Պարզ եռանկյունաչափական անհավասարությունների լուծում շոշափողով: Պարզ և բարդ եռանկյունաչափական անհավասարություններ

Անհավասարումները a › b ձևի հարաբերություններն են, որտեղ a և b-ն առնվազն մեկ փոփոխական պարունակող արտահայտություններ են: Անհավասարությունները կարող են լինել խիստ՝ ‹, › և ոչ խիստ՝ ≥, ≤:

Եռանկյունաչափական անհավասարությունները այն ձևի արտահայտություններն են՝ F(x) › a, F(x) ‹ a, F(x) ≤ a, F(x) ≥ a, որոնցում F(x)-ը ներկայացված է մեկ կամ մի քանի եռանկյունաչափական ֆունկցիաներով: .

Ամենապարզ եռանկյունաչափական անհավասարության օրինակ է sin x ‹ 1/2: Ընդունված է նման խնդիրները լուծել գրաֆիկորեն, դրա համար մշակվել է երկու մեթոդ.

Մեթոդ 1 - Անհավասարությունների լուծում՝ ֆունկցիայի գրաֆիկով

Sin x ‹ 1/2 անհավասարության պայմանները բավարարող միջակայք գտնելու համար դուք պետք է կատարեք հետևյալ քայլերը.

1. Կոորդինատային առանցքի վրա կառուցեք սինուսոիդ y = sin x:
2. Նույն առանցքի վրա գծե՛ք անհավասարության թվային արգումենտի գրաֆիկ, այսինքն՝ OY օրդինատի ½ կետով անցնող ուղիղ գիծ։
3. Նշեք երկու գրաֆիկների հատման կետերը:
4. Ստվերեք այն հատվածը, որը օրինակի լուծումն է:

Երբ արտահայտության մեջ առկա են խիստ նշաններ, հատման կետերը լուծումներ չեն: Քանի որ սինուսոիդի ամենափոքր դրական պարբերությունը 2π է, պատասխանը գրում ենք հետևյալ կերպ.

Եթե ​​արտահայտության նշանները խիստ չեն, ապա լուծման միջակայքը պետք է փակցվի քառակուսի փակագծերում - . Խնդրի պատասխանը կարելի է գրել նաև հետևյալ անհավասարությամբ.

Մեթոդ 2 - Եռանկյունաչափական անհավասարությունների լուծում՝ օգտագործելով միավոր շրջանագիծը

Նմանատիպ խնդիրներ կարելի է հեշտությամբ լուծել՝ օգտագործելով եռանկյունաչափական շրջան։ Պատասխաններ գտնելու ալգորիթմը շատ պարզ է.

1. Նախ անհրաժեշտ է գծել միավորի շրջանակը:
2. Այնուհետև պետք է նշել շրջանագծի աղեղի վրա անհավասարության աջ կողմի փաստարկի աղեղային ֆունկցիայի արժեքը:
3. Անհրաժեշտ է գծել ուղիղ գիծ, ​​որն անցնում է աբսցիսային առանցքին (OX) զուգահեռ աղեղային ֆունկցիայի արժեքով:
4. Դրանից հետո մնում է ընտրել շրջանագծի աղեղը, որը եռանկյունաչափական անհավասարության լուծումների բազմությունն է։
5. Պատասխանը գրի՛ր պահանջվող ձևով։

Եկեք վերլուծենք լուծման փուլերը՝ օգտագործելով sin x › 1/2 անհավասարության օրինակը: Շրջանակի վրա α և β կետերը նշված են՝ արժեքներ

α-ի և β-ի վերևում գտնվող աղեղի կետերը տվյալ անհավասարությունը լուծելու միջակայքն են։

Եթե ​​Ձեզ անհրաժեշտ է օրինակ լուծել cos-ի համար, ապա պատասխանի աղեղը կտեղակայվի սիմետրիկորեն OX առանցքի նկատմամբ, ոչ թե OY: Դուք կարող եք դիտարկել մեղքի և cos-ի լուծման միջակայքերի տարբերությունը տեքստի ստորև բերված դիագրամներում:

Շոշափող և կոտանգենս անհավասարությունների գրաֆիկական լուծումները կտարբերվեն և՛ սինուսից, և՛ կոսինուսից: Դա պայմանավորված է գործառույթների հատկություններով:

Արկտանգենսը և արկոտանգենսը շոշափում են եռանկյունաչափ շրջանագծին, և երկու ֆունկցիաների համար նվազագույն դրական պարբերությունը π է: Երկրորդ մեթոդը արագ և ճիշտ օգտագործելու համար հարկավոր է հիշել, թե որ առանցքի վրա են գծագրված sin, cos, tg և ctg արժեքները:

Շոշափող շոշափողն անցնում է OY առանցքին զուգահեռ: Եթե ​​արկտան a-ի արժեքը գծենք միավոր շրջանագծի վրա, ապա երկրորդ պահանջվող կետը կգտնվի անկյունագծային քառորդում։ Անկյուններ

Դրանք ֆունկցիայի ընդմիջման կետեր են, քանի որ գրաֆիկը հակված է նրանց, բայց երբեք չի հասնում դրանց:

Կոտանգենսի դեպքում շոշափողն անցնում է OX առանցքին զուգահեռ, և ֆունկցիան ընդհատվում է π և 2π կետերում։

Բարդ եռանկյունաչափական անհավասարություններ

Եթե ​​անհավասարության ֆունկցիայի արգումենտը ներկայացված է ոչ միայն փոփոխականով, այլ անհայտ պարունակող մի ամբողջ արտահայտությամբ, ապա մենք արդեն խոսում ենք դրա մասին. բարդ անհավասարություն. Դրա լուծման գործընթացը և ընթացակարգը որոշ չափով տարբերվում են վերը նկարագրված մեթոդներից: Ենթադրենք, որ մենք պետք է լուծում գտնենք հետևյալ անհավասարության համար.

Գրաֆիկական լուծումը ներառում է սովորական սինուսոիդ y = sin x կառուցել՝ օգտագործելով x-ի կամայականորեն ընտրված արժեքները: Հաշվարկենք գրաֆիկի կառավարման կետերի կոորդինատներով աղյուսակ.

Արդյունքը պետք է լինի գեղեցիկ կոր:

Որպեսզի լուծում գտնելն ավելի հեշտ լինի, եկեք փոխարինենք բարդ ֆունկցիայի փաստարկը

Եռանկյունաչափական անհավասարությունների լուծում՝ օգտագործելով միավոր շրջանագիծը

Ձևի եռանկյունաչափական անհավասարություններ լուծելիս, որտեղ եռանկյունաչափական ֆունկցիաներից մեկը --- է, հարմար է օգտագործել եռանկյունաչափական շրջանագիծը՝ անհավասարության լուծումներն առավել հստակ ներկայացնելու և պատասխանը գրի առնելու համար։ Եռանկյունաչափական անհավասարությունների լուծման հիմնական մեթոդը դրանք հասցնելն է ամենապարզ տիպի անհավասարություններին։ Դիտարկենք մի օրինակ, թե ինչպես լուծել նման անհավասարությունները:

Օրինակ Լուծել անհավասարությունը.

Լուծում. Գծենք եռանկյունաչափական շրջան և վրան նշենք այն կետերը, որոնց համար օրդինատը գերազանցում է։

Այս անհավասարությունը լուծելու համար կլինի. Հասկանալի է նաև, որ եթե որոշակի թիվ որևէ թվից տարբերվում է նշված միջակայքից, ապա այն նույնպես պակաս չի լինի։ Հետեւաբար, դուք պարզապես պետք է լուծումներ ավելացնեք հայտնաբերված հատվածի ծայրերին: Վերջապես, մենք գտնում ենք, որ սկզբնական անհավասարության բոլոր լուծումները կլինեն:

Տանգենսով և կոտանգենսով անհավասարությունները լուծելու համար օգտակար է շոշափողների և կոտանգենսների գծի հասկացությունը: Սրանք ուղիղ գծերն են և, համապատասխանաբար, (Նկար (1) և (2)-ում) եռանկյունաչափական շրջանագծին շոշափող:

Հեշտ է տեսնել, որ եթե մենք կառուցում ենք ճառագայթ իր սկզբնակետով կոորդինատների սկզբնաղբյուրում, անկյուն կազմելով աբսցիսայի առանցքի դրական ուղղությամբ, ապա հատվածի երկարությունը կետից մինչև այս ճառագայթի հատման կետը: շոշափող գիծը ճիշտ հավասար է անկյան շոշափմանը, որն այս ճառագայթը կազմում է աբսցիսայի առանցքի հետ: Նմանատիպ դիտարկում է տեղի ունենում կոտանգենտի դեպքում:

Օրինակ Լուծել անհավասարությունը.

Լուծում. Նշենք, ապա անհավասարությունը կունենա ամենապարզ ձևը. Դիտարկենք երկարության միջակայքը, որը հավասար է շոշափողի ամենափոքր դրական շրջանին (LPP): Այս հատվածում, օգտագործելով շոշափողների գիծը, մենք սահմանում ենք այն: Հիմա հիշենք, թե ինչ է պետք ավելացնել ԱԷԿ-ի գործառույթներից հետո: Այսպիսով, . Վերադառնալով փոփոխականին՝ մենք ստանում ենք դա

Հարմար է հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաներով անհավասարությունները լուծել՝ օգտագործելով հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների գրաֆիկները։ Եկեք ցույց տանք, թե ինչպես է դա արվում օրինակով:

Եռանկյունաչափական անհավասարությունների գրաֆիկական լուծում

Նշենք, որ եթե --- պարբերական ֆունկցիա, ապա անհավասարությունը լուծելու համար անհրաժեշտ է գտնել դրա լուծումները մի հատվածի վրա, որի երկարությունը հավասար է ֆունկցիայի պարբերությանը։ Սկզբնական անհավասարության բոլոր լուծումները բաղկացած կլինեն գտնված արժեքներից, ինչպես նաև բոլոր այն արժեքներից, որոնք տարբերվում են ֆունկցիայի ցանկացած ամբողջ թվով ժամանակաշրջաններով հայտնաբերվածներից:

Դիտարկենք անհավասարության լուծումը ().

Այդ պատճառով անհավասարությունը լուծումներ չունի։ Եթե, ապա անհավասարության լուծումների բազմությունը --- մի փունջբոլոր իրական թվերը.

Թող լինի: Սինուսի ֆունկցիան ունի ամենափոքր դրական պարբերությունը, ուստի անհավասարությունը կարող է առաջինը լուծվել երկարության հատվածի վրա, օրինակ. Մենք կառուցում ենք ֆունկցիաների գրաֆիկներ և ():

Հատվածի վրա սինուսի ֆունկցիան մեծանում է, իսկ հավասարումը, որտեղ, ունի մեկ արմատ: Հատվածի վրա սինուսի ֆունկցիան նվազում է, և հավասարումն ունի արմատ: Թվային միջակայքում ֆունկցիայի գրաֆիկը գտնվում է ֆունկցիայի գրաֆիկից վեր։ Հետևաբար, բոլորի համար միջակայքից) անհավասարությունը գործում է, եթե. Սինուսի ֆունկցիայի պարբերականության պատճառով անհավասարության բոլոր լուծումները տրվում են ձևի անհավասարումներով.

Անհավասարությունները կլուծենք շոշափողով՝ օգտագործելով միավոր շրջանագիծը։

Անհավասարությունները շոշափողով լուծելու ալգորիթմ.

1. վերագծեք վերը նշված նկարում ներկայացված կլիշեն.
2. շոշափող գծի վրա մենք նշում ենք $a$ և ուղիղ գիծ գծում սկզբից մինչև այս կետը.
3. Այս ուղիղի հատման կետը կիսաշրջանի հետ ստվերված կլինի, եթե անհավասարությունը խիստ չէ և ստվերված չէ, եթե խիստ է.
4. Տարածքը կգտնվի գծից ներքև և մինչև շրջանագիծը, եթե անհավասարությունը պարունակում է «$>$» նշանը, իսկ գծից ներքև և մինչև շրջանագիծը, եթե անհավասարությունը պարունակում է «$» նշանը:<$”;
5. հատման կետը գտնելու համար բավական է գտնել $a$ արկտանգենսը, այսինքն. $x_(1)=(\rm arctg) a$;
6. Ի պատասխան՝ ստացված միջակայքը դուրս է գրվում՝ ծայրերին ավելացնելով $+ \pi n$։

Ալգորիթմի միջոցով անհավասարությունների լուծման օրինակներ.

Օրինակ 1:Լուծել անհավասարությունը.

$(\rm tg)(x) \leq 1.$

Այսպիսով, լուծումը կունենա հետևյալ ձևը.

$x \in \left(-\frac(\pi)(2) + \pi n; \frac(\pi)(4) + \pi n\աջ], \ n \Զ.$-ում

Կարևոր.Նշում է $-\frac(\pi)(2)$ և $\frac(\pi)(2)$ շոշափողի վրա միշտ (անկախ անհավասարության նշանից)հանվել է!

Օրինակ 2:Լուծել անհավասարությունը.

$(\rm tg)(x) > – \sqrt(3).$

Շոշափող գծի վրա նշում ենք $- \sqrt(3)$ կետը և ուղիղ գիծ գծում սկզբից դեպի այն։ Այս ուղիղի հատման կետը կիսաշրջանի հետ չի ստվերվի, քանի որ անհավասարությունը խիստ է։ Տարածքը կգտնվի ուղիղ գծից վեր և մինչև շրջանագիծը, քանի որ անհավասարության նշանը $>$ է: եկեք գտնենք հատման կետը.

$x_(1) = (\rm arctg)(\left(-\sqrt(3)\աջ)) = -\frac(\pi)(3).$

$t \in \left(-\frac(\pi)(3) + \pi n; \frac(\pi)(2) + \pi n\աջ):$

Եկեք վերադառնանք սկզբնական փոփոխականին.

$\left(2x-\frac(\pi)(3)\right) \in \left(-\frac(\pi)(3) + \pi n; \frac(\pi)(2) + \pi n\աջ).$

Վերջինս համարժեք է անհավասարությունների համակարգին

$\left\(\begin(array)(c) 2x-\frac(\pi)(3) > -\frac(\pi)(3) + \pi n, \\ 2x-\frac(\pi) (3)< \frac{\pi}{2}+\pi n, \end{array} \right.$

լուծելով, որը մենք կստանանք պատասխանը: Իսկապես,

$\left\(\begin(array)(c) 2x > \pi n, \\ 2x< \frac{5 \pi}{6} + \pi n, \end{array} \right.$

$\ձախ\(\սկիզբ(զանգված)(c) x > \frac(\pi n)(2), \\ x< \frac{5\pi}{12}+\frac{\pi n}{2}. \end{array} \right. $

Եվ վերջապես մենք ստանում ենք.

$x \in \left(\frac(\pi n)(2); \frac(5\pi)(12) + \frac(\pi n)(2)\աջ), \n \in Z.$

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ պարունակող անհավասարումներ լուծելիս դրանք կրճատվում են cos(t)>a, sint(t)=a ձևի ամենապարզ անհավասարություններին և համանմաններին։ Իսկ արդեն ամենապարզ անհավասարությունները լուծված են։ Դիտարկենք պարզ եռանկյունաչափական անհավասարությունների լուծման ուղիների տարբեր օրինակներ:

Օրինակ 1. Լուծե՛ք sin(t) անհավասարությունը > = -1/2:

Գծե՛ք միավոր շրջան: Քանի որ sin(t) ըստ սահմանման y կոորդինատն է, մենք նշում ենք y = -1/2 կետը Oy առանցքի վրա: Դրա միջով ուղիղ գիծ ենք գծում Եզի առանցքին զուգահեռ։ Միավոր շրջանագծի գրաֆիկի հետ ուղիղ գծի հատման կետում նշեք Pt1 և Pt2 կետերը։ Կոորդինատների սկզբնաղբյուրը Pt1 և Pt2 կետերի հետ կապում ենք երկու հատվածով։

Այս անհավասարության լուծումը կլինի միավորի շրջանագծի բոլոր կետերը, որոնք գտնվում են այս կետերից վեր: Այլ կերպ ասած, լուծումը կլինի աղեղը l. Այժմ անհրաժեշտ է նշել այն պայմանները, որոնց դեպքում կամայական կետը կպատկանի l աղեղին:

Pt1 գտնվում է աջ կիսաշրջանում, նրա օրդինատը -1/2 է, ապա t1=arcsin(-1/2) = - pi/6: Pt1 կետը նկարագրելու համար կարող եք գրել հետևյալ բանաձևը.
t2 = pi - arcsin (-1/2) = 7 * pi / 6: Արդյունքում, t-ի համար մենք ստանում ենք հետևյալ անհավասարությունը.

Մենք պահպանում ենք անհավասարությունները. Իսկ քանի որ սինուսի ֆունկցիան պարբերական է, նշանակում է, որ լուծումները կկրկնվեն յուրաքանչյուր 2*pi-ում։ Այս պայմանը ավելացնում ենք t-ի ստացված անհավասարությանը և գրում պատասխանը։

Պատասխան՝ -pi/6+2*pi*n< = t < = 7*pi/6 + 2*pi*n, при любом целом n.

Օրինակ 2.Լուծել cos(t) անհավասարությունը<1/2.

Եկեք գծենք միավոր շրջան: Քանի որ, ըստ սահմանման, cos(t)-ը x կոորդինատն է, մենք նշում ենք x = 1/2 կետը գրաֆիկի վրա Ox առանցքի վրա։
Այս կետով ուղիղ գիծ ենք քաշում Oy առանցքին զուգահեռ: Միավոր շրջանագծի գրաֆիկի հետ ուղիղ գծի հատման կետում նշեք Pt1 և Pt2 կետերը։ Կոորդինատների սկզբնաղբյուրը Pt1 և Pt2 կետերի հետ կապում ենք երկու հատվածով։

Լուծումները կլինեն միավոր շրջանագծի բոլոր կետերը, որոնք պատկանում են l աղեղին։Գտնենք t1 և t2 կետերը։

t1 = arccos (1/2) = pi / 3:

t2 = 2*pi - arccos(1/2) = 2*pi-pi/3 = 5*pi/6:

Ստացանք t-ի անհավասարությունը՝ pi/3

Քանի որ կոսինուսը պարբերական ֆունկցիա է, լուծումները կկրկնվեն յուրաքանչյուր 2*pi-ում: Այս պայմանը ավելացնում ենք t-ի ստացված անհավասարությանը և գրում պատասխանը։

Պատասխան՝ pi/3+2*pi*n

Օրինակ 3.Լուծել tg(t) անհավասարությունը< = 1.

Շոշափող պարբերությունը հավասար է pi-ի: Գտնենք լուծումներ, որոնք պատկանում են (-pi/2;pi/2) աջ կիսաշրջանին: Այնուհետև, օգտագործելով շոշափողի պարբերականությունը, մենք գրում ենք այս անհավասարության բոլոր լուծումները: Եկեք գծենք միավոր շրջան և դրա վրա նշենք շոշափող գիծ:

Եթե ​​t-ն անհավասարության լուծում է, ապա T = tg(t) կետի օրդինատը պետք է լինի 1-ից փոքր կամ հավասար: Նման կետերի բազմությունը կկազմի AT ճառագայթը: Pt կետերի բազմությունը, որը կհամապատասխանի այս ճառագայթի կետերին, աղեղն է l: Ընդ որում, P(-pi/2) կետը չի պատկանում այս աղեղին։