Rumah Prostetik dan implantasi Hitung luas bangun yang dibatasi oleh garis-garis tertentu. Hitung luas bangun yang dibatasi oleh garis

Prostetik dan implantasi

Hitung luas bangun yang dibatasi oleh garis-garis tertentu. Hitung luas bangun yang dibatasi oleh garis

Sebenarnya, untuk mencari luas suatu bangun, Anda tidak memerlukan banyak pengetahuan tentang integral tak tentu dan integral pasti. Tugas “menghitung luas menggunakan integral tertentu"selalu melibatkan konstruksi gambar, masih banyak lagi masalah topikal akan menjadi pengetahuan dan keterampilan Anda dalam menggambar. Berkaitan dengan hal tersebut, berguna untuk menyegarkan kembali ingatan Anda tentang grafik fungsi dasar dasar, dan minimal dapat membuat garis lurus dan hiperbola.

Trapesium melengkung adalah bangun datar dibatasi oleh sumbu, garis lurus, dan grafik suatu fungsi kontinu pada suatu interval yang tidak berubah tanda pada interval tersebut. Biarkan angka ini ditemukan tidak kurang sumbu x:

Kemudian luas trapesium lengkung secara numerik sama dengan integral tertentu. Setiap integral tertentu (yang ada) mempunyai arti geometri yang sangat baik.

Dari sudut pandang geometri, integral tentu adalah AREA.

Itu adalah, integral tertentu (jika ada) secara geometris bersesuaian dengan luas bangun tertentu. Misalnya, pertimbangkan integral tertentu. Fungsi integran menentukan kurva pada bidang yang terletak di atas sumbu (siapa yang ingin dapat membuat gambar), dan integral tentu itu sendiri secara numerik sama dengan luas trapesium lengkung yang sesuai.

Contoh 1

Ini adalah pernyataan tugas yang khas. Pertama dan momen yang paling penting solusi - menggambar menggambar. Selain itu, gambarnya harus dibuat BENAR.

Saat membuat gambar, saya merekomendasikan urutan berikut: pertama lebih baik membuat semua garis lurus (jika ada) dan hanya Kemudian- parabola, hiperbola, grafik fungsi lainnya. Lebih menguntungkan untuk membuat grafik fungsi poin demi poin.

Dalam masalah ini, solusinya mungkin terlihat seperti ini.
Mari kita menggambarnya (perhatikan bahwa persamaan mendefinisikan sumbu):

Pada segmen tersebut terdapat grafik fungsi di atas sumbu, Itu sebabnya:

Menjawab:

Setelah tugas selesai, selalu berguna untuk melihat gambarnya dan mencari tahu apakah jawabannya nyata. DI DALAM pada kasus ini"dengan mata" kita menghitung jumlah sel dalam gambar - yah, akan ada sekitar 9, sepertinya benar. Sangat jelas jika kita mendapat, katakanlah, jawabannya: 20 satuan persegi, maka jelas ada kesalahan yang terjadi di suatu tempat - 20 sel jelas tidak sesuai dengan gambar yang dimaksud, paling banyak selusin. Jika jawabannya negatif, maka tugas tersebut juga diselesaikan dengan salah.

Contoh 3

Hitung luas bangun yang dibatasi garis dan sumbu koordinat.

Larutan: Mari kita membuat gambar:

Jika terdapat trapesium lengkung di bawah poros(atau setidaknya tidak lebih tinggi sumbu tertentu), maka luasnya dapat dicari dengan rumus:

Pada kasus ini:

Perhatian! Kedua jenis tugas ini tidak boleh disamakan:

1) Jika diminta menyelesaikan integral tertentu saja tanpa integral tertentu makna geometris, maka itu bisa menjadi negatif.

2) Jika diminta mencari luas suatu bangun dengan menggunakan integral tertentu, maka luasnya selalu positif! Itu sebabnya minus muncul pada rumus yang baru saja dibahas.

Dalam praktiknya, paling sering gambar tersebut terletak di setengah bidang atas dan bawah, dan oleh karena itu, dari soal sekolah yang paling sederhana, kita beralih ke contoh yang lebih bermakna.

Contoh 4

Temukan daerahnya sosok datar, dibatasi oleh garis , .

Larutan: Pertama, Anda perlu menyelesaikan gambarnya. Secara umum, ketika membuat gambar dalam soal luas, kita paling tertarik pada titik potong garis. Mari kita cari titik potong parabola dan garis lurus. Hal ini dapat dilakukan dengan dua cara. Metode pertama adalah analitis. Kami memecahkan persamaan:

Artinya batas bawah integrasi adalah , batas atas integrasi adalah .

Jika memungkinkan, lebih baik tidak menggunakan cara ini..

Jauh lebih menguntungkan dan lebih cepat untuk membangun garis titik demi titik, dan batas integrasi menjadi jelas “dengan sendirinya”. Namun demikian, metode analitis untuk mencari limit terkadang masih harus digunakan jika, misalnya, grafiknya cukup besar, atau konstruksi detailnya tidak mengungkapkan limit integrasi (bisa berupa pecahan atau irasional). Dan kami juga akan mempertimbangkan contoh seperti itu.

Mari kita kembali ke tugas kita: lebih rasional untuk membuat garis lurus terlebih dahulu, baru kemudian parabola. Mari kita membuat gambarnya:

Dan sekarang rumus kerjanya: Jika terdapat fungsi kontinu pada segmen tersebut lebih dari atau sama dengan beberapa fungsi berkelanjutan, maka luas bangun yang dibatasi oleh grafik fungsi tersebut dan garis , , dapat dicari dengan menggunakan rumus:

Di sini Anda tidak perlu lagi memikirkan di mana letak gambar tersebut - di atas sumbu atau di bawah sumbu, dan, secara kasar, yang penting grafik mana yang LEBIH TINGGI(relatif terhadap grafik lain), dan mana yang DI BAWAH.

Pada contoh yang dibahas, terlihat jelas bahwa pada ruas parabola terletak di atas garis lurus, oleh karena itu perlu dilakukan pengurangan dari

Solusi lengkapnya mungkin terlihat seperti ini:

Bentuk yang diinginkan dibatasi oleh parabola di atas dan garis lurus di bawah.
Di segmen tersebut, sesuai dengan rumus yang sesuai:

Menjawab:

Contoh 4

Hitung luas bangun yang dibatasi oleh garis , , , .

Larutan: Pertama, mari kita buat gambarnya:

Gambar yang luasnya perlu kita cari diberi warna biru(perhatikan baik-baik kondisinya - betapa terbatasnya angka tersebut!). Namun dalam prakteknya, karena kurang perhatian, sering muncul “kesalahan” sehingga perlu mencari luas bangun yang diarsir. hijau!

Contoh ini juga berguna karena menghitung luas suatu bangun menggunakan dua integral tertentu.

Benar-benar:

1) Pada ruas di atas sumbu terdapat grafik garis lurus;

2) Pada ruas di atas sumbu terdapat grafik hiperbola.

Jelas sekali bahwa area tersebut dapat (dan harus) ditambahkan, oleh karena itu:

Integral pasti. Cara menghitung luas suatu bangun

Mari kita beralih ke penerapan kalkulus integral. Dalam pelajaran ini kita akan menganalisis tugas yang umum dan paling umum – cara menggunakan integral tertentu untuk menghitung luas bangun datar. Akhirnya, mereka yang mencari makna dalam matematika tingkat tinggi – semoga menemukannya. Kau tak pernah tahu. Kita harus mendekatkannya dalam hidup area pondok pedesaan fungsi dasar dan mencari luasnya menggunakan integral tertentu.

Agar berhasil menguasai materi, Anda harus:

1) Memahami integral tak tentu setidaknya pada tingkat rata-rata. Oleh karena itu, orang bodoh harus membaca pelajarannya terlebih dahulu Bukan.

2) Mampu menerapkan rumus Newton-Leibniz dan menghitung integral tentu. Anda dapat menjalin hubungan persahabatan yang hangat dengan integral tertentu di halaman Integral pasti. Contoh solusi.

Sebenarnya, untuk mencari luas suatu bangun, Anda tidak memerlukan banyak pengetahuan tentang integral tak tentu dan integral pasti. Tugas “menghitung luas menggunakan integral tertentu” selalu melibatkan pembuatan gambar, jadi pengetahuan dan keterampilan menggambar Anda akan menjadi masalah yang jauh lebih mendesak. Berkaitan dengan hal tersebut, berguna untuk menyegarkan ingatan Anda tentang grafik fungsi dasar dasar, dan minimal dapat membuat garis lurus, parabola, dan hiperbola. Ini dapat dilakukan (bagi banyak orang, hal ini perlu) dengan menggunakan materi metodologis dan artikel tentang transformasi geometri graf.

Sebenarnya semua orang sudah familiar dengan tugas mencari luas menggunakan integral tertentu sejak sekolah, dan kita tidak akan membahasnya lebih jauh kurikulum sekolah. Artikel ini mungkin tidak ada sama sekali, tetapi faktanya masalahnya terjadi pada 99 kasus dari 100 kasus, ketika seorang siswa menderita sekolah yang dibenci dan dengan antusias menguasai mata pelajaran matematika tingkat tinggi.

Materi workshop ini disajikan secara sederhana, detail dan minim teori.

Mari kita mulai dengan trapesium melengkung.

Trapesium lengkung adalah bangun datar yang dibatasi oleh sumbu, garis lurus, dan grafik suatu fungsi kontinu pada suatu interval yang tidak berubah tanda pada interval tersebut. Biarkan angka ini ditemukan tidak kurang sumbu x:

Kemudian luas trapesium lengkung secara numerik sama dengan integral tertentu. Setiap integral tertentu (yang ada) mempunyai arti geometri yang sangat baik. Di pelajaran Integral pasti. Contoh solusi Saya mengatakan bahwa integral tertentu adalah bilangan. Dan sekarang saatnya menyatakan satu hal lagi fakta yang berguna. Dari sudut pandang geometri, integral tentu adalah AREA.

Itu adalah, integral tertentu (jika ada) secara geometris bersesuaian dengan luas suatu bangun tertentu. Misalnya, pertimbangkan integral tertentu. Integran mendefinisikan suatu kurva pada bidang yang terletak di atas sumbu (siapa pun dapat membuat gambar), dan integral tertentu itu sendiri secara numerik sama dengan luas trapesium lengkung yang bersangkutan.

Contoh 1

Ini adalah pernyataan tugas yang khas. Poin pertama dan terpenting dalam pengambilan keputusan adalah pembuatan gambar. Selain itu, gambarnya harus dibuat BENAR.

Saat membuat gambar, saya merekomendasikan urutan berikut: pertama lebih baik membuat semua garis lurus (jika ada) dan hanya Kemudian– parabola, hiperbola, grafik fungsi lainnya. Lebih menguntungkan untuk membuat grafik fungsi poin demi poin, teknik konstruksi titik demi titik dapat ditemukan pada bahan referensi Grafik dan sifat-sifat fungsi dasar. Di sana Anda juga dapat menemukan materi yang sangat berguna untuk pelajaran kita - cara cepat membuat parabola.

Dalam masalah ini, solusinya mungkin terlihat seperti ini.
Mari kita menggambarnya (perhatikan bahwa persamaan mendefinisikan sumbu):

Saya tidak akan membuat bayangan trapesium melengkung; di sini jelas area mana yang sedang kita bicarakan. Solusinya berlanjut seperti ini:

Pada segmen tersebut terdapat grafik fungsi di atas sumbu, Itu sebabnya:

Menjawab:

Yang mengalami kesulitan dalam menghitung integral tentu dan menerapkan rumus Newton-Leibniz , lihat kuliahnya Integral pasti. Contoh solusi.

Setelah tugas selesai, selalu berguna untuk melihat gambarnya dan mencari tahu apakah jawabannya nyata. Dalam hal ini, kami menghitung jumlah sel dalam gambar "dengan mata" - yah, akan ada sekitar 9, sepertinya benar. Sangat jelas bahwa jika kita mendapat, katakanlah, jawabannya: 20 unit persegi, maka jelas ada kesalahan yang terjadi di suatu tempat - 20 sel jelas tidak sesuai dengan gambar yang dimaksud, paling banyak selusin. Jika jawabannya negatif, maka tugas tersebut juga diselesaikan dengan salah.

Contoh 2

Menghitung luas bangun yang dibatasi oleh garis,, dan sumbu

Ini adalah contoh untuk keputusan independen. Solusi lengkap dan jawabannya di akhir pelajaran.

Apa yang harus dilakukan jika ada trapesium melengkung di bawah poros?

Contoh 3

Hitung luas bangun yang dibatasi garis dan sumbu koordinat.

Larutan: Mari kita membuat gambar:

Jika terdapat trapesium lengkung di bawah poros(atau setidaknya tidak lebih tinggi sumbu tertentu), maka luasnya dapat dicari dengan rumus:
Pada kasus ini:

Perhatian! Kedua jenis tugas ini tidak boleh disamakan:

1) Jika Anda diminta menyelesaikan integral tertentu tanpa makna geometri apa pun, maka integral tersebut mungkin negatif.

2) Jika diminta mencari luas suatu bangun dengan menggunakan integral tertentu, maka luasnya selalu positif! Itu sebabnya minus muncul pada rumus yang baru saja dibahas.

Dalam praktiknya, paling sering gambar tersebut terletak di setengah bidang atas dan bawah, dan oleh karena itu, dari soal sekolah yang paling sederhana, kita beralih ke contoh yang lebih bermakna.

Contoh 4

Hitunglah luas bangun datar yang dibatasi oleh garis , .

Artinya batas bawah integrasi adalah , batas atas integrasi adalah .
Jika memungkinkan, lebih baik tidak menggunakan cara ini..

Jauh lebih menguntungkan dan lebih cepat untuk membangun garis titik demi titik, dan batas integrasi menjadi jelas “dengan sendirinya”. Teknik konstruksi titik demi titik untuk berbagai grafik dibahas secara rinci dalam bantuan Grafik dan sifat-sifat fungsi dasar. Namun demikian, metode analitis untuk mencari limit terkadang masih harus digunakan jika, misalnya, grafiknya cukup besar, atau konstruksi detailnya tidak mengungkapkan limit integrasi (bisa berupa pecahan atau irasional). Dan kami juga akan mempertimbangkan contoh seperti itu.

Mari kita kembali ke tugas kita: lebih rasional untuk membuat garis lurus terlebih dahulu, baru kemudian parabola. Mari kita membuat gambarnya:

Saya ulangi bahwa ketika membangun secara pointwise, batas integrasi paling sering ditemukan “secara otomatis”.

Dan sekarang rumus kerjanya: Jika terdapat fungsi kontinu pada segmen tersebut lebih dari atau sama dengan suatu fungsi kontinu , maka luas bangun yang dibatasi oleh grafik fungsi tersebut dan garis , , dapat dicari dengan menggunakan rumus:

Pada contoh yang dibahas, terlihat jelas bahwa pada ruas parabola terletak di atas garis lurus, oleh karena itu perlu dilakukan pengurangan dari

Solusi lengkapnya mungkin terlihat seperti ini:

Bentuk yang diinginkan dibatasi oleh parabola di atas dan garis lurus di bawah.
Di segmen tersebut, sesuai dengan rumus yang sesuai:

Menjawab:

Faktanya, rumus sekolah untuk luas trapesium lengkung pada setengah bidang bawah (lihat contoh sederhana No. 3) adalah kasus spesial rumus . Karena sumbu ditentukan oleh persamaan, dan grafik fungsinya berada tidak lebih tinggi kapak, kalau begitu

Dan sekarang beberapa contoh untuk solusi Anda sendiri

Contoh 5

Contoh 6

Hitunglah luas bangun yang dibatasi oleh garis , .

Saat menyelesaikan soal penghitungan luas menggunakan integral tertentu, terkadang terjadi kejadian lucu. Gambarnya dibuat dengan benar, perhitungannya benar, tetapi karena kecerobohan... ditemukan luas bangun yang salah, inilah tepatnya yang dilakukan hambamu yang rendah hati beberapa kali. Di Sini kasus nyata dari kehidupan:

Contoh 7

Hitung luas bangun yang dibatasi oleh garis , , , .

Larutan: Pertama, mari kita buat gambarnya:

...Eh, gambarnya jelek sekali, tapi sepertinya semuanya bisa terbaca.

Gambar yang luasnya perlu kita cari diberi warna biru(perhatikan baik-baik kondisinya - betapa terbatasnya angka tersebut!). Namun dalam prakteknya, karena kurang perhatian, sering terjadi “kesalahan” sehingga Anda perlu mencari luas bangun yang diarsir warna hijau!

Contoh ini juga berguna karena menghitung luas suatu bangun menggunakan dua integral tertentu. Benar-benar:

1) Pada ruas di atas sumbu terdapat grafik garis lurus;

2) Pada ruas di atas sumbu terdapat grafik hiperbola.

Jelas sekali bahwa area tersebut dapat (dan harus) ditambahkan, oleh karena itu:

Menjawab:

Mari beralih ke tugas penting lainnya.

Contoh 8

Menghitung luas bangun yang dibatasi garis,
Mari kita sajikan persamaan dalam bentuk “sekolah” dan buatlah gambar poin demi poin:

Dari gambar tersebut terlihat jelas bahwa batas atas kita “baik”: .
Tapi berapa batas bawahnya?! Jelas bahwa ini bukan bilangan bulat, tapi apa itu? Mungkin ? Tapi di manakah jaminan bahwa gambar itu dibuat dengan akurasi yang sempurna, bisa jadi... Atau akarnya. Bagaimana jika kita salah membuat grafik?

Dalam kasus seperti itu, Anda harus meluangkan waktu tambahan dan memperjelas batasan integrasi secara analitis.

Mari kita cari titik potong garis lurus dan parabola.
Untuk melakukan ini, kita selesaikan persamaan:

,

Benar-benar, .

Penyelesaian selanjutnya adalah hal yang sepele, yang utama jangan sampai bingung dalam substitusi dan tanda; perhitungan di sini bukan yang paling sederhana.

Di segmen tersebut , menurut rumus yang sesuai:

Menjawab:

Nah, sebagai penutup pelajaran, mari kita lihat dua tugas yang lebih sulit.

Contoh 9

Hitung luas bangun yang dibatasi oleh garis , ,

Larutan: Mari kita gambarkan sosok ini dalam gambar.

Sial, saya lupa menandatangani jadwalnya, dan maaf, saya tidak ingin mengulang gambarnya. Bukan hari menggambar, singkatnya, hari ini adalah harinya =)

Untuk konstruksi poin demi poin yang perlu Anda ketahui penampilan sinusoidal (dan umumnya berguna untuk diketahui grafik semua fungsi dasar), serta beberapa nilai sinus, dapat ditemukan di tabel trigonometri. Dalam beberapa kasus (seperti dalam kasus ini), dimungkinkan untuk membuat gambar skema, di mana grafik dan batas integrasi pada dasarnya harus ditampilkan dengan benar.

Tidak ada masalah dengan batas integrasi di sini; mereka mengikuti langsung dari kondisi: “x” berubah dari nol menjadi “pi”. Mari kita buat keputusan lebih lanjut:

Pada segmen tersebut grafik fungsinya terletak di atas sumbu, oleh karena itu:

Pada artikel ini Anda akan mempelajari cara mencari luas bangun yang dibatasi garis dengan menggunakan perhitungan integral. Rumusan masalah seperti itu pertama kali kita jumpai di sekolah menengah, ketika kita baru saja menyelesaikan pembelajaran integral tertentu dan sekarang saatnya untuk memulai interpretasi geometri dari pengetahuan yang diperoleh dalam praktik.

Jadi, apa yang diperlukan agar berhasil menyelesaikan masalah mencari luas suatu bangun dengan menggunakan integral:

Kemampuan membuat gambar yang kompeten;
Kemampuan menyelesaikan integral tertentu dengan menggunakan rumus terkenal Newton-Leibniz;
Kemampuan untuk "melihat" solusi yang lebih menguntungkan - mis. memahami bagaimana dalam satu atau lain kasus akan lebih mudah untuk melakukan integrasi? Sepanjang sumbu x (OX) atau sumbu y (OY)?
Nah, bagaimana jadinya kita tanpa perhitungan yang benar?) Hal ini termasuk memahami cara menyelesaikan jenis integral lainnya dan perhitungan numerik yang benar.

Algoritma penyelesaian masalah menghitung luas bangun yang dibatasi garis:

1. Kami sedang membuat gambar. Dianjurkan untuk melakukan ini pada selembar kertas kotak-kotak, dalam skala besar. Kami menandatangani nama fungsi ini dengan pensil di atas setiap grafik. Penandatanganan grafik dilakukan semata-mata untuk memudahkan perhitungan selanjutnya. Setelah menerima grafik dari angka yang diinginkan, dalam banyak kasus akan segera jelas batas integrasi mana yang akan digunakan. Inilah cara kami memecahkan masalah tersebut metode grafis. Namun, nilai batasnya bersifat pecahan atau irasional. Oleh karena itu, Anda dapat membuat perhitungan tambahan, lanjutkan ke langkah kedua.

2. Jika batas integrasi tidak ditentukan secara eksplisit, maka kita mencari titik potong grafik satu sama lain dan melihat apakah kita solusi grafis dengan analitis.

3. Selanjutnya, Anda perlu menganalisis gambarnya. Tergantung pada bagaimana grafik fungsi disusun, ada pendekatan yang berbeda untuk mencari luas suatu bangun. Mari kita pertimbangkan contoh yang berbeda tentang mencari luas suatu bangun dengan menggunakan integral.

3.1. Versi soal yang paling klasik dan paling sederhana adalah ketika Anda perlu mencari luas trapesium lengkung. Apa itu trapesium lengkung? Ini adalah bangun datar yang dibatasi oleh sumbu x (kamu = 0), lurus x = a, x = b dan setiap kurva kontinu pada interval dari A sebelum B. Apalagi angka ini non-negatif dan terletak tidak di bawah sumbu x. Dalam hal ini, luas trapesium lengkung secara numerik sama dengan integral tertentu, dihitung menggunakan rumus Newton-Leibniz:

Contoh 1 y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Garis manakah yang dibatasi oleh bangun tersebut? Kami memiliki parabola kamu = x2 – 3x + 3, yang terletak di atas sumbu OH, itu non-negatif, karena semua titik parabola ini bernilai positif. Selanjutnya diberi garis lurus x = 1 Dan x = 3, yang berjalan sejajar dengan sumbu kamu, adalah garis batas gambar di kiri dan kanan. Dengan baik kamu = 0, itu juga merupakan sumbu x, yang membatasi gambar dari bawah. Gambar yang dihasilkan diarsir, seperti terlihat pada gambar di sebelah kiri. Dalam hal ini, Anda dapat segera mulai menyelesaikan masalah. Di hadapan kita adalah contoh sederhana trapesium lengkung, yang kemudian kita selesaikan menggunakan rumus Newton-Leibniz.

3.2. Pada paragraf 3.1 sebelumnya, kita memeriksa kasus ketika trapesium lengkung terletak di atas sumbu x. Sekarang perhatikan kasus ketika kondisi masalahnya sama, kecuali fungsinya terletak di bawah sumbu x. Sebuah minus ditambahkan ke rumus standar Newton-Leibniz. Kami akan mempertimbangkan cara mengatasi masalah seperti itu di bawah.

Contoh 2 . Hitung luas bangun yang dibatasi garis y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.

Dalam contoh ini kita memiliki parabola kamu = x2 + 6x + 2, yang berasal dari sumbu OH, lurus x = -4, x = -1, y = 0. Di Sini kamu = 0 membatasi angka yang diinginkan dari atas. Langsung x = -4 Dan x = -1 ini adalah batas di mana integral tentu akan dihitung. Prinsip penyelesaian masalah mencari luas suatu bangun hampir seluruhnya bertepatan dengan contoh nomor 1. Satu-satunya perbedaan adalah bahwa fungsi yang diberikan tidak positif, dan juga kontinu pada interval [-4; -1] . Apa maksudnya tidak positif? Seperti dapat dilihat dari gambar, angka yang terletak di dalam x tertentu hanya memiliki koordinat “negatif”, yang perlu kita lihat dan ingat saat menyelesaikan soal. Kita mencari luas bangun menggunakan rumus Newton-Leibniz, hanya dengan tanda minus di awal.

Artikel ini belum selesai.

Larutan.

Poin pertama dan terpenting dalam pengambilan keputusan adalah pembuatan gambar.

Mari kita membuat gambarnya:

Persamaannya kamu=0 mengatur sumbu “x”;

- x=-2 Dan x=1 - lurus, sejajar dengan sumbu universitas;

- kamu=x 2 +2 - parabola yang cabang-cabangnya mengarah ke atas, dengan titik sudut di titik (0;2).

Komentar. Untuk membuat parabola, cukup mencari titik potongnya dengan sumbu koordinat, yaitu. menempatkan x=0 carilah perpotongan dengan sumbunya kamu dan mengambil keputusan yang sesuai persamaan kuadrat, temukan perpotongan dengan sumbu Oh .

Titik puncak parabola dapat dicari dengan menggunakan rumus:

Anda juga dapat membuat garis titik demi titik.

Pada interval [-2;1] grafik fungsi kamu=x 2 +2 terletak di atas sumbu Sapi , Itu sebabnya:

Menjawab: S =9 unit persegi

Setelah tugas selesai, selalu berguna untuk melihat gambarnya dan mencari tahu apakah jawabannya nyata. Dalam hal ini, "dengan mata" kita menghitung jumlah sel dalam gambar - yah, akan ada sekitar 9, tampaknya benar. Sangat jelas bahwa jika kita mendapat, katakanlah, jawabannya: 20 unit persegi, maka jelas ada kesalahan yang terjadi di suatu tempat - 20 sel jelas tidak sesuai dengan gambar yang dimaksud, paling banyak selusin. Jika jawabannya negatif, maka tugas tersebut juga diselesaikan dengan salah.

Apa yang harus dilakukan jika ada trapesium melengkung di bawah poros Oh?

B) Hitung luas bangun yang dibatasi oleh garis kamu=-ex , x=1 dan koordinat sumbu.

Larutan.

Mari kita membuat gambar.

Jika trapesium melengkung sepenuhnya terletak di bawah sumbu Oh , maka luasnya dapat dicari dengan rumus:

Menjawab: S=(e-1) unit persegi" 1,72 unit persegi

Perhatian! Kedua jenis tugas ini tidak boleh disamakan:

1) Jika Anda diminta menyelesaikan integral tertentu tanpa makna geometri apa pun, maka integral tersebut mungkin negatif.

2) Jika diminta mencari luas suatu bangun dengan menggunakan integral tertentu, maka luasnya selalu positif! Itu sebabnya minus muncul pada rumus yang baru saja dibahas.

Dalam praktiknya, paling sering gambar tersebut terletak di setengah bidang atas dan bawah.

Dengan) Temukan luas bangun datar yang dibatasi oleh garis y=2x-x 2, y=-x.

Larutan.

Pertama, Anda perlu menyelesaikan gambarnya. Secara umum, ketika membuat gambar dalam soal luas, kita paling tertarik pada titik potong garis. Mari kita cari titik potong parabola dan lurus Hal ini dapat dilakukan dengan dua cara. Metode pertama adalah analitis.

Kami memecahkan persamaan:

Artinya batas bawah integrasi sebuah=0 , batas atas integrasi b=3 .

Kita buat garis-garis berikut: 1. Parabola - titik sudut di titik (1;1); persimpangan sumbu Oh - poin (0;0) dan (0;2). 2. Garis lurus - garis bagi sudut koordinat ke-2 dan ke-4. Dan sekarang Perhatian! Jika pada segmen [ a;b] beberapa fungsi berkelanjutan f(x) lebih besar dari atau sama dengan suatu fungsi kontinu g(x), maka luas bangun yang bersesuaian dapat dicari dengan menggunakan rumus: .

Dan tidak masalah di mana letak gambarnya - di atas sumbu atau di bawah sumbu, tetapi yang penting adalah grafik mana yang LEBIH TINGGI (relatif terhadap grafik lain), dan mana yang DI BAWAH. Pada contoh yang dibahas, terlihat jelas bahwa pada ruas parabola terletak di atas garis lurus, oleh karena itu perlu dilakukan pengurangan dari

Anda dapat membuat garis titik demi titik, dan batas integrasi menjadi jelas “dengan sendirinya”. Namun demikian, metode analitis untuk mencari limit terkadang masih harus digunakan jika, misalnya, grafiknya cukup besar, atau konstruksi detailnya tidak mengungkapkan limit integrasi (bisa berupa pecahan atau irasional).

Bentuk yang diinginkan dibatasi oleh parabola di atas dan garis lurus di bawah.

Di segmen tersebut , menurut rumus yang sesuai:

Menjawab: S =4,5 unit persegi

Pada bagian sebelumnya, yang membahas tentang analisis makna geometris integral tertentu, kami menerima sejumlah rumus untuk menghitung luas trapesium lengkung:

Yandex.RTB RA-339285-1

S (G) = ∫ a b f (x) d x untuk fungsi kontinu dan non-negatif y = f (x) pada interval [ a ; B ] ,

S (G) = - ∫ a b f (x) d x untuk fungsi kontinu dan non-positif y = f (x) pada interval [ a ; B ] .

Rumus ini dapat diterapkan untuk menyelesaikannya tugas-tugas sederhana. Pada kenyataannya, kita sering kali harus bekerja dengan figur yang lebih kompleks. Dalam hal ini, bagian ini akan kami persembahkan untuk analisis algoritma untuk menghitung luas bangun yang dibatasi oleh fungsi dalam bentuk eksplisit, yaitu. seperti y = f(x) atau x = g(y).

Dalil

Misalkan fungsi y = f 1 (x) dan y = f 2 (x) terdefinisi dan kontinu pada interval [ a ; b ] , dan f 1 (x) ≤ f 2 (x) untuk nilai apa pun x dari [ a ; B ] . Maka rumus menghitung luas bangun G yang dibatasi oleh garis x = a, x = b, y = f 1 (x) dan y = f 2 (x) akan menjadi S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x .

Rumus serupa juga berlaku untuk luas bangun yang dibatasi oleh garis y = c, y = d, x = g 1 (y) dan x = g 2 (y): S (G) = ∫ c d ( g 2 (kamu) - g 1 (kamu) d kamu .

Bukti

Mari kita lihat tiga kasus yang rumusnya valid.

Dalam kasus pertama, dengan mempertimbangkan sifat penjumlahan luas, jumlah luas gambar asli G dan trapesium lengkung G 1 sama dengan luas gambar G 2. Artinya

Jadi, S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) dx.

Kita dapat melakukan transisi terakhir dengan menggunakan sifat ketiga dari integral tertentu.

Dalam kasus kedua, persamaannya benar: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 ( x) - f 1 (x)) dx

Ilustrasi grafisnya akan terlihat seperti:

Jika kedua fungsi tersebut non-positif, diperoleh: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x . Ilustrasi grafisnya akan terlihat seperti:

Mari kita lanjutkan untuk mempertimbangkannya kasus umum, ketika y = f 1 (x) dan y = f 2 (x) memotong sumbu O x.

Titik potongnya kita nyatakan sebagai x i, i = 1, 2, . . . , n - 1 . Titik-titik ini membagi segmen [a; b ] menjadi n bagian x i - 1 ; x saya, saya = 1, 2, . . . , n, dimana α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

Karena itu,

S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f ( x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x

Kita dapat melakukan transisi terakhir menggunakan sifat kelima dari integral tertentu.

Mari kita ilustrasikan kasus umum pada grafik.

Rumus S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x dianggap terbukti.

Sekarang mari kita beralih ke menganalisis contoh penghitungan luas bangun yang dibatasi oleh garis y = f (x) dan x = g (y).

Kami akan memulai pertimbangan kami terhadap salah satu contoh dengan membuat grafik. Gambar akan memungkinkan kita untuk mewakili angka yang kompleks sebagai kesatuan tokoh-tokoh yang lebih sederhana. Jika membuat grafik dan gambar menyebabkan kesulitan bagi Anda, Anda dapat mempelajari bagian dasar fungsi dasar, transformasi geometri grafik fungsi, serta konstruksi grafik dalam mempelajari suatu fungsi.

Contoh 1

Perlu ditentukan luas bangun yang dibatasi oleh parabola y = - x 2 + 6 x - 5 dan garis lurus y = - 1 3 x - 1 2, x = 1, x = 4.

Larutan

Mari kita menggambar garis pada grafik dalam sistem koordinat kartesius.

Di segmen [ 1 ; 4 ] grafik parabola y = - x 2 + 6 x - 5 terletak di atas garis lurus y = - 1 3 x - 1 2. Sehubungan dengan itu, untuk memperoleh jawabannya kita menggunakan rumus yang telah diperoleh sebelumnya, serta cara menghitung integral tertentu dengan menggunakan rumus Newton-Leibniz:

S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13

Jawaban: S(G) = 13

Mari kita lihat contoh yang lebih kompleks.

Contoh 2

Kita perlu menghitung luas bangun yang dibatasi oleh garis y = x + 2, y = x, x = 7.

Larutan

Dalam hal ini, kita hanya mempunyai satu garis lurus yang terletak sejajar dengan sumbu x. Ini adalah x = 7. Hal ini mengharuskan kita untuk menemukan sendiri batas integrasi kedua.

Mari kita membuat grafik dan memplot garis-garis yang diberikan dalam rumusan masalah di atasnya.

Dengan adanya grafik di depan mata kita, kita dapat dengan mudah menentukan bahwa batas bawah integrasi adalah absis titik potong grafik garis lurus y = x dan setengah parabola y = x + 2. Untuk mencari absis kita menggunakan persamaan:

y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O DZ x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O DZ

Ternyata absis titik potongnya adalah x = 2.

Kami menarik perhatian Anda pada fakta bahwa di contoh umum pada gambar, garis y = x + 2, y = x berpotongan di titik (2; 2), sehingga perhitungan mendetail seperti itu mungkin tampak tidak diperlukan. Kami telah memberikan solusi terperinci di sini hanya karena lebih banyak lagi kasus-kasus sulit solusinya mungkin tidak begitu jelas. Artinya, selalu lebih baik menghitung koordinat perpotongan garis secara analitis.

Pada interval [ 2 ; 7] grafik fungsi y = x terletak di atas grafik fungsi y = x + 2. Mari kita terapkan rumus untuk menghitung luas:

S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 · (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 · (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6

Jawaban: S (G) = 59 6

Contoh 3

Kita perlu menghitung luas bangun yang dibatasi oleh grafik fungsi y = 1 x dan y = - x 2 + 4 x - 2.

Larutan

Mari kita gambarkan garis pada grafik.

Mari kita tentukan batasan integrasi. Caranya, kita menentukan koordinat titik potong garis dengan menyamakan ekspresi 1 x dan - x 2 + 4 x - 2. Asalkan x bukan nol, persamaan 1 x = - x 2 + 4 x - 2 menjadi ekuivalen dengan persamaan derajat ketiga - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 = 0 dengan koefisien bilangan bulat. Untuk menyegarkan ingatan Anda tentang algoritme penyelesaian persamaan tersebut, kita dapat merujuk ke bagian “Menyelesaikan persamaan kubik”.

Akar persamaan ini adalah x = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0.

Membagi ekspresi - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 dengan binomial x - 1, kita mendapatkan: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0

Kita dapat mencari akar-akar yang tersisa dari persamaan x 2 - 3 x - 1 = 0:

x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 · 1 · (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3; x 2 = 3 - 13 2 ≈ - 0 . 3

Kami menemukan intervalnya x ∈ 1; 3 + 13 2, dimana gambar G terdapat di atas garis biru dan di bawah garis merah. Ini membantu kita menentukan luas gambar:

S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Jawaban: S (G) = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Contoh 4

Perlu dilakukan perhitungan luas bangun yang dibatasi oleh kurva y = x 3, y = - log 2 x + 1 dan sumbu absis.

Larutan

Mari kita gambarkan semua garis pada grafik. Grafik fungsi y = - log 2 x + 1 dapat kita peroleh dari grafik y = log 2 x jika kita menempatkannya secara simetris terhadap sumbu x dan memindahkannya ke atas satu satuan. Persamaan sumbu x adalah y = 0.

Mari kita tandai titik potong garis tersebut.

Terlihat dari gambar, grafik fungsi y = x 3 dan y = 0 berpotongan di titik (0; 0). Hal ini terjadi karena x = 0 merupakan satu-satunya akar real dari persamaan x 3 = 0.

x = 2 merupakan akar tunggal persamaan - log 2 x + 1 = 0, jadi grafik fungsi y = - log 2 x + 1 dan y = 0 berpotongan di titik (2; 0).

x = 1 adalah satu-satunya akar persamaan x 3 = - log 2 x + 1 . Sehubungan dengan itu, grafik fungsi y = x 3 dan y = - log 2 x + 1 berpotongan di titik (1; 1). Pernyataan terakhir mungkin tidak jelas, tetapi persamaan x 3 = - log 2 x + 1 tidak boleh memiliki lebih dari satu akar, karena fungsi y = x 3 meningkat tajam, dan fungsi y = - log 2 x + 1 adalah sangat menurun.

Solusi selanjutnya melibatkan beberapa pilihan.

Pilihan 1

Kita dapat membayangkan bangun G sebagai hasil penjumlahan dua buah trapesium lengkung yang terletak di atas sumbu x, yang pertama terletak di bawah garis tengah ruas x ∈ 0; 1, dan garis kedua di bawah garis merah pada ruas x ∈ 1; 2. Artinya luasnya akan sama dengan S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x .

Opsi No.2

Gambar G dapat direpresentasikan sebagai selisih dua angka, yang pertama terletak di atas sumbu x dan di bawah garis biru pada ruas x ∈ 0; 2, dan garis kedua antara garis merah dan biru pada ruas x ∈ 1; 2. Hal ini memungkinkan kita untuk mencari luas sebagai berikut:

S (G) = ∫ 0 2 x 3 dx - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x

Dalam hal ini, untuk mencari luasnya, Anda harus menggunakan rumus berbentuk S (G) = ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y. Faktanya, garis yang membatasi gambar tersebut dapat direpresentasikan sebagai fungsi dari argumen y.

Mari kita selesaikan persamaan y = x 3 dan - log 2 x + 1 terhadap x:

y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y

Kami mendapatkan area yang dibutuhkan:

S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4

Jawaban: S (G) = 1 ln 2 - 1 4

Contoh 5

Kita perlu menghitung luas bangun yang dibatasi oleh garis y = x, y = 2 3 x - 3, y = - 1 2 x + 4.

Larutan

Dengan garis merah kita memplot garis yang didefinisikan oleh fungsi y = x. Kita menggambar garis y = - 1 2 x + 4 dengan warna biru, dan garis y = 2 3 x - 3 dengan warna hitam.

Mari kita tandai titik persimpangannya.

Mari kita cari titik potong grafik fungsi y = x dan y = - 1 2 x + 4:

x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 = 144 x 1 = 20 + 144 2 = 16 ; x 2 = 20 - 144 2 = 4 Periksa: x 1 = 16 = 4, - 1 2 x 1 + 4 = - 1 2 16 + 4 = - 4 ⇒ x 1 = 16 tidak Apakah penyelesaian persamaan x 2 = 4 = 2, - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 adalah penyelesaian persamaan ⇒ (4; 2) titik potong i y = x dan y = - 1 2 x + 4

Mari kita cari titik potong grafik fungsi y = x dan y = 2 3 x - 3:

x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 Periksa: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 - 3 = 3 ⇒ x 1 = 9 adalah penyelesaian persamaan ⇒ (9 ; 3) titik a s y = x dan y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 Persamaan tersebut tidak mempunyai penyelesaian

Cari titik potong garis y = - 1 2 x + 4 dan y = 2 3 x - 3:

1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 ; 1 ) titik potong y = - 1 2 x + 4 dan y = 2 3 x - 3

Metode No.1

Mari kita bayangkan luas bangun yang diinginkan sebagai jumlah luas masing-masing bangun.

Maka luas gambar tersebut adalah:

S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3

Metode nomor 2

Luas bangun asli dapat direpresentasikan sebagai penjumlahan dari dua bangun lainnya.

Kemudian kita selesaikan persamaan garis relatif terhadap x, dan baru setelah itu kita terapkan rumus menghitung luas bangun tersebut.

y = x ⇒ x = y 2 garis merah y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 garis hitam y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i a l i n e

Jadi luasnya adalah:

S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3

Seperti yang Anda lihat, nilainya sama.

Jawaban: S (G) = 11 3

Hasil

Untuk mencari luas suatu bangun datar yang dibatasi oleh garis-garis tertentu, kita perlu membuat garis-garis pada suatu bidang, mencari titik potongnya, dan menerapkan rumus untuk mencari luasnya. Di bagian ini, kami memeriksa varian tugas yang paling umum.

Jika Anda melihat kesalahan pada teks, silakan sorot dan tekan Ctrl+Enter