5.2. Hukum distribusi variabel acak diskrit. Poligon distribusi
Pada pandangan pertama, tampaknya untuk mendefinisikan variabel acak diskrit, cukup dengan mencantumkan semua kemungkinan nilainya. Kenyataannya tidak demikian: variabel acak dapat memiliki daftar yang sama nilai yang mungkin, dan probabilitasnya berbeda. Oleh karena itu, untuk menentukan variabel acak diskrit, tidak cukup hanya dengan mencantumkan semua nilai yang mungkin; Anda juga perlu menunjukkan probabilitasnya.
Hukum distribusi variabel acak diskrit sebutkan korespondensi antara nilai yang mungkin dan probabilitasnya; dapat ditentukan secara tabel, analitis (dalam bentuk rumus) dan grafik.
Definisi. Aturan apa pun (tabel, fungsi, grafik) yang memungkinkan Anda menemukan probabilitas kejadian sewenang-wenang A S (S– -aljabar kejadian dalam ruang ), khususnya, yang menunjukkan probabilitas nilai individu dari variabel acak atau sekumpulan nilai ini, disebut hukum distribusi variabel acak(atau sederhananya: distribusi). Tentang s.v. mereka mengatakan bahwa “ia mematuhi hukum distribusi tertentu.”
Membiarkan X– d.s.v., yang mengambil nilai X 1 , X 2 , …, X N,... (kumpulan nilai-nilai ini terbatas atau dapat dihitung) dengan beberapa probabilitas P Saya, Di mana Saya = 1,2,…, N,… Hukum distribusi d.s.v. nyaman untuk diatur menggunakan rumus P Saya = P{X = X Saya)Di mana Saya = 1,2,…, N,..., yang menentukan probabilitas bahwa sebagai hasil percobaan r.v. X akan mengambil nilainya X Saya. Untuk d.s.v. X hukum distribusi dapat diberikan dalam bentuk tabel distribusi:
|
X N | |||||
|
R N |
Saat menentukan hukum distribusi variabel acak diskrit dalam sebuah tabel, baris pertama tabel berisi nilai yang mungkin, dan baris kedua berisi probabilitasnya. tabel seperti itu disebut dekat distribusi.
Mengingat bahwa dalam satu percobaan suatu variabel acak mengambil satu dan hanya satu nilai yang mungkin, kita menyimpulkan bahwa kejadian-kejadian tersebut X = X 1 , X = X 2 , ..., X = X N membentuk kelompok yang lengkap; oleh karena itu, jumlah probabilitas kejadian-kejadian ini, yaitu. jumlah peluang baris kedua tabel sama dengan satu, yaitu .
Jika himpunan nilai yang mungkin X tak terhingga (terhitung), lalu deretnya R 1 + R 2 + ... konvergen dan jumlahnya sama dengan satu.
Contoh. Ada 100 tiket yang dikeluarkan untuk lotere tunai. Satu kemenangan sebesar 50 rubel ditarik. dan sepuluh kemenangan 1 gosok. Temukan hukum distribusi variabel acak X– biaya kemungkinan kemenangan bagi pemilik satu tiket lotere.
Larutan. Mari kita tuliskan nilai yang mungkin X: X 1 = 50, X 2 = 1, X 3 = 0. Peluang kemungkinan nilai tersebut adalah: R 1 = 0,01, R 2 = 0,01, R 3 = 1 – (R 1 + R 2)=0,89.
Mari kita tulis hukum distribusi yang diperlukan:
Kontrol: 0,01 + 0,1 + 0,89 =1.
Contoh. Ada 8 bola di dalam guci, 5 diantaranya berwarna putih, sisanya berwarna hitam. Dari situ diambil 3 bola secara acak. Temukan hukum distribusi jumlah bola putih dalam sampel.
Larutan. Kemungkinan nilai r.v. X– ada sejumlah bola putih dalam sampel X 1 = 0, X 2 = 1, X 3 = 2, X 4 = 3. Probabilitasnya akan sama
;
;
.
Mari kita tuliskan hukum distribusinya dalam bentuk tabel.
|
|
|
|
|
Kontrol: 
.
Hukum distribusi d.s.v. dapat ditentukan secara grafis jika nilai-nilai yang mungkin dari r.v. diplot pada sumbu absis, dan probabilitas dari nilai-nilai ini diplot pada sumbu ordinat. garis putus-putus yang menghubungkan titik-titik yang berurutan ( X 1 , R 1), (X 2 , R 2),...dipanggil poligon(atau poligon) distribusi(lihat Gambar 5.1).
Beras. 5.1. Poligon distribusi
Sekarang Anda bisa memberi lebih banyak definisi yang tepat d.s.v.
Definisi. Nilai acak X adalah diskrit, jika ada himpunan bilangan berhingga atau dapat dihitung X 1 , X 2 , ... seperti itu P{X = X Saya } = P Saya > 0 (Saya= 1,2,…) dan P 1 + P 2 + R 3 +… = 1.
Mari kita definisikan operasi matematika pada r.v.
Definisi.Jumlah (perbedaan, bekerja) d.s.v. X, mengambil nilai X Saya dengan probabilitas P Saya = P{X = X Saya }, Saya = 1, 2, …, N, dan d.s.v. Y, mengambil nilai kamu J dengan probabilitas P J = P{Y = kamu J }, J = 1, 2, …, M, disebut d.s.v. Z = X + Y (Z = X – Y, Z = X Y), mengambil nilai z aku j = X Saya + kamu J (z aku j = X Saya – kamu J , z aku j = X Saya kamu J) dengan probabilitas P aku j = P{X = X Saya , Y = kamu J) untuk semua nilai yang ditentukan Saya Dan J. Jika beberapa jumlah bertepatan X Saya + kamu J (perbedaan X Saya – kamu J, berhasil X Saya kamu J) probabilitas yang sesuai ditambahkan.
Definisi.Bekerja d.s.v. pada nomor s disebut d.s.v. cX, mengambil nilai DenganX Saya dengan probabilitas P Saya = P{X = X Saya }.
Definisi. Dua d.s.v. X Dan Y disebut mandiri, jika kejadian ( X = X Saya } = A Saya Dan ( Y = kamu J } = B J independen untuk siapa pun Saya = 1, 2, …, N, J = 1, 2, …, M, itu adalah
Kalau tidak, r.v. ditelepon bergantung. Beberapa r.v. disebut saling bebas jika hukum distribusi salah satu dari mereka tidak bergantung pada nilai yang mungkin diambil oleh besaran lainnya.
Mari kita pertimbangkan beberapa hukum distribusi yang paling umum digunakan.
Pada bagian kursus yang membahas konsep dasar teori probabilitas, kita telah memperkenalkan konsep variabel acak yang sangat penting. Disini kami akan memberikannya pengembangan lebih lanjut konsep ini dan menunjukkan cara di mana variabel acak dapat dideskripsikan dan dikarakterisasi.
Sebagaimana telah disebutkan, variabel acak adalah suatu besaran yang, sebagai hasil percobaan, dapat mempunyai nilai tertentu, tidak diketahui sebelumnya yang mana. Kami juga sepakat untuk membedakan antara variabel acak kontinu (diskrit) dan tipe kontinyu. Kemungkinan nilai besaran terputus-putus dapat dicantumkan terlebih dahulu. Kemungkinan nilai besaran kontinu tidak dapat dicantumkan terlebih dahulu dan terus menerus mengisi celah tertentu.
Contoh variabel acak diskontinyu:
1) jumlah kemunculan lambang selama tiga kali pelemparan koin (nilai kemungkinan 0, 1, 2, 3);
2) frekuensi kemunculan lambang dalam percobaan yang sama (nilai yang mungkin);
3) jumlah elemen yang gagal dalam perangkat yang terdiri dari lima elemen (nilai yang mungkin adalah 0, 1, 2, 3, 4, 5);
4) jumlah serangan pada pesawat yang cukup untuk melumpuhkannya (nilai kemungkinan 1, 2, 3,…, n,…);
5) jumlah pesawat yang ditembak jatuh dalam pertempuran udara (nilai kemungkinan 0, 1, 2, ..., N, dimana adalah jumlah total pesawat yang ikut serta dalam pertempuran tersebut).
Contoh variabel acak kontinu:
1) absis (ordinat) dari titik tumbukan ketika ditembakkan;
2) jarak dari titik tumbukan ke pusat sasaran;
3) kesalahan pengukur ketinggian;
4) waktu pengoperasian tabung radio bebas kegagalan.
Mari kita sepakati hal berikut untuk menyatakan variabel acak dengan huruf kapital, dan kemungkinan nilainya dengan huruf kecil yang sesuai. Misalnya, – jumlah pukulan dalam tiga tembakan; nilai yang mungkin: .
Mari kita perhatikan variabel acak diskontinu dengan nilai yang mungkin. Masing-masing nilai ini mungkin, tetapi tidak pasti, dan nilai X dapat mengambil masing-masing nilai tersebut dengan probabilitas tertentu. Sebagai hasil percobaan, nilai X akan mengambil salah satu dari nilai-nilai ini, yaitu. Salah satu kelompok peristiwa yang tidak kompatibel akan terjadi:
Mari kita nyatakan probabilitas kejadian-kejadian ini dengan huruf p dengan indeks yang sesuai:
Karena kejadian-kejadian yang tidak kompatibel (5.1.1) membentuk grup yang lengkap, maka
itu. jumlah probabilitas semua nilai yang mungkin dari suatu variabel acak sama dengan satu. Probabilitas total ini didistribusikan di antara nilai-nilai individual. Variabel acak akan dijelaskan sepenuhnya dari sudut pandang probabilistik jika kita menentukan distribusi ini, yaitu. Mari kita tunjukkan dengan tepat berapa probabilitas yang dimiliki masing-masing kejadian (5.1.1). Dengan ini kita akan menetapkan apa yang disebut hukum distribusi variabel acak.
Hukum distribusi variabel acak adalah setiap hubungan yang membentuk hubungan antara nilai yang mungkin dari variabel acak dan probabilitas yang sesuai. Kita akan mengatakan tentang variabel acak bahwa variabel tersebut tunduk pada hukum distribusi tertentu.
Mari kita tentukan bentuk di mana hukum distribusi variabel acak diskontinu dapat ditentukan. Bentuk paling sederhana Definisi hukum ini adalah tabel yang mencantumkan kemungkinan nilai variabel acak dan probabilitas yang sesuai:
Kita akan menyebut tabel seperti itu sebagai deret distribusi variabel acak.
Untuk memberikan tampilan yang lebih visual pada deret distribusi, mereka sering menggunakan representasi grafisnya: nilai yang mungkin dari variabel acak diplot sepanjang sumbu absis, dan probabilitas nilai-nilai ini diplot sepanjang sumbu ordinat. Untuk lebih jelasnya, titik-titik yang dihasilkan dihubungkan oleh segmen garis lurus. Gambar seperti itu disebut poligon distribusi (Gbr. 5.1.1). Poligon distribusi, seperti deret distribusi, sepenuhnya mencirikan variabel acak; itu adalah salah satu bentuk hukum distribusi.
Kadang-kadang apa yang disebut penafsiran “mekanis” dari rangkaian distribusi dapat digunakan. Mari kita bayangkan bahwa massa tertentu yang sama dengan satu didistribusikan sepanjang sumbu absis sedemikian rupa sehingga massa terkonsentrasi pada titik-titik tertentu. Kemudian deret distribusi diartikan sebagai suatu sistem titik-titik material dengan beberapa massa yang terletak pada sumbu absis.
Mari kita perhatikan beberapa contoh variabel acak diskontinu beserta hukum distribusinya.
Contoh 1. Satu percobaan dilakukan di mana peristiwa tersebut mungkin muncul atau tidak. Peluang terjadinya kejadian tersebut adalah 0,3. Variabel acak dianggap - jumlah kemunculan suatu peristiwa dalam percobaan tertentu (yaitu variabel acak karakteristik suatu peristiwa, mengambil nilai 1 jika muncul, dan 0 jika tidak muncul). Buatlah deret distribusi dan poligon distribusi besaran.
Larutan. Nilainya hanya memiliki dua nilai: 0 dan 1.
Poligon distribusi ditunjukkan pada Gambar. 5.1.2.
Contoh 2. Seorang penembak melepaskan tiga tembakan ke sasaran. Peluang mengenai sasaran dengan setiap tembakan adalah 0,4. Untuk setiap pukulan, penembak mendapat 5 poin. Buatlah deret distribusi untuk jumlah poin yang dicetak.
Larutan. Mari kita nyatakan jumlah poin yang dicetak. Nilai yang mungkin: .
Kami menemukan probabilitas nilai-nilai ini menggunakan teorema pengulangan eksperimen:
Deret distribusi nilai berbentuk:
Poligon distribusi ditunjukkan pada Gambar. 5.1.3.
Contoh 3. Peluang terjadinya suatu peristiwa dalam satu percobaan adalah sama dengan . Serangkaian percobaan independen dilakukan, yang berlanjut hingga kejadian pertama terjadi, setelah itu percobaan dihentikan. Variabel acak – jumlah percobaan yang dilakukan. Buatlah deret distribusi untuk kuantitas tersebut.
Larutan. Nilai yang mungkin: 1, 2, 3, ... (secara teoritis tidak dibatasi oleh apapun). Agar suatu besaran mempunyai nilai 1, peristiwa tersebut harus terjadi pada percobaan pertama; kemungkinannya sama. Agar suatu besaran mempunyai nilai 2, peristiwa tersebut harus tidak muncul pada percobaan pertama, tetapi muncul pada percobaan kedua; probabilitasnya sama dengan , di mana , dan seterusnya. Deret distribusi nilai berbentuk:
Lima ordinat pertama dari poligon distribusi untuk kasus ini ditunjukkan pada Gambar. 5.1.4.
Contoh 4. Seorang penembak menembak sasaran sampai pukulan pertama, mempunyai 4 butir amunisi. Peluang terjadinya pukulan untuk setiap tembakan adalah 0,6. Buatlah rangkaian distribusi untuk jumlah amunisi yang tersisa yang belum terpakai.
Larutan. Variabel acak - jumlah kartrid yang tidak terpakai - memiliki empat kemungkinan nilai: 0, 1, 2, dan 3. Probabilitas nilai-nilai ini masing-masing sama:
Deret distribusi nilai berbentuk:
Poligon distribusi ditunjukkan pada Gambar. 5.1.5.
Contoh 5. Perangkat teknis dapat digunakan dalam berbagai kondisi dan, bergantung pada hal ini, memerlukan penyesuaian dari waktu ke waktu. Saat menggunakan perangkat sekali, perangkat mungkin secara acak memasuki mode yang disukai atau tidak disukai. Dalam mode yang menguntungkan, perangkat dapat menahan tiga penggunaan tanpa penyesuaian; sebelum yang keempat harus disesuaikan. Dalam mode yang tidak menguntungkan, perangkat harus disesuaikan setelah penggunaan pertama. Probabilitas bahwa perangkat akan masuk ke mode yang menguntungkan adalah 0,7, dan perangkat akan masuk ke mode yang tidak menguntungkan adalah 0,3. Variabel acak dipertimbangkan - jumlah penggunaan perangkat sebelum penyesuaian. Bangun seri distribusinya.
Larutan. Variabel acak mempunyai tiga kemungkinan nilai: 1, 2 dan 3. Probabilitas bahwa , sama dengan probabilitas bahwa pertama kali perangkat digunakan, perangkat tersebut akan masuk ke mode yang tidak menguntungkan, yaitu. . Agar nilainya mengambil nilai 2, perangkat harus berada dalam mode yang menguntungkan selama penggunaan pertama, dan dalam mode yang tidak menguntungkan selama penggunaan kedua; kemungkinan ini 
. Agar nilai mengambil nilai 3, perangkat harus berada dalam mode yang menguntungkan pada dua kali pertama (setelah ketiga kalinya masih harus disesuaikan). Kemungkinannya sama 
.
Deret distribusi nilai berbentuk:
Poligon distribusi ditunjukkan pada Gambar. 5.1.6.
Fungsi distribusi
Pada n° sebelumnya kita memperkenalkan deret distribusi sebagai suatu karakteristik lengkap (hukum distribusi) dari variabel acak diskontinu. Namun karakteristik ini tidak universal; itu hanya ada untuk variabel acak diskontinyu. Sangat mudah untuk melihat bahwa tidak mungkin membangun karakteristik seperti itu untuk variabel acak kontinu. Memang, variabel acak kontinu memiliki jumlah kemungkinan nilai yang tak terhingga, mengisi seluruh interval tertentu (yang disebut “himpunan yang dapat dihitung”). Tidak mungkin membuat tabel yang mencantumkan semua kemungkinan nilai dari variabel acak tersebut. Selain itu, seperti yang akan kita lihat nanti, setiap nilai individual dari variabel acak kontinu biasanya tidak mempunyai probabilitas bukan nol. Akibatnya, untuk variabel acak kontinu tidak ada deret distribusi seperti yang ada pada variabel diskontinu. Namun, area nilai yang mungkin berbeda dari suatu variabel acak masih belum memiliki kemungkinan yang sama, dan untuk variabel kontinu terdapat “distribusi probabilitas”, meskipun tidak dalam arti yang sama dengan variabel diskontinu.
Untuk mengkarakterisasi secara kuantitatif distribusi probabilitas ini, akan lebih mudah untuk menggunakan ketidakmungkinan suatu peristiwa, dan probabilitas suatu peristiwa, di mana adalah beberapa variabel saat ini. Kemungkinan kejadian ini jelas bergantung pada , ada beberapa fungsi dari . Fungsi ini disebut fungsi distribusi variabel acak dan dilambangkan dengan:
. (5.2.1)
Fungsi distribusi kadang juga disebut fungsi distribusi kumulatif atau hukum distribusi kumulatif.
Fungsi distribusi adalah karakteristik paling universal dari suatu variabel acak. Itu ada untuk semua variabel acak: terputus-putus dan kontinu. Fungsi distribusi sepenuhnya mencirikan variabel acak dari sudut pandang probabilistik, yaitu. merupakan salah satu bentuk hukum distribusi.
Mari kita rumuskan beberapa sifat umum fungsi distribusi.
1. Fungsi distribusi adalah fungsi argumennya yang tidak menurun, yaitu. pada .
2. Pada minus tak terhingga, fungsi distribusi sama dengan nol: .
3. Pada plus tak terhingga, fungsi distribusinya sama dengan satu: .
Tanpa memberikan bukti yang kuat mengenai sifat-sifat ini, kami akan mengilustrasikannya menggunakan interpretasi geometris visual. Untuk melakukan ini, kita akan menganggap variabel acak sebagai titik acak pada sumbu Ox (Gbr. 5.2.1), yang sebagai hasil percobaan dapat mengambil satu posisi atau lainnya. Maka fungsi distribusinya adalah peluang suatu titik acak hasil percobaan akan jatuh ke kiri titik tersebut.
Kita akan menambah , yaitu memindahkan titik ke kanan sepanjang sumbu absis. Jelasnya, dalam kasus ini, kemungkinan suatu titik acak akan jatuh ke kiri tidak dapat dikurangi; oleh karena itu, fungsi distribusi tidak dapat berkurang seiring bertambahnya.
Untuk memastikannya, kita akan memindahkan titik ke kiri sepanjang absis tanpa batas. Dalam hal ini, mencapai titik acak ke kiri dalam batas menjadi peristiwa yang mustahil; Wajar untuk percaya bahwa kemungkinan kejadian ini cenderung nol, yaitu. .
Dengan cara yang sama, dengan memindahkan suatu titik ke kanan tanpa batas, kita memastikan bahwa , karena kejadian tersebut dapat diandalkan dalam batas tersebut.
Grafik fungsi distribusi di kasus umum adalah grafik fungsi tak menurun (Gbr. 5.2.2), yang nilainya dimulai dari 0 hingga mencapai 1, dan pada titik tertentu fungsi tersebut dapat mengalami lompatan (diskontinuitas).
Mengetahui deret distribusi suatu variabel acak diskontinu, seseorang dapat dengan mudah membangun fungsi distribusi variabel tersebut. Benar-benar,
,
dimana pertidaksamaan di bawah tanda penjumlahan menunjukkan bahwa penjumlahan berlaku untuk semua nilai yang kurang dari .
Ketika variabel saat ini melewati salah satu nilai yang mungkin dari nilai terputus-putus, fungsi distribusi berubah secara tiba-tiba, dan besarnya lompatan sama dengan probabilitas nilai ini.
Contoh 1. Satu percobaan dilakukan di mana peristiwa tersebut mungkin muncul atau tidak. Peluang kejadian tersebut adalah 0,3. Variabel acak – jumlah kemunculan suatu peristiwa dalam suatu eksperimen (variabel acak karakteristik suatu peristiwa). Bangun fungsi distribusinya.
Pengalaman adalah setiap implementasi dari kondisi dan tindakan tertentu di mana fenomena acak yang sedang dipelajari diamati. Eksperimen dapat dicirikan secara kualitatif dan kuantitatif. Besaran acak adalah besaran yang, sebagai hasil percobaan, dapat mempunyai suatu nilai atau nilai lain, dan tidak diketahui sebelumnya nilai yang mana.
Variabel acak biasanya dilambangkan (X,Y,Z), dan nilai yang sesuai (x,y,z)
Diskrit adalah variabel acak yang mengambil nilai individual yang terisolasi satu sama lain yang dapat ditaksir terlalu tinggi. Besaran yang terus menerus kemungkinan nilai yang terus menerus mengisi rentang tertentu. Hukum distribusi variabel acak adalah setiap hubungan yang membentuk hubungan antara nilai yang mungkin dari variabel acak dan probabilitas yang sesuai. Baris distribusi dan poligon. Bentuk paling sederhana dari hukum distribusi nilai diskrit adalah seri distribusi. Interpretasi grafis dari deret distribusi adalah poligon distribusi.
Anda juga dapat menemukan informasi yang Anda minati di mesin pencari ilmiah Otvety.Online. Gunakan formulir pencarian:
Lebih lanjut tentang topik 13. Variabel acak diskrit. Poligon distribusi. Operasi dengan variabel acak, contoh:
- 13. Variabel acak diskrit dan hukum distribusinya. Poligon distribusi. Operasi dengan variabel acak. Contoh.
- Konsep “variabel acak” dan uraiannya. Variabel acak diskrit dan hukum distribusinya (deret). Variabel acak independen. Contoh.
- 14. Variabel acak, jenisnya. Hukum distribusi probabilitas variabel acak diskrit (DRV). Metode untuk membangun variabel acak (SV).
- 16. Hukum distribusi variabel acak diskrit. Karakteristik numerik dari variabel acak diskrit: ekspektasi matematis, varians, dan deviasi standar.
- Operasi matematika pada variabel acak diskrit dan contoh pembuatan hukum distribusi untuk KX, X"1, X + K, XV berdasarkan distribusi tertentu dari variabel acak independen X dan Y.
- Konsep variabel acak. Hukum distribusi kasus-kasus diskrit. jumlah. Operasi matematika secara acak. jumlah.
Variabel acak: diskrit dan kontinu.
Saat melakukan eksperimen stokastik, ruang peristiwa dasar terbentuk - hasil yang mungkin percobaan ini. Dipercayai bahwa di ruang inilah peristiwa-peristiwa dasar diberikan nilai acak X, jika suatu hukum (aturan) diberikan yang menurutnya setiap kejadian dasar dikaitkan dengan suatu bilangan. Dengan demikian, variabel acak X dapat dianggap sebagai fungsi yang didefinisikan dalam ruang kejadian dasar.
■ Variabel acak- besaran yang memerlukan satu atau lain cara pada setiap pengujian nilai angka(tidak diketahui sebelumnya yang mana), tergantung alasan acak yang tidak dapat diperhitungkan sebelumnya. Variabel acak ditunjukkan dengan huruf kapital Alfabet Latin, dan nilai yang mungkin dari variabel acak kecil. Jadi, pada pelemparan sebuah dadu, terjadi suatu peristiwa yang berhubungan dengan angka x, dimana x adalah banyaknya poin yang dilempar. Banyaknya titik adalah variabel acak, dan angka 1, 2, 3, 4, 5, 6 adalah nilai yang mungkin dari nilai ini. Jarak yang ditempuh proyektil ketika ditembakkan dari senjata juga merupakan variabel acak (tergantung pada pemasangan penglihatan, kekuatan dan arah angin, suhu dan faktor lainnya), dan nilai yang mungkin dari nilai ini termasuk sampai selang waktu tertentu (a;b).
■ Variabel acak diskrit– variabel acak yang mengambil kemungkinan nilai yang terpisah dan terisolasi dengan probabilitas tertentu. Banyaknya nilai yang mungkin dari suatu variabel acak diskrit bisa berhingga atau tak terhingga.
■ Variabel acak kontinu– variabel acak yang dapat mengambil semua nilai dari interval berhingga atau tak terhingga. Jumlah nilai yang mungkin dari variabel acak kontinu tidak terbatas.
Misalnya, jumlah poin yang diperoleh saat melempar dadu, skor suatu tes adalah variabel acak diskrit; jarak terbang proyektil ketika ditembakkan dari pistol, kesalahan pengukuran indikator waktu menguasai materi pendidikan, tinggi dan berat badan seseorang merupakan variabel acak kontinu.
Hukum distribusi variabel acak– korespondensi antara nilai yang mungkin dari variabel acak dan probabilitasnya, mis. Setiap nilai yang mungkin x i dikaitkan dengan probabilitas p i dimana variabel acak dapat mengambil nilai ini. Hukum distribusi suatu variabel acak dapat dinyatakan secara tabel (dalam bentuk tabel), secara analitis (dalam bentuk rumus), dan secara grafis.
Misalkan variabel acak diskrit X mengambil nilai x 1 , x 2 , …, x n dengan probabilitas p 1 , p 2 , …, p n masing-masing, mis. P(X=x 1) = p 1, P(X=x 2) = p 2, …, P(X=x n) = p n. Saat menentukan hukum distribusi besaran ini dalam sebuah tabel, baris pertama tabel berisi kemungkinan nilai x 1 , x 2 , ..., x n , dan baris kedua berisi probabilitasnya
| X | x 1 | x 2 | … | xn |
| P | hal 1 | hal2 | … | hal |
Sebagai hasil pengujian, variabel acak diskrit X mengambil satu dan hanya satu dari nilai yang mungkin, oleh karena itu kejadian X=x 1, X=x 2, ..., X=x n membentuk grup lengkap yang tidak kompatibel berpasangan kejadian-kejadian, dan oleh karena itu, jumlah peluang kejadian-kejadian ini sama dengan satu , yaitu. p 1 + p 2 +… + p n =1.
Hukum distribusi variabel acak diskrit. Poligon distribusi (poligon).
Seperti yang anda ketahui, variabel acak adalah variabel yang dapat mengambil nilai tertentu tergantung pada kasusnya. Variabel acak menunjukkan dalam huruf kapital Alfabet Latin (X, Y, Z), dan artinya - dalam huruf kecil yang sesuai (x, y, z). Variabel acak dibagi menjadi diskontinyu (diskrit) dan kontinu.
Variabel acak diskrit adalah variabel acak yang hanya mengambil himpunan nilai berhingga atau tak terhingga (dapat dihitung) dengan probabilitas tertentu yang bukan nol.
Hukum distribusi variabel acak diskrit adalah fungsi yang menghubungkan nilai-nilai variabel acak dengan probabilitasnya yang bersesuaian. Hukum distribusi dapat ditentukan dengan salah satu cara berikut.
1. Hukum distribusi dapat diberikan dalam tabel:
dimana λ>0, k = 0, 1, 2, … .
c) menggunakan fungsi distribusi F(x), yang menentukan untuk setiap nilai x probabilitas bahwa variabel acak X akan mengambil nilai kurang dari x, yaitu. F(x) = P(X< x).
 |
Sifat-sifat fungsi F(x)
3. Hukum distribusi dapat ditentukan secara grafis - dengan poligon distribusi (poligon) (lihat tugas 3).
Perhatikan bahwa untuk menyelesaikan beberapa masalah tidak perlu mengetahui hukum distribusi. Dalam beberapa kasus, cukup mengetahui satu atau lebih angka yang paling mencerminkan fitur penting hukum distribusi. Ini mungkin berupa angka yang memiliki arti "rata-rata" dari suatu variabel acak, atau angka yang menunjukkan ukuran rata-rata deviasi variabel acak dari nilai rata-ratanya. Bilangan semacam ini disebut ciri numerik suatu variabel acak.
Karakteristik numerik dasar dari variabel acak diskrit:
- Ekspektasi matematis (nilai rata-rata) dari variabel acak diskrit M(X)=Σ x i p i .
Untuk distribusi binomial M(X)=np, untuk distribusi Poisson M(X)=λ - Dispersi variabel acak diskrit D(X)= M 2 atau D(X) = M(X 2)− 2. Selisih X–M(X) disebut simpangan suatu peubah acak dari peubah acaknya harapan matematis.
Untuk distribusi binomial D(X)=npq, untuk distribusi Poisson D(X)=λ - Deviasi standar ( deviasi standar) σ(X)=√D(X).
· Untuk kejelasan penyajian rangkaian variasi sangat penting memiliki gambar grafisnya. Secara grafis, deret variasi dapat digambarkan sebagai poligon, histogram, dan akumulasi.
· Poligon distribusi (secara harfiah merupakan poligon distribusi) disebut garis putus-putus, yang dibangun dalam sistem koordinat persegi panjang. Nilai atribut diplot pada absis, frekuensi yang sesuai (atau frekuensi relatif) - pada sumbu ordinat. Titik (atau) dihubungkan oleh segmen garis lurus dan diperoleh poligon distribusi. Paling sering, poligon digunakan untuk menggambarkan diskrit seri variasi, tapi bisa juga digunakan untuk seri interval. Dalam hal ini, titik-titik yang bersesuaian dengan titik tengah interval ini diplot pada sumbu absis.
