കോർഡിനേറ്റുകൾ ഉപയോഗിച്ച് ഒരു സെഗ്മെൻ്റിൻ്റെ ദൈർഘ്യം കണ്ടെത്തുന്നു. ഒരു സെഗ്മെൻ്റിൻ്റെ മധ്യഭാഗത്തിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ കണ്ടെത്തൽ, ഉദാഹരണങ്ങൾ, പരിഹാരങ്ങൾ

സെഗ്മെൻ്റ് പ്രകാരംഈ രണ്ട് പോയിൻ്റുകൾക്കിടയിൽ സ്ഥിതിചെയ്യുന്ന ഈ വരിയുടെ എല്ലാ പോയിൻ്റുകളും അടങ്ങുന്ന ഒരു നേർരേഖയുടെ ഒരു ഭാഗം വിളിക്കുക - അവയെ സെഗ്മെൻ്റിൻ്റെ അറ്റങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ആദ്യ ഉദാഹരണം നോക്കാം. കോർഡിനേറ്റ് പ്ലെയിനിലെ രണ്ട് പോയിൻ്റുകളാൽ ഒരു നിശ്ചിത സെഗ്മെൻ്റ് നിർവചിക്കട്ടെ. IN ഈ സാഹചര്യത്തിൽപൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം പ്രയോഗിച്ച് നമുക്ക് അതിൻ്റെ ദൈർഘ്യം കണ്ടെത്താം.

അതിനാൽ, കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ അതിൻ്റെ അറ്റത്ത് നൽകിയിരിക്കുന്ന കോർഡിനേറ്റുകൾ ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ ഒരു സെഗ്മെൻ്റ് വരയ്ക്കുന്നു(x1; y1) ഒപ്പം (x2; y2) . അച്ചുതണ്ടിൽ എക്സ് ഒപ്പം വൈ സെഗ്മെൻ്റിൻ്റെ അറ്റത്ത് നിന്ന് ലംബമായി വരയ്ക്കുക. കോർഡിനേറ്റ് അച്ചുതണ്ടിലെ യഥാർത്ഥ സെഗ്‌മെൻ്റിൽ നിന്നുള്ള പ്രൊജക്ഷൻ ആയ സെഗ്‌മെൻ്റുകൾ നമുക്ക് ചുവപ്പ് നിറത്തിൽ അടയാളപ്പെടുത്താം. ഇതിനുശേഷം, സെഗ്‌മെൻ്റുകളുടെ അറ്റത്ത് സമാന്തരമായി പ്രൊജക്ഷൻ സെഗ്‌മെൻ്റുകൾ ഞങ്ങൾ കൈമാറുന്നു. നമുക്ക് ഒരു ത്രികോണം (ദീർഘചതുരം) ലഭിക്കും. ഈ ത്രികോണത്തിൻ്റെ ഹൈപ്പോടെനസ് സെഗ്മെൻ്റ് AB തന്നെയായിരിക്കും, അതിൻ്റെ കാലുകൾ കൈമാറ്റം ചെയ്യപ്പെട്ട പ്രൊജക്ഷനുകളാണ്.

ഈ പ്രൊജക്ഷനുകളുടെ ദൈർഘ്യം നമുക്ക് കണക്കാക്കാം. അതിനാൽ, അച്ചുതണ്ടിലേക്ക് വൈ പ്രൊജക്ഷൻ ദൈർഘ്യം ആണ് y2-y1 , ഒപ്പം അച്ചുതണ്ടിലും എക്സ് പ്രൊജക്ഷൻ ദൈർഘ്യം ആണ് x2-x1 . നമുക്ക് പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം പ്രയോഗിക്കാം: |AB|² = (y2 - y1)² + (x2 - x1)² . ഈ സാഹചര്യത്തിൽ |എബി| സെഗ്മെൻ്റിൻ്റെ ദൈർഘ്യമാണ്.

ഒരു സെഗ്‌മെൻ്റിൻ്റെ ദൈർഘ്യം കണക്കാക്കാൻ നിങ്ങൾ ഈ ഡയഗ്രം ഉപയോഗിക്കുകയാണെങ്കിൽ, നിങ്ങൾ സെഗ്‌മെൻ്റ് നിർമ്മിക്കേണ്ടതില്ല. ഇപ്പോൾ കോർഡിനേറ്റുകൾ ഉപയോഗിച്ച് സെഗ്മെൻ്റിൻ്റെ ദൈർഘ്യം കണക്കാക്കാം (1;3) ഒപ്പം (2;5) . പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം പ്രയോഗിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്: |AB|² = (2 - 1)² + (5 - 3)² = 1 + 4 = 5 . ഇതിനർത്ഥം ഞങ്ങളുടെ സെഗ്മെൻ്റിൻ്റെ ദൈർഘ്യം തുല്യമാണ് എന്നാണ് 5:1/2 .

ഒരു സെഗ്‌മെൻ്റിൻ്റെ ദൈർഘ്യം കണ്ടെത്തുന്നതിന് ഇനിപ്പറയുന്ന രീതി പരിഗണിക്കുക. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ചില സിസ്റ്റത്തിലെ രണ്ട് പോയിൻ്റുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ നമ്മൾ അറിയേണ്ടതുണ്ട്. ഒരു ദ്വിമാന കാർട്ടീഷ്യൻ കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റം ഉപയോഗിച്ച് ഈ ഓപ്ഷൻ പരിഗണിക്കാം.

അതിനാൽ, ഒരു ദ്വിമാന കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ, സെഗ്മെൻ്റിൻ്റെ അങ്ങേയറ്റത്തെ പോയിൻ്റുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ നൽകിയിരിക്കുന്നു. ഈ പോയിൻ്റുകളിലൂടെ നമ്മൾ നേർരേഖകൾ വരയ്ക്കുകയാണെങ്കിൽ, അവ കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷത്തിന് ലംബമായിരിക്കണം, അപ്പോൾ നമുക്ക് ലഭിക്കും വലത് ത്രികോണം. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ത്രികോണത്തിൻ്റെ ഹൈപ്പോടെനസ് ആയിരിക്കും യഥാർത്ഥ സെഗ്മെൻ്റ്. ഒരു ത്രികോണത്തിൻ്റെ കാലുകൾ സെഗ്മെൻ്റുകളായി മാറുന്നു, അവയുടെ നീളം കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷങ്ങളിലെ ഹൈപ്പോടെനസിൻ്റെ പ്രൊജക്ഷന് തുല്യമാണ്. പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, ഞങ്ങൾ നിഗമനം ചെയ്യുന്നു: തന്നിരിക്കുന്ന സെഗ്‌മെൻ്റിൻ്റെ ദൈർഘ്യം കണ്ടെത്തുന്നതിന്, രണ്ട് കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷങ്ങളിലേക്ക് പ്രൊജക്ഷനുകളുടെ ദൈർഘ്യം കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്.

പ്രൊജക്ഷനുകളുടെ ദൈർഘ്യം കണ്ടെത്താം (എക്സ്, വൈ) കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷങ്ങളിലേക്ക് യഥാർത്ഥ സെഗ്മെൻ്റ്. ഒരു പ്രത്യേക അക്ഷത്തിൽ പോയിൻ്റുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകളിലെ വ്യത്യാസം കണ്ടെത്തി ഞങ്ങൾ അവ കണക്കാക്കുന്നു: X = X2-X1, Y = Y2-Y1 .

സെഗ്മെൻ്റിൻ്റെ ദൈർഘ്യം കണക്കാക്കുക എ , ഇതിനായി ഞങ്ങൾ സ്ക്വയർ റൂട്ട് കണ്ടെത്തുന്നു:

A = √(X²+Y²) = √ ((X2-X1)²+(Y2-Y1)²) .

കോർഡിനേറ്റുകളുടെ പോയിൻ്റുകൾക്കിടയിലാണ് ഞങ്ങളുടെ സെഗ്മെൻ്റ് സ്ഥിതി ചെയ്യുന്നതെങ്കിൽ 2;4 ഒപ്പം 4;1 , അപ്പോൾ അതിൻ്റെ നീളം അതിനനുസരിച്ച് തുല്യമാണ് √((4-2)²+(1-4)²) = √13 ≈ 3.61 .

ഒരു സെഗ്‌മെൻ്റിൻ്റെ എക്‌സ്ട്രീം പോയിൻ്റുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ പ്രാരംഭ ഡാറ്റയായി ലഭ്യമാണെങ്കിൽ അതിൻ്റെ മധ്യഭാഗത്തെ കോർഡിനേറ്റുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള പ്രശ്‌നങ്ങൾ ചുവടെയുള്ള ലേഖനം ഉൾക്കൊള്ളുന്നു. എന്നാൽ പ്രശ്നം പഠിക്കാൻ തുടങ്ങുന്നതിനുമുമ്പ്, നമുക്ക് നിരവധി നിർവചനങ്ങൾ അവതരിപ്പിക്കാം.

Yandex.RTB R-A-339285-1 നിർവ്വചനം 1

സെഗ്മെൻ്റ്- രണ്ട് അനിയന്ത്രിതമായ പോയിൻ്റുകളെ ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന ഒരു നേർരേഖ, ഒരു സെഗ്മെൻ്റിൻ്റെ അറ്റങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഉദാഹരണമായി, ഇവ എ, ബി എന്നീ പോയിൻ്റുകളും അതനുസരിച്ച് സെഗ്‌മെൻ്റ് എ ബിയും ആയിരിക്കട്ടെ.

A B എന്ന സെഗ്‌മെൻ്റ് A, B പോയിൻ്റുകളിൽ നിന്ന് രണ്ട് ദിശകളിലും തുടരുകയാണെങ്കിൽ, നമുക്ക് A B എന്ന നേർരേഖ ലഭിക്കും. അപ്പോൾ സെഗ്മെൻ്റ് A B എന്നത് ഫലമായുണ്ടാകുന്ന നേർരേഖയുടെ ഭാഗമാണ്, അത് A, B എന്നീ പോയിൻ്റുകളാൽ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു. സെഗ്‌മെൻ്റ് A B അതിൻ്റെ അറ്റങ്ങളായ എ, ബി പോയിൻ്റുകളും അതിനിടയിലുള്ള പോയിൻ്റുകളുടെ കൂട്ടവും ഒന്നിക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, A, B പോയിൻ്റുകൾക്കിടയിൽ കിടക്കുന്ന ഏതെങ്കിലും അനിയന്ത്രിതമായ പോയിൻ്റ് K എടുക്കുകയാണെങ്കിൽ, A B എന്ന സെഗ്‌മെൻ്റിലാണ് K പോയിൻ്റ് കിടക്കുന്നതെന്ന് നമുക്ക് പറയാം.

നിർവ്വചനം 2

വിഭാഗത്തിൻ്റെ ദൈർഘ്യം- ഒരു നിശ്ചിത സ്കെയിലിൽ ഒരു സെഗ്മെൻ്റിൻ്റെ അറ്റങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള ദൂരം (യൂണിറ്റ് നീളത്തിൻ്റെ ഒരു സെഗ്മെൻ്റ്). A B എന്ന സെഗ്‌മെൻ്റിൻ്റെ ദൈർഘ്യം നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ സൂചിപ്പിക്കാം: A B .

നിർവ്വചനം 3

സെഗ്മെൻ്റിൻ്റെ മധ്യഭാഗം- ഒരു സെഗ്മെൻ്റിൽ കിടക്കുന്ന ഒരു ബിന്ദു, അതിൻ്റെ അറ്റത്ത് നിന്ന് തുല്യ അകലത്തിൽ. A B സെഗ്‌മെൻ്റിൻ്റെ മധ്യഭാഗം പോയിൻ്റ് C കൊണ്ട് നിയുക്തമാക്കിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, തുല്യത ശരിയാകും: A C = C B

പ്രാരംഭ ഡാറ്റ: കോർഡിനേറ്റ് ലൈൻ O x ഉം അതിലെ നോൺ-കോൺസിഡിങ്ങ് പോയിൻ്റുകളും: A, B. ഈ പോയിൻ്റുകൾ യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു x എ ഒപ്പം x ബി. പോയിൻ്റ് സി സെഗ്മെൻ്റ് എ ബിയുടെ മധ്യമാണ്: കോർഡിനേറ്റ് നിർണ്ണയിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ് x സി.

പോയിൻ്റ് C ആയതിനാൽ A B എന്ന സെഗ്‌മെൻ്റിൻ്റെ മധ്യബിന്ദു, സമത്വം സത്യമായിരിക്കും: | എ സി | = | സി ബി | . പോയിൻ്റുകൾ തമ്മിലുള്ള ദൂരം നിർണ്ണയിക്കുന്നത് അവയുടെ കോർഡിനേറ്റുകളിലെ വ്യത്യാസത്തിൻ്റെ മോഡുലസാണ്, അതായത്.

| എ സി | = | സി ബി | ⇔ x C - x A = x B - x C

അപ്പോൾ രണ്ട് തുല്യതകൾ സാധ്യമാണ്: x C - x A = x B - x C, x C - x A = - (x B - x C)

ആദ്യ സമത്വത്തിൽ നിന്ന് നമ്മൾ പോയിൻ്റ് C യുടെ കോർഡിനേറ്റുകളുടെ സൂത്രവാക്യം ഉരുത്തിരിഞ്ഞു: x C = x A + x B 2 (സെഗ്മെൻ്റിൻ്റെ അറ്റങ്ങളുടെ കോർഡിനേറ്റുകളുടെ പകുതി തുക).

രണ്ടാമത്തെ സമത്വത്തിൽ നിന്ന് നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു: x A = x B, അത് അസാധ്യമാണ്, കാരണം ഉറവിട ഡാറ്റയിൽ - യാദൃശ്ചികമല്ലാത്ത പോയിൻ്റുകൾ. അങ്ങനെ, A (x A) എന്ന അറ്റങ്ങളുള്ള A B സെഗ്‌മെൻ്റിൻ്റെ മധ്യഭാഗത്തിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ നിർണ്ണയിക്കുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യം B(xB):

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഫോർമുല ഒരു വിമാനത്തിലോ ബഹിരാകാശത്തിലോ ഒരു സെഗ്‌മെൻ്റിൻ്റെ മധ്യഭാഗത്തിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ നിർണ്ണയിക്കുന്നതിനുള്ള അടിസ്ഥാനമായിരിക്കും.

പ്രാരംഭ ഡാറ്റ: O x y പ്ലെയിനിലെ ദീർഘചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റം, നൽകിയിരിക്കുന്ന കോർഡിനേറ്റുകളുള്ള A x A, y A, B x B, y B എന്നിവയുള്ള രണ്ട് ഏകപക്ഷീയമല്ലാത്ത യോജിപ്പില്ലാത്ത പോയിൻ്റുകൾ. എ ബി സെഗ്‌മെൻ്റിൻ്റെ മധ്യഭാഗമാണ് പോയിൻ്റ് സി. പോയിൻ്റ് സിക്ക് x C, y C കോർഡിനേറ്റുകൾ നിർണ്ണയിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

എ, ബി പോയിൻ്റുകൾ ഒത്തുപോകാതിരിക്കുകയും ഒരേ കോർഡിനേറ്റ് ലൈനിലോ അക്ഷങ്ങളിലൊന്നിന് ലംബമായ ഒരു വരയിലോ കിടക്കാതിരിക്കുകയും ചെയ്യുമ്പോൾ നമുക്ക് കേസ് വിശകലനം ചെയ്യാം. A x, A y; B x, B y, C x, C y - കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷങ്ങളിൽ A, B, C എന്നീ പോയിൻ്റുകളുടെ പ്രൊജക്ഷനുകൾ (നേരായ വരികൾ O x, O y).

നിർമ്മാണം അനുസരിച്ച്, A A x, B B x, C C x എന്നീ വരികൾ സമാന്തരമാണ്; വരികളും പരസ്പരം സമാന്തരമാണ്. ഇതോടൊപ്പം, തേൽസിൻ്റെ സിദ്ധാന്തമനുസരിച്ച്, A C = C B എന്ന സമത്വത്തിൽ നിന്ന് തുല്യതകൾ പിന്തുടരുന്നു: A x C x = C x B x, Ay C y = C y B y, കൂടാതെ അവ സൂചിപ്പിക്കുന്നത് C x ആണ് സെഗ്‌മെൻ്റിൻ്റെ മധ്യഭാഗം A x B x, C y എന്നത് A y B y സെഗ്‌മെൻ്റിൻ്റെ മധ്യമാണ്. തുടർന്ന്, നേരത്തെ ലഭിച്ച ഫോർമുലയെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

x C = x A + x B 2, y C = y A + y B 2

എ, ബി പോയിൻ്റുകൾ ഒരേ കോർഡിനേറ്റ് ലൈനിലോ അക്ഷങ്ങളിലൊന്നിന് ലംബമായ ഒരു വരിയിലോ കിടക്കുമ്പോൾ സമാന ഫോർമുലകൾ ഉപയോഗിക്കാം. നടത്തുക വിശദമായ വിശകലനംഞങ്ങൾ ഈ കേസ് പരിഗണിക്കില്ല, ഞങ്ങൾ ഇത് ഗ്രാഫിക്കായി മാത്രം പരിഗണിക്കും:

മുകളിൽ പറഞ്ഞവയെല്ലാം സംഗ്രഹിച്ചുകൊണ്ട്, അറ്റങ്ങളുടെ കോർഡിനേറ്റുകളുള്ള വിമാനത്തിലെ സെഗ്‌മെൻ്റിൻ്റെ എ ബിയുടെ മധ്യഭാഗത്തിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ A (x A, y A) ഒപ്പം B(xB, yB) ആയി നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു:

(x A + x B 2 , y A + y B 2)

പ്രാരംഭ ഡാറ്റ: കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റം O x y z, നൽകിയിരിക്കുന്ന കോർഡിനേറ്റുകൾ A (x A, y A, z A), B (x B, y B, z B) ഉള്ള രണ്ട് അനിയന്ത്രിതമായ പോയിൻ്റുകൾ. പോയിൻ്റ് സിയുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ നിർണ്ണയിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്, അത് സെഗ്മെൻ്റ് എ ബിയുടെ മധ്യമാണ്.

A x, A y, A z; B x , B y , B z, C x , C y , C z - എല്ലാത്തിൻ്റെയും പ്രൊജക്ഷനുകൾ പോയിൻ്റുകൾ നൽകികോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ അച്ചുതണ്ടിൽ.

തേൽസിൻ്റെ സിദ്ധാന്തമനുസരിച്ച്, ഇനിപ്പറയുന്ന തുല്യതകൾ ശരിയാണ്: A x C x = C x B x , A y C y = C y B y , A z C z = C z B z

അതിനാൽ, C x , C y , C z എന്നിവ യഥാക്രമം A x B x , A y B y , A z B z എന്നീ സെഗ്‌മെൻ്റുകളുടെ മധ്യ പോയിൻ്റുകളാണ്. പിന്നെ, ബഹിരാകാശത്ത് ഒരു സെഗ്‌മെൻ്റിൻ്റെ മധ്യഭാഗത്തിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ നിർണ്ണയിക്കുന്നതിന്, ഇനിപ്പറയുന്ന സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ശരിയാണ്:

x C = x A + x B 2, y c = y A + y B 2, z c = z A + Z B 2

എ, ബി പോയിൻ്റുകൾ കോർഡിനേറ്റ് ലൈനുകളിലൊന്നിൽ കിടക്കുന്ന സന്ദർഭങ്ങളിലും ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഫോർമുലകൾ ബാധകമാണ്; അക്ഷങ്ങളിൽ ഒന്നിന് ലംബമായി ഒരു നേർരേഖയിൽ; ഒരു കോർഡിനേറ്റ് തലത്തിൽ അല്ലെങ്കിൽ കോർഡിനേറ്റ് പ്ലെയിനുകളിൽ ഒന്നിന് ലംബമായ ഒരു തലം.

ഒരു സെഗ്‌മെൻ്റിൻ്റെ മധ്യഭാഗത്തിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ അതിൻ്റെ അറ്റങ്ങളിലെ റേഡിയസ് വെക്റ്ററുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ വഴി നിർണ്ണയിക്കുന്നു

വെക്‌ടറുകളുടെ ബീജഗണിത വ്യാഖ്യാനമനുസരിച്ച് ഒരു സെഗ്‌മെൻ്റിൻ്റെ മധ്യഭാഗത്തിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യവും ലഭിക്കും.

പ്രാരംഭ ഡാറ്റ: ദീർഘചതുരാകൃതിയിലുള്ള കാർട്ടീഷ്യൻ കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റം O x y, നൽകിയിരിക്കുന്ന കോർഡിനേറ്റുകളുള്ള പോയിൻ്റുകൾ A (x A, y A), B (x B, x B). എ ബി സെഗ്‌മെൻ്റിൻ്റെ മധ്യഭാഗമാണ് പോയിൻ്റ് സി.

വെക്റ്ററുകളിലെ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ജ്യാമിതീയ നിർവ്വചനം അനുസരിച്ച്, ഇനിപ്പറയുന്ന സമത്വം ശരിയാകും: O C → = 1 2 · O A → + O B → . ഈ കേസിലെ പോയിൻ്റ് C എന്നത് O A →, O B → വെക്റ്ററുകളുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ നിർമ്മിച്ച ഒരു സമാന്തരചലനത്തിൻ്റെ ഡയഗണലുകളുടെ വിഭജന പോയിൻ്റാണ്, അതായത്. ഡയഗണലുകളുടെ മധ്യഭാഗത്തെ പോയിൻ്റ് റേഡിയസ് വെക്‌ടറിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ പോയിൻ്റിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾക്ക് തുല്യമാണ്, അപ്പോൾ തുല്യതകൾ ശരിയാണ്: O A → = (x A, y A), O B → = (x B. , y B). കോർഡിനേറ്റുകളിലെ വെക്റ്ററുകളിൽ ചില പ്രവർത്തനങ്ങൾ നടത്തി നമുക്ക് നേടാം:

O C → = 1 2 · O A → + O B → = x A + x B 2 , y A + y B 2

അതിനാൽ, പോയിൻ്റ് സിക്ക് കോർഡിനേറ്റുകൾ ഉണ്ട്:

x A + x B 2, y A + y B 2

സാമ്യമനുസരിച്ച്, ബഹിരാകാശത്ത് ഒരു സെഗ്മെൻ്റിൻ്റെ മധ്യഭാഗത്തിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിന് ഒരു ഫോർമുല നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു:

C (x A + x B 2, y A + y B 2, z A + z B 2)

ഒരു സെഗ്‌മെൻ്റിൻ്റെ മധ്യ പോയിൻ്റിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ

മുകളിൽ ലഭിച്ച സൂത്രവാക്യങ്ങളുടെ ഉപയോഗം ഉൾപ്പെടുന്ന പ്രശ്‌നങ്ങളിൽ, സെഗ്‌മെൻ്റിൻ്റെ മധ്യഭാഗത്തിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ കണക്കാക്കുക എന്ന നേരിട്ടുള്ള ചോദ്യവും ഈ ചോദ്യത്തിലേക്ക് നൽകിയിരിക്കുന്ന വ്യവസ്ഥകൾ കൊണ്ടുവരുന്നത് ഉൾപ്പെടുന്നവയും ഉണ്ട്: “മധ്യസ്ഥം” എന്ന പദം. പലപ്പോഴും ഉപയോഗിക്കാറുണ്ട്, ഒരു സെഗ്‌മെൻ്റിൻ്റെ അറ്റത്ത് നിന്ന് ഒന്നിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ കണ്ടെത്തുക എന്നതാണ് ലക്ഷ്യം, കൂടാതെ സമമിതി പ്രശ്നങ്ങളും സാധാരണമാണ്, ഈ വിഷയം പഠിച്ചതിന് ശേഷം പൊതുവായി ഇതിൻ്റെ പരിഹാരം ബുദ്ധിമുട്ടുകൾ ഉണ്ടാക്കരുത്. നമുക്ക് സാധാരണ ഉദാഹരണങ്ങൾ നോക്കാം.

ഉദാഹരണം 1

പ്രാരംഭ ഡാറ്റ:വിമാനത്തിൽ - നൽകിയിരിക്കുന്ന കോർഡിനേറ്റുകളുള്ള പോയിൻ്റുകൾ എ (- 7, 3), ബി (2, 4). എ ബി വിഭാഗത്തിൻ്റെ മധ്യഭാഗത്തിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

പരിഹാരം

പോയിൻ്റ് C കൊണ്ട് A B സെഗ്മെൻ്റിൻ്റെ മധ്യഭാഗത്തെ സൂചിപ്പിക്കാം. സെഗ്‌മെൻ്റിൻ്റെ അറ്റങ്ങളുടെ കോർഡിനേറ്റുകളുടെ പകുതി തുകയായി അതിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ നിർണ്ണയിക്കപ്പെടും, അതായത്. പോയിൻ്റുകൾ എ, ബി.

x C = x A + x B 2 = - 7 + 2 2 = - 5 2 y C = y A + y B 2 = 3 + 4 2 = 7 2

ഉത്തരം: A B - 5 2, 7 2 വിഭാഗത്തിൻ്റെ മധ്യഭാഗത്തെ കോർഡിനേറ്റുകൾ.

ഉദാഹരണം 2

പ്രാരംഭ ഡാറ്റ: A B C ത്രികോണത്തിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ അറിയപ്പെടുന്നു: A (- 1, 0), B (3, 2), C (9, - 8). എ എം മീഡിയൻ്റെ നീളം കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

പരിഹാരം

1. പ്രശ്നത്തിൻ്റെ വ്യവസ്ഥകൾ അനുസരിച്ച്, A M ആണ് മീഡിയൻ, അതായത് M എന്നത് സെഗ്മെൻ്റ് B C യുടെ മധ്യഭാഗമാണ്. ഒന്നാമതായി, ബി സി സെഗ്മെൻ്റിൻ്റെ മധ്യഭാഗത്തെ കോർഡിനേറ്റുകൾ കണ്ടെത്താം, അതായത്. എം പോയിൻ്റുകൾ:

x M = x B + x C 2 = 3 + 9 2 = 6 y M = y B + y C 2 = 2 + (- 8) 2 = - 3

1. മീഡിയൻ്റെ (പോയിൻ്റുകൾ എ, എം) രണ്ട് അറ്റങ്ങളുടെയും കോർഡിനേറ്റുകൾ ഇപ്പോൾ നമുക്ക് അറിയാവുന്നതിനാൽ, പോയിൻ്റുകൾ തമ്മിലുള്ള ദൂരം നിർണ്ണയിക്കാനും മീഡിയൻ എ എമ്മിൻ്റെ നീളം കണക്കാക്കാനും നമുക്ക് ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കാം:

A M = (6 - (- 1)) 2 + (- 3 - 0) 2 = 58

ഉത്തരം: 58

ഉദാഹരണം 3

പ്രാരംഭ ഡാറ്റ:ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ ത്രിമാന സ്ഥലംസമാന്തരപൈപ്പുള്ള A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 നൽകിയിരിക്കുന്നു. പോയിൻ്റ് C 1 ൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ നൽകിയിരിക്കുന്നു (1, 1, 0), കൂടാതെ പോയിൻ്റ് M നിർവചിക്കപ്പെട്ടിട്ടുണ്ട്, ഇത് ഡയഗണൽ B D 1 ൻ്റെ മധ്യബിന്ദുവാണ്, കൂടാതെ M (4, 2, - 4) കോർഡിനേറ്റുകൾ ഉണ്ട്. പോയിൻ്റ് എ യുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ കണക്കാക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

പരിഹാരം

ഒരു സമാന്തരപൈപ്പിൻ്റെ ഡയഗണലുകൾ ഒരു ബിന്ദുവിൽ വിഭജിക്കുന്നു, അത് എല്ലാ ഡയഗണലുകളുടെയും മധ്യബിന്ദുവാണ്. ഈ പ്രസ്താവനയെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, പ്രശ്നത്തിൻ്റെ അവസ്ഥയിൽ നിന്ന് അറിയാവുന്ന പോയിൻ്റ് M എന്നത് സെഗ്‌മെൻ്റിൻ്റെ A C 1-ൻ്റെ മധ്യ പോയിൻ്റാണെന്ന് നമുക്ക് ഓർമ്മിക്കാം. ബഹിരാകാശത്ത് ഒരു സെഗ്‌മെൻ്റിൻ്റെ മധ്യഭാഗത്തെ കോർഡിനേറ്റുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള ഫോർമുലയെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, പോയിൻ്റ് എ: x M = x A + x C 1 2 ⇒ x A = 2 x M - x C 1 = 2 4 - യുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു. 1 + 7 y M = y A + y C 1 2 ⇒ y A = 2 y M - y C 1 = 2 2 - 1 = 3 z M = z A + z C 1 2 ⇒ z A = 2 z M - z സി 1 = 2 · (- 4) - 0 = - 8

ഉത്തരം:പോയിൻ്റ് എ (7, 3, - 8) യുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ.

ടെക്‌സ്‌റ്റിൽ ഒരു പിശക് നിങ്ങൾ ശ്രദ്ധയിൽപ്പെട്ടാൽ, അത് ഹൈലൈറ്റ് ചെയ്‌ത് Ctrl+Enter അമർത്തുക

ജ്യാമിതിയിൽ മൂന്ന് പ്രധാന കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു. സൈദ്ധാന്തിക മെക്കാനിക്സ്, ഭൗതികശാസ്ത്രത്തിൻ്റെ മറ്റ് ശാഖകൾ: കാർട്ടീഷ്യൻ, പോളാർ, ഗോളാകൃതി. ഈ കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റങ്ങളിൽ, മുഴുവൻ പോയിൻ്റിനും മൂന്ന് കോർഡിനേറ്റുകൾ ഉണ്ട്. 2 പോയിൻ്റുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ അറിയുന്നതിലൂടെ, ഈ രണ്ട് പോയിൻ്റുകൾ തമ്മിലുള്ള ദൂരം നിങ്ങൾക്ക് നിർണ്ണയിക്കാനാകും.

നിങ്ങൾക്ക് ആവശ്യമായി വരും

• ഒരു സെഗ്‌മെൻ്റിൻ്റെ അറ്റങ്ങളുടെ കാർട്ടീഷ്യൻ, ധ്രുവ, ഗോളാകൃതി കോർഡിനേറ്റുകൾ

നിർദ്ദേശങ്ങൾ

1. ആദ്യം, ഒരു ദീർഘചതുരാകൃതിയിലുള്ള കാർട്ടീഷ്യൻ കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റം പരിഗണിക്കുക. ഈ കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ ബഹിരാകാശത്തെ ഒരു പോയിൻ്റിൻ്റെ സ്ഥാനം നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു കോർഡിനേറ്റുകൾ x,y, z എന്നിവ. ഒരു റേഡിയസ് വെക്റ്റർ ഉത്ഭവത്തിൽ നിന്ന് ബിന്ദുവിലേക്ക് വരയ്ക്കുന്നു. കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷങ്ങളിലേക്കുള്ള ഈ റേഡിയസ് വെക്റ്ററിൻ്റെ പ്രൊജക്ഷനുകൾ ആയിരിക്കും കോർഡിനേറ്റുകൾഈ പോയിൻ്റ് ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് രണ്ട് പോയിൻ്റുകൾ നൽകട്ടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ x1,y1,z1, x2,y2, z2 എന്നിവ യഥാക്രമം. യഥാക്രമം r1 ഉം r2 ഉം കൊണ്ട് സൂചിപ്പിക്കുക, ആദ്യത്തെയും രണ്ടാമത്തെയും പോയിൻ്റുകളുടെ ആരം വെക്റ്ററുകൾ. പ്രത്യക്ഷത്തിൽ, ഈ രണ്ട് പോയിൻ്റുകൾക്കിടയിലുള്ള ദൂരം വെക്റ്റർ r = r1-r2 ൻ്റെ മോഡുലസിന് തുല്യമായിരിക്കും, അവിടെ (r1-r2) വെക്റ്റർ വ്യത്യാസം r ൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ പ്രത്യക്ഷത്തിൽ ഇനിപ്പറയുന്നതായിരിക്കും: x1-x2, y1-y2, z1-z2. അപ്പോൾ വെക്‌ടറിൻ്റെ കാന്തിമാനം r അല്ലെങ്കിൽ രണ്ട് പോയിൻ്റുകൾ തമ്മിലുള്ള ദൂരം ഇതിന് തുല്യമായിരിക്കും: r = sqrt(((x1-x2)^2)+((y1-y2)^2)+((z1-z2)^2 )).

2. ഇപ്പോൾ ഒരു പോളാർ കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റം പരിഗണിക്കുക, അതിൽ ഒരു പോയിൻ്റിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റ് റേഡിയൽ കോർഡിനേറ്റ് r (XY പ്ലെയിനിലെ ആരം വെക്റ്റർ), കോണീയ കോർഡിനേറ്റ് നൽകും? (വെക്റ്റർ r-നും X അച്ചുതണ്ടിനും ഇടയിലുള്ള കോണും) z കോർഡിനേറ്റും, കാർട്ടീഷ്യൻ സിസ്റ്റത്തിലെ z കോർഡിനേറ്റിന് സമാനമായി, ഒരു ബിന്ദുവിൻ്റെ ധ്രുവീയ കോർഡിനേറ്റുകളെ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ കാർട്ടീഷ്യൻ കോർഡിനേറ്റുകളായി പരിവർത്തനം ചെയ്യാൻ കഴിയും: x = r*cos? , y = r*sin?, z = z. അപ്പോൾ രണ്ട് പോയിൻ്റുകൾ തമ്മിലുള്ള ദൂരം കോർഡിനേറ്റുകൾ r1, ?1 ,z1, r2, ?2, z2 എന്നിവ R = sqrt(((r1*cos?1-r2*cos?2)^2)+((r1*sin?1-r2*sin) തുല്യമായിരിക്കും ?2 )^2)+((z1-z2)^2)) = sqrt((r1^2)+(r2^2)-2r1*r2(cos?1*cos?2+sin?1*sin? 2) +((z1-z2)^2))

3. ഇപ്പോൾ ഗോളാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റം നോക്കുക. അതിൽ, പോയിൻ്റിൻ്റെ സ്ഥാനം മൂന്ന് കൊണ്ട് വ്യക്തമാക്കിയിരിക്കുന്നു കോർഡിനേറ്റുകൾ r,? ഒപ്പം?. r - ഉത്ഭവത്തിൽ നിന്ന് പോയിൻ്റിലേക്കുള്ള ദൂരം, ? പിന്നെ? - യഥാക്രമം അസിമുത്തൽ, സെനിത്ത് ആംഗിൾ. കോർണർ? പോളാർ കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിലെ അതേ പദവിയുള്ള ഒരു കോണിന് സമാനമാണ്, അല്ലേ? - റേഡിയസ് വെക്‌ടറിനും Z അക്ഷത്തിനും ഇടയിലുള്ള കോൺ, 0<= ? <= pi.Переведем сферические координаты в декартовы: x = r*sin?*cos?, y = r*sin?*sin?*sin?, z = r*cos?. Расстояние между точками с കോർഡിനേറ്റുകൾ r1, ?1, ?1, r2, ?2, ?2 എന്നിവ R = sqrt(((r1*sin?1*cos?1-r2*sin?2*cos?2)^2)+( (r1 *sin?1*sin?1-r2*sin?2*sin?2)^2)+((r1*cos?1-r2*cos?2)^2)) = (((r1*sin?) ?1 )^2)+((r2*sin?2)^2)-2r1*r2*sin?1*sin?2*(cos?1*cos?2+sin?1*sin?2)+( (r1 *cos?1-r2*cos?2)^2))

വിഷയത്തെക്കുറിച്ചുള്ള വീഡിയോ

ഒരു സെഗ്മെൻ്റിൻ്റെ ദൈർഘ്യം വ്യത്യസ്ത രീതികളിൽ നിർണ്ണയിക്കാവുന്നതാണ്. ഒരു സെഗ്മെൻ്റിൻ്റെ ദൈർഘ്യം എങ്ങനെ കണ്ടെത്താമെന്ന് കണ്ടെത്തുന്നതിന്, ഒരു ഭരണാധികാരി ഉണ്ടായിരിക്കുകയോ കണക്കുകൂട്ടുന്നതിനുള്ള പ്രത്യേക സൂത്രവാക്യങ്ങൾ അറിയുകയോ ചെയ്താൽ മതിയാകും.

ഒരു റൂളർ ഉപയോഗിക്കുന്ന ഒരു സെഗ്‌മെൻ്റിൻ്റെ ദൈർഘ്യം

ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, വിമാനത്തിൽ നിർമ്മിച്ച സെഗ്മെൻ്റിലേക്ക് ഞങ്ങൾ മില്ലിമീറ്റർ ഡിവിഷനുകളുള്ള ഒരു ഭരണാധികാരി പ്രയോഗിക്കുന്നു, കൂടാതെ ആരംഭ പോയിൻ്റ് റൂളർ സ്കെയിലിൻ്റെ പൂജ്യവുമായി വിന്യസിക്കണം. ഈ സെഗ്‌മെൻ്റിൻ്റെ അവസാന പോയിൻ്റിൻ്റെ സ്ഥാനം നിങ്ങൾ ഈ സ്കെയിലിൽ അടയാളപ്പെടുത്തണം. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന മുഴുവൻ സ്കെയിൽ ഡിവിഷനുകളുടെ എണ്ണം സെഗ്മെൻ്റിൻ്റെ നീളം ആയിരിക്കും, അത് സെൻ്റീമീറ്ററിലും മില്ലീമീറ്ററിലും പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു.

പ്ലെയിൻ കോർഡിനേറ്റ് രീതി

സെഗ്‌മെൻ്റിൻ്റെ (x1;y1), (x2;y2) കോർഡിനേറ്റുകൾ അറിയാമെങ്കിൽ, അതിൻ്റെ ദൈർഘ്യം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ കണക്കാക്കണം. ആദ്യ പോയിൻ്റിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ രണ്ടാമത്തെ പോയിൻ്റിൻ്റെ തലത്തിലുള്ള കോർഡിനേറ്റുകളിൽ നിന്ന് കുറയ്ക്കണം. ഫലം രണ്ട് സംഖ്യകളായിരിക്കണം. ഈ സംഖ്യകൾ ഓരോന്നും സ്ക്വയർ ചെയ്യണം, തുടർന്ന് ഈ ചതുരങ്ങളുടെ ആകെത്തുക കണ്ടെത്തണം. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സംഖ്യയിൽ നിന്ന് നിങ്ങൾ സ്ക്വയർ റൂട്ട് വേർതിരിച്ചെടുക്കണം, അത് പോയിൻ്റുകൾ തമ്മിലുള്ള ദൂരമായിരിക്കും. ഈ പോയിൻ്റുകൾ സെഗ്മെൻ്റിൻ്റെ അറ്റങ്ങൾ ആയതിനാൽ, ഈ മൂല്യം അതിൻ്റെ ദൈർഘ്യമായിരിക്കും.

കോർഡിനേറ്റുകൾ ഉപയോഗിച്ച് ഒരു സെഗ്മെൻ്റിൻ്റെ ദൈർഘ്യം എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം എന്നതിൻ്റെ ഒരു ഉദാഹരണം നോക്കാം. രണ്ട് പോയിൻ്റുകളുടെ (-1;2), (4;7) കോർഡിനേറ്റുകൾ ഉണ്ട്. പോയിൻ്റുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം കണ്ടെത്തുമ്പോൾ, നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന മൂല്യങ്ങൾ ലഭിക്കും: x = 5, y = 5. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സംഖ്യകൾ സെഗ്മെൻ്റിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകളായിരിക്കും. അപ്പോൾ നമ്മൾ ഓരോ സംഖ്യയും സ്ക്വയർ ചെയ്യുകയും ഫലങ്ങളുടെ ആകെത്തുക കണ്ടെത്തുകയും ചെയ്യുന്നു, അത് 50 ന് തുല്യമാണ്. ഈ സംഖ്യയുടെ വർഗ്ഗമൂല്യം ഞങ്ങൾ എടുക്കുന്നു. ഫലം ഇതാണ്: 2 ൻ്റെ 5 വേരുകൾ. ഇത് സെഗ്മെൻ്റിൻ്റെ ദൈർഘ്യമാണ്.

ബഹിരാകാശത്ത് കോർഡിനേറ്റ് രീതി

ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഒരു വെക്റ്ററിൻ്റെ ദൈർഘ്യം എങ്ങനെ കണ്ടെത്താമെന്ന് നിങ്ങൾ പരിഗണിക്കേണ്ടതുണ്ട്. ഇതാണ് യൂക്ലിഡിയൻ സ്പേസിലെ ഒരു സെഗ്മെൻ്റ്. ഒരു വിമാനത്തിലെ ഒരു സെഗ്‌മെൻ്റിൻ്റെ നീളത്തിന് സമാനമായി ഇത് കാണപ്പെടുന്നു. വെക്റ്റർ വിവിധ തലങ്ങളിലാണ് നിർമ്മിച്ചിരിക്കുന്നത്. ഒരു വെക്റ്ററിൻ്റെ നീളം എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം?

1. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, വെക്റ്ററിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ കണ്ടെത്തുക, അതിൻ്റെ ആരംഭ പോയിൻ്റിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ അതിൻ്റെ അവസാന പോയിൻ്റിൽ നിന്ന് കുറയ്ക്കേണ്ടതുണ്ട്.
2. ഇതിനുശേഷം, നിങ്ങൾ ഓരോ വെക്റ്റർ കോർഡിനേറ്റും സ്ക്വയർ ചെയ്യേണ്ടതുണ്ട്.
3. അതിനുശേഷം ഞങ്ങൾ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റുകൾ കൂട്ടിച്ചേർക്കുന്നു.
4. ഒരു വെക്‌ടറിൻ്റെ ദൈർഘ്യം കണ്ടെത്താൻ, നിങ്ങൾ കോർഡിനേറ്റുകളുടെ സ്‌ക്വയറുകളുടെ ആകെത്തുകയുടെ സ്‌ക്വയർ റൂട്ട് എടുക്കേണ്ടതുണ്ട്.

ഒരു ഉദാഹരണം ഉപയോഗിച്ച് കണക്കുകൂട്ടൽ അൽഗോരിതം നോക്കാം. വെക്റ്റർ എബിയുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. എ, ബി പോയിൻ്റുകൾക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന കോർഡിനേറ്റുകൾ ഉണ്ട്: എ (1;6;3), ബി (3;-1;7). വെക്‌ടറിൻ്റെ ആരംഭം പോയിൻ്റ് എയിലാണ്, അവസാനം ബി പോയിൻ്റിൽ സ്ഥിതി ചെയ്യുന്നു. അതിനാൽ, അതിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിന്, പോയിൻ്റ് ബിയുടെ കോർഡിനേറ്റുകളിൽ നിന്ന് പോയിൻ്റ് എയുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ കുറയ്ക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്: (3 - 1; -1 - 6;7 - 3) = (2;- 7:4).

ഇപ്പോൾ നമ്മൾ ഓരോ കോർഡിനേറ്റും സ്ക്വയർ ചെയ്യുകയും അവയെ ചേർക്കുകയും ചെയ്യുന്നു: 4+49+16=69. അവസാനമായി, നൽകിയിരിക്കുന്ന സംഖ്യയുടെ വർഗ്ഗമൂല്യം എടുക്കുന്നു. എക്‌സ്‌ട്രാക്‌റ്റുചെയ്യാൻ പ്രയാസമാണ്, അതിനാൽ ഞങ്ങൾ ഈ രീതിയിൽ ഫലം എഴുതുന്നു: വെക്‌ടറിൻ്റെ നീളം 69 ൻ്റെ റൂട്ടിന് തുല്യമാണ്.

സെഗ്‌മെൻ്റുകളുടെയും വെക്റ്ററുകളുടെയും ദൈർഘ്യം സ്വയം കണക്കാക്കുന്നത് നിങ്ങൾക്ക് പ്രധാനമല്ലെങ്കിലും ഫലം ആവശ്യമാണെങ്കിൽ, നിങ്ങൾക്ക് ഒരു ഓൺലൈൻ കാൽക്കുലേറ്റർ ഉപയോഗിക്കാം, ഉദാഹരണത്തിന്, ഇത്.

ഇപ്പോൾ, ഈ രീതികൾ പഠിക്കുകയും അവതരിപ്പിച്ച ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഗണിക്കുകയും ചെയ്താൽ, ഏത് പ്രശ്നത്തിലും നിങ്ങൾക്ക് ഒരു സെഗ്മെൻ്റിൻ്റെ ദൈർഘ്യം എളുപ്പത്തിൽ കണ്ടെത്താൻ കഴിയും.

ഈ ലേഖനത്തിൽ, ഒരു സെഗ്മെൻ്റിൻ്റെ മധ്യഭാഗത്തിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ അതിൻ്റെ അറ്റങ്ങളുടെ കോർഡിനേറ്റുകളിൽ നിന്ന് കണ്ടെത്തുന്നതിനെക്കുറിച്ച് നമ്മൾ സംസാരിക്കും. ആദ്യം, ഞങ്ങൾ ആവശ്യമായ ആശയങ്ങൾ നൽകും, തുടർന്ന് ഒരു സെഗ്മെൻ്റിൻ്റെ മധ്യഭാഗത്തിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഞങ്ങൾ നേടും, ഉപസംഹാരമായി ഞങ്ങൾ സാധാരണ ഉദാഹരണങ്ങൾക്കും പ്രശ്നങ്ങൾക്കും പരിഹാരങ്ങൾ പരിഗണിക്കും.

പേജ് നാവിഗേഷൻ.

ഒരു സെഗ്മെൻ്റിൻ്റെ മധ്യഭാഗം എന്ന ആശയം.

ഒരു സെഗ്‌മെൻ്റിൻ്റെ മധ്യഭാഗം എന്ന ആശയം അവതരിപ്പിക്കുന്നതിന്, നമുക്ക് ഒരു സെഗ്‌മെൻ്റിൻ്റെയും അതിൻ്റെ നീളത്തിൻ്റെയും നിർവചനങ്ങൾ ആവശ്യമാണ്.

ഹൈസ്‌കൂളിലെ അഞ്ചാം ക്ലാസിലെ ഗണിത പാഠങ്ങളിൽ ഒരു സെഗ്‌മെൻ്റിൻ്റെ ആശയം ഇപ്രകാരമാണ് നൽകിയിരിക്കുന്നത്: ഞങ്ങൾ രണ്ട് ഏകപക്ഷീയമായ യാദൃശ്ചികമല്ലാത്ത രണ്ട് പോയിൻ്റുകൾ എ, ബി എടുക്കുകയാണെങ്കിൽ, അവയിൽ ഒരു ഭരണാധികാരി ഘടിപ്പിച്ച് എ മുതൽ ബി വരെ (അല്ലെങ്കിൽ ബിയിൽ നിന്ന് ഒരു രേഖ വരയ്ക്കുക. എ വരെ), അപ്പോൾ നമുക്ക് ലഭിക്കും സെഗ്മെൻ്റ് AB(അല്ലെങ്കിൽ സെഗ്മെൻ്റ് ബി എ). എ, ബി പോയിൻ്റുകളെ വിളിക്കുന്നു സെഗ്മെൻ്റിൻ്റെ അറ്റങ്ങൾ. സെഗ്‌മെൻ്റ് എബിയും ബിഎ സെഗ്‌മെൻ്റും ഒരേ സെഗ്‌മെൻ്റാണെന്ന് നാം ഓർക്കണം.

അറ്റത്ത് നിന്ന് രണ്ട് ദിശകളിലും സെഗ്മെൻ്റ് AB അനിശ്ചിതമായി തുടരുകയാണെങ്കിൽ, നമുക്ക് ലഭിക്കും നേരെ എബി(അല്ലെങ്കിൽ നേരിട്ടുള്ള VA). സെഗ്‌മെൻ്റ് AB എന്നത് AB രേഖയുടെ ഭാഗമാണ്, A, B പോയിൻ്റുകൾക്കിടയിൽ ഘടിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു. അങ്ങനെ, സെഗ്മെൻ്റ് AB എന്നത് എ, ബി പോയിൻ്റുകളുടെ യൂണിയൻ ആണ്, കൂടാതെ എ, ബി പോയിൻ്റുകൾക്കിടയിൽ സ്ഥിതിചെയ്യുന്ന നേർരേഖയായ എബിയുടെ എല്ലാ പോയിൻ്റുകളുടെയും ഗണമാണ്. A, B എന്നീ പോയിൻ്റുകൾക്കിടയിൽ സ്ഥിതി ചെയ്യുന്ന AB എന്ന വരിയുടെ ഏകപക്ഷീയമായ ഒരു പോയിൻ്റ് M എടുക്കുകയാണെങ്കിൽ, നമ്മൾ ആ പോയിൻ്റ് M എന്ന് പറയുന്നു. നുണ പറയുന്നു AB വിഭാഗത്തിൽ.

സെഗ്മെൻ്റിൻ്റെ ദൈർഘ്യംഒരു നിശ്ചിത സ്കെയിലിൽ (യൂണിറ്റ് ദൈർഘ്യത്തിൻ്റെ ഒരു സെഗ്മെൻ്റ്) പോയിൻ്റുകൾ എ, ബി എന്നിവ തമ്മിലുള്ള ദൂരമാണ് AB. AB എന്ന സെഗ്‌മെൻ്റിൻ്റെ ദൈർഘ്യം ഞങ്ങൾ സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

നിർവ്വചനം.

ഡോട്ട് സി എന്നാണ് വിളിക്കുന്നത് സെഗ്മെൻ്റിൻ്റെ മധ്യഭാഗം AB, അത് AB സെഗ്മെൻ്റിൽ കിടക്കുകയും അതിൻ്റെ അറ്റത്ത് നിന്ന് ഒരേ അകലത്തിലാണെങ്കിൽ.

അതായത്, പോയിൻ്റ് സി AB സെഗ്മെൻ്റിൻ്റെ മധ്യബിന്ദുവാണെങ്കിൽ, അത് അതിൽ കിടക്കുന്നു.

അടുത്തതായി, എ, ബി പോയിൻ്റുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ ഒരു കോർഡിനേറ്റ് ലൈനിലോ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിലോ നൽകിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, എബി സെഗ്മെൻ്റിൻ്റെ മധ്യഭാഗത്തെ കോർഡിനേറ്റുകൾ കണ്ടെത്തുക എന്നതാണ് ഞങ്ങളുടെ ചുമതല.

ഒരു കോർഡിനേറ്റ് ലൈനിലെ ഒരു സെഗ്മെൻ്റിൻ്റെ മധ്യഭാഗത്തിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റ്.

യഥാർത്ഥ സംഖ്യകൾക്കും . പോയിൻ്റ് C AB സെഗ്‌മെൻ്റിൻ്റെ മധ്യബിന്ദുവായിരിക്കട്ടെ. പോയിൻ്റ് സിയുടെ കോർഡിനേറ്റ് കണ്ടെത്താം.

പോയിൻ്റ് സി AB സെഗ്‌മെൻ്റിൻ്റെ മധ്യമായതിനാൽ, തുല്യത ശരിയാണ്. ഒരു കോർഡിനേറ്റ് ലൈനിൽ പോയിൻ്റ് മുതൽ പോയിൻ്റ് വരെയുള്ള വിഭാഗ ദൂരത്തിൽ, പോയിൻ്റുകൾ തമ്മിലുള്ള ദൂരം അവയുടെ കോർഡിനേറ്റുകളിലെ വ്യത്യാസത്തിൻ്റെ മോഡുലസിന് തുല്യമാണെന്ന് ഞങ്ങൾ കാണിച്ചു, അതിനാൽ, . പിന്നെ അല്ലെങ്കിൽ . സമത്വത്തിൽ നിന്ന് കോർഡിനേറ്റ് ലൈനിൽ AB സെഗ്‌മെൻ്റിൻ്റെ മധ്യഭാഗത്തിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റ് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു: - ഇത് സെഗ്മെൻ്റിൻ്റെ അറ്റങ്ങളുടെ കോർഡിനേറ്റുകളുടെ പകുതി തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്. രണ്ടാമത്തെ സമത്വത്തിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾക്ക് ലഭിക്കുന്നു, ഇത് അസാധ്യമാണ്, കാരണം ഞങ്ങൾ എ, ബി എന്നിവ വ്യത്യസ്ത പോയിൻ്റുകൾ എടുത്തതിനാൽ.

അതിനാൽ, അറ്റത്തോടുകൂടിയ AB സെഗ്‌മെൻ്റിൻ്റെ മധ്യബിന്ദുവിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യത്തിന് ഒരു രൂപമുണ്ട് .

ഒരു വിമാനത്തിലെ ഒരു സെഗ്‌മെൻ്റിൻ്റെ മധ്യഭാഗത്തിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ.

നമുക്ക് വിമാനത്തിൽ ഒരു ദീർഘചതുരാകൃതിയിലുള്ള കാർട്ടീഷ്യൻ കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റം Oxyz അവതരിപ്പിക്കാം. നമുക്ക് രണ്ട് പോയിൻ്റുകൾ നൽകാം, പോയിൻ്റ് സി AB സെഗ്മെൻ്റിൻ്റെ മധ്യമാണെന്ന് ഞങ്ങൾക്കറിയാം. നമുക്ക് കോർഡിനേറ്റുകളും പോയിൻ്റുകളും കണ്ടെത്താം സി.

നിർമ്മാണത്തിലൂടെ, നേരെ സമാന്തര, കൂടാതെ സമാന്തര വരകളും , അതിനാൽ, വഴി തേൽസിൻ്റെ സിദ്ധാന്തം AC, CB എന്നീ സെഗ്‌മെൻ്റുകളുടെ തുല്യതയിൽ നിന്ന് സെഗ്‌മെൻ്റുകളുടെയും സെഗ്‌മെൻ്റുകളുടെയും തുല്യത പിന്തുടരുന്നു. അതിനാൽ, പോയിൻ്റ് സെഗ്‌മെൻ്റിൻ്റെ മധ്യബിന്ദുവും a സെഗ്‌മെൻ്റിൻ്റെ മധ്യബിന്ദുവുമാണ്. തുടർന്ന്, ഈ ലേഖനത്തിൻ്റെ മുൻ ഖണ്ഡികയുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ ഒപ്പം .

ഈ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച്, എ, ബി പോയിൻ്റുകൾ കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷങ്ങളിലൊന്നിലോ കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷങ്ങളിലൊന്നിന് ലംബമായി ഒരു നേർരേഖയിലോ കിടക്കുന്ന സന്ദർഭങ്ങളിൽ സെഗ്‌മെൻ്റിൻ്റെ എബിയുടെ മധ്യഭാഗത്തെ കോർഡിനേറ്റുകൾ നിങ്ങൾക്ക് കണക്കാക്കാം. ഈ കേസുകൾ അഭിപ്രായമില്ലാതെ ഉപേക്ഷിച്ച് ഗ്രാഫിക് ചിത്രീകരണങ്ങൾ നൽകാം.

അങ്ങനെ, പോയിൻ്റുകളിൽ അവസാനിക്കുന്നതും കോർഡിനേറ്റുകളുള്ളതുമായ ഒരു വിമാനത്തിൽ AB സെഗ്‌മെൻ്റിൻ്റെ മധ്യഭാഗം .

ബഹിരാകാശത്തിലെ സെഗ്‌മെൻ്റിൻ്റെ മധ്യഭാഗത്തിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ.

ഒരു ദീർഘചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റം Oxyz ത്രിമാന സ്ഥലത്ത് അവതരിപ്പിക്കുകയും രണ്ട് പോയിൻ്റുകൾ വ്യക്തമാക്കുകയും ചെയ്യട്ടെ ഒപ്പം . പോയിൻ്റ് C യുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ നമുക്ക് കണ്ടെത്താം, അത് സെഗ്മെൻ്റ് AB യുടെ മധ്യഭാഗമാണ്.

നമുക്ക് പൊതുവായ കേസ് പരിഗണിക്കാം.

യഥാക്രമം Ox, Oy, Oz എന്നീ കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷങ്ങളിലേക്കുള്ള പോയിൻ്റുകൾ A, B, C എന്നിവയുടെ പ്രൊജക്ഷനുകളായിരിക്കട്ടെ.

തേൽസിൻ്റെ സിദ്ധാന്തമനുസരിച്ച്, പോയിൻ്റുകൾ സെഗ്മെൻ്റുകളുടെ മധ്യബിന്ദുവാണ് യഥാക്രമം. തുടർന്ന് (ഈ ലേഖനത്തിൻ്റെ ആദ്യ ഖണ്ഡിക കാണുക). അങ്ങനെ ഞങ്ങൾക്ക് കിട്ടി ഒരു സെഗ്‌മെൻ്റിൻ്റെ മധ്യഭാഗത്തെ കോർഡിനേറ്റുകൾ ബഹിരാകാശത്ത് അതിൻ്റെ അറ്റങ്ങളുടെ കോർഡിനേറ്റുകളിൽ നിന്ന് കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ.

പോയിൻ്റുകൾ എ, ബി എന്നിവ കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷങ്ങളിലൊന്നിലോ അല്ലെങ്കിൽ കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷങ്ങളിലൊന്നിന് ലംബമായ ഒരു നേർരേഖയിലോ കിടക്കുന്ന സന്ദർഭങ്ങളിലും, എ, ബി പോയിൻ്റുകൾ കോർഡിനേറ്റ് പ്ലെയിനുകളിലോ അല്ലെങ്കിൽ ഇൻഡ്യയിലോ കിടക്കുന്ന സന്ദർഭങ്ങളിലും ഈ ഫോർമുലകൾ പ്രയോഗിക്കാവുന്നതാണ്. കോർഡിനേറ്റ് പ്ലെയിൻസ് പ്ലെയിനുകളിൽ ഒന്നിന് സമാന്തരമായ ഒരു വിമാനം.

ഒരു സെഗ്‌മെൻ്റിൻ്റെ മധ്യഭാഗത്തെ കോർഡിനേറ്റുകൾ അതിൻ്റെ അറ്റത്തുള്ള റേഡിയസ് വെക്റ്ററുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ വഴി.

വെക്റ്റർ ബീജഗണിതത്തിലേക്ക് തിരിയുന്നതിലൂടെ ഒരു സെഗ്മെൻ്റിൻ്റെ മധ്യഭാഗത്തിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ എളുപ്പത്തിൽ ലഭിക്കും.

ഒരു ദീർഘചതുരാകൃതിയിലുള്ള കാർട്ടീഷ്യൻ കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റം ഓക്സി വിമാനത്തിൽ നൽകട്ടെ, പോയിൻ്റ് C AB സെഗ്മെൻ്റിൻ്റെ മധ്യബിന്ദുവായിരിക്കട്ടെ, ഒപ്പം .

വെക്റ്ററുകളിലെ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ജ്യാമിതീയ നിർവചനം അനുസരിച്ച്, തുല്യത (പോയിൻ്റ് C എന്നത് വെക്റ്ററുകളിൽ നിർമ്മിച്ചിരിക്കുന്ന ഒരു സമാന്തരചലനത്തിൻ്റെ ഡയഗണലുകളുടെ വിഭജന പോയിൻ്റാണ്, അതായത്, പോയിൻ്റ് C എന്നത് സമാന്തരചലനത്തിൻ്റെ ഡയഗണലിൻ്റെ മധ്യഭാഗമാണ്). ഒരു ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിലെ വെക്റ്റർ കോർഡിനേറ്റ് എന്ന ലേഖനത്തിൽ, ഒരു ബിന്ദുവിൻ്റെ റേഡിയസ് വെക്റ്ററിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ ഈ പോയിൻ്റിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾക്ക് തുല്യമാണെന്ന് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തി, അതിനാൽ, . തുടർന്ന്, കോർഡിനേറ്റുകളിലെ വെക്റ്ററുകളിൽ അനുബന്ധ പ്രവർത്തനങ്ങൾ നടത്തി, നമുക്ക് . പോയിൻ്റ് സിക്ക് കോർഡിനേറ്റുകൾ ഉണ്ടെന്ന് നമുക്ക് എങ്ങനെ നിഗമനം ചെയ്യാം .

തികച്ചും സമാനമായി, AB സെഗ്‌മെൻ്റിൻ്റെ മധ്യഭാഗത്തെ കോർഡിനേറ്റുകൾ ബഹിരാകാശത്തെ അതിൻ്റെ അറ്റങ്ങളുടെ കോർഡിനേറ്റുകളിലൂടെ കണ്ടെത്താനാകും. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, സി സെഗ്മെൻ്റ് എബിയുടെ മധ്യഭാഗമാണെങ്കിൽ, നമുക്ക് ഉണ്ട് .

ഒരു സെഗ്മെൻ്റിൻ്റെ മധ്യഭാഗത്തിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ കണ്ടെത്തൽ, ഉദാഹരണങ്ങൾ, പരിഹാരങ്ങൾ.

പല പ്രശ്‌നങ്ങളിലും, ഒരു സെഗ്‌മെൻ്റിൻ്റെ മധ്യ പോയിൻ്റിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ കണ്ടെത്താൻ നിങ്ങൾ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കേണ്ടതുണ്ട്. ഏറ്റവും സാധാരണമായ ഉദാഹരണങ്ങൾക്കുള്ള പരിഹാരങ്ങൾ നോക്കാം.

ഫോർമുല പ്രയോഗിക്കേണ്ട ഒരു ഉദാഹരണത്തിൽ നിന്ന് നമുക്ക് ആരംഭിക്കാം.

ഉദാഹരണം.

രണ്ട് പോയിൻ്റുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ വിമാനത്തിൽ നൽകിയിരിക്കുന്നു . AB സെഗ്‌മെൻ്റിൻ്റെ മധ്യഭാഗത്തിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം.

പോയിൻ്റ് C AB സെഗ്‌മെൻ്റിൻ്റെ മധ്യബിന്ദുവായിരിക്കട്ടെ. അതിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ എ, ബി പോയിൻ്റുകളുടെ അനുബന്ധ കോർഡിനേറ്റുകളുടെ പകുതി തുകകൾക്ക് തുല്യമാണ്:

അങ്ങനെ, സെഗ്മെൻ്റ് എബിയുടെ മധ്യഭാഗത്ത് കോർഡിനേറ്റുകൾ ഉണ്ട്.