Дурын тогтмолыг өөрчлөх дифференциал тэгшитгэл. Лагранжийн аргаар дээд эрэмбийн шугаман нэг төрлийн бус дифференциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх

Дурын n-р эрэмбийн тогтмол коэффициент бүхий шугаман нэг төрлийн бус дифференциал тэгшитгэлийг авч үзье.
(1) .
Нэгдүгээр эрэмбийн тэгшитгэлийн хувьд бидний авч үзсэн тогтмол хэмжигдэхүүнийг өөрчлөх арга нь дээд эрэмбийн тэгшитгэлд мөн хамаарна.

Уусмалыг хоёр үе шаттайгаар явуулдаг. Эхний алхамд бид баруун талыг нь хаяж, нэгэн төрлийн тэгшитгэлийг шийднэ. Үүний үр дүнд бид n дурын тогтмолыг агуулсан шийдлийг олж авна. Хоёр дахь шатанд бид тогтмолуудыг өөрчилдөг. Өөрөөр хэлбэл, эдгээр тогтмолууд нь x бие даасан хувьсагчийн функцууд бөгөөд эдгээр функцүүдийн хэлбэрийг олдог гэж бид үзэж байна.

Хэдийгээр бид энд тогтмол коэффициент бүхий тэгшитгэлийг авч үзэж байна, гэхдээ Лагранжийн арга нь шугаман нэг төрлийн бус тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд бас тохиромжтой. Үүнийг хийхийн тулд нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн шийдлүүдийн үндсэн системийг мэддэг байх ёстой.

Алхам 1. Нэг төрлийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх

Нэгдүгээр эрэмбийн тэгшитгэлийн нэгэн адил бид эхлээд нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдлийг хайж, баруун талын нэг төрлийн бус талыг тэгтэй тэнцүүлнэ.
(2) .
Энэ тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь:
(3) .
Энд дурын тогтмолууд байна; - Нэг төрлийн тэгшитгэлийн (2) шугаман бие даасан n шийдлүүд нь энэ тэгшитгэлийн шийдлийн үндсэн системийг бүрдүүлдэг.

Алхам 2. Тогтмолуудын өөрчлөлт - тогтмолыг функцээр солих

Хоёр дахь шатанд бид тогтмолуудын өөрчлөлтийг авч үзэх болно. Өөрөөр хэлбэл, бид тогтмолуудыг бие даасан x хувьсагчийн функцээр солих болно.
.
Энэ нь бид шийдлийг хайж байна гэсэн үг анхны тэгшитгэл(1) дараах байдлаар:
(4) .

Хэрэв бид (4)-г (1) орлуулбал n функцийн нэг дифференциал тэгшитгэлийг авна. Энэ тохиолдолд бид эдгээр функцийг нэмэлт тэгшитгэлээр холбож болно. Дараа нь та n функцийг тодорхойлж болох n тэгшитгэл авна. Нэмэлт тэгшитгэл бичиж болно янз бүрийн арга замууд. Гэхдээ шийдэл нь хамгийн энгийн хэлбэртэй байхын тулд бид үүнийг хийх болно. Үүнийг хийхийн тулд ялгахдаа функцүүдийн дериватив агуулсан нэр томъёог тэгтэй тэнцүүлэх хэрэгтэй. Үүнийг харуулъя.

Санал болгож буй шийдлийг (4) анхны тэгшитгэлд (1) орлуулахын тулд (4) хэлбэрээр бичсэн функцийн эхний n дарааллын деривативуудыг олох хэрэгтэй. Бид (4) ашиглан ялгадаг нийлбэрийг ялгах дүрэмба ажил:
.
Гишүүдээ бүлэглэе. Эхлээд бид -ийн деривативтай нэр томъёог, дараа нь -ийн деривативтэй нэр томъёог бичнэ.

.
Функцүүдэд эхний нөхцөлийг тавьцгаая.
(5.1) .
Дараа нь анхны деривативын илэрхийлэл нь илүү энгийн хэлбэртэй байна:
(6.1) .

Үүнтэй ижил аргыг ашиглан бид хоёр дахь деривативыг олно.

.
Функцүүдэд хоёрдахь нөхцөлийг тавья:
(5.2) .
Дараа нь
(6.2) .
гэх мэт. IN нэмэлт нөхцөл, бид функцийн дериватив агуулсан нэр томъёог тэгтэй тэнцүүлдэг.

Тиймээс, хэрэв бид функцүүдэд дараах нэмэлт тэгшитгэлийг сонговол:
(5.k) ,
Дараа нь анхны деривативууд хамгийн энгийн хэлбэртэй байна:
(6.k) .
Энд.

n-р деривативыг ол:
(6.н)
.

Анхны тэгшитгэлд орлуулна уу (1):
(1) ;






.
Бүх функцууд (2) тэгшитгэлийг хангаж байгааг анхаарч үзээрэй.
.
Дараа нь тэг агуулсан нөхцлийн нийлбэр нь тэгийг өгдөг. Үүний үр дүнд бид:
(7) .

Үүний үр дүнд бид деривативын шугаман тэгшитгэлийн системийг хүлээн авлаа.
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) ;
. . . . . . .
(5.n-1) ;
(7′) .

Энэ системийг шийдэж бид деривативуудын илэрхийлэлийг х-ийн функцээр олно. Интеграцчилснаар бид дараахь зүйлийг авна.
.
Энд x-ээс хамаарахаа больсон тогтмолууд байна. (4) -д орлуулснаар бид анхны тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг олж авна.

Деривативын утгыг тодорхойлохын тулд a i коэффициентүүд тогтмол байдаг гэдгийг бид хэзээ ч ашиглаж байгаагүй гэдгийг анхаарна уу. Тийм ч учраас Лагранжийн аргыг аливаа шугаман нэг төрлийн бус тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд ашигладаг, хэрэв нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн (2) шийдлийн үндсэн систем мэдэгдэж байгаа бол.

Жишээ

Тогтмолуудын өөрчлөлтийн аргыг (Лагранж) ашиглан тэгшитгэлийг шийднэ.

Шугаман нэг төрлийн бус байдлыг авч үзье дифференциал тэгшитгэлтөрлийн

Хаана - аргументийн шаардлагатай функц , болон функцууд



өгөгдсөн бөгөөд тодорхой интервалаар үргэлжилдэг
.

Шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийг авч үзье. зүүн талзүүн талтай давхцаж байна нэгэн төрлийн бус тэгшитгэл (2.31),

(2.32) хэлбэрийн тэгшитгэлийг нэрлэнэ нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлд харгалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэл (2.31).

Дараах теорем нь нэгэн төрлийн бус шугаман тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийн бүтцийн тухай (2.31) баримтална.

Теорем 2.6.Шугаман нэг төрлийн бус тэгшитгэлийн (2.31) муж дахь ерөнхий шийдэл

нь түүний аливаа тодорхой шийдийн нийлбэр ба (2.33) муж дахь харгалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн (2.32) ерөнхий шийд, i.e.

Хаана - тэгшитгэлийн тусгай шийдэл (2.31),
нь нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн (2.32) шийдлийн үндсэн систем ба
- дурын тогтмолууд.

Та энэ теоремын баталгааг эндээс олох болно.

Хоёрдахь эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн жишээг ашиглан шугаман нэг төрлийн бус тэгшитгэлийн тодорхой шийдийг олох аргыг тоймлон харуулах болно. Энэ аргыг нэрлэдэг Дурын тогтмолуудын өөрчлөлтийн Лагранж арга.

Тэгэхээр нэгэн төрлийн бус шугаман тэгшитгэл өгье

(2.35)

коэффициентүүд хаана байна
ба баруун тал
тодорхой интервалд тасралтгүй
.

-ээр тэмдэглэе
Тэгээд
нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн шийдлийн үндсэн систем

(2.36)

Дараа нь түүний ерөнхий шийдэл нь хэлбэртэй байна

(2.37)

Хаана Тэгээд - дурын тогтмолууд.

Бид ижил хэлбэрээр (2.35) тэгшитгэлийн шийдлийг хайх болно , түүнчлэн харгалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл, дурын тогтмолуудыг зарим дифференциалагдах функцээр солих. (бид дурын тогтмолуудыг өөрчилдөг),тэдгээр.

Хаана
Тэгээд
- зарим ялгах функцууд Одоогоор тодорхойгүй байгаа бөгөөд (2.38) функц нь нэгэн төрлийн бус (2.35) тэгшитгэлийн шийдэл байхаар тодорхойлохыг хичээх болно. Тэгш байдлын хоёр талыг ялгаж (2.38) бид олж авна

Тиймээс тооцоолохдоо -ийн хоёрдугаар эрэмбийн деривативууд
Тэгээд
, бид үүнийг хаа сайгүй шаарддаг
нөхцөл хангагдсан

Дараа нь байх болно

Хоёр дахь деривативыг тооцоолъё

Орлуулах илэрхийлэл ,,(2.38), (2.40), (2.41)-ээс (2.35) тэгшитгэлд оруулснаар бид олж авна.

Дөрвөлжин хаалт дахь илэрхийлэл нь хаа сайгүй тэгтэй тэнцүү байна
, учир нь Тэгээд - тэгшитгэлийн хэсэгчилсэн шийдлүүд (2.36). Энэ тохиолдолд (2.42) хэлбэрийг авна. Энэ нөхцлийг (2.39) нөхцөлтэй хослуулснаар бид тодорхойлох тэгшитгэлийн системийг олж авна.
Тэгээд

(2.43)

Сүүлийн систем нь хоёр алгебрийн шугаман нэг төрлийн бус тэгшитгэлийн систем юм
Тэгээд
. Энэ системийн тодорхойлогч нь шийдлүүдийн үндсэн системийн Вронски тодорхойлогч юм ,ба, тиймийн тул, хаа сайгүй тэг биш байна
. Энэ нь систем (2.43) өвөрмөц шийдэлтэй гэсэн үг юм. Харьцангуй ямар нэг байдлаар шийдсэн
,
бид олох болно

Хаана
Тэгээд
- мэдэгдэж буй функцууд.

Интеграцчлалыг хийж, үүнийг харгалзан үзэх
,
Бид нэг хос функцийг авч, интеграцийн тогтмолуудыг тэгтэй тэнцүүлэх ёстой. Бид авдаг

(2.44) илэрхийллийг (2.38) харьцаанд орлуулснаар бид нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлийн (2.35) хүссэн шийдийг хэлбэрээр бичиж болно.

Шугаман нэг төрлийн бус тэгшитгэлийн тодорхой шийдлийг олохын тулд энэ аргыг ерөнхийд нь авч үзэж болно --р захиалга.

Жишээ 2.6. Тэгшитгэлийг шийд
цагт
хэрэв функцууд

харгалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн шийдлийн үндсэн системийг бүрдүүлнэ.

Энэ тэгшитгэлийн тодорхой шийдлийг олцгооё. Үүнийг хийхийн тулд Лагранжийн аргын дагуу бид эхлээд системийг (2.43) шийдэх ёстой бөгөөд энэ нь манай тохиолдолд хэлбэртэй байна.
Тэгшитгэл бүрийн хоёр талыг багасгаж байна бид авдаг

Эхний тэгшитгэлийн гишүүнийг хоёр дахь тэгшитгэлээс гишүүнээр хасвал бид олно
дараа нь эхний тэгшитгэлээс дагана
Интеграцчлалыг хийж, интеграцийн тогтмолуудыг тэг болгосноор бид байх болно

Энэ тэгшитгэлийн тодорхой шийдлийг дараах байдлаар илэрхийлж болно

Энэ тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь хэлбэртэй байна

Хаана Тэгээд - дурын тогтмолууд.

Эцэст нь, шийдлийн суперпозицийн зарчим гэж нэрлэгддэг бөгөөд дараах теоремоор тодорхойлогддог нэг гайхалтай шинж чанарыг тэмдэглэе.

Теорем 2.7.Хэрэв хооронд нь байвал
функц
- тэгшитгэлийн функцийн тодорхой шийдэл
ижил интервал дээрх тэгшитгэлийн тодорхой шийдэл нь функц юм
тэгшитгэлийн тодорхой шийдэл байдаг

Онолын доод хэмжээ

Дифференциал тэгшитгэлийн онолд энэ онолын хувьд нилээд өндөр түвшний нийтлэг шинж чанартай гэж үздэг арга байдаг.
Бид шийдэлд хамаарах дурын тогтмолыг өөрчлөх аргын тухай ярьж байна янз бүрийн ангиуддифференциал тэгшитгэл ба тэдгээрийн
системүүд Хэрэв бид мэдэгдлийн нотолгоог хаалтнаас гаргаж авбал онол нь хамгийн бага боловч бидэнд хүрэх боломжийг олгодог тохиолдолд яг ийм тохиолдол гардаг.
мэдэгдэхүйц үр дүнд хүрсэн тул жишээн дээр анхаарлаа хандуулах болно.

Аргын ерөнхий санааг томъёолоход маш энгийн. Өгөгдсөн тэгшитгэлийг (тэгшитгэлийн систем) шийдвэрлэхэд хэцүү эсвэл бүр ойлгомжгүй байг.
яаж шийдэх вэ. Гэсэн хэдий ч тэгшитгэлээс зарим нэр томъёог хассанаар энэ нь шийдэгдэх нь тодорхой байна. Дараа нь тэд үүнийг хялбаршуулсан байдлаар шийддэг
тэгшитгэл (систем), бид тэгшитгэлийн дарааллаас хамааран тодорхой тооны дурын тогтмолуудыг агуулсан шийдлийг олж авдаг.
систем дэх тэгшитгэл). Дараа нь олсон шийдэл дэх тогтмолууд нь бодитой тогтмол биш, олсон шийдэл гэж үздэг
анхны тэгшитгэлд (системд) орлуулснаар "тогтмол" -ыг тодорхойлох дифференциал тэгшитгэл (эсвэл тэгшитгэлийн систем) -ийг олж авна.
Төрөл бүрийн асуудалд дурын тогтмолыг өөрчлөх аргыг хэрэглэхэд тодорхой онцлог байдаг боловч эдгээр нь аль хэдийн тодорхой болсон.
жишээгээр харуулав.

Илүү өндөр эрэмбийн шугаман нэг төрлийн бус тэгшитгэлийн шийдлийг тусад нь авч үзье. хэлбэрийн тэгшитгэл
.
Шугаман нэг төрлийн бус тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь харгалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэл ба тодорхой шийдийн ерөнхий шийдийн нийлбэр юм.
энэ тэгшитгэлийн. Нэг төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийд аль хэдийн олдсон, тухайлбал шийдлийн үндсэн систем (FSS) баригдсан гэж үзье.
. Тэгвэл нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь тэнцүү байна.
Бид нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлийн тодорхой шийдлийг олох хэрэгтэй. Энэ зорилгоор тогтмолуудыг хувьсагчаас хамааралтай гэж үздэг.
Дараа нь та тэгшитгэлийн системийг шийдэх хэрэгтэй
.
Онол нь энэ системийг баталгаажуулдаг алгебрийн тэгшитгэлФункцийн деривативын хувьд өвөрмөц шийдэл байдаг.
Функцуудыг өөрсдөө олоход интеграцийн тогтмолууд гарч ирдэггүй: эцсийн эцэст ямар ч ганц шийдлийг эрэлхийлдэг.

Маягтын шугаман нэг төрлийн бус нэгдүгээр эрэмбийн тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх тохиолдолд

алгоритм нь бараг өөрчлөгдөөгүй хэвээр байна. Эхлээд та тохирох FSR-ийг олох хэрэгтэй нэгэн төрлийн системтэгшитгэл, суурь матриц үүсгэнэ
систем, баганууд нь FSR-ийн элементүүдийг төлөөлдөг. Дараа нь тэгшитгэлийг зурна
.
Системийг шийдэхдээ бид функцуудыг тодорхойлдог бөгөөд ингэснээр анхны системийн тодорхой шийдлийг олдог
(үндсэн матрицыг олсон функцуудын баганаар үржүүлнэ).
Бид үүнийг аль хэдийн олдсон FSR-ийн үндсэн дээр бүтээгдсэн нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн холбогдох системийн ерөнхий шийдэлд нэмнэ.
Анхны системийн ерөнхий шийдлийг олж авна.

Жишээ.

Жишээ 1. Нэгдүгээр эрэмбийн шугаман нэг төрлийн бус тэгшитгэл.

Харгалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэлийг авч үзье (бид хүссэн функцийг илэрхийлнэ):
.
Энэ тэгшитгэлийг хувьсагчдыг салгах аргыг ашиглан хялбархан шийдэж болно.

.
Одоо анхны тэгшитгэлийн шийдлийг хэлбэрээр төсөөлцгөөе , функц хараахан олдоогүй байна.
Бид энэ төрлийн шийдлийг анхны тэгшитгэлд орлуулна.
.
Таны харж байгаагаар зүүн талд байгаа хоёр ба гурав дахь нөхцлүүд бие биенээ үгүйсгэдэг - энэ бол онцлогдурын тогтмолыг өөрчлөх арга.

Энд аль хэдийн үнэхээр дурын тогтмол байна. Тиймээс,
.

Жишээ 2. Бернуллигийн тэгшитгэл.

Бид эхний жишээтэй ижил төстэй үйл ажиллагаа явуулдаг - бид тэгшитгэлийг шийддэг

хувьсагчдыг салгах арга. Энэ нь болж хувирсан тул бид анхны тэгшитгэлийн шийдлийг хэлбэрээр хайж байна
.
Бид энэ функцийг анхны тэгшитгэлд орлуулна.
.
Мөн дахин бууралт гарч байна:
.
Энд та уусмалаар хуваахдаа алдагдахгүй гэдгийг санах хэрэгтэй. Мөн анхны шийдэл нь тухайн хэрэгт тохирно
тэгшитгэл Үүнийг санацгаая. Тэгэхээр,
.
Үүнийг бичээд үзье.
Энэ бол шийдэл юм. Хариултыг бичихдээ та өмнө нь олсон шийдлийг зааж өгөх ёстой, учир нь энэ нь эцсийн утгатай тохирохгүй байна
тогтмолууд

Жишээ 3. Дээд зэрэглэлийн шугаман нэг төрлийн бус тэгшитгэл.

Энэ тэгшитгэлийг илүү хялбар шийдэж болох боловч үүнийг ашиглах аргыг харуулах нь тохиромжтой гэдгийг нэн даруй тэмдэглэе. Хэдийгээр зарим давуу талтай
Вариацын арга нь энэ жишээнд мөн дурын тогтмол утгатай байна.
Тиймээс, та тохирох нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн FSR-ээс эхлэх хэрэгтэй. FSR-ийг олохын тулд шинж чанарын муруйг эмхэтгэдэг гэдгийг санацгаая
тэгшитгэл
.
Ийнхүү нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл
.
Энд орсон тогтмолууд нь янз бүр байх ёстой. Систем бүрдүүлэх

Дурын тогтмолуудын өөрчлөлтийн арга

Шугаман нэг төрлийн бус дифференциал тэгшитгэлийн шийдийг бүтээх дурын тогтмолуудын өөрчлөлтийн арга

а n (т)z (n) (т) + а n − 1 (т)z (n − 1) (т) + ... + а 1 (т)z"(т) + а 0 (т)z(т) = е(т)

дурын тогтмолуудыг орлуулахаас бүрдэнэ в керөнхий шийдэлд

z(т) = в 1 z 1 (т) + в 2 z 2 (т) + ... + в n z n (т)

харгалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэл

а n (т)z (n) (т) + а n − 1 (т)z (n − 1) (т) + ... + а 1 (т)z"(т) + а 0 (т)z(т) = 0

туслах функцүүдийн хувьд в к (т) , тэдгээрийн деривативууд нь шугаман алгебрийн системийг хангадаг

Системийн тодорхойлогч (1) нь функцүүдийн Вронскийн үзүүлэлт юм z 1 ,z 2 ,...,z n , энэ нь түүний өвөрмөц шийдэлтэй байдлыг баталгаажуулдаг.

Хэрэв интеграцийн тогтмолуудын тогтмол утгууд дээр авсан эсрэг деривативууд бол функц

нь анхны шугаман нэг төрлийн бус дифференциал тэгшитгэлийн шийдэл юм. Харгалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл байгаа үед нэг төрлийн бус тэгшитгэлийн интеграл нь квадрат болж буурдаг.

Шугаман дифференциал тэгшитгэлийн системийн шийдийг векторын хэвийн хэлбэрт оруулах дурын тогтмолуудыг өөрчлөх арга

хэлбэрээр тодорхой шийдэл (1) бүтээхээс бүрдэнэ

Хаана З(т) нь матриц хэлбэрээр бичигдсэн харгалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн шийдлүүдийн үндэс бөгөөд дурын тогтмолуудын векторыг орлуулсан вектор функц нь хамаарлаар тодорхойлогддог. Шаардлагатай тодорхой шийдэл (анхны утгыг тэг т = т 0 шиг харагдаж байна

Тогтмол коэффициент бүхий системийн хувьд сүүлийн илэрхийллийг хялбаршуулсан болно.

Матриц З(т)З− 1 (τ)дуудсан Коши матрицоператор Л = А(т) .

Гадаад холбоосууд

• exponenta.ru - Жишээ бүхий онолын мэдээлэл

Викимедиа сан. 2010 он.

Дурын тогтмолыг өөрчлөх арга буюу Лагранжийн арга нь нэгдүгээр эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэл болон Бернулли тэгшитгэлийг шийдвэрлэх өөр нэг арга юм.

Нэгдүгээр эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэл нь y’+p(x)y=q(x) хэлбэрийн тэгшитгэл юм. Хэрэв баруун талд тэг байвал: y’+p(x)y=0, энэ нь шугаман байна. нэгэн төрлийн 1-р эрэмбийн тэгшитгэл. Үүний дагуу тэгээс өөр тэгшитгэл баруун тал, y’+p(x)y=q(x), — нэг төрлийн бус шугаман тэгшитгэл 1-р захиалга.

Дурын тогтмолыг өөрчлөх арга (Лагранж арга) дараах байдалтай байна:

1) Бид y’+p(x)y=0: y=y* нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдлийг хайж байна.

2) Ерөнхий шийдэлд бид C-г тогтмол биш, харин х-ийн функц гэж үздэг: C = C (x). Бид ерөнхий шийдлийн деривативыг (y*)’ олж, үүссэн илэрхийлэлийг y* ба (y*)’-г эхний нөхцөлд орлуулна. Үүссэн тэгшитгэлээс бид C(x) функцийг олно.

3) Нэг төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэлд С-ийн оронд олсон C(x) илэрхийллийг орлуулна.

Дурын тогтмолыг өөрчлөх аргын жишээг авч үзье. Үүнтэй ижил даалгавруудыг авч, шийдлийн явцыг харьцуулж, олж авсан хариултууд нь давхцаж байгаа эсэхийг шалгацгаая.

1) y’=3x-y/x

Тэгшитгэлийг стандарт хэлбэрээр дахин бичье (Бернуллигийн аргаас ялгаатай нь тэгшитгэл нь шугаман байгааг харахын тулд тэмдэглэгээ хийх шаардлагатай байсан).

y’+y/x=3x (I). Одоо бид төлөвлөгөөний дагуу явж байна.

1) y’+y/x=0 нэгэн төрлийн тэгшитгэлийг шийд. Энэ бол салгаж болох хувьсагчтай тэгшитгэл юм. y’=dy/dx гэж төсөөлөөд үз дээ, орлуулах: dy/dx+y/x=0, dy/dx=-y/x. Тэгшитгэлийн хоёр талыг dx-ээр үржүүлж, xy≠0-д хуваана: dy/y=-dx/x. Нэгтгэцгээе:

2) Нэг төрлийн тэгшитгэлийн үр дүнд гарсан ерөнхий шийдэлд бид С-г тогтмол биш, харин х-ийн функц гэж үзнэ: C=C(x). Эндээс

Бид үүссэн илэрхийллийг нөхцөл (I) болгон орлуулна:

Тэгшитгэлийн хоёр талыг нэгтгэж үзье:

энд C аль хэдийн шинэ тогтмол байна.

3) Нэг төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэлд C=C(x), өөрөөр хэлбэл y=C(x)/x гэж үзсэн y=C/x, C(x)-ын оронд олсон x³ илэрхийллийг орлуулна. +C: y=(x³ +C)/x эсвэл y=x²+C/x. Бид Бернуллигийн аргаар шийдвэрлэхтэй ижил хариулт авсан.

Хариулт: y=x²+C/x.

2) y’+y=cosx.

Энд тэгшитгэл нь аль хэдийн стандарт хэлбэрээр бичигдсэн тул хувиргах шаардлагагүй.

1) y’+y=0 нэгэн төрлийн шугаман тэгшитгэлийг шийд: dy/dx=-y; dy/y=-dx. Нэгтгэцгээе:

Тэмдэглэгээний илүү тохиромжтой хэлбэрийг олж авахын тулд бид C-ийн хүчийг шинэ С гэж авна.

Деривативыг олоход илүү хялбар болгох үүднээс энэхүү хувиргалтыг хийсэн.

2) Шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн үр дүнд гарсан ерөнхий шийдэлд бид С-г тогтмол биш, харин х-ийн функц гэж үзнэ: C=C(x). Энэ нөхцөлд

Бид үүссэн y ба y' илэрхийллийг дараах нөхцөлд орлуулна.

Тэгшитгэлийн хоёр талыг үржүүлнэ

Хэсгийн интеграцийн томъёог ашиглан тэгшитгэлийн хоёр талыг нэгтгэж, бид дараахь зүйлийг авна.

Энд C нь функц байхаа больсон, энгийн тогтмол юм.

3) Нэг төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэлд

олсон C(x) функцийг орлуулах:

Бид Бернуллигийн аргаар шийдвэрлэхтэй ижил хариулт авсан.

Дурын тогтмолыг өөрчлөх аргыг мөн шийдвэрлэхэд ашиглаж болно.

y'x+y=-xy².

Бид тэгшитгэлийг бууруулна стандарт харагдах байдал: y’+y/x=-y² (II).

1) y’+y/x=0 нэгэн төрлийн тэгшитгэлийг шийд. dy/dx=-y/x. Бид тэгшитгэлийн хоёр талыг dx-ээр үржүүлж, у-д хуваана: dy/y=-dx/x. Одоо нэгтгэж үзье:

Бид үүссэн илэрхийллийг нөхцөл (II) болгон орлуулна:

Хялбарчилъя:

Бид C ба x-ийн хувьд салангид хувьсагчтай тэгшитгэлийг олж авлаа.

Энд C аль хэдийн энгийн тогтмол байна. Интегралчлалын явцад тэмдэглэгээг хэт ачаалахгүйн тулд бид C(x)-ийн оронд зүгээр л С гэж бичсэн. Эцэст нь бид C(x)-г шинэ С-тэй андуурахгүйн тулд C(x) руу буцлаа.

3) Нэг төрлийн y=C(x)/x тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэлд олдсон C(x) функцийг орлуулна:

Бид Бернулли аргыг ашиглан шийдэхтэй ижил хариулт авсан.

Өөрийгөө шалгах жишээ:

1. Тэгшитгэлийг стандарт хэлбэрээр дахин бичье: y’-2y=x.

1) y’-2y=0 нэгэн төрлийн тэгшитгэлийг шийд. y’=dy/dx, тэгэхээр dy/dx=2y, тэгшитгэлийн хоёр талыг dx-ээр үржүүлж, у-д хувааж, интегралчил:

Эндээс бид y-г олно:

Бид y ба y’-ийн илэрхийллүүдийг нөхцөл байдалд орлуулна (товчлохын тулд бид C(x)-ийн оронд C, C"(x)-ийн оронд C'-г ашиглана):

Баруун талд байгаа интегралыг олохын тулд бид хэсгүүдийн интегралын томъёог ашиглана:

Одоо бид u, du, v-г томъёонд орлуулна.

Энд C =const.

3) Одоо бид нэгэн төрлийн уусмалыг уусмалд орлуулж байна