Rumah Lidah berlapis Suatu bangun datar yang dibatasi oleh garis berputar pada suatu sumbu. Cara menghitung volume suatu benda rotasi

Lidah berlapis

Suatu bangun datar yang dibatasi oleh garis berputar pada suatu sumbu. Cara menghitung volume suatu benda rotasi

Volume suatu benda revolusi dapat dihitung dengan menggunakan rumus:

Dalam rumusnya, bilangan harus ada sebelum integral. Dan begitulah yang terjadi - segala sesuatu yang berputar dalam kehidupan terhubung dengan konstanta ini.

Saya rasa mudah untuk menebak cara menetapkan batas integrasi “a” dan “be” dari gambar yang sudah selesai.

Fungsi... apa fungsi ini? Mari kita lihat gambarnya. Bangun datar dibatasi oleh grafik parabola di bagian atas. Inilah fungsi yang tersirat dalam rumus.

Dalam tugas praktek, bangun datar terkadang terletak di bawah sumbu. Ini tidak mengubah apa pun - integran dalam rumusnya dikuadratkan: demikian integralnya selalu non-negatif , yang sangat logis.

Mari kita hitung volume benda rotasi menggunakan rumus ini:

Seperti yang sudah saya catat, integralnya hampir selalu menjadi sederhana, yang utama adalah berhati-hati.

Menjawab:

Dalam jawaban Anda, Anda harus menunjukkan dimensi - satuan kubik. Artinya, dalam benda rotasi kita terdapat kurang lebih 3,35 “kubus”. Mengapa kubik unit? Karena formulasinya paling universal. Mungkin ada sentimeter kubik, mungkin ada meter kubik, mungkin ada kilometer kubik, dll., itulah jumlah manusia hijau yang dapat dimasukkan ke dalam piring terbang dalam imajinasi Anda.

Contoh 2

Temukan volume tubuh, dibentuk oleh rotasi di sekitar sumbu gambar, dibatasi oleh garis,

Ini adalah contoh untuk keputusan independen. Solusi lengkap dan jawabannya di akhir pelajaran.

Mari kita perhatikan dua masalah yang lebih kompleks, yang juga sering ditemui dalam praktik.

Contoh 3

Hitung volume benda yang diperoleh dengan memutar sumbu absis gambar yang dibatasi oleh garis ,, dan

Larutan: Mari kita gambarkan pada gambar suatu bangun datar yang dibatasi oleh garis ,,,, tanpa lupa bahwa persamaan tersebut mendefinisikan sumbu:

Gambar yang diinginkan diarsir dengan warna biru. Ketika diputar pada porosnya, ternyata menjadi donat nyata dengan empat sudut.

Mari kita hitung volume benda revolusi sebagai perbedaan volume benda.

Pertama, mari kita lihat gambar yang dilingkari merah. Ketika berputar di sekitar sumbu, diperoleh kerucut terpotong. Mari kita nyatakan volume kerucut yang terpotong ini dengan.

Perhatikan gambar yang dilingkari hijau. Jika Anda memutar gambar ini di sekitar sumbu, Anda juga akan mendapatkan kerucut terpotong, hanya sedikit lebih kecil. Mari kita nyatakan volumenya dengan.

Dan, tentu saja, perbedaan volumenya persis dengan volume “donat” kita.

Kami menggunakan rumus standar untuk mencari volume benda revolusi:

1) Gambar yang dilingkari merah di atas dibatasi oleh garis lurus, oleh karena itu:

2) Gambar yang dilingkari warna hijau di atasnya dibatasi oleh garis lurus, oleh karena itu:

3) Volume badan revolusi yang diinginkan:

Menjawab:

Sangat mengherankan bahwa di pada kasus ini penyelesaiannya dapat diperiksa dengan menggunakan rumus sekolah untuk menghitung volume kerucut yang terpotong.

Keputusan itu sendiri sering kali ditulis lebih pendek, seperti ini:

Sekarang mari kita istirahat sebentar dan bercerita tentang ilusi geometris.

Orang sering kali memiliki ilusi yang terkait dengan volume, seperti yang diperhatikan oleh Perelman (yang lain) dalam bukunya Geometri yang menghibur. Lihatlah gambar datar dalam soal yang diselesaikan - tampaknya luasnya kecil, dan volume benda revolusi hanya lebih dari 50 unit kubik, yang tampaknya terlalu besar. Ngomong-ngomong, rata-rata orang meminum cairan yang setara dengan ruangan seluas 18 meter persegi sepanjang hidupnya, yang, sebaliknya, tampaknya volumenya terlalu kecil.

Secara umum, sistem pendidikan di Uni Soviet memang yang terbaik. Buku yang sama karya Perelman, yang diterbitkan pada tahun 1950, berkembang dengan sangat baik, seperti yang dikatakan sang humoris, memikirkan dan mengajarkan Anda untuk mencari solusi orisinal dan non-standar terhadap masalah. Saya baru-baru ini membaca ulang beberapa bab dengan penuh minat, saya merekomendasikannya, ini dapat diakses bahkan oleh para humanis. Tidak, Anda tidak perlu tersenyum karena saya menawarkan waktu luang, pengetahuan dan wawasan luas dalam komunikasi adalah hal yang hebat.

Setelah penyimpangan liris, tepat untuk menyelesaikan tugas kreatif:

Contoh 4

Hitung volume suatu benda yang dibentuk oleh rotasi terhadap sumbu suatu bangun datar yang dibatasi oleh garis,, dimana.

Ini adalah contoh untuk Anda pecahkan sendiri. Harap dicatat bahwa semua kasus terjadi di band, dengan kata lain, batasan integrasi yang sudah jadi sebenarnya diberikan. Gambarlah grafik fungsi trigonometri dengan benar, izinkan saya mengingatkan Anda pada materi pelajaran tentang transformasi geometri grafik : jika argumennya habis dibagi dua: , maka grafiknya diregangkan sepanjang sumbunya sebanyak dua kali. Dianjurkan untuk menemukan setidaknya 3-4 poin menurut tabel trigonometri untuk menyelesaikan gambar dengan lebih akurat. Solusi lengkap dan jawabannya di akhir pelajaran. Omong-omong, tugas tersebut dapat diselesaikan secara rasional dan tidak terlalu rasional.

Mengenai soal mencari luas, Anda memerlukan keterampilan menggambar yang percaya diri - ini mungkin merupakan hal yang paling penting (karena integralnya sendiri sering kali mudah). Anda dapat menguasai teknik pembuatan grafik yang kompeten dan cepat dengan menggunakan bahan ajar dan Transformasi Geometri Grafik. Namun sebenarnya saya sudah beberapa kali membicarakan pentingnya menggambar di kelas.

Secara umum, banyak sekali aplikasi menarik dalam kalkulus integral, yaitu dengan menggunakan integral tertentu Anda dapat menghitung luas suatu bangun, volume benda revolusi, panjang busur, luas permukaan revolusi dan masih banyak lagi. Jadi ini akan menyenangkan, harap tetap optimis!

Bayangkan suatu bangun datar pada bidang koordinat. Diperkenalkan? ... Entah siapa yang menyajikan apa... =))) Kita sudah menemukan luasnya. Namun selain itu, angka ini juga dapat diputar, dan diputar dengan dua cara:

– di sekitar sumbu absis;
– di sekitar sumbu ordinat.

Artikel ini akan membahas kedua kasus tersebut. Metode rotasi kedua sangat menarik; metode ini menyebabkan kesulitan paling besar, namun pada kenyataannya solusinya hampir sama dengan rotasi yang lebih umum di sekitar sumbu x. Sebagai bonus saya akan kembali lagi masalah mencari luas suatu bangun, dan saya akan memberi tahu Anda cara mencari luas dengan cara kedua - sepanjang sumbu. Ini bukan bonus karena materinya sesuai dengan topik.

Mari kita mulai dengan jenis rotasi yang paling populer.

sosok datar di sekitar sumbu

Contoh 1

Hitung volume suatu benda yang diperoleh dengan memutar suatu bangun datar yang dibatasi oleh garis pada suatu sumbu.

Larutan: Seperti pada soal mencari luas, solusinya dimulai dengan gambar sosok datar . Artinya, pada bidang tersebut perlu dibuat bangun datar yang dibatasi oleh garis, dan jangan lupa bahwa persamaan tersebut menentukan sumbunya. Cara menyelesaikan gambar dengan lebih efisien dan cepat dapat ditemukan di halaman Grafik dan properti fungsi Dasar Dan Integral pasti. Cara menghitung luas suatu bangun. Ini adalah pengingat Tiongkok, dan seterusnya saat ini Saya tidak berhenti lagi.

Gambar di sini cukup sederhana:

Bentuk datar yang diinginkan diberi warna biru, yaitu yang berputar pada sumbunya, dan sebagai hasil dari putaran tersebut diperoleh piring terbang agak bulat telur yang simetris terhadap sumbunya. Sebenarnya benda itu punya nama matematis, tapi saya terlalu malas untuk menjelaskan apa pun di buku referensi, jadi kita lanjutkan.

Bagaimana cara menghitung volume suatu benda revolusi?

Volume suatu benda revolusi dapat dihitung dengan menggunakan rumus:

Dalam rumusnya, bilangan harus ada sebelum integral. Dan begitulah yang terjadi - segala sesuatu yang berputar dalam kehidupan terhubung dengan konstanta ini.

Saya rasa mudah untuk menebak cara menetapkan batas integrasi “a” dan “be” dari gambar yang sudah selesai.

Fungsi... apa fungsi ini? Mari kita lihat gambarnya. Bangun datar dibatasi oleh grafik parabola di puncaknya. Inilah fungsi yang tersirat dalam rumus.

Dalam tugas praktek, bangun datar terkadang terletak di bawah sumbu. Ini tidak mengubah apa pun - integran dalam rumusnya dikuadratkan: , jadi integralnya selalu non-negatif, yang sangat logis.

Mari kita hitung volume suatu benda revolusi menggunakan rumus ini:

Seperti yang sudah saya catat, integralnya hampir selalu menjadi sederhana, yang utama adalah berhati-hati.

Menjawab:

Contoh 2

Hitunglah volume suatu benda yang dibentuk oleh rotasi terhadap sumbu bangun yang dibatasi oleh garis , ,

Ini adalah contoh untuk Anda pecahkan sendiri. Solusi lengkap dan jawabannya di akhir pelajaran.

Mari kita perhatikan dua masalah yang lebih kompleks, yang juga sering ditemui dalam praktik.

Contoh 3

Hitung volume benda yang diperoleh dengan memutar sumbu absis dari bangun yang dibatasi oleh garis , , dan

Larutan: Mari kita gambarkan pada gambar suatu bangun datar yang dibatasi oleh garis , , , , tanpa lupa bahwa persamaan tersebut mendefinisikan sumbu:

Gambar yang diinginkan diarsir dengan warna biru. Ketika diputar pada porosnya, ternyata menjadi donat nyata dengan empat sudut.

Mari kita hitung volume benda rotasi sebagai perbedaan volume benda.

Pertama, mari kita lihat gambar yang dilingkari merah. Ketika berputar di sekitar sumbu, diperoleh kerucut terpotong. Mari kita nyatakan volume kerucut yang terpotong ini dengan .

Perhatikan gambar yang dilingkari warna hijau. Jika Anda memutar gambar ini di sekitar sumbu, Anda juga akan mendapatkan kerucut terpotong, hanya sedikit lebih kecil. Mari kita nyatakan volumenya dengan .

Dan, tentu saja, perbedaan volumenya persis dengan volume “donat” kita.

Kami menggunakan rumus standar untuk mencari volume benda rotasi:

1) Gambar yang dilingkari merah di atas dibatasi oleh garis lurus, oleh karena itu:

2) Gambar yang dilingkari warna hijau di atasnya dibatasi oleh garis lurus, oleh karena itu:

3) Volume benda rotasi yang diinginkan:

Menjawab:

Anehnya, dalam hal ini penyelesaiannya dapat diperiksa menggunakan rumus sekolah untuk menghitung volume kerucut terpotong.

Keputusan itu sendiri sering kali ditulis lebih pendek, seperti ini:

Sekarang mari kita istirahat sebentar dan bercerita tentang ilusi geometris.

Setelah penyimpangan liris, tepat untuk menyelesaikan tugas kreatif:

Contoh 4

Hitung volume suatu benda yang dibentuk oleh rotasi terhadap sumbu bangun datar yang dibatasi oleh garis , , dimana .

Ini adalah contoh untuk Anda pecahkan sendiri. Harap dicatat bahwa semua kasus terjadi di band, dengan kata lain, batasan integrasi yang sudah jadi sebenarnya diberikan. Gambarlah grafik dengan benar fungsi trigonometri, izinkan saya mengingatkan Anda tentang materi pelajaran tentang transformasi geometri grafik: jika argumennya dibagi dua: , maka grafiknya diregangkan dua kali sepanjang sumbunya. Dianjurkan untuk menemukan setidaknya 3-4 poin menurut tabel trigonometri untuk menyelesaikan gambar dengan lebih akurat. Solusi lengkap dan jawabannya di akhir pelajaran. Omong-omong, tugas tersebut dapat diselesaikan secara rasional dan tidak terlalu rasional.

Perhitungan volume benda yang dibentuk oleh rotasi
sosok datar di sekitar sumbu

Paragraf kedua akan lebih menarik dari paragraf pertama. Tugas menghitung volume benda revolusi di sekitar sumbu ordinat juga cukup sering dilakukan tes. Sepanjang jalan itu akan dipertimbangkan masalah mencari luas suatu bangun metode kedua adalah integrasi sepanjang sumbu, ini akan memungkinkan Anda tidak hanya meningkatkan keterampilan Anda, tetapi juga mengajari Anda cara menemukan jalur solusi yang paling menguntungkan. Ada juga makna hidup praktis dalam hal ini! Seperti yang diingat oleh guru saya tentang metode pengajaran matematika sambil tersenyum, banyak lulusan yang mengucapkan terima kasih dengan kata-kata: “Mata pelajaran Anda banyak membantu kami, sekarang kami adalah manajer yang efektif dan mengelola staf secara optimal.” Pada kesempatan ini saya juga mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada beliau, apalagi ilmu yang diperoleh saya gunakan untuk tujuan yang dimaksudkan =).

Saya merekomendasikannya kepada semua orang, bahkan orang bodoh sekalipun. Selain itu, materi yang dipelajari pada paragraf kedua akan sangat membantu dalam menghitung integral ganda.

Contoh 5

Diberikan angka datar dibatasi oleh garis , , .

1) Tentukan luas bangun datar yang dibatasi oleh garis-garis tersebut.
2) Tentukan volume benda yang diperoleh dengan memutar suatu bangun datar yang dibatasi oleh garis-garis tersebut pada sumbunya.

Perhatian! Padahal Anda hanya ingin membaca poin kedua, pertama Perlu baca yang pertama!

Larutan: Tugas terdiri dari dua bagian. Mari kita mulai dengan persegi.

1) Mari kita membuat gambar:

Sangat mudah untuk melihat bahwa fungsi tersebut menentukan cabang atas parabola, dan fungsi tersebut menentukan cabang bawah parabola. Di depan kita ada parabola sepele yang “terletak miring”.

Gambar yang diinginkan, luas yang ingin dicari, diarsir dengan warna biru.

Bagaimana cara mencari luas suatu bangun? Hal ini dapat ditemukan dengan cara “biasa” yang dibahas di kelas Integral pasti. Cara menghitung luas suatu bangun. Selain itu, luas gambar tersebut ditemukan sebagai jumlah dari luas:
- di segmen tersebut ;
- di segmen tersebut.

Itu sebabnya:

Mengapa solusi yang biasa buruk dalam kasus ini? Pertama, kita mendapat dua integral. Kedua, integral adalah akar, dan akar dalam integral bukanlah anugerah, dan selain itu, Anda bisa bingung dalam mensubstitusi limit integrasi. Faktanya, integral, tentu saja, tidak mematikan, tetapi dalam praktiknya semuanya bisa lebih menyedihkan, saya hanya memilih fungsi yang "lebih baik" untuk masalah tersebut.

Ada solusi yang lebih rasional: ini terdiri dari peralihan ke fungsi invers dan integrasi sepanjang sumbu.

Bagaimana cara mendapatkan fungsi invers? Secara kasar, Anda perlu menyatakan “x” melalui “y”. Pertama, mari kita lihat parabola:

Ini sudah cukup, tapi mari kita pastikan bahwa fungsi yang sama dapat diturunkan dari cabang bawah:

Lebih mudah dengan garis lurus:

Sekarang lihat sumbunya: miringkan kepala Anda secara berkala ke kanan sebesar 90 derajat seperti yang Anda jelaskan (ini bukan lelucon!). Gambar yang kita perlukan terletak pada ruas yang ditandai dengan garis putus-putus berwarna merah. Dalam hal ini, pada ruas tersebut garis lurus terletak di atas parabola, artinya luas bangun tersebut harus dicari dengan menggunakan rumus yang sudah Anda kenal: . Apa yang berubah dalam formulanya? Hanya sepucuk surat dan tidak lebih.

! Catatan: Batas integrasi sepanjang sumbu harus ditetapkan ketat dari bawah ke atas!

Menemukan luasnya:

Oleh karena itu, pada segmen tersebut:

Harap perhatikan bagaimana saya melakukan integrasi, ini adalah cara yang paling rasional, dan di paragraf tugas berikutnya akan jelas alasannya.

Bagi pembaca yang meragukan kebenaran integrasi, saya akan menemukan turunannya:

Fungsi integran asli diperoleh yang berarti integrasi dilakukan dengan benar.

Menjawab:

2) Mari kita hitung volume benda yang dibentuk oleh rotasi gambar ini mengelilingi sumbunya.

Saya akan menggambar ulang gambarnya dengan desain yang sedikit berbeda:

Jadi, bangun yang diarsir warna biru berputar mengelilingi sumbunya. Hasilnya adalah “kupu-kupu yang melayang” yang berputar pada porosnya.

Untuk mencari volume suatu benda rotasi, kita akan melakukan integrasi sepanjang sumbunya. Pertama kita perlu pergi ke fungsi invers. Hal ini telah dilakukan dan dijelaskan secara rinci pada paragraf sebelumnya.

Sekarang kita kembali memiringkan kepala ke kanan dan mempelajari sosok kita. Jelasnya, volume suatu benda rotasi harus dicari sebagai perbedaan volumenya.

Kami memutar gambar yang dilingkari merah di sekitar sumbu, menghasilkan kerucut terpotong. Mari kita nyatakan volume ini dengan .

Kami memutar gambar yang dilingkari hijau di sekitar sumbu dan menyatakannya dengan volume benda rotasi yang dihasilkan.

Volume kupu-kupu kita sama dengan selisih volumenya.

Kami menggunakan rumus untuk mencari volume benda revolusi:

Apa bedanya dengan rumus pada paragraf sebelumnya? Hanya di surat itu.

Namun keuntungan dari integrasi yang baru-baru ini saya bicarakan jauh lebih mudah ditemukan , daripada terlebih dahulu menaikkan integran ke pangkat ke-4.

Menjawab:

Namun, bukan kupu-kupu yang sakit-sakitan.

Harap dicatat bahwa jika bangun datar yang sama diputar pada sumbunya, Anda akan mendapatkan benda rotasi yang sama sekali berbeda, dengan volume yang berbeda, secara alami.

Contoh 6

Diberikan suatu bangun datar yang dibatasi oleh garis dan sumbu.

1) Pergi ke fungsi invers dan temukan luas bangun datar yang dibatasi oleh garis-garis ini dengan mengintegrasikan variabelnya.
2) Hitung volume benda yang diperoleh dengan memutar suatu bangun datar yang dibatasi oleh garis-garis tersebut pada sumbunya.

Ini adalah contoh untuk Anda pecahkan sendiri. Mereka yang berminat juga dapat mencari luas suatu bangun dengan cara “biasa”, dengan memeriksa poin 1). Tetapi jika, saya ulangi, Anda memutar bangun datar di sekitar sumbunya, Anda akan mendapatkan benda rotasi yang sama sekali berbeda dengan volume yang berbeda, omong-omong, jawaban yang benar (juga bagi mereka yang suka memecahkan masalah).

Solusi lengkap dari dua poin tugas yang diajukan ada di akhir pelajaran.

Ya, dan jangan lupa miringkan kepala ke kanan untuk memahami benda rotasi dan batas integrasinya!

Bagaimana cara menghitung volume suatu benda revolusi dengan menggunakan integral tertentu?

Di samping itu mencari luas bangun datar dengan menggunakan integral tertentu penerapan topik yang paling penting adalah menghitung volume benda rotasi. Materinya sederhana, tapi pembaca harus siap: harus bisa menyelesaikannya integral tak tentu kompleksitas sedang dan terapkan rumus Newton-Leibniz di integral tertentu . Mengenai soal mencari luas, Anda memerlukan keterampilan menggambar yang percaya diri - ini mungkin merupakan hal yang paling penting (karena integralnya sendiri sering kali mudah). Anda dapat menguasai teknik pembuatan bagan yang kompeten dan cepat dengan bantuan materi metodologis . Namun sebenarnya saya sudah beberapa kali membicarakan pentingnya menggambar di kelas. .

Secara umum, ada banyak aplikasi menarik dalam kalkulus integral; dengan menggunakan integral tertentu, Anda dapat menghitung luas bangun, volume benda rotasi, panjang busur, luas permukaan tubuh dan banyak lagi. Jadi ini akan menyenangkan, harap tetap optimis!

– di sekitar sumbu x; – di sekitar sumbu ordinat.

Artikel ini akan membahas kedua kasus tersebut. Metode rotasi kedua sangat menarik; metode ini menyebabkan kesulitan paling besar, namun pada kenyataannya solusinya hampir sama dengan rotasi yang lebih umum di sekitar sumbu x. Sebagai bonus saya akan kembali lagi masalah mencari luas suatu bangun , dan saya akan memberi tahu Anda cara mencari luas dengan cara kedua - sepanjang sumbu. Ini bukan bonus karena materinya sesuai dengan topik.

Mari kita mulai dengan jenis rotasi yang paling populer.

Contoh 1

Hitung volume suatu benda yang diperoleh dengan memutar suatu bangun datar yang dibatasi oleh garis pada suatu sumbu.

Larutan: Seperti halnya dalam masalah pencarian luas, penyelesaiannya dimulai dengan menggambar bangun datar. Artinya, pada sebuah bidang perlu dibuat suatu bangun datar yang dibatasi oleh garis, dan jangan lupa bahwa persamaan tersebut mendefinisikan sumbu. Cara menyelesaikan gambar dengan lebih efisien dan cepat dapat ditemukan di halaman Grafik dan properti fungsi Dasar Dan Integral pasti. Cara menghitung luas suatu bangun . Ini adalah pengingat Tiongkok, dan pada titik ini saya tidak akan membahasnya lebih jauh.

Gambar di sini cukup sederhana:

Bentuk datar yang diinginkan diarsir dengan warna biru, yaitu bentuk yang berputar pada sumbunya. Akibat perputarannya, diperoleh piring terbang agak bulat telur yang simetris terhadap sumbunya. Sebenarnya benda itu punya nama matematisnya, tapi saya terlalu malas untuk mencarinya di buku referensi, jadi kita lanjutkan.

Bagaimana cara menghitung volume suatu benda revolusi?

Volume suatu benda revolusi dapat dihitung dengan menggunakan rumus:

Dalam rumusnya, bilangan harus ada sebelum integral. Dan begitulah yang terjadi - segala sesuatu yang berputar dalam kehidupan terhubung dengan konstanta ini.

Saya rasa mudah untuk menebak cara menetapkan batas integrasi “a” dan “be” dari gambar yang sudah selesai.

Fungsi... apa fungsi ini? Mari kita lihat gambarnya. Bangun datar dibatasi oleh grafik parabola di bagian atas. Inilah fungsi yang tersirat dalam rumus.

Dalam tugas praktek, bangun datar terkadang terletak di bawah sumbu. Ini tidak mengubah apa pun - fungsi dalam rumusnya dikuadratkan: jadi volume suatu badan revolusi selalu non-negatif, yang sangat logis.

Mari kita hitung volume benda rotasi menggunakan rumus ini:

Seperti yang sudah saya catat, integralnya hampir selalu menjadi sederhana, yang utama adalah berhati-hati.

Menjawab:

Contoh 2

Tentukan volume suatu benda yang dibentuk oleh rotasi mengelilingi sumbu suatu bangun yang dibatasi oleh garis,

Ini adalah contoh untuk Anda pecahkan sendiri. Solusi lengkap dan jawabannya di akhir pelajaran.

Mari kita perhatikan dua masalah yang lebih kompleks, yang juga sering ditemui dalam praktik.

Contoh 3

Hitung volume benda yang diperoleh dengan memutar sumbu absis gambar yang dibatasi oleh garis ,, dan

Larutan: Mari kita gambarkan dalam gambar sebuah bangun datar yang dibatasi oleh garis ,,,, tanpa lupa bahwa persamaan tersebut mendefinisikan sumbu:

Gambar yang diinginkan diarsir dengan warna biru. Ketika diputar pada porosnya, ternyata menjadi donat nyata dengan empat sudut.

Mari kita hitung volume benda rotasi sebagai perbedaan volume benda.

Pertama, mari kita lihat gambar yang dilingkari merah. Ketika berputar di sekitar sumbu, diperoleh kerucut terpotong. Mari kita nyatakan volume kerucut yang terpotong ini dengan.

Dan, tentu saja, perbedaan volumenya persis dengan volume “donat” kita.

Kami menggunakan rumus standar untuk mencari volume benda rotasi:

1) Gambar yang dilingkari merah di atas dibatasi oleh garis lurus, oleh karena itu:

2) Gambar yang dilingkari warna hijau di atasnya dibatasi oleh garis lurus, oleh karena itu:

3) Volume benda rotasi yang diinginkan:

Menjawab:

Anehnya, dalam hal ini penyelesaiannya dapat diperiksa menggunakan rumus sekolah untuk menghitung volume kerucut terpotong.

Keputusan itu sendiri sering kali ditulis lebih pendek, seperti ini:

Sekarang mari kita istirahat sebentar dan bercerita tentang ilusi geometris.

Orang sering kali memiliki ilusi yang terkait dengan volume, yang diperhatikan oleh Perelman (bukan yang itu) di dalam buku Geometri yang menghibur. Lihatlah gambar datar dalam soal yang diselesaikan - tampaknya luasnya kecil, dan volume benda revolusi hanya lebih dari 50 unit kubik, yang tampaknya terlalu besar. Ngomong-ngomong, rata-rata orang meminum cairan yang setara dengan ruangan seluas 18 meter persegi sepanjang hidupnya, yang, sebaliknya, tampaknya volumenya terlalu kecil.

Secara umum, sistem pendidikan di Uni Soviet memang yang terbaik. Buku yang sama karya Perelman, yang ditulisnya pada tahun 1950, berkembang dengan sangat baik, seperti yang dikatakan sang komedian, memikirkan dan mengajarkan seseorang untuk mencari solusi orisinal dan non-standar terhadap suatu masalah. Saya baru-baru ini membaca ulang beberapa bab dengan penuh minat, saya merekomendasikannya, ini dapat diakses bahkan oleh para humanis. Tidak, Anda tidak perlu tersenyum karena saya menawarkan waktu luang, pengetahuan dan wawasan luas dalam komunikasi adalah hal yang hebat.

Setelah penyimpangan liris, tepat untuk menyelesaikan tugas kreatif:

Contoh 4

Hitung volume suatu benda yang dibentuk oleh rotasi terhadap sumbu suatu bangun datar yang dibatasi oleh garis,, dimana.

Ini adalah contoh untuk Anda pecahkan sendiri. Harap dicatat bahwa semua hal terjadi di band, dengan kata lain, batasan integrasi praktis yang sudah jadi diberikan. Coba juga menggambar grafik fungsi trigonometri dengan benar; jika argumennya dibagi dua: maka grafik tersebut diregangkan sepanjang sumbu dua kali. Cobalah untuk menemukan setidaknya 3-4 poin menurut tabel trigonometri dan menyelesaikan gambar dengan lebih akurat. Solusi lengkap dan jawabannya di akhir pelajaran. Omong-omong, tugas tersebut dapat diselesaikan secara rasional dan tidak terlalu rasional.

Perhitungan volume suatu benda yang dibentuk dengan memutar suatu bangun datar pada suatu sumbu

Paragraf kedua akan lebih menarik dari paragraf pertama. Tugas menghitung volume suatu benda yang berputar di sekitar sumbu ordinat juga merupakan tugas yang cukup umum dalam pekerjaan pengujian. Sepanjang jalan itu akan dipertimbangkan masalah mencari luas suatu bangun metode kedua adalah integrasi sepanjang sumbu, ini akan memungkinkan Anda tidak hanya meningkatkan keterampilan Anda, tetapi juga mengajari Anda cara menemukan jalur solusi yang paling menguntungkan. Ada juga makna hidup praktis dalam hal ini! Seperti yang diingat oleh guru saya tentang metode pengajaran matematika sambil tersenyum, banyak lulusan yang mengucapkan terima kasih dengan kata-kata: “Mata pelajaran Anda banyak membantu kami, sekarang kami adalah manajer yang efektif dan mengelola staf secara optimal.” Pada kesempatan ini saya juga mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada beliau, apalagi ilmu yang diperoleh saya gunakan untuk tujuan yang dimaksudkan =).

Contoh 5

Diberikan suatu bangun datar yang dibatasi oleh garis,,.

1) Tentukan luas bangun datar yang dibatasi oleh garis-garis tersebut. 2) Tentukan volume benda yang diperoleh dengan memutar suatu bangun datar yang dibatasi oleh garis-garis tersebut pada sumbunya.

Perhatian! Padahal Anda hanya ingin membaca poin kedua, pertama Perlu baca yang pertama!

Larutan: Tugas ini terdiri dari dua bagian. Mari kita mulai dengan persegi.

1) Mari kita membuat gambar:

Sangat mudah untuk melihat bahwa fungsi tersebut menentukan cabang atas parabola, dan fungsi tersebut menentukan cabang bawah parabola. Di depan kita ada parabola sepele yang “terletak miring”.

Gambar yang diinginkan, luas yang ingin dicari, diarsir dengan warna biru.

Bagaimana cara mencari luas suatu bangun? Hal ini dapat ditemukan dengan cara “biasa” yang dibahas di kelas Integral pasti. Cara menghitung luas suatu bangun . Selain itu, luas bangun tersebut ditemukan sebagai jumlah dari luas: – pada segmen tersebut ; - di segmen tersebut.

Itu sebabnya:

Ada solusi yang lebih rasional: ini terdiri dari peralihan ke fungsi invers dan integrasi sepanjang sumbu.

Bagaimana cara mendapatkan fungsi invers? Secara kasar, Anda perlu menyatakan “x” melalui “y”. Pertama, mari kita lihat parabola:

Ini sudah cukup, tapi mari kita pastikan bahwa fungsi yang sama dapat diturunkan dari cabang bawah:

Lebih mudah dengan garis lurus:

Sekarang lihat sumbunya: miringkan kepala Anda secara berkala ke kanan sebesar 90 derajat seperti yang Anda jelaskan (ini bukan lelucon!). Gambar yang kita perlukan terletak pada ruas yang ditandai dengan garis putus-putus berwarna merah. Selain itu, pada ruas garis lurus terletak di atas parabola, artinya luas bangun tersebut harus dicari dengan menggunakan rumus yang sudah Anda kenal: . Apa yang berubah dalam formulanya? Hanya sepucuk surat dan tidak lebih.

! Catatan: Batas integrasi sepanjang sumbu harus ditetapkanketat dari bawah ke atas !

Menemukan luasnya:

Oleh karena itu, pada segmen tersebut:

Harap perhatikan bagaimana saya melakukan integrasi, ini adalah cara yang paling rasional, dan di paragraf tugas berikutnya akan jelas alasannya.

Bagi pembaca yang meragukan kebenaran integrasi, saya akan menemukan turunannya:

Fungsi integran asli diperoleh yang berarti integrasi dilakukan dengan benar.

Menjawab:

2) Mari kita hitung volume benda yang dibentuk oleh rotasi gambar ini mengelilingi sumbunya.

Saya akan menggambar ulang gambarnya dengan desain yang sedikit berbeda:

Jadi, bangun yang diarsir warna biru berputar mengelilingi sumbunya. Hasilnya adalah “kupu-kupu yang melayang” yang berputar pada porosnya.

Sekarang kita kembali memiringkan kepala ke kanan dan mempelajari sosok kita. Jelasnya, volume suatu benda rotasi harus dicari sebagai perbedaan volumenya.

Kami memutar gambar yang dilingkari merah di sekitar sumbu, menghasilkan kerucut terpotong. Mari kita nyatakan volume ini dengan.

Kami memutar gambar yang dilingkari hijau di sekitar sumbu dan dilambangkan dengan volume benda rotasi yang dihasilkan.

Volume kupu-kupu kita sama dengan selisih volumenya.

Kami menggunakan rumus untuk mencari volume benda revolusi:

Apa bedanya dengan rumus pada paragraf sebelumnya? Hanya di surat itu.

Namun keuntungan dari integrasi yang baru-baru ini saya bicarakan jauh lebih mudah ditemukan , daripada terlebih dahulu menaikkan integran ke pangkat ke-4.

Jenis pelajaran: digabungkan.

Tujuan pelajaran: belajar menghitung volume benda revolusi menggunakan integral.

Tugas:

memantapkan kemampuan mengidentifikasi trapesium lengkung dari sejumlah bangun datar dan mengembangkan keterampilan menghitung luas trapesium lengkung;
mengenal konsep bangun tiga dimensi;
belajar menghitung volume benda revolusi;
mendorong pembangunan berpikir logis, pidato matematika yang kompeten, akurasi saat membuat gambar;
menumbuhkan minat terhadap mata pelajaran, mengoperasikan konsep dan gambar matematika, menumbuhkan kemauan, kemandirian, dan ketekunan dalam mencapai hasil akhir.

Selama kelas

I. Momen organisasi.

Salam dari grup. Komunikasikan tujuan pelajaran kepada siswa.

Cerminan. Melodi yang tenang.

– Saya ingin memulai pelajaran hari ini dengan sebuah perumpamaan. “Pada suatu ketika hiduplah seorang bijak yang mengetahui segalanya. Seorang pria ingin membuktikan bahwa orang bijak tidak mengetahui segalanya. Sambil memegang kupu-kupu di telapak tangannya, dia bertanya: “Katakan padaku, orang bijak, kupu-kupu mana yang ada di tanganku: hidup atau mati?” Dan ia sendiri berpikir: “Jika orang hidup berkata, aku akan membunuhnya; orang mati akan berkata, Aku akan melepaskannya.” Orang bijak itu, setelah berpikir, menjawab: "Semua ada di tanganmu". (Presentasi.Menggeser)

– Oleh karena itu, mari kita bekerja dengan produktif hari ini, memperoleh pengetahuan baru, dan kita akan menerapkan keterampilan dan kemampuan yang diperoleh dalam kehidupan masa depan dan dalam kegiatan praktis. "Semua ada di tanganmu".

II. Pengulangan materi yang telah dipelajari sebelumnya.

– Mari kita mengingat kembali pokok-pokok materi yang telah dipelajari sebelumnya. Untuk melakukan ini, mari selesaikan tugasnya “Hilangkan kata tambahan.”(Menggeser.)

(Siswa pergi ke I.D. menggunakan penghapus untuk menghapus kata tambahan.)

- Benar "Diferensial". Cobalah untuk menyebutkan kata-kata yang tersisa menjadi satu secara umum. (Kalkulus integral.)

– Mari kita mengingat tahapan dan konsep utama yang terkait dengan kalkulus integral..

“kelompok matematika”.

Latihan. Pulihkan kesenjangannya. (Siswa keluar dan menulis kata-kata yang diperlukan dengan pena.)

– Kita akan mendengar abstrak tentang penerapan integral nanti.

Bekerja di buku catatan.

– Rumus Newton-Leibniz diturunkan oleh fisikawan Inggris Isaac Newton (1643–1727) dan filsuf Jerman Gottfried Leibniz (1646–1716). Dan ini tidak mengherankan, karena matematika adalah bahasa yang digunakan oleh alam itu sendiri.

– Mari kita pertimbangkan bagaimana cara menyelesaikannya tugas-tugas praktis rumus ini digunakan.

Contoh 1: Hitung luas bangun yang dibatasi garis

Solusi: Mari kita buat grafik fungsi pada bidang koordinat . Mari kita pilih luas gambar yang perlu dicari.

AKU AKU AKU. Mempelajari materi baru.

– Perhatikan layar. Apa yang ditunjukkan pada gambar pertama? (Menggeser) (Gambar tersebut menunjukkan gambar datar.)

– Apa yang ditunjukkan pada gambar kedua? Apakah angka ini datar? (Menggeser) (Gambar tersebut menunjukkan gambar tiga dimensi.)

– Di luar angkasa, di bumi, dan di dalam Kehidupan sehari-hari Kita tidak hanya menjumpai bangun datar, tetapi juga bangun tiga dimensi, tetapi bagaimana cara menghitung volume benda tersebut? Misalnya volume planet, komet, meteorit, dll.

– Orang-orang memikirkan tentang volume ketika membangun rumah dan ketika menuangkan air dari satu wadah ke wadah lainnya. Aturan dan teknik untuk menghitung volume harus muncul; seberapa akurat dan masuk akal aturan tersebut adalah masalah lain.

Pesan dari seorang siswa. (Tyurina Vera.)

Tahun 1612 sangat bermanfaat bagi penduduk kota Linz di Austria, tempat tinggal astronom terkenal Johannes Kepler, terutama untuk buah anggur. Orang-orang sedang menyiapkan tong anggur dan ingin tahu cara menentukan volumenya secara praktis. (Geser 2)

– Dengan demikian, karya Kepler meletakkan dasar bagi seluruh aliran penelitian yang mencapai puncaknya pada kuartal terakhir abad ke-17. desain dalam karya I. Newton dan G.V. Leibniz kalkulus diferensial dan integral. Sejak saat itu, matematika variabel menempati posisi terdepan dalam sistem pengetahuan matematika.

– Hari ini Anda dan saya akan melakukan kegiatan praktis seperti itu, oleh karena itu,

Topik pelajaran kita: “Menghitung volume benda rotasi menggunakan integral tertentu.” (Menggeser)

– Anda akan mempelajari definisi benda rotasi dengan menyelesaikan tugas berikut.

"Labirin".

Labirin ( kata Yunani) berarti pergi ke ruang bawah tanah. Labirin adalah jaringan jalan, lorong, dan ruangan yang saling berhubungan yang rumit.

Namun definisi tersebut “rusak”, meninggalkan petunjuk dalam bentuk anak panah.

Latihan. Temukan jalan keluar dari situasi yang membingungkan dan tuliskan definisinya.

Menggeser. "Instruksi peta" Perhitungan volume.

Dengan menggunakan integral tertentu, Anda dapat menghitung volume suatu benda tertentu, khususnya benda revolusi.

Benda revolusi adalah benda yang diperoleh dengan memutar trapesium lengkung di sekitar alasnya (Gbr. 1, 2)

Volume suatu benda rotasi dihitung dengan menggunakan salah satu rumus:

1. di sekitar sumbu OX.

2. , jika rotasi trapesium melengkung sekitar sumbu op-amp.

Setiap siswa menerima kartu instruksi. Guru menekankan hal-hal yang pokok.

– Guru menjelaskan solusi dari contoh di papan tulis.

Perhatikan kutipan dari dongeng terkenal A. S. Pushkin “Kisah Tsar Saltan, pahlawannya yang mulia dan perkasa, Pangeran Guidon Saltanovich, dan Putri Angsa yang cantik” (Geser 4):

…..
Dan pembawa pesan mabuk itu membawanya
Pada hari yang sama pesanannya adalah sebagai berikut:
“Raja memerintahkan para bangsawannya,
Tanpa membuang waktu,
Dan ratu serta keturunannya
Diam-diam membuangnya ke dalam jurang air.”
Tidak ada yang bisa dilakukan: para bangsawan,
Khawatir tentang kedaulatan
Dan kepada ratu muda,
Kerumunan datang ke kamar tidurnya.
Mereka menyatakan keinginan raja -
Dia dan putranya mempunyai bagian yang jahat,
Kami membacakan dekrit itu dengan lantang,
Dan ratu pada jam yang sama
Mereka memasukkan saya ke dalam tong bersama anak saya,
Mereka memasang aspal dan pergi
Dan mereka mengizinkan saya masuk ke okiyan -
Inilah yang diperintahkan Tsar Saltan.

Berapa volume tong tersebut agar ratu dan putranya dapat muat di dalamnya?

– Perhatikan tugas berikut

1. Tentukan volume benda yang diperoleh dengan memutar sumbu ordinat trapesium lengkung yang dibatasi oleh garis: x 2 + kamu 2 = 64, kamu = -5, kamu = 5, x = 0.

Jawaban: 1163 cm 3 .

Temukan volume benda yang diperoleh dengan memutar trapesium parabola mengelilingi sumbu absis kamu = , x = 4, kamu = 0.

IV. Konsolidasi materi baru

Contoh 2. Hitung volume benda yang dibentuk oleh putaran kelopak terhadap sumbu x kamu = x 2 , kamu 2 = x.

Mari kita buat grafik fungsinya. kamu = x 2 , kamu 2 = x. Jadwal kamu2 = x mengkonversi ke formulir kamu= .

Kita punya V = V 1 – V 2 Mari kita hitung volume masing-masing fungsi

– Sekarang, mari kita lihat menara stasiun radio di Moskow di Shabolovka, yang dibangun sesuai dengan desain insinyur Rusia yang luar biasa, akademisi kehormatan V. G. Shukhov. Ini terdiri dari bagian - hiperboloid rotasi. Selain itu, masing-masingnya terbuat dari batang logam lurus yang menghubungkan lingkaran yang berdekatan (Gbr. 8, 9).

- Mari kita pertimbangkan masalahnya.

Temukan volume benda yang diperoleh dengan memutar busur hiperbola di sekitar sumbu imajinernya, seperti yang ditunjukkan pada Gambar. 8, dimana

kubus unit

tugas kelompok. Siswa menggambar banyak tugas, menggambar di kertas Whatman, dan salah satu perwakilan kelompok mempertahankan karyanya.

kelompok pertama.

Memukul! Memukul! Pukulan lain!
Bola terbang ke gawang - BOLA!
Dan ini adalah bola semangka
Hijau, bulat, enak.
Perhatikan lebih baik - sungguh luar biasa!
Itu hanya terbuat dari lingkaran.
Potong semangka menjadi lingkaran
Dan cicipi.

Temukan volume benda yang diperoleh dengan memutar sumbu OX dari fungsi yang dibatasi

Kesalahan! Penunjuknya tidak ditentukan.

– Tolong beri tahu saya di mana kita bertemu sosok ini?

Rumah. tugas untuk 1 kelompok. SILINDER (menggeser) .

"Silinder - ada apa?" – Aku bertanya pada ayahku.
Sang ayah tertawa: Topi paling atas adalah topi.
Untuk mendapatkan ide yang benar,
Sebuah silinder, katakanlah, adalah kaleng.
Pipa kapal uap - silinder,
Pipa di atap kita juga,

Semua pipa mirip dengan silinder.
Dan saya memberi contoh seperti ini -
Kaledoskop Cintaku,
Anda tidak bisa mengalihkan pandangan darinya,
Dan itu juga terlihat seperti silinder.

- Latihan. Pekerjaan rumah buat grafik fungsinya dan hitung volumenya.

kelompok ke-2. KERUCUT (menggeser).

Ibu berkata: Dan sekarang
Ceritaku tentang kerucut.
Pengamat bintang dengan topi tinggi
Menghitung bintang sepanjang tahun.
CONE - topi pengamat bintang.
Seperti itulah dia. Dipahami? Itu dia.
Ibu sedang berdiri di depan meja,
Saya menuangkan minyak ke dalam botol.
-Dimana corongnya? Tidak ada corong.
Carilah itu. Jangan berdiri di pinggir lapangan.
- Bu, aku tidak mau mengalah.
Ceritakan lebih banyak tentang kerucut.
– Corongnya berbentuk kerucut kaleng penyiram.
Ayo, temukan dia untukku secepatnya.
Saya tidak dapat menemukan corongnya
Tapi ibu membuat tas,
Aku melilitkan karton itu ke jariku
Dan dia dengan cekatan mengamankannya dengan klip kertas.
Minyaknya mengalir, ibu senang,
Kerucutnya keluar dengan tepat.

Latihan. Hitung volume benda yang diperoleh dengan memutar sumbu absis

Rumah. tugas untuk kelompok ke-2. PIRAMIDA(menggeser).

Saya melihat gambarnya. Dalam gambar ini
Ada PYRAMID di gurun pasir.
Segala sesuatu di piramida itu luar biasa,
Ada semacam misteri dan misteri di dalamnya.
Dan Menara Spasskaya di Lapangan Merah
Hal ini sangat akrab bagi anak-anak dan orang dewasa.
Kalau dilihat dari menaranya terlihat biasa saja,
Apa yang ada di atasnya? Piramida!

Latihan. Pekerjaan rumah: buat grafik fungsi dan hitung volume limas

– Kami menghitung volume berbagai benda berdasarkan rumus dasar volume benda menggunakan integral.

Ini merupakan konfirmasi lain bahwa integral tertentu merupakan landasan bagi studi matematika.

- Nah, sekarang mari kita istirahat sebentar.

Temukan pasangan.

Melodi domino matematika dimainkan.

“Jalan yang kucari sendiri tidak akan pernah terlupakan…”

Pekerjaan penelitian. Penerapan integral dalam bidang ekonomi dan teknologi.

Tes untuk siswa yang kuat dan sepak bola matematika.

Simulator matematika.

2. Himpunan semua antiturunan dari suatu fungsi tertentu disebut

A) integral tak tentu,

B) fungsi,

B) diferensiasi.

7. Hitunglah volume benda yang diperoleh dengan memutar sumbu absis trapesium lengkung yang dibatasi oleh garis:

D/Z. Hitung volume benda rotasi.

Cerminan.

Penerimaan refleksi dalam bentuk sinkronisasi(lima baris).

Baris pertama – nama topik (satu kata benda).

Baris ke-2 – deskripsi topik dalam dua kata, dua kata sifat.

Baris ke-3 – deskripsi tindakan dalam topik ini dalam tiga kata.

Baris ke-4 merupakan frase empat kata yang menunjukkan sikap terhadap topik (satu kalimat utuh).

Baris ke-5 merupakan sinonim yang mengulang intisari topik.

Volume.
Integral pasti, fungsi yang dapat diintegralkan.
Kami membangun, kami memutar, kami menghitung.
Benda yang diperoleh dengan memutar trapesium melengkung (di sekeliling alasnya).
Benda rotasi (benda geometri volumetrik).

Kesimpulan (menggeser).

Integral tertentu merupakan landasan tertentu dalam pembelajaran matematika, yang memberikan kontribusi yang sangat diperlukan dalam memecahkan masalah-masalah praktis.
Topik “Integral” dengan jelas menunjukkan hubungan antara matematika dan fisika, biologi, ekonomi dan teknologi.
Perkembangan ilmu pengetahuan modern tidak terpikirkan tanpa menggunakan integral. Dalam hal ini, perlu untuk mulai mempelajarinya dalam kerangka pendidikan khusus menengah!

Penilaian. (Dengan komentar.)

Omar Khayyam yang hebat - ahli matematika, penyair, filsuf. Dia mendorong kita untuk menjadi tuan atas nasib kita sendiri. Mari kita simak kutipan karyanya:

Anda mungkin berkata, hidup ini hanya sesaat.
Hargai, dapatkan inspirasi darinya.
Saat Anda membelanjakannya, itu akan berlalu.
Jangan lupa: dia adalah ciptaanmu.