Հաշվիչի օգտագործումը տարրական մաթեմատիկայի ուսուցման մեջ
Այս հոդվածում քննարկվում է, թե արդյոք պետք է օգտագործել հաշվիչը տարրական դասարաններում մաթեմատիկայի դասավանդման ժամանակ, և ինչպես օգտագործել այն խելամտորեն:
Հաշվիչի օգտագործման «պայքար».
Որոշ մարդիկ ասում են, որ հաշվիչը երեխաներին հնարավորություն է տալիս կենտրոնանալ հասկանալու և մաթեմատիկական հասկացությունների վրա՝ հոգնեցուցիչ հաշվարկների վրա ժամանակ ծախսելու փոխարեն: Նրանք ասում են, որ հաշվիչը օգնում է զարգացնել թվերի ընկալումը և ուսանողներին ավելի վստահ դարձնել իրենց մաթեմատիկական ունակություններին:
Մյուսները դեմ են մաթեմատիկայի ցածր մակարդակի դասավանդման ժամանակ հաշվիչ օգտագործելուն՝ ասելով, որ այն ստիպում է երեխաներին չսովորել իրենց հիմնական փաստերը, խանգարում է ուսանողներին բացահայտել և հասկանալ մաթեմատիկական հիմքում ընկած հասկացությունները և փոխարենը խրախուսում է նրանց պատահականորեն փորձել տարբեր գործողություններ՝ չհասկանալով, թե ինչ են նրանք անում:
Նրանք ասում են, որ հաշվիչները թույլ չեն տալիս ուսանողներին օգուտ քաղել մաթեմատիկա սովորելու ամենակարևոր պատճառներից մեկից՝ մարզել և կարգապահել միտքը և խթանել տրամաբանական դատողությունը:
ԿԱ հավասարակշռություն
Իմ կարծիքով, հաշվիչը դասավանդման մեջ կարող է օգտագործվել լավ կամ վատ, ամեն ինչ կախված է ուսուցչի մոտեցումից: Հաշվիչն ինքնին ոչ վատն է, ոչ լավը, դա պարզապես գործիք է: Այն շատ է օգտագործվում: այսօրվա հասարակության մեջ, ուստի աշակերտները պետք է սովորեն օգտագործել այն մինչև դպրոցն ավարտեն:
Միևնույն ժամանակ, երեխաները ՊԵՏՔ Է սովորեն իրենց հիմնական փաստերը, կարողանան կատարել մտավոր հաշվարկներ և տիրապետեն երկար բաժանման և այլ հիմնական թուղթ-մատիտի ալգորիթմներին: Մաթեմատիկան ուսումնասիրության ոլորտ է, որը հիմնված է նախկինում հաստատված փաստերի վրա: Երեխան, ով չգիտի բազմապատկման (և բաժանման) հիմնական փաստերը, դժվարությամբ կսովորի ֆակտորինգ, պարզ թվեր, կոտորակների պարզեցում և կոտորակների այլ գործողություններ, բաշխիչ հատկություն և այլն: և այլն: Թվաբանության հիմնական ալգորիթմները անհրաժեշտ հիմք են հանրահաշվում բազմանդամների հետ համապատասխան գործողությունները հասկանալու համար: Տիրապետել երկար նախորդ բաժանումներին՝ հասկանալով, թե ինչպես են կոտորակները համապատասխանում կրկնվող (չվերջացող) տասնորդականներին, որն այնուհետև ճանապարհ է բացում իռացիոնալ թվերն ու իրական թվերը հասկանալու համար: Այն ամենը միանում է միասին!
Այդ իսկ պատճառով խորհուրդ է տրվում սահմանափակել հաշվիչի օգտագործումը ցածր դասարաններում, մինչև երեխաները իմանան իրենց հիմնական փաստերը և կարողանան ավելացնել, հանել, բազմապատկել և նույնիսկ մեծ թվեր բաժանել մատիտով և թղթով: ՍԱ, իմ կարծիքով, թվային իմաստ է կառուցում, ինչպես նաև մտավոր հաշվարկները:
Սա չի նշանակում, որ դուք չեք կարող երբեմն օգտագործել հաշվիչը տարրական դասարաններում հատուկ նախագծերի, կոնկրետ հասկացություններ դասավանդելիս կամ զվարճանալու համար: Այն կարող է օգտագործվել օրինակ գիտության կամ աշխարհագրության նախագծերում, որոշ նոր հասկացություններ ուսումնասիրելու համար, որոշների համար: թվային խաղեր կամ տնային առաջադրանքների ստուգում: Որոշ գաղափարների համար տե՛ս ստորև:
Այստեղ քննարկումը չի տարածվում ավագ դպրոցի գրաֆիկական հաշվիչների վրա։ Ես կտրականապես կողմ եմ գրաֆիկական հաշվիչների կամ գրաֆիկական ծրագրերի օգտագործմանը գրաֆիկ և հաշվարկ ուսումնասիրելիս: Չնայած այնտեղ, անշուշտ, պետք է սովորել հիմնական գաղափարը, թե ինչպես է գրաֆիկը կատարվում թղթի վրա:
Հաշվիչ օգտագործելիս պետք է հիշել բաներ
Երբ հաշվիչը ավելի ազատ է օգտագործվում, պետք է ուշադրություն դարձնել հետևյալ կետերին.
- Հաշվիչը ա գործիքհաշվարկներ անել։ Այդպես են մարդկային միտքը, թուղթն ու մատիտը: Երեխաներին պետք է սովորեցնել երբօգտագործել հաշվիչ և երբ մտավոր հաշվարկները (կամ նույնիսկ թուղթն ու մատիտը) ավելի արդյունավետ կամ տեղին են: Ճիշտ «գործիքի» ընտրությունը խնդիրների լուծման արդյունավետ գործընթացի մի մասն է:
- Շատ կարևոր է, որ ուսանողները սովորել, թե ինչպես գնահատելարդյունքը նախքան հաշվարկն անելը. Այնքան հեշտ է սխալվել, երբ թվերը հաշվում են: Ուսանողը չպետք է սովորի հենվել հաշվիչի վրա՝ առանց ստուգելու, որ պատասխանը ողջամիտ է:
- Հաշվիչը չպետք է օգտագործվի պատահականորեն փորձելու բոլոր հնարավոր գործողությունները և ստուգելու, թե որն է ճիշտ պատասխանը: Շատ կարևոր է, որ ուսանողները սովորեն և հասկանան տարբեր մաթեմատիկական գործողություններ, որպեսզի նրանք իմանան, թե ԵՐԲ որն օգտագործել, և դա ճիշտ է՝ անկախ նրանից, թե իրական հաշվարկը կատարվում է մտովի, թղթի վրա կամ հաշվիչի միջոցով:
Հաշվիչի օգտագործման գաղափարներ տարրական մաթեմատիկայի մեջ
Եթե դուք օգտագործում եք այս գաղափարները, համոզվեք, որ երեխաները չեն պատկերացնում, որ հաշվիչը վերացնում է մտավոր մաթեմատիկա սովորելու անհրաժեշտությունը: Այն կարող է ծառայել որպես գործիք, որը թույլ կտա երեխաներին ուսումնասիրել և դիտարկել, բայց հետո ուսուցիչը պետք է բացատրի հասկացությունները, հիմնավորի: մաթեմատիկայի կանոնները, և բոլորը միասին դրեք:
- Մանկապարտեզները և առաջին դասարանցիները կարող են ուսումնասիրել թվերը բազմիցս ավելացնելով 1(ինչը կարելի է անել սկզբում սեղմելով 1 + 1 = և ապա մի քանի անգամ սեղմելով = կոճակը) կամ մի քանի անգամ հանելով 1-ը: Դիտեք նրանց դեմքերը, երբ նրանք հարվածում են բացասական թվեր: Կամ, թող հետաքննեն, թե ինչ է պատահում թվին, երբ դրան զրո ավելացնես:
- Հաշվիչի օրինակով հանելուկներՍա վերը նշված գաղափարի ընդլայնումն է, որտեղ առաջինից երրորդ դասարանի երեխաները հաշվիչի միջոցով բազմիցս ավելացնում կամ հանում են նույն թիվը: Երեխաները կնկատեն օրինաչափություններ, որոնք առաջանում են, երբ դուք անընդհատ ավելացնում եք, ասենք, 2, 5, 10 կամ 100: Օրինակ, նրանք կարող են սկսել 17-ից և բազմիցս ավելացնել 10-ը կամ սկսել 149-ից և կրկնակի հանել 10-ը: Մեկ այլ գաղափար է թույլ տալ երեխաներին ստեղծել իրենց «նախշային գլուխկոտրուկները», որոնք թվային հաջորդականություններ են, որտեղ որոշ թվեր բաց են թողնվել, օրինակ՝ 7, 14, __, __, 35, __, 49: Գործողությունը կարող է կապվել գաղափարի հետ: շատ հեշտ է բազմապատկել։
- Տեղային արժեքի գործունեություն հաշվիչով. Ուսանողները հաշվիչով թվեր են կառուցում, օրինակ.
Տասնյակի տեղում 6-ով կազմի՛ր եռանիշ թիվ; ԿԱՄ Կազմե՛ք 3500-ից մեծ քառանիշ թիվ մեկների տեղում քառանիշով. ԿԱՄ Կազմի՛ր քառանիշ թիվ, որտեղ 3-ը տասնյակում է, իսկ 9-ը՝ հարյուրավոր տեղերում. և այլն:
Այնուհետև ուսուցիչը գրատախտակին թվարկում է մի քանի թվեր և քննարկում, թե ինչ ընդհանուր թվեր են կազմել աշակերտները, օրինակ՝ բոլոր թվերը վաթսուն-մեկ են: - Գրատախտակին գրե՛ք մեկ միլիոն թիվը: Խնդրեք ուսանողներին ընտրել մի թիվ, որը նրանք մի քանի անգամ կավելացնեն հաշվիչի միջոցով, որպեսզի հասնեն մեկ միլիոնի ողջամիտ դասաժամի ընթացքում: Եթե նրանք ընտրեն փոքր թվեր, ինչպիսիք են 68-ը կամ 125-ը, չեն հասնի դրան, սա կարող է երեխաներին սովորեցնել, թե որքան մեծ է մեկ միլիոն թիվը:
- «Pi»-ն ներկայացնելիս հանձնարարեք ուսանողներին չափել մի քանի շրջանաձև առարկաների շրջագիծը և տրամագիծը և հաշվարկել դրանց հարաբերակցությունը հաշվիչի միջոցով (որը խնայում է ժամանակը և կարող է օգնել կենտրոնանալ հայեցակարգի վրա):
Հաշվիչների օգտագործումը դառնում է լավ ուսուցման հիմքում. հոդված Սյուզան Ռեյի կողմից; այլևս առցանց չէ
Մեկնաբանություններ
Ես դասավանդում եմ շատ փոքր դպրոցում և ներկայումս դասավանդում եմ հանրահաշիվ 1, 8-րդ դասարանի բնագիտություն, իսկ հետո՝ ֆիզիկա ավագներին, և ես ունեմ մի փոքր խումբ, որն ավարտել է ավագ դպրոցի հաշվարկը, և մենք անում ենք գծային հանրահաշիվ: Ես ինքս ունեմ ֆիզիկայի մագիստրոս:Մինչ այս գրառումներից մի քանիսը կարդում էի, ես զգում էի, որ բավականին կատաղի հակահաշվիչ եմ, բայց հիմա կարծում եմ, որ ճանապարհի կեսն եմ:
Թղթի վրա քառակուսի արմատներ անելու մասին մեկնաբանությունները լավ են: Ոչ, մենք այլևս կարիք չունենք, թե ինչպես դա անել լավ ճշգրտությամբ: Այնուամենայնիվ, ես իսկապես կցանկանայի, որ իմ բոլոր ուսանողները կարողանան ձեզ ասել, թե ինչ երկու թվերի միջև է դա: Օրինակ՝ 8
Հենց անցյալ տարի ես հայտնաբերեցի, թե ինչպես մուտքագրել տվյալներ TI-83-ում և թույլ տալ, որ այն ցույց տա միջինը և ստանդարտ շեղումը: Ֆիզիկայի դասի համատեքստում ես չեմ ուզում շատ ժամանակ ծախսել այն բաների վրա, որոնք նրանք պետք է սովորեն Վիճակագրության դասին: Բայց եթե հաշվիչը դա անում է հեշտությամբ, ապա ես կարող եմ մեղմորեն ներկայացնել հայեցակարգը և հուսալ, որ սկզբնական բացահայտումը նրանց պատրաստել է այն, ինչ նրանք պետք է սովորեն վիճակագրության մեջ:Հանրահաշիվ 1-ում, սակայն, ես ընդհանրապես թույլ չեմ տալիս ուսանողներին օգտագործել հաշվիչներ: Եվ, դա իմ դպրոցն է, ես գտնում եմ, որ երեխաների մեծ մասը գալիս է իմ դասընթացին առանց հաշվիչի կամ այն օգտագործելու հակման: Ես զգում եմ, որ հիմնական ամփոփումը Հանրահաշիվ 1-ում մաթեմատիկան պետք է լինի՝ թվերի 80%-ը պետք է օգտագործի 12x12 բազմապատկման աղյուսակի հիմնական տեղեկատվությունը, որը երեխաները պետք է անգիր լինեին։ Թվերի 15%-ը պետք է գերազանցի այդ սահմանները։ (օրինակ՝ ինչ է 384/8-ը։ ) Իսկ վերջին 5%-ը պետք է լինեն այնպիսի բաներ, որոնց համար նրանց պետք է հաշվիչ:
Իմ կարծիքով, թվերի մասին բաներ ես սովորում, երբ դրանք պետք է անես քո գլխում: Եթե ցանկանում եք կատարել 357-ի պարզ գործակիցները, կարող եք սկսել այն մտքից, որ այն 400-ից փոքր է, ուստի պետք է ստուգել մինչև 20-ը: Դուք նաև գիտեք, որ դա տարօրինակ է, ուստի պետք չէ: ստուգեք 2-ը կամ իրադարձություններից որևէ մեկը: Այնուհետև դուք կարող եք հասկանալ, որ դուք չպետք է ստուգեք ոչ պարզ թվերից որևէ մեկը 1-ի և 20-ի միջև: Այսպիսով, դուք պետք է ստուգեք միայն 3, 5, 7, 11, 13, 17:
Սա օգնում է ուսանողներին սկսել մշակել որոշ հիմնարար հասկացություններ՝ կապված բազմությունների հետ: Կան թվերի խմբեր, որոնք ունեն ընդհանուր հատկություններ, ինչպիսիք են զույգերը, գործակիցները և պարզերը: Սա խորը հայեցակարգ է, որը դուք կարող եք չստանալ, եթե դուք ստիպված չեք լինի պարզեցնել գործընթացը ձեզ համար:
Բայց նաև ձեզ համար գործընթացի պարզեցումն իսկապես կարևոր է: Ենթադրենք, դուք գլխավոր մեխանիկ եք Sprint Cup NASCAR մեքենայի վրա: Նրանք անընդհատ կոտրվում են: Ի՞նչ է պետք անել դրանք շտկելու համար: Ի՞նչն է ավելորդ խնդրին: Ո՞րն է իրերի ամենափոքր թիվը, որոնք դուք պետք է փորձարկեք/շտկեք, և ի՞նչ հերթականությամբ պետք է փորձեք դրանք: Դա երկար ընդլայնում է ավագ դպրոցի մաթեմատիկայի դասարանում ալգորիթմական մտքի զարգացումից: Բայց ես կպնդեմ, որ դրան հասնելն ավելի դժվար է, եթե ամբողջ կյանքում քեզ սնուցել են պատասխանները մեքենայի միջոցով:
Ես գիտեմ, որ սա երկար է տևում: Եվս երկու միավոր... Ես երբեք չէի օգտագործի գրաֆիկական հաշվիչը իրականում գծագրելու համար: Ես ունեմ 100 դոլար արժողությամբ ծրագրակազմ իմ նոութբուքի վրա, որը ջրից դուրս է հանում ցանկացած ձեռքի գրաֆիկական հաշվիչ:
Վերջապես ուշադրությունս գրավեց խանութի աշխատակիցների ու հաշվիչների մեկնաբանությունը։ Աշխարհին, անշուշտ, պետք են մարդիկ, ովքեր հանրախանութներում ՀԴՄ-ները աշխատեն: Բայց ինչ-որ կերպ ես զգում եմ, որ լավ կրթություն ստանալու նպատակն այն է, որ հետագայում կարողանաս ընտրել այնպիսի մասնագիտություն, որով կրքոտ ես: Գանձապահները, ովքեր կրքոտ են մանրածախ առևտրով, քիչ են և հեռու են: Հուսով եմ, որ դպրոցն ավարտելուց հետո իմ աշակերտները ընտրության ավելի լայն շրջանակ կունենան:
Դեյվիդ Այվերսոն
Կարծում եմ, երկուսն էլ պետք է օգտագործել: Համաձայն եմ, որ մենք պետք է սովորենք տարրական դպրոցում տարրական դպրոցում, գումարում, հանում և այլն): Այնուամենայնիվ, երբ գնում եք Macy's, Olive Garden կամ Mc Donald's, գանձապահը չի օգտագործում թուղթ և մատիտ, օգտագործվում են համակարգիչներ (հաշվիչներ): Մենք ապրում ենք համակարգչային դարում, մենք այլևս արդյունաբերական հեղափոխության մեջ չենք, ուստի եկեք գնանք 21-րդ դար:
Բարև, ես Քելլին եմ: Ես քոլեջի առաջին կուրսեցի եմ Սբ. Չարլզի համայնքային քոլեջ Միսսուրիում: Ձեր կայքը հիանալի է: Ես այն փնտրում էի կրտսեր քրոջս համար: Մի բան, որ ես իսկապես կցանկանայի ասել բոլորին և բոլոր նրանց, ովքեր մտադիր են քոլեջ գնալ, դա անհապաղ դադարեցնել հաշվիչը: Օգտագործեք այն միայն տեղեկամատյանների և նման անհրաժեշտ բաների գրաֆիկական ձևավորման համար: Ավարտեցի միջնակարգ դպրոցը հաշվարկի դասարանում՝ օգտագործելով հաշվիչը նույնիսկ ամենապարզ բազմապատկման և բաժանման խնդիրների համար, և երբ հասա քոլեջ, ստիպված էի ամեն ինչ սկսել ՍԿԻԶԲ ՀԱՇՎԻՑ, քանի որ չգիտեի, թե ինչպես բազմապատկել և բաժանել առանց հաշվիչի: Այսպիսով, խնդրում եմ բոլորին լավություն արեք և խնդրեք կամ ասեք, որ դադարեցնեն հաշվիչ օգտագործելը: Նրանք ինձ ավելի ուշ շնորհակալություն կհայտնեն դրա համար: Քելի
Բարև, իմ անունը Ռաֆիկ է, և ես առաջին կուրսեցի եմ Ժնևի Հոբարտ և Ուիլյամ Սմիթ քոլեջներում, Նյու Յորքում: Ես տեխնոլոգիայի և դրա հետևանքների մասին թերթ եմ պատրաստում, ուստի որոշեցի ընտրել հաշվիչը: Ես հանդիպեցի այս կայքին իմ հետազոտության ընթացքում: Ես ուզում եմ շեշտել Քելլիի ասածը. Նույնը պատահեց ինձ հետ, ես գերազանց էի ավագ դպրոցի մաթեմատիկայից, գործնականում հանձնեցի մաթեմատիկայի բոլոր քննությունները, հետո եկա այստեղ կողմնորոշվելու և ինձ ասացին, որ պետք է մաթեմատիկայի տեղավորման թեստ հանձնեմ առանց հաշվարկի: Ես չէի գիտակցում, որ չեմ կարող անել շատ պարզ խնդիրներ, որովհետև ես միշտ միացրել եմ այն իմ հաշվում և ստացել պատասխանը: Սա լուրջ բան է դառնում, ես արդեն վերցրել եմ իմ կրտսեր եղբորս ու քույրերիս կալկը։ և ասաց նրանց, քանի դեռ նրանք քոլեջում չեն, որ նրանք չեն օգտագործի կալկ (համենայն դեպս ոչ իմ առջև): Այժմ ես ընդունում եմ նախաքալկ: և իմ նպատակը կալկ չօգտագործելն է: ՄԻ ԿԱԽՎԵՔ ՁԵՐ ՀԱՇՎԻՉԻՑ!!!
Երբ համալսարանում մաթեմատիկայի դասընթացներ էի անցնում իմ BMath-ի համար, մեզ թույլ չէին տալիս հաշվիչներ շատ քննությունների համար (գրպանային հաշվողական սարքերով մարդկանց մաքսանենգությունը կանխելու համար): Բոլոր նրանց համար, ովքեր զբաղվում են մաթեմատիկայի ավելի բարձր մակարդակով, ես կասեի, որ թղթի վրա գումարներ անելը կարևոր է: .Էմիլի Բել
Ես երբեք լավ չեմ եղել մաթեմատիկայից, և երբ ձեռքս ընկավ իմ հաշվիչը և որքան հուսադրող է այն ավագ դպրոցում, ես սիրահարվեցի դրան: Դա մինչև քոլեջի դասավանդման քննություն հանձնելը: Ես սարսափելի արեցի: Ես չկարողացա: նույնիսկ հիշեք, թե ինչպես կարելի է մտովի կատարել բաժանման պարզ խնդիր: Դպրոցների խնդիրն այսօր այն է, որ նրանք չափազանց շատ են անհանգստանում և խրախուսում հաշվիչների համար: Ուսանողները պետք է ունենան մտավոր մաթեմատիկայի լավ ամուր բազա, նախքան նրանք սովորեն օգտագործել հաշվիչը, և եթե ինձ հարցնեք, K-3 գնահատականը բավարար չէ: Դա չպետք է թույլատրվի մինչև քոլեջը:
Ես վերջերս եմ քոլեջի շրջանավարտ: Իմ մասնագիտությունը էլեկտրատեխնիկա էր: Քանի որ իմ ուսումնական կուրսը ներառում էր մաթեմատիկայի մեծ ծավալ, ես պարտավորված եմ զգում խոսել այս կարևոր հարցի շուրջ: Իմ կարծիքով, հաշվիչները երբեք չպետք է օգտագործվեն մաթեմատիկայի ոչ մի դասի համար, նույնիսկ քոլեջի մակարդակում: Ցանկացած առարկայի համար հաշվիչի օգտագործումը կհանգեցնի օգտատիրոջ մտավոր ծուլության և մաթեմատիկայի հիմնական հմտությունների անկարողության: Երբեք չպետք է օգտագործեք հաշվիչ, երբ սովորում եք, թե ինչպես բազմապատկել, կատարել երկար բաժանում կամ նույնիսկ գրաֆիկական ֆունկցիա:«Ոմանք ասում են, որ հաշվիչը հնարավորություն է տալիս երեխաներին կենտրոնանալ մաթեմատիկական հասկացությունները հասկանալու և ուսումնասիրելու վրա՝ հոգնեցուցիչ հաշվարկների վրա ժամանակ ծախսելու փոխարեն:
Վերոնշյալ հայտարարությունը ընդհանուր խոզի լվացումն է: Թվերի իմաստը զարգացնելու և մաթեմատիկական հասկացությունները հասկանալու միակ միջոցը ժամերով հոգնեցուցիչ հաշվարկներ անելն է: Մաթեմատիկական կարողությունների նկատմամբ վստահություն զարգացնելու միակ միջոցը մատիտ և թուղթ օգտագործելն է, երբ բախվում եք մաթեմատիկայի խնդրի հետ: Եթե մաթեմատիկայի ուսուցիչը համաձայն է վերը նշված հայտարարության հետ, ապա նա պետք է անհապաղ հեռացվի աշխատանքից: NCTM-ը պետք է հրապարակայնորեն խայտառակվի: նման կործանարար իդեալների հետ միասին գնալու համար:
Միակ ժամանակը, երբ հաշվիչը պետք է օգտագործվի դպրոցում, լաբորատոր դասարանն է, երբ դուք հաշվարկներ եք կատարում 4-ից ավելի նշանակալից թվանշաններով թվերի վրա: Հակառակ դեպքում ուսանողը պետք է ապավինի թղթին, մատիտին և իր ուղեղին:
Հաշվիչը տեղ չունի. ՏԵՂ ՉԿԱ; տարրական դպրոցի դասարանում։ Ժամանակաշրջան. Ես ավագ դպրոցի մաթեմատիկայի ուսուցիչ եմ և իմ աշակերտների մեծամասնությունը բացարձակապես զրոյական թվի իմաստ ունի: Նրանք «օգտագործում են հաշվիչներ՝ միանիշ բազմապատկման խնդիրներ կատարելու համար, որոնք պետք է ճիշտ անգիր սովորեին երրորդ դասարանում: Առանց դրանց նրանք անօգնական են: Ես մեղքի 100%-ով դնում եմ հաշվիչի օգտագործման վրա վաղ դասարաններում:
Իմ երեխաները 4 և 2 տարեկան են: Աղջիկս հաջորդ տարի կգնա մանկապարտեզ, և ես ամեն տարի կսովորեցնեմ նրա ուսուցիչներին, և պարբերաբար ամբողջ տարվա ընթացքում նրան ԱՐԳԵԼՎՈՒՄ Է օգտագործել հաշվիչ իր ցանկացած աշխատանքի համար, մինչև նա ավագ դպրոց Տարրական կամ միջին դպրոցի ուսումնական ծրագրում ՈՉԻՆՉ Չկա, որը պահանջում է հաշվիչի օգտագործում:
Ինչ վերաբերում է այս հայտարարությանը, «Մաթեմատիկայի ուսուցիչների ազգային խորհուրդը (1989 թ.) խորհուրդ է տվել, որ երկար բաժանումը և «մատիտով և թղթով հոգնեցուցիչ հաշվարկները» ավելի քիչ ուշադրություն դարձնեն դպրոցներում, և որ հաշվիչները միշտ հասանելի լինեն բոլոր ուսանողներին»: Ես հասկանում եմ, որ սա արձագանք էր դասարանում մաթեմատիկական թեմաների վրա ծախսված ժամանակի հարցմանը, և չորրորդ և հինգերորդ դասարանների գրեթե մեկ երրորդը սովորում էր բաժանում կատարել տասնորդական և երկնիշ բաժանարարներով (այսինքն 340/.15 կամ 500/15) Այո, ուսուցիչները երկու ամսից ավելի էին ծախսում դրանցից յուրաքանչյուրի համար: Սա պարզապես չէր արտացոլում մաթեմատիկայի իրավիճակը ներկայիս աշխարհում:
Անձամբ ես տեսել եմ հաշվիչների շատ մեծ կիրառումներ: Նրանք թույլ են տալիս առանց սխալների կրկնել, որպեսզի ես կարողանամ հայտնաբերել օրինաչափությունները: Փոխակերպումներից և արագ հնարքներից շատերը, որոնք ես կարող եմ անել, այն է, որ ես ունեի միայն հիմնական հաշվիչ մինչև նախնական հաշվարկը: BTW, NCMT-ը նաև թարմացրել է իր ստանդարտները՝ ներառելով երկրորդ և չորրորդ դասարանների մաթեմատիկական փաստերի սահուն գիտելիքները: Որպես մաթեմատիկայի դասավանդող ես անընդհատ լսում էի ծնողներից, որ երեխաները դպրոցում ժամանակ չեն անցկացնում՝ անգիր անելով հիմնական փաստը:
Ես, հավանաբար, կցանկանայի երկարաժամկետ հեռանկարում, եթե ինձ թույլ չտային օգտագործել հաշվիչ մինչև գոնե ավագ դպրոց (երկրաչափություն ինձ համար): Դուք գիտե՞ք այդ Nintendo DS Brainage խաղերը: Դե նրանք ինձ ստիպեցին հասկանալ, թե որքան սարսափելի եմ ես պարզ մարդկանց հետ: Մաթեմատիկա: Ես կարող եմ դա անել, պարզապես ինձ շատ ավելի երկար է տևում: Բացի այդ, ես դժվար թե երբևէ կարողանամ կատարել երկար բաժանում: Ինձ դասավանդել են մաթեմատիկա հաշվիչի վրա դեռևս դասարանից:
Որպես մաթեմատիկայի, նախահաշիվ և հանրահաշիվ I կրտսեր ավագ և ավագ դպրոցի ուսուցիչ, ես ամեն տարի պայքարում եմ այս ճակատամարտում: Թեև այո, հաշվիչներն առաջարկում են պատասխաններ գտնելու արագ եղանակ, ես չգիտեմ որևէ խնդիր երեք դասագրքերից, որոնք ես ներկայումս օգտագործում եմ, որը պահանջում է, որ ուսանողը լուծի երկար բաժանման խնդիրները մինչև տասներորդ տեղը տասնորդականի հետևում (որը ընդհանուր փաստարկ):
Այնուամենայնիվ, ես ակնկալում եմ, որ իմ ուսանողները կկարողանան կատարել հիմնական մաթեմատիկական գործառույթները առանց հաշվիչի օգտագործման: Երբ նրանք մտնում են հանրահաշիվ, նրանք չափազանց շատ ժամանակ են ծախսում՝ փորձելով պարզել, թե ինչպես անել այնպիսի բաներ, որոնք հնարավոր չեն հաշվիչով, որոնք հնարավոր չեն իրենց ունեցած հաշվիչներով: Ես նաև ակնկալում եմ, որ նրանք ցույց կտան իրենց աշխատանքը թեստերի և վիկտորինաների վրա (նույնպես է անում նաև նորը նշեք թեստեր մասնակի միավորների համար), որպեսզի ես ԻՄԱՆԵՄ, որ նրանք գիտեն գործընթացը: «Ես օգտագործել եմ հաշվիչ»-ը ինձ չի ցույց տալիս, որ նրանք գիտեն գործընթացն ու կանոնները կամ «ինչու»-ն այն աշխատում է: Հաճախ հենց «ինչու»-ն է տանում: մաթեմատիկայի «տես ինչ պարզեցի» ու «ահ-հա»-ներին։
Ես հաճախ եմ հիշեցնում ուսանողներին, որ հաշվիչները հայտնագործվել են մաթեմատիկական կանոնների սկսվելուց շատ ժամանակ անց. հետևաբար, բոլոր մաթեմատիկան կարելի է անել առանց հաշվիչի օգտագործման: Մեծ խելքներ, մի՛ դարձեք մեծ՝ գնալով հեշտ ճանապարհով:
Ինչ վերաբերում է մանրածախ առևտրի աշխատողներին, մինչդեռ հերթում կանգնած շատ հաճախորդներ անհամբեր էին, երբ վաճառողն ամեն ինչ ձեռքով կգտնի, որպես ուսուցիչ, երբ ես գնում եմ սննդի կետ, և իմ այդ դժբախտ ուսանողը մատուցողն է/մատուցողուհին/ և այլն: Ես ակնկալում եմ, որ նրանք ինձ հետ կհաշվեն փոփոխությունները: Ես ուշադիր եմ, երբ ես անում եմ այս «ստուգումները», և մենեջերներից շատերը (դուք գիտեք նրանց, ովքեր կարողանում են մաթեմատիկա անել առանց հաշվիչի), սովորաբար երախտապարտ են, որ իրենց աշխատակիցները գիտեն, թե ինչպես հետ հաշվել փոփոխությունները:
Ես ստիպված էի մի փոքր ծիծաղել մեկնաբանության վրա, որը վերաբերում է «գանձապահներին Macy»-ում, Olive Garden-ում, McDonalds-ում...օգտագործել հաշվիչներ, համակարգիչներ»: Ճիշտ է, բայց դա փաստարկ չէ դրանց օգտագործման համար: Դուք երբևէ եղե՞լ եք դրանցից որևէ մեկում: խանութներ, երբ «համակարգիչները խափանված են»: Շատ գանձապահներ չեն կարող հաշվարկել ընդհանուր գումարները, փոփոխություններ կատարել և այլն, առանց համակարգչի՝ նրանց ասելու, թե ինչ անել: Մաթեմատիկական ուժեղ, հիմնական հմտությունները շատ կարևոր են, և IMHO հաշվիչի օգտագործումը պետք է շատ սահմանափակ լինի: Երբեմն մտածում եմ. ինչպես մեր երիտասարդներից ոմանք կվարվեին իսկական աղետի/արտակարգ իրավիճակում, երբ չկար հոսանք, բջջային հեռախոսներ, համակարգիչներ, ինտերնետի հնարավորություն և այլն: Որպես տնային ուսուցման ծնող իմ նպատակներից մեկն այն է, որ երեխաս լավ հիմնական հմտություններ ունենա։ տեղ, որպեսզի նրանք կարողանան լավ աշխատել ցանկացած առարկայի մեջ՝ առանց էլեկտրոնային օգնության:
Ես ունեմ մի տղա, որը գնում է երրորդ դասարան, և ես նրան գնել եմ չափազանց պարզ հաշվիչ (ուղղակի +,-,*,/): Նա բավականին լավ է խնդիրներ լուծելու մեջ, գիտի իր բազմապատկման աղյուսակները, կարող է թղթի վրա 12 թվանշաններով գումարումներ և հանումներ անել, սովորում է թղթի վրա բազմապատկումներ անել և այլն... և ես իրականում փնտրում էի որոշ իմաստալից խնդիրներ լուծելու համար: հաշվիչով, երբ գտա այս զգացմունքային բանավեճը:
Հիմա ես լիովին համաձայն եմ, որ հաշվիչը չպետք է փոխարինի մտավոր գործողություններ սովորելուն և թղթի վրա դա անել սովորելուն: Դուք պետք է կարողանաք այս բաներն անել ինքներդ ձեզ, նույնիսկ եթե դա անշնորհք է:Բայց հարցն այն է, որ հասարակությունն առաջ է գնում: Այնտեղ, որտեղ օգտակար էր ճիշտ և արագ կատարել 20 թվերի գումարները փոքր նոտայի վրա, և մարդիկ նույնիսկ վճարում էին ձեզ այդ հմտության համար 40 տարի առաջ, դա այլևս այդպես չէ: Մեզանից շատերը չեն սովորում, թե ինչպես սպանել նապաստակին: աղեղով և նետով, մինչդեռ սա կարևոր հմտություն էր քարանձավներում ապրող մեր նախնիների համար:
Երբ ես նայում եմ այստեղ մեկնաբանություններին, թվում է, որ մարդկանց միակ խնդիրները, որոնց հետ բախվել են, երբ չկարողանալով հաշվարկել առանց հաշվիչի, արհեստական միջավայրում էր, որտեղ սա բացահայտորեն ստուգված իրավասություն էր: Նապաստակի որսը նետով և աղեղով նույնպես խնդիր կառաջացներ, եթե դա չուսուցանվեր և չփորձարկվեր այս կամ այն քննության համար: Կարծում եմ, որ «իրական կյանքում» այժմ կարևոր է հաշվիչով հարմար լինելը, թեև պետք է, իհարկե, առանց դրա, բայց միգուցե ոչ *փորված* դա անել արդյունավետ, ճիշտ և արագ առանց:
BTW, ով դեռ գիտի, թե ինչպես կարելի է քառակուսի արմատներ վերցնել թղթի վրա: Արդյո՞ք սա կարևոր հմտություն չէ: Եվ ո՞վ գիտի, թե ինչպես արդյունավետ օգտագործել սլայդի կանոնը կամ լոգարիթմական աղյուսակը բազմապատկումներ անելու համար: Սրանք բոլորը տեխնիկա էին, որոնք ժամանակին շատ օգտակար էին և կարևոր էին արագ և արդյունավետ յուրացնելու համար: Այժմ դրանք Ես չեմ ասում, որ թղթի վրա հավելում անելը բանահյուսություն է, պետք է իմանալ, թե ինչպես դա անել, բայց ես զարմանում եմ, թե որն է պատճառը, որ կարողանաս դա անել արագ և արդյունավետ (և հետևաբար ժամեր ծախսեք դրա համար մարզվելու համար): Չե՞ք կարող հիմա օգտագործել այդ ժամանակը ավելի օգտակար բաներ անելու համար:
Ես կասեի, որ դեռևս գործնական հմտություն է *մտավոր* հաշվարկը, ճշգրիտ մտավոր հաշվարկը և մոտավոր հաշվարկը՝ մեծության կարգի մասին պատկերացում կազմելու համար: Անկախ նրանից, թե արդյոք 6 կամ 7 թվանշաններով երկու թվերի բազմապատկում անելը դեռևս շատ խնդիր է: մարզվելու համար օգտակար հմտություն, ես ունեմ իմ կասկածները, թեև նորից պետք է իմանալ, թե ինչպես է դա արվում:
Հաշվիչի հետ հետաքրքիր բաները այնպիսի կառուցվածքներ են, ինչպիսիք են Պասկալի եռանկյունը կամ Ֆիբոնաչիի շարքը, կամ ֆակտորյալները, համակցությունները և նման բաները, և որոնք չափազանց հոգնեցուցիչ են ձեռքով անելը:
Պատրիկ Վան Էշ
Հարց:Որո՞նք են հանրակրթական դպրոցների 1-3 ձևերում հաշվիչներ չօգտագործելու հիմնական պատճառները:Ես այնքան էլ վստահ չեմ, թե որոնք են մեկից երեք ձևերը, բայց ենթադրում եմ, որ դուք խոսում եք ավագ դպրոցի մասին:
Անձամբ ես չէի ժխտի ավագ դպրոցականների հաշվիչի օգտագործումը: Երեխաները պետք է սովորեն օգտագործել հաշվիչը և օգտագործել այն խելամտորեն, ինչը նշանակում է, որ նրանք պետք է սովորեն, ԵՐԲ լավ է օգտագործել այն և երբ ոչ: Միգուցե մեկը մերժեր հաշվիչը օգտագործել ավագ դպրոցում, եթե աշակերտը անընդհատ չարաշահեր այն, մյուսներում: բառերը, որոնք օգտագործում են այն 6 x 7 և այլնի համար, որի դեպքում նման աշակերտը կարող է վերանայել ցածր դասարանների մաթեմատիկան:
Ես ներկայիս վեցերորդ դասարանի աշակերտ եմ, գիտեմ, որ իմ տարիքի երեխաներից շատերը նախընտրում են օգտագործել հաշվիչը ոչ թե աշխատանքը ստուգելու համար, այլ դրանց մեծ մասը հաշվիչներով մաթեմատիկա են անում: Հաշվիչը պետք է օգտագործվի միայն աշխատանքը ստուգելու համար, վերջերս իմ մաթեմատիկայի դասավանդումը ստացել է: գործնականում մեզ ստիպում էր օգտագործել TI30 xa հաշվիչներ, ինչպես գիտեք, դպրոցը տրամադրում է հաշվիչ, որը կարող է ավելացնել, հանել, բազմապատկել և բաժանել, և դա բավական է: աշխատեցի, բայց այսօր մաթեմատիկայի դասի ժամանակ ես որոշեցի այլևս հաշվիչ չկա, մի խնդիր, որը ես պետք է լուծեի, 3,8892-ը բաժանվեց 3-ի, և ես չէի հիշում, թե ինչպես դա անել: Իսկ օրերս մայրս ինձ տվեց մի պարզ մաթեմատիկական խնդիր բենզին ստանալիս, և ինձնից 5 րոպե պահանջվեց այս հիմնական գումարման խնդիրը կատարելու համար: Իմ ծնողները չէին օգտագործում հաշվիչներ, երբ նրանք դպրոցում էին, և եթե նրանց կարիքը չունեին, ապա մենք նույնպես: Բայց երբ մեր ներկայիս միջին դպրոցի բոլոր աշակերտները հասուն չափահաս լինեն, մեր դպրոցական համակարգը կտեսնի, որ մեծերը կլինեն շատ հետ է մնում մաթեմատիկայից՝ հենվելով համակարգիչների և հաշվիչների վրա՝ այնտեղ բոլոր գործերը կատարելու համար: Ես պաշտոնապես Anti հաշվիչ եմ:
Ես բավականաչափ բախտ ունեցա սովորելու հիմնական մաթեմատիկական փաստերը (բազմապատկում, բաժանում, կոտորակներ, գնահատում և այլն), նախքան 8-րդ դասարանում հաշվիչ ձեռք բերելը, բայց ես իսկապես կախված էի իմ TI 83 գրաֆիկական օգտակարությունից՝ իմ ավագ դպրոցի հանրահաշվի/նախահաշվարկի դասերի համար: Ես կգծեի ֆունկցիան՝ գտնելու զրոները՝ քառակուսի բանաձևի և նման բաների փոխարեն:Իմ առաջին կուրսեցիների հաշվարկի դասը թույլ չէր տալիս հաշվիչներ, և ես ձախողվեցի այն: Դա այն բանից հետո էր, երբ բարձրագույն դպրոցի նախադպրոցական ուսուցումը բավականին լավ ստացա: Ես գնացի ավելի հեշտ կյանք/հասարակագիտական շարք (դեռ պետք է պայքարեի B"s/C"-ի համար: երբ ավագ դպրոցում ես հեշտ A-ներ ունեի) և ի վերջո կրկնեցի ավելի դժվար հաշվարկի դասը շատ ավելի պատրաստված: Իմ կյանքի/հասարակագիտության շարքի դասերը թույլ էին տալիս 4-ֆունկցիոնալ, բայց ոչ գրաֆիկական կոմունալ ծառայություններ: Բացի այդ, քոլեջում ես ստիպված էի ցույց տալ իմ աշխատանքը: ինչ-որ վարկ ստանալու համար, նույնիսկ եթե պատասխանը ճիշտ էր: Կարծում եմ, որ խնդիրն այն է, որ ես շատ կախված էի պատասխանները գտնելուց, ոչ թե գործընթացը սովորելուց:
Մյուս կողմից, իմ քույրը 3-րդ դասարանից ունի հաշվիչ, և նա բառացիորեն չի կարող 6*7 բազմապատկել առանց հաշվիչի կամ կատարել բառային խնդիր, թեև ավագ դպրոցի մաթեմատիկայից ստանում է B:
Որպես վաղ մանկության/տարրական կրթության ավագ մասնագիտություն, ես հասկանում եմ հաշվիչ օգտագործելու մասին գիտելիքներ ունենալու կարևորությունը, քանի որ այո, մենք ապրում ենք մի դարաշրջանում, որտեղ տեխնոլոգիաները լայնորեն կիրառվում են: Այնուամենայնիվ, ինչպես ձեզանից շատերը, երբ ես առաջին անգամ եկա քոլեջ և ստիպված էի քննություններ հանձնել առանց հաշվիչ օգտագործելու, ես մեծ դժվարության մեջ էի: Ես դեռ շատ լավ էի անում, բայց ինձնից երկար ժամանակ պահանջվեց մաթեմատիկայի բոլոր հիմնական գործառույթները նորից սովորելու համար: Ոլորտում իմ անձնական փորձից և իմ դասընթացների միջոցով ես խորհուրդ եմ տալիս հետևողական հավասարակշռություն պահպանել երկու մեթոդների միջև:
Ես մաթեմատիկա եմ դասավանդում քոլեջում, որտեղ հաշվիչը արգելված է։ Ցավոք, շատ ուսանողներ կործանվել են հաշվիչի միջոցով: Նրանք դժվարանում են կատարել նույնիսկ ամենապարզ հանրահաշիվը: Սա հանգեցրել է ուղղիչ մաթեմատիկայի բարձրացմանը քոլեջներում ամենուր՝ մինչև 95%-ով։ Կա մի գիրք, որը կոչվում է «The Deliberate Dumbing Down Of America» («Ամերիկայի կանխամտածված խլացումն»), որը գրված է կրթության վարչության նախկին սուլիչի կողմից (նաև հայտնի է որպես DOE, որը պետք է նշանակի Dopes Of Education):
Մաթեմատիկայի դասերի մենյու
|
|
|
Տեղեկություններ կատալոգի մասին
Կոչում
Տարրական գծային հանրահաշիվ.
(Վարկային ժամեր:Դասախոսությունների ժամեր:Լաբորատոր ժամեր)
Առաջարկվում է
Նախադրյալ
Ուսուցման նվազագույն արդյունքներ
Այս դասընթացն ավարտելուց հետո հաջողակ ուսանողը կկարողանա.
- Օգտագործեք Գաուսի վերացումը՝ կատարելու բոլոր հետևյալը. լուծել գծային համակարգ՝ կրճատված շարքի էշելոնի ձևով, լուծել գծային համակարգ՝ տողերի էշելոնի ձևով և հետընթաց փոխարինմամբ, գտնել տրված մատրիցի հակադարձը և գտնել տվյալ մատրիցի որոշիչը:
- Ցույց տալ հմտություն մատրիցային հանրահաշվում: Մատրիցային բազմապատկման համար ցույց են տալիս ասոցիատիվ օրենքի ըմբռնումը, հակադարձերի և տրանսպոզիցիաների հակադարձ կարգի օրենքը, ինչպես նաև փոխադարձ օրենքի և չեղյալ համարելու օրենքի ձախողումը:
- Գծային համակարգը լուծելու համար օգտագործեք Կրամերի կանոնը:
- Օգտագործեք կոֆակտորներ՝ գտնելու տրված մատրիցի հակադարձը և տվյալ մատրիցի որոշիչը:
- Որոշե՛ք, արդյոք գումարման և սկալային բազմապատկման տրված հասկացությամբ բազմությունը վեկտորային տարածություն է։ Այստեղ և ստորև նշված համապատասխան թվերում ծանոթ եղեք և՛ վերջավոր, և՛ անվերջ ծավալային օրինակներին:
- Որոշեք, թե արդյոք վեկտորային տարածության տրված ենթաբազմությունը ենթատարածություն է:
- Որոշեք՝ վեկտորների տրված բազմությունը գծային անկախ է, տարածվում է, թե հիմք է։
- Որոշեք տրված վեկտորային տարածության կամ տվյալ ենթատարածության չափը:
- Գտեք հիմքեր տրված մատրիցայի զրոյական տարածության, տողերի և սյունակների տարածության համար և որոշեք դրա աստիճանը:
- Ցույց տալ Rank-Nullity թեորեմի և դրա կիրառությունների իմացությունը:
- Հաշվի առնելով գծային փոխակերպման նկարագրությունը, գտե՛ք դրա մատրիցային ներկայացումը տվյալ հիմքերի նկատմամբ:
- Ցույց տալ նմանության և հիմքի փոփոխության միջև փոխհարաբերությունների ըմբռնում:
- Գտե՛ք վեկտորի նորմը և երկու վեկտորների միջև եղած անկյունը ներքին արտադրական տարածության մեջ:
- Օգտագործեք ներքին արտադրյալը՝ վեկտորը ներքին արտադրական տարածության մեջ արտահայտելու համար որպես վեկտորների ուղղանկյուն բազմության գծային համակցություն:
- Գտե՛ք տրված ենթատարածության ուղղանկյուն լրացումը:
- Ցույց տալ մատրիցայի (և դրա փոխադրման) տողերի տարածության, սյունակների տարածության և զրոյական տարածության փոխհարաբերությունների ըմբռնումը ուղղանկյուն լրացումների միջոցով:
- Ցույց տալ Կոշի-Շվարցի անհավասարության և դրա կիրառության իմացությունը:
- Որոշեք, թե արդյոք վեկտորային տարածությունը (sequilinear) ձևով ներքին արտադրական տարածություն է:
- Օգտագործեք Գրամ-Շմիդտի գործընթացը՝ ներքին արտադրանքի տարածության օրթոնորմալ հիմքը գտնելու համար: Կարողանալ դա անել երկուսն էլ Ռ n և ֆունկցիայի տարածություններում, որոնք ներքին արտադրական տարածություններ են:
- Օգտագործեք նվազագույն քառակուսիները՝ մի գծի տեղավորելու համար ( y = կացին + բ) տվյալների աղյուսակում, գծեք ուղիղը և տվյալների կետերը և բացատրեք ամենափոքր քառակուսիների նշանակությունը ուղղանկյուն պրոյեկցիայի առումով:
- Օգտագործեք նվազագույն քառակուսիների գաղափարը՝ ենթատարածությունների վրա ուղղանկյուն ելուստներ գտնելու և բազմանդամ կորի տեղադրման համար:
- Գտեք 2 × 2 կամ 3 × 3 մատրիցների (իրական և բարդ) սեփական արժեքներ և սեփական վեկտորներ:
- Որոշեք, թե արդյոք տվյալ մատրիցը անկյունագծելի է: Եթե այո, ապա գտեք մատրիցա, որն այն անկյունագծում է նմանության միջոցով:
- Ցույց տվեք քառակուսի մատրիցայի սեփական արժեքների և դրա որոշիչի, հետքի և անշրջելիության/եզակիության միջև փոխհարաբերությունների ըմբռնումը:
- Բացահայտեք սիմետրիկ մատրիցները և ուղղանկյուն մատրիցները:
- Գտեք մատրիցա, որն ուղղանկյուն կերպով անկյունագծում է տրված սիմետրիկ մատրիցը:
- Իմանալ և կարողանալ կիրառել սպեկտրային թեորեմը սիմետրիկ մատրիցների համար:
- Իմանալ և կարողանալ կիրառել եզակի արժեքի տարրալուծումը:
- Ճիշտ սահմանեք տերմինները և բերեք վերը նշված հասկացություններին վերաբերող օրինակներ:
- Ապացուցե՛ք վերը նշված հասկացությունների վերաբերյալ հիմնական թեորեմները:
- Ապացուցեք կամ հերքեք վերը նշված հասկացություններին վերաբերող հայտարարությունները:
- Հմուտ լինել տողերի կրճատման, մատրիցային ինվերսիայի և նմանատիպ խնդիրների համար հաշվարկելիս. նաև օգտագործեք MATLAB կամ նմանատիպ ծրագիր գծային հանրահաշվի խնդիրների համար:
Շրջիկ վաճառողի խնդրի դեպքում n քաղաքների շուրջ օպտիմալ երթուղի ձևավորելու համար հարկավոր է ընտրել լավագույնը (n-1-ից): ընտրանքներ՝ հիմնված ժամանակի, արժեքի կամ երթուղու երկարության վրա: Այս խնդիրը ներառում է նվազագույն երկարության Համիլտոնյան ցիկլի որոշումը: Նման դեպքերում բոլոր հնարավոր լուծումների հավաքածուն պետք է ներկայացվի ծառի տեսքով՝ միացված գրաֆիկ, որը չի պարունակում ցիկլեր կամ օղակներ: Ծառի արմատը միավորում է տարբերակների ողջ փաթեթը, իսկ ծառի գագաթները մասամբ պատվիրված լուծման տարբերակների ենթաբազմություններ են:
Ծառայության նպատակը. Օգտվելով ծառայությունից՝ դուք կարող եք ստուգել ձեր լուծումը կամ նոր լուծում ստանալ շրջագայող վաճառողի խնդրին՝ օգտագործելով երկու եղանակ՝ ճյուղային և կապակցված մեթոդ և հունգարական մեթոդ:
Շրջիկ վաճառողի խնդրի մաթեմատիկական մոդելը
Ձևակերպված խնդիրը ամբողջ թվային խնդիր է: Թողեք x ij =1, եթե ճանապարհորդը շարժվում է i-րդ քաղաքից դեպի j-րդ քաղաք և x ij =0, եթե դա այդպես չէ:Ձևականորեն մենք ներկայացնում ենք (n+1) քաղաք, որը գտնվում է նույն տեղում, ինչ առաջին քաղաքը, այսինքն. (n+1) քաղաքներից մինչև առաջին քաղաքից որևէ այլ քաղաք հեռավորությունները հավասար են առաջին քաղաքից հեռավորություններին: Ավելին, եթե դուք կարող եք լքել միայն առաջին քաղաքը, ապա կարող եք գալ միայն (n+1) քաղաք։
Ներկայացնենք լրացուցիչ ամբողջ թվային փոփոխականներ, որոնք հավասար են ճանապարհին այս քաղաք այցելությունների թվին: u 1 =0, u n +1 =n: Փակ ճանապարհներից խուսափելու, առաջին քաղաքը թողնելու և (n+1) վերադառնալու համար մենք լրացուցիչ սահմանափակումներ ենք մտցնում x ij և u i փոփոխականները միացնող լրացուցիչ սահմանափակումներ (u i ոչ բացասական ամբողջ թվեր են)։
U i -u j +nx ij ≤ n-1, j=2..n+1, i=1..n, i≠j, i=1 j≠n+1-ով:
0≤u i ≤n, x in+1 =x i1, i=2..n
Շրջիկ վաճառողի խնդիրը լուծելու մեթոդներ
- ճյուղի և կապի մեթոդ (Little-ի ալգորիթմ կամ ենթացիկլի վերացում): Մասնաճյուղի և կապակցված լուծման օրինակ;
- Հունգարական մեթոդ. Հունգարական մեթոդով լուծման օրինակ.
Լիթլի ալգորիթմի կամ ենթացիկլի վերացում
- Կրճատման գործողություն տողերի երկայնքով. մատրիցայի յուրաքանչյուր տողում գտնում և հանվում է d min նվազագույն տարրը համապատասխան շարքի բոլոր տարրերից: Ստորին սահման՝ H=∑d րոպե .
- Կրճատման գործողություն ըստ սյունակների. մատրիցայի յուրաքանչյուր սյունակում ընտրեք նվազագույն տարրը d min և հանեք այն համապատասխան սյունակի բոլոր տարրերից: Ստորին սահման՝ H=H+∑d րոպե .
- Կրճատման հաստատուն H-ը Համիլտոնյան բոլոր թույլատրելի ուրվագծերի բազմության ստորին սահմանն է:
- Տողերով և սյունակներով տրված մատրիցի համար զրոների ուժեր գտնելը: Դա անելու համար մատրիցում զրոները ժամանակավորապես փոխարինեք «∞» նշանով և գտնեք այս զրոյին համապատասխան տողի և սյունակի նվազագույն տարրերի գումարը:
- Ընտրեք աղեղը (i,j), որի համար զրոյական տարրի աստիճանը հասնում է առավելագույն արժեքին։
- Համիլտոնյան բոլոր ուրվագծերի բազմությունը բաժանված է երկու ենթաբազմության՝ աղեղը (i,j) պարունակող Համիլտոնյան ուրվագծերի ենթաբազմություն և այն չպարունակող (i*,j*): Շրջագայությունների մատրիցա ստանալու համար, ներառյալ աղեղը (i,j), մատրիցում հատեք i տողը և j սյունակը: Ոչ համիլտոնյան եզրագծի առաջացումը կանխելու համար սիմետրիկ տարրը (j,i) փոխարինել «∞» նշանով։ Աղեղի վերացումը կատարվում է մատրիցում տարրը ∞-ով փոխարինելու միջոցով:
- Համիլտոնյան ուրվագծերի մատրիցը կրճատվում է H(i,j) և H(i*,j*) կրճատման հաստատունների որոնմամբ:
- Համեմատվում են Համիլտոնյան H(i,j) և H(i*,j*) ենթաբազմության ստորին սահմանները։ Եթե H(i,j)
- Եթե ճյուղավորման արդյունքում ստացվում է (2x2) մատրիցա, ապա որոշվում է ճյուղավորմամբ ստացված Համիլտոնյան եզրագիծը և դրա երկարությունը։
- Համիլտոնյան եզրագծի երկարությունը համեմատվում է կախված ճյուղերի ստորին սահմանների հետ: Եթե եզրագծի երկարությունը չի գերազանցում դրանց ստորին սահմանները, ապա խնդիրը լուծված է։ Հակառակ դեպքում, ենթաբազմությունների ճյուղերը, որոնց ստորին սահմանը ցածր է, քան ստացված ուրվագիծը, մշակվում են այնքան ժամանակ, մինչև ձեռք բերվի ավելի կարճ երկարությամբ երթուղի:
Օրինակ. Լուծեք շրջիկ վաճառողի խնդիրը մատրիցով՝ օգտագործելով Լիթլի ալգորիթմը
| 1 | 2 | 3 | 4 | |
| 1 | - | 5 | 8 | 7 |
| 2 | 5 | - | 6 | 15 |
| 3 | 8 | 6 | - | 10 |
| 4 | 7 | 15 | 10 | - |
Լուծում. Վերցնենք որպես կամայական երթուղի` X 0 = (1,2);(2,3);(3,4);(4,5);(5,1): Այնուհետև F(X 0) = 20 + 14 + 6 + 12 + 5 = 57
Կոմպլեկտի ստորին սահմանը որոշելու համար մենք օգտագործում ենք կրճատման գործողությունկամ մատրիցային տող տողով փոքրացնելով, որի համար անհրաժեշտ է D մատրիցի յուրաքանչյուր տողում գտնել նվազագույն տարրը՝ d i = min(j) d ij.
| ես ժ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | դ ես |
| 1 | Մ | 20 | 18 | 12 | 8 | 8 |
| 2 | 5 | Մ | 14 | 7 | 11 | 5 |
| 3 | 12 | 18 | Մ | 6 | 11 | 6 |
| 4 | 11 | 17 | 11 | Մ | 12 | 11 |
| 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | Մ | 5 |
| ես ժ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 1 | Մ | 12 | 10 | 4 | 0 |
| 2 | 0 | Մ | 9 | 2 | 6 |
| 3 | 6 | 12 | Մ | 0 | 5 |
| 4 | 0 | 6 | 0 | Մ | 1 |
| 5 | 0 | 0 | 0 | 0 | Մ |
d j = min(i) d ij
| ես ժ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 1 | Մ | 12 | 10 | 4 | 0 |
| 2 | 0 | Մ | 9 | 2 | 6 |
| 3 | 6 | 12 | Մ | 0 | 5 |
| 4 | 0 | 6 | 0 | Մ | 1 |
| 5 | 0 | 0 | 0 | 0 | Մ |
| դիջ | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| ես ժ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 1 | Մ | 12 | 10 | 4 | 0 |
| 2 | 0 | Մ | 9 | 2 | 6 |
| 3 | 6 | 12 | Մ | 0 | 5 |
| 4 | 0 | 6 | 0 | Մ | 1 |
| 5 | 0 | 0 | 0 | 0 | Մ |
d ij մատրիցայի տարրերը համապատասխանում են i կետից j կետ հեռավորությանը:
Քանի որ մատրիցում կա n քաղաք, ապա D-ն nxn մատրից է՝ d ij ≥ 0 ոչ բացասական տարրերով։
Յուրաքանչյուր վավեր երթուղի ներկայացնում է մի ցիկլ, որի ընթացքում շրջիկ վաճառողն այցելում է քաղաք միայն մեկ անգամ և վերադառնում սկզբնական քաղաք:
Երթուղու երկարությունը որոշվում է F(M k) = ∑d ij արտահայտությամբ
Ավելին, յուրաքանչյուր տող և սյունակ ներառված է երթուղու մեջ միայն մեկ անգամ d ij տարրով:
Քայլ թիվ 1.
Ճյուղավորման եզրի որոշում
| ես ժ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | դ ես |
| 1 | Մ | 12 | 10 | 4 | 0(5) | 4 |
| 2 | 0(2) | Մ | 9 | 2 | 6 | 2 |
| 3 | 6 | 12 | Մ | 0(5) | 5 | 5 |
| 4 | 0(0) | 6 | 0(0) | Մ | 1 | 0 |
| 5 | 0(0) | 0(6) | 0(0) | 0(0) | Մ | 0 |
| դիջ | 0 | 6 | 0 | 0 | 1 | 0 |
Կրճատման հաստատունների ամենամեծ գումարը (0 + 6) = 6 է եզրի համար (5,2), հետևաբար, բազմությունը բաժանվում է երկու ենթաբազմությունների (5,2) և (5*,2*):
Եզրերի բացառումը(5.2) իրականացվում է d 52 = 0 տարրը M-ով փոխարինելով, որից հետո ստացված ենթաբազմության համար (5*,2*) իրականացնում ենք հեռավորության մատրիցայի հերթական կրճատումը, արդյունքում ստանում ենք կրճատված մատրիցա։
| ես ժ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | դ ես |
| 1 | Մ | 12 | 10 | 4 | 0 | 0 |
| 2 | 0 | Մ | 9 | 2 | 6 | 0 |
| 3 | 6 | 12 | Մ | 0 | 5 | 0 |
| 4 | 0 | 6 | 0 | Մ | 1 | 0 |
| 5 | 0 | Մ | 0 | 0 | Մ | 0 |
| դիջ | 0 | 6 | 0 | 0 | 0 | 6 |
Միացնելով եզրը(5.2) իրականացվում է 5-րդ շարքի և 2-րդ սյունակի բոլոր տարրերը վերացնելու միջոցով, որոնցում d 25 տարրը փոխարինվում է M-ով, որպեսզի վերանա ոչ Համիլտոնյան ցիկլի ձևավորումը։
| ես ժ | 1 | 3 | 4 | 5 | դ ես |
| 1 | Մ | 10 | 4 | 0 | 0 |
| 2 | 0 | 9 | 2 | Մ | 0 |
| 3 | 6 | Մ | 0 | 5 | 0 |
| 4 | 0 | 0 | Մ | 1 | 0 |
| դիջ | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
(5,2) ենթաբազմության ստորին սահմանը հավասար է՝ H(5,2) = 35 + 0 = 35 ≤ 41
Քանի որ այս ենթաբազմության ստորին սահմանը (5,2) փոքր է ենթաբազմությունից (5*,2*), մենք երթուղու մեջ ընդգրկում ենք եզրը (5,2) H = 35 նոր սահմանով:
Քայլ #2.
Ճյուղավորման եզրի որոշումև այս եզրին առնչվող երթուղիների ամբողջ փաթեթը բաժանեք երկու ենթաբազմությունների (i,j) և (i*,j*):
Այդ նպատակով զրոյական տարրերով մատրիցայի բոլոր բջիջների համար զրոները հերթով փոխարինում ենք M-ով (անսահմանություն) և դրանց համար որոշում ենք ստացված կրճատման հաստատունների գումարը, դրանք տրված են փակագծերում։
| ես ժ | 1 | 3 | 4 | 5 | դ ես |
| 1 | Մ | 10 | 4 | 0(5) | 4 |
| 2 | 0(2) | 9 | 2 | Մ | 2 |
| 3 | 6 | Մ | 0(7) | 5 | 5 |
| 4 | 0(0) | 0(9) | Մ | 1 | 0 |
| դիջ | 0 | 9 | 2 | 1 | 0 |
Կրճատման հաստատունների ամենամեծ գումարը (0 + 9) = 9 է եզրի համար (4,3), հետևաբար, բազմությունը բաժանվում է երկու ենթաբազմությունների (4,3) և (4*,3*):
Եզրերի բացառումը(4.3) իրականացվում է d 43 = 0 տարրը M-ով փոխարինելով, որից հետո ստացված ենթաբազմության համար (4*,3*) իրականացնում ենք հեռավորության մատրիցայի հերթական կրճատումը, արդյունքում ստանում ենք կրճատված մատրիցա։
| ես ժ | 1 | 3 | 4 | 5 | դ ես |
| 1 | Մ | 10 | 4 | 0 | 0 |
| 2 | 0 | 9 | 2 | Մ | 0 |
| 3 | 6 | Մ | 0 | 5 | 0 |
| 4 | 0 | Մ | Մ | 1 | 0 |
| դիջ | 0 | 9 | 0 | 0 | 9 |
Միացնելով եզրը(4.3) իրականացվում է 4-րդ շարքի և 3-րդ սյունակի բոլոր տարրերը վերացնելու միջոցով, որոնցում d 34 տարրը փոխարինվում է M-ով, որպեսզի վերանա ոչ Համիլտոնյան ցիկլի ձևավորումը։
Կրճատման գործողությունից հետո կրճատված մատրիցը կունենա հետևյալ տեսքը.
| ես ժ | 1 | 4 | 5 | դ ես |
| 1 | Մ | 4 | 0 | 0 |
| 2 | 0 | 2 | Մ | 0 |
| 3 | 6 | Մ | 5 | 5 |
| դիջ | 0 | 2 | 0 | 7 |
(4,3) ենթաբազմության ստորին սահմանը հավասար է՝ H(4,3) = 35 + 7 = 42 ≤ 44
Քանի որ 42 > 41, մենք բացառում ենք ենթաբազմությունը (5,2) հետագա ճյուղավորման համար:
Մենք վերադառնում ենք նախորդ X 1 պլանին:
Պլան X 1.
| ես ժ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 1 | Մ | 12 | 10 | 4 | 0 |
| 2 | 0 | Մ | 9 | 2 | 6 |
| 3 | 6 | 12 | Մ | 0 | 5 |
| 4 | 0 | 6 | 0 | Մ | 1 |
| 5 | 0 | Մ | 0 | 0 | Մ |
| ես ժ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 1 | Մ | 6 | 10 | 4 | 0 |
| 2 | 0 | Մ | 9 | 2 | 6 |
| 3 | 6 | 6 | Մ | 0 | 5 |
| 4 | 0 | 0 | 0 | Մ | 1 |
| 5 | 0 | Մ | 0 | 0 | Մ |
Ճյուղավորման եզրի որոշումև այս եզրին առնչվող երթուղիների ամբողջ փաթեթը բաժանեք երկու ենթաբազմությունների (i,j) և (i*,j*):
Այդ նպատակով զրոյական տարրերով մատրիցայի բոլոր բջիջների համար զրոները հերթով փոխարինում ենք M-ով (անսահմանություն) և դրանց համար որոշում ենք ստացված կրճատման հաստատունների գումարը, դրանք տրված են փակագծերում։
| ես ժ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | դ ես |
| 1 | Մ | 6 | 10 | 4 | 0(5) | 4 |
| 2 | 0(2) | Մ | 9 | 2 | 6 | 2 |
| 3 | 6 | 6 | Մ | 0(5) | 5 | 5 |
| 4 | 0(0) | 0(6) | 0(0) | Մ | 1 | 0 |
| 5 | 0(0) | Մ | 0(0) | 0(0) | Մ | 0 |
| դիջ | 0 | 6 | 0 | 0 | 1 | 0 |
Կրճատման հաստատունների ամենամեծ գումարը (0 + 6) = 6 է եզրի համար (4,2), հետևաբար, բազմությունը բաժանվում է երկու ենթաբազմությունների (4,2) և (4*,2*):
Եզրերի բացառումը(4.2) իրականացվում է d 42 = 0 տարրը M-ով փոխարինելով, որից հետո ստացված ենթաբազմության համար (4*,2*) իրականացնում ենք հեռավորության մատրիցայի հերթական կրճատումը, արդյունքում ստանում ենք կրճատված մատրիցա։
| ես ժ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | դ ես |
| 1 | Մ | 6 | 10 | 4 | 0 | 0 |
| 2 | 0 | Մ | 9 | 2 | 6 | 0 |
| 3 | 6 | 6 | Մ | 0 | 5 | 0 |
| 4 | 0 | Մ | 0 | Մ | 1 | 0 |
| 5 | 0 | Մ | 0 | 0 | Մ | 0 |
| դիջ | 0 | 6 | 0 | 0 | 0 | 6 |
Միացնելով եզրը(4.2) իրականացվում է 4-րդ շարքի և 2-րդ սյունակի բոլոր տարրերը վերացնելու միջոցով, որոնցում d 24 տարրը փոխարինվում է M-ով, որպեսզի վերանա ոչ Համիլտոնյան ցիկլի ձևավորումը։
Արդյունքում ստացվում է ևս մեկ կրճատված մատրիցա (4 x 4), որը ենթակա է կրճատման գործողության:
Կրճատման գործողությունից հետո կրճատված մատրիցը կունենա հետևյալ տեսքը.
| ես ժ | 1 | 3 | 4 | 5 | դ ես |
| 1 | Մ | 10 | 4 | 0 | 0 |
| 2 | 0 | 9 | Մ | 6 | 0 |
| 3 | 6 | Մ | 0 | 5 | 0 |
| 5 | 0 | 0 | 0 | Մ | 0 |
| դիջ | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
(4,2) ենթաբազմության ստորին սահմանը հավասար է՝ H(4,2) = 41 + 0 = 41 ≤ 47
Քանի որ այս ենթաբազմության ստորին սահմանը (4,2) փոքր է ենթաբազմությունից (4*,2*), մենք երթուղու մեջ ընդգրկում ենք եզրը (4,2) H = 41 նոր սահմանով:
Քայլ #2.
Ճյուղավորման եզրի որոշումև այս եզրին առնչվող երթուղիների ամբողջ փաթեթը բաժանեք երկու ենթաբազմությունների (i,j) և (i*,j*):
Այդ նպատակով զրոյական տարրերով մատրիցայի բոլոր բջիջների համար զրոները հերթով փոխարինում ենք M-ով (անսահմանություն) և դրանց համար որոշում ենք ստացված կրճատման հաստատունների գումարը, դրանք տրված են փակագծերում։
| ես ժ | 1 | 3 | 4 | 5 | դ ես |
| 1 | Մ | 10 | 4 | 0(9) | 4 |
| 2 | 0(6) | 9 | Մ | 6 | 6 |
| 3 | 6 | Մ | 0(5) | 5 | 5 |
| 5 | 0(0) | 0(9) | 0(0) | Մ | 0 |
| դիջ | 0 | 9 | 0 | 5 | 0 |
Կրճատման հաստատունների ամենամեծ գումարը (4 + 5) = 9 է եզրի համար (1,5), հետևաբար, բազմությունը բաժանվում է երկու ենթաբազմությունների (1,5) և (1*,5*):
Եզրերի բացառումը(1.5) իրականացվում է d 15 = 0 տարրը M-ով փոխարինելու միջոցով, որից հետո ստացված ենթաբազմության համար (1*,5*) իրականացնում ենք հեռավորության մատրիցայի հերթական կրճատումը, արդյունքում ստանում ենք կրճատված մատրիցա։
| ես ժ | 1 | 3 | 4 | 5 | դ ես |
| 1 | Մ | 10 | 4 | Մ | 4 |
| 2 | 0 | 9 | Մ | 6 | 0 |
| 3 | 6 | Մ | 0 | 5 | 0 |
| 5 | 0 | 0 | 0 | Մ | 0 |
| դիջ | 0 | 0 | 0 | 5 | 9 |
Միացնելով եզրը(1.5) իրականացվում է 1-ին շարքի և 5-րդ սյունակի բոլոր տարրերը վերացնելու միջոցով, որոնցում d 51 տարրը փոխարինվում է M-ով, որպեսզի վերանա ոչ Համիլտոնյան ցիկլի ձևավորումը։
Արդյունքում մենք ստանում ենք մեկ այլ կրճատված մատրիցա (3 x 3), որը ենթակա է կրճատման գործողության։
Կրճատման գործողությունից հետո կրճատված մատրիցը կունենա հետևյալ տեսքը.
| ես ժ | 1 | 3 | 4 | դ ես |
| 2 | 0 | 9 | Մ | 0 |
| 3 | 6 | Մ | 0 | 0 |
| 5 | Մ | 0 | 0 | 0 |
| դիջ | 0 | 0 | 0 | 0 |
(1,5) ենթաբազմության ստորին սահմանը հավասար է՝ H(1,5) = 41 + 0 = 41 ≤ 50
Քանի որ այս ենթաբազմության ստորին սահմանը (1,5) փոքր է ենթաբազմությունից (1*,5*), մենք երթուղու մեջ ընդգրկում ենք եզրը (1,5) H = 41 նոր սահմանով:
Քայլ #3.
Ճյուղավորման եզրի որոշումև այս եզրին առնչվող երթուղիների ամբողջ փաթեթը բաժանեք երկու ենթաբազմությունների (i,j) և (i*,j*):
Այդ նպատակով զրոյական տարրերով մատրիցայի բոլոր բջիջների համար զրոները հերթով փոխարինում ենք M-ով (անսահմանություն) և դրանց համար որոշում ենք ստացված կրճատման հաստատունների գումարը, դրանք տրված են փակագծերում։
| ես ժ | 1 | 3 | 4 | դ ես |
| 2 | 0(15) | 9 | Մ | 9 |
| 3 | 6 | Մ | 0(6) | 6 |
| 5 | Մ | 0(9) | 0(0) | 0 |
| դիջ | 6 | 9 | 0 | 0 |
Կրճատման հաստատունների ամենամեծ գումարը (9 + 6) = 15 է եզրի համար (2,1), հետևաբար, բազմությունը բաժանվում է երկու ենթաբազմությունների (2,1) և (2*,1*):
Եզրերի բացառումը(2.1) իրականացվում է d 21 = 0 տարրը M-ով փոխարինելով, որից հետո ստացված ենթաբազմության համար (2*,1*) իրականացնում ենք հեռավորության մատրիցայի հերթական կրճատումը, արդյունքում ստանում ենք կրճատված մատրիցա։
| ես ժ | 1 | 3 | 4 | դ ես |
| 2 | Մ | 9 | Մ | 9 |
| 3 | 6 | Մ | 0 | 0 |
| 5 | Մ | 0 | 0 | 0 |
| դիջ | 6 | 0 | 0 | 15 |
Միացնելով եզրը(2.1) իրականացվում է 2-րդ շարքի և 1-ին սյունակի բոլոր տարրերը վերացնելու միջոցով, որոնցում d 12 տարրը փոխարինվում է M-ով, որպեսզի վերանա ոչ Համիլտոնյան ցիկլի ձևավորումը։
Արդյունքում մենք ստանում ենք մեկ այլ կրճատված մատրիցա (2 x 2), որը ենթակա է կրճատման գործողության։
Կրճատման գործողությունից հետո կրճատված մատրիցը կունենա հետևյալ տեսքը.
| ես ժ | 3 | 4 | դ ես |
| 3 | Մ | 0 | 0 |
| 5 | 0 | 0 | 0 |
| դիջ | 0 | 0 | 0 |
∑d i + ∑d j = 0
(2,1) ենթաբազմության ստորին սահմանը հավասար է՝ H(2,1) = 41 + 0 = 41 ≤ 56
Քանի որ այս ենթաբազմության ստորին սահմանը (2,1) փոքր է ենթաբազմությունից (2*,1*), մենք երթուղու մեջ ընդգրկում ենք եզրը (2,1) H = 41 նոր սահմանով:
Համաձայն այս մատրիցայի, մենք ներառում ենք եզրերը (3,4) և (5,3) Համիլտոնյան երթուղում:
Արդյունքում, Համիլտոնյան ցիկլի ճյուղավորվող ծառի երկայնքով եզրերը ձևավորվում են.
(4,2), (2,1), (1,5), (5,3), (3,4): Երթուղու երկարությունը F(Mk) = 41 է
Որոշման ծառ.
| 1 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| (5*,2*), H=41 | (5,2) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| (4*,2*), H=47 | (4,2) | (4*,3*), H=44 | (4,3) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| (1*,5*), H=50 | (1,5) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| (2*,1*), H=56 | (2,1) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| (3,4) | (3*,4*), H=41 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| (5,3) | (5*,3*), H=41 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Այս հաշվիչի հետ օգտագործվում են նաև հետևյալը.
ZLP-ի լուծման գրաֆիկական մեթոդ
ZLP-ի լուծման պարզ մեթոդ
Մատրիցային խաղի լուծում
Օգտագործելով առցանց ծառայությունը՝ կարող եք որոշել մատրիցային խաղի գինը (ներքևի և վերին սահմանները), ստուգել թամբի կետի առկայությունը, լուծում գտնել խառը ռազմավարության համար՝ օգտագործելով հետևյալ մեթոդները՝ մինիմաքս, սիմպլեքս մեթոդ, գրաֆիկական (երկրաչափական): ) մեթոդ, Բրաունի մեթոդ։
Երկու փոփոխականի ֆունկցիայի ծայրահեղություն
Դինամիկ ծրագրավորման խնդիրներ
Տրանսպորտային խնդրի լուծման առաջին փուլըդրա տեսակը որոշելն է (բաց կամ փակ, կամ այլ կերպ հավասարակշռված կամ անհավասարակշիռ): Մոտավոր մեթոդներ ( հղման պլան գտնելու մեթոդներ) թույլ տալ լուծման երկրորդ փուլըփոքր թվով քայլերով ստանալ խնդրի ընդունելի, բայց ոչ միշտ օպտիմալ լուծում: Մեթոդների այս խումբը ներառում է հետևյալ մեթոդները.
- ջնջում (կրկնակի նախապատվության մեթոդ);
- հյուսիս-արևմտյան անկյուն;
- նվազագույն տարր;
- Ֆոգելի մոտավորություններ.
Տրանսպորտային խնդրի տեղեկատու լուծում
Տրանսպորտի խնդրի տեղեկատու լուծումցանկացած իրագործելի լուծում է, որի դեպքում դրական կոորդինատներին համապատասխանող պայմանի վեկտորները գծային անկախ են: Թույլատրելի լուծման կոորդինատներին համապատասխանող պայմանների վեկտորների գծային անկախությունը ստուգելու համար օգտագործվում են ցիկլեր:ՑիկլՏրանսպորտային առաջադրանքների աղյուսակի բջիջների հաջորդականությունը կոչվում է, որում երկու և միայն հարակից բջիջները գտնվում են նույն տողում կամ սյունակում, իսկ առաջինը և վերջինը նույնպես նույն տողում կամ սյունակում են: Տրանսպորտային խնդրի պայմանների վեկտորների համակարգը գծային անկախ է, եթե և միայն այն դեպքում, երբ աղյուսակի համապատասխան բջիջներից որևէ ցիկլ չի կարող ձևավորվել: Ուստի տրանսպորտի խնդրի թույլատրելի լուծում i=1,2,...,m; j=1,2,...,n հղում է միայն այն դեպքում, եթե դրա զբաղեցրած աղյուսակի բջիջներից որևէ ցիկլ չի կարող ձևավորվել:
Տրանսպորտային խնդրի լուծման մոտավոր մեթոդներ.
Խաչաձև մեթոդ (կրկնակի նախապատվության մեթոդ). Եթե աղյուսակի տողում կամ սյունակում կա մեկ զբաղված բջիջ, ապա այն չի կարող ներառվել որևէ ցիկլի մեջ, քանի որ ցիկլը յուրաքանչյուր սյունակում ունի երկու և միայն երկու բջիջ: Հետևաբար, կարող եք հատել աղյուսակի բոլոր տողերը, որոնք պարունակում են մեկ զբաղեցրած բջիջ, այնուհետև հատել բոլոր սյունակները, որոնք պարունակում են մեկ զբաղեցրած բջիջ, այնուհետև վերադառնալ տողեր և շարունակել հատել տողերն ու սյունակները: Եթե ջնջման արդյունքում բոլոր տողերն ու սյունակները հատվում են, դա նշանակում է, որ աղյուսակի զբաղեցրած բջիջներից անհնար է ընտրել ցիկլ կազմող հատված, իսկ պայմանների համապատասխան վեկտորների համակարգը գծային անկախ է, իսկ լուծումը տեղեկատու է: Եթե ջնջելուց հետո որոշ բջիջներ մնան, ապա այդ բջիջները կազմում են ցիկլ, պայմանների համապատասխան վեկտորների համակարգը գծային կախվածության մեջ է, իսկ լուծումը հղում չէ։
Հյուսիսարևմտյան անկյան մեթոդբաղկացած է տրանսպորտային աղյուսակի տողերի և սյունակների միջով հաջորդաբար անցնելուց՝ սկսած ձախ սյունակից և վերին տողից, և աղյուսակի համապատասխան բջիջներում գրել առավելագույն հնարավոր առաքումները, որպեսզի մատակարարի հնարավորությունները կամ սպառողի կարիքները նշված լինեն. առաջադրանքը չի գերազանցվում. Այս մեթոդով ուշադրություն չի դարձվում առաքման գներին, քանի որ ենթադրվում է առաքումների հետագա օպտիմալացում։
Նվազագույն տարրերի մեթոդ. Չնայած իր պարզությանը, այս մեթոդը դեռ ավելի արդյունավետ է, քան, օրինակ, Հյուսիս-Արևմտյան անկյունային մեթոդը: Ավելին, նվազագույն տարրի մեթոդը պարզ է և տրամաբանական։ Դրա էությունն այն է, որ տրանսպորտային աղյուսակում նախ լրացվում են ամենացածր սակագներով բջիջները, իսկ հետո՝ բարձր սակագներով բջիջները։ Այսինքն՝ մենք ընտրում ենք բեռնափոխադրումներ՝ բեռների առաքման նվազագույն արժեքով։ Սա ակնհայտ և տրամաբանական քայլ է։ Ճիշտ է, դա միշտ չէ, որ հանգեցնում է օպտիմալ պլանի:
Ֆոգելի մոտարկման մեթոդ. Վոգելի մոտավոր մեթոդով յուրաքանչյուր կրկնության ժամանակ հայտնաբերվում է դրանցում գրված երկու նվազագույն սակագների տարբերությունը բոլոր սյունակների և բոլոր տողերի համար։ Այս տարբերությունները գրանցվում են խնդրի պայմանների աղյուսակում հատուկ նշանակված տողում և սյունակում: Նշված տարբերությունների մեջ ընտրված է նվազագույնը։ Այն տողում (կամ սյունակում), որին համապատասխանում է այս տարբերությունը, որոշվում է նվազագույն սակագինը։ Այն բջիջը, որում գրված է, լրացվում է այս կրկնության ժամանակ:
Օրինակ թիվ 1. Սակագնային մատրիցա (այստեղ մատակարարների թիվը 4 է, խանութների թիվը՝ 6).
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | Պահուստներ | |
| 1 | 3 | 20 | 8 | 13 | 4 | 100 | 80 |
| 2 | 4 | 4 | 18 | 14 | 3 | 0 | 60 |
| 3 | 10 | 4 | 18 | 8 | 6 | 0 | 30 |
| 4 | 7 | 19 | 17 | 10 | 1 | 100 | 60 |
| Կարիքներ | 10 | 30 | 40 | 50 | 70 | 30 |
∑a = 80 + 60 + 30 + 60 = 230
∑b = 10 + 30 + 40 + 50 + 70 + 30 = 230
Բալանսային պայմանը պահպանված է։ Ապահովում է հավասար կարիքներ: Այսպիսով, տրանսպորտային խնդրի մոդելը փակ է։ Եթե մոդելը բաց լիներ, անհրաժեշտ կլիներ ներկայացնել լրացուցիչ մատակարարներ կամ սպառողներ։
Վրա երկրորդ փուլՀղման պլանը որոնվում է՝ օգտագործելով վերը նշված մեթոդները (ամենատարածվածը նվազագույն ծախսերի մեթոդն է):
Ալգորիթմը ցուցադրելու համար ներկայացնում ենք ընդամենը մի քանի կրկնություն։
Կրկնություն թիվ 1. Նվազագույն մատրիցային տարրը զրո է: Այս տարրի համար պաշարները 60 են, իսկ պահանջները՝ 30: Դրանցից ընտրում ենք նվազագույն 30 թիվը և հանում այն (տես աղյուսակը)։ Միևնույն ժամանակ աղյուսակից վեցերորդ սյունակը հատում ենք (դրա կարիքները հավասար են 0-ի):
| 3 | 20 | 8 | 13 | 4 | x | 80 |
| 4 | 4 | 18 | 14 | 3 | 0 | 60 - 30 = 30 |
| 10 | 4 | 18 | 8 | 6 | x | 30 |
| 7 | 19 | 17 | 0 | 1 | x | 60 |
| 10 | 30 | 40 | 50 | 70 | 30 - 30 = 0 | 0 |
Կրկնություն թիվ 2. Կրկին մենք փնտրում ենք նվազագույնը (0): Զույգից (60;50) ընտրում ենք նվազագույն թիվը 50. Հինգերորդ սյունակը հատեք։
| 3 | 20 | 8 | x | 4 | x | 80 |
| 4 | 4 | 18 | x | 3 | 0 | 30 |
| 10 | 4 | 18 | x | 6 | x | 30 |
| 7 | 19 | 17 | 0 | 1 | x | 60 - 50 = 10 |
| 10 | 30 | 40 | 50 - 50 = 0 | 70 | 0 | 0 |
Կրկնություն թիվ 3. Մենք շարունակում ենք գործընթացը, քանի դեռ չենք ընտրել բոլոր կարիքներն ու պարագաները:
Կրկնություն No N. Ձեր փնտրած տարրը 8 է: Այս տարրի համար մատակարարումները հավասար են պահանջներին (40):
| 3 | x | 8 | x | 4 | x | 40 - 40 = 0 |
| x | x | x | x | 3 | 0 | 0 |
| x | 4 | x | x | x | x | 0 |
| x | x | x | 0 | 1 | x | 0 |
| 0 | 0 | 40 - 40 = 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | Պահուստներ | |
| 1 | 3 | 20 | 8 | 13 | 4 | 100 | 80 |
| 2 | 4 | 4 | 18 | 14 | 3 | 0 | 60 |
| 3 | 10 | 4 | 18 | 8 | 6 | 0 | 30 |
| 4 | 7 | 19 | 17 | 0 | 1 | 100 | 60 |
| Կարիքներ | 10 | 30 | 40 | 50 | 70 | 30 |
Եկեք հաշվենք աղյուսակի զբաղեցրած բջիջների քանակը, դրանք 8-ն են, բայց այն պետք է լինի m + n - 1 = 9: Հետևաբար, աջակցության պլանը այլասերված է: Մենք նոր ծրագիր ենք կազմում. Երբեմն դուք պետք է կառուցեք մի քանի տեղեկատու պլաններ, նախքան ոչ այլասերվածը գտնելը:
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | Պահուստներ | |
| 1 | 3 | 20 | 8 | 13 | 4 | 100 | 80 |
| 2 | 4 | 4 | 18 | 14 | 3 | 0 | 60 |
| 3 | 10 | 4 | 18 | 8 | 6 | 0 | 30 |
| 4 | 7 | 19 | 17 | 0 | 1 | 100 | 60 |
| Կարիքներ | 10 | 30 | 40 | 50 | 70 | 30 |
Արդյունքում ստացվում է աջակցության առաջին պլանը, որը վավեր է, քանի որ աղյուսակի զբաղեցրած բջիջների թիվը 9 է և համապատասխանում է m + n - 1 = 6 + 4 - 1 = 9 բանաձևին, այսինքն. հղման պլանն է ոչ այլասերված.
Երրորդ փուլբաղկացած է հայտնաբերված հղման պլանի կատարելագործումից: Այստեղ նրանք օգտագործում են պոտենցիալ մեթոդը կամ բաշխման մեթոդը: Այս փուլում լուծման ճիշտությունը կարելի է վերահսկել ծախսերի F(x) ֆունկցիայի միջոցով: Եթե այն նվազում է (ենթակա է նվազագույնի հասցնել ծախսերը), ապա լուծումը ճիշտ է։
Օրինակ թիվ 2. Օգտագործելով նվազագույն սակագնի մեթոդը, ներկայացրեք տրանսպորտային խնդրի լուծման նախնական պլան։ Ստուգեք օպտիմալությունը՝ օգտագործելով պոտենցիալ մեթոդը:
| 30 | 50 | 70 | 10 | 30 | 10 | |
| 40 | 2 | 4 | 6 | 1 | 1 | 2 |
| 80 | 3 | 4 | 5 | 9 | 9 | 6 |
| 60 | 4 | 3 | 2 | 7 | 8 | 7 |
| 20 | 5 | 1 | 3 | 5 | 7 | 9 |
Օրինակ թիվ 3. Հրուշակեղենի չորս գործարաններ կարող են արտադրել երեք տեսակի հրուշակեղեն: Յուրաքանչյուր գործարանի կողմից հրուշակեղենի մեկ կվինտալ արտադրանքի արտադրության ծախսերը, գործարանների արտադրական հզորությունը (ամսական քվինտալ) և հրուշակեղենի օրական պահանջները (ամսական քվինտալ) նշված են աղյուսակում: Կազմեք հրուշակեղենի արտադրության պլան, որը նվազագույնի է հասցնում արտադրության ընդհանուր ծախսերը:
Նշում. Այստեղ դուք կարող եք նախ փոխադրել ծախսերի աղյուսակը, քանի որ տրանսպորտային խնդրի դասական ձևակերպման համար առաջին տեղում են հզորությունները (արտադրությունը), իսկ հետո սպառողները:
Օրինակ թիվ 4. Օբյեկտների կառուցման համար աղյուսները մատակարարվում են երեք (I, II, III) գործարաններից։ Գործարանները պահեստներում ունեն համապատասխանաբար 50, 100 և 50 հազար միավոր։ աղյուսներ Օբյեկտների համար պահանջվում է համապատասխանաբար 50, 70, 40 և 40 հազար հատ։ աղյուսներ Սակագները (դենտ. միավոր/հազար միավոր) տրված են աղյուսակում: Ստեղծեք տրանսպորտային պլան, որը նվազագույնի կհասցնի տրանսպորտային ընդհանուր ծախսերը:
կփակվի, եթե՝Ա) a=40, b=45
Բ) a=45, b=40
Բ) a=11, b=12
Փակ տրանսպորտի խնդրի վիճակը՝ ∑a = ∑b
Մենք գտնում ենք, ∑a = 35+20+b = 55+b; ∑b = 60+a
Ստանում ենք՝ 55+b = 60+a
Հավասարություն կպահպանվի միայն a=40, b=45
