Rumah stomatitis Penerapan geometri integral tertentu. Penerapan integral tertentu

stomatitis

Penerapan geometri integral tertentu. Penerapan integral tertentu

Kuliah 8. Aplikasi integral tertentu.

Penerapan integral pada permasalahan fisis didasarkan pada sifat aditif integral pada suatu himpunan. Oleh karena itu, dengan menggunakan integral, dapat dihitung besaran-besaran yang merupakan penjumlahan dalam himpunan. Misalnya, luas suatu bangun sama dengan jumlah luas bagian-bagiannya. Panjang busur, luas permukaan, volume benda, dan massa benda mempunyai sifat yang sama. Oleh karena itu, semua besaran tersebut dapat dihitung dengan menggunakan integral tertentu.

Anda dapat menggunakan dua metode untuk menyelesaikan masalah: metode jumlah integral dan metode diferensial.

Metode penjumlahan integral mengulangi konstruksi integral tertentu: sebuah partisi dibuat, titik-titik ditandai, fungsinya dihitung, jumlah integral dihitung, dan perjalanan ke batas dilakukan. Dalam metode ini kesulitan utamanya adalah membuktikan bahwa dalam limit hasilnya tepat sesuai dengan yang dibutuhkan dalam soal.

Metode diferensial menggunakan integral tak tentu dan rumus Newton – Leibniz. Diferensial besaran yang akan ditentukan dihitung, dan kemudian, dengan mengintegrasikan diferensial ini, besaran yang diperlukan diperoleh dengan menggunakan rumus Newton – Leibniz. Dalam metode ini, kesulitan utamanya adalah membuktikan bahwa yang dihitung adalah selisih dari nilai yang dibutuhkan, dan bukan yang lain.

Perhitungan luas bangun datar.

1. Gambar tersebut dibatasi oleh grafik suatu fungsi yang didefinisikan dalam sistem koordinat kartesius.

Konsep integral tertentu kita peroleh dari masalah luas trapesium lengkung (sebenarnya menggunakan metode penjumlahan integral). Jika suatu fungsi hanya bernilai non-negatif, maka luas di bawah grafik fungsi pada suatu segmen dapat dihitung dengan menggunakan integral tertentu. perhatikan itu oleh karena itu, metode diferensial juga dapat dilihat di sini.

Namun suatu fungsi juga dapat bernilai negatif pada suatu ruas tertentu, maka integral pada ruas tersebut akan memberikan luas negatif, yang bertentangan dengan definisi luas.

Anda dapat menghitung luasnya menggunakan rumusS=. Hal ini setara dengan mengubah tanda fungsi di area yang bernilai negatif.

Jika Anda perlu menghitung luas suatu bangun yang dibatasi di atas oleh grafik fungsi dan di bawah oleh grafik fungsi, maka Anda bisa menggunakan rumusnyaS= , Karena .

Contoh. Hitung luas bangun yang dibatasi garis lurus x=0, x=2 dan grafik fungsi y=x 2, y=x 3.

Perhatikan bahwa pada interval (0,1) pertidaksamaan x 2 > x 3 berlaku, dan untuk x >1 pertidaksamaan x 3 > x 2 berlaku. Itu sebabnya

2. Gambar tersebut dibatasi oleh grafik suatu fungsi yang ditentukan dalam sistem koordinat kutub.

Misalkan grafik suatu fungsi diberikan dalam sistem koordinat kutub dan kita ingin menghitung luas sektor lengkung yang dibatasi oleh dua sinar dan grafik suatu fungsi dalam sistem koordinat kutub.

Di sini Anda dapat menggunakan metode penjumlahan integral, menghitung luas sektor lengkung sebagai limit jumlah luas sektor elementer yang grafik fungsinya digantikan oleh busur lingkaran. .

Anda juga dapat menggunakan metode diferensial: .

Anda bisa berpikir seperti ini. Mengganti sektor lengkung dasar yang berhubungan dengan sudut pusat dengan sektor lingkaran, kita mendapatkan proporsinya. Dari sini . Mengintegrasikan dan menggunakan rumus Newton – Leibniz, kita peroleh .

Contoh. Mari kita hitung luas lingkaran (cek rumusnya). Kami percaya. Luas lingkarannya adalah .

Contoh. Mari kita hitung luas yang dibatasi oleh cardioid .

3 Gambar tersebut dibatasi oleh grafik suatu fungsi yang didefinisikan secara parametrik.

Fungsi tersebut dapat ditentukan secara parametrik dalam bentuk . Kami menggunakan rumusnya S= , menggantikan batas integrasi dengan variabel baru. . Biasanya, ketika menghitung integral, area yang fungsi integrannya memiliki tanda tertentu diidentifikasi dan area yang bersesuaian dengan satu atau lain tanda diperhitungkan.

Contoh. Hitung luas yang dikelilingi elips.

Dengan menggunakan simetri elips, kita menghitung luas seperempat elips yang terletak di kuadran pertama. Di kuadran ini. Itu sebabnya.

Perhitungan volume benda.

1. Perhitungan volume benda dari luas penampang sejajar.

Misalkan volume suatu benda V perlu dihitung dari luas penampang benda tersebut yang diketahui oleh bidang-bidang yang tegak lurus terhadap garis OX yang ditarik melalui sembarang titik x dari ruas garis OX.

Mari kita terapkan metode diferensial. Mengingat volume dasar di atas ruas sebagai volume silinder siku-siku dengan luas alas dan tinggi, kita peroleh . Mengintegrasikan dan menerapkan rumus Newton – Leibniz, kita peroleh

2. Perhitungan volume benda revolusi.

Biarlah perlu untuk menghitung SAPI.

Kemudian .

Juga, volume suatu benda revolusi pada suatu sumbuoh, jika fungsi diberikan dalam bentuk , dapat dihitung dengan menggunakan rumus .

Jika fungsi tersebut ditentukan dalam bentuk dan diperlukan untuk menentukan volume suatu benda yang berputar pada suatu sumbuoh, maka rumus menghitung volume dapat diperoleh sebagai berikut.

Dengan meneruskan ke diferensial dan mengabaikan suku kuadrat, kita punya . Mengintegrasikan dan menerapkan rumus Newton – Leibniz, kita mendapatkan.

Contoh. Hitunglah volume bola tersebut.

Contoh. Hitunglah volume kerucut berbentuk lingkaran siku-siku yang dibatasi oleh permukaan dan bidang.

Mari kita hitung volume sebagai volume suatu benda yang berotasi, dibentuk oleh rotasi di sekitar sumbu OZ segitiga siku-siku pada bidang OXZ yang kaki-kakinya terletak pada sumbu OZ dan garis z = H, dan sisi miringnya terletak pada garis tersebut.

Mengekspresikan x dalam bentuk z, kita peroleh .

Perhitungan panjang busur.

Untuk mendapatkan rumus menghitung panjang busur, ingat kembali rumus yang diturunkan pada semester 1 untuk selisih panjang busur.

Jika busur adalah grafik fungsi terdiferensiasi kontinyu, perbedaan panjang busur dapat dihitung menggunakan rumus

. Itu sebabnya

Jika busur halus ditentukan secara parametrik, Itu

. Itu sebabnya .

Jika busur ditentukan dalam sistem koordinat kutub, Itu

. Itu sebabnya .

Contoh. Hitunglah panjang busur grafik fungsi tersebut, . .

Mari kita sajikan beberapa penerapan integral tentu.

Menghitung luas bangun datar

Luas trapesium lengkung yang dibatasi oleh kurva (dimana
), lurus
,
dan sebuah segmen
sumbu
, dihitung dengan rumus

Luas bangun datar yang dibatasi oleh kurva
Dan
(Di mana
) lurus
Dan
dihitung dengan rumus

Jika kurva diberikan oleh persamaan parametrik
, maka luas trapesium lengkung yang dibatasi oleh kurva tersebut oleh garis lurus
,
dan sebuah segmen
sumbu
, dihitung dengan rumus

Di mana Dan ditentukan dari persamaan
,
, A
pada
.

Luas sektor lengkung yang dibatasi oleh kurva yang diberikan dalam koordinat kutub oleh persamaan
dan dua jari-jari kutub
,
(
), ditemukan dengan rumus

Contoh 1.27. Hitung luas bangun yang dibatasi parabola
dan lurus
(Gambar 1.1).

Larutan. Mari kita cari titik potong garis lurus dan parabola. Untuk melakukan ini, kita selesaikan persamaannya

,
.

Di mana
,
. Kemudian dengan rumus (1.6) kita punya

Menghitung panjang busur suatu kurva bidang

Jika kurva
pada segmen tersebut
- halus (yaitu turunan
kontinu), maka panjang busur yang bersesuaian dari kurva ini ditentukan dengan rumus

Saat menentukan kurva secara parametrik
(
- fungsi yang dapat diturunkan secara kontinu) panjang busur kurva yang sesuai dengan perubahan parameter yang monoton dari sebelum , dihitung dengan rumus

Contoh 1.28. Menghitung panjang busur suatu kurva
,
,
.

Larutan. Mari kita cari turunan terhadap parameternya :
,
. Kemudian dari rumus (1.7) kita peroleh

2. Kalkulus diferensial fungsi beberapa variabel

Biarkan setiap pasangan angka yang diurutkan
dari beberapa daerah
sesuai dengan nomor tertentu
. Kemudian ditelepon fungsi dua variabel Dan ,
-Variabel independen atau argumen ,
-domain definisi fungsi, dan satu set semua nilai fungsi - rentang nilainya dan menunjukkan
.

Secara geometris, domain definisi suatu fungsi biasanya mewakili beberapa bagian dari bidang tersebut
, dibatasi oleh garis yang mungkin termasuk atau bukan milik area ini.

Contoh 2.1. Temukan domain definisi
fungsi
.

Larutan. Fungsi ini didefinisikan pada titik-titik bidang tersebut
, di mana
, atau
. Poin dari pesawat yang mana
, membentuk batas wilayah
. Persamaannya
mendefinisikan parabola (Gbr. 2.1; karena parabola bukan milik wilayah tersebut
, kemudian digambarkan dengan garis putus-putus). Selanjutnya, mudah untuk memeriksa secara langsung poin-poinnya
, terletak di atas parabola. Wilayah
terbuka dan dapat ditentukan menggunakan sistem pertidaksamaan:

Jika variabel berikan sedikit peningkatan
, A biarkan konstan, lalu fungsinya
akan menerima kenaikan
, ditelepon peningkatan fungsi pribadi berdasarkan variabel :

Begitu pula jika variabelnya mendapat kenaikan
, A tetap konstan, maka fungsinya
akan menerima kenaikan
, ditelepon peningkatan fungsi pribadi berdasarkan variabel :

Jika ada batasan:

mereka dipanggil turunan parsial suatu fungsi
oleh variabel Dan masing-masing.

Catatan 2.1. Turunan parsial dari fungsi sejumlah variabel bebas ditentukan dengan cara yang sama.

Catatan 2.2. Karena turunan parsial terhadap suatu variabel adalah turunan terhadap variabel tersebut, asalkan variabel lainnya konstan, maka semua aturan untuk mendiferensiasikan fungsi suatu variabel berlaku untuk mencari turunan parsial dari fungsi sejumlah variabel.

Contoh 2.2.
.

Larutan. Kami menemukan:

Contoh 2.3. Temukan turunan parsial suatu fungsi
.

Larutan. Kami menemukan:

Peningkatan fungsi penuh
disebut perbedaan

Bagian utama dari peningkatan fungsi penuh
, bergantung secara linier pada peningkatan variabel independen
Dan
,disebut diferensial total fungsi tersebut dan ditunjuk
. Jika suatu fungsi mempunyai turunan parsial kontinu, maka diferensial totalnya ada dan sama dengan

Di mana
,
- kenaikan variabel independen secara sewenang-wenang, yang disebut diferensialnya.

Demikian pula untuk fungsi tiga variabel
diferensial total diberikan oleh

Biarkan fungsinya
sudah tepat sasaran
turunan parsial orde pertama terhadap semua variabel. Maka vektornya disebut gradien fungsi
pada intinya
dan ditunjuk
atau
.

Catatan 2.3. Simbol
disebut operator Hamilton dan diucapkan “nambla”.

Contoh 2.4. Temukan gradien suatu fungsi di suatu titik
.

Larutan. Mari kita cari turunan parsialnya:

,
,

dan hitung nilainya pada saat itu
:

,
,
.

Karena itu,
.

Turunan fungsi
pada intinya
dalam arah vektor
disebut batas rasio
pada
:

, Di mana
.

Jika fungsinya
terdiferensiasi, maka turunannya pada suatu arah tertentu dihitung dengan rumus:

Di mana ,- sudut, yang merupakan vektor bentuk dengan sumbu
Dan
masing-masing.

Dalam kasus fungsi tiga variabel
turunan arah didefinisikan dengan cara yang sama. Rumus yang sesuai adalah

Di mana
- arah kosinus vektor .

Contoh 2.5. Temukan turunan suatu fungsi
pada intinya
dalam arah vektor
, Di mana
.

Larutan. Mari kita cari vektornya
dan arahnya kosinus:

,
,
,
.

Mari kita hitung nilai turunan parsial pada titik tersebut
:

,
,
;
,
,
.

Mengganti ke (2.1), kita mendapatkan

Turunan parsial orde kedua disebut turunan parsial yang diambil dari turunan parsial orde pertama:

Derivatif parsial
,
disebut Campuran . Nilai turunan campuran adalah sama pada titik-titik di mana turunan tersebut kontinu.

Contoh 2.6. Temukan turunan parsial orde kedua dari suatu fungsi
.

Larutan. Mari kita hitung dulu turunan parsial orde pertama:

,
.

Membedakannya lagi, kita mendapatkan:

,
,

,
.

Membandingkan ekspresi terakhir, kita melihatnya
.

Contoh 2.7. Buktikan bahwa fungsinya
memenuhi persamaan Laplace

Larutan. Kami menemukan:

,
.

Dot
ditelepon titik maksimum lokal (minimum ) fungsi
, jika untuk semua poin
, berbeda dari
dan termasuk dalam lingkungan yang cukup kecil, ketidaksetaraan

(
).

Maksimum atau minimum suatu fungsi disebut fungsi tersebut ekstrem . Titik di mana titik ekstrem suatu fungsi tercapai disebut titik ekstrem dari fungsi tersebut .

Teorema 2.1 (Kondisi yang diperlukan untuk ekstrem ). Jika intinya
adalah titik ekstrem dari fungsi tersebut
, atau setidaknya salah satu dari turunannya tidak ada.

Titik-titik yang memenuhi syarat-syarat ini disebut tidak bergerak atau kritis . Titik ekstrem selalu stasioner, namun titik stasioner belum tentu merupakan titik ekstrem. Agar suatu titik stasioner menjadi titik ekstrem, kondisi ekstrem yang cukup harus dipenuhi.

Mari kita perkenalkan dulu notasi berikut :

,
,
,
.

Teorema 2.2 (Kondisi yang cukup untuk ekstrem ). Biarkan fungsinya
terdiferensiasi dua kali di lingkungan suatu titik
dan titik
stasioner untuk fungsi tersebut
. Kemudian:

1.Jika
, lalu tunjuk
adalah fungsi ekstrem, dan
akan menjadi titik maksimum di
(
)dan titik minimum di
(
).

2.Jika
, lalu pada intinya

tidak ada yang ekstrim.

3.Jika
, maka ekstremnya mungkin ada atau tidak.

Contoh 2.8. Periksa fungsi ekstremnya
.

Larutan. Sejak di pada kasus ini turunan parsial orde pertama selalu ada, maka untuk mencari titik stasioner (kritis) kita selesaikan sistemnya:

,
,

Di mana
,
,
,
. Jadi, kami mendapat dua titik stasioner:
,
.

,
,
.

Untuk satu hal
kita mendapatkan :, yaitu, tidak ada titik ekstrem pada saat ini. Untuk satu hal
kita mendapatkan: dan
, karena itu

pada saat ini fungsi ini mencapai minimum lokal: .

Luas trapesium lengkung yang dibatasi di atasnya oleh grafik suatu fungsi kamu=f(x), kiri dan kanan - lurus x=sebuah Dan x=b karenanya, dari bawah - sumbu Sapi, dihitung dengan rumus

Luas trapesium lengkung yang di sebelah kanannya dibatasi oleh grafik suatu fungsi x=φ(y), atas dan bawah - lurus kamu=d Dan kamu=c karenanya, di sebelah kiri - sumbu Oi:

Luas bangun lengkung yang dibatasi di atas oleh grafik suatu fungsi kamu 2 =f 2 (x), di bawah - grafik fungsi kamu 1 =f 1 (x), kiri dan kanan - lurus x=sebuah Dan x=b:

Luas bangun lengkung yang kiri dan kanannya dibatasi oleh grafik fungsi x 1 =φ 1 (kamu) Dan x 2 =φ 2 (kamu), atas dan bawah - lurus kamu=d Dan kamu=c masing-masing:

Mari kita perhatikan kasus ketika garis yang membatasi trapesium lengkung dari atas diberikan oleh persamaan parametrik x = φ 1 (t), kamu = φ 2 (t), Di mana α ≤ t ≤ β, φ 1 (α)=sebuah, φ 1 (β)=b. Persamaan ini mendefinisikan beberapa fungsi kamu=f(x) di segmen [ a, b]. Luas trapesium lengkung dihitung dengan rumus

Mari beralih ke variabel baru x = φ 1 (t), Kemudian dx = φ" 1 (t) dt, A y=f(x)=f(φ 1 (t))=φ 2 (t), oleh karena itu \begin(displaymath)

Area dalam koordinat kutub

Pertimbangkan sektor lengkung OAB, dibatasi oleh garis, diberikan oleh persamaan ρ=ρ(φ) dalam koordinat kutub, dua sinar O.A. Dan O.B., untuk itu φ=α , φ=β .

Kami akan membagi sektor ini menjadi sektor-sektor dasar OM k-1 M k ( k=1, …, n, M 0 =SEBUAH, M n =B). Mari kita nyatakan dengan Δφk sudut antar sinar OM k-1 Dan Ya ampun, membentuk sudut dengan sumbu kutub φ k-1 Dan φk masing-masing. Masing-masing sektor dasar OM k-1 Mk gantilah dengan sektor lingkaran yang berjari-jari ρk =ρ(φ"k), Di mana φ"k- nilai sudut φ dari interval [ φ k-1 , φ k], dan sudut tengah Δφk. Luas sektor terakhir dinyatakan dengan rumus .

menyatakan luas suatu sektor yang “bertingkat” yang kira-kira menggantikan suatu sektor tertentu OAB.

Daerah sektor OAB disebut batas luas sektor yang “berlangkah” di n → ∞ Dan λ=maks Δφ k → 0:

Karena , Itu

Panjang busur kurva

Biarkan di segmen [ a, b] fungsi terdiferensiasi diberikan kamu=f(x), grafiknya adalah busur. Segmen garis [ a,b] mari kita bagi menjadi N bagian dengan titik x 1, x 2, …, xn-1. Poin-poin ini akan sesuai dengan poin M 1, M 2, …, Mn-1 busur, kita menghubungkannya dengan garis putus-putus, yang disebut garis putus-putus pada busur. Keliling garis putus-putus ini dilambangkan dengan s n, itu adalah

Definisi. Panjang busur suatu garis adalah batas keliling garis putus-putus yang terdapat di dalamnya, jika banyaknya mata rantai M k-1 M k bertambah tanpa batas, dan panjang yang terbesar cenderung nol:

dimana λ adalah panjang link terbesar.

Kita akan menghitung panjang busur dari suatu titik, misalnya, A. Biarkan pada intinya M(x,y) panjang busur adalah S, dan pada intinya M"(x+Δ x,y+Δy) panjang busur adalah s+Δs, dimana,i>Δs adalah panjang busur. Dari segitiga MNM" tentukan panjang tali busur: .

Dari pertimbangan geometris berikut ini

yaitu, busur garis yang sangat kecil dan tali busur yang berada di bawahnya adalah ekuivalen.

Mari kita ubah rumus yang menyatakan panjang tali busur:

Melewati batas persamaan ini, kita memperoleh rumus turunan fungsi s=s(x):

dari mana kita menemukan

Rumus ini menyatakan diferensial busur suatu kurva bidang dan memiliki rumus sederhana makna geometris : menyatakan teorema Pythagoras untuk segitiga yang sangat kecil MTN (ds=MT, ).

Diferensial busur kurva spasial ditentukan oleh rumus

Pertimbangkan busur garis spasial yang ditentukan oleh persamaan parametrik

Di mana α ≤ t ≤ β, φi(t) (saya=1, 2, 3) - fungsi argumen yang dapat dibedakan T, Itu

Mengintegrasikan persamaan ini pada interval [ α, β ], kita mendapatkan rumus untuk menghitung panjang busur garis ini

Jika garis terletak pada bidang Oks, Itu z=0 di depan semua orang t∈[α, β], Itu sebabnya

Dalam kasus di mana garis datar diberikan oleh persamaan kamu=f(x) (a≤x≤b), Di mana f(x) adalah fungsi terdiferensiasi, rumus terakhir mengambil bentuk

Biarkan garis bidang diberikan oleh persamaan ρ=ρ(φ) (α≤φ≤β ) dalam koordinat kutub. Dalam hal ini kita punya persamaan parametrik garis x=ρ(φ) cos φ, y=ρ(φ) dosa φ, dimana sudut kutub diambil sebagai parameter φ . Karena

maka rumus menyatakan panjang busur garis ρ=ρ(φ) (α≤φ≤β ) dalam koordinat kutub, berbentuk

Volume tubuh

Mari kita cari volume suatu benda jika diketahui luas penampang suatu benda yang tegak lurus terhadap arah tertentu.

Mari kita bagi benda ini menjadi lapisan-lapisan dasar dengan bidang-bidang yang tegak lurus terhadap sumbu Sapi dan ditentukan oleh persamaan x=konstanta. Untuk apapun yang tetap x∈ daerah yang diketahui S=S(x) persilangan tubuh yang diberikan.

Lapisan dasar terpotong oleh pesawat x=xk-1, x=xk (k=1, …, n, x 0 =sebuah, xn =b), ganti dengan silinder yang tingginya Δx k =x k -x k-1 dan daerah dasar S(ξk), ξ k ∈.

Volume silinder dasar yang ditunjukkan dinyatakan dengan rumus Δvk =E(ξk)Δxk. Mari kita simpulkan semua produk tersebut

yang merupakan jumlah integral dari suatu fungsi tertentu S=S(x) di segmen [ a, b]. Ini menyatakan volume benda berundak, yang terdiri dari silinder dasar dan kira-kira menggantikan benda ini.

Volume suatu benda adalah batas volume benda berundak tertentu di λ→0 , Di mana λ - panjang segmen dasar terbesar Δxk. Mari kita nyatakan dengan V volume benda tertentu, lalu menurut definisi

Di sisi lain,

Oleh karena itu, volume benda sesuai yang diberikan Persimpangan dihitung dengan rumus

Jika suatu benda dibentuk oleh rotasi pada suatu sumbu Sapi trapesium melengkung yang bagian atasnya dibatasi oleh busur garis kontinu kamu=f(x), Di mana a≤x≤b, Itu S(x)=πf 2 (x) dan rumus terakhir berbentuk:

Komentar. Volume suatu benda diperoleh dengan memutar trapesium lengkung yang dibatasi di sebelah kanan oleh grafik fungsi x=φ(y) (c ≤ x ≤ d), di sekitar sumbu Oi dihitung dengan rumus

Luas permukaan rotasi

Perhatikan permukaan yang diperoleh dengan memutar busur garis kamu=f(x) (a≤x≤b) di sekitar sumbu Sapi(asumsikan bahwa fungsinya kamu=f(x) memiliki turunan kontinu). Memperbaiki nilainya x∈, kami akan memberikan penambahan pada argumen fungsi dx, yang sesuai dengan “cincin dasar” yang diperoleh dengan memutar busur dasar Δl. Mari kita ganti "cincin" ini dengan cincin silinder - permukaan lateral suatu benda yang dibentuk oleh rotasi persegi panjang dengan alas yang sama dengan diferensial busur. dl, dan tinggi badan h=f(x). Dengan memotong cincin terakhir dan membuka lipatannya, kita mendapatkan strip dengan lebarnya dl dan panjang 2πy, Di mana kamu=f(x).