Di antara karakteristik numerik variabel acak pertama-tama perlu diperhatikan hal-hal yang mencirikan posisi variabel acak pada sumbu numerik, yaitu. menunjukkan beberapa rata-rata, nilai perkiraan di mana semua kemungkinan nilai variabel acak dikelompokkan.
Nilai rata-rata suatu variabel acak adalah suatu bilangan tertentu yang seolah-olah merupakan “perwakilan” dan menggantikannya dalam perhitungan perkiraan kasar. Ketika kita mengatakan: "waktu pengoperasian lampu rata-rata adalah 100 jam" atau "titik tumbukan rata-rata digeser relatif terhadap target sebesar 2 m ke kanan", kita menunjukkan karakteristik numerik tertentu dari variabel acak yang menggambarkan lokasinya. pada sumbu numerik, mis. "karakteristik posisi".
Dari ciri-ciri posisi dalam teori probabilitas peran penting memainkan ekspektasi matematis dari variabel acak, yang kadang-kadang disebut hanya nilai rata-rata dari variabel acak.
Mari kita pertimbangkan variabel acak diskrit yang memiliki kemungkinan nilai dengan probabilitas. Kita perlu mengkarakterisasi dengan bilangan tertentu posisi nilai-nilai variabel acak pada sumbu x, dengan mempertimbangkan fakta bahwa nilai-nilai ini memiliki probabilitas yang berbeda. Untuk tujuan ini, wajar untuk menggunakan apa yang disebut “rata-rata tertimbang” dari nilai-nilai tersebut, dan setiap nilai selama rata-rata harus diperhitungkan dengan “bobot” yang sebanding dengan probabilitas nilai ini. Jadi, kita akan menghitung rata-rata dari variabel acak, yang akan kita nyatakan dengan:
atau, mengingat itu,
. (5.6.1)
Rata-rata tertimbang ini disebut ekspektasi matematis dari variabel acak. Oleh karena itu, kami mempertimbangkan salah satu konsep terpenting dari teori probabilitas - konsep ekspektasi matematis.
Ekspektasi matematis dari suatu variabel acak adalah jumlah produk dari semua nilai yang mungkin dari suatu variabel acak dan probabilitas dari nilai-nilai tersebut.
Perhatikan bahwa dalam rumusan di atas, definisi ekspektasi matematis adalah valid, sebenarnya hanya untuk variabel acak diskrit; Di bawah ini kami akan menggeneralisasi konsep ini pada kasus besaran kontinu.
Untuk memperjelas konsep ekspektasi matematis, mari kita beralih ke interpretasi mekanis dari distribusi variabel acak diskrit. Misalkan ada titik-titik dengan absis pada sumbu absis, di mana massa terkonsentrasi masing-masing, dan . Maka, jelaslah, ekspektasi matematis yang ditentukan oleh rumus (5.6.1) tidak lain adalah absis pusat gravitasi suatu sistem titik material tertentu.
Ekspektasi matematis dari variabel acak dihubungkan oleh ketergantungan khusus dengan rata-rata aritmatika dari nilai yang diamati dari variabel acak selama sejumlah besar percobaan. Ketergantungan ini sama dengan ketergantungan antara frekuensi dan probabilitas, yaitu: dengan jumlah percobaan yang banyak, mean aritmatika dari nilai observasi suatu variabel acak mendekati (konvergen dalam probabilitas) dengan ekspektasi matematisnya. Dari adanya hubungan antara frekuensi dan probabilitas, maka dapat disimpulkan adanya hubungan yang serupa antara mean aritmatika dan ekspektasi matematis.
Memang benar, pertimbangkan variabel acak diskrit yang dicirikan oleh deret distribusi:
Di mana 
.
Biarkan eksperimen independen dilakukan, yang masing-masing kuantitasnya mempunyai nilai tertentu. Misalkan nilai muncul satu kali, nilai muncul satu kali, dan nilai muncul satu kali. Jelas sekali,
Mari kita hitung rata-rata aritmatika dari nilai kuantitas yang diamati, yang, berbeda dengan ekspektasi matematis, kita nyatakan:
Namun yang ada hanyalah frekuensi (atau probabilitas statistik) suatu peristiwa; frekuensi ini dapat ditentukan. Kemudian
,
itu. rata-rata aritmatika dari nilai-nilai yang diamati dari suatu variabel acak sama dengan jumlah produk dari semua nilai yang mungkin dari variabel acak dan frekuensi dari nilai-nilai ini.
Ketika jumlah eksperimen meningkat, frekuensi akan mendekati (probabilitas konvergen) ke probabilitas yang sesuai. Akibatnya, rata-rata aritmatika dari nilai observasi variabel acak akan mendekati (probabilitas konvergen) ke ekspektasi matematisnya seiring dengan bertambahnya jumlah eksperimen.
Hubungan antara mean aritmatika dan ekspektasi matematis yang dirumuskan di atas merupakan isi dari salah satu bentuk hukum angka besar. Kami akan memberikan bukti yang kuat tentang undang-undang ini di Bab 13.
Kita telah mengetahui bahwa semua bentuk hukum bilangan besar menyatakan fakta bahwa beberapa rata-rata stabil pada sejumlah besar percobaan. Di sini kita berbicara tentang kestabilan mean aritmatika dari serangkaian pengamatan dengan besaran yang sama. Dengan sejumlah kecil percobaan, rata-rata aritmatika dari hasilnya adalah acak; dengan peningkatan jumlah eksperimen yang cukup, itu menjadi "hampir non-acak" dan, setelah stabil, mendekati nilai konstan - ekspektasi matematis.
Stabilitas rata-rata pada sejumlah besar eksperimen dapat dengan mudah diverifikasi secara eksperimental. Misalnya, ketika menimbang suatu benda di laboratorium dengan timbangan yang presisi, sebagai hasil penimbangan kita memperoleh nilai baru setiap kali; Untuk mengurangi kesalahan pengamatan, kami menimbang benda tersebut beberapa kali dan menggunakan mean aritmatika dari nilai yang diperoleh. Sangat mudah untuk melihat bahwa dengan peningkatan lebih lanjut dalam jumlah percobaan (penimbangan), rata-rata aritmatika semakin sedikit bereaksi terhadap peningkatan ini dan, dengan jumlah percobaan yang cukup besar, secara praktis berhenti berubah.
Rumus (5.6.1) untuk ekspektasi matematis sesuai dengan kasus variabel acak diskrit. Untuk nilai berkelanjutan ekspektasi matematis, tentu saja, dinyatakan bukan dengan jumlah, tetapi dengan integral:
, (5.6.2)
dimana adalah kepadatan distribusi kuantitas.
Rumus (5.6.2) diperoleh dari rumus (5.6.1) jika nilai individu di dalamnya diganti dengan parameter x yang terus berubah, probabilitas yang sesuai - dengan elemen probabilitas, dan jumlah akhir - dengan integral. Di masa depan, kita akan sering menggunakan metode ini untuk memperluas rumus turunan besaran diskontinu ke kasus besaran kontinu.
Dalam interpretasi mekanis, ekspektasi matematis dari variabel acak kontinu memiliki arti yang sama - absis pusat gravitasi dalam kasus ketika massa didistribusikan sepanjang absis secara terus menerus, dengan kepadatan . Interpretasi ini sering kali memungkinkan seseorang untuk menemukan ekspektasi matematis tanpa menghitung integral (5.6.2), dari pertimbangan mekanis sederhana.
Di atas kami memperkenalkan notasi untuk ekspektasi matematis kuantitas. Dalam beberapa kasus, ketika suatu besaran dimasukkan dalam rumus sebagai bilangan tertentu, akan lebih mudah untuk menyatakannya dengan satu huruf. Dalam kasus ini, kami akan menyatakan ekspektasi matematis suatu nilai dengan:
Notasi dan ekspektasi matematis akan digunakan secara paralel di masa mendatang, bergantung pada kenyamanan pencatatan rumus tertentu. Mari kita juga sepakat, jika perlu, untuk menyingkat kata “ekspektasi matematis” dengan huruf m.o.
Perlu dicatat bahwa karakteristik yang paling penting ketentuan - ekspektasi matematis - tidak ada untuk semua variabel acak. Dimungkinkan untuk membuat contoh variabel acak yang ekspektasi matematisnya tidak ada, karena jumlah atau integral yang sesuai berbeda.
Misalnya, variabel acak diskontinu dengan deret distribusi:
Sangat mudah untuk memverifikasi itu, mis. rangkaian distribusinya masuk akal; Namun jumlah yang masuk pada kasus ini menyimpang dan, oleh karena itu, tidak ada ekspektasi matematis terhadap nilainya. Namun, kasus-kasus seperti itu tidak terlalu menarik untuk dipraktikkan. Biasanya variabel acak yang kita tangani memiliki wilayah terbatas nilai yang mungkin dan, tentu saja, memiliki ekspektasi matematis.
Di atas kami memberikan rumus (5.6.1) dan (5.6.2), yang masing-masing menyatakan ekspektasi matematis untuk variabel acak diskontinu dan kontinu.
Jika suatu besaran termasuk besaran yang bertipe campuran, maka ekspektasi matematisnya dinyatakan dengan rumus berbentuk:
, (5.6.3)
dimana penjumlahannya meluas ke semua titik dimana fungsi distribusinya diskontinu, dan integralnya meluas ke seluruh area dimana fungsi distribusinya kontinu.
Selain ciri-ciri yang paling penting dari suatu posisi - ekspektasi matematis - dalam praktiknya, ciri-ciri lain dari suatu posisi kadang-kadang digunakan, khususnya modus dan median suatu variabel acak.
Modus suatu variabel acak adalah nilai yang paling mungkin. Istilah "nilai yang paling mungkin" sebenarnya hanya berlaku untuk kuantitas yang tidak diskontinu; untuk besaran kontinyu, modus adalah nilai dimana kepadatan probabilitasnya maksimum. Mari kita sepakat untuk menyatakan modus dengan huruf . Pada Gambar. 5.6.1 dan 5.6.2 masing-masing menunjukkan modus untuk variabel acak terputus-putus dan kontinu.
Jika poligon distribusi (kurva distribusi) mempunyai lebih dari satu maksimum, distribusi tersebut disebut “multimodal” (Gambar 5.6.3 dan 5.6.4).
Terkadang ada distribusi yang memiliki nilai minimum di tengah, bukan maksimum (Gambar 5.6.5 dan 5.6.6). Distribusi seperti ini disebut “anti-modal”. Contoh distribusi antimodal adalah distribusi yang diperoleh pada Contoh 5, n° 5.1.
DI DALAM kasus umum modus dan ekspektasi matematis dari variabel acak tidak bersamaan. Dalam kasus tertentu, jika distribusinya simetris dan modal (yaitu memiliki modus) dan terdapat ekspektasi matematis, maka distribusi tersebut bertepatan dengan modus dan pusat simetri distribusi.
Karakteristik posisi lain yang sering digunakan - yang disebut median dari variabel acak. Karakteristik ini biasanya hanya digunakan untuk variabel acak kontinu, meskipun dapat juga didefinisikan secara formal untuk variabel diskontinu.
Median suatu variabel acak adalah nilainya
itu. besar kemungkinannya bahwa variabel acak akan lebih kecil atau lebih besar dari . Secara geometris, median adalah absis titik di mana luas yang dibatasi oleh kurva distribusi dibagi dua (Gbr. 5.6.7).
Nilai yang diharapkan. Harapan matematis variabel acak diskrit X, mengambil sejumlah nilai terbatas XSaya dengan probabilitas RSaya, jumlahnya disebut:
Harapan matematis variabel acak kontinu X disebut integral dari produk nilai-nilainya X pada kepadatan distribusi probabilitas F(X):
(6B)
Integral tak wajar (6 B) diasumsikan konvergen mutlak (jika tidak, mereka mengatakan bahwa ekspektasi matematis M(X) tidak ada). Ekspektasi matematis menjadi cirinya nilai rata-rata variabel acak X. Dimensinya bertepatan dengan dimensi variabel acak.
Sifat-sifat ekspektasi matematis:
Penyebaran. Perbedaan variabel acak X nomor tersebut disebut:
Variansnya adalah karakteristik hamburan nilai variabel acak X dibandingkan dengan nilai rata-ratanya M(X). Dimensi varians sama dengan dimensi variabel acak yang dikuadratkan. Berdasarkan definisi varians (8) dan ekspektasi matematis (5) untuk variabel acak diskrit dan (6) untuk variabel acak kontinu, kita memperoleh ekspresi serupa untuk varians:
(9)
Di Sini M = M(X).
Sifat dispersi:
Deviasi standar:
(11)
Karena dimensinya rata-rata deviasi persegi sama seperti variabel acak, variabel ini lebih sering digunakan sebagai ukuran penyebaran daripada varians.
Momen distribusi. Konsep ekspektasi dan dispersi matematis adalah kasus khusus yang lebih banyak konsep umum untuk karakteristik numerik variabel acak – momen distribusi. Momen distribusi variabel acak diperkenalkan sebagai ekspektasi matematis dari beberapa fungsi sederhana dari variabel acak. Jadi, momen pemesanan k relatif terhadap intinya X 0 disebut ekspektasi matematis M(X–X 0 )k. Momen tentang asal usul X= 0 dipanggil momen awal dan ditunjuk:
(12)
Momen awal orde pertama adalah pusat distribusi variabel acak yang ditinjau:
(13)
Momen tentang pusat distribusi X= M disebut poin sentral dan ditunjuk:
(14)
Dari (7) maka momen sentral orde pertama selalu sama dengan nol:
Momen sentral tidak bergantung pada asal mula nilai variabel acak, karena digeser dengan nilai konstan DENGAN pusat distribusinya bergeser dengan nilai yang sama DENGAN, dan penyimpangan dari pusat tidak berubah: X – M = (X – DENGAN) – (M – DENGAN).
Sekarang sudah jelas bahwa penyebaran- Ini momen sentral orde kedua:
Asimetri. Momen sentral urutan ketiga:
(17)
berfungsi untuk evaluasi asimetri distribusi. Jika distribusinya simetris terhadap suatu titik X= M, maka momen pusat orde ketiga akan sama dengan nol (seperti semua momen pusat orde ganjil). Oleh karena itu, jika momen pusat orde ketiga berbeda dengan nol, maka distribusinya tidak bisa simetris. Besarnya asimetri dinilai dengan menggunakan alat tak berdimensi koefisien asimetri:
(18)
Tanda koefisien asimetri (18) menunjukkan asimetri sisi kanan atau kiri (Gbr. 2).
Beras. 2. Jenis-jenis asimetri distribusi.
Kelebihan. Momen sentral orde keempat:
(19)
berfungsi untuk mengevaluasi apa yang disebut kelebihan, yang menentukan derajat kecuraman (ketajaman) kurva distribusi di dekat pusat distribusi terhadap kurva distribusi normal. Karena untuk berdistribusi normal nilai yang diambil sebagai kurtosis adalah:
(20)
Pada Gambar. Gambar 3 menunjukkan contoh kurva distribusi dengan nilai kurtosis yang berbeda-beda. Untuk distribusi normal E= 0. Kurva yang lebih runcing dari biasanya mempunyai kurtosis positif, sedangkan kurva yang puncaknya lebih datar mempunyai kurtosis negatif.
Beras. 3. Kurva distribusi dengan derajat yang berbeda-beda kesejukan (berlebihan).
Momen tingkat tinggi dalam aplikasi teknik statistik matematika biasanya tidak digunakan.
Mode
terpisah variabel acak adalah nilai yang paling mungkin. Mode kontinu variabel acak adalah nilainya di mana kepadatan probabilitasnya maksimum (Gbr. 2). Jika kurva distribusi mempunyai satu maksimum, maka disebut distribusi unimodal. Jika suatu kurva distribusi mempunyai lebih dari satu maksimum, maka disebut distribusi multimodal. Terkadang ada distribusi yang kurvanya mempunyai nilai minimum dan bukan maksimum. Distribusi seperti ini disebut anti-modal. Dalam kasus umum, modus dan ekspektasi matematis dari variabel acak tidak bersamaan. Dalam kasus khusus, untuk modal, yaitu mempunyai modus, distribusi simetris dan asalkan terdapat ekspektasi matematis, ekspektasi matematis tersebut bertepatan dengan modus dan pusat simetri distribusi.
median variabel acak X- inilah artinya Ya ampun, yang persamaannya berlaku: mis. kemungkinannya sama bahwa variabel acak X akan lebih sedikit atau lebih Ya ampun. Secara geometris median adalah absis titik di mana luas di bawah kurva distribusi terbagi dua (Gbr. 2). Dalam kasus distribusi modal simetris, median, modus, dan ekspektasi matematisnya adalah sama.
Mode- nilai dalam sekumpulan observasi yang paling sering terjadi
Mo = X Mo + h Mo * (f Mo - f Mo-1) : ((f Mo - f Mo-1) + (f Mo - f Mo+1)),
di sini X Mo adalah batas kiri interval modal, h Mo adalah panjang interval modal, f Mo-1 adalah frekuensi interval pramodal, f Mo adalah frekuensi interval modal, f Mo+1 adalah frekuensi interval modal. frekuensi interval pasca-modal.
Modus distribusi kontinu mutlak adalah titik mana pun maksimum lokal kepadatan distribusi. Untuk distribusi diskrit suatu mode dianggap sebagai nilai apa pun a i, yang probabilitasnya pi lebih besar daripada probabilitas nilai tetangganya
median variabel acak kontinu X nilainya Me disebut yang mempunyai kemungkinan yang sama bahwa variabel acaknya akan lebih kecil atau lebih besar Ya ampun, yaitu
Saya =(n+1)/2 P(X < Saya) = P(X > Ya ampun)
NSV yang terdistribusi secara merata
Distribusi seragam. Suatu variabel acak kontinu disebut terdistribusi merata pada segmen () jika kepadatan distribusinya berfungsi (Gbr. 1.6, A) memiliki bentuk:
Penunjukan: – SW didistribusikan secara merata ke seluruh .
Dengan demikian, fungsi distribusi pada segmen tersebut (Gbr. 1.6, B):
Beras. 1.6. Fungsi variabel acak yang terdistribusi secara seragam pada [ A,B]: A– kepadatan probabilitas F(X); B– distribusi F(X)
Ekspektasi matematis dan varians SV tertentu ditentukan oleh ekspresi:
Karena kesimetrisan fungsi kepadatan, maka bertepatan dengan median. Modifikasi distribusi seragam tidak punya
Contoh 4. Waktu tunggu untuk jawaban panggilan telepon bergantung pada variabel acak hukum yang seragam distribusi dalam rentang 0 hingga 2 menit. Temukan fungsi distribusi integral dan diferensial dari variabel acak ini.
27.Hukum distribusi probabilitas yang normal
Variabel acak kontinu x berdistribusi normal dengan parameter: m,s > 0, jika kepadatan distribusi probabilitasnya berbentuk:
dimana: m – ekspektasi matematis, s – standar deviasi.
Distribusi normal disebut juga Gaussian setelah ahli matematika Jerman Gauss. Fakta bahwa suatu variabel acak mempunyai distribusi normal dengan parameter: m, dinotasikan sebagai berikut: N (m,s), dimana: m=a=M[X];
Seringkali dalam rumus, ekspektasi matematis dilambangkan dengan A . Jika suatu variabel acak terdistribusi menurut hukum N(0,1), maka disebut variabel normal ternormalisasi atau terstandarisasi. Fungsi distribusinya berbentuk:
Grafik kepadatan distribusi normal, yang disebut kurva normal atau kurva Gaussian, ditunjukkan pada Gambar 5.4.
Beras. 5.4. Kepadatan distribusi normal
properti variabel acak yang mempunyai hukum distribusi normal.
1. Jika , maka carilah peluang nilai ini jatuh ke dalam interval tertentu ( x 1;) rumus yang digunakan:
2. Probabilitas penyimpangan suatu variabel acak dari ekspektasi matematisnya tidak akan melebihi nilai (oleh nilai mutlak), adalah sama.
Tujuan pembelajaran: untuk membentuk pada siswa gagasan tentang median himpunan bilangan dan kemampuan menghitungnya untuk himpunan bilangan sederhana, untuk memantapkan konsep mean aritmatika dari himpunan bilangan.
Jenis pelajaran: penjelasan materi baru.
Peralatan: papan tulis, buku teks ed. Yu.N Tyurina “Teori dan Statistik Probabilitas”, komputer dengan proyektor.
Selama kelas
1. Momen organisasi.
Menginformasikan topik pelajaran dan merumuskan tujuannya.
2. Memperbarui pengetahuan sebelumnya.
Pertanyaan untuk siswa:
- Berapakah mean aritmatika dari sekumpulan bilangan?
- Di manakah letak mean aritmatika dalam sekumpulan angka?
- Apa yang menjadi ciri rata-rata aritmatika dari sekumpulan bilangan?
- Di manakah mean aritmatika dari sekumpulan angka yang sering digunakan?
Tugas lisan:
Temukan mean aritmatika dari sekumpulan angka:
- 1, 3, 5, 7, 9;
- 10, 12, 18, 20
Penyelidikan pekerjaan rumah menggunakan proyektor ( Lampiran 1):
Buku Ajar : No.12 (b,d), No.18 (c,d)
3. Mempelajari materi baru.
Pada pelajaran sebelumnya, kita telah mengenal karakteristik statistik seperti mean aritmatika dari sekumpulan angka. Hari ini kita akan mencurahkan pelajaran untuk karakteristik statistik lainnya - median.
Tidak hanya rata-rata aritmatika yang menunjukkan di mana letak bilangan-bilangan suatu himpunan pada garis bilangan dan di mana pusatnya. Indikator lainnya adalah median.
Median suatu himpunan bilangan adalah bilangan yang membagi himpunan tersebut menjadi dua bagian yang sama besar. Daripada menggunakan “median”, Anda bisa mengatakan “tengah”.
Pertama, mari kita lihat contoh cara mencari median, lalu berikan definisi tegasnya.
Perhatikan contoh lisan berikut menggunakan proyektor ( Lampiran 2)
Pada akhirnya tahun ajaran 11 siswa kelas 7 lulus standar lari 100 meter. Hasil berikut dicatat:
Setelah anak-anak berlari jauh, Petya menghampiri guru tersebut dan menanyakan hasilnya.
"Paling hasil rata-rata: 16,9 detik,” jawab guru
"Mengapa?" – Petya terkejut. – Lagi pula, rata-rata aritmatika dari semua hasil adalah sekitar 18,3 detik, dan saya berlari lebih dari satu detik lebih baik. Dan secara umum, hasil Katya (18,4) lebih mendekati rata-rata dibandingkan hasil saya.”
“Hasil Anda rata-rata, karena lima orang berlari lebih baik dari Anda, dan lima orang berlari lebih buruk dari Anda. Artinya, kamu berada tepat di tengah-tengah,” kata sang guru. [2]
Tuliskan algoritma untuk mencari median suatu himpunan bilangan:
- Menyusun kumpulan angka (membuat rangkaian rangking).
- Pada saat yang sama, coretlah angka “terbesar” dan “terkecil” dari kumpulan angka tertentu hingga tersisa satu atau dua angka.
- Jika hanya tersisa satu angka maka itu adalah median.
- Jika masih ada dua angka yang tersisa, maka mediannya adalah rata-rata aritmatika dari dua angka yang tersisa.
Ajaklah siswa untuk secara mandiri merumuskan definisi median himpunan bilangan, kemudian membaca dua definisi median di buku teks (hal. 50), kemudian melihat contoh 4 dan 5 di buku teks (hal. 50-52)
Komentar:
Tarik perhatian siswa pada fakta penting: median secara praktis tidak peka terhadap penyimpangan signifikan dari nilai ekstrim individu dari kumpulan bilangan. Dalam statistik, sifat ini disebut stabilitas. Stabilitas indikator statistik sangat properti penting, ini menjamin kita terhadap kesalahan acak dan data individual yang tidak dapat diandalkan.
4. Konsolidasi materi yang dipelajari.
Memecahkan angka dari buku teks untuk paragraf 11 “Median”.
Kumpulan angka: 1,3,5,7,9
=(1+3+5+7+9):5=25:5=5
Kumpulan angka: 1,3,5,7,14.
=(1+3+5+7+14):5=30:5=6
a) Himpunan bilangan : 3,4,11,17,21
b) Himpunan bilangan : 17,18,19,25,28
c) Kumpulan angka: 25, 25, 27, 28, 29, 40, 50
Kesimpulan: median himpunan bilangan yang jumlah anggotanya ganjil sama dengan bilangan di tengahnya.
a) Kumpulan angka: 2, 4, 8 , 9.
Saya = (4+8):2=12:2=6
b) Himpunan bilangan : 1,3, 5,7 ,8,9.
Saya = (5+7):2=12:2=6
Median himpunan bilangan yang jumlah sukunya genap sama dengan setengah jumlah dua bilangan di tengahnya.
Siswa tersebut menerima nilai aljabar berikut selama kuartal tersebut:
5, 4, 2, 5, 5, 4, 4, 5, 5, 5.
Temukan mean dan median dari himpunan ini. [3]
Mari kita urutkan himpunan angkanya : 2,4,4,4,5,5,5,5,5,5
Hanya ada 10 angka, untuk mencari median Anda perlu mengambil dua angka tengah dan mencari setengah jumlah keduanya.
Saya = (5+5):2 = 5
Pertanyaan untuk siswa: Jika Anda seorang guru, berapa nilai yang akan Anda berikan kepada siswa tersebut untuk kuartal tersebut? Benarkan jawaban Anda.
Presiden perusahaan menerima gaji 300.000 rubel. tiga wakilnya masing-masing menerima 150.000 rubel, empat puluh karyawan - masing-masing 50.000 rubel. dan gaji petugas kebersihan adalah 10.000 rubel. Temukan mean aritmatika dan median gaji di perusahaan. Manakah dari karakteristik berikut yang lebih bermanfaat bagi presiden untuk digunakan dalam tujuan periklanan?
= (300000+3·150000+40·50000+10000):(1+3+40+1) = 2760000:4561333,33 (gosok)
Tugas 3. (Ajak siswa menyelesaikan sendiri, proyeksikan masalahnya menggunakan proyektor)
Tabel tersebut menunjukkan perkiraan volume air dalam meter kubik danau dan waduk terbesar di Rusia. km. (Lampiran 3) [ 4 ]
A) Temukan volume rata-rata air di reservoir ini (rata-rata aritmatika);
B) Temukan volume air dalam ukuran rata-rata reservoir (median data);
Q) Menurut Anda, manakah dari karakteristik berikut - mean aritmatika atau median - yang lebih menggambarkan volume reservoir besar pada umumnya di Rusia? Jelaskan jawabanmu.
a) 2459 meter kubik km
b) 60 meter kubik. km
c) Median, karena data tersebut mengandung nilai-nilai yang sangat berbeda dari yang lainnya.
Tugas 4. Secara lisan.
A) Berapa banyak bilangan suatu himpunan jika suku kesembilannya adalah mediannya?
B) Berapa banyak bilangan dalam suatu himpunan jika mediannya merupakan rata-rata aritmatika suku ke-7 dan ke-8?
C) Dalam himpunan tujuh bilangan, bilangan terbesar bertambah 14. Apakah ini akan mengubah mean dan median aritmatika?
D) Setiap bilangan dalam himpunan tersebut ditambah 3. Apa yang terjadi dengan mean dan median aritmatika?
Permen di toko dijual berdasarkan beratnya. Untuk mengetahui berapa banyak permen yang terkandung dalam satu kilogram, Masha memutuskan untuk mencari berat satu permen. Dia menimbang beberapa permen dan mendapatkan hasil sebagai berikut:
12, 13, 14, 12, 15, 16, 14, 13, 11.
Kedua sifat tersebut cocok untuk memperkirakan berat suatu permen, karena mereka tidak jauh berbeda satu sama lain.
Jadi, untuk mengkarakterisasi informasi statistik digunakan mean aritmatika dan median. Dalam banyak kasus, salah satu karakteristik mungkin tidak memiliki arti yang berarti (misalnya, memiliki informasi tentang waktu terjadinya kecelakaan di jalan raya, hampir tidak masuk akal untuk membicarakan rata-rata aritmatika dari data ini).
- Pekerjaan rumah: paragraf 11, No.3,4,9,11.
- Ringkasan pelajaran. Cerminan.
Literatur:
- Yu.N. Tyurin dkk. “Teori dan statistik probabilitas”, Rumah penerbitan MTsNMO, OJSC “Buku teks Moskow”, Moskow 2008.
- EA. Bunimovich, V.A. Bulychev “Dasar-dasar statistik dan probabilitas”, DROFA, Moskow 2004.
- Surat Kabar “Matematika” No. 23 Tahun 2007.
- Versi demo pekerjaan tes tentang teori probabilitas dan statistika untuk kelas 7 tahun ajaran 2007/2008. tahun.
