોટા અને નાના કહેવાય છે

એક્સલ શાફ્ટ

લંબગોળ

3. સમીકરણ (11.7) પરથી તે અનુસરે છે કે ડાબી બાજુએ દરેક પદ એક કરતાં વધુ નથી, એટલે કે. અસમાનતાઓ અને અથવા અને થાય છે. પરિણામે, લંબગોળના તમામ બિંદુઓ સીધી રેખાઓ દ્વારા રચાયેલા લંબચોરસની અંદર આવેલા છે.

4. સમીકરણ (11.7) માં, બિન-નકારાત્મક પદોનો સરવાળો અને એક સમાન છે. પરિણામે, જેમ જેમ એક મુદત વધે છે, તેમ અન્ય ઘટશે, એટલે કે જો તે વધે છે, તો તે ઘટે છે અને ઊલટું.

ઉપરથી તે અનુસરે છે કે અંડાકારનો આકાર ફિગમાં દર્શાવેલ છે. 50 (અંડાકાર બંધ વળાંક).

લંબગોળ વિશે વધુ માહિતી<ε< 1, так как 0<с<а. С учетом равенства (11.6) формулу (11.8) можно переписать в виде

આ બતાવે છે કે લંબગોળની વિષમતા જેટલી નાની હશે, તેટલું ઓછું ચપટી લંબગોળ હશે; જો આપણે ε = 0 સેટ કરીએ, તો લંબગોળ વર્તુળમાં ફેરવાય છે.

M(x;y) એ લંબગોળનું ફોસી F 1 અને F 2 (ફિગ 51 જુઓ) સાથેનું મનસ્વી બિંદુ બનવા દો. F 1 M = r 1 અને F 2 M = r 2 વિભાગોની લંબાઈને M બિંદુની કેન્દ્રીય ત્રિજ્યા કહેવામાં આવે છે. દેખીતી રીતે,

સૂત્રો ધરાવે છે

સીધી રેખાઓ કહેવામાં આવે છે

પ્રમેય 11.1.જો અંડાકારના મનસ્વી બિંદુથી અમુક ફોકસ સુધીનું અંતર છે, તો d એ આ ફોકસને અનુરૂપ સમાન બિંદુથી ડાયરેક્ટ્રીક્સ સુધીનું અંતર છે, તો ગુણોત્તર એ અંડાકારની વિષમતા સમાન સ્થિર મૂલ્ય છે:

સમાનતા (11.6) થી તે તેને અનુસરે છે. જો, તો પછી સમીકરણ (11.7) એલિપ્સને વ્યાખ્યાયિત કરે છે, જેનો મુખ્ય અક્ષ ઓય અક્ષ પર રહેલો છે, અને નાનો અક્ષ બળદની અક્ષ પર છે (જુઓ આકૃતિ. 52). આવા લંબગોળનું કેન્દ્રબિંદુ અને , ક્યાં છે .

11.4. હાયપરબોલા

કેનોનિકલ હાઇપરબોલા સમીકરણ

અતિશય પ્લેનના તમામ બિંદુઓનો સમૂહ છે, તે દરેકથી આ પ્લેનના આપેલા બે બિંદુઓ સુધીના અંતરમાંના તફાવતનું મોડ્યુલસ કહેવાય છે. યુક્તિઓ , એ foci વચ્ચેના અંતર કરતાં ઓછું સ્થિર મૂલ્ય છે.

પ્લેનના તમામ બિંદુઓનો સમૂહ છે, જેમાંથી દરેકથી આ પ્લેનના આપેલા બે બિંદુઓ સુધીના અંતરનો સરવાળો, કહેવાય છે , એ foci વચ્ચેના અંતર કરતાં વધુ સ્થિર મૂલ્ય છે.ચાલો દ્વારા ધ્યાન કેન્દ્રિત કરીએ F 1તેમની વચ્ચેનું અંતર છે 2 સે, અને હાઇપરબોલાના દરેક બિંદુથી ફોસી થ્રુ સુધીના અંતરમાં તફાવતનું મોડ્યુલસ 2a. વ્યાખ્યા દ્વારા 2a < 2 સે, એટલે કે a < c.

હાઇપરબોલા સમીકરણ મેળવવા માટે, અમે એક સંકલન પ્રણાલી પસંદ કરીએ છીએ જેથી ફોસી , એ foci વચ્ચેના અંતર કરતાં વધુ સ્થિર મૂલ્ય છે.ચાલો દ્વારા ધ્યાન કેન્દ્રિત કરીએ F 2ધરી પર મૂકે છે, અને મૂળ સેગમેન્ટની મધ્ય સાથે એકરુપ છે F 1 F 2(જુઓ ફિગ. 53). પછી foci પાસે કોઓર્ડિનેટ્સ હશે અને

હાયપરબોલાના મનસ્વી બિંદુ બનવા દો. પછી, હાયપરબોલાની વ્યાખ્યા અનુસાર અથવા, એટલે કે, સરળીકરણ પછી, જેમ કે અંડાકાર સમીકરણ મેળવતી વખતે કરવામાં આવ્યું હતું, અમે મેળવીએ છીએ પ્રમાણભૂત હાયપરબોલા સમીકરણ

(11.9)

(11.10)

હાઇપરબોલા એ બીજા ક્રમની રેખા છે.

તેના સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને હાઇપરબોલાના આકારનો અભ્યાસ કરવો

ચાલો તેના ઉચ્ચારણ સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને હાઇપરબોલાનું સ્વરૂપ સ્થાપિત કરીએ.

1. સમીકરણ (11.9) x અને y માત્ર સમ શક્તિઓમાં જ સમાવે છે. પરિણામે, હાયપરબોલા અક્ષો અને તેમજ બિંદુ વિશે સપ્રમાણ છે, જેને કહેવાય છે

હાઇપરબોલાનું કેન્દ્ર.

2. સંકલન અક્ષો સાથે અતિપરબોલાના આંતરછેદના બિંદુઓ શોધો. સમીકરણ (11.9) માં મૂકીને, આપણે અક્ષ સાથે હાઇપરબોલાના આંતરછેદના બે બિંદુઓ શોધીએ છીએ: અને. (11.9) માં મૂકવાથી, આપણને મળે છે, જે હોઈ શકતું નથી. પરિણામે, હાઇપરબોલા ઓય અક્ષને છેદતું નથી. પોઈન્ટ કહેવાય છે શિખરો

હાયપરબોલાસ અને સેગમેન્ટ વાસ્તવિક ધરી , સેગમેન્ટ - વાસ્તવિક અર્ધ-અક્ષ

અતિશય એક સેગમેન્ટ કનેક્ટિંગ પોઈન્ટ કહેવાય છે કાલ્પનિક ધરી , નંબર b - કાલ્પનિક અર્ધ-અક્ષ 2aચાલો દ્વારા ધ્યાન કેન્દ્રિત કરીએ .બાજુઓ સાથે લંબચોરસ 2 બી .

3. સમીકરણ (11.9) પરથી તે અનુસરે છે કે મિનુએન્ડ એક કરતા ઓછો નથી, એટલે કે, તે અથવા .

આનો અર્થ એ છે કે હાયપરબોલાના બિંદુઓ રેખાની જમણી બાજુએ (હાયપરબોલાની જમણી શાખા) અને રેખાની ડાબી બાજુએ (હાયપરબોલાની ડાબી શાખા) સ્થિત છે.

4. હાયપરબોલાના સમીકરણ (11.9) પરથી તે સ્પષ્ટ છે કે જ્યારે તે વધે છે, ત્યારે તે વધે છે.

આ એ હકીકત પરથી અનુસરે છે કે તફાવત એક સમાન મૂલ્ય જાળવી રાખે છે.

ઉપરોક્ત પરથી તે અનુસરે છે કે હાઇપરબોલા આકૃતિ 54 (બે અમર્યાદિત શાખાઓ ધરાવતું વળાંક) માં બતાવેલ સ્વરૂપ ધરાવે છે. હાયપરબોલાના એસિમ્પ્ટોટ્સ

સીધી રેખા L ને એસિમ્પ્ટોટ કહેવામાં આવે છે

(11.11)

અમર્યાદિત વળાંક K, જો વક્ર K ના બિંદુ M થી આ સીધી રેખા સુધીનું અંતર d શૂન્ય તરફ વળે છે જ્યારે મૂળથી વળાંક K સાથે બિંદુ M નું અંતર અમર્યાદિત છે.

આકૃતિ 55 એસિમ્પ્ટોટની વિભાવનાનું ઉદાહરણ પૂરું પાડે છે: સીધી રેખા L એ વળાંક K માટે એસિમ્પ્ટોટ છે. ચાલો બતાવીએ કે હાયપરબોલામાં બે એસિમ્પ્ટોટ્સ છે:

સીધી રેખાઓ (11.11) અને હાયપરબોલા (11.9) સંકલન અક્ષોના સંદર્ભમાં સપ્રમાણતા ધરાવતા હોવાથી, પ્રથમ ત્રિમાસિક ગાળામાં સ્થિત દર્શાવેલ રેખાઓના ફક્ત તે બિંદુઓને ધ્યાનમાં લેવા માટે તે પૂરતું છે. ચાલો આપણે એક સીધી રેખા પર એક બિંદુ N લઈએ કે જે હાઇપરબોલા પરના બિંદુ સમાન એબ્સીસા x ધરાવે છે

(જુઓ ફિગ. 56), અને સીધી રેખાના ઓર્ડિનેટ્સ અને હાઇપરબોલાની શાખા વચ્ચેનો તફાવત ΜΝ શોધો:

જેમ તમે જોઈ શકો છો, જેમ x વધે છે, અપૂર્ણાંકનો છેદ વધે છે; અંશ એ સ્થિર મૂલ્ય છે. તેથી, સેગમેન્ટની લંબાઈ

ΜΝ શૂન્ય તરફ વલણ ધરાવે છે. MΝ બિંદુ M થી રેખા સુધીના અંતર d કરતા વધારે હોવાથી, પછી d શૂન્ય તરફ વળે છે. તેથી, રેખાઓ હાયપરબોલા (11.9) ના લક્ષણો છે.

હાયપરબોલા (11.9) નું નિર્માણ કરતી વખતે, સૌપ્રથમ હાયપરબોલાના મુખ્ય લંબચોરસ (ફિગ. 57)ને બાંધવાની સલાહ આપવામાં આવે છે, આ લંબચોરસના વિરોધી શિરોબિંદુઓમાંથી પસાર થતી સીધી રેખાઓ દોરો - હાયપરબોલાના એસિમ્પ્ટોટ્સ અને શિરોબિંદુઓને ચિહ્નિત કરો અને , હાઇપરબોલાના.

(11.12)

સમભુજ હાઇપરબોલાનું સમીકરણ.

જેનાં લક્ષણો સંકલન અક્ષો છે

હાઇપરબોલા (11.9) ને સમભુજ કહેવાય છે જો તેની અર્ધ-અક્ષ () ની બરાબર હોય.

તેનું પ્રામાણિક સમીકરણ

સમબાજુ હાઇપરબોલાના એસિમ્પ્ટોટ્સ સમીકરણો ધરાવે છે અને તેથી, સંકલન કોણના દ્વિભાજકો છે.

ચાલો નવા કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં આ હાઇપરબોલાના સમીકરણને ધ્યાનમાં લઈએ (જુઓ. આકૃતિ. 58), કોઓર્ડિનેટ અક્ષોને કોણ દ્વારા ફેરવીને જૂનામાંથી મેળવેલા છે. હાયપરબોલા (11.9) એ હાયપરબોલાના વાસ્તવિક અક્ષના મૂલ્ય અને કેન્દ્ર વચ્ચેના અંતરનો ગુણોત્તર છે, જે ε દ્વારા સૂચિત છે:

હાઇપરબોલા માટે હોવાથી, હાઇપરબોલાની તરંગીતા એક કરતા વધારે છે: . વિલક્ષણતા એ હાયપરબોલાના આકારને દર્શાવે છે. ખરેખર, સમાનતા (11.10) થી તે અનુસરે છે કે એટલે કે. .

અને

આના પરથી જોઈ શકાય છે કે હાયપરબોલાની વિષમતા જેટલી નાની હશે, તેના અર્ધ-અક્ષોનો ગુણોત્તર જેટલો નાનો હશે, અને તેથી તેનો મુખ્ય લંબચોરસ વધુ વિસ્તરેલો છે.

સમભુજ હાઇપરબોલાની વિલક્ષણતા છે. ખરેખર, ફોકલ ત્રિજ્યા અને ફોકલ ત્રિજ્યા .

જમણી શાખાના બિંદુઓ માટે હાયપરબોલાસનું સ્વરૂપ છે અને , અને ડાબી શાખા માટે -

ડાયરેક્ટ લાઇન્સને હાઇપરબોલાના ડાયરેક્ટ્રીક્સ કહેવામાં આવે છે. હાઇપરબોલા ε > 1 માટે, પછી.

આનો અર્થ એ છે કે જમણો ડાયરેક્ટ્રિક્સ હાયપરબોલાના કેન્દ્ર અને જમણા શિરોબિંદુ વચ્ચે સ્થિત છે, ડાબે - કેન્દ્ર અને ડાબા શિરોબિંદુ વચ્ચે. aહાયપરબોલાના ડાયરેક્ટ્રીક્સ એલિપ્સના ડાયરેક્ટ્રીક્સ સમાન ગુણધર્મ ધરાવે છે.

સમીકરણ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વળાંક પણ અતિપરવલય છે, જેમાંથી વાસ્તવિક અક્ષ 2b ઓય અક્ષ પર સ્થિત છે અને કાલ્પનિક અક્ષ 2

- બળદની ધરી પર. આકૃતિ 59 માં તે ડોટેડ લાઇન તરીકે દર્શાવવામાં આવ્યું છે.

તે સ્પષ્ટ છે કે હાયપરબોલાસમાં સામાન્ય એસિમ્પ્ટોટ્સ હોય છે. આવા હાયપરબોલાસને સંયુગેટ કહેવામાં આવે છે.

11.5. પેરાબોલા

કેનોનિકલ પેરાબોલા સમીકરણ

પેરાબોલા એ સમતલના તમામ બિંદુઓનો સમૂહ છે, જેમાંથી દરેક આપેલ બિંદુથી સમાન રીતે દૂર છે, જેને ફોકસ કહેવાય છે અને આપેલ રેખા, જેને ડાયરેક્ટ્રીક્સ કહેવાય છે. ફોકસ F થી ડાયરેક્ટ્રીક્સ સુધીના અંતરને પેરાબોલાના પરિમાણ કહેવામાં આવે છે અને તેને p (p > 0) દ્વારા સૂચિત કરવામાં આવે છે.

પેરાબોલાના સમીકરણ મેળવવા માટે, અમે સંકલન પ્રણાલી ઓક્સી પસંદ કરીએ છીએ જેથી ઓક્સની ધરી ડાયરેક્ટ્રીક્સથી F તરફની દિશામાં ડાયરેક્ટ્રિક્સ પર લંબરૂપ F ફોકસમાંથી પસાર થાય અને કોઓર્ડિનેટ્સ O ની ઉત્પત્તિ મધ્યમાં સ્થિત હોય. ફોકસ અને ડાયરેક્ટ્રીક્સ (જુઓ ફિગ. 60). પસંદ કરેલી સિસ્ટમમાં, ફોકસ F કોઓર્ડિનેટ્સ ધરાવે છે , અને ડાયરેક્ટ્રીક્સ સમીકરણ ફોર્મ ધરાવે છે , અથવા .

1. સમીકરણ (11.13) માં ચલ y એક સમાન અંશમાં દેખાય છે, જેનો અર્થ છે કે પેરાબોલા ઓક્સ અક્ષ વિશે સપ્રમાણ છે; બળદની અક્ષ એ પેરાબોલાની સમપ્રમાણતાની ધરી છે.

2. ρ > 0 થી, તે (11.13) થી અનુસરે છે. પરિણામે, પેરાબોલા ઓય અક્ષની જમણી બાજુએ સ્થિત છે.

3. જ્યારે આપણી પાસે y = 0 હોય છે. તેથી, પેરાબોલા મૂળમાંથી પસાર થાય છે. 4. જેમ x અનિશ્ચિત રૂપે વધે છે, મોડ્યુલ y પણ અનિશ્ચિત રૂપે વધે છે. પેરાબોલામાં આકૃતિ 61 માં દર્શાવેલ સ્વરૂપ (આકાર) છે. બિંદુ O(0; 0) ને પેરાબોલાના શિરોબિંદુ કહેવામાં આવે છે, FM = r સેગમેન્ટને બિંદુ M ની કેન્દ્રીય ત્રિજ્યા કહેવામાં આવે છે.સમીકરણો , , (

તે આલેખ બતાવવા માટે સરળ છે ચતુર્ભુજ ત્રિપદી, જ્યાં , B અને C કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે, તે ઉપર આપેલ તેની વ્યાખ્યાના અર્થમાં પેરાબોલા છે.

11.6. બીજી ક્રમ રેખાઓનું સામાન્ય સમીકરણ

સંકલન અક્ષોની સમાંતર સમપ્રમાણતાની અક્ષો સાથે બીજા ક્રમના વળાંકોના સમીકરણો

ચાલો સૌપ્રથમ બિંદુ પર કેન્દ્ર સાથે લંબગોળનું સમીકરણ શોધીએ, જેની સમપ્રમાણતા અક્ષો સંકલન અક્ષ Ox અને Oy સાથે સમાંતર હોય છે અને અર્ધ-અક્ષ અનુક્રમે સમાન હોય છે. aચાલો દ્વારા ધ્યાન કેન્દ્રિત કરીએ , તેમજ તેમની લંબાઈ 2. ચાલો લંબગોળ O 1 ની મધ્યમાં એક નવી સંકલન પ્રણાલીની શરૂઆત કરીએ, જેની અક્ષો અને અર્ધ-અક્ષ aચાલો દ્વારા ધ્યાન કેન્દ્રિત કરીએ , તેમજ તેમની લંબાઈ 2(જુઓ ફિગ. 64):

છેલ્લે, આકૃતિ 65 માં બતાવેલ પેરાબોલાસ અનુરૂપ સમીકરણો ધરાવે છે.

સમીકરણ

અંડાકાર, અતિભાષા, પેરાબોલાના સમીકરણો અને રૂપાંતરણ પછી વર્તુળનું સમીકરણ (ખુલ્લા કૌંસ, સમીકરણની તમામ શરતોને એક બાજુએ ખસેડો, સમાન શરતો લાવો, ગુણાંક માટે નવા સંકેતો દાખલ કરો) એક સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને લખી શકાય છે. ફોર્મ

જ્યાં ગુણાંક A અને C એક જ સમયે શૂન્ય સમાન નથી.

પ્રશ્ન ઊભો થાય છે: શું ફોર્મનું દરેક સમીકરણ (11.14) બીજા ક્રમના વળાંકોમાંથી એક (વર્તુળ, લંબગોળ, હાયપરબોલા, પેરાબોલા) નક્કી કરે છે? જવાબ નીચેના પ્રમેય દ્વારા આપવામાં આવે છે.

પ્રમેય 11.2. સમીકરણ (11.14) હંમેશા વ્યાખ્યાયિત કરે છે: કાં તો વર્તુળ (A = C માટે), અથવા લંબગોળ (A C > 0 માટે), અથવા અતિપરવલય (A C માટે)< 0), либо параболу (при А×С= 0). При этом возможны случаи вырождения: для эллипса (окружности) - в точку или мнимый эллипс (окружность), для гиперболы - в пару пересекающихся прямых, для параболы - в пару параллельных прямых.

સામાન્ય સેકન્ડ ઓર્ડર સમીકરણ

ચાલો હવે વિચાર કરીએ સામાન્ય સમીકરણબે અજાણ્યા સાથે બીજી ડિગ્રી:

તે સમીકરણ (11.14) થી કોઓર્ડિનેટ્સ (B¹ 0) ના ઉત્પાદન સાથેના શબ્દની હાજરી દ્વારા અલગ પડે છે. સંકલન અક્ષોને કોણ a દ્વારા ફેરવીને, આ સમીકરણને રૂપાંતરિત કરવું શક્ય છે જેથી કોઓર્ડિનેટ્સના ઉત્પાદન સાથેનો શબ્દ ગેરહાજર હોય.

ધરી પરિભ્રમણ સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને

ચાલો જૂના કોઓર્ડિનેટ્સને નવાના સંદર્ભમાં વ્યક્ત કરીએ:

ચાલો કોણ a પસંદ કરીએ જેથી x" · y" નો ગુણાંક શૂન્ય બને, એટલે કે સમાનતા

આમ, જ્યારે અક્ષોને એવા ખૂણા દ્વારા ફેરવવામાં આવે છે જે સ્થિતિ (11.17) ને સંતોષે છે, ત્યારે સમીકરણ (11.15) ઘટાડીને સમીકરણ (11.14) માં આવે છે.

નિષ્કર્ષ: સામાન્ય સેકન્ડ-ઓર્ડર સમીકરણ (11.15) પ્લેન પર (અધોગતિ અને સડોના કિસ્સાઓ સિવાય) નીચેના વળાંકોને વ્યાખ્યાયિત કરે છે: વર્તુળ, લંબગોળ, હાયપરબોલા, પેરાબોલા.

નોંધ: જો A = C હોય, તો સમીકરણ (11.17) અર્થહીન બની જાય છે. આ કિસ્સામાં, cos2α = 0 (જુઓ (11.16)), પછી 2α = 90°, એટલે કે α = 45°. તેથી, જ્યારે A = C, સંકલન પ્રણાલીને 45° દ્વારા ફેરવવી જોઈએ.

લંબગોળ એ પ્લેન પરના પોઈન્ટનું ભૌમિતિક સ્થાન છે, તેમાંના દરેકથી બે આપેલ બિંદુઓ સુધીના અંતરનો સરવાળો છે F_1, અને F_2 એ સ્થિર મૂલ્ય (2a) આ વચ્ચેના અંતર (2c) કરતા વધારે છે. આપેલ પોઈન્ટ(ફિગ. 3.36, એ). આ ભૌમિતિક વ્યાખ્યા વ્યક્ત કરે છે લંબગોળની કેન્દ્રીય મિલકત.

લંબગોળની ફોકલ પ્રોપર્ટી

બિંદુઓ F_1 અને F_2 ને અંડાકારનું કેન્દ્ર કહેવામાં આવે છે, તેમની વચ્ચેનું અંતર 2c=F_1F_2 એ કેન્દ્રીય લંબાઈ છે, F_1F_2 ખંડનો મધ્ય O એ અંડાકારનું કેન્દ્ર છે, સંખ્યા 2a એ અંડાકારના મુખ્ય ધરીની લંબાઈ છે. લંબગોળ (તે મુજબ, સંખ્યા એ એલિપ્સની અર્ધ-મુખ્ય અક્ષ છે). લંબગોળના મનસ્વી બિંદુ M ને તેના ફોસી સાથે જોડતા F_1M અને F_2M વિભાગોને બિંદુ M ની કેન્દ્રીય ત્રિજ્યા કહેવામાં આવે છે. અંડાકારના બે બિંદુઓને જોડતા ખંડને અંડાકારનો તાર કહેવામાં આવે છે.

e=\frac(c)(a) ગુણોત્તરને અંડાકારની વિષમતા કહેવામાં આવે છે. વ્યાખ્યા (2a>2c) થી તે અનુસરે છે કે 0\leqslant e<1 . При e=0 , т.е. при c=0 , фокусы F_1 и F_2 , а также центр O совпадают, и эллипс является окружностью радиуса a (рис.3.36,6).

લંબગોળની ભૌમિતિક વ્યાખ્યા, તેની ફોકલ પ્રોપર્ટી વ્યક્ત કરતી, તેની વિશ્લેષણાત્મક વ્યાખ્યાની સમકક્ષ છે - અંડાકારના પ્રમાણભૂત સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવેલી રેખા:

ખરેખર, ચાલો એક લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ (ફિગ. 3.36c) રજૂ કરીએ. અમે અંડાકારના કેન્દ્ર O ને સંકલન પ્રણાલીના મૂળ તરીકે લઈએ છીએ; આપણે ફોસી (ફોકલ અક્ષ અથવા અંડાકારની પ્રથમ અક્ષ)માંથી પસાર થતી સીધી રેખાને એબ્સીસા અક્ષ તરીકે લઈએ છીએ (તેના પરની હકારાત્મક દિશા બિંદુ F_1 થી બિંદુ F_2 સુધી છે); ચાલો કેન્દ્રીય અક્ષને લંબરૂપ એક સીધી રેખા લઈએ અને અંડાકારની મધ્યમાંથી પસાર થઈએ (લંબગોળની બીજી અક્ષ) ઓર્ડિનેટ અક્ષ તરીકે (ઓર્ડિનેટ અક્ષ પરની દિશા પસંદ કરવામાં આવે છે જેથી લંબચોરસ સંકલન પ્રણાલી ઑક્સી યોગ્ય હોય) .

ચાલો તેની ભૌમિતિક વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીને અંડાકાર માટે એક સમીકરણ બનાવીએ, જે કેન્દ્રીય ગુણધર્મને વ્યક્ત કરે છે. પસંદ કરેલ સંકલન પ્રણાલીમાં, અમે foci ના કોઓર્ડિનેટ્સ નક્કી કરીએ છીએ F_1(-c,0), ~F_2(c,0). અંડાકાર સાથે જોડાયેલા મનસ્વી બિંદુ M(x,y) માટે, અમારી પાસે છે:

\vline\,\overrightarrow(F_1M)\,\vline\,+\vline\,\overrightarrow(F_2M)\,\vline\,=2a.

આ સમાનતાને સંકલન સ્વરૂપમાં લખવાથી, આપણને મળે છે:

\sqrt((x+c)^2+y^2)+\sqrt((x-c)^2+y^2)=2a.

અમે બીજા રેડિકલને જમણી બાજુએ ખસેડીએ છીએ, સમીકરણની બંને બાજુએ ચોરસ કરીએ છીએ અને સમાન શરતો લાવીએ છીએ:

(x+c)^2+y^2=4a^2-4a\sqrt((x-c)^2+y^2)+(x-c)^2+y^2~\Leftrightarrow ~4a\sqrt((x-c) )^2+y^2)=4a^2-4cx.

4 વડે ભાગતા, આપણે સમીકરણની બંને બાજુઓને ચોરસ કરીએ છીએ:

A^2(x-c)^2+a^2y^2=a^4-2a^2cx+c^2x^2~\Leftrightarrow~ (a^2-c^2)^2x^2+a^2y^ 2=a^2(a^2-c^2).

નિયુક્ત કર્યા b=\sqrt(a^2-c^2)>0, અમને મળે છે b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2. બંને બાજુઓને ^2b^2\ne0 વડે વિભાજીત કરીને, આપણે અંડાકારના પ્રમાણભૂત સમીકરણ પર પહોંચીએ છીએ:

\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1.

તેથી, પસંદ કરેલ સંકલન પ્રણાલી કેનોનિકલ છે.

જો અંડાકારનું કેન્દ્રબિંદુ એકરુપ હોય, તો અંડાકાર એક વર્તુળ છે (ફિગ. 3.36,6), કારણ કે a=b. આ કિસ્સામાં, બિંદુ પર મૂળ સાથેની કોઈપણ લંબચોરસ સંકલન સિસ્ટમ પ્રમાણભૂત હશે O\equiv F_1\equiv F_2, અને સમીકરણ x^2+y^2=a^2 એ બિંદુ O પર કેન્દ્ર ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ છે અને a ની બરાબર ત્રિજ્યા છે.

માં તર્ક કરીને વિપરીત ક્રમ, તે બતાવી શકાય છે કે તમામ બિંદુઓ કે જેના કોઓર્ડિનેટ્સ સમીકરણને સંતોષે છે (3.49), અને માત્ર તે જ, લંબગોળ કહેવાતા બિંદુઓના ભૌમિતિક સ્થાનના છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, અંડાકારની વિશ્લેષણાત્મક વ્યાખ્યા તેની ભૌમિતિક વ્યાખ્યાની સમકક્ષ છે, જે અંડાકારની કેન્દ્રીય મિલકતને વ્યક્ત કરે છે.

અંડાકારની નિર્દેશક મિલકત

એલિપ્સના ડાયરેક્ટ્રીક્સ એ કેનોનિકલ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમના ઓર્ડિનેટ અક્ષની સમાંતર ચાલતી બે સીધી રેખાઓ છે જે તેમાંથી સમાન અંતર \frac(a^2)(c) પર છે. c=0 પર, જ્યારે લંબગોળ વર્તુળ હોય છે, ત્યાં કોઈ ડાયરેક્ટ્રીક્સ નથી (આપણે ધારી શકીએ કે ડાયરેક્ટ્રીક્સ અનંત પર છે).

વિલક્ષણતા 0 સાથે લંબગોળ સમતલમાં બિંદુઓનું સ્થાન, જેમાંથી દરેક માટે આપેલ બિંદુ F (ફોકસ) અને આપેલ બિંદુમાંથી પસાર થતી ન હોય તેવી સીધી રેખા d (ડાયરેક્ટ્રીક્સ) ના અંતરના અંતરનો ગુણોત્તર સ્થિર અને વિષમતા સમાન છે e ( અંડાકારની નિર્દેશક મિલકત). અહીં F અને d એ એલિપ્સના ફોસીમાંથી એક છે અને તેના ડાયરેક્ટ્રીક્સમાંથી એક છે, કેનોનિકલ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમના ઓર્ડિનેટ અક્ષની એક બાજુએ સ્થિત છે, એટલે કે.

F_1,d_1 અથવા F_2,d_2 . હકીકતમાં, ઉદાહરણ તરીકે, ફોકસ F_2 અને ડાયરેક્ટ્રીક્સ d_2 (ફિગ. 3.37,6) માટે સ્થિતિ\frac(r_2)(\rho_2)=e

સંકલન સ્વરૂપમાં લખી શકાય છે:

\sqrt((x-c)^2+y^2)=e\cdot\!\left(\frac(a^2)(c)-x\જમણે) અતાર્કિકતાથી છુટકારો મેળવવો અને બદલવું e=\frac(c)(a),~a^2-c^2=b^2 , આપણે પ્રામાણિક લંબગોળ સમીકરણ (3.49) પર પહોંચીએ છીએ. ફોકસ F_1 અને ડિરેક્ટર માટે સમાન તર્ક હાથ ધરી શકાય છે.

d_1\colon\frac(r_1)(\rho_1)=e

ધ્રુવીય સંકલન પ્રણાલીમાં લંબગોળનું સમીકરણ

ધ્રુવીય સંકલન પ્રણાલી F_1r\varphi (ફિગ. 3.37, c અને 3.37 (2)) માં અંડાકારનું સમીકરણ સ્વરૂપ ધરાવે છે

R=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi)

જ્યાં p=\frac(b^2)(a) એ એલિપ્સનું ફોકલ પેરામીટર છે.

\begin(સંરેખિત)F_2M&=\sqrt((2c)^2+r^2-2\cdot(2c)\cdot r\cos(\varphi-0))=\\ &=\sqrt(r^2- 4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2).\end(સંરેખિત)

તેથી, સંકલન સ્વરૂપમાં, લંબગોળ F_1M+F_2M=2a ના સમીકરણનું સ્વરૂપ છે

R+\sqrt(r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2)=2\cdot a.

અમે સમીકરણની બંને બાજુના મૂળ, ચોરસને અલગ કરીએ છીએ, 4 વડે ભાગીએ છીએ અને સમાન શબ્દો રજૂ કરીએ છીએ:

R^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2~\Leftrightarrow~a\cdot\!\left(1-\frac(c)(a)\cdot\cos \varphi\right)\!\cdot r=a^2-c^2.

ધ્રુવીય ત્રિજ્યા r ને વ્યક્ત કરો અને રિપ્લેસમેન્ટ કરો e=\frac(c)(a),~b^2=a^2-c^2, ~p=\frac(b^2)(a):

R=\frac(a^2-c^2)(a\cdot(1-e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(b^2)(a\cdot(1 -e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi),

Q.E.D.

લંબગોળ સમીકરણમાં ગુણાંકનો ભૌમિતિક અર્થ

ચાલો અંડાકારના આંતરછેદ બિંદુઓને શોધીએ (ફિગ. 3.37a જુઓ). y=0 ને સમીકરણમાં બદલીને, આપણે એબ્સીસા અક્ષ (ફોકલ અક્ષ સાથે) સાથે લંબગોળના આંતરછેદના બિંદુઓ શોધીએ છીએ: x=\pm a. પરિણામે, લંબગોળની અંદર સમાવિષ્ટ ફોકલ અક્ષના સેગમેન્ટની લંબાઈ 2a જેટલી છે. આ સેગમેન્ટ, જેમ ઉપર નોંધ્યું છે, તેને અંડાકારની મુખ્ય અક્ષ કહેવામાં આવે છે, અને સંખ્યા a એ અંડાકારની અર્ધ-મુખ્ય ધરી છે. x=0 ને બદલીને, આપણને y=\pm b મળે છે. તેથી, અંડાકારની અંદર સમાયેલ અંડાકારના બીજા અક્ષના સેગમેન્ટની લંબાઈ 2b જેટલી છે. આ સેગમેન્ટને અંડાકારની નાની અક્ષ કહેવામાં આવે છે, અને સંખ્યા b એ અંડાકારની અર્ધ-માઇનોર અક્ષ છે.

ખરેખર, b=\sqrt(a^2-c^2)\leqslant\sqrt(a^2)=a, અને સમાનતા b=a માત્ર કેસ c=0 માં પ્રાપ્ત થાય છે, જ્યારે અંડાકાર વર્તુળ હોય છે. વલણ k=\frac(b)(a)\leqslant1એલિપ્સ કમ્પ્રેશન રેશિયો કહેવાય છે.

નોંધો 3.9

1. સીધી રેખાઓ x=\pm a,~y=\pm b કોઓર્ડિનેટ પ્લેન પરના મુખ્ય લંબચોરસને મર્યાદિત કરે છે, જેની અંદર એક લંબગોળ હોય છે (જુઓ. ફિગ. 3.37, a).

2. લંબગોળ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે વર્તુળને તેના વ્યાસમાં સંકુચિત કરીને મેળવેલ બિંદુઓનું સ્થાન.

ખરેખર, લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ Oxy માં વર્તુળના સમીકરણને x^2+y^2=a^2 સ્વરૂપ આપવા દો. જ્યારે 0 ના ગુણાંક સાથે x-અક્ષ પર સંકુચિત થાય છે

\begin(cases)x"=x,\\y"=k\cdot y.\end(કેસ)

વર્તુળો x=x" અને y=\frac(1)(k)y" ને સમીકરણમાં બદલીને, આપણે બિંદુ M(x,y") ની છબી M"(x",y") ના કોઓર્ડિનેટ્સ માટે સમીકરણ મેળવીએ છીએ. ):

(x")^2+(\left(\frac(1)(k)\cdot y"\જમણે)\^2=a^2 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{k^2\cdot a^2}=1 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{b^2}=1, !}

ત્યારથી b=k\cdot a. આ એલિપ્સનું પ્રામાણિક સમીકરણ છે.

3. સંકલન અક્ષો (પ્રમાણિક સંકલન પ્રણાલીની) એ અંડાકારની સમપ્રમાણતાની અક્ષો છે (જેને અંડાકારની મુખ્ય અક્ષો કહેવાય છે), અને તેનું કેન્દ્ર સમપ્રમાણતાનું કેન્દ્ર છે.

ખરેખર, જો બિંદુ M(x,y) અંડાકાર સાથે સંબંધિત છે. પછી બિંદુઓ M"(x,-y) અને M""(-x,y), બિંદુ M ના સપ્રમાણતા સંકલન અક્ષો સાથે સંબંધિત છે, તે પણ સમાન લંબગોળ સાથે સંબંધિત છે.

4. ધ્રુવીય સંકલન પ્રણાલીમાં અંડાકારના સમીકરણમાંથી r=\frac(p)(1-e\cos\varphi)(જુઓ ફિગ. 3.37, c), તે તારણ આપે છે ભૌમિતિક અર્થફોકલ પેરામીટર એ લંબગોળની તારની અડધી લંબાઈ છે જે તેના ફોકસ લંબરૂપ ફોકલ અક્ષમાંથી પસાર થાય છે ( r = p at \varphi=\frac(\pi)(2)).

5. વિલક્ષણતા e એ એલિપ્સના આકારને દર્શાવે છે, એટલે કે લંબગોળ અને વર્તુળ વચ્ચેનો તફાવત. જેટલો મોટો e, એલિપ્સ વધુ વિસ્તરેલ છે અને e શૂન્યની નજીક છે, લંબગોળ વર્તુળની નજીક છે (ફિગ. 3.38a). ખરેખર, e=\frac(c)(a) અને c^2=a^2-b^2 ધ્યાનમાં લેતા, આપણને મળે છે

E^2=\frac(c^2)(a^2)=\frac(a^2-b^2)(a^2)=1-(\left(\frac(a)(b)\જમણે )\^2=1-k^2, !}

જ્યાં k એ એલિપ્સ કમ્પ્રેશન રેશિયો છે, 0

6. સમીકરણ \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1ખાતે a

7. સમીકરણ \frac((x-x_0)^2)(a^2)+\frac((y-y_0)^2)(b^2)=1,~a\geqslant bબિંદુ O"(x_0,y_0) પર કેન્દ્ર સાથે લંબગોળ વ્યાખ્યાયિત કરે છે, જેની અક્ષો સંકલન અક્ષો (ફિગ. 3.38, c) સાથે સમાંતર હોય છે. સમાંતર અનુવાદ (3.36) નો ઉપયોગ કરીને આ સમીકરણને પ્રમાણભૂત એકમાં ઘટાડવામાં આવે છે.

જ્યારે a=b=R સમીકરણ (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2બિંદુ O"(x_0,y_0) પર કેન્દ્ર સાથે ત્રિજ્યા R ના વર્તુળનું વર્ણન કરે છે.

અંડાકારનું પેરામેટ્રિક સમીકરણ

અંડાકારનું પેરામેટ્રિક સમીકરણકેનોનિકલ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં ફોર્મ છે

\begin(cases)x=a\cdot\cos(t),\\ y=b\cdot\sin(t),\end(cases)0\leqslant t<2\pi.

ખરેખર, આ સમીકરણોને સમીકરણ (3.49) માં બદલીને, આપણે મુખ્ય ત્રિકોણમિતિ ઓળખ \cos^2t+\sin^2t=1 પર પહોંચીએ છીએ.

ઉદાહરણ 3.20.એક લંબગોળ દોરો \frac(x^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1કેનોનિકલ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં ઓક્સી. અર્ધ-અક્ષો, કેન્દ્રીય લંબાઈ, વિષમતા, સંકોચન ગુણોત્તર, ફોકલ પરિમાણ, ડાયરેક્ટ્રીક્સ સમીકરણો શોધો.

ઉકેલ.આપેલ સમીકરણને પ્રમાણભૂત સમીકરણ સાથે સરખાવીને, અમે અર્ધ-અક્ષો નક્કી કરીએ છીએ: a=2 - અર્ધ-મુખ્ય અક્ષ, b=1 - અંડાકારની અર્ધ-ગૌણ અક્ષ. અમે મૂળમાં કેન્દ્ર સાથે બાજુઓ 2a=4, ~2b=2 સાથે મૂળભૂત લંબચોરસ બનાવીએ છીએ (ફિગ. 3.39). અંડાકારની સમપ્રમાણતાને ધ્યાનમાં રાખીને, અમે તેને મુખ્ય લંબચોરસમાં ફિટ કરીએ છીએ. જો જરૂરી હોય તો, અંડાકારના કેટલાક બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ નક્કી કરો. ઉદાહરણ તરીકે, અંડાકારના સમીકરણમાં x=1 ને બદલીને, આપણને મળે છે

\frac(1^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 \quad \Leftrightarrow \quad y^2=\frac(3)(4) \quad \Leftrightarrow \ ક્વાડ y=\pm\frac(\sqrt(3))(2).

તેથી, કોઓર્ડિનેટ્સ સાથે પોઈન્ટ \left(1;\,\frac(\sqrt(3))(2)\જમણે)\!,~\left(1;\,-\frac(\sqrt(3))(2)\જમણે)- લંબગોળ સાથે સંબંધ ધરાવે છે.

કમ્પ્રેશન રેશિયોની ગણતરી k=\frac(b)(a)=\frac(1)(2); ફોકલ લંબાઈ 2c=2\sqrt(a^2-b^2)=2\sqrt(2^2-1^2)=2\sqrt(3); તરંગીતા e=\frac(c)(a)=\frac(\sqrt(3))(2); ફોકલ પરિમાણ p=\frac(b^2)(a)=\frac(1^2)(2)=\frac(1)(2). અમે ડાયરેક્ટ્રીક્સ સમીકરણો કંપોઝ કરીએ છીએ: x=\pm\frac(a^2)(c)~\Leftrightarrow~x=\pm\frac(4)(\sqrt(3)).

તમારા બ્રાઉઝરમાં Javascript અક્ષમ છે.
ગણતરીઓ કરવા માટે, તમારે ActiveX નિયંત્રણોને સક્ષમ કરવું આવશ્યક છે!