Pada artikel ini Anda akan belajar cara mencari luas suatu bangun, dibatasi oleh garis, menggunakan perhitungan menggunakan integral. Rumusan masalah seperti itu pertama kali kita jumpai di sekolah menengah, ketika kita baru saja menyelesaikan pembelajaran integral tertentu dan sekarang saatnya untuk memulai interpretasi geometri dari pengetahuan yang diperoleh dalam praktik.
Jadi, apa yang diperlukan agar berhasil menyelesaikan masalah mencari luas suatu bangun menggunakan integral:
- Kemampuan membuat gambar yang kompeten;
- Keterampilan memecahkan integral tertentu dengan menggunakan rumus terkenal Newton-Leibniz;
- Kemampuan untuk "melihat" solusi yang lebih menguntungkan - mis. memahami bagaimana akan lebih mudah untuk melakukan integrasi dalam kasus tertentu? Sepanjang sumbu x (OX) atau sumbu y (OY)?
- Nah, bagaimana jadinya kita tanpa perhitungan yang benar?) Hal ini termasuk memahami cara menyelesaikan jenis integral lainnya dan perhitungan numerik yang benar.
Algoritma penyelesaian masalah menghitung luas bangun yang dibatasi garis:
1. Kami sedang membuat gambar. Dianjurkan untuk melakukan ini pada selembar kertas kotak-kotak, dalam skala besar. Kami menandatangani nama fungsi ini dengan pensil di atas setiap grafik. Penandatanganan grafik dilakukan semata-mata untuk memudahkan perhitungan selanjutnya. Setelah menerima grafik dari angka yang diinginkan, dalam banyak kasus akan segera jelas batas integrasi mana yang akan digunakan. Inilah cara kami memecahkan masalah tersebut metode grafis. Namun, nilai batasnya bersifat pecahan atau irasional. Oleh karena itu, Anda dapat membuat perhitungan tambahan, lanjutkan ke langkah kedua.
2. Jika batas integrasi tidak ditentukan secara eksplisit, maka kita mencari titik potong grafik satu sama lain dan melihat apakah kita solusi grafis dengan analitis.
3. Selanjutnya, Anda perlu menganalisis gambarnya. Tergantung pada bagaimana grafik fungsi disusun, ada pendekatan yang berbeda untuk mencari luas suatu bangun. Mari kita pertimbangkan contoh yang berbeda tentang mencari luas suatu bangun dengan menggunakan integral.
3.1. Versi soal yang paling klasik dan paling sederhana adalah ketika Anda perlu mencari luas trapesium lengkung. Apa itu trapesium lengkung? Ini adalah bangun datar yang dibatasi oleh sumbu x (kamu = 0), lurus x = a, x = b dan setiap kurva kontinu pada interval dari A sebelum B. Apalagi angka ini non-negatif dan terletak tidak di bawah sumbu x. Dalam hal ini, luas trapesium lengkung secara numerik sama dengan integral tertentu, dihitung menggunakan rumus Newton-Leibniz:
Contoh 1 y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.
Garis manakah yang dibatasi oleh bangun tersebut? Kami memiliki parabola kamu = x2 – 3x + 3, yang terletak di atas sumbu OH, itu non-negatif, karena semua titik parabola ini bernilai positif. Selanjutnya diberi garis lurus x = 1 Dan x = 3, yang berjalan sejajar dengan sumbu kamu, adalah garis batas gambar di kiri dan kanan. Dengan baik kamu = 0, itu juga merupakan sumbu x, yang membatasi gambar dari bawah. Gambar yang dihasilkan diarsir, seperti terlihat pada gambar di sebelah kiri. DI DALAM pada kasus ini, Anda dapat segera mulai memecahkan masalah tersebut. Di hadapan kita adalah contoh sederhana trapesium lengkung, yang kemudian kita selesaikan menggunakan rumus Newton-Leibniz.
3.2. Pada paragraf 3.1 sebelumnya, kita memeriksa kasus ketika trapesium lengkung terletak di atas sumbu x. Sekarang perhatikan kasus ketika kondisi masalahnya sama, kecuali fungsinya terletak di bawah sumbu x. Sebuah minus ditambahkan ke rumus standar Newton-Leibniz. Kami akan mempertimbangkan cara mengatasi masalah seperti itu di bawah.
Contoh 2 . Hitung luas bangun yang dibatasi garis y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.
Dalam contoh ini kita memiliki parabola kamu = x2 + 6x + 2, yang berasal dari sumbu OH, lurus x = -4, x = -1, y = 0. Di Sini kamu = 0 membatasi angka yang diinginkan dari atas. Langsung x = -4 Dan x = -1 ini adalah batas di mana integral tentu akan dihitung. Prinsip penyelesaian masalah mencari luas suatu bangun hampir seluruhnya bertepatan dengan contoh nomor 1. Satu-satunya perbedaan adalah bahwa fungsi yang diberikan tidak positif, dan juga kontinu pada interval [-4; -1] . Apa maksudnya tidak positif? Seperti dapat dilihat dari gambar, angka yang terletak di dalam x tertentu hanya memiliki koordinat “negatif”, yang perlu kita lihat dan ingat saat menyelesaikan soal. Kita mencari luas bangun menggunakan rumus Newton-Leibniz, hanya dengan tanda minus di awal.
Artikel ini belum selesai.
A)
Larutan.
Poin pertama dan terpenting dalam pengambilan keputusan adalah pembuatan gambar.
Mari kita membuat gambarnya:
Persamaannya kamu=0 mengatur sumbu “x”;
- x=-2 Dan x=1 - lurus, sejajar dengan sumbu universitas;
- kamu=x 2 +2 - parabola yang cabang-cabangnya mengarah ke atas, dengan titik sudut di titik (0;2).
Komentar. Untuk membuat parabola, cukup mencari titik potongnya dengan sumbu koordinat, yaitu. menempatkan x=0 carilah perpotongan dengan sumbunya kamu dan mengambil keputusan yang sesuai persamaan kuadrat, temukan perpotongan dengan sumbu Oh .
Titik puncak parabola dapat dicari dengan menggunakan rumus: 
Anda juga dapat membuat garis titik demi titik.
Pada interval [-2;1] grafik fungsi kamu=x 2 +2 terletak di atas sumbu Sapi , Itu sebabnya:
Menjawab: S =9 unit persegi
Setelah tugas selesai, selalu berguna untuk melihat gambarnya dan mencari tahu apakah jawabannya nyata. Dalam hal ini, "dengan mata" kita menghitung jumlah sel dalam gambar - yah, akan ada sekitar 9, tampaknya benar. Sangat jelas jika kita mendapat, katakanlah, jawabannya: 20 satuan persegi, maka jelas ada kesalahan yang terjadi di suatu tempat - 20 sel jelas tidak sesuai dengan gambar yang dimaksud, paling banyak selusin. Jika jawabannya negatif, maka tugas tersebut juga diselesaikan dengan salah.
Apa yang harus dilakukan jika ada trapesium melengkung di bawah poros Oh?
B) Hitung luas bangun yang dibatasi garis kamu=-ex , x=1 dan koordinat sumbu.
Larutan.
Mari kita membuat gambar.
Jika trapesium melengkung sepenuhnya terletak di bawah sumbu Oh , maka luasnya dapat dicari dengan rumus:
Menjawab: S=(e-1) unit persegi" 1,72 unit persegi
Perhatian! Kedua jenis tugas ini tidak boleh disamakan:
1) Jika Anda diminta menyelesaikan integral tertentu tanpa makna geometri apa pun, maka integral tersebut mungkin negatif.
2) Jika diminta mencari luas suatu bangun dengan menggunakan integral tertentu, maka luasnya selalu positif! Itu sebabnya minus muncul pada rumus yang baru saja dibahas.
Dalam praktiknya, paling sering gambar tersebut terletak di setengah bidang atas dan bawah.
Dengan) Temukan luas bangun datar yang dibatasi oleh garis y=2x-x 2, y=-x.
Larutan.
Pertama, Anda perlu menyelesaikan gambarnya. Secara umum, ketika membuat gambar dalam soal luas, kita paling tertarik pada titik potong garis. Mari kita cari titik potong parabola 
dan lurus 
Hal ini dapat dilakukan dengan dua cara. Metode pertama adalah analitis.
Kami memecahkan persamaan:
Artinya batas bawah integrasi sebuah=0 , batas atas integrasi b=3 .
|
Kami sedang membangun garis yang diberikan: 1. Parabola - titik puncak di titik (1;1); persimpangan sumbu Oh - poin (0;0) dan (0;2). 2. Garis lurus - garis bagi sudut koordinat ke-2 dan ke-4. Dan sekarang Perhatian! Jika pada segmen [ a;b] beberapa fungsi berkelanjutan f(x) lebih besar atau sama dengan beberapa fungsi berkelanjutan g(x), maka luas bangun yang bersesuaian dapat dicari dengan menggunakan rumus: Dan tidak masalah di mana letak gambarnya - di atas sumbu atau di bawah sumbu, tetapi yang penting adalah grafik mana yang LEBIH TINGGI (relatif terhadap grafik lain), dan mana yang DI BAWAH. Pada contoh yang dibahas, terlihat jelas bahwa pada ruas parabola terletak di atas garis lurus, oleh karena itu perlu dilakukan pengurangan dari |
.Anda dapat membuat garis titik demi titik, dan batas integrasi menjadi jelas “dengan sendirinya”. Namun demikian, metode analitis untuk mencari limit terkadang masih harus digunakan jika, misalnya, grafiknya cukup besar, atau konstruksi detailnya tidak mengungkapkan limit integrasi (bisa berupa pecahan atau irasional).
Bentuk yang diinginkan dibatasi oleh parabola di atas dan garis lurus di bawah.
Di segmen tersebut 
, menurut rumus yang sesuai:
Menjawab: S =4,5 unit persegi
Sebenarnya, untuk mencari luas suatu bangun, Anda tidak memerlukan banyak pengetahuan tentang integral tak tentu dan integral pasti. Tugas “menghitung luas menggunakan integral tertentu” selalu melibatkan pembuatan gambar, masih banyak lagi masalah topikal akan menjadi pengetahuan dan keterampilan Anda dalam menggambar. Dalam hal ini, berguna untuk menyegarkan ingatan Anda tentang grafik-grafik utama fungsi dasar, dan minimal mampu membuat garis lurus dan hiperbola.
Trapesium lengkung adalah bangun datar yang dibatasi oleh sumbu, garis lurus, dan grafik fungsi kontinu pada suatu ruas yang tidak berubah tanda pada interval tersebut. Biarkan angka ini ditemukan tidak kurang sumbu x:
Kemudian luas trapesium lengkung secara numerik sama dengan integral tertentu. Integral pasti apa pun (yang ada) mempunyai nilai yang sangat baik makna geometris.
Dilihat dari geometri, integral tentu adalah AREA.
Itu adalah, integral tertentu (jika ada) secara geometris bersesuaian dengan luas bangun tertentu. Misalnya, pertimbangkan integral tertentu. Integran mendefinisikan suatu kurva pada bidang yang terletak di atas sumbu (siapa pun dapat membuat gambar), dan integral tertentu itu sendiri secara numerik sama dengan luas trapesium lengkung yang bersangkutan.
Contoh 1
Ini adalah pernyataan tugas yang khas. Poin pertama dan terpenting dalam pengambilan keputusan adalah pembuatan gambar. Selain itu, gambarnya harus dibuat BENAR.
Saat membuat gambar, saya merekomendasikan urutan berikut: pertama lebih baik membuat semua garis lurus (jika ada) dan hanya Kemudian- parabola, hiperbola, grafik fungsi lainnya. Lebih menguntungkan untuk membuat grafik fungsi poin demi poin.
Dalam masalah ini, solusinya mungkin terlihat seperti ini.
Mari kita menggambarnya (perhatikan bahwa persamaan mendefinisikan sumbu):
Pada segmen tersebut terdapat grafik fungsi di atas sumbu, Itu sebabnya:
Menjawab:
Setelah tugas selesai, selalu berguna untuk melihat gambarnya dan mencari tahu apakah jawabannya nyata. Dalam hal ini, "dengan mata" kita menghitung jumlah sel dalam gambar - yah, akan ada sekitar 9, tampaknya benar. Sangat jelas bahwa jika kita mendapat, katakanlah, jawabannya: 20 unit persegi, maka jelas ada kesalahan yang terjadi di suatu tempat - 20 sel jelas tidak sesuai dengan gambar yang dimaksud, paling banyak selusin. Jika jawabannya negatif, maka tugas tersebut juga diselesaikan dengan salah.
Contoh 3
Hitung luas bangun yang dibatasi garis dan sumbu koordinat.
Larutan: Mari kita membuat gambar:
Jika terdapat trapesium lengkung di bawah poros(atau setidaknya tidak lebih tinggi sumbu tertentu), maka luasnya dapat dicari dengan rumus:
Pada kasus ini:
Perhatian! Kedua jenis tugas ini tidak boleh disamakan:
1) Jika Anda diminta menyelesaikan integral tertentu tanpa makna geometri apa pun, maka integral tersebut mungkin negatif.
2) Jika diminta mencari luas suatu bangun dengan menggunakan integral tertentu, maka luasnya selalu positif! Itu sebabnya minus muncul pada rumus yang baru saja dibahas.
Dalam praktiknya, paling sering gambar tersebut terletak di setengah bidang atas dan bawah, dan oleh karena itu, dari soal sekolah yang paling sederhana, kita beralih ke contoh yang lebih bermakna.
Contoh 4
Hitunglah luas bangun datar yang dibatasi oleh garis , .
Larutan: Pertama, Anda perlu menyelesaikan gambarnya. Secara umum, ketika membuat gambar dalam soal luas, kita paling tertarik pada titik potong garis. Mari kita cari titik potong parabola dan garis lurus. Hal ini dapat dilakukan dengan dua cara. Metode pertama adalah analitis. Kami memecahkan persamaan:
Artinya batas bawah integrasi adalah , batas atas integrasi adalah .
Jika memungkinkan, lebih baik tidak menggunakan cara ini..
Jauh lebih menguntungkan dan lebih cepat untuk membangun garis titik demi titik, dan batas integrasi menjadi jelas “dengan sendirinya”. Namun demikian, metode analitis untuk mencari limit terkadang masih harus digunakan jika, misalnya, grafiknya cukup besar, atau konstruksi detailnya tidak mengungkapkan limit integrasi (bisa berupa pecahan atau irasional). Dan kami juga akan mempertimbangkan contoh seperti itu.
Mari kita kembali ke tugas kita: lebih rasional untuk membuat garis lurus terlebih dahulu, baru kemudian parabola. Mari kita membuat gambarnya:
Dan sekarang formula kerjanya: Jika terdapat fungsi kontinu pada segmen tersebut lebih dari atau sama dengan suatu fungsi kontinu , maka luas bangun yang dibatasi oleh grafik fungsi tersebut dan garis , , dapat dicari dengan menggunakan rumus: 
Di sini Anda tidak perlu lagi memikirkan di mana letak gambar tersebut - di atas sumbu atau di bawah sumbu, dan, secara kasar, yang penting grafik mana yang LEBIH TINGGI(relatif terhadap grafik lain), dan mana yang DI BAWAH.
Pada contoh yang dibahas, terlihat jelas bahwa pada ruas parabola terletak di atas garis lurus, oleh karena itu perlu dilakukan pengurangan dari
Solusi lengkapnya mungkin terlihat seperti ini:
Bentuk yang diinginkan dibatasi oleh parabola di atas dan garis lurus di bawah.
Di segmen tersebut, sesuai dengan rumus yang sesuai:
Menjawab:
Contoh 4
Hitung luas bangun yang dibatasi oleh garis , , , .
Larutan: Pertama, mari kita buat gambarnya:
Gambar yang luasnya perlu kita cari diberi warna biru(perhatikan baik-baik kondisinya - betapa terbatasnya angka tersebut!). Namun dalam prakteknya, karena kurang perhatian, sering muncul “kesalahan” sehingga perlu mencari luas bangun yang diarsir. hijau!
Contoh ini juga berguna karena menghitung luas suatu bangun menggunakan dua integral tertentu.
Benar-benar:
1) Pada ruas di atas sumbu terdapat grafik garis lurus;
2) Pada ruas di atas sumbu terdapat grafik hiperbola.
Jelas sekali bahwa area tersebut dapat (dan harus) ditambahkan, oleh karena itu:
Mari kita beralih ke penerapan kalkulus integral. Dalam pelajaran ini kita akan menganalisis tugas yang umum dan paling umum menghitung luas bangun datar dengan menggunakan integral tertentu. Akhirnya, biarkan semua orang yang mencari makna dalam matematika tingkat tinggi menemukannya. Kau tak pernah tahu. Kita harus mendekatkannya dalam hidup area pondok pedesaan fungsi dasar dan mencari luasnya menggunakan integral tertentu.
Agar berhasil menguasai materi, Anda harus:
1) Memahami integral tak tentu setidaknya pada tingkat menengah. Oleh karena itu, orang bodoh harus membaca pelajarannya terlebih dahulu Bukan.
2) Mampu menerapkan rumus Newton-Leibniz dan menghitung integral tentu. Anda dapat menjalin hubungan persahabatan yang hangat dengan integral tertentu di halaman Integral pasti. Contoh solusi. Tugas “menghitung luas menggunakan integral tertentu” selalu melibatkan pembuatan gambar, jadi pengetahuan dan keterampilan menggambar Anda juga akan menjadi isu yang relevan. Minimal Anda harus bisa membuat garis lurus, parabola, dan hiperbola.
Mari kita mulai dengan trapesium melengkung. Trapesium lengkung adalah bangun datar yang dibatasi oleh grafik suatu fungsi kamu = F(X), sumbu SAPI dan garis X = A; X = B.
Luas trapesium lengkung secara numerik sama dengan integral tertentu
Setiap integral tertentu (yang ada) mempunyai arti geometri yang sangat baik. Di pelajaran Integral pasti. Contoh solusi kita telah mengatakan bahwa integral tertentu adalah suatu bilangan. Dan sekarang saatnya menyatakan satu hal lagi fakta yang berguna. Dilihat dari geometri, integral tentu adalah AREA. Itu adalah, integral tertentu (jika ada) secara geometris bersesuaian dengan luas suatu bangun tertentu. Pertimbangkan integral tertentu
Integrasi
mendefinisikan kurva pada bidang (dapat digambar jika diinginkan), dan integral tertentu itu sendiri secara numerik sama dengan luas trapesium lengkung yang bersangkutan.
Contoh 1
, , , .
Ini adalah pernyataan tugas yang khas. Poin terpenting solusi - menggambar. Selain itu, gambarnya harus dibuat BENAR.
Saat membuat gambar, saya merekomendasikan urutan berikut: pertama lebih baik membuat semua garis lurus (jika ada) dan hanya Kemudian– parabola, hiperbola, grafik fungsi lainnya. Teknik konstruksi titik demi titik dapat ditemukan pada bahan referensi Grafik dan sifat-sifat fungsi dasar. Di sana Anda juga dapat menemukan materi yang sangat berguna untuk pelajaran kita - cara cepat membuat parabola.
Dalam masalah ini, solusinya mungkin terlihat seperti ini.
Mari kita menggambar (perhatikan persamaannya kamu= 0 menentukan sumbu SAPI):
Kami tidak akan membuat bayangan trapesium melengkung, di sini jelas area mana yang sedang kita bicarakan. Solusinya berlanjut seperti ini:
Di segmen [-2; 1] grafik fungsi kamu = X 2 + 2 terletak di atas sumbuSAPI, Itu sebabnya:
Menjawab: .
Yang mengalami kesulitan dalam menghitung integral tentu dan menerapkan rumus Newton-Leibniz
,
merujuk pada kuliah Integral pasti. Contoh solusi. Setelah tugas selesai, selalu berguna untuk melihat gambarnya dan mencari tahu apakah jawabannya nyata. Dalam hal ini, kami menghitung jumlah sel dalam gambar "dengan mata" - yah, akan ada sekitar 9, sepertinya benar. Sangat jelas bahwa jika kita mendapat, katakanlah, jawabannya: 20 unit persegi, maka jelas ada kesalahan yang terjadi di suatu tempat - 20 sel jelas tidak sesuai dengan gambar yang dimaksud, paling banyak selusin. Jika jawabannya negatif, maka tugas tersebut juga diselesaikan dengan salah.
Contoh 2
Hitung luas bangun yang dibatasi garis xy = 4, X = 2, X= 4 dan sumbu SAPI.
Ini adalah contoh untuk keputusan independen. Solusi lengkap dan jawabannya di akhir pelajaran.
Apa yang harus dilakukan jika ada trapesium melengkung di bawah porosSAPI?
Contoh 3
Hitung luas bangun yang dibatasi garis kamu = mantan, X= 1 dan sumbu koordinat.
Solusi: Mari kita membuat gambar:
Jika trapesium melengkung sepenuhnya terletak di bawah sumbu SAPI , maka luasnya dapat dicari dengan rumus:
Pada kasus ini:
.
Perhatian! Kedua jenis tugas ini tidak boleh disamakan:
1) Jika Anda diminta menyelesaikan integral tertentu tanpa makna geometri apa pun, maka integral tersebut mungkin negatif.
2) Jika diminta mencari luas suatu bangun dengan menggunakan integral tertentu, maka luasnya selalu positif! Itu sebabnya minus muncul pada rumus yang baru saja dibahas.
Dalam praktiknya, paling sering gambar tersebut terletak di setengah bidang atas dan bawah, dan oleh karena itu, dari soal sekolah yang paling sederhana, kita beralih ke contoh yang lebih bermakna.
Contoh 4
Temukan luas bangun datar yang dibatasi oleh garis kamu = 2X – X 2 , kamu = -X.
Solusi: Pertama, Anda perlu membuat gambar. Saat membuat gambar dalam soal luas, kita paling tertarik pada titik potong garis. Mari kita cari titik potong parabola kamu = 2X – X 2 dan lurus kamu = -X. Hal ini dapat dilakukan dengan dua cara. Metode pertama adalah analitis. Kami memecahkan persamaan:
Artinya batas bawah integrasi A= 0, batas atas integrasi B= 3. Seringkali lebih menguntungkan dan lebih cepat untuk membuat garis titik demi titik, dan batas integrasi menjadi jelas “dengan sendirinya”. Namun demikian, metode analitis untuk mencari limit terkadang masih harus digunakan jika, misalnya, grafiknya cukup besar, atau konstruksi detailnya tidak mengungkapkan limit integrasi (bisa berupa pecahan atau irasional). Mari kita kembali ke tugas kita: lebih rasional untuk membuat garis lurus terlebih dahulu, baru kemudian parabola. Mari kita membuat gambarnya:
Mari kita ulangi bahwa ketika membangun secara pointwise, batas integrasi paling sering ditentukan “secara otomatis”.
Dan sekarang rumus kerjanya:
Jika pada segmen [ A; B] beberapa fungsi berkelanjutan F(X) lebih dari atau sama dengan beberapa fungsi berkelanjutan G(X), maka luas bangun yang bersesuaian dapat dicari dengan menggunakan rumus:
Di sini Anda tidak perlu lagi memikirkan di mana letak gambar - di atas sumbu atau di bawah sumbu, tetapi yang penting grafik mana yang LEBIH TINGGI(relatif terhadap grafik lain), dan mana yang DI BAWAH.
Pada contoh yang dibahas, terlihat jelas bahwa pada ruas parabola terletak di atas garis lurus, oleh karena itu dari 2 X – X 2 harus dikurangi – X.
Solusi lengkapnya mungkin terlihat seperti ini:
Angka yang diinginkan dibatasi oleh parabola kamu = 2X – X 2 di atas dan lurus kamu = -X di bawah.
Di segmen 2 X – X 2 ≥ -X. Menurut rumus yang sesuai:
Menjawab: .
Sebenarnya rumus sekolah untuk luas trapesium lengkung pada setengah bidang bawah (lihat contoh no. 3) adalah kasus spesial rumus
.
Karena porosnya SAPI diberikan oleh persamaan kamu= 0, dan grafik fungsinya G(X) terletak di bawah sumbu SAPI, Itu
.
Dan sekarang beberapa contoh untuk solusi Anda sendiri
Contoh 5
Contoh 6
Temukan luas bangun yang dibatasi oleh garis
Saat menyelesaikan soal penghitungan luas menggunakan integral tertentu, terkadang terjadi kejadian lucu. Gambarnya dibuat dengan benar, perhitungannya benar, tetapi karena kecerobohan... Ditemukan luas gambar yang salah.
Contoh 7
Pertama mari kita buat gambarnya:
Gambar yang luasnya perlu kita cari diberi warna biru(perhatikan baik-baik kondisinya - betapa terbatasnya angka tersebut!). Namun dalam praktiknya, karena kurangnya perhatian, orang sering kali memutuskan untuk mencari luas bangun yang diarsir warna hijau!
Contoh ini juga berguna karena menghitung luas suatu bangun menggunakan dua integral tertentu. Benar-benar:
1) Pada segmen [-1; 1] di atas sumbu SAPI grafiknya terletak lurus kamu = X+1;
2) Pada ruas di atas sumbu SAPI grafik hiperbola berada kamu = (2/X).
Jelas sekali bahwa area tersebut dapat (dan harus) ditambahkan, oleh karena itu:
Menjawab:
Contoh 8
Hitung luas bangun yang dibatasi garis
Mari kita sajikan persamaannya dalam bentuk “sekolah”.
dan buatlah gambar poin demi poin:
Dari gambar tersebut jelas bahwa batas atas kita “baik”: B = 1.
Tapi berapa batas bawahnya?! Jelas bahwa ini bukan bilangan bulat, tapi apa itu?
Mungkin, A=(-1/3)? Tapi di mana jaminan bahwa gambar itu dibuat dengan akurasi yang sempurna, mungkin saja demikian A=(-1/4). Bagaimana jika kita salah membuat grafik?
Dalam kasus seperti itu, Anda harus meluangkan waktu tambahan dan memperjelas batasan integrasi secara analitis.
Mari kita cari titik potong grafiknya
Untuk melakukan ini, kita selesaikan persamaan:
.
Karena itu, A=(-1/3).
Solusi selanjutnya adalah hal yang sepele. Hal utama adalah jangan bingung dalam substitusi dan tanda. Perhitungan di sini bukanlah yang paling sederhana. Di segmen tersebut
, 
,
sesuai dengan rumus yang sesuai:
Menjawab: 
Sebagai penutup pelajaran, mari kita lihat dua tugas yang lebih sulit.
Contoh 9
Hitung luas bangun yang dibatasi garis
Solusi: Mari kita gambarkan sosok ini dalam gambar.
Untuk menggambar gambar titik demi titik, Anda perlu mengetahuinya penampilan sinusoidal. Secara umum, mengetahui grafik semua fungsi dasar, serta beberapa nilai sinus, akan berguna. Mereka dapat ditemukan di tabel nilai fungsi trigonometri . Dalam beberapa kasus (misalnya, dalam kasus ini), dimungkinkan untuk membuat gambar skema, di mana grafik dan batas integrasi pada dasarnya harus ditampilkan dengan benar.
Tidak ada masalah dengan batas integrasi di sini; mereka mengikuti langsung dari kondisi:
– “x” berubah dari nol menjadi “pi”. Mari kita buat keputusan lebih lanjut:
Pada suatu segmen, grafik suatu fungsi kamu= dosa 3 X terletak di atas sumbu SAPI, Itu sebabnya:
(1) Anda dapat melihat bagaimana sinus dan cosinus dipangkatkan ganjil dalam pelajaran Integral fungsi trigonometri. Kami mencubit satu sinus.
(2) Kita menggunakan identitas trigonometri utama dalam bentuk
(3) Mari kita ubah variabelnya T= karena X, maka: terletak di atas sumbu, oleh karena itu:
.
.
Catatan: perhatikan bagaimana integral dari garis singgung pangkat tiga diambil; akibat wajar dari identitas trigonometri dasar digunakan di sini
.
Masalah 1(tentang menghitung luas trapesium lengkung).
Pada sistem koordinat persegi panjang kartesius xOy, diberikan suatu bangun (lihat gambar) yang dibatasi oleh sumbu x, garis lurus x = a, x = b (a oleh trapesium lengkung. Diperlukan untuk menghitung luas lengkung trapesium.
Larutan. Geometri memberi kita resep untuk menghitung luas poligon dan beberapa bagian lingkaran (sektor, segmen). Dengan menggunakan pertimbangan geometris, kita hanya dapat menemukan nilai perkiraan luas yang dibutuhkan, dengan alasan sebagai berikut.
Mari kita bagi segmen [a; b] (alas trapesium lengkung) menjadi n bagian yang sama; partisi ini dilakukan dengan menggunakan titik x 1, x 2, ... x k, ... x n-1. Mari kita tarik garis lurus melalui titik-titik ini sejajar dengan sumbu y. Kemudian trapesium lengkung yang diberikan akan dibagi menjadi n bagian, menjadi n kolom sempit. Luas seluruh trapesium sama dengan jumlah luas kolom.
Mari kita perhatikan kolom ke-k secara terpisah, mis. trapesium melengkung yang alasnya berupa ruas. Mari kita ganti dengan persegi panjang yang alasnya sama dan tingginya sama dengan f(x k) (lihat gambar). Luas persegi panjang sama dengan \(f(x_k) \cdot \Delta x_k \), dengan \(\Delta x_k \) adalah panjang ruas; Wajar jika produk yang dihasilkan dianggap sebagai nilai perkiraan luas kolom ke-k. 
Jika sekarang kita melakukan hal yang sama dengan semua kolom lainnya, kita akan sampai pada hasil berikut: luas S dari trapesium lengkung tertentu kira-kira sama dengan luas S n dari bangun bertingkat yang terdiri dari n persegi panjang (lihat gambar):
\(S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \titik + f(x_k)\Delta x_k + \titik + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) \)
Di sini, demi keseragaman notasi, kita asumsikan a = x 0, b = x n; \(\Delta x_0 \) - panjang segmen, \(\Delta x_1 \) - panjang segmen, dll.; dalam hal ini, seperti yang kita sepakati di atas, \(\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) \)
Jadi, \(S \kira-kira S_n \), dan persamaan perkiraan ini lebih akurat, semakin besar n.
Menurut definisi, luas trapesium lengkung yang diperlukan sama dengan limit barisan (S n):
$$ S = \lim_(n \hingga \infty) S_n $$
Masalah 2(tentang memindahkan suatu titik)
Sebuah titik material bergerak lurus. Ketergantungan kecepatan terhadap waktu dinyatakan dengan rumus v = v(t). Temukan pergerakan suatu titik selama periode waktu [a; B].
Larutan. Jika geraknya seragam, maka masalahnya akan diselesaikan dengan sangat sederhana: s = vt, yaitu. s = v(b-a). Untuk gerakan tidak rata, Anda harus menggunakan ide yang sama yang menjadi dasar solusi masalah sebelumnya.
1) Bagilah selang waktu [a; b] menjadi n bagian yang sama.
2) Perhatikan suatu periode waktu dan asumsikan bahwa selama periode waktu tersebut kecepatannya konstan, sama seperti pada waktu t k. Jadi kita asumsikan bahwa v = v(t k).
3) Mari kita cari nilai perkiraan pergerakan titik selama periode waktu tertentu; kita nyatakan nilai perkiraan ini sebagai s k
\(s_k = v(t_k) \Delta t_k \)
4) Temukan perkiraan nilai perpindahan s:
\(s \kira-kira S_n \) dimana
\(S_n = s_0 + \titik + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \titik + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) \)
5) Perpindahan yang diperlukan sama dengan limit barisan (S n):
$$ s = \lim_(n \hingga \infty) S_n $$
Mari kita rangkum. Solusi berbagai tugas direduksi menjadi model matematika yang sama. Banyak permasalahan dari berbagai bidang ilmu pengetahuan dan teknologi yang mengarah pada model yang sama dalam proses penyelesaiannya. Jadi ini model matematika perlu dipelajari secara khusus.
Konsep integral tertentu
Mari kita berikan deskripsi matematis dari model yang dibangun dalam tiga soal yang dipertimbangkan untuk fungsi y = f(x), kontinu (tetapi tidak harus non-negatif, seperti yang diasumsikan dalam soal yang dipertimbangkan) pada interval [a; B]:
1) membagi segmen [a; b] menjadi n bagian yang sama;
2) buat jumlah $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) hitung $$ \lim_(n \hingga \infty) S_n $$
Aku tahu analisis matematis telah dibuktikan bahwa limit ini ada pada fungsi kontinu (atau kontinu sepotong-sepotong). Dia dipanggil integral tertentu dari fungsi y = f(x) pada segmen [a; B] dan dilambangkan sebagai berikut:
\(\int\limits_a^b f(x) dx \)
Bilangan a dan b disebut limit integrasi (masing-masing bawah dan atas).
Mari kembali ke tugas yang dibahas di atas. Definisi luas yang diberikan pada Soal 1 sekarang dapat ditulis ulang sebagai berikut:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx \)
disini S adalah luas trapesium lengkung yang ditunjukkan pada gambar di atas. Ini arti geometri integral tertentu.
Definisi perpindahan s suatu titik yang bergerak lurus dengan kecepatan v = v(t) selama periode waktu dari t = a ke t = b, yang diberikan pada Soal 2, dapat ditulis ulang sebagai berikut:
Rumus Newton-Leibniz
Pertama, mari kita jawab pertanyaannya: apa hubungan antara integral tertentu dan antiturunan?
Jawabannya terdapat pada Soal 2. Di satu sisi, perpindahan s suatu titik yang bergerak lurus dengan kecepatan v = v(t) selama periode waktu dari t = a ke t = b dihitung dengan rumusnya
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt \)
Di sisi lain, koordinat suatu titik bergerak merupakan antiturunan untuk kecepatan - mari kita nyatakan s(t); Artinya perpindahan s dinyatakan dengan rumus s = s(b) - s(a). Hasilnya kita mendapatkan:
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) \)
dimana s(t) adalah antiturunan dari v(t).
Teorema berikut dibuktikan dalam analisis matematis.
Dalil. Jika fungsi y = f(x) kontinu pada interval [a; b], maka rumus tersebut valid
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) \)
dimana F(x) adalah antiturunan dari f(x).
Rumus yang diberikan biasanya disebut Rumus Newton-Leibniz untuk menghormati fisikawan Inggris Isaac Newton (1643-1727) dan filsuf Jerman Gottfried Leibniz (1646-1716), yang menerimanya secara independen satu sama lain dan hampir bersamaan.
Dalam praktiknya, alih-alih menulis F(b) - F(a), mereka menggunakan notasi \(\left.F(x)\right|_a^b \) (terkadang disebut substitusi ganda) dan, karenanya, tulis ulang rumus Newton-Leibniz dalam bentuk ini:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = \kiri. F(x)\kanan|_a^b \)
Saat menghitung integral tertentu, cari dulu antiturunannya, lalu lakukan substitusi ganda.
Berdasarkan rumus Newton-Leibniz, kita dapat memperoleh dua sifat integral tertentu.
Properti 1. Integral dari jumlah fungsi sama dengan jumlahnya integral:
\(\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx \)
Properti 2. Faktor konstanta dapat dikeluarkan dari tanda integral:
\(\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx \)
Menghitung luas bangun datar dengan integral tertentu
Dengan menggunakan integral, Anda tidak hanya dapat menghitung luas trapesium lengkung, tetapi juga bangun datar lainnya tipe kompleks, misalnya yang ditunjukkan pada gambar. Gambar P dibatasi oleh garis lurus x = a, x = b dan grafik fungsi kontinu y = f(x), y = g(x), dan pada ruas [a; b] pertidaksamaan \(g(x) \leq f(x) \) berlaku. Untuk menghitung luas S dari gambar tersebut, kita akan melakukan hal berikut:
\(S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = \)
\(= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)
Jadi, luas S suatu bangun datar yang dibatasi oleh garis lurus x = a, x = b dan grafik fungsi y = f(x), y = g(x), kontinu pada ruas tersebut dan sedemikian rupa sehingga untuk sembarang x dari ruas tersebut [A; b] pertidaksamaan \(g(x) \leq f(x) \) terpenuhi, dihitung dengan rumus
\(S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)
