Տվյալ իրադարձությանը նպաստող դեպքերի ուղղակի հաշվումը կարող է դժվար լինել: Հետևաբար, իրադարձության հավանականությունը որոշելու համար կարող է ձեռնտու լինել պատկերացնել այս իրադարձությունը որպես որոշ այլ, ավելի պարզ իրադարձությունների համադրություն: Այս դեպքում, սակայն, դուք պետք է իմանաք այն կանոնները, որոնք կարգավորում են իրադարձությունների համակցությունների հավանականությունները: Հենց այս կանոններին են վերաբերում պարբերության վերնագրում նշված թեորեմները։

Դրանցից առաջինը վերաբերում է մի քանի իրադարձություններից առնվազն մեկի հավանականության հաշվարկին:

Հավելման թեորեմ.

Թող A և B լինեն երկու անհամատեղելի իրադարձություններ: Այնուհետև հավանականությունը, որ այս երկու իրադարձություններից առնվազն մեկը տեղի կունենա, հավասար է դրանց հավանականությունների գումարին.

Ապացույց. Թող լինի զույգ անհամատեղելի իրադարձությունների ամբողջական խումբ: Եթե ​​այդ տարրական իրադարձությունների մեջ կան հենց A-ի համար ձեռնտու իրադարձություններ և հենց B-ի համար ձեռնտու իրադարձություններ: Քանի որ A և B իրադարձությունները անհամատեղելի են, ապա ոչ մի իրադարձություն չի կարող նպաստել այս երկու իրադարձություններին: Իրադարձությունը (A կամ B), որը բաղկացած է այս երկու իրադարձություններից առնվազն մեկի առաջացումից, ակնհայտորեն բարենպաստ է ինչպես Ա-ին նպաստող իրադարձություններից, այնպես էլ իրադարձություններից յուրաքանչյուրի կողմից:

Բարենպաստ B. Հետևաբար, իրադարձության համար նպաստավոր իրադարձությունների ընդհանուր թիվը (A կամ B) հավասար է հետևյալ գումարին.

Ք.Ե.Դ.

Հեշտ է տեսնել, որ երկու իրադարձությունների դեպքում վերը ձևակերպված գումարման թեորեմը հեշտությամբ կարող է տեղափոխվել դրանց ցանկացած վերջավոր թվի դեպք: Հստակ, եթե կան զույգերով անհամատեղելի իրադարձություններ, ապա

Երեք իրադարձությունների դեպքում, օրինակ, կարելի է գրել

Գումարման թեորեմի կարևոր հետևանքն այն պնդումն է. եթե իրադարձությունները զույգ-զույգ անհամատեղելի են և եզակիորեն հնարավոր, ապա

Իրոք, իրադարձությունը կամ կամ կամ ենթադրությամբ որոշակի է, և դրա հավանականությունը, ինչպես նշված է § 1-ում, հավասար է մեկի: Մասնավորապես, եթե դրանք նկատի ունեն երկու միմյանց հակադիր իրադարձություններ, ապա

Օրինակներով բացատրենք գումարման թեորեմը։

Օրինակ 1. Թիրախի վրա կրակելիս գերազանց կրակոց կատարելու հավանականությունը 0,3 է, իսկ «լավ» կրակոցի հավանականությունը՝ 0,4։ Ո՞րն է հարվածի համար առնվազն «լավ» գնահատական ​​ստանալու հավանականությունը:

Լուծում. Եթե ​​իրադարձություն A նշանակում է «գերազանց» գնահատական ​​ստանալ, իսկ B իրադարձությունը նշանակում է «լավ» գնահատական, ապա

Օրինակ 2. Սպիտակ, կարմիր և սև գնդիկներ պարունակող urn-ում կան սպիտակ, իսկ ես կարմիր գնդիկներ: Որքա՞ն է ոչ սև գնդակ նկարելու հավանականությունը:

Լուծում. Եթե ​​իրադարձություն A-ն բաղկացած է սպիտակ գնդակի տեսքից, իսկ B իրադարձությունը բաղկացած է կարմիր գնդակից, ապա գնդակի տեսքը սև չէ:

նշանակում է սպիտակ կամ կարմիր գնդակի տեսք: Քանի որ ըստ հավանականության

ապա գումարման թեորեմով ոչ սև գնդակի հայտնվելու հավանականությունը հավասար է.

Այս խնդիրը կարելի է լուծել այսպես. Թող C իրադարձությունը բաղկացած լինի սև գնդակի տեսքից: Սև գնդիկների թիվը հավասար է այնպես, որ P (C) Ոչ սև գնդակի տեսքը C-ի հակառակ իրադարձությունն է, հետևաբար, գումարման թեորեմի վերը նշված հետևության հիման վրա ունենք.

ինչպես նախկինում:

Օրինակ 3. Կանխիկ նյութական վիճակախաղում 1000 տոմսերի շարքի համար տրվում է 120 կանխիկ և 80 նյութական շահում: Որքա՞ն է մեկ վիճակախաղի տոմսով որևէ բան շահելու հավանականությունը:

Լուծում. Եթե ​​A-ով նշում ենք դրամական շահույթից բաղկացած իրադարձություն, իսկ B-ով նյութական շահույթ, ապա հավանականության սահմանումից բխում է.

Մեզ հետաքրքրող իրադարձությունը ներկայացված է (A կամ B), հետևաբար այն բխում է գումարման թեորեմից

Այսպիսով, ցանկացած շահելու հավանականությունը 0,2 է։

Հաջորդ թեորեմին անցնելուց առաջ անհրաժեշտ է ծանոթանալ մի նոր կարևոր հասկացության՝ պայմանական հավանականության հայեցակարգին։ Այդ նպատակով մենք կսկսենք դիտարկել հետևյալ օրինակը.

Ենթադրենք, որ պահեստում կա 400 լամպ՝ արտադրված երկու տարբեր գործարաններում, և առաջինն արտադրում է բոլոր լամպերի 75%-ը, իսկ երկրորդը՝ 25%-ը։ Ենթադրենք, որ առաջին գործարանի կողմից արտադրված լամպերի մեջ 83%-ը բավարարում է որոշակի ստանդարտի պայմանները, իսկ երկրորդ գործարանի արտադրանքի համար այս տոկոսը կազմում է 63։ Եկեք որոշենք այն հավանականությունը, որ լամպը պատահականորեն վերցված է լամպից։ պահեստը կբավարարի ստանդարտի պայմանները:

Նկատի ունեցեք, որ հասանելի ստանդարտ լամպերի ընդհանուր թիվը բաղկացած է առաջինի կողմից արտադրված լամպերից.

գործարան, և երկրորդ գործարանի կողմից արտադրված 63 լամպ, այսինքն՝ հավասար 312-ի։ Քանի որ ցանկացած լամպի ընտրությունը հավասարապես հնարավոր է համարել, 400-ից ունենք 312 բարենպաստ դեպք, ուստի.

որտեղ B իրադարձությունն այն է, որ մեր ընտրած լամպը ստանդարտ է:

Այս հաշվարկի ժամանակ ենթադրություններ չեն արվել այն մասին, թե մեր ընտրած լամպը որ գործարանին է պատկանում։ Եթե ​​նման ենթադրություններ անենք, ապա ակնհայտ է, որ մեզ հետաքրքրող հավանականությունը կարող է փոխվել։ Այսպիսով, օրինակ, եթե հայտնի է, որ ընտրված լամպը արտադրվել է առաջին գործարանում (միջոցառում A), ապա դրա ստանդարտ լինելու հավանականությունը այլևս չի լինի 0,78, այլ 0,83:

Այս տեսակի հավանականությունը, այսինքն՝ B իրադարձության հավանականությունը, հաշվի առնելով, որ A իրադարձությունը տեղի է ունենում, կոչվում է B իրադարձության պայմանական հավանականություն՝ հաշվի առնելով A իրադարձության առաջացումը և նշվում է.

Եթե ​​նախորդ օրինակում A-ով նշում ենք այն իրադարձությունը, որ ընտրված լամպը արտադրվել է առաջին գործարանում, ապա կարող ենք գրել.

Այժմ մենք կարող ենք ձևակերպել կարևոր թեորեմ՝ կապված իրադարձությունների համակցման հավանականության հաշվարկի հետ։

Բազմապատկման թեորեմ.

A և B իրադարձությունների համատեղման հավանականությունը հավասար է իրադարձություններից մեկի հավանականության և մյուսի պայմանական հավանականության արտադրյալին, ենթադրելով, որ առաջինը տեղի է ունեցել.

Այս դեպքում A և B իրադարձությունների համակցությունը նշանակում է դրանցից յուրաքանչյուրի առաջացումը, այսինքն՝ ինչպես A, այնպես էլ B իրադարձության առաջացումը:

Ապացույց. Դիտարկենք հավասարապես հնարավոր զույգ անհամատեղելի իրադարձությունների մի ամբողջական խումբ, որոնցից յուրաքանչյուրը կարող է բարենպաստ կամ անբարենպաստ լինել ինչպես A-ի, այնպես էլ B իրադարձության համար:

Եկեք այս բոլոր իրադարձությունները բաժանենք չորսի տարբեր խմբերհետեւյալ կերպ. Առաջին խումբը ներառում է այն իրադարձությունները, որոնք նպաստում են ինչպես A-ին, այնպես էլ B-ին. Երկրորդ և երրորդ խմբերն ընդգրկում են այն իրադարձությունները, որոնք ձեռնտու են մեզ հետաքրքրող երկու իրադարձություններից մեկին և չեն ձեռնտու մյուսին, օրինակ, երկրորդ խմբում ընդգրկված են նրանք, ովքեր ձեռնտու են A-ին, բայց չեն հավանում B-ին, իսկ երրորդ խումբը ներառում է նրանք, որոնք հավանություն տալ B-ին, բայց մի կողմ դնել A-ին; վերջապես դեպի

Չորրորդ խումբը ներառում է այն իրադարձությունները, որոնք չեն նպաստում ոչ Ա-ին, ոչ էլ Բ-ին:

Քանի որ իրադարձությունների համարակալումը նշանակություն չունի, մենք կարող ենք ենթադրել, որ այս բաժանումը չորս խմբերի ունի հետևյալ տեսքը.

I խումբ.

Խումբ II:

III խումբ:

IV խումբ.

Այսպիսով, հավասարապես հնարավոր և զույգերով անհամատեղելի իրադարձությունների շարքում կան իրադարձություններ, որոնք նպաստում են ինչպես A-ին, այնպես էլ B-ին, իրադարձություններ, որոնք նպաստում են A-ին, բայց չեն նպաստում A-ին, իրադարձություններ, որոնք նպաստում են B-ին, բայց չեն նպաստում A-ին, և վերջապես. իրադարձություններ, որոնք չեն նպաստում ոչ Ա-ին, ոչ էլ Բ-ին:

Ի դեպ, նշենք, որ մեր դիտարկած չորս խմբերից որևէ մեկը (և նույնիսկ մեկից ավելի) չի կարող որևէ իրադարձություն պարունակել։ Այս դեպքում նման խմբում իրադարձությունների թիվը ցույց տվող համապատասխան թիվը հավասար կլինի զրոյի:

Մեր բաժանումը խմբերի թույլ է տալիս անմիջապես գրել

քանի որ A և B իրադարձությունների համակցությունը ձեռնտու է առաջին խմբի իրադարձություններին և միայն նրանց: A-ին նպաստող իրադարձությունների ընդհանուր թիվը հավասար է առաջին և երկրորդ խմբերի իրադարձությունների ընդհանուր թվին, իսկ B-ին նպաստող իրադարձությունները հավասար են առաջին և երրորդ խմբերի իրադարձությունների ընդհանուր թվին:

Այժմ հաշվարկենք հավանականությունը, այսինքն՝ B իրադարձության հավանականությունը, պայմանով, որ A իրադարձությունը տեղի է ունեցել։ Այժմ երրորդ և չորրորդ խմբերում ընդգրկված իրադարձությունները անհետանում են, քանի որ դրանց տեսքը կհակասի Ա իրադարձության առաջացմանը և թվին. հնարավոր դեպքերըպարզվում է, որ այլևս հավասար չէ: Դրանցից B իրադարձությունը ձեռնտու է միայն առաջին խմբի իրադարձություններին, ուստի մենք ստանում ենք.

Թեորեմն ապացուցելու համար բավական է հիմա գրել ակնհայտ ինքնությունը.

և փոխարինել բոլոր երեք կոտորակները վերը հաշվարկված հավանականություններով: Մենք հասնում ենք թեորեմում նշված հավասարությանը.

Հասկանալի է, որ վերևում գրած ինքնությունը իմաստ ունի միայն այն դեպքում, եթե այն միշտ ճշմարիտ է, եթե Ա-ն անհնարին իրադարձություն չէ:

Քանի որ A և B իրադարձությունները հավասար են, ուրեմն, դրանք փոխանակելով, մենք ստանում ենք բազմապատկման թեորեմի մեկ այլ ձև.

Այնուամենայնիվ, այս հավասարությունը կարելի է ձեռք բերել նույն կերպ, ինչպես նախորդը, եթե նկատում եք, որ օգտագործելով ինքնությունը

Համեմատելով P(A և B) հավանականության երկու արտահայտությունների աջ կողմերը՝ մենք ստանում ենք օգտակար հավասարություն.

Այժմ դիտարկենք օրինակներ, որոնք ցույց են տալիս բազմապատկման թեորեմը:

Օրինակ 4. Որոշ ձեռնարկության արտադրանքներում պիտանի է համարվում արտադրանքի 96%-ը (միջոցառում Ա): Հարյուր հարմար ապրանքներից 75-ը, պարզվում է, պատկանում է առաջին դասարանին (միջոցառում B): Որոշեք հավանականությունը, որ պատահականորեն ընտրված ապրանքը հարմար կլինի և կպատկանի առաջին դասարանին:

Լուծում. Ցանկալի հավանականությունը A և B իրադարձությունների համադրման հավանականությունն է: Ըստ պայմանի ունենք. Հետևաբար բազմապատկման թեորեմը տալիս է

Օրինակ 5. Մեկ կրակոցով թիրախին խոցելու հավանականությունը (Ա իրադարձություն) 0,2 է։ Որքա՞ն է թիրախին խոցելու հավանականությունը, եթե ապահովիչների 2%-ը ձախողվի (այսինքն՝ 2%-ի դեպքում կրակոցը չի ստացվում.

Լուծում. Թող B իրադարձությունը լինի այնպես, որ կրակոց տեղի կունենա, իսկ B-ն նշանակի հակառակ իրադարձությունը: Ապա պայմանով և ըստ գումարման թեորեմի հետևանքի։ Ավելին, ըստ պայմանի.

Թիրախին հարվածելը նշանակում է A և B իրադարձությունների համակցություն (կրակոցը կարձակվի և կհարվածի), հետևաբար, ըստ բազմապատկման թեորեմի.

Կարևոր հատուկ դեպքԲազմապատկման թեորեմները կարելի է ստանալ՝ օգտագործելով իրադարձությունների անկախության հայեցակարգը։

Երկու իրադարձություն կոչվում են անկախ, եթե դրանցից մեկի հավանականությունը չի փոխվում մյուսի տեղի ունենալու կամ չկայանալու հետևանքով։

Անկախ իրադարձությունների օրինակներ են՝ դուրս գալը տարբեր թվերմիավորներ՝ մետաղադրամը նորից նետելիս կամ մետաղադրամի այս կամ այն ​​կողմը կրկին նետելիս, քանի որ ակնհայտ է, որ երկրորդ նետում զինանշանի ընկնելու հավանականությունը հավասար է՝ անկախ նրանից՝ զինանշանը դուրս է ընկել։ թե ոչ առաջինում։

Նմանապես, սպիտակ և սև գնդիկներ պարունակող սափորից երկրորդ անգամ սպիտակ գնդակ նկարելու հավանականությունը, եթե առաջին խաղարկված գնդակը նախկինում վերադարձվել է, կախված չէ նրանից, թե արդյոք գնդակն առաջին անգամ է նկարվել՝ սպիտակ, թե սև: Հետեւաբար, առաջին եւ երկրորդ հեռացման արդյունքները միմյանցից անկախ են: Ընդհակառակը, եթե առաջինը հանված գնդակը չի վերադառնում ափսեի մեջ, ապա երկրորդ հանման արդյունքը կախված է առաջինից, քանի որ առաջին հանելուց հետո կարասի գնդերի կազմը փոխվում է՝ կախված դրա արդյունքից։ Այստեղ մենք ունենք կախյալ իրադարձությունների օրինակ.

Օգտագործելով պայմանական հավանականությունների համար ընդունված նշումը, մենք կարող ենք գրել A և B իրադարձությունների անկախության պայմանը ձևով.

Օգտագործելով այս հավասարությունները, մենք կարող ենք կրճատել անկախ իրադարձությունների բազմապատկման թեորեմը հետևյալ ձևի.

Եթե ​​A և B իրադարձությունները անկախ են, ապա դրանց համակցության հավանականությունը հավասար է այս իրադարձությունների հավանականությունների արտադրյալին.

Իսկապես, բավական է բազմապատկման թեորեմի սկզբնական արտահայտության մեջ դնել, որը բխում է իրադարձությունների անկախությունից, և մենք կստանանք պահանջվող հավասարությունը։

Այժմ դիտարկենք մի քանի իրադարձություն. մենք դրանք կկոչենք հավաքականորեն անկախ, եթե դրանցից որևէ մեկի առաջացման հավանականությունը կախված չէ նրանից, թե որևէ այլ քննարկվող իրադարձություն տեղի է ունեցել, թե ոչ։

Իրադարձությունների դեպքում, որոնք հավաքականորեն անկախ են, բազմապատկման թեորեմը կարող է տարածվել դրանց ցանկացած վերջավոր թվի վրա, ուստի այն կարող է ձևակերպվել հետևյալ կերպ.

Անկախ իրադարձությունների ագրեգատի մեջ միավորելու հավանականությունը հավասար է այս իրադարձությունների հավանականությունների արտադրյալին.

Օրինակ 6. Աշխատողը սպասարկում է երեք ավտոմատ մեքենաներ, որոնցից յուրաքանչյուրին պետք է մոտենալ անսարքությունը շտկելու համար, եթե մեքենան կանգ է առնում: Հավանականությունը, որ առաջին մեքենան մեկ ժամվա ընթացքում կանգ չի առնի, 0,9 է։ Երկրորդ մեքենայի համար նույն հավանականությունը 0,8 է, իսկ երրորդի համար՝ 0,7։ Որոշեք հավանականությունը, որ մեկ ժամվա ընթացքում աշխատողը կարիք չի ունենա մոտենալու մեքենաներից որևէ մեկին, որը նա սպասարկում է:

Օրինակ 7. Ինքնաթիռը ինքնաձիգի կրակոցով խոցելու հավանականությունը Որքա՞ն է հակառակորդի ինքնաթիռը ոչնչացնելու հավանականությունը, եթե միաժամանակ արձակվի 250 հրացան:

Լուծում. Հավանականությունը, որ ինքնաթիռը մեկ կրակոցով չի խոցվի, հավասար է գումարման թեորեմին:Այնուհետև մենք կարող ենք բազմապատկման թեորեմի միջոցով հաշվարկել հավանականությունը, որ ինքնաթիռը չի խոցվի 250 կրակոցով, որպես միավորման հավանականություն: իրադարձություններ. Այն հավասար է սրանից հետո, մենք կարող ենք կրկին օգտագործել գումարման թեորեմը և գտնել ինքնաթիռի կործանման հավանականությունը՝ որպես հակառակ իրադարձության հավանականություն։

Այստեղից երեւում է, որ թեեւ մեկ ինքնաձիգով ինքնաթիռ խոցելու հավանականությունը չնչին է, այնուամենայնիվ, 250 ինքնաձիգից կրակելիս ինքնաթիռը խոցելու հավանականությունն արդեն շատ նկատելի է։ Այն զգալիորեն ավելանում է, եթե ավելացնեն հրացանների քանակը։ Այսպիսով, 500 հրացանից կրակելիս ինքնաթիռը խփելու հավանականությունը, ինչպես հեշտ է հաշվարկել, հավասար է 1000 հրացանից կրակելիս՝ նույնիսկ։

Վերևում ապացուցված բազմապատկման թեորեմը թույլ է տալիս որոշ չափով ընդլայնել գումարման թեորեմը՝ ընդարձակելով այն համատեղելի իրադարձությունների դեպքում։ Հասկանալի է, որ եթե A և B իրադարձությունները համատեղելի են, ապա դրանցից գոնե մեկի առաջացման հավանականությունը հավասար չէ դրանց հավանականությունների գումարին։ Օրինակ, եթե A իրադարձությունը նշանակում է զույգ թիվ

միավորների քանակը, երբ գցում է մեռնելը, և իրադարձություն B-ը մի շարք միավորների կորուստն է, որը երեքի բազմապատիկ է, այնուհետև իրադարձությունը (A կամ B) բարենպաստ է 2, 3, 4 և 6 միավորների կորստով, այն է

Մյուս կողմից, այսինքն. Այսպիսով, այս դեպքում

Այստեղից պարզ է դառնում, որ համատեղելի իրադարձությունների դեպքում պետք է փոխվի հավանականությունների գումարման թեորեմը։ Ինչպես հիմա կտեսնենք, այն կարող է ձևակերպվել այնպես, որ այն վավեր լինի և՛ համատեղելի, և՛ անհամատեղելի իրադարձությունների համար, այնպես որ նախկինում դիտարկված գումարման թեորեմը նորի հատուկ դեպք է։

Իրադարձություններ, որոնք ձեռնտու չեն Ա.

Բոլոր տարրական իրադարձությունները, որոնք նպաստում են իրադարձությանը (A կամ B) պետք է օգտվեն միայն A-ին, կամ միայն B-ին, կամ երկուսն էլ A-ին և B-ին: Այսպիսով, նման իրադարձությունների ընդհանուր թիվը հավասար է.

և հավանականությունը

Ք.Ե.Դ.

Կիրառելով (9) բանաձևը զառ նետելիս հայտնված կետերի թվի վերը նշված օրինակին, մենք ստանում ենք.

որը համընկնում է ուղղակի հաշվարկի արդյունքի հետ։

Ակնհայտ է, որ բանաձևը (1) հատուկ դեպք է (9): Իսկապես, եթե A և B իրադարձությունները անհամատեղելի են, ապա համակցության հավանականությունը

Օրինակ. Երկու ապահովիչներ հաջորդաբար միացված են էլեկտրական միացմանը: Առաջին ապահովիչի խափանման հավանականությունը 0,6 է, իսկ երկրորդինը՝ 0,2։ Եկեք որոշենք հոսանքի խափանման հավանականությունը այս ապահովիչներից առնվազն մեկի խափանման արդյունքում:

Լուծում. Քանի որ A և B իրադարձությունները, որոնք բաղկացած են ապահովիչների առաջին և երկրորդի ձախողումից, համատեղելի են, պահանջվող հավանականությունը որոշվելու է բանաձևով (9).

Զորավարժություններ

Իրադարձության հայեցակարգը և իրադարձության հավանականությունը: Հուսալի և անհնարին իրադարձություններ. Հավանականության դասական սահմանում. Հավանականության գումարման թեորեմ. Հավանականության բազմապատկման թեորեմ. Հավանականության որոշման ամենապարզ խնդիրների լուծումը հավանականությունների գումարման միջոցով:

Ուղեցույցներ 3.1 թեմայի համար.

Իրադարձության հայեցակարգը և իրադարձության հավանականությունը: Հուսալի և անհնարին իրադարձություններ. Հավանականությունների դասական սահմանում.

Յուրաքանչյուր երևույթի ուսումնասիրությունը դիտարկման կամ փորձարկման կարգով կապված է որոշակի պայմանների (թեստերի) իրականացման հետ։ Թեստի յուրաքանչյուր արդյունք կամ արդյունք կոչվում է իրադարձություն.

Եթե ​​որևէ իրադարձություն տվյալ պայմաններում կարող է տեղի ունենալ կամ տեղի չունենալ, ապա այն կոչվում է պատահական.Երբ մի իրադարձություն անպայման տեղի կունենա, այն կոչվում է հուսալի, իսկ այն դեպքում, երբ դա ակնհայտորեն չի կարող տեղի ունենալ, - անհնարին.

Իրադարձությունները կոչվում են անհամատեղելի,եթե դրանցից միայն մեկն է հնարավոր ամեն անգամ հայտնվել։ Իրադարձությունները կոչվում են համատեղ,եթե տվյալ պայմաններում այս իրադարձություններից մեկի առաջացումը չի բացառում մյուսի առաջացումը նույն թեստի ժամանակ:

Իրադարձությունները կոչվում են հակառակ,եթե թեստի պայմաններում դրանք, լինելով դրա միակ արդյունքները, անհամատեղելի են։

Իրադարձության հավանականությունը դիտվում է որպես պատահական իրադարձության առաջացման օբյեկտիվ հնարավորության չափանիշ։

Հավանականությունիրադարձությունները կոչվում են արդյունքների քանակի հարաբերակցություն մ, բարենպաստ տվյալ իրադարձության առաջացման համար, բոլոր արդյունքների n թվին (անհամատեղելի, միայն հնարավոր և հավասարապես հնարավոր), այսինքն.

Ցանկացած իրադարձության հավանականությունը չի կարող լինել զրոյից փոքր և մեկից մեծ, այսինքն. . Անհնարին իրադարձությունը համապատասխանում է հավանականությանը, իսկ հուսալի իրադարձությունը՝ հավանականությանը

Օրինակ 1. 1000 տոմսից բաղկացած վիճակախաղում կա 200 շահող: Մեկ տոմս հանվում է պատահականության սկզբունքով։ Որքա՞ն է հավանականությունը, որ այս տոմսը հաղթող է:

Տարբեր արդյունքների ընդհանուր թիվը կազմում է n= 1000. Հաղթելու համար բարենպաստ արդյունքների թիվը մ= 200. Ըստ բանաձևի, մենք ստանում ենք.

Օրինակ 2. 5 սպիտակ և 3 սև գնդիկ պարունակող սափորից մեկ գնդակ է քաշվում: Գտե՛ք գնդակի սև լինելու հավանականությունը:

Սև գնդակի տեսքից բաղկացած իրադարձությունը նշանակենք . Դեպքերի ընդհանուր թիվը. Դեպքերի թիվը մ, իրադարձության առաջացման համար նպաստավոր, հավասար է 3-ի։ Օգտագործելով բանաձևը՝ ստանում ենք .

Օրինակ 3. 12 սպիտակ և 8 սև գնդիկ պարունակող անոթից պատահականորեն երկու գնդակ են քաշվում: Որքա՞ն է հավանականությունը, որ երկու գնդակներն էլ սև են:

Երկու սև գնդակների տեսքից բաղկացած իրադարձությունը նշանակենք . Հնարավոր դեպքերի ընդհանուր թիվը nհավասար է 20 տարրերի (12 + 8) համակցությունների թվին երկուսով.

Դեպքերի թիվը մ, միջոցառմանը նպաստավոր է

Օգտագործելով բանաձևը, մենք գտնում ենք երկու սև գնդակների հայտնվելու հավանականությունը.

Հավանականության գումարման թեորեմ. Հավանականության որոշման ամենապարզ խնդիրների լուծումը՝ օգտագործելով հավանականության գումարման թեորեմը.

Անհամատեղելի իրադարձությունների հավանականությունների գումարման թեորեմ.Մի քանի զույգ անհամատեղելի իրադարձություններից մեկի առաջացման հավանականությունը, անկախ նրանից, թե որ մեկը, հավասար է այս իրադարձությունների հավանականությունների գումարին.

Համատեղ իրադարձությունների հավանականությունների գումարման թեորեմ.Երկու համատեղ իրադարձություններից առնվազն մեկի առաջացման հավանականությունը հավասար է այս իրադարձությունների հավանականությունների գումարին` առանց դրանց համատեղ առաջացման հավանականության.

Օրինակ 4. Տուփի մեջ պատահական հերթականությամբ դասավորված են 20 մասեր, որոնցից հինգը ստանդարտ են: Աշխատողը պատահականորեն վերցնում է երեք մաս: Գտեք հավանականությունը, որ վերցված մասերից գոնե մեկը կլինի ստանդարտ:

Ակնհայտ է, որ վերցված մասերից առնվազն մեկը կլինի ստանդարտ, եթե տեղի ունենա երեք անհամատեղելի իրադարձություններից որևէ մեկը. Բ- մի մասը ստանդարտ է, երկուսը` ոչ ստանդարտ; Գ- երկու ստանդարտ մասեր, մեկ ոչ ստանդարտ և Դ- երեք մասերը ստանդարտ են:

Այսպիսով, իրադարձությունը Ակարող է ներկայացվել որպես այս երեք իրադարձությունների գումար. A = B + C + D.Հավելման թեորեմով մենք ունենք P(A) = P(B) + P(C) + P(D):Գտեք այս իրադարձություններից յուրաքանչյուրի հավանականությունը.

Գտնված արժեքները ավելացնելով՝ ստանում ենք

Օրինակ 5. Գտե՛ք պատահականորեն վերցված լինելու հավանականությունը երկնիշ թիվկլինի 3-ի կամ 5-ի կամ երկուսի բազմապատիկ:

Թող Ա- իրադարձություն, որը բաղկացած է նրանից, որ պատահականորեն ընտրված թիվը 3-ի բազմապատիկ է, և Բ- այն է, որ դա 5-ի բազմապատիկն է։ Եկեք գտնենք Քանի որ ԱԵվ Բհամատեղ միջոցառումներ, ապա մենք օգտագործում ենք բանաձևը.

Ընդհանուր առմամբ կան 90 երկնիշ թվեր. Ա); 18 - 5-ի բազմապատիկ (նպաստում է իրադարձության առաջացմանը Բ) և 6 - 3-ի և 5-ի միևնույն ժամանակ բազմապատիկ (նպաստում է իրադարձության առաջացմանը ԱԲ) Այսպիսով, այսինքն.

Հավանականության բազմապատկման թեորեմ.

Անկախ իրադարձությունների հավանականությունները բազմապատկելու թեորեմ.Երկու անկախ իրադարձությունների համատեղ առաջացման հավանականությունը հավասար է այս իրադարձությունների հավանականությունների արտադրյալին.

Մի քանի իրադարձությունների առաջացման հավանականությունը, որոնք ագրեգատում անկախ են, հաշվարկվում է բանաձևով.

Կախված իրադարձությունների հավանականությունները բազմապատկելու թեորեմ.Երկու կախյալ իրադարձությունների համատեղ առաջացման հավանականությունը հավասար է դրանցից մեկի արտադրյալին և երկրորդի պայմանական հավանականությանը.

Օրինակ 6. Մեկ սափորը պարունակում է 4 սպիտակ և 8 սև գնդիկներ, մյուսը պարունակում է 3 սպիտակ և 9 սև գնդակ: Յուրաքանչյուր կարասից մեկական գնդակ են վերցրել: Գտեք հավանականությունը, որ երկու գնդակներն էլ սպիտակ են:

Թող լինի սպիտակ գնդիկի տեսք առաջին կարասից, և թող լինի սպիտակ գնդիկի տեսք՝ երկրորդ կարասից: Ակնհայտ է, որ իրադարձություններն անկախ են։ Մենք կգտնենք

Օգտագործելով բանաձևը, մենք ստանում ենք.

Ինքնաթեստի հարցեր 3.1 թեմայի վերաբերյալ.

1. Ի՞նչ է իրադարձությունը:

2. Ո՞ր իրադարձություններն են կոչվում վստահելի:

3. Ո՞ր իրադարձություններն են կոչվում անհնարին:

4. Սահմանել հավանականությունը:

5. Ձևակերպե՛ք հավանականությունների գումարման թեորեմը:

6. Ձևակերպե՛ք հավանականության բազմապատկման թեորեմը:

Առաջադրանքներ համար անկախ որոշում 3.1 թեմայի վերաբերյալ.

1. Տուփը պատահական հերթականությամբ պարունակում է 10 մաս, որից 4-ը՝ ստանդարտ։ Տեսուչը պատահական 3 մաս է վերցրել. Գտե՛ք այն հավանականությունը, որ վերցված մասերից գոնե մեկը ստանդարտ է ստացվել։

2. Սուրը պարունակում է 10 սպիտակ, 15 սև, 20 կապույտ և 25 կարմիր գնդակ: Գտե՛ք հավանականությունը, որ գծված գնդակը կլինի՝ 1) սպիտակ; 2) սև կամ կարմիր.

3. Գտե՛ք այն հավանականությունը, որ պատահականորեն ընտրված երկնիշ թիվը կլինի 4-ի կամ 5-ի կամ երկուսի բազմապատիկը:

4. Աշխատողը սպասարկում է երկու մեքենաներ, որոնք գործում են միմյանցից անկախ: Հավանականությունը, որ առաջին մեքենան մեկ ժամվա ընթացքում չի պահանջի աշխատողի ուշադրությունը, 0,8 է, իսկ երկրորդ մեքենայի համար՝ 0,7: Գտեք հավանականությունը, որ մեկ ժամվա ընթացքում ոչ մի մեքենա չի պահանջի աշխատողի ուշադրությունը:

5. Սուրը պարունակում է 6 գնդիկ, որոնցից 3-ը՝ սպիտակ։ Պատահականորեն նկարվում են երկու գնդակներ՝ մեկը մյուսի հետևից: Հաշվիր հավանականությունը, որ երկու գնդակներն էլ սպիտակ են:

6. Սուրը պարունակում է 10 սպիտակ և 6 սև գնդիկներ: Գտեք հավանականությունը, որ պատահականորեն գծված երեք գնդակները մեկը մյուսի հետևից սև կլինեն:

Դիտարկվում է փորձ Ե. Ենթադրվում է, որ այն կարող է իրականացվել բազմիցս։ Փորձի արդյունքում կարող են ի հայտ գալ տարբեր իրադարձություններ՝ կազմելով որոշակի հավաքածու Ֆ. Դիտելի իրադարձությունները բաժանվում են երեք տեսակի՝ հուսալի, անհնարին, պատահական։

Հուսալի այն իրադարձությունը, որն անպայման տեղի կունենա փորձի արդյունքում, կոչվում է Ե. Նշվում է Ω-ով:

Անհնարին Այն իրադարձությունը, որը հայտնի է, որ չի պատահում փորձի արդյունքում, կոչվում է Ե. Նշվում է .

Պատահական Այն իրադարձությունը, որը կարող է տեղի ունենալ կամ չի կարող տեղի ունենալ փորձի արդյունքում, կոչվում է Ե.

Լրացուցիչ (հակառակ) իրադարձություն Աիրադարձություն է, որը նշվում է , որը տեղի է ունենում, եթե և միայն այն դեպքում, եթե իրադարձությունը տեղի չի ունենում Ա.

Գումար (համակցություն) իրադարձությունները իրադարձություն է, որը տեղի է ունենում, եթե և միայն այն դեպքում, եթե տեղի է ունենում այս իրադարձություններից գոնե մեկը (Նկար 3.1): Նշում.

Նկար 3.1

Ապրանք (խաչմերուկ) իրադարձությունները իրադարձություն է, որը տեղի է ունենում, եթե և միայն այն դեպքում, եթե այս բոլոր իրադարձությունները տեղի են ունենում միասին (միաժամանակ) (Նկար 3.2): Նշում. Ակնհայտ է, որ իրադարձությունները Ա և Բ անհամատեղելի , Եթե .

Նկար 3.2

Իրադարձությունների ամբողջական խումբ իրադարձությունների մի շարք է, որոնց գումարը որոշակի իրադարձություն է.

Իրադարձություն INկանչեց իրադարձության հատուկ դեպք Ա, եթե իրադարձության հետ INիրադարձությունը հայտնվում է Ա. Ասում են նաև, որ միջոցառումը INենթադրում է իրադարձություն Ա(Նկար 3.3): Նշանակում

Նկար 3.3

Իրադարձություններ ԱԵվ INկոչվում են համարժեք , եթե փորձի ընթացքում դրանք տեղի են ունենում կամ չեն առաջանում միասին Ե. Նշանակում Ակնհայտ է, որ եթե.

Բարդ իրադարձություն կանչել դիտարկվող իրադարձություն, որն արտահայտված է նույն փորձի ժամանակ դիտարկված այլ իրադարձությունների միջոցով՝ օգտագործելով հանրահաշվական գործողություններ:

Որոշակի բարդ իրադարձության առաջացման հավանականությունը հաշվարկվում է հավանականությունների գումարման և բազմապատկման բանաձևերի միջոցով:

Հավանականության գումարման թեորեմ

Հետեւանքները:

1) իրադարձությունների դեպքում ԱԵվ INանհամապատասխան են, գումարման թեորեմն ունի հետևյալ ձևը.

2) երեք անդամի դեպքում գումարման թեորեմը գրվում է ձևով

3) փոխադարձ հակառակ իրադարձությունների հավանականությունների գումարը հավասար է 1-ի.

Իրադարձությունների բազմությունը ,, ..., կոչվում է միջոցառումների ամբողջական խումբ , Եթե

Ամբողջական խումբ կազմող իրադարձությունների հավանականությունների գումարը հավասար է 1-ի.

Իրադարձության առաջացման հավանականությունը Ապայմանով, որ միջոցառումը INպատահել է, ասում են պայմանական հավանականություն և նշանակում կամ.

ԱԵվ IN – կախված իրադարձություններ , Եթե .

ԱԵվ IN – անկախ միջոցառումներ , Եթե .

Հավանականության բազմապատկման թեորեմ

Հետեւանքները:

1) անկախ միջոցառումների համար ԱԵվ IN

2) մեջ ընդհանուր դեպքԵրեք իրադարձությունների արտադրյալի համար հավանականության բազմապատկման թեորեմն ունի հետևյալ ձևը.

Խնդիրների լուծման օրինակներ

Օրինակ1 - Էլեկտրական շղթային հաջորդաբար միացված են երեք տարրեր, որոնք գործում են միմյանցից անկախ: Առաջին, երկրորդ և երրորդ տարրերի ձախողման հավանականությունները համապատասխանաբար հավասար են ,-ի: Գտեք հավանականությունը, որ շղթայում հոսանք չի լինի:

Լուծում

Առաջին ճանապարհը.

Նշանակենք հետևյալ իրադարձությունները. - շղթայում տեղի է ունեցել համապատասխանաբար առաջին, երկրորդ և երրորդ տարրերի խափանում:

Իրադարձություն Ա- շղթայում հոսանք չի լինի (տարրերից առնվազն մեկը կխափանի, քանի որ դրանք միացված են շարքով):

Իրադարձություն - շղթայում կա հոսանք (աշխատում են երեք տարրեր), . Հակառակ իրադարձությունների հավանականությունը կապված է բանաձևով (3.4): Իրադարձությունը երեք իրադարձությունների արդյունք է, որոնք զույգերով անկախ են: Օգտագործելով անկախ իրադարձությունների հավանականությունները բազմապատկելու թեորեմը՝ մենք ստանում ենք

Այնուհետև ցանկալի իրադարձության հավանականությունը մեծ է:

Երկրորդ ճանապարհ.

Հաշվի առնելով նախկինում ընդունված նշումը, մենք գրում ենք ցանկալի իրադարձությունը Ա- տարրերից առնվազն մեկը կխափանի.

Քանի որ գումարում ներառված տերմինները համատեղելի են, պետք է կիրառել հավանականությունների գումարման թեորեմը. ընդհանուր տեսարաներեք ժամկետների դեպքում (3.3).

Պատասխան. 0,388.

Ինքնուրույն լուծելու խնդիրներ

1 Ընթերցասրահն ունի հավանականությունների տեսության վեց դասագիրք, որոնցից երեքը պարտադիր են։ Գրադարանավարը պատահականության սկզբունքով վերցրեց երկու դասագիրք: Գտեք հավանականությունը, որ երկու դասագրքերն էլ կապված կլինեն:

2 Պայուսակի մեջ թելեր են խառնված, որոնց 30%-ը սպիտակ է, մնացածը՝ կարմիր։ Որոշեք այն հավանականությունը, որ պատահականորեն գծված երկու թելերը կլինեն՝ նույն գույնը; տարբեր գույներ.

3 Սարքը բաղկացած է երեք տարրերից, որոնք աշխատում են ինքնուրույն: Առաջին, երկրորդ և երրորդ տարրերի որոշակի ժամանակահատվածում անխափան աշխատանքի հավանականությունը համապատասխանաբար կազմում է 0,6; 0,7; 0.8. Գտեք հավանականությունները, որ այս ընթացքում միայն մեկ տարրը կաշխատի առանց ձախողման. ընդամենը երկու տարր; բոլոր երեք տարրերը; առնվազն երկու տարր.

4 Երեք նետված զառախաղ. Գտեք հետևյալ իրադարձությունների հավանականությունը.

ա) գծված յուրաքանչյուր կողմում կհայտնվի հինգ միավոր.

բ) բոլոր իջած կողմերում կհայտնվեն նույն թվով միավորներ.

գ) մի կետ կհայտնվի երկու իջած կողմերում, ևս մեկ միավոր կհայտնվի երրորդ կողմում.

դ) տարբեր թվով կետեր կհայտնվեն բոլոր ընկած դեմքերի վրա:

5 Մեկ կրակոցով նշանակետին դիպչելու հավանականությունը 0,8 է։ Քանի՞ կրակոց պետք է արձակի կրակողը, որպեսզի 0,4-ից պակաս հավանականությամբ ակնկալվի, որ վրիպումներ չեն լինի։

6 1, 2, 3, 4, 5 թվերից սկզբում ընտրվում է մեկը, իսկ մնացած չորսից ընտրվում է երկրորդ թվանշանը։ Ենթադրվում է, որ բոլոր 20 հնարավոր արդյունքները հավասարապես հավանական են: Գտեք հավանականությունը, որ կենտ թիվ կընտրվի՝ առաջին անգամ; երկրորդ անգամ; երկու անգամ էլ.

7 Խանութի տղամարդկանց կոշիկի բաժնում 46 չափսի զույգ կոշիկի կրկնակի վաճառքի հավանականությունը 0,01 է։ Քանի՞ զույգ կոշիկ պետք է վաճառվի խանութում, որպեսզի առնվազն 0,9 հավանականությամբ կարելի է ակնկալել, որ 46 չափսի գոնե մեկ զույգ կոշիկ կվաճառվի։

8 Տուփը պարունակում է 10 մաս, այդ թվում՝ երկու ոչ ստանդարտ։ Գտեք այն հավանականությունը, որ պատահականորեն ընտրված վեց մասերից մեկը կլինի ոչ ավելի, քան մեկ ոչ ստանդարտ:

9 Տեխնիկական հսկողության բաժինը ստուգում է արտադրանքի ստանդարտությունը: Արտադրանքի ոչ ստանդարտ լինելու հավանականությունը 0,1 է։ Գտեք հավանականությունը, որ.

ա) երեք փորձարկված ապրանքներից միայն երկուսը կպարզվեն ոչ ստանդարտ.

բ) միայն հերթականությամբ փորձարկված չորրորդ ապրանքը կստացվի ոչ ստանդարտ։

10 Ռուսական այբուբենի 32 տառերը գրված են կտրված այբուբենի բացիկների վրա.

ա) երեք քարտ մեկը մյուսի հետևից պատահականորեն դուրս են բերվում և դրվում սեղանի վրա՝ ըստ արտաքին տեսքի: Գտեք «աշխարհ» բառի ստացման հավանականությունը.

բ) հանված երեք քարտերը կարող են ցանկացած կերպ փոխանակվել: Որքա՞ն է հավանականությունը, որ դրանք կարող են օգտագործվել «աշխարհ» բառը ձևավորելու համար:

11 Կործանիչը հարձակվում է ռմբակոծիչի վրա և երկու անկախ պայթում է նրա վրա: Առաջին պայթյունով ռմբակոծիչը խոցելու հավանականությունը 0,2 է, իսկ երկրորդինը՝ 0,3։ Եթե ​​ռմբակոծիչը չի խփվում, ապա այն կրակում է կործանիչի վրա իր թիկունքի հրացաններից և խփում այն ​​0,25 հավանականությամբ։ Գտեք հավանականությունը, որ ռմբակոծիչը կամ կործանիչը խոցվել է օդային մարտերի արդյունքում:

Տնային աշխատանք

1 Ընդհանուր հավանականության բանաձև. Բեյսի բանաձևը.

2 Լուծել խնդիրները

Առաջադրանք1 . Աշխատողը շահագործում է երեք մեքենա, որոնք գործում են միմյանցից անկախ: Հավանականությունը, որ առաջին մեքենան մեկ ժամվա ընթացքում չի պահանջի աշխատողի ուշադրությունը, 0,9 է, երկրորդը` 0,8, իսկ երրորդը` 0,85: Գտեք հավանականությունը, որ մեկ ժամվա ընթացքում առնվազն մեկ մեքենա կպահանջի աշխատողի ուշադրությունը:

Առաջադրանք2 . Համակարգչային կենտրոնը, որը պետք է շարունակաբար մշակի մուտքային տեղեկատվությունը, ունի երկու հաշվողական սարք։ Հայտնի է, որ դրանցից յուրաքանչյուրն ունի 0,2-ի չափով ձախողման հավանականություն։ Դուք պետք է որոշեք հավանականությունը.

ա) այն, որ սարքերից մեկը կխափանվի, իսկ երկրորդը կգործի.

բ) յուրաքանչյուր սարքի անխափան աշխատանքը:

Առաջադրանք3 . Չորս որսորդ համաձայնվել է կրակել որսի վրա որոշակի հաջորդականությամբ. հաջորդ որսորդը կրակում է միայն այն դեպքում, եթե նախորդը բաց է թողնում: Առաջին որսորդի համար հարվածի հավանականությունը 0,6 է, երկրորդի համար՝ 0,7, երրորդի համար՝ 0,8։ Գտեք կրակոցների հավանականությունը.

դ) չորս.

Առաջադրանք4 . Մասն անցնում է չորս վերամշակման գործողություններով: Առաջին վիրահատության ժամանակ թերություն ստանալու հավանականությունը 0,01 է, երկրորդի ժամանակ՝ 0,02, երրորդի ժամանակ՝ 0,03, չորրորդի ժամանակ՝ 0,04։ Գտե՛ք չորս գործողություններից հետո առանց թերությունների մաս ստանալու հավանականությունը՝ ենթադրելով, որ առանձին գործողություններում թերությունների ստացման իրադարձություններն անկախ են։

Ուսումնական հաստատություն «Բելառուսական պետություն

գյուղատնտեսական ակադեմիա»

Բարձրագույն մաթեմատիկայի բաժին

ՀԱՎԱՆԱԿԱՆՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԻ ԳՈՒՄԱՐՈՒՄ ԵՎ ԲԱԶՄԱՑՈՒՄ. ԿՐԿՆՎՈՂ ԱՆԿԱԽ ԹԵՍՏԵՐ

Դասախոսություն հողի կառավարման ֆակուլտետի ուսանողների համար

հեռակա դասընթացներ

Գորկի, 2012 թ

Հավանականությունների գումարում և բազմապատկում. Կրկնվել է

անկախ թեստեր

Հավանականությունների ավելացում

Երկու համատեղ իրադարձությունների գումարը ԱԵվ INկոչված իրադարձություն ՀԵՏ, որը բաղկացած է իրադարձություններից առնվազն մեկի առաջացումից Ակամ IN. Նմանապես, մի ​​քանի համատեղ իրադարձությունների հանրագումարը իրադարձություն է, որը բաղկացած է այդ իրադարձություններից առնվազն մեկի առաջացումից:

Երկու անհամատեղելի իրադարձությունների գումարը ԱԵվ INկոչված իրադարձություն ՀԵՏորը բաղկացած է մի դեպքից կամ իրադարձությունից Ա, կամ իրադարձություններ IN. Նմանապես, մի ​​քանի անհամատեղելի իրադարձությունների գումարը մի իրադարձություն է, որը բաղկացած է այս իրադարձություններից որևէ մեկի առաջացումից:

Անհամատեղելի իրադարձությունների հավանականությունների գումարման թեորեմը վավեր է. երկու անհամատեղելի իրադարձությունների գումարի հավանականությունը հավասար է այս իրադարձությունների հավանականությունների գումարին. , այսինքն. . Այս թեորեմը կարող է տարածվել ցանկացած վերջավոր թվով անհամատեղելի իրադարձությունների վրա։

Այս թեորեմից հետևում է.

ամբողջական խումբ կազմող իրադարձությունների հավանականությունների գումարը հավասար է մեկի.

Հակառակ իրադարձությունների հավանականությունների գումարը հավասար է մեկի, այսինքն.
.

Օրինակ 1 . Տուփը պարունակում է 2 սպիտակ, 3 կարմիր և 5 կապույտ գնդակ։ Գնդակները խառնվում են և պատահականորեն նկարվում է մեկը: Որքա՞ն է հավանականությունը, որ գնդակը գունավոր կլինի:

Լուծում . Նշենք իրադարձությունները.

Ա= (նկարված գունավոր գնդակ);

Բ= (նկարված սպիտակ գնդակը);

Գ= (կարմիր գնդակը նկարված է);

Դ= (կապույտ գնդակը նկարված է):

Հետո Ա= Գ+ Դ. Իրադարձություններից ի վեր Գ, Դանհամատեղելի են, ապա մենք կօգտագործենք թեորեմը անհամատեղելի իրադարձությունների հավանականությունների գումարման համար.

Օրինակ 2 . Սուրը պարունակում է 4 սպիտակ և 6 սև գնդակ: Կաթսայից պատահականորեն 3 գնդակ է քաշվում: Որքա՞ն է հավանականությունը, որ դրանք բոլորը նույն գույնի են:

Լուծում . Նշենք իրադարձությունները.

Ա=(նկարվում են նույն գույնի գնդակներ);

Բ=(սպիտակ գնդակներ են հանվում);

Գ=(սև գնդակներ են հանվում):

Որովհետեւ Ա= Բ+ Գև իրադարձություններ INԵվ ՀԵՏանհամատեղելի են, ապա անհամատեղելի իրադարձությունների հավանականությունների գումարման թեորեմով
. Իրադարձության հավանականությունը INհավասար է
, Որտեղ
4,

. Եկեք փոխարինենք կԵվ nբանաձևի մեջ և մենք ստանում ենք
Նմանապես, մենք գտնում ենք իրադարձության հավանականությունը ՀԵՏ:
, Որտեղ
,
, այսինքն.
. Հետո
.

Օրինակ 3 . 36 քարտերից բաղկացած տախտակամածից պատահական սկզբունքով խաղարկվում է 4 քարտ: Գտեք հավանականությունը, որ նրանց մեջ կլինի առնվազն երեք էյ:

Լուծում . Նշենք իրադարձությունները.

Ա=(հանված քարտերի թվում կա առնվազն երեք էյ);

Բ=(հանված քարտերի թվում են երեք էյս);

Գ=(հանված քարտերի թվում են չորս էյս):

Որովհետեւ Ա= Բ+ Գև իրադարձություններ INԵվ ՀԵՏանհամատեղելի են, ուրեմն
. Գտնենք իրադարձությունների հավանականությունները INԵվ ՀԵՏ:

,
. Հետևաբար, հավանականությունը, որ խաղարկված քարտերի մեջ կա առնվազն երեք էյ, հավասար է

0.0022.

Բազմապատկելով հավանականությունները

Աշխատանքը երկու իրադարձություն ԱԵվ INկոչված իրադարձություն ՀԵՏ, որը բաղկացած է այս իրադարձությունների համատեղ առաջացումից.
. Այս սահմանումը վերաբերում է ցանկացած սահմանափակ թվով իրադարձությունների:

Երկու իրադարձությունները կոչվում են անկախ , եթե դրանցից մեկի տեղի ունենալու հավանականությունը կախված չէ նրանից, թե մյուս իրադարձությունը տեղի է ունեցել, թե ոչ։ Իրադարձություններ ,, … ,կոչվում են հավաքականորեն անկախ , եթե դրանցից յուրաքանչյուրի առաջացման հավանականությունը կախված չէ նրանից, թե այլ իրադարձություններ են եղել, թե չեն եղել։

Օրինակ 4 . Երկու հրաձիգ կրակում են թիրախի վրա. Նշենք իրադարձությունները.

Ա=(Առաջին հրաձիգը հարվածեց թիրախին);

Բ=(երկրորդ հրաձիգը հարվածեց թիրախին):

Ակնհայտ է, որ առաջին կրակողի թիրախին խոցելու հավանականությունը կախված չէ նրանից, թե երկրորդ կրակողը խփեց, թե վրիպեց, և հակառակը։ Հետևաբար, իրադարձություններ ԱԵվ INանկախ.

Անկախ իրադարձությունների հավանականությունները բազմապատկելու թեորեմը վավեր է. երկու անկախ իրադարձությունների արտադրյալի հավանականությունը հավասար է այս իրադարձությունների հավանականությունների արտադրյալին : .

Այս թեորեմը նույնպես վավեր է nկոլեկտիվ անկախ իրադարձություններ.

Օրինակ 5 . Երկու հրաձիգ կրակում են նույն թիրախի վրա. Առաջին կրակողին հարվածելու հավանականությունը 0,9 է, իսկ երկրորդինը՝ 0,7։ Երկու կրակողներն էլ մեկական կրակոց են արձակում: Որոշեք թիրախին երկու հարված լինելու հավանականությունը:

Լուծում . Նշենք իրադարձությունները.

Ա

Բ

Գ= (երկու հրաձիգներն էլ կհարվածեն թիրախին):

Որովհետեւ
և իրադարձություններ ԱԵվ INանկախ են, ուրեմն
, այսինքն.

Իրադարձություններ ԱԵվ INկոչվում են կախյալ , եթե դրանցից մեկի տեղի ունենալու հավանականությունը կախված է նրանից, թե արդյոք մեկ այլ իրադարձություն է տեղի ունեցել, թե ոչ։ Իրադարձության տեղի ունենալու հավանականությունը Ապայմանով, որ միջոցառումը INարդեն հասել է, կոչվում է պայմանական հավանականություն և նշանակված է
կամ
.

Օրինակ 6 . Սուրը պարունակում է 4 սպիտակ և 7 սև գնդակներ: Կաթսայից գնդակներ են քաշվում: Նշենք իրադարձությունները.

Ա= (սպիտակ գնդակը նկարված է) ;

Բ= (սև գնդակը նկարված է):

Նախքան սկսեք գնդակներ հանել urn-ից
. Կաթսայից մեկ գնդակ են հանել, և պարզվել է, որ այն սև է։ Հետո՝ իրադարձության հավանականությունը Ամիջոցառումից հետո INկլինի մեկ ուրիշը, հավասարը . Սա նշանակում է, որ իրադարձության հավանականությունը Ակախված է իրադարձությունից IN, այսինքն. այս իրադարձությունները կախված կլինեն:

Կախված իրադարձությունների հավանականությունները բազմապատկելու թեորեմը վավեր է. երկու կախյալ իրադարձությունների տեղի ունենալու հավանականությունը հավասար է դրանցից մեկի հավանականության և մյուսի պայմանական հավանականության արտադրյալին, որը հաշվարկվում է այն ենթադրությամբ, որ առաջին իրադարձությունն արդեն տեղի է ունեցել., այսինքն. կամ.

Օրինակ 7 . Սուրը պարունակում է 4 սպիտակ և 8 կարմիր գնդակ: Դրանից պատահականորեն հաջորդաբար երկու գնդակ են քաշվում: Գտեք հավանականությունը, որ երկու գնդակներն էլ սև են:

Լուծում . Նշենք իրադարձությունները.

Ա= (նախ նկարված սև գնդակը);

Բ=(երկրորդ սև գնդակը նկարված է):

Իրադարձություններ ԱԵվ INկախված, քանի որ
, Ա
. Հետո
.

Օրինակ 8 . Երեք հրաձիգներ միմյանցից անկախ կրակում են թիրախի վրա։ Առաջին կրակողի համար թիրախին խոցելու հավանականությունը 0,5 է, երկրորդի համար՝ 0,6, իսկ երրորդի համար՝ 0,8։ Գտեք հավանականությունը, որ թիրախին երկու հարված կլինի, եթե յուրաքանչյուր հրաձիգ արձակի մեկ կրակոց:

Լուծում . Նշենք իրադարձությունները.

Ա=(թիրախին երկու հարված կլինի);

Բ=(առաջին հրաձիգը կհարվածի թիրախին);

Գ=(երկրորդ հրաձիգը կհարվածի թիրախին);

Դ=(երրորդ հրաձիգը կհարվածի թիրախին);

=(առաջին հրաձիգը չի հարվածի թիրախին);

=(երկրորդ հրաձիգը չի հարվածի թիրախին);

=(երրորդ հրաձիգը չի հարվածի թիրախին):

Օրինակի համաձայն
,
,
,

,
,
. Քանի որ, օգտագործելով անհամատեղելի իրադարձությունների հավանականությունների գումարման թեորեմը և անկախ իրադարձությունների հավանականությունները բազմապատկելու թեորեմը, մենք ստանում ենք.

Թող իրադարձությունները
ձևավորել որոշ թեստի իրադարձությունների և իրադարձությունների ամբողջական խումբ Ակարող է առաջանալ միայն այս իրադարձություններից մեկի դեպքում: Եթե ​​հայտնի են իրադարձության հավանականությունները և պայմանական հավանականությունները Ա, ապա A-ի իրադարձության հավանականությունը հաշվարկվում է բանաձևով.

կամ
. Այս բանաձեւը կոչվում է ընդհանուր հավանականության բանաձևը և իրադարձություններ
վարկածներ .

Օրինակ 9 . Հավաքման գիծը ստանում է 700 դետալ առաջին մեքենայից և 300 դետալ երկրորդից. Առաջին մեքենան արտադրում է 0,5% ջարդոն, իսկ երկրորդը` 0,7%: Գտեք հավանականությունը, որ վերցված մասը թերի կլինի:

Լուծում . Նշենք իրադարձությունները.

Ա=(վերցված մասը թերի կլինի);

=(մասը պատրաստվել է առաջին մեքենայի վրա);

=(մասը պատրաստվում է երկրորդ մեքենայի վրա):

Հավանականությունը, որ մասը պատրաստվել է առաջին մեքենայի վրա, հավասար է
. Երկրորդ մեքենայի համար
. Ըստ պայմանի՝ առաջին մեքենայի վրա պատրաստված թերի մասի ստանալու հավանականությունը հավասար է
. Երկրորդ մեքենայի համար այս հավանականությունը հավասար է
. Այնուհետև ընդունված մասի թերի լինելու հավանականությունը հաշվարկվում է ընդհանուր հավանականության բանաձևով

Եթե ​​հայտնի է, որ թեստի արդյունքում ինչ-որ իրադարձություն է տեղի ունեցել Ա, ապա հավանականությունը, որ այս իրադարձությունը տեղի է ունեցել վարկածով
, հավասար է
, Որտեղ
- իրադարձության ընդհանուր հավանականությունը Ա. Այս բանաձեւը կոչվում է Բեյսի բանաձևը և թույլ է տալիս հաշվարկել իրադարձությունների հավանականությունը
այն բանից հետո, երբ հայտնի դարձավ, որ միջոցառումը Աարդեն հասել է.

Օրինակ 10 . Նույն տեսակի ավտոպահեստամասերը արտադրվում են երկու գործարանում և առաքվում խանութ։ Առաջին գործարանը արտադրում է մասերի ընդհանուր քանակի 80%-ը, իսկ երկրորդը՝ 20%-ը։ Առաջին գործարանի արտադրանքը պարունակում է ստանդարտ մասերի 90%, իսկ երկրորդը` 95%: Գնորդը գնել է մի մասը և պարզվել է, որ այն ստանդարտ է։ Գտեք հավանականությունը, որ այս մասը արտադրվել է երկրորդ գործարանում:

Լուծում . Նշենք իրադարձությունները.

Ա= (ստանդարտ մաս գնված);

=(մասը արտադրվել է առաջին գործարանում);

=(մասը արտադրվել է երկրորդ գործարանում):

Օրինակի համաձայն
,
,
Եվ
. Հաշվենք իրադարձության ընդհանուր հավանականությունը Ա 0,91: Մենք հաշվարկում ենք հավանականությունը, որ մասը արտադրվել է երկրորդ գործարանում՝ օգտագործելով Bayes բանաձևը.

.

Անկախ աշխատանքի առաջադրանքներ

Առաջին կրակողի համար թիրախին խոցելու հավանականությունը 0,8 է, երկրորդի համար՝ 0,7, իսկ երրորդի համար՝ 0,9։ Կրակողները մեկական կրակոց են արձակել։ Գտեք հավանականությունը, որ թիրախին առնվազն երկու հարված կա:

Վերանորոգման կետը ստացել է 15 տրակտոր։ Հայտնի է, որ դրանցից 6-ին անհրաժեշտ է փոխարինել շարժիչը, իսկ մնացածը՝ առանձին բաղադրիչներ։ Պատահականության սկզբունքով ընտրվում են երեք տրակտորներ: Գտեք հավանականությունը, որ շարժիչի փոխարինումը անհրաժեշտ է ոչ ավելի, քան երկու ընտրված տրակտորների համար:

Երկաթբետոնի գործարանը արտադրում է պանելներ, որոնց 80%-ը ամենաբարձր որակի են։ Գտեք հավանականությունը, որ պատահականորեն ընտրված երեք վահանակներից առնվազն երկուսը կլինեն ամենաբարձր կարգի:

Երեք բանվոր առանցքակալներ են հավաքում։ Հավանականությունը, որ առաջին աշխատողի կողմից հավաքված առանցքակալը ամենաբարձր որակի է, 0,7 է, երկրորդի կողմից՝ 0,8 և երրորդի կողմից՝ 0,6։ Վերահսկողության համար յուրաքանչյուր աշխատողի կողմից հավաքվածներից պատահականորեն վերցվել է մեկ առանցքակալ: Գտեք հավանականությունը, որ դրանցից առնվազն երկուսը կլինեն ամենաբարձր որակը:

Առաջին վիճակախաղի տոմսը շահելու հավանականությունը 0,2 է, երկրորդինը՝ 0,3, երրորդինը՝ 0,25։ Յուրաքանչյուր թողարկման համար տրվում է մեկ տոմս։ Գտեք հավանականությունը, որ առնվազն երկու տոմս կշահեն:

Հաշվապահը հաշվարկներ է կատարում՝ օգտագործելով երեք տեղեկատու գրքեր: Հավանականությունը, որ նրան հետաքրքրող տվյալները գտնվում են առաջին գրացուցակում 0,6 է, երկրորդում՝ 0,7, երրորդում՝ 0,8։ Գտեք հավանականությունը, որ հաշվապահին հետաքրքրող տվյալները պարունակվում են ոչ ավելի, քան երկու գրացուցակներում:

Երեք մեքենաներ արտադրում են մասեր. Առաջին մեքենան արտադրում է ամենաբարձր որակի մի մասը՝ 0,9, երկրորդը՝ 0,7, երրորդը՝ 0,6։ Յուրաքանչյուր մեքենայից պատահականորեն վերցվում է մեկ մաս: Գտեք հավանականությունը, որ դրանցից առնվազն երկուսը ամենաբարձր որակի են:

Նույն տեսակի մասերը մշակվում են երկու մեքենաների վրա։ Առաջին մեքենայի համար ոչ ստանդարտ մասի արտադրության հավանականությունը 0,03 է, երկրորդի համար՝ 0,02: Մշակված մասերը պահվում են մեկ տեղում։ Դրանցից 67%-ը առաջին մեքենայից է, իսկ մնացածը՝ երկրորդից։ Պատահականության սկզբունքով վերցված մասը ստանդարտ է ստացվել։ Գտեք հավանականությունը, որ այն պատրաստվել է առաջին մեքենայի վրա:

Արտադրամասը ստացել է նույն տեսակի կոնդենսատորների երկու տուփ: Առաջին տուփը պարունակում էր 20 կոնդենսատոր, որոնցից 2-ը անսարք էին: Երկրորդ տուփը պարունակում է 10 կոնդենսատոր, որոնցից 3-ը անսարք են: Կոնդենսատորները տեղադրվել են մեկ տուփի մեջ: Գտեք հավանականությունը, որ տուփից պատահականորեն վերցված կոնդենսատորը լավ վիճակում կլինի:

Երեք մեքենաներ արտադրում են նույն տեսակի մասեր, որոնք մատակարարվում են ընդհանուր փոխակրիչին։ Բոլոր մասերից 20%-ը առաջին մեքենայից է, 30%-ը՝ երկրորդից և 505-ը՝ երրորդից։ Առաջին մեքենայի վրա ստանդարտ մաս արտադրելու հավանականությունը 0,8 է, երկրորդի վրա՝ 0,6 և երրորդի վրա՝ 0,7։ Վերցված հատվածը ստանդարտ է ստացվել։ Գտեք հավանականությունը, որ այս մասը պատրաստվել է երրորդ մեքենայի վրա:

Մոնտաժողը հավաքման համար գործարանից ստանում է մասերի 40%-ը Ա, իսկ մնացածը՝ գործարանից IN. Հավանականությունը, որ հատվածը գործարանից է Ա– գերազանց որակ՝ 0,8-ին հավասար և գործարանից IN- 0,9: Մոնտաժողը պատահականության սկզբունքով վերցրեց մի մասն ու պարզվեց, որ այն անորակ է։ Գտեք հավանականությունը, որ այս մասը գործարանից է IN.

Առաջին խմբից 10 աշակերտ, իսկ երկրորդից 8-ը հատկացվել է ուսանողական մարզական մրցումներին մասնակցելու համար։ Հավանականությունը, որ առաջին խմբի ուսանողը կընդգրկվի ակադեմիայի թիմում, 0,8 է, իսկ երկրորդից՝ 0,7։ Թիմում ընդգրկվել է պատահականության սկզբունքով ընտրված ուսանող։ Գտե՛ք հավանականությունը, որ նա առաջին խմբից է։

Բեռնուլիի բանաձեւը

Թեստերը կոչվում են անկախ , եթե նրանցից յուրաքանչյուրի համար միջոցառումը Ատեղի է ունենում նույն հավանականությամբ
, անկախ նրանից, թե այս իրադարձությունը հայտնվել է, թե ոչ, այլ դատավարություններում: Հակառակ իրադարձության հավանականությունը այս դեպքում հավասար է
.

Օրինակ 11 . Զառեր են նետվում nմեկ անգամ. Նշանակենք իրադարձությունը Ա= (պտտվող երեք միավոր): Իրադարձության տեղի ունենալու հավանականությունը Այուրաքանչյուր փորձարկումում հավասար է և կախված չէ նրանից, թե այս իրադարձությունը տեղի է ունեցել, թե չի եղել այլ փորձարկումներում: Հետեւաբար, այս թեստերը անկախ են: Հակառակ իրադարձության հավանականությունը
(չգլորելով երեք միավոր) հավասար է
.

Հավանականությունը, որ ներս nանկախ փորձարկումներ, որոնցից յուրաքանչյուրում իրադարձության տեղի ունենալու հավանականությունը Ահավասար է էջ, իրադարձությունը տեղի կունենա հենց կանգամ (կարևոր չէ, թե ինչ հերթականությամբ), հաշվարկված բանաձևով
, Որտեղ
. Այս բանաձեւը կոչվում է Բեռնուլիի բանաձեւը և հարմար է, եթե n թեստերի քանակը շատ մեծ չէ։

Օրինակ 12 . Հիվանդությամբ վարակված մրգերի համամասնությունը թաքնված ձևով կազմում է 25%: Պատահականության սկզբունքով ընտրված է 6 միրգ։ Գտեք հավանականությունը, որ ընտրվածների մեջ կլինեն՝ ա) ուղիղ 3 վարակված պտուղ. բ) ոչ ավելի, քան երկու վարակված պտուղ.

Լուծում . Օրինակի պայմանների համաձայն.

ա) Համաձայն Բեռնուլիի բանաձևի, հավանականությունը, որ ընտրված վեց մրգերից ուղիղ երեքը վարակվելու են, հավասար է.

0.132.

բ) Նշանակենք իրադարձությունը Ա=(երկու պտուղից ոչ ավելի վարակվելու է): Հետո . Բեռնուլիի բանաձևի համաձայն.

0.297.

Հետևաբար,
0.178+0.356+0.297=0.831.

Լապլասի և Պուասոնի թեորեմները

Բեռնուլիի բանաձևն օգտագործվում է իրադարձության հավանականությունը գտնելու համար Ակգա կամեն անգամ մեկ անգամ nանկախ փորձարկումներ և յուրաքանչյուր դատավարության դեպքում իրադարձության հավանականությունը Ամշտական ​​է. n-ի մեծ արժեքների համար Բեռնուլիի բանաձևով հաշվարկները դառնում են աշխատատար: Այս դեպքում հաշվարկել իրադարձության հավանականությունը ԱԱվելի լավ կլինի օգտագործել այլ բանաձև.

Տեղական Լապլասի թեորեմ . Թող հավանականությունը էջիրադարձության առաջացում Այուրաքանչյուր փորձարկում հաստատուն է և տարբերվում է զրոյից և մեկից: Ապա հավանականությունը, որ իրադարձությունը Աճիշտ կգա կանգամ բավականաչափ մեծ թվով n թեստերով, հաշվարկվում է բանաձևով

, Որտեղ
, և ֆունկցիայի արժեքները
տրված են աղյուսակում:

Ֆունկցիայի հիմնական հատկությունները
են՝

Գործառույթ
սահմանված և շարունակական միջակայքում
.

Գործառույթ
դրական է, այսինքն.
>0.

Գործառույթ
նույնիսկ, այսինքն.
.

Քանի որ գործառույթը
հավասար է, ապա աղյուսակը ցույց է տալիս իր արժեքները միայն դրական արժեքների համար X.

Օրինակ 13 . Ցորենի սերմերի բողբոջման ցուցանիշը 80% է: Փորձի համար ընտրվում է 100 սերմ: Գտեք հավանականությունը, որ ընտրված սերմերից ուղիղ 90-ը բողբոջեն։

Լուծում . Օրինակի համաձայն n=100, կ=90, էջ=0.8, ք=1-0,8=0,2. Հետո
. Օգտագործելով աղյուսակը՝ մենք գտնում ենք ֆունկցիայի արժեքը
:
. Հավանականությունը, որ ընտրված սերմերից ուղիղ 90-ը բողբոջեն, հավասար է
0.0044.

Գործնական խնդիրներ լուծելիս անհրաժեշտ է դառնում գտնել իրադարձության տեղի ունենալու հավանականությունը Աժամը nոչ պակաս անկախ թեստեր մեկ անգամ և ոչ ավելին մեկ անգամ. Այս խնդիրը լուծվում է օգտագործելով Լապլասի ինտեգրալ թեորեմը : Թող հավանականությունը էջիրադարձության առաջացում Այուրաքանչյուրում nանկախ թեստերը հաստատուն են և տարբերվում են զրոյից և մեկից: Այդ դեպքում հավանականությունը, որ իրադարձությունը տեղի կունենա, առնվազն մեկ անգամ և ոչ ավելին անգամ բավականաչափ մեծ քանակությամբ թեստերով, հաշվարկվում է բանաձևով

Որտեղ
,
.

Գործառույթ
կանչեց Լապլասի ֆունկցիան և չի արտահայտվում տարրական ֆունկցիաների միջոցով։ Այս ֆունկցիայի արժեքները տրված են հատուկ աղյուսակներում:

Ֆունկցիայի հիմնական հատկությունները
են՝

.

Գործառույթ
մեծանում է միջակայքում
.

ժամը
.

Գործառույթ
տարօրինակ, այսինքն.
.

Օրինակ 14 . Ընկերությունն արտադրում է ապրանքներ, որոնց 13%-ը ամենաբարձր որակի չէ։ Որոշեք հավանականությունը, որ ամենաբարձր որակի արտադրանքի 150 միավոր չստուգված խմբաքանակում կլինի ոչ պակաս, քան 125 և ոչ ավելի, քան 135:

Լուծում . Նշենք. Եկեք հաշվարկենք
,

Հավանականության գումարման և բազմապատկման թեորեմներ.

Երկու իրադարձությունների հավանականությունների գումարման թեորեմ. Երկու իրադարձությունների գումարի հավանականությունը հավասար է այս իրադարձությունների հավանականությունների գումարին առանց դրանց համատեղ առաջացման հավանականության:

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB):

Երկու անհամատեղելի իրադարձությունների հավանականությունների գումարման թեորեմ. Երկու անհամատեղելի իրադարձությունների գումարի հավանականությունը հավասար է դրանց հավանականությունների գումարին.:

P(A+B)=P(A)+P(B):

Օրինակ 2.16.Կրակողը կրակում է 3 հատվածի բաժանված թիրախի վրա։ Առաջին հատվածին հարվածելու հավանականությունը 0,45 է, երկրորդինը՝ 0,35։ Գտեք հավանականությունը, որ կրակողը մեկ կրակոցով կհարվածի կա՛մ առաջին, կա՛մ երկրորդ հատվածին:

Լուծում.

Իրադարձություններ Ա- «կրակողը հարվածել է առաջին հատվածին» և IN- «կրակողը հարվածել է երկրորդ տարածքին» - անհամապատասխան են (մի տեղ մտնելը բացառում է մյուս տարածք մտնելը), ուստի գումարման թեորեմը կիրառելի է:

Պահանջվող հավանականությունը հետևյալն է.

P(A+B)=P(A)+P(B)= 0,45+ 0,35 = 0,8.

Հավանականության գումարման թեորեմ Պանհամատեղելի իրադարձություններ. n անհամատեղելի իրադարձությունների գումարի հավանականությունը հավասար է դրանց հավանականությունների գումարին.:

P(A 1 +A 2 +…+A p)=P(A 1)+P(A 2)+…+P(A p).

Հակառակ իրադարձությունների հավանականությունների գումարը հավասար է մեկի.

Իրադարձության հավանականությունը INպայմանով, որ դեպքը տեղի է ունեցել Ա, կոչվում է իրադարձության պայմանական հավանականություն INև նշվում է հետևյալ կերպ. P (V/A),կամ R A (B).

. Երկու իրադարձությունների տեղի ունենալու հավանականությունը հավասար է դրանցից մեկի հավանականության և մյուսի պայմանական հավանականության արտադրյալին, պայմանով, որ առաջին դեպքը տեղի է ունեցել.

P(AB)=P(A)P A (B):

Իրադարձություն INիրադարձությունից կախված չէ Ա, Եթե

R A (V) = R (V),

դրանք. իրադարձության հավանականությունը INդա կախված չէ նրանից, թե արդյոք իրադարձությունը տեղի է ունեցել Ա.

Երկու անկախ իրադարձությունների հավանականությունները բազմապատկելու թեորեմը.Երկու անկախ իրադարձությունների արտադրյալի հավանականությունը հավասար է դրանց հավանականությունների արտադրյալին.

P(AB)=P(A)P(B):

Օրինակ 2.17.Առաջին և երկրորդ հրացանները կրակելիս թիրախին խոցելու հավանականությունը համապատասխանաբար հավասար է. p 1 = 0,7; p 2= 0,8. Գտեք հրացաններից առնվազն մեկի մեկ սալվոյով (երկու հրացաններից) հարվածելու հավանականությունը:

Լուծում.

Յուրաքանչյուր հրացանի թիրախին խոցելու հավանականությունը կախված չէ մյուս հրացանից կրակելու արդյունքից, հետևաբար իրադարձությունները. Ա– «խփվել առաջին հրացանով» և IN– «երկրորդ ատրճանակով խփված»-ն անկախ են:

Իրադարձության հավանականությունը ԱԲ- «երկու հրացաններն էլ հարվածել են».

Պահանջվող հավանականություն

P(A+B) = P(A) + P(B) – P(AB)= 0,7 + 0,8 – 0,56 = 0,94.

Հավանականության բազմապատկման թեորեմ Պիրադարձություններ.n իրադարձությունների արտադրյալի հավանականությունը հավասար է դրանցից մեկի արտադրյալին բոլոր մյուսների պայմանական հավանականություններով, որոնք հաշվարկվում են այն ենթադրությամբ, որ բոլոր նախորդ իրադարձությունները տեղի են ունեցել.

Օրինակ 2.18. Կաթսայի մեջ կա 5 սպիտակ, 4 սև և 3 կապույտ գնդակ: Յուրաքանչյուր թեստ բաղկացած է պատահականորեն մեկ գնդակ հեռացնելուց՝ առանց այն հետ դնելու: Գտեք հավանականությունը, որ առաջին փորձի ժամանակ կհայտնվի սպիտակ գնդակ (իրադարձություն A), երկրորդի վրա՝ սև գնդակ (իրադարձություն B), իսկ երրորդում ՝ կապույտ գնդակ (իրադարձություն C):

Լուծում.

Առաջին փորձարկման ժամանակ սպիտակ գնդակի հայտնվելու հավանականությունը.

Երկրորդ փորձարկման ժամանակ սև գնդակի հայտնվելու հավանականությունը, որը հաշվարկվում է այն ենթադրությամբ, որ առաջին փորձարկումում հայտնվել է սպիտակ գնդակ, այսինքն՝ պայմանական հավանականություն.

Երրորդ փորձարկման ժամանակ կապույտ գնդակի հայտնվելու հավանականությունը, որը հաշվարկվում է այն ենթադրությամբ, որ առաջին փորձարկումում հայտնվել է սպիտակ գնդակը, իսկ երկրորդում՝ սևը, այսինքն՝ պայմանական հավանականություն.

Պահանջվող հավանականությունը հետևյալն է.

Հավանականության բազմապատկման թեորեմ Պանկախ միջոցառումներ։n անկախ իրադարձությունների արտադրյալի հավանականությունը հավասար է դրանց հավանականությունների արտադրյալին.

P(A 1 A 2…A p)=P(A 1)P(A 2)…P(A p):

Իրադարձություններից առնվազն մեկի առաջացման հավանականությունը: A 1, A 2, ..., A n իրադարձություններից առնվազն մեկի առաջացման հավանականությունը, ագրեգատում անկախ, հավասար է միասնության և հակառակ իրադարձությունների հավանականությունների արտադրյալի տարբերությանը::

.

Օրինակ 2.19.Երեք հրացաններից կրակելիս թիրախին խոցելու հավանականությունը հետևյալն է. p 1 = 0,8; p 2 = 0,7;էջ 3= 0,9. Գտեք առնվազն մեկ հարվածի հավանականությունը (իրադարձություն Ա) բոլոր հրացաններից մեկ սալվոյով:

Լուծում.

Յուրաքանչյուր ատրճանակ թիրախին խոցելու հավանականությունը կախված չէ այլ հրացաններից կրակելու արդյունքներից, ուստի դիտարկվող իրադարձությունները. Ա 1(խփվել է առաջին հրացանով), Ա 2(խփվել է երկրորդ հրացանով) և Ա 3(երրորդ ատրճանակով խփված) ագրեգատում անկախ են:

Իրադարձություններին հակառակ իրադարձությունների հավանականությունը Ա 1, Ա 2Եվ Ա 3(այսինքն բացթողումների հավանականությունը) համապատասխանաբար հավասար են.

, , .

Պահանջվող հավանականությունը հետևյալն է.

Եթե ​​անկախ իրադարձություններ A 1, A 2, …, A էջունեն նույն հավանականությունը Ռ, ապա այդ իրադարձություններից առնվազն մեկի առաջացման հավանականությունն արտահայտվում է բանաձևով.

Р(А)= 1 – q n,

Որտեղ q=1- p

2.7. Ընդհանուր հավանականության բանաձև. Բեյսի բանաձևը.

Թող իրադարձությունը Ակարող է առաջանալ անհամատեղելի իրադարձություններից մեկի առաջացման դեպքում N 1, N 2, …, N էջ, ձևավորելով իրադարձությունների ամբողջական խումբ։ Քանի որ նախապես հայտնի չէ, թե այս իրադարձություններից որն է լինելու, դրանք կոչվում են վարկածներ.

Իրադարձության առաջացման հավանականությունը Ահաշվարկված է ընդհանուր հավանականության բանաձևը.

P(A)=P(N 1)P(A/N 1)+ P(N 2)P(A/N 2)+…+ P(N p)P(A/N p).

Ենթադրենք, որ փորձ է կատարվել, որի արդյունքում տեղի է ունեցել իրադարձություն Ատեղի է ունեցել. Իրադարձությունների պայմանական հավանականությունները N 1, N 2, …, N էջմիջոցառման վերաբերյալ Աորոշվում են Բեյսի բանաձևերը:

,

Օրինակ 2.20. Քննության եկած 20 ուսանողներից բաղկացած խմբում 6-ը գերազանց պատրաստված էին, 8-ը՝ լավ, 4-ը՝ բավարար, 2-ը՝ վատ պատրաստված։ Քննության թերթիկները պարունակում են 30 հարց: Լավ պատրաստված ուսանողը կարող է պատասխանել բոլոր 30 հարցերին, լավ պատրաստված աշակերտը կարող է պատասխանել 24 հարցի, լավ պատրաստված աշակերտը կարող է պատասխանել 15 հարցի, իսկ վատ պատրաստված ուսանողը կարող է պատասխանել 7 հարցի:

Պատահականորեն զանգահարած ուսանողը պատահական պատասխանեց երեքին: տրված հարցերը. Գտեք հավանականությունը, որ այս ուսանողը պատրաստված է. ա) գերազանց; բ) վատ.

Լուծում.

Վարկածներ – «աշակերտը լավ է պատրաստված»;

- «աշակերտը լավ պատրաստված է»;

– «աշակերտը պատրաստված է բավարար չափով»;

«Ուսանողը վատ է պատրաստված»:

Փորձից առաջ.

; ; ; ;

7. Ի՞նչ է կոչվում իրադարձությունների ամբողջական խումբ:

8. Ո՞ր իրադարձություններն են կոչվում հավասարապես հնարավոր: Բերե՛ք նման իրադարձությունների օրինակներ:

9. Ի՞նչ է կոչվում տարրական արդյունք:

10. Ի՞նչ արդյունքներ եմ ես համարում բարենպաստ այս իրադարձության համար:

11. Ի՞նչ գործողություններ կարող են կատարվել իրադարձությունների վրա: Սահմանեք դրանք: Ինչպե՞ս են դրանք նշանակված: Բերեք օրինակներ։

12. Ի՞նչ է կոչվում հավանականություն:

13. Որքա՞ն է վստահելի իրադարձության հավանականությունը:

14. Որքա՞ն է անհնարին իրադարձության հավանականությունը:

15. Որո՞նք են հավանականության սահմանները:

16. Ինչպե՞ս է որոշվում երկրաչափական հավանականությունը հարթության վրա:

17. Ինչպե՞ս է որոշվում հավանականությունը տարածության մեջ:

18. Ինչպե՞ս է որոշվում հավանականությունը ուղիղ գծի վրա:

19. Որքա՞ն է երկու իրադարձությունների գումարի հավանականությունը:

20. Որքա՞ն է երկու անհամատեղելի իրադարձությունների գումարի հավանականությունը:

21. Որքա՞ն է n անհամատեղելի իրադարձությունների գումարի հավանականությունը:

22. Ո՞ր հավանականությունն է կոչվում պայմանական: Օրինակ բերեք։

23. Նշե՛ք հավանականության բազմապատկման թեորեմը:

24. Ինչպե՞ս գտնել իրադարձություններից գոնե մեկի առաջացման հավանականությունը:

25. Ո՞ր իրադարձություններն են կոչվում հիպոթեզներ:

26. Ե՞րբ են օգտագործվում ընդհանուր հավանականության բանաձևը և Բեյսի բանաձևը: