տուն Օրթոպեդիա Ամեն ինչ ճիշտ բուրգի մեջ է։ Բուրգը և դրա տարրերը

Օրթոպեդիա

Ամեն ինչ ճիշտ բուրգի մեջ է։ Բուրգը և դրա տարրերը

Այս վիդեո ձեռնարկը կօգնի օգտվողներին պատկերացում կազմել Pyramid թեմայի մասին: Ճիշտ բուրգ. Այս դասում մենք կծանոթանանք բուրգ հասկացությանը և կտանք դրա սահմանումը։ Եկեք դիտարկենք, թե ինչ է սովորական բուրգը և ինչ հատկություններ ունի այն: Այնուհետև մենք ապացուցում ենք կանոնավոր բուրգի կողային մակերեսի թեորեմը։

Այս դասում մենք կծանոթանանք բուրգ հասկացությանը և կտանք դրա սահմանումը։

Դիտարկենք բազմանկյուն A 1 A 2...A n, որը գտնվում է α հարթության մեջ, և կետը Պ, որը չի գտնվում α հարթության մեջ (նկ. 1): Եկեք միացնենք կետերը Պգագաթներով A 1, A 2, A 3, … A n. Մենք ստանում ենք nեռանկյուններ: A 1 A 2 R, A 2 A 3 Rեւ այլն։

Սահմանում. Բազմաթև ՀՀ 1 Ա 2 ...Ա ն, կազմված n- քառակուսի A 1 A 2...A nԵվ nեռանկյուններ ՀՀ 1 Ա 2, ՀՀ 2 Ա 3 …ՀՀ ն Ա ն-1 կոչվում է n-ածուխի բուրգ: Բրինձ. 1.

Բրինձ. 1

Դիտարկենք քառանկյուն բուրգը PABCD(նկ. 2):

Ռ- բուրգի գագաթը.

Ա Բ Գ Դ- բուրգի հիմքը.

ՀՀ- կողային կող.

ԱԲ- բազային կող.

Կետից Ռգցենք ուղղահայացը RNդեպի բազային հարթություն Ա Բ Գ Դ. Գծված ուղղահայացը բուրգի բարձրությունն է:

Բրինձ. 2

Բուրգի ամբողջական մակերեսը բաղկացած է կողային մակերեսից, այսինքն՝ բոլոր կողային երեսների տարածքից և հիմքի մակերեսից.

S լրիվ = S կողմ + S հիմնական

Բուրգը կոչվում է ճիշտ, եթե.

դրա հիմքը կանոնավոր բազմանկյուն է.
բուրգի գագաթը հիմքի կենտրոնին միացնող հատվածը նրա բարձրությունն է:

Բացատրություն՝ օգտագործելով կանոնավոր քառանկյուն բուրգի օրինակ

Դիտարկենք կանոնավոր քառանկյուն բուրգը PABCD(նկ. 3):

Ռ- բուրգի գագաթը. Բուրգի հիմքը Ա Բ Գ Դ- կանոնավոր քառանկյուն, այսինքն՝ քառակուսի։ Կետ ՄԱՍԻՆ, անկյունագծերի հատման կետը քառակուսու կենտրոնն է։ Նշանակում է, ROբուրգի բարձրությունն է։

Բրինձ. 3

Բացատրություն: ճիշտ է nԵռանկյան մեջ ներգծված շրջանագծի կենտրոնը և շրջանագծի կենտրոնը համընկնում են: Այս կենտրոնը կոչվում է բազմանկյան կենտրոն։ Երբեմն ասում են, որ գագաթը նախագծված է կենտրոնի մեջ:

Կանոնավոր բուրգի կողային երեսի բարձրությունը, որը կազմված է նրա գագաթից, կոչվում է ապոտեմև նշանակված է հ ա.

1. Կանոնավոր բուրգի բոլոր կողային եզրերը հավասար են.

2. Կողային երեսները հավասարաչափ հավասարաչափ եռանկյուններ են:

Մենք այս հատկությունների ապացույցը կտանք՝ օգտագործելով կանոնավոր քառանկյուն բուրգի օրինակը:

Տրված է: PABCD- կանոնավոր քառանկյուն բուրգ,

Ա Բ Գ Դ- քառակուսի,

RO- բուրգի բարձրությունը.

Ապացուցել:

1. RA = PB = RS = PD

2.∆ABP = ∆BCP =∆CDP =∆DAP Տես Նկ. 4.

Բրինձ. 4

Ապացույց.

RO- բուրգի բարձրությունը. Այսինքն՝ ուղիղ ROհարթությանը ուղղահայաց ABC, և հետևաբար ուղղակի JSC, VO, SOԵվ ԱՐԵԼպառկած դրա մեջ. Այսպիսով, եռանկյուններ ROA, ROV, ROS, ROD- ուղղանկյուն:

Դիտարկենք քառակուսի Ա Բ Գ Դ. Քառակուսու հատկություններից հետևում է, որ AO = VO = CO = ԱՐԵԼ.

Այնուհետև ուղղանկյուն եռանկյունները ROA, ROV, ROS, RODոտքը RO- ընդհանուր և ոտքեր JSC, VO, SOԵվ ԱՐԵԼհավասար են, ինչը նշանակում է, որ այս եռանկյունները երկու կողմից հավասար են: Եռանկյունների հավասարությունից հետևում է հատվածների հավասարությունը. RA = PB = RS = PD: 1-ին կետն ապացուցված է.

Հատվածներ ԱԲԵվ Արևհավասար են, քանի որ նույն քառակուսու կողմերն են, RA = PB = RS. Այսպիսով, եռանկյուններ AVRԵվ VSR -հավասարաչափ և երեք կողմից հավասար:

Նման կերպ մենք գտնում ենք այդ եռանկյունները ABP, VCP, CDP, DAPհավասարաչափ են և հավասար, ինչպես պահանջվում է ապացուցել 2-րդ պարբերությամբ:

Կանոնավոր բուրգի կողային մակերեսը հավասար է հիմքի և ապոտեմի պարագծի արտադրյալի կեսին.

Սա ապացուցելու համար եկեք ընտրենք սովորական եռանկյունաձև բուրգ:

Տրված է: RAVS- կանոնավոր եռանկյուն բուրգ:

AB = BC = AC:

RO- բարձրություն.

Ապացուցել: . Տես Նկ. 5.

Բրինձ. 5

Ապացույց.

RAVS- կանոնավոր եռանկյուն բուրգ: Այն է ԱԲ= AC = մ.թ.ա. Թող ՄԱՍԻՆ- եռանկյունու կենտրոն ABC, Հետո ROբուրգի բարձրությունն է։ Բուրգի հիմքում ընկած է հավասարակողմ եռանկյուն ABC. նկատել, որ .

Եռանկյուններ RAV, RVS, RSA- հավասար հավասարաչափ եռանկյուններ (ըստ սեփականության): Եռանկյուն բուրգն ունի երեք կողային երես. RAV, RVS, RSA. Սա նշանակում է, որ բուրգի կողային մակերեսի մակերեսը հետևյալն է.

S կողմ = 3S RAW

Թեորեմն ապացուցված է.

Կանոնավոր քառանկյուն բուրգի հիմքում գրված շրջանագծի շառավիղը 3 մ է, բուրգի բարձրությունը՝ 4 մ։

Տրված էկանոնավոր քառանկյուն բուրգ Ա Բ Գ Դ,

Ա Բ Գ Դ- քառակուսի,

r= 3 մ,

RO- բուրգի բարձրությունը,

RO= 4 մ.

Գտեք: S կողմ. Տես Նկ. 6.

Բրինձ. 6

Լուծում.

Ըստ ապացուցված թեորեմի, .

Եկեք նախ գտնենք հիմքի կողմը ԱԲ. Մենք գիտենք, որ կանոնավոր քառանկյուն բուրգի հիմքում գրված շրջանագծի շառավիղը 3 մ է։

Այնուհետեւ, մ.

Գտե՛ք քառակուսու պարագիծը Ա Բ Գ Դ 6 մ կողմով.

Դիտարկենք եռանկյուն BCD. Թող Մ- կողքի կեսը DC. Որովհետեւ ՄԱՍԻՆ- միջին ԲԴ, Դա (մ).

Եռանկյուն DPC- հավասարաչափ. Մ- միջին DC. Այն է, RM- միջին, և, հետևաբար, բարձրությունը եռանկյունու մեջ DPC. Հետո RM- բուրգի ապոտեմ:

RO- բուրգի բարձրությունը. Հետո՝ ուղիղ ROհարթությանը ուղղահայաց ABC, և հետևաբար ուղղակի Օ.Մ, դրա մեջ պառկած։ Եկեք գտնենք ապոտեմը RMուղղանկյուն եռանկյունից ROM.

Այժմ մենք կարող ենք գտնել բուրգի կողային մակերեսը.

Պատասխանել՝ 60 մ2.

Կանոնավոր եռանկյունաձև բուրգի հիմքի շուրջ շրջագծված շրջանագծի շառավիղը հավասար է 18 մ 2-ի: Գտե՛ք ապոթեմի երկարությունը:

Տրված է: ABCP- կանոնավոր եռանկյուն բուրգ,

AB = BC = SA,

Ռ= մ,

S կողմ = 18 մ2:

Գտեք: Տես Նկ. 7.

Բրինձ. 7

Լուծում.

Ուղղանկյուն եռանկյունու մեջ ABCՏրված է շրջագծված շրջանագծի շառավիղը։ Եկեք կողմ գտնենք ԱԲայս եռանկյունին օգտագործելով սինուսների օրենքը:

Իմանալով կանոնավոր եռանկյան (մ) կողմը՝ մենք գտնում ենք նրա պարագիծը։

Կանոնավոր բուրգի կողային մակերեսի թեորեմով, որտեղ հ ա- բուրգի ապոտեմ: Ապա.

Պատասխանել: 4 մ.

Այսպիսով, մենք նայեցինք, թե ինչ է բուրգը, ինչ է կանոնավոր բուրգը, և մենք ապացուցեցինք կանոնավոր բուրգի կողային մակերեսի թեորեմը: Հաջորդ դասին կծանոթանանք կտրված բուրգին։

Մատենագիտություն

Երկրաչափություն. 10-11 դասարաններ՝ դասագիրք աշակերտների համար ուսումնական հաստատություններ(հիմնական և պրոֆիլային մակարդակներ) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5-րդ հրատ., rev. և լրացուցիչ - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 էջ: հիվանդ.
Երկրաչափություն. 10-11 դասարաններ Հանրակրթական դասագիրք ուսումնական հաստատություններ/ Sharygin I.F - M.: Bustard, 1999. - 208 p.: ill.
Երկրաչափություն. Դասարան 10. Դասագիրք հանրակրթական հաստատությունների համար մաթեմատիկայի խորը և մասնագիտացված ուսումնասիրությամբ /Ե. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6-րդ հրատ., կարծրատիպ. - M .: Bustard, 008. - 233 p.: հիվանդ.

«Yaklass» ինտերնետային պորտալ ()
«Սեպտեմբերի առաջին» մանկավարժական գաղափարների փառատոն ինտերնետ պորտալ ()
«Slideshare.net» ինտերնետային պորտալ ()

Տնային աշխատանք

Կարո՞ղ է կանոնավոր բազմանկյունը լինել անկանոն բուրգի հիմքը:
Ապացուցեք, որ կանոնավոր բուրգի անջատված եզրերը ուղղահայաց են:
Գտե՛ք կանոնավոր քառանկյուն բուրգի հիմքի կողքի երկանկյուն անկյան արժեքը, եթե բուրգի ապոտեմը հավասար է նրա հիմքի կողմին:
RAVS- կանոնավոր եռանկյուն բուրգ: Կառուցեք բուրգի հիմքում երկնիշ անկյունի գծային անկյունը:

Մեզ համար կարևոր է ձեր գաղտնիության պահպանումը: Այս պատճառով մենք մշակել ենք Գաղտնիության քաղաքականություն, որը նկարագրում է, թե ինչպես ենք մենք օգտագործում և պահպանում ձեր տեղեկությունները: Խնդրում ենք վերանայել մեր գաղտնիության պրակտիկան և եթե հարցեր ունեք, տեղեկացրեք մեզ:

Անձնական տեղեկատվության հավաքագրում և օգտագործում

Անձնական տեղեկատվությունը վերաբերում է այն տվյալներին, որոնք կարող են օգտագործվել կոնկրետ անձի նույնականացման կամ կապ հաստատելու համար:

Ձեզանից կարող է պահանջվել տրամադրել ձեր անձնական տվյալները ցանկացած ժամանակ, երբ դուք կապվեք մեզ հետ:

Ստորև բերված են անձնական տեղեկատվության տեսակների մի քանի օրինակներ, որոնք մենք կարող ենք հավաքել և ինչպես կարող ենք օգտագործել այդպիսի տեղեկատվությունը:

Ինչ անձնական տվյալներ ենք մենք հավաքում.

Երբ դուք դիմում եք ներկայացնում կայքում, մենք կարող ենք հավաքել տարբեր տեղեկություններ, ներառյալ ձեր անունը, հեռախոսահամարը, հասցեն Էլև այլն:

Ինչպես ենք մենք օգտագործում ձեր անձնական տվյալները.

Հավաքված մեր կողմից անձնական տվյալներթույլ է տալիս մեզ կապվել ձեզ հետ և տեղեկացնել ձեզ եզակի առաջարկների, առաջխաղացումների և այլ իրադարձությունների և առաջիկա իրադարձությունների մասին:
Ժամանակ առ ժամանակ մենք կարող ենք օգտագործել ձեր անձնական տվյալները կարևոր ծանուցումներ և հաղորդակցություններ ուղարկելու համար:
Մենք կարող ենք նաև օգտագործել անձնական տվյալները ներքին նպատակների համար, ինչպիսիք են աուդիտը, տվյալների վերլուծությունը և տարբեր ուսումնասիրություններմեր կողմից մատուցվող ծառայությունները բարելավելու և ձեզ մեր ծառայությունների վերաբերյալ առաջարկություններ տրամադրելու համար:
Եթե դուք մասնակցում եք մրցանակների խաղարկության, մրցույթի կամ նմանատիպ ակցիայի, մենք կարող ենք օգտագործել ձեր տրամադրած տեղեկատվությունը նման ծրագրերը կառավարելու համար:

Տեղեկատվության բացահայտում երրորդ անձանց

Մենք ձեզանից ստացված տեղեկատվությունը երրորդ կողմերին չենք բացահայտում:

Բացառություններ.

Անհրաժեշտության դեպքում՝ օրենքին, դատական ընթացակարգին, դատական վարույթին համապատասխան և/կամ հանրային խնդրանքների կամ խնդրանքների հիման վրա պետական մարմիններՌուսաստանի Դաշնության տարածքում - բացահայտեք ձեր անձնական տվյալները: Մենք կարող ենք նաև բացահայտել ձեր մասին տեղեկությունները, եթե մենք որոշենք, որ նման բացահայտումն անհրաժեշտ է կամ տեղին է անվտանգության, օրենքի կիրառման կամ հանրային առողջության այլ նպատակների համար: կարևոր դեպքեր.
Վերակազմակերպման, միաձուլման կամ վաճառքի դեպքում մենք կարող ենք փոխանցել մեր հավաքած անձնական տվյալները համապատասխան իրավահաջորդ երրորդ կողմին:

Անձնական տեղեկատվության պաշտպանություն

Մենք նախազգուշական միջոցներ ենք ձեռնարկում, ներառյալ վարչական, տեխնիկական և ֆիզիկական, պաշտպանելու ձեր անձնական տվյալները կորստից, գողությունից և չարաշահումից, ինչպես նաև չարտոնված մուտքից, բացահայտումից, փոփոխությունից և ոչնչացումից:

Հարգելով ձեր գաղտնիությունը ընկերության մակարդակով

Ապահովելու համար, որ ձեր անձնական տվյալները անվտանգ են, մենք գաղտնիության և անվտանգության չափանիշները հաղորդում ենք մեր աշխատակիցներին և խստորեն կիրառում ենք գաղտնիության պրակտիկան:

Այստեղ դուք կարող եք գտնել հիմնական տեղեկություններ բուրգերի և հարակից բանաձևերի և հասկացությունների մասին: Բոլորն էլ սովորում են մաթեմատիկայի կրկնուսույցի մոտ՝ նախապատրաստվելով միասնական պետական քննությանը։

Դիտարկենք հարթություն, բազմանկյուն , դրա մեջ պառկած և մի կետ S, ոչ պառկած դրա մեջ: Միացնենք S-ը բազմանկյան բոլոր գագաթներին։ Ստացված բազմանիստը կոչվում է բուրգ: Հատվածները կոչվում են կողային կողիկներ: Բազմանկյունը կոչվում է հիմք, իսկ S կետը բուրգի գագաթն է։ Կախված n թվից՝ բուրգը կոչվում է եռանկյուն (n=3), քառանկյուն (n=4), հնգանկյուն (n=5) և այլն։ Եռանկյուն բուրգի այլընտրանքային անվանումն է քառաեդրոն. Բուրգի բարձրությունը նրա գագաթից դեպի հիմքի հարթությունն իջնող ուղղահայացն է։

Բուրգը կոչվում է կանոնավոր եթե կանոնավոր բազմանկյուն, իսկ բուրգի բարձրության հիմքը (ուղղահայաց հիմքը) նրա կենտրոնն է։

Ուսուցչի մեկնաբանությունը:
Մի շփոթեք «կանոնավոր բուրգ» և «կանոնավոր քառաեդրոն» հասկացությունները: Կանոնավոր բուրգում կողային եզրերը պարտադիր չէ, որ հավասար լինեն հիմքի եզրերին, սակայն կանոնավոր քառանիստում բոլոր 6 եզրերը հավասար են։ Սա նրա սահմանումն է։ Հեշտ է ապացուցել, որ հավասարությունը ենթադրում է բազմանկյան P կենտրոնի համընկնում հիմքի բարձրությամբ, ուստի կանոնավոր քառաեդրոնը կանոնավոր բուրգ է։

Ի՞նչ է ապոտեմը:
Բուրգի ապոտեմը նրա կողային երեսի բարձրությունն է: Եթե բուրգը կանոնավոր է, ապա նրա բոլոր ապոտեմները հավասար են։ Հակառակը ճիշտ չէ։

Մաթեմատիկայի դասախոսը իր տերմինաբանության մասին. բուրգերի հետ աշխատանքի 80%-ը կառուցված է երկու տեսակի եռանկյունների միջոցով.
1) ՍԿ ապոտեմ և ՍՊ բարձրություն պարունակող
2) պարունակող կողային եզրը SA և դրա պրոյեկցիոն ՊԱ

Այս եռանկյունների հղումները պարզեցնելու համար մաթեմատիկայի դասավանդողի համար ավելի հարմար է զանգահարել դրանցից առաջինը. ապոթեմիկ, և երկրորդ ծովափնյա. Ցավոք, այս տերմինաբանությունը ոչ մի դասագրքում չեք գտնի, և ուսուցիչը ստիպված է այն միակողմանի ներմուծել։

Բուրգի ծավալի բանաձևը:
1) , որտեղ է բուրգի հիմքի մակերեսը և բուրգի բարձրությունն է
2) որտեղ է ներգծված ոլորտի շառավիղը և բուրգի ընդհանուր մակերեսի մակերեսն է:
3) , որտեղ MN-ը ցանկացած երկու հատվող եզրերի միջև եղած հեռավորությունն է, և այն զուգահեռագծի տարածքն է, որը ձևավորվում է մնացած չորս եզրերի միջնակետերով:

Բուրգի բարձրության հիմքի հատկությունը.

P կետը (տես նկարը) համընկնում է բուրգի հիմքում գտնվող ներգծված շրջանագծի կենտրոնի հետ, եթե բավարարված է հետևյալ պայմաններից մեկը.
1) Բոլոր ապոտեմները հավասար են
2) Բոլոր կողային երեսները հավասարապես թեքված են դեպի հիմքը
3) Բոլոր ապոտեմները հավասարապես հակված են դեպի բուրգի բարձրությունը
4) Բուրգի բարձրությունը հավասարապես թեքված է բոլոր կողային երեսներին

Մաթեմատիկայի դասախոսի մեկնաբանությունըԽնդրում ենք նկատի ունենալ, որ բոլոր կետերը միավորված են մեկ ընդհանուր հատկությամբ. այսպես թե այնպես, ամենուր կողային դեմքերը ներգրավված են (ապոտեմները դրանց տարրերն են): Հետևաբար, դասավանդողը կարող է առաջարկել ավելի քիչ ճշգրիտ, բայց սովորելու համար ավելի հարմար ձևակերպում. P կետը համընկնում է ներգծված շրջանագծի կենտրոնի հետ, բուրգի հիմքի հետ, եթե դրա կողային երեսների մասին որևէ հավասար տեղեկատվություն կա: Դա ապացուցելու համար բավական է ցույց տալ, որ բոլոր ապոտեմական եռանկյունները հավասար են։

P կետը համընկնում է շրջանագծի կենտրոնի հետ, որը շրջագծված է բուրգի հիմքի մոտ, եթե ճիշտ է երեք պայմաններից մեկը.
1) Բոլոր կողային եզրերը հավասար են
2) Բոլոր կողային կողերը հավասարապես թեքված են դեպի հիմքը
3) Բոլոր կողային կողերը հավասարապես թեքված են դեպի բարձրությունը

Բուրգը բազմանկյուն է, որի հիմքում բազմանկյուն է: Բոլոր դեմքերը, իրենց հերթին, կազմում են եռանկյուններ, որոնք միանում են մեկ գագաթին: Բուրգերը լինում են եռանկյուն, քառանկյուն և այլն։ Որպեսզի որոշեք, թե որ բուրգն է ձեր առջևում, բավական է հաշվել դրա հիմքի անկյունների թիվը։ «Բուրգի բարձրություն» սահմանումը շատ հաճախ հանդիպում է երկրաչափության խնդիրներում դպրոցական ծրագիր. Այս հոդվածում մենք կփորձենք դիտարկել տարբեր ճանապարհներնրա գտնվելու վայրը.

Բուրգի մասեր

Յուրաքանչյուր բուրգ բաղկացած է հետևյալ տարրերից.

կողային երեսներ, որոնք ունեն երեք անկյուն և միանում են գագաթին.
ապոտեմը ներկայացնում է բարձրությունը, որը իջնում է իր գագաթից.
բուրգի գագաթը մի կետ է, որը միացնում է կողային կողերը, բայց չի ընկած հիմքի հարթությունում.
հիմքը բազմանկյուն է, որի վրա գագաթը չի ընկած.
բուրգի բարձրությունը հատված է, որը հատում է բուրգի գագաթը և դրա հիմքի հետ ուղիղ անկյուն է կազմում։

Ինչպես գտնել բուրգի բարձրությունը, եթե դրա ծավալը հայտնի է

V = (S*h)/3 բանաձևի միջոցով (V բանաձևում ծավալն է, S-ը հիմքի մակերեսն է, h-ը բուրգի բարձրությունն է) մենք գտնում ենք, որ h = (3*V)/ Ս. Նյութը համախմբելու համար եկեք անմիջապես լուծենք խնդիրը: Եռանկյունի հիմքը 50 սմ 2 է, իսկ ծավալը՝ 125 սմ 3։ Եռանկյունաձև բուրգի բարձրությունը անհայտ է, ինչը մենք պետք է գտնենք: Այստեղ ամեն ինչ պարզ է. մենք տվյալները տեղադրում ենք մեր բանաձևի մեջ: Ստանում ենք h = (3*125)/50 = 7,5 սմ։

Ինչպես գտնել բուրգի բարձրությունը, եթե հայտնի են շեղանկյունի երկարությունը և դրա եզրերը

Ինչպես հիշում ենք, բուրգի բարձրությունն իր հիմքի հետ ուղիղ անկյուն է կազմում։ Սա նշանակում է, որ բարձրությունը, եզրը և անկյունագծի կեսը միասին կազմում են Շատերը, իհարկե, հիշում են Պյութագորասի թեորեմը: Իմանալով երկու չափս՝ դժվար չի լինի գտնել երրորդ մեծությունը։ Եկեք հիշենք a² = b² + c² հայտնի թեորեմը, որտեղ a-ն հիպոթենուսն է, իսկ մեր դեպքում՝ բուրգի եզրը. բ - շեղանկյունի առաջին ոտքը կամ կեսը և c - համապատասխանաբար երկրորդ ոտքը կամ բուրգի բարձրությունը: Այս բանաձևից c² = a² - b²:

Հիմա խնդիրը. կանոնավոր բուրգում անկյունագիծը 20 սմ է, երբ եզրի երկարությունը 30 սմ է, պետք է գտնել բարձրությունը: Մենք լուծում ենք.

Ինչպես գտնել կտրված բուրգի բարձրությունը

Այն իրենից ներկայացնում է բազմանկյուն իր հիմքին զուգահեռ կտրվածքով։ Կտրված բուրգի բարձրությունը այն հատվածն է, որը միացնում է նրա երկու հիմքերը: Բարձրությունը կարելի է գտնել կանոնավոր բուրգի համար, եթե հայտնի են երկու հիմքերի անկյունագծերի երկարությունները, ինչպես նաև բուրգի եզրը։ Ավելի մեծ հիմքի անկյունագիծը թող լինի d1, իսկ փոքր հիմքի անկյունագիծը d2 է, իսկ եզրն ունի l երկարություն: Բարձրությունը գտնելու համար դուք կարող եք իջեցնել բարձրությունները դիագրամի երկու վերին հակառակ կետերից մինչև դրա հիմքը: Մենք տեսնում ենք, որ մենք ունենք երկու ուղղանկյուն եռանկյուն, մնում է գտնել նրանց ոտքերի երկարությունները։ Դա անելու համար հանեք փոքրը մեծ անկյունագծից և բաժանեք 2-ի: Այսպիսով մենք կգտնենք մեկ ոտք՝ a = (d1-d2)/2: Որից հետո, ըստ Պյութագորասի թեորեմի, մեզ մնում է միայն գտնել երկրորդ ոտքը, որը բուրգի բարձրությունն է։

Այժմ եկեք նայենք այս ամբողջին գործնականում: Մեր առջեւ խնդիր է դրված. Կտրված բուրգը հիմքում ունի քառակուսի, ավելի մեծ հիմքի անկյունագծային երկարությունը 10 սմ է, իսկ փոքրը 6 սմ է, իսկ ծայրը 4 սմ է: Պետք է գտնել բարձրությունը: Նախ գտնում ենք մեկ ոտք՝ a = (10-6)/2 = 2 սմ, իսկ հիպոթենուսը՝ 4 սմ. 4 = 12, այսինքն, h = √12 = մոտ 3,5 սմ:

Եռաչափ պատկերը, որը հաճախ հայտնվում է երկրաչափական խնդիրներում, բուրգն է: Այս դասի բոլոր թվերից ամենապարզը եռանկյունաձև է: Այս հոդվածում մենք մանրամասն կվերլուծենք ճիշտի հիմնական բանաձևերը և հատկությունները

Երկրաչափական պատկերացումներ գործչի մասին

Նախքան սովորական եռանկյուն բուրգի հատկությունները դիտարկելուն անցնելը, եկեք ավելի սերտ նայենք, թե ինչպիսի գործչի մասին է խոսքը:

Ենթադրենք, կա կամայական եռանկյուն եռաչափ տարածություն. Ընտրենք այս տարածության ցանկացած կետ, որը չի գտնվում եռանկյան հարթության մեջ և միացնենք այն եռանկյան երեք գագաթների հետ։ Մենք ստացանք եռանկյուն բուրգ:

Այն բաղկացած է 4 կողմերից, որոնք բոլորը եռանկյունի են։ Այն կետերը, որտեղ հանդիպում են երեք երեսներ, կոչվում են գագաթներ: Ֆիգուրն ունի նաև դրանցից չորսը։ Երկու երեսների հատման գծերը եզրեր են։ Քննարկվող բուրգն ունի 6 եզր:

Քանի որ ուրվագիծը կազմված է չորս կողմերից, այն նաև կոչվում է քառաեդրոն։

Ճիշտ բուրգ

Վերևում մենք դիտարկեցինք եռանկյունաձև հիմքով կամայական գործիչ: Հիմա ենթադրենք, որ բուրգի գագաթից մինչև դրա հիմքը ուղղահայաց հատված ենք գծում: Այս հատվածը կոչվում է բարձրություն: Ակնհայտ է, որ դուք կարող եք նկարել 4 տարբեր բարձունքներ գործչի համար: Եթե բարձրությունը հատում է եռանկյունի հիմքը երկրաչափական կենտրոնում, ապա այդպիսի բուրգը կոչվում է ուղիղ։

Ուղղակի բուրգը, որի հիմքը հավասարակողմ եռանկյուն է, կոչվում է կանոնավոր։ Նրա համար ֆիգուրի կողային մակերեսը կազմող բոլոր երեք եռանկյունները հավասարաչափ են և միմյանց հավասար: Կանոնավոր բուրգի հատուկ դեպք է այն իրավիճակը, երբ բոլոր չորս կողմերը հավասարակողմ նույնական եռանկյուններ են:

Դիտարկենք կանոնավոր եռանկյուն բուրգի հատկությունները և տանք դրա պարամետրերը հաշվարկելու համապատասխան բանաձևերը։

Հիմքի կողմը, բարձրությունը, կողային եզրը և ապոտեմը

Թվարկված պարամետրերից ցանկացած երկուսը եզակիորեն որոշում են մյուս երկու բնութագրերը: Ներկայացնենք բանաձևեր, որոնք առնչվում են այս մեծություններին։

Ենթադրենք կանոնավոր եռանկյուն բուրգի հիմքի կողմը ա. Նրա կողային եզրի երկարությունը b է. Որքա՞ն կլինի կանոնավոր եռանկյունաձև բուրգի և նրա ապոտեմի բարձրությունը:

h բարձրության համար ստանում ենք արտահայտությունը.

Այս բանաձևը բխում է Պյութագորասի թեորեմից, որի կողային եզրը, բարձրությունը և հիմքի բարձրության 2/3-ը։

Բուրգի ապոտեմը ցանկացած կողային եռանկյունու բարձրությունն է: a b ապոտեմի երկարությունը հավասար է.

a b = √(b 2 - a 2 /4)

Այս բանաձևերից պարզ է դառնում, որ ինչ էլ որ լինի եռանկյունաձև կանոնավոր բուրգի հիմքի կողմը և նրա կողային եզրի երկարությունը, ապոտեմը միշտ ավելի մեծ կլինի, քան բուրգի բարձրությունը։

Ներկայացված երկու բանաձևերը պարունակում են տվյալ գործչի բոլոր չորս գծային բնութագրերը: Ուստի, հաշվի առնելով դրանցից հայտնի երկուսը, մնացածը կարող եք գտնել՝ լուծելով գրավոր հավասարումների համակարգը։

Նկարի ծավալը

Բացարձակ ցանկացած բուրգի համար (ներառյալ թեքվածը), դրանով սահմանափակված տարածության ծավալի արժեքը կարող է որոշվել՝ իմանալով գործչի բարձրությունը և դրա հիմքի տարածքը: Համապատասխան բանաձևը հետևյալն է.

Կիրառելով այս արտահայտությունը տվյալ գործչի վրա՝ մենք ստանում ենք հետևյալ բանաձևը.

Որտեղ կանոնավոր եռանկյուն բուրգի բարձրությունը h է, իսկ հիմքի կողմը a է:

Դժվար չէ ստանալ քառանկյունի ծավալի բանաձևը, որի բոլոր կողմերը հավասար են միմյանց և ներկայացնում են հավասարակողմ եռանկյուններ։ Այս դեպքում գործչի ծավալը որոշվում է բանաձևով.

Այսինքն՝ այն եզակիորեն որոշվում է a կողմի երկարությամբ։

Մակերեսը

Շարունակենք դիտարկել եռանկյունաձեւ կանոնավորը։ Ֆիգուրի բոլոր երեսների ընդհանուր մակերեսը կոչվում է նրա մակերեսի մակերես: Վերջինս կարելի է հարմար ուսումնասիրել՝ դիտարկելով համապատասխան զարգացումը։ Ստորև բերված նկարը ցույց է տալիս, թե ինչ տեսք ունի կանոնավոր եռանկյունաձև բուրգի զարգացումը:

Ենթադրենք, որ գիտենք նկարի h բարձրությունը և a հիմքի կողմը։ Այնուհետև դրա հիմքի մակերեսը հավասար կլինի.

Յուրաքանչյուր դպրոցական կարող է ստանալ այս արտահայտությունը, եթե հիշի, թե ինչպես գտնել եռանկյան մակերեսը և նաև հաշվի առնի, որ հավասարակողմ եռանկյան բարձրությունը նույնպես կիսանկյուն է և միջնագիծ:

Երեք միանման հավասարաչափ եռանկյուններով ձևավորված կողային մակերեսը հետևյալն է.

S b = 3/2*√(a 2 /12+h 2)*a

Այս հավասարությունը բխում է բուրգի ապոտեմի արտահայտությունից՝ հիմքի բարձրության և երկարության առումով։

Նկարի ընդհանուր մակերեսը հետևյալն է.

S = S o + S b = √3/4*a 2 + 3/2*√(a 2 /12+h 2)*a

Նկատի ունեցեք, որ քառաեդրոնի համար, որի բոլոր չորս կողմերը նույնական հավասարակողմ եռանկյուններ են, S մակերեսը հավասար կլինի.

Կանոնավոր կտրված եռանկյուն բուրգի հատկությունները

Եթե դիտարկվող եռանկյուն բուրգի գագաթը կտրված է հիմքին զուգահեռ հարթությամբ, ապա մնացածը. Ներքևի մասըկկոչվի կտրված բուրգ:

Եռանկյուն հիմքի դեպքում նկարագրված կտրվածքի մեթոդի արդյունքը նոր եռանկյուն է, որը նույնպես հավասարակողմ է, բայց ունի ավելի կարճ կողմի երկարություն, քան հիմքի կողմը։ Ստորև ներկայացված է կտրված եռանկյունաձև բուրգը:

Մենք տեսնում ենք, որ այս ցուցանիշն արդեն սահմանափակվում է երկուսով եռանկյուն հիմքերև երեք հավասարաչափ trapezoids.

Ենթադրենք, որ ստացված պատկերի բարձրությունը հավասար է h-ի, ստորին և վերին հիմքերի կողմերի երկարությունները համապատասխանաբար a 1 և a 2 են, իսկ ապոտեմը (տրապեզի բարձրությունը) հավասար է a-ի։ Այնուհետև կտրված բուրգի մակերեսը կարող է հաշվարկվել բանաձևով.