Որի անկյունները մյուսի կողմերի շարունակությունն են։ Ուղղահայաց և հարակից անկյուններ

Դաս 8. Ուղղահայաց անկյուններ. Երկու անկյունները կոչվում են ուղղահայաց, եթե մի անկյան կողմերը մյուսի կողմերի շարունակությունն են: ԹԵՈՐԵՄ. Ուղղահայաց անկյունները հավասար են: Ապացույց՝ = = 180 Նմանապես = = = 3 2 = 4 Խնդիրների լուծում՝ 64, 66 Տնային աշխատանք 11, 66, 67 պարբերություն

Մաթեմատիկական թելադրություն. Տարբերակ 1. 1. Լրացրո՛ւ նախադասությունը. «Եթե 1-ին և 2-րդ անկյունները հարևան են, ապա դրանց գումարը...» 2. Արդյո՞ք 30 աստիճանի անկյան հարակից անկյունը կլինի սուր, բութ, թե ճիշտ: 3. Երկու անկյունների գումարը 180 աստիճան է։ Արդյո՞ք այս անկյունները պարտադիր հարակից են: 4. AM և CE ուղիղները հատվում են O կետում, որն ընկած է նրանց միջև: Դուք ուղղահայաց անկյուններ ստացա՞ք: Եթե ​​այո, ապա անվանեք դրանք: 5. Որքա՞ն է անկյունը, եթե նրա հետ ուղղահայաց անկյունը 34 աստիճան է: 6. Երկու ուղիղների հատման արդյունքում առաջացող չորս անկյուններից մեկը հավասար է 140 աստիճանի։ Որո՞նք են մնացած անկյունները: 7. Երկու անկյուն ունեն ընդհանուր գագաթ, առաջին անկյունը 40 աստիճան է, երկրորդը 140 աստիճան: Արդյո՞ք այս անկյունները ուղղահայաց են: Տարբերակ 2. 1. Լրացրո՛ւ նախադասությունը. «Երկու անկյունները կոչվում են կից, եթե մի կողմն ընդհանուր է, իսկ մյուսը...» 2. 130 աստիճան անկյան հարակից անկյունը կլինի՞ սուր, բութ, թե՞ ուղիղ: 3. 180 աստիճան ընդհանուր կողմ ունեցող երկու անկյունների գումարը: Արդյո՞ք այս անկյունները պարտադիր հարակից են: 4. Աշակերտը կառուցեց 2 ուղղահայաց անկյուն: Քանի՞ զույգ գծեր ստացվեց սա: 5. Երկու անկյուն ունեն ընդհանուր գագաթ, այս անկյուններից յուրաքանչյուրը 60 աստիճան է: Արդյո՞ք այս անկյունները պետք է լինեն ուղղահայաց: 6. Երկու ուղիղների հատման արդյունքում առաջացող չորս անկյուններից մեկը հավասար է 80 աստիճանի։ Որո՞նք են մնացած անկյունները: 7. Որքա՞ն է անկյունը, եթե նրա հետ ուղղահայաց անկյունը 120 աստիճան է:

Պատասխանները. 1. Հավասար է 180 աստիճանի 2. Բութ անկյուն 3. Ոչ 4. Անկյուններ AOC և EOM, AOE և COM աստիճաններ և 40 աստիճան 7. Այո 1. Լրացուցիչ ճառագայթներ 2. Սուր անկյուն 3. Ոչ 4. Մեկ զույգ 5. Ոչ և 100 աստիճան աստիճաններ

Երկրաչափությունը շատ բազմակողմանի գիտություն է։ Այն զարգացնում է տրամաբանությունը, երևակայությունը և խելքը: Իհարկե, շնորհիվ իր բարդության և հսկայական գումարթեորեմներ և աքսիոմներ, դպրոցականներին դա միշտ չէ, որ դուր է գալիս: Բացի այդ, անհրաժեշտություն կա մշտապես ապացուցել ձեր եզրակացությունները՝ օգտագործելով ընդհանուր ընդունված չափանիշներն ու կանոնները:

Հարակից և ուղղահայաց անկյունները երկրաչափության անբաժանելի մասն են: Իհարկե, շատ դպրոցականներ պարզապես պաշտում են նրանց այն պատճառով, որ դրանց հատկությունները պարզ են և հեշտ ապացուցելի։

Անկյունների ձևավորում

Ցանկացած անկյուն ձևավորվում է երկու ուղիղ գծեր հատելով կամ մեկ կետից երկու ճառագայթ քաշելով։ Դրանք կարելի է անվանել մեկ կամ երեք տառ, որոնք հաջորդաբար նշանակում են այն կետերը, որոնց վրա կառուցված է անկյունը:

Անկյունները չափվում են աստիճաններով և կարող են (կախված դրանց արժեքից) այլ կերպ անվանվել։ Այսպիսով, կա ուղիղ անկյուն՝ սուր, բութ և բացված։ Անուններից յուրաքանչյուրը համապատասխանում է որոշակի աստիճանի չափման կամ դրա միջակայքին:

Սուր անկյունը այն անկյունն է, որի չափը չի գերազանցում 90 աստիճանը:

Բութ անկյունը 90 աստիճանից մեծ անկյուն է:

Անկյունը կոչվում է ուղիղ, երբ նրա աստիճանի չափը 90 է։

Այն դեպքում, երբ այն կազմված է մեկ շարունակական ուղիղ գծով, և աստիճանի չափը 180 է, կոչվում է ընդլայնված։

Այն անկյունները, որոնք ունեն ընդհանուր կողմ, որի երկրորդ կողմը շարունակում է միմյանց, կոչվում են հարակից: Նրանք կարող են լինել կամ սուր կամ բութ: Գծի հատումը կազմում է հարակից անկյուններ։ Նրանց հատկությունները հետևյալն են.

1. Նման անկյունների գումարը հավասար կլինի 180 աստիճանի (կա թեորեմ, որն ապացուցում է դա)։ Հետեւաբար, կարելի է հեշտությամբ հաշվարկել դրանցից մեկը, եթե մյուսը հայտնի է։
2. Առաջին կետից հետևում է, որ հարակից անկյունները չեն կարող ձևավորվել երկու բութ կամ երկու սուր անկյուններով։

Այս հատկությունների շնորհիվ միշտ հնարավոր է հաշվարկել անկյան աստիճանի չափը՝ հաշվի առնելով մեկ այլ անկյան արժեքը կամ առնվազն նրանց միջև հարաբերակցությունը:

Ուղղահայաց անկյուններ

Անկյունները, որոնց կողմերը միմյանց շարունակությունն են, կոչվում են ուղղահայաց: Նրանց սորտերից ցանկացածը կարող է հանդես գալ որպես այդպիսի զույգ: Ուղղահայաց անկյունները միշտ հավասար են միմյանց:

Դրանք ձևավորվում են ուղիղ գծերի հատման ժամանակ։ Դրանց հետ մեկտեղ միշտ առկա են հարակից անկյունները։ Մեկի համար անկյունը կարող է միաժամանակ հարևան լինել, մյուսի համար՝ ուղղահայաց:

Կամայական գիծը հատելիս հաշվի են առնվում նաև մի քանի այլ տեսակի անկյուններ: Այդպիսի գիծը կոչվում է կտրվածք, և այն կազմում է համապատասխան, միակողմանի և խաչաձև անկյուններ։ Նրանք հավասար են միմյանց: Դրանք կարելի է դիտարկել՝ հաշվի առնելով այն հատկությունները, որոնք ունեն ուղղահայաց և հարակից անկյունները:

Այսպիսով, անկյունների թեման բավականին պարզ և հասկանալի է թվում: Նրանց բոլոր հատկությունները հեշտ է հիշել և ապացուցել: Խնդիրների լուծումը դժվար չի թվում, քանի դեռ անկյունները համապատասխանում են թվային արժեք. Հետագայում, երբ սկսվի մեղքի և կոսի ուսումնասիրությունը, ստիպված կլինեք շատ բան անգիր անել բարդ բանաձևեր, դրանց եզրակացություններն ու հետեւանքները։ Մինչ այդ, դուք կարող եք պարզապես վայելել հեշտ հանելուկներ, որտեղ դուք պետք է գտնեք հարակից անկյունները:

ԳԼՈՒԽ I.

ՀԻՄՆԱԿԱՆ ՀԱՍԿԱՑՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ.

§ տասնմեկ. ԿԻՑ ԵՎ ՈՒՂՂԱՁԱՅՆ ԱՆԿՅՈՒՆՆԵՐԸ.

1. Հարակից անկյունները.

Եթե ​​ցանկացած անկյան կողմը երկարացնենք նրա գագաթից այն կողմ, ապա կստանանք երկու անկյուն (նկ. 72). / Եվ արևը և / SVD, որի մի կողմը BC ընդհանուր է, իսկ մյուս երկու A-ն և BD-ն ուղիղ գիծ են կազմում:

Երկու անկյունները, որոնց մի կողմը ընդհանուր է, իսկ մյուս երկուսը ուղիղ գիծ են կազմում, կոչվում են հարակից անկյուններ:

Հարակից անկյունները կարելի է ստանալ նաև այսպես՝ եթե գծի ինչ-որ կետից ճառագայթ գծենք (տվյալ գծի վրա չպառկած), կստանանք հարակից անկյուններ։
Օրինակ, / ADF և / FDВ - հարակից անկյուններ (նկ. 73):

Հարակից անկյունները կարող են ունենալ դիրքերի լայն տեսականի (նկ. 74):

Հարակից անկյունները գումարվում են ուղիղ անկյան, ուստի երկու հարակից անկյունների ումման հավասար է 2դ.

Այսպիսով, ուղիղ անկյունը կարող է սահմանվել որպես իր հարակից անկյան հավասար անկյուն:

Իմանալով հարակից անկյուններից մեկի չափը՝ կարող ենք գտնել դրան հարող մյուս անկյան չափը։

Օրինակ, եթե հարակից անկյուններից մեկը 3/5 է դ, ապա երկրորդ անկյունը հավասար կլինի.

2դ- 3 / 5 դ= լ 2/5 դ.

2. Ուղղահայաց անկյուններ.

Եթե ​​անկյան կողմերը երկարացնենք նրա գագաթից այն կողմ, ապա կստանանք ուղղահայաց անկյուններ։ Նկար 75-ում EOF և AOC անկյունները ուղղահայաց են. AOE և COF անկյունները նույնպես ուղղահայաց են:

Երկու անկյունները կոչվում են ուղղահայաց, եթե մի անկյան կողմերը մյուս անկյան կողմերի շարունակությունն են։

Թող / 1 = 7 / 8 դ(Նկար 76): Դրան կից / 2-ը հավասար կլինի 2-ի դ- 7 / 8 դ, այսինքն՝ 1 1/8 դ.

Նույն կերպ դուք կարող եք հաշվարկել, թե դրանք ինչի են հավասար / 3 և / 4.
/ 3 = 2դ - 1 1 / 8 դ = 7 / 8 դ; / 4 = 2դ - 7 / 8 դ = 1 1 / 8 դ(Նկար 77):

Մենք դա տեսնում ենք / 1 = / 3 և / 2 = / 4.

Դուք կարող եք լուծել ևս մի քանի նույն խնդիրներ, և ամեն անգամ կստանաք նույն արդյունքը. ուղղահայաց անկյունները հավասար են միմյանց:

Այնուամենայնիվ, համոզվելու համար, որ ուղղահայաց անկյունները միշտ հավասար են միմյանց, բավական չէ անհատական ​​համարել թվային օրինակներ, քանի որ որոշակի օրինակների հիման վրա արված եզրակացությունները երբեմն կարող են սխալ լինել։

Անհրաժեշտ է ստուգել ուղղահայաց անկյունների հատկությունների վավերականությունը պատճառաբանությամբ, ապացուցմամբ։

Ապացույցը կարող է իրականացվել հետևյալ կերպ (նկ. 78).

/ ա+/ գ = 2դ;
/ բ+/ գ = 2դ;

(քանի որ հարակից անկյունների գումարը 2 է դ).

/ ա+/ գ = / բ+/ գ

(Ինչպես նաեւ ձախ կողմայս հավասարությունը հավասար է 2-ի դ, և նրա աջ կողմը նույնպես հավասար է 2-ի դ).

Այս հավասարությունը ներառում է նույն անկյունը Հետ.

Եթե ​​հավասար քանակներից հանենք հավասար քանակություններ, ապա կմնան հավասար քանակություններ։ Արդյունքը կլինի. / ա = / բ, այսինքն՝ ուղղահայաց անկյունները հավասար են միմյանց։

Ուղղահայաց անկյունների հարցը քննարկելիս նախ բացատրեցինք, թե որ անկյուններն են կոչվում ուղղահայաց, այսինքն. սահմանումուղղահայաց անկյուններ.

Այնուհետև մենք դատողություն (հայտարարություն) արեցինք ուղղահայաց անկյունների հավասարության մասին և ապացուցման միջոցով համոզվեցինք այս դատողության վավերականության մեջ։ Այնպիսի դատողություններ, որոնց վավերականությունը պետք է ապացուցվի, կոչվում են թեորեմներ. Այսպիսով, այս բաժնում մենք տվեցինք ուղղահայաց անկյունների սահմանումը, ինչպես նաև ասացինք և ապացուցեցինք դրանց հատկությունների մասին թեորեմա:

Հետագայում, երկրաչափություն ուսումնասիրելիս, մենք անընդհատ ստիպված կլինենք հանդիպել թեորեմների սահմանումների և ապացույցների։

3. Անկյունների գումարը, որոնք ունեն ընդհանուր գագաթ:

79-րդ նկարի վրա / 1, / 2, / 3 և / 4-ը գտնվում են գծի մի կողմում և ունեն ընդհանուր գագաթ այս գծի վրա: Ընդհանուր առմամբ, այս անկյունները կազմում են ուղիղ անկյուն, այսինքն.
/ 1+ / 2+/ 3+ / 4 = 2դ.

80-րդ նկարի վրա / 1, / 2, / 3, / 4 և / 5-ն ունեն ընդհանուր գագաթ: Ընդհանուր առմամբ, այս անկյունները կազմում են ամբողջական անկյուն, այսինքն. / 1 + / 2 + / 3 + / 4 + / 5 = 4դ.

Զորավարժություններ.

1. Կից անկյուններից մեկը 0,72 է դ.Հաշվե՛ք այս հարակից անկյունների կիսադիրներով կազմված անկյունը:

2. Ապացուցեք, որ երկու կից անկյունների կիսադիրները կազմում են ուղիղ անկյուն:

3. Ապացուցեք, որ եթե երկու անկյունները հավասար են, ապա նրանց հարակից անկյունները նույնպես հավասար են:

4. Քանի՞ զույգ կից անկյուն կա 81 գծագրում:

5. Կարո՞ղ է հարակից զույգ անկյունները բաղկացած լինել երկու սուր անկյուններից: երկու բութ անկյունի՞ց։ ուղիղ և բութ անկյուններից. ճիշտ և սուր անկյունից.

6. Եթե հարակից անկյուններից մեկն ուղիղ է, ապա ի՞նչ կարելի է ասել դրան կից անկյան մեծության մասին։

7. Եթե երկու ուղիղների հատման կետում մի անկյունն ուղիղ է, ապա ի՞նչ կարելի է ասել մյուս երեք անկյունների չափի մասին։