വീട് പൊതിഞ്ഞ നാവ് ഒരു വിമാനത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം ഓൺലൈനിൽ കണ്ടെത്തുക. ഉദാഹരണങ്ങൾ

പൊതിഞ്ഞ നാവ്

ഒരു വിമാനത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം ഓൺലൈനിൽ കണ്ടെത്തുക. ഉദാഹരണങ്ങൾ

ഈ ലേഖനത്തിൽ, ഒരു രൂപത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം എങ്ങനെ കണ്ടെത്താമെന്ന് നിങ്ങൾ പഠിക്കും, വരികളിലൂടെ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു, ഇൻ്റഗ്രലുകൾ ഉപയോഗിച്ച് കണക്കുകൂട്ടലുകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു. ഹൈസ്കൂളിൽ ആദ്യമായി ഇത്തരമൊരു പ്രശ്നത്തിൻ്റെ രൂപീകരണം ഞങ്ങൾ അഭിമുഖീകരിക്കുന്നു, ഞങ്ങൾ നിശ്ചിത ഇൻ്റഗ്രലുകളുടെ പഠനം പൂർത്തിയാക്കി, പ്രായോഗികമായി നേടിയ അറിവിൻ്റെ ജ്യാമിതീയ വ്യാഖ്യാനം ആരംഭിക്കാനുള്ള സമയമാണിത്.

അതിനാൽ, ഇൻ്റഗ്രലുകൾ ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ചിത്രത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള പ്രശ്നം വിജയകരമായി പരിഹരിക്കുന്നതിന് എന്താണ് വേണ്ടത്:

സമർത്ഥമായ ഡ്രോയിംഗുകൾ നിർമ്മിക്കാനുള്ള കഴിവ്;
പരിഹരിക്കാനുള്ള കഴിവുകൾ നിശ്ചിത അവിഭാജ്യഉപയോഗിച്ച് പ്രശസ്തമായ ഫോർമുലന്യൂട്ടൺ-ലീബ്നിസ്;
കൂടുതൽ ലാഭകരമായ ഒരു പരിഹാര ഓപ്ഷൻ "കാണാനുള്ള" കഴിവ് - അതായത്. ഒരു കേസിൽ അല്ലെങ്കിൽ മറ്റൊന്നിൽ സംയോജനം നടത്തുന്നത് എങ്ങനെ കൂടുതൽ സൗകര്യപ്രദമാകുമെന്ന് മനസിലാക്കുക? x-അക്ഷം (OX) അല്ലെങ്കിൽ y-അക്ഷം (OY) അരികിലാണോ?
ശരി, ശരിയായ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ ഇല്ലാതെ നമ്മൾ എവിടെയായിരിക്കും?) മറ്റ് തരത്തിലുള്ള ഇൻ്റഗ്രലുകൾ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാമെന്നും സംഖ്യാ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ ശരിയാക്കാമെന്നും മനസ്സിലാക്കുന്നത് ഇതിൽ ഉൾപ്പെടുന്നു.

വരകളാൽ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന ഒരു രൂപത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതം:

1. ഞങ്ങൾ ഒരു ഡ്രോയിംഗ് നിർമ്മിക്കുന്നു. ഇത് ഒരു ചെക്കർഡ് പേപ്പറിൽ, വലിയ തോതിൽ ചെയ്യുന്നതാണ് അഭികാമ്യം. ഓരോ ഗ്രാഫിനും മുകളിൽ പെൻസിൽ ഉപയോഗിച്ച് ഈ ഫംഗ്ഷൻ്റെ പേര് ഞങ്ങൾ ഒപ്പിടുന്നു. ഗ്രാഫുകളിൽ ഒപ്പിടുന്നത് കൂടുതൽ കണക്കുകൂട്ടലുകളുടെ സൗകര്യത്തിന് വേണ്ടി മാത്രമാണ്. ആവശ്യമുള്ള ചിത്രത്തിൻ്റെ ഒരു ഗ്രാഫ് ലഭിച്ചുകഴിഞ്ഞാൽ, മിക്ക കേസുകളിലും ഏതൊക്കെ സംയോജന പരിധികൾ ഉപയോഗിക്കുമെന്ന് ഉടനടി വ്യക്തമാകും. ഇങ്ങനെയാണ് ഞങ്ങൾ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നത് ഗ്രാഫിക്കൽ രീതി. എന്നിരുന്നാലും, പരിധികളുടെ മൂല്യങ്ങൾ ഭിന്നമോ യുക്തിരഹിതമോ ആണ്. അതിനാൽ, നിങ്ങൾക്ക് അധിക കണക്കുകൂട്ടലുകൾ നടത്താം, രണ്ടാം ഘട്ടത്തിലേക്ക് പോകുക.

2. സംയോജനത്തിൻ്റെ പരിധികൾ വ്യക്തമായി വ്യക്തമാക്കിയിട്ടില്ലെങ്കിൽ, ഗ്രാഫുകൾ പരസ്പരം വിഭജിക്കുന്ന പോയിൻ്റുകൾ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തി ഞങ്ങളുടെ ഗ്രാഫിക് പരിഹാരംവിശകലനവുമായി.

3. അടുത്തതായി, നിങ്ങൾ ഡ്രോയിംഗ് വിശകലനം ചെയ്യേണ്ടതുണ്ട്. ഫംഗ്ഷൻ ഗ്രാഫുകൾ എങ്ങനെയാണ് ക്രമീകരിച്ചിരിക്കുന്നത് എന്നതിനെ ആശ്രയിച്ച്, ഉണ്ട് വ്യത്യസ്ത സമീപനങ്ങൾഒരു രൂപത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്താൻ. നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം വ്യത്യസ്ത ഉദാഹരണങ്ങൾഇൻ്റഗ്രലുകൾ ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ചിത്രത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തുന്നതിൽ.

3.1. വളഞ്ഞ ട്രപസോയിഡിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം നിങ്ങൾ കണ്ടെത്തേണ്ട സമയത്താണ് പ്രശ്നത്തിൻ്റെ ഏറ്റവും ക്ലാസിക്, ലളിത പതിപ്പ്. എന്താണ് വളഞ്ഞ ട്രപസോയിഡ്? ഇത് x-അക്ഷം കൊണ്ട് പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന ഒരു ഫ്ലാറ്റ് ഫിഗർ ആണ് (y = 0), ഋജുവായത് x = a, x = bമുതൽ ഇടവേളയിൽ തുടർച്ചയായി ഏതെങ്കിലും വക്രം എമുമ്പ് ബി. മാത്രമല്ല, ഈ കണക്ക് നെഗറ്റീവ് അല്ല, അത് x-അക്ഷത്തിന് താഴെയല്ല സ്ഥിതി ചെയ്യുന്നത്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ന്യൂട്ടൺ-ലീബ്നിസ് ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കിയ ഒരു നിശ്ചിത അവിഭാജ്യത്തിന് സംഖ്യാപരമായി തുല്യമാണ് കർവിലീനിയർ ട്രപസോയിഡിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം:

ഉദാഹരണം 1 y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

ഏത് വരികളാണ് ചിത്രം പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നത്? ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു പരവലയമുണ്ട് y = x2 – 3x + 3, അച്ചുതണ്ടിന് മുകളിൽ സ്ഥിതിചെയ്യുന്നു ഓ, ഇത് നെഗറ്റീവ് അല്ല, കാരണം ഈ പരാബോളയുടെ എല്ലാ പോയിൻ്റുകൾക്കും പോസിറ്റീവ് മൂല്യങ്ങളുണ്ട്. അടുത്തതായി, നേർരേഖകൾ നൽകി x = 1ഒപ്പം x = 3, അത് അച്ചുതണ്ടിന് സമാന്തരമായി പ്രവർത്തിക്കുന്നു ഒ.യു, ഇടതുവശത്തും വലത്തിലുമുള്ള ചിത്രത്തിൻ്റെ അതിർത്തിരേഖകളാണ്. നന്നായി y = 0, ഇത് x-അക്ഷം കൂടിയാണ്, അത് താഴെ നിന്ന് ചിത്രം പരിമിതപ്പെടുത്തുന്നു. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ചിത്രം ഷേഡുള്ളതാണ്, ഇടതുവശത്തുള്ള ചിത്രത്തിൽ നിന്ന് കാണാൻ കഴിയും. IN ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, നിങ്ങൾക്ക് ഉടൻ തന്നെ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാൻ തുടങ്ങാം. ഒരു വളഞ്ഞ ട്രപസോയിഡിൻ്റെ ഒരു ലളിതമായ ഉദാഹരണം ഞങ്ങളുടെ മുമ്പിലുണ്ട്, അത് ന്യൂട്ടൺ-ലീബ്നിസ് ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു.

3.2. മുമ്പത്തെ ഖണ്ഡിക 3.1-ൽ, ഒരു വളഞ്ഞ ട്രപസോയിഡ് x-അക്ഷത്തിന് മുകളിൽ സ്ഥിതിചെയ്യുമ്പോൾ ഞങ്ങൾ കേസ് പരിശോധിച്ചു. ഫംഗ്‌ഷൻ x-അക്ഷത്തിന് കീഴിലാണെന്നതൊഴിച്ചാൽ, പ്രശ്‌നത്തിൻ്റെ അവസ്ഥകൾ സമാനമാകുമ്പോൾ ഇപ്പോൾ കേസ് പരിഗണിക്കുക. സ്റ്റാൻഡേർഡ് ന്യൂട്ടൺ-ലീബ്നിസ് ഫോർമുലയിൽ ഒരു മൈനസ് ചേർത്തു. അത്തരമൊരു പ്രശ്നം എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാമെന്ന് ഞങ്ങൾ ചുവടെ പരിഗണിക്കും.

ഉദാഹരണം 2 . വരകളാൽ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന ഒരു ചിത്രത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണക്കാക്കുക y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.

ഈ ഉദാഹരണത്തിൽ നമുക്ക് ഒരു പരവലയമുണ്ട് y = x2 + 6x + 2, അത് അച്ചുതണ്ടിൽ നിന്ന് ഉത്ഭവിക്കുന്നു ഓ, ഋജുവായത് x = -4, x = -1, y = 0. ഇവിടെ y = 0മുകളിൽ നിന്ന് ആവശ്യമുള്ള ചിത്രം പരിമിതപ്പെടുത്തുന്നു. നേരിട്ട് x = -4ഒപ്പം x = -1ഇവയാണ് നിശ്ചിത അവിഭാജ്യത കണക്കാക്കുന്ന അതിരുകൾ. ഒരു രൂപത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള തത്വം ഉദാഹരണം നമ്പർ 1 മായി പൂർണ്ണമായും യോജിക്കുന്നു. നൽകിയിരിക്കുന്ന പ്രവർത്തനം പോസിറ്റീവ് അല്ല, മാത്രമല്ല ഇടവേളയിൽ തുടർച്ചയായി തുടരുകയും ചെയ്യുന്നു എന്നതാണ് വ്യത്യാസം. [-4; -1] . പോസിറ്റീവ് അല്ല എന്ന് നിങ്ങൾ എന്താണ് അർത്ഥമാക്കുന്നത്? ചിത്രത്തിൽ നിന്ന് കാണാൻ കഴിയുന്നത് പോലെ, തന്നിരിക്കുന്ന x-കൾക്കുള്ളിൽ സ്ഥിതിചെയ്യുന്ന ചിത്രത്തിന് "നെഗറ്റീവ്" കോർഡിനേറ്റുകൾ മാത്രമാണുള്ളത്, പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുമ്പോൾ നമ്മൾ കാണേണ്ടതും ഓർമ്മിക്കേണ്ടതും ഇതാണ്. ന്യൂട്ടൺ-ലീബ്നിസ് ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ ചിത്രത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം തിരയുന്നു, തുടക്കത്തിൽ ഒരു മൈനസ് ചിഹ്നം മാത്രം.

ലേഖനം പൂർത്തിയായിട്ടില്ല.

എ)

പരിഹാരം.

തീരുമാനത്തിൻ്റെ ആദ്യത്തേതും പ്രധാനപ്പെട്ടതുമായ കാര്യം ഡ്രോയിംഗിൻ്റെ നിർമ്മാണമാണ്.

നമുക്ക് ഡ്രോയിംഗ് ഉണ്ടാക്കാം:

സമവാക്യം y=0 "x" അക്ഷം സജ്ജമാക്കുന്നു;

- x=-2 ഒപ്പം x=1 - നേരായ, അച്ചുതണ്ടിന് സമാന്തരമായി OU;

- y=x 2 +2 - ഒരു പരവലയം, അതിൻ്റെ ശാഖകൾ മുകളിലേക്ക് നയിക്കപ്പെടുന്നു, ബിന്ദുവിൽ ശീർഷകം (0;2).

അഭിപ്രായം.ഒരു പരവലയം നിർമ്മിക്കുന്നതിന്, കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് അതിൻ്റെ കവലയുടെ പോയിൻ്റുകൾ കണ്ടെത്താൻ ഇത് മതിയാകും, അതായത്. ഇടുന്നു x=0 അച്ചുതണ്ടുമായി കവല കണ്ടെത്തുക ഒ.യു അതനുസരിച്ച് തീരുമാനിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം, അച്ചുതണ്ടുമായി കവല കണ്ടെത്തുക ഓ .

സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് പരവലയത്തിൻ്റെ ശീർഷകം കണ്ടെത്താം:

നിങ്ങൾക്ക് പോയിൻ്റ് ബൈ പോയിൻ്റ് ലൈനുകൾ നിർമ്മിക്കാനും കഴിയും.

ഇടവേളയിൽ [-2;1] ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് y=x 2 +2 സ്ഥിതി ചെയ്യുന്നത് അച്ചുതണ്ടിന് മുകളിൽ കാള , അതുകൊണ്ടാണ്:

ഉത്തരം: എസ് =9 ചതുരശ്ര യൂണിറ്റ്

ടാസ്ക് പൂർത്തിയാക്കിയ ശേഷം, ഡ്രോയിംഗ് നോക്കി ഉത്തരം യഥാർത്ഥമാണോ എന്ന് കണ്ടെത്തുന്നത് എല്ലായ്പ്പോഴും ഉപയോഗപ്രദമാണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, “കണ്ണുകൊണ്ട്” ഞങ്ങൾ ഡ്രോയിംഗിലെ സെല്ലുകളുടെ എണ്ണം കണക്കാക്കുന്നു - ശരി, ഏകദേശം 9 ഉണ്ടാകും, അത് ശരിയാണെന്ന് തോന്നുന്നു. നമുക്ക് ഉത്തരം ലഭിച്ചാൽ, പറയുക: 20 എന്ന് പൂർണ്ണമായും വ്യക്തമാണ് ചതുര യൂണിറ്റുകൾ, അപ്പോൾ എവിടെയോ ഒരു തെറ്റ് സംഭവിച്ചുവെന്നത് വ്യക്തമാണ് - 20 സെല്ലുകൾ സംശയാസ്പദമായ കണക്കുമായി യോജിക്കുന്നില്ല, പരമാവധി ഒരു ഡസൻ. ഉത്തരം നെഗറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ, ചുമതലയും തെറ്റായി പരിഹരിച്ചു.

വളഞ്ഞ ട്രപസോയിഡ് സ്ഥിതി ചെയ്യുന്നെങ്കിൽ എന്തുചെയ്യണം അച്ചുതണ്ടിൻ്റെ കീഴിൽ ഓ?

b)വരകളാൽ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന ഒരു ചിത്രത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണക്കാക്കുക y=-e x , x=1 കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷങ്ങളും.

പരിഹാരം.

നമുക്ക് ഒരു ഡ്രോയിംഗ് ഉണ്ടാക്കാം.

വളഞ്ഞ ട്രപസോയിഡ് ആണെങ്കിൽ പൂർണ്ണമായും അച്ചുതണ്ടിൽ സ്ഥിതി ചെയ്യുന്നു ഓ , അപ്പോൾ അതിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്താം:

ഉത്തരം: എസ്=(ഇ-1) ചതുരശ്ര യൂണിറ്റുകൾ" 1.72 ചതുരശ്ര യൂണിറ്റുകൾ

ശ്രദ്ധ! രണ്ട് തരത്തിലുള്ള ജോലികൾ ആശയക്കുഴപ്പത്തിലാക്കരുത്:

1) ജ്യാമിതീയ അർത്ഥങ്ങളില്ലാതെ ഒരു നിശ്ചിത സമഗ്രത പരിഹരിക്കാൻ നിങ്ങളോട് ആവശ്യപ്പെട്ടാൽ, അത് നെഗറ്റീവ് ആയിരിക്കാം.

2) ഒരു നിശ്ചിത ഇൻ്റഗ്രൽ ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ചിത്രത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്താൻ നിങ്ങളോട് ആവശ്യപ്പെട്ടാൽ, ആ പ്രദേശം എല്ലായ്പ്പോഴും പോസിറ്റീവ് ആയിരിക്കും! അതുകൊണ്ടാണ് ഇപ്പോൾ ചർച്ച ചെയ്ത ഫോർമുലയിൽ മൈനസ് പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്നത്.

പ്രായോഗികമായി, മിക്കപ്പോഴും ചിത്രം മുകളിലും താഴെയുമുള്ള അർദ്ധതലത്തിൽ സ്ഥിതിചെയ്യുന്നു.

കൂടെ)വരകളാൽ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന ഒരു വിമാനത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തുക y=2x-x 2, y=-x.

പരിഹാരം.

ആദ്യം നിങ്ങൾ ഡ്രോയിംഗ് പൂർത്തിയാക്കേണ്ടതുണ്ട്. പൊതുവായി പറഞ്ഞാൽ, ഏരിയ പ്രശ്നങ്ങളിൽ ഒരു ഡ്രോയിംഗ് നിർമ്മിക്കുമ്പോൾ, ലൈനുകളുടെ വിഭജനത്തിൻ്റെ പോയിൻ്റുകളിൽ ഞങ്ങൾക്ക് കൂടുതൽ താൽപ്പര്യമുണ്ട്. നമുക്ക് പരവലയത്തിൻ്റെ കവല പോയിൻ്റുകൾ കണ്ടെത്താം നേരെയും ഇത് രണ്ട് തരത്തിൽ ചെയ്യാം. ആദ്യ രീതി വിശകലനമാണ്.

ഞങ്ങൾ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നു:

ഇതിനർത്ഥം ഏകീകരണത്തിൻ്റെ താഴ്ന്ന പരിധി എന്നാണ് a=0 , സംയോജനത്തിൻ്റെ ഉയർന്ന പരിധി b=3 .

ഞങ്ങൾ പണിയുകയാണ് നൽകിയ വരികൾ: 1. പരാബോള - പോയിൻ്റിലെ ശീർഷകം (1;1); അച്ചുതണ്ട് കവല ഓ -പോയിൻ്റുകൾ (0;0), (0;2). 2. നേർരേഖ - 2-ഉം 4-ഉം കോർഡിനേറ്റ് കോണുകളുടെ വിഭജനം. ഇപ്പോൾ ശ്രദ്ധിക്കുക! വിഭാഗത്തിലാണെങ്കിൽ [ എ;ബി] ചില തുടർച്ചയായ പ്രവർത്തനം f(x)ചിലതിനേക്കാൾ വലുതോ തുല്യമോ തുടർച്ചയായ പ്രവർത്തനം g(x), തുടർന്ന് സമവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് അനുബന്ധ രൂപത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്താനാകും: .

ചിത്രം എവിടെയാണെന്നത് പ്രശ്നമല്ല - അക്ഷത്തിന് മുകളിലോ അക്ഷത്തിന് താഴെയോ, എന്നാൽ ഏത് ഗ്രാഫ് ഉയർന്നതാണ് (മറ്റൊരു ഗ്രാഫുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ), ഏതാണ് താഴെ എന്നതാണ് പ്രധാനം. പരിഗണനയിലുള്ള ഉദാഹരണത്തിൽ, സെഗ്മെൻ്റിൽ പരവലയം നേർരേഖയ്ക്ക് മുകളിലാണെന്ന് വ്യക്തമാണ്, അതിനാൽ അതിൽ നിന്ന് കുറയ്ക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

നിങ്ങൾക്ക് പോയിൻ്റ് ബൈ പോയിൻ്റ് ലൈനുകൾ നിർമ്മിക്കാൻ കഴിയും, കൂടാതെ സംയോജനത്തിൻ്റെ പരിധികൾ "സ്വയം" വ്യക്തമാകും. എന്നിരുന്നാലും, ഗ്രാഫ് ആവശ്യത്തിന് വലുതാണെങ്കിൽ അല്ലെങ്കിൽ വിശദമായ നിർമ്മാണം സംയോജനത്തിൻ്റെ പരിധികൾ വെളിപ്പെടുത്തിയില്ലെങ്കിൽ (അവ ഭിന്നമോ യുക്തിരഹിതമോ ആകാം) പരിധികൾ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള വിശകലന രീതി ചിലപ്പോൾ ഉപയോഗിക്കേണ്ടതുണ്ട്.

ആവശ്യമുള്ള ചിത്രം മുകളിൽ ഒരു പരവലയവും താഴെ ഒരു നേർരേഖയും കൊണ്ട് പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു.

വിഭാഗത്തിൽ , അനുബന്ധ ഫോർമുല അനുസരിച്ച്:

ഉത്തരം: എസ് =4.5 ചതുരശ്ര യൂണിറ്റ്

വാസ്തവത്തിൽ, ഒരു രൂപത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തുന്നതിന്, അനിശ്ചിതവും നിശ്ചിതവുമായ അവിഭാജ്യത്തെക്കുറിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് കൂടുതൽ അറിവ് ആവശ്യമില്ല. "ഒരു നിശ്ചിത ഇൻ്റഗ്രൽ ഉപയോഗിച്ച് ഏരിയ കണക്കാക്കുക" എന്ന ടാസ്ക് എല്ലായ്പ്പോഴും ഒരു ഡ്രോയിംഗ് നിർമ്മിക്കുന്നതിൽ ഉൾപ്പെടുന്നു, ഇതിലും എത്രയോ അധികം കാലികപ്രശ്നംഡ്രോയിംഗിലെ നിങ്ങളുടെ അറിവും കഴിവും ആയിരിക്കും. ഇക്കാര്യത്തിൽ, പ്രധാന ഗ്രാഫുകളുടെ നിങ്ങളുടെ മെമ്മറി പുതുക്കുന്നത് ഉപയോഗപ്രദമാണ് പ്രാഥമിക പ്രവർത്തനങ്ങൾ, കൂടാതെ, കുറഞ്ഞത്, ഒരു നേർരേഖയും ഒരു ഹൈപ്പർബോളയും നിർമ്മിക്കാൻ കഴിയും.

ഈ ഇടവേളയിൽ ചിഹ്നം മാറാത്ത ഒരു സെഗ്‌മെൻ്റിൽ തുടർച്ചയായി അച്ചുതണ്ട്, നേർരേഖകൾ, ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് എന്നിവയാൽ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന പരന്ന രൂപമാണ് വളഞ്ഞ ട്രപസോയിഡ്. ഈ കണക്ക് സ്ഥിതിചെയ്യട്ടെ കുറവല്ല x-അക്ഷം:

പിന്നെ ഒരു കർവിലീനിയർ ട്രപസോയിഡിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം സംഖ്യാപരമായി ഒരു നിശ്ചിത അവിഭാജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്. ഏതൊരു നിശ്ചിത അവിഭാജ്യത്തിനും (നിലവിലുള്ളത്) വളരെ നല്ലത് ഉണ്ട് ജ്യാമിതീയ അർത്ഥം.

ജ്യാമിതിയുടെ വീക്ഷണകോണിൽ നിന്ന്, കൃത്യമായ അവിഭാജ്യഘടകം AREA ആണ്.

അതാണ്,ഒരു നിശ്ചിത അവിഭാജ്യ (അത് നിലവിലുണ്ടെങ്കിൽ) ജ്യാമിതീയമായി ഒരു നിശ്ചിത രൂപത്തിൻ്റെ വിസ്തൃതിയുമായി യോജിക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, നിശ്ചിത അവിഭാജ്യ ഘടകം പരിഗണിക്കുക. അച്ചുതണ്ടിന് മുകളിൽ സ്ഥിതി ചെയ്യുന്ന തലത്തിലെ ഒരു വക്രത്തെ ഇൻ്റഗ്രാൻഡ് നിർവചിക്കുന്നു (ആഗ്രഹിക്കുന്നവർക്ക് ഒരു ഡ്രോയിംഗ് നിർമ്മിക്കാൻ കഴിയും), കൂടാതെ കൃത്യമായ ഇൻ്റഗ്രൽ തന്നെ സംഖ്യാപരമായി ബന്ധപ്പെട്ട കർവിലീനിയർ ട്രപസോയിഡിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണത്തിന് തുല്യമാണ്.

ഉദാഹരണം 1

ഇതൊരു സാധാരണ അസൈൻമെൻ്റ് പ്രസ്താവനയാണ്. തീരുമാനത്തിൻ്റെ ആദ്യത്തേതും പ്രധാനപ്പെട്ടതുമായ കാര്യം ഡ്രോയിംഗിൻ്റെ നിർമ്മാണമാണ്. മാത്രമല്ല, ഡ്രോയിംഗ് നിർമ്മിക്കണം വലത്.

ഒരു ഡ്രോയിംഗ് നിർമ്മിക്കുമ്പോൾ, ഞാൻ ഇനിപ്പറയുന്ന ഓർഡർ ശുപാർശ ചെയ്യുന്നു: ആദ്യംഎല്ലാ നേർരേഖകളും (അവ നിലവിലുണ്ടെങ്കിൽ) നിർമ്മിക്കുന്നതാണ് നല്ലത് പിന്നെ- പരാബോളകൾ, ഹൈപ്പർബോളുകൾ, മറ്റ് പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഗ്രാഫുകൾ. ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഗ്രാഫുകൾ നിർമ്മിക്കുന്നത് കൂടുതൽ ലാഭകരമാണ് പോയിൻ്റ് ബൈ പോയിൻ്റ്.

ഈ പ്രശ്നത്തിൽ, പരിഹാരം ഇതുപോലെയാകാം.
നമുക്ക് ഡ്രോയിംഗ് വരയ്ക്കാം (സമവാക്യം അക്ഷത്തെ നിർവചിക്കുന്നു എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക):

സെഗ്മെൻ്റിൽ, ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് സ്ഥിതിചെയ്യുന്നു അച്ചുതണ്ടിന് മുകളിൽ, അതുകൊണ്ടാണ്:

ഉത്തരം:

ടാസ്ക് പൂർത്തിയാക്കിയ ശേഷം, ഡ്രോയിംഗ് നോക്കി ഉത്തരം യഥാർത്ഥമാണോ എന്ന് കണ്ടെത്തുന്നത് എല്ലായ്പ്പോഴും ഉപയോഗപ്രദമാണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, “കണ്ണുകൊണ്ട്” ഞങ്ങൾ ഡ്രോയിംഗിലെ സെല്ലുകളുടെ എണ്ണം കണക്കാക്കുന്നു - ശരി, ഏകദേശം 9 ഉണ്ടാകും, അത് ശരിയാണെന്ന് തോന്നുന്നു. നമുക്ക് ഉത്തരം ലഭിച്ചാൽ, പറയുക: 20 ചതുരശ്ര യൂണിറ്റുകൾ, എവിടെയെങ്കിലും ഒരു തെറ്റ് സംഭവിച്ചുവെന്ന് വ്യക്തമാണ് - 20 സെല്ലുകൾ സംശയാസ്പദമായ കണക്കുമായി യോജിക്കുന്നില്ല, പരമാവധി ഒരു ഡസൻ. ഉത്തരം നെഗറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ, ചുമതലയും തെറ്റായി പരിഹരിച്ചു.

ഉദാഹരണം 3

വരകളും കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷങ്ങളും കൊണ്ട് പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന ചിത്രത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണക്കാക്കുക.

പരിഹാരം: നമുക്ക് ഒരു ഡ്രോയിംഗ് ഉണ്ടാക്കാം:

ഒരു വളഞ്ഞ ട്രപസോയിഡ് സ്ഥിതിചെയ്യുന്നുണ്ടെങ്കിൽ അച്ചുതണ്ടിൻ്റെ കീഴിൽ(കുറഞ്ഞപക്ഷം ഉയർന്നതല്ലനൽകിയിരിക്കുന്ന അക്ഷം), തുടർന്ന് അതിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്താം:

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ:

ശ്രദ്ധ! രണ്ട് തരത്തിലുള്ള ജോലികൾ ആശയക്കുഴപ്പത്തിലാക്കരുത്:

പ്രായോഗികമായി, മിക്കപ്പോഴും ചിത്രം മുകളിലും താഴെയുമുള്ള അർദ്ധ തലത്തിലാണ് സ്ഥിതിചെയ്യുന്നത്, അതിനാൽ, ലളിതമായ സ്കൂൾ പ്രശ്നങ്ങളിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾ കൂടുതൽ അർത്ഥവത്തായ ഉദാഹരണങ്ങളിലേക്ക് നീങ്ങുന്നു.

ഉദാഹരണം 4

വരകളാൽ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന ഒരു വിമാനത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം: ആദ്യം നിങ്ങൾ ഡ്രോയിംഗ് പൂർത്തിയാക്കേണ്ടതുണ്ട്. പൊതുവായി പറഞ്ഞാൽ, ഏരിയ പ്രശ്നങ്ങളിൽ ഒരു ഡ്രോയിംഗ് നിർമ്മിക്കുമ്പോൾ, ലൈനുകളുടെ വിഭജനത്തിൻ്റെ പോയിൻ്റുകളിൽ ഞങ്ങൾക്ക് കൂടുതൽ താൽപ്പര്യമുണ്ട്. പരവലയത്തിൻ്റെയും നേർരേഖയുടെയും വിഭജന പോയിൻ്റുകൾ നമുക്ക് കണ്ടെത്താം. ഇത് രണ്ട് തരത്തിൽ ചെയ്യാം. ആദ്യ രീതി വിശകലനമാണ്. ഞങ്ങൾ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നു:

ഇതിനർത്ഥം സംയോജനത്തിൻ്റെ താഴ്ന്ന പരിധി, ഏകീകരണത്തിൻ്റെ ഉയർന്ന പരിധി എന്നാണ്.

സാധ്യമെങ്കിൽ, ഈ രീതി ഉപയോഗിക്കാതിരിക്കുന്നതാണ് നല്ലത്..

പോയിൻ്റ് ബൈ പോയിൻ്റ് ലൈനുകൾ നിർമ്മിക്കുന്നത് കൂടുതൽ ലാഭകരവും വേഗതയുള്ളതുമാണ്, കൂടാതെ സംയോജനത്തിൻ്റെ പരിധികൾ "സ്വയം" വ്യക്തമാകും. എന്നിരുന്നാലും, ഗ്രാഫ് ആവശ്യത്തിന് വലുതാണെങ്കിൽ, അല്ലെങ്കിൽ വിശദമായ നിർമ്മാണം സംയോജനത്തിൻ്റെ പരിധി വെളിപ്പെടുത്തിയില്ലെങ്കിൽ (അവ ഭിന്നമോ യുക്തിരഹിതമോ ആകാം) പരിധികൾ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള വിശകലന രീതി ചിലപ്പോൾ ഉപയോഗിക്കേണ്ടതുണ്ട്. കൂടാതെ, അത്തരമൊരു ഉദാഹരണം ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കും.

നമുക്ക് നമ്മുടെ ടാസ്ക്കിലേക്ക് മടങ്ങാം: ആദ്യം ഒരു നേർരേഖ നിർമ്മിക്കുന്നത് കൂടുതൽ യുക്തിസഹമാണ്, അതിനുശേഷം മാത്രമേ ഒരു പരവലയമുള്ളൂ. നമുക്ക് ഡ്രോയിംഗ് ഉണ്ടാക്കാം:

ഇപ്പോൾ പ്രവർത്തന സൂത്രവാക്യം: സെഗ്മെൻ്റിൽ എന്തെങ്കിലും തുടർച്ചയായ പ്രവർത്തനം ഉണ്ടെങ്കിൽ അതിലും വലുതോ തുല്യമോചില തുടർച്ചയായ ഫംഗ്‌ഷൻ, തുടർന്ന് ഈ ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെയും വരികളുടെയും ഗ്രാഫുകളാൽ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന ചിത്രത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്താനാകും:

ചിത്രം എവിടെയാണ് സ്ഥിതിചെയ്യുന്നതെന്ന് ഇവിടെ നിങ്ങൾ ഇനി ചിന്തിക്കേണ്ടതില്ല - അക്ഷത്തിന് മുകളിലോ അക്ഷത്തിന് താഴെയോ, ഏകദേശം പറഞ്ഞാൽ, ഏത് ഗ്രാഫ് ഉയർന്നതാണ് എന്നത് പ്രധാനമാണ്(മറ്റൊരു ഗ്രാഫുമായി ബന്ധപ്പെട്ട്), കൂടാതെ ഏതാണ് താഴെയുള്ളത്.

പരിഗണനയിലുള്ള ഉദാഹരണത്തിൽ, സെഗ്മെൻ്റിൽ പരവലയം നേർരേഖയ്ക്ക് മുകളിലാണെന്ന് വ്യക്തമാണ്, അതിനാൽ അതിൽ നിന്ന് കുറയ്ക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

പൂർത്തിയായ പരിഹാരം ഇതുപോലെയാകാം:

ആവശ്യമുള്ള ചിത്രം മുകളിൽ ഒരു പരവലയവും താഴെ ഒരു നേർരേഖയും കൊണ്ട് പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു.
സെഗ്മെൻ്റിൽ, അനുബന്ധ ഫോർമുല അനുസരിച്ച്:

ഉത്തരം:

ഉദാഹരണം 4

വരകളാൽ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന ചിത്രത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണക്കാക്കുക, , , .

പരിഹാരം: ആദ്യം, നമുക്ക് ഒരു ഡ്രോയിംഗ് ഉണ്ടാക്കാം:

നമ്മൾ കണ്ടെത്തേണ്ട പ്രദേശം ഷേഡുള്ള നീലയാണ്(അവസ്ഥ ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം നോക്കുക - കണക്ക് എങ്ങനെ പരിമിതമാണ്!). എന്നാൽ പ്രായോഗികമായി, അശ്രദ്ധ കാരണം, ഷേഡുള്ള ഒരു രൂപത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം നിങ്ങൾ കണ്ടെത്തേണ്ട ഒരു "തടസ്സം" പലപ്പോഴും ഉയർന്നുവരുന്നു. പച്ച!

രണ്ട് കൃത്യമായ ഇൻ്റഗ്രലുകൾ ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ചിത്രത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണക്കാക്കുന്നതിനും ഈ ഉദാഹരണം ഉപയോഗപ്രദമാണ്.

ശരിക്കും:

1) അക്ഷത്തിന് മുകളിലുള്ള സെഗ്മെൻ്റിൽ ഒരു നേർരേഖയുടെ ഗ്രാഫ് ഉണ്ട്;

2) അക്ഷത്തിന് മുകളിലുള്ള സെഗ്മെൻ്റിൽ ഒരു ഹൈപ്പർബോളയുടെ ഒരു ഗ്രാഫ് ഉണ്ട്.

പ്രദേശങ്ങൾ ചേർക്കാൻ കഴിയുമെന്നത് വളരെ വ്യക്തമാണ്, അതിനാൽ:

ഇൻ്റഗ്രൽ കാൽക്കുലസിൻ്റെ പ്രയോഗങ്ങൾ പരിഗണിക്കുന്നതിലേക്ക് പോകാം. ഈ പാഠത്തിൽ ഞങ്ങൾ സാധാരണവും ഏറ്റവും സാധാരണവുമായ ചുമതല വിശകലനം ചെയ്യും ഒരു നിശ്ചിത ഇൻ്റഗ്രൽ ഉപയോഗിച്ച് ഒരു വിമാനത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണക്കാക്കുന്നു. അവസാനമായി, ഉയർന്ന ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ അർത്ഥം അന്വേഷിക്കുന്ന എല്ലാവരും അത് കണ്ടെത്തട്ടെ. നിങ്ങൾക്കറിയില്ല. ജീവിതത്തിൽ നാം അതിനെ കൂടുതൽ അടുപ്പിക്കണം രാജ്യത്തിൻ്റെ കോട്ടേജ് ഏരിയഎലിമെൻ്ററി ഫംഗ്‌ഷനുകൾ കൂടാതെ ഒരു നിശ്ചിത ഇൻ്റഗ്രൽ ഉപയോഗിച്ച് അതിൻ്റെ ഏരിയ കണ്ടെത്തുക.

മെറ്റീരിയൽ വിജയകരമായി മാസ്റ്റർ ചെയ്യുന്നതിന്, നിങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്നവ ചെയ്യണം:

1) കുറഞ്ഞത് ഒരു ഇൻ്റർമീഡിയറ്റ് തലത്തിലെങ്കിലും അനിശ്ചിത ഇൻ്റഗ്രൽ മനസ്സിലാക്കുക. അതിനാൽ, ഡമ്മികൾ ആദ്യം പാഠം വായിക്കണം അല്ല.

2) ന്യൂട്ടൺ-ലീബ്നിസ് ഫോർമുല പ്രയോഗിക്കാനും കൃത്യമായ ഇൻ്റഗ്രൽ കണക്കാക്കാനും കഴിയും. പേജിലെ ചില ഇൻ്റഗ്രലുകളുമായി നിങ്ങൾക്ക് ഊഷ്മളമായ സൗഹൃദ ബന്ധം സ്ഥാപിക്കാൻ കഴിയും നിശ്ചിത അവിഭാജ്യ. പരിഹാരങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ. "ഒരു നിശ്ചിത ഇൻ്റഗ്രൽ ഉപയോഗിച്ച് ഏരിയ കണക്കാക്കുക" എന്ന ടാസ്ക് എല്ലായ്പ്പോഴും ഒരു ഡ്രോയിംഗ് നിർമ്മിക്കുന്നതിൽ ഉൾപ്പെടുന്നു, അതിനാൽ നിങ്ങളുടെ അറിവും ഡ്രോയിംഗ് കഴിവുകളും ഒരു പ്രസക്തമായ പ്രശ്നമായിരിക്കും. കുറഞ്ഞത്, നിങ്ങൾക്ക് ഒരു നേർരേഖ, പരാബോള, ഹൈപ്പർബോള എന്നിവ നിർമ്മിക്കാൻ കഴിയണം.

ഒരു വളഞ്ഞ ട്രപസോയിഡ് ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് ആരംഭിക്കാം. വളഞ്ഞ ട്രപസോയിഡ് എന്നത് ചില ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിൽ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന ഒരു പരന്ന രൂപമാണ് വൈ = എഫ്(x), അക്ഷം OXവരികളും x = എ; x = ബി.

ഒരു കർവിലീനിയർ ട്രപസോയിഡിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം സംഖ്യാപരമായി ഒരു നിശ്ചിത അവിഭാജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്

ഏതൊരു നിശ്ചിത അവിഭാജ്യത്തിനും (നിലവിലുള്ളത്) വളരെ നല്ല ജ്യാമിതീയ അർത്ഥമുണ്ട്. പാഠത്തിൽ നിശ്ചിത അവിഭാജ്യ. പരിഹാരങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾഒരു നിശ്ചിത അവിഭാജ്യഘടകം ഒരു സംഖ്യയാണെന്ന് ഞങ്ങൾ പറഞ്ഞു. ഇപ്പോൾ ഒന്ന് കൂടി പറയേണ്ട സമയമായി ഉപയോഗപ്രദമായ വസ്തുത. ജ്യാമിതിയുടെ വീക്ഷണകോണിൽ, കൃത്യമായ അവിഭാജ്യഘടകം AREA ആണ്. അതാണ്, നിശ്ചിത അവിഭാജ്യ (അത് നിലവിലുണ്ടെങ്കിൽ) ജ്യാമിതീയമായി ഒരു നിശ്ചിത രൂപത്തിൻ്റെ വിസ്തൃതിയുമായി യോജിക്കുന്നു. നിശ്ചിത അവിഭാജ്യത പരിഗണിക്കുക

ഇൻ്റഗ്രാൻഡ്

വിമാനത്തിൽ ഒരു വക്രം നിർവചിക്കുന്നു (ആവശ്യമെങ്കിൽ അത് വരയ്ക്കാം), കൂടാതെ കൃത്യമായ ഇൻ്റഗ്രൽ തന്നെ സംഖ്യാപരമായി ബന്ധപ്പെട്ട കർവിലീനിയർ ട്രപസോയിഡിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണത്തിന് തുല്യമാണ്.

ഉദാഹരണം 1

, , , .

ഇതൊരു സാധാരണ അസൈൻമെൻ്റ് പ്രസ്താവനയാണ്. ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട പോയിൻ്റ്പരിഹാരങ്ങൾ - ഡ്രോയിംഗ്. മാത്രമല്ല, ഡ്രോയിംഗ് നിർമ്മിക്കണം വലത്.

ഒരു ഡ്രോയിംഗ് നിർമ്മിക്കുമ്പോൾ, ഞാൻ ഇനിപ്പറയുന്ന ഓർഡർ ശുപാർശ ചെയ്യുന്നു: ആദ്യംഎല്ലാ നേർരേഖകളും (അവ നിലവിലുണ്ടെങ്കിൽ) നിർമ്മിക്കുന്നതാണ് നല്ലത് പിന്നെ- പരാബോളകൾ, ഹൈപ്പർബോളുകൾ, മറ്റ് പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഗ്രാഫുകൾ. പോയിൻ്റ്-ബൈ-പോയിൻ്റ് നിർമ്മാണ സാങ്കേതികത റഫറൻസ് മെറ്റീരിയലിൽ കാണാം പ്രാഥമിക പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഗ്രാഫുകളും ഗുണങ്ങളും. ഞങ്ങളുടെ പാഠത്തിനായി വളരെ ഉപയോഗപ്രദമായ മെറ്റീരിയലും അവിടെ നിങ്ങൾക്ക് കണ്ടെത്താനാകും - ഒരു പരവലയം എങ്ങനെ വേഗത്തിൽ നിർമ്മിക്കാം.

ഈ പ്രശ്നത്തിൽ, പരിഹാരം ഇതുപോലെയാകാം.

നമുക്ക് ഡ്രോയിംഗ് ചെയ്യാം (സമവാക്യം ശ്രദ്ധിക്കുക വൈ= 0 അക്ഷം വ്യക്തമാക്കുന്നു OX):

വളഞ്ഞ ട്രപസോയിഡിന് ഞങ്ങൾ നിഴൽ നൽകില്ല; ഞങ്ങൾ ഏത് പ്രദേശത്തെക്കുറിച്ചാണ് സംസാരിക്കുന്നതെന്ന് ഇവിടെ വ്യക്തമാണ്. പരിഹാരം ഇതുപോലെ തുടരുന്നു:

സെഗ്മെൻ്റിൽ [-2; 1] ഫംഗ്ഷൻ ഗ്രാഫ് വൈ = x 2 + 2 സ്ഥിതിചെയ്യുന്നു അച്ചുതണ്ടിന് മുകളിൽOX, അതുകൊണ്ടാണ്:

ഉത്തരം: .

കൃത്യമായ ഇൻ്റഗ്രൽ കണക്കാക്കുന്നതിലും ന്യൂട്ടൺ-ലീബ്നിസ് ഫോർമുല പ്രയോഗിക്കുന്നതിലും ആർക്കാണ് ബുദ്ധിമുട്ടുള്ളത്

പ്രഭാഷണം റഫർ ചെയ്യുക നിശ്ചിത അവിഭാജ്യ. പരിഹാരങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ. ടാസ്ക് പൂർത്തിയാക്കിയ ശേഷം, ഡ്രോയിംഗ് നോക്കി ഉത്തരം യഥാർത്ഥമാണോ എന്ന് കണ്ടെത്തുന്നത് എല്ലായ്പ്പോഴും ഉപയോഗപ്രദമാണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, "കണ്ണുകൊണ്ട്" ഡ്രോയിംഗിലെ സെല്ലുകളുടെ എണ്ണം ഞങ്ങൾ കണക്കാക്കുന്നു - ശരി, ഏകദേശം 9 ഉണ്ടാകും, അത് ശരിയാണെന്ന് തോന്നുന്നു. നമുക്ക് ഉത്തരം ലഭിച്ചാൽ, പറയുക: 20 ചതുരശ്ര യൂണിറ്റുകൾ, എവിടെയെങ്കിലും ഒരു തെറ്റ് സംഭവിച്ചുവെന്ന് വ്യക്തമാണ് - 20 സെല്ലുകൾ സംശയാസ്പദമായ കണക്കുമായി യോജിക്കുന്നില്ല, പരമാവധി ഒരു ഡസൻ. ഉത്തരം നെഗറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ, ചുമതലയും തെറ്റായി പരിഹരിച്ചു.

ഉദാഹരണം 2

വരകളാൽ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന ഒരു ചിത്രത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണക്കാക്കുക xy = 4, x = 2, x= 4 ഒപ്പം അച്ചുതണ്ട് OX.

ഇത് ഒരു ഉദാഹരണമാണ് സ്വതന്ത്ര തീരുമാനം. സമ്പൂർണ്ണ പരിഹാരംപാഠത്തിൻ്റെ അവസാനം ഉത്തരവും.

വളഞ്ഞ ട്രപസോയിഡ് സ്ഥിതി ചെയ്യുന്നെങ്കിൽ എന്തുചെയ്യണം അച്ചുതണ്ടിൻ്റെ കീഴിൽOX?

ഉദാഹരണം 3

വരകളാൽ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന ഒരു ചിത്രത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണക്കാക്കുക വൈ = e-x, x= 1 ഒപ്പം കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷങ്ങളും.

പരിഹാരം: നമുക്ക് ഒരു ഡ്രോയിംഗ് ഉണ്ടാക്കാം:

വളഞ്ഞ ട്രപസോയിഡ് ആണെങ്കിൽ പൂർണ്ണമായും അച്ചുതണ്ടിൽ സ്ഥിതി ചെയ്യുന്നു OX , അപ്പോൾ അതിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്താം:

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ:

ശ്രദ്ധ! രണ്ട് തരത്തിലുള്ള ജോലികൾ ആശയക്കുഴപ്പത്തിലാക്കരുത്:

ഉദാഹരണം 4

വരകളാൽ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന ഒരു വിമാനത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തുക വൈ = 2x – x 2 , വൈ = -x.

പരിഹാരം: ആദ്യം നിങ്ങൾ ഒരു ഡ്രോയിംഗ് ഉണ്ടാക്കണം. ഏരിയ പ്രശ്നങ്ങളിൽ ഒരു ഡ്രോയിംഗ് നിർമ്മിക്കുമ്പോൾ, ലൈനുകളുടെ വിഭജനത്തിൻ്റെ പോയിൻ്റുകളിൽ ഞങ്ങൾക്ക് കൂടുതൽ താൽപ്പര്യമുണ്ട്. നമുക്ക് പരവലയത്തിൻ്റെ കവല പോയിൻ്റുകൾ കണ്ടെത്താം വൈ = 2x – x 2 നേരെയും വൈ = -x. ഇത് രണ്ട് തരത്തിൽ ചെയ്യാം. ആദ്യ രീതി വിശകലനമാണ്. ഞങ്ങൾ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നു:

ഇതിനർത്ഥം ഏകീകരണത്തിൻ്റെ താഴ്ന്ന പരിധി എന്നാണ് എ= 0, സംയോജനത്തിൻ്റെ ഉയർന്ന പരിധി ബി= 3. പോയിൻ്റ് ബൈ പോയിൻ്റ് ലൈനുകൾ നിർമ്മിക്കുന്നത് പലപ്പോഴും കൂടുതൽ ലാഭകരവും വേഗവുമാണ്, കൂടാതെ സംയോജനത്തിൻ്റെ പരിധികൾ "സ്വയം" വ്യക്തമാകും. എന്നിരുന്നാലും, ഗ്രാഫ് ആവശ്യത്തിന് വലുതാണെങ്കിൽ, അല്ലെങ്കിൽ വിശദമായ നിർമ്മാണം സംയോജനത്തിൻ്റെ പരിധി വെളിപ്പെടുത്തിയില്ലെങ്കിൽ (അവ ഭിന്നമോ യുക്തിരഹിതമോ ആകാം) പരിധികൾ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള വിശകലന രീതി ചിലപ്പോൾ ഉപയോഗിക്കേണ്ടതുണ്ട്. നമുക്ക് നമ്മുടെ ചുമതലയിലേക്ക് മടങ്ങാം: ആദ്യം ഒരു നേർരേഖ നിർമ്മിക്കുന്നത് കൂടുതൽ യുക്തിസഹമാണ്, അതിനുശേഷം മാത്രമേ ഒരു പരവലയമുള്ളൂ. നമുക്ക് ഡ്രോയിംഗ് ഉണ്ടാക്കാം:

പോയിൻ്റ്‌വൈസ് നിർമ്മിക്കുമ്പോൾ, സംയോജനത്തിൻ്റെ പരിധികൾ "യാന്ത്രികമായി" നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നുവെന്ന് നമുക്ക് ആവർത്തിക്കാം.

ഇപ്പോൾ പ്രവർത്തന സൂത്രവാക്യം:

വിഭാഗത്തിലാണെങ്കിൽ [ എ; ബി] ചില തുടർച്ചയായ പ്രവർത്തനം എഫ്(x) അതിലും വലുതോ തുല്യമോചില തുടർച്ചയായ പ്രവർത്തനം ജി(x), തുടർന്ന് സമവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് അനുബന്ധ രൂപത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്താം:

ചിത്രം എവിടെയാണ് സ്ഥിതിചെയ്യുന്നതെന്ന് ഇവിടെ നിങ്ങൾ ഇനി ചിന്തിക്കേണ്ടതില്ല - അക്ഷത്തിന് മുകളിലോ അക്ഷത്തിന് താഴെയോ, പക്ഷേ ഏത് ഗ്രാഫ് ഉയർന്നതാണ് എന്നത് പ്രധാനമാണ്(മറ്റൊരു ഗ്രാഫുമായി ബന്ധപ്പെട്ട്), കൂടാതെ ഏതാണ് താഴെയുള്ളത്.

പരിഗണനയിലുള്ള ഉദാഹരണത്തിൽ, സെഗ്‌മെൻ്റിൽ പരവലയം നേർരേഖയ്ക്ക് മുകളിലായി സ്ഥിതിചെയ്യുന്നുവെന്നത് വ്യക്തമാണ്, അതിനാൽ 2 മുതൽ x – x 2 കുറയ്ക്കണം - x.

പൂർത്തിയായ പരിഹാരം ഇതുപോലെയാകാം:

ആവശ്യമുള്ള ചിത്രം ഒരു പരവലയത്താൽ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു വൈ = 2x – x 2 മുകളിലും നേരെയും വൈ = -xതാഴെ.

സെഗ്മെൻ്റ് 2 ൽ x – x 2 ≥ -x. അനുബന്ധ ഫോർമുല അനുസരിച്ച്:

ഉത്തരം: .

വാസ്തവത്തിൽ, താഴത്തെ അർദ്ധ-തലത്തിലുള്ള ഒരു കർവിലീനിയർ ട്രപസോയിഡിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണത്തിൻ്റെ സ്കൂൾ ഫോർമുല (ഉദാഹരണ നമ്പർ 3 കാണുക) പ്രത്യേക കേസ്സൂത്രവാക്യങ്ങൾ

കാരണം അച്ചുതണ്ട് OXസമവാക്യം നൽകിയത് വൈ= 0, കൂടാതെ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് ജി(x) അക്ഷത്തിന് താഴെ സ്ഥിതി ചെയ്യുന്നു OX, അത്

നിങ്ങളുടെ സ്വന്തം പരിഹാരത്തിനായി ഇപ്പോൾ കുറച്ച് ഉദാഹരണങ്ങൾ

ഉദാഹരണം 5

ഉദാഹരണം 6

വരകളാൽ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന ഒരു ചിത്രത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തുക

ഒരു നിശ്ചിത ഇൻ്റഗ്രൽ ഉപയോഗിച്ച് ഏരിയ കണക്കാക്കുന്നത് ഉൾപ്പെടുന്ന പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, ചിലപ്പോൾ രസകരമായ ഒരു സംഭവം സംഭവിക്കുന്നു. ഡ്രോയിംഗ് ശരിയായി, കണക്കുകൂട്ടലുകൾ ശരിയായിരുന്നു, പക്ഷേ അശ്രദ്ധ കാരണം ... തെറ്റായ രൂപത്തിൻ്റെ പ്രദേശം കണ്ടെത്തി.

ഉദാഹരണം 7

ആദ്യം നമുക്ക് ഒരു ഡ്രോയിംഗ് ഉണ്ടാക്കാം:

നമ്മൾ കണ്ടെത്തേണ്ട പ്രദേശം ഷേഡുള്ള നീലയാണ്(അവസ്ഥ ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം നോക്കുക - കണക്ക് എങ്ങനെ പരിമിതമാണ്!). എന്നാൽ പ്രായോഗികമായി, അശ്രദ്ധ കാരണം, പച്ച നിറത്തിൽ ഷേഡുള്ള രൂപത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തണമെന്ന് ആളുകൾ പലപ്പോഴും തീരുമാനിക്കുന്നു!

ഈ ഉദാഹരണം ഉപയോഗപ്രദമാണ്, കാരണം ഇത് രണ്ട് കൃത്യമായ ഇൻ്റഗ്രലുകൾ ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ചിത്രത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണക്കാക്കുന്നു. ശരിക്കും:

1) സെഗ്മെൻ്റിൽ [-1; 1] അക്ഷത്തിന് മുകളിൽ OXഗ്രാഫ് നേരെ സ്ഥിതി ചെയ്യുന്നു വൈ = x+1;

2) അക്ഷത്തിന് മുകളിലുള്ള ഒരു സെഗ്മെൻ്റിൽ OXഒരു ഹൈപ്പർബോളയുടെ ഗ്രാഫ് സ്ഥിതി ചെയ്യുന്നു വൈ = (2/x).

പ്രദേശങ്ങൾ ചേർക്കാൻ കഴിയുമെന്നത് വളരെ വ്യക്തമാണ്, അതിനാൽ:

ഉത്തരം:

ഉദാഹരണം 8

വരകളാൽ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന ഒരു ചിത്രത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണക്കാക്കുക

നമുക്ക് "സ്കൂൾ" രൂപത്തിൽ സമവാക്യങ്ങൾ അവതരിപ്പിക്കാം

പോയിൻ്റ്-ബൈ-പോയിൻ്റ് ഡ്രോയിംഗ് ഉണ്ടാക്കുക:

ഞങ്ങളുടെ ഉയർന്ന പരിധി "നല്ലത്" ആണെന്ന് ഡ്രോയിംഗിൽ നിന്ന് വ്യക്തമാണ്: ബി = 1.

എന്നാൽ കുറഞ്ഞ പരിധി എന്താണ്?! ഇതൊരു പൂർണ്ണസംഖ്യയല്ലെന്ന് വ്യക്തമാണ്, പക്ഷേ അതെന്താണ്?

ഒരുപക്ഷേ, എ=(-1/3)? എന്നാൽ ഡ്രോയിംഗ് തികഞ്ഞ കൃത്യതയോടെയാണ് നിർമ്മിച്ചിരിക്കുന്നത് എന്നതിൻ്റെ ഗ്യാരണ്ടി എവിടെയാണ്, അത് മാറിയേക്കാം എ=(-1/4). നമ്മൾ ഗ്രാഫ് തെറ്റായി നിർമ്മിച്ചാലോ?

അത്തരം സന്ദർഭങ്ങളിൽ, നിങ്ങൾ കൂടുതൽ സമയം ചെലവഴിക്കുകയും സംയോജനത്തിൻ്റെ പരിധികൾ വിശകലനപരമായി വ്യക്തമാക്കുകയും വേണം.

ഗ്രാഫുകളുടെ ഇൻ്റർസെക്ഷൻ പോയിൻ്റുകൾ നമുക്ക് കണ്ടെത്താം

ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നു:

അതിനാൽ, എ=(-1/3).

ഇനിയുള്ള പരിഹാരം നിസ്സാരമാണ്. പകരം വയ്ക്കലുകളിലും അടയാളങ്ങളിലും ആശയക്കുഴപ്പത്തിലാകരുത് എന്നതാണ് പ്രധാന കാര്യം. ഇവിടെ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ ലളിതമല്ല. വിഭാഗത്തിൽ

, ,

അനുബന്ധ ഫോർമുല അനുസരിച്ച്:

ഉത്തരം:

പാഠം അവസാനിപ്പിക്കാൻ, രണ്ട് ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള ജോലികൾ കൂടി നോക്കാം.

ഉദാഹരണം 9

പരിഹാരം: ഈ ചിത്രം ഡ്രോയിംഗിൽ ചിത്രീകരിക്കാം.

ഒരു പോയിൻ്റ്-ബൈ-പോയിൻ്റ് ഡ്രോയിംഗ് വരയ്ക്കാൻ നിങ്ങൾ അറിഞ്ഞിരിക്കണം രൂപം sinusoids. പൊതുവേ, എല്ലാ പ്രാഥമിക പ്രവർത്തനങ്ങളുടെയും ഗ്രാഫുകളും ചില സൈൻ മൂല്യങ്ങളും അറിയുന്നത് ഉപയോഗപ്രദമാണ്. അവ മൂല്യങ്ങളുടെ പട്ടികയിൽ കാണാം ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങൾ . ചില സന്ദർഭങ്ങളിൽ (ഉദാഹരണത്തിന്, ഈ സാഹചര്യത്തിൽ), ഒരു സ്കീമാറ്റിക് ഡ്രോയിംഗ് നിർമ്മിക്കാൻ കഴിയും, അതിൽ ഗ്രാഫുകളും സംയോജനത്തിൻ്റെ പരിധികളും അടിസ്ഥാനപരമായി ശരിയായി പ്രദർശിപ്പിക്കണം.

ഇവിടെ സംയോജനത്തിൻ്റെ പരിധിയിൽ പ്രശ്നങ്ങളൊന്നുമില്ല;

- "x" പൂജ്യത്തിൽ നിന്ന് "പൈ" ആയി മാറുന്നു. നമുക്ക് കൂടുതൽ തീരുമാനമെടുക്കാം:

ഒരു സെഗ്മെൻ്റിൽ, ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് വൈ= പാപം 3 xഅക്ഷത്തിന് മുകളിൽ സ്ഥിതിചെയ്യുന്നു OX, അതുകൊണ്ടാണ്:

(1) സൈനുകളും കോസൈനുകളും വിചിത്ര ശക്തികളിൽ എങ്ങനെ സംയോജിപ്പിക്കപ്പെടുന്നുവെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് പാഠത്തിൽ കാണാൻ കഴിയും ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ സംയോജനം. ഞങ്ങൾ ഒരു സൈനസ് പിഞ്ച് ചെയ്യുന്നു.

(2) ഫോമിൽ ഞങ്ങൾ പ്രധാന ത്രികോണമിതി ഐഡൻ്റിറ്റി ഉപയോഗിക്കുന്നു

(3) നമുക്ക് വേരിയബിൾ മാറ്റാം ടി=കോസ് x, പിന്നെ: അച്ചുതണ്ടിന് മുകളിലാണ് സ്ഥിതി ചെയ്യുന്നത്, അതിനാൽ:

കുറിപ്പ്:സ്‌പർശക ക്യൂബിൻ്റെ അവിഭാജ്യഘടകം ഇവിടെ എങ്ങനെയാണ് ഉപയോഗിച്ചിരിക്കുന്നത് എന്ന് ശ്രദ്ധിക്കുക;

പ്രശ്നം 1(വളഞ്ഞ ട്രപസോയിഡിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണക്കാക്കുന്നതിനെക്കുറിച്ച്).

കാർട്ടീഷ്യൻ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റമായ xOy-ൽ, x അക്ഷം, നേർരേഖകൾ x = a, x = b (a a curvilinear trapezoid) കൊണ്ട് പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന ഒരു ചിത്രം നൽകിയിരിക്കുന്നു (ചിത്രം കാണുക). ഒരു കർവിലീനിയറിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണക്കാക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ട്രപസോയിഡ്.
പരിഹാരം.ബഹുഭുജങ്ങളുടെ മേഖലകളും ഒരു വൃത്തത്തിൻ്റെ ചില ഭാഗങ്ങളും (സെക്ടർ, സെഗ്‌മെൻ്റ്) കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള പാചകക്കുറിപ്പുകൾ ജ്യാമിതി നമുക്ക് നൽകുന്നു. ജ്യാമിതീയ പരിഗണനകൾ ഉപയോഗിച്ച്, ആവശ്യമായ പ്രദേശത്തിൻ്റെ ഏകദേശ മൂല്യം മാത്രമേ നമുക്ക് കണ്ടെത്താൻ കഴിയൂ, ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ ന്യായവാദം ചെയ്യുന്നു.

നമുക്ക് സെഗ്മെൻ്റ് വിഭജിക്കാം [a; b] (വളഞ്ഞ ട്രപസോയിഡിൻ്റെ അടിസ്ഥാനം) n തുല്യ ഭാഗങ്ങളായി; ഈ പാർട്ടീഷൻ x 1, x 2, ... x k, ... x n-1 എന്നീ പോയിൻ്റുകൾ ഉപയോഗിച്ചാണ് നടത്തുന്നത്. y-അക്ഷത്തിന് സമാന്തരമായി ഈ പോയിൻ്റുകളിലൂടെ നമുക്ക് നേർരേഖകൾ വരയ്ക്കാം. അപ്പോൾ നൽകിയിരിക്കുന്ന curvilinear trapezoid n ഭാഗങ്ങളായി, n ഇടുങ്ങിയ നിരകളായി വിഭജിക്കപ്പെടും. മുഴുവൻ ട്രപസോയിഡിൻ്റെയും വിസ്തീർണ്ണം നിരകളുടെ വിസ്തീർണ്ണത്തിൻ്റെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്.

നമുക്ക് k-th കോളം പ്രത്യേകം പരിഗണിക്കാം, അതായത്. വളഞ്ഞ ട്രപസോയിഡ്, അതിൻ്റെ അടിസ്ഥാനം ഒരു സെഗ്‌മെൻ്റാണ്. f(x k) ന് തുല്യമായ അതേ അടിത്തറയും ഉയരവുമുള്ള ഒരു ദീർഘചതുരം ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് അത് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാം (ചിത്രം കാണുക). ദീർഘചതുരത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം $f(x_k) \cdot \Delta x_k $ തുല്യമാണ്, ഇവിടെ $\Delta x_k $ എന്നത് സെഗ്മെൻ്റിൻ്റെ ദൈർഘ്യമാണ്; തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഉൽപ്പന്നത്തെ kth നിരയുടെ വിസ്തീർണ്ണത്തിൻ്റെ ഏകദേശ മൂല്യമായി കണക്കാക്കുന്നത് സ്വാഭാവികമാണ്.

ഞങ്ങൾ ഇപ്പോൾ മറ്റെല്ലാ നിരകളുമായും ഇത് ചെയ്താൽ, ഇനിപ്പറയുന്ന ഫലത്തിലേക്ക് ഞങ്ങൾ എത്തിച്ചേരും: തന്നിരിക്കുന്ന കർവിലീനിയർ ട്രപസോയിഡിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം n ദീർഘചതുരങ്ങൾ കൊണ്ട് നിർമ്മിച്ച ഒരു സ്റ്റെപ്പ് ഫിഗറിൻ്റെ S n ഏരിയയ്ക്ക് ഏകദേശം തുല്യമാണ് (ചിത്രം കാണുക):
$S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \dots + f(x_k)\Delta x_k + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $
ഇവിടെ, നൊട്ടേഷൻ്റെ ഏകീകൃതതയ്ക്കായി, a = x 0, b = x n; $\Delta x_0 $ - സെഗ്‌മെൻ്റിൻ്റെ നീളം, $\Delta x_1 $ - സെഗ്‌മെൻ്റിൻ്റെ നീളം മുതലായവ; ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഞങ്ങൾ മുകളിൽ സമ്മതിച്ചതുപോലെ, $\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) $

അതിനാൽ, $S \ approx S_n $, ഈ ഏകദേശ തുല്യത കൂടുതൽ കൃത്യമാണ്, വലുത് n.
നിർവചനം അനുസരിച്ച്, ഒരു കർവിലീനിയർ ട്രപസോയിഡിൻ്റെ ആവശ്യമായ വിസ്തീർണ്ണം ശ്രേണിയുടെ (S n) പരിധിക്ക് തുല്യമാണെന്ന് വിശ്വസിക്കപ്പെടുന്നു:
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$

പ്രശ്നം 2(ഒരു പോയിൻ്റ് നീക്കുന്നതിനെക്കുറിച്ച്)
ഒരു മെറ്റീരിയൽ പോയിൻ്റ് ഒരു നേർരേഖയിൽ നീങ്ങുന്നു. സമയത്തെ വേഗതയുടെ ആശ്രിതത്വം v = v(t) എന്ന ഫോർമുലയാൽ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു. ഒരു നിശ്ചിത കാലയളവിൽ ഒരു ബിന്ദുവിൻ്റെ ചലനം കണ്ടെത്തുക [a; ബി].
പരിഹാരം.ചലനം ഏകതാനമാണെങ്കിൽ, പ്രശ്നം വളരെ ലളിതമായി പരിഹരിക്കപ്പെടും: s = vt, അതായത്. s = v(b-a). അസമമായ ചലനത്തിനായി, മുമ്പത്തെ പ്രശ്നത്തിനുള്ള പരിഹാരം അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള അതേ ആശയങ്ങൾ നിങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കേണ്ടതുണ്ട്.
1) സമയ ഇടവേള വിഭജിക്കുക [a; b] n തുല്യ ഭാഗങ്ങളായി.
2) ഒരു കാലഘട്ടം പരിഗണിക്കുക, ഈ കാലയളവിലെ വേഗത സ്ഥിരമായിരുന്നു എന്ന് അനുമാനിക്കുക, സമയം t k. അതിനാൽ v = v(t k) എന്ന് ഞങ്ങൾ അനുമാനിക്കുന്നു.
3) ഒരു നിശ്ചിത കാലയളവിൽ പോയിൻ്റിൻ്റെ ചലനത്തിൻ്റെ ഏകദേശ മൂല്യം നമുക്ക് കണ്ടെത്താം
$s_k = v(t_k) \Delta t_k $
4) സ്ഥാനചലനത്തിൻ്റെ ഏകദേശ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക:
$s \ approx S_n $ എവിടെ
$S_n = s_0 + \dots + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \dots + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) $
5) ആവശ്യമായ സ്ഥാനചലനം അനുക്രമത്തിൻ്റെ പരിധിക്ക് തുല്യമാണ് (S n):
$$ s = \lim_(n \to \infty) S_n $$

നമുക്ക് സംഗ്രഹിക്കാം. പരിഹാരങ്ങൾ വിവിധ ജോലികൾഅതേ ഗണിത മാതൃകയിലേക്ക് ചുരുക്കി. ശാസ്ത്ര സാങ്കേതിക വിദ്യയുടെ വിവിധ മേഖലകളിൽ നിന്നുള്ള പല പ്രശ്നങ്ങളും പരിഹാര പ്രക്രിയയിൽ ഒരേ മാതൃകയിലേക്ക് നയിക്കുന്നു. അതിനാൽ ഇത് ഗണിതശാസ്ത്ര മാതൃകപ്രത്യേകം പഠിക്കേണ്ടതുണ്ട്.

ഒരു നിശ്ചിത അവിഭാജ്യ ആശയം

y = f(x) എന്ന ഫംഗ്‌ഷനായി പരിഗണിക്കപ്പെടുന്ന മൂന്ന് പ്രശ്‌നങ്ങളിൽ നിർമ്മിച്ച മോഡലിൻ്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര വിവരണം നമുക്ക് നൽകാം, ഇടവേളയിൽ [a; b]:
1) സെഗ്മെൻ്റ് വിഭജിക്കുക [a; b] n തുല്യ ഭാഗങ്ങളായി;
2) $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$ കണക്കാക്കുക

എനിക്കറിയാം ഗണിത വിശകലനംഒരു തുടർച്ചയായ (അല്ലെങ്കിൽ കഷണങ്ങളായി തുടർച്ചയായി) പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ കാര്യത്തിൽ ഈ പരിധി നിലവിലുണ്ടെന്ന് തെളിയിക്കപ്പെട്ടിട്ടുണ്ട്. അവൻ വിളിക്കപ്പെടുന്നു y = f(x) എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഒരു നിശ്ചിത അവിഭാജ്യ ഘടകം [a; b]കൂടാതെ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു:
$\int\limits_a^b f(x) dx $
a, b എന്നീ സംഖ്യകളെ സംയോജനത്തിൻ്റെ പരിധികൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു (യഥാക്രമം താഴെയും മുകളിലും).

മുകളിൽ ചർച്ച ചെയ്ത ജോലികളിലേക്ക് മടങ്ങാം. പ്രശ്നം 1-ൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന പ്രദേശത്തിൻ്റെ നിർവചനം ഇപ്പോൾ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ മാറ്റിയെഴുതാം:
$S = \int\limits_a^b f(x) dx $
ഇവിടെ S എന്നത് മുകളിലെ ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്ന കർവിലീനിയർ ട്രപസോയിഡിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണമാണ്. ഇതാണ് ഒരു നിശ്ചിത അവിഭാജ്യത്തിൻ്റെ ജ്യാമിതീയ അർത്ഥം.

പ്രശ്നം 2-ൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന t = a മുതൽ t = b വരെയുള്ള കാലയളവിൽ v = v (t) വേഗതയിൽ ഒരു നേർരേഖയിൽ ചലിക്കുന്ന ഒരു പോയിൻ്റിൻ്റെ സ്ഥാനചലനത്തിൻ്റെ നിർവചനം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ മാറ്റിയെഴുതാം:

ന്യൂട്ടൺ - ലെബ്നിസ് ഫോർമുല

ആദ്യം, നമുക്ക് ചോദ്യത്തിന് ഉത്തരം നൽകാം: നിശ്ചിത അവിഭാജ്യവും ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവും തമ്മിലുള്ള ബന്ധം എന്താണ്?

പ്രശ്നം 2-ൽ ഉത്തരം കണ്ടെത്താം. ഒരു വശത്ത്, t = a മുതൽ t = b വരെയുള്ള കാലയളവിൽ v = v(t) വേഗതയിൽ ഒരു നേർരേഖയിൽ ചലിക്കുന്ന ഒരു പോയിൻ്റിൻ്റെ സ്ഥാനചലനം കണക്കാക്കുന്നത് ഫോർമുല
$S = \int\limits_a^b v(t) dt $

മറുവശത്ത്, ഒരു ചലിക്കുന്ന പോയിൻ്റിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റ് വേഗതയ്‌ക്കുള്ള ഒരു ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് ആണ് - നമുക്ക് അത് സൂചിപ്പിക്കാം s(t); s = s(b) - s(a) എന്ന ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ചാണ് സ്ഥാനചലനം s പ്രകടിപ്പിക്കുന്നത് എന്നാണ് ഇതിനർത്ഥം. ഫലമായി നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:
$S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) $
ഇവിടെ s(t) എന്നത് v(t) യുടെ ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് ആണ്.

ഗണിതശാസ്ത്ര വിശകലനത്തിൽ ഇനിപ്പറയുന്ന സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കപ്പെട്ടു.
സിദ്ധാന്തം. ഫംഗ്ഷൻ y = f(x) ഇടവേളയിൽ തുടർച്ചയായി ആണെങ്കിൽ [a; b], അപ്പോൾ ഫോർമുല സാധുവാണ്
$S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) $
ഇവിടെ F(x) എന്നത് f(x)ൻ്റെ ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവാണ്.

നൽകിയിരിക്കുന്ന ഫോർമുലയെ സാധാരണയായി വിളിക്കുന്നു ന്യൂട്ടൺ-ലീബ്നിസ് ഫോർമുലഇംഗ്ലീഷ് ഭൗതികശാസ്ത്രജ്ഞനായ ഐസക് ന്യൂട്ടൻ്റെയും (1643-1727) ജർമ്മൻ തത്ത്വചിന്തകനായ ഗോട്ട്ഫ്രൈഡ് ലീബ്നിസിൻ്റെയും (1646-1716) ബഹുമാനാർത്ഥം അത് പരസ്പരം സ്വതന്ത്രമായും ഏതാണ്ട് ഒരേസമയം സ്വീകരിച്ചു.

പ്രായോഗികമായി, F(b) - F(a) എഴുതുന്നതിനുപകരം, അവർ $\ഇടത്. F(x)\right|_a^b $ എന്ന നൊട്ടേഷൻ ഉപയോഗിക്കുന്നു (ഇതിനെ ചിലപ്പോൾ വിളിക്കാറുണ്ട്. ഇരട്ട പകരം വയ്ക്കൽ) കൂടാതെ, അതനുസരിച്ച്, ന്യൂട്ടൺ-ലീബ്നിസ് ഫോർമുല ഈ രൂപത്തിൽ മാറ്റിയെഴുതുക:
$S = \int\limits_a^b f(x) dx = \ഇടത്. F(x)\right|_a^b $

ഒരു നിശ്ചിത ഇൻ്റഗ്രൽ കണക്കാക്കുമ്പോൾ, ആദ്യം ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക, തുടർന്ന് ഇരട്ട പകരം വയ്ക്കൽ നടത്തുക.

ന്യൂട്ടൺ-ലീബ്നിസ് ഫോർമുലയെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, നമുക്ക് നിശ്ചിത അവിഭാജ്യത്തിൻ്റെ രണ്ട് ഗുണങ്ങൾ ലഭിക്കും.

പ്രോപ്പർട്ടി 1.പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയുടെ സംയോജനം തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്ഇൻ്റഗ്രലുകൾ:
$\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx $

പ്രോപ്പർട്ടി 2.സ്ഥിരമായ ഘടകം അവിഭാജ്യ ചിഹ്നത്തിൽ നിന്ന് പുറത്തെടുക്കാം:
$\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx $

ഒരു നിശ്ചിത ഇൻ്റഗ്രൽ ഉപയോഗിച്ച് പ്ലെയിൻ ഫിഗറുകളുടെ ഏരിയകൾ കണക്കാക്കുന്നു

ഇൻ്റഗ്രൽ ഉപയോഗിച്ച്, നിങ്ങൾക്ക് കർവിലീനിയർ ട്രപസോയിഡുകളുടെ മേഖലകൾ മാത്രമല്ല, കൂടുതൽ പരന്ന രൂപങ്ങളും കണക്കാക്കാം. സങ്കീർണ്ണമായ തരം, ഉദാഹരണത്തിന് ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്ന ഒന്ന്. x = a, x = b എന്ന നേർരേഖകളും y = f(x), y = g(x) എന്നീ തുടർച്ചയായ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഗ്രാഫുകളും സെഗ്‌മെൻ്റിൽ [a; b] അസമത്വം $g(x) \leq f(x) $ നിലനിർത്തുന്നു. അത്തരമൊരു ചിത്രത്തിൻ്റെ ഏരിയ എസ് കണക്കാക്കാൻ, ഞങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ തുടരും:
$S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = $
$= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx $

അതിനാൽ, x = a, x = b എന്നീ നേർരേഖകളാൽ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന ഒരു ചിത്രത്തിൻ്റെ ഏരിയ S, y = f(x), y = g(x) എന്നീ ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഗ്രാഫുകൾ, സെഗ്‌മെൻ്റിൽ തുടർച്ചയായും സെഗ്‌മെൻ്റിൽ നിന്നുള്ള ഏത് x-നും [എ; b] അസമത്വം $g(x) \leq f(x) $ സംതൃപ്തമാണ്, ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കുന്നു
$S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx $

ചില ഫംഗ്ഷനുകളുടെ അനിശ്ചിത ഇൻ്റഗ്രലുകളുടെ (ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവുകൾ) പട്ടിക

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch ) x +C $$