ऑनलाइन कैलकुलेटर। अनिश्चितकालीन अभिन्न (एंटीडेरिवेटिव) की गणना करें। डमी के लिए इंटीग्रल्स: कैसे हल करें, गणना नियम, स्पष्टीकरण

antiderivative

एक प्रतिअवकलन फलन की परिभाषा

• समारोह y=F(x)फ़ंक्शन का प्रतिअवकलन कहा जाता है y=f(x)एक निश्चित अंतराल पर एक्स,यदि सभी के लिए एक्स ∈एक्ससमानता रखती है: एफ'(एक्स) = एफ(एक्स)

दो तरह से पढ़ा जा सकता है:

1. एफ किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न एफ
2. एफ किसी फ़ंक्शन का प्रतिव्युत्पन्न एफ

प्रतिअवकलन की संपत्ति

• अगर एफ(एक्स)- किसी फ़ंक्शन का प्रतिव्युत्पन्न एफ(एक्स)किसी दिए गए अंतराल पर, फ़ंक्शन f(x) में अनंत रूप से कई एंटीडेरिवेटिव होते हैं, और इन सभी एंटीडेरिवेटिव को फॉर्म में लिखा जा सकता है एफ(एक्स) + सी, जहां C एक मनमाना स्थिरांक है।

ज्यामितीय व्याख्या

• किसी दिए गए फ़ंक्शन के सभी एंटीडेरिवेटिव के ग्राफ़ एफ(एक्स) O अक्ष के अनुदिश समानांतर अनुवाद द्वारा किसी एक प्रतिअवकलन के ग्राफ से प्राप्त किए जाते हैं पर.

प्रतिअवकलन की गणना के नियम

1. योग का प्रतिअवकलज प्रतिअवकलन के योग के बराबर होता है. अगर एफ(एक्स)- के लिए प्रतिव्युत्पन्न एफ(एक्स), और G(x) के लिए एक प्रतिअवकलन है जी(एक्स), वह एफ(एक्स) + जी(एक्स)- के लिए प्रतिव्युत्पन्न एफ(एक्स) + जी(एक्स).
2. अचर गुणनखंड को अवकलज के चिह्न से निकाला जा सकता है. अगर एफ(एक्स)- के लिए प्रतिव्युत्पन्न एफ(एक्स), और क- फिर स्थिर के·एफ(x)- के लिए प्रतिव्युत्पन्न के एफ(एक्स).
3. अगर एफ(एक्स)- के लिए प्रतिव्युत्पन्न एफ(एक्स), और के, बी- स्थिर, और क ≠ 0, वह 1/के एफ(केएक्स + बी)- के लिए प्रतिव्युत्पन्न एफ(केएक्स + बी).

याद करना!

कोई भी समारोह एफ(एक्स) = एक्स 2 + सी , जहां C एक मनमाना स्थिरांक है, और केवल ऐसा फ़ंक्शन फ़ंक्शन के लिए एक प्रतिअवकलन है एफ(एक्स) = 2x.

• उदाहरण के लिए:

  एफ"(एक्स) = (एक्स 2 + 1)" = 2एक्स = एफ(एक्स);

  एफ(एक्स) = 2x,क्योंकि एफ"(एक्स) = (एक्स 2 – 1)" = 2एक्स = एफ(एक्स);

  एफ(एक्स) = 2x,क्योंकि एफ"(एक्स) = (एक्स 2 –3)" = 2एक्स = एफ(एक्स);

किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ और उसके प्रतिअवकलन के बीच संबंध:

1. यदि किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ एफ(एक्स)>0 एफ(एक्स)इस अंतराल में वृद्धि होती है।
2. यदि किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ एफ(एक्स)<0 अंतराल पर, फिर इसके प्रतिअवकलन का ग्राफ एफ(एक्स)इस अंतराल में घट जाती है।
3. अगर एफ(एक्स)=0, फिर इसके प्रतिअवकलन का ग्राफ एफ(एक्स)इस बिंदु पर वृद्धि से घटने (या इसके विपरीत) में परिवर्तन होता है।

किसी प्रतिअवकलन को निरूपित करने के लिए अनिश्चितकालीन समाकलन के चिह्न का प्रयोग किया जाता है, अर्थात् समाकलन की सीमाओं को इंगित किए बिना समाकलन।

अनिश्चितकालीन अभिन्न

परिभाषा:

• फ़ंक्शन f(x) का अनिश्चितकालीन अभिन्न अंग अभिव्यक्ति F(x) + C है, अर्थात, किसी दिए गए फ़ंक्शन f(x) के सभी एंटीडेरिवेटिव का सेट। अनिश्चितकालीन अभिन्न को इस प्रकार दर्शाया गया है: \int f(x) dx = F(x) + C

• एफ(एक्स)- इंटीग्रैंड फ़ंक्शन कहा जाता है;
• एफ(एक्स) डीएक्स- इंटीग्रैंड कहा जाता है;
• एक्स- एकीकरण का चर कहा जाता है;
• एफ(एक्स)- फ़ंक्शन f(x) के प्रतिअवकलजों में से एक;
• साथ- मनमाना स्थिरांक.

अनिश्चितकालीन अभिन्न के गुण

1. अनिश्चितकालीन समाकलन का व्युत्पन्न समाकलन के बराबर है: (\int f(x) dx)\ prime= f(x) .
2. इंटीग्रैंड के स्थिर कारक को इंटीग्रल चिह्न से बाहर निकाला जा सकता है: \int k \cdot f(x) dx = k \cdot \int f(x) dx.
3. कार्यों के योग (अंतर) का अभिन्न अंग योग के बराबरइन कार्यों के अभिन्नों के (अंतर): \int (f(x) \pm g(x)) dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx.
4. अगर के, बीस्थिरांक हैं, और k ≠ 0, फिर \int f(kx + b) dx = \frac(1)(k) \cdot F(kx + b) + C.

प्रतिअवकलन और अनिश्चित समाकलन की तालिका

समारोह एफ(एक्स)	antiderivative एफ(एक्स) + सी	अनिश्चितकालीन अभिन्न \int f(x) dx = F(x) + C
0	सी	\int 0 dx = C
एफ(एक्स) = के	एफ(एक्स) = केएक्स + सी	\int kdx = kx + C
f(x) = x^m, m\not =-1	F(x) = \frac(x^(m+1))(m+1) + C	\int x(^m)dx = \frac(x^(m+1))(m+1) + C
f(x) = \frac(1)(x)	F(x) = l n \lvert x \rvert + C	\int \frac(dx)(x) = l n \lvert x \rvert + C
एफ(एक्स) = ई^एक्स	एफ(एक्स) = ई^एक्स + सी	\int e(^x )dx = e^x + C
एफ(एक्स) = ए^एक्स	F(x) = \frac(a^x)(l na) + C	\int a(^x )dx = \frac(a^x)(l na) + C
f(x) = \sin x	F(x) = -\cos x + C	\int \sin x dx = -\cos x + C
f(x) = \cos x	F(x) =\sin x + C	\int \cos x dx = \sin x + C
f(x) = \frac(1)(\sin (^2) x)	F(x) = -\ctg x + C	\int \frac (dx)(\sin (^2) x) = -\ctg x + C
f(x) = \frac(1)(\cos (^2) x)	F(x) = \tg x + C	\int \frac(dx)(\sin (^2) x) = \tg x + C
f(x) = \sqrt(x)	F(x) =\frac(2x \sqrt(x))(3) + C
f(x) =\frac(1)( \sqrt(x))	F(x) =2\sqrt(x) + C
f(x) =\frac(1)( \sqrt(1-x^2))	F(x)=\arcsin x + C	\int \frac(dx)( \sqrt(1-x^2))=\arcsin x + C
f(x) =\frac(1)( \sqrt(1+x^2))	F(x)=\arctg x + C	\int \frac(dx)( \sqrt(1+x^2))=\arctg x + C
f(x)=\frac(1)( \sqrt(a^2-x^2))	F(x)=\arcsin \frac (x)(a)+ C	\int \frac(dx)( \sqrt(a^2-x^2)) =\arcsin \frac (x)(a)+ C
f(x)=\frac(1)( \sqrt(a^2+x^2))	F(x)=\arctg \frac (x)(a)+ C	\int \frac(dx)( \sqrt(a^2+x^2)) = \frac (1)(a) \arctg \frac (x)(a)+ C
f(x) =\frac(1)( 1+x^2)	F(x)=\arctg + C	\int \frac(dx)( 1+x^2)=\arctg + C
f(x)=\frac(1)( \sqrt(x^2-a^2)) (a \not= 0)	F(x)=\frac(1)(2a)l n \lvert \frac (x-a)(x+a) \rvert + C	\int \frac(dx)( \sqrt(x^2-a^2))=\frac(1)(2a)l n \lvert \frac (x-a)(x+a) \rvert + C
f(x)=\tg x	F(x)= - l n \lvert \cos x \rvert + C	\int \tg x dx =- l n \lvert \cos x \rvert + C
f(x)=\ctg x	F(x)= l n \lvert \sin x \rvert + C	\int \ctg x dx = l n \lvert \sin x \rvert + C
f(x)=\frac(1)(\sin x)	F(x)= l n \lvert \tg \frac(x)(2) \rvert + C	\int \frac (dx)(\sin x) = l n \lvert \tg \frac(x)(2) \rvert + C
f(x)=\frac(1)(\cos x)	F(x)= l n \lvert \tg (\frac(x)(2) +\frac(\pi)(4)) \rvert + C	\int \frac (dx)(\cos x) = l n \lvert \tg (\frac(x)(2) +\frac(\pi)(4)) \rvert + C

न्यूटन-लीबनिज सूत्र

होने देना एफ(एक्स)यह फ़ंक्शन एफयह मनमाना प्रतिव्युत्पन्न है।

\int_(a)^(b) f(x) dx =F(x)|_(a)^(b)= एफ(बी) - एफ(ए)

कहाँ एफ(एक्स)- के लिए प्रतिव्युत्पन्न एफ(एक्स)

अर्थात्, फ़ंक्शन का अभिन्न अंग एफ(एक्स)एक अंतराल पर बिंदुओं पर प्रतिअवकलन के अंतर के बराबर होता है बीऔर ए.

एक घुमावदार समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल

वक्ररेखीय समलम्बाकार एक फ़ंक्शन के ग्राफ़ से घिरा एक आंकड़ा है जो गैर-नकारात्मक और एक अंतराल पर निरंतर है एफ, ऑक्स अक्ष और सीधी रेखाएँ एक्स = एऔर एक्स = बी.

एक घुमावदार समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल न्यूटन-लीबनिज सूत्र का उपयोग करके पाया जाता है:

S= \int_(a)^(b) f(x) dx

इंटीग्रल्स को हल करना एक आसान काम है, लेकिन केवल कुछ चुनिंदा लोगों के लिए। यह लेख उन लोगों के लिए है जो अभिन्नों को समझना सीखना चाहते हैं, लेकिन उनके बारे में कुछ भी नहीं या लगभग कुछ भी नहीं जानते हैं। अभिन्न... इसकी आवश्यकता क्यों है? इसकी गणना कैसे करें? क्या निश्चित है और अनिश्चितकालीन अभिन्नएस? यदि इंटीग्रल के लिए आप जो एकमात्र उपयोग जानते हैं, वह दुर्गम स्थानों से कुछ उपयोगी प्राप्त करने के लिए इंटीग्रल आइकन के आकार के क्रोकेट हुक का उपयोग करना है, तो स्वागत है! जानें कि इंटीग्रल को कैसे हल करें और आप इसके बिना क्यों नहीं कर सकते।

हम "अभिन्न" की अवधारणा का अध्ययन करते हैं

एकीकरण को प्राचीन मिस्र में जाना जाता था। बेशक, अपने आधुनिक रूप में नहीं, लेकिन फिर भी। तब से, गणितज्ञों ने इस विषय पर कई किताबें लिखी हैं। उन्होंने स्वयं को विशेष रूप से प्रतिष्ठित किया न्यूटन और लाइबनिट्स , लेकिन चीजों का सार नहीं बदला है। शुरू से इंटीग्रल को कैसे समझें? बिलकुल नहीं! इस विषय को समझने के लिए, आपको अभी भी गणितीय विश्लेषण की बुनियादी बातों के बुनियादी ज्ञान की आवश्यकता होगी। यह मूलभूत जानकारी है जो आपको हमारे ब्लॉग पर मिलेगी।

अनिश्चितकालीन अभिन्न

आइये कुछ कार्य करें एफ(एक्स) .

अनिश्चितकालीन अभिन्न कार्य एफ(एक्स) इस फ़ंक्शन को कॉल किया जाता है एफ(एक्स) , जिसका व्युत्पन्न फ़ंक्शन के बराबर है एफ(एक्स) .

दूसरे शब्दों में, अभिन्न एक विपरीत व्युत्पन्न या एक प्रतिअवकलन है। वैसे, हमारे लेख में कैसे पढ़ें।

सभी सतत कार्यों के लिए एक प्रतिअवकलन मौजूद है। इसके अलावा, एक स्थिर चिन्ह को अक्सर प्रतिअवकलन में जोड़ा जाता है, क्योंकि कार्यों के व्युत्पन्न जो एक स्थिरांक से भिन्न होते हैं, मेल खाते हैं। अभिन्न को खोजने की प्रक्रिया को एकीकरण कहा जाता है।

सरल उदाहरण:

प्राथमिक कार्यों के प्रतिअवकलन की लगातार गणना न करने के लिए, उन्हें एक तालिका में रखना और तैयार मूल्यों का उपयोग करना सुविधाजनक है:

समाकलन परिभाषित करें

अभिन्न की अवधारणा से निपटते समय, हम अनंत मात्राओं से निपट रहे हैं। इंटीग्रल एक आकृति के क्षेत्रफल, एक गैर-समान पिंड का द्रव्यमान, असमान गति के दौरान तय की गई दूरी और बहुत कुछ की गणना करने में मदद करेगा। यह याद रखना चाहिए कि एक पूर्णांक एक अपरिमित रूप से बड़ी संख्या में अतिसूक्ष्म पदों का योग है।

उदाहरण के तौर पर, किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ की कल्पना करें। किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ से घिरी आकृति का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें?

एक अभिन्न का उपयोग करना! आइए हम निर्देशांक अक्षों और फ़ंक्शन के ग्राफ़ द्वारा सीमित घुमावदार ट्रेपेज़ॉइड को अनंत छोटे खंडों में विभाजित करें। इस प्रकार आकृति पतले-पतले स्तम्भों में विभाजित हो जायेगी। स्तंभों के क्षेत्रफलों का योग समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल होगा। लेकिन याद रखें कि ऐसी गणना अनुमानित परिणाम देगी। हालाँकि, खंड जितने छोटे और संकीर्ण होंगे, गणना उतनी ही सटीक होगी। यदि हम उन्हें इस हद तक कम कर दें कि लंबाई शून्य हो जाए, तो खंडों के क्षेत्रफलों का योग आकृति के क्षेत्रफल के बराबर हो जाएगा। यह एक निश्चित समाकलन है, जिसे इस प्रकार लिखा जाता है:

बिंदु a और b को एकीकरण की सीमाएँ कहा जाता है।

बारी अलीबासोव और समूह "इंटीग्रल"

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डमी के लिए इंटीग्रल की गणना के नियम

अनिश्चितकालीन अभिन्न के गुण

अनिश्चितकालीन समाकलन को कैसे हल करें? यहां हम अनिश्चितकालीन अभिन्न के गुणों को देखेंगे, जो उदाहरणों को हल करते समय उपयोगी होंगे।

• इंटीग्रल का व्युत्पन्न इंटीग्रैंड के बराबर है:

• स्थिरांक को अभिन्न चिह्न के अंतर्गत से निकाला जा सकता है:

• योग का समाकलन समाकलन के योग के बराबर होता है। यह अंतर के लिए भी सत्य है:

एक निश्चित अभिन्न के गुण

• रैखिकता:

• यदि एकीकरण की सीमाओं की अदला-बदली की जाती है तो अभिन्न का चिह्न बदल जाता है:

• पर कोईअंक ए, बीऔर साथ:

हम पहले ही पता लगा चुके हैं कि एक निश्चित अभिन्न एक योग की सीमा है। लेकिन किसी उदाहरण को हल करते समय विशिष्ट मान कैसे प्राप्त करें? इसके लिए न्यूटन-लीबनिज सूत्र है:

अभिन्नों को हल करने के उदाहरण

नीचे हम अनिश्चित समाकलन खोजने के कई उदाहरणों पर विचार करेंगे। हम आपको स्वयं समाधान की पेचीदगियों का पता लगाने के लिए आमंत्रित करते हैं, और यदि कुछ अस्पष्ट है, तो टिप्पणियों में प्रश्न पूछें।

सामग्री को सुदृढ़ करने के लिए, अभ्यास में इंटीग्रल को कैसे हल किया जाता है, इसके बारे में एक वीडियो देखें। यदि अभिन्न तुरंत नहीं दिया जाता है तो निराश न हों। पूछें और वे आपको अभिन्नों की गणना के बारे में वह सब कुछ बताएंगे जो वे जानते हैं। हमारी मदद से, किसी बंद सतह पर कोई भी ट्रिपल या घुमावदार इंटीग्रल आपकी शक्ति में होगा।

प्रतिअवकलन फलन खोजने के लिए तीन बुनियादी नियम हैं। वे संबंधित विभेदीकरण नियमों के बहुत समान हैं।

नियम 1

यदि F किसी फ़ंक्शन f के लिए एक प्रतिअवकलन है, और G कुछ फ़ंक्शन g के लिए एक प्रतिअवकलन है, तो F + G, f + g के लिए एक प्रतिअवकलन होगा।

प्रतिअवकलन की परिभाषा के अनुसार, F' = f. जी' = जी. और चूँकि ये शर्तें पूरी होती हैं, तो कार्यों के योग के लिए व्युत्पन्न की गणना के नियम के अनुसार हमारे पास होगा:

(एफ + जी)' = एफ' + जी' = एफ + जी।

नियम 2

यदि F किसी फ़ंक्शन f के लिए एक प्रतिअवकलन है, और k कुछ स्थिरांक है। तब k*F फ़ंक्शन k*f का प्रतिअवकलन है। यह नियम किसी जटिल फलन के अवकलज की गणना के नियम का अनुसरण करता है।

हमारे पास है: (k*F)' = k*F' = k*f.

नियम 3

यदि F(x) फ़ंक्शन f(x) के लिए कुछ प्रतिअवकलन है, और k और b कुछ स्थिरांक हैं, और k शून्य के बराबर नहीं है, तो (1/k)*F*(k*x+b) होगा फ़ंक्शन f (k*x+b) के लिए एक प्रतिअवकलन।

यह नियम किसी जटिल फलन के अवकलज की गणना के नियम का अनुसरण करता है:

((1/k)*F*(k*x+b))' = (1/k)*F'(k*x+b)*k = f(k*x+b).

आइए कुछ उदाहरण देखें कि ये नियम कैसे लागू होते हैं:

उदाहरण 1. फ़ंक्शन f(x) = x^3 +1/x^2 के लिए प्रतिअवकलन का सामान्य रूप खोजें। फ़ंक्शन x^3 के लिए एंटीडेरिवेटिव्स में से एक फ़ंक्शन (x^4)/4 होगा, और फ़ंक्शन 1/x^2 के लिए एंटीडेरिवेटिव्स में से एक फ़ंक्शन -1/x होगा। पहले नियम का उपयोग करते हुए, हमारे पास है:

F(x) = x^4/4 - 1/x +C.

उदाहरण 2. आइए फ़ंक्शन f(x) = 5*cos(x) के लिए प्रतिअवकलन का सामान्य रूप खोजें। फ़ंक्शन cos(x) के लिए, एंटीडेरिवेटिव्स में से एक फ़ंक्शन पाप (x) होगा। यदि अब हम दूसरे नियम का उपयोग करें, तो हमारे पास होगा:

एफ(एक्स) = 5*पाप(एक्स).

उदाहरण 3.फ़ंक्शन y = syn(3*x-2) के लिए एक प्रतिअवकलज खोजें। फ़ंक्शन पाप (x) के लिए एंटीडेरिवेटिव्स में से एक फ़ंक्शन -cos (x) होगा। यदि अब हम तीसरे नियम का उपयोग करते हैं, तो हमें प्रतिअवकलन के लिए एक अभिव्यक्ति प्राप्त होती है:

F(x) = (-1/3)*cos(3*x-2)

उदाहरण 4. फ़ंक्शन f(x) = 1/(7-3*x)^5 के लिए प्रतिअवकलन ज्ञात कीजिए

फ़ंक्शन 1/x^5 के लिए प्रतिअवकलन फ़ंक्शन (-1/(4*x^4)) होगा। अब, तीसरे नियम का उपयोग करते हुए, हम पाते हैं।

हमने देखा है कि व्युत्पन्न के कई उपयोग हैं: व्युत्पन्न गति की गति है (या, अधिक सामान्यतः, किसी भी प्रक्रिया की गति); व्युत्पन्न फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा का ढलान है; व्युत्पन्न का उपयोग करके, आप एकरसता और एक्स्ट्रेमा के लिए एक फ़ंक्शन की जांच कर सकते हैं; व्युत्पन्न अनुकूलन समस्याओं को हल करने में मदद करता है।

लेकिन वास्तविक जीवन में हमें विपरीत समस्याओं को भी हल करना पड़ता है: उदाहरण के लिए, गति के ज्ञात नियम के अनुसार गति ज्ञात करने की समस्या के साथ-साथ, हमें ज्ञात गति के अनुसार गति के नियम को बहाल करने की समस्या का भी सामना करना पड़ता है। आइए इनमें से एक समस्या पर विचार करें।

उदाहरण 1।एक भौतिक बिंदु एक सीधी रेखा में चलता है, समय t पर इसकी गति सूत्र u = tg द्वारा दी जाती है। गति का नियम खोजें.

समाधान।मान लीजिए s = s(t) गति का वांछित नियम है। यह ज्ञात है कि s"(t) = u"(t). इसका मतलब यह है कि समस्या को हल करने के लिए आपको चयन करना होगा समारोह s = s(t), जिसका अवकलज tg के बराबर है। इसका अंदाजा लगाना मुश्किल नहीं है

आइए तुरंत ध्यान दें कि उदाहरण सही ढंग से हल किया गया है, लेकिन अधूरा। हमने पाया कि, वास्तव में, समस्या के अनंत रूप से कई समाधान हैं: प्रपत्र का कोई भी कार्य एक मनमाना स्थिरांक गति के नियम के रूप में कार्य कर सकता है, क्योंकि

कार्य को और अधिक विशिष्ट बनाने के लिए, हमें प्रारंभिक स्थिति को ठीक करने की आवश्यकता है: किसी समय बिंदु पर एक गतिशील बिंदु के समन्वय को इंगित करें, उदाहरण के लिए, t=0 पर। यदि, मान लीजिए, s(0) = s 0, तो समानता से हमें s(0) = 0 + C, अर्थात S 0 = C प्राप्त होता है। अब गति का नियम विशिष्ट रूप से परिभाषित है:
गणित में, पारस्परिक व्युत्क्रम संक्रियाओं को अलग-अलग नाम दिए जाते हैं और विशेष नोटेशन का आविष्कार किया जाता है: उदाहरण के लिए, (x 2) का वर्ग करना और साइन (sinх) का वर्गमूल लेना और आर्कसीन(आर्क्सिन एक्स), आदि। किसी दिए गए फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को खोजने की प्रक्रिया को विभेदन कहा जाता है, और व्युत्क्रम संक्रिया, अर्थात। किसी दिए गए व्युत्पन्न से एक फ़ंक्शन खोजने की प्रक्रिया - एकीकरण।
"व्युत्पन्न" शब्द को स्वयं "दैनिक जीवन में" उचित ठहराया जा सकता है: फ़ंक्शन y - f(x) एक नए फ़ंक्शन y"= f"(x) को "जन्म देता है"। फ़ंक्शन y = f(x) इस प्रकार कार्य करता है एक "जनक" , लेकिन गणितज्ञ, स्वाभाविक रूप से, इसे "जनक" या "निर्माता" नहीं कहते हैं; वे कहते हैं कि यह, फ़ंक्शन y"=f"(x) के संबंध में, प्राथमिक छवि है, या, संक्षेप में, प्रतिअवकलन।

परिभाषा 1.फ़ंक्शन y = F(x) को किसी दिए गए अंतराल

व्यवहार में, अंतराल X आमतौर पर निर्दिष्ट नहीं किया जाता है, लेकिन निहित होता है (फ़ंक्शन की परिभाषा के प्राकृतिक डोमेन के रूप में)।

यहां कुछ उदाहरण दिए गए हैं:

1) फ़ंक्शन y = x 2, फ़ंक्शन y = 2x के लिए प्रतिअवकलन है, क्योंकि सभी x के लिए समानता (x 2)" = 2x सत्य है।
2) फ़ंक्शन y - x 3, फ़ंक्शन y-3x 2 के लिए प्रतिअवकलन है, क्योंकि सभी x के लिए समानता (x 3)" = 3x 2 सत्य है।
3) फ़ंक्शन y-sinх फ़ंक्शन y = cosx के लिए प्रतिअवकलन है, क्योंकि सभी x के लिए समानता (sinx)" = cosx सत्य है।
4) अंतराल पर किसी फ़ंक्शन के लिए फ़ंक्शन प्रतिअवकलन है क्योंकि सभी x > 0 के लिए समानता सत्य है
सामान्य तौर पर, व्युत्पन्न खोजने के सूत्रों को जानने के बाद, प्रतिअवकलन खोजने के लिए सूत्रों की एक तालिका संकलित करना मुश्किल नहीं है।

हमें आशा है कि आप समझ गए होंगे कि यह तालिका कैसे संकलित की जाती है: फ़ंक्शन का व्युत्पन्न, जो दूसरे कॉलम में लिखा गया है, उस फ़ंक्शन के बराबर है जो पहले कॉलम की संबंधित पंक्ति में लिखा गया है (इसे जांचें, आलसी न हों, बहुत काम का है)। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन y = x 5 के लिए एंटीडेरिवेटिव, जैसा कि आप स्थापित करेंगे, फ़ंक्शन है (तालिका की चौथी पंक्ति देखें)।

टिप्पणियाँ: 1. नीचे हम प्रमेय को सिद्ध करेंगे कि यदि y = F(x) फ़ंक्शन y = f(x) के लिए एक प्रतिअवकलन है, तो फ़ंक्शन y = f(x) में अनंत रूप से कई प्रतिअवकलन हैं और उन सभी का रूप y = है F(x ) + C. इसलिए, तालिका के दूसरे कॉलम में हर जगह C शब्द जोड़ना अधिक सही होगा, जहां C एक मनमाना वास्तविक संख्या है।
2. संक्षिप्तता के लिए, कभी-कभी वाक्यांश "फ़ंक्शन y = F(x) फ़ंक्शन y = f(x) का एक प्रतिअवकलन है" के बजाय, वे कहते हैं कि F(x) f(x) का एक प्रतिअवकलन है। ।”

2. प्रतिअवकलन ज्ञात करने के नियम

प्रतिअवकलज ढूँढ़ते समय, साथ ही व्युत्पन्न ढूँढ़ते समय, न केवल सूत्रों का उपयोग किया जाता है (वे पृष्ठ 196 पर तालिका में सूचीबद्ध हैं), बल्कि कुछ नियमों का भी उपयोग किया जाता है। वे डेरिवेटिव की गणना के लिए संबंधित नियमों से सीधे संबंधित हैं।

हम जानते हैं कि किसी राशि का अवकलज उसके अवकलजों के योग के बराबर होता है। यह नियम प्रतिअवकलज खोजने के लिए संगत नियम उत्पन्न करता है।

नियम 1।किसी योग का प्रतिअवकलन, प्रतिअवकलन के योग के बराबर होता है।

हम आपका ध्यान इस सूत्रीकरण की कुछ हद तक "हल्केपन" की ओर आकर्षित करते हैं। वास्तव में, किसी को प्रमेय तैयार करना चाहिए: यदि फ़ंक्शन y = f(x) और y = g(x) के अंतराल X पर क्रमशः y-F(x) और y-G(x) एंटीडेरिवेटिव हैं, तो फ़ंक्शन y का योग = f(x)+g(x) का अंतराल X पर एक प्रतिअवकलन है, और यह प्रतिअवकलन फलन y = F(x)+G(x) है। लेकिन आमतौर पर नियम बनाते समय (प्रमेय नहीं) वे ही छोड़ देते हैं कीवर्ड- इससे नियम को व्यवहार में लागू करना अधिक सुविधाजनक हो जाता है

उदाहरण 2.फ़ंक्शन y = 2x + cos x के लिए प्रतिअवकलन ज्ञात कीजिए।

समाधान। 2x के लिए प्रतिअवकलन x" है; कॉक्स के लिए प्रतिअवकलन पाप x है। इसका मतलब है कि फ़ंक्शन y = 2x + cos x के लिए प्रतिअवकलन फ़ंक्शन y = x 2 + पाप x होगा (और सामान्य तौर पर फॉर्म का कोई भी फ़ंक्शन वाई = एक्स 1 + सिनएक्स + सी) .
हम जानते हैं कि अचर गुणनखंड को अवकलज के चिह्न से निकाला जा सकता है। यह नियम प्रतिअवकलज खोजने के लिए संगत नियम उत्पन्न करता है।

नियम 2.अचर गुणनखंड को प्रतिअवकलन चिह्न से निकाला जा सकता है।

उदाहरण 3.

समाधान।ए) पाप x के लिए प्रतिअवकलन -soz x है; इसका मतलब यह है कि फ़ंक्शन y = 5 पाप x के लिए एंटीडेरिवेटिव फ़ंक्शन फ़ंक्शन y = -5 cos x होगा।

ख) cos x का प्रतिअवकलन पाप x है; इसका मतलब यह है कि किसी फ़ंक्शन का प्रतिअवकलन फ़ंक्शन है
ग) x 3 के लिए प्रतिअवकलन x के लिए प्रतिअवकलन है, फ़ंक्शन y = 1 के लिए प्रतिअवकलन फ़ंक्शन y = x है। प्रतिअवकलन खोजने के लिए पहले और दूसरे नियम का उपयोग करते हुए, हम पाते हैं कि फलन y = 12x 3 + 8x-1 के लिए प्रतिअवकलज फलन है
टिप्पणी।जैसा कि ज्ञात है, किसी उत्पाद का व्युत्पन्न, व्युत्पन्न के उत्पाद के बराबर नहीं होता है (किसी उत्पाद को अलग करने का नियम अधिक जटिल होता है) और किसी भागफल का व्युत्पन्न, व्युत्पन्न के भागफल के बराबर नहीं होता है। इसलिए, उत्पाद का प्रतिअवकलन या दो कार्यों के भागफल का प्रतिअवकलन ज्ञात करने के लिए कोई नियम नहीं हैं। ध्यान से!
आइए प्रतिअवकलन खोजने के लिए एक और नियम प्राप्त करें। हम जानते हैं कि फ़ंक्शन y = f(kx+m) के व्युत्पन्न की गणना सूत्र द्वारा की जाती है

यह नियम प्रतिअवकलज खोजने के लिए संगत नियम उत्पन्न करता है।
नियम 3.यदि y = F(x) फ़ंक्शन y = f(x) के लिए एक प्रतिअवकलन है, तो फ़ंक्शन y=f(kx+m) के लिए प्रतिअवकलज फ़ंक्शन है

वास्तव में,

इसका मतलब यह है कि यह फ़ंक्शन y = f(kx+m) के लिए एक प्रतिअवकलन है।
तीसरे नियम का अर्थ इस प्रकार है. यदि आप जानते हैं कि फ़ंक्शन y = f(x) का प्रतिअवकलन फ़ंक्शन y = F(x) है, और आपको फ़ंक्शन y = f(kx+m) का प्रतिअवकलन खोजने की आवश्यकता है, तो इस तरह आगे बढ़ें: लें समान फ़ंक्शन F, लेकिन तर्क x के बजाय, अभिव्यक्ति kx+m को प्रतिस्थापित करें; इसके अलावा, फ़ंक्शन चिह्न से पहले "सुधार कारक" लिखना न भूलें
उदाहरण 4.दिए गए कार्यों के लिए प्रतिअवकलज खोजें:

समाधान, ए) पाप x के लिए प्रतिअवकलन -soz x है; इसका अर्थ यह है कि फलन y = syn2x के लिए प्रतिअवकलन फलन होगा
ख) cos x का प्रतिअवकलन पाप x है; इसका मतलब यह है कि किसी फ़ंक्शन का प्रतिअवकलन फ़ंक्शन है

ग) x 7 के लिए प्रतिअवकलज का अर्थ है कि फ़ंक्शन y = (4-5x) 7 के लिए प्रतिअवकलन फ़ंक्शन होगा

3.अनिश्चित अभिन्न

हम पहले ही ऊपर नोट कर चुके हैं कि किसी दिए गए फलन y = f(x) के लिए प्रतिअवकलन खोजने की समस्या के एक से अधिक समाधान हैं। आइए इस मुद्दे पर अधिक विस्तार से चर्चा करें।

सबूत। 1. मान लीजिए कि अंतराल y = F(x)+C के रूप के किसी भी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें:
(F(x) +C) = F"(x) +C = f(x) +0 = f(x).

तो, (F(x)+C) = f(x). इसका मतलब यह है कि y = F(x) + C फ़ंक्शन y = f(x) के लिए एक प्रतिअवकलन है।
इस प्रकार, हमने सिद्ध कर दिया है कि यदि फ़ंक्शन y = f(x) में एक प्रतिअवकलन y=F(x) है, तो फ़ंक्शन (f = f(x) में अनंत रूप से कई प्रतिअवकलन हैं, उदाहरण के लिए, y = के रूप का कोई भी फ़ंक्शन F(x) +C एक प्रतिअवकलन है।
2. आइए अब हम साबित करें कि संकेतित प्रकार के फ़ंक्शन एंटीडेरिवेटिव के पूरे सेट को समाप्त कर देते हैं।

मान लीजिए y=F 1 (x) और y=F(x) अंतराल X पर फ़ंक्शन Y = f(x) के लिए दो प्रतिअवकलन हैं। इसका मतलब है कि अंतराल X से सभी x के लिए निम्नलिखित संबंध हैं: F^ ( एक्स) = एफ (एक्स); एफ"(एक्स) = एफ(एक्स).

आइए फ़ंक्शन y = F 1 (x) -.F(x) पर विचार करें और इसका व्युत्पन्न खोजें: (F, (x) -F(x))" = F[(x)-F(x) = f(x) ) - एफ(एक्स) = 0.
यह ज्ञात है कि यदि अंतराल X पर किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न समान रूप से शून्य के बराबर है, तो फ़ंक्शन अंतराल X पर स्थिर है (§ 35 से प्रमेय 3 देखें)। इसका मतलब है कि एफ 1 (एक्स) - एफ (एक्स) = सी, यानी। एफएक्स) = एफ(एक्स)+सी.

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

उदाहरण 5.समय के साथ गति में परिवर्तन का नियम दिया गया है: v = -5sin2t. गति का नियम s = s(t) ज्ञात करें, यदि यह ज्ञात हो कि समय t=0 पर बिंदु का निर्देशांक संख्या 1.5 के बराबर था (अर्थात् s(t) = 1.5)।

समाधान।चूँकि गति समय के फलन के रूप में निर्देशांक का व्युत्पन्न है, इसलिए हमें सबसे पहले गति का प्रतिअवकलन ज्ञात करना होगा, अर्थात। फ़ंक्शन v = -5sin2t के लिए प्रतिअवकलन। ऐसे एंटीडेरिवेटिव्स में से एक फ़ंक्शन है, और सभी एंटीडेरिवेटिव्स के सेट का रूप है:

स्थिरांक C का विशिष्ट मान ज्ञात करने के लिए, हम प्रारंभिक शर्तों का उपयोग करते हैं, जिसके अनुसार s(0) = 1.5। मान t=0, S = 1.5 को सूत्र (1) में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

C के पाए गए मान को सूत्र (1) में प्रतिस्थापित करने पर, हमें गति का वह नियम प्राप्त होता है जिसमें हमारी रुचि है:

परिभाषा 2.यदि किसी फलन y = f(x) में अंतराल X पर एक प्रतिअवकलज y = F(x) है, तो सभी प्रतिअवकलजों का समुच्चय, अर्थात्। y = F(x) + C के रूप के फलनों के समुच्चय को फलन y = f(x) का अनिश्चितकालीन समाकलन कहा जाता है और इसे निम्न द्वारा निरूपित किया जाता है:

(पढ़ें: "एक्स डी एक्स से अनिश्चितकालीन अभिन्न ईएफ")।
अगले पैराग्राफ में हम जानेंगे कि क्या है छिपे अर्थसंकेतित पदनाम.
इस अनुभाग में उपलब्ध प्रतिअवकलजों की तालिका के आधार पर, हम मुख्य अनिश्चित समाकलनों की एक तालिका संकलित करेंगे:

प्रतिअवकलज खोजने के लिए उपरोक्त तीन नियमों के आधार पर, हम संबंधित एकीकरण नियम बना सकते हैं।

नियम 1।कार्यों के योग का समाकलन इन कार्यों के समाकलन के योग के बराबर होता है:

नियम 2.अचर गुणनखंड को पूर्णांक चिन्ह से निकाला जा सकता है:

नियम 3.अगर

उदाहरण 6.अनिश्चितकालीन अभिन्न खोजें:

समाधान, ए) एकीकरण के पहले और दूसरे नियम का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं:

आइए अब तीसरे और चौथे एकीकरण सूत्र का उपयोग करें:

परिणामस्वरूप हमें मिलता है:

बी) एकीकरण के तीसरे नियम और सूत्र 8 का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं:

ग) किसी दिए गए अभिन्न को सीधे खोजने के लिए, हमारे पास न तो संबंधित सूत्र है और न ही संबंधित नियम। ऐसे मामलों में, अभिन्न चिह्न के तहत निहित अभिव्यक्ति के पहले किए गए समान परिवर्तन कभी-कभी मदद करते हैं।

आइए लाभ उठाएं त्रिकोणमितीय सूत्रडिग्री में कमी:

फिर हम क्रमिक रूप से पाते हैं:

ए.जी. मोर्दकोविच बीजगणित 10वीं कक्षा

गणित में कैलेंडर-विषयगत योजना, वीडियोऑनलाइन गणित में, स्कूल में गणित