Topik: “Menghitung volume benda revolusi menggunakan integral tertentu»

Jenis pelajaran: digabungkan.

Tujuan pelajaran: belajar menghitung volume benda revolusi menggunakan integral.

Tugas:

memantapkan kemampuan mengidentifikasi trapesium lengkung dari suatu rangkaian bentuk geometris dan melatih keterampilan menghitung luas trapesium lengkung;

mengenal konsep bangun tiga dimensi;

belajar menghitung volume benda revolusi;

mendorong pembangunan berpikir logis, pidato matematika yang kompeten, akurasi dalam membuat gambar;

menumbuhkan minat terhadap mata pelajaran, mengoperasikan konsep dan gambar matematika, menumbuhkan kemauan, kemandirian, dan ketekunan dalam mencapai hasil akhir.

Selama kelas

I. Momen organisasi.

Salam dari grup. Komunikasikan tujuan pelajaran kepada siswa.

Saya ingin memulai pelajaran hari ini dengan sebuah perumpamaan. “Pada suatu ketika hiduplah seorang bijak yang mengetahui segalanya. Seorang pria ingin membuktikan bahwa orang bijak tidak mengetahui segalanya. Sambil memegang kupu-kupu di telapak tangannya, dia bertanya: “Katakan padaku, orang bijak, kupu-kupu mana yang ada di tanganku: hidup atau mati?” Dan ia berpikir: “Jika orang hidup berkata, saya akan membunuhnya; jika orang mati berkata, saya akan melepaskannya.” Orang bijak itu, setelah berpikir, menjawab: “Semuanya ada di tanganmu.”

Oleh karena itu, mari kita bekerja dengan produktif hari ini, memperoleh pengetahuan baru, dan kita akan menerapkan keterampilan dan kemampuan yang diperoleh dalam kehidupan masa depan dan dalam kegiatan praktis “Semuanya ada di tangan Anda.”

II. Pengulangan materi yang telah dipelajari sebelumnya.

Mari kita mengingat kembali pokok-pokok materi yang telah dipelajari sebelumnya. Untuk melakukan ini, mari selesaikan tugas “Kecualikan kata yang berlebihan”.

(Siswa mengucapkan satu kata tambahan.)

Benar "Diferensial". Cobalah untuk menyebutkan kata-kata yang tersisa menjadi satu secara umum. (Kalkulus integral.)

Mari kita mengingat tahapan dan konsep utama yang terkait dengan kalkulus integral.

Latihan. Pulihkan kesenjangannya. (Siswa keluar dan menulis kata-kata yang diperlukan dengan spidol.)

Bekerja di buku catatan.

Rumus Newton-Leibniz diturunkan oleh fisikawan Inggris Isaac Newton (1643-1727) dan filsuf Jerman Gottfried Leibniz (1646-1716). Dan ini tidak mengherankan, karena matematika adalah bahasa yang digunakan oleh alam itu sendiri.

Mari kita perhatikan bagaimana rumus ini digunakan untuk menyelesaikan masalah praktis.

Contoh 1: Hitung luas bangun yang dibatasi garis

Larutan: Mari kita buat grafik fungsi pada bidang koordinat . Mari kita pilih luas gambar yang perlu dicari.

AKU AKU AKU. Mempelajari materi baru.

Perhatikan layarnya. Apa yang ditunjukkan pada gambar pertama? (Gambar tersebut menunjukkan gambar datar.)

Apa yang ditunjukkan pada gambar kedua? Apakah angka ini datar? (Gambar tersebut menunjukkan gambar tiga dimensi.)

Di luar angkasa, di bumi, dan di dalam Kehidupan sehari-hari Kita tidak hanya menjumpai bangun datar, tetapi juga bangun tiga dimensi, tetapi bagaimana cara menghitung volume benda tersebut? Misalnya: volume planet, komet, meteorit, dll.

Orang memikirkan volume baik saat membangun rumah maupun saat menuangkan air dari satu wadah ke wadah lainnya. Aturan dan teknik untuk menghitung volume harus muncul; seberapa akurat dan dapat dibenarkannya aturan tersebut adalah masalah lain.

Tahun 1612 sangat bermanfaat bagi penduduk kota Linz di Austria, tempat tinggal astronom terkenal Johannes Kepler, terutama untuk buah anggur. Orang-orang sedang menyiapkan tong anggur dan ingin tahu cara menentukan volumenya secara praktis.

Dengan demikian, karya Kepler menandai awal dari seluruh aliran penelitian yang mencapai puncaknya pada kuartal terakhir abad ke-17. desain dalam karya I. Newton dan G.V. Leibniz kalkulus diferensial dan integral. Sejak saat itu, matematika variabel menempati posisi terdepan dalam sistem pengetahuan matematika.

Hari ini Anda dan saya akan melakukan kegiatan praktis seperti itu, oleh karena itu,

Topik pelajaran kita: “Menghitung volume benda revolusi dengan menggunakan integral tertentu.”

Anda akan mempelajari definisi badan revolusi dengan melakukan tugas berikutnya.

"Labirin".

Latihan. Temukan jalan keluar dari situasi yang membingungkan dan tuliskan definisinya.

IVPerhitungan volume.

Dengan menggunakan integral tertentu, Anda dapat menghitung volume suatu benda tertentu, khususnya benda revolusi.

Benda revolusi adalah benda yang diperoleh dengan memutar trapesium lengkung di sekitar alasnya (Gbr. 1, 2)

Volume suatu benda revolusi dihitung menggunakan salah satu rumus:

1. di sekitar sumbu OX.

2. , jika rotasi trapesium melengkung sekitar sumbu op-amp.

Siswa menuliskan rumus dasar di buku catatan.

Guru menjelaskan solusi dari contoh di papan tulis.

1. Tentukan volume benda yang diperoleh dengan memutar sumbu ordinat trapesium lengkung yang dibatasi oleh garis: x2 + y2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0.

Larutan.

Jawab : 1163 cm3.

2. Tentukan volume benda yang diperoleh dengan memutar trapesium parabola mengelilingi sumbu x kamu = , x = 4, kamu = 0.

Larutan.

V. Simulator matematika.

2. Himpunan semua antiturunan dari suatu fungsi tertentu disebut

A) integral tak tentu,

B) fungsi,

B) diferensiasi.

7. Hitunglah volume benda yang diperoleh dengan memutar sumbu absis trapesium lengkung yang dibatasi oleh garis:

D/Z. Konsolidasi materi baru

Hitunglah volume benda tersebut, dibentuk oleh rotasi kelopak, di sekitar sumbu x kamu = x2, kamu2 = x.

Mari kita buat grafik fungsinya. kamu = x2, kamu2 = x. Mari kita ubah grafik y2 = x menjadi bentuk y = .

Kita mempunyai V = V1 - V2 Mari kita hitung volume masing-masing fungsi:

Kesimpulan:

Integral tertentu merupakan landasan tertentu dalam pembelajaran matematika, yang memberikan kontribusi yang sangat diperlukan dalam memecahkan masalah-masalah praktis.

Topik “Integral” dengan jelas menunjukkan hubungan antara matematika dan fisika, biologi, ekonomi dan teknologi.

Perkembangan ilmu pengetahuan modern tidak terpikirkan tanpa menggunakan integral. Dalam hal ini, perlu untuk mulai mempelajarinya dalam kerangka rata-rata Pendidikan luar biasa!

VI. Penilaian.(Dengan komentar.)

Lobster Hebat Khayyam - ahli matematika, penyair, filsuf. Dia mendorong kita untuk menjadi tuan atas nasib kita sendiri. Mari kita simak kutipan karyanya:

Anda berkata, hidup ini hanya sesaat.
Hargai, dapatkan inspirasi darinya.
Saat Anda membelanjakannya, itu akan berlalu.
Jangan lupa: dia adalah ciptaanmu.

Bagaimana cara menghitung volume suatu benda revolusi dengan menggunakan integral tertentu?

Di samping itu mencari luas bangun datar dengan menggunakan integral tertentu penerapan topik yang paling penting adalah menghitung volume suatu benda revolusi. Materinya sederhana, tapi pembaca harus siap: harus bisa menyelesaikannya integral tak tentu kompleksitas sedang dan terapkan rumus Newton-Leibniz di integral tertentu . Mengenai soal mencari luas, Anda memerlukan keterampilan menggambar yang percaya diri - ini mungkin merupakan hal yang paling penting (karena integralnya sendiri sering kali mudah). Anda dapat menguasai teknik pembuatan bagan yang kompeten dan cepat dengan bantuan materi metodologis . Namun sebenarnya saya sudah beberapa kali membicarakan pentingnya menggambar di kelas. .

Secara umum, ada banyak aplikasi menarik dalam kalkulus integral; dengan menggunakan integral tertentu, Anda dapat menghitung luas bangun, volume benda rotasi, panjang busur, luas permukaan bangun. tubuh dan banyak lagi. Jadi ini akan menyenangkan, harap tetap optimis!

Bayangkan beberapa sosok datar pada bidang koordinat. Diperkenalkan? ... Entah siapa yang menyajikan apa... =))) Kita sudah menemukan luasnya. Namun selain itu, angka ini juga dapat diputar, dan diputar dengan dua cara:

– di sekitar sumbu x; – di sekitar sumbu ordinat.

Artikel ini akan membahas kedua kasus tersebut. Metode rotasi kedua sangat menarik; metode ini menyebabkan kesulitan paling besar, namun sebenarnya solusinya hampir sama dengan rotasi yang lebih umum di sekitar sumbu x. Sebagai bonus saya akan kembali lagi masalah mencari luas suatu bangun , dan saya akan memberi tahu Anda cara mencari luas dengan cara kedua - sepanjang sumbu. Ini bukan bonus karena materinya sesuai dengan topik.

Mari kita mulai dengan jenis rotasi yang paling populer.

Contoh 1

Hitung volume suatu benda yang diperoleh dengan memutar suatu bangun datar yang dibatasi oleh garis pada suatu sumbu.

Larutan: Seperti halnya dalam masalah pencarian luas, penyelesaiannya dimulai dengan menggambar bangun datar. Artinya, pada sebuah bidang perlu dibuat suatu bangun datar yang dibatasi oleh garis, dan jangan lupa bahwa persamaan tersebut mendefinisikan sumbu. Cara menyelesaikan gambar dengan lebih efisien dan cepat dapat ditemukan di halaman Grafik dan properti fungsi Dasar Dan Integral pasti. Cara menghitung luas suatu bangun . Ini adalah pengingat Tiongkok, dan pada titik ini saya tidak akan membahasnya lebih jauh.

Gambar di sini cukup sederhana:

Bentuk datar yang diinginkan diberi warna biru; Akibat perputarannya, diperoleh piring terbang agak bulat telur yang simetris terhadap sumbunya. Sebenarnya benda itu punya nama matematisnya, tapi saya terlalu malas untuk mencarinya di buku referensi, jadi kita lanjutkan.

Bagaimana cara menghitung volume suatu benda yang berotasi?

Volume suatu benda revolusi dapat dihitung dengan menggunakan rumus:

Dalam rumusnya, bilangan harus ada sebelum integral. Dan begitulah yang terjadi - segala sesuatu yang berputar dalam kehidupan terhubung dengan konstanta ini.

Saya rasa mudah untuk menebak cara menetapkan batas integrasi “a” dan “be” dari gambar yang sudah selesai.

Fungsi... apa fungsi ini? Mari kita lihat gambarnya. Bangun datar dibatasi oleh grafik parabola di bagian atas. Inilah fungsi yang tersirat dalam rumus.

DI DALAM tugas-tugas praktis sosok datar terkadang terletak di bawah sumbu. Ini tidak mengubah apa pun - fungsi dalam rumusnya dikuadratkan: jadi volume suatu badan revolusi selalu non-negatif, yang sangat logis.

Mari kita hitung volume benda rotasi menggunakan rumus ini:

Seperti yang sudah saya catat, integralnya hampir selalu menjadi sederhana, yang utama adalah berhati-hati.

Menjawab:

Dalam jawaban Anda, Anda harus menunjukkan dimensi - satuan kubik. Artinya, dalam benda rotasi kita terdapat kurang lebih 3,35 “kubus”. Mengapa kubik unit? Karena formulasinya paling universal. Mungkin ada sentimeter kubik, mungkin ada meter kubik, mungkin ada kilometer kubik, dll., itulah jumlah manusia hijau yang dapat dimasukkan ke dalam piring terbang dalam imajinasi Anda.

Contoh 2

Tentukan volume suatu benda yang dibentuk oleh rotasi mengelilingi sumbu suatu bangun yang dibatasi oleh garis,

Ini adalah contoh untuk keputusan independen. Solusi lengkap dan jawabannya di akhir pelajaran.

Mari kita perhatikan dua masalah yang lebih kompleks, yang juga sering ditemui dalam praktik.

Contoh 3

Hitung volume benda yang diperoleh dengan memutar sumbu absis gambar yang dibatasi oleh garis ,, dan

Larutan: Mari kita gambarkan dalam gambar sebuah bangun datar yang dibatasi oleh garis ,,,, tanpa lupa bahwa persamaan tersebut mendefinisikan sumbu:

Gambar yang diinginkan diarsir dengan warna biru. Ketika diputar pada porosnya, ternyata menjadi donat nyata dengan empat sudut.

Mari kita hitung volume benda rotasi sebagai perbedaan volume benda.

Pertama, mari kita lihat gambar yang dilingkari merah. Ketika berputar di sekitar sumbu, diperoleh kerucut terpotong. Mari kita nyatakan volume kerucut yang terpotong ini dengan.

Perhatikan gambar yang dilingkari hijau. Jika Anda memutar gambar ini di sekitar sumbu, Anda juga akan mendapatkan kerucut terpotong, hanya sedikit lebih kecil. Mari kita nyatakan volumenya dengan.

Dan, tentu saja, perbedaan volumenya persis dengan volume “donat” kita.

Kami menggunakan rumus standar untuk mencari volume benda revolusi:

1) Gambar yang dilingkari merah di atas dibatasi oleh garis lurus, oleh karena itu:

2) Gambar yang dilingkari warna hijau di atasnya dibatasi oleh garis lurus, oleh karena itu:

3) Volume badan revolusi yang diinginkan:

Menjawab:

Sangat mengherankan bahwa di pada kasus ini penyelesaiannya dapat diperiksa dengan menggunakan rumus sekolah untuk menghitung volume kerucut yang terpotong.

Keputusan itu sendiri sering kali ditulis lebih pendek, seperti ini:

Sekarang mari kita istirahat sebentar dan bercerita tentang ilusi geometris.

Orang sering kali memiliki ilusi yang terkait dengan volume, yang diperhatikan oleh Perelman (bukan yang itu) di dalam buku Geometri yang menghibur. Lihatlah gambar datar dalam soal yang diselesaikan - tampaknya luasnya kecil, dan volume benda revolusi hanya lebih dari 50 unit kubik, yang tampaknya terlalu besar. Ngomong-ngomong, rata-rata orang meminum cairan yang setara dengan ruangan seluas 18 meter persegi sepanjang hidupnya, yang, sebaliknya, tampaknya volumenya terlalu kecil.

Secara umum, sistem pendidikan di Uni Soviet memang yang terbaik. Buku yang sama karya Perelman, yang ditulisnya pada tahun 1950, berkembang dengan sangat baik, seperti yang dikatakan sang humoris, memikirkan dan mengajarkan seseorang untuk mencari solusi yang orisinal dan tidak standar terhadap suatu masalah. Saya baru-baru ini membaca ulang beberapa bab dengan penuh minat, saya merekomendasikannya, ini dapat diakses bahkan oleh para humanis. Tidak, Anda tidak perlu tersenyum karena saya menawarkan waktu luang, pengetahuan dan wawasan luas dalam komunikasi adalah hal yang hebat.

Setelah penyimpangan liris, tepat untuk menyelesaikan tugas kreatif:

Contoh 4

Hitung volume suatu benda yang dibentuk oleh rotasi terhadap sumbu suatu bangun datar yang dibatasi oleh garis,, dimana.

Ini adalah contoh untuk Anda pecahkan sendiri. Harap dicatat bahwa semua hal terjadi di band, dengan kata lain, batasan integrasi praktis yang sudah jadi diberikan. Coba juga menggambar grafiknya dengan benar. fungsi trigonometri, jika argumennya dibagi dua :, maka grafiknya diregangkan sepanjang sumbu dua kali. Cobalah untuk menemukan setidaknya 3-4 poin menurut tabel trigonometri dan menyelesaikan gambar dengan lebih akurat. Solusi lengkap dan jawabannya di akhir pelajaran. Omong-omong, tugas tersebut dapat diselesaikan secara rasional dan tidak terlalu rasional.

Perhitungan volume suatu benda yang dibentuk dengan memutar suatu bangun datar pada suatu sumbu

Paragraf kedua akan lebih menarik dari paragraf pertama. Tugas menghitung volume suatu benda yang berputar di sekitar sumbu ordinat juga merupakan tugas yang cukup umum dalam pekerjaan pengujian. Sepanjang perjalanan akan dipertimbangkan masalah mencari luas suatu bangun metode kedua adalah integrasi sepanjang sumbu, ini akan memungkinkan Anda tidak hanya meningkatkan keterampilan Anda, tetapi juga mengajari Anda cara menemukan jalur solusi yang paling menguntungkan. Ada juga makna hidup praktis dalam hal ini! Seperti yang diingat oleh guru saya tentang metode pengajaran matematika sambil tersenyum, banyak lulusan yang mengucapkan terima kasih dengan kata-kata: “Mata pelajaran Anda banyak membantu kami, sekarang kami adalah manajer yang efektif dan mengelola staf secara optimal.” Pada kesempatan ini saya juga mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada beliau, apalagi ilmu yang diperoleh saya gunakan untuk tujuan yang dimaksudkan =).

Contoh 5

Diberikan suatu bangun datar yang dibatasi oleh garis,,.

1) Tentukan luas bangun datar yang dibatasi oleh garis-garis tersebut. 2) Tentukan volume benda yang diperoleh dengan memutar suatu bangun datar yang dibatasi oleh garis-garis tersebut pada sumbunya.

Perhatian! Padahal Anda hanya ingin membaca poin kedua, pertama Perlu baca yang pertama!

Larutan: Tugas ini terdiri dari dua bagian. Mari kita mulai dengan persegi.

1) Mari kita membuat gambar:

Sangat mudah untuk melihat bahwa fungsi tersebut menentukan cabang atas parabola, dan fungsi tersebut menentukan cabang bawah parabola. Di depan kita ada parabola sepele yang “terletak miring”.

Gambar yang diinginkan, luas yang ingin dicari, diarsir dengan warna biru.

Bagaimana cara mencari luas suatu bangun? Hal ini dapat ditemukan dengan cara “biasa” yang dibahas di kelas Integral pasti. Cara menghitung luas suatu bangun . Selain itu, luas bangun tersebut ditemukan sebagai jumlah dari luas: – pada segmen tersebut ; - di segmen tersebut.

Itu sebabnya:

Mengapa solusi yang biasa buruk dalam kasus ini? Pertama, kita mendapat dua integral. Kedua, integral adalah akar, dan akar dalam integral bukanlah anugerah, dan selain itu, Anda bisa bingung dalam mensubstitusi limit integrasi. Faktanya, integral, tentu saja, tidak mematikan, tetapi dalam praktiknya semuanya bisa lebih menyedihkan, saya hanya memilih fungsi yang "lebih baik" untuk masalah tersebut.

Ada solusi yang lebih rasional: ini terdiri dari peralihan ke fungsi invers dan integrasi sepanjang sumbu.

Bagaimana cara mendapatkan fungsi invers? Secara kasar, Anda perlu menyatakan “x” melalui “y”. Pertama, mari kita lihat parabola:

Ini sudah cukup, tapi mari kita pastikan bahwa fungsi yang sama dapat diturunkan dari cabang bawah:

Lebih mudah dengan garis lurus:

Sekarang lihat sumbunya: miringkan kepala Anda secara berkala ke kanan sebesar 90 derajat seperti yang Anda jelaskan (ini bukan lelucon!). Gambar yang kita perlukan terletak pada ruas yang ditandai dengan garis putus-putus berwarna merah. Selain itu, pada ruas garis lurus terletak di atas parabola, artinya luas bangun tersebut harus dicari dengan menggunakan rumus yang sudah Anda kenal: . Apa yang berubah dalam formulanya? Hanya sepucuk surat dan tidak lebih.

! Catatan: Batas integrasi sepanjang sumbu harus ditetapkanketat dari bawah ke atas !

Menemukan luasnya:

Oleh karena itu, pada segmen tersebut:

Harap perhatikan bagaimana saya melakukan integrasi, ini adalah cara yang paling rasional, dan di paragraf tugas berikutnya akan jelas alasannya.

Bagi pembaca yang meragukan kebenaran integrasi, saya akan menemukan turunannya:

Fungsi integran asli diperoleh yang berarti integrasi dilakukan dengan benar.

Menjawab:

2) Mari kita hitung volume benda yang dibentuk oleh rotasi gambar ini mengelilingi sumbunya.

Saya akan menggambar ulang gambarnya dengan desain yang sedikit berbeda:

Jadi, bangun yang diarsir warna biru berputar mengelilingi sumbunya. Hasilnya adalah “kupu-kupu yang melayang” yang berputar pada porosnya.

Untuk mencari volume suatu benda rotasi, kita akan melakukan integrasi sepanjang sumbunya. Pertama kita perlu pergi ke fungsi invers. Hal ini telah dilakukan dan dijelaskan secara rinci pada paragraf sebelumnya.

Sekarang kita kembali memiringkan kepala ke kanan dan mempelajari sosok kita. Jelasnya, volume suatu benda rotasi harus dicari sebagai perbedaan volumenya.

Kami memutar gambar yang dilingkari merah di sekitar sumbu, menghasilkan kerucut terpotong. Mari kita nyatakan volume ini dengan.

Kami memutar gambar yang dilingkari hijau di sekitar sumbu dan dilambangkan dengan volume benda rotasi yang dihasilkan.

Volume kupu-kupu kita sama dengan selisih volumenya.

Kami menggunakan rumus untuk mencari volume benda revolusi:

Apa bedanya dengan rumus pada paragraf sebelumnya? Hanya di surat itu.

Namun keuntungan dari integrasi yang baru-baru ini saya bicarakan jauh lebih mudah ditemukan , daripada terlebih dahulu menaikkan integran ke pangkat ke-4.

Cara menghitung volume suatu benda rotasi
menggunakan integral tertentu?

Secara umum, ada banyak aplikasi menarik dalam kalkulus integral; dengan menggunakan integral tertentu, Anda dapat menghitung luas bangun, volume benda rotasi, panjang busur, luas permukaan bangun. rotasi dan banyak lagi. Jadi ini akan menyenangkan, harap tetap optimis!

Bayangkan suatu bangun datar pada bidang koordinat. Diperkenalkan? ... Entah siapa yang menyajikan apa... =))) Kita sudah menemukan luasnya. Namun selain itu, angka ini juga dapat diputar, dan diputar dengan dua cara:

- di sekitar sumbu absis;
- di sekitar sumbu ordinat.

Artikel ini akan membahas kedua kasus tersebut. Metode rotasi kedua sangat menarik; metode ini menyebabkan kesulitan paling besar, namun sebenarnya solusinya hampir sama dengan rotasi yang lebih umum di sekitar sumbu x. Sebagai bonus saya akan kembali lagi masalah mencari luas suatu bangun, dan saya akan memberi tahu Anda cara mencari luas dengan cara kedua - sepanjang sumbu. Ini bukan bonus karena materinya sesuai dengan topik.

Mari kita mulai dengan jenis rotasi yang paling populer.

bangun datar di sekitar sumbu

Hitung volume suatu benda yang diperoleh dengan memutar suatu bangun datar yang dibatasi oleh garis pada suatu sumbu.

Larutan: Seperti pada soal mencari luas, penyelesaiannya dimulai dengan menggambar bangun datar. Artinya, pada bidang tersebut perlu dibuat bangun datar yang dibatasi oleh garis, dan jangan lupa bahwa persamaan tersebut menentukan sumbunya. Cara menyelesaikan gambar dengan lebih efisien dan cepat dapat ditemukan di halaman Grafik dan properti fungsi Dasar Dan . Ini adalah pengingat Tiongkok, dan seterusnya saat ini Saya tidak berhenti lagi.

Gambar di sini cukup sederhana:

Bentuk datar yang diinginkan diberi warna biru; yang berputar pada sumbunya, menghasilkan piring terbang agak bulat telur yang simetris terhadap sumbunya. Sebenarnya benda itu punya nama matematis, tapi saya terlalu malas untuk menjelaskan apa pun di buku referensi, jadi kita lanjutkan.

Bagaimana cara menghitung volume suatu benda yang berotasi?

Volume suatu benda revolusi dapat dihitung dengan menggunakan rumus:

Dalam rumusnya, bilangan harus ada sebelum integral. Dan begitulah yang terjadi - segala sesuatu yang berputar dalam kehidupan terhubung dengan konstanta ini.

Saya rasa mudah untuk menebak cara menetapkan batas integrasi “a” dan “be” dari gambar yang sudah selesai.

Fungsi... apa fungsi ini? Mari kita lihat gambarnya. Bangun datar dibatasi oleh grafik parabola di puncaknya. Inilah fungsi yang tersirat dalam rumus.

Dalam tugas praktek, bangun datar terkadang terletak di bawah sumbu. Ini tidak mengubah apa pun - integran dalam rumusnya dikuadratkan: , jadi integralnya selalu non-negatif, yang sangat logis.

Mari kita hitung volume benda rotasi menggunakan rumus ini:

Seperti yang sudah saya catat, integralnya hampir selalu menjadi sederhana, yang utama adalah berhati-hati.

Menjawab:

Dalam jawaban Anda, Anda harus menunjukkan dimensi - satuan kubik. Artinya, dalam benda rotasi kita terdapat kurang lebih 3,35 “kubus”. Mengapa kubik unit? Karena formulasinya paling universal. Mungkin ada sentimeter kubik, mungkin ada meter kubik, mungkin ada kilometer kubik, dll., itulah jumlah manusia hijau yang dapat dimasukkan ke dalam piring terbang dalam imajinasi Anda.

Hitunglah volume suatu benda yang dibentuk oleh rotasi mengelilingi sumbu suatu bangun yang dibatasi oleh garis , ,

Ini adalah contoh untuk Anda pecahkan sendiri. Solusi lengkap dan jawabannya di akhir pelajaran.

Mari kita perhatikan dua masalah yang lebih kompleks, yang juga sering ditemui dalam praktik.

Hitung volume benda yang diperoleh dengan memutar sumbu absis dari bangun yang dibatasi oleh garis , , dan

Larutan: Mari kita gambarkan pada gambar suatu bangun datar yang dibatasi oleh garis , , , , tanpa lupa bahwa persamaan tersebut mendefinisikan sumbu:

Gambar yang diinginkan diarsir dengan warna biru. Ketika diputar pada porosnya, ternyata menjadi donat nyata dengan empat sudut.

Mari kita hitung volume benda rotasi sebagai perbedaan volume benda.

Pertama, mari kita lihat gambar yang dilingkari merah. Ketika berputar di sekitar sumbu, diperoleh kerucut terpotong. Mari kita nyatakan volume kerucut yang terpotong ini dengan .

Perhatikan gambar yang dilingkari warna hijau. Jika Anda memutar gambar ini di sekitar sumbu, Anda juga akan mendapatkan kerucut terpotong, hanya sedikit lebih kecil. Mari kita nyatakan volumenya dengan .

Dan, tentu saja, perbedaan volumenya persis dengan volume “donat” kita.

Kami menggunakan rumus standar untuk mencari volume benda revolusi:

1) Gambar yang dilingkari merah di atas dibatasi oleh garis lurus, oleh karena itu:

2) Gambar yang dilingkari warna hijau di atasnya dibatasi oleh garis lurus, oleh karena itu:

3) Volume badan revolusi yang diinginkan:

Menjawab:

Menariknya, dalam hal ini penyelesaiannya dapat diperiksa dengan menggunakan rumus sekolah untuk menghitung volume kerucut terpotong.

Keputusan itu sendiri sering kali ditulis lebih pendek, seperti ini:

Sekarang mari kita istirahat sebentar dan bercerita tentang ilusi geometris.

Orang sering kali memiliki ilusi yang terkait dengan volume, seperti yang diperhatikan oleh Perelman (yang lain) dalam bukunya Geometri yang menghibur. Lihatlah gambar datar dalam soal yang diselesaikan - tampaknya luasnya kecil, dan volume benda revolusi hanya lebih dari 50 unit kubik, yang tampaknya terlalu besar. Ngomong-ngomong, rata-rata orang meminum cairan yang setara dengan ruangan seluas 18 meter persegi sepanjang hidupnya, yang, sebaliknya, tampaknya volumenya terlalu kecil.

Setelah penyimpangan liris, tepat untuk menyelesaikan tugas kreatif:

Hitung volume suatu benda yang dibentuk oleh rotasi terhadap sumbu bangun datar yang dibatasi oleh garis , , dimana .

Ini adalah contoh untuk Anda pecahkan sendiri. Harap dicatat bahwa semua kasus terjadi di band, dengan kata lain, batasan integrasi yang sudah jadi sebenarnya diberikan. Gambarlah grafik fungsi trigonometri dengan benar, izinkan saya mengingatkan Anda pada materi pelajaran tentang transformasi geometri grafik: jika argumennya dibagi dua: , maka grafiknya diregangkan dua kali sepanjang sumbunya. Dianjurkan untuk menemukan setidaknya 3-4 poin menurut tabel trigonometri untuk menyelesaikan gambar dengan lebih akurat. Solusi lengkap dan jawabannya di akhir pelajaran. Omong-omong, tugas tersebut dapat diselesaikan secara rasional dan tidak terlalu rasional.

Perhitungan volume benda yang dibentuk oleh rotasi
bangun datar di sekitar sumbu

Paragraf kedua akan lebih menarik dari paragraf pertama. Tugas menghitung volume benda revolusi di sekitar sumbu ordinat juga cukup sering dilakukan tes. Sepanjang jalan itu akan dipertimbangkan masalah mencari luas suatu bangun metode kedua adalah integrasi sepanjang sumbu, ini akan memungkinkan Anda tidak hanya meningkatkan keterampilan Anda, tetapi juga mengajari Anda cara menemukan jalur solusi yang paling menguntungkan. Ada juga makna hidup praktis dalam hal ini! Seperti yang diingat oleh guru saya tentang metode pengajaran matematika sambil tersenyum, banyak lulusan yang mengucapkan terima kasih dengan kata-kata: “Mata pelajaran Anda banyak membantu kami, sekarang kami adalah manajer yang efektif dan mengelola staf secara optimal.” Pada kesempatan ini saya juga mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada beliau, apalagi ilmu yang diperoleh saya gunakan untuk tujuan yang dimaksudkan =).

Saya merekomendasikannya kepada semua orang, bahkan orang bodoh sekalipun. Selain itu, materi yang dipelajari pada paragraf kedua akan sangat membantu dalam menghitung integral ganda.

Diberikan suatu bangun datar yang dibatasi oleh garis , , .

1) Tentukan luas bangun datar yang dibatasi oleh garis-garis tersebut.
2) Tentukan volume benda yang diperoleh dengan memutar suatu bangun datar yang dibatasi oleh garis-garis tersebut pada sumbunya.

Perhatian! Kalaupun Anda hanya ingin membaca poin kedua, pastikan membaca poin pertama terlebih dahulu!

Larutan: Tugas terdiri dari dua bagian. Mari kita mulai dengan persegi.

1) Mari kita membuat gambar:

Sangat mudah untuk melihat bahwa fungsi tersebut menentukan cabang atas parabola, dan fungsi tersebut menentukan cabang bawah parabola. Di depan kita ada parabola sepele yang “terletak miring”.

Gambar yang diinginkan, luas yang ingin dicari, diarsir dengan warna biru.

Bagaimana cara mencari luas suatu bangun? Hal ini dapat ditemukan dengan cara “biasa” yang dibahas di kelas Integral pasti. Cara menghitung luas suatu bangun. Selain itu, luas gambar tersebut ditemukan sebagai jumlah dari luas:
- di segmen tersebut ;
- di segmen tersebut.

Itu sebabnya:

Mengapa solusi yang biasa buruk dalam kasus ini? Pertama, kita mendapat dua integral. Kedua, di bawah integral terdapat akar-akar, dan akar-akar dalam integral bukanlah anugerah, dan selain itu, Anda bisa bingung dalam mensubstitusi batas-batas integrasi. Faktanya, integral, tentu saja, tidak mematikan, tetapi dalam praktiknya semuanya bisa lebih menyedihkan, saya hanya memilih fungsi yang "lebih baik" untuk masalah tersebut.

Ada solusi yang lebih rasional: ini terdiri dari peralihan ke fungsi invers dan integrasi sepanjang sumbu.

Bagaimana cara mendapatkan fungsi invers? Secara kasar, Anda perlu menyatakan “x” melalui “y”. Pertama, mari kita lihat parabola:

Ini sudah cukup, tapi mari kita pastikan bahwa fungsi yang sama dapat diturunkan dari cabang bawah:

Lebih mudah dengan garis lurus:

Sekarang lihat sumbunya: miringkan kepala Anda secara berkala ke kanan sebesar 90 derajat seperti yang Anda jelaskan (ini bukan lelucon!). Gambar yang kita perlukan terletak pada ruas yang ditandai dengan garis putus-putus berwarna merah. Dalam hal ini, pada ruas tersebut garis lurus terletak di atas parabola, artinya luas bangun tersebut harus dicari dengan menggunakan rumus yang sudah Anda kenal: . Apa yang berubah dalam formulanya? Hanya sepucuk surat dan tidak lebih.

! Catatan: Batas integrasi sepanjang sumbu harus ditetapkan ketat dari bawah ke atas!

Menemukan luasnya:

Oleh karena itu, pada segmen tersebut:

Harap perhatikan bagaimana saya melakukan integrasi, ini adalah cara yang paling rasional, dan di paragraf tugas berikutnya akan jelas alasannya.

Bagi pembaca yang meragukan kebenaran integrasi, saya akan menemukan turunannya:

Fungsi integran asli diperoleh yang berarti integrasi dilakukan dengan benar.

Menjawab:

2) Mari kita hitung volume benda yang dibentuk oleh rotasi gambar ini mengelilingi sumbunya.

Saya akan menggambar ulang gambarnya dengan desain yang sedikit berbeda:

Jadi, bangun yang diarsir warna biru berputar mengelilingi sumbunya. Hasilnya adalah “kupu-kupu yang melayang” yang berputar pada porosnya.

Untuk mencari volume suatu benda rotasi, kita akan melakukan integrasi sepanjang sumbunya. Pertama kita perlu pergi ke fungsi invers. Hal ini telah dilakukan dan dijelaskan secara rinci pada paragraf sebelumnya.

Sekarang kita kembali memiringkan kepala ke kanan dan mempelajari sosok kita. Jelasnya, volume suatu benda rotasi harus dicari sebagai perbedaan volumenya.

Kami memutar gambar yang dilingkari merah di sekitar sumbu, menghasilkan kerucut terpotong. Mari kita nyatakan volume ini dengan .

Kami memutar gambar yang dilingkari hijau di sekitar sumbu dan menyatakannya dengan volume benda rotasi yang dihasilkan.

Volume kupu-kupu kita sama dengan selisih volumenya.

Kami menggunakan rumus untuk mencari volume benda revolusi:

Apa bedanya dengan rumus pada paragraf sebelumnya? Hanya di surat itu.

Namun keuntungan dari integrasi yang baru-baru ini saya bicarakan jauh lebih mudah ditemukan , daripada terlebih dahulu menaikkan integran ke pangkat ke-4.

Menjawab:

Perhatikan bahwa jika bangun datar yang sama diputar pada sumbunya, Anda akan mendapatkan benda rotasi yang sama sekali berbeda, dengan volume yang berbeda, secara alami.

Diberikan suatu bangun datar yang dibatasi oleh garis dan sumbu.

1) Pergi ke fungsi invers dan temukan luas bangun datar yang dibatasi oleh garis-garis ini dengan mengintegrasikan variabelnya.
2) Hitung volume benda yang diperoleh dengan memutar suatu bangun datar yang dibatasi oleh garis-garis tersebut pada sumbunya.

Ini adalah contoh untuk Anda pecahkan sendiri. Mereka yang berminat juga dapat mencari luas suatu bangun dengan cara “biasa”, dengan memeriksa poin 1). Tetapi jika, saya ulangi, Anda memutar bangun datar di sekitar sumbunya, Anda akan mendapatkan benda rotasi yang sama sekali berbeda dengan volume yang berbeda, omong-omong, jawaban yang benar (juga bagi mereka yang suka memecahkan masalah).

Solusi lengkap untuk dua poin tugas yang diusulkan ada di akhir pelajaran.

Ya, dan jangan lupa miringkan kepala ke kanan untuk memahami benda rotasi dan batas integrasinya!

Saya hendak menyelesaikan artikelnya, tetapi hari ini mereka memberikan contoh menarik hanya untuk mencari volume benda revolusi di sekitar sumbu ordinat. Segar:

Hitung volume suatu benda yang dibentuk oleh rotasi mengelilingi sumbu suatu bangun yang dibatasi oleh kurva dan .

Larutan: Mari kita membuat gambar:

Sepanjang jalan, kita berkenalan dengan grafik beberapa fungsi lainnya. Ini adalah grafik yang menarik bahkan berfungsi ….

Misalkan T adalah benda revolusi yang dibentuk oleh rotasi mengelilingi sumbu absis trapesium lengkung yang terletak pada setengah bidang atas dan sumbu terbatas absis, garis lurus x=a dan x=b dan grafik fungsi berkelanjutan kamu=f(x) .

Mari kita buktikan bahwa ini benar benda revolusi dipotong dadu dan volumenya dinyatakan dengan rumus

V=\pi \int\limits_(a)^(b) f^2(x)\,dx= \pi \int\limits_(a)^(b)y^2\,dx\,.

Pertama, kita buktikan bahwa benda revolusi ini beraturan jika kita memilih bidang Oyz yang tegak lurus terhadap sumbu rotasi sebagai \Pi. Perhatikan bahwa bagian yang terletak pada jarak x dari bidang Oyz adalah lingkaran dengan jari-jari f(x) dan luasnya S(x) sama dengan \pi f^2(x) (Gbr. 46). Oleh karena itu, fungsi S(x) kontinu karena kontinuitas f(x). Selanjutnya, jika S(x_1)\leqslant S(x_2), maka ini berarti itu. Tetapi proyeksi penampang pada bidang Oyz adalah lingkaran dengan jari-jari f(x_1) dan f(x_2) dengan pusat O, dan dari f(x_1)\leqslant f(x_2) maka lingkaran berjari-jari f(x_1) terdapat di dalam lingkaran berjari-jari f(x_2) .

Jadi, badan revolusi itu teratur. Oleh karena itu, ia dipotong dadu dan volumenya dihitung dengan rumus

V=\pi \int\limits_(a)^(b) S(x)\,dx= \pi \int\limits_(a)^(b)f^2(x)\,dx\,.

Jika trapesium lengkung dibatasi di bawah dan di atasnya oleh kurva y_1=f_1(x), y_2=f_2(x), maka

V= \pi \int\limits_(a)^(b)y_2^2\,dx- \pi \int\limits_(a)^(b)y_1^2\,dx= \pi\int\limits_(a )^(b)\Besar(f_2^2(x)-f_1^2(x)\Lebih Besar)dx\,.

Rumus (3) juga dapat digunakan untuk menghitung volume suatu benda revolusi jika batas suatu bangun datar diberikan persamaan parametrik. Dalam hal ini, Anda harus menggunakan perubahan variabel di bawah tanda integral tertentu.

Dalam beberapa kasus, ternyata lebih mudah untuk menguraikan benda rotasi bukan menjadi silinder melingkar lurus, tetapi menjadi bentuk-bentuk dari jenis yang berbeda.

Misalnya, mari kita temukan volume suatu benda diperoleh dengan memutar trapesium lengkung mengelilingi sumbu ordinat. Pertama, carilah volume yang diperoleh dengan memutar sebuah persegi panjang dengan tinggi y#, yang alasnya terletak ruas . Volume ini sama dengan selisih volume dua silinder lurus berbentuk lingkaran

\Delta V_k= \pi y_k x_(k+1)^2- \pi y_k x_k^2= \pi y_k \bigl(x_(k+1)+x_k\bigr) \bigl(x_(k+1)- x_k\besar).

Namun sekarang sudah jelas bahwa volume yang dibutuhkan diperkirakan dari atas dan bawah sebagai berikut:

2\pi \sum_(k=0)^(n-1) m_kx_k\Delta x_k \leqslant V\leqslant 2\pi \sum_(k=0)^(n-1) M_kx_k\Delta x_k\,.

Ini mengikuti dengan mudah dari sini rumus volume suatu benda yang berputar pada sumbu ordinat:

V=2\pi \int\batas_(a)^(b) xy\,dx\,.

Contoh 4. Mari kita cari volume bola yang berjari-jari R.

Larutan. Tanpa kehilangan keumumannya, kita akan membahas lingkaran dengan jari-jari R dengan pusat di titik asal. Lingkaran ini, berputar mengelilingi sumbu Kerbau, membentuk sebuah bola. Persamaan lingkaran adalah x^2+y^2=R^2, jadi y^2=R^2-x^2. Dengan mempertimbangkan simetri lingkaran relatif terhadap sumbu ordinat, pertama-tama kita mencari setengah dari volume yang diperlukan

\frac(1)(2)V= \pi\int\limits_(0)^(R)y^2\,dx= \pi\int\limits_(0)^(R) (R^2-x^ 2)\,dx= \kiri.(\pi\!\kiri(R^2x- \frac(x^3)(3)\kanan))\kanan|_(0)^(R)= \pi\ !\kiri(R^3- \frac(R^3)(3)\kanan)= \frac(2)(3)\pi R^3.

Oleh karena itu, volume seluruh bola adalah sama \frac(4)(3)\pi R^3.

Contoh 5. Hitunglah volume kerucut yang tingginya h dan jari-jari alasnya r.

Larutan. Mari kita pilih sistem koordinat sehingga sumbu Ox berimpit dengan tinggi h (Gbr. 47), dan ambil titik puncak kerucut sebagai titik asal koordinat. Maka persamaan garis lurus OA ditulis dalam bentuk y=\frac(r)(h)\,x.

Dengan menggunakan rumus (3), kita memperoleh:

V=\pi \int\limits_(0)^(h) y^2\,dx= \pi \int\limits_(0)^(h) \frac(r^2)(h^2)\,x ^2\,dx= \kiri.(\frac(\pi r^2)(h^2)\cdot \frac(x^3)(3))\kanan|_(0)^(h)= \ frac(\pi)(3)\,r^2h\,.

Contoh 6. Mari kita cari volume benda yang diperoleh dengan memutar sumbu x astroid \begin(kasus)x=a\cos^3t\,\\ y=a\sin^3t\,.\end(kasus)(Gbr. 48).

Larutan. Mari kita membangun sebuah asteroid. Mari kita perhatikan setengah bagian atas astroid, yang letaknya simetris terhadap ordinat. Dengan menggunakan rumus (3) dan mengubah variabel di bawah tanda integral tertentu, kita mencari limit integrasi variabel baru t.

Jika x=a\cos^3t=0 , maka t=\frac(\pi)(2) , dan jika x=a\cos^3t=a , maka t=0 . Mengingat y^2=a^2\sin^6t dan dx=-3a\cos^2t\sin(t)\,dt, kita mendapatkan:

V=\pi \int\limits_(a)^(b) y^2\,dx= \pi \int\limits_(\pi/2)^(0) a^2\sin^6t \bigl(-3a \cos^2t\sin(t)\bigr)\,dt= \ldots= \frac(16\pi)(105)\,a^3.

Volume seluruh benda yang dibentuk oleh rotasi astroid adalah \frac(32\pi)(105)\,a^3.

Contoh 7. Mari kita cari volume benda yang diperoleh dengan memutar sumbu ordinat trapesium lengkung yang dibatasi oleh sumbu x dan busur pertama sikloid \begin(kasus)x=a(t-\sin(t)),\\ y=a(1-\cos(t)).\end(kasus).

Larutan. Mari kita gunakan rumus (4): V=2\pi \int\batas_(a)^(b)xy\,dx, dan ganti variabel di bawah tanda integral, dengan mempertimbangkan bahwa busur pertama sikloid terbentuk ketika variabel t berubah dari 0 menjadi 2\pi. Dengan demikian,

\begin(sejajar)V&= 2\pi \int\limits_(0)^(2\pi) a(t-\sin(t))a(1-\cos(t))a(1-\cos( t))\,dt= 2\pi a^3 \int\limits_(0)^(2\pi) (t-\sin(t))(1-\cos(t))^2\,dt= \\ &= 2\pi a^3 \int\limits_(0)^(2\pi)\bigl(t-\sin(t)- 2t\cos(t)+ 2\sin(t)\cos( t)+ t\cos^2t- \sin(t)\cos^2t\bigr)\,dt=\\ &= \left.(2\pi a^3\!\left(\frac(t^2 )(2)+ \cos(t)- 2t\sin(t)- 2\cos(t)+ \sin^2t+ \frac(t^2)(4)+ \frac(t)(4)\sin2t+ \frac(1)(8)\cos2t+ \frac(1)(3)\cos^3t\kanan))\kanan|_(0)^(2\pi)=\\ &= 2\pi a^3 \!\left(2\pi^2+1-2+\pi^2+\frac(1)(8)+ \frac(1)(3)-1+2- \frac(1)(8) - \frac(1)(3)\kanan)= 6\pi^3a^3. \end(sejajar)

Javascript dinonaktifkan di browser Anda.
Untuk melakukan penghitungan, Anda harus mengaktifkan kontrol ActiveX!

Menggunakan integral untuk mencari volume benda revolusi

Kegunaan praktis matematika disebabkan oleh fakta bahwa tanpanya

Pengetahuan matematika yang spesifik membuat sulit untuk memahami prinsip-prinsip perangkat dan penggunaan teknologi modern. Setiap orang dalam hidupnya harus melakukan perhitungan yang cukup rumit, menggunakan peralatan yang biasa digunakan, mencari rumus yang diperlukan dalam buku referensi, dan membuat algoritma sederhana untuk menyelesaikan masalah. DI DALAM masyarakat modern semakin banyak spesialisasi yang dibutuhkan level tinggi pendidikan dikaitkan dengan penerapan langsung matematika. Dengan demikian, matematika menjadi mata pelajaran yang penting secara profesional bagi seorang siswa. Peran utama matematika dalam pembentukan pemikiran algoritmik; ia mengembangkan kemampuan untuk bertindak sesuai dengan algoritma yang diberikan dan untuk membangun algoritma baru.

Saat mempelajari topik penggunaan integral untuk menghitung volume benda revolusi, saya menyarankan agar siswa di kelas pilihan mempertimbangkan topik: “Volume benda revolusi menggunakan integral.” Di bawah ini adalah rekomendasi metodologis untuk mempertimbangkan topik ini:

1. Luas bangun datar.

Dari mata kuliah aljabar kita mengetahui bahwa soal-soal yang bersifat praktis memunculkan konsep integral tentu..gif" width="88" height="51">.jpg" width="526" height="262 src=" >

https://pandia.ru/text/77/502/images/image006_95.gif" width="127" height="25 src=">.

Untuk mencari volume benda rotasi yang dibentuk oleh rotasi trapesium lengkung mengelilingi sumbu Sapi, dibatasi oleh garis putus-putus y=f(x), sumbu Sapi, garis lurus x=a dan x=b, kita hitung menggunakan rumus

https://pandia.ru/text/77/502/images/image008_26.jpg" width="352" height="283 src=">Y

3.Volume silinder.

https://pandia.ru/text/77/502/images/image011_58.gif" width="85" height="51">..gif" width="13" height="25">..jpg" width="401" height="355">Kerucut diperoleh dengan memutar segitiga siku-siku ABC(C=90) di sekitar sumbu Ox tempat kaki AC berada.

Ruas AB terletak pada garis lurus y=kx+c, dimana https://pandia.ru/text/77/502/images/image019_33.gif" width="59" height="41 src=">.

Misalkan a=0, b=H (H adalah tinggi kerucut), maka Vhttps://pandia.ru/text/77/502/images/image021_27.gif" width="13" height="23 src= ">.

5. Volume kerucut yang terpotong.

Kerucut terpotong dapat diperoleh dengan memutar trapesium persegi panjang ABCD (CDOx) mengelilingi sumbu Ox.

Ruas AB terletak pada garis lurus y=kx+c, dimana , c=r.

Karena garis lurus melalui titik A (0;r).

Jadi, garis lurusnya terlihat seperti https://pandia.ru/text/77/502/images/image027_17.gif" width="303" height="291 src=">

Misalkan a=0, b=H (H adalah tinggi kerucut yang terpotong), lalu https://pandia.ru/text/77/502/images/image030_16.gif" width="36" height="17 src = "> = .

6. Volume bola.

Bola dapat diperoleh dengan memutar lingkaran yang berpusat (0;0) mengelilingi sumbu Sapi. Setengah lingkaran yang terletak di atas sumbu Sapi diberikan oleh persamaan

https://pandia.ru/text/77/502/images/image034_13.gif" width="13" height="16 src=">x R.