അധ്യായം IV. ബഹിരാകാശത്ത് നേർരേഖകളും വിമാനങ്ങളും. പോളിഹെഡ്ര

§ 55. ഒരു ബഹുഭുജത്തിൻ്റെ പ്രൊജക്ഷൻ ഏരിയ.

ഒരു രേഖയും തലവും തമ്മിലുള്ള കോണാണ് നൽകിയിരിക്കുന്ന രേഖയും അതിൻ്റെ പ്രൊജക്ഷനും തമ്മിലുള്ള കോണാണെന്ന് നമുക്ക് ഓർമ്മിക്കാം (ചിത്രം 164).

സിദ്ധാന്തം. ഒരു തലത്തിലേക്ക് ഒരു ബഹുഭുജത്തിൻ്റെ ഓർത്തോഗണൽ പ്രൊജക്ഷൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം പ്രൊജക്റ്റ് ചെയ്ത പോളിഗോണിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണത്തിന് തുല്യമാണ്, ഇത് പോളിഗോണിൻ്റെ തലവും പ്രൊജക്ഷൻ തലവും ചേർന്ന് രൂപപ്പെടുന്ന കോണിൻ്റെ കോസൈൻ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നു.

ഓരോ ബഹുഭുജത്തെയും ത്രികോണങ്ങളായി വിഭജിക്കാം, അവയുടെ ആകെ വിസ്തീർണ്ണം ബഹുഭുജത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണത്തിന് തുല്യമാണ്. അതിനാൽ, ഒരു ത്രികോണത്തിൻ്റെ സിദ്ധാന്തം തെളിയിച്ചാൽ മതി.

അനുവദിക്കുക /\ എബിസി ഒരു വിമാനത്തിലേക്ക് പ്രൊജക്റ്റ് ചെയ്തിരിക്കുന്നു ആർ. നമുക്ക് രണ്ട് കേസുകൾ പരിഗണിക്കാം:
a) കക്ഷികളിൽ ഒന്ന് /\ എബിസി വിമാനത്തിന് സമാന്തരമാണ് ആർ;
ബി) ഒരു പാർട്ടിയുമില്ല /\ ABC സമാന്തരമല്ല ആർ.

നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം ആദ്യ കേസ്: അനുവദിക്കുക [AB] || ആർ.

(AB) വഴി നമുക്ക് ഒരു വിമാനം വരയ്ക്കാം. ആർ 1 || ആർഓർത്തോഗോണായി രൂപകൽപന ചെയ്യുക /\ എബിസി ഓണാണ് ആർ 1 ഒപ്പം ആർ(ചിത്രം 165); നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു /\ ABC 1 ഒപ്പം /\ എ"ബി"സി".
നമുക്കുള്ള പ്രൊജക്ഷൻ പ്രോപ്പർട്ടി പ്രകാരം /\ എബിസി 1 /\ A"B"C", അതിനാൽ

എസ് /\ ABC1=S /\ എ"ബി"സി"

നമുക്ക് _|_, സെഗ്മെൻ്റ് D 1 C 1 എന്നിവ വരയ്ക്കാം. അപ്പോൾ _|_ , a = φ എന്നത് തലം തമ്മിലുള്ള കോണിൻ്റെ മൂല്യമാണ് /\ എബിസിയും വിമാനവും ആർ 1. അതുകൊണ്ടാണ്

എസ് /\ ABC1 = 1/2 | എബി | | C 1 D 1 | = 1/2 | എബി | | CD 1 | cos φ = എസ് /\ എബിസി കോസ് φ

അതുകൊണ്ട് എസ് /\ A"B"C" = S /\ എബിസി കോസ് φ.

പരിഗണിക്കുന്നതിലേക്ക് പോകാം രണ്ടാമത്തെ കേസ്. നമുക്ക് ഒരു വിമാനം വരയ്ക്കാം ആർ 1 || ആർഅതിനു മുകളിൽ /\ എബിസി, വിമാനത്തിലേക്കുള്ള ദൂരം ആർഏറ്റവും ചെറുത് (ഇത് വെർട്ടെക്സ് എ ആയിരിക്കട്ടെ).
നമുക്ക് ഡിസൈൻ ചെയ്യാം /\ ഒരു വിമാനത്തിൽ എ.ബി.സി ആർ 1 ഒപ്പം ആർ(ചിത്രം 166); അതിൻ്റെ പ്രൊജക്ഷനുകൾ യഥാക്രമം ആയിരിക്കട്ടെ /\ AB 1 C 1 ഒപ്പം /\ എ"ബി"സി".

അനുവദിക്കുക (സൂര്യൻ) പി 1 = D. പിന്നെ

എസ് /\ A"B"C" = S /\ AB1 C1 = എസ് /\ ADC1-S /\ ADB1 = (എസ് /\ എഡിസി-എസ് /\ ADB) cos φ = എസ് /\ എബിസി കോസ് φ

ടാസ്ക്.ഒരു സാധാരണ ത്രികോണ പ്രിസത്തിൻ്റെ ബേസ് സൈഡിലൂടെ അതിൻ്റെ അടിത്തറയുടെ തലത്തിലേക്ക് φ = 30° കോണിൽ ഒരു തലം വരയ്ക്കുന്നു. പ്രിസത്തിൻ്റെ അടിത്തറയുടെ വശമാണെങ്കിൽ തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ക്രോസ്-സെക്ഷൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തുക എ= 6 സെ.മീ.

ഈ പ്രിസത്തിൻ്റെ ക്രോസ് സെക്ഷൻ നമുക്ക് ചിത്രീകരിക്കാം (ചിത്രം 167). പ്രിസം ക്രമമായതിനാൽ, അതിൻ്റെ വശങ്ങൾ അടിത്തറയുടെ തലത്തിന് ലംബമാണ്. അർത്ഥമാക്കുന്നത്, /\ എബിസി ഒരു പ്രൊജക്ഷൻ ആണ് /\ അതിനാൽ എ.ഡി.സി

ഒരു വിമാനം പരിഗണിക്കുക പി അതിനെ മുറിച്ചുകടക്കുന്ന നേർരേഖയും . അനുവദിക്കുക എ - ബഹിരാകാശത്ത് ഏകപക്ഷീയമായ ഒരു പോയിൻ്റ്. ഈ പോയിൻ്റിലൂടെ നമുക്ക് ഒരു നേർരേഖ വരയ്ക്കാം , ലൈനിന് സമാന്തരമായി . അനുവദിക്കുക . ഡോട്ട് ഒരു പോയിൻ്റിൻ്റെ പ്രൊജക്ഷൻ എന്ന് വിളിക്കുന്നു എവിമാനത്തിലേക്ക് പിനൽകിയിരിക്കുന്ന നേർരേഖയ്‌ക്കൊപ്പം സമാന്തര രൂപകൽപ്പനയോടെ . വിമാനം പി , ബഹിരാകാശത്തിൻ്റെ പോയിൻ്റുകൾ പ്രൊജക്റ്റ് ചെയ്യപ്പെടുന്ന സ്ഥലത്തെ പ്രൊജക്ഷൻ തലം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

p - പ്രൊജക്ഷൻ വിമാനം;

- നേരിട്ടുള്ള ഡിസൈൻ; ;

; ; ;

ഓർത്തോഗണൽ ഡിസൈൻസമാന്തര രൂപകൽപ്പനയുടെ ഒരു പ്രത്യേക സാഹചര്യമാണ്. ഓർത്തോഗണൽ ഡിസൈൻ ഒരു സമാന്തര രൂപകൽപ്പനയാണ്, അതിൽ ഡിസൈൻ ലൈൻ പ്രൊജക്ഷൻ തലത്തിന് ലംബമാണ്. ടെക്നിക്കൽ ഡ്രോയിംഗിൽ ഓർത്തോഗണൽ ഡിസൈൻ വ്യാപകമായി ഉപയോഗിക്കുന്നു, അവിടെ ഒരു ചിത്രം മൂന്ന് തലങ്ങളിലേക്ക് - തിരശ്ചീനമായും രണ്ട് ലംബമായും പ്രൊജക്റ്റ് ചെയ്യുന്നു.

നിർവ്വചനം: ഒരു പോയിൻ്റിൻ്റെ ഓർത്തോഗണൽ പ്രൊജക്ഷൻ എംവിമാനത്തിലേക്ക് പിഅടിസ്ഥാനം എന്ന് വിളിക്കുന്നു എം 1ലംബമായി എംഎം 1, പോയിൻ്റിൽ നിന്ന് വീണു എംവിമാനത്തിലേക്ക് പി.

പദവി: , , .

നിർവ്വചനം: ഒരു രൂപത്തിൻ്റെ ഓർത്തോഗണൽ പ്രൊജക്ഷൻ എഫ്വിമാനത്തിലേക്ക് പിചിത്രത്തിലെ പോയിൻ്റുകളുടെ ഗണത്തിൻ്റെ ഓർത്തോഗണൽ പ്രൊജക്ഷനുകളാണ് വിമാനത്തിൻ്റെ എല്ലാ പോയിൻ്റുകളുടെയും കൂട്ടം എഫ്വിമാനത്തിലേക്ക് പി.

ഓർത്തോഗണൽ ഡിസൈൻ പോലെ പ്രത്യേക കേസ്സമാന്തര രൂപകൽപ്പനയ്ക്ക് സമാന ഗുണങ്ങളുണ്ട്:

p - പ്രൊജക്ഷൻ വിമാനം;

- നേരിട്ടുള്ള ഡിസൈൻ; ;

1) ;

2) , .

1. സമാന്തര ലൈനുകളുടെ പ്രൊജക്ഷനുകൾ സമാന്തരമാണ്.

ഒരു ഫ്ലാറ്റ് ഫിഗറിൻ്റെ പ്രൊജക്ഷൻ ഏരിയ

സിദ്ധാന്തം: ഒരു നിശ്ചിത തലത്തിലേക്ക് ഒരു പ്ലെയിൻ പോളിഗോണിൻ്റെ പ്രൊജക്ഷൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം പോളിഗോണിൻ്റെ തലവും പ്രൊജക്ഷൻ തലവും തമ്മിലുള്ള കോണിൻ്റെ കോസൈൻ കൊണ്ട് ഗുണിച്ച പ്രൊജക്റ്റഡ് പോളിഗോണിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണത്തിന് തുല്യമാണ്.

ഘട്ടം 1: പ്രൊജക്‌റ്റ് ചെയ്‌ത ചിത്രം ഒരു ത്രികോണ ABC ആണ്, അതിൻ്റെ വശം പ്രൊജക്ഷൻ പ്ലെയിനിൽ a (പ്രൊജക്ഷൻ തലം a ന് സമാന്തരമായി) കിടക്കുന്നു.

നൽകിയത്:

തെളിയിക്കുക:

തെളിവ്:

1. ; ;

2. ; ; ; ;

3. ; ;

4. മൂന്ന് ലംബങ്ങളുടെ സിദ്ധാന്തത്താൽ;

ВD - ഉയരം; ബി 1 ഡി - ഉയരം;

5. - ഡൈഹെഡ്രൽ കോണിൻ്റെ രേഖീയ കോൺ;

6. ; ; ; ;

ഘട്ടം 2: പ്രൊജക്‌റ്റ് ചെയ്‌ത ചിത്രം ഒരു ത്രികോണ ABC ആണ്, അതിൻ്റെ വശങ്ങളൊന്നും പ്രൊജക്ഷൻ പ്ലെയിനിൽ കിടക്കുന്നില്ല, അതിന് സമാന്തരമല്ല.

നൽകിയത്:

തെളിയിക്കുക:

തെളിവ്:

1. ; ;

2. ; ;

4. ; ; ;

(ഘട്ടം 1);

5. ; ; ;

(ഘട്ടം 1);

ഘട്ടം: രൂപകൽപ്പന ചെയ്ത ചിത്രം ഒരു ഏകപക്ഷീയ ബഹുഭുജമാണ്.

തെളിവ്:

ഒരു ശീർഷത്തിൽ നിന്ന് പരിമിതമായ ത്രികോണങ്ങളായി വരച്ച ഡയഗണലുകളാൽ ബഹുഭുജത്തെ വിഭജിക്കുന്നു, അവയിൽ ഓരോന്നിനും സിദ്ധാന്തം ശരിയാണ്. അതിനാൽ, പ്രൊജക്ഷൻ തലത്തിനൊപ്പം ഒരേ കോണിൽ രൂപപ്പെടുന്ന തലങ്ങളുള്ള എല്ലാ ത്രികോണങ്ങളുടെയും വിസ്തീർണ്ണത്തിൻ്റെ ആകെത്തുകയ്ക്കും ഈ സിദ്ധാന്തം ശരിയാകും.

അഭിപ്രായം: തെളിയിക്കപ്പെട്ട സിദ്ധാന്തം ഏതിനും സാധുതയുള്ളതാണ് പരന്ന രൂപം, ഒരു അടഞ്ഞ വക്രതയാൽ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു.

വ്യായാമങ്ങൾ:

1. ഒരു കോണിൽ പ്രൊജക്ഷൻ തലത്തിലേക്ക് ചെരിഞ്ഞിരിക്കുന്ന ഒരു ത്രികോണത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തുക, അതിൻ്റെ പ്രൊജക്ഷൻ a വശമുള്ള ഒരു സാധാരണ ത്രികോണമാണെങ്കിൽ.

2. ഒരു കോണിൽ പ്രൊജക്ഷൻ തലത്തിലേക്ക് ചെരിഞ്ഞിരിക്കുന്ന ഒരു ത്രികോണത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തുക, അതിൻ്റെ പ്രൊജക്ഷൻ 10 സെൻ്റീമീറ്റർ വശവും 12 സെൻ്റീമീറ്റർ അടിത്തറയുമുള്ള ഒരു ഐസോസിലിസ് ത്രികോണമാണെങ്കിൽ.

3. ഒരു കോണിൽ പ്രൊജക്ഷൻ തലത്തിലേക്ക് ചെരിഞ്ഞിരിക്കുന്ന ഒരു ത്രികോണത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തുക, അതിൻ്റെ പ്രൊജക്ഷൻ 9, 10, 17 സെൻ്റീമീറ്റർ വശങ്ങളുള്ള ഒരു ത്രികോണമാണെങ്കിൽ.

4. ട്രപസോയിഡിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണക്കാക്കുക, അതിൻ്റെ തലം ഒരു കോണിൽ പ്രൊജക്ഷൻ തലത്തിലേക്ക് ചെരിഞ്ഞിരിക്കുന്നു, അതിൻ്റെ പ്രൊജക്ഷൻ ഒരു ഐസോസിലിസ് ട്രപസോയിഡ് ആണെങ്കിൽ, അതിൻ്റെ വലിയ അടിത്തറ 44 സെൻ്റിമീറ്ററാണ്, വശം 17 സെൻ്റിമീറ്ററും ഡയഗണൽ ആണ്. ആണ് 39 സെ.മീ.

5. 8 സെൻ്റിമീറ്റർ വശമുള്ള ഒരു സാധാരണ ഷഡ്ഭുജത്തിൻ്റെ പ്രൊജക്ഷൻ ഏരിയ കണക്കാക്കുക, അതിൻ്റെ തലം ഒരു കോണിൽ പ്രൊജക്ഷൻ തലത്തിലേക്ക് ചരിഞ്ഞിരിക്കുന്നു.

6. 12 സെൻ്റീമീറ്റർ വശവും നിശിത കോണും ഉള്ള ഒരു റോംബസ് ഒരു നിശ്ചിത തലത്തോടുകൂടിയ ഒരു കോണായി മാറുന്നു. ഈ വിമാനത്തിലേക്ക് റോംബസിൻ്റെ പ്രൊജക്ഷൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണക്കാക്കുക.

7. 20 സെൻ്റീമീറ്റർ വശവും 32 സെൻ്റീമീറ്റർ ഡയഗണലും ഉള്ള ഒരു റോംബസ് ഒരു നിശ്ചിത തലത്തോടുകൂടിയ ഒരു കോണിനെ രൂപപ്പെടുത്തുന്നു. ഈ വിമാനത്തിലേക്ക് റോംബസിൻ്റെ പ്രൊജക്ഷൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണക്കാക്കുക.

8. ഒരു തിരശ്ചീന തലത്തിലേക്ക് ഒരു മേലാപ്പിൻ്റെ പ്രൊജക്ഷൻ വശങ്ങളുള്ള ഒരു ദീർഘചതുരമാണ്. വശങ്ങളിലെ മുഖങ്ങൾ ഒരു കോണിൽ തിരശ്ചീന തലത്തിലേക്ക് ചരിഞ്ഞിരിക്കുന്ന തുല്യ ദീർഘചതുരങ്ങളാണെങ്കിൽ മേലാപ്പിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തുക, കൂടാതെ മേലാപ്പിൻ്റെ മധ്യഭാഗം പ്രൊജക്ഷൻ തലത്തിന് സമാന്തരമായ ഒരു ചതുരമാണ്.

11. "ബഹിരാകാശത്തെ ലൈനുകളും വിമാനങ്ങളും" എന്ന വിഷയത്തെക്കുറിച്ചുള്ള വ്യായാമങ്ങൾ:

ത്രികോണത്തിൻ്റെ വശങ്ങൾ 20 സെ.മീ, 65 സെ.മീ, 75 സെ.മീ ത്രികോണത്തിൻ്റെ വലിയ വശം.

2. വിമാനത്തിൽ നിന്ന് സെൻ്റീമീറ്റർ അകലെ സ്ഥിതി ചെയ്യുന്ന ഒരു ബിന്ദുവിൽ നിന്ന്, രണ്ട് ചെരിഞ്ഞവ വരയ്ക്കുന്നു, കോണുകൾക്ക് തുല്യമായ കോണുകളും അവയ്ക്കിടയിൽ ഒരു വലത് കോണും ഉണ്ടാക്കുന്നു. ചെരിഞ്ഞ വിമാനങ്ങളുടെ വിഭജന പോയിൻ്റുകൾ തമ്മിലുള്ള ദൂരം കണ്ടെത്തുക.

3. ഒരു സാധാരണ ത്രികോണത്തിൻ്റെ വശം 12 സെൻ്റീമീറ്റർ ആണ്, അതിനാൽ പോയിൻ്റ് M-നെ ത്രികോണത്തിൻ്റെ എല്ലാ ശിഖരങ്ങളുമായും ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന സെഗ്മെൻ്റുകൾ അതിൻ്റെ തലം കോണുകളായി മാറുന്നു. പോയിൻ്റ് M മുതൽ ത്രികോണത്തിൻ്റെ ശിഖരങ്ങളിലേക്കും വശങ്ങളിലേക്കും ഉള്ള ദൂരം കണ്ടെത്തുക.

4. ചതുരത്തിൻ്റെ ഡയഗണലിലേക്ക് ഒരു കോണിൽ ചതുരത്തിൻ്റെ വശത്തിലൂടെ ഒരു വിമാനം വരയ്ക്കുന്നു. ചതുരത്തിൻ്റെ രണ്ട് വശങ്ങളും വിമാനത്തിലേക്ക് ചെരിഞ്ഞിരിക്കുന്ന കോണുകൾ കണ്ടെത്തുക.

5. ഐസോസിലിസ് ലെഗ് വലത് ത്രികോണംഒരു കോണിൽ ഹൈപ്പോടെനസിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന വിമാനത്തിലേക്ക് ചെരിഞ്ഞിരിക്കുന്നു. ത്രികോണത്തിൻ്റെ തലവും a തലവും തമ്മിലുള്ള കോൺ തുല്യമാണെന്ന് തെളിയിക്കുക.

6. ABC, DBC എന്നീ ത്രികോണങ്ങളുടെ തലങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള ഡൈഹെഡ്രൽ കോൺ . AB = AC = 5 cm, BC = 6 cm, BD = DC = cm എങ്കിൽ AD കണ്ടെത്തുക.

"ബഹിരാകാശത്തെ ലൈനുകളും വിമാനങ്ങളും" എന്ന വിഷയത്തെക്കുറിച്ചുള്ള ചോദ്യങ്ങൾ പരീക്ഷിക്കുക

1. സ്റ്റീരിയോമെട്രിയുടെ അടിസ്ഥാന ആശയങ്ങൾ പട്ടികപ്പെടുത്തുക. സ്റ്റീരിയോമെട്രിയുടെ സിദ്ധാന്തങ്ങൾ രൂപപ്പെടുത്തുക.

2. സിദ്ധാന്തങ്ങളിൽ നിന്നുള്ള അനന്തരഫലങ്ങൾ തെളിയിക്കുക.

3. അത് എങ്ങനെയുള്ളതാണ്? ആപേക്ഷിക സ്ഥാനംബഹിരാകാശത്ത് രണ്ട് വരികൾ? വിഭജിക്കുന്ന, സമാന്തര, ചരിഞ്ഞ വരികളുടെ നിർവചനങ്ങൾ നൽകുക.

4. ചരിഞ്ഞ വരകളുടെ അടയാളം തെളിയിക്കുക.

5. ലൈനിൻ്റെയും വിമാനത്തിൻ്റെയും ആപേക്ഷിക സ്ഥാനം എന്താണ്? വിഭജിക്കുന്ന, സമാന്തര രേഖകൾ, വിമാനങ്ങൾ എന്നിവയുടെ നിർവചനങ്ങൾ നൽകുക.

6. ഒരു ലൈനും ഒരു വിമാനവും തമ്മിലുള്ള സമാന്തരതയുടെ അടയാളം തെളിയിക്കുക.

7. രണ്ട് വിമാനങ്ങളുടെ ആപേക്ഷിക സ്ഥാനം എന്താണ്?

8. സമാന്തര തലങ്ങൾ നിർവ്വചിക്കുക. രണ്ട് വിമാനങ്ങൾ സമാന്തരമാണെന്ന് ഒരു അടയാളം തെളിയിക്കുക. സമാന്തര തലങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള സംസ്ഥാന സിദ്ധാന്തങ്ങൾ.

9. നേർരേഖകൾക്കിടയിലുള്ള കോൺ നിർവചിക്കുക.

10. ഒരു രേഖയുടെയും ഒരു വിമാനത്തിൻ്റെയും ലംബതയുടെ അടയാളം തെളിയിക്കുക.

11. ഒരു ലംബത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാനം, ഒരു ചെരിഞ്ഞതിൻ്റെ അടിസ്ഥാനം, ഒരു തലത്തിലേക്ക് ചെരിഞ്ഞ ഒരു പ്രൊജക്ഷൻ എന്നിവ നിർവ്വചിക്കുക. ഒരു പോയിൻ്റിൽ നിന്ന് ഒരു തലത്തിലേക്ക് വീഴുന്ന ലംബവും ചെരിഞ്ഞതുമായ വരികളുടെ സവിശേഷതകൾ രൂപപ്പെടുത്തുക.

12. ഒരു നേർരേഖയ്ക്കും ഒരു തലത്തിനും ഇടയിലുള്ള കോൺ നിർവചിക്കുക.

13. മൂന്ന് ലംബങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കുക.

14. ഡൈഹെഡ്രൽ കോണിൻ്റെ നിർവചനങ്ങൾ നൽകുക.

15. രണ്ട് വിമാനങ്ങളുടെ ലംബതയുടെ അടയാളം തെളിയിക്കുക.

16. രണ്ട് വ്യത്യസ്ത പോയിൻ്റുകൾ തമ്മിലുള്ള ദൂരം നിർവ്വചിക്കുക.

17. ഒരു പോയിൻ്റിൽ നിന്ന് ഒരു വരിയിലേക്കുള്ള ദൂരം നിർവ്വചിക്കുക.

18. ഒരു പോയിൻ്റിൽ നിന്ന് ഒരു തലത്തിലേക്കുള്ള ദൂരം നിർവ്വചിക്കുക.

19. ഒരു നേർരേഖയും അതിന് സമാന്തരമായ ഒരു തലവും തമ്മിലുള്ള ദൂരം നിർവ്വചിക്കുക.

20. സമാന്തര തലങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള ദൂരം നിർവ്വചിക്കുക.

21. വിഭജിക്കുന്ന വരികൾ തമ്മിലുള്ള ദൂരം നിർവ്വചിക്കുക.

22. ഒരു തലത്തിലേക്ക് ഒരു പോയിൻ്റിൻ്റെ ഓർത്തോഗണൽ പ്രൊജക്ഷൻ നിർവചിക്കുക.

23. ഒരു വിമാനത്തിലേക്ക് ഒരു രൂപത്തിൻ്റെ ഓർത്തോഗണൽ പ്രൊജക്ഷൻ നിർവചിക്കുക.

24. ഒരു വിമാനത്തിലേക്ക് പ്രൊജക്ഷനുകളുടെ സവിശേഷതകൾ രൂപപ്പെടുത്തുക.

25. ഒരു പ്ലെയിൻ പോളിഗോണിൻ്റെ പ്രൊജക്ഷൻ ഏരിയയിൽ ഒരു സിദ്ധാന്തം രൂപപ്പെടുത്തുകയും തെളിയിക്കുകയും ചെയ്യുക.

ജ്യാമിതീയ പ്രശ്നങ്ങളിൽ, വിജയം സിദ്ധാന്തത്തെക്കുറിച്ചുള്ള അറിവിനെ മാത്രമല്ല, ഉയർന്ന നിലവാരമുള്ള ഡ്രോയിംഗിനെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു.
ഫ്ലാറ്റ് ഡ്രോയിംഗുകൾ ഉപയോഗിച്ച് എല്ലാം കൂടുതലോ കുറവോ വ്യക്തമാണ്. എന്നാൽ സ്റ്റീരിയോമെട്രിയിൽ സ്ഥിതി കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമാണ്. എല്ലാത്തിനുമുപരി, ചിത്രീകരിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ് ത്രിമാനശരീരം ഫ്ലാറ്റ്ഡ്രോയിംഗ്, അതുവഴി നിങ്ങളും നിങ്ങളുടെ ഡ്രോയിംഗ് നോക്കുന്ന വ്യക്തിയും ഒരേ വോള്യൂമെട്രിക് ബോഡി കാണും.

ഇത് എങ്ങനെ ചെയ്യണം?
തീർച്ചയായും, ഒരു വിമാനത്തിലെ വോള്യൂമെട്രിക് ബോഡിയുടെ ഏത് ചിത്രവും സോപാധികമായിരിക്കും. എന്നിരുന്നാലും, ഒരു നിശ്ചിത നിയമങ്ങളുണ്ട്. ഡ്രോയിംഗുകൾ നിർമ്മിക്കുന്നതിന് പൊതുവായി അംഗീകരിക്കപ്പെട്ട ഒരു മാർഗമുണ്ട് - സമാന്തര പ്രൊജക്ഷൻ.

നമുക്ക് ഒരു വോള്യൂമെട്രിക് ബോഡി എടുക്കാം.
നമുക്ക് തിരഞ്ഞെടുക്കാം പ്രൊജക്ഷൻ വിമാനം.
വോള്യൂമെട്രിക് ബോഡിയുടെ ഓരോ പോയിൻ്റിലൂടെയും ഞങ്ങൾ പരസ്പരം സമാന്തരമായി നേർരേഖകൾ വരയ്ക്കുകയും പ്രൊജക്ഷൻ തലം ഏത് കോണിലും വിഭജിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. ഈ വരികൾ ഓരോന്നും ഒരു ഘട്ടത്തിൽ പ്രൊജക്ഷൻ തലത്തെ വിഭജിക്കുന്നു. ഈ പോയിൻ്റുകൾ എല്ലാം ചേർന്ന് രൂപം കൊള്ളുന്നു പ്രൊജക്ഷൻഒരു വോള്യൂമെട്രിക് ബോഡി ഒരു വിമാനത്തിലേക്ക്, അതായത് അതിൻ്റെ പരന്ന ചിത്രം.

വോള്യൂമെട്രിക് ബോഡികളുടെ പ്രൊജക്ഷനുകൾ എങ്ങനെ നിർമ്മിക്കാം?
നിങ്ങൾക്ക് ഒരു വോള്യൂമെട്രിക് ബോഡിയുടെ ഒരു ഫ്രെയിം ഉണ്ടെന്ന് സങ്കൽപ്പിക്കുക - ഒരു പ്രിസം, പിരമിഡ് അല്ലെങ്കിൽ സിലിണ്ടർ. പ്രകാശത്തിൻ്റെ സമാന്തര ബീം ഉപയോഗിച്ച് പ്രകാശിപ്പിക്കുന്നതിലൂടെ, നമുക്ക് ഒരു ചിത്രം ലഭിക്കും - ചുവരിലോ സ്ക്രീനിലോ ഒരു നിഴൽ. വ്യത്യസ്‌ത കോണുകൾ വ്യത്യസ്‌ത ചിത്രങ്ങൾ സൃഷ്‌ടിക്കുന്നു, എന്നാൽ ചില പാറ്റേണുകൾ ഇപ്പോഴും നിലവിലുണ്ട്:

ഒരു സെഗ്‌മെൻ്റിൻ്റെ പ്രൊജക്ഷൻ ഒരു സെഗ്‌മെൻ്റായിരിക്കും.

തീർച്ചയായും, സെഗ്മെൻ്റ് പ്രൊജക്ഷൻ തലത്തിലേക്ക് ലംബമാണെങ്കിൽ, അത് ഒരു ഘട്ടത്തിൽ പ്രദർശിപ്പിക്കും.

ഒരു സർക്കിളിൻ്റെ പ്രൊജക്ഷൻ പൊതുവായ കേസ്ഒരു ദീർഘവൃത്തമായി മാറുന്നു.

ഒരു ദീർഘചതുരത്തിൻ്റെ പ്രൊജക്ഷൻ ഒരു സമാന്തരരേഖയാണ്.

ഒരു വിമാനത്തിലേക്ക് ഒരു ക്യൂബിൻ്റെ പ്രൊജക്ഷൻ ഇങ്ങനെയാണ്:

ഇവിടെ മുന്നിലും പിന്നിലും മുഖങ്ങൾ പ്രൊജക്ഷൻ വിമാനത്തിന് സമാന്തരമാണ്

നിങ്ങൾക്ക് ഇത് വ്യത്യസ്തമായി ചെയ്യാൻ കഴിയും:

നമ്മൾ ഏത് ആംഗിൾ തിരഞ്ഞെടുത്താലും, ഡ്രോയിംഗിലെ സമാന്തര സെഗ്‌മെൻ്റുകളുടെ പ്രൊജക്ഷനുകളും സമാന്തര സെഗ്‌മെൻ്റുകളായിരിക്കും. സമാന്തര പ്രൊജക്ഷൻ്റെ തത്വങ്ങളിൽ ഒന്നാണിത്.

പിരമിഡിൻ്റെ ഡ്രോയിംഗ് പ്രൊജക്ഷനുകൾ,

സിലിണ്ടർ:

സമാന്തര പ്രൊജക്ഷൻ്റെ അടിസ്ഥാന തത്വം നമുക്ക് ഒരിക്കൽ കൂടി ആവർത്തിക്കാം. ഞങ്ങൾ ഒരു പ്രൊജക്ഷൻ തലം തിരഞ്ഞെടുത്ത് വോള്യൂമെട്രിക് ബോഡിയുടെ ഓരോ പോയിൻ്റിലൂടെയും സമാന്തര വരകൾ വരയ്ക്കുന്നു. ഈ ലൈനുകൾ പ്രൊജക്ഷൻ തലത്തെ ഏത് കോണിലും വിഭജിക്കുന്നു. ഈ ആംഗിൾ 90 ° ആണെങ്കിൽ, നമ്മൾ സംസാരിക്കുന്നത് ചതുരാകൃതിയിലുള്ള പ്രൊജക്ഷൻ. ചതുരാകൃതിയിലുള്ള പ്രൊജക്ഷൻ ഉപയോഗിച്ച്, സാങ്കേതികവിദ്യയിൽ വോള്യൂമെട്രിക് ഭാഗങ്ങളുടെ ഡ്രോയിംഗുകൾ നിർമ്മിക്കുന്നു. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ നമ്മൾ ടോപ്പ് വ്യൂ, ഫ്രണ്ട് വ്യൂ, സൈഡ് വ്യൂ എന്നിവയെക്കുറിച്ചാണ് സംസാരിക്കുന്നത്.

പോളിഗോൺ ഓർത്തോഗണൽ പ്രൊജക്ഷൻ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ വിശദമായ തെളിവ്

ഒരു ഫ്ലാറ്റിൻ്റെ പ്രൊജക്ഷൻ ആണെങ്കിൽ എൻ ഒരു വിമാനത്തിലേക്ക് പോകുക, പിന്നെ ബഹുഭുജങ്ങളുടെ തലങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള കോൺ എവിടെയാണ്. മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, ഒരു പ്ലെയിൻ പോളിഗോണിൻ്റെ പ്രൊജക്ഷൻ ഏരിയ പ്രൊജക്റ്റഡ് പോളിഗോണിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണത്തിൻ്റെ ഉൽപ്പന്നത്തിനും പ്രൊജക്ഷൻ തലത്തിനും പ്രൊജക്റ്റ് ചെയ്ത പോളിഗോണിൻ്റെ തലത്തിനും ഇടയിലുള്ള കോണിൻ്റെ കോസൈനും തുല്യമാണ്.

തെളിവ്. ഐ സ്റ്റേജ്. നമുക്ക് ആദ്യം ഒരു ത്രികോണത്തിൻ്റെ തെളിവ് നടപ്പിലാക്കാം. നമുക്ക് 5 കേസുകൾ പരിഗണിക്കാം.

1 കേസ്. പ്രൊജക്ഷൻ വിമാനത്തിൽ കിടക്കുക .

യഥാക്രമം വിമാനത്തിലേക്കുള്ള പോയിൻ്റുകളുടെ പ്രൊജക്ഷനുകളായിരിക്കട്ടെ. ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ. എന്ന് നമുക്ക് ഊഹിക്കാം. ഉയരം ആകട്ടെ, മൂന്ന് ലംബങ്ങളുടെ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് നിഗമനം ചെയ്യാം - ഉയരം (- ചെരിഞ്ഞതിൻ്റെ പ്രൊജക്ഷൻ, - അതിൻ്റെ അടിത്തറയും ചെരിഞ്ഞ അടിയിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന നേർരേഖയും, ഒപ്പം).

നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം. ചതുരാകൃതിയിലാണ്. കോസൈൻ്റെ നിർവചനം അനുസരിച്ച്:

മറുവശത്ത്, നിർവചനം അനുസരിച്ച്, വിമാനങ്ങളുടെ അർദ്ധ-തലങ്ങളും അതിർത്തി നേർരേഖയും ചേർന്ന് രൂപംകൊണ്ട ഡൈഹെഡ്രൽ കോണിൻ്റെ രേഖീയ കോണാണ്, അതിനാൽ, അതിൻ്റെ അളവ് കോണിൻ്റെ അളവും കൂടിയാണ്. ത്രികോണത്തിൻ്റെയും ത്രികോണത്തിൻ്റെയും പ്രൊജക്ഷൻ്റെ തലങ്ങൾ, അതായത്.

പ്രദേശത്തിൻ്റെ അനുപാതം നമുക്ക് കണ്ടെത്താം:

എപ്പോൾ പോലും ഫോർമുല സത്യമായി തുടരുന്നു എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ

കേസ് 2. പ്രൊജക്ഷൻ തലത്തിൽ മാത്രം കിടക്കുന്നു, പ്രൊജക്ഷൻ തലത്തിന് സമാന്തരവുമാണ് .

യഥാക്രമം വിമാനത്തിലേക്കുള്ള പോയിൻ്റുകളുടെ പ്രൊജക്ഷനുകളായിരിക്കട്ടെ. ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ.

പോയിൻ്റിലൂടെ ഒരു നേർരേഖ വരയ്ക്കാം. ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ, നേർരേഖ പ്രൊജക്ഷൻ തലത്തെ വിഭജിക്കുന്നു, അതായത്, ലെമ്മയാൽ, നേർരേഖ പ്രൊജക്ഷൻ തലത്തെയും വിഭജിക്കുന്നു. ഇത് ബിന്ദുവായിരിക്കട്ടെ, അപ്പോൾ പോയിൻ്റുകൾ ഒരേ തലത്തിൽ കിടക്കുന്നു, അത് പ്രൊജക്ഷൻ തലത്തിന് സമാന്തരമായതിനാൽ, രേഖയുടെയും തലത്തിൻ്റെയും സമാന്തരതയുടെ അടയാളത്തിൻ്റെ അനന്തരഫലമായി അത് പിന്തുടരുന്നു. അതിനാൽ, ഇത് ഒരു സമാന്തരരേഖയാണ്. നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം ഒപ്പം. അവ മൂന്ന് വശങ്ങളിലും തുല്യമാണ് (സാധാരണ വശം ഒരു സമാന്തരരേഖയുടെ എതിർവശങ്ങൾ പോലെയാണ്). ഒരു ചതുർഭുജം ഒരു ദീർഘചതുരമാണെന്നും അത് തുല്യമാണെന്നും (കാലിനും ഹൈപ്പോടെനസിനും ഒപ്പം) ശ്രദ്ധിക്കുക, അതിനാൽ, മൂന്ന് വശങ്ങളിൽ തുല്യമാണ്. അതുകൊണ്ടാണ്.

ബാധകമായ കേസ് 1: , അതായത്.

കേസ് 3. പ്രൊജക്ഷൻ തലത്തിൽ മാത്രം കിടക്കുന്നു, പ്രൊജക്ഷൻ തലത്തിന് സമാന്തരമല്ല .

പ്രൊജക്ഷൻ പ്ലെയിനുമായുള്ള വരിയുടെ വിഭജന പോയിൻ്റ് പോയിൻ്റായിരിക്കട്ടെ. അതോടൊപ്പം ശ്രദ്ധിക്കുക. 1 കേസിൽ: i. അങ്ങനെ നമുക്ക് അത് ലഭിക്കുന്നു

കേസ് 4 പ്രൊജക്ഷൻ തലത്തിൽ ലംബങ്ങൾ കിടക്കുന്നില്ല . ലംബമായി നോക്കാം. ഈ ലംബങ്ങളിൽ ഏറ്റവും ചെറിയത് എടുക്കാം. അത് ലംബമായിരിക്കട്ടെ. അത് ഒന്നുകിൽ മാത്രമോ അല്ലെങ്കിൽ മാത്രമോ ആണെന്ന് മാറിയേക്കാം. പിന്നെ എന്തായാലും ഞങ്ങൾ എടുക്കും.

നമുക്ക് ഒരു സെഗ്‌മെൻ്റിലെ ഒരു പോയിൻ്റിൽ നിന്ന് ഒരു പോയിൻ്റ് മാറ്റിവെക്കാം, അങ്ങനെ, ഒരു സെഗ്‌മെൻ്റിലെ ഒരു പോയിൻ്റിൽ നിന്ന് ഒരു പോയിൻ്റ്, അങ്ങനെ. ലംബങ്ങളിൽ ഏറ്റവും ചെറുതായതിനാൽ ഈ നിർമ്മാണം സാധ്യമാണ്. അതൊരു പ്രൊജക്ഷനാണെന്നും, നിർമ്മാണം വഴിയാണെന്നും ശ്രദ്ധിക്കുക. നമുക്ക് അത് തെളിയിക്കാം, തുല്യരാണ്.

ഒരു ചതുർഭുജം പരിഗണിക്കുക. വ്യവസ്ഥ അനുസരിച്ച് - ഒരു തലത്തിലേക്ക് ലംബമായി, അതിനാൽ, സിദ്ധാന്തം അനുസരിച്ച്, അതിനാൽ. നിർമ്മാണത്തിലൂടെ, പിന്നീട് ഒരു സമാന്തരചർമ്മത്തിൻ്റെ സവിശേഷതകളെ അടിസ്ഥാനമാക്കി (സമാന്തരവും തുല്യവുമായ എതിർ വശങ്ങൾ കൊണ്ട്), ഇത് ഒരു സമാന്തര രേഖയാണെന്ന് നമുക്ക് നിഗമനം ചെയ്യാം. അർത്ഥമാക്കുന്നത്, . അതുപോലെ, അത് തെളിയിക്കപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു, . അതിനാൽ, മൂന്ന് വശങ്ങളിൽ തുല്യമാണ്. അതുകൊണ്ടാണ്. സമാന്തരരേഖകളുടെ എതിർവശങ്ങളായതിനാൽ, വിമാനങ്ങളുടെ സമാന്തരതയെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, . ഈ വിമാനങ്ങൾ സമാന്തരമായതിനാൽ, അവ പ്രൊജക്ഷൻ പ്ലെയിനുമായി ഒരേ കോണായി മാറുന്നു.

മുമ്പത്തെ കേസുകൾ ബാധകമാണ്:

കേസ് 5. പ്രൊജക്ഷൻ തലം വശങ്ങളിൽ വിഭജിക്കുന്നു . നമുക്ക് നേർരേഖകൾ നോക്കാം. അവ പ്രൊജക്ഷൻ തലത്തിന് ലംബമാണ്, അതിനാൽ സിദ്ധാന്തമനുസരിച്ച് അവ സമാന്തരമാണ്. പോയിൻ്റുകളിൽ ഉത്ഭവമുള്ള കോഡയറക്ഷണൽ കിരണങ്ങളിൽ, ഞങ്ങൾ യഥാക്രമം തുല്യ ഭാഗങ്ങൾ പ്ലോട്ട് ചെയ്യും, അങ്ങനെ ലംബങ്ങൾ പ്രൊജക്ഷൻ തലത്തിന് പുറത്ത് കിടക്കുന്നു. അതൊരു പ്രൊജക്ഷനാണെന്നും, നിർമ്മാണം വഴിയാണെന്നും ശ്രദ്ധിക്കുക. അത് തുല്യമാണെന്ന് നമുക്ക് കാണിക്കാം.

മുതൽ, നിർമ്മാണം വഴി, പിന്നെ. അതിനാൽ, സമാന്തരചലന മാനദണ്ഡം അനുസരിച്ച് (രണ്ട് തുല്യവും സമാന്തര വശങ്ങൾ), ഒരു സമാന്തരരേഖയാണ്. സമാന്തരരേഖകളാണെന്നും സമാനമായ രീതിയിൽ ഇത് തെളിയിക്കപ്പെടുന്നു. എന്നാൽ പിന്നെ, (വിപരീത വശങ്ങളായി), അതിനാൽ മൂന്ന് വശങ്ങളിൽ തുല്യമാണ്. അർത്ഥമാക്കുന്നത്, .

കൂടാതെ, അതിനാൽ, വിമാനങ്ങളുടെ സമാന്തരതയെ അടിസ്ഥാനമാക്കി. ഈ വിമാനങ്ങൾ സമാന്തരമായതിനാൽ, അവ പ്രൊജക്ഷൻ പ്ലെയിനുമായി ഒരേ കോണായി മാറുന്നു.

ബാധകമായ കേസ് 4 ന്:.

II സ്റ്റേജ്. ശീർഷത്തിൽ നിന്ന് വരച്ച ഡയഗണലുകൾ ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് ഒരു ഫ്ലാറ്റ് പോളിഗോണിനെ ത്രികോണങ്ങളായി വിഭജിക്കാം: തുടർന്ന്, ത്രികോണങ്ങൾക്ക് മുമ്പത്തെ കേസുകൾ അനുസരിച്ച്: .

ക്യു.ഇ.ഡി.

ജ്യാമിതി
പത്താം ക്ലാസിലെ പാഠ്യപദ്ധതി

പാഠം 56

വിഷയം. ഒരു ബഹുഭുജത്തിൻ്റെ ഓർത്തോഗണൽ പ്രൊജക്ഷൻ ഏരിയ

പാഠത്തിൻ്റെ ഉദ്ദേശ്യം: ഒരു ബഹുഭുജത്തിൻ്റെ ഓർത്തോഗണൽ പ്രൊജക്ഷൻ്റെ മേഖലയെക്കുറിച്ചുള്ള സിദ്ധാന്തം പഠിക്കുക, പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന് പഠിച്ച സിദ്ധാന്തം പ്രയോഗിക്കുന്നതിൽ വിദ്യാർത്ഥികളുടെ കഴിവുകൾ വികസിപ്പിക്കുക.

ഉപകരണം: സ്റ്റീരിയോമെട്രിക് സെറ്റ്, ക്യൂബ് മോഡൽ.

പാഠ പുരോഗതി

I. ഗൃഹപാഠം പരിശോധിക്കുന്നു

1. രണ്ട് വിദ്യാർത്ഥികൾ ബോർഡിൽ 42, 45 നമ്പർ പ്രശ്നങ്ങൾക്കുള്ള പരിഹാരങ്ങൾ പുനർനിർമ്മിക്കുന്നു.

2. ഫ്രണ്ടൽ ചോദ്യം ചെയ്യൽ.

1) വിഭജിക്കുന്ന രണ്ട് തലങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള കോൺ നിർവചിക്കുക.

2) തമ്മിലുള്ള കോൺ എന്താണ്:

a) സമാന്തര വിമാനങ്ങൾ;

b) ലംബമായ തലങ്ങൾ?

3) രണ്ട് വിമാനങ്ങൾക്കിടയിലുള്ള ആംഗിൾ ഏത് പരിധിക്കുള്ളിൽ മാറും?

4) സമാന്തര തലങ്ങളെ വിഭജിക്കുന്ന ഒരു തലം അതേ കോണുകളിൽ അവയെ വിഭജിക്കുന്നു എന്നത് ശരിയാണോ?

5) ലംബമായ തലങ്ങളെ വിഭജിക്കുന്ന ഒരു തലം അവയെ തുല്യ കോണുകളിൽ വിഭജിക്കുന്നു എന്നത് ശരിയാണോ?

3. വിദ്യാർത്ഥികൾ ബോർഡിൽ പുനർനിർമ്മിച്ച നം. 42, 45 പ്രശ്നങ്ങൾക്കുള്ള പരിഹാരത്തിൻ്റെ കൃത്യത പരിശോധിക്കുന്നു.

II. പുതിയ മെറ്റീരിയലിൻ്റെ ധാരണയും അവബോധവും

വിദ്യാർത്ഥികൾക്കുള്ള അസൈൻമെൻ്റ്

1. ഒരു ത്രികോണത്തിൻ്റെ പ്രൊജക്ഷൻ ഏരിയ, അതിൻ്റെ ഒരു വശം പ്രൊജക്ഷൻ തലത്തിൽ, അതിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണത്തിൻ്റെ ഉൽപ്പന്നത്തിനും ബഹുഭുജ തലത്തിനും പ്രൊജക്ഷൻ തലത്തിനും ഇടയിലുള്ള കോണിൻ്റെ കോസൈനും തുല്യമാണെന്ന് തെളിയിക്കുക.

2. ഒരു ലാറ്റിസ് ത്രികോണം ഒരു വശം പ്രൊജക്ഷൻ തലത്തിന് സമാന്തരമായിരിക്കുമ്പോൾ കേസിൻ്റെ സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കുക.

3. ഒരു ലാറ്റിസ് ത്രികോണം ഒരു വശവും പ്രൊജക്ഷൻ തലത്തിന് സമാന്തരമല്ലാത്ത ഒന്നായിരിക്കുമ്പോൾ കേസിൻ്റെ സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കുക.

4. ഏത് ബഹുഭുജത്തിനും സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കുക.

പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നു

1. 50 സെൻ്റീമീറ്റർ വിസ്തീർണ്ണമുള്ള ഒരു ബഹുഭുജത്തിൻ്റെ ഓർത്തോഗണൽ പ്രൊജക്ഷൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തുക, ബഹുഭുജത്തിൻ്റെ തലവും അതിൻ്റെ പ്രൊജക്ഷനും തമ്മിലുള്ള കോൺ 60 ° ആണ്.

2. ഈ ബഹുഭുജത്തിൻ്റെ ഓർത്തോഗണൽ പ്രൊജക്ഷൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം 50 cm2 ആണെങ്കിൽ ബഹുഭുജത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തുക, ബഹുഭുജത്തിൻ്റെ തലവും അതിൻ്റെ പ്രൊജക്ഷനും തമ്മിലുള്ള കോൺ 45 ° ആണ്.

3. ബഹുഭുജത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം 64 സെൻ്റീമീറ്റർ ആണ്, ഓർത്തോഗണൽ പ്രൊജക്ഷൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം 32 സെൻ്റീമീറ്റർ ആണ്. ബഹുഭുജത്തിൻ്റെ തലങ്ങളും അതിൻ്റെ പ്രൊജക്ഷനും തമ്മിലുള്ള കോൺ കണ്ടെത്തുക.

4. അല്ലെങ്കിൽ ഒരു പോളിഗോണിൻ്റെ ഓർത്തോഗണൽ പ്രൊജക്ഷൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം ഈ ബഹുഭുജത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണത്തിന് തുല്യമാണോ?

5. ക്യൂബിൻ്റെ അറ്റം a ന് തുല്യമാണ്. ക്യൂബിൻ്റെ ക്രോസ്-സെക്ഷണൽ ഏരിയ കണ്ടെത്തുക, അടിത്തറയുടെ മുകളിലൂടെ ഈ അടിത്തറയിലേക്ക് 30 ° കോണിൽ കടന്നുപോകുകയും എല്ലാ വശത്തെ അരികുകളും വിഭജിക്കുകയും ചെയ്യുക. (ഉത്തരം.)

6. പാഠപുസ്തകത്തിൽ നിന്ന് (പേജ് 58) പ്രശ്നം നമ്പർ 48 (1, 3).

7. പാഠപുസ്തകത്തിൽ നിന്ന് (പേജ് 58) പ്രശ്നം നമ്പർ 49 (2).

8. ദീർഘചതുരത്തിൻ്റെ വശങ്ങൾ 20 ഉം 25 സെൻ്റീമീറ്ററുമാണ്. പ്രൊജക്ഷൻ്റെ ചുറ്റളവ് കണ്ടെത്തുക. (ഉത്തരം: 72 സെ.മീ അല്ലെങ്കിൽ 90 സെ.മീ.)

III. ഹോം വർക്ക്

§4, ഖണ്ഡിക 34; സുരക്ഷാ ചോദ്യംനമ്പർ 17; പ്രശ്നങ്ങൾ നമ്പർ 48 (2), 49 (1) (പേജ് 58).

IV. പാഠം സംഗ്രഹിക്കുന്നു

ക്ലാസ്സിനുള്ള ചോദ്യം

1) ഒരു ബഹുഭുജത്തിൻ്റെ ഓർത്തോഗണൽ പ്രൊജക്ഷൻ്റെ വിസ്തൃതിയിൽ ഒരു സിദ്ധാന്തം പ്രസ്താവിക്കുക.

2) ഒരു ബഹുഭുജത്തിൻ്റെ ഓർത്തോഗണൽ പ്രൊജക്ഷൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം ബഹുഭുജത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണത്തേക്കാൾ വലുതാകുമോ?

3) വലത് ത്രികോണമായ എബിസിയുടെ ഹൈപ്പോട്ടീനസ് എബി വഴി, ഒരു തലം α ത്രികോണത്തിൻ്റെ തലത്തിലേക്ക് 45 ° കോണിലും α തലത്തിലേക്ക് ലംബമായ CO യും വരയ്ക്കുന്നു. എസി = 3 സെൻ്റീമീറ്റർ, ബിസി = 4 സെൻ്റീമീറ്റർ താഴെ പറയുന്നവയിൽ ഏതാണ് ശരിയെന്നും തെറ്റാണെന്നും സൂചിപ്പിക്കുക

a) ABC, α എന്നീ തലങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള കോൺ SMO കോണിന് തുല്യമാണ്, ഇവിടെ പോയിൻ്റ് H ആണ് ABC യുടെ ഉയരം CM യുടെ അടിസ്ഥാനം;

ബി) CO = 2.4 സെൻ്റീമീറ്റർ;

c) AOC ത്രികോണം ABC എന്ന ത്രികോണം α വിമാനത്തിലേക്കുള്ള ഒരു ഓർത്തോഗണൽ പ്രൊജക്ഷനാണ്;

d) AOB ത്രികോണത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം 3 cm2 ആണ്.

(ഉത്തരം: a) ശരിയാണ്; ബി) തെറ്റ്; സി) തെറ്റാണ്; d) ശരിയാണ്.)