भागों द्वारा एकीकरण की विधि का उपयोग करके अभिन्नों की गणना करें। ऑनलाइन कैलकुलेटर अनिश्चितकालीन अभिन्न (एंटीडेरिवेटिव) की गणना करें।

निम्नलिखित सूत्र कहा जाता है भागों सूत्र द्वारा एकीकरण अनिश्चितकालीन अभिन्न में:

भागों के सूत्र द्वारा एकीकरण को लागू करने के लिए, इंटीग्रैंड को दो कारकों में विभाजित किया जाना चाहिए। उनमें से एक को निरूपित किया जाता है यू, और शेष दूसरे कारक को संदर्भित करता है और द्वारा दर्शाया गया है डीवी. फिर विभेदन द्वारा हम पाते हैं ड्यूऔर एकीकरण - कार्य वी. उसी समय, के लिए यू डीवी- इंटीग्रैंड का ऐसा भाग जिसे आसानी से एकीकृत किया जा सके।

भागों द्वारा एकीकरण की विधि का उपयोग करना कब लाभदायक है? फिर कब इंटीग्रैंड में शामिल है :

1) - लॉगरिदमिक फ़ंक्शंस, साथ ही व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फ़ंक्शंस (उपसर्ग "चाप" के साथ), फिर, भागों द्वारा एकीकरण के दीर्घकालिक अनुभव के आधार पर, इन फ़ंक्शंस को निरूपित किया जाता है यू;

2) , , - ज्या, कोज्या और घातांक से गुणा पी(एक्स) x में एक मनमाना बहुपद है, तो इन फलनों को इसके द्वारा निरूपित किया जाता है डीवी, और बहुपद के माध्यम से है यू;

3) , , , , इस मामले में भागों द्वारा एकीकरण दो बार लागू किया जाता है।

आइए हम पहले मामले के उदाहरण का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकरण की विधि का मूल्य समझाएं। मान लीजिए कि अभिन्न चिह्न के अंतर्गत अभिव्यक्ति में एक लघुगणकीय फ़ंक्शन शामिल है (यह उदाहरण 1 होगा)। भागों द्वारा एकीकरण का उपयोग करके, इस तरह के एक अभिन्न अंग को केवल बीजगणितीय कार्यों (अक्सर एक बहुपद) के अभिन्न अंग की गणना करने के लिए कम किया जाता है, यानी, इसमें लघुगणक या व्युत्क्रम शामिल नहीं होता है त्रिकोणमितीय फलन. पाठ की शुरुआत में दिए गए भागों द्वारा एकीकरण सूत्र का उपयोग करना

हम पहले पद में (अभिन्न के बिना) एक लघुगणकीय फलन प्राप्त करते हैं, और दूसरे पद में (अभिन्न चिह्न के अंतर्गत) एक फलन प्राप्त करते हैं जिसमें लघुगणक नहीं होता है। एक बीजगणितीय फलन का समाकलन उस समाकलन की तुलना में बहुत सरल होता है जिसके चिह्न के अंतर्गत एक लघुगणकीय या व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलन अलग से या एक बीजगणितीय कारक के साथ पाया जाता है।

इस प्रकार, का उपयोग कर भागों के सूत्रों द्वारा एकीकरण एकीकरण तुरंत नहीं किया जाता है: किसी दिए गए अभिन्न को ढूंढना दूसरे को खोजने के लिए कम हो जाता है। भागों के सूत्र द्वारा एकीकरण का अर्थ यह है कि इसके अनुप्रयोग के परिणामस्वरूप, नया अभिन्न अंग सारणीबद्ध हो जाता है या कम से कम मूल की तुलना में सरल हो जाता है।

भागों द्वारा एकीकरण की विधि दो कार्यों के उत्पाद को अलग करने के लिए सूत्र के उपयोग पर आधारित है:

तो इसे फॉर्म में लिखा जा सकता है

जो पाठ के आरंभ में ही दिया गया था।

फ़ंक्शन को एकीकृत करके खोजते समय वीइसके लिए प्रतिअवकलन फलनों का एक अनंत सेट प्राप्त होता है। भागों के सूत्र द्वारा एकीकरण को लागू करने के लिए, आप उनमें से कोई भी ले सकते हैं, और इसलिए वह जो एक मनमाना स्थिरांक से मेल खाता है साथ, शून्य के बराबर. इसलिए, फ़ंक्शन ढूंढते समय वीमनमाना स्थिरांक साथदर्ज नहीं किया जाना चाहिए.

भागों द्वारा एकीकरण की विधि का एक बहुत ही विशेष अनुप्रयोग है: इसका उपयोग अभिन्न चिह्न के तहत कार्यों की डिग्री को कम करने के लिए आवश्यक होने पर एंटीडेरिवेटिव कार्यों को खोजने के लिए आवर्ती सूत्रों को प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है। डिग्री को कम करना तब आवश्यक होता है जब उदाहरण के लिए, दूसरे और उनके उत्पादों से अधिक शक्तियों के लिए साइन और कोसाइन जैसे कार्यों के लिए कोई सारणीबद्ध अभिन्न अंग नहीं होते हैं। आवर्ती सूत्र पिछले सदस्य के माध्यम से अनुक्रम के अगले सदस्य को खोजने का एक सूत्र है। संकेतित मामलों के लिए, लक्ष्य को क्रमिक रूप से डिग्री कम करके प्राप्त किया जाता है। इसलिए, यदि समाकलन x की चौथी घात के लिए एक ज्या है, तो भागों द्वारा एकीकृत करके आप तीसरी घात के लिए ज्या के समाकलन के लिए एक सूत्र पा सकते हैं, इत्यादि। इस पाठ का अंतिम पैराग्राफ वर्णित कार्य के लिए समर्पित है।

भागों द्वारा एकीकरण को एक साथ लागू करना

उदाहरण 1. भागों द्वारा एकीकरण की विधि का उपयोग करके अनिश्चितकालीन अभिन्न खोजें:

समाधान। एकीकृत अभिव्यक्ति में - लघुगणक, जिसे, जैसा कि हम पहले से ही जानते हैं, उचित रूप से दर्शाया जा सकता है यू. ऐसा हमारा विश्वास है , ।

हम पाते हैं (जैसा कि सैद्धांतिक संदर्भ के स्पष्टीकरण में पहले ही उल्लेख किया गया है, हम तुरंत पहले पद में (एक अभिन्न अंग के बिना) एक लघुगणकीय फ़ंक्शन प्राप्त करते हैं, और एक फ़ंक्शन जिसमें दूसरे पद में एक लघुगणक शामिल नहीं होता है (अभिन्न चिह्न के तहत):

और फिर से लघुगणक...

उदाहरण 2.अनिश्चितकालीन अभिन्न खोजें:

समाधान। होने देना , ।

लघुगणक वर्ग में मौजूद है. इसका मतलब यह है कि इसे एक जटिल कार्य के रूप में विभेदित करने की आवश्यकता है। हम देखतें है
,
.

हम फिर से भागों द्वारा दूसरा अभिन्न पाते हैं और पहले से उल्लिखित लाभ प्राप्त करते हैं (पहले पद में (अभिन्न के बिना) एक लघुगणकीय फ़ंक्शन होता है, और दूसरे पद में (अभिन्न चिह्न के तहत) एक फ़ंक्शन होता है जिसमें कोई शामिल नहीं होता है लघुगणक).

हम मूल अभिन्न पाते हैं:

उदाहरण 3.

समाधान। लघुगणक की तरह चापस्पर्शरेखा को बेहतर तरीके से दर्शाया जाता है यू. तो चलो , ।

तब ,
.

भागों द्वारा एकीकरण सूत्र को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

हम एक चर को बदलकर दूसरा अभिन्न अंग पाते हैं।

वेरिएबल पर लौटना एक्स, हम पाते हैं

.

हम मूल अभिन्न पाते हैं:

.

उदाहरण 4. भागों द्वारा एकीकरण की विधि का उपयोग करके अनिश्चितकालीन अभिन्न अंग ज्ञात करें:

समाधान। घातांक को इससे निरूपित करना बेहतर है डीवी. हमने इंटीग्रैंड को दो कारकों में विभाजित किया है। ऐसा मानना

उदाहरण 5. भागों द्वारा एकीकरण की विधि का उपयोग करके अनिश्चितकालीन अभिन्न खोजें:

.

समाधान। होने देना , । तब , ।

भागों द्वारा एकीकरण सूत्र (1) का उपयोग करके, हम पाते हैं:

उदाहरण 6.भागों द्वारा एकीकरण द्वारा अनिश्चितकालीन अभिन्न खोजें:

समाधान। घातांक की तरह ज्या को भी आसानी से दर्शाया जा सकता है डीवी. होने देना , ।

भागों द्वारा एकीकरण सूत्र का उपयोग करके हम पाते हैं:

हम फिर से भागों द्वारा एकीकरण लागू करते हैं

उदाहरण 10.भागों द्वारा एकीकरण द्वारा अनिश्चितकालीन अभिन्न खोजें:

.

समाधान। जैसा कि सभी समान मामलों में होता है, कोज्या को इससे निरूपित करना सुविधाजनक होता है डीवी. हम दर्शाते हैं , .

तब , .

भागों द्वारा एकीकरण सूत्र का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं:

हम दूसरे कार्यकाल में भागों द्वारा एकीकरण भी लागू करते हैं। हम दर्शाते हैं , .

इन नोटेशनों का उपयोग करते हुए, हम उल्लिखित शब्द को एकीकृत करते हैं:

अब हम आवश्यक अभिन्न पाते हैं:

जिन अभिन्नों को भागों द्वारा एकीकरण की विधि द्वारा हल किया जा सकता है, उनमें वे भी हैं जो सैद्धांतिक भाग में उल्लिखित तीन समूहों में से किसी में शामिल नहीं हैं, जिनके लिए अभ्यास से ज्ञात होता है कि इसे निरूपित करना बेहतर है यू, और किस माध्यम से डीवी. इसलिए, इन मामलों में, आपको सुविधा के विचार का उपयोग करने की आवश्यकता है, जो पैराग्राफ "भागों द्वारा एकीकरण की विधि का सार" में भी दिया गया है: के लिए यूकिसी को इंटीग्रैंड का एक हिस्सा लेना चाहिए जो भेदभाव के दौरान अधिक जटिल नहीं हो जाता है, लेकिन डीवी- इंटीग्रैंड का ऐसा भाग जिसे आसानी से एकीकृत किया जा सके। इस पाठ का अंतिम उदाहरण ऐसे ही एक अभिन्न का समाधान है।

एक निश्चित अभिन्न अंग द्वारा से सतत कार्य एफ(एक्स) अंतिम खंड पर [ ए, बी] (जहाँ ) इस खंड पर इसके कुछ प्रतिअवकलजों की वृद्धि है। (सामान्य तौर पर, यदि आप अनिश्चितकालीन अभिन्न अंग के विषय को दोहराते हैं तो समझना काफी आसान हो जाएगा) इस मामले में, संकेतन का उपयोग किया जाता है

जैसा कि नीचे दिए गए ग्राफ़ में देखा जा सकता है (एंटीडेरिवेटिव फ़ंक्शन की वृद्धि को इसके द्वारा दर्शाया गया है), निश्चित समाकलन या तो सकारात्मक हो सकता है या ऋणात्मक संख्या (इसकी गणना ऊपरी सीमा में प्रतिअवकलन के मूल्य और निचली सीमा में इसके मूल्य के बीच अंतर के रूप में की जाती है, अर्थात एफ(बी) - एफ(ए)).

नंबर एऔर बीक्रमशः एकीकरण की निचली और ऊपरी सीमाएँ कहलाती हैं, और खंड [ ए, बी] - एकीकरण का खंड।

इस प्रकार, यदि एफ(एक्स) - के लिए कुछ प्रतिअवकलन कार्य एफ(एक्स), फिर, परिभाषा के अनुसार,

(38)

समानता (38) कहलाती है न्यूटन-लीबनिज सूत्र . अंतर एफ(बी) – एफ(ए) संक्षेप में इस प्रकार लिखा गया है:

इसलिए, हम न्यूटन-लीबनिज सूत्र इस प्रकार लिखेंगे:

(39)

आइए हम सिद्ध करें कि निश्चित समाकलन इस बात पर निर्भर नहीं करता कि इसकी गणना करते समय समाकलन का कौन सा प्रतिअवकलन लिया जाता है। होने देना एफ(एक्स) और एफ( एक्स) इंटीग्रैंड के मनमाने एंटीडेरिवेटिव हैं। चूँकि ये एक ही फ़ंक्शन के प्रतिअवकलज हैं, इसलिए इनमें एक स्थिर पद का अंतर होता है: Ф( एक्स) = एफ(एक्स) + सी. इसीलिए

इससे यह स्थापित होता है कि खंड पर [ ए, बी] फ़ंक्शन के सभी एंटीडेरिवेटिव की वृद्धि एफ(एक्स) मेल खाना।

इस प्रकार, एक निश्चित अभिन्न की गणना करने के लिए, पूर्णांक के किसी भी प्रतिअवकलन को खोजना आवश्यक है, अर्थात। सबसे पहले आपको अनिश्चितकालीन अभिन्न को खोजने की आवश्यकता है। स्थिर साथ बाद की गणनाओं से बाहर रखा गया। फिर न्यूटन-लीबनिज़ फॉर्मूला लागू किया जाता है: ऊपरी सीमा का मान एंटीडेरिवेटिव फ़ंक्शन में प्रतिस्थापित किया जाता है बी , आगे - निचली सीमा का मूल्य ए और अंतर की गणना की जाती है एफ(बी) - एफ(ए) . परिणामी संख्या एक निश्चित पूर्णांक होगी।.

पर ए = बीपरिभाषा के अनुसार स्वीकृत

उदाहरण 1।

समाधान। सबसे पहले, आइए अनिश्चितकालीन अभिन्न अंग खोजें:

न्यूटन-लीबनिज़ सूत्र को प्रतिअवकलन पर लागू करना

(पर साथ= 0), हमें मिलता है

हालाँकि, एक निश्चित अभिन्न की गणना करते समय, यह बेहतर है कि प्रतिअवकलन को अलग से न खोजा जाए, बल्कि अभिन्न को तुरंत फॉर्म (39) में लिखा जाए।

उदाहरण 2.निश्चित अभिन्न की गणना करें

समाधान। सूत्र का उपयोग करना

निश्चित अभिन्न के गुण

प्रमेय 2.निश्चित अभिन्न का मान एकीकरण चर के पदनाम पर निर्भर नहीं करता है, अर्थात।

(40)

होने देना एफ(एक्स) - के लिए प्रतिअवकलन एफ(एक्स). के लिए एफ(टी) प्रतिअवकलन एक ही कार्य है एफ(टी), जिसमें स्वतंत्र चर को केवल अलग ढंग से नामित किया गया है। इस तरह,

सूत्र (39) के आधार पर, अंतिम समानता का अर्थ अभिन्नों की समानता है

प्रमेय 3.अचर गुणनखंड को निश्चित समाकलन के चिह्न से निकाला जा सकता है, अर्थात।

(41)

प्रमेय 4.कार्यों की एक सीमित संख्या के बीजगणितीय योग का निश्चित समाकलन इन कार्यों के निश्चित समाकलों के बीजगणितीय योग के बराबर होता है, अर्थात।

(42)

प्रमेय 5.यदि एकीकरण खंड को भागों में विभाजित किया जाता है, तो संपूर्ण खंड पर निश्चित अभिन्न अंग होता है योग के बराबरइसके भागों पर निश्चित अभिन्नताएँ, अर्थात। अगर

(43)

प्रमेय 6.एकीकरण की सीमाओं को पुनर्व्यवस्थित करते समय निरपेक्ष मूल्यनिश्चित समाकलन नहीं बदलता, केवल उसका चिह्न बदलता है, अर्थात।

(44)

प्रमेय 7(माध्य मान प्रमेय)। एक निश्चित इंटीग्रल एकीकरण खंड की लंबाई और उसके अंदर किसी बिंदु पर इंटीग्रैंड के मूल्य के उत्पाद के बराबर है, अर्थात।

(45)

प्रमेय 8.यदि एकीकरण की ऊपरी सीमा निचली सीमा से अधिक है और समाकलन गैर-नकारात्मक (सकारात्मक) है, तो निश्चित समाकलन भी गैर-नकारात्मक (सकारात्मक) है, अर्थात। अगर

प्रमेय 9.यदि एकीकरण की ऊपरी सीमा निचली सीमा से अधिक है और कार्य निरंतर हैं, तो असमानता

शब्द दर शब्द एकीकृत किया जा सकता है, अर्थात।

(46)

निश्चित समाकलन के गुण समाकलन की प्रत्यक्ष गणना को सरल बनाना संभव बनाते हैं।

उदाहरण 5.निश्चित अभिन्न की गणना करें

प्रमेय 4 और 3 का उपयोग करते हुए, और प्रतिअवकलन ज्ञात करते समय - तालिका समाकलन (7) और (6), हम प्राप्त करते हैं

परिवर्तनीय ऊपरी सीमा के साथ निश्चित अभिन्न अंग

होने देना एफ(एक्स) - खंड पर निरंतर [ ए, बी] फ़ंक्शन, और एफ(एक्स) इसका प्रतिअवकलन है। निश्चित अभिन्न पर विचार करें

(47)

और के माध्यम से टीएकीकरण चर को निर्दिष्ट किया गया है ताकि इसे भ्रमित न किया जा सके ऊपरी सीमा. जब यह बदलता है एक्सनिश्चित समाकलन (47) भी बदलता है, अर्थात्। यह एकीकरण की ऊपरी सीमा का एक कार्य है एक्स, जिसे हम निरूपित करते हैं एफ(एक्स), अर्थात।

(48)

आइए हम सिद्ध करें कि फलन एफ(एक्स) के लिए एक प्रतिअवकलन है एफ(एक्स) = एफ(टी). वास्तव में, विभेद करना एफ(एक्स), हम पाते हैं

क्योंकि एफ(एक्स) - के लिए प्रतिअवकलन एफ(एक्स), ए एफ(ए) एक स्थिर मान है.

समारोह एफ(एक्स) - के लिए अनंत संख्या में प्रतिअवकलजों में से एक एफ(एक्स), अर्थात् वह जो एक्स = एशून्य हो जाता है. यदि हम समानता (48) में रखते हैं तो यह कथन प्राप्त होता है एक्स = एऔर पिछले पैराग्राफ के प्रमेय 1 का उपयोग करें।

भागों द्वारा एकीकरण की विधि तथा चर के परिवर्तन की विधि द्वारा निश्चित अभिन्नों की गणना

जहां, परिभाषा के अनुसार, एफ(एक्स) - के लिए प्रतिअवकलन एफ(एक्स). यदि हम वेरिएबल को इंटीग्रैंड में बदलते हैं

तो, सूत्र (16) के अनुसार, हम लिख सकते हैं

इस अभिव्यक्ति में

के लिए प्रतिव्युत्पन्न कार्य

वास्तव में, इसका व्युत्पन्न, के अनुसार जटिल कार्यों के विभेदन का नियम, बराबर है

माना α और β वेरिएबल के मान हैं टी, जिसके लिए फ़ंक्शन

तदनुसार मान लेता है एऔर बी, अर्थात।

लेकिन, न्यूटन-लीबनिज सूत्र के अनुसार, अंतर एफ(बी) – एफ(ए) वहाँ है

भागों द्वारा एकीकरण की विधि का उपयोग मुख्य रूप से तब किया जाता है जब इंटीग्रैंड में एक निश्चित प्रकार के दो कारकों का उत्पाद होता है। भागों द्वारा एकीकरण सूत्र इस प्रकार दिखता है:

यह किसी दिए गए अभिन्न अंग की गणना को कम करना संभव बनाता है
अभिन्न की गणना के लिए
, जो इस से भी अधिक सरल साबित होता है।

भागों द्वारा एकीकरण की विधि द्वारा गणना किए गए अधिकांश अभिन्नों को तीन समूहों में विभाजित किया जा सकता है:

1. रूप का अभिन्न अंग
,
,
, कहाँ
– बहुपद,
- वह संख्या जो शून्य के बराबर न हो

इस मामले में, के माध्यम से एक बहुपद को निरूपित करें

.

2. रूप का अभिन्न अंग
,
,
,
,
, कहाँ
– बहुपद.

इस मामले में, के माध्यम से
निरूपित
, और बाकी इंटीग्रैंड के माध्यम से :

3. रूप का अभिन्न अंग
,
, कहाँ
– संख्याएँ.

इस मामले में, के माध्यम से निरूपित
और भाग सूत्र द्वारा एकीकरण को दो बार लागू करें, परिणामस्वरूप मूल अभिन्न पर लौटें, जिसके बाद मूल अभिन्न को समानता से व्यक्त किया जाता है।

टिप्पणी: कुछ मामलों में, किसी दिए गए अभिन्न को खोजने के लिए, भागों द्वारा एकीकरण सूत्र को कई बार लागू किया जाना चाहिए। साथ ही, भागों द्वारा एकीकरण की विधि को अन्य विधियों के साथ जोड़ा जाता है।

उदाहरण 26.

भागों द्वारा विधि का उपयोग करके अभिन्न खोजें: ए)
; बी)
.

समाधान।

बी)

3.1.4. भिन्नात्मक-तर्कसंगत कार्यों का एकीकरण

भिन्नात्मक तर्कसंगत कार्य(तर्कसंगत भिन्न) दो बहुपदों के अनुपात के बराबर एक फलन है:
, कहाँ
– डिग्री का बहुपद
,
– डिग्री का बहुपद .

परिमेय भिन्न कहलाता है सही, यदि अंश में बहुपद की घात हर में बहुपद की घात से कम है, अर्थात।
, अन्यथा (यदि
) परिमेय भिन्न कहलाता है गलत.

किसी भी अनुचित परिमेय भिन्न को बहुपद के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है
और सही तर्कसंगत अंश, बहुपदों को विभाजित करने के नियम के अनुसार अंश को हर से विभाजित करना:

,

कहाँ
– संपूर्ण भागविभाजन से, – उचित तर्कसंगत अंश,
- विभाजन का शेष भाग.

प्रपत्र के उचित तर्कसंगत भिन्न:

मैं। ;

द्वितीय.
;

तृतीय.
;

चतुर्थ.
,

कहाँ ,,
,
,,,
– वास्तविक संख्याएं और
(वे। द्विघात त्रिपदभिन्नों के हर III और IV में कोई मूल नहीं होता - विभेदक ऋणात्मक होता है) कहलाते हैं सरल तर्कसंगत भिन्न I, II, III और IV प्रकार.

सरल भिन्नों का एकीकरण

चार प्रकार के सरलतम भिन्नों के समाकलनों की गणना निम्नानुसार की जाती है।

मैं)
.

द्वितीय) ,
.

III) प्रकार III के सबसे सरल अंश को एकीकृत करने के लिए, हर में एक पूर्ण वर्ग का चयन करें और प्रतिस्थापित करें
. प्रतिस्थापन के बाद, अभिन्न को दो अभिन्नों में विभाजित किया जाता है। पहले इंटीग्रल की गणना अंश में हर के व्युत्पन्न को अलग करके की जाती है, जो एक सारणीबद्ध इंटीग्रल देता है, और दूसरा इंटीग्रल फॉर्म में परिवर्तित किया जाता है
, क्योंकि
, जो सारणीबद्ध अभिन्न अंग भी देता है।

;

IV) प्रकार IV के सबसे सरल अंश को एकीकृत करने के लिए, हर में एक पूर्ण वर्ग का चयन करें और प्रतिस्थापित करें
. प्रतिस्थापन के बाद, अभिन्न को दो अभिन्नों में विभाजित किया जाता है। प्रथम समाकलन की गणना प्रतिस्थापन द्वारा की जाती है
, और दूसरा पुनरावृत्ति संबंधों का उपयोग करना।

उदाहरण 27.

सरल भिन्नों के अभिन्न अंग खोजें:

ए)
; बी)
; वी)
.

समाधान।

ए)
.

कोई भी उचित परिमेय भिन्न, जिसके हर का गुणनखंडन किया जा सकता है, को साधारण भिन्नों के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है। सरल भिन्नों के योग में अपघटन अनिश्चित गुणांक की विधि का उपयोग करके किया जाता है। यह इस प्रकार है:

प्रपत्र के एक अंश से मेल खाता है ;

- हर का प्रत्येक गुणनखंड
राशि के अनुरूप है प्रपत्र के अंश

प्रपत्र के एक अंश से मेल खाता है
;

- हर का प्रत्येक वर्ग गुणनखंड
राशि के अनुरूप है प्रपत्र के अंश

अनिर्धारित गुणांक कहाँ हैं.

अनिश्चित गुणांक ज्ञात करने के लिए, साधारण भिन्नों के योग के रूप में दाईं ओर को एक सामान्य हर में लाया जाता है और रूपांतरित किया जाता है। परिणाम एक भिन्न है जिसका हर समीकरण के बाईं ओर समान है। फिर हर को हटा दिया जाता है और अंश को बराबर कर दिया जाता है। परिणाम एक समान समानता है जिसमें बाईं ओर ज्ञात गुणांक वाला एक बहुपद है, और दाहिना भाग- अनिर्धारित गुणांक वाला एक बहुपद।

अज्ञात गुणांक निर्धारित करने के दो तरीके हैं: अज्ञात गुणांक की विधि और आंशिक मान की विधि।

अनिर्धारित गुणांकों की विधि.

क्योंकि बहुपद समान रूप से समान होते हैं, तो समान घातों पर गुणांक समान होते हैं . गुणांकों को समान डिग्री पर बराबर करना बाएँ और दाएँ पक्षों के बहुपदों में, हमें निकाय प्राप्त होता है रेखीय समीकरण. सिस्टम को हल करते समय, हम अनिश्चित गुणांक निर्धारित करते हैं।

निजी मूल्यों की विधि.

क्योंकि फिर, प्रतिस्थापित करने पर बहुपद सर्वथा समान होते हैं किसी भी संख्या के बायीं और दायीं ओर, हमें अज्ञात गुणांकों के संबंध में एक वास्तविक समानता, रैखिक प्राप्त होती है। इतने सारे मूल्यों को प्रतिस्थापित करना , कितने अज्ञात गुणांक हैं, हम रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त करते हैं। के बजाय आप किसी भी संख्या को बाएँ और दाएँ पक्षों में प्रतिस्थापित कर सकते हैं, लेकिन भिन्नों के हरों की जड़ों को प्रतिस्थापित करना अधिक सुविधाजनक है।

अज्ञात गुणांकों के मान ज्ञात करने के बाद, मूल अंश को इंटीग्रैंड में सरल अंशों के योग के रूप में लिखा जाता है और पहले चर्चा की गई एकीकरण प्रत्येक साधारण अंश पर किया जाता है।

एकीकरण योजना तर्कसंगत भिन्न:

1. यदि समाकलन अनुचित है, तो इसे एक बहुपद और एक उचित परिमेय भिन्न के योग के रूप में प्रस्तुत करना आवश्यक है (अर्थात अंश बहुपद को शेषफल के साथ हर बहुपद से विभाजित करें)। यदि इंटीग्रैंड सही है, तो हम तुरंत आरेख के दूसरे बिंदु पर चले जाते हैं।

2. यदि संभव हो तो उचित परिमेय भिन्न के हर का गुणनखंड करें।

3. अनिश्चित गुणांक की विधि का उपयोग करके एक उचित परिमेय भिन्न को सरल परिमेय भिन्न के योग में विघटित करें।

4. बहुपद और सरल भिन्नों के परिणामी योग को एकीकृत करें।

उदाहरण 28.

परिमेय भिन्नों के अभिन्न अंग ज्ञात कीजिए:

ए)
; बी)
; वी)
.

समाधान।

ए)
.

क्योंकि समाकलन एक अनुचित परिमेय भिन्न है, तो हम संपूर्ण भाग का चयन करते हैं, अर्थात। आइए इसकी कल्पना एक बहुपद और एक उचित परिमेय भिन्न के योग के रूप में करें। एक कोने का उपयोग करके अंश में बहुपद को हर में बहुपद से विभाजित करें।

मूल अभिन्न रूप इस प्रकार होगा:
.

आइए अनिश्चित गुणांक की विधि का उपयोग करके एक उचित तर्कसंगत अंश को सरल अंशों के योग में विघटित करें:

, हम पाते हैं:

रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करने पर, हम अनिश्चित गुणांकों के मान प्राप्त करते हैं: ए = 1; में = 3.

तब आवश्यक विस्तार का रूप होता है:
.

=
.

बी)
.

.

आइए हरों को हटा दें और बाएँ और दाएँ पक्षों को बराबर करें:

गुणांकों को समान डिग्री पर बराबर करना , हमें सिस्टम मिलता है:

पाँच रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करके, हम अनिर्धारित गुणांक पाते हैं:

.

आइए परिणामी विस्तार को ध्यान में रखते हुए मूल अभिन्न अंग खोजें:

.

वी)
.

आइए अनिश्चित गुणांक की विधि का उपयोग करके इंटीग्रैंड (उचित तर्कसंगत अंश) को सरल अंशों के योग में विस्तारित करें। हम इस रूप में अपघटन की तलाश करते हैं:

.

एक सामान्य विभाजक को घटाने पर, हमें प्राप्त होता है:

आइए हरों को हटा दें और बाएँ और दाएँ पक्षों को बराबर करें:

अनिश्चित गुणांक ज्ञात करने के लिए, हम आंशिक मान विधि लागू करते हैं। आइए जोड़ें आंशिक मान, जिस पर कारक गायब हो जाते हैं, यानी, हम इन मानों को अंतिम अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करते हैं और तीन समीकरण प्राप्त करते हैं:

;
;

;
;

;
.

तब आवश्यक विस्तार का रूप होता है:

आइए परिणामी विस्तार को ध्यान में रखते हुए मूल अभिन्न अंग खोजें:

किसी दिए गए अंतराल X में अवकलनीय फ़ंक्शन F(x) को कहा जाता है फ़ंक्शन का प्रतिव्युत्पन्न f(x), या f(x) का अभिन्न अंग, यदि प्रत्येक x ∈X के लिए निम्नलिखित समानता है:

एफ " (एक्स) = एफ(एक्स)। (8.1)

किसी दिए गए फलन के लिए सभी प्रतिअवकलन ज्ञात करना उसका कहलाता है एकीकरण। अनिश्चितकालीन अभिन्न कार्यकिसी दिए गए अंतराल पर f(x) X फ़ंक्शन f(x) के लिए सभी एंटीडेरिवेटिव फ़ंक्शन का सेट है; पद का नाम -

यदि F(x) फलन f(x) का कुछ प्रतिअवकलन है, तो ∫ f(x)dx = F(x) + C, (8.2)

जहाँ C एक मनमाना स्थिरांक है।

अभिन्नों की तालिका

सीधे परिभाषा से हमें मुख्य गुण प्राप्त होते हैं नहीं समाकलन परिभाषित करेंऔर सारणीबद्ध अभिन्नों की एक सूची:

1) d∫f(x)dx=f(x)

2)∫df(x)=f(x)+C

3) ∫af(x)dx=a∫f(x)dx (a=const)

4) ∫(f(x)+g(x))dx = ∫f(x)dx+∫g(x)dx

सारणीबद्ध अभिन्नों की सूची

1. ∫x m dx = x m+1 /(m + 1) +C; (एम ≠ -1)

3.∫a x dx = a x /ln a + C (a>0, a ≠1)

4.∫e x dx = e x + C

5.∫sin x dx = cosx + C

6.∫cos x dx = - पाप x + C

7. = आर्कटैन x + C

8. = आर्क्सिन x + C

10. = - सीटीजी एक्स + सी

परिवर्तनीय प्रतिस्थापन

कई कार्यों को एकीकृत करने के लिए, चर प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करें या प्रतिस्थापन,आपको इंटीग्रल को सारणीबद्ध रूप में कम करने की अनुमति देता है।

यदि फलन f(z) [α,β] पर सतत है, तो फलन z =g(x) का एक सतत अवकलज है और α ≤ g(x) ≤ β, तो

∫ f(g(x)) g " (x) dx = ∫f(z)dz, (8.3)

इसके अलावा, दाईं ओर एकीकरण के बाद, प्रतिस्थापन z=g(x) किया जाना चाहिए।

इसे सिद्ध करने के लिए, मूल अभिन्न को इस रूप में लिखना पर्याप्त है:

∫ f(g(x)) g " (x) dx = ∫ f(g(x)) dg(x).

उदाहरण के लिए:

भागों द्वारा एकीकरण की विधि

मान लीजिए u = f(x) और v = g(x) ऐसे फलन हैं जिनमें सततता है। फिर कार्य के अनुसार

d(uv))= udv + vdu या udv = d(uv) - vdu.

अभिव्यक्ति d(uv) के लिए, प्रतिअवकलन स्पष्ट रूप से uv होगा, इसलिए सूत्र मानता है:

∫ यूडीवी = यूवी - ∫ वीडीयू (8.4.)

यह सूत्र नियम को व्यक्त करता है भागों द्वारा एकीकरण. यह अभिव्यक्ति udv=uv"dx के एकीकरण को अभिव्यक्ति vdu=vu"dx के एकीकरण की ओर ले जाता है।

उदाहरण के लिए, आप ∫xcosx dx खोजना चाहते हैं। आइए हम u = x, dv = cosxdx रखें, इसलिए du=dx, v=sinx। तब

∫xcosxdx = ∫x d(sin x) = x पाप x - ∫sin x dx = x पाप x + cosx + C.

भागों द्वारा एकीकरण के नियम का दायरा चरों के प्रतिस्थापन की तुलना में अधिक सीमित है। लेकिन अभिन्नों के पूरे वर्ग हैं, उदाहरण के लिए,

∫x k ln m xdx, ∫x k synbxdx, ∫ x k cosbxdx, ∫x k e ax और अन्य, जिनकी गणना भागों द्वारा एकीकरण का उपयोग करके सटीक रूप से की जाती है।

समाकलन परिभाषित करें

एक निश्चित अभिन्न की अवधारणा इस प्रकार प्रस्तुत की गई है। मान लीजिए कि एक फलन f(x) को एक अंतराल पर परिभाषित किया गया है। आइए हम खंड को [ए,बी] में विभाजित करें एनबिंदुओं के अनुसार भाग ए= एक्स 0< x 1 <...< x n = b. Из каждого интервала (x i-1 , x i) возьмем произвольную точку ξ i и составим сумму f(ξ i) Δx i где
Δ एक्स आई =एक्स आई - एक्स आई-1. f(ξ i)Δ x i के रूप का योग कहा जाता है अभिन्न योग, और λ = maxΔx i → 0 पर इसकी सीमा, यदि यह मौजूद है और परिमित है, कहलाती है समाकलन परिभाषित करेंफ़ंक्शन f(x) का एपहले बीऔर निर्दिष्ट है:

F(ξ i)Δx i (8.5).

इस मामले में फ़ंक्शन f(x) कहा जाता है अंतराल पर अभिन्न, संख्या ए और बी कहा जाता है अभिन्न की निचली और ऊपरी सीमाएँ.

एक निश्चित अभिन्न अंग के लिए निम्नलिखित गुण मान्य हैं:

4), (k = const, k∈R);

5)

6)

7) f(ξ)(b-a) (ξ∈).

अंतिम संपत्ति कहलाती है माध्य मान प्रमेय.

मान लीजिए f(x) निरंतर है। फिर इस खंड पर एक अनिश्चितकालीन अभिन्न अंग है

∫f(x)dx = F(x) + C

और होता है न्यूटन-लीबनिज सूत्र, निश्चित अभिन्न को अनिश्चितकालीन अभिन्न से जोड़ना:

एफ(बी) - एफ(ए)। (8.6)

ज्यामितीय व्याख्या: निश्चित अभिन्न अंग ऊपर से वक्र y=f(x), सीधी रेखाओं x = a और x = b और अक्ष के एक खंड से घिरे एक घुमावदार समलम्बाकार का क्षेत्र है बैल.

अनुचित अभिन्न अंग

अनंत सीमाओं वाले समाकलन और असंतत (अनबाउंड) कार्यों के समाकलन कहलाते हैं तुम्हारा अपना नहीं. प्रथम प्रकार के अनुचित अभिन्न अंग -ये एक अनंत अंतराल पर अभिन्न अंग हैं, जिन्हें इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

(8.7)

यदि यह सीमा अस्तित्व में है और परिमित है, तो इसे कहा जाता है f(x) का अभिसारी अनुचित समाकलनअंतराल पर [a,+ ∞), और फ़ंक्शन f(x) कहा जाता है अनंत अंतराल पर समाकलनीय[ए,+ ∞). अन्यथा, अभिन्न कहा जाता है अस्तित्व में नहीं है या भिन्न है.

अंतराल (-∞,b] और (-∞, + ∞) पर अनुचित समाकलन को इसी तरह परिभाषित किया गया है:

आइए हम एक असीमित फलन के समाकलन की अवधारणा को परिभाषित करें। यदि f(x) सभी मानों के लिए सतत है एक्सखंड, बिंदु c को छोड़कर, जिस पर f(x) में अनंत असंततता है दूसरे प्रकार का अनुचित अभिन्न अंगएफ(एक्स) ए से लेकर बी तकराशि कहलाती है:

यदि ये सीमाएँ अस्तित्व में हैं और सीमित हैं। पद का नाम:

अभिन्न गणना के उदाहरण

उदाहरण 3.30.∫dx/(x+2) की गणना करें.

समाधान।आइए हम t = x+2 को निरूपित करें, फिर dx = dt, ∫dx/(x+2) = ∫dt/t = ln|t| + सी = एलएन|एक्स+2| +सी.

उदाहरण 3.31. ∫ tgxdx ज्ञात कीजिए।

समाधान।∫ tgxdx = ∫sinx/cosxdx = - ∫dcosx/cosx. मान लीजिए t=cosx, तो ∫ tgxdx = -∫ dt/t = - ln|t| + सी = -ln|cosx|+C.

उदाहरण3.32 . ∫dx/sinx खोजें

समाधान।

उदाहरण3.33. खोजो ।

समाधान। = .

उदाहरण3.34 . ∫arctgxdx खोजें।

समाधान। आइए भागों द्वारा एकीकृत करें। आइए हम u=arctgx, dv=dx को निरूपित करें। फिर du = dx/(x 2 +1), v=x, जहां से ∫arctgxdx = xarctgx - ∫ xdx/(x 2 +1) = xarctgx + 1/2 ln(x 2 +1) +C; क्योंकि
∫xdx/(x 2 +1) = 1/2 ∫d(x 2 +1)/(x 2 +1) = 1/2 ln(x 2 +1) +C.

उदाहरण3.35 . ∫lnxdx की गणना करें.

समाधान।भागों द्वारा एकीकरण सूत्र को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं:
u=lnx, dv=dx, du=1/x dx, v=x. फिर ∫lnxdx = xlnx - ∫x 1/x dx =
= xlnx - ∫dx + C= xlnx - x + C.

उदाहरण3.36 . ∫e x synxdx की गणना करें।

समाधान।आइए हम u = e x, dv = synxdx, फिर du = e x dx, v =∫sinxdx= - cosx → ∫ e x synxdx = - e x cosx + ∫ e x cosxdx निरूपित करें। हम अभिन्न ∫e x cosxdx को भागों द्वारा भी एकीकृत करते हैं: u = e x, dv = cosxdx, du=e x dx, v=sinx। हमारे पास है:
∫ ई एक्स कॉसएक्सडीएक्स = ई एक्स सिनएक्स - ∫ ई एक्स सिनएक्सडीएक्स। हमने संबंध ∫e x synxdx = - e x cosx + e x synx - ∫ e x synxdx प्राप्त किया, जिससे 2∫e x synx dx = - e x cosx + e x synx + C.

उदाहरण 3.37. J = ∫cos(lnx)dx/x की गणना करें।

समाधान।चूँकि dx/x = dlnx, तो J= ∫cos(lnx)d(lnx)। एलएनएक्स को टी के माध्यम से प्रतिस्थापित करने पर, हम तालिका अभिन्न जे = ∫ लागतडीटी = सिंट + सी = पाप (एलएनएक्स) + सी पर पहुंचते हैं।

उदाहरण 3.38 . जे = की गणना करें।

समाधान।यह मानते हुए कि = d(lnx), हम lnx = t प्रतिस्थापित करते हैं। फिर जे = .

उदाहरण 3.39 . अभिन्न जे = की गणना करें .

समाधान।हमारे पास है: . इसलिए =
=
=. इस तरह दर्ज किया गया: sqrt(tan(x/2)).

और यदि परिणाम विंडो में आप ऊपरी दाएं कोने में शो स्टेप्स पर क्लिक करते हैं, तो आपको एक विस्तृत समाधान मिलेगा।

भागों द्वारा एकीकरण सूत्र इस प्रकार दिखता है:
.

भागों द्वारा एकीकरण की विधि में इस सूत्र को लागू करना शामिल है। व्यावहारिक अनुप्रयोग में, यह ध्यान देने योग्य है कि यू और वी एकीकरण चर के कार्य हैं। मान लीजिए कि एकीकरण चर को x के रूप में निर्दिष्ट किया गया है (अभिन्न संकेतन के अंत में अंतर चिह्न d के बाद का प्रतीक)। तब u और v x के फलन हैं: u(x) और v(x) ।
तब
, .
और भागों द्वारा एकीकरण का सूत्र इस प्रकार है:
.

अर्थात्, इंटीग्रैंड फ़ंक्शन में दो फ़ंक्शन का उत्पाद शामिल होना चाहिए:
,
जिनमें से एक को हम यू के रूप में दर्शाते हैं: जी(एक्स) = यू, और दूसरे के लिए अभिन्न की गणना की जानी चाहिए (अधिक सटीक रूप से, एंटीडेरिवेटिव पाया जाना चाहिए):
, फिर dv = f(x) dx .

कुछ मामलों में f(x) = 1 . अर्थात् अभिन्न में
,
हम g(x) = u, x = v रख सकते हैं।

सारांश

इसलिए, इस विधि में, भागों द्वारा एकीकरण सूत्र को याद रखा जाना चाहिए और दो रूपों में लागू किया जाना चाहिए:
;
.

भागों द्वारा एकीकरण द्वारा गणना की गई इंटीग्रल

लघुगणक और व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय (अतिशयोक्तिपूर्ण) कार्यों वाले समाकलन

लघुगणक और व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय या अतिशयोक्तिपूर्ण कार्यों वाले इंटीग्रल को अक्सर भागों द्वारा एकीकृत किया जाता है। इस मामले में, जिस भाग में लघुगणक या व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय (अतिशयोक्तिपूर्ण) फ़ंक्शन होते हैं उसे यू द्वारा दर्शाया जाता है, शेष भाग को डीवी द्वारा दर्शाया जाता है।

यहां ऐसे अभिन्नों के उदाहरण दिए गए हैं, जिनकी गणना भागों द्वारा एकीकरण की विधि द्वारा की जाती है:
, , , , , , .

एक बहुपद और पाप x, cos x या e x के गुणनफल वाले समाकलन

भागों द्वारा एकीकरण सूत्र का उपयोग करके, प्रपत्र के अभिन्न अंग पाए जाते हैं:
, , ,
जहाँ P(x) x में एक बहुपद है। एकीकृत करते समय, बहुपद P(x) को u, और e ax dx द्वारा निरूपित किया जाता है, कॉस एक्स डीएक्सया पाप कुल्हाड़ी dx- डीवी के माध्यम से।

यहां ऐसे अभिन्नों के उदाहरण दिए गए हैं:
, , .

भागों द्वारा एकीकरण की विधि का उपयोग करके अभिन्नों की गणना के उदाहरण

लघुगणक और व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्यों वाले अभिन्नों के उदाहरण

उदाहरण

अभिन्न की गणना करें:

विस्तृत समाधान

यहां इंटीग्रैंड में एक लघुगणक शामिल है। प्रतिस्थापन करना
तुम = एलएन एक्स,
डीवी = एक्स 2 डीएक्स.
तब
,
.

हम शेष अभिन्न की गणना करते हैं:
.
तब
.
गणना के अंत में, स्थिरांक C को जोड़ना आवश्यक है, क्योंकि अनिश्चितकालीन अभिन्न सभी प्रतिअवकलजों का समुच्चय है। इसे मध्यवर्ती गणनाओं में भी जोड़ा जा सकता है, लेकिन यह केवल गणनाओं को अव्यवस्थित करेगा।

छोटा समाधान

आप समाधान को छोटे संस्करण में प्रस्तुत कर सकते हैं. ऐसा करने के लिए, आपको यू और वी के साथ प्रतिस्थापन करने की आवश्यकता नहीं है, लेकिन आप कारकों को समूहित कर सकते हैं और दूसरे रूप में भागों के सूत्र द्वारा एकीकरण लागू कर सकते हैं।

.

उत्तर

बहुपद और पाप x, cos x या ex के गुणनफल वाले अभिन्नों के उदाहरण

उदाहरण

अभिन्न की गणना करें:
.

समाधान

आइए हम विभेदक चिह्न के अंतर्गत घातांक का परिचय दें:
ई - एक्स डीएक्स = - ई - एक्स डी(-एक्स) = - डी(ई - एक्स).

आइए भागों द्वारा एकीकृत करें।
.
हम भागों द्वारा एकीकरण की विधि का भी उपयोग करते हैं।
.
.
.
अंततः हमारे पास है.